Barton iniziò a giocare a Duke nella sua prima stagione quando entrambi i primi due centri nelle gerarchie della squadra subirono infortuni che posero fine alla loro annata.[1] Giocò come titolare le ultime cinque partite dei Blue Devils e fu inserito nella seconda formazione ideale Freshman All-American da The Athletic.[2] Prima della sua seconda stagione fu nominato centro titolare.[3] L'anno seguente fu inserito nella formazione ideale della Atlantic Coast Conference (ACC), riconoscimento che ottenne anche nel 2023.[4][5]
Barton è considerato uno dei migliori centri tackle selezionabili nel Draft NFL 2024 e una scelta del primo giro.[6][7][8] Il 25 aprile 2024 fu chiamato come 26º assoluto dai Tampa Bay Buccaneers.[9] Debuttò come professionista partendo come titolare nella gara del primo turno vinta contro i Washington Commanders.