Using k-Mix-Neighborhood Subdigraphs to Compute Canonical Labelings of Digraphs
<p>Each close <italic>mix</italic>-neighborhood subdigraph of different nodes sets of an 8 × 8 grid digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2037" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> consists of pink and green nodes and edges. (<bold>a</bold>) The close mix-neighborhood subdigraph <inline-formula> <mml:math id="mm2038" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>b</bold>) <inline-formula> <mml:math id="mm2039" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) <inline-formula> <mml:math id="mm2040" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>d</bold>) <inline-formula> <mml:math id="mm2041" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) <inline-formula> <mml:math id="mm2042" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>f</bold>) <inline-formula> <mml:math id="mm2043" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 2
<p>A wheel graph <italic>G</italic>, two open mix-neighborhood subdigraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2084" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula> <mml:math id="mm2085" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and the three relevant nodes sets generated by the boolean operations of <inline-formula> <mml:math id="mm2086" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula> <mml:math id="mm2087" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) A wheel digraph <italic>G</italic>; (<bold>b</bold>) The open mix-neighborhood subdigraph <inline-formula> <mml:math id="mm2088" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The open mix-neighborhood subdigraph <inline-formula> <mml:math id="mm2089" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>d</bold>) <inline-formula> <mml:math id="mm2090" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) <inline-formula> <mml:math id="mm2091" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>7</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>f</bold>) <inline-formula> <mml:math id="mm2092" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>∅</mml:mo> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 3
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2491" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2492" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2493" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The <inline-formula> <mml:math id="mm2494" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> grid digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2495" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 27 nodes and 54 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2497" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The <inline-formula> <mml:math id="mm2498" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> grid digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2499" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 64 nodes and 144 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2501" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) A digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2502" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 77 nodes and 196 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2504" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 4
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2506" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2507" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>12</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2508" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) A <inline-formula> <mml:math id="mm2509" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> king digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2510" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 100 vertices and 342 directed edges ; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2512" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) A <inline-formula> <mml:math id="mm2513" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>12</mml:mn> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> grid digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2514" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>12</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 144 nodes and 264 edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2516" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>12</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) A wheel digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2517" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 51 nodes and 100 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2519" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 5
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of <inline-formula> <mml:math id="mm2521" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2522" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2523" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) A digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2524" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 50 nodes and 90 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2526" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) A directed tree <inline-formula> <mml:math id="mm2527" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 39 nodes and 38 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2529" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) A directed tree <inline-formula> <mml:math id="mm2530" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 42 nodes and 41 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2532" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 6
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2534" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2535" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2536" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) A digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2537" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 22 nodes and 37 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2539" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) A digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2540" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 53 nodes and 80 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2542" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ; (<bold>e</bold>) A graph <inline-formula> <mml:math id="mm2543" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 49 nodes and 78 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2545" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 7
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2547" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2548" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>9</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2549" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>10</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The Doyle digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2550" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 27 nodes and 54 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2552" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The Clebsch digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2553" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>9</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 16 nodes and 40 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2555" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>9</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) The 4-hypercube digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2556" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>10</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 16 nodes and 32 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2558" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>10</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 8
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2560" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>11</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2561" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2562" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>13</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The coxeter digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2563" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>11</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 28 nodes and 42 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2565" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>11</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The Dyck digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2566" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 32 vertices and 48 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2568" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) A Shrikhande digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2569" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>13</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 16 vertices and 48 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2571" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>13</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 9
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2573" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>14</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2574" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>15</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2575" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>16</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The 6th order cube-connected cycle digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2576" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>14</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 24 vertices and 36 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2578" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>14</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) A triangle-replaced digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2579" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>15</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 30 nodes and 45 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2581" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>15</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) The Thomassen digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2582" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>16</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 34 vertices and 52 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2584" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>16</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 10
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2586" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>17</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2587" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>18</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2588" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>19</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The musical digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2589" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>17</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 24 nodes and 60 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2591" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>17</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The 12-crossed prism digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2592" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>18</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 24 nodes and 36 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2594" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>18</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) The Icosidodecahedral digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2595" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>19</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 30 nodes and 60 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2597" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>19</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 11
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2599" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>20</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2600" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>21</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2601" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>22</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The 7-antiprism digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2602" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>20</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 14 vertices and 28 edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2604" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>20</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) A fullerene digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2605" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>21</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 24 vertices and 36 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2607" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>21</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) The great rhombicuboctahedron digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2608" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>22</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 48 vertices and 72 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2610" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>22</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 12
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2612" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>23</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2613" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>24</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2614" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>25</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) A Hamiltonian digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2615" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>23</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 20 nodes and 30 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2617" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>23</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The Folkman digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2618" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>24</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 20 nodes and 40 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2620" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>24</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) The snark digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2621" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>25</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 20 vertices and 30 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2623" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>25</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 13
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2625" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2626" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>26</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2627" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>27</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The complete bipartite digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2628" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 10 nodes and 25 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2630" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The triangular digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2631" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>26</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 10 nodes and 30 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2633" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>26</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) A generalized quadrangle digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2634" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>27</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 15 nodes and 45 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2636" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>27</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 14
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2638" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>28</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2639" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>29</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2640" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>30</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The 6-Andrásfai digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2641" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>28</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 17 nodes and 51 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2643" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>28</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The 4-dimensional Keller digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2644" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>29</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 16 nodes and 46 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2646" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>29</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) The <inline-formula> <mml:math id="mm2647" display="block"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> knight digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2648" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>30</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 36 vertices and 80 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2650" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>30</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 15
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2652" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>31</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2653" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>32</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2654" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>33</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The Loupekine snarks digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2655" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>31</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 22 nodes and 33 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2657" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>31</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The Errera digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2658" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>32</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 17 nodes and 45 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2660" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>32</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) The Sierpinski sieve digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2661" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>33</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 42 nodes and 72 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2663" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>33</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 16
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2665" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>34</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2666" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>35</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2667" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>36</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The Grinberg digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2668" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>34</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 44 nodes and 67 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2670" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>34</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) A digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2671" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>35</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 38 nodes and 57 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2673" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>35</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) The Grinberg digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2674" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>36</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 42 vertices and 63 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2676" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>36</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 17
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2678" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>37</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2679" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>38</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2680" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>39</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) A pentagonal icositetrahedral digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2681" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>37</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 38 nodes and 60 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2683" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>37</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The Faulkner-Younger digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2684" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>38</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 42 vertices and 62 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2686" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>38</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) The Faulkner-Younger digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2687" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>39</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 44 nodes and 65 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2689" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>39</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 18
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2691" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>40</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2692" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>41</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2693" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>42</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The Celmins Swart snarks digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2694" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>40</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 26 vertices and 39 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2696" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>40</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The truncated octahedron digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2697" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>41</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 24 nodes and 36 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2699" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>41</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) The Nauru digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2700" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>42</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 24 nodes and 36 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2702" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>42</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 19
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2704" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>43</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2705" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>44</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2706" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>45</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The Wiener-Araya digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2707" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>43</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 42 nodes and 67 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2709" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>43</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The Zamfirescu digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2710" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>44</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 48 nodes and 76 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2712" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>44</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) The Folkman digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2713" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>45</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 20 nodes and 40 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2715" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>45</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 20
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2717" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>46</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2718" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>47</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2719" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>48</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The 24-cell digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2720" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>46</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 24 nodes and 94 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2722" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>46</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) A disconnected graph <inline-formula> <mml:math id="mm2723" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>47</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 12 nodes and 12 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2725" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>47</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) A disconnected digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2726" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>48</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that has four connected components and a total of 100 nodes and 160 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic>> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2728" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>48</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> "> Figure 21
<p>The <italic>MaxEm</italic> digraphs of three digraphs <inline-formula> <mml:math id="mm2730" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>49</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula> <mml:math id="mm2731" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>50</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula> <mml:math id="mm2732" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>51</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<bold>a</bold>) The projective plane digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2733" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>49</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 26 nodes and 52 directed edges; (<bold>b</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2735" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>49</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>c</bold>) The Miyazaki digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2736" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>50</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 40 nodes and 60 directed edges; (<bold>d</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2738" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>50</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (<bold>e</bold>) The Cubic Hypohamiltonian digraph <inline-formula> <mml:math id="mm2739" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>51</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with 44 nodes and 75 directed edges; (<bold>f</bold>) The <italic>MaxEm</italic> digraph of <inline-formula> <mml:math id="mm2741" display="block"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>51</mml:mn> </mml:msub> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p> ">
Abstract
:1. Introduction
2. Preliminaries
- 1.
- , if and for all .
- 2.
- if and only if either of the following is true.
- (a)
- for , .
- (b)
- for and .
- 1.
- , if and for all .
- 2.
- if and only if either of the following is true.
- (a)
- for , .
- (b)
- for and .
- 1.
- , if for all .
- 2.
- , if satisfying conditions for all , , and with or with .
3. Results and Discussion
3.1. Compute of the Digraph G
3.1.1. Compute the First Node Added into
3.1.2. Calculate the Intermediate Vertices Added into
- 1.
- for .
- 2.
- hold for with .
- 1.
- for .
- 2.
- hold for with .
- 1.
- By Definition 11, the selection of the th vertex of for computing is from the open neighborhood subdigraph of the nodes set Q.
- 2.
- the vertex-induced subdigraph of the first m vertices is connected.
- 1.
- By Definition 11, the selection of the th vertex of for computing is from the open mix-neighborhood subdigraph of the nodes set Q.
- 2.
- the vertex-induced subdigraph of the first m vertices is connected.
3.2. Compute for a Disconnected Digraph
4. Our Algorithms for Computing the Canonical Labelings of Digraphs
Algorithm 1: Arrange all nodes of into a single chain for a close mix-neighborhood subdigraph with , respectively where , , , and . |
|
Algorithm 2: Compare the entire mix diffusion outdegree sequences , , ⋯, and , , ⋯, of two nodes v and w in H. |
|
Algorithm 3: Compare two mix diffusion outdegree sequences and of two nodes v and w in H. |
|
Algorithm 4: Compare and . |
|
- Starting from the head of , our algorithm successively determines whether each node satisfies the outdegree multiplicity condition . If the number of vertices satisfying condition is less than 2 in , it puts u into . If there are two nodes satisfying condition with respect to , then it continues to determine whether or with respect to G. If , it rearranges the in front of the in (see Algorithm 1). Otherwise, it rearranges the in back of the in (see Algorithm 1).
- Except the nodes added into , it uses a queue Q to store the intermediate nodes to be added to . After performing Step 1, it sequentially determines whether or not each node is in Q. If u is in Q and the number of nodes added into is less than 2 in the preceding procedures, it puts u into and simultaneously deletes u from Q. Otherwise, it inputs u into Q.
- For , if the number of vertices of added into is 0 and the number of vertices satisfying condition with is less than 2, it puts u into . The remaining processing steps are the same as for .
- For , if the number of vertices of and added into is 0 and the number of vertices satisfying the condition with is less than 2, it puts u into . The remaining processing steps are the same as for .
5. Software Implementation
6. Conclusions and Future Work
Acknowledgments
Author Contributions
Conflicts of Interest
References
- McKay, B. Computing automorphisms and canonical labellings of graphs. In Combinatorial Mathematics; Lecture Notes in Mathematics; Springer: Berlin/Heidelberg, Germany, 1978; Volume 686, pp. 223–232. [Google Scholar]
- Piperno, A. Search space contraction in canonical labeling of graphs. arXiv 2008. [Google Scholar]
- Junttila, T.; Kaski, P. Engineering an Efficient Canonical Labeling Tool for Large and Sparse Graphs. In Proceedings of the Ninth Workshop on Algorithm Engineering and Experiments and the Fourth Workshop on Analytic Algorithmics and Combinatorics, New Orleans, LA, USA, 6 January 2007; SIAM: Philadelphia, PA, USA, 2007; pp. 135–149. [Google Scholar]
- Babai, L.; Luks, E.M. Canonical Labeling of Graphs. In Proceedings of the Fifteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing; ACM: New York, NY, USA, 1983; pp. 171–183. [Google Scholar]
- Ivanciuc, O. Canonical Numbering and Constitutional Symmetry. In Handbook of Chemoinformatics; Wiley-VCH Verlag GmbH: Weinheim, Germany, 2008; pp. 139–160. [Google Scholar]
- Shah, Y.J.; Davida, G.I.; McCarthy, M.K. Optimum Featurs and Graph Isomorphism. IEEE Trans. Syst. Man Cybern. 1974, 3, 313–319. [Google Scholar]
- Arvind, V.; Das, B.; Köbler, J. A Logspace Algorithm for Partial 2-Tree Canonization. In Computer Science—Theory and Applications; Springer: Berlin/Heidelberg, Germany, 2008; Volume 5010, pp. 40–51. [Google Scholar]
- Huan, J.; Wang, W.; Prins, J. Efficient Mining of Frequent Subgraphs in the Presence of Isomorphism; IEEE Computer Society: Washington, DC, USA, 2003; pp. 549–552. [Google Scholar]
- Kuramochi, M.; Karypis, G. Finding Frequent Patterns in a Large Sparse Graph. Data Min. Knowl. Discov. 2005, 11, 243–271. [Google Scholar]
- Kuramochi, M.; Karypis, G. An efficient algorithm for discovering frequent subgraphs. IEEE Trans. Knowl. Data Eng. 2004, 16, 1038–1051. [Google Scholar]
- He, P.R.; Zhang, W.J.; Li, Q. Some further development on the eigensystem approach for graph isomorphism detection. J. Frankl. Inst. Eng. Appl. Math. 2005, 342, 657–673. [Google Scholar]
- Kashani, Z.; Ahrabian, H.; Elahi, E.; Nowzari-Dalini, A.; Ansari, E.; Asadi, S.; Mohammadi, S.; Schreiber, F.; Masoudi-Nejad, A. Kavosh: A new algorithm for finding network motifs. BMC Bioinform. 2009, 10, 318. [Google Scholar]
- Babai, L.; Kucera, L. Canonical labelling of graphs in linear average time. In Proceedings of the 20th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, San Juan, Puerto Rico, 29–31 October 1979; pp. 39–46.
- Arnborg, S.; Proskurowski, A. Canonical Representations of Partial 2- and 3-Trees. In Proceedings of the 2nd Scandinavian Workshop on Algorithm Theory; Springer: Berlin/Heidelberg, Germany, 1990; Volume 477, pp. 197–214. [Google Scholar]
- Hao, J.; Gong, Y.; Tan, L.; Duan, D. Apply Partition Tree to Compute Canonical Labelings of Graphs. Int. J. Grid Distrib. Comput. 2016, 9, 241–263. [Google Scholar]
- McKay, B.D. Practical Graph Isomorphism. Congr. Numer. 1981, 30, 45–87. [Google Scholar]
- McKay, B.D. Isomorph-Free Exhaustive Generation. J. Algorithms 1998, 26, 306–324. [Google Scholar]
- McKay, B.D.; Piperno, A. Practical graph isomorphism, II. J. Symb. Comput. 2014, 60, 94–112. [Google Scholar]
- Ullmann, J.R. An Algorithm for Subgraph Isomorphism. J. ACM 1976, 23, 31–42. [Google Scholar]
- Yan, X.; Han, J. gSpan: Graph-based substructure pattern mining. In Proceedings of the 2002 IEEE International Conference on Data Mining (ICDM 2003), Maebashi City, Japan, 9–12 December 2002; pp. 721–724.
- Miyazaki, T. The complexity of McKay’s canonical labeling algorithm. In Groups and Computation II; American Mathematical Society: Providence, RI, USA, 1997; Volume 28, pp. 239–256. [Google Scholar]
- Tener, G.; Deo, N. Efficient isomorphism of miyazaki graphs. Algorithms 2008, 5, 7. [Google Scholar]
- Junttila, T.; Kaski, P. Conflict Propagation and Component Recursion for Canonical Labeling. In Theory and Practice of Algorithms in (Computer) Systems; Lecture Notes in Computer Science; Springer: Berlin/Heidelberg, Germany, 2011; Volume 6595, pp. 151–162. [Google Scholar]
- López-Presa, J.L.; Anta, A.F.; Chiroque, L.N. Conauto-2.0: Fast Isomorphism Testing and Automorphism Group Computation. arXiv 2011. [Google Scholar]
- Katebi, H.; Sakallah, K.; Markov, I. Graph Symmetry Detection and Canonical Labeling: Differences and Synergies. In Proceedings Turing-100; EPIC: Manchester, UK, 2012; Volume 10, pp. 181–195. [Google Scholar]
- Bang-Jensen, J.; Gutin, G.Z. Digraphs: Theory, Algorithms and Applications, 2nd ed.; Springer: Berlin/Heidelberg, Germany, 2008. [Google Scholar]
- Bollobás, B. Modern Graph Theory; Springer: Berlin/Heidelberg, Germany, 2013; Volume 184. [Google Scholar]
- Chartrand, G.; Tian, S. Distance in digraphs. Comput. Math. Appl. 1997, 34, 15–23. [Google Scholar]
- ALENEX 2007 Submission: Source Code, Benchmark Instances, and Summary Results. Available online: http://www.tcs.hut.fi/Software/benchmarks/ALENEX-2007/ (accessed on 17 February 2017).
- Weisstein, E.W. Simple Directed Graph. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Available online: http://mathworld.wolfram.com/SimpleDirectedGraph.html (accessed on 18 February 2017).
© 2017 by the authors. Licensee MDPI, Basel, Switzerland. This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution (CC BY) license ( http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).
Share and Cite
Hao, J.; Gong, Y.; Wang, Y.; Tan, L.; Sun, J. Using k-Mix-Neighborhood Subdigraphs to Compute Canonical Labelings of Digraphs. Entropy 2017, 19, 79. https://doi.org/10.3390/e19020079
Hao J, Gong Y, Wang Y, Tan L, Sun J. Using k-Mix-Neighborhood Subdigraphs to Compute Canonical Labelings of Digraphs. Entropy. 2017; 19(2):79. https://doi.org/10.3390/e19020079
Chicago/Turabian StyleHao, Jianqiang, Yunzhan Gong, Yawen Wang, Li Tan, and Jianzhi Sun. 2017. "Using k-Mix-Neighborhood Subdigraphs to Compute Canonical Labelings of Digraphs" Entropy 19, no. 2: 79. https://doi.org/10.3390/e19020079