Amplada total a la meitat del màxim

Amplada total a la meitat del màxim

L'amplada total a la meitat del màxim, abreviada FWHM (de l'anglès Full Width at Half Maximum), és un paràmetre de les funcions o corbes que descriu l'amplada dels pics. El seu valor es correspon amb l'amplada d'una funció entre dos punts d'aquesta que tenen una alçada igual a la meitat de l'alçada màxima de la funció.

Matemàticament es poden expressar els valors de la variable independent en els quals l'alçada serà la meitat de l'alçada màxima ($x_{0}$):

$f(x_{0})={\frac {f(x_{max})}{2}}$

Per tant, els valors de l'amplada total a la meitat del màxim per un pic seran:

${\text{FWHM}}=x_{2}-x_{1}$

On $x_{2}$ i $x_{1}$ són els valors trobats per $x_{0}$ a la dreta i l'esquerra del pic, respectivament.

Un exemple de càlcul de l'amplada total a la meitat del màxim és la funció gaussiana, que es defineix amb l'expressió:

$f(x)=a\exp {\Biggl [}-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}{\Biggr ]}$

Per tant, aplicant la fórmula per trobar els valors $x_{0}$ de la variable independent, tenint en compte que la funció gaussiana assoleix l'alçada màxima quan $x=b$:

$a\exp {\Biggl [}-{\frac {(x_{0}-b)^{2}}{2c^{2}}}{\Biggr ]}={\frac {a}{2}}$

Aplicant identitats logarítmiques es pot expressar:

${\frac {(x_{0}-b)^{2}}{2c^{2}}}=\ln(2)$

$x_{0}=b\pm c{\sqrt {2\ln(2)}}$

Per tant, l'amplada total a la meitat del màxim serà:

${\text{FWHM}}=x_{2}-x_{1}=2c{\sqrt {2\ln(2)}}\approx 2.3548c$

L'amplada total a la meitat del màxim també té solució analítica per altres distribucions i funcions comunes com la distribució de Cauchy ($2\gamma =\Gamma$).