Insieme aperto
Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.
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Spazi topologici
modificaLa topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme se una qualunque collezione di sottoinsiemi di soddisfa le proprietà riportate sotto, diventa uno spazio topologico, viene chiamata topologia di e gli insiemi di per definizione, i suoi aperti.
Perché la collezione sia una topologia devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:
- l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di è ancora un insieme di
- l'intersezione di un numero finito di insiemi di è ancora un insieme di
- l'insieme e l'insieme vuoto appartengono a
Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia È da notare che se si considera uno stesso insieme con due diverse topologie e si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.
Spazi metrici
modificaIn uno spazio metrico , un sottoinsieme di si dice aperto se, per ogni , esiste un numero reale tale che i punti che distano da per meno di appartengono ancora a . Formalmente: se , allora . Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).
Spazio euclideo
modificaLo spazio euclideo è un particolare spazio metrico. Un insieme aperto dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni di esiste una palla di raggio centrata in , interamente contenuta in .
In particolare, un intervallo in è aperto se è del tipo , dove e possono anche essere rispettivamente e .
Insieme chiuso
modificaA ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale, un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.
Bibliografia
modifica- Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
- Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
- (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- (EN) open set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Insieme aperto, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Insieme aperto, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.