Վեկտորական հաշիվ

Վեկտորական հաշիվ, մաթեմատիկայի բաժին, որում ուսումնասիրվում են վեկտորների հետ կատարվող գործողությունների հատկությունները, ընդ որում դիտարկվում են միայն ազատ վեկտորներ։ Վեկտորական հաշիվը բաղկացած է վեկտորական հանրահաշվից և վեկտորական անալիզից։

Վեկտորական հանրահաշիվ

Վեկտորական հանրահաշիվն ուսումնասիրում է վեկտորների հետ կատարվող պարզագույն գործողությունները՝ վեկտորների գումարում և բազմապատկում թվով, վեկտորների տարբեր տեսակի բազմապատկումներ։

Համագիծ և տարագիծ վեկտորներ

Եթե վեկտորները գտնվում են մեկ ուղղի կամ զուգահեռ ուղիղների վրա, ապա կոչվում են համագիծ (կոլինեար), հակառակ դեպքում՝ տարագիծ։

Համագիծ վեկտորները կոչվում են համուղղված (հակուղղված), եթե նրանց ծայրերը գտնվում են նրանց սկզբնակետերը միացնող ուղղի (կամ ընդհանուր սկզբի) միևնույն կողմում (տարբեր կողմերում)։

Հավասար վեկտորներ

Վեկտորները կոչվում են հավասար, եթե նրանք համուղղված են և ունեն հավասար երկարություն։ Բոլոր զրո վեկտորները համարվում են հավասար։

Հակադիր վեկտորներ

Հակուղղված և հավասար երկարություն ունեցող վեկտորները կոչվում են հակադիր, a վեկտորի հակադիրը նշանակվում է -a։

Համահարթ և տարահարթ վեկտորներ

Եթե վեկտորները գտնվում են մեկ հարթությունում կամ զուգահեռ հարթություններում, ապա կոչվում են համահարթ (կոմպլանար), հակառակ դեպքում՝ տարահարթ։

Վեկտորների գումարում և հանում

a և b վեկտորների a+b գումար կոչվում է a-ի սկիզբը b-ի ծայրին միացնող վեկտորը, եթե a-ի ծայրը և b-ի սկիզբը համընկած են (եռանկյան կանոն)։ Սա համարժեք է ուժերի գումարման զուգահեռագծի կանոնին, որի համաձայն՝ երկու ուժերի համազորը նրանց վրա կառուցած զուգահեռագծի անկյունագիծն է։ Մի քանի վեկտորների գումար վեկտորն ստանալու համար պետք է վեկտորները տրված հերթականությամբ կցել մեկը մյուսի ծայրին և առաջին վեկտորի սկիզբը միացնել վերջին վեկտորի ծայրին։

a և b վեկտորների a-b տարբերություն կոչվում է այնպիսի с վեկտորը, որ b+c=a, ընդորում՝

a-b=a+(-b)։

a վեկտորի և λ իրական թվի λа արտադրյալ՝ a≠0 և λ≠0 դեպքում, կոչվում է այն վեկտորը, որն ունի |λ||а| երկարություն և λ>0 դեպքում՝ a-ի ուղղությունը, λ<0 դեպքում՝ a-ի հակադիր ուղղությունը։ Երբ а=0 կամ λ=0, ընդունվում է λа=0։

Վեկտորական տարածություն

Տարածության բոլոր վեկտորների բազմությունը՝ նրանում մուծված գումարման և թվով բազմապատկման գործողություններով, կազմում է վեկտորական տարածություն (գծային տարածություն)։

Գծայնորեն կախյալ և գծայնորեն անկախ վեկտորներ

Վեկտորական հաշվում կարևոր նշանակություն ունի գծայնորեն կախյալ և գծայնորեն անկախ վեկտորների հասկացությունը։

a₁, a₂, ․․․, a_n վեկտորները կոչվում են գծայնորեն կախյալ, եթե գոյություն ունեն այնպիսի λ₁, λ₂, ..., λ_n իրական թվեր, որոնցից գոնե մեկը զրո չէ և՝

λ₁a₁+λ₂a₂+ ․․․ λ_na_n=0 (*)

a₁, a₂, ․․․, a_n վեկտորները կոչվում են գծայնորեն անկախ, եթե (*) տեսքի հավասարություն տեղի ունի միայն λ₁=λ₂=․․․=λ_n=0 դեպքում։ Երկու վեկտորների գծայնորեն կախյալ լինելու անհրաժեշտ և բավարար պայմանը նրանց համագիծ լինելն է, երեք վեկտորներինը՝ համահարթ լինելը։ Հարթության վրա գոյություն ունեն երկուսից ոչ ավելի, եռաչափ տարածությունում՝ երեքից ոչ ավելի գծայնորեն անկախ վեկտորներ։ Եռաչափ տարածության մեջ ցանկացած e₁, e₂, e₃ տարահարթ (գծայնորեն անկախ) վեկտորներ՝ վերցրած որոշակի կարգով, կազմում են հիմք (բազիս)։ Ցանկացած a վեկտոր միակորեն ներկայացվում է

${\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

տեսքով։ e₁, e₂, e₃ վեկտորները կոչվում են հիմնային (բազիսային) վեկտորներ, իսկ a₁, a₂, a₃ թվերը՝ a վեկտորի կոորդինատներ (պրոյեկցիաներ) տվյալ հիմքի նկատմամբ։ Վեկտորն իր կոորդինատներով գրվում է՝ a={a₁, а₂, а₃}։ Երեք փոխուղղահայաց (օրթոգոնալ) միավոր վեկտորները կազմում են ուղղանկյուն նորմավորված (օրթոնորմավորված) հիմք։ Եթե այդ վեկտորները կիրառենք մեկ Օ կետում, դրանք կկազմեն դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, այդպիսի միավոր վեկտորները սովորաբար նշանակում են i, յ, k։

Վեկտորների բազմապիսի կիրառություններ

Վեկտորների բազմապիսի կիրառությունների համար սահմանվում են վեկտորների տարբեր տեսակի՝ սկալյար, վեկտորական, խառը և կրկնակի վեկտորական արտադրյալներ։

Վեկտորների սկալյար արտադրյալ

а և b վեկտորների սկալյար արտադրյալ (նշանակվում է՝ (a, b)) կոչվում է նրանց երկարությունների և նրանցով կազմված θ անկյան կոսինուսի արտադրյալը՝

(a, b)=|a||b|cosθ

Վեկտորական արտադրյալ

Վեկտորական արտադրյալի սահմանման և այլ հարցերի համար կարևոր է վեկտորների աջ եռյակ և ձախ եռյակ հասկացությունը։ Ընդհանուր սկիզբ ունեցող а, b, с տարահարթ վեկտորների կարգավորյալ եռյակը կոչվում է աջ եռյակ (ձախ եռյակ), եթե նրանք դասավորված են այնպես, ինչպես կարող են դասավորվել աջ ձեռքի (ձախ ձեռքի) համապատասխանորեն՝ բութ մատը, չծալած ցուցամատը և կիսածալած միջամատը։ Վեկտորական հաշվում i, j, k վեկտորները կազմում են աջ եռյակ։ a և b վեկտորների վեկտորական արտադրյալ (նշանակվում է [a, b]) կոչվում է այն վեկտորը, որն ուղղահայաց է а և b վեկտորներին և ուղղված է այնպես, որ a, b, [a, b] վեկտորները կազմում են աջ եռյակ, իսկ երկարությունը հավասար է а-ի և b-ի երկարությունների և նրանցով կազմված θ անկյան սինուսի արտադրյալին՝ |а||Ь|sinθ։ а, b, с երեք վեկտորների խառն արտադրյալ կամ վեկտորա-սկալյար արտադրյալ (նշանակվում է՝ (а, b, с)) կոչվում է [a, b] և с վեկտորների սկալյար արտադրյալը՝ (a, b, с)=([а, b], с)։ а, b, с երեք վեկտորների կրկնակի վեկտորական արտադրյալ (նշանակվում է [а, b, с]) կոչվում է [a, b] և с վեկտորների վեկտորական արտադըրյալը՝ [a, b, с]=[[а, b], с], որը կարելի է հաշվել [a, b, с]=(а, c)b—(b, с)а բանաձևով։

Վեկտոր-ֆունկցիա

Եթե t սկալյար փոփոխականի արժեքների {t} բազմությանը պատկանող յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է որոշակի г վեկտոր, ապա ասում են, որ {t} բազմության վրա որոշված է r=r(t) վեկտոր-ֆունկցիա (վեկտորական ֆունկցիա)։ Այդ համարժեք է նրան, որ {t} բազմության վրա տրված են г վեկտորի կոորդինատները՝ x=x(t), y=y(t), z=z(t) սկալյար ֆունկցիաները։ Վեկտոր-ֆունկցիայի մասին երկրաչափական ակնառու պատկերացում է տալիս նրա հոդոգրաֆը։ Վեկտոր-ֆունկցիայի սահմանը, անընդհատությունը, ածանցյալը և այլն ձևականորեն սահմանվում են ինչպես սկալյար ֆունկցիայի համար, ուստի և պահպանվում են դրանց հիմնական հատկություններն ու բանաձևերը։ Համանմանորեն դիտարկվում են մի քանի սկալյար արգումենաների վեկտոր-ֆունկցիաներ, նրանց մասնակի ածանցյալները և այլն։

Վեկտորական անալիզ

Վեկտորական անալիզն ուսումնասիրում է վեկտորական և սկալյար դաշտեր։ Եթե տվյալ տիրույթում տրված է ս(x, y, z) սկալյար ֆունկցիա կամ а(х, у, z) վեկտոր-ֆունկցիա, ապա այդ տիրույթում որոշված է, համապատասխանորեն, ս սկալյար դաշտ կամ а վեկտորական դաշտ։ Սկալյար դաշտը երկրաչափորեն պատկերվում է մակարդակի մակերևույթներով (հարթ դեպքում՝ մակարդակի գծերով), որոնց վրա ս ֆունկցիան պահպանում է հաստատուն արժեքներ։ ս սկալյար դաշտի կարևոր բնութագրիչ է նրա գրադիենտը։ Վեկտորական դաշտը երկրաչափորեն պատկերվում է վեկտորական գծերով (որոնց յուրաքանչյուր կետում շոշափող վեկտորն ունի դաշտի ուղղությունը), դրանցից կազմված վեկտորական մակերևույթներով ու վեկտորական խողովակներով։

Վեկտորական դաշտի պարզագույն տեսակներից են պոտենցիալ դաշտը և սոլենոիդալ դաշտը։ a վեկտորական դաշտը կոչվում է պոտենցիալ դաշտ, եթե այն մի u սկալյար դաշտի գրադիենտ է՝ a=gradu։ ս-ն անվանում են a դաշտի պոտենցիալ ֆունկցիա։ a-ի պոտենցիալ դաշտ լինելու անհրաժեշտ և բավարար պայմանն է՝ rota=0, ուրեմն՝ պոտենցիալ դաշտը անմրրիկ դաշտ է։ a վեկտորական դաշտը կոչվում է ս ո-լենոիդալ (խողովակաձև) դաշտ, եթե diva=0։ Հետևաբար, ցանկացած փակ մակերևույթի միջով դաշտի հոսքը նույնպես հավասար է զրոյի, որից հետևում է, որ սոլենոիդալ դաշտում վեկտորական խողովակի բոլոր լայնական հատույթների միջով դաշտի հոսքը միևնույնն է։ Վեկտորների, սկալյար և վեկտորական դաշտերի հասկացությունները և նրանց հետ կապված հիմնական հասկացությունները ընդհանրացվում են ո-չափանի Էվկլիդեսյան և այլ տարածություններում։

Գրականություն

• The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 11: Vectors
• The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Վեկտորական հաշիվ» հոդվածին։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից։