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Satz von Courant-Fischer

mathematischer Satz

Der Satz von Courant-Fischer (auch Minimum-Maximum-Prinzip) ist ein mathematischer Satz aus der linearen Algebra, der eine variationelle Charakterisierung der Eigenwerte einer symmetrischen oder hermiteschen Matrix ermöglicht. Jeder Eigenwert wird dabei als minimaler beziehungsweise maximaler Rayleigh-Quotient von Vektoren aus Untervektorräumen mit bestimmten Dimensionen dargestellt. Der Satz ist nach den Mathematikern Richard Courant und Ernst Fischer benannt. Er dient unter anderem zur Eigenwertabschätzung und zur Analyse numerischer Eigenwertverfahren.

Ist   eine symmetrische Matrix (falls  ) oder hermitesche Matrix (falls  ) mit aufsteigend sortierten Eigenwerten   und bezeichnet   die Menge der  -dimensionalen Untervektorräume von  ,  , dann hat der  -te Eigenwert von   die Darstellung

 ,

wobei   das reelle oder komplexe Standardskalarprodukt ist. Wird der Satz von Courant-Fischer mit absteigend sortierten Eigenwerten angegeben, dann vertauschen sich jeweils Minimum und Maximum.[1]

Anschauliches Beispiel

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Der Satz von Courant-Fischer charakterisiert die Eigenwerte einer symmetrischen positiv definiten (3 × 3)-Matrix über Extrempunkte auf einem Ellipsoid

Für eine symmetrische positiv definite  -Matrix   lässt sich der Satz von Courant-Fischer folgendermaßen veranschaulichen. Da die Eigenwerte von   die Quadrate der stets positiven Eigenwerte von   sind und   gilt, hat der  -te Eigenwert von   die Darstellung

 ,

wobei   die euklidische Norm ist. Die Menge   hat die Form eines Ellipsoids im dreidimensionalen Raum mit den Halbachsen  ,   und  . Der Satz von Courant-Fischer charakterisiert nun die Eigenwerte von   über bestimmte Extrempunkte auf diesem Ellipsoid:

  • Für den kleinsten Eigenwert   werden alle eindimensionalen Untervektorräume, also alle Ursprungsgeraden, betrachtet. Jede dieser Ursprungsgeraden schneidet das Ellipsoid an zwei diametral gegenüberliegenden Punkten. Von all diesen Punkten wird einer derjenigen mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung ausgewählt.
  • Für den zweitkleinsten Eigenwert   werden alle zweidimensionalen Untervektorräume, also alle Ursprungsebenen, betrachtet. Jede dieser Ursprungsebenen schneidet das Ellipsoid in einer Ellipse. Auf jeder dieser Ellipsen wird einer der Punkte mit dem größten Abstand zum Ursprung gesucht und von all diesen Punkten einer derjenigen mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung ausgewählt.
  • Für den größten Eigenwert   wird der ganze Raum betrachtet und einer der Punkte auf dem Ellipsoid mit dem größten Abstand zum Ursprung ausgewählt.

Der Ortsvektor eines auf diese Weise ausgewählten Punkts ist dann ein Eigenvektor der Matrix und die Länge dieses Vektors der zugehörige Eigenwert.

Der Satz von Courant-Fischer stellt die Eigenwerte einer symmetrischen oder hermiteschen Matrix als minimale beziehungsweise maximale Rayleigh-Quotienten

 

dar. Im Folgenden wird eine obere und eine untere Schranke für den ersten Teil der Behauptung ermittelt. Die zweite Gleichung folgt analog durch Betrachtung von   und der entsprechenden Komplementärräume.

Obere Schranke

Nachdem   symmetrisch oder hermitesch ist, lässt sich eine Orthonormalbasis   aus Eigenvektoren jeweils zu den Eigenwerten   finden. Bezeichnet

 

die lineare Hülle derjenigen Eigenvektoren, deren Indizes mindestens   sind. Der Schnitt von   mit einem  -dimensionalen Untervektorraum   ist nicht  , denn mit der Dimensionsformel gilt

 .

Daher gibt es einen Vektor   mit  , der eine Basisdarstellung

 

mit Koeffizienten   besitzt. Für einen solchen Vektor   gilt nun

 .

Für die Vektoren   eines beliebigen  -dimensionalen Untervektorraums   ist daher der maximale Rayleigh-Quotient   und demnach gilt auch

 .

Untere Schranke

Bezeichne nun

 

die lineare Hülle derjenigen Eigenvektoren, deren Indizes höchstens   sind. Für einen Vektor   mit   und der Darstellung

 

gilt nun

 .

Der maximale Rayleigh-Quotient aller Vektoren   ist also   und demnach gilt

 .

Durch Zusammenfassung der beiden Schranken folgt dann der erste Teil der Behauptung.[1]

Verwendung

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Eine direkte Konsequenz aus dem Satz von Courant-Fischer ist die Abschätzung

 

für den kleinsten und den größten Eigenwert einer symmetrischen oder hermiteschen Matrix  . Gleichheit gilt dabei jeweils genau dann, wenn   ein Eigenvektor zum jeweiligen Eigenwert ist. Der kleinste und der größte Eigenwert können demnach durch Minimierung beziehungsweise Maximierung des Rayleigh-Quotienten ermittelt werden.

Eine weitere Anwendung besteht in numerischen Stabilitätsaussagen für Eigenwertverfahren. Sind   zwei symmetrische oder hermitesche Matrizen mit aufsteigend sortierten Eigenwerten   und  , dann gilt

 

für alle  , wobei   eine beliebige natürliche Matrixnorm ist. Wird demnach eine Matrix   durch eine Matrix   angenähert (deren Eigenwerte einfacher zu berechnen sind), dann ist der dadurch entstehende Fehler durch die Norm der Differenz der beiden Matrizen beschränkt.[2]

Varianten

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Von dem Satz von Courant-Fischer existiert auch folgende Variante zur Darstellung der Singulärwerte einer Matrix. Ist   eine (nicht notwendigerweise quadratische) Matrix mit aufsteigend sortierten Singulärwerten   und bezeichnet   die euklidische Norm, dann hat der  -te Singulärwert von   die Darstellung

 ,

wobei   wieder die Menge der  -dimensionalen Untervektorräume von   ist. Dieses Resultat folgt aus dem Satz von Courant-Fischer über die Darstellung der Singulärwerte von   als Wurzeln der Eigenwerte von   beziehungsweise  .[3]

Verallgemeinerungen dieser Aussage existieren auch zur Darstellung des Spektrums selbstadjungierter Operatoren auf Hilberträumen, was zum Beispiel beim Rayleigh-Ritz-Prinzip eingesetzt wird.

Siehe auch

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Literatur

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Originalarbeiten

  • Ernst Fischer: Über quadratische Formen mit reellen Koeffizienten. In: Monatshefte für Mathematik und Physik. Band 16, 1905, S. 234–249.
  • Richard Courant: Über die Eigenwerte bei den Differentialgleichungen der mathematischen Physik. In: Mathematische Zeitschrift. Band 7, Nr. 1–4, 1920, S. 1–57.

Einzelnachweise

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  1. a b Harry Dym: Linear Algebra in Action. 2. Auflage. American Mathematical Society, 2013, S. 224–225.
  2. Robert Schaback, Holger Wendland: Numerische Mathematik. Springer, 2006, S. 270.
  3. Roger A. Horn: Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1994, S. 148.