מטריקת פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר

מטריקת פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר (ידועה בקיצור FLRW) היא מטריקה המבוססת על פתרון מדויק של משוואות השדה של איינשטיין של תורת היחסות הכללית. המטריקה מתארת יקום הומוגני, איזוטרופי, מתרחב (או מתכווץ) וקשיר, אך לא בהכרח פשוט קשר. הצורה הכללית של המטריקה נובעת מהתכונות הגאומטריות של הומוגניות ואיזוטרופיה; משוואות השדה של איינשטיין נחוצות רק כדי לגזור את פרמטר הסקלה של היקום כפונקציה של הזמן. בהתאם להעדפות גאוגרפיות או היסטוריות, לעיתים המטריקה נקראת על שם חלק מארבעת ממציאיה - אלכסנדר פרידמן, ז'ורז' למטר, הווארד פ. רוברטסון וארתור ג'פרי ווקר, בשמות FRW, RW ו-FL. מודל ה-FLRW פותח באופן עצמאי על ידי ארבעת המדענים באופן בלתי-תלוי בשנות ה-20 וה-30 של המאה ה-20.

המטריקה הכללית

מטריקת FLRW יוצאת מנקודת הנחה של הומוגניות ואיזוטרופיות של היקום. היא גם מניחה שהרכיב המרחבי של המטריקה יכול להיות תלוי זמן. המטריקה הגנרית במצב כזה היא מהצורה

$-c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}$

כאשר $\mathbf {\Sigma }$ הוא אלמנט נפח של מרחב תלת-ממדי בעל עקמומיות אחידה, כלומר מרחב אליפטי (אנ') (הכללה של מרחב ספרי), מרחב אוקלידי או מרחב היפרבולי. בדרך כלל הוא כתוב כפונקציה של שלוש קואורדינטות מרחביות, וישנן מספר מוסכמות לעשות זאת, המפורטות מטה. $\mathrm {d} \mathbf {\Sigma }$ אינו תלוי בזמן; כל התלות בזמן היא בפונקציה $a(t)$, המכונה "פרמטר הסקלה של היקום".

קואורדינטות קוטביות עם רדיוס אחיד

בקואורדינטות קוטביות, תחת הנחה של רדיוס עקמומיות אחיד, יש למטריקה את הצורה:

$\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{where }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.$

כאשר $k$ הוא קבוע המייצג את עקמומיות היקום. ישנן שתי מוסכמות נפוצות עבורו:

• ניתן לקחת את $k$ עם יחידות של הופכי של שטח, ובמקרה זה ל-r יש יחידות של אורך ו-$a(t)$ חסר יחידות. במקרה זה, ניתן לפרש את $k$ בתור העקמומיות של היקום כאשר $a(t)=1$. לעיתים מגדירים $a(t)=1$ בהווה, ואז $\mathrm {d} \mathbf {\Sigma }$ הוא המרחק היחסי להתפשטות היקום (אנ').
• לחלופין, ניתן לקחת את $k=0,\pm 1$ (המייצגים עקמומיות אפס, שלילית או חיובית בהתאמה). במקרה זה r הוא חסר יחידות ול-$a(t)$ יש יחידות של מרחק. $a(t)$ הוא רדיוס העקמומיות של היקום, ולעיתים נכתב בתור $R(t)$.

עקמומיות

קואורדינטות קרטזיות

במרחב FLRW שטוח $(k=0)$, הרכיבים שאינם מתאפסים בטנזור ריצ'י בקואורדינטות קרטזיות הם

$R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2})$

והסקלר של ריצ'י הוא

$R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).$

קואורדינטות כדוריות

ביקום FLRW כללי יותר באמצעות קואורדינטות כדוריות, הרכיבים שלא מתאפסים בטנזור ריצ'י הם

$R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},$

$R_{rr}={\frac {c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k}{1-kr^{2}}}$

$R_{\theta \theta }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)$

$R_{\phi \phi }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)\sin ^{2}(\theta )$

והסקלר של ריצ'י הוא:

$R=6\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{c^{2}a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{c^{2}a^{2}(t)}}+{\frac {k}{a^{2}(t)}}\right).$

פתרונות

משוואות השדה של איינשטיין אינן משמשות במציאת הצורה הכללית של המטריקה: היא נובעת מהתכונות הגאומטריות של הומוגניות ואיזוטרופיות. עם זאת, קביעת ההתפתחות בזמן של $a(t)$ דורשת את משוואות השדה של איינשטיין יחד עם דרך לחישוב הצפיפות, $\rho (t)$, כמו משוואת מצב קוסמולוגית.

למטריקה יש פתרון אנליטי למשוואות השדה של איינשטיין $G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$ - הוא נותן את משוואות פרידמן כאשר טנזור התנע-אנרגיה נלקח כמפורט לעיל, כאיזוטרופי והומוגני. המשוואות המתקבלות הן:

$\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {\kappa c^{4}}{3}}\rho$

$2{\frac {\ddot {a}}{a}}+\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-\kappa c^{2}p.$

משוואות אלו הן הבסיס של המודל הקוסמולוגי הסטנדרטי של המפץ הגדול, כולל מודל ΛCDM הנוכחי.

לקריאה נוספת

• North J D: (1965) The Measure of the Universe – a history of modern cosmology, Oxford Univ. Press, Dover reprint 1990, מסת"ב 0-486-66517-8
• Harrison, E. R. (1967), "Classification of uniform cosmological models", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 137: 69–79, Bibcode:1967MNRAS.137...69H, doi:10.1093/mnras/137.1.69
• d'Inverno, Ray (1992), Introducing Einstein's Relativity, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8. (See Chapter 23 for a particularly clear and concise introduction to the FLRW models