Resorte

Pa ver otros usos d'esti términu, Resorte (dixebra).

Ballesta (resorte a que trabaya a flexón) de la suspensión d'un modelu Skoda.

Conozse como resorte (o muelle elásticu) a un operador elásticu capaz d'almacenar enerxía y esprendese d'ella ensin sufrir deformación permanente cuando cesen les fuercies o la tensión a les que ye sometíu, na mecánica son conocíos equivocadamente como " muelle", varien asina de la rexón o cultura. Fabricar con materiales bien diversos, tales como aceru al carbonu, aceru inoxidable, aceru al cromu-siliciu, cromu-vanadiu, bronces, plásticu, ente otros, que presenten propiedaes elástiques y con una gran diversidá de formes y dimensiones.

Tienen gran cantidá d'aplicaciones, dende cables de conexón hasta disquetes, productos d'usu cotidianu, ferramientes especiales o suspensiones de vehículos y sielles plegables. El so propósitu, con frecuencia, afacer a les situaciones nes que se riquir aplicar una fuercia y que esta sía retornada en forma d'enerxía. Siempres tán diseñaos pa ufiertar resistencia o amortiguar les solicitaciones esternes.

Tipos de resortes

D'alcuerdu a les fuercies o tensiones que puedan soportar, estrémense tres tipos principales de resortes:

Resortes de tracción: Estos resortes soporten puramente fuercies de tracción y caracterícense por tener un gabitu en cada unu de los sos estremos, de distintos estilos: inglés, alemán, catalán, xiratoriu, abiertu, zarráu o de dobles espira. Estos gabitos dexen montar los resortes de tracción en toles posiciones imaxinables.

Resortes de compresión: Estos resortes tán especialmente diseñaos pa soportar fuercies de compresión. Pueden ser cilíndricos, cónicos, bicónicos, de camín fixu o cambiante.

Resortes de torsión: Son los resortes sometíos a fuercies de torsión (momento).

Esisten resortes que pueden operar tanto a tracción como a compresión. Tamién esisten una gran cantidá de resortes que nun tienen la forma de resorte habitual; quiciabes la forma más conocida sía l'arandela grower.

Los resortes espirales son un tipu de muelles que combinen carauterístiques de les clases anteriores, yá que anque s'enterrien arollándolos al faelos xirar alredor d'una exa (como los resortes de torsión), en realidá trabayen a flexón (como los muelles de tracción y/o compresión).

Física del resorte

Enerxía de deformación

La manera más senciella d'analizar un resorte físicamente ye por aciu el so modelu ideal global y sol camientu de qu'ésti obedez la Llei de Hooke. establez asina la ecuación del resorte, onde se rellaciona la fuercia F exercida sobre'l mesmu col allargamientu/contraición o elongación "x" producida, de la siguiente manera:

$F=-kx\,$ , siendo $k={\frac {AE}{L}}$

Onde k ye la constante elástica del resorte, x la elongación (allargamientu producíu), A la seición del cilindru imaxinariu qu'envolubra al resorte y Y el módulu d'elasticidá del resorte (nun confundir col módulu d'elasticidá del material).

La enerxía de deformación o enerxía potencial elástica $O_{k}$ asociada al estiramientu o acurtiamientu un resorte llinial vien dada pola integración de trabayu realizáu en cada cambéu infinitesimal $dx\,$ del so llargor:

$O_{k}=-\int _{0}^{x}F(x)\ dx=-\int _{0}^{x}-k(x)x\ dx\ ={\frac {1}{2}}kx^{2}$

Si'l resorte nun ye llinial entós la rixidez del resorte ye dependiente de la so deformación y nesi casu tiense una fórmula daqué más xeneral:

$O_{k}=\int _{0}^{x}k(x)\cdot x\ dx$

Ecuación diferencial y ecuación d'ondes

Vamos Definir agora una constante intrínseca del resorte independiente del llargor d'este y vamos establecer asina la llei diferencial constitutiva d'un muelle. Multiplicando $k$ pol llargor total, y llamando al productu $k_{i}$ o k intrínseca, tiense:

$k_{i}=AE\,$ onde $k={\frac {k_{i}}{L}}$

Vamos Llamar $F(x)\,$ a la tensión nuna seición del muelle asitiada a una distancia $x\,$ d'unu de los sos estremos, que vamos considerar fixu y que vamos tomar como orixe de coordenaes, $k_{\Delta x}$ a la constante d'un pequeñu cachu de muelle de llargor $\Delta x\,$ a la mesma distancia y $\delta _{\Delta x}\,$ al allargamientu d'esi pequeñu cachu en virtú de l'aplicación de la fuercia $F(x)\,$ . Pola llei del muelle completu:

$F(x)=-k_{\Delta x}\delta _{\Delta x}=k_{i}{\frac {\delta _{\Delta x}}{\Delta x}}$

Tomando la llende:

$F(x)=-k_{i}{\frac {{\delta }_{dx}}{dx}}$

que pol principiu de superposición resulta:

$F\left(x\right)=-k_{i}{\frac {d{\delta }}{dx}}=-AE{\frac {d\delta }{dx}}$

Si amás suponemos que tanto la seición como'l módulu d'elasticidá pueden variar cola distancia al orixe, la ecuación queda:

$F\left(x\right)=-k_{i}\left(x\right){\frac {d{\delta }}{dx}}=-A\left(x\right)Y\left(x\right){\frac {d\delta }{dx}}$

Que ye la ecuación diferencial completa del muelle. Si integrar pa tou x, de llogra como resultáu'l valor del allargamientu unitariu total. De normal puede considerase F (x) constante ya igual a encomalo total aplicada. Cuando F (x) nun ye constante ya inclúyese nel razonamientu la inercia d'ésti, llegar a la ecuación d'onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios.

Supongamos, por simplicidá, que tanto la seición del resorte, como la so densidá (entendiendo densidá como la masa d'un tramu de muelle estremada pol volume del cilindru imaxinariu envolvente) y el so módulu d'elasticidá son constantes a lo llargo del mesmu y que'l resorte ye cilíndricu. Llamemos $\Psi \left(x\right)$ al desplazamientu d'una seición de muelle. Agora tomemos un tramu diferencial de muelle de llargor (dx). La masa d'esa porción va venir dada por:

$dm=\rho Adx$

Aplicando la segunda llei de Newton a esi tramu:

$F\left(x\right)-F(x+dx)\left(x\right)=-dm{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}=-\rho Adx{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}$

Esto ye:

${\frac {\partial F}{\partial x}}dx=-\rho Adx{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}\rightarrow {\frac {\partial F}{\partial x}}=-\rho A{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}$

Per otru llau ye senciellu deducir que

$d\delta =\Psi \left(x+dx\right)-\Psi \left(x\right)={\frac {\partial \Psi }{\partial x}}dx$

Al introducir, poro, esta espresión na ecuación diferencial del muelle antes deducida, llegar a:

$F\left(x\right)=-AE{\frac {\partial \Psi }{\partial d}}$

Derivando esta espresión al respective de x llógrase:

${\frac {\partial F}{\partial x}}=-AE{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial x}^{2}}}$

Xuntando la espresión temporal cola espresión espacial deduzse finalmente la ecuación xeneral d'un muelle cilíndricu de seición, densidá y elasticidá constantes, que coincide esautamente cola ecuación d'onda llonxitudinal:

${\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\partial t}^{2}}}={\frac {Y}{\rho }}\times {\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\partial x}^{2}}}$

De la que se deduz la velocidá d'espardimientu de perturbaciones nun muelle ideal como:

$c={\sqrt {\frac {Y}{\rho }}}$

Muelle con una masa suspendida

Pal casu d'un muelle con una masa suspendida,

${\begin{cases}F=-kx\ \Rightarrow \ m{\cfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\\{\cfrac {dx(0)}{dt}}=v_{0}\end{cases}}$

Que la so solución ye $x=(v_{0}/\omega )\sin {\omega t}$ , esto ye, la masa realiza un movimientu harmónicu simple d'amplitú $A_{0}=v_{0}/\omega$ y frecuencia angular $\omega$ . Derivando y sustituyendo:

$\ \displaystyle -\omega ^{2}{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \omega t=-{\frac {k}{m}}{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \omega t$

Simplificando:

$\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Esta ecuación rellaciona la frecuencia natural cola rixidez del muelle y la masa suspendida.

Muelle de densidá variable

Pa un muelle de densidá variable, módulu d'elasticidá variable y seición de la envolvente variable, la ecuación xeneralizada de les perturbaciones ye la que sigue:

${\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\partial t}^{2}}}={\frac {1}{\rho \left(x\right)}}\left[{\frac {\partial A\left(x\right)}{\partial x}}{\frac {Y\left(x\right)}{A\left(x\right)}}+{\frac {\partial Y\left(x\right)}{\partial x}}\right]{\frac {\partial \Psi \left(x,t\right)}{\partial x}}+{\frac {Y\left(x\right)}{\rho \left(x\right)}}{\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\partial x}^{2}}}$

Nun resorte d'estes carauterístiques, la onda viaxera camudaría la so velocidá y, por tanto, el so llonxitú d'onda a lo llargo del percorríu. Amás, nunes zones del muelle la so amplitú sería mayor que n'otres, esto ye, la solución depende de trés funciones arbitraries:

$\Psi (x,t)=A_{0}(x){\frac {f(x+c(x)t)+f(x-c(x)t)}{2}}$

Nel analís d'un resorte real, apaecen tamién ondes llonxitudinales, tresversales y de torsión lo llargo y anchu de les espira que s'arrobinen a una velocidá que depende del raigañu cuadráu del módulu d'elasticidá Y del material pa les llonxitudinales del módulu d'elasticidá tresversal G del material pa les tresversales y del módulu de torsión de la espira pa les de torsión, estremaes toes pola densidá del material.

Soluciones a la ecuación d'ondes nun muelle

Solución a condiciones iniciales senoidales.

La solución xeneral a la ecuación en derivaes parciales del muelle simplificáu de llargor infinitu descríbese de siguío. Daes les condiciones iniciales:

\Psi (x,0)=f(x)\,

{\Psi }_{t}(x,0)=g(x)\,

onde ${\Psi }_{t}={\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\,$ , la función de D'Alembert solución a la ecuación d'onda puede escribise como:

$\Psi (x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds$

Tal solución almite que F y G puedan ser cualquier clase de funciones continues $\scriptstyle f(x)\in C^{k}$ y $\scriptstyle g(x)\in C^{k-1}$ cuando $\scriptstyle o(t,x)\in C^{k}$ .

Pa un muelle de llargor finita L colos sos estremos fondiaos, el problema convertir n'unu de contorna que puede resolvese por aciu separación de variables cola teoría de Sturm-Liouville. Daes unes condiciones iniciales como les enantes descrites y unes condiciones de contorna d'estremos fixos. Les condiciones iniciales pueden desenvolvese nuna serie de Fourier de la siguiente forma:

f\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}

g\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}{\frac {cn\pi }{L}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}

Onde los coeficientes de Fourier llograr tres integrar les funciones f y g como sigue:

A_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f\left(x\right)\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}dx

B_{n}={\frac {2}{n\pi c}}\int _{0}^{L}g\left(x\right)\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}dx

pa $n=1,2,...$

La solución a esti problema queda escrita como sigue:

$\Psi (x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}$

Una onda estacionaria. Los puntos coloraos representen los nodos

Ver tamién

Referencies

Enllaces esternos

Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a resortes.
Institute of Spring Technology.
Spring Manufacturers Institute.