UNIVERSIDAD UTE FACULTAD DE INGENIERÍA E INDUSTRIAS INGENIERÍA MECATRÓNICA CÁTEDRA DE MATEMÁTICAS AVANZADAS TRABAJO FINAL Ilustración relativa a matemática. [Figura 1]. Recuperado de:http://www. yaske.com=matematica&source(2015). DIEGO MIRANDA ING. JUAN CORONEL DOCENTE QUINTO SEMESTRE PARALELO “TD” 2019 – 2019 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS ÍNDICE TRABAJO FINAL: SERIES DE FOURIER .................................................................................................................. 3 1 EJERCICIO N°1 .................................................................................................................................................. 3 2 EJERCICIO N°2 ................................................................................................................................................ 10 3 EJERCICIO N°3 ................................................................................................................................................ 20 4 EJERCICIO N°4 ................................................................................................................................................ 28 5 EJERCICIO N°5 ................................................................................................................................................ 40 6 EJERCICIO N°6 ................................................................................................................................................ 47 7 EJERCICIO N°7 ................................................................................................................................................ 52 8 EJERCICIO N°8 ................................................................................................................................................ 59 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS TRABAJO FINAL: SERIES DE FOURIER A. En los ejercicios obténgase las series de Fourier sobre el intervalo indicado, para la función dada. Grafíquese siempre las funciones y la serie obtenida (dando algunos límites a la sumatoria y a la constante 𝑐 donde sea necesario) 1 EJERCICIO N°1 Intervalo, -𝜋 < 𝑥 < 𝜋 𝑥 Función 𝑓(𝑥) = cos⁡( ) 2 1.1 Proceso de graficación de la función 1.1.1 Definición de la función original 𝑓(𝑥) TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 1.1.2 Función periódica 1.1.3 Serie de Fourier Cuando m=1 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS Cuando m=50 1 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + ∑∞ 𝑛=1 [𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 ( Con 2 𝑛𝜋𝑥 𝑐 𝑛𝜋𝑥 ) + 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑐 )] 1 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 𝑐 −𝑐 𝑐 1 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥 𝑐 −𝑐 𝑐 1 𝑐 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑐 −𝑐 Donde 𝑐=𝜋 Dato con el cual se procede al cálculo de los coeficientes 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛⁡ Λ⁡𝑎0 inmersos en f(x). 1.2 Cálculo de 𝑎𝑛 1 𝜋 𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑎𝑛 = ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 2 𝜋 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 1 𝜋 𝑥 𝑎𝑛 = ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 2 𝑎𝑛 = 2 𝜋 𝑥 1 ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ → 𝐶𝑜𝑠(𝑎) ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝑏) = [𝐶𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) + 𝐶𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏)]⁡⁡⁡ 𝜋 0 2 2 𝑥 𝑥 2 𝜋 𝐶𝑜𝑠 (2 + 𝑛𝑥) + 𝐶𝑜𝑠 (2 − 𝑛𝑥) 𝑎𝑛 = ∫ [ ] 𝑑𝑥⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 𝜋 0 2 2 1 𝜋 𝑥 𝑥 𝑎𝑛 = ( ) ( ) ∫ [𝐶𝑜𝑠 ( + 𝑛𝑥) + 𝐶𝑜𝑠 ( − 𝑛𝑥)] 𝑑𝑥⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 𝜋 2 0 2 2 1 + 2𝑛 1 − 2𝑛 1 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( 2 )] 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( 2 )] + } 𝑎𝑛 = { 1 + 2𝑛 1 − 2𝑛 𝜋 2 2 1 + 2𝑛 1 − 2𝑛 2 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( 2 )] 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( 2 )] 𝑎𝑛 = { + } 1 + 2𝑛 1 − 2𝑛 𝜋 • Análisis de 𝑎𝑛 para n=4 en pro de expresar los senos inmersos en la ecuación de manera genérica, propiciando la construcción de la serie de Fourier. Para 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( Cuando: 1+2𝑛 2 )] cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 4 n=1 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( 1 + 2𝑛 3 )] = 𝑆𝑒𝑛 [ 𝜋] = −1 2 2 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( 5 1 + 2𝑛 )] = 𝑆𝑒𝑛 [ 𝜋] = 1 2 2 n=2 1 + 2𝑛 ∴ 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( )] ≡ (−1)𝑛 2 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS n=3 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( 1 + 2𝑛 7 )] = 𝑆𝑒𝑛 [ 𝜋] = −1 2 2 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( 9 1 + 2𝑛 )] = 𝑆𝑒𝑛 [ 𝜋] = 1 2 2 n=4 Para 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( Cuando: 1−2𝑛 2 )] cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 4 n=1 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( 1 − 2𝑛 1 )] = 𝑆𝑒𝑛 [− 𝜋] = −1 2 2 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( 3 1 − 2𝑛 )] = 𝑆𝑒𝑛 [− 𝜋] = 1 2 2 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( 1 − 2𝑛 5 )] = 𝑆𝑒𝑛 [− 𝜋] = −1 2 2 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( 1 − 2𝑛 7 )] = 𝑆𝑒𝑛 [− 𝜋] = 1 2 2 n=2 n=3 n=4 ∴ 2 (−1)𝑛 (−1)𝑛 𝑎𝑛 = [ + ] 𝜋 1 + 2𝑛 1 − 2𝑛 1 1 2(−1)𝑛 [ + ] 𝑎𝑛 = 1 + 2𝑛 1 − 2𝑛 𝜋 2(−1)𝑛 1 1 𝑎𝑛 = [ + ] 𝜋 1 + 2𝑛 1 − 2𝑛 1 − 2𝑛 ∴ 𝑆𝑒𝑛 [𝜋 ( )] ≡ (−1)𝑛 2 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 2(−1)𝑛 (1 − 2𝑛) + (1 + 2𝑛) [ ] 𝑎𝑛 = (1 + 2𝑛)(1 − 2𝑛) 𝜋 2(−1)𝑛 2 − 2𝑛 + 2𝑛 [ ] 𝑎𝑛 = (1 − 4𝑛2 ) 𝜋 𝑎𝑛 = 4(−1)𝑛 1 ( ) 𝜋 1 − 4𝑛2 𝑏𝑛 = 1 𝜋 𝑥 𝑛𝜋𝑥 ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 2 𝜋 1.3 Cálculo de 𝑏𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) + 𝑆𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏) 1 𝜋 𝑏𝑛 = ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥⁡⁡⁡⁡⁡ → 𝑆𝑒𝑛(𝑎) ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝑏) = 2 2 𝜋 −𝜋 1 𝜋 𝑥 𝑏𝑛 = ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 2 𝑥 𝑥 1 𝜋 𝑆𝑒𝑛 (𝑛𝑥 + 2) + 𝑆𝑒𝑛 (𝑛𝑥 − 2) 𝑑𝑥 𝑏𝑛 = ∫ 2 𝜋 −𝜋 𝑏𝑛 = 𝑥 𝑥 𝑥 1 1 𝜋 1 𝜋 [ ∫ [𝑆𝑒𝑛 (𝑛𝑥 + ) + 𝑆𝑒𝑛 (𝑛𝑥 − )] 𝑑𝑥 + ∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑛𝑥 − ) 𝑑𝑥] 𝜋 2 −𝜋 2 2 2 2 −𝜋 π π π I I I 1 1 1 1 𝑥 𝑥 𝑥 𝑏𝑛 = [− 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝑥 + ) | I − 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝑥 − ) | I − 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝑥 − ) | I ] 1 1 1 𝜋 2 2 2 I I I 2 (𝑛 − ) 2 (𝑛 − ) 2 (𝑛 + ) 2 2 2 −π −𝜋 −𝜋 π π π I I I 1 1 1 𝑥 𝑥 𝑥 1 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝑥 + ) | I − 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝑥 − ) | I − 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝑥 − ) | I ] 𝑏𝑛 = [− 2𝑛 − 1 2𝑛 − 1 2𝑛 + 1 2 2 2 𝜋 I I I −π −𝜋 −𝜋 𝑏𝑛 = − 𝜋 𝜋 1 [𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝜋 − ) − 𝐶𝑜𝑠 (−𝑛𝜋 + )] 2 2 2𝑛 − 1 𝑏𝑛 = − 1 1 𝜋 𝜋 1 𝜋 𝜋 [− [𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝜋 + ) − 𝐶𝑜𝑠 (−𝑛𝜋 − )] − [𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝜋 − ) − 𝐶𝑜𝑠 (−𝑛𝜋 + )] 𝜋 2𝑛 + 1 2 2 2𝑛 − 1 2 2 1 1 𝜋 𝜋 1 𝜋 𝜋 {− [𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝜋 + ) − 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝜋 + )] − [𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝜋 + ) − 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝜋 + )] 𝜋 2𝑛 + 1 2 2 2𝑛 − 1 2 2 1 𝜋 𝜋 [𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝜋 − ) − 𝐶𝑜𝑠 (−𝑛𝜋 + )]} 2𝑛 − 1 2 2 𝑏𝑛 = 0 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS V 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥) 2 𝑥 𝑔(−𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 (− ) 𝑆𝑒𝑛(−𝑛𝑥) 2 𝑥 𝑔(𝑥) = −𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥) 2 𝑛 𝑔(𝑥) = −𝑔(𝑥) ⁡ ∴ 𝐸𝑠⁡𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟⁡ ∴ ⁡ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 0 = 𝑏𝑛 −𝑛 1.4 Cálculo de 𝑎0 𝑎0 = 𝑥 1 𝜋 ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 2 𝜋 −𝜋 π 2 𝑥 I 𝑎0 = 𝑆𝑒𝑛 ( ) | 𝜋 2 𝑎0 = 𝑎0 = −𝜋 2 [1 − (−1)] 𝜋 4 𝜋 1.5 Construcción de 𝑓(𝑥) ∞ 1 4 4(−1)𝑛 1 𝑛𝜋𝑥 (0)𝑆𝑒𝑛 𝑓(𝑥) = ( ) + ∑ [ ( ) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) + ( )] 2 𝜋 𝜋 1 − 4𝑛2 𝜋 𝑛=1 ∞ 4 2 (−1)𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑓(𝑥) = ( ) + ∑ 𝜋(1 − 4𝑛2 ) 𝜋 𝑛=1 ∞ 2 4 (−1)(−1)𝑛 𝑓(𝑥) = + ∑ 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) (−1)(1 − 4𝑛2 ) 𝜋 𝜋 𝑛=1 ∞ (−1)𝑛+1 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) 2 4 𝑓(𝑥)~ + ∑ (2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1) 𝜋 𝜋 𝑛=1 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 2 EJERCICIO N°2 Intervalo, -2 < x < 2 Función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, −2 < 𝑥 < 0 1,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝑥 < 2⁡ 2.1 Proceso de graficación de la función 2.1.1 Definición de la función original 𝑓(𝑥) TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 2.1.2 Función periódica 2.1.3 Serie de Fourier Cuando m=13 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS Cuando m=43 Cuando m=100 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS ∞ 1 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + ∑ [𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 ( ) + 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 ( )] 2 𝑐 𝑐 𝑛=1 Con 𝑛𝜋𝑥 1 𝑐 ) 𝑑𝑥 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝐶𝑜𝑠 ( 𝑐 𝑐 −𝑐 1 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥 𝑐 −𝑐 𝑐 1 𝑐 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑐 −𝑐 Donde c=2 Dato con el cual se procede al cálculo de los coeficientes 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ⁡Λ⁡𝑎0 ⁡inmersos en 𝑓(𝑥). 2.2 Cálculo de 𝑎𝑛 2 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 1 0 (𝑥 + 1)𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 + ∫ (1)𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥] 𝑎𝑛 = [∫ 2 2 2 −2 0 2.2.1 Resolución de las integrales que conforman 𝑎𝑛 • • 0 ∫−2(𝑥 + 1)𝐶𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋𝑥 2 ) 𝑑𝑥 Se aplica integración por partes ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 𝑢 =𝑥+1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 2 𝑑𝑣 = Cos ( 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 2 𝑣 = ∫ Cos ( 𝑛𝜋𝑥 𝑆𝑒𝑛 ( 2 ) 𝑣= 𝑛𝜋 2 nπx 2Sen ( ) 2 𝑣= 𝑛𝜋 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS = {[ 2(0 + 1)𝑆𝑒𝑛 [ 𝑛𝜋 0 ∫ (𝑥 + 1)𝐶𝑜𝑠 ( −2 =⁡ 𝑛𝜋 = 𝑛𝜋𝑥 0 0 ) 2 | I − 2 ∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥 ) 𝑑𝑥 2 𝑛𝜋 −2 −2 𝑛𝜋𝑥 2 2 )| ⁡ 𝑛𝜋 0 = 𝑛𝜋𝑥 ) 2 𝑛𝜋 2 𝑆𝑒𝑛( 2𝑆𝑒𝑛 ( =⁡ 2 |⁡ 0 𝑛𝜋(0) 𝑛𝜋(2) 2𝑆𝑒𝑛 [ 2 ] 2 ] − 𝑛𝜋 𝑛𝜋 2𝑆𝑒𝑛 [ 2𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) − 2𝑆𝑒𝑛(0) 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋𝑥 2𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 = 2 𝑛𝜋 0 ∴ −2 4 𝑛𝜋(0) 𝑛𝜋(−2) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) ] + 2 2 {𝐶𝑜𝑠 ( ) − 𝐶𝑜𝑠 ( )} 𝑛𝜋 𝑛 𝜋 2 2 2 𝑛𝜋𝑥 ∫0 𝐶𝑜𝑠 ( 2 ) 𝑑𝑥 =⁡ 0 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 0 2𝑆𝑒𝑛 ( I ) 2 ) 𝑑𝑥 2 ]| −∫ | 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −2 2𝑆𝑒𝑛 ( −2𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 4 + 2 2 [1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋)] 𝑛𝜋 𝑛 𝜋 • 0 𝑛𝜋(−2) 𝑛𝜋𝑥 ) 2 𝐶𝑜𝑠 ( 2 ) I 2 || ]} + ∙ 𝑛𝜋 𝑛𝜋 2 −2 𝑆𝑒𝑛(−𝑛𝜋) 4 𝑛𝜋𝑧 0 ] + 2 2 ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( )| ⁡ 𝑛𝜋 𝑛 𝜋 2 −2 = − [(−2)(−1) ∙ = 2(−2 + 1)𝑆𝑒𝑛 ( ]−[ 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑥 ) 𝑑𝑥 = (𝑥 + 1) [ 2 2(𝑥 + 1)𝑆𝑒𝑛 ( = − [(−2) ∙ 𝑛𝜋(0) ] 2 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 4 4𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 2𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 1 −2𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) + 2 2− + ] 𝑎𝑛 = [ 𝑛2 𝜋 2 𝑛𝜋 𝑛 𝜋 𝑛𝜋 2 𝑎𝑛 = − • 2 2𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 2𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) + 2 2− + 𝑛2 𝜋 2 𝑛 𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 Análisis de 𝑎𝑛 para n=4 en pro de expresar los senos inmersos en la ecuación de manera genérica, propiciando la construcción de la serie de Fourier. Para 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋)⁡cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 4 Cuando: n=1 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝐶𝑜𝑠[(1)𝜋] = 𝐶𝑜𝑠[𝜋] = −1 n=2 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝐶𝑜𝑠[(2)𝜋] = 𝐶𝑜𝑠[2𝜋] = 1 ∴ 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) ≡ (−1)𝑛 n=3 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝐶𝑜𝑠[(3)𝜋] = 𝐶𝑜𝑠[3𝜋] = −1 n=4 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝐶𝑜𝑠[(4)𝜋] = 𝐶𝑜𝑠[4𝜋] = 1 Para 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)⁡cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 4 Cuando: n=1 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛[𝜋] = 0 n=2 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛[2𝜋] = 0 n=3 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛[3𝜋] = 0 ∴ 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) ≡ 0 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS n=4 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛[4𝜋] = 0 ∴ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 = 2 2(−1)𝑛 − 𝑛2 𝜋 2 𝑛2 𝜋 2 2[1 − (−1)𝑛 ] 𝑛2 𝜋 2 2.3 Cálculo de 𝑏𝑛 2 1 0 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑏𝑛 = [∫ (𝑥 + 1)𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥 + ∫ (1)𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥] 2 −2 2 2 0 2.3.1 Resolución de las integrales que conforman 𝑏𝑛 • • 0 ∫−2(𝑥 + 1)𝑆𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋𝑥 2 ) 𝑑𝑥 Se aplica integración por partes ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 𝑢 =𝑥+1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 2 𝑑𝑣 = Sen ( 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 𝑣 = ∫ Sen ( 2 𝑛𝜋𝑥 ) −𝐶𝑜𝑠 ( 2 𝑣= 𝑛𝜋 2 nπx −2Cos ( ) 2 𝑣= 𝑛𝜋 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 0 • ∫−2(𝑥 + 1)𝑆𝑒𝑛 ( = −2(𝑥 + 1)𝐶𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋 ={ 𝑛𝜋𝑥 2 −2𝐶𝑜𝑠( ) 𝑑𝑥 = (𝑥 + 1) [ 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑥 ) 2 𝑛𝜋𝑥 0 0 −2𝐶𝑜𝑠( 2 ) ] | ⁡ − ∫−2 𝑑𝑥 𝑛𝜋 −2 𝑛𝜋𝑥 0 0 ) 2 | ⁡ + 2 ∫ 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑛𝜋 −2 2 −2 −2(0 + 1)𝐶𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋 𝑛𝜋(0) ) 2 − −2(−2 + 1)𝐶𝑜𝑠 [ 𝑛𝜋 𝑛𝜋(−2) ] 2 𝑛𝜋𝑥 0 2 2𝑆𝑒𝑛 ( 2 ) −2𝐶𝑜𝑠(0) 2𝐶𝑜𝑠(−𝑛𝜋) − + ∙ |⁡ = 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −2 = = −2 2𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 4 𝑛𝜋(0) 𝑛𝜋(−2) − + 2 2 {𝑆𝑒𝑛 [ ] − 𝑆𝑒𝑛 [ ]} 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛 𝜋 2 2 −2 2𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 4 − + 2 2 [𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)] 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛 𝜋 0 ∫ (𝑥 + 1)𝑆𝑒𝑛 ( −2 𝑛𝜋𝑥 2 2𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 4𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) ) 𝑑𝑥 = − − + 2 𝑛𝜋 𝑛2 𝜋 2 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋𝑥 ∫0 𝑆𝑒𝑛 ( 2 ) 𝑑𝑥 • 𝑛𝜋𝑥 2 −2𝐶𝑜𝑠 ( 2 ) |⁡ = 𝑛𝜋 0 = 0 𝑛𝜋𝑥 2 𝑆𝑒𝑛 ( 2 ) }+ ∙ |⁡ 𝑛𝜋 𝑛𝜋 2 −2 = 𝑛𝜋𝑥 ) 2 𝑛𝜋 2 −𝐶𝑜𝑠( |⁡ 2 0 𝑛𝜋(2) 𝑛𝜋(0) ] 2𝐶𝑜𝑠 [ ] 2 2 + 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −2𝐶𝑜𝑠 [ 2 𝑛𝜋𝑥 2𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 2 ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥 = − + 2 𝑛𝜋 𝑛𝜋 0 ∴ 𝑏𝑛 = 1 2 2𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 4𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 2𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 2 [− − + − + ] 2 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛2 𝜋 2 𝑛𝜋 𝑛𝜋 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 𝑏𝑛 = − • 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 2𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) + − 𝑛2 𝜋 2 𝑛𝜋 𝑛𝜋 Análisis de 𝑎𝑛 para n=4 en pro de expresar los senos inmersos en la ecuación de manera genérica, propiciando la construcción de la serie de Fourier. Para 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋)⁡cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 4 Cuando: n=1 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝐶𝑜𝑠[(1)𝜋] = 𝐶𝑜𝑠[𝜋] = −1 n=2 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝐶𝑜𝑠[(2)𝜋] = 𝐶𝑜𝑠[2𝜋] = 1 n=3 ∴ 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) ≡ (−1)𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝐶𝑜𝑠[(3)𝜋] = 𝐶𝑜𝑠[3𝜋] = −1 n=4 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝐶𝑜𝑠[(4)𝜋] = 𝐶𝑜𝑠[4𝜋] = 1 Para 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)⁡cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 4 Cuando: n=1 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛[𝜋] = 0 n=2 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛[2𝜋] = 0 ∴ 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 0 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS n=3 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛[3𝜋] = 0 n=4 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛[4𝜋] = 0 ∴ 𝑏𝑛 = − 2(−1)𝑛 𝑛𝜋 2.4 Cálculo de 𝑎0 𝑎0 = 2 1 0 [∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥] 2 −2 0 0 2 1 0 𝑎0 = ⁡ [∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 ] 2 −2 −2 0 0 2 0 1 𝑥2 𝑎0 = ⁡ [ ] | ⁡ + 𝑥 | ⁡ + 𝑥 |⁡ 2 2 0 −2 −2 (−2)2 1 (0)2 𝑎0 = ⁡ {[ ]−[ ] + (0) − (−2) + (2) − (0)} 2 2 2 𝑎0 = 1 (−2 + 2 + 2) 2 𝑎0 = 1 2.4 Construcción de 𝑓(𝑥) ∞ 𝑛𝜋𝑥 2(−1)𝑛 𝑛𝜋𝑥 1 2[1 − (−1)𝑛 ] 𝑓(𝑥) = (1) + ∑ { 𝐶𝑜𝑠 ( ) − 𝑆𝑒𝑛 ( )} 𝑛𝜋 2 2 2 𝑛2 𝜋 2 𝑛=1 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 ∞ 𝑛 2[1 − (−1)𝑛 ]𝐶𝑜𝑠 ( ) − 2(−1) 𝑛𝜋𝑆𝑒𝑛 ( ) 1 2 2 } 𝑓(𝑥) = + ∑ { 2 𝑛2 𝜋 2 𝑛=1 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 ∞ 2[(1 − (−1)𝑛 ]𝐶𝑜𝑠 ( ) − (−1)𝑛 𝑛𝜋𝑆𝑒𝑛 ( ) 1 2 2 } 𝑓(𝑥) = + ∑ { 𝑛2 𝜋 2 2 𝑛=1 ∞ 1 2 1 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑓(𝑥)~ + 2 ∑ 2 {[1 − (−1)𝑛 ]𝐶𝑜𝑠 ( ) + 𝑛𝜋(−1)𝑛+1 𝑆𝑒𝑛 ( )} 2 𝜋 𝑛 2 2 𝑛=1 3 EJERCICIO N°3 Intervalo, -1 < x < 1 Función 𝑓(𝑥) = 0, −1 < 𝑥 < 0 1 1,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 < 𝑥 < ⁡ 2 0,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 1 <𝑥<1 2 3.1 Proceso de graficación de la función 3.1.1 Definición de la función original 𝑓(𝑥) TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 3.1.2 Función periódica 3.1.3 Serie de Fourier Cuando m=5 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS Cuando m=25 Cuando m= 135 Cuando m=150 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS ∞ 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 1 ) + 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 ( )] 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + ∑ [𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 ( 𝑐 𝑐 2 𝑛=1 Con 1 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 𝑐 −𝑐 𝑐 1 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥 𝑐 −𝑐 𝑐 1 𝑐 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑐 −𝑐 Donde c=1 Dato con el cual se procede al cálculo de los coeficientes 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ⁡Λ⁡𝑎0 ⁡inmersos en 𝑓(𝑥). 3.2 Cálculo de 𝑎𝑛 1 1 2 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 1 0 ) 𝑑𝑥 + ∫ (1)𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 + ∫ (0)𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥] 𝑎𝑛 = [∫ (0)𝐶𝑜𝑠 ( 1 1 1 1 1 −1 0 1 2 𝑎𝑛 = ∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥 0 3.1.1 Cálculo de la integral inmersa en 𝑎𝑛 1 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥) ∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥 = |2⁡ 𝑛𝜋 0 0 1 2 1 𝑆𝑒𝑛 [𝑛𝜋 ( )] 𝑆𝑒𝑛[𝑛𝜋(0)] 2 − = 𝑛𝜋 𝑛𝜋 = 𝑛𝜋 ) 2 𝑛𝜋 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋 𝑆𝑒𝑛 ( ) 2 𝑎𝑛 = 𝑛𝜋 2 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS • Análisis de 𝑎𝑛 para n=6 en pro de expresar el seno inmerso en la ecuación de manera genérica, propiciando la construcción de la serie de Fourier. 𝑛𝜋 Para 𝑆𝑒𝑛 ( ) cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 6 2 Cuando: n=1 𝜋 𝑛𝜋 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 1 2 2 n=2 (2)𝜋 𝑛𝜋 ] = 𝑆𝑒𝑛(𝜋) = 0 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 [ 2 2 n=3 𝑛𝜋 (3)𝜋 3𝜋 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 [ ] = 𝑆𝑒𝑛 ( ) = −1 2 2 2 n=4 (4)𝜋 𝑛𝜋 ] = 𝑆𝑒𝑛(2𝜋) = 0 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 [ 2 2 n=5 𝑛𝜋 (5)𝜋 5𝜋 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 [ ] = 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 1 2 2 2 n=6 𝑛𝜋 (6)𝜋 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 [ ] = 𝑆𝑒𝑛(3𝜋) = 0 2 2 (−1)𝑛 − 1 [ ] 2 𝑎𝑛 = 𝑛𝜋 𝑛+1 +1 2 𝑛𝜋 (−1)𝑛 − 1 ∴ 𝑆𝑒𝑛 ( ) ≡ [ ] 2 2 𝑛+1 +1 2 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 3.3 Cálculo de 𝑏𝑛 1⁄ 2 1 0 𝑏𝑛 = [∫ (0)𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 1 −1 0 𝑏𝑛 = ∫ 1⁄ 2 1 (1)𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (0)𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥] 1⁄ 2 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥 0 3.3.1 Cálculo de integral inmersa en la ecuación 1⁄ ∫0 2 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥 • = 1 −𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥) 2 |⁡ 𝑛𝜋 0 1 𝐶𝑜𝑠 [𝑛𝜋 ∙ ( )] 𝐶𝑜𝑠[𝑛𝜋 ∙ (0)] 2 + =− 𝑛𝜋 𝑛𝜋 ∫ 1⁄ 2 0 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥 = − 𝐶𝑜𝑠 ( 𝑏𝑛 = − • 𝑛𝜋 ) 2 + 1 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝐶𝑜𝑠 ( 1 𝑛𝜋 )+ 𝑛𝜋 2 Análisis de 𝑏𝑛 para n=6 en pro de expresar el coseno inmerso en la ecuación de manera genérica, propiciando la construcción de la serie de Fourier. 𝑛𝜋 Para 𝐶𝑜𝑠 ( ) cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 6 Cuando: 2 n=1 𝐶𝑜𝑠 ( 𝜋 𝑛𝜋 ) = 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 0 2 2 𝐶𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋 (2)𝜋 ) = 𝐶𝑜𝑠 [ ] = 𝐶𝑜𝑠(𝜋) = −1 2 2 n=2 𝑛 𝑛𝜋 (−1)𝑛+1 − 1 2 ∴ 𝐶𝑜𝑠 ( ) ≡ [ ] 2 2 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS n=3 (3)𝜋 3𝜋 𝑛𝜋 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 𝐶𝑜𝑠 [ ] = 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 0 2 2 2 n=4 𝑛𝜋 (4)𝜋 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 𝐶𝑜𝑠 [ ] = 𝐶𝑜𝑠(2𝜋) = 1 2 2 n=5 (5)𝜋 5𝜋 𝑛𝜋 ] = 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 0 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 𝐶𝑜𝑠 [ 2 2 2 n=6 𝑛𝜋 (6)𝜋 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 𝐶𝑜𝑠 [ ] = 𝐶𝑜𝑠(3𝜋) = −1 2 2 ∴ (−1)𝑛+1 − 1 ] −[ 2 𝑏𝑛 = 𝑛𝜋 3.4 Cálculo de 𝑎0 𝑛⁄ 2 1⁄ 2 1 0 𝑎0 = [∫ 0𝑑𝑥 + ∫ 1 −1 0 + 1 𝑛𝜋 1 (1)𝑑𝑥 + ∫ 0𝑑𝑥 ] 1⁄ 2 3.4.1 Cálculo de la integral inmersa en la ecuación • 1⁄ 2 0 ∴ 2 ∫0 𝑑𝑥 = 𝑥 | ⁡ 0 1 =( )−0 2 ∫ 1 1 2 𝑑𝑥 = 𝑎0 = 1 2 1 2 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 3.4 Construcción de 𝑓(𝑥) 𝑛+1 +1 2 (−1)𝑛 − 1 ∞ [ ] 1 1 2 𝑓(𝑥) = ( ) + ∑ 𝑛𝜋 2 2 𝑛=1 { 𝑛𝜋𝑥 ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( )− 1 𝑛 (−1)𝑛+1 − 1 2 [ ] 2 { 𝑛𝜋 + 1 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥) 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 ∞ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥) −𝐶𝑜𝑠 ( ) 1 1 2 2 + ] 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)} +[ 𝑓(𝑥) = + ∑ { 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 4 𝑛=1 𝑛𝜋 𝑛𝜋 ∞ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥) 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥) 1 2 2 𝑓(𝑥) = + ∑ { − + } 𝑛𝜋 𝑛𝜋 4 𝑛𝜋 𝑛=1 𝑛𝜋 𝑛𝜋 ∞ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥) − 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥) + 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥) 1 2 2 } 𝑓(𝑥) = + ∑ { 𝑛𝜋 4 𝑛=1 ∞ 𝑛𝜋 1 𝑛𝜋 1 {𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥) − 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥) + 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)} 𝑓(𝑥) = + ∑ 2 𝑛𝜋 2 4 𝑛=1 𝑓(𝑥) = ∞ 𝑛𝜋 1 𝑛𝜋 1 1 + ∑ {𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥) + [−𝐶𝑜𝑠 ( ) + 1] 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)} 2 𝑛 2 4 𝜋 𝑛=1 ∞ 1 1 1 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑓(𝑥)~ + ∑ {𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥) + [1 − 𝐶𝑜𝑠 ( )] 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)} 4 𝜋 𝑛 2 2 𝑛=1 } } TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 4 EJERCICIO N°4 Intervalo, −𝑐 < 𝑥 < 𝑐 Función 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 4.1 Proceso de graficación de la función 4.1.1 Definición de la función original 𝑓(𝑥) 4.1.2 Función periódica TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 4.1.3 Serie de Fourier Cuando m=2 Cuando m=6 Cuando m=100 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS ∞ 1 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + ∑ [𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 ( ) + 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 ( )] 2 𝑐 𝑐 𝑛=1 Con 1 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 𝑐 −𝑐 𝑐 𝑛𝜋𝑥 1 𝑐 ) 𝑑𝑥 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑆𝑒𝑛 ( 𝑐 𝑐 −𝑐 1 𝑐 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑐 −𝑐 Donde c=c Dato con el cual se procede al cálculo de los coeficientes 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ⁡Λ⁡𝑎0 ⁡inmersos en 𝑓(𝑥). 4.2 Cálculo de 𝑎𝑛 𝑛𝜋𝑥 1 𝑐 𝑎𝑛 = ∫ 𝑥 4 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 𝑐 𝑐 −𝑐 4.2.1 Cálculo de la integral inmersa en la ecuación • • 𝑐 𝑛𝜋𝑥 ∫−𝑐 𝑥 4 𝐶𝑜𝑠 ( 𝑐 ) 𝑑𝑥 Se aplica integración por partes ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑥4 𝑑𝑢 = 4𝑥 3 𝑑𝑥 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 𝑐 𝑑𝑣 = Cos ( 𝑛𝜋𝑥 𝑣 = ∫ Cos ( ) dx⁡ 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑐 ) 𝑣= 𝑛𝜋 𝑐 nπx C ∙ Sen ( 𝑐 ) 𝑣= 𝑛𝜋 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 c 𝑐 𝑐 ∙ 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑐𝑥 4 𝑆𝑒𝑛 ( ) I 𝑛𝜋𝑥 𝑐 ) ∙ 4𝑥3 𝑑𝑥 𝑐 −∫ | ∫ 𝑥 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 = 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑐 −𝑐 −𝑐 𝑐 ={ 4 (𝑐)(𝑐)4 𝑆𝑒𝑛 [ 𝑛𝜋 𝑛𝜋(𝑐) ] 𝑐 −c − (𝑐)(−𝑐)4 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋 −𝑛𝜋𝑐 𝑐 𝑐 )} − 4𝑐 ∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥 ) 𝑥 3 𝑑𝑥 𝑛𝜋 −𝑐 𝑐 𝑐 5 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 𝑐 5 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 4𝑐 𝑐 𝑛𝜋𝑥 3 = − − ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑥 𝑑𝑥 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −𝑐 𝑐 𝑛𝜋 𝑐 5 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 𝑐 5 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 4𝑐 −2𝑐 4 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋)𝑛2 𝜋 2 + 6𝑐 4 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)𝑛𝜋 + 12𝑐 4 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) − − [ ] 𝑛𝜋 𝑛3 𝜋 3 𝑛𝜋 𝑛𝜋 = 2𝑐 5 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 8𝑐 5 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋)𝑛2 𝜋 2 − 24𝑐 5 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)𝑛𝜋 − 48𝑐 5 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) + 𝑛4 𝜋 4 𝑛𝜋 = 8𝑐 5 [𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)𝑛3 𝜋 3 + 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋)𝑛2 𝜋 2 − 3𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)𝑛𝜋 − 6𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋)] = 𝑛4 𝜋 4 • Se aplica integración por partes por segunda ocasión ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑥3 𝑑𝑢 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 𝑐 𝑑𝑣 = Sen ( 𝑛𝜋𝑥 𝑣 = ∫ Sen ( ) dx⁡ 𝑐 𝑛𝜋𝑥 −𝐶𝑜𝑠 ( 𝑐 ) 𝑣= 𝑛𝜋 𝑐 nπx − C ∙ Cos ( 𝑐 ) 𝑣= 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑐 −𝑥 3 ∙ 𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( 𝑐 ) 𝑐 𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( 𝑐 ) 𝑛𝜋𝑥 3 ) 𝑥 𝑑𝑥 = ∙ 3𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( | ⁡ −∫ − 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑐 −𝑐 −𝑐 −𝑐 𝑐 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS −(𝑐)3 (𝑐)𝐶𝑜𝑠 [ ={ 𝑛𝜋 𝑛𝜋(𝑐) 𝑐 ] −𝑛𝜋𝑐 𝑐 −(−𝑐)3 ∙ 𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑐 } + 3𝑐 ∫ 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥 ) 𝑥 2 𝑑𝑥 − 𝑛𝜋 𝑐 𝑛𝜋 −𝑐 −𝑐 4 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 𝑐 4 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 3𝑐 𝑐 𝑛𝜋𝑥 2 ={ − }+ ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑥 𝑑𝑥 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −𝑐 𝑐 3𝑐 𝑐 𝑛𝜋𝑥 2 −𝑐 4 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 𝑐 4 𝐶𝑜𝑠(−𝑛𝜋) − }+ ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑥 𝑑𝑥 ={ 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −𝑐 𝑐 𝑛𝜋 ={ = • −𝑐 4 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 𝑐 4 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 3𝑐 2𝑐 3 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)𝑛𝜋 + 4𝑐 3 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) − }+ [ ] 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛2 𝜋 2 −2𝑐 4 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋)𝑛2 𝜋 2 + 6𝑐 4 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)𝑛𝜋 + 12𝑐 4 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 𝑛3 𝜋 3 Se aplica integración por partes por tercera ocasión ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 𝑐 𝑑𝑣 = Cos ( 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 𝑣 = ∫ Cos ( 𝑐 nπx 𝑛𝜋𝑥 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑐 𝑐 ∙ 𝑆𝑒𝑛 ( )( 𝑐𝑥(2 𝑆𝑒𝑛 ) 𝑛𝜋𝑥 2 C ∙ Sen 𝑐 𝑐 𝑐 ) 2𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( )𝑣𝑥=𝑑𝑥 = 𝑛𝜋 | ⁡ −∫ 𝑐 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −𝑐 −𝑐 −𝑐 𝑐 2𝑐 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑐 3 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 𝑐 3 𝑆𝑒𝑛(−𝑛𝜋) − }− ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑥𝑑𝑥 ={ 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −𝑐 𝑐 𝑛𝜋 ={ 𝑐 3 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 𝑐 3 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 2𝑐 −2𝑐 2 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) + }− [ ] 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 2𝑐 3 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)𝑛𝜋 + 4𝑐 3 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝑛2 𝜋 2 • Se aplica integración por partes por cuarta ocasión ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 𝑐 𝑑𝑣 = Sen ( 𝑢=𝑥 nπx −C ∙ Cos ( 𝑐 ) 𝑣= 𝑛𝜋 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑐 −𝑐𝐶𝑜𝑠 ( −𝑥𝑐𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑛𝜋𝑥 𝑐 | ⁡ −∫ 𝑐 ) 𝑑𝑥 ) 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑐 −𝑐 −𝑐 −𝑐 𝑐 ={ −(𝑐)𝑐𝐶𝑜𝑠 [ 𝑛𝜋 𝑛𝜋(𝑐) 𝑐 ] − −(−𝑐)(𝑐)𝐶𝑜𝑠 [ 𝑛𝜋 𝑐 −𝑛𝜋𝑐 𝑐 ]} + 𝑐 ∫ 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑛𝜋 𝑐 −𝑐 = 𝑐 𝑛𝜋(𝑐) −𝑛𝜋(𝑐) −𝑐 2 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 𝑐 2 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) − + {𝐶𝑜𝑠 ( ) − 𝐶𝑜𝑠 [ ]} 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑐 𝑐 = −2𝑐 2 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 𝑛𝜋 𝑐 −2𝑐 2 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) {𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) − 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋)} = + 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑐 ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( −𝑐 𝑛𝜋𝑥 −2𝑐 2 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) ) 𝑥𝑑𝑥 = 𝑐 𝑛𝜋 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS • Análisis de 𝑎𝑛 para n=4 en pro de expresar senos y cosenos inmersos en la ecuación de manera genérica, propiciando la construcción de la serie de Fourier. Para 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 4 Cuando: n=1 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝐶𝑜𝑠(𝜋) = −1 n=2 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝐶𝑜𝑠(2𝜋) = 1 n=3 ∴ 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) ≡ (−1)𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝐶𝑜𝑠(3𝜋) = ⁡ −1 n=4 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 𝐶𝑜𝑠(4𝜋) = 1 Para 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 4 Cuando: n=1 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛(𝜋) = 0 n=2 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛(2𝜋) = 0 n=3 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛(3𝜋) = ⁡0 n=4 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛(4𝜋) = 0 ∴ ∴ 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) ≡ 0 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 𝑎𝑛 = 8(−1)𝑛 𝑐 5 (𝑛2 𝜋 2 − 6) 𝑐𝑛4 𝜋 4 4.3 Cálculo de 𝑏𝑛 1 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑏𝑛 = ∫ 𝑥 4 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥 𝑐 −𝑐 𝑐 4.3.1 Cálculo de la integral inmersa en la ecuación • Se aplica integración por partes ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 𝑐 𝑢 =•𝑥4 • 𝑑𝑢 = 4𝑥 3 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = Sen ( nπx −C ∙ Cos ( 𝑐 ) 𝑣= 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑥 c 𝑛𝜋𝑥 𝑐 −𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( −𝑐𝑥 4 𝐶𝑜𝑠 ( ) I 𝑛𝜋𝑥 𝑐 𝑐 ) ∙ 4𝑥3 𝑑𝑥 | −∫ ∫ 𝑥 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥 = 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑐 −𝑐 −𝑐 𝑐 ={ 4 −(𝑐)(𝑐)4 𝐶𝑜𝑠 [ 𝑛𝜋 𝑛𝜋(𝑐) ] 𝑐 −c − −(𝑐)(−𝑐)4 𝐶𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋 −𝑛𝜋𝑐 𝑐 𝑐 )} − 4𝑐 ∫ 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥 ) 𝑥 3 𝑑𝑥 𝑛𝜋 −𝑐 𝑐 −𝑐 5 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 𝑐 5 𝐶𝑜𝑠(−𝑛𝜋) 4𝑐 𝑐 𝑛𝜋𝑥 3 = − + ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑥 𝑑𝑥 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −𝑐 𝑐 = = = • 𝑛𝜋𝑥 3 4𝑐 𝑐 ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑛𝜋 −𝑐 4𝑐 12𝑐 3 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) [ ] 𝑛𝜋 𝑛3 𝜋 3 48𝑐 4 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 𝑛4 𝜋 4 Se aplica integración por partes por segunda ocasión ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 𝑢 = 𝑥3 𝑑𝑢 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 𝑐 𝑑𝑣 = Cos ( nπx C ∙ Sen ( 𝑐 ) 𝑣= 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑐 𝑥 3 ∙ 𝑐 ∙ 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑐 ) 𝑐 𝑐 ∙ 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑐 ) 𝑛𝜋𝑥 3 ) 𝑥 𝑑𝑥 = ∙ 3𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( | ⁡ −∫ − 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑐 −𝑐 −𝑐 −𝑐 𝑐 (𝑐)3 (𝑐)𝑆𝑒𝑛 [ ={ 𝑛𝜋 ={ = 𝑛𝜋(𝑐) 𝑐 ] −𝑛𝜋𝑐 (−𝑐)3 ∙ 𝑐 ∙ 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑐 ) 𝑛𝜋𝑥 2 3𝑐 𝑐 − ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑥 𝑑𝑥 }− 𝑛𝜋 𝑐 𝑛𝜋 −𝑐 𝑐 4 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) + 𝑐 4 𝑆𝑒𝑛(−𝑛𝜋) 3𝑐 𝑐 𝑛𝜋𝑥 2 }− ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑥 𝑑𝑥 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −𝑐 𝑐 𝑐 4 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) − 𝑐 4 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 3𝑐 𝑐 𝑛𝜋𝑥 2 − ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑥 𝑑𝑥 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −𝑐 𝑐 𝑛𝜋𝑥 2 3𝑐 𝑐 ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑥 𝑑𝑥 =− 𝑐 𝑛𝜋 −𝑐 3𝑐 −4𝑐 2 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) =− [ ] 𝑛𝜋 𝑛3 𝜋 3 = • 12𝑐 3 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 𝑛3 𝜋 3 Se aplica integración por partes por tercera ocasión ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 𝑢 =•𝑥2 • 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 𝑐 𝑑𝑣 = Sen ( nπx −C ∙ Cos ( 𝑐 ) 𝑣= 𝑛𝜋 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 𝑛𝜋𝑥 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑐 −𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( −𝑐𝑥 2 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑛𝜋𝑥 2 𝑐 | ⁡ −∫ 𝑐 ) 2𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −𝑐 −𝑐 −𝑐 𝑐 = 𝑛𝜋𝑥 −𝑐 3 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 𝑐 3 𝐶𝑜𝑠(−𝑛𝜋) 2𝑐 𝑐 + + ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑥𝑑𝑥 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −𝑐 𝑐 𝑛𝜋 𝑐 3 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 𝑐 3 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 2𝑐 𝑐 𝑛𝜋𝑥 =− + + ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑥𝑑𝑥 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −𝑐 𝑐 𝑛𝜋𝑥 2𝑐 𝑐 ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑥𝑑𝑥 = 𝑐 𝑛𝜋 −𝑐 −4𝑐 2 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑛2 𝜋 2 • Se aplica integración por partes por cuarta ocasión ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 𝑢 =•𝑥 • 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 𝑐 𝑑𝑣 = Cos ( nπx C ∙ Sen ( 𝑐 ) 𝑣= 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑥 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑐 𝑐𝑆𝑒𝑛𝑛 ( 𝑥𝑐𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑛𝜋𝑥 𝑐 | ⁡ −∫ 𝑐 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑥𝑑𝑥 = 𝑐 𝑛𝜋 𝑛𝜋 −𝑐 −𝑐 −𝑐 𝑐 𝑐 (𝑐)𝑐𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) (−𝑐)(𝑐)𝑆𝑒𝑛(−𝑛𝜋) 𝑐 𝑛𝜋𝑥 ={ − }− ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑐 −𝑐 = 𝑐 𝑛𝜋𝑐 −𝑛𝜋𝑐 𝑐 2 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 𝑐 2 𝑆𝑒𝑛(−𝑛𝜋) + − [𝑆𝑒𝑛 ( ) − 𝑆𝑒𝑛 ( )] 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑐 𝑐 𝑛𝜋 =− =− 𝑐 [𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) + 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)] 𝑛𝜋 𝑐 [2𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)] 𝑛𝜋 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS • =− 2𝑐𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 𝑛𝜋 Análisis de 𝑏𝑛 para n=4 en pro de expresar senos y cosenos inmersos en la ecuación de manera genérica, propiciando la construcción de la serie de Fourier. Para 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 4 Cuando: n=1 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛(𝜋) = 0 n=2 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛(2𝜋) = 0 n=3 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛(3𝜋) = ⁡0 n=4 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛(4𝜋) = 0 ∴ 𝑏𝑛 = 0 4.4 Cálculo de⁡𝑎0 1 𝑐 𝑎0 = ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 𝑐 −𝑐 1 𝑥5 𝑐 𝑎0 = ( ) | ⁡ 𝑐 5 −𝑐 1 (𝑐)5 (−𝑐)5 𝑎0 = [ − ] 𝑐 5 5 1 𝑐5 + 𝑐5 ) 𝑎0 = ( 5 𝑐 ∴ 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) ≡ 0 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 𝑎0 = 2𝑐 5 5𝑐 2𝑐 4 𝑎0 = 5 4.5 Construcción de 𝑓(𝑥) ∞ 8(−1)𝑛 𝑐 5 (𝑛2 𝜋 2 − 6) 𝑛𝜋𝑥 1 2𝑐 4 )+∑[ ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( ) + 0] 𝑓(𝑥) = ( 4 4 𝑐𝑛 𝜋 𝑐 2 5 ∞ 𝑛=1 (𝑛2 𝜋 2 − 6) 𝑐4 𝑛𝜋𝑥 𝑓(𝑥)~ + 8𝑐 4 ∑ [(−1)𝑛 ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( )] 5 𝑛4 𝜋 4 𝑐 𝑛=1 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS B. En los ejercicios obténgase las series senoidal de Fourier sobre el intervalo indicado, para la función dada. Grafíquese siempre las funciones y la serie obtenida (dando algunos límites a la sumatoria y a la constante c donde sea necesario). 5 EJERCICIO N°5 5. Intervalo 0 < 𝑥 < 2 Función 𝑓(𝑥)= 𝑥,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 < 𝑥 < 1 2 − 𝑥,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡1 ≤ 𝑥 < 2⁡ Extensión impar Función 𝑔(𝑥) = ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 < 𝑥 < 1 2 −⁡𝑥, 𝑥, −2 - 𝑥, 1<𝑥<2 −1 < 𝑥 < 0 −2 < 𝑥 < −1 5.1 Proceso de graficación de la función 5.1.1 Definición de la función original 𝑓(𝑥) TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 5.1.2 Definición de la función impar de 𝑔(𝑥) 5.1.3 Función periódica 5.1.4 Serie de Fourier Cuando m=0 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS Cuando m=50 ∞ nπx ),0 < x < c f(x) = ∑ bn Sen ( c bn = n=1 2 c nπx ∫ f(x) Sen ( ) dx c 0 c Donde c = 2 5.2 Cálculo de𝑏𝑛 2 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 2 1 ) 𝑑𝑥 + ∫ (2 − 𝑥)𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥] 𝑏𝑛 = [∫ 𝑥𝑆𝑒𝑛 ( 2 2 2 0 1 5.2.1 Cálculo de las integrales inmersas en la ecuación • 1 ∫0 𝑥𝑆𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = −2𝑥𝐶𝑜𝑠( 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑥 ) 2 𝑛𝜋𝑥 1 1 −2∙𝐶𝑜𝑠( 2 ) | ⁡ − ∫0 𝑑𝑥 𝑛𝜋 0 𝑛𝜋(1) 0 𝑛𝜋(0) −2(1)𝐶𝑜𝑠 [ 2 ] −2(0)𝐶𝑜𝑠 [ 2 ] 2 1 𝑛𝜋𝑥 = − + ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 0 2 { } 𝑛𝜋𝑥 1 2 𝑛𝜋 2 𝑆𝑒𝑛 ( 2 ) 𝐼 =− 𝐶𝑜𝑠 ( ) + [ ]| ⁡ 𝑛𝜋 𝐼 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 2 0 𝑢=𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 2 𝑑𝑣 = Sen ( nπx ) −2 ∙ Cos ( 2 𝑣= 𝑛𝜋 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 𝑛𝜋(1) 𝑛𝜋(0) 2 𝑛𝜋 2 2𝑆𝑒𝑛 [ 2 ] 2𝑆𝑒𝑛 [ 2 ] =− 𝐶𝑜𝑠 ( ) + { − } 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 𝑛𝜋 4𝑆𝑒𝑛 ( ) 2 𝑛𝜋 2 =− 𝐶𝑜𝑠 ( ) + 𝑛𝜋 2 𝑛2 𝜋 2 1 ∫ 𝑥𝑆𝑒𝑛 ( 0 • 𝑛𝜋𝑥 2 𝑛𝜋 4 𝑛𝜋 ) 𝑑𝑥 = − 𝐶𝑜𝑠 ( ) + 2 2 𝑆𝑒𝑛 ( ) 2 𝑛𝜋 2 𝑛 𝜋 2 Análisis de 𝑎𝑛 para n=5 en pro de expresar los senos y cosenos inmersos en la ecuación de manera genérica, propiciando la construcción de la serie de Fourier. 𝑛𝜋 Para 𝐶𝑜𝑠 ( ) cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 5 Cuando: 2 n=1 𝑛𝜋 𝜋 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 0 2 2 n=2 (2)𝜋 𝑛𝜋 ] = 𝐶𝑜𝑠(𝜋) = −1 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 𝐶𝑜𝑠 [ 2 2 n=3 𝑛𝜋 (3)𝜋 3𝜋 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 𝐶𝑜𝑠 [ ] = 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 0 2 2 2 n=4 𝑛𝜋 (4)𝜋 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 𝐶𝑜𝑠 [ ] = 𝐶𝑜𝑠(2𝜋) = 1 2 2 n=5 (5)𝜋 5𝜋 𝑛𝜋 ] = 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 0 𝐶𝑜𝑠 ( ) = 𝐶𝑜𝑠 [ 2 2 2 𝑛 𝑛𝜋 (−1)𝑛+1 − 1 2 ∴ 𝐶𝑜𝑠 ( ) ≡ [ ] 2 2 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 𝑛𝜋 Para 𝑆𝑒𝑛 ( ) cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 5 Cuando: 2 n=1 𝑛𝜋 𝜋 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 1 2 2 n=2 𝑛𝜋 (2)𝜋 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 [ ] = 𝑆𝑒𝑛(𝜋) = 0 2 2 n=3 𝑛𝜋 (3)𝜋 3𝜋 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 [ ] = 𝑆𝑒𝑛 ( ) = −1 2 2 2 𝑛𝜋 (−1)𝑛 − 1 ∴ 𝑆𝑒𝑛 ( ) ≡ [ ] 2 2 n=4 (4)𝜋 𝑛𝜋 ] = 𝑆𝑒𝑛(2𝜋) = 0 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 [ 2 2 n=5 𝑛𝜋 (5)𝜋 5𝜋 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 [ ] = 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 1 2 2 2 n=6 (6)𝜋 𝑛𝜋 ] = 𝑆𝑒𝑛(3𝜋) = 0 𝑆𝑒𝑛 ( ) = 𝑆𝑒𝑛 [ 2 2 ∴ 1 𝑛 𝑛𝜋𝑥 2 (−1)𝑛+1 − 1 2 4 (−1)𝑛 − 1 ∫ 𝑥𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥 = − [ ] + 2 2[ ] 2 𝑛𝜋 2 𝑛 𝜋 2 0 𝑛+1 +1 2 𝑛+1 +1 2 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 2 ∫1 (2 • ={ = = • = − 𝑥)𝑆𝑒𝑛 ( −2[2−(2)]𝐶𝑜𝑠[ 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋(2) ] 2 2 + ) 𝑑𝑥 = −2(2−𝑥)𝐶𝑜𝑠( 2[2−(1)]𝐶𝑜𝑠( 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋(1) ) 2 𝑛𝜋𝑥 2 𝑛𝜋 2𝑆𝑒𝑛 ( ) 2 )] | 𝑖 2 − 2 [ 𝑖 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 1 𝑛𝜋𝑥 ) 2 }− 2 2 2 𝑛𝜋𝑥 𝑖 | − 𝑛𝜋 ∫1 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 2 𝑖 1 2 2 𝑛𝜋𝑥 ∫ 𝐶𝑜𝑠 ( 2 ) 𝑑𝑥 𝑛𝜋 1 2𝐶𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋(1) 𝑛𝜋(2) 𝑛𝜋 ] 2𝑆𝑒𝑛 [ ] 2𝑆𝑒𝑛 [ ) 2 2 2 2 − { − } 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑢 =2−𝑥 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 2 𝑑𝑣 = Sen ( nπx ) −2 ∙ Cos ( 2 𝑣= 𝑛𝜋 2𝐶𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋 𝑛𝜋 4𝑆𝑒𝑛 ( ) 4𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 2 − 2) + 𝑛2 𝜋 2 𝑛𝜋 𝑛2 𝜋 2 2𝐶𝑜𝑠 ( Análisis de 𝑏𝑛 para n=4 en pro de expresar el seno inmerso en la ecuación de manera genérica, propiciando la construcción de la serie de Fourier. Para 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) cuando 1 ≤ 𝑛 ≤ 4 Cuando: n=1 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛(𝜋) = 0 n=2 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛(2𝜋) = 0 n=3 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛(3𝜋) = ⁡0 n=4 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 𝑆𝑒𝑛(4𝜋) = 0 ∴ ∴ 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) ≡ 0 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 2 𝑛𝜋𝑥 2 (−1)𝑛+1 − 1 ∫ (2 − 𝑥)𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥 = ⌊ ⌋ 2 𝑛𝜋 2 1 ∴ 𝑛⁄ 2 2 (−1)𝑛+1 − 1 [ ] 𝑏𝑛 = − 2 𝑛𝜋 4 (−1)𝑛 − 1 + 2 2[ ] 𝑛 𝜋 2 𝑛+1 +1 2 8 (−1)𝑛 − 1 ] 𝑏𝑛 = 2 2 [ 2 𝑛 𝜋 𝑛+1 +1 2 4 (−1)𝑛 − 1 + 2 2[ ] 𝑛 𝜋 2 8 (−1)𝑛 − 1 ] 𝑓(𝑥) = ∑ 2 2 [ 2 𝑛 𝜋 𝑛=1 𝑛+1 +1 2 𝑆𝑒𝑛 ( ∞ 𝑛𝜋𝑥 ) 2 8 (−1)2𝑘−1 − 1 𝑓(𝑥) = ∑ [ ] (2𝑘 − 1)2 𝜋 2 2 2𝑘−1=1 2𝑘−1+1 +1 2 ∞ 8 (−1)2𝑘 (−1)−1 − 1 𝑓(𝑥) = ∑ [ ] (2𝑘 − 1)2 𝜋 2 2 𝑘=1 ∞ 𝑘+1 1 −(−1)2𝑘 − 1 8 [ ] 𝑓(𝑥) = 2 ∑ (2𝑘 − 1)2 2 𝜋 𝑘=1 𝑓(𝑥) = 4 (−1)𝑛 − 1 + 2 2[ ] 𝑛 𝜋 2 𝑛+1 +1 2 𝑛⁄ 2 2 (−1)𝑛+1 − 1 ⌊ ⌋ + 2 𝑛𝜋 𝑛+1 +1 2 5.2 Construcción de 𝑓(𝑥) ∞ 𝑛⁄ 2 𝑘+1 (2𝑘 − 1)𝜋𝑥 ] 𝑆𝑒𝑛 [ 2 (2𝑘 − 1)𝜋𝑥 𝑆𝑒𝑛 [ ] 𝑐 (2𝑘 − 1)𝜋𝑥 𝑆𝑒𝑛 [ ] 2 (−1)𝑛 − 1 [ ] 2 𝑛+1 +1 2 Cuando 1 ≤ 𝑛⁡ ≤ 2 n=1→ 1 K=1 n=3→ −1 k=2 n=5→ 1 k=3 n=2→ 0 K=3/2 n=4→ 0 k=5/2 𝑘=1 𝑛+1 𝑛−1 n=6→ 𝑘 = 0 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑘 =k=7/2 2 2 n=7→ −1 𝑛 = 2𝑘 − 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑛 = 2𝑘 + 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 𝑘=1 K=1→ 1 ∞ 8 1 (2𝑘 − 1)𝜋𝑥 ∑ (−1)𝑘 𝑆𝑒𝑛 [ ] 2 2 (2𝑘 − 1) 𝜋 2 ∞ 8 (−1)𝑘 (2𝑘 + 1)𝜋𝑥 𝑓(𝑥) = 2 ∑ ∙ 𝑆𝑒𝑛 [ ] (2𝑘 + 1)2 𝜋 2 ∴ K=2→ −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ∴ ⁡⁡⁡ (−1)𝑘 K=3→ 1 K=4→ −1 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 6 EJERCICIO N°6 Intervalo, 0 < 𝑥 < 𝑐 Función 𝑓(𝑥) = 𝑐 − 𝑥 Extensión impar 𝑔(𝑥) = ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑐 − 𝑥,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 < 𝑥 < 𝑐 𝑐 + 𝑥, -c< 𝑥 < 0 6.1 Proceso de graficación de la función 6.1.1 Definición de la función original 𝑓(𝑥) TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 6.1.2 Definición de la función impar 𝑔(𝑥) 6.1.3 Función periódica TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 6.1.4 Serie de Fourier Cuando m=0 Cuando m=100 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS ∞ nπx f(x) = ∑ bn Sen ( ),0 < x < c c bn = n=1 2 c nπx ∫ f(x) Sen ( ) dx c 0 c Donde el periodo=c 6.1 Cálculo de bn nπx 2 c ) dx bn = ∫ (c − x) Sen ( c c 0 6.1.1 Resolución de la integral inmersa en la ecuación ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 c nπx ∫ (c − x) Sen ( ) dx c 0 𝑢 =𝑐−𝑥 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥 nπx ) dx c 𝑑𝑣 = Sen ( nπx ) dx c 𝑣 = ∫ Sen ( nπx −Cos ( c ) dx 𝑣= 𝑛𝜋 𝑐 nπx −c ∙ Cos ( c ) 𝑣= 𝑛𝜋 c nπx ) dx = (c − x) [ ∫ (c − x) Sen ( c 0 c nπx ∫ (c − x) Sen ( ) dx = c 0 c nπx nπx C −c Cos ( I ) ) c ] |I − ∫ c (−dx) nπ nπ 0 I 0 −c Cos ( −(c − x)c Cos ( nπ c nπx I c ) c | I − c ∫ Cos (nπx) dx c I nπ 0 0 nπ(0) nπ(c) −[𝑐 − (𝑐)]𝑐 Cos [ ] [𝑐 − (0)]𝑐 Cos [ ] 𝑐 𝑐 nπx nπx c c ) dx = { +⁡ }− ∫ Cos ( ) 𝑑𝑥 ∫ (c − x) Sen ( 𝑛𝜋 c 𝑛𝜋 𝑛𝜋 c 0 0 c TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS c nπx nπx 𝑐 Cos(0) 𝑐 𝑐 Sen ( c ) I (c ∫ − x) Sen ( ) dx = − [ ] |I 𝑛𝜋 c 𝑛𝜋 𝑛𝜋 0 I 0 c 2 c nπx nπx 𝑐 𝑐 𝑐 Sen ( c ) I ∫ (c − x) Sen ( ) dx = − { } |I 𝑛𝜋 c 𝑛𝜋 𝑛𝜋 0 I 0 𝑐 2 nπ(𝑐) nπ(0) 𝑐2 𝑐 𝑐 Sen [ c ] 𝑐 Sen [ c ] nπx ) dx = − { − } ∫ (c − x) Sen ( 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 c 0 𝑐 𝑐 𝑐 2 𝑐 2 Sen(𝑛𝜋) nπx ) dx = − ∫ (c − x) Sen ( 𝑛2 𝜋 2 𝑛𝜋 c 0 ∴ 2 𝑐2 𝑏𝑛 = ( ) 𝑐 𝑛𝜋 𝑏𝑛 = 2𝑐 𝑛𝜋 6.2 Construcción de 𝑓(𝑥) ∞ f(x) = ∑ n=1 2c nπx Sen ( ) 𝑛𝜋 c ∞ 2c 1 nπx f(x) = ∑ Sen ( ) 𝜋 𝑛 c n=1 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS C. En los ejercicios obténgase las series cosenoidal de Fourier sobre el intervalo indicado, para la función dada. Grafíquese siempre las funciones y la serie obtenida (dando algunos límites a la sumatoria y a la constante 𝑐 donde sea necesario). 7 EJERCICIO N°7 Intervalo, 0 < 𝑥 < 1 Función 𝑓(𝑥)⁡= ⁡0,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 < 𝑥 < 1 1 1 2 𝑥 − ,⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 2 < 𝑥 < 1 2 Extensión par 𝐻(𝑥) = ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 < 𝑥 < 1 2 , 1 , x− 0 −x − 2 , 1 2 1 2 <𝑥<1 1 - 2< 𝑥 < 0 1 −1 ≤ 𝑥 ≤ − 2 ∞ 1 nπx f(x) = 𝑎0 ∑ an Cos ( ),0 < x < c 2 c n=1 7.1 Proceso de graficación de la función TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 7.1.1 Definición de la función original 𝑓(𝑥) 7.1.2 Definición de la función par 𝑔(𝑥) TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 7.1.3 Función periódica 7.1.4 Serie de Fourier Cuando m= 1 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS Cuando m=2 Cuando m=8 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS Cuando m=100 nπx 2 c ) dx an = ∫ f(x) Cos ( c c 0 2 c a0 = ∫ f(x)dx c 0 Donde c=1 7.2 Cálculo de 𝑎𝑛 1⁄ 2 2 an = [∫ (1) 0 1 nπx 1 nπx (0) Cos [ ] dx⁡ + ⁡ ∫ (𝑥 − ) Cos [ ] dx⁡⁡] (1) (1) 2 1⁄ 1 1 an = 2 [∫ (𝑥 − ) Cos(𝑛𝜋𝑥)dx⁡⁡] 2 1⁄ 2 2 7.2.1 Cálculo de la integral inmersa en la ecuación ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 1 1 ∫ (𝑥 − ) Cos(𝑛𝜋𝑥)dx⁡⁡ 2 1⁄ 2 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 𝑢 =𝑥− 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 1 2 𝑑𝑣 = Cos(𝑛𝜋𝑥)dx⁡ 𝑣 = ∫ Cos(𝑛𝜋𝑥)dx⁡ 𝑣= −Sen(nπx) 𝑛𝜋 c I 1 1 1 1 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥) | I 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥) ∫ (𝑥 − ) Cos(𝑛𝜋𝑥)dx = (𝑥 − ) −⁡⁡∫ 𝑑𝑥 ⁡⁡ 1 2 2 𝑛𝜋 𝑛𝜋 | 1⁄ 2 1 2 2 𝑛𝜋 1 1 𝑆𝑒𝑛[𝑛𝜋(1)] 1 1 𝑆𝑒𝑛 ( 2 ) 1 1 1 − [( ) − ] } − ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)⁡𝑑𝑥 ∫ (𝑥 − ) Cos(𝑛𝜋𝑥)dx⁡ = {[(1) − ] 𝑛𝜋 2 2 2 𝑛𝜋 1 𝑛𝜋 2 1⁄ 2 2 c I 1 1 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 1 −𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥) ∫ (𝑥 − ) Cos(𝑛𝜋𝑥)dx⁡ = − [ + ] || ⁡ 2 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 1⁄ 1 2 𝑛𝜋 2 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 1 1 −𝐶𝑜𝑠[𝑛𝜋(1)] 𝐶𝑜𝑠 [ 2 ] ∫ (𝑥 − ) Cos(𝑛𝜋𝑥)dx⁡ = − { + } 𝑛𝜋 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 𝑛𝜋 1⁄ 1 2 𝑛𝜋 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 𝐶𝑜𝑠( 2 ) 1 + − ∫ (𝑥 − ) Cos(𝑛𝜋𝑥)dx⁡ = 𝑛2 𝜋2 𝑛𝜋 𝑛2 𝜋 2 2 1⁄ 1 2 1 𝑛 𝑛+1 𝑛 2 1 (−1) 1 (−1) −1 ∫ (𝑥 − ) Cos(𝑛𝜋𝑥)dx⁡ = 2 2 − 2 2 [ ] 2 𝑛 𝜋 𝑛 𝜋 2 1⁄ ∴ 2 𝑛 1 (−1)𝑛+1 − 1 2 (−1)𝑛 ] } 𝑎𝑛 = 2 { 2 2 − 2 2 [ 𝑛 𝜋 2 𝑛 𝜋 𝑛𝜋 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) − 𝐶𝑜𝑠 ( 2 ) 𝑎𝑛 = 2 [ ] 𝑛2 𝜋 2 7.2 Cálculo de 𝑎0 2 𝑐 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐 0 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 1 2 1/2 1 𝑎0 = [∫ 0𝑑𝑥 + ∫ (𝑥 − ) 𝑑𝑥] 1 0 2 1/2 1 1 𝑎0 = 2 ∫ (𝑥 − ) 𝑑𝑥 2 1/2 1 1 𝑑𝑥] 1/2 2 𝑎0 = 2 [∫ 𝑥𝑑𝑥 − ∫ 1/2 1 1 1 1 𝑥2 ⁡ ⁡ 𝑎0 = 2 [( ) |1 − ( ) 𝑥 |1] 2 2 2 2 2 (1)2 (1⁄2) 1 1 𝑎0 = 2 {[ − ] − ( ) [(1) − ( )]} 2 2 2 2 1 1 1 𝑎0 = 2 ( − − ) 2 8 4 𝑎0 = 1 4 7.3 Construcción de 𝑓(𝑥) 𝑛𝜋 ∞ 2𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) − 2𝐶𝑜𝑠( ) 1 1 2 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥) 𝑓(𝑥) = ( ) + ∑ 𝑛2 𝜋 2 2 4 𝑛=1 ∞ 1 2 1 𝑛𝜋 𝑓(𝑥) = + 2 ∑ 2 [𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) − 𝐶𝑜𝑠 ( )] 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥) 8 𝜋 𝑛 2 𝑛=1 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 8 EJERCICIO N°8 Intervalo 0 < x < c Función 𝑓(𝑥) = 𝑐 − 𝑥 Extensión par 𝐻(𝑥) = ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑐 − 𝑥⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 < 𝑥 < 𝑐 ⁡𝑐 + 𝑥 , -c< 𝑥 < 0 8.1 Proceso de graficación de la función 8.1.1 Definición de la función original 𝑓(𝑥) TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 8.1.2 Definición de la función par ℎ(𝑥) 8.1.3 Función periódica TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 8.1.4 Serie de Fourier Cuando m=0 Cuando m= 10 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS Cuando m=100 ∞ 1 nπx f(x) = 𝑎0 ∑ an Cos ( ),0 < x < c c 2 an = n=1 2 c nπx ∫ f(x) Cos ( ) dx c 0 c 2 c a0 = ∫ f(x)dx c 0 Donde el periodo = c 8.2 Cálculo de 𝑎𝑛 2 c nπx an = ∫ (c − x) Cos ( ) dx c 0 c 8.2.1 Resolución de la integral inmersa en la ecuación c nπx ) dx ∫ (c − x) Cos ( c 0 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 𝑢 =𝑐−𝑥 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 𝑐 𝑑𝑣 = Cos ( 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥 𝑣 𝑛𝜋𝑥 ) dx⁡ 𝑐 = ∫ Cos ( nπx c ∙ Sen ( 𝑐 ) dx 𝑣= 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑥 c 𝑛𝜋𝑥 𝑐 𝑐 ∙ 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑐 ∙ 𝑆𝑒𝑛 ( ) I ) nπx 𝑐 𝑐 ) dx = (𝑐 − 𝑥) [ ]| − ∫ (−𝑑𝑥)⁡ ∫ (c − x) Cos ( 𝐼 𝑛𝜋 𝑛𝜋 c 0 0 c ={ [𝑐 − (𝑐)] ∙ 𝑐 ∙ 𝑆𝑒𝑛 [ 𝑛𝜋 0 𝑛𝜋(0) 𝑛𝜋𝑐 ] [𝑐 − (0)] ∙ 𝑐 ∙ 𝑆𝑒𝑛 [ 𝑐 ] 𝑐 𝑐 𝑛𝜋𝑥 𝑐 − }+ ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑥 𝑛𝜋 𝑛𝜋 0 𝑐 𝑛𝜋𝑥 c 𝑐 −𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( 𝑐 ) I = [ ]| 𝐼 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑐 −𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 [ [ = 𝑛𝜋 𝑛𝜋 = = 𝑛𝜋(𝑐) ] 𝑐 0 + 𝑐 −𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 𝑐 ( + ) 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑐2 −𝑐 2 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) + 𝑛2 𝜋 2 𝑛2 𝜋 2 𝑐2 −(−1)𝑛 𝑐 2 + 2 2 = 𝑛 𝜋 𝑛2 𝜋 2 ∴ an = 𝑛𝜋(0) ] 𝑐 ] 𝑛𝜋 𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 [ 2 −(−1)𝑛 𝑐 2 𝑐2 [ + ] c 𝑛2 𝜋 2 𝑛2 𝜋 2 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS 8.3 Cálculo de 𝑎0 2 c a0 = ∫ f(x)dx c 0 2 c a0 = ∫ (c − x)dx c 0 𝑐 2 𝑐 a0 = [∫ 𝑐⁡𝑑𝑥 − ∫ 𝑥⁡𝑑𝑥 ] c 0 0 c c 2 2 I 𝑥 I a0 = (𝑐𝑥 | − | ) 𝐼 2 𝐼 c 0 0 2 (𝑐)2 (0)2 a0 = {𝑐(𝑐) − 𝑐(0) − [ − ]} c 2 2 2 𝑐2 a0 = (𝑐 2 − ) 2 c 2 𝑐2 a0 = ( ) c 2 a0 = 𝑐 8.4 Cálculo de f(x) ∞ 2 −(−1)𝑛 𝑐 2 𝑐2 𝑛𝜋𝑥 1 + ] 𝐶𝑜𝑠 ( ) f(x) = ∙ 𝑐 ∑ [ 2 2 2 2 𝑛 𝜋 𝑛 𝜋 𝑐 𝑐 2 n=1 ∞ 1 2 −𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) ∙ 𝑐 2 𝑐2 𝑛𝜋𝑥 f(x) = ∙ 𝑐 ∑ [ + ] 𝐶𝑜𝑠 ( ) 2 2 2 2 2 𝑐 𝑐 𝑛 𝜋 𝑛 𝜋 n=1 ∞ 𝑛𝜋𝑥 1 2 f(x) = ∙ 𝑐 ∑ 2 2 [−𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) ∙ 𝑐 + 𝑐] ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑐 2 𝑛 𝜋 n=1 ∞ 1 −2𝑐[𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) + 1] 𝑛𝜋𝑥 f(x) = ∙ 𝑐 ∑ ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( ) 𝑛2 𝜋 2 2 𝑐 n=1 TRABAJO FINAL MATEMÁTICAS AVANZADAS ∞ 1 2𝑐 1 𝑛𝜋𝑥 f(x) = ∙ 𝑐 + 2 ∑ 2 {−𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋 + 1) ∙ 𝐶𝑜𝑠 ( )} 2 𝜋 𝑛 𝑐 n=1 𝑛𝑥 ∞ 𝑐𝑜𝑠 [(2𝑘 + 1) 𝑐 ] 1 4𝑐 f(x)~ ∙ 𝑐 + 2 ∑ 2 𝜋 (2𝑘 + 1)2 k=0