Atomare enheder

Dette enhedssystem bruges inden for kvantekemi. For det tilsvarende system inden for højenergifysik, se Naturlige enheder.

Atomare enheder er et enhedssystem, hvor faktorer kan sættes lig med 1 og derved gøre ligninger simplere. Atomare enheder bruges hovedsageligt inden for atomfysik og kvantekemi.

Motivation og definition

Schrödinger-ligningen for en elektron i et Coulomb-potential - et brintatom - er med SI-enheder givet ved:

$\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{\mathrm {e} }}}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}\right)\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle$

Det første led er den kinetiske energi, hvor $i$ er den imaginære enhed, $\hbar$ er Plancks konstant divideret med $2\pi$, $m_{\mathrm {e} }$ er elektronens masse, og $\nabla ^{2}$ er Laplace-operatoren. Det andet led er potentialet fra atomkernen, hvor $e$ er en elementarladning, $\varepsilon _{0}$ er vakuumpermittiviteten, og $r$ er afstanden til atomkernen. På højre side er $E$ elektronens energi. Elektronen er på begge sider repræsenteret af bølgefunktionen $\left|\psi \right\rangle$.

Denne ligning er fuld af faktorer, som kan sætte lig med 1. Dette kan vises ved først at omskrive afstandene til at være givet ved antal $\lambda$, hvor $\lambda$ er ukendt:

${\begin{aligned}x&\rightarrow \lambda x\\y&\rightarrow \lambda y\\z&\rightarrow \lambda z\\r&\rightarrow \lambda r\end{aligned}}$

Når dette indsættes, er den første faktor nu divideret med $\lambda ^{2}$ pga. Laplace-operatoren, mens den anden faktor er divideret med $\lambda$:

$\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{\mathrm {e} }\lambda ^{2}}}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\lambda }}{\frac {1}{r}}\right)\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle$

For at faktorerne kan sættes uden for parantesen, skal de være lig med hinanden. Derved kan $\lambda$ bestemmes:

${\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }\lambda ^{2}}}&={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\lambda }}\\{\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }\lambda }}&={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\\\lambda &={\frac {4\pi \varepsilon _{0}}{e^{2}}}{\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }}}\end{aligned}}$

Dette er Bohr-radiussen

$\lambda =a_{0}$

og den atomare enhed for afstand kaldes derfor for Bohr, hvor:

$1{\text{ Bohr}}=a_{0}=0,52918{\text{ Å}}$

Faktorerne kan nu flyttes uden for parantesen:

${\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left(-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}-{\frac {1}{r}}\right)\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle$

Denne faktor har enhed af energi, og energien $E$ omdefineres derfor til at være antallet af denne størrelse:

$E\rightarrow {\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}E$

Den atomare enhed for energi kaldes for Hartree, hvor

$1{\text{ Hartree}}={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}=27,211{\text{ eV}}$

Schrödinger-ligningen med atomare enheder skrives altså

$\left(-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}-{\frac {1}{r}}\right)\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle$

hvilket er meget simplere end før.

Som eksempel har elektronens grundtilstand jf. Bohrs atommodel nu energien $-{\tfrac {1}{2}}$ Hartree eller blot $-{\tfrac {1}{2}}$.