Druhá odmocnina

Druhá odmocnina je speciálním typem obecné odmocniny. Jde o nejběžnější typ odmocniny, proto se často označuje pouze jako odmocnina. Pro libovolný matematický objekt s definovanou operací umocňování (číslo, matici, funkci...) je druhá odmocnina z $a$ , označovaná jako ${\sqrt {a}}$ , definována jako objekt $b$ , pro který platí $b^{2}=a$ .

Druhá odmocnina má rovněž geometrický význam. Druhá odmocnina z čísla $S$ (značí se jako ${\sqrt {S}}$ ) je délka strany čtverce o obsahu $S$ . Objev druhé odmocniny vedl ve starověku k objevu iracionálních čísel.

Definice

Obor reálných čísel

Druhá odmocnina je definována pouze pro nezáporná reálná čísla $a\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ jako nezáporné reálné číslo $b$ , pro které platí, že $b\cdot b=a$ . Druhou odmocninu značíme jako $b={\sqrt {a}}$ .

Jedná se o inverzní funkci k druhé mocnině v nezáporných číslech; druhá mocnina není mimo nezáporná čísla prostou funkcí, proto ji nelze invertovat na celém jejím definičním oboru. Přestože tak například vedle $2\cdot 2=4$ platí také $(-2)\cdot (-2)=4$ , druhá odmocnina je podle definice vždy nezáporné číslo, proto ${\sqrt {4}}=2$ . Takto ovšem nelze omezit množinu kořenů rovnice obsahující druhou mocninu – rovnice $x^{2}=a$ má pro $a>0$ dva kořeny $x=\pm {\sqrt {a}}$ , např. vztahu $x^{2}-4=0$ tak vyhovují $x_{1}=2$ i $x_{2}=-2$ .

Obor komplexních čísel

Druhá odmocnina komplexního čísla $a+bi$ je rovna

${\sqrt {a+bi}}=\pm \left[{\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}+i(\operatorname {sgn} {b}){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}\right]$ .

V komplexních číslech je definována odmocnina i pro záporná reálná čísla $x\in \mathbb {R} ^{-}$ – zjednodušením obecného vzorce lze získat ${\sqrt {x}}=\pm i\textstyle {\sqrt {|x|}}$ . Takto lze získat komplexní řešení kvadratické rovnice se záporným diskriminantem. Pro obecné reálné číslo $x\in \mathbb {R}$ lze vzorec zjednodušit na ${\sqrt {x}}=\pm {\sqrt {\frac {x+|x|}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {|x|-x}{2}}}$ a pro ryze imaginární číslo $bi$ , $b\in \mathbb {R}$ na ${\sqrt {bi}}=\pm \textstyle {\sqrt {{\frac {1}{2}}|b|}}\pm i(\operatorname {sgn} {b})\textstyle {\sqrt {{\frac {1}{2}}|b|}}$ .

Odvození vzorce pro komplexní čísla

Vyjádříme ${\sqrt {a+bi}}$ pomocí dvou nezáporných čísel $x,y\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ jako $x+iy\operatorname {sgn} {b}$ . Definiční vztah $(x+iy\operatorname {sgn} {b})^{2}=a+bi$ roznásobíme na $x^{2}-y^{2}+2ixy\operatorname {sgn} {b}=a+bi$ , rovnici rozdělíme na reálnou a imaginární část:

$x^{2}-y^{2}=a$

$xy=\textstyle {\frac {1}{2}}|b|$

a řešíme vzniklou soustavu dvou rovnic v reálných číslech.

Vztahy mezi druhými odmocninami nezáporných čísel

Pokud a, b jsou nezáporná čísla, pak platí:

{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}={\sqrt {a+b+2{\sqrt {ab}}}}

{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}={\sqrt {a+b-2{\sqrt {ab}}}}\qquad (a\geq b)

{\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {(a^{2}-b)}}}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-{\sqrt {(a^{2}-b)}}}{2}}}\qquad (a^{2}\geq b)

Vztah mezi druhou odmocninou a přirozeným logaritmem

${\sqrt {a}}=e^{ln{\sqrt {a}}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln a}$ , kde ln $a$ je přirozený logaritmus čísla $a$

Hodnoty pro přirozená čísla

Hodnotou druhé odmocniny z čísel 1, 4, 9, 16... je přirozené číslo. Ve všech ostatních případech je hodnotou číslo iracionální.

$\scriptstyle {\sqrt {1}}$	$\scriptstyle =\,$	1	$\scriptstyle {\sqrt {6}}$	$\scriptstyle \approx$	2,449	$\scriptstyle {\sqrt {11}}$	$\scriptstyle \approx$	3,317	$\scriptstyle {\sqrt {16}}$	$\scriptstyle =\,$	4
$\scriptstyle {\sqrt {2}}$	$\scriptstyle \approx$	1,414	$\scriptstyle {\sqrt {7}}$	$\scriptstyle \approx$	2,646	$\scriptstyle {\sqrt {12}}$	$\scriptstyle \approx$	3,464	$\scriptstyle {\sqrt {17}}$	$\scriptstyle \approx$	4,123
$\scriptstyle {\sqrt {3}}$	$\scriptstyle \approx$	1,732	$\scriptstyle {\sqrt {8}}$	$\scriptstyle \approx$	2,828	$\scriptstyle {\sqrt {13}}$	$\scriptstyle \approx$	3,606	$\scriptstyle {\sqrt {18}}$	$\scriptstyle \approx$	4,243
$\scriptstyle {\sqrt {4}}$	$\scriptstyle =\,$	2	$\scriptstyle {\sqrt {9}}$	$\scriptstyle =\,$	3	$\scriptstyle {\sqrt {14}}$	$\scriptstyle \approx$	3,742	$\scriptstyle {\sqrt {19}}$	$\scriptstyle \approx$	4,359
$\scriptstyle {\sqrt {5}}$	$\scriptstyle \approx$	2,236	$\scriptstyle {\sqrt {10}}$	$\scriptstyle \approx$	3,162	$\scriptstyle {\sqrt {15}}$	$\scriptstyle \approx$	3,873	$\scriptstyle {\sqrt {20}}$	$\scriptstyle \approx$	4,472

Odhad

Pro racionální číslo větší než 1 a menší než 100 odhadujeme nejbližší nižší a vyšší odmocninu celého čísla.

2 <

{\sqrt {7}}

< 3 (2² = 4, 3² = 9)

Číslo větší než 100 rozdělíme do skupin po dvou číslicích od základního místa (od řádu jednotek včetně). Počet skupin určuje počet číslic výsledku. První skupina zleva nemusí být úplná a odhaduje se postupem pro čísla menší než 100 s následným doplněním nul do počtu zbývajících skupin.

200 <

{\sqrt {52744}}

< 300 (skupiny 5'27'44 =

{\sqrt {5}}

. 100)

Obdobně postupujeme s kladnými čísly menšími než 1, kdy je shodné dělení do skupin s počtem číslic výsledku za desetinnou čárkou. Pro tato čísla se případná neúplná skupina první zprava doplní připsáním nuly zprava.

0,06 <

{\sqrt {0{,}004}}

< 0,07 (skupiny 0,00'40' =

{\sqrt {40}}

: 100)

Iterativní metody výpočtu

Výpočet odmocniny čísla odmocňováním dvěma vychází beze zbytku či se zbytkem. Pokud není druhá odmocnina celočíselná, lze u zbytku zvolit přesnost pomocí počtu desetinných míst výsledku. Následují příklady ilustrují výpočet pro oba případy.

Beze zbytku

${\sqrt {645{,}16}}$

a) od základního místa se rozdělí číslo na skupiny po dvou číslicích. Případná neúplná skupina zprava doplní připsáním nuly. Počet skupin určí počet číslic výsledku od základního místa.

{\sqrt {6'45{,}16'}}

(výsledek bude desetinné číslo od řádu desítek)

b) odhadneme nejbližší nižší odmocninu celého čísla z první skupiny zleva. (

{\sqrt {6}}

= 2 a v řádu desítek zapíšeme do výsledku ⇒ 2.,.)

c) od první skupiny odmocněnce odečteme druhou mocninu číselného výsledku bez ohledu na desetinnou čárku výsledku z předchozího kroku (b). Přidáme další skupinu. (6 - 2 . 2 = 2; tedy 2'45 ⇒ 245 zbytek)

d) z čísla z kroku (c) oddělíme poslední číslici a vzniklé číslo dělíme dvojnásobkem neúplného výsledku (b) (24 : (2 . 2) ≈ 6). Výsledný podíl zapíšeme do výsledku v řádu jednotek, jen pokud rozdíl zbytku je kladné číslo. Jinak musíme výsledek snížit o jedna a znova vypočítat rozdíl zbytku. Rozdíl zbytku se vypočte ze zbytku (c) zmenšeného o složeninu dvojnásobku neúplného výsledku s výsledným podílem vynásobený výsledným podílem. Tedy 245 - (4'6 . 6) < 0 musí se výsledný podíl 6 snížit o jedna na 5; pak 245 - (4'5 . 5) = 20 a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 25, jako zbytek se zapíše 20)

e) opakuje se krok (c), který dá výsledkem z kroku (d), dokud není rozdíl nulový po zaokrouhlení na předem zvolený počet desetinných míst. Přidání další skupiny k rozdílu 20'16 ⇒ 201 : (2 . 25) ≈ 4; tedy 2016 - (50'4 . 4) = 0 (výpočet končí, zbytek roven nule) a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 25,4

Zkouška: 25,4² = 645,16

Se zbytkem, např. odmocnina s přesností na tři desetinná místa

${\sqrt {7}}$

a)

{\sqrt {7{,}00'00'00'}}

(výsledek bude desetinné číslo od řádu jednotek)

b)

{\sqrt {7}}

= 2 a v řádu jednotek zapíšeme do výsledku ⇒ 2,...)

c) 7 - 2² = 3; tedy 3'00 ⇒ 300

d) 30 : (2 . 2) ≈ 7; tedy 300 - (4'7 . 7) < 0 musí se podíl 7 snížit o jedna na 6; pak 300 - (4'6 . 6) = 24 a 6 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,6..

e₁) přidání další skupiny k rozdílu 24'00 ⇒ 240 : (2 . 26) ≈ 4; tedy 2400 - (52'4 . 4) = 304 a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,64.

e₂) přidání další skupiny k rozdílu 304'00 ⇒ 3040 : (2 . 264) ≈ 5; tedy 30400 - (528'5 . 5) = 3975 (zbytek) a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,645

Zkouška: 2,645² = 6,996025 + 0,003975 = 7. Poznámka: zopakováním postupu (provede se další iterace) dostaneme výsledek e_n), který je zpřesněním výsledku předchozí iterace e_n-1).

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu druhá odmocnina na Wikimedia Commons
Druhá odmocnina v encyklopedii MathWorld (anglicky)
Velmi přesné hodnoty druhých odmocnin některých přirozených čísel