Tensor de Killing-Yano
En geometria riemannianna, un tensor de Killing-Yano és una generalització del concepte de vector de Killing a un tensor de dimensió superior. Van ser introduïts l'any 1952 per Kentaro Yano.[1] Un tensor antisimètric d'ordre p és anomenat de Killing-Yano quan verifica l'equació:
Aquesta equació difereix de la generalització habitual del concepte de vector de Killing a tensors d'ordre superior, anomenats tensors de Killing pel fet que la derivada covariant D és simetritzada amb un únic índex del tensor i no amb la seva totalitat, com és el cas per als tensors de Killing.
Tensors de Killing-Yano trivials
[modifica]Tot vector de Killing és un tensor de Killing d'ordre 1 i un tensor de Killing-Yano.
El tensor completament antisimètric (anomenat tensor de Levi-Civita) , on n és la dimensió de la varietat, és un tensor de Killing-Yano, amb derivada covariant sempre nul·la.
Construcció dels tensors de Killing a partir dels tensors de Killing-Yano
[modifica]Existeixen diverses maneres de construir els tensors de Killing (simètrics) a partir dels tensors de Killing-Yano
Primerament, es poden obtenir dos tensors de Killing trivials a partir de tensors de Killing-Yano :
- A partir d'un tensor de Killing-Yano d'ordre 1 , es pot construir un tensor de Killing d'ordre de 2 segons
- A partir del tensor completament antisimètric , es pot construir el tensor de Killing trivial
De manera més interessant, a partir de dos tensors de Killing-Yano d'ordre 2 i , es pot construir el tensor de Killing d'ordre 2 segons
A partir d'un tensor de Killing-Yano d'ordre n-1, , es pot construir el vector associat al sentit d'Hodge (veure Dualitat d'Hodge),
Del fet que el tensor és de Killing-Yano, el vector A no és Killing-Yano, però obeeix l'equació.
Aquesta propietat permet construït un tensor de Killing a partir de dos vectors com aquests, definit per:
Tota combinació lineal de tensors de Killing-Yano és igualment un tensor de Killing-Yano
Propietats
[modifica]Un cert nombre de propietats dels espaitemps quadridimensionnels implides en els tensors de Killing-Yano han estat exposades per C. D. Collinson i H. Stephani al voltant dels anys 1970.[2] · [3] · [4]
- Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano no degenerat, llavors aquest pot escriure's sota la forma
- on k, l, m i formen una tètrade i les funcions X i Y obeeixen un cert nombre d'equacions diferencials. A més, el tensor de Killing-Yano va obeeix la relació següent amb el tensor de Ricci:[3] · [4]
- Les solucions a les equacions d'Einstein en el buit i de tipus D en la classificació de Petrov admeten un tensor de Killing i un tensor de Killing-Yano, tots dos d'ordre 2 i regits per la fórmula de més amunt.[3] · [4]
- Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano d'ordre 2 degenerat , llavors aquest s'escriu segons la forma:
- on k és un vector de Killing de gènere llum. El tensor de Weyl és en aquest cas de tipus N segons la classificació de Petrov, i k és el seu vector net no trivial. A més, a compleix la relació donada més amunt amb el tensor de Riemann.[2] · [4]
- Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano d'ordre 3, llavors si el vector associat per dualitat de Hodge és un vector de gènere llum constant, llavors l'espai és conformament pla.[2] · [4]
Vegeu també
[modifica]Bibliografia
[modifica]- (en) D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum et E. Herlt, Exact solutions of Einstein's field equations, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, 428 p. (ISBN 0521230411), pages 349 à 352.
Referències
[modifica]- ↑ (anglès) Kentaro Yano, Annals of Mathematics, 55, 328 (1952).
- ↑ 2,0 2,1 2,2 (anglès) C. D. Collinson, The existence of Killing tensors in empty spacetimes, Tensors, 28, 173 (1974).
- ↑ 3,0 3,1 3,2 (anglès) C. D. Collinson, On the relationship between Killing tensors and Killing-Yano tensors, International Journal of Theoretical Physics, 15, 311 (1976).
- ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 (anglès) H. Stephani, A note on Killing tensors, General Relativity and Gravitation, 9, 789 (1978).