Kompakta spaco

En topologio, kompakta spaco estas topologia spaco, sur kiu lokaj strukturoj (difinitaj laŭ iu kovraĵo — fibra fasko, ktp.) povas esti ĉiam konsiderata finie, ĉar la kovraĵo estas ĉiam anstataŭebla per finia subkovraĵo. Tial, kompakta spaco estas iasence “finie malgranda” kaj tial ofte facile traktebla.

Sub malfortaj kondiĉoj (nome, aksiomo de Hausdorff) ĉiu kompakta subaro estas fermita subaro. En metrika spaco, ĉiu kompakta subaro estas barita subaro.

Difino

Malfermita kovraĵo de topologia spaco $X$ estas familio de malfermitaj subaroj $U_{i}\subset X$, indicita laŭ $i\in I$, kies kunaĵo estas la tuta spaco:

$\bigcup _{i\in I}U_{i}=X$

Subkovraĵo de malfermita kovrilo $(U_{i})_{i\in I}$ estas sub-familio $(U_{i})_{i\in J}$, $J\subset I$, kiu estas mem malfermita kovraĵo:

$\bigcup _{j\in J}U_{i}=X$

Finia subkovraĵo estas, kompreneble, subkovraĵo $(U_{i})_{i\in J}$, kies aro de indicoj $J$ estas finia aro.

Topologia spaco $X$ estas kompakta, se ĉiu malfermita subkovraĵo de $X$ havas finian subkovraĵon.

Kompakta subaro de topologia spaco estas subaro, kiu estas kompakta topologia spaco kiam ĝi estas rigardata kiel (memstara) topologia spaco.

Teoremoj

Jen iuj teoremoj pri kompaktaj spacoj.

• kontinua bildo de kompakta spaco estas kompakta. T.e. se $X$ kaj $Y$ estas topologiaj spacoj, kaj $f\colon X\to Y$ estas kontinua bildigo, kaj $X$ estas kompakta, do ĝia bildo $f(X)\subset Y$ estas kompakta.
• Fermita subaro de kompakta spaco estas kompakta.
• Kompakta subaro de Hausdorff-a spaco estas fermita subaro.
• Kompakta subaro de metrika spaco estas barita subaro.

Kompakteco en eŭklida spaco

Por ĉiu subaro de eŭklida spaco Rⁿ, kvar jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj:

• Ĝi estas kompakta.
• Ĉiu vico en la aro havas konverĝan subvicon, la limespunkto de kiu apartenas al la aro.
• Ĉiu malfinia subaro de la aro havas akumuliĝan punkto en la aro.
• La aro estas fermita kaj barita. Ĉi tiu kondiĉo estas la plej facila por kontroli, ekzemple povas esti intervalo aŭ fermita n-pilko.

En alia spacoj ĉi tiuj kondiĉoj povas esti aŭ ne esti ekvivalentaj, depende de propraĵoj de la spaco.

Ekzemploj

• La malplena aro estas (triviale) kompakta.
• La fermita intervalo [0, 1] estas kompakta.
• Por ĉiu natura nombro n, la n-dimensia hipersfero estas kompakta.

Historio

La koncepton kompakteco difinis la franca matematikisto Maurice René Fréchet en 1906.

Terminologia konfuzo ekzistas inter lingvoj. Je la angla, la ĝenerala koncepto de kompakteco estas la ĉi-supra difino; tio estas ankaŭ la difino en la Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto. Je la franca, tamen, “kompakta spaco” (france espace compact) ofte signifas Haŭsdorfan kompaktan spacon. Notinde, la grava franca matematikista grupo Nicolas Bourbaki uzas la terminon kompakteco en tiu senco. Laŭ tiuj aŭtoroj, la anglalingva kompakta spaco nomiĝas kvazaŭkompakta spaco, kaj la anglalingva Hausdorff-a kompakta spaco nomiĝas kompakta spaco.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Compact space en MathWorld.