不可及数：修订间差异

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2024年4月20日 (六) 08:57的版本

不可及数（Untouchable Number）是正整数，它们无法表示为任意一个正整数（包括自身）的全部真因數之和。

比如5就是不可及数。5可以表示為1+4，這是唯一加數中有1，且加数沒有重覆的分解方式。不過，如果4是某个数的因数，则2也是它的因数，因此1和4明显不能是任何一个数所有的正因子，2也必须包括进来。5=2+3的分解方式不包括1，因此也是不符要求的。别的分解方式必然包括相同的数，因此也不符合要求。

相反的，4就不是不可及數，因為4可以表示為1+3，這是9的正因子（不考慮9本身）的和，因此4不是不可及數。

在线数列百科OEIS的A005114数列展示了递增排列的不可及数：

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290,292,304,306,……

保罗·埃尔德什证明了不可及数有无穷多个。

人们相信5应该是不可及数中唯一的奇数，但这尚未获得证明。可以由稍强化的哥德巴赫猜想^[1]得到此推论。如果这个猜想成立，那么除了2和5，不可及数都应该是合数。

完全数显然不是不可及数：完全数正好等于自身所有因子之和。

梅森數显然不是不可及数：2的冪的真因數和正好等于梅森數。

質数進位由1組成的純位數显然不是不可及数：質数冪的真因數和等於質数進位由1組成的純位數。

不可及数不可能比质数多1：显然任何素数p的平方的因子之和为p+1。

不可及数不可能比质数多3：显然任何素数p的2倍的因子之和为p+3。

參考資料

^ 即在原有条件下要求两个质数不相同。请参看：Adams-Watters. Frank. Weisstein, Eric W. Untouchable Number. MathWorld.

[1] 即在原有条件下要求两个质数不相同。请参看：Adams-Watters. Frank. Weisstein, Eric W. Untouchable Number. MathWorld.

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-不可及数是这样的一些[[正整数]]，它们无法表示为任意一个正整数（包括它自己）的全部正[[因子]]（除自身）之和。
+'''不可及数'''（Untouchable Number）是[[正整数]]，它们无法表示为任意一个正整数（包括自身）的全部[[真因數和|真因數之和]]。
-比如5就是这样的一个数。5=1+4是唯一有1且加数各不相同的分解方式。然而，显然，如果4是某个数的因数，则2也是它的因数，因此1和4明显不能是任何一个数所有的正因子，2也必须包括进来。5=2+3的分解方式不包括1，因此也是错的。别的分解方式必然包括相同的数，因此也不符合要求。
+比如5就是不可及数。5可以表示為1+4，這是唯一加數中有1，且加数沒有重覆的分解方式。不過，如果4是某个数的因数，则2也是它的因数，因此1和4明显不能是任何一个数所有的正因子，2也必须包括进来。5=2+3的分解方式不包括1，因此也是不符要求的。别的分解方式必然包括相同的数，因此也不符合要求。
+相反的，4就不是不可及數，因為4可以表示為1+3，這是9的正[[因子]]（不考慮9本身）的和，因此4不是不可及數。
-在线数列百科OEIS的A005114数列展示了递增排列的不可及数。
+在线数列百科[[OEIS]]的{{OEIS link|id=A005114}}数列展示了递增排列的不可及数：
-, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, …
+[[2]], [[5]], [[52]], [[88]], [[96]], [[120]], [[124]], [[146]], [[162]], [[188]], [[206]], [[210]], [[216]], [[238]], [[246]], [[248]], [[262]], [[268]], [[276]], [[288]], [[290]],[[292]],[[304]],306,……
-不可及数被[[保罗•埃尔德什]]证明有无穷多个。
+[[保罗·埃尔德什]]证明了不可及数有无穷多个。
-人们相信5应该是不可及数中唯一的奇数，但这尚未获得证明。可以由稍强化的[[哥德巴赫猜想]]<ref>即在原有条件下要求两个质数不相同。请参看： {{MathWorld|urlname=UntouchableNumber|title=Untouchable Number|author=Adams-Watters. Frank. Weisstein, Eric W.}}</ref>得到此推论。由此，除了2和5，不可及数都应该是合数。
+人们相信5应该是不可及数中唯一的奇数，但这尚未获得证明。可以由稍强化的[[哥德巴赫猜想]]<ref>即在原有条件下要求两个质数不相同。请参看：{{MathWorld|urlname=UntouchableNumber|title=Untouchable Number|author=Adams-Watters. Frank. Weisstein, Eric W.}}</ref>得到此推论。如果这个猜想成立，那么除了2和5，不可及数都应该是合数。
 [[完全数]]显然不是不可及数：完全数正好等于自身所有因子之和。
-不可及数不可能比质数多1：显然任何素数p的平方的因子之和为p+1。
+[[梅森數]]显然不是不可及数：[[2的冪]]的真因數和正好等于梅森數。
+[[質数]][[進位]]由1組成的[[純位數]]显然不是不可及数：質数冪的真因數和等於[[質数]][[進位]]由1組成的[[純位數]]。
+不可及数不可能比质数多1：显然任何[[素数]]p的[[平方]]的因子之和为p+1。
+不可及数不可能比质数多3：显然任何[[素数]]p的2倍的因子之和为p+3。
-不可及数不可能比质数多3：显然任何素数p的2倍的因子之和为p+3。
 ==參考資料==
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 [[Category:整数数列|B]]
-[[en:Untouchable number]]
-[[fr:Nombre intouchable]]
-[[ko:불가촉 수]]
-[[it:Numero intoccabile]]
-[[he:מספר נגיע]]
-[[ms:Nombor tidak boleh sentuh]]
-[[ru:Неприкосновенное число]]
-[[sl:Nedotakljivo število]]