n-pla

En matemàtiques, si n és un nombre natural, aleshores una n-pla (de vegades n-tupla) és una seqüència o llista ordenada de n objectes, i aquests elements es diu que són les seves components.^[1] Si anomenem a₁ la primera d'aquestes components, a₂ la segona i així successivament fins a_n la n-èsima; es designa la n-pla corresponent amb la notació $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ . De vegades s'usen altres delimitadors diferents als parèntesis, com els claudàtors [ ] o els claudàtors angulars ⟨ ⟩.^[2] Les claus { } no s'empren gairebé mai en aquest sentit perquè són la notació estàndard dels conjunts.

Formalment es defineix la relació d'igualtat entre dues n-ples $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ i $(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ quan aquestes comparteixen totes les seves components, és a dir:

(a_{1},a_{2},...,a_{n})=(b_{1},b_{2},...,b_{n}):\iff a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},...,a_{n}=b_{n}

Les n-ples són els elements del producte cartesià $E_{1}\times E_{2}\times \cdots \times E_{n}$ dels $n$ conjunts $E_{1},E_{2},...,E_{n}$ . També es poden veure com la generalització a $n$ components dels parells ordenats. Els noms tradicionals per a n-ples de n petita són singletó per la 1-pla, parell per la 2-pla, terna per la 3-pla, quaterna o quaternió per la 4-pla.^[3]^[4]

Propietats

Les principals propietats que distingeixen les n-ples o llistes ordenades d'altres objectes matemàtics com els conjunts són:

Pot contenir un mateix element més d'una vegada, $\{a,b,b\}=\{a,b\}$ però $(a,b,b)\neq (a,b)$ .
L'ordre en el que apareix cada element té importància, $\{a,b\}=\{b,a\}$ però $(a,b)\neq (b,a)$ .
Té mida finita $n\in \mathbb {N}$ .

En concret, la primera d'aquestes propietats el distingeix d'un conjunt totalment ordenat, la segona d'un multiconjunt i la tercera d'una successió. En relació amb aquestes últimes, una n-pla també es pot veure com una aplicació des d'un subconjunt finit de ℕ, és a dir, la n-pla $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ es pot definir amb la funció

\{1,2,...,n\}\rightarrow A

i\mapsto a_{i}

Teoria de conjunts

Tot i que els conceptes de n-pla i de conjunt són diferents (vegeu-ho a l'apartat propietats), en teoria de conjunts es pot definir el primer a partir del segon. La forma usual de fer-ho és identificant la n-pla $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ amb el conjunt

\{a_{1},\{a_{1},\{a_{2},\{a_{2},\{a_{3},\{a_{3},\{\cdots ,\{a_{n-1},\{a_{n-1},a_{n}\}\}\cdots \}\}\}\}\}\}\}

.

O bé reduint-ho a parells:

(a_{1},a_{2},...,a_{n}):=(a_{1},(a_{2},(\cdots ,(a_{n-1},a_{n})\cdots )))

.

i usant la definició formal conjuntista del parell ordenat:

(a_{1},a_{2}):=\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}

.

Vectors

Les n-ples a elements d'un cos K (és a dir, els elements del producte cartesià n-èsim $K^{n}=K\times \cdots \times K$ ) són l'exemple més usual de vectors. En concret, amb les operacions