Kvadratne matrice

U matematici, kvadratna matrica je matrica u kojoj je broj redova i kolona isti. Taj broj se zove red matrice. Bilo koje dvije kvadratne matrice istog reda mogu se sabirati i množiti.^[1]

Osobine kvadratnih matrica

Kvadratnu matricu uvijek možemo razviti po elementima bilo kojeg reda i bilo koje kolone. Uvijek dobijamo istu vrijednost determinante.
Kvadratna matrica ne mijenja vrijednost, ako zamijenimo redove ili kolone kvadratne matrice u redoslijedu.
Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi jednog reda ili jedne kolone nule, ima vrijednost jednaku nuli.
Ako u kvadratnoj matrici dvije kolone ili dva reda međusobno zamijene položaj, kvadratna matrica mijenja predznak.
Kvadratna matrica ne mijenja svoje vrijednosti ako elementima jednog reda (jedne kolone) dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (kolone) eventualno pomnožene bilo kojom konstantom.

Glavna diagonala

Elementi $a_{ii}(i=1,...,n)$ čine glavnu diagonale kvadratne matrice. Ovi elementi leže na zamišljenoj ravnoj liniji koja se proteže od gornjeg lijevog ugla prema donjem desnom uglu matrice.

Primjer

Glavnu diagonalu matrice ${\begin{bmatrix}9&13&5&2\\1&11&7&6\\3&7&4&1\\6&0&7&10\end{bmatrix}}$

čine elementi $a_{11}=9,A_{22}=11,A_{33}=4,A_{44}=10$ .

Diagonala koja prolazi od donjeg lijevog ugla do gornjeg desnog naziva se strana.

Trag matrice

Zbir elemenata na glavnoj diagonali kvadratne matrice zovemo trag matrice i pišemo ${\rm {tr\,}}A$ . Tj.

${\rm {tr\,}}\,A=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$ .

Množenje kvadratnih matrica

Kvadratne matrice imaju redova koliko i kolona, pa se mogu množiti u bilo kojem poretku. U tom slučaju proizvod nije komutativan kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer

Neka su dane matrice

$A,B\in M_{2}$

$A={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}$ $B={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

$AB={\begin{bmatrix}a&b\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&0\end{bmatrix}}$ $BA={\begin{bmatrix}a&0\\c&0\end{bmatrix}}$ tj.

$AB\neq BA$

Specijalni slučajevi

Ako su svi elementi sem elemenata glavne diagonale jednaki nuli matrica $A$ je diagonalna.
Ako su svi elementi iznad (ispod) glavne diagonale jednaki nuli, matrica $A$ zove se donje (gornje) trouglasta matrica.

Naziv	primjer za $n=3$
Diagonalna	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Donje trouglasta matrica	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
gornje trouglasta matrica	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

Ako je $A=[a\,\delta _{ij}]$ ,tj. ako je matrica diagonalna i ako su joj elementi na glavnoj diagonali međusobno jednaki onda je skalarna
Skalarna matrica je diagonalna, dok obrat ne vrijedi.
Nulmatrica $O$ i jedinična matrica $I$ su skalarne matrice. Svaka skalarna matrica ima oblik $\lambda \,I$ , gdje je $\lambda$ realan broj.
$A\,I=I\,A$ za svaku kvadratnu matricu $A$ bilo koja skalarna matrica komutira sa svakom matricom $A\in M_{n}$
simetrična matrica, ako je $A^{T}=A$
antisimetrična matrica, ako je $A^{T}=-A$
ortogonalna matrica, ako je $A^{T}\,A=I$

Elementi na glavnoj diagonali antisimetrične matrice su nule. Svaka kvadratna matrica se može na jedinstven način razložiti na zbir simetrične i antisimetrične matrice

$\displaystyle A={\frac {1}{2}}\,(A+A^{T})+{\frac {1}{2}}\,(A-A^{T})$

Da je $A+A^{T}$ simetrična, a $A-A^{T}$ antisimetrična matrica, što se vidi upotrebom gornjih osobina.

Jedinična matrica

Jedinična matrica $I_{n}$ je $n\times n$ matrica kod koje su svi elementi na glavnoj diagonali jednaki 1, a ostali elementi su jednaki $0$ .^[2]

$E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Množenje jediničnom matricom

$AI_{n}=I_{n}A=A$

Simetrične i antisimetrične matrice

Kvadratna matrica $A$ , koja je identična sa svojon transponiranom matricom , tj. $A=A^{T}$ , je simetrična. Ako je $A$ jednaka negativnoj transponiranoj matrici tj $A=-A^{T}$ onda je asimetrična.