Produit mixte

En géométrie, produit mixte est le nom que prend le déterminant dans un cadre euclidien orienté. Sa valeur absolue s'interprète comme le volume d'un parallélotope.

Pour le produit mixte dans un espace euclidien orienté de dimension trois, voir l'article géométrie vectorielle.

Définition

Soit E un espace euclidien orienté de dimension n. Soit B une base orthonormale directe de E. Le produit mixte de n vecteurs de E est défini par $(x_{1},...,x_{n})\mapsto [x_{1},...,x_{n}]={\det }_{B}(x_{1},...,x_{n})$

Il ne dépend pas de la base orthonormale directe B choisie.

Le produit mixte est nul si et seulement si la famille des x_i est liée, strictement positif si et seulement si elle constitue une base directe, vaut 1 si elle constitue elle aussi une base orthonormale directe.

Il vérifie l'inégalité de Hadamard

$[x_{1},\dots ,x_{n}]\leq \prod \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|$

Lorsque les vecteurs forment une famille libre, il y a égalité si et seulement si cette famille est orthogonale. Autrement dit, les longueurs des côtés étant données, le parallélotope droit est celui qui a le plus gros volume.

Pour la fabrication de vecteurs particuliers (avec des coefficients 1 et -1) vérifiant le cas d'égalité voir matrice de Hadamard.

Démonstration de l'indépendance de la base orthonormale directe

Les endomorphismes qui envoient une base orthonormale directe sur une base orthonormale directe sont les automorphismes orthogonaux de déterminant 1. Le déterminant d'une famille de vecteurs x₁,...x_n dans deux bases orthonormales directes a donc la même valeur.

Volumes de parallélotopes de dimension inférieure à n

Dans un espace euclidien, et même dans un espace préhilbertien réel de dimension quelconque, les déterminants permettent également le calcul des volumes des parallélotopes de toute dimension finie sous la forme de matrices et déterminants de Gram.

Il s'agit cette fois de volumes non orientés, et il n'est pas possible d'en donner une version orientée.

Lien du produit mixte avec le produit extérieur et la dualité de Hodge

Par dualité de Hodge, il est possible de passer du 0-vecteur 1 à un n-vecteur de la forme produit extérieur des vecteurs d'une base orthonormale directe e₁, ..., e_n. Le produit extérieur de n vecteurs quelconques s'écrit donc

$x_{1}\wedge x_{2}\wedge \dots \wedge x_{n}=[x_{1},\dots ,x_{n}].\star 1$

Il est également possible de voir l'application produit mixte comme une forme n-linéaire duale de la 0-forme 1

$[\dots ]={\rm {d}}e_{1}\wedge {\rm {d}}e_{2}\wedge \dots \wedge {\rm {d}}e_{n}=\star 1$

Définition générale du produit vectoriel

Par utilisation du produit scalaire

Pour tout $(x_{1},\dots x_{n-1})$ de $E^{n-1}$, l'application $x\in E\to [x,x_{1},...,x_{n-1}]$ est une forme linéaire. E étant un espace euclidien de dimension finie, il existe un unique vecteur, noté $x_{1}\times \dots \times x_{n-1}$ tel que :

$\forall x\in E,[x,x_{1},...,x_{n-1}]=\left\langle x\,|\,x_{1}\times \dots \times x_{n-1}\right\rangle$

Le vecteur $x_{1}\times \dots \times x_{n-1}$ s'appelle produit vectoriel de $(x_{1},\dots x_{n-1})$.

L'application produit vectoriel est (n-1)-linéaire alternée. Le produit vectoriel s'annule si et seulement si la famille est liée.

Les coordonnées du produit vectoriel sont données par

$x_{1}\times \dots \times x_{n-1}={\begin{vmatrix}x_{1}{}^{1}&\cdots &x_{1}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n-1}{}^{1}&\cdots &x_{n-1}{}^{n}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{vmatrix}}$

en notant e_i les vecteurs de la base orthonormale directe. En d'autres termes, les coordonnées du produit vectoriel sont des cofacteurs de cette matrice.

Par dualité de Hodge

La définition précédente peut être traduite au moyen de la dualité de Hodge de la façon suivante, avec une correspondance entre le produit vectoriel $\times$ et le produit extérieur $\wedge$ des n-1 vecteurs $x_{i}$. Le produit vectoriel est l'unique vecteur tel que :

$x_{1}\wedge x_{2}\wedge \dots \wedge x_{n-1}=\star \left(x_{1}\times x_{2}\times \dots \times x_{n-1}\right)$

On peut aussi écrire, sachant que, pour un (n-1)-vecteur $\eta$, on a $\star \star \eta =(-1)^{n-1}\;\eta$ :

$x_{1}\times x_{2}\times \dots \times x_{n-1}=(-1)^{n-1}\star \left(x_{1}\wedge x_{2}\wedge \dots \wedge x_{n-1}\right)$

Ceci constitue une définition alternative du produit vectoriel, équivalente à la propriété suivante. Le produit vectoriel $x_{1}\times x_{2}\times \dots \times x_{n-1}$ est le seul vecteur tel que, pour tout $(y_{1},\dots y_{n-1})$ de $E^{n-1}$, on a :

$[x_{1}\times \dots \times x_{n-1},y_{1},\dots ,y_{n-1}]=\det(\langle x_{i}\,|\,y_{j}\rangle )_{1\leq i\leq n-1,1\leq j\leq n-1}$.

Démonstration

Si on note $\omega =\star 1$, alors :

$[x_{1}\times \dots \times x_{n-1},y_{1},\dots ,y_{n-1}]\,\omega =(-1)^{n-1}[y_{1},\dots ,y_{n-1},x_{1}\times \dots \times x_{n-1}]\,\omega$

$=(-1)^{n-1}y_{1}\wedge \dots \wedge y_{n-1}\wedge (x_{1}\times \dots \times x_{n-1})$

$=y_{1}\wedge \dots \wedge y_{n-1}\wedge \star (x_{1}\wedge \dots \wedge x_{n-1})$

$=\left\langle y_{1}\wedge \dots \wedge y_{n-1}\,|\,x_{1}\wedge \dots \wedge x_{n-1}\right\rangle \,\omega$

$=\det \langle x_{i}\,|\,y_{j}\rangle )_{1\leq i\leq n-1,1\leq j\leq n-1}\,\omega$