Isolierter Punkt

In der Topologie ist ein Element $a$ einer Menge $X$ ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von $a$ gibt, in der (außer $a$) keine weiteren Elemente von $X$ liegen. Ein Punkt $a\in X$ ist also genau dann isoliert, wenn $a$ kein Häufungspunkt von $X$ ist.

Ist jeder Punkt eines topologischen Raumes isoliert, nennt man den Raum diskret.

Definition

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $A\subset X$. Ein Punkt $a\in A$ heißt isolierter Punkt von A, wenn es $\varepsilon >0$ gibt mit $\ U_{\varepsilon }(a)\cap A=\{a\}$.

Beispiele

Die folgenden Beispiele benutzen Teilmengen der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie.

• In der Menge $\{0\}\cup [1,2]$ ist $0$ ein isolierter Punkt.
• In der Menge $\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},\dots \}\cup \{1\}$ ist jedes der Elemente ${\tfrac {n}{n+1}}$ ein isolierter Punkt, aber $1$ ist kein isolierter Punkt.
• In der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}$ sind alle Elemente isolierte Punkte. Es handelt sich also um einen diskreten Raum.