כל שלשה פיתגורית אפשר להכפיל בגורם קבוע שלם, ולקבל שלשה פיתגורית חדשה (אם היא שלשה פיתגורית, אזי ולכן גם , כאשר גם היא שלשה פיתגורית). שלשה פיתגורית שלא ניתן לקבל כמכפלה של שלשה פיתגורית אחרת בקבוע שלם גדול מ-1 נקראת שלשה פרימיטיבית: אלו הן השלשות שבהן המחלק המשותף המקסימלי הוא 1; בשלשה כזו, המחלק המשותף המקסימלי של כל שני מספרים הוא 1.
כאשר מספרים טבעיים. ההוכחה שאלו אכן שלשות פיתגוריות היא על ידי חישוב ישיר:
משערים שנוסחה זו הייתה ידועה כבר לבבלים, שיצרו לוח בכתב יתדות (לוח פלימפטון 322) המתוארך לתקופה שבין שנת 1900 לפנה"ס לשנת 1600 לפנה"ס וכולל חמש-עשרה שלשות פיתגוריות, ובהן (אותה אפשר לקבל אם נבחר ).
בפרט, אם נציב נקבל את השלשות
לכן כל מספר אי-זוגי (למעט המספר ) הוא חלק משלשה פיתגורית פרימיטיבית, ומכאן שיש אינסוף שלשות פיתגוריות פרימיטיביות.
משפט: כל שלשה פיתגורית פרימיטיבית אפשר להציג באמצעות הנוסחה שבראש הסעיף, כאשר זרים ובעלי זוגיות שונה.
הוכחה: נבחין שאם שלשה פרימיטיבית, אזי מוכרח להיות אי-זוגי, וכן גם אחד (בדיוק) מבין המספרים (זאת משום שריבוע משאיר תמיד שארית 0 או 1 בחלוקה ל-4). יהי המספר הזוגי בשלשה. מן השוויון נובע , כאשר שניהם זוגיים. מכיוון ש- זרים מתקיים כי , ומכיוון שמכפלתם היא נובע כי כל אחד מן הגורמים הוא פעמיים ריבוע. אם נכתוב נקבל את ההצגה הדרושה. כעת זרים משום שכל מחלק משותף שלהם מחלק גם את , ואחד מהם זוגי משום שאחרת כולם זוגיים.
מכאן אפשר לקבל נוסחה כללית לכל השלשות הפיתגוריות:
כאשר זרים ובעלי זוגיות שונה; כל שלשה מוצגת כך באופן יחיד (משום ש- הוא המחלק המשותף המקסימלי של שלושת המספרים). זוהי דוגמה לפתרון של משוואה המתקבלת מתבנית ריבועית עם נקודה רציונלית. ישנן שלשות, כגון , שלא ניתן להציג עם (במקרה זה, משום ש-15 אינו סכום של שני ריבועים).
על ידי בחינת הערכים האפשריים של מודולו מספר קבוע , אפשר להסיק אלה שאריות יכולה לקבל שלשה פרימיטיבית בחלוקה ל-. לדוגמה, אחד מבין המספרים מתחלק ב-4 והשני אי-זוגי; גם אי-זוגי; בפרט, מספר הנותן שארית 2 בחלוקה ל-4 אינו יכול להופיע בשלשה פיתגורית פרימיטיבית. בדומה לזה, בדיוק אחד משני המספרים מתחלק ב-3, ובדיוק אחד מבין השלושה מתחלק ב-5.
מאחר ש- הוא סכום של שני ריבועים (זרים זה לזה), כל גורם ראשוני שלו הוא מהצורה .
כל מספר טבעי שאינו נותן שארית 2 בחלוקה ל-4 יכול להופיע בתפקיד בשלשה פרימיטיבית. מספר השלשות הפרימיטיביות (עם ) שבהן מופיע שווה ל-, כאשר הוא מספר הגורמיםהראשוניים השונים של .
כאשר בנוסחה שבראש פרק זה הם מספרי פל עוקבים, ההפרש בין בשלשה המתקבלת הוא 1.[1]
משפט: הווקטור מהווה שלשה פרימיטיבית אם ורק אם , כאשר מכפלת מספר סופי של מטריצות מבין:
יצוג השלשות כעץ טרנארי: בדרך זו, ניתן להציג את כל השלשות הפרימיטיביות בעץ טרנארי, עץ שבו לכל קודקוד יש בדיוק שלושה בנים. שורש העץ יהיה השלשה . לכל שלשה יהיו שלושה בנים:
רעיון ההוכחה: לכל שלושה מספרים טבעיים המהווים שלשה פיתגורית נגדיר את השלשות המסומנות המתקבלות ממנה:
נגדיר את ה'תאום' של שלשה המתאימה ל- השלשה המתקבלת מהחלפת ב-.
יהיו תאומי של בהתאמה.
מניתוח התהליך ניתן להסיק כי הן שלשות פיתגוריות של מספרים טבעיים וכי לכל מתקיים . כדי להוכיח את הכיוון ההפוך מוצאים לכל שלשה פיתגורית (לא מסומנת) את התאום שלה ומבצעים תהליך דומה.
פייר דה פרמה מצא שלשה פיתגורית כאשר ניתנים להצגה כריבוע של מספר טבעי:
בנוסף, פרמה הוכיח בנסיגה אינסופית כי לא ייתכנו שלשות פיתגוריות בהן הם ריבועים של מספרים שלמים.
קיימות שלשות פיתגוריות שונות עם אותו ערך של המכפלה . למשל, בשלשות
מתקיים . לא ידוע האם קיימות שלשות עבורן זהה.
קיימות אינסוף שלשות פיתגוריות שבהן הם מספרים עוקבים. ארבע השלשות הראשונות מסוג זה הן
מאחר ש- הוא סכום של שני ריבועים עוקבים, המשוואה המתאימה לכך היא , כלומר . לאחר הכפלה ב-2 והעברת אגפים תתקבל המשוואה . זוהי משוואת פל שפתרונותיה ידועים. לאחר הוספת הביטוי לשני האגפים והוצאת שורש ריבועי, מתקבלת האפשרות לבודד את ולהגיע למשוואה . מכאן ניתן לגלות את הנוסחאות הכלליות ל- בשלשות פיתגוריות שבהן עוקבים: