如图的书上给出了保证迭代算法收敛性的判断依据的定理，此后又给出了单点割线法、两点割线法、牛顿切线法这三种经典的迭代方法。
但是书上并没有给出定理的证明或解释，并在习题部分让读者用该定理分析点迭代算法的收敛性。
LZ是数学学渣😵💫，求大佬赐教，万分感激！
截图来自刘琼荪，龚劬，何中市等人编写的数学实验（高等教育出版社,2004）
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6周前
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5周前
单从图上来看这个定理的描述是有问题的。
比如说$f(x) = -x, [a,b] = [-1,1],$ 则你可以发现$f(x)$肯定是满足描述的条件，但是$x_0 = \frac{1}{2}$产生的序列并不是收敛的。这个定理应该是下面两个定理的缝合：
定理 1（Brouwer不动点原理）设$f(x): [a,b] \to [a,b]$连续，则$f(x)$有不动点。
证明思路：考虑$g(x) = f(x) - x,$则可以发现$g(a),g(b)$是异号的，于是根据介值定理可知存在$x_0 \in [a,b],$使得$g(x_0) = f(x_0) - x_0 = 0,$即$x_0$是$f(x)$的不动点。定理 2（Banach不动点原理）设$f(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$连续，且存在$L \in (0,1),$使得$\forall x,y \in \mathbb{R},$ 都有$|f(x) - f(y)| \leq L|x - y|$, 则$f(x)$在$\mathbb{R}$上有唯一的不动点。
证明思路：任取$x_0 \in \mathbb{R},$归纳地记$x_{n + 1} = f(x_n)$, 于是我们有
\[
|x_{n + 1} - x_{n}| \leq L |x_{n} - x_{n - 1}| \leq \cdots \leq L^{n}|x_1 - x_0|.
\]
于是可以看到$\{x_i\}_{i = 0}^\infty$是收敛的（利用Cauchy收敛原理），不妨设$\lim_{n \to \infty}x_n = x_0,$则根据连续性立即可知
\[
\lim_{n\to\infty}f(x_n) = f(x_0) = \lim_{n\to\infty}x_{n + 1} = x_0.
\]你可以发现，定理 1只是断言了不动点的存在性，没有给出任何迭代的手段来寻找不动点，定理 2的情况才是可以通过迭代来找到不动点的情况。
