Polígonu

Polígonu
figura plana (es) , politopo simple (es) , politopo simplicial (es) y closed polygonal chain (en)
dion (en) Polígonu Poliedru

Dellos exemplos de polígonos.

En xeometría, un polígonu ye una figura xeométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que zarren una rexón nel planu. Estos segmentos son llamaos llaos, y los puntos en que s'intersequen llámense vértices. El polígonu ye'l casu bidimensional del politopo.

Etimoloxía

La pallabra polígonu deriva del griegu antiguu πολύγωνος (polúgonos), de la mesma formáu por πολύ (polú) ‘munchos' y γωνία (gōnía) ‘ángulu', anque anguaño los polígonos son usualmente entendíos pol númberu de los sos llaos.

La noción xeométrica elemental foi afecha de distintes maneres pa sirvir a propósitos específicos. A los matemáticos de cutiu interésen-yos namái les llinies poligonales zarraes y los polígonos simples (aquellos nos cualos los sos llaos namái s'intersequen nos vértices), y pueden definir un polígonu d'alcuerdu a ello. Ye requisitu xeométricu que dos llaos que s'intersequen nun vértiz formen un ángulu non llanu (distintu a 180°), yá que d'otra manera los segmentos consideraríense partes d'un únicu llau; sicasí, esos vértices podríen dexase delles vegaes por cuestiones práutiques. Nel ámbitu de la computación, la definición de polígonu foi llixeramente alteriada por cuenta de la manera en que les figures son almacenaes y manipoliaes na computación gráfica pa la xeneración d'imáxenes.

Definición

La definición del polígonu depende del usu que se-y quiera dar, asina por casu pa faer referencia a una rexón del planu tiense:

• Vamos Llamar polígonu a la porción del planu delimitada y zarrada per una llinia poligonal.

Pa faer referencia al estudiu euclidianu de los llargores de los llaos d'un polígonu, tiense:

• Vamos Llamar polígonu a una figura xeométrica plana definida per una llinia poligonal de la cual los sos dos estremos coinciden.

Pa desenvolver un conceutu didácticu del polígonu, tiense:

• Vamos Llamar polígonu al conxuntu de puntos y segmentos que xunen socesivamente dichos puntos.

Nesta última definición suelse evitar los puntos consecutivos alliniaos.

Llinia poligonal

Denominar llinia poligonal o llinia quebrada al conxuntu de segmentos, $s_{1},\dots ,s_{n}$, xuníos socesivamente pelos sos estremos onde l'estremu de cada unu ye orixe del siguiente, tal que dos segmentos socesivos nun tán alliniaos, en tal casu considérase dambos como un únicu segmentu.

Llinia poligonal $=\bigcup _{1<i<n}s_{i}$.

Sean $P_{i}$ y $P_{i+1}$ los estremos de $s_{i}$, entós:

• Si los dos estremos llibres, $P_{1}$ y $P_{n+1}$, nun coinciden dizse que la llinia poligonal ye abierta.
• Vamos Dicir que la llinia poligonal ye zarrada si nun ye abierta.

Exemplu d'una llinia poligonal de seis segmentos:

Ver tamién

La definición y la so aplicación del conceutu de Grafo de la teoría de grafos.

La definición de símplex usada en topoloxía alxebraica.

Propiedaes

• Interior d'un polígonu ye'l conxuntu de tolos puntos que tán nel interior de la rexón que delimita dichu polígonu.
• Esterior d'un polígonu ye'l conxuntu de los puntos que nun tán na llinia poligonal (frontera) nin nel interior.

Elementos d'un polígonu

Nun polígonu estremen los siguientes elementos xeométricos:

• Llaus del polígonu: son cada unu de los segmentos que conformen el polígonu.
• Vértices d'un polígonu: son los puntos d'interseición o puntos d'unión ente llaos consecutivos.
• Diagonales del polígonu: son segmentos que xune dos vértices, non consecutivos, del polígonu.
• Ángulu interior del polígonu: ye l'ángulu formáu, internamente al polígonu, por dos llaos consecutivos.
• Ángulu esterior del polígonu: ye l'ángulu formáu, externamente al polígonu, por unu de los sos llaos y l'allongamientu del llau consecutivu.
• Ángulo entrantes del polígonu: ye l'ángulu interior al polígonu que miden más de 180°.
• Ángulo salientes del polígonu: ye l'ángulu interior al polígonu que miden menos de 180°.

Hexágonu regular.

Nun polígonu regular puede estremase, amás:

• Centru (C): ye'l puntu equidistante de tolos vértices y llaos.
• Ángulu central (AC): ye l'ángulu formáu por dos segmentos de recta que parten del centru a los estremos d'un llau.
• Apotema (a): ye'l segmentu que xune'l centru del polígonu col centru d'un llau; ye perpendicular a dichu llau.
• Diagonal ($d_{i}$): son los segmentos que xunen los vértices del polígonu non consecutivamente.

Formulariu

• Perímetru (P): ye la suma de los llargores de tolos llaos del polígonu.
• Semiperímetru (SP): ye la metá del perímetru.
• Diagonales totales

$N_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}$, nun polígonu de $n$ llaos.

Les diagonales per cada vértiz son $n-2$ Los vértices son $n$ Como cada diagonal ta cuntada dos veces tiense que'l númberu de diagonales sale de: ${\frac {n(n-3)}{2}}.$

• Interseiciones de diagonales $N_{I}={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}$, nun polígonu de $n$ vértices.
• Tou polígonu regular de n llaos, pue ser descompuestu nun conxuntu ordenáu de n-2 triángulos, con un vértiz común y la suma de les árees de los triángulos sía igual al área del polígonu.

Clasificación

Esisten delles clasificaciones posibles de los polígonos. Pa ver una clasificación basada nel so númberu de llaos, vea la tabla inferior.

Clasificación de los polígonos según el so contornu

Dalgunos exemplos de dellos tipos de polígonu.

Clasificación de los polígonos según la forma del so contornu.
Polígonos Simples Convexos Regulares Irregulares Cóncavos Complexos

Según les propiedaes que cumpla'l contornu del polígonu, ye posible realizar les siguientes clasificaciones.

• Simple, si nengún par d'arestes non consecutives se corta. Equivalentemente, la so frontera tien un solu contornu.
• Complexu o Cruciáu, si dos de les sos arestes non consecutives s'intersequen.
• Convexu, si tou segmentu que xune dos puntos cualesquier del contornu del polígonu xaz nel interior d'este. Tou polígonu simple y con tolos sos ángulos internos, menores que 180° ye convexu.
• Non convexu, si esiste un segmentu ente dos puntos de la frontera del polígonu que sale al esterior del mesmu. O si esiste una recta capaz de cortar el polígonu en más de dos puntos.
• Cóncavu, si ye un polígonu simple y non convexu.
• Equilláteru, si tien tolos sos llaos del mesmu llargor.
• Equiángulu, si tien tolos sos ángulos interiores iguales.
• Regular, si ye equilláteru y equiángulu al empar.
• Irregular, si nun ye regular. Esto ye, si nun ye equilláteru o equiángulu.
• Cíclicu, si esiste una circunferencia que pasa por tolos vértices del polígonu. Tolos polígonos regulares son cíclicos.
• Ortogonal o Isotéticu, si tolos sos llaos son paralelos a los exes cartesianes $x$ o $y$.
• Alabeado, si los sos llaos nun tán nel mesmu planu.
• Estrelláu, si construyir a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Llógrense distintes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de trés en trés, etc.
• Reticular ye simple y, al representalo nun reticuláu, cada vértiz xaz esautamente nun vértiz de cuadráu unitariu del reticuláu (nesti casu funciona la fórmula de Pick).
• Monótonu, si esiste dalguna direición del planu na cual toles cortes del polígonu nesa direición consisten nun puntu o un segmentu.

• 
  Polígonu simple, cóncavu ya irregular.
• 
  Polígonu complexu, cóncavu ya irregular.
• 
  Polígonu convexu y regular (equilláteru y equiángulu).
• 
  Polígonu estrelláu.

Nomes de polígonos según el so númberu de llaos

Los polígonos tienen un nome especial pa designar el númberu de llaos del mesmu. Los nomes más comunes tán na siguiente tabla:

Clasificación de polígonos según el númberu de llaos
Nome	nᵘ llaos
trígono o triángulu	3
tetrágonu, cuadrángulu o cuadriláteru	4
pentágonu	5
hexágonu	6
heptágonu	7
octógonu o octágonu	8
eneágonu o nonágonu	9
decágonu	10
endecágonu o undecágono	11
dodecágonu	12
tridecágono	13
tetradecágonu	14
pentadecágonu o pentedecágonu	15
hexadecágonu	16
heptadecágonu	17
octodecágono o octadecágono	18
eneadecágono o nonadecágono	19
isodecágono o icoságono	20
icosakaihenagono	21
icosakaidígono	22
triacontágono	30
tetracontágono	40
pentacontágono	50
hexacontágono	60
heptacontágono	70
octocontágono o octacontágono	80
eneacontágono o nonacontágono	90
hectágonu	100
chiliágonu	1000
miriágonu	10000
decemiriágonu	100000
hectamiriágonu o megágono	1000000
apeirógonu	∞

Ver tamién

• Figura xeométrica
• Poliedru
• Politopo
• Regla y compás
• Figures xeométriques
• Triangulación d'un polígonu
• Polígonu regular
• Polígonu equilláteru
• Polígonu construible
• Estrella (figura xeométrica)
• Circunferencia circunscrita
• Teselación
• Fórmula del área de Gauss

Enllaces esternos

• Wikimedia Commons acueye conteníu multimedia sobre Polígonu.
• Los Polígonos en laslaminas.es (13/5/12)
• Weisstein, Eric W. «Polígonu» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Polígonu, en webdelprofesor.ula.ve (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
• Polígonos en YouTube

• Datos: Q37555
• Multimedia: Polygons