Ekzotika R4
En matematiko, ekzotika R4 estas glata sternaĵo kiu estas homeomorfa al la eŭklida spaco R4, sed ne difeomorfa. La unuaj ekzemploj estis trovitaj de Robion Kirby kaj Michael Freedman, per uzo de la kontrasto inter teoremoj de Freedman pri 4-sternaĵoj, kaj teoremoj de Simon Donaldson pri glataj 4-sternaĵoj. Estas kontinuumo de nedifeomorfaj diferencialeblaj strukturoj de R4, kiel estis montrita unue de Clifford Taubes.
Por ĉiu pozitiva entjero n escepte 4, ne estas ekzotikaj glataj strukturoj sur Rn; en aliaj vortoj, se n≠4 do ĉiu glata sternaĵo homeomorfa al Rn estas difeomorfa al Rn.
Malgranda ekzotika R4
[redakti | redakti fonton]Ekzotika R4 estas malgranda se ĝi povas esti glate enigita kiel malfermita subaro de la norma R4.
Malgranda ekzotika R4s povas esti konstruita startante de ne-bagatela glata 5-dimensia h-ena homologaĵo (kiu ekzistas laŭ pruvo de Donaldson ke la h-ena homologaĵa teoremo mankas en ĉi tiu dimensio) kaj uzante teoremon de Freedman ke la topologia h-ena homologaĵa teoremo veras en ĉi tiu dimensio.
Granda ekzotika R4
[redakti | redakti fonton]Ekzotika R4 estas granda se ĝi ne povas esti glate enigita kiel malfermita subaro de la norma R4.
Ekzemploj de granda ekzotika R4 povas esti konstruitaj uzante tion ke kompaktaj 4-sternaĵoj povas ofte esti fenditaj kiel topologia sumo (per laboro de Freedman), sed ne povas esti fenditaj kiel glata sumo) (per laboro de Donaldson).
Estas almenaŭ unu maksimuma ekzotika R4, en kiun ĉiuj la alia R4 povas esti glate enigita kiel malfermita subaro.
Rilatantaj ekzotikaj strukturoj
[redakti | redakti fonton]Ansoj de Casson estas homeomorfaj al D2×R2 laŭ teoremo de Freedman (kie D2 estas la fermita unuobla disko) sed el teoremo de Donaldson sekvas ke ne ĉiuj el ili estas difeomorfaj al D2×R2. En aliaj vortoj, iuj el ansoj de Casson estas ekzotikaj D2×R2s.
Ne estas sciate (kiel en 2006) ĉu estadas iu ekzotika 4-sfero. Ĉi tia ekzotika 4-sfero devus esti kontraŭekzemplo al la glata konjekto de Poincaré en dimensio 4. Iuj kredeblaj kandidatoj estas donitaj per tordo de Gluck.