Merkkinen mitta

Merkkinen mitta on mittateoriassa hyödyllinen mitan yleistys. Se kulkee kirjallisuudessa myös nimellä täysadditiivinen joukkofunktio.

Se määritellään muuten kuten (positiivinen) mitta, mutta arvojen pitää olla reaalilukuja, tai joissain määritelmissä myös $\pm \infty$ on sallittu. Tässä artikkelissa nämä määritelmät erotellaan toisistaan termeillä "äärellinen merkkinen mitta" ja "yleistetty merkkinen mitta".

Määritelmä

Olkoon $X$ joukko ja ${\mathcal {A}}$ sigma-algebra perusjoukolla $X$. Kuvaus $\sigma :{\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ on yleistetty merkkinen mitta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot

1. Tyhjän joukon mitta on nolla, eli $\sigma (\emptyset )=0$
2. Jos joukot $A_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, missä $I$ on numeroituva joukko, ovat erillisiä ja summa $\sum _{i\in I}\sigma (A_{i})$ on olemassa, niin $\sigma \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\sum _{i\in I}\sigma (A_{i})$.

Yleistetty merkkinen mitta voi olla myös kuvaus ${\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$. Kuvaus ${\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ei kuitenkaan ole mielekäs kaavan

$\sigma (A)+\sigma (B\setminus A)=\sigma (B)+\sigma (A\setminus B)$

vuoksi, jos olisi $\sigma (A)=+\infty$ ja $\sigma (B)=-\infty$.

Äärellinen merkkinen mitta määritellään samoin paitsi että vaaditaan $\sigma :{\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R}$.

Yleensä "merkkinen mitta" tarkoittaa äärellistä merkkistä mittaa, mutta tämä artikkeli ei sitä vaadi.

Ominaisuuksia

Mikäli merkkinen mitta on ei-negatiivinen kaikilla sigma-algebran alkioilla, on se selvästi mitta (eli positiivinen mitta).

Merkkiselle mitalle $\sigma$ voidaan jokaisessa joukossa $A\subset X$ määritellä niin sanotut ylä- ja alavariaatiot

$V^{*}(A):=\sup\{\sigma (E):E\in {\mathcal {A}},E\subset A\}$ ja $V_{*}(A):=\inf\{\sigma (E):E\in {\mathcal {A}},E\subset A\}.$

Kuvaukset $V^{*}$ ja $V_{*}$ ovat itse asiassa myös merkkisiä mittoja, jos rajoitumme sigma-algebran alkioihin.

Näiden avulla voidaan osoittaa, että jokainen merkkinen mitta $\sigma$ voidaan lausua muodossa

$\sigma =V^{*}+V_{*}$.

Tästä itse asiassa seuraa niin sanottu Jordanin esityslause, jonka mukaan jokainen merkkinen mitta on jonkin kahden mitan erotusfunktio.