Cirkla segmento

Cirkla segmento (flava)

En geometrio, cirkla segmento aŭ iam simple segmento estas parto de disko (ebena figuro limigita per cirklo) limigita per ĝiaj ĥordo kaj arko. Ĝi povas esti ricevita per fortranĉo de la cetera parto de la disko per sekcanta rekto.

Estu R radiuso de la cirklo,

θ la centra angulo de segmento en radianoj,

c longo de la ĥordo,

s longo de la arko,

h alto de la segmento - distanco inter mezpunkto de la arko kaj la ĥordo.

Tiam:

• La arka longo estas s = Rθ
• La areo de la segmento estas $A={\frac {R^{2}(\theta -\sin \theta )}{2}}$
• La ĥorda longo estas $c=2R\sin {\frac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}$
• La alto estas $h=R(1-\cos {\frac {\theta }{2}})$

Pruvo de formulo por areo

Estu cirkla sektoro kun la sama arko kiel la konsiderata segmento. Tiam ili havas la samajn radiuson kaj la saman centran angulon.

Areo de la cirkla sektoro estas $A_{1}={\frac {1}{2}}R^{2}\theta$

Konsideru komence okazon ke θ<π. Tiam areo A de segmento estas areo A₁ de la sektoro minus areo A₂ de triangulo, formita per la radiusaj strekoj de la sektoro kaj ĥordo de la segmento. Oni dusekcu la angulon θ, kaj tiel ankaŭ la triangulon, rezultiĝas du trianguloj, ĉiu havanta areon

$A_{3}={\frac {1}{2}}R\sin {\frac {\theta }{2}}R\cos {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2}}R^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$

Pro tio ke sin x cos x = (sin (2x))/2

$A_{3}={\frac {1}{4}}R^{2}\sin \theta$

Tiam areo de la fonta triangulo estas duoble pli granda:

$A_{2}=2A_{3}={\frac {1}{2}}R^{2}\sin \theta$

Tiel

$A=A_{1}-A_{2}={\frac {1}{2}}R^{2}(\theta -\sin \theta )$

Se θ>π tiam areo A de segmento estas areo A₁ de la sektoro plus areo A₂ de la triangulo. Sed la supre donita formulo por A₂ tiam ŝanĝas la signon, ĉar sin θ estas negativa por θ>π, kaj do la rezultanta formulo restas vera.

Se θ=π tiam la triangulo degeneriĝas kaj la segmento havas la saman areon kiel la sektoro. Sed laŭ la supre donita formulo A₂=0 ĉar sin θ=0 por θ=π, kaj do la rezultanta formulo restas vera.

Vidu ankaŭ

• Cirkla sektoro
• Luno (geometrio) estas simila figuro sed barita ne per rekta segmento kaj cirkla arko sed per du cirklaj arkoj.
• Arko (geometrio)
• Ĥordo (geometrio)
• Disko (matematiko)
• Cirklo
• Rekta segmento

Eksteraj ligiloj

• Cirkla segmento je MathWorld
• Difino de segmento kun interaga animacio
• Formuloj por areo de segmento kun interaga animacio