CURSO: ESTÁTICA DOCENTE : Ing. Adama Gómez Jorge V. CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE OBJETIVOS Analizar el concepto de centro de gravedad, centro de masa, y centroide. Mostrar cómo determinar la ubicación del centro de gravedad y centroide para un sistema de partículas discretas y un cuerpo de forma arbitraria. Usar los teoremas de Pappus y Guldinus para encontrar el área y el volumen de una superficie de revolución. CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS CENTRO DE GRAVEDAD (G). Es aquel punto donde se ubica el peso resultante de un sistema de partículas. Consideramos un sistema de n partículas fijo dentro de una región del espacio. Los pesos de las partículas pueden reemplazarse por una única (equivalente) W resultante con un punto de aplicación G bien definido Para encontrar las coordenadas X,Y,Z del centro de gravedad G, debemos tomar momento respecto a los ejes x ,y , z luego tenemos: ……..(1) Aquí: CENTRO DE MASA. Es aquel punto donde se encuentra concentrado la masa del sistema y actúa la fuerza resultante. Si la aceleración debida a la gravedad g para cada partícula es constante, entonces W = mg. Sustituyendo en las ecuaciones y cancelando g en el numerador y el denominador resulta ……..(2) Por comparación, entonces, la ubicación del centro de gravedad coincide con la del centro de masa: Sin embargo, recuerde que las partículas tienen "peso" únicamente bajo la influencia de una atracción gravitatoria, mientras que el centro de masa es independiente de la gravedad. CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA, Y CENTROIDE PARA UN CUERPO Centro de gravedad. Un cuerpo rígido está compuesto de un número infinito de partículas, las ecuaciones (1) son aplicados al sistema de partículas que componen un cuerpo rígido, resulta necesario usar integración en vez de una suma discreta de términos. Considerando la partícula arbitraria ubicada en (x, y, z) y con peso dW, las ecuaciones resultantes son Aquí la integración debe ser efectuada a todo el volumen del cuerpo. CENTROIDE. Es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su ubicación es igual para encontrar el centro de gravedad del cuerpo o centro de masa. si el material es uniforme u homogéneo, la densidad o peso específico es constante en todo el cuerpo, y por tanto, este término saldrá de las integrales y se cancelará en el numerador y denominador de las ecuaciones. Las fórmulas resultantes definen el centroide del cuerpo que son independientes del peso del cuerpo y dependen sólo de la geometría de éste. Consideraremos tres casos específicos. Centroide de un Volumen Consideremos un objeto subdivididos en elementos de volumen dV. Para la localización del centroide, CENTROIDE DE UN ÁREA Para el centroide de la superficie de un objeto, tal como una placa o un disco, subdividimos el área en elementos diferenciales dA CENTROIDE DE UNA LÍNEA Si la geometría de un objeto toma la forma de una línea, el balance de los momentos de cada elemento diferencial dL especto a cada eje, resulta PUNTOS IMPORTANTES  El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo. Este punto coincide con el centro de masa o con el centro de gravedad sólo si el material que compone al cuerpo es uniforme u homogéneo.  Las fórmulas usadas para localizar el centro de gravedad o el centroide simplemente representan un balance entre la suma de momentos de todas las partes del sistema y el momento de la "resultante" para el sistema.  En algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera del objeto, como en el caso de un anillo, donde el centroide está en el centro del anillo. Además, este punto se encontrará sobre cualquier eje de simetría del cuerpo. PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS El centro de gravedad o centroide de un objeto o forma puede ser determinado mediante simples integraciones usando el siguiente procedimiento. Elemento diferencial.  Seleccione un sistema coordenado apropiado, especifique los ejes coordenados, y luego elija un elemento diferencial para la integración.  Para líneas dL es un segmento diferencial de línea.  Para áreas dA es un rectángulo de longitud finita y ancho diferencial.  Para volúmenes dV es un disco circular con radio finito y espesor diferencial, o bien, un cascarón con longitud y radio finitos y espesor diferencial. Tamaño y brazos de momento.  Exprese la longitud dL, el área dA , o el volumen dV del elemento en términos de las coordenadas de la curva usada para definir la forma geométrica.  Determine las coordenadas o brazos de momento x ,y, z para el centroide o centro de gravedad del elemento. Integraciones.  Sustituya las formulaciones para x, y, z. Y dL, dA , o dV en las ecuaciones apropiadas y efectúe las integraciones.  Para efectuar la integración, exprese la función en el integrando en términos de la misma variable aplicada al espesor diferencial del elemento.  Los límites de la integral son definidos a partir de las dos ubicaciones extremas del espesor diferencial del elemento, de manera que cuando los elementos son "sumados" o la integración es efectuada, la región completa queda cubierta. PROBLEMA 1 Localice el centroide del área mostrada en la figura PROBLEMA 2 Localice el centroide del segmento circular de alambre mostrado en la figura CUERPOS COMPUESTOS Procedimiento de Análisis Partes  Dividir el cuerpo en un número finito de partes que tengan una forma más simple  Los huecos se tratan como una parte con peso o tamaño negativo Brazo del momento  Establecer los ejes de coordenadas y determinar las coordenadas del centro de gravedad o centroide de cada parte Sumas  Determinar las coordinadas del centro de gravedad aplicando las ecuaciones del centro de gravedad  Si un objeto es simétrico respecto a un eje. El centroide está localizado en ese eje Ejemplo 1 Localizar el centroide de la placa. Ejemplo 2 Localice el centro de gravedad G de las cinco partículas con respecto al origen o. Ejemplo 3 Localice el centroide del alambre uniforme doblado en la forma que se muestra. Ejemplo 4 Cada uno de los tres miembros del bastidor tiene una masa por longitud unitaria de 6 kg/m. Localice la posición (x, y) del centro de gravedad. Ignore el tamaño de los pasadores situados en los nudos y el espesor de los miembros. Calcule también las reacciones en el pasador A y en el rodillo E. TEOREMAS DE PAPÚS Y GULDINUS Estos teoremas fueron formulados primero por el geómetra griego Papus durante el siclo III después de Cristo y fueron replanteados posteriormente por el matemático suizo Guldinus o Guldin (15771643). Los dos teoremas de Pappus y Guldinus, se usan para encontrar el área superficial y el volumen de cualquier objeto de revolución. TEOREMA I: El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie. � = 2��� En general, si la línea no sufre una revolución completa,entonces, � = � rL Donde: A = área superficial de revolución; θ = ángulo de revolución medido en radianes, r = distancia perpendicular del eje de revolución al centroide de la curva generatriz, L = longitud de la curva generatriz TEOREMA II El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo. En general: � = ��� � = 2��� Donde V = volumen de revolución θ = ángulo de revolución medido en radianes, r = distancia perpendicular desde el eje de revolución al centroide del área generatriz A = área generatriz Ejemplo 1 Demuestre que el área superficial de una esfera es Y su volumen es Problema La tolva está llena hasta el tope con carbón. Determine el volumen de carbón si los vacíos (espacio de aire) constituyen el 35 por ciento del volumen de la tolva. GRACIAS