Incentro

El Incentro de un triángulo (marcado con la letra I en el gráfico) es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de sus ángulos internos. Equidista de los tres lados, y por lo tanto, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, tangente a sus tres lados.

Junto con el centroide (o baricentro) , circuncentro y ortocentro, es uno de los cuatro puntos notables del triángulo conocidos por los antiguos griegos, y el único que no se sitúa sobre la recta de Euler.

En la Enciclopedia de los Centros del Triángulo^[1] (obra del matemático estadounidense Clark Kimberling) es designado X(1) como la primera entrada de la lista de centros. Es el elemento identidad del grupo multiplicativo de los centros del triángulo.^[2]^[3]

Para polígonos con más de tres lados, el incentro solo existe en polígonos tangenciales -es decir, aquellos que tienen una circunferencia inscrita que es tangente a todos los lados del polígono. En este caso, el incentro es el centro de esta circunferencia y es equidistante de todos los lados.

Coordenadas cartesianas

Se pueden deducir las coordenadas cartesianas del incentro a partir de las coordenadas de los tres vértices del triángulo A, B y C. Si los vértices tienen por coordenadas $(x_{a},y_{a})\,$ , $(x_{b},y_{b})\,$ , y $(x_{c},y_{c})\,$ , y los respectivos lados opuestos tienen longitudes $a\,$ , $b\,$ , y $c\,$ , el incentro tendrá por coordenadas $(x_{I},y_{I})\,$ :

(x_{I},y_{I})={\frac {a(x_{a},y_{a})+b(x_{b},y_{b})+c(x_{c},y_{c})}{a+b+c}}={\bigg (}{\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}{\bigg )}

Demostración
Las bisectrices interiores de un triángulo como rectas cevianas. En efecto, Por el teorema de la bisectriz, aplicado a las bisectrices de los ángulos ${\widehat {A}}$ y ${\widehat {B}}$ , se tiene que ${\dfrac {c}{b}}={\dfrac {BP}{PC}}={\dfrac {BP}{BC-BP}}={\dfrac {BP}{a-BP}},$ ${\dfrac {c}{a}}={\dfrac {AQ}{QC}}={\dfrac {AQ}{AC-AQ}}={\dfrac {AQ}{b-AQ}}$ resultando $BP={\dfrac {ac}{b+c}},\qquad AQ={\dfrac {bc}{a+c}}$ Sean los vectores ${\overrightarrow {BP}}$ y ${\overrightarrow {AQ}}$ Entonces: ${\overrightarrow {BP}}={\dfrac {BP}{BC}}\,{\overrightarrow {BC}}={\dfrac {BP}{a}}\,{\overrightarrow {BC}}={\dfrac {c}{b+c}}\,{\overrightarrow {BC}},\qquad {\overrightarrow {AQ}}={\dfrac {AQ}{AC}}\,{\overrightarrow {AC}}={\dfrac {AQ}{b}}\,{\overrightarrow {AC}}={\dfrac {c}{a+c}}\,{\overrightarrow {AC}}$ Para los vectores ${\overrightarrow {AI}}$ y ${\overrightarrow {BI}}$ existen los números reales $\lambda$ y $\mu$ con ${\overrightarrow {AI}}=\lambda {\overrightarrow {AP}}$ y ${\overrightarrow {BI}}=\mu {\overrightarrow {BQ}}$ . Entonces, expresando el vector ${\overrightarrow {AI}}$ de estas dos formas, ${\overrightarrow {AI}}=\lambda {\overrightarrow {AP}}$ y ${\overrightarrow {AI}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BI}}$ , se tiene que: $\left\{{\begin{array}{lcl}{\overrightarrow {AI}}&=&\lambda {\overrightarrow {AP}}=\lambda \left({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}\right)=\lambda \left({\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {c}{b+c}}\,{\overrightarrow {BC}}\right)=\lambda {\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {\lambda c}{b+c}}\,{\overrightarrow {BC}}\\{\overrightarrow {AI}}&=&{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BI}}={\overrightarrow {AB}}+\mu {\overrightarrow {BQ}}={\overrightarrow {AB}}+\mu \left({\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AQ}}\right)={\overrightarrow {AB}}+\mu \left({\overrightarrow {BA}}+{\dfrac {c}{a+c}}\,{\overrightarrow {AC}}\right)=\\&=&{\overrightarrow {AB}}+\mu \left({\overrightarrow {BA}}+{\dfrac {c}{a+c}}\,\left({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\right)\right)=\left(1-\mu +{\dfrac {\mu c}{a+c}}\right){\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {\mu c}{a+c}}\,{\overrightarrow {BC}}\end{array}}\right.$ Ahora, dada la independencia lineal de los vectores ${\overrightarrow {AB}}$ y ${\overrightarrow {BC}}$ entonces: $\left\{{\begin{array}{rcl}\lambda &=&1-\mu +{\dfrac {\mu c}{a+c}}\\{\dfrac {\lambda c}{b+c}}&=&{\dfrac {\mu c}{a+c}}\end{array}}\right.$ El sistema anterior, que es un sistema lineal, tiene las soluciones $\lambda ={\dfrac {b+c}{a+b+c}}\qquad \mu ={\dfrac {a+c}{a+b+c}}$ Finalmente, ${\begin{array}{rcl}{\overrightarrow {I}}&=&{\overrightarrow {A}}+{\overrightarrow {AI}}={\overrightarrow {A}}+\lambda {\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {\lambda c}{b+c}}\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {A}}+\lambda \left({\overrightarrow {B}}-{\overrightarrow {A}}\right)+{\dfrac {\lambda c}{b+c}}\,\left({\overrightarrow {C}}-{\overrightarrow {B}}\right)=\\&=&{\overrightarrow {A}}+{\dfrac {b+c}{a+b+c}}\left({\overrightarrow {B}}-{\overrightarrow {A}}\right)+{\dfrac {c}{a+b+c}}\,\left({\overrightarrow {C}}-{\overrightarrow {B}}\right)=\\&=&{\dfrac {a}{a+b+c}}\,{\vec {A}}+{\dfrac {b}{a+b+c}}\,{\vec {B}}+{\dfrac {c}{a+b+c}}\,{\vec {C}}\end{array}}$

Coordenadas trilineales

Las coordenadas trilineales del incentro son

1:1:1

La colección de centros del triángulo presenta estructura de grupo cuando se expresan sus coordenadas en el sistema trilineal respecto a la operación producto. En este grupo, el incentro es el elemento identidad.^[3]

Coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas del incentro son

\ a:b:c

donde $a$ , $b$ , y $c$ son las longitudes de los lados del triángulo, o de forma equivalente (utilizando el teorema de los senos) se pueden definir como

\operatorname {sen}(A):\operatorname {sen}(B):\operatorname {sen}(C)

donde $A$ , $B$ , y $C$ son los ángulos de los tres vértices del triángulo.


1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

Propiedades del incentro

Distancias a los vértices

Denominando al incentro del triángulo ABC como I, las distancias desde el incentro a los vértices, de acuerdo con las longitudes de los lados, obedecen a la ecuación^[4]

{\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1

Adicionalmente,^[5]

IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}

donde R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita respectivamente.

Distancia al vértice A.

1. Conociendo el ángulo A y el radio r

d(I,A)=r\cdot csc{\frac {A}{2}}

→ (1),^[6] r radio de la circunferencia inscrita.

2. Conociendo los tres lados.

d(I,A)={\sqrt {\frac {bc(p-a)}{p}}}

donde a, b y c son las longitudes de los lados y

p={\frac {a+b+c}{2}}

es el semiperímetro.

Para deducir esta fórmula cíclica, se iguala pr con la fórmula de Herón. Se despeja cos A de la fórmula que brinda la ley de los cosenos y se halla el sen de A/2, también el cosecante de A/2. Se reemplaza r y csc A/2 en la fórmula anterior (1).^[7]

Otros centros

La distancia entre el incentro y el centroide es menor que una tercera parte de la longitud de la mediana más larga del triángulo.^[8]

De acuerdo con el Teorema geométrico de Euler, la distancia entre el incentro I y el circuncentro O elevada al cuadrado, viene dada por^[9]^[10]

OI^{2}=R(R-2r),

donde R y r son el circunradio y el inradio respectivamente; en consecuencia, el circunradio es al menos dos veces el inradio (siendo exactamente el doble únicamente en el caso del triángulo equilátero^[11]^{: p. 198}).

La distancia desde el incentro al centro N de la circunferencia de los nueve puntos es^[10]

IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R

La distancia al cuadrado entre el incentro y el ortocentro H es^[12]

IH^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C

Existen inecuaciones que afirman que:

IG<HG,\quad IH<HG,\quad IG<IO,\quad 2IN<IO

El incentro es el punto de Nagel del triángulo medial (el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados) y se halla situado en el interior de este triángulo. Recíprocamente, el punto de Nagel de cualquier triángulo es el incentro de su triángulo anticomplementario.^[13]

El incentro se localiza en el interior de un disco cuyo diámetro une el centroide G y el ortocentro H (el disco ortocentroidal), pero no puede coincidir con el centro de los nueve puntos, cuya posición es fija a 1/4 a lo largo del diámetro (más cercano a G). Ningún otro punto dentro del disco ortocentroidal es el incentro de alguno de los triángulos singulares.^[14]

Recta de Euler

La recta de Euler de un triángulo pasa a través de su circuncentro, su centroide, y su ortocentro, además de por otros puntos notables. El incentro generalmente no pertenece a la recta de Euler;^[15] salvo para los triángulos isósceles,^[16] en cuyo caso la recta de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos sus centros.

Denominando a la distancia desde el incentro a la recta de Euler d; a la longitud de la mayor mediana v; a la longitud del mayor lado del triángulo u; al circunradio R; a la longitud del segmento de la recta de Euler desde el ortocentro hasta el circuncentro e; y al semiperímetro s; se tienen las inecuaciones siguientes:^[17]

{\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}}

d<{\frac {1}{3}}e

d<{\frac {1}{2}}R

Divisiones de área y de perímetro

Cualquier recta que divida un triángulo en dos partes de igual área e igual perímetro (ambas condiciones se dan simultáneamente), pasa por su incentro. Puede haber una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado.^[18]

Distancia relativa de los puntos de una bisectriz

Sea X un punto de la bisectriz del ángulo A. Entonces, cuando X = I (el incentro) se maximiza o minimiza el cociente ${\tfrac {BX}{CX}}$ a lo largo de la bisectriz.^[19]^[20]

Véase también

Referencias

↑ Encyclopedia of Triangle Centers
↑ Kimberling, Clark (1994), «Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle», Mathematics Magazine 67 (3): 163-187, JSTOR 2690608, MR 1573021 ..
↑ ^a ^b Encyclopedia of Triangle Centers, consultada el 28 de octubre de 2014.
↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (marzo de 2012), «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96: 161-165 ..
↑ Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry, Dover Publications .. #84, p. 121.
↑ Solimar Flores Espíritu: Puntos notables Lumbreras editores
↑ Flores: Obra citada
↑ Franzsen, William N. (2011), «The distance from the incenter to the Euler line», Forum Geometricorum 11: 231-236, MR 2877263 .. Lemma 3, p. 233.
↑ Johnson (1929), p. 186
↑ ^a ^b Franzsen (2011), p. 232.
↑ Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html
↑ Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers" Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
↑ Franzsen (2011), Lemma 1, p. 233.
↑ Franzsen (2011), p. 232.
↑ Schattschneider, Doris; King, James (1997), Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research, The Mathematical Association of America, pp. 3-4, ISBN 978-0883850992 .
↑ Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), «Orthocentric simplices and biregularity», Results in Mathematics 52 (1-2): 41-50, MR 2430410, doi:10.1007/s00025-008-0294-4, «It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles» ..
↑ Franzsen (2011), pp. 232–234.
↑ Kodokostas, Dimitrios (Abril de 2010), «Triangle equalizers», Mathematics Magazine 83: 141-146, doi:10.4169/002557010X482916 ..
↑ Arie Bialostocki and Dora Bialostocki, "The incenter and an excenter as solutions to an extremal problem", Forum Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html
↑ Hajja, Mowaffaq, Extremal properties of the incentre and the excenters of a triangle", Mathematical Gazette 96, July 2012, 315-317.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Incenter». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Encyclopedia of Triangle Centers
Empresa de Transformación Digital - Incentro

Datos: Q10614739
Multimedia: Incenter / Q10614739

[1] Encyclopedia of Triangle Centers

[k94-2] Kimberling, Clark (1994), «Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle», Mathematics Magazine 67 (3): 163-187, JSTOR 2690608, MR 1573021 ..

[etc-3] Encyclopedia of Triangle Centers, consultada el 28 de octubre de 2014.

[4] Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (marzo de 2012), «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96: 161-165 ..

[ac-5] Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry, Dover Publications .. #84, p. 121.

[6] Solimar Flores Espíritu: Puntos notables Lumbreras editores

[7] Flores: Obra citada

[8] Franzsen, William N. (2011), «The distance from the incenter to the Euler line», Forum Geometricorum 11: 231-236, MR 2877263 .. Lemma 3, p. 233.

[9] Johnson (1929), p. 186

[f232-10] Franzsen (2011), p. 232.

[11] Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html

[12] Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers" Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html

[13] Franzsen (2011), Lemma 1, p. 233.

[14] Franzsen (2011), p. 232.

[15] Schattschneider, Doris; King, James (1997), Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research, The Mathematical Association of America, pp. 3-4, ISBN 978-0883850992 .

[16] Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), «Orthocentric simplices and biregularity», Results in Mathematics 52 (1-2): 41-50, MR 2430410, doi:10.1007/s00025-008-0294-4, «It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles» ..

[17] Franzsen (2011), pp. 232–234.

[18] Kodokostas, Dimitrios (Abril de 2010), «Triangle equalizers», Mathematics Magazine 83: 141-146, doi:10.4169/002557010X482916 ..

[19] Arie Bialostocki and Dora Bialostocki, "The incenter and an excenter as solutions to an extremal problem", Forum Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html

[20] Hajja, Mowaffaq, Extremal properties of the incentre and the excenters of a triangle", Mathematical Gazette 96, July 2012, 315-317.

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