Suunnikas

Yleinen suunnikas, johon on merkitty osat ja mittojen esittämistä varten sivujen, lävistäjien ja korkeusjanojen pituudet muuttujat.

Suunnikas on geometriassa nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat määritelmän mukaan pareittain yhdensuuntaiset. Tästä seuraa, että suunnikkaalla ovat myös vastakkaiset sivut yhtä pitkät ja vastakkaiset kulmat yhtä suuret. Jokainen suunnikas on yksinkertainen. Suunnikkaan lähin vastine avaruusgeometriassa on suuntaissärmiö.

Jos nelikulmiolla on vain yksi sivupari, jotka ovat yhdensuuntaisia, kutsutaan sitä puolisuunnikkaaksi. Jos sillä ei ole yhtään yhdensuuntaista sivuparia, se on epäkäs.

Ominaisuuksia

Sivut, lävistäjät ja korkeusjanat

Merkitään kuvion mukaan sivujen pituuksia muuttujilla: AB = a, BC = b, CD = c ja DA = d. Suunnikkaan sivuja kutsutaan myös kannoiksi. Lävistäjät merkitään vastaavasti AC = r ja BD = q. Vastakkaiset sivut ovat suunnikkaassa yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät: a = c ja b = d. Sen vuoksi vastakkaiset sivut eivätkä edes niiden jatkeet leikkaa toisiaan.

Suunnikkaan lävistäjät ovat aina pitempiä kuin sen sivut. Teräviin kulmiin piirretty lävistäjä on pisin. Suunnikkailla vain suorakulmiolla ja neliöllä lävistäjät ovat yhtä pitkät. Lävistäjät leikkaavat toisensa pisteessä E. Lävistäjien välinen kulma on yleensä terävä (pienempi kulma), mutta neliössä ja neljäkkäässä tämä kulma on suora. Kaikissa suunnikkaissa leikkauspiste E jakaa kummankin lävistäjän kahteen yhtä pitkään osaan, jolloin lävistäjät sanotaan puolittavan toisensa.

Suunnikkaan sivut erottavat niiden normaalista välijanan, jota kutsutaan korkeusjanaksi ja sen pituutta korkeudeksi. Korkeusjanoja on suunnikkaassa kahden pituisia. Toiset korkeusjanat ovat kohtisuorassa sivuja a ja c vastaan, jolloin ne voidaan merkitä h_a tai h_c. Toiset korkeusjanat ovat kohtisuorassa sivuja b ja d vastaan, ja ne voidaan merkitä h_b tai h_d. Yhdensuuntaisuudesta seuraa h_a = h_c' ja h_b = h_d.

Symmetriapiste

Lävistäjien leikkauspistettä E kutsutaan keskipisteeksi, koska jokainen suunnikkaan piirin p piste peilautuu keskipisteen kautta toiseksi piirin pisteeksi. Keskipiste E on siten jokaisen piirin pisteen peilauspiste. Suora, joka kulkee keskipisteen ja kahden toisilleen peilautuvan pisteen kautta, jakaa suunnikkaan kahdeksi pinta-alaltaan yhtä suureksi monikulmioksi.

Keskipiste ja sivun kärkien muodostama kolmio on yhtenevä vastakkaisen sivun avulla muodostetun kolmion kanssa:

$\triangle AED\cong \triangle CEB$ ja $\triangle CED\cong \triangle AEB$

Näiden kolmioiden pinta-ala on neljäsosa suunnikkaan pinta-alasta A.

Kulmat

Suunnikkaan vastakkaiset kulmat (eli sisäkulmat) ovat yhtä suuret eli α = γ ja β = δ. Nelikulmion kulmien summa on α + β + γ + δ = 360°, mutta kulmien yhtäsuuruuksien vuoksi summa voidaan kirjoittaa α + β + α + β = 360° eli

$\alpha +\beta =180^{\circ }.$

Silloin saman sivun kulmat ovat toistensa suplementtikulmat.

Lävistäjät leikkaavat toisensa keskipisteessä E ja muodostavat neljä kulmaa ε, ζ, η ja θ, joista ristikulmat ovat yhtä suuret (ε = ζ ja η = θ). Keskipisteessä viereisten kulmien summa on 180°. Nämä vieruskulmat ovat ε + η = ζ + η = ζ + θ = ε + θ = 180°.

Suunnikkaan ulkokulmat ovat suuruudeltaan α ja β eli yhtä suuret kuin sisäkulmat.

Mittoja

Suunnikkaan piirin p pituus saadaan laskemalla kaikkien sivujen pituudet yhteen. Silloin saadaan

$p=a+b+c+d=a+b+a+b=2(a+b).$

Vastakkaisten yhdensuuntaisten sivujen etäisyys eli korkeus voidaan laskea usealla tavalla. Sivujen a ja c välinen korkeus h_a = h_c on

$h_{a}=b\sin \alpha =b\sin \beta ,$

ja sivujen b ja d välinen korkeus h_b = h_d on

$h_{b}=a\sin \alpha =a\sin \beta .$

Lävistäjien q ja r pituudet saadaan kosinilauseella esimerkiksi seuraavilla kahdella tavalla:

$q={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha }}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \beta }}$

ja

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }}={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \beta }}$

Jos tunnetaan vain lävistäjät q ja r sekä niiden välinen kulma ε, voidaan laskea sivut:

$a={\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {r^{2}}{4}}+{\frac {qr}{2}}\cos \epsilon }}$

$b={\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {r^{2}}{4}}-{\frac {qr}{2}}\cos \epsilon }}$

Pinta-ala

Suunnikkaan pinta-alan laskeminen voidaan palauttaa suorakulmion pinta-alaan, kun toinen vino kulmaus poistetaan leikkaamalla ja siirretään se toiseen kulmaukseen. Kuvan tilanteessa pinta-ala A lasketaan A = bh.

Lävistäjä puolittaa suunnikkaan alan.

Suunnikkaan pinta-ala lasketaan

jossa a ja b ovat suunnikkaan kantoja (eli korkeutta vastaavia sivuja), h_b ja h_d ovat korkeusjanoja ja α mikä tahansa suunnikkaan kulmista. jossa a ja b ovat suunnikkaan kantoja (eli korkeutta vastaavia sivuja), h_b ja h_d ovat korkeusjanoja ja α mikä tahansa suunnikkaan kulmista.

Myös lävistäjien q ja r ja niiden välisen kulman ε avulla voidaan laskea ala:

$A={\tfrac {1}{2}}qr\sin \epsilon ={\tfrac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\tan \epsilon ,$

missä kulma ε aukeaa sivun b suuntaan.

Pinta-alan laskemista voi havainnollistaa leikkamalla suunnikas kahteen osaan ja siirtämälä ja yhdistämällä vinot osat (viereinen kuva). Esimerkiksi vinokulmaisessa suunnikkaassa voidaan siitä erottaa kolmio leikkaamalla suunnikasta korkeusjanan suuntaisella vedolla kahtia. Siirtämällä kolmio toisen osan vinolle puolelle ja yhdistämällä se siihen, muodostuu suorakulmio.

Lävistäjät puolittavat eli jakavat suunnikkaan pinta-alan kahteen yhtä suureen osaan. Lävistäjän erottamat kolmiot ovat yhtenevät. Myös lävistäjien yhdessä erottamat neljä kolmiota ovat pareittain yhtenevät ja niiden pinta-ala on neljäsosa suunnikkaan pinta-alasta. Euklides esitti, että mikäli lävistäjältä valitaan mikä tahansa piste ja sen kautta piirretään ristikkäin sivujen suuntaiset janat, ovat lävistäjien eri puolilla olevat pienet suunnikkaat pinta-alaltaan yhtä suuria.

Jos vektorit ${\overrightarrow {a}}$ ja ${\overrightarrow {b}}$, jotka ovat sivujen a ja b pituisia ja niillä on yhteinen kanta kärjessä A, niin suunnikkaan pinta-ala lasketaan

$A={\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\mbox{det}}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}})=a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x},$

missä ensimmäinen laskutoimitus on vektorien ristitulo ja det tarkoittaa determinanttia.

Erityistä

Sisäpisteestä voidaan laskea etäisyydet suunnikkaan sivuille. Mistä tahansa sisäpisteestä määritettyjen neljän etäisyyden summa ei riipu sisäpisteen sijainnista. Tämä on Vivianin lauseena tunnetun tuloksen laajennus suunnikkaille.

Lävistäjien q ja r ja sivujen a ja b pituudet toteuttavat suunnikkaassa erityisen yhtälön:

$q^{2}+r^{2}=2(a^{2}+b^{2}).$

Erityispiirteitä

Yksinkertainen nelikulmio on suunnikas jos ja vain jos: (viisi ensimmäistä )

• vastakkaiset sivut ovat pareittain yhtä pitkät.
• yhdensuuntaisten sivujen yhdensuuntaiset välijanat ovat yhtä pitkiä.
• vastakkaiset kulmat ovat pareittain yhtä suuret.
• lävistäjät puolittavat toisensa.
• ainakin yksi vastakkainen sivupari ovat yhdensuuntaisia ja yhtä pitkät.
• vierekkäiset kulmat ovat toistensa suplementtikulmat.
• kumpikin lävistäjä jakaa sen kahteen yhtenevään kolmioon.
• sivujen neliöiden summa on yhtä paljon kuin lävistäjien neliöiden summa.

Erityisiä suunnikkaita

Neljäkäs

Neljäkäs

Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät (tasasivuinen suunnikas). Neljäkkään toinen nimitys onkin vinoneliö tai ruutu. Sen kulmat ovat vinot ja lävistäjät eri pituiset. Lävistäjät leikkaavat toisensa kohtisuoraan kuten neliöllä, mutta ne ovat eri pituiset kuten suorakulmiolla.

Suorakulmio

Suorakulmio

Suorakulmio on suorakulmainen suunnikas, jonka lävistäjät leikaavat toisensa yleensä vinosti. Kun suorakulmion sivut ovat yhtä pitkät, sitä kutsutaan neliöksi.

Neliö

Neliö

Neliö on tasasivuinen (eli neljäkäs) suorakulmio, jonka lävistäjät leikkaavat toisensa kohtisuoraan. Neliö eroaa neljäkkäästä siinä, että sen kulmat ovat yhtä suuret, kulmat ovat suorat ja lävistäjät yhtä pitkät.

Katso myös

• Varignonin suunnikas

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
• Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja) Helsinki: Otava, 2008. ISBN 978-951-26-5927-2
• Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja) Helsinki: Tammi, 2005. ISBN 978-951-26-5059-0