Conjunto denso

En topología, se dice que un subconjunto $A$ de un espacio topológico $\left(X,{\mathcal {T}}\right)$ es denso en $X$ si cada punto de $X$ pertenece a $A$ o está "arbitrariamente cerca" de $A$ .

Formalmente, un subconjunto $A$ es denso en $X$ si el menor conjunto cerrado de $X$ que contiene a $A$ es el mismo $X$ .

Definición

Sea $(X,{\mathcal {T}})$ un espacio topológico y $A\subseteq X$ un subconjunto.
Se dice que $A$ es denso en $X$ si y solo si ${\bar {A}}=X$ , es decir, la clausura topológica del subconjunto es todo el espacio.

Las siguientes proposiciones para $A$ son equivalentes:

$A$ es denso en $X$ .
El menor conjunto cerrado de $X$ que contiene a $A$ es el mismo $X$ .
El interior del complemento de $A$ es vacío, es decir, $\left(X\setminus A\right)^{\circ }=\emptyset$ .
$A$ interseca a todo abierto no vacío de $X$ .
Todo punto $X$ pertenece a $A$ o es punto de acumulación de $A$ .

Otras proposiciones

Si dos aplicaciones continuas de X en Y, siendo Y un espacio de Hausdorff, coinciden en un conjunto denso; entonces coinciden en todo el espacio X.

D₁ y D₂ son subconjuntos densos en X, no necesariamente lo es su intersección:

D_{1}=\mathbb {Q} \;\;y\;\;D_{2}=\mathbb {R} -\mathbb {Q}

Sean D₁ , D₂ subconjuntos densos de X , además D₁ o D₂ es abierto, entonces D₁∩D₂ es denso^[1]

Ejemplos

Todo espacio topológico es denso en sí mismo.
$\mathbb {Q}$ e $\mathbb {I}$ son subconjuntos densos en $\mathbb {R}$ con la topología usual.
Los polinomios son densos en el conjunto $C[a,b]$ de las funciones continuas definidas en $[a,b]$ , dotado de la topología asociada a la distancia $d_{\infty }(f,g)=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|$ .

Espacio separable

Si $(X,{\mathcal {T}})$ contiene a un denso numerable se dice que es un espacio topológico separable. Ejemplos de espacios separables son $\mathbb {R} ^{n}$ y $C([0,1],\mathbb {R} )$ (el espacio de las funciones continuas que van de $[0,1]$ a $\mathbb {R}$ ).