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3D-Ansicht eines Hexakisoktaeders (Animation ) Drahtgittermodell eines HexakisoktaedersNetz des HexakisoktaedersDas Hexakisoktaeder (aus griechisch ἑξάκις hexakis „sechsmal“ und Oktaeder Disdyakisdodekaeder (griechisch δίς dis „zweimal“, δυάκις dyakis „zweimal“ und Dodekaeder konvexes Polyeder , das sich aus 48 unregelmäßigen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Kuboktaederstumpf und hat 26 Ecken sowie 72 Kanten.
Entstehung
Rhombendodekaeder als Basis
Werden auf die 12 Begrenzungsflächen eines Rhombendodekaeders (Kantenlänge
a
{\displaystyle a}
Pyramiden mit den Flankenlängen
b
{\displaystyle b}
c
(
<
b
)
{\displaystyle c\,(<b)}
a
3
6
<
b
<
2
9
a
15
{\displaystyle {\tfrac {a}{3}}{\sqrt {6}}<b<{\tfrac {2}{9}}a{\sqrt {15}}}
Für den o. g. minimalen Wert von
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
Das spezielle Hexakisoktaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
b
=
2
a
(
2
−
1
)
{\displaystyle b=2a\,({\sqrt {2}}-1)}
Nimmt
b
{\displaystyle b}
Deltoidalikositetraeder mit den Kantenlängen
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Überschreitet
b
{\displaystyle b}
Kuboktaederstumpf als Basis
Konstruktion des Dreiecks am Kuboktaederstumpf Durch Verbinden der Mittelpunkte dreier Kanten, die in jeder Raumecke des abgestumpften Kuboktaeders zusammenstoßen, entsteht ein Dreieck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Dreiecks, der Begrenzungsfläche des Hexakisoktaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 155°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius .
Sei d die Kantenlänge des Kuboktaederstumpfs, so sind die resultierenden Seitenlängen des Dreiecks gegeben durch
a
=
2
7
d
60
+
6
2
{\displaystyle a=\,{\frac {2}{7}}\,d\,{\sqrt {60+6{\sqrt {2}}}}}
b
=
3
7
d
12
+
6
2
{\displaystyle b=\,{\frac {3}{7}}\,d\,{\sqrt {12+6{\sqrt {2}}}}}
c
=
2
7
d
30
−
3
2
{\displaystyle c=\,{\frac {2}{7}}\,d\,{\sqrt {30-3{\sqrt {2}}}}}
Im Folgenden bezeichne
a
{\displaystyle a}
a
>
b
>
c
{\displaystyle a>b>c}
Basis ist das abgestumpfte Kuboktaeder (dualer archimedischer Körper).
Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge a
Volumen
V
=
a
3
28
6
(
986
+
607
2
)
{\displaystyle V={\frac {a^{3}}{28}}\,{\sqrt {6\,(986+607{\sqrt {2}})}}}
Oberflächeninhalt
A
O
=
3
7
a
2
543
+
176
2
{\displaystyle A_{O}={\frac {3}{7}}\,a^{2}\,{\sqrt {543+176{\sqrt {2}}}}}
Inkugelradius
ρ
=
a
2
402
+
195
2
194
{\displaystyle \rho ={\frac {a}{2}}\,{\sqrt {\frac {402+195{\sqrt {2}}}{194}}}}
Kantenkugelradius
r
=
a
4
(
1
+
2
2
)
{\displaystyle r={\frac {a}{4}}\,(1+2{\sqrt {2}})}
Flächenwinkel
cos
α
=
−
1
97
(
71
+
12
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha =-{\frac {1}{97}}\,(71+12{\sqrt {2}})}
Sphärizität
Ψ
=
756
π
(
986
+
607
2
)
3
6
543
+
176
2
{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{756\,\pi \left(986+607{\sqrt {2}}\right)}}{6{\sqrt {543+176{\sqrt {2}}}}}}}
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
A
=
a
2
112
543
+
176
2
{\displaystyle A={\frac {a^{2}}{112}}\,{\sqrt {543+176{\sqrt {2}}}}}
2. Seitenlänge
b
=
3
14
a
(
1
+
2
2
)
{\displaystyle b=\,{\frac {3}{14}}\,a\,(1+2{\sqrt {2}})}
3. Seitenlänge
c
=
a
14
(
10
−
2
)
{\displaystyle c=\,{\frac {a}{14}}\,(10-{\sqrt {2}})}
1. Winkel
cos
α
=
1
12
(
2
−
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha =\,{\frac {1}{12}}\,(2-{\sqrt {2}})}
2. Winkel
cos
β
=
1
8
(
6
−
2
)
{\displaystyle \cos \,\beta =\,{\frac {1}{8}}\,(6-{\sqrt {2}})}
3. Winkel
cos
γ
=
1
12
(
1
+
6
2
)
{\displaystyle \cos \,\gamma =\,{\frac {1}{12}}\,(1+6{\sqrt {2}})}
Rhombisch
Basis ist das Rhombendodekaeder (Kantenlänge
a
{\displaystyle a}
Allgemein
Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlängen a , b
Volumen
V
=
8
9
a
2
3
(
2
a
+
6
b
2
−
4
a
2
)
{\displaystyle V={\frac {8}{9}}a^{2}{\sqrt {3}}\left(2a+{\sqrt {6b^{2}-4a^{2}}}\right)}
Oberflächeninhalt
A
O
=
8
a
9
b
2
−
4
a
2
{\displaystyle A_{O}=8a\,{\sqrt {9b^{2}-4a^{2}}}}
Pyramidenhöhe
k
=
1
3
9
b
2
−
6
a
2
{\displaystyle k={\frac {1}{3}}{\sqrt {9b^{2}-6a^{2}}}}
Inkugelradius
ρ
=
a
(
2
a
+
6
b
2
−
4
a
2
)
27
b
2
−
12
a
2
{\displaystyle \rho \,={\frac {a\,(2a+{\sqrt {6b^{2}-4a^{2}}})}{\sqrt {27b^{2}-12a^{2}}}}}
Flächenwinkela )
cos
α
1
=
9
b
2
−
2
a
(
4
a
+
3
6
b
2
−
a
2
)
18
b
2
−
8
a
2
{\displaystyle \cos \,\alpha _{1}={\frac {9b^{2}-2a\,(4a+3{\sqrt {6b^{2}-a^{2}}})}{18b^{2}-8a^{2}}}}
Flächenwinkelb )
cos
α
2
=
3
b
2
−
4
a
2
9
b
2
−
4
a
2
{\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {3b^{2}-4a^{2}}{9b^{2}-4a^{2}}}}
Flächenwinkelc )
cos
α
3
=
3
b
2
4
a
2
−
9
b
2
{\displaystyle \cos \,\alpha _{3}={\frac {3b^{2}}{4a^{2}-9b^{2}}}}
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
A
=
a
6
9
b
2
−
4
a
2
{\displaystyle A={\frac {a}{6}}\,{\sqrt {9b^{2}-4a^{2}}}}
3. Seitenlänge
c
=
1
3
9
b
2
−
3
a
2
{\displaystyle c={\frac {1}{3}}{\sqrt {9b^{2}-3a^{2}}}}
1. Winkel
sin
α
=
a
b
9
b
2
−
4
a
2
9
b
2
−
3
a
2
{\displaystyle \sin \,\alpha ={\frac {a}{b}}\,{\sqrt {\frac {9b^{2}-4a^{2}}{9b^{2}-3a^{2}}}}}
2. Winkel
sin
β
=
9
b
2
−
4
a
2
9
b
2
−
3
a
2
{\displaystyle \sin \,\beta ={\sqrt {\frac {9b^{2}-4a^{2}}{9b^{2}-3a^{2}}}}}
3. Winkel
sin
γ
=
9
b
2
−
4
a
2
3
b
{\displaystyle \sin \,\gamma ={\frac {\sqrt {9b^{2}-4a^{2}}}{3b}}}
Speziell
Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge a
Volumen
V
=
32
9
a
3
3
(
2
−
2
)
{\displaystyle V={\frac {32}{9}}a^{3}{\sqrt {3}}\,(2-{\sqrt {2}})}
Oberflächeninhalt
A
O
=
16
a
2
26
−
18
2
{\displaystyle A_{O}=16a^{2}{\sqrt {26-18{\sqrt {2}}}}}
Inkugelradius
ρ
=
2
a
3
+
2
21
{\displaystyle \rho =2a\,{\sqrt {\frac {3+{\sqrt {2}}}{21}}}}
Flächenwinkela, b )
cos
α
1
,
2
=
−
1
7
(
2
+
3
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{1,\,2}=-{\frac {1}{7}}\,(2+3{\sqrt {2}})}
Flächenwinkelc )
cos
α
3
=
−
3
14
(
3
+
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{3}=-{\frac {3}{14}}\,(3+{\sqrt {2}})}
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
A
=
a
2
3
26
−
18
2
{\displaystyle A={\frac {a^{2}}{3}}{\sqrt {26-18{\sqrt {2}}}}}
2. Seitenlänge
b
=
2
a
(
2
−
1
)
{\displaystyle b=2a\,({\sqrt {2}}-1)}
3. Seitenlänge
c
=
a
35
−
24
2
3
{\displaystyle c=a\,{\sqrt {\frac {35-24{\sqrt {2}}}{3}}}}
1. Winkel
sin
α
=
2
57
+
37
2
438
{\displaystyle \sin \,\alpha =\,2\,{\sqrt {\frac {57+37{\sqrt {2}}}{438}}}}
2. Winkel
sin
β
=
4
23
−
3
2
438
{\displaystyle \sin \,\beta =\,4\,{\sqrt {\frac {23-3{\sqrt {2}}}{438}}}}
3. Winkel
sin
γ
=
1
3
6
−
2
2
{\displaystyle \sin \,\gamma =\,{\frac {1}{3}}{\sqrt {6-2{\sqrt {2}}}}}
Vorkommen
Das Hexakisoktaeder kommt in der Natur als Kristallform vor. Es ist die allgemeine Flächenform der hexakisoktaedrischen Kristallklasse m3 m.
Zur Anwendung kommt das Hexakisoktaeder auch als Spielwürfel (W48).
Weblinks
