Conxunto
O concepto de conxunto na Matemática é intuitivo e poderiamos definilo como unha colección de varios obxectos ou elementos, sen importar a súa orde e feita con calquera criterio. Un conxunto está ben definido se é sabido se un determinado elemento pertence ou non ao conxunto.
Os conxuntos represéntanse cunha letra maiúscula.
Dous conxuntos A e B son iguais cando posúen precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é un elemento de B e cada elemento de B é un elemento de A.
Notación
[editar | editar a fonte]Normalmente, úsanse letras maíusculas para representar os conxuntos e letras minúsculas para representar os elementos dun conxunto dado. Se é un conxunto e todos os seus elementos, é frecuente escribir:
- (1)
para definir tal conxunto . A notación empregada en (1) para definir o conxunto chámase notación por extensión.
Para representar que un elemento pertence a un conxunto , escríbese (léase ben no , ben pertence ao ). A negación de escríbese (léase non pertence ao ).
Se todos os elementos dun conxunto satisfan algunha propiedade —que pode representarse como unha proposición coa indeterminada —, usamos a notación por comprensión, e pode definirse:
- A é o conxunto de elementos x, que cumpren p(x), onde o símbolo : lese "cúmprese que", e pode ser substituído por unha barra "tal que".
Por exemplo, o conxunto pode definirse por:
- .
O símbolo representa o conxunto dos números naturais.
Subconxuntos e superconxuntos
[editar | editar a fonte]Un conxunto dise subconxunto doutro , se todos os elementos do son tamén elementos do ; matematicamente:
- ,
sexa cal for o elemento . Así, escríbese .
Deberá ser sinalado que, por definición, non se exclúe a posibilidade de se , cumprirse . Se o ten ao menos un elemento que non pertenza ao conxunto , mais se todos os elementos do son elementos do , entón dicimos que é un subconxunto propio do , o que se representa como .
Se o é un subconxunto do , dicimos tamén que o é un superconxunto do , o que se escribe . Logo
,
e tamén: ,
significando que o é superconxunto propio do .
Polo principio de indentidade, é sempre certo , para todos os elementos , polo que todo conxunto é subconxunto (e tamén superconxunto) de si mesmo.
Vemos que é unha relación de orde sobre un conxunto de conxuntos, pois
é reflexiva. é antisimétrica é transitiva
Conxunto baleiro
[editar | editar a fonte]O conxunto baleiro ou conxunto vacío é un conxunto que non posúe elementos. Represéntase por ou
Todo conxunto posúe como subconxunto o conxunto baleiro. Podemos mostrar isto supondo que se o conxunto baleiro non pertence ao conxunto en cuestión, entón o conxunto baleiro debe posuír un elemento ao menos que non pertenza a este conxunto. Como o conxunto baleiro non posúe elementos, isto non é posíbel. Como todos os conxuntos baleiros son iguais uns aos outros, é permisíbel falar dun único conxunto sen elementos.
Operacións cos conxuntos
[editar | editar a fonte]Sexan e dous conxuntos.
Unión
[editar | editar a fonte]Os elementos que pertencen ao ou ao ou a ambos os dous e , forman outro conxunto, chamado unión de e , escrito . Matematicamente:
- .
Intersección
[editar | editar a fonte]Os elementos comúns de e mais de forman un conxunto denominado intersección de e , representado por :
- .
Se dous conxuntos e son tales que , entón e dinse conxuntos disxuntos.
Diferenza
[editar | editar a fonte]Os elementos dun conxunto que non se atopan noutro conxunto , forman outro conxunto chamado diferenza de e , representado por, :
- .
Álxebra de conxuntos
[editar | editar a fonte]Sexan A, B, e C conxuntos calquera, logo:
- A ∩ A = A
- A ∪ A = A
- A - A = Ø
- A ∩ B = B ∩ A
- A ∪ B = B ∪ A
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
- C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
- C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
- C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
- (B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
- (B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
- A ⊆ B ↔ A ∩ B = A
- A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
- A ⊆ B ↔ A - B = Ø
- A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
- A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
- A ∩ Ø = Ø
- A ∪ Ø = A
- Ø - A = Ø
- A - Ø = A
Sexa U un conxunto tal que A, B, e C son subconxuntos do U (utilízase a notación A' := U - A). Entón:
- A'' = A
- B - A = A' ∩ B
- (B - A)' = A ∪ B'
- A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
- A ∩ U = A
- A ∪ U = U
- U - A = A'
- A - U = Ø