Nel calcolo differenziale , la derivata totale (od ordinaria ) di una funzione di più variabili è la derivata che tiene conto della dipendenza reciproca delle variabili stesse; in altri termini, la derivata totale di una funzione rispetto ad una delle variabili prende in considerazione la dipendenza delle altre variabili dalla variabile rispetto alla quale si deriva.
Ad esempio, la derivata totale di
F
(
t
,
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
)
{\displaystyle F(t,x(t),y(t),z(t))}
t
{\displaystyle t}
d
F
d
t
=
∂
F
∂
t
+
∂
F
∂
x
d
x
d
t
+
∂
F
∂
y
d
y
d
t
+
∂
F
∂
z
d
z
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}
Ogni derivata totale è in corrispondenza biunivoca con una 1-forma differenziale esatta :
d
F
=
∂
F
∂
t
d
t
+
∂
F
∂
x
d
x
+
∂
F
∂
y
d
y
+
∂
F
∂
z
d
z
{\displaystyle {\mathrm {d} F}={\frac {\partial F}{\partial t}}\mathrm {d} t+{\frac {\partial F}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial F}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial F}{\partial z}}\mathrm {d} z}
dove
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} t}
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
d
y
{\displaystyle \mathrm {d} y}
d
z
{\displaystyle \mathrm {d} z}
differenziali .
Sia
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
intervallo ,
A
⊂
R
n
+
1
{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n+1}}
aperto ,
γ
:
I
⟶
A
,
t
⟼
γ
(
t
)
=
(
t
,
γ
1
(
t
)
,
…
,
γ
n
(
t
)
)
{\displaystyle \gamma :I\longrightarrow A,\ t\longmapsto \gamma (t)=(t,\gamma _{1}(t),\dots ,\gamma _{n}(t))}
curva di classe
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
funzione
F
:
A
⟶
R
,
γ
(
t
)
⟼
F
(
γ
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {F} :A\longrightarrow \mathbb {R} ,\ \gamma (t)\longmapsto \mathbf {F} (\gamma (t))}
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
Si definisce derivata totale di
F
{\displaystyle F}
t
{\displaystyle t}
d
d
t
F
(
γ
(
t
)
)
=
∂
∂
t
F
(
γ
(
t
)
)
+
∑
i
=
1
n
∂
∂
γ
i
(
t
)
F
(
γ
(
t
)
)
⋅
γ
i
′
(
t
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {F} (\gamma (t))={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {F} (\gamma (t))+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial \gamma _{i}(t)}}\mathbf {F} (\gamma (t))\cdot \gamma _{i}^{\prime }(t)}
Si può osservare che
d
F
d
t
(
γ
(
t
)
)
=
⟨
∇
F
(
γ
(
t
)
)
,
γ
′
(
t
)
⟩
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}(\gamma (t))=\langle \nabla \mathbf {F} (\gamma (t)),\gamma ^{\prime }(t)\rangle }
Siano
A
{\displaystyle A}
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
(
a
,
b
)
⊂
R
{\displaystyle (a,b)\subset \mathbb {R} }
r
(
t
)
:
(
a
,
b
)
⟶
A
{\displaystyle \mathbf {r} (t):(a,b)\longrightarrow A}
r
(
t
)
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
,
t
)
∀
t
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),\ y(t),\ z(t),\ t)\quad \forall t\in (a,b)}
f
:
A
→
R
{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }
F
:
(
a
,
b
)
→
R
{\displaystyle F:(a,b)\to \mathbb {R} }
F
(
t
)
≡
f
(
x
(
t
)
)
∀
t
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle F(t)\equiv f(\mathbf {x} (t))\qquad \forall t\in (a,b)}
ed è possibile mostrare che se le tutte le funzioni
x
i
(
t
)
{\displaystyle x_{i}(t)}
t
0
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle t_{0}\in (a,b)}
f
{\displaystyle f}
differenziabile nel punto
x
(
t
0
)
∈
A
{\displaystyle \mathbf {x} (t_{0})\in A}
F
{\displaystyle F}
t
0
{\displaystyle t_{0}}
F
′
(
t
0
)
=
∑
i
=
1
4
f
x
i
(
x
(
t
0
)
)
x
i
′
(
t
0
)
{\displaystyle F'(t_{0})=\sum _{i=1}^{4}f_{x_{i}}(\mathbf {x} (t_{0}))x'_{i}(t_{0})}
pertanto l'ultima espressione diviene:
F
′
(
t
0
)
=
(
d
d
t
f
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
,
t
)
)
t
=
t
0
=
(
∂
f
∂
x
d
x
d
t
+
∂
f
∂
y
d
y
d
t
+
∂
f
∂
z
d
z
d
t
+
∂
f
∂
t
)
t
=
t
0
{\displaystyle F'(t_{0})=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(x(t),y(t),z(t),t)\right)_{t=t_{0}}=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{t=t_{0}}}
Esempio: meccanica del continuo
modifica
In fisica, in particolare in meccanica del continuo , nell'equazione di Boltzmann e nelle equazioni di Maxwell , si utilizzano spesso le coordinate lagrangiane : si è interessati a conoscere la derivata totale temporale di una grandezza fisica
f
{\displaystyle f}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
t
{\displaystyle t}
f
=
f
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\displaystyle f=f(x,y,z,t)}
d
f
=
∂
f
∂
x
d
x
+
∂
f
∂
y
d
y
+
∂
f
∂
z
d
z
+
∂
f
∂
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {d} f={\partial f \over \partial x}\operatorname {d} x+{\partial f \over \partial y}\operatorname {d} y+{\partial f \over \partial z}\operatorname {d} z+{\partial f \over \partial t}\operatorname {d} t}
La derivata totale di
f
{\displaystyle f}
d
d
t
f
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
,
t
)
=
∂
f
∂
x
d
x
d
t
+
∂
f
∂
y
d
y
d
t
+
∂
f
∂
z
d
z
d
t
+
∂
f
∂
t
=
∂
f
∂
x
u
(
t
)
+
∂
f
∂
y
v
(
t
)
+
∂
f
∂
z
w
(
t
)
+
∂
f
∂
t
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(x(t),y(t),z(t),t)={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}u(t)+{\frac {\partial f}{\partial y}}v(t)+{\frac {\partial f}{\partial z}}w(t)+{\frac {\partial f}{\partial t}}}
dove
v
(
t
)
=
(
u
(
t
)
,
v
(
t
)
,
w
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {v} (t)=(u(t),\,v(t),\,w(t))}
Se si descrive il moto del fluido con un campo vettoriale
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
t
{\displaystyle t}
nabla le sole componenti spaziali del gradiente , la precedente espressione diviene:
d
f
d
t
=
∂
f
∂
t
+
v
⋅
∇
f
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla f}
e viene detta derivata materiale del campo scalare
f
{\displaystyle f}
derivata parziale
∂
f
/
∂
t
{\displaystyle \partial f/\partial t}
termine di sorgente , e tiene conto della non stazionarietà del campo di moto del flusso che sussiste quando le varie grandezze sono tutte funzioni esplicite del tempo. Se il moto è stazionario allora
∂
f
/
∂
t
=
0
{\displaystyle \partial f/\partial t=0}
prodotto scalare
v
⋅
∇
f
{\displaystyle {\mathbf {v} \cdot \nabla f}}
termine convettivo , e tiene conto della variazione di una grandezza per una particella che è trasportata attraverso un gradiente di velocità. La particella sarà sottoposta ad una variazione di grandezza solo se il prodotto scalare non sarà nullo, ossia solo se la velocità della particella non sarà perpendicolare alla direzione del gradiente della grandezza.
Più in generale, se invece del campo scalare
f
{\displaystyle f}
campo vettoriale
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}
D
u
D
t
=
∂
u
∂
t
+
v
⋅
∇
u
{\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {u} }
dove
∇
u
{\displaystyle \nabla \mathbf {u} }
derivata covariante di
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
(EN Structure and Interpretation of Classical Mechanics ISBN 9780262194556
(EN Fluid Mechanics , 4th edition, Academic Press, ISBN 978-0-12-373735-9
(EN Introduction to Continuum Mechanics , 4th edition, Elsevier, ISBN 978-0-7506-8560-3 
