Polinoma divido

En algebro, polinoma divido estas algoritmo por dividado de polinomo per alia polinomo de la sama aŭ suba grado, ĝeneraligita versio de la familiara aritmetika tekniko de longa divido. Ĝi povas esti farita facile permane.

Por ĉiuj polinomoj f(x) kaj g(x), kun g(x) ne idente nulo, ekzistas unikaj polinomoj q(x) kaj r(x) tiaj ke

${\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}$

kie r(x) havas pli malgranda grado ol g(x).

Estas algoritmo por dividanta polinomo per alia polinomo de la sama aŭ suba. Ĝi estas ĝeneraligita versio de la aritmetika longa divido. Ĝi povas esti farita facile permane, ĉar ĝi apartigas alie kompleksa divida problemo enen pli malgrandaj aĵoj.

La enigoj de la algoritmo estas la numeratoro f(x) kaj nenula denominatoro g(x). La eligoj estas la kvociento q(x) kaj resto r(x).

La algoritmo funkcias tiel:

• 1. Estu q(x) ← 0.
• 2. Se grado de f(x) estas malpli granda ol grado de g(x) do finiĝi kaj redoni r(x) ← f(x) kaj q(x).
• 3. Preni la kondukan termon de f(x), ĝi estu ax^m.
• 4. Preni la kondukan termon de g(x), ĝi estu bxⁿ.
• 5. Dividi la kondukajn termojn kaj aldoni la kvocienton al la rezulta kvociento: q(x) ← q(x)+(a/b)x^m-n.
• 6. Subtrahi el la f(x), tiel ke la konduka termo malaperu: f(x) ← f(x)-(a/b)g(x).
• 7. Iri al paŝo 2.

Ekzemploj

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}$

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}=x-13+{\frac {16x-81}{x^{2}+x-3}}$

Ekzemplo de permana faro

La problemo estas skribita simile al regula aritmetika longa divida problemo:

$g(x){\overline {\vert f(x)}}$

Ĉiuj termoj kun eksponentoj malpli grandaj ol la plej granda devas esti skribitaj eksplicite, eĉ se iliaj koeficientoj estas nulaj.

Trovi:

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}$

La problemo estas skribita tiamaniere:

$x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}$

1. Dividi la unuan termon de la numeratoro per la plej alta termo de la denominatoro. Loko la rezulto estas pli supre de la baro, x³ ÷ x = x². La rezulto estas la unua termo de la fina rezulta kvociento.

${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\end{matrix}}$

2. Multipliki la denominatoron per la rezulto ĵus ricevita. Skribi la rezulton sub la unua du termoj de la numeratoro, x² · (x - 3) = x³ - 3x².

${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;x^{3}-3x^{2}\end{matrix}}$

3. Subtrahi la produton ĵus ricevitan de la konvenaj termoj de la originala numeratoro, kaj skribi la rezulton malsupre, (x³ - 12x²) - (x³ - 3x²) = -9x². La konduka termo de la numeratoro malaperas, kiel devas esti.

${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\end{matrix}}$

4. Ripeti paŝojn 1...3, uzante la du termojn kiuj estas ĵus skribitaj kiel la numeratoro.

${\begin{matrix}\;x^{2}-9x\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\end{matrix}}$

5. Ripeti paŝojn 1...3.

${\begin{matrix}\qquad \quad \;\,x^{2}\;-9x\quad -27\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27x+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}$

La polinomo pli supre de la baro estas la kvociento, kaj la polinomo (en ĉi tiu okazo ĝi estas de grado 0, do nombro) -123 estas la resto:

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}$

Vidu ankaŭ

• Teoremo pri resto de polinomo
• Plej granda komuna divizoro de du polinomoj

Eksteraj ligiloj

• Polinoma longa divido Arkivigite je 2007-12-31 per la retarkivo Wayback Machine ĉe WebGraphing.com