Grafo completo

Nella teoria dei grafi un grafo completo è un grafo semplice nel quale ogni vertice è collegato direttamente a tutti i vertici rimanenti. I grafi completi con $n$ vertici sono tutti isomorfi. Il grafo completo astratto di $n$ vertici si denota con $\,K_{n}$. In questo grafo (in ciascuno dei grafi della classe di isomorfismo $\,K_{n}$) vi sono $\,n(n-1)/2$ spigoli: in effetti gli spigoli sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi di due elementi dell'insieme degli $\,n$ vertici e quindi il loro numero è dato dal coefficiente binomiale ${n \choose 2}$.

Il grafo completo $\,K_{n}$ è un grafo regolare di grado $\,n-1$. Ogni grafo completo è cricca di sé stesso. I grafi completi sono i grafi massimamente connessi, in quanto l'unico taglio di vertici che li sconnette è l'insieme di tutti i suoi vertici.

Il gruppo degli automorfismi di $\,K_{n}$ è il gruppo di tutte le permutazioni dei suoi vertici, cioè in astratto il gruppo simmetrico di n oggetti.

Il teorema di Kuratowski afferma che i grafi planari sono i grafi che non contengono come minore né $\,K_{5}$ né il grafo bipartito completo $\,K_{3,3}$.

Seguono raffigurazioni che presentano con simmetria rotazionale dei grafi completi su $\,n$ vertici per $\,n=1,2,...,8$.

Esempi

Sotto vengono mostrati i grafi completi di n vertici, con 1 ≤ n ≤ 12, insieme al rispettivo numero di lati.

$K_{1}:0$	$K_{2}:1$	$K_{3}:3$	$K_{4}:6$
$K_{5}:10$	$K_{6}:15$	$K_{7}:21$	$K_{8}:28$
$K_{9}:36$	$K_{10}:45$	$K_{11}:55$	$K_{12}:66$

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Collegamenti esterni

• (EN) complete graph, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Grafo completo, su MathWorld, Wolfram Research.
• Mehdi Hassani, Cycles in graphs and derangements (PDF), in Math. Gaz., vol. 88, n. 511, 2004, pp. 123–126.