Utilisateur:Tanan1/Brouillon

Distributions vectorielles

Une distribution à valeurs dans l'espace vectoriel ℝ^m peut se définir comme un élément de $\left({\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )\right)^{m}$ ou, de façon équivalente, un élément de $\left({\mathcal {D}}(\Omega )^{m}\right)^{\prime }$ , les topologies produit correspondantes étant utilisées. La deuxième forme de cette définition permet d'exprimer très simplement les opérateurs de dérivation couramment utilisés dans le domaine des équations aux dérivées partielles en formulation faible et la définition de certains espaces de Sobolev, en particulier les opérateurs gradient ( $\nabla$ ), divergence ( $\nabla \cdot$ ) et rotationnel ( $\nabla \times$ ) lorsque $n=m=3$ ; en notant $S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$ et ${\boldsymbol {T}}\in \left({\mathcal {D}}(\Omega )^{3}\right)^{\prime }$ , on a les relations, $\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(\Omega ),\ \forall {\boldsymbol {\phi }}\in \left({\mathcal {D}}(\Omega )\right)^{3}$ :

$\langle \nabla S,{\boldsymbol {\phi }}\rangle =-\langle S,\nabla .{\boldsymbol {\phi }}\rangle$

$\langle \nabla \cdot {\boldsymbol {T}},\varphi \rangle =-\langle {\boldsymbol {T}},\nabla \varphi \rangle$

$\langle \nabla \times {\boldsymbol {T}},{\boldsymbol {\phi }}\rangle =\langle {\boldsymbol {T}},\nabla \times {\boldsymbol {\phi }}\rangle$

Lorsque ces distributions sont définies par des fonctions, le résultat de ces dérivations est généralement constitué d'une distribution régulière plus des distributions singulières sur les supports desquelles s'expriment des discontinuités qui concernent, au moins lorsque ces supports sont des surfaces, la trace pour le gradient, la trace normale pour la divergence et la trace tangentielle pour le rotationnel. Ces décompositions sont connues sous la dénomination générique de formules de Green.

Un exemple singulier: Expression de la distribution $\Delta {\frac {1}{r}}$ dans $\mathbb {R} ^{3}$

Soit V un volume de $\mathbb {R} ^{3}$ limité par une surface S orientée par le vecteur unitaire ${\overrightarrow {n}}$ dirigé vers l’extérieur. Soient f(x,y,z) et $\Phi \left(x,y,z\right)$ deux fonctions deux fois continument dérivables. La formule d’Ostrogradsky donne :

\iiint _{V}\left(f\Delta \Phi -\Phi \Delta f\right)dv=\iint _{S}\left(f{\frac {d\Phi }{dn}}-\Phi {\frac {df}{dn}}\right)ds

En effet, on rappelle : $f\Delta \Phi =fdiv({\overrightarrow {grad}}\Phi )$

Et:

div(p{\overrightarrow {A}})=p.div({\overrightarrow {A}})+{\overrightarrow {A}}.{\overrightarrow {grad}}(p)\Rightarrow p.div({\overrightarrow {A}})=div(p{\overrightarrow {A}})-{\overrightarrow {A}}.{\overrightarrow {grad}}(p)

Donc

f\Delta \Phi =div(f{\overrightarrow {grad}}\Phi )-{\overrightarrow {grad}}\Phi .{\overrightarrow {grad}}f

Et:

\Phi \Delta f=div({\overrightarrow {grad}}f)-{\overrightarrow {grad}}f.{\overrightarrow {grad}}\Phi

$\Rightarrow \iiint _{V}\left(f\Delta \Phi -\Phi \Delta f\right)dv=\iiint _{V}\left(div(f{\overrightarrow {grad}}\Phi )-div(\Phi {\overrightarrow {grad}}f)\right)dv$ $=\iint _{S}\left(f{\overrightarrow {grad}}\Phi -\Phi {\overrightarrow {grad}}f\right)d{\vec {s}}$ d'après le théorème de la divergence.

On rappelle la définition de la dérivée directionnelle dans la direction

{\vec {n}}

avec:

{\vec {n}}={\begin{pmatrix}{}n_{x}\\n_{y}\\n_{z}\end{pmatrix}}

vecteur unitaire

La dérivée directionnelle de la fonction f dans la direction

{\vec {n}}

est:

{\frac {df}{dn}}={\frac {df}{dx}}n_{x}+{\frac {df}{dy}}n_{y}+{\frac {df}{dz}}n_{z}={\overrightarrow {grad}}f.{\vec {n}}

Il s'en suit:

$=\iint _{S}\left(f{\overrightarrow {grad}}\Phi -\Phi {\overrightarrow {grad}}f\right)d{\vec {s}}=\iint _{S}\left(f{\overrightarrow {grad}}\Phi .{\vec {n}}-\Phi {\overrightarrow {grad}}f.{\vec {n}}\right)ds=\iint _{S}\left(f{\frac {d\Phi }{dn}}-\Phi {\frac {d\Phi }{dn}}\right)ds$ $\Rightarrow \iiint _{V}\left(f\Delta \Phi -\Phi \Delta f\right)dv=\iint _{S}\left(f{\frac {d\Phi }{dn}}-\Phi {\frac {df}{dn}}\right)ds$

On démontre ensuite que

{\frac {1}{r}}

est une fonction localement sommable sur

\mathbb {R} ^{3}

.

$\lim \limits _{\epsilon \to 0}\iiint _{\epsilon <r<R}{\frac {1}{r}}r^{2}sin\theta d\theta d\varphi dr=\lim \limits _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {r^{2}}{2}}\right]_{\epsilon }^{R}\left[-cos\theta \right]_{0}^{\pi }\left[\varphi \right]_{0}^{2\pi }$ $=2\pi \lim \limits _{\epsilon \to 0}\left(R^{2}-{\epsilon }^{2}\right)=2\pi R^{2}<+\infty$