סגור אלגברי

באלגברה, הסגור האלגברי (algebraic closure) של שדה $F$ הוא השדה הקטן ביותר המכיל את $F$, שהוא סגור אלגברית. את הסגור האלגברי אפשר לבנות על ידי שילוב של כל ההרחבות ממימד סופי של השדה המקורי. כדי לשלב בין השדות השונים כראוי, יש להפעיל את הלמה של צורן.

לכל שדה יש סגור אלגברי, שהוא יחיד עד כדי איזומורפיזם. לכן אפשר לדבר על 'הסגור האלגברי', בה"א הידיעה. הסגור האלגברי שווה לשדה עצמו רק כאשר השדה כבר סגור אלגברית. כל שדה סגור אלגברית המכיל את $F$, מכיל גם את הסגור האלגברי של $F$. כאשר $F$ שדה אינסופי הסגור האלגברי של שדה $F$ הוא בעל אותה עוצמה כמו של $F$. לדוגמה, הסגור האלגברי של שדה המספרים הרציונליים הוא שדה המספרים האלגבריים, והסגור האלגברי של שדה המספרים הממשיים הוא שדה המספרים המרוכבים. לפי משפט של ארטין ושרייר (Schreier) מ-1927, הממד של הסגור האלגברי מעל השדה הוא 1, 2, או אינסוף.

בנוסף לבניה המופשטת של סגור אלגברי, היוצאת משדה נתון ומחזירה הרחבה שלו, אפשר להתבונן גם בסגור האלגברי היחסי. אם $F\subseteq K$ שני שדות, אז הסגור האלגברי של $F$ ב- $K$ (או: הסגור האלגברי היחסי) הוא אוסף האיברים של $K$ שהם אלגבריים מעל $F$.

ראו גם

• שדה סגור אלגברית
• שדה סדור שלם
• סגור שלם (integral closure)

קישורים חיצוניים

• סגור אלגברי, באתר MathWorld (באנגלית)