Braan

Braan ehk p-braan (sõnast "membraan") on stringiteoorias (M-teoorias) ja sellega seotud teooriates (näiteks supergravitatsiooniteoorias) hüpoteetiline füüsikaline objekt, mille mõõde p on väiksem kui selle ruumi mõõde, kus ta paikneb.

Nimetuse võttis kasutusele Michael Duff koos kaasautoritega 1988. aastal avaldatud publikatsioonis

Braanid on punktosakese üldistus. Nende liikumisvõrrandid vastavad kvantmehaanikale. Braanidel on mass, samuti võib neil olla muid omadusi, nagu näiteks laeng.

Punktosake on 0-braan, string on 1-braan, membraan on 2-braan, instanton on (−1)-braan.

Braanid paigutatakse d-mõõtmelisse ruumi. Supersümmeetrilise stringiteooria järgi d=10 (9 ruumimõõdet ja ajamõõde). Kaluza-Kleini kompaktifikatsioon redutseerib peale d ka p-d, nii et efektiivne teooria tegeleb braanidega, mille mõõde on väiksem.

Braanide üks erijuht on D-braanid ehk Dp-braanid (D Dirichlet' järgi).

Tähtsus

Braane vaadeldi täpsemalt, kui 1990ndatel ühtsustati viis stringiteooriat (I tüüpi stringiteooria), IIA tüüpi stringiteooria, IIB tüüpi stringiteooria ning heterootilised stringiteooriad E8 ja SO(32) ning supergravitatsiooniteooria M-teooriaks, käsitades stringiteooriaid ja supergravitatsiooni M-teooria piirjuhtudena väikese vastastikmõjukonstandi korral.

Gary Horowitz ja Andrew Strominger tegid kindlaks, et ka suurema mõõtmega objektil saab olla sündmuste horisont nagu mustal augul. Joseph Polchinski II tüüpi superstrngiteooriaid, mis on laiendatud lahtiste stringidega. Kui anda lahtistele stringidele p+1-mõõtmelises ruumis Neumanni ääretingimused (tuletis on otspunktides null) ning 9–p ülejäänud mõõtmes Dirichlet' ääretingimused (väljatugevus on otspunktides null), siis liiguvad otspunktid p-mõõtmelistel objektidel D-braanidel.

Mõju

Maailmajoon, maailmapind ja maailmaruumala aegruumis mõõtmega 2+1

Kõige lihtsamal juhtumil tuletatakse p-braani liikumisvõrrandid mõjust

$S_{p}=-T_{p}\int d^{p+1}\xi {\sqrt {-\det(g_{ab})}}$, kus $g_{ab}={\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \xi ^{a}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial \xi ^{b}}}g_{\mu \nu }(X(\xi ))$ on indutseeritud meetrika ja koordinaadid $X^{\mu }$ on kohakoordinaadid d-mõõtmelises ruumis. See on ruumala, mille p-mõõtmeline objekt oma ajalises arengus võtab, nn maailmaruumala. Euleri-Lagrange'i võrrandid otsivad maailmaruumala miinimumi.

Erijuht p=0

Kui p=0 ja meetrika on konstantselt $g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }$, siis võttes $T_{0}=m$, saame

$S_{0}=-m\int d\tau {\sqrt {-{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}\eta _{\mu \nu }}}=-m\int d\tau {\sqrt {-{\dot {X}}^{2}}}\ .$

Kui mõõde d=4 (kolm ruumimõõdet ja üks ajamõõde), on see relatiivsusteooriast tuntud punktosakese mõju. See on punktosakese moodustatud maailmajoone pikkus. Punktosake liigub trajektooril, mille puhul maailmajoone pikkus on minimaalne.

Punktosake on seega 0-braan.

Erijuht p=1

 Pikemalt artiklis Stringiteooria

Kui p=1 ja meetrika on konstantselt $g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }$, saame Nambu-Goto-mõju

$S_{NG}=-T\int d^{2}\sigma {\sqrt {-\det \left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma ^{\alpha }}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial \sigma ^{\beta }}}\eta _{\mu \nu }\right)}}=-T\int dA\ ,$

st bosonstringi maailmapindala. Stringi dünaamika minimeerib selle mõju. String on 1-braan.

Üldine mõju

Üldine p-braani mõju on

$S_{p}=-T_{p}\int d^{p+1}\xi e^{-\Phi }{\sqrt {-\det(G_{ab}+B_{ab}+2\pi \alpha 'F_{ab})}}\ ,$

kusjuures p-braan on seotus dilatoniga $\Phi$, indutseeritud meetrikaga$G$, antisümmeetrilise tensoriga $B$ ja väljatensoriga $F$.

Kosmoloogia

 Pikemalt artiklis Braanikosmoloogia

Kuigi paljud arutlused braanide kohta eeldavad, et me ei taju lisamõõtmeid, sest neil on väike mastaap ja neid saab tunnetada ainult osakestefüüsika raames, on ka lähenemisi, mille järgi kogu meie universum on braan suurema mõõtmega ruumis. Gunnar Nordströmi ja Theodor Kaluza algseid kaalutlused saab sõnastada nii, et meie 3+1-mõõtmeline aegruum on 3-braan 5-mõõtmelises ruumis.