Nel calcolo infinitesimale , un differenziale esatto o differenziale totale è una forma differenziale esatta :
d
Q
=
A
1
(
x
1
,
x
2
,
…
)
d
x
1
+
A
2
(
x
1
,
x
2
,
…
)
d
x
2
+
…
{\displaystyle \operatorname {d} Q=A_{1}(x_{1},x_{2},\dots )\operatorname {d} x_{1}+A_{2}(x_{1},x_{2},\dots )\operatorname {d} x_{2}+\dots }
cioè tale per cui esiste una funzione
Q
(
x
1
,
x
2
,
…
)
{\displaystyle Q(x_{1},x_{2},\dots )}
potenziale , che soddisfa:[ 1]
A
1
=
∂
Q
∂
x
1
A
2
=
∂
Q
∂
x
2
…
{\displaystyle A_{1}={\frac {\partial Q}{\partial x_{1}}}\qquad A_{2}={\frac {\partial Q}{\partial x_{2}}}\qquad \dots }
Un differenziale è esatto se e solo se è integrabile , cioè se la grandezza
Q
{\displaystyle Q}
funzione di classe
C
2
{\displaystyle C^{2}}
numeri reali . L'implicazione diretta dipende dal fatto che la seconda classe di continuità ammette sempre un solo differenziale
d
Q
{\displaystyle \operatorname {d} Q}
Q
{\displaystyle Q}
Q
{\displaystyle Q}
Nel seguito si considera il caso tridimensionale, anche se la trattazione vale in uno spazio di dimensione arbitraria.
Una forma differenziale
A
(
x
,
y
,
z
)
d
x
+
B
(
x
,
y
,
z
)
d
y
+
C
(
x
,
y
,
z
)
d
z
{\displaystyle A(x,y,z)\operatorname {d} x+B(x,y,z)\operatorname {d} y+C(x,y,z)\operatorname {d} z}
forma differenziale esatta su un dominio
D
⊂
R
3
{\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}
Q
=
Q
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle Q=Q(x,y,z)}
D
{\displaystyle D}
d
Q
≡
(
∂
Q
∂
x
)
y
,
z
d
x
+
(
∂
Q
∂
y
)
z
,
x
d
y
+
(
∂
Q
∂
z
)
x
,
y
d
z
=
A
d
x
+
B
d
y
+
C
d
z
{\displaystyle \operatorname {d} Q\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\operatorname {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{z,x}\operatorname {d} y+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\operatorname {d} z=A\operatorname {d} x+B\operatorname {d} y+C\operatorname {d} z}
su tutto
D
{\displaystyle D}
(
A
,
B
,
C
)
{\displaystyle (A,B,C)}
campo vettoriale conservativo , corrispondente al gradiente di un campo scalare (chiamato potenziale )
Q
{\displaystyle Q}
In una dimensione, una forma differenziale
A
(
x
)
d
x
{\displaystyle A(x)\operatorname {d} x}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
d
Q
=
A
(
x
)
d
x
{\displaystyle \operatorname {d} Q=A(x)\operatorname {d} x}
In due dimensioni, per il teorema di Schwarz ogni funzione
Q
{\displaystyle Q}
∂
2
Q
∂
x
∂
y
=
∂
2
Q
∂
y
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}}
da cui segue che in una regione semplicemente connessa
R
{\displaystyle R}
differenziale
d
Q
=
A
(
x
,
y
)
d
x
+
B
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle \operatorname {d} Q=A(x,y)\,\operatorname {d} x+B(x,y)\,\operatorname {d} y}
è un differenziale esatto se e solo se vale la relazione
(
∂
A
∂
y
)
x
=
(
∂
B
∂
x
)
y
{\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}
In tre dimensioni, un differenziale
d
Q
=
A
(
x
,
y
,
z
)
d
x
+
B
(
x
,
y
,
z
)
d
y
+
C
(
x
,
y
,
z
)
d
z
{\displaystyle \operatorname {d} Q=A(x,y,z)\,\operatorname {d} x+B(x,y,z)\,\operatorname {d} y+C(x,y,z)\,\operatorname {d} z}
è un differenziale esatto in una regione semplicemente connessa
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
(
∂
A
∂
y
)
x
,
z
=
(
∂
B
∂
x
)
y
,
z
(
∂
A
∂
z
)
x
,
y
=
(
∂
C
∂
x
)
y
,
z
(
∂
B
∂
z
)
x
,
y
=
(
∂
C
∂
y
)
x
,
z
{\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}\qquad \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}\qquad \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}}
dove fuori dalle parentesi in basso sono indicate le variabili considerate costanti durante la differenziazione.
Riassumendo, quando un differenziale è esatto esiste
Q
{\displaystyle Q}
∫
i
f
d
Q
=
Q
(
f
)
−
Q
(
i
)
{\displaystyle \int _{i}^{f}\operatorname {d} Q=Q(f)-Q(i)}
indipendentemente dal cammino di integrazione seguito.
Se la funzione
Q
(
x
)
{\displaystyle Q(\mathbf {x} )}
n variabili, con
x
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}
prodotto scalare tra il gradiente
∇
Q
{\displaystyle \nabla Q}
Q
{\displaystyle Q}
d
x
{\displaystyle \operatorname {d} \mathbf {x} }
d
Q
=
∇
Q
⋅
d
x
=
∑
i
∂
Q
∂
x
i
d
x
i
{\displaystyle \operatorname {d} Q=\nabla Q\cdot \operatorname {d} \mathbf {x} =\sum _{i}{\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}\operatorname {d} x_{i}}
dove nell'ultima uguaglianza si è esplicitato il prodotto scalare. L'integrazione:
Q
(
x
)
=
∑
i
∫
∂
Q
∂
x
i
d
x
i
{\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\sum _{i}\int {\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}\operatorname {d} x_{i}}
è permessa se e solo se tutte le funzioni integrande dipendono da altre variabili con lo stesso andamento:
∂
∂
x
i
∂
Q
∂
x
j
=
∂
∂
x
j
∂
Q
∂
x
i
∀
i
,
j
∈
(
1
,
.
.
.
,
n
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial Q}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}\quad \forall i,j\in (1,...,n)}
e cioè se
Q
[
x
]
{\displaystyle Q[\mathbf {x} ]}
teorema di Schwarz , affermazione valida per le funzioni
Q
(
x
)
{\displaystyle Q(\mathbf {x} )}
classe di continuità . Poiché il differenziale di
Q
[
x
]
{\displaystyle Q[\mathbf {x} ]}
Q
(
x
)
=
∑
i
∫
A
i
d
x
i
{\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\sum _{i}\int A_{i}\operatorname {d} x_{i}}
il criterio si traduce nel testare se:
∂
A
i
∂
x
j
=
∂
A
j
∂
x
i
∀
i
,
j
∈
(
1
,
.
.
.
,
n
)
{\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\quad \forall i,j\in (1,...,n)}
e nel qual caso
Q
[
x
]
{\displaystyle Q[\mathbf {x} ]}
d
Q
{\displaystyle \operatorname {d} Q}
Q
[
x
]
{\displaystyle Q[x]}
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
funzione continua in
x
{\displaystyle x}
Relazioni tra le derivate parziali
modifica
Se tre variabili
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
F
(
x
,
y
,
z
)
=
costante
{\displaystyle F(x,y,z)={\text{costante}}}
funzione differenziabile
F
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle F(x,y,z)}
d
x
=
(
∂
x
∂
y
)
z
d
y
+
(
∂
x
∂
z
)
y
d
z
{\displaystyle dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz}
d
z
=
(
∂
z
∂
x
)
y
d
x
+
(
∂
z
∂
y
)
x
d
y
{\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy}
Inserendo la prima equazione nella seconda si ottiene:
d
z
=
(
∂
z
∂
x
)
y
[
(
∂
x
∂
y
)
z
d
y
+
(
∂
x
∂
z
)
y
d
z
]
+
(
∂
z
∂
y
)
x
d
y
{\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy}
d
z
=
[
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
y
)
z
+
(
∂
z
∂
y
)
x
]
d
y
+
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
z
)
y
d
z
{\displaystyle dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz}
[
1
−
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
z
)
y
]
d
z
=
[
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
y
)
z
+
(
∂
z
∂
y
)
x
]
d
y
{\displaystyle \left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy}
Dal momento che
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
d
y
{\displaystyle dy}
d
z
{\displaystyle dz}
Ponendo nullo il primo termine tra parentesi quadra si ha:
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
z
)
y
=
1
{\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1}
che con semplici passaggi conduce alla relazione di reciprocità :
(
∂
z
∂
x
)
y
=
1
(
∂
x
∂
z
)
y
{\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}}
Ponendo nullo il secondo termine tra parentesi quadra si ha:
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
y
)
z
=
−
(
∂
z
∂
y
)
x
{\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}
e utilizzando una delle relazioni di reciprocità per
∂
z
/
∂
y
{\displaystyle \partial z/\partial y}
relazione ciclica , anche conosciuta come "regola del triplo prodotto":
(
∂
x
∂
y
)
z
(
∂
y
∂
z
)
x
(
∂
z
∂
x
)
y
=
−
1
{\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1}
Se, invece, si utilizza una relazione di reciprocità per
∂
x
/
∂
y
{\displaystyle \partial x/\partial y}
(
∂
y
∂
x
)
z
=
−
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
z
∂
y
)
x
{\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}}
Si consideri la quantità di calore
δ
Q
{\displaystyle \delta Q}
δ
Q
[
T
,
V
]
=
d
U
+
δ
W
=
C
v
d
T
+
p
d
V
{\displaystyle \operatorname {\delta } Q[T,V]=\operatorname {d} U+\operatorname {\delta } W=C_{v}\,\operatorname {d} T+p\,\operatorname {d} V}
dove compaiono nell'ordine la capacità termica a volume costante, la variazione di temperatura, la pressione e la variazione di volume. L'equazione traduce il primo principio della termodinamica per gas perfetti ; è facile vedere che in generale:
∂
C
v
∂
V
=
0
≠
∂
p
∂
T
{\displaystyle {\frac {\partial C_{v}}{\partial V}}=0\neq {\frac {\partial p}{\partial T}}}
perciò
Q
{\displaystyle Q}
Considerando invece l'aumento infinitesimo di entropia
δ
S
{\displaystyle \operatorname {\delta } \!S}
δ
S
=
δ
Q
T
=
C
v
T
d
T
+
p
T
d
V
{\displaystyle \operatorname {\delta } \!S={\frac {\operatorname {\delta } Q}{T}}={\frac {C_{v}}{T}}\,\operatorname {d} T+{\frac {p}{T}}\,\operatorname {d} V}
e poiché per i gas ideali vale
p
V
=
R
T
{\displaystyle pV=RT}
d
S
=
C
v
T
d
T
+
R
V
d
V
{\displaystyle \operatorname {d} S={\frac {C_{v}}{T}}\,\operatorname {d} T+{\frac {R}{V}}\,\operatorname {d} V}
Questa volta si ha:
∂
∂
V
C
v
T
=
0
=
∂
∂
T
R
V
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial V}}{\frac {C_{v}}{T}}=0={\frac {\partial }{\partial T}}{\frac {R}{V}}}
quindi
d
S
{\displaystyle \operatorname {d} S}
S
=
∫
d
S
=
∫
C
v
T
d
T
+
∫
p
T
d
V
=
C
v
ln
T
+
R
ln
V
+
c
o
s
t
{\displaystyle S=\int \operatorname {d} S=\int {\frac {C_{v}}{T}}\,\operatorname {d} T+\int {\frac {p}{T}}\,\operatorname {d} V=C_{v}\,\ln T+R\ln V+{\rm {cost}}}
(EN Calculus and Analytic Geometry , 8th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1996.
(EN A to Z of Thermodynamics. New York: Oxford University Press.
(EN A First Course in Differential Equations, 5th Ed. Boston: PWS-Kent Publishing Company.
(EN Thermodynamics Property Relations Thermodynamics - An Engineering Approach , McGraw-Hill Series in Mechanical Engineering , 3rd, Boston, MA., McGraw-Hill, 1998 [1989] , ISBN 0-07-011927-9 . 
