Fórmula de Euler

A fórmula de Euler ou relación de Euler, atribuída a Leonhard Euler, establece o teorema, no que:

$e^{ix}=\cos x+i\,\operatorname {sen} x$

para todo número real x, que representa un ángulo no plano complexo. Nela, e é a base do logaritmo natural, i é a unidade imaxinaria, $\operatorname {sen} x$ e $\cos x$ son as funcións trigonométricas seno e coseno.

Tamén adoita expresarse como:

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\,\operatorname {sen} \,y)$

onde z $z$ é a variable complexa definida por $z=x+iy$

Demostración

Nótese que esta non é unha demostración baseada nas propiedades dos números complexos e da función exponencial, senón que é necesaria a definición da exponencial complexa como o equivalente á serie de Taylor sobre os números reais para parámetros complexos.

A fórmula pode interpretarse xeometricamente como unha circunferencia unidade no plano complexo, debuxada pola función e^ix ao variar $x$ sobre os números reais. Así, $x$ é o ángulo dunha recta que conecta a orixe do plano e un punto sobre a circunferencia unidade, co eixe positivo real, medido no sentido contrario ás agullas do reloxo e en radiáns. A fórmula só é válida se tamén o seno e o coseno teñen os seus argumentos en radianes.

A fórmula de Euler foi formulada por primeira vez por Roger Cotes en 1714, e logo redescuberta e popularizada por Euler en 1748. É interesante notar que ningún dos descubridores viu a interpretación xeométrica sinalada anteriormente: a visión dos números complexos como puntos no plano xurdiu en 1787 por parte do matemático Caspar Wessel no seu único informe para a Real Academia Danesa.

Demostración usando as series de Taylor

A fórmula de Euler ilustrada no plano complexo.

Sabendo que:

${\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\\\end{aligned}}$

e así sucesivamente. Ademais disto, as funcións e^x, cos(x) e sen(x) (asumindo que x sexa un número real) poden ser expresadas empregando as súas series de Taylor ao redor de cero.

${\begin{aligned}e^{x}&{}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \\\cos x&{}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}$

Outra definición que se lle pode dar a e elevado a xe baseándose nas series de Taylor é a seguinte:

$e^{x}=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}$

tamén valido para.

$\cos x=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}$

$\sin x=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}$

Defínese cada unha destas funcións polas series anteriores, substituíndo x por i·z, onde z é unha variable real e i a unidade imaxinaria. Isto é posible porque o raio de converxencia é infinito en cada serie. Entón atópase que:

${\begin{aligned}e^{iz}&{}={\frac {(iz)^{0}}{0!}}+{\frac {(iz)^{1}}{1!}}+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}={\frac {z^{0}}{0!}}+i{\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}-i{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+i{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-i{\frac {z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left({\frac {z^{0}}{0!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left({\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos(z)+i\sin(z)\end{aligned}}$

O reordenamento é posible debido a que cada serie é absolutamente converxente. Substituíndo z = x como un número real resulta identidade orixinal como a descubriu Euler.

Relevancia matemática

A fórmula proporciona unha potente conexión entre a análise matemática e a trigonometría. Utilízase para representar os números complexos en coordenadas polares e permite definir o logaritmo para números negativos e números complexos.

Logaritmo dun número negativo

Neste caso, a fórmula de Euler avalíase en $x=\pi$, obtendo a identidade de Euler:

$e^{\mathrm {i} \pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\operatorname {sen} \pi =-1$

$e^{\mathrm {i} \pi }=-1\,\!$

Logo, ao aplicar o logaritmo natural obtense:

$\mathrm {i} \pi =\ln(-1)\,\!$.

Logaritmo dun número negativo calquera

Como extensión da ecuación anterior, o logaritmo de calquera número negativo defínese como:

$\ln(-a)=\ln(a)+\ln(-1)=\ln(a)+\mathrm {i} \pi \,\!$. Onde $a>0$.

Ademais pode definirse o logaritmo dun número negativo en calquera base, a partir do logaritmo natural e a fórmula de cambio de base.

Integración e derivación

Unha propiedade importante da fórmula de Euler é que é a única función matemática que permanece coa mesma forma (excepto pola unidade imaxinaria) coas operacións de integración e derivación do cálculo integral, o que permite que se empregue para converter ecuacións diferenciais en ecuacións con forma alxébrica, simplificando enormemente esas operacións.

Das regras da exponenciación

$e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}$

e

$(e^{a})^{b}=e^{a\cdot b}$

(válidas para todo par de números complexos $a$ e $b$), pódense derivar varias identidades trigonométricas, así como a fórmula de De Moivre.

Funcións trigonométricas

A fórmula de Euler tamén permite interpretar as funcións seno e coseno como simples variacións da función exponencial:

$\cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}$

$\operatorname {sen} x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}$

A partir destas igualdades, é posible definir as funcións trigonométricas para os números complexos deste xeito:

$\operatorname {sen} z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}$

$\cos z={\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}}$

$\tan z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}}*{\cfrac {1}{i}}$

sendo $z\in \mathbb {C}$, é dicir, que pertence ao conxunto de números complexos. Estas funcións trigonométricas cumpren as leis das súas similares aplicadas aos números reais. Sexan os números complexos $z$ e $w$, é dicir $z\land w\in \mathbb {C}$, entón son válidas as seguintes igualdades:

$\cos ^{2}{z}+\operatorname {sen} ^{2}{z}=1$

$\cos(-z)=\cos(z)$

$\operatorname {sen}(-z)=-\operatorname {sen}(z)$

$\operatorname {sen}(z+w)=\operatorname {sen}(z)\cos(w)+\operatorname {sen}(w)\cos(z)$

$\cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\operatorname {sen}(w)\operatorname {sen}(z)$

Ecuacións diferenciais

Nas ecuacións diferenciais, a expresión $e^{ix}$ é utilizada a miúdo para simplificar derivadas, mesmo se a resposta final é unha función real na que aparezan senos ou cosenos. A identidade de Euler é unha consecuencia inmediata da fórmula de Euler.

Análise de sinais

Os sinais que varían periodicamente adoitan describirse como unha combinación de funcións seno e coseno, como ocorre na análise de Fourier, e estas exprésanse máis convenientemente como a parte real dunha función exponencial con expoñente imaxinario, empregando a fórmula de Euler.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número complexo
• Pi

Ligazóns externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Euler formulas»
• Weisstein, Eric W. «Euler Formula».
• Elements of Algebra
• Euler's Formula and Euler's Identity : Rationale for Euler's Formula and Euler's Identity, video at Khanacademy.org