Renata P M Vieira

: Given the purpose of mathematical evolution of Leonardo’s sequence, we have the
prospect of introducing complex polynomials, bivariate polynomials and bivariate polynomials
around these numbers. Thus, this paper portrays in detail the insertion of the variable x, y and the
imaginary unit i in the sequence of Leonardo. Nevertheless, the mathematical results from this
process of complexification of these numbers are studied, correlating the mathematical evolution
of that sequence.
Keywords: Leona

This work investigates the numbers of Padovan and Perrin hybrids. At first, the hybrid numbers, the sequences in the hybrid form and their matrix forms are ordered as studied sequences. Thus, it was possible to display the negative index hybrids, define some identities belonging to these hybrid sequences, develop novel theorems and present them as binomial sums of the Padovan and Perrin hybrids.

O presente artigo retrata um estudo descritivo e qualitativo, com o objetivo de analisar as concepções dos estudantes do curso de Licenciatura em Matemática, durante as aulas na disciplina de História da Matemá-tica no período de pandemia do novo coronavírus (COVID-19). Assim, foi utilizada a Engenharia Didática, como metodologia de pesquisa, e a Teoria das Situações Didáticas, como metodologia de ensino, abordando assuntos contidos na ementa da disciplina, com o viés de tornar o estudante o protagonista do seu próprio conhecimento. Para isso, as aulas foram ministradas por meio do Google Meet, um recurso computacional o qual foi disponibilizado neste período de pandemia de forma gratuita. Contudo, analisaremos os pontos positivos e negativos dessas aulas, diante desse contexto

A partir da necessidade de realizar uma investigação em torno do processo de generalização da sequência de Narayana, surge-se nesta pesquisa a introdução dos octônios de Narayana. Nesse sentido, realiza-se a generalização para os números inteiros não positivos. Dessa forma, são discutidas algumas propriedades matemáticas, comênfase na forma matricial, função geradora, fórmula de Binet dentre outros aspectos matemáticos. Por fim, buscam-se novas propriedades desses números em outrasáreas, investigando a sua aplicação.

Neste presente trabalhoé definida a sequência (s, t)-Narayana, sendo uma generalização dos coeficientes da fórmula de recorrência da sequência de Narayana. Assim, são estudadas as respectivas formas matriciais, função geradora, fórmula de Binet, equação característica e outros aspectos matemáticos referentesà essa nova sequência introduzida.

Visando dar continuidade ao processo de evolu¸c˜ao da sequˆencia de Leo-
nardo, tem-se a complexifica¸c˜ao dessa sequˆencia por meio da introdu¸c˜ao dos
n´umeros hiperb´olicos de Leonardo. Diante disso, s˜ao estudados conceitos ma-
tem´aticos dando ˆenfase a sua respectiva fun¸c˜ao geradora, f´ormula de Binet e
forma matricial. T˜ao logo, ´e realizada a extens˜ao para os n´umeros inteiros
n˜ao positivos, generalizando assim os n´umeros hiperb´olicos de Leonard

The generalization of the Padovan-Perrin sequence Resumo O trabalho retrata um estudo referente à sequência mista, unindo características matemáticas da sequência de Padovan e Perrin, denominada de sequência de Padovan-Perrin. Esses números representam uma sequência recorrente linear de terceira ordem, definindo nesta pesquisa a sua recorrência e outros aspectos matemáticos. Esse trabalho contém um estudo em relação a sua equação característica, fórmula de Binet, função geradora e forma matricial desses números, realizando assim uma investigação e aprofundamento matemáticos em torno do assunto de sequências numéricas. Para trabalhos futuros, busca-se uma aplicação desse estudo em outras áreas, tais como ensino e informática, podendo assim ocorrer uma ligação desse assunto, gerando uma melhor compreensão do conteúdo matemático abordado, sem perder o seu rigor.

Um estudo dos números hiperbólicos de Jacobsthal-Lucas A study of the Jacobsthal-Lucas hyperbolic numbers Resumo No trabalho em questão, apresentamos um tipo de sequência relacionada à sequência de Jacobsthal-Lucas, fundamentada nas sequencias de Jacobsthal e de Lucas. Nesse sentido, evidenciamos a sequência hiperbólica de Jacobsthal-Lucas. Ao longo do texto são discutidas as principais definições e proposições relativas ao tópico e ainda a sua forma matricial.

The hybrid numbers of-Mersenne and-Oresme Resumo Baseada nas sequências de-Mersenne e-Oresme, este artigo traz um estudo referente aos números híbridos de-Mersenne e-Oresme. Desse modo, tem-se uma investigação em torno da fórmula de Binet e das funções geradoras para esses números. Diante disso, foi possível definir algumas identidades pertencentes a essas sequências híbridas generalizadas, ocorrendo um estudo do processo de complexificação e evolução dessas sequências. Palavras-chave: Números híbridos. Sequência de-Mersenne. Sequência de-Oresme.

In this work, new results are explored in relation to the Leonardo sequence. With that, a study about this second order recursive sequence, little explored in the mathematical scope, is briefly presented, relating it to the Fibonacci sequence. Thus, its complexification process is carried out, where from its one-dimensional model, imaginary units are inserted, obtaining Leonardo's three-dimensional numbers. In this way, the imaginary units i and j are inserted. Finally, some three-dimensional identities are presented for Leonardo's numbers.

Many papers developed so far for Padovan sequences properties and its extensions usually follow the one-dimensional approach. The presented work introduces new relations for a higher dimensional sequence, this approach is adopted for two, three and n-dimensional Padovan Sequence. Several mathematical properties are discussed for the first time in the present work.

Diante de investigações referentes ao ensino de sequências numéricas,tem-se  o interessedeabordar  a  sequência  de Leonardo aplicada aos números híbridos, observando pouca abordagem na literatura matemática e na área de ensino. O estudo  se  pautou  no  ensino  sistemático  do  processo  de hibridização  da  sequência  de  Leonardo,  com  base  na Engenharia Didática e Teoria das Situações Didáticas, que fundamentaram teórica e metodologicamente esta pesquisa. A sequência foi aplicada no Instituto Federal de Educação, Ciência  e  Tecnologia  do  Estado  do  Ceará  com  a participação  de  oito  estudantes.A  coleta  de  dados aconteceu  durante  a  disciplina  de  História  da  Matemática do curso de Licenciatura em Matemática, de forma virtual, por  meio  da  plataforma  do Google  Meet,  uma  vez  que  a época  de  aplicação  se  deu  durante  a  pandemia  do coronavírus    (Covid-19).    Tem-se    que    osprincipais resultados  foram  analisados  e  validados  de  forma  interna, com  base  na  Engenharia  Didática  e  Teoria  das  Situações Didáticas.  Tem-se  que  os  principais  resultados  foram analisados  e  validados  de  forma  interna,  com  base  na Engenharia  Didática  e  Teoria  das  Situações Didáticas  e apontam que as situações promoveram o ensino do processo de hibridização da sequência de Leonardo, permitindo uma compreensão    histórica    e    evolutiva    da    História    da Matemática

A sequência de Leonardo é uma sequência pouco conhecida, porém apresenta semelhanças com a sequência de Fibonacci. Dessa
forma, prevalece os termos iniciais, diferindo apenas a relação de recorrência, a qual foi adicionado o valor 1 na recorrência
de Leonardo. Com isso, este trabalho apresenta uma discussão referente às relações recorrentes n-dimensionais, com base noo
modelo recursivo unidimensional Le(n) = Le(n−1) + Le(n−2) + 1, ∀n ∈ N, com Le(0) = Le(1) = 1 sendo os seus termos iniciais.
A partir do processo de complexificação da sequência de Leonardo, são descritas as propriedades matemáticas dos números
bidimensionais (Le(n,m)), tridimensionais (Le(n,m,p)) e n-dimensionais (Le(n,n2,n3, · · · , nn)) de Leonardo, permitindo-nos
explorar propriedades e sua extensão para os inteiros.

Neste artigo, apresentamos as relações bidimensionais da sequência de
Lucas, uma sequência semelhante à sequência de Fibonacci, diferindo apenas em relação aos seus valores iniciais. Diante disso, oriundo do processo
de hibridação de seqüências lineares e recursivas, lidamos com os números
híbridos de Lucas. Esses dois métodos discutidos nesta pesquisa apóiam
a área de complexicação dessa sequência, inserindo unidades imaginárias
em seus termos e em sua recorrência original. Finalmente, sugere-se um
trabalho futuro para continuar esse processo, listando futuras aplicações
na vida cotidiana e nas áreas da física moderna.

In this work, the generating matrices for the positive integers of the Perrin polynomial sequence will be investigated, as well as the generalization of their matrix form, extending to the field of non-positive integers. The similarity of Perrin's sequence with Padovan's is highlighted, differentiating it only in relation to its initial terms. And yet, there is a discussion about the two-dimensional, or Gaussian, recurring relations of Perrin's numbers, related to Padovan's numbers, based on his one-dimensional model. Finally, we introduce new relationships derived from two-dimensional recurrence and some identities resulting from it.

: This article deals with the generalization of the matrix form of the Oresme sequence, extending it to the field of integers. In addition, the two valid generating matrices were discussed, through the permutation of the rows and columns, respectively, totaling two valid matrices of Oresme for the left-hand side, and two more generating matrices of Oresme for the right-hand side. In addition, a new Oresme sequence was introduced, given through the hybridization process of these numbers, obtaining mathematical properties and theorems, inherent to this process.

Neste trabalho serão investigadas as matrizes geradoras da sequência de Mersenne com índicescorrespondentes aos inteiros positivos, bem como a generalização de sua forma matricial deordem2×2e será realizada a extensão para as matrizes com índices negativos. E ainda, serãoapresentadas propriedades inerentes a essas matrizes.  Por fim,  serão apresentadas algumasdefinições a respeito dos quatérnios de Mersenne, a fórmula variante de Binet, função geradora, asua extensão para índices inteiros negativos e identidades clássicas, tais como: Cassini, Catalan ed’Ocagene

Neste trabalho serão investigadas as matrizes geradoras para os números inteiros positivos da sequência de Leonardo, bem como algumas propriedades inerentes à essas matrizes. Com o viés de realizar o processo de generalização da forma matricial dos números de Leonardo, é então realizada a extensão para o campo dos números inteiros não positivos, na qual, o estudo dessas matrizes é introduzido de forma inédita nesta pesquisa. A forma matricial relaciona as matrizes com os números de Leonardo e ao elevar essas matrizes a n-ésima potência, obtemos algumas novas relações dessa sequência, conhecendo assim os seus respectivos termos.

O presente artigo apresenta dados de uma pesquisa apoiada nas quatro fases da metodologia de pesquisadaEngenharia Didática, com o suporte das dialéticas da teoria de ensinodaTeoria das Situações Didáticas. Com isso, tem-seo objetivode realizar um estudo investigativo no processo de hibridização da sequência de Fibonaccie possibilitar aos alunos um raciocínio intuitivo por meiode situações de ensino. Para isso, éapresentado o  conjunto  dos  números  híbridos  e  a  sequência  de  Fibonacci,com  o  intuito  de  associar esses  dois  conteúdos  matemáticos,  propondoduas  situações  de  ensino  para  alunos  da disciplina de História da Matemática, do curso de Licenciatura em Matemática(formação inicial de professores).Os resultados foram coletadospor meio de gravações, anotações do professor, fotos e questionamentos levantados pelos alunos, sendo analisados conforme as  etapas  previstas  nametodologia  de  pesquisa  e  ensinoaplicadas.  Dessa  forma,  com base  nesses  registros,  foi  possível revelarque,apesar  dasdificuldadesenfrentadas,  os alunos puderam construiro  seu  próprio  conhecimento.  Por  fim, ocorreu  uma  validação interna da pesquisa, comparando os resultados obtidos, com os esperados.Salienta-se que estapesquisa é umrecorte dedissertação doMestrado Acadêmico em Ensino de Ciências e Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará.

O presente artigo tem como objetivo, apresentar um caminho para o ensino da construção da
forma matricial de sequências lineares e recorrentes, bem como determinar a quantidade de
matrizes válidas para cada sequência e, como essas são obtidas. Utilizando a sequência de
Padovan como referência para esse estudo, e a metodologia de ensino baseada na Teoria das
Situações Didáticas, apresentamos uma proposta de atividade, com o viés de atingir o objetivo
dessa pesquisa. Em muitos trabalhos encontrados na literatura, essas matrizes são apenas
introduzidas, não sendo mostrado o seu processo de construção. Com isso, faz-se necessário,
que esse estudo seja realizado, facilitando a obtenção de outras sequências, visto que nessa área,
estão sendo introduzidas, cada vez mais, novas sequências em artigos de matemática pura e na
área de ensino.

An extension of Padovan's octonions to non-positive integers Resumo O presente trabalho realiza uma extensão para os números in-teiros não positivos, dos termos da sequência de Padovan em oito dimensões, sendo então denominados de octônios de Pa-dovan. Contudo, diante das definições dos octônios, é então re-alizada uma extensão desses números, obtendo assim algumas propriedades e teoremas matemáticos, tais como: função gera-dora, representação da matriz geradora, dentre outras. Logo, observa-se o seu processo de complexificação, ressaltando uma construção evolutiva da sequência de Padovan. Palavras-chave: Extensão. Octônios de Padovan. Sequência de Padovan. Abstract The present work extends to of non-positive integers, the terms of the Padovan sequence in eight dimensions, being then called Padovan octonions. However, given the definitions of the octonions, an extension of these numbers is then performed, thus obtaining some properties and mathematical theorems, such as: generating function, representation of the generating matrix, among others. Therefore, its complexification process is observed, emphasizing an evolutionary construction of the Padovan sequence.

The Padovan sequence is a sequence similar to the Fibonacci sequence, the former being third order and the latter second. Having several applications in architecture, these numbers are directly related to plastic numbers. In this paper, the Padovan sequence is studied and investigated from the standpoint of linear algebra. With this, we will study the matrix and the generating function of the extensions of this sequence (Tridovan and Tetradovan), thus determining the generalization of this sequence.

In this paper, we will introduce the (s, t)-Padovan quaternions matrix sequence. Starting the studies based on the generalization of the Padovan quaternion coefficients in relation to their recurrence, their matrix sequence is then defined. Some mathematical theorems are discussed and the Binet formula and the generating function of this matrix sequence are studied.

Fecha de recepción: 20/05/2019 Fecha de aceptación: 28/08/2020 Resumen En este trabajo se presenta un enfoque didáctico matemático, a través de la Ingeniería Didáctica, en un contexto del objeto de estudio de la Secuencia de Padovan y su extensión Tridovan. Además, se utilizan sus dos primeras fases, presentando un análisis didáctico y epistemológico durante la primera fase. Durante la segunda fase, se presentan posibles comportamientos de los estudiantes, guiados por la Teoría de las situaciones didácticas, al elaborar y analizar tres situaciones problemáticas propuestas, que se pueden aplicar en los cursos iniciales de capacitación docente. Abstract This work presents a mathematical didactic approach, through Didactic Engineering, in a context of the object of study of the Padovan Sequence and its extension Tridovan. In addition, its first two phases are used, presenting a didactic and epistemological analysis during the first phase. During the second phase, possible student behaviors are presented, guided by the Theory of Didactic Situations, when elaborating and analyzing three proposed problem situations, which can be applied in initial teacher training courses. Resumo Neste trabalho é apresentada uma abordagem didática matemática, por meio da Engenharia Didática, num contexto do objeto de estudo da Sequência de Padovan e da sua extensão Tridovan. Ademais, utiliza-se as suas duas primeiras fases, apresentando uma análise didática e epistemológica durante a primeira fase. Durante a segunda fase, são apresentados possíveis comportamentos dos alunos, orientados pela Teoria das Situações Didáticas, ao elaborar e analisar três situações-problema propostas, podendo serem aplicadas em cursos de formação inicial de professores.

Cite as: Alves, F. R.; Catarino, P. M.; Vieira, R. P. & Mangueira, M. C. (2020. Teaching recurring sequences in Brazil using historical facts and graphical illustrations. Acta Didactica Napocensia, 13(1), 87-104, https://doi. Abstract: The present work presents a proposal for study and investigation, in the context of the teaching of Mathematics, through the history of linear and recurrent 2nd order sequences, indicated by: Fibonacci, Lucas, Pell, Jacobsthal, Leonardo, Oresme, Mersenne, Padovan, Perrin and Narayana. Undoubtedly, starting from the Fibonacci sequence, representing the most popular in the referred scenario of numerical sequences, it was possible to notice the emergence of other sequences. In some cases, being derived from Fibonacci, in others, changing the order of the sequence, we thus have the historical study, with the use of mathematical rigor. Besides, their respective recurrence formulas and characteristic equations are checked, observing their roots and the relationship with the number of gold, silver, bronze and others. The results indicated represent an example of international research cooperation involving researchers from Brazil and Portugal.

In this article, we will define Padovan's hybrid numbers, based on the new noncommutative numbering system studied by Özdemir ([7]). Such a system that is a set involving complex, hyperbolic and dual numbers. In addition , Padovan's hybrid numbers are created by combining this set, satisfying the relation ih = −hi = ε + i. Given this, some properties and identities are shown for these numbers, such as Binet's formula, generating matrix, characteristic equation, norm, and generating function. In addition, these numbers are extended to the integer field and some identities are made.

In this work, recurrent and linear sequences are studied, exploring the teaching of these numbers with the aid of a computational resource, known as Google Colab. Initially, a brief historical exploration inherent to these sequences is carried out, as well as the construction of the characteristic equation of each one. Thus, their respective roots will be investigated and analyzed, through fractal theory based on Newton's method. For that, Google Colab is used as a technological tool, collaborating to teach Fibonacci, Lucas, Mersenne, Oresme, Jacobsthal, Pell, Leonardo, Padovan, Perrin and Narayana sequences in Brazil and Portugal. It is also possible to notice the similarity of some of these sequences, in addition to relating them with some figures present and their corresponding visualization.

The article discusses an alternative way of viewing Padovan sequence extensions through Newton fractals using Google Colab to develop these reproductions. Initially, a scientific bibliographic survey is conducted regarding the process of extension of this sequence. Thus, studies are made on this qualitative alternative of visualization for linear and recurrent sequences. Hereafter alternative forms are developed in Google Colab, so each fractal generated from the characteristic polynomial of these numbers is analyzed. Finally, the conclusions about this process are discussed, proposing studies to continue this work in the future and research in Brazil, as well as possible applications in the areas of Physics and the formation of teachers of Natural ciences in Brazil.

In this work we will investigate the generating matrices for the positive integers of the Leonardo sequence, as well as some inherent properties of these matrices. In order to perform the process of generalizing the matrix form of Leonardo’s numbers, the extension to the field of non-positive integers is performed, in which the study of these matrices is unpublished in this research. The matrix form relates the matrices to the Leonardo numbers, and by raising these matrices to nth power, we obtain some new relations of this sequence, thus knowing their respective terms.

An extension of Padovan's octonions to non-positive integers Resumo O presente trabalho realiza uma extensão para os números in-teiros não positivos, dos termos da sequência de Padovan em oito dimensões, sendo então denominados de octônios de Pa-dovan. Contudo, diante das definições dos octônios, é então re-alizada uma extensão desses números, obtendo assim algumas propriedades e teoremas matemáticos, tais como: função gera-dora, representação da matriz geradora, dentre outras. Logo, observa-se o seu processo de complexificação, ressaltando uma construção evolutiva da sequência de Padovan. Palavras-chave: Extensão. Octônios de Padovan. Sequência de Padovan. Abstract The present work extends to of non-positive integers, the terms of the Padovan sequence in eight dimensions, being then called Padovan octonions. However, given the definitions of the octonions, an extension of these numbers is then performed, thus obtaining some properties and mathematical theorems, such as: generat...

Background: Obstacles are found during the epistemological construction of mathematical concepts research, aiming to contribute to the Didactics of Mathematics through a study of Padovan sequence. Objectives: describe elements of a systematic study, based on Didactic Engineering in conjunction with the Theory of Didactic Situations. I addition, referring to the generalization model of Padovan sequence and promoting a historical-evolutionary understanding and its mathematical properties. Design: it presents the most representative data of an investigation supported by the foundations of Didactic Engineering research design, in association with the Theory of Didactic Situations teaching methodology. Setting and Participants: the research was developed in 2019 and applied in a Pre-Service Mathematics Teacher Training Course in the History of Mathematics discipline, with the eight students enrolled. Data collection and analysis: data validation occurred internally due to the short period of the research. Results: it describes an investigation around the object of study, the Padovan sequence, focusing on the generalization process of this sequence and its properties. Thus, three problem situations are elaborated and analyzed based on the assumed research and teaching methodologies, seeking to examine their properties and the student's intuitive thinking, before the insertion of a historical-epistemological conception of this investigation. Conclusions: the research makes it possible to extract repercussions, suggest and promote research scripts aiming at the formation of teachers (initial) in the context of the teaching of History of Mathematics.