GEOMETRIA ANALÍTICA NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA PROF. MSC. JULIERME GOMES CORREIA DE OLIVEIRA - 40H 1. PROFESSOR NA NET: juliermegco@yahoo.com.br 2. EMENTA: Vetores. A reta. Estudo do plano. Estudo das cônicas. Estudo das quádricas. 3. COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS: • Operação com Vetores; • Análise e operação com Retas; • Análise e operação com Planos; • Análise e operação com as Cônicas; 4. ATIVIDADES DE COMPLEMENTAÇÃO DE CARGA-HORÁRIA: Os alunos deverão apresentar, no final da disciplina, um único trabalho apresentando todos os exercícios propostos nas listas de exercícios entregues no início de cada aula. BIBLIOGRAFIA Livros-Textos: 1. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P.. Geometria Analítica, 2a ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987. 2. WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 1a ed. São Paulo: PEARSON EDUCATION DO BRASIL, 2000. Livros Complementares: 1. BOULOS, P. Introdução à Geometria Analítica no espaço. São Paulo: PEARSON EDUCATION DO BRASIL, 1997. 2. CAMARGO, I.; BOULOS, P.. Geometria Analítica, um tratamento vetorial, 3a ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005. ATENÇÃO Este material não deve ser utilizado como material de estudo, ele é apenas um guia para o acompanhamento das aulas. É imprescindível que o aluno utilize a bibliografia sugerida. VETORES O que é um Vetor? “É um ente matemático representado por um segmento de reta orientado”.
Módulo
Direção
Sentido Sentido Módulo Direção da Reta Suporte Representação de vetores: Seja um segmento orientado de origem v B(xB,yB) no ponto A e extremidade no ponto B: A(xA,yA) Este vetor é representado por AB ou AB ou v:

v = AB = B − A = ( xB , y B ) − ( x A , y A ) = ( xB − x A , y B − y A ) O módulo de AB é representado por AB ou | v | e calculado por:
2 2 v = ( xB − x A , y B − y A ) = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) Exemplo*: Dados os pontos A( 2 , 3 ) e B( 5 , 7 ), obtenha um vetor v formado por AB. Calcule o módulo de v. A( 2 , 3 )
v = (3, 4) B( 5 , 7 ) = 32 + 42 = 9 + 16

v = AB = B − A = ( 5 , 7 )−( 2 , 3 ) = ( 5−2 , 7−3 )
v=( 3 , 4 ) = 25
v =5 Soma Vetorial (método algébrico): Sejam dois vetores u = (xu , yu) e v = (xv , yv), a operação da soma e da subtração está definida algebricamente por: Soma :

u + v = ( xu , yu ) + ( xv , yv ) = ( xu + xv , yu + yv ) Subtração:

u − v = ( xu , yu ) − ( xv , yv ) = ( xu − xv , yu − yv ) Soma Vetorial (método gráfico): Exemplo: Dados os vetores u, v e w, e sabendo que: u = (4 , 0); v = (4 , 4); w = (4 ,-8); Obtenha graficamente o vetor S, onde: S=u+v+w 4 4 4 -8 u = (4,0) -4 12 Multiplicação por Escalar: Seja um vetor v = (xv , yv), é possível obter um vetor w, múltiplo de v, usando a propriedade da multiplicação por escalar: Seja n ∈ R: 

w = n⋅v = n ⋅ ( xv , yv ) = ( n ⋅ xv , n ⋅ yv ) → 
 xw = n ⋅ xv w = ( xw , yw ) onde:   yw = n ⋅ yv Propriedades da Multiplicação por escalar: Seja w, um vetor múltiplo de v, ou seja, w = n·v (nœR), então: 1) Módulo: O módulo de w necessariamente será um múltiplo do módulo de v, ou seja, |w| = n·|v|; 2) Direção: A direção de w é a mesma direção de v; 3) Sentido: O sentido de w será determinado pelo sinal de n. y Exemplo: n = 2 v = (1,1) w=2v 2 w = (2,2) w=? 1 v = (1,1) 0 1 2 x Ângulo Entre Vetores: s O ângulo entre dois vetores u e v , não u nulos, é o ângulo formado pelas semi- θ r v 0≤ θ≤π retas que dão direção aos mesmos. Ângulo Entre Vetores: Vetores Colineares: Se θ = 0: • Mesma direção • Mesmo sentido θ=0 Se θ = π θ=π • Mesma direção • Sentidos opostos Ângulo Entre Vetores: Vetores Ortogonais: θ = π /2: u Propriedades dos Vetores Ortogonais: 1. | u + v |2 = |u|2 + |v|2 v 2. Se u é ortogonal a v, u também é ortogonal a um múltipo de v; Decomposição de um Vetor no Plano (R²): “Qualquer vetor v contido em um plano poderá ser decomposto