Équation G
En combustion, l'équation G est une équation pour le champ scalaire qui décrit la position instantanée d'une flamme. Elle a été introduite par Forman Williams en 1985[1],[2] dans l'étude de la combustion turbulente pré-mélangée. L'équation est dérivée sur la base de la méthode des surfaces de niveau. L'équation a été étudiée pour la première fois par George H. Markstein sous une forme moins générale pour le calcul de la vitesse de combustion[3],[4],[5].
Description mathématique
[modifier | modifier le code]L'équation G s'énonce comme suit[6],[7],[8] :
où
- est le champ de vitesse d'écoulement,
- est la vitesse de flamme locale.
L'emplacement de la flamme est donné par qui peut être défini arbitrairement de telle sorte que soit la région des gaz brûlés et soit la région des gaz non brûlés. Le vecteur normal à la flamme, pointant vers le gaz brûlé, est .
Vitesse de combustion locale
[modifier | modifier le code]Selon la théorie de Matalon–Matkowsky–Clavin–Joulin (en) la vitesse de combustion de la flamme étirée (en), pour une faible courbure et une faible déformation, est donnée par :
où
- est la vitesse de combustion de la flamme pré-mélangée,
- et sont les deux nombre de Markstein associés au terme de courbure et au terme correspondant à la déformation d'écoulement imposée à la flamme,
- est l'épaisseur d'une flamme plane,
- est le temps de séjour de la flamme plane où représente la diffusivité thermique dans le mélange de gaz imbrûlés.
Un exemple simple : le brûleur à fente
[modifier | modifier le code]L'équation G a une expression exacte pour un brûleur à fente simple. Considérons un brûleur à fente plan bidimensionnel de largeur de fente . Le mélange de réactifs pré-mélangés est introduit dans la fente par le bas avec une vitesse constante , où la coordonnée est choisie de telle sorte que se trouve au centre de la fente et se trouve à l'emplacement de l'embouchure de la fente. Lorsque le mélange est enflammé, une flamme pré-mélangée se développe depuis l'embouchure de la fente jusqu'à une certaine hauteur sous la forme d'un dièdre bidimensionnel avec un angle . Pour simplifier, supposons , ce qui est une bonne approximation sauf près du coin du dièdre où les effets de courbure deviennent importants. Dans le cas stationnaire, l'équation de G se réduit à :
Si une solution à variables séparées est introduite, alors l'équation devient :
qui après intégration donne
Sans perte de généralité, on peut choisir l'emplacement de la flamme à . Puisque la flamme est attachée à l'embouchure de la fente , la condition limite est , qui peut être utilisée pour évaluer la constante . Ainsi, le champ scalaire est :
À la pointe de la flamme, on a , ce qui permet de déterminer la hauteur de la flamme :
et l'angle de la flamme ,
En utilisant l'identité on a :
Cette expression est souvent utilisée pour définir la vitesse de combustion en mesurant l'angle de dièdre.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) F. A. Williams, « Turbulent combustion. », Mathematics of Combustion, , p. 97-131
- (en) Alan R. Kerstein, William T. Ashurst et Forman A. Williams, « Field equation for interface propagation in an unsteady homogene flow field », Physical Review A, vol. 37, no 7, , p. 2728
- (en) G. H. Markstein, « Interaction of flow pulsations and flame propagation », Journal of the Aeronautical Sciences, vol. 18, no 6, , p. 428-429.
- (en) Markstein, G. H. (éd.), Nonsteady flame propagation, AGARDograph (vol. 75),
- (en) Markstein, G. H. et Squire, W., « On the stability of a plane flame front in oscillating flow », The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 27, no 3, , p. 416-424
- (en) Norbert Peters, Turbulent Combustion, Cambridge University Press,
- (en) Forman Arthur Williams, Combustion theory, CRC Press, (ISBN 9780429494055)
- (en) N. Peters, « Four Lectures on Turbulent Combustion », sur RTWH Aachen
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « G equation » (voir la liste des auteurs).