復活節的計算

一個來自瑞典的表，用來計算1140年至1671年的復活節日期

復活節的計算（computus，拉丁文「計算」之意），其規則是復活節的日期是在3月21日當日或之後的滿月日後的首個星期日。天主教會設計了方法去定一個「天主教的月」，而不像猶太人般觀察真正的月亮。

歷史

主条目：復活節日期爭論

基督教在二世紀開始，出現兩個紀念耶穌復活的日期：東方的小亞細亞教會，遵循耶穌的使徒的遺傳，於是在猶太人的逾越節，即是猶太曆尼散月十四日，紀念耶穌的受難和復活，表明逾越節羔羊預表耶穌（哥林多前書5:7）。至於以羅馬教會為代表的西方教會，就在逾越節後的星期日紀念耶穌的復活。從二世紀後期開始，這項分歧引致教會間很大紛爭。後來在325年第一次尼西亞會議，決定不按猶太曆法，而按照春分月圓，自行計算出復活節日期（但是所謂「春分」是固定於西曆3月21日）。此後教會為了定出從西曆計算月亮周期的方法，不依賴於天文觀察，各地先後提出多種方法，歷時數個世紀，才定出各地教會共用的計算表冊和方法。

理論

由於猶太曆是陰曆，基督教會捨棄依從猶太曆的傳統時，便造出自己的陰曆取代。每29或30日合為一個陰曆月（如果包含2月29日則有31日），在3月結束的陰曆月有30日，在4月結束者有29日，如此長短相間。12個陰曆月比陽曆年短11日，兩者的差距稱為閏餘（epact），陽曆日期加上閏餘得出陰曆月的日期。閏餘每年增加11日，達到30日或以上則減去30，設一個30日的閏月。每19年的默冬週期應剛好等於235個陰曆月，閏餘應以19年為一週期，但是19年的閏餘累積為29日，於是在儒略曆中將最後一年7月1日開始的陰曆月由本來30日減去1日，又在19年中加入7個各30日的閏月，分別開始於在第2年12月3日，第5年9月2日，第8年3月6日，第10年12月4日，第13年11月2日，第16年8月2日，第19年3月5日。一年在默冬週期中的位置稱為黃金數，算式是年份除以19的餘數加1。陰曆月第14日定為形式上的望日。望日在3月21日或之後的第一個陰曆月是復活節月，復活節是此陰曆月第14日之後第一個週日。

表列法

格里曆

由於1582年格里曆改革主要原因，在於當時的復活節計算法已遠離真正的春分和滿月，在推出新曆法時也推行了新的復活節計算法。將全年365日列出，再用遞減的羅馬數字標記各日，1月1日標記為「*」（0或30），1月2日為「xxix」（29），直到「i」，然後再重複至年末，但每偶數週期只有29日，需將標記為「xxv」的日子也標為「xxiv」。最後每個30日週期中將標記為「xxv」的日子加上標記「25」，每個29日週期中將標為「xxvi」的日子加上標記「25」。然後用「A」至「G」為每日標記，一年第一個週日的字母是這年的主日字母，例如如果1月5日是星期日，這年的主日字母是「E」，但是閏年有兩個主日字母，第一個是1至2月，第二個（提前一字母）是3月以後。每個陰曆月的朔日是和閏餘相同的羅馬數字日子。然而，由於默冬週期中，相隔11年的兩個年份閏餘相差1日，如果這兩年閏餘分別是24和25，那麼這兩年的朔日都會一樣，顯得不太優美，因此黃金數大於11而閏餘是25的年份，朔日改在標記為「25」的日子。格里曆每400年減去3個閏年，但是為免影響默冬週期，因此這三年將閏餘減1以修正（solar equation，equation按古代意思解作修正差異）；不過，19個未改正的儒略年比235個朔望月略長，每310年差距累積到一日，故此每2500（格里）年中，須8次將閏餘加1以修正（lunar equation），修正在世紀年進行，每兩次修正相隔300年，但每8次修正後隔400年再開始，第一次在1800年，下一次在2100年。這兩種修正有時互相抵消，如1800年和2100年即是。格里曆改革後黃金數方法被閏餘方法取代，但可以編制出兩者關係的簡化表格，有效期由一至三個世紀不等。以下的閏餘表對1900年至2199年適用。黃金數的算法為年份除以19的餘數再加1，如2014年除以19的餘數為0，故此2014黃金數是1。

黃金數	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
閏餘	29	10	21	2	13	24	5	16	27	8	19	*	11	22	3	14	25	6	17

格里曆完整的5,700,000年周期復活節日期的分佈

標記	3月	主日字母	4月	主日字母
*	1	D
xxix	2	E	1	G
xxviii	3	F	2	A
xxvii	4	G	3	B
xxvi	5	A	4	C
25	6	B
xxv			5	D
xxiv	7	C
xxiii	8	D	6	E
xxii	9	E	7	F
xxi	10	F	8	G
xx	11	G	9	A
xix	12	A	10	B
xviii	13	B	11	C
xvii	14	C	12	D
xvi	15	D	13	E
xv	16	E	14	F
xiv	17	F	15	G
xiii	18	G	16	A
xii	19	A	17	B
xi	20	B	18	C
x	21	C	19	D
ix	22	D	20	E
viii	23	E	21	F
vii	24	F	22	G
vi	25	G	23	A
v	26	A	24	B
iv	27	B	25	C
iii	28	C	26	D
ii	29	D	27	E
i	30	E	28	F
*	31	F	29	G
xxix			30	A

舉例：2019年黃金數是6，閏餘是24，則標記為「xxiv」日子是朔日，3月7日和4月5日為朔日，而望日為朔日的13日後，即3月20日和4月18日。3月21日或之後的望日是4月18日。這一日之後（不包括當日）的週日是復活節。2019年的主日字母是「F」，所以4月21日是復活節。

第偶數個陰曆月只有29日，有一日需有兩個閏餘標記，而選擇移動「xxv/25」的理由可能是：在閏餘為24的年份，如果3月7日開始的陰曆月有30日，復活節月便在4月6日開始，望日在4月19日，又假設該日是週日，復活節便在下週日4月26日。但是教會規定復活節不晚於4月25日，所以4月5日便有兩個標記「xxv」「xxiv」。因此格里曆中復活節最多出現在4月19日，約3.87%，最少出現在3月22日，約0.48%。

儒略曆

格里曆改革前西方教會使用的方法，也是東方正教會現今使用的方法，採用未改正的默冬週期，每週期開始閏餘都是0日，因此復活節望日只可能有19個。因為儒略曆不作出像格里曆的改正，每過一千年，教會陰曆的望日日期會比實際的望日推遲三日多，故此現時約有一半東正教的復活節比西方教會晚了一週。又由於儒略曆在1900年至2099年間比格里曆落後13日，格里曆的復活節望日不時在儒略曆3月21日之前，使東正教的復活節比西方教會晚了四至五週。

各地教會從4世紀開始漸漸採用此方法，931年最後一個英格蘭修道院也採用。在採用此方法前各地用其他方法定出復活節日期，相差可以達至五週。

下表是自從931年起儒略曆的復活節望日日期：

黃金數	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
復活節望日	4月5日	3月25日	4月13日	4月2日	3月22日	4月10日	3月30日	4月18日	4月7日	3月27日	4月15日	4月4日	3月24日	4月12日	4月1日	3月21日	4月9日	3月29日	4月17日

例子：1573年的黃金數是16，查表得到復活節望日是3月21日。從星期表得到該日是週六，因此復活節是其後的週日3月22日。

演算法

高斯演算法

這個方法由以數學家高斯命名。

用Y表示年份，mod運算指整數除法的餘數（例如13 mod 5 = 3，詳細請參見同餘）。

東正教会所用的儒略曆取M=15,N=6，西方教会所用的公曆的取法參見下表：

  年份      M   N
1583-1699  22   2
1700-1799  23   3
1800-1899  23   4
1900-2099  24   5
2100-2199  24   6
2200-2299  25   0

• a = Y mod 19
• b = Y mod 4
• c = Y mod 7
• d = (19a + M) mod 30
• e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7

若d+e < 10則復活節在3月(d+e+22)日，反則在4月(d+e-9)日，除了兩個特殊情況：

• 若公式算出的日期是4月26日，復活節在4月19日；
• 若公式算出的日期是4月25日，同時d=28、e=6和a>10，復活節應在4月18日。

Meeus/Jones/Butcher演算法（公曆）

Jean Meeus在他的書《天文演算法》（Astronomical Algorithms，1991年）記載了這個計算公曆中的復活節日期的方法，並指這個方法是來自Spencer Jones的書《一般天文學》（General Astronomy，1922年）和《英國天文學會期刊》（Journal of the Brithish Astronomical Association，1977年），後者指方法是來自Butcher's Ecclesiastical Calendar（1876年）。

這個方法的優點是不用任何表也沒有例外的情況。注意這裡用的是整數除法，7/2=3非3.5。

	Worked Example Year(Y) = 1961	Worked Example Year(Y) = 2000
a = Y mod 19	1961 mod 19 = 4	2000 mod 19 = 5
b = Y / 100	1961 / 100 = 19	2000 / 100 = 20
c = Y mod 100	1961 mod 100 = 61	2000 mod 100 = 0
d = b / 4	19 / 4 = 4	20 / 4 = 5
e = b mod 4	19 mod 4 = 3	20 mod 4 = 0
f = (b + 8) / 25	(19 + 8) / 25 = 1	(20 + 8) / 25 = 1
g = (b - f + 1) / 3	(19 - 1 + 1) / 3 = 6	(20 - 1 + 1) / 3 = 6
h = (19 * a + b - d - g + 15) mod 30	(19 * 4 + 19 - 4 - 6 + 15) mod 30 = 10	(19 * 5 + 20 - 5 - 6 + 15) mod 30 = 29
i = c / 4	61 / 4 = 15	0 / 4 = 0
k = c mod 4	61 mod 4 = 1	0 mod 4 = 0
l = (32 + 2 * e + 2 * i - h - k) mod 7	(32 + 2 * 3 + 2 * 15 - 10 - 1) mod 7 = 1	(32 + 2 * 0 + 2 * 0 - 29 - 0) mod 7 = 3
m = (a + 11 * h + 22 * l) / 451	(4 + 11 * 10 + 22 * 1) / 451 = 0	(5 + 11 * 29 + 22 * 3) / 451 = 0
month = (h + l - 7 * m + 114) / 31	(10 + 1 - 7 * 0 + 114) / 31 = 4 (April)	(29 + 3 - 7 * 0 + 114) / 31 = 4 (April)
day = ((h + l - 7 * m + 114) mod 31) + 1	(10 + 1 - 7 * 0 + 114) mod 31 + 1 = 2	(29 + 3 - 7 * 0 + 114) mod 31 + 1 = 23
	1961年4月2日	2000年4月23日

Meeus演算法（儒略曆）

在《天文演算法》，使用了以下公式計算儒略曆中的復活節日期：（注意這裡用的是整數除法，7/2=3非3.5。）

• a = Y mod 4
• b = Y mod 7
• c = Y mod 19
• d = (19*c + 15) mod 30
• e = (2*a + 4*b - d + 34) mod 7
• 月 = (d+e+114) / 31
• 日 = ((d+e+114) mod 31) + 1