Satz vom Dreizack

Der Satz vom Dreizack (nach den russischen Bezeichnungen лемма о трезубце (wörtlich: Lemma über den Dreizack) und теорема трилистника (wörtlich: Satz vom Trillium)) ist eine Aussage aus der Elementargeometrie, die eine Eigenschaft von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks beschreibt.

Satz vom Dreizack:
Alle roten Strecken sind gleich lang, vor allem:
$|DA|=|DI|=|DC|$ (Dreizack).

In einem Dreieck $ABC$ sei $I$ der Mittelpunkt seines Inkreises und $D$ der Schnittpunkt von $BI$ (Winkelhalbierende in $B$) mit seinem Umkreis, dann besagt der Satz vom Dreizack:

• Die Strecken $DA$, $DI$ und $DC$ sind gleich lang, das heißt $|DA|=|DI|=|DC|$.
• $A,I,C$ liegen auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt $D$ ist. Insbesondere liegt damit der Mittelpunkt des Kreises durch $A,I$ und $C$ auf dem Umkreis des Dreiecks $ABC$.

Betrachtet man zusätzlich den Mittelpunkt $E$.des Ankreises der Seite $AC$, so liegt dieser auf demselben Kreis wie $A,I,C$ sowie auf der Geraden $BI$, so dass Strecke $EI$ der Durchmesser dieses Kreises ist. Die Länge des Durchmessers beträgt dabei:

$|EI|=4R\sin \left({\frac {1}{2}}\angle B\right)={\frac {|AC|}{\cos \left({\frac {1}{2}}\angle B\right)}}$

Hierbei steht $R$ für den Radius des Umkreises des Dreiecks $ABC$.

Der Mittelpunkt $D$ des gemeinsamen Kreises von $A,I,C,E$ entspricht zudem dem Südpol im Südpolsatz.

Literatur

• Evan Chen: Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-6620-6, S. 9–10 (Auszug Google)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Incenter-Excenter Circle. In: MathWorld (englisch).
• A Property of Circle Through the Incenter auf cut-the-knot.org
• Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters auf cut-the-knot.org