Péndulu

Péndulu
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Péndulu na Catedral Metropolitana, Ciudá de Méxicu.

El péndulu (del lat. pendŭlus, pendiente) ye un sistema físicu que puede bazcuyar so l'acción gravitatoria o otra carauterística física (elasticidá, por casu) y que ta configuráu por una masa suspendida d'un puntu o d'una exa horizontal fixos por aciu un filo, una baniella, o otru dispositivu que sirve pa midir el tiempu.

Esisten bien variaos tipos de péndulos que, atendiendo a la so configuración y usos, reciben los nomes apropiaos: péndulu simple, péndulu compuestu, péndulu cicloidal, doble péndulu, péndulu de Foucault, péndulu balísticu, péndulu de torsión, péndulu esféricu, etcétera.

Los sos usos son bien variaos: midida del tiempu (reló de péndulu, metrónomu, ...), midida de la intensidá de la gravedá, etc.

Péndulu simple o matemáticu

Componentes del pesu de la masa pendular.

Tamién llamáu péndulu ideal ta constituyíu por un filo inextensible de masa despreciable, sosteníu pel so estremu cimeru d'un puntu fixu, con una masa puntual suxeta nel so estremu inferior que bazcuya llibremente nun planu vertical fixu.

Al dixebrar la masa pendular del so puntu d'equilibriu, bazcuya a entrambos llaos de dicha posición, moviéndose sobre una trayeutoria circular con movimientu periódicu.

Ecuación del movimientu

Pa escribir la ecuación del movimientu vamos reparar la figura axunta, correspondiente a una posición xenérica del péndulu. La flecha azul representa'l pesu de la masa pendular. Les fleches en color violeta representen les componentes del pesu nes direiciones tanxencial y normal a la trayeutoria.

Aplicando la Segunda llei de Newton na direición del movimientu, tenemos

$F_{\text{t}}=-mg\sin \theta =ma_{\text{t}}\,$

onde'l signu negativu tien en cuenta que la $F_{\text{t}}$ tien direición opuesta a la del desplazamientu angular positivu (escontra la derecha, na figura). Considerando la rellación esistente ente l'aceleración tanxencial y l'aceleración angular

$a_{\text{t}}=\ell {\ddot {\theta }}\ \,$

llogramos finalmente la ecuación diferencial del movimientu planu del péndulu simple

$\ell {\ddot {\theta }}\ +g\sin \theta =0\,$

Periodu d'oscilación

Factor d'amplificación del periodu d'un péndulu, pa una amplitú angular cualesquier. Pa ángulos pequeños el factor val aproximao 1 pero tiende a infinitu pa ángulos cercanos a π (180°).

L'astrónomu y física italianu Galileo Galilei reparó que'l periodu d'oscilación ye independiente de l'amplitú, siquier pa pequeñes oscilaciones. Sicasí, aquel depende del llargor del filo. El periodu de la oscilación d'un péndulu simple acutáu a oscilaciones de pequeña amplitú puede averase por:

$T\approx 2\pi {\sqrt {\ell \over g}}$

Pa oscilaciones mayores la rellación exacta pal periodu nun ye constante cola amplitú y arreya integrales elíptiques de primera especie:

T=4{\sqrt {\ell  \over g}}K\left(\sin {\frac {\varphi _{0}}{2}}\right)=4{\sqrt {\ell  \over g}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\varphi _{0}}{2}}\sin ^{2}\theta }}}

Onde φ₀ ye l'amplitú angular máxima. La ecuación anterior puede desenvolvese en serie de Taylor llográndose una espresión más útil:

T=2\pi {\sqrt {\ell  \over g}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\varphi _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\varphi _{0}}{2}}+\dots \right]

Solución de la ecuación de movimientu

Pa pequeñes oscilaciones l'amplitú ye casi senoidal, p'amplitúes más grandes la oscilación yá nun ye senoidal. La figura amuesa un movimientu de gran amplitú $\phi _{0}=0,999\pi$ (negru), xunto a un movimientu de pequeña amplitú $\phi _{0}=0,25\pi$ (gris).

P'amplitúes pequeñes, la oscilación puede averase como combinación llinial de funciones trigonométriques. P'amplitúes grandes puede probase l'ángulu puede espresase como combinación llinial de funciones elíptiques de Jacobi. Pa ver esto basta tener en cuenta que la enerxía constitúi una integral de movimientu y usar el métodu de la cuadradura pa integrar la ecuación de movimientu:

$t={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int _{0}^{\phi (t)}{\frac {ld\theta }{\sqrt {Y-O(\theta )}}}=$ $={\sqrt {\frac {l}{2g}}}\int _{0}^{\phi (t)}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \phi _{0}}}}={\sqrt {\frac {l}{4g}}}\int _{0}^{\phi (t)}{\frac {d\theta }{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\phi _{0}}{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}$

Onde, na última espresión usóse la fórmula del ángulu doble y onde amás:

Y=-mgl\cos \phi _{0}\;

, ye la enerxía, que ta rellacionada cola máxima amplitú

\phi _{0}\;

.

O(\phi )=-mgl\cos \phi \;

, ye la enerxía potencial.

Realizando en variable $\sin \xi ={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\phi _{0}}{2}}}}\;$ , la solución de les ecuaciones del movimientu puede espresase como:

$t={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{0}^{\Phi }{\frac {d\xi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\phi _{0}}{2}}\sin ^{2}\xi }}}\Rightarrow \qquad \phi (t)=2\arcsin \left({\mbox{sn}}\ {\sqrt {\frac {g}{l}}}t\cdot \sin {\frac {\phi _{0}}{2}}\right)$

Onde:

{\mbox{sn}}(t)\;

, ye la función elíptica de Jacobi tipu senu.

\sin \Phi ={\frac {\sin {\frac {\phi (t)}{2}}}{\sin {\frac {\phi _{0}}{2}}}}

El lagrangiano del sistema ye ${\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mgl\cos {\theta }$ , onde $\theta$ ye l'ángulu que forma la cuerda del péndulu a lo llargo de les sos oscilaciones (ye la variable), y $l$ ye'l llargor de la cuerda (ye la lligadura). Si aplíquense les ecuaciones de Lagrange llegar a la ecuación final del movimientu: $l^{2}{\ddot {\theta }}+gl\sin {\theta }=0$ . Esto ye, la masa nun inflúi nel movimientu d'un péndulu.

Péndulu esféricu

Un péndulu esféricu ye un sistema con dos graos de llibertá. El movimientu ta confináu a la una porción de superficie esférica (de radiu l) entendida ente dos paralelos. Esisten dos integral de movimientu integrales de movimientu, la enerxía Y y la componente del momentu angular paralela a la exa vertical M_z. La función lagrangiana vien dada por:

$L={\frac {1}{2}}ml^{2}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta )+mgl\cos \theta$

Onde $\phi$ ye l'ángulu polar y $\theta$ ye l'ángulu que forma'l filo o barra del péndulu cola vertical. Les ecuaciones de movimientu, llograes introduciendo'l lagrangiano anterior nes ecuaciones de Euler-Lagrange son:

${\begin{matrix}{\cfrac {d}{dt}}{\cfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\cfrac {\partial L}{\partial \theta }}=0&\Rightarrow &l{\ddot {\theta }}-l{\dot {\phi }}^{2}\sin \theta \cos \theta +g\sin \theta =0\\\\{\cfrac {d}{dt}}{\cfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}-{\cfrac {\partial L}{\partial \phi }}=0&\Rightarrow &{\cfrac {d}{dt}}(ml^{2}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta )=0\end{matrix}}$

La segunda ecuación espresa la constancia de la componente Z del momentu angular y por tanto lleva a la rellación ente la velocidá de xiru polar y el momentu angular y por tanto a reescribir la lagrangiana como:

${\dot {\phi }}={\frac {M_{z}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}\Rightarrow \qquad L=K({\dot {\theta }})+O_{ef}(\theta )={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {M_{z}^{2}}{2ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta$

Y el problema queda amenorgáu a un problema unidimensional.

Periodu

El movimientu d'un péndulu esféricu polo xeneral nun resulta periódicu, yá que ye la combinación de dos movimientos periódicos de periodos xeneralmente inconmensurables. Sicasí'l movimientu resulta cuasiperiódico, lo cual significa qu'afitáu una posición y una velocidá previes del movimientu esiste un tiempu T tal que'l movimientu va pasar a una distancia tan pequeña como se deseye d'esa posición con una velocidá tan paecida como se quiera, pero ensin repitise esautamente. Dada que la rexón de movimientu amás resulta compacta, el conxuntu de puntos la trayeutoria d'un péndulu esféricu constitúi un conxuntu trupu sobre una área esférica entendida ente dos casquetes esféricos.

Solución de la ecuación de movimientu

Les ecuaciones de movimientu pueden espresase en términos d'integrales elíptiques de primer especie y tercer especie:

$t={\sqrt {\frac {ml^{2}}{2}}}\int {\frac {d\theta }{\sqrt {Y-O_{ef}(\theta )}}}\qquad \phi ={\frac {M_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int {\frac {d\theta }{\sin ^{2}\theta {\sqrt {Y-O_{ef}(\theta )}}}}$

Ver tamién

Referencies

Bibliografía

Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de les partícules y sistemes. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8.
Ortega, Manuel R. (1989-2006). leición de Física (4 volumes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª. CECSA, Méxicu. ISBN 970-24-0257-3.

Enllaces esternos

Péndulu Invertíu (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).