Séptima edición

Gere Goodno Séptima edición Séptima edición Ahora con más ilustraciones que nunca antes, la séptima edición de Mecánica de materiales, continúa su tradición como uno de los textos principales en el mercado. Con su claridad y exactitud sello, este texto desarrolla la comprensión del estudiante junto con habilidades analíticas y de solución de problemas. Los temas principales incluyen el análisis y diseño de los miembros estructurales sujetos a fuerzas de tensión, compresión, torsión, flexión y más. El libro incluye más material del que se puede enseñar en un solo curso y da a los instructores la oportunidad de seleccionar los temas que desean cubrir mientras dejan cualquier material restante como referencia valiosa para el estudiante. Características principales Problemas: El texto ofrece más de 1000 problemas para la asignación de tareas y las discusiones en el salón de clases. Los ejercicios se agrupan según el orden de dificultad, con los problemas muy largos o más difíciles indicados por una o más estrellas. Ejemplos: Los numerosos ejemplos ilustran los conceptos teóricos y demuestran cómo esos conceptos se pueden utilizar en situaciones prácticas. ISBN 10: 970-830-040-3 ISBN 13: 978-970-830-040-7 Mecánica de materiales Gere • Goodno Séptima edición James M. Gere • Barry J. Goodno www.FreeLibros.com Mecánica de materiales SÉPTIMA EDICIÓN James M. Gere Profesor Emérito, Stanford University Barry J. Goodno Georgia Institute of Technology Traducción: Javier León Cárdenas Profesor de Ciencias Básicas Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional Revisión técnica: José Nicolás Ponciano Guzmán Instituto Tecnológico de Morelia Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Morelia www.FreeLibros.com Mecánica de materiales. Séptima Edición James M. Gere y Barry J. Goodno Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Javier Arellano Gutiérrez Director editorial Latinoamérica: José Tomás Pérez Bonilla Director de producción: Raúl D. Zendejas Espejel Coordinadora editorial: María Rosas López Editor: Sergio R. Cervantes González Editor de producción: Timoteo Eliosa García Ilustrador: Peter Papayanakis Diseño de portada: Ansialab Composición tipográfica: Ediciones OVA © D.R. 2009 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Mechanics of Materials, Seventh ed. Publicado en inglés por Cengage Learning © 2009 ISBN: 0-534-55397-4 Datos para catalogación bibliográfica: Gere, James y Barry J. Goodno Mecánica de materiales. Séptima Ed. ISBN-13: 978-607-481-315-9 ISBN-10: 607-481-315-9 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Contenido James Monroe Gere (1925-2008) Créditos de fotografías x Prefacio xi Símbolos xv Alfabeto griego xviii 1 Tensión, compresión y cortante 2 1.1  1.2 1.3 1.4  1.5  1.6  1.7  1.8  2 ix Introducción a la mecánica de materiales 5 Esfuerzo normal y deformación unitaria normal 7 Propiedades mecánicas de los materiales 15 Elasticidad, plasticidad y termofluencia 24 Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación de Poisson 27 Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante 32 Esfuerzos y cargas permisibles 43 Diseño por cargas axiales y cortante directo 49 Resumen y repaso del capítulo 55 Problemas del capítulo 1 57 Elementos cargados axialmente 88 2.1 2.2  2.3  2.4  2.5  2.6  2.7  *2.8  *2.9  *2.10  *2.11  Introducción 91 Cambios de longitud de elementos cargados axialmente 91 Cambios de longitud en condiciones no uniformes 100 Estructuras estáticamente indeterminadas 107 Efectos térmicos, desajustes y deformaciones previas 116 Esfuerzos sobre secciones inclinadas 128 Energía de deformación 140 Carga de impacto 153 Carga repetida y fatiga 162 Concentraciones de esfuerzos 164 Comportamiento no lineal 170 *Especializado y/o temas avanzados. www.FreeLibros.com iii iv    Contenido *2.12  Análisis elastoplástico 175 Resumen y repaso del capítulo 181 Problemas del capítulo 2 182 3   Torsión 220 3.1  3.2  3.3  3.4  3.5  3.6  3.7  3.8  3.9  3.10  *3.11  4 Introducción 222 Deformaciones torsionantes de una barra circular 223 Barras circulares de materiales linealmente elásticos 226 Torsión no uniforme 238 Esfuerzos y deformaciones unitarias en cortante puro 245 Relación entre los módulos de elasticidad E y G 252 Transmisión de potencia por ejes circulares 254 Elementos de torsión estáticamente indeterminados 259 Energía de deformación en torsión y cortante puro 263 Tubos de pared delgada 270 Concentraciones de esfuerzos en torsión 279 Resumen y repaso del capítulo 282 Problemas del capítulo 3 283 Fuerzas cortantes y momentos flexionantes 304 4.1  Introducción 306 4.2  Tipos de vigas, cargas y reacciones 306 4.3  Fuerzas cortantes y momentos flexionantes 313 4.4  Relaciones entre cargas, fuerzas cortantes y momentos flexionantes 320 4.5  Diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante Resumen y repaso del capítulo 337 Problemas del capítulo 4 338 5 Esfuerzos en vigas (temas básicos) 350 5.1  5.2  5.3  5.4  5.5  5.6  5.7  5.8  Introducción 353 Flexión pura y flexión no uniforme 353 Curvatura de una viga 354 Deformaciones unitarias longitudinales en vigas 356 Esfuerzos normales en vigas (materiales linealmente elásticos) 361 Diseño de vigas para esfuerzos de flexión 374 Vigas no prismáticas 383 Esfuerzos cortantes en vigas con sección transversal rectangular 387 *Especializado y/o temas avanzados. 325 contenido    v 5.9  Esfuerzos cortantes en vigas con sección transversal 5.10  **5.11  **5.12  **5.13  circular 397 Esfuerzos cortantes en las almas de vigas con patines Trabes armadas y flujo cortante 408 Vigas con cargas axiales 412 Concentraciones de esfuerzos en flexión 418 Resumen y repaso del capítulo 421 Problemas del capítulo 5 424 400 6   Esfuerzos en vigas (temas avanzados) 454 6.1  Introducción 457 Vigas compuestas 457 6.3  Método de la sección transformada 466 6.4  Vigas doblemente simétricas con cargas inclinadas 472 6.5  Flexión de vigas asimétricas 479 6.6  Concepto de centro de cortante 487 6.7  Esfuerzos cortantes en vigas con secciones transversales abiertas de pared delgada 489 6.8  Esfuerzos cortantes en vigas de patín ancho 492 6.9  Centros de cortante en secciones abiertas de pared delgada 496 **6.10  Flexión elastoplástica 504 Resumen y repaso del capítulo 514 Problemas del capítulo 6 516 6.2  7   Análisis de esfuerzo y deformación unitaria 536 7.1  7.2  7.3  7.4  7.5  7.6  7.7  Introducción 539 Esfuerzo plano 540 Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes máximos Círculo de Mohr para esfuerzo plano 558 Ley de Hooke para esfuerzo plano 575 Esfuerzo triaxial 580 Deformación unitaria plana 584 Resumen y repaso del capítulo 600 Problemas del capítulo 7 602 548 8   Aplicaciones del esfuerzo plano (recipientes a presión, vigas y cargas combinadas) 618 8.1 8.2 8.3 **Temas Introducción 621 Recipientes esféricos a presión 621 Recipientes cilíndricos a presión 627 avanzados. www.FreeLibros.com vi    Contenido 8.4 8.5 9 Esfuerzos máximos en vigas 635 Cargas combinadas 645 Resumen y repaso del capítulo 661 Problemas del capítulo 8 663 Deflexiones de vigas 676 Introducción 679 9.2 Ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión 679 9.3  Deflexiones por integración de la ecuación del momento flexionante 685 9.4  Deflexiones por integración de las ecuaciones de la fuerza cortante y de la carga 696 9.5 Método de superposición 702 9.6 Método de área-momento 711 9.7 Vigas no prismáticas 720 9.8  Energía de deformación por flexión 725 **9.9  Teorema de Castigliano 731 **9.10 Deflexiones producidas por impacto 744 **9.11  Efectos de la temperatura 746 Resumen y repaso del capítulo 749 Problemas del capítulo 9 751 9.1 10 Vigas estáticamente indeterminadas 770 10.1  10.2  10.3 10.4  **10.5  **10.6  11 Introducción 773 Tipos de vigas estáticamente indeterminadas 773 Análisis de la curva de deflexión con las ecuaciones diferenciales 777 Método de superposición 784 Efectos de la temperatura 797 Desplazamientos longitudinales en los extremos de una viga 801 Resumen y repaso del capítulo 805 Problemas del capítulo 10 806 Columnas 816 11.1  11.2 11.3  11.4 **Temas Introducción 819 Pandeo y estabilidad 819 Columnas con extremos articulados 823 Columnas con otras condiciones de soporte avanzados. 834 contenido    vii 11.5  11.6  11.7  11.8  11.9  12 Columnas con cargas axiales excéntricas 845 Fórmula de la secante para columnas 850 Comportamiento elástico e inelástico de columnas Pandeo inelástico 858 Fórmulas para diseño de columnas 863 Resumen y repaso del capítulo 882 Problemas del capítulo 11 883 856 Repaso de centroides y momentos de inercia 900 12.1  12.2  12.3  12.4 12.5  12.6  12.7  12.8  12.9  Introducción 902 Centroides de áreas planas 902 Centroides de áreas compuestas 905 Momentos de inercia de áreas planas 909 Teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia 912 Momentos polares de inercia 916 Productos de inercia 918 Rotación de ejes 921 Ejes principales y momentos de inercia principales 923 Problemas del capítulo 12 927 Referencias y notas históricas 935 Apéndice A Sistemas de unidades y factores de conversión A.1  Sistemas de unidades 943 A.2  Unidades si 944 A.3  Unidades inglesas habituales 950 A.4  Unidades de temperatura 952 A.5  Conversión entre unidades 953 Apéndice B Resolución de problemas 956 B.1  Tipos de problemas 956 B.2  Pasos en la resolución de problemas 957 B.3  Homogeneidad dimensional 958 B.4  Cifras significativas 959 B.5  Redondeo de números 961 Apéndice C Fórmulas matemáticas Apéndice D Propiedades de áreas planas www.FreeLibros.com 962 966 943 viii    Contenido Apéndice E Propiedades de los perfiles estructurales de acero Apéndice F Propiedades de la madera estructural Apéndice G Deflexiones y pendientes de vigas Apéndice H Propiedades de los materiales Respuestas a los problemas Índice onomástico Índice 1017 1016 995 984 990 983 972 James Monroe Gere (1925-2008) James Monroe Gere, Profesor Emérito de Ingeniería Civil en la Stanford University, nació el 14 de junio de 1925 en Syracuse, Nueva York, y murió el 30 de enero de 2008 en Portola Valley, California. En 1942, a la edad de 17 años, ingresó al U.S. Army Air Corps y desempeñó su servicio militar en Inglaterra, Francia y Alemania. Después de la Segunda Guerra Mundial obtuvo los grados de ingeniero y la maestría en ingeniería civil en el Rensselaer Polytechnic Institute en 1949 y 1951, respectivamente. Trabajó como instructor y después como Investigador asociado en Rensselaer entre 1949 y 1952. Fue premiado con una de las primeras becas NSF y decidió estudiar en la Stanford University. En 1954 recibió su grado de Ph.D. y se le ofreció un puesto en la facultad de ingeniería civil, dando inicio así a una carrera de 34 años en la que hizo que los estudiantes participaran en temas estimulantes en ingeniería mecánica, estructural y sísmica. Fue jefe de departamento y decano asociado de ingeniería y en 1974 fue cofundador del John A. Blume Earthquake Engineering Center en Stanford. En 1980, Jim Gere también fue el principal fundador del Stanford Committee on Earthquake Preparedness, que exhortó a los miembros del campus universitario a asegurar y reforzar el equipo de oficina, mobiliario y otros artículos que pudieran representar un peligro para la vida en caso de un sismo. Ese mismo año fue uno de los primeros extranjeros en ser invitado a estudiar la ciudad devastada por un sismo de Tangshan, China. Jim se jubiló de Stanford en 1988, pero continuó siendo un miembro muy apreciado en la comunidad de Stanford ya que en su tiempo libre aconsejó y guió estudiantes en varios viajes de campo a la zona de temblores de California. Jim Gere fue conocido por su comportamiento sociable, su alegre personalidad y maravillosa sonrisa, su afición al atletismo y su habilidad como educador en ingeniería civil. Fue autor de nueve libros sobre varios temas de ingeniería; el primero fue en 1972 con Mecánica de materiales, un libro inspirado por su maestro y mentor Stephan P. Timoshenko. Sus otros libros famosos, utilizados en cursos de ingeniería en todo el mundo incluyen: Teoría de estabilidad elástica, coescrito con S. Timoshenko; Análisis matricial de marcos y Álgebra matricial para ingenieros, los dos coescritos con W. Weaver; Distribución de momentos; Tablas sísmicas: manual de diseño estructural y construcción, coescrito con H. Krawinkler y Terra Non Firma: Comprensión y preparación para sismos, coescrito con H. Shah. Respetado y admirado por los estudiantes, profesorado y personal de la Stanford University, el profesor Gere siempre sintió que la oportunidad de trabajar y dar servicio a los jóvenes, tanto dentro como fuera del aula, fue una de sus mayores alegrías. Le gustaba caminar y a menudo visitaba los Parques Nacionales de Yosemite y Grand Canyon. Realizó más de 20 ascensiones al Half Dome en Yosemite así como la “excursión a pie John Muir” de hasta 50 millas en un solo día. En 1986 llegó hasta el campo base del Monte Everest, y le salvó la vida a un compañero de viaje. James fue un corredor activo y completó el Jim Gere en la Biblioteca Timoshenko en la Stanford Maratón de Boston a la edad de 48 años, con un tiempo de 3:13. University, mostrando una John Gere siempre será recordado por todos los que lo conocieron como un hombre copia de la 2a. edición de considerado y amoroso que con su buen humor hizo más placenteros los aspectos de la este libro (fotografía cortesía vida y el trabajo. Su último proyecto (en progreso y ahora continuado por su hija Susan de Richard Weingardt Conen Palo Alto, California) fue un libro basado en las memorias de su bisabuelo, un coronel sultants, Inc) (112d NY) en la Guerra Civil. www.FreeLibros.com ix Créditos de fotografías Capítulo 1. 2: Foto de Bryan Tokarczyk, PE/KPFF Tower Engineers 15: Cortesía de MTS Systems Corporation 16: Cortesía de MTS Systems Corporation 18: Cortesía de MTS Systems Corporation 32: © Barry Goodno 60: Barry Goodno 66: © Barry Goodno 67: Vince Streano/Getty Images 67: © Barry Goodno 67: © Barry Goodno 68: © Barry Goodno 68: © Barry Goodno 72: © Barry Goodno 76: Cortesía de American Superconductor 83: © Barry Goodno 76: Cortesía de Tilt-Up Concrete Association. Capítulo 2. 88: Joe Raedle/Getty Images 93: © Barsik/Dreamstime.com 118: Barros & Barros/Getty Images 163: Cortesía de MTS Systems Corporation 188: © Barry Goodno. Capítulo 3. 220: Harald Sund/Getty Images 232: Louie Psihoyos/Getty Images 233: Peter Ginter/Getty Images 290: © Barry Goodno 290: Bontrager Race XXX Lite Flat Handlebar, cortesía de Bontrager. Capítulo 4. 304: © Jupiter Images, 2007 307: Joe Gough/Sthutterstock 309: Cortesía del National Information Service for Earthquake Engineering EERC, University of California, Berkeley 339: Thomasz Gulla/Shutterstock. Capítulo 5. 350: Lester Lefkowitz/Getty Images 374: Cortesía del AISC 413: Lester Lefkowitz/Getty Images 427: Gabriel M. Covian/Getty Images. Capítulo 6. 454: Chris Harvey/Shutterstock 479: Franz Pflueg/Shutterstock 527: Barry Goodno 527: © Barry Goodno. Capítulo 7. 536: Alfred Pasieka/Peter Arnold, Inc. 548: Cortesía de Eann Patterson 548: Frans Lemmens/Getty Images 594: Cortesía de Omega Engineering Inc. Capítulo 8. 618: Cortesía de Christian Michel, www.modernairships.info 621: Harald HØilan TjØstheim/Getty Images 627: Wayne Eastep/Getty Images. Capítulo 9. 676: Cortesía del National Information Service for Earthquake Engineering EERC, University of California, Berkeley 698: Cortesía del National Information Service for Earthquake Engineering EERC, University of California, Berkeley 700: Tom Brakefield/Getty Images 709: Cortesía del National Service for Earthquake Engineering EERC, University of California, Berkeley 720: Malcom Fife/Getty Images. Capítulo 10: 770: © David Sanger photography/Alamy 776: Lopatinsky Vladislav/Shutterstock 812: Cortesía del National Information Service for Earthquake Engineering EERC, University of California, Berkeley. Capítulo 11. 816: LUSHPIX/UNLISTED IMAGES, INC. 833: Lester Lefkowitz/ Getty Images 834: Digital Vision/Getty Images 887: © Barry Goodno. Capítulo 12. 900: Bob Scott/Getty Images 903: Fotografía cortesía de Louis Ge­sch­ winder 906: Don Farral/Getty Images Prefacio: Richard Weingardt Consul­ tants Inc. x Prefacio Prefacio La mecánica de materiales es un tema básico de ingeniería que debe comprender quien tenga interés en la resistencia y el desempeño físico de las estructuras, sean hechas por el hombre o naturales. La materia incluye conceptos fundamentales como esfuerzos y deformaciones unitarias, deformaciones y desplazamientos, elasticidad e inelasticidad, energía de deformación y capacidad de carga. En estos conceptos se basa el diseño y análisis de una gran variedad de sistemas mecánicos y estructurales. En el nivel universitario la mecánica de materiales por lo general se enseña durante los primeros años. La materia es un requisito para la mayoría de los alumnos de ingeniería mecánica, estructural, civil, biomédica, aeronáutica y aeroespacial. Además, muchos estudiantes de campos tan diversos como ciencia de materiales, ingeniería industrial, arquitectura e ingeniería agrícola también encuentran útil estudiar este tema. Acerca de este libro Los temas principales que se estudian en este libro son el análisis y diseño de elementos estructurales sometidos a tensión, compresión, torsión y flexión, incluidos los conceptos fundamentales mencionados en el primer párrafo. Otros temas de interés general son las transformaciones de esfuerzo y deformación unitaria, cargas combinadas, concentraciones de esfuerzo, deflexiones de vigas y estabilidad de columnas. Entre los temas especializados se incluyen los siguientes: efectos térmicos, cargas dinámicas, elementos no prismáticos, vigas de dos materiales, centros de cortante, recipientes a presión y vigas estáticamente indeterminadas. Para mayor alcance y referencia ocasional, también se incluyen temas elementales como fuerzas cortantes, momentos flexionantes, centroides y momentos de inercia. Como ayuda para el lector estudiante, cada capítulo inicia con los Aspectos generales del capítulo y termina con un Resumen y repaso del capítulo en donde se destacan los puntos clave presentados en el capítulo para un repaso rápido (en preparación para exámenes sobre el material). Cada capítulo también empieza con una fotografía de un componente o de una estructura que ilustra los conceptos clave que se estudiarán en ese capítulo. El libro incluye mucho más material del que se puede enseñar en un solo curso, de modo que los maestros tienen la oportunidad de seleccionar los temas que quieran exponer. Como una guía, algunos de los temas más especializados se identifican con una estrella en la tabla de contenido. Se ha hecho un esfuerzo considerable para revisar y corregir las pruebas del texto para eliminar errores, pero si encontrara alguno, sin importar www.FreeLibros.com xi xii    Prefacio lo trivial que sea, por favor notifíqueme por correo electrónico (bgoodno@ ce.gatech.edu), para que podamos corregir cualquier error en la siguiente reimpresión. Ejemplos En todo el libro se presentan ejemplos para ilustrar los conceptos teóricos y mostrar cómo se pueden emplear en situaciones prácticas. En algunos casos se han agregado fotografías que muestran las estructuras o componentes reales en ingeniería para reforzar el vínculo entre teoría y aplicación. Los ejemplos varían en extensión de una o cuatro páginas, dependiendo de la complejidad del material que se ilustra. Cuando el énfasis recae sobre los conceptos, los ejemplos se resuelven en términos simbólicos para ilustrar mejor las ideas y cuando el énfasis se centra en la resolución de problemas, los ejemplos son de carácter numérico. En ejemplos seleccionados en todo el libro se ha agregado una representación gráfica de los resultados (por ejemplo, esfuerzos en vigas) para destacar la comprensión del estudiante de los resultados del problema. Problemas En todos los cursos de mecánica, la resolución de problemas es una parte importante del proceso de aprendizaje. Este libro ofrece más de 1000 problemas de tarea y de análisis en el aula. En esta séptima edición casi 40 por ciento de ellos son nuevos o han sido revisados de manera significativa. Los problemas se encuentran al final del cada capítulo de manera que se puedan encontrar con facilidad y no interrumpan la presentación del tema principal. Además, los problemas muy difíciles o extensos se indican con una o más estrellas (dependiendo del grado de dificultad) en el número del problema, alertando así a los estudiantes del tiempo necesario para su resolución. En general los problemas se presentan en orden de dificultad. Las respuestas para todos los problemas se encuentran cerca del final del libro. Unidades En los ejemplos y problemas se utilizan tanto el sistema internacional de unidades (SI) como el sistema inglés de uso acostumbrado en Estados Unidos. En el apéndice A se explican los dos sistemas y se da una tabla de factores de conversión. Para los problemas que comprenden resoluciones numéricas, los problemas impares están en unidades inglesas y los pares en unidades SI. Esta convención facilita saber de antemano qué sistema de unidades se usa en cualquier problema particular. Además, en el apéndice E se han agregado tablas que contienen propiedades de perfiles estructurales de acero tanto en unidades inglesas como en SI, de manera que la resolución de análisis de vigas y de los ejemplos de diseño y los problemas al final de cada capítulo se pueda llevar a cabo en unidades inglesas o SI. Referencias y notas históricas Inmediatamente después del último capítulo del libro se encuentran las referencias y notas históricas que consisten en fuentes originales para el tema prefacio    xiii en cuestión más información biográfica breve acerca de los científicos, ingenieros y matemáticos precursores, fundadores del campo de la mecánica de materiales. Un índice onomástico facilita consultar cualquiera de estos personajes históricos. Apéndices El material de referencia aparece en los apéndices al final del libro. Gran parte del material se da en tablas: propiedades de áreas planas, propiedades de perfiles estructurales de acero, propiedades de la madera estructural, deflexiones y pendientes de vigas y propiedades de materiales (apéndices D a H, respectivamente). En cambio, los apéndices A y B son descriptivos; el primero da una descripción detallada de los sistemas de unidades SI e inglés y el segundo presenta la metodología para resolver problemas en mecánica. En el último se abordan temas como consistencia dimensional y cifras significativas. Por último, el apéndice C, de referencia rápida, proporciona una lista de las fórmulas matemáticas de uso común. S.P. Timoshenko (1878-1972) y J.M. Gere (1925-2008) Muchos lectores de este libro reconocerán el nombre de Stephen P. Timo­ shenko que probablemente sea el más famoso en el campo de la mecánica aplicada. Timoshenko es reconocido en general como el precursor más extraordinario del mundo en mecánica aplicada. Contribuyó con muchas ideas y conceptos nuevos y se hizo famoso tanto por su erudición como por su enseñanza. A través de sus numerosos libros ejerció un efecto profundo en la enseñanza de la mecánica no sólo en este país sino en cualquier parte donde se estudie la mecánica. Timoshenko fue maestro y mentor de James Gere y estimuló la primera edición de este libro de la autoría de James M. Gere, publicada en 1972; la segunda edición y cada subsiguiente de este libro fueron escritas por James Gere durante el transcurso de su larga y distinguida carrera como autor, educador e investigador en la Stanford University. James Gere empezó sus estudios de doctorado en la Stanford University en 1952, de donde se jubiló como profesor en 1988 después de haber escrito éste y otros ocho libros bien conocidos sobre mecánica e ingeniería estructural y sísmica. Permaneció activo en la Stanford University como Profesor Emérito hasta su deceso en enero de 2008. Al final del libro en la primera referencia se presenta una biografía breve de Timoshenko y en la edición de agosto de 2007 de la revista STRUCTURE aparece un artículo intitulado “Stephen P. Timoshenko: Father of Engineering Mechanics in the U.S.” de Richard G. Weingardt, P.E. Este artículo proporciona una perspectiva histórica excelente sobre éste y muchos otros libros sobre ingeniería mecánica escritos por estos autores. Agradecimientos Es imposible agradecer a todos los que contribuyeron de alguna manera en este libro, pero tengo una gran deuda con mis profesores de la Stanford University, en especial con mi mentor, amigo y autor principal, James M. Gere. www.FreeLibros.com xiv    prefacio También estoy en deuda con los muchos maestros de mecánica y los revisores del libro que ayudaron a conformarlos en sus varias ediciones al paso de los años. Con cada nueva edición, sus consejos y sugerencias han resultado en mejoras significativas tanto en el contenido como en la pedagogía. También quiero agradecer a mis colegas de ingeniería estructural y mecánica del Georgia Institute of Technology: James Craig, Reggie DesRoches, Mulalo Doyoyo, Bruce Ellingwood, Leroy Emkin, Rami Haj-Ali, Larry Jacobs, Larry Kahn, Kim Kurtis, Roberto Leon, Yang Wang, Don White, Kenneth (Mac) Will, Arash Yavari y Abdul Zureick. Un agradecimiento especial para Jim Craig, Rami Haj-Ali, Larry Jacobs, Larry Kahn, Roberto Leon, Don White, Mac Will y Abdul Zureick, quienes me dieron valiosos consejos sobre varios aspectos de las revisiones y adiciones que condujeron a la séptima edición. Es un privilegio trabajar con todos estos educadores y poder aprender de ellos en las interacciones y discusiones casi diarias acerca de la ingeniería estructural y mecánica en el contexto de la investigación y educación superior. Dos de mis asistentes de investigación, el señor Kanoknart Leelardcharoen y la señora Jee-Eun Hur, aportaron una ayuda invaluable al evaluar y resolver muchos de los problemas nuevos y revisados. Su atención al detalle fue una contribución importante para esta edición. Los aspectos de edición y producción del libro siempre estuvieron en manos habilidosas y experimentadas, gracias al personal talentoso y erudito de Cengage Learning (antes Thompson Learning). Su objetivo fue el mismo que el mío, producir la séptima edición mejor posible de este libro, sin comprometer ningún aspecto de éste. La gente con la que he tenido contacto personal en Cengage Learning son Christopher Carson, Director, del Global Engineering Program Cengage Learning, quien, junto con Jim Gere, ayudaron a involucrarme y luego me guiaron en el proyecto; Hilda Gowans, Senior Developmental Editor en el área de Ingeniería de Cengage Learning, quien siempre estuvo disponible para darme información y ánimo; Nicola Winstanley quien administró todos los aspectos de la nueva selección de fotografías; Andrew Adams, quien elaboró las cubiertas; Peter Papayanakis, que diseñó el interior del libro y Lauren Betsos, Global Marketing Services Coordinator, que desarrolló material promocional de apoyo para el libro. Quiero de manera personal reconocer el trabajo de Rose Kerman de RPK Editorial Services, que editó el manuscrito y compuso las páginas. A cada uno de estos individuos les expreso mi más sincero agradecimiento no sólo por un trabajo bien realizado, sino también por la manera amistosa y considerada de hacerlo. Estoy muy agradecido por la paciencia y el aliento proporcionados por mi familia, en especial mi esposa, Lana, durante todo este proyecto. Por último, me siento muy honrado y complacido de estar involucrado en este proyecto, por la invitación de mi mentor y amigo desde hace 30 años, Jim Gere, que amplia este libro hacia la marca de los 40 años. Yo también estoy comprometido con la excelencia continua de este libro y agradeceré todo tipo de comentarios y sugerencias. Por favor siéntase en libertad de expresarme sus comentarios críticos en bgoodno@ce.gatech.edu. BARRY J. GOODNO Atlanta, Georgia Símbolos Símbolos A Af, Aw a, b, c C c D d E Er , Et e F f fT G g H h I Ix , Iy , Iz Ix1, Iy1 Ixy Ix1y1 IP I1, I2 J K k área área de un patín; área del alma dimensiones, distancias centroide, fuerza de comprensión, constante de integración distancia del eje neutro a la superficie exterior de una viga diámetro diámetro, dimensión, distancia módulo de elasticidad módulo de elasticidad reducido; módulo de elasticidad tangente excentricidad, dimensión, distancia, cambio de volumen unitario (dilatación) fuerza flujo cortante, factor de forma para flexión plástica, flexibilidad, frecuencia (Hz) flexibilidad torsional de una barra módulo de elasticidad en cortante aceleración de la gravedad altura, distancia, fuerza o reacción horizontal, caballo de potencia altura, dimensiones momento de inercia (o segundo momento) de un área plana momentos de inercia con respecto a los ejes x, y y z momentos de inercia con respecto a los ejes x1 y y1 (ejes girados) producto de inercia con respecto a los ejes xy producto de inercia con respecto a los ejes x1y1 (ejes girados) momento polar de inercia momentos principales de inercia constante de torsión factor de concentración de esfuerzo, módulo de elasticidad volumétrico, factor de longitud efectiva para una columna constante de resorte, rigidez, símbolo para P/EI www.FreeLibros.com xv xvi    símbolos kT L LE ln, log M MP , MY m N n O O∙ P Pperm Pcr Pp Pr , Pt PY p Q q R r S s T TP , TY t tf, tw U u ur , ut V v v∙, v∙∙, etc. W w x, y, z xc, yc , zc rigidez a la torsión de una barra longitud, distancia longitud efectiva de una columna logaritmo natural (base e); logaritmo común (base 10) momento flexionante, par, masa momento plástico para una viga; momento de fluencia para una viga momento por unidad de longitud, masa por unidad de longitud fuerza axial factor de seguridad, entero, revoluciones por minuto (rpm) origen de coordenadas centro de curvatura fuerza, carga concentrada, potencia carga permisible (o carga de trabajo) carga crítica para una columna carga plástica para una estructura carga de módulo reducido para una columna; carga de módulo tangente para una columna carga de fluencia para una estructura presión (fuerza por unidad de área) fuerza, carga concentrada, momento estático de un área plana intensidad de carga distribuida (fuerza por unidad de distancia) reacción, radio I/A ) radio, radio de giro (r módulo de sección de la sección transversal de una viga, centro de cortante distancia, distancia a lo largo de una curva fuerza de tensión, par de torsión, temperatura par de torsión plástico; par de torsión de fluencia espesor, tiempo, intensidad de par de torsión (par de torsión por unidad de distancia) espesor del patín; espesor del alma energía de deformación densidad de energía de deformación (energía de deformación por unidad de volumen) módulo de resistencia; módulo de tenacidad fuerza cortante, volumen, fuerza vertical o reacción deflexión de una viga, velocidad dv/dx, d2v/dx2, etc. fuerza, peso, trabajo carga por unidad de área (fuerza por unidad de área) ejes rectangulares (origen en el punto O) ejes rectangulares (origen en el centroide C) SÍMBOLOS    xvii x, y, z Z a b bR g gxy , gyz , gzx gx 1y1 gu d ΔT dP, dY  x , y , z �x , �y 1 1 u 1, 2, 3 ∙ T Y  p s     s sx , sy, sz sx1, sy1 su s1, s2, s3 sperm scr spl sr sT sU , sY coordenadas del centroide módulo plástico de la sección transversal de una viga ángulo, coeficiente de dilatación térmica, razón adimensional ángulo, razón adimensional, constante de resorte, rigidez rigidez a la rotación de un resorte deformación unitaria por esfuerzo cortante, densidad de peso (peso por unidad de volumen) deformaciones unitarias por esfuerzos cortantes en los planos xy, yz y zx deformación unitaria por esfuerzo cortante con respecto a los ejes x1y1 (ejes girados) deformación por esfuerzo cortante para ejes inclinados deflexión de una viga, desplazamiento, alargamiento de una barra o un resorte diferencial de temperatura desplazamiento plástico, desplazamiento de fluencia deformación unitaria normal deformaciones unitarias normales en las direcciones x, y y z deformaciones unitarias normales en las direcciones x1 y y1 (ejes girados) deformación unitaria normal para ejes inclinados deformaciones unitarias normales principales deformación unitaria lateral en esfuerzo uniaxial deformación unitaria térmica deformación unitaria de fluencia ángulo, ángulo de rotación del eje de una viga, razón de torsión de una barra en torsión (ángulo de torsión por unidad de longitud) ángulo con respecto a un plano principal o a un eje principal ángulo con respecto a un plano de esfuerzo cortante máximo curvatura ( = 1/) distancia, acortamiento por curvatura relación de Poisson radio, radio de curvatura ( = 1/), distancia radial en coordenadas polares, densidad de masa (masa por unidad de volumen) esfuerzo normal esfuerzos normales sobre planos perpendiculares a los ejes x, y y z esfuerzos normales sobre los planos perpendiculares a los ejes x1y1 (ejes girados) esfuerzo normal sobre un plano inclinado esfuerzos normales principales esfuerzo permisible (o esfuerzo de trabajo) esfuerzo crítico para una columna (scr = Pcr/A) esfuerzo en el límite de proporcionalidad esfuerzo residual esfuerzo térmico esfuerzo último; esfuerzo de fluencia www.FreeLibros.com xviii    SÍmbolos t  ,  ,  txy xy , tyz yz, tzxzx tx 1y1 tsu tperm perm tUU,, tYY ϕf ψc ωv esfuerzo cortante esfuerzos cortantes sobre planos perpendiculares a los ejes x, y y z actuando paralelos a los ejes y, z y x esfuerzo cortante sobre un plano perpendicular al eje x1 y actuando paralelo al eje y1 (ejes girados) esfuerzo cortante sobre un plano inclinado esfuerzo permisible (o esfuerzo de trabajo) en cortante esfuerzo último en cortante; esfuerzo de fluencia en cortante ángulo, ángulo de torsión de una barra en torsión ángulo, ángulo de rotación velocidad angular, frecuencia angular (v = 2πf) ✶Una estrella junto a un número de sección indica que se trata de un tema especializado o avanzado. Una o más estrellas anexas a un número de problema indican un nivel creciente de dificultad en su resolución. Alfabeto griego a b g d e z h u i k l m Alfa Beta Gama Delta Épsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda Mi n j o p r s t y f x c v Ni Xi Ómicron Pi Rho Sigma Tau Upsilon Fi Ji Psi Omega Mecánica de materiales www.FreeLibros.com 2 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Esta torre de telecomunicaciones es un conjunto de muchos elementos que trabajan principalmente en tensión y compresión. SECCIÓN 1.1 Introducción a la mecánica de materiales 3 1 Tensión, compresión y cortante ASPECTOS GENERALES DEL CAPÍTULO En este capítulo se presenta una introducción a la mecánica de materiales, que analiza los esfuerzos, las deformaciones unitarias y los desplazamientos en barras de diferentes materiales sometidas a cargas axiales aplicadas en los centroides de sus secciones transversales. Aprenderemos acerca del esfuerzo normal (s) y la deformación unitaria normal () en materiales empleados en aplicaciones estructurales, luego identificaremos las propiedades clave de diversos materiales, como el módulo de elasticidad (E), la fluencia (sy ) y los esfuerzos de rotura (su ), a partir de gráficas del esfuerzo (s) en función de la deformación unitaria (). También graficaremos el esfuerzo cortante (t) en función de la deformación unitaria por esfuerzo cortante (g) e identificaremos el coeficiente de elasticidad en cortante (G). Si estos materiales sólo se desempeñan en el modo elástico, el esfuerzo y la deformación unitaria están relacionadas por la ley de Hooke para esfuerzo normal y deformación unitaria normal (s = E ⴢ ) y también para el esfuerzo cortante y la deformación unitaria en cortante (t = G ⴢ g). Veremos que los cambios en las dimensiones laterales y en el volumen dependen de la relación de Poisson (n). De hecho, las propiedades de los materiales E, G y n, están directamente relacionadas entre sí y no son propiedades independientes del material. El ensambaje de barras para formar estructuras (como armaduras) nos lleva a considerar los esfuerzos cortante promedio (t) y de aplastamiento (sb ) en sus conexiones, así como los esfuerzos normales que actúan sobre el área neta de la sección transversal (si está en tensión) o sobre toda el área de la sección transversal (si está en compresión). Si restringimos los esfuerzos máximos en cualquier punto a valores permisibles mediante el uso de factores de seguridad, podemos identificar los niveles permisibles de las cargas axiales para sistemas simples, como cables y barras. Los factores de seguridad relacionan la resistencia real con la requerida de los elementos estructurales, y consideran una variedad de incertidumbres, como variaciones en las propiedades del material y la probabilidad de una sobrecarga accidental. Por último, consideraremos el diseño: que es el proceso iterativo mediante el cual se determina el tamaño apropiado de los elementos estructurales para cumplir con una variedad de requisitos tanto de resistencia como de rigidez para una estructura particular sometida a una variedad de cargas diferentes. www.FreeLibros.com 3 4 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante El capítulo 1 está organizado como sigue: 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Introducción a la mecánica de materiales 5 Esfuerzo normal y deformación unitaria normal 7 Propiedades mecánicas de los materiales 15 Elasticidad, plasticidad y termofluencia 24 Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación de Poisson 27 Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante 32 Esfuerzos y cargas permisibles 43 Diseño por cargas axiales y cortante directo 49 Resumen y repaso del capítulo 55 Problemas 57 SECCIÓN 1.1 Introducción a la mecánica de materiales 5 1.1 INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE MATERIALES La mecánica de materiales es una rama de la mecánica aplicada que trata del comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a diversas cargas. Otros nombres para este campo de estudio son resistencia de materiales y mecánica de los cuerpos deformables. Los cuerpos sólidos considerados en este libro incluyen barras sometidas a cargas axiales, ejes en torsión, vigas en flexión y columnas en compresión. El objetivo principal de la mecánica de materiales es determinar los esfuerzos, las deformaciones unitarias y los desplazamientos en estructuras y sus componentes debidas a las cargas que actúan sobre ellas. Si podemos determinar estas cantidades para todos los valores de las cargas incluyendo las que causan la falla, tendremos una representación completa del comportamiento mecánico de esas estructuras. Comprender el comportamiento mecánico es esencial para el diseño seguro de todos los tipos de estructuras, ya sean aeroplanos y antenas, edificios y puentes, máquinas y motores o barcos y naves espaciales. Esta es la razón por la cual la mecánica de materiales es una disciplina básica en muchos campos de la ingeniería. La estática y la dinámica también son esenciales, pero estos temas tratan principalmente con las fuerzas y los movimientos asociados con partículas y cuerpos rígidos. En la mecánica de materiales vamos un paso más allá al analizar los esfuerzos y las deformaciones unitarias dentro de cuerpos reales; es decir, cuerpos de dimensiones finitas que se deforman con cargas. Para determinar los esfuerzos y las deformaciones unitarias, empleamos las propiedades físicas de los materiales, así como numerosas leyes y conceptos teóricos. Los análisis teóricos y los resultados experimentales desempeñan papeles igualmente importantes en la mecánica de materiales. Empleamos teorías para deducir fórmulas y ecuaciones para predecir el comportamiento mecánico, pero no se pueden usar esas expresiones en un diseño práctico, a menos que se conozcan las propiedades físicas de los materiales. Esas propiedades se conocen sólo después de que se han efectuado experimentos cuidadosos en el laboratorio. Además, no todos los problemas prácticos facilitan al análisis teórico y en esos casos las pruebas físicas son una necesidad. El desarrollo histórico de la mecánica de materiales es una mezcla fascinante tanto de teoría como de experimentación, la teoría ha señalado el camino para obtener resultados útiles en algunos casos y la experimentación lo ha hecho en otros. Algunos personajes famosos como Leonardo da Vinci (1452-1519) y Galileo Galilei (1564-1642) realizaron experimentos para determinar la resistencia de alambres, barras y vigas, si bien no desarrollaron teorías adecuadas (con respecto a las normas actuales) para explicar los resultados de sus pruebas. En contraste, el famoso matemático Leonhard Euler (1707-1783) desarrolló la teoría matemática de las columnas y en 1744 calculó la carga crítica de una columna, mucho antes que existiera alguna evidencia experimental que demostrara la importancia de sus resultados. Sin ensayos apropiados para apoyar sus teorías, los resultados de Euler permanecieron sin usarse durante más de cien años, aunque en la actualidad constituyen la base del diseño y análisis de la mayoría de las columnas.* *La historia de la mecánica de materiales, iniciando con Leonardo da Vinci y Galileo Galilei, se encuentra en las referencias 1-1, 1-2 y 1-3. www.FreeLibros.com 6 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Problemas Al estudiar la mecánica de materiales descubrirá que el tema está dividido de manera natural en dos partes: primero, en comprender el desarrollo de los conceptos y segundo, aplicar estos conceptos a situaciones prácticas. Lo primero se logra estudiando las deducciones, explicaciones y ejemplos que aparecen en cada capítulo, y lo segundo se logra resolviendo los problemas al final de cada capítulo. Algunos de los problemas son de carácter numérico y otros son simbólicos (o algebraicos). Una ventaja de los problemas numéricos es que las magnitudes de todas las cantidades son evidentes en cada etapa de los cálculos, lo que permite observar si los valores son razonables o no. La ventaja principal de los problemas simbólicos es que conducen a fórmulas de propósito general. Una fórmula presenta las variables que afectan los resultados finales; por ejemplo, en la solución es posible cancelar una cantidad, un hecho que no sería evidente en una solución numérica. Además, una solución algebraica muestra la manera en que cada variable afecta los resultados, como cuando una variable aparece en el numerador y otra en el denominador. Además, una solución simbólica permite comprobar las dimensiones en cada etapa del trabajo. Por último, la razón más importante para resolver problemas de manera algebraica es obtener una fórmula general que se pueda emplear para muchos problemas diferentes. En contraste, una solución numérica sólo se aplica a un conjunto de circunstancias. Como los ingenieros deben ser expertos en las dos clases de soluciones, usted encontrará una mezcla de problemas numéricos y simbólicos en todo el libro. Los problemas numéricos requieren trabajar con unidades específicas de medida. De acuerdo con la práctica actual de la ingeniería moderna, en este libro se utiliza tanto el Sistema Internacional de unidades (SI) como el sistema inglés (acostumbrado en Estados Unidos). En el apéndice A se encuentra una descripción de los dos sistemas, donde también se encuentran muchas tablas útiles, incluida una de factores de conversión. Todos los problemas se localizan al final de los capítulos con sus números respectivos y los números subsiguientes identifican las secciones a que pertenecen. En el caso de los problemas que requieren soluciones numéricas, los problemas impares están planteados en unidades inglesas y los pares en unidades SI. En el apéndice B se describen con detalle las técnicas para resolver problemas, además de una lista de procedimientos ingenieriles sólidos. El apéndice B incluye secciones sobre homogeneidad dimensional y cifras significativas. Estos temas son especialmente importantes, debido a que cada ecuación debe ser homogénea dimensionalmente y cada resultado numérico debe expresarse con el número adecuado de dígitos significativos. En este libro los resultados numéricos finales, en general, se presentan con tres dígitos significativos, cuando un número inicia con los dígitos 2 al 9, y con cuatro dígitos significativos cuando un número principia con el dígito 1. Con frecuencia los valores intermedios se registran con dígitos adicionales para evitar perder precisión debido al redondeo de números. SECCIÓN 1.2 Esfuerzo normal y deformación unitaria normal 7 1.2 ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL Los conceptos fundamentales en mecánica de materiales son el esfuerzo y la deformación unitaria. Estos conceptos se pueden ilustrar en su forma más elemental considerando una barra prismática sometida a fuerzas axiales. Una barra prismática es un elemento estructural recto que tiene la misma sección transversal en toda su longitud y una fuerza axial es una carga dirigida a lo largo del eje del elemento, lo que resulta en esfuerzos de tensión o de compresión en la barra. En la figura 1.1 se muestran ejemplos donde la barra de arrastre es un elemento prismático en tensión y el puntal del tren de aterrizaje es un elemento en compresión. Otros ejemplos son los elementos de la armadura de un puente, las bielas en motores de automóviles, los rayos de las ruedas de bicicletas, las columnas en edificios y los puntales de las alas de aeroplanos pequeños. Para fines explicativos, consideremos la barra de arrastre de la figura 1.1 y aislemos un segmento de ella como un cuerpo libre (figura 1.2a). Al dibujar este diagrama de cuerpo libre no tomamos en cuenta el peso de la barra misma y suponemos que las únicas fuerzas activas son las fuerzas axiales P en los extremos. Luego, consideramos dos vistas de la barra; la primera muestra la misma barra antes de la aplicación de las cargas (figura 1.2b) y la segunda la muestra después de aplicar las cargas (figura 1.2c). Observe que la longitud original de la barra se denota con la letra L y el incremento en longitud debido a las cargas se denota con la letra griega d (delta). Las fuerzas internas en la barra quedan expuestas si hacemos un corte imaginario por la barra en la sección mn (figura 1.2c). Como esta sección se toma perpendicularmente al eje longitudinal de la barra, se denomina sección transversal. Ahora aislamos la parte de la barra a la izquierda de la sección transversal mn como un cuerpo libre (figura 1.2d). En el extremo derecho de este cuerpo libre (sección mn) mostramos la acción de la parte eliminada de la barra (es decir, la parte a la derecha de la sección mn) sobre la parte restante. Esta acción consiste en esfuerzos distribuidos en forma continua que actúan sobre toda la sección transversal y la fuerza axial P que actúa en la sección transversal es la resultante de estos esfuerzos. (La fuerza resultante se muestra con una línea discontinua en la figura 1.2d.) El esfuerzo tiene unidades de fuerza por unidad de área y se denota por la letra griega s (sigma). En general, los esfuerzos s que actuán sobre una superficie plana pueden ser uniformes en toda el área o bien variar en intensidad de un punto a otro. Supongamos que los esfuerzos que actúan sobre FIGURA 1.1 Elementos estructurales sometidos a cargas axiales. (La barra de arrastre está en tensión y el puntal del tren de aterrizaje está en compresión.) Puntal del tren de aterrizaje Barra de arrastre www.FreeLibros.com 8 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante P P (a) L (b) m P P n L+d (c) FIGURA 1.2 Barra prismática en tensión: (a) diagrama de cuerpo libre de un segmento de la barra, (b) segmento de la barra antes de la aplicación de las cargas, (c) segmento de la barra después de la aplicación de las cargas y (d) esfuerzos normales en la barra. m P P n d P s=— A (d) la sección transversal mn (figura 1.2d) están distribuidos uniformemente sobre el área. Entonces la resultante de estos esfuerzos debe ser igual a la magnitud del esfuerzo por el área de la sección transversal A de la barra, es decir, P = sA. Por tanto, obtenemos la expresión siguiente para la magnitud de los esfuerzos: s P A (1.1) Esta ecuación expresa la intensidad de un esfuerzo uniforme en una barra prismática con sección transversal arbitraria cargada axialmente. Cuando la barra es estirada por las fuerzas P, los esfuerzos son esfuerzos de tensión; si se invierte la dirección de las fuerzas, la barra se comprime y tenemos esfuerzos de compresión. Puesto que los esfuerzos actúan en una dirección perpendicular a la superficie cortada, se denominan esfuerzos normales. Y, por tanto, los esfuerzos normales pueden ser de tensión o de compresión. Más adelante, en la sección 1.6, analizaremos otro tipo de esfuerzo, denominado esfuerzo cortante, que actúa paralelo a la superficie. Cuando se requiere una convención de signos para los esfuerzos normales, se acostumbra definir a los esfuerzos de tensión como positivos y a los esfuerzos de compresión como negativos. Puesto que el esfuerzo normal s se obtiene dividiendo la fuerza axial entre el área de la sección transversal, tiene unidades de fuerza por unidad de área. Cuando se emplean unidades inglesas, el esfuerzo suele expresarse en libras por pulgada cuadrada (psi) o kips por pulgada cuadrada (ksi).* Por ejemplo, suponga que la barra de la figura 1.2 tiene un diámetro d de 2.0 in *Un kip, o kilolibra, es igual a 1000 lb. SECCIÓN 1.2 Esfuerzo normal y deformación unitaria normal 9 y que la carga P tiene una magnitud de 6 kips. Entonces el esfuerzo en la barra es T
P A P 6k 2 Q (2.0 in) 2/4 Q d /4 1.91 ksi (o 1910 psi) En este ejemplo el esfuerzo es de tensión o positivo. Cuando se utilizan unidades SI, la fuerza se expresa en newtons (N) y el área en metros cuadrados (m2). En consecuencia, el esfuerzo tiene unidades de newtons por metro cuadrado (N/m2), es decir, pascales (Pa). Sin embargo, el pascal es una unidad de esfuerzo tan pequeña que es necesario trabajar con múltiplos grandes, usualmente con el megapascal (MPa). Para demostrar que un pascal es en efecto pequeño, sólo tenemos que observar que se requieren casi 7000 pascales para igualar un psi.* Como un ejemplo, el esfuerzo en la barra descrita en el ejemplo anterior (1.91 ksi) se convierte en 13.2 MPa, que es igual a 13.2 × 106 pascales. Aunque no se recomienda emplearlo en el SI, algunas veces el esfuerzo se expresa en newtons por milímetro cuadrado (N/mm2), que es una unidad igual al megapascal (MPa). Limitaciones b P P FIGURA 1.3 Barra de ojo hecha de acero sometida a cargas de tensión P. La ecuación s = P/A sólo es válida si el esfuerzo está uniformemente distribuido sobre la sección transversal de la barra. Esta condición se cumple si la fuerza axial P actúa en el centroide del área de la sección transversal, como se demuestra más adelante en esta sección. Cuando la carga P no actúa en el centroide, se tendrá una flexión de la barra y se requiere de un análisis más complicado (consulte las secciones 5.12 y 11.5). Sin embargo, en este libro (así como en la práctica común) se entiende que las fuerzas axiales se aplican en los centroides de las secciones transversales a menos que se indique otra cosa. La condición de esfuerzo uniforme representada en la figura 1.2d se tiene en toda la longitud de la barra, excepto cerca de los extremos. La distribución del esfuerzo en el extremo de la barra depende de cómo se transmite la carga P a la barra. Si sucede que la carga está uniformemente distribuida sobre el extremo, entonces el patrón de esfuerzos será el mismo en otras partes. Sin embargo, es más probable que la carga se transmita mediante un pasador o un perno, produciendo esfuerzos muy localizados denominados concentraciones de esfuerzos. Una posibilidad se ilustra mediante la barra de ojo de la figura 1.3. En este caso las cargas P se transmiten a la barra mediante pasadores que pasan por los agujeros (u ojos) en los extremos de la barra. Por tanto, las fuerzas mostradas en la figura en realidad son las resultantes de las presiones de apoyo entre los pasadores y la barra de ojo, y la distribución de esfuerzo alrededor de los agujeros es muy compleja. No obstante, conforme nos alejamos de los extremos hacia el centro de la barra, la distribución del esfuerzo gradualmente tiende a la distribución uniforme representada en la figura 1.2d. Como regla práctica, se puede emplear la fórmula s = P/A, con buena precisión en cualquier punto dentro de una barra prismática que esté alejado *Los factores de conversión entre las unidades inglesas y las unidades SI, se encuentran en la tabla A.5 del apéndice A. www.FreeLibros.com 10 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante de la concentración de esfuerzos al menos una distancia igual a la dimensión lateral mayor de la barra. En otras palabras, la distribución del esfuerzo en la barra de ojo de la figura 1.3 es uniforme a distancias b o mayores desde los extremos agrandados, donde b es el ancho de la barra, y la distribución del esfuerzo en la barra prismática de la figura 1.2 es uniforme a distancias d o mayores desde los extremos, donde d es el diámetro de la barra (figura 1.2d). En la sección 2.10 se analizan con más detalle las concentraciones de esfuerzos producidas por cargas axiales. Por supuesto, aun cuando el esfuerzo no esté distribuido uniformemente, la ecuación s = P/A es de utilidad debido a que proporciona el esfuerzo normal promedio sobre la sección transversal. Deformación unitaria normal Como ya vimos, una barra recta cambiará su longitud al cargarla axialmente, haciéndose más larga en tensión y más corta en compresión. Por ejemplo, considere de nuevo la barra prismática de la figura 1.2. El alargamiento d de esta barra (figura 1.2c) es el resultado acumulativo del alargamiento de todos los elementos del material en todo el volumen de la barra. Supongamos que el material es el mismo en toda la barra. Entonces, si consideramos la mitad de la barra (longitud L/2), tendrá un alargamiento igual a d/2 y si consideramos un cuarto de la barra, tendrá un alargamiento igual a d/4. En general, el alargamiento de un segmento es igual a su longitud dividida entre la longitud total L y multiplicada por el alargamiento d. Por tanto, una longitud unitaria de la barra tendrá un alargamiento igual a 1/L por d. Esta cantidad se denomina alargamiento por unidad de longitud, o deformación unitaria y se denota con la letra griega  (épsilon). Podemos observar que la deformación unitaria está dada por la ecuación e5 d L (1.2) Si la barra está en tensión, la deformación unitaria se denomina deformación unitaria por tensión, que representa un alargamiento o estiramiento del material. Si la barra está en compresión, la deformación unitaria es una deformación unitaria por compresión y la barra se acorta. En general, la deformación unitaria por tensión se considera positiva y la deformación unitaria por compresión como negativa. La deformación unitaria  se denomina deformación unitaria normal debido a que está asociada con los esfuerzos normales. Como la deformación unitaria normal es la razón de dos longitudes, es una cantidad adimensional, es decir, no tiene unidades. Por tanto, la deformación unitaria se expresa simplemente como un número, independiente de cualquier sistema de unidades. Los valores numéricos de la deformación unitaria suelen ser muy pequeños, debido a que las barras hechas de material estructural sólo experimentan cambios pequeños de longitud cuando se someten a cargas. Como ejemplo, considere una barra de acero con longitud L igual a 2.0 m. Al ser sometida a una carga de tensión muy pesada, podría alargarse 1.4 mm, lo que significa que la deformación unitaria es e5 d L 1.4 mm 2.0 m 0.0007 700 10 6 SECCIÓN 1.2 Esfuerzo normal y deformación unitaria normal 11 En la práctica, las unidades originales de d y L algunas veces se dan en la deformación unitaria misma y entonces ésta se registra en formas como mm/m, μm/m e in/in. Por ejemplo, la deformación unitaria  en el ejemplo anterior podría expresarse como 700 μm/m o 700 × 10–6 in/in. Además, en ocasiones la deformación unitaria se expresa como un porcentaje, en especial cuando es grande. (En el ejemplo anterior, la deformación es 0.07 por ciento). Esfuerzo uniaxial y deformación unitaria uniaxial Las definiciones de esfuerzo normal y deformación unitaria normal se basan en consideraciones puramente estáticas y geométricas, lo que significa que las ecuaciones (1.1) y (1.2) se pueden emplear para cargas de cualquier magnitud y para cualquier material. El requisito principal es que la deformación de la barra sea uniforme en todo su volumen, lo que a su vez requiere que la barra sea prismática, que las cargas pasen por los centroides de las secciones transversales y que el material sea homogéneo (es decir, que sea el mismo en todas las partes de la barra). El estado de esfuerzo y de deformación unitaria resultantes se denomina esfuerzo uniaxial y deformación unitaria uniaxial. Más adelante en la sección 2.6 se darán explicaciones adicionales del esfuerzo uniaxial, incluyendo esfuerzos en otras direcciones además de la dirección longitudinal de la barra. En el capítulo 7 también analizaremos estados de esfuerzos más complicados, como el esfuerzo biaxial y el esfuerzo plano. Línea de acción de las fuerzas axiales para una distribución uniforme del esfuerzo En todo el análisis anterior del esfuerzo y de la deformación unitaria en una barra prismática supusimos que el esfuerzo normal s estaba distribuido uniformemente sobre su sección transversal. Ahora demostraremos que esta condición se cumple si la línea de acción de las fuerzas axiales pasa por el centroide del área de la sección transversal. Considere una barra prismática con sección transversal arbitraria sometida a fuerzas axiales P que producen esfuerzos s distribuidos uniformemente (figura 1.4a). Sea p1 el punto en la sección transversal donde la línea de acción de las fuerzas interseca la sección transversal (figura 1.4b). Si trazamos un conjunto de ejes xy en el plano de la sección transversal y denotamos las coordenadas del punto p1 con x̄ y ȳ. Para determinar esas coordenadas, observamos que los momentos Mx y My de la fuerza P con respecto a los ejes x y y, respectivamente, deben ser iguales a los momentos correspondientes de los esfuerzos distribuidos uniformemente. Los momentos de la fuerza P son Mx Py My Px (a,b) en donde un momento se considera positivo cuando su vector (empleando la regla de la mano derecha) actúa en la dirección positiva del eje correspondiente.* *Para visualizar la regla de la mano derecha, imagine que toma un eje de coordenadas con la mano derecha, de tal manera que los dedos estén alrededor del eje y el dedo pulgar apunta en la dirección positiva del eje. Entonces un momento es positivo si actúa con respecto al eje en la misma dirección de los dedos. www.FreeLibros.com 12 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante y P x x– P A dA s =P A FIGURA 1.4 Distribución uniforme de esfuerzos en una barra prismática: (a) fuerzas axiales P y (b) sección transversal de la barra. p1 (a) O –y y x (b) Los momentos de los esfuerzos distribuidos se obtienen integrando sobre el área de la sección transversal A. La fuerza diferencial que actúa sobre un elemento del área dA (figura 1-4b) es igual a sdA. Los momentos de esta fuerza elemental con respecto a los ejes x y y son sydA y –sxdA, respectivamente, en donde x y y denotan las coordenadas del elemento dA. Los momentos totales se obtienen integrando sobre el área de la sección transversal: s y dA Mx My s xdA (c,d) Estas expresiones dan los momentos producidos por los esfuerzos s. Luego, igualamos los momentos Mx y My obtenidos para la fuerza P (ecuaciones a y b) con los momentos obtenidos a partir de los esfuerzos distribuidos (ecuaciones c y d): s y dA Py Px s x dA Como los esfuerzos s están distribuidos uniformemente, sabemos que son constantes sobre el área A de la sección transversal y se pueden poner fuera de los signos de integración. Además, sabemos que s es igual a P/A. Por tanto, obtenemos las fórmulas siguientes para las coordenadas del punto p1: y dA y A x dA x A (1.3a,b) Estas ecuaciones son iguales a las que definen las coordenadas del centroide de un área (consulte las ecuaciones 12.3a y b en el capítulo 12). Por tanto, ahora hemos llegado a una conclusión importante: a fin de tener una tensión o compresión uniforme en una barra prismática, la fuerza axial debe actuar en el centroide del área de la sección transversal. Como explicamos antes, siempre suponemos que estas condiciones se cumplen a menos que se especifique de otra manera. Los ejemplos siguientes ilustran el cálculo de esfuerzos y deformaciones unitarias en barras prismáticas. En el primer ejemplo ignoramos el peso de la barra y en el segundo lo incluimos. (Cuando se resuelven problemas del libro de texto es usual omitir el peso de la estructura a menos que se pida incluirlo). SECCIÓN 1.2 Esfuerzo normal y deformación unitaria normal 13 Ejemplo 1.1 Un poste corto, construido con un tubo circular hueco de aluminio, soporta una carga de compresión de 26 kips (figura 1.5). Los diámetros interior y exterior del tubo son d1 = 4.0 in y d2 = 4.5 in, respectivamente, y su longitud es 16 in. El acortamiento del poste debido a la carga es de 0.012 in. Determine el esfuerzo de compresión y la deformación unitaria en el poste. (No tenga en cuenta el peso del poste y suponga que éste no se pandea con la carga.) 26 k 16 in FIGURA 1.5 Ejemplo 1.1. Poste hueco de aluminio en compresión. Solución Suponiendo que la carga de compresión actúa en el centro del tubo hueco, podemos emplear la ecuación s = P/A (ecuación 1.1) para calcular el esfuerzo normal. La fuerza P es igual a 26 k (o 26,000 lb) y el área A de la sección transversal es A p 2 d2 4 p (4.5 in) 2 4 d 21 (4.0 in) 2 3.338 in 2 Por tanto, el esfuerzo de compresión en el poste es s P A 26,000 lb 3.338 in2 7790 psi La deformación unitaria de compresión (de la ecuación 1.2) es e d L 0.012 in 16 in 750 10 6 De esta manera hemos calculado el esfuerzo y la deformación unitaria en el poste. Nota: como se explicó antes, la deformación unitaria es una cantidad adimensional y, por tanto, no se requiere indicar unidades para ella. Sin embargo, por claridad, a menudo se le dan unidades. En este ejemplo,  se podría escribir como 750 × 10–6 in/in o 750 μin/in. www.FreeLibros.com 14 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Ejemplo 1.2 Una barra circular de acero con longitud L y diámetro d cuelga en el tiro de una mina y en su extremo inferior sostiene un balde con mineral con peso W (figura 1.6). (a) Obtenga una fórmula para el esfuerzo máximo smáx en la barra, tomando en cuenta el peso de ésta. (b) Calcule el esfuerzo máximo si L = 40 m, d = 8 mm y W = 1.5 kN. L d FIGURA 1.6 Ejemplo 1.2. Barra de acero soportando un peso W. W Solución (a) La fuerza axial máxima Fmáx en la barra se tiene en el extremo superior y es igual al peso W del balde con mineral más el peso W0 propio de la barra. Este último es igual al peso específico g del acero por el volumen V de la barra; o sea W0 gV (1.4) gAL en donde A es el área de la sección transversal de la barra. Por tanto, la fórmula para el esfuerzo máximo (de la ecuación 1.1) es smáx Fmáx W A gAL A W A gL (1.5) (b) Para calcular el esfuerzo máximo, sustituimos los valores numéricos en la ecuación anterior. El área de la sección anterior A es igual a πd2/4, donde d = 8 mm y el peso específico g del acero es 77.0 kN/m3 (de la tabla H-1 del apéndice H). Por tanto, smáx 1.5 kN p (8 mm)2/4 29.8 MPa (77.0 kN/m3)(40 m) 3.1 MPa 32.9 MPa En este ejemplo, el peso de la barra contribuye de manera considerable al esfuerzo máximo y no debe ignorarse. SECCIÓN 1.3 Propiedades mecánicas de los materiales 15 1.3 PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES El diseño de máquinas y estructuras para que funcionen apropiadamente requiere que comprendamos el comportamiento mecánico de los materiales empleados. En general, la única forma para determinar cómo se comportan los materiales cuando se someten a cargas es realizar experimentos en el laboratorio. El procedimiento usual es colocar muestras pequeñas del material en máquinas de ensayo, aplicar las cargas y luego medir las deformaciones resultantes (como cambios de longitud y diámetro). La mayor parte de los laboratorios de pruebas de materiales están equipados con máquinas capaces de cargar las muestras de diversas maneras, incluyendo cargas estáticas y dinámicas en tensión y compresión. En la figura 1.7 se muestra una máquina para ensayos de tensión común. La muestra de ensayo se coloca entre las dos mordazas grandes de la máquina y luego se carga a tensión. Dispositivos de medición registran las deformaciones unitarias y los sistemas de control automático y de procesamiento de datos (a la izquierda en la fotografía) tabulan y grafican los resultados. En la figura 1.8 se muestra una vista más detallada de una muestra para ensayo de tensión. Los extremos de la muestra circular se amplían en la región donde se colocan en las mordazas para que no ocurra la falla cerca de éstas. Una falla en los extremos no producirá la información deseada acerca del material, debido a que la distribución del esfuerzo cerca de las mordazas no es uniforme, como se explicó en la sección 1.2. En una muestra apropiadamente diseñada, la falla sucederá en su parte prismática donde la distribución del esfuerzo es uniforme y la barra está sometida sólo a tensión pura. Esta situación se muestra en la figura 1.8, donde la muestra de acero se fracturó ante la carga. El dispositivo a la derecha, que está conectado me- FIGURA 1.7 Máquina para ensayos de tensión con sistema automático de procesamiento de datos. (Cortesía de MTS Systems Corporation.) www.FreeLibros.com 16 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante FIGURA 1.8 Muestra común para ensayo de tensión con extensómetro conectado; la muestra se fracturó en tensión. (Cortesía de MTS Systems Corporation.) diante dos brazos a la muestra, es un extensómetro que mide el alargamiento durante la aplicación de la carga. A fin de que se puedan comparar los resultados de los ensayos, se deben estandarizar las dimensiones de las muestras para ensayo y los métodos de aplicación de las cargas. Una de las principales organizaciones normativas en Estados Unidos es la American Society for Testing and Materials (ASTM), una sociedad técnica que publica especificaciones y normas para materiales y pruebas. Otras organizaciones normativas son la American Standards and Association (ASA) y el National Institute of Standards and Technology (NIST). En otros países existen organizaciones similares. La muestra para tensión estándar de la ASTM tiene un diámetro de 0.505 in y una longitud calibrada de 2.0 in entre las marcas de calibración, que son los puntos donde los brazos del extensómetro están conectados a la muestra (consulte la figura 1.8). Conforme se jala la muestra, se mide y se registra la carga axial, ya sea de forma automática o bien tomando una lectura de una carátula. El alargamiento sobre la longitud calibrada se mide de SECCIÓN 1.3 Propiedades mecánicas de los materiales 17 manera simultánea, mediante dispositivos mecánicos del tipo que se muestra en la figura 1.8 o con deformímetros por resistencia eléctrica. En un ensayo estático, la carga se aplica lentamente y la velocidad exacta de carga no es de interés debido a que no afecta el comportamiento de la muestra. Sin embargo, en un ensayo dinámico la carga se aplica rápidamente y en algunas ocasiones de una manera cíclica. Como la naturaleza de una carga dinámica afecta las propiedades de los materiales, también se debe medir la velocidad de carga. Los ensayos de compresión de metales suelen realizarse en muestras pequeñas con forma de cubos o cilindros circulares. Por ejemplo, los cubos pueden tener 2.0 in por lado y los cilindros diámetros de 1 in, y longitudes de 1 a 12 in y se pueden medir la carga aplicada por la máquina y el acortamiento de la muestra. El acortamiento se debe medir sobre una longitud calibrada que sea menor que la longitud total de la muestra a fin de eliminar efectos de borde. El concreto se ensaya a la compresión en proyectos importantes de construcción para asegurar que se haya obtenido la resistencia requerida. Un tipo de muestra para ensayo de concreto tiene 6 in de diámetro, 12 in de longitud y una edad de 28 días (la edad del concreto es importante debido a que adquiere más resistencia a medida que se cura). Muestras similares pero un tanto menores se emplean cuando se realizan ensayos de compresión en roca (figura 1-9). Diagramas de esfuerzo-deformación unitaria Los resultados de los ensayos, en general, dependen de las dimensiones de la muestra que se ensaya. Como es poco probable que diseñemos una estructura que tenga partes con el mismo tamaño que las muestras para ensayo, necesitamos expresar los resultados en una forma que se pueda aplicar a elementos de cualquier tamaño. Una forma simple de lograr este objetivo es convertir los resultados de los ensayos en esfuerzos y deformaciones unitarias. El esfuerzo axial s en una muestra para ensayo se calcula dividiendo la carga axial P entre el área de la sección transversal A (ecuación 1.1). Cuando se utiliza el área inicial de la muestra en los cálculos, el esfuerzo se denomina esfuerzo nominal (otros nombres son esfuerzo convencional y esfuerzo ingenieril). Un valor más exacto del esfuerzo axial, denominado esfuerzo real, se puede calcular empleando el área real de la barra en la sección transversal donde ocurre la falla. Como el área real en un ensayo de tensión siempre es menor que el área inicial (como se ilustra en la figura 1.8), el esfuerzo real es mayor que el esfuerzo nominal. La deformación unitaria axial promedio  en la muestra para ensayo se determina dividiendo el alargamiento medido d en medio de las marcas de calibración, entre la longitud calibrada L (consulte la figura 1.8 y la ecuación 1.2). Si la longitud calibrada inicial se emplea en el cálculo (por ejemplo, 2.0 in), entonces se obtiene la deformación unitaria normal. Como la distancia entre las marcas de calibración aumenta conforme se aplica la carga de tensión, podemos calcular la deformación unitaria verdadera (o deformación unitaria natural) para cualquier valor de la carga empleando la distancia real entre las marcas de calibración. En tensión, la deformación www.FreeLibros.com 18 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante FIGURA 1.8 Muestra de roca ensayada en compresión para obtener la resistencia a la compresión, el módulo elástico y la relación de Poisson. (Cortesía de MTS Systems Corporation). unitaria real siempre es menor que la deformación unitaria nominal. Sin embargo, para la mayor parte de los fines ingenieriles, el esfuerzo nominal y la deformación unitaria nominal son adecuadas, como se explica más adelante en esta sección. Después de realizar un ensayo de tensión o compresión y de determinar el esfuerzo y la deformación unitaria para varias magnitudes de la carga, podemos trazar un diagrama del esfuerzo en función de la deformación unitaria. Ese diagrama esfuerzo-deformación unitaria es una característica del material particular que se ensaya y contiene información importante sobre sus propiedades mecánicas y el tipo de comportamiento.* *Los diagramas de esfuerzo-deformación unitaria fueron creados por Jacob Bernoulli (16541705) y J. V. Poncelet (1788-1867); consulte la referencia 1.4. SECCIÓN 1.3 Propiedades mecánicas de los materiales 19 El primer material que analizaremos es el acero estructural conocido también como acero dulce o acero al bajo carbono. Es uno de los metales que se emplean y se encuentra en edificios, puentes, grúas, barcos, torres, vehículos y en muchos otros tipos de construcciones. Un diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para un acero estructural común en tensión se muestra en la figura 1.10. Las deformaciones unitarias están trazadas en el eje horizontal y los esfuerzos en eje vertical. (A fin de mostrar todas las características importantes de este material, el eje de la deformación unitaria en la figura 1.10 no está dibujado a escala.) El diagrama inicia con una línea recta desde el origen O hasta el punto A, que indica que la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria en esta región inicial no sólo es lineal sino también proporcional.* Más allá del punto A, ya no existe la proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria; de aquí que al esfuerzo en A se le nombre límite de proporcionalidad. Para aceros al bajo carbono, este límite está en el intervalo de 30 a 50 ksi (210 a 350 MPa), pero los aceros de alta resistencia (con contenido mayor de carbono más otras aleaciones) pueden tener límites de proporcionalidad mayores que 80 ksi (550 MPa). La pendiente de la línea recta de O a A se denomina módulo de elasticidad. Debido a que la pendiente tiene unidades de esfuerzo dividido entre la deformación unitaria, el módulo de elasticidad tiene las mismas unidades que el esfuerzo. (Los módulos de elasticidad se analizan en la sección 1.5). Con un incremento en el esfuerzo más allá del límite de proporcionalidad, la deformación unitaria comienza a aumentar más rápidamente con cada incremento del esfuerzo. En consecuencia, la curva esfuerzo-deformación unitaria tiene una pendiente cada vez menor, hasta que en el punto B la curva se vuelve horizontal (consulte la figura 1.10). A partir de este punto ocurre un alargamiento considerable de la muestra para ensayo sin un aumento notable en la fuerza de tensión (del punto B al C). Este fenómeno se conoce como fluencia del material y el punto B se denomina punto de s E' Esfuerzo último D Esfuerzo de fluencia B Límite de proporcionalidad A C Fractura O FIGURA 1.10 Diagrama esfuerzodeformación unitaria para un acero estructural común en tensión (no a escala). Región lineal Plasticidad Endurecimiento o fluencia por deformación perfecta *Se Estricción E e dice que dos variables son proporcionales si su relación permanece constante. Por tanto, una relación proporcional se puede representar mediante una recta que pasa por el origen. Sin embargo, una relación proporcional no es lo mismo que una relación lineal. Si bien una relación proporcional es lineal, la proposición inversa no es necesariamente cierta, debido a que una relación representada por una recta que no pasa por el origen es lineal pero no proporcional. La expresión empleada con frecuencia “directamente proporcional” es sinónimo de “proporcional” (referencia 1.5). www.FreeLibros.com 20 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Carga Región de estricción Región de fractura Carga FIGURA 1.11 Estricción de una barra de acero dulce en tensión. fluencia. El esfuerzo correspondiente se conoce como esfuerzo de fluencia del acero. En la región de B a C (figura 1-10) el material se vuelve perfectamente plástico, lo cual significa que se deforma sin un aumento en la carga aplicada. El alargamiento de una muestra de acero dulce en la región perfectamente plástica usualmente es de 10 a 15 veces el alargamiento que ocurre en la región lineal (entre el inicio de la carga y el límite de proporcionalidad). La presencia de deformaciones unitarias muy grandes en la región plástica (y más allá de ésta) es la razón para no trazar este diagrama a escala. Después de experimentar las grandes deformaciones unitarias que ocurren durante la fluencia en la región BC, el acero comienza a endurecerse por deformación. Durante el endurecimiento por deformación el material experimenta cambios en su estructura cristalina, resultando en una resistencia mayor del material ante una deformación adicional. La elongación de la muestra de ensayo en esta región requiere un aumento en la carga de tensión y, por tanto, el diagrama esfuerzo-deformación unitaria tiene una pendiente positiva de C a D. Al final, la carga llega a su valor máximo y el esfuerzo correspondiente (en el punto D) se denomina esfuerzo último. Un alargamiento adicional de la barra en realidad se acompaña de una reducción en la carga y la fractura finalmente ocurre en un punto como el E de la figura 1.10. El esfuerzo de fluencia y el esfuerzo último de un material también se denominan resistencia de fluencia y resistencia última, respectivamente. Resistencia es un término general que se refiere a la capacidad de una estructura para resistir cargas. Por ejemplo, la resistencia de fluencia de una viga es la magnitud de la carga requerida para ocasionar fluencia en la viga y la resistencia última de una armadura es la carga máxima que puede soportar, es decir, la carga de falla. Sin embargo, al realizar un ensayo de tensión de un material particular, definimos la capacidad de soporte de carga por los esfuerzos en la muestra en vez de las cargas totales que actúan en la muestra. Como resultado, la resistencia de un material usualmente se estipula como un esfuerzo. Cuando se estira una muestra de ensayo, sufre una contracción lateral, como ya se mencionó. La disminución resultante en el área de la sección transversal es demasiado pequeña para tener un efecto notable sobre los valores calculados de los esfuerzos aproximadamente en el punto C en la figura 1.10, pero más allá de ese punto la reducción del área comienza a alterar la forma de la curva. En la proximidad del esfuerzo último, la reducción del área de la barra es aparente y se presenta una estricción pronunciada de la barra (consulte las figuras 1.8 y 1.11). Si se emplea el área real de la sección transversal en la parte angosta de la estricción para calcular el esfuerzo, se obtiene la curva verdadera esfuerzo-deformación unitaria (la línea discontinua CE⬘ en la figura 1.10). La carga total que la barra puede soportar disminuye en efecto después que se alcanza el esfuerzo último (como lo muestra la curva DE), pero esta reducción se debe a la disminución del área de la barra y no a una pérdida de resistencia del propio material. En realidad, el material soporta un aumento en el esfuerzo verdadero hasta la falla (punto E⬘). Como se espera que la mayoría de las estructuras trabajen a esfuerzos menores que el límite de proporcionalidad, la curva convencional esfuerzo-deformación unitaria OABCDE, que se basa en el área original de la sección transversal de la muestra y es fácil de determinar, proporciona información adecuada para emplearla en el diseño de ingeniería. SECCIÓN 1.3 s (ksi) 80 D 60 E 40 C 20 A, B 0 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 e FIGURA 1.12 Diagrama esfuerzodeformación unitaria para un acero estructural típico en tensión (dibujado a escala). s (ksi) 40 30 20 10 0 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 e FIGURA 1.13 Diagrama esfuerzodeformación unitaria típico para una aleación de aluminio. s A 0.002 Desplazamiento O e FIGURA 1.14 Esfuerzo de fluencia arbitrario determinado mediante el método de desplazamiento. Propiedades mecánicas de los materiales 21 El diagrama de la figura 1.10 muestra las características generales de la curva esfuerzo-deformación unitaria para el acero dulce, pero sus proporciones no son realistas debido a, como ya se mencionó, que la deformación unitaria que ocurre de B a C puede ser más de diez veces mayor que la deformación unitaria que ocurre de O a A. Además, las deformaciones unitarias de C a E son muchas veces mayores que las de B a C. Las relaciones correctas se representan en la figura 1.12, donde se muestra un diagrama esfuerzo-deformación unitaria para acero dulce dibujado a escala. En esta figura, las deformaciones unitarias desde el punto cero hasta el punto A son tan pequeñas comparadas con las deformaciones unitarias del punto A al punto E que no se pueden ver y parece que la parte inicial del diagrama es una línea vertical. La presencia de un punto de fluencia bien definido, seguido por deformaciones unitarias plásticas grandes, es una característica importante del acero estructural que algunas veces se emplea en el diseño práctico (consulte, por ejemplo, los análisis del comportamiento elastoplástico en las secciones 2.12 y 6.10). Los metales como el acero estructural que sufren deformaciones unitarias permanentes antes de la falla se clasifican como dúctiles. Por ejemplo, la ductilidad es la propiedad que permite que una barra de acero se doble para formar un arco circular o se trefile para formar un alambre sin romperse. Una característica importante de los materiales dúctiles es que presentan una distorsión visible si las cargas son demasiado grandes, proporcionando así una oportunidad para tomar una acción correctiva antes de que ocurra la fractura. También, los materiales que presentan comportamiento dúctil son capaces de absorber grandes cantidades de energía de deformación antes de la fractura. El acero estructural es una aleación de hierro que contiene aproximadamente 0.2 por ciento de carbono y, por tanto, se clasifica como acero al bajo carbono. Al aumentar el contenido de carbono, el acero se vuelve menos dúctil pero más resistente (mayor esfuerzo de fluencia y mayor esfuerzo último). Las propiedades físicas del acero también se ven afectadas por un tratamiento térmico, por la presencia de otros metales y por los procesos de manufactura como el laminado. Otros materiales que se comportan de una manera dúctil (en ciertas condiciones) son aluminio, cobre, magnesio, plomo, molibdeno, níquel, latón, bronce, metal monel, nailon y teflón. Las aleaciones de aluminio si bien pueden tener una ductilidad considerable, no tienen un punto de fluencia bien definido, como se muestra en el diagrama esfuerzo-deformación unitaria de la figura 1.13, pero tienen una región lineal inicial con un límite de proporcionalidad reconocible. Las aleaciones producidas para fines estructurales tienen límites de proporcionalidad en el rango de 10 a 60 ksi (70 a 410 MPa) y esfuerzos últimos en el rango de 20 a 80 ksi (140 a 550 MPa). Cuando un material, como el aluminio, no tiene un punto de fluencia bien determinado y, sin embargo, sufre grandes deformaciones unitarias después de rebasar el límite de proporcionalidad, se puede determinar un esfuerzo de fluencia arbitrario mediante el método de desplazamiento. Se traza una línea recta en el diagrama esfuerzo-deformación unitaria paralela a la parte inicial lineal de la curva (figura 1.14), pero desplazada en cierta deformación unitaria estándar, como 0.002 (o 0.2 por ciento). La intersección de la línea desplazada y la curva esfuerzo-deformación unitaria (punto A en la figura) define el esfuerzo de fluencia. Como este esfuerzo se determina mediante una regla arbitraria y no es una propiedad física inherente del material, se debe distinguir de un esfuerzo verdadero de fluencia y referirse a él como esfuerzo de fluencia desplazado. Para un material como www.FreeLibros.com 22 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante s (psi) 3000 2000 Caucho duro 1000 0 Caucho suave 0 2 4 e 6 8 FIGURA 1.15 Curvas esfuerzodeformación unitaria para dos clases de caucho en tensión. el aluminio, el esfuerzo de fluencia desplazado está ligeramente arriba del límite de proporcionalidad. En el caso del acero estructural, con su abrupta transición de la región lineal a la región de alargamiento plástico, el esfuerzo desplazado es en esencia el mismo tanto en el esfuerzo de fluencia como en el límite de proporcionalidad. El caucho mantiene una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria hasta llegar a deformaciones unitarias relativamente grandes (en comparación con los metales). La deformación unitaria en el límite de proporcionalidad puede ser tan alta como 0.1 o 0.2 (10 o 20 por ciento). Más allá del límite de proporcionalidad, el comportamiento depende del tipo de caucho (figura 1.15). Algunas clases de caucho suave se estirarán enormemente sin fallar, alcanzando longitudes de varias veces sus longitudes originales. El material termina presentando cada vez mayor resistencia a la carga y la curva esfuerzo-deformación unitaria se curva marcadamente hacia arriba. Este comportamiento característico se puede percibir estirando una banda de caucho con las manos. (Observe que aunque el caucho presenta deformaciones unitarias muy grandes, no es un material dúctil debido a que las deformaciones no son permanentes. Es, por supuesto, un material elástico; consulte la sección 1.4.) La ductilidad de un material en tensión se puede caracterizar por su alargamiento y por la reducción de su área en la sección transversal donde ocurre la fractura. El porcentaje de alargamiento se define como sigue: Porcentaje de alargamiento s L1 L0 L0 (100) (1.6) en donde L0 es la longitud calibrada original y L1 es la distancia entre las marcas de calibración en la fractura. Ya que el alargamiento no es uniforme en toda la longitud de la muestra, sino que se concentra en la región de estricción, el porcentaje de alargamiento depende de la longitud calibrada. Por tanto, al dar el porcentaje de alargamiento, siempre se debe proporcionar la longitud calibrada. Para una longitud calibrada de 2 in, el acero puede tener un alargamiento en el rango de 3 a 40%, dependiendo de su composición; en el caso del acero estructural, son comunes valores de 20 o 30 por ciento. El alargamiento de las aleaciones de aluminio varía de 1 a 45 por ciento, dependiendo de su composición y su tratamiento. El porcentaje de reducción de área mide la cantidad de estricción que ocurre y se define como sigue: B Porcentaje de reducción de área A0 A1 A0 (100) (1.7) A O e FIGURA 1.16 Diagrama típico de esfuerzo-deformación unitaria para un material frágil, que muestra el límite de proporcionalidad (punto A) y el punto de fractura (punto B). en donde A0 es el área transversal original y A1 es el área final en la sección de fractura. Para aceros dúctiles, la reducción es casi de 50 por ciento. Los materiales que fallan en tensión a valores relativamente bajos de deformación unitaria se clasifican como frágiles. Algunos ejemplos son concreto, piedra, hierro colado, vidrio, cerámica y una variedad de aleaciones metálicas. Los materiales frágiles fallan con poco alargamiento después que se sobrepasa el límite de proporcionalidad (el esfuerzo en el punto A en la figura 1.16). Además, la reducción del área es insignificante y por tanto el esfuerzo nominal de fractura (punto B) es el mismo que el esfuerzo último verdadero. Los aceros al alto carbono tienen esfuerzos de fluencia muy elevados —más de 100 ksi (700 MPa) en algunos casos— pero se comportan SECCIÓN 1.3 Propiedades mecánicas de los materiales 23 de una manera frágil y la fractura ocurre con un alargamiento de tan sólo un porcentaje bajo. El vidrio ordinario es un material frágil casi ideal, debido a que casi no presenta ductilidad. La curva esfuerzo-deformación unitaria del vidrio en tensión es en esencia una línea recta y la falla sucede antes de que tenga lugar alguna fluencia. El esfuerzo último es de casi 10 000 psi (70 MPa) para ciertas clases de vidrio en placa, pero hay grandes variaciones, dependiendo del tipo de vidrio, del tamaño de la muestra y de la presencia de defectos microscópicos. Las fibras de vidrio pueden desarrollar resistencias enormes y se han alcanzado esfuerzos últimos mayores que 1 000 000 psi (7 GPa). Muchos tipos de plásticos se utilizan para fines estructurales debido a su peso ligero, a su resistencia a la corrosión y a sus buenas propiedades de aislamiento eléctrico. Sus propiedades mecánicas varían enormemente, tal que algunos plásticos son frágiles y otros dúctiles. Al diseñar con plásticos es importante tomar en cuenta que sus propiedades se afectan en gran medida por los cambios de temperatura y por el tiempo. Por ejemplo, el esfuerzo último de tensión de algunos plásticos disminuye a la mitad solamente elevando la temperatura de 10 a 40°C. Además, un plástico cargado se puede estirar gradualmente al paso del tiempo hasta que pierde su capacidad de servicio. Por ejemplo, una barra de cloruro de polivinilo sometida a una carga de tensión que inicialmente produce una deformación unitaria de 0.005 puede tener el doble de esa deformación después de una semana, aunque la carga permanezca constante. (Este fenómeno, conocido como termofluencia, se explica en la siguiente sección.) Los esfuerzos últimos de tensión para plásticos usualmente se encuentran en el rango de 2 a 50 ksi (14 a 350 MPa) y sus pesos específicos varían entre 50 a 90 lb/ft3 (8 a 14 kN/m3). Un tipo de nailon tiene un esfuerzo último de 12 ksi (80 MPa) y un peso específico de sólo 70 lb/ft3 (11 kN/m3), que es sólo 12 por ciento más pesado que el agua. Debido a su peso ligero, la razón entre resistencia y peso para el nailon es casi la misma que para el acero estructural (consulte el problema 1.3-4). Un material reforzado con filamentos, consiste en una base (o matriz) en la que están embebidos filamentos, fibras o microfibras de alta resistencia. El material compuesto resultante tiene una resistencia mucho mayor que el material base. Como ejemplo, el uso de fibras de vidrio puede aumentar a más del doble la resistencia de una matriz plástica. Los compuestos se emplean ampliamente en aviones, botes, cohetes y vehículos espaciales donde se requiere alta resistencia y peso ligero. Compresión Las curvas esfuerzo-deformación unitaria para materiales en compresión difieren de las curvas de tensión. Los metales dúctiles como el acero, el aluminio y el cobre tienen límites de proporcionalidad en compresión muy cercanos a los de tensión y las regiones iniciales de sus diagramas esfuerzodeformación unitaria en compresión y tensión son casi iguales. Sin embargo, después que inicia la fluencia, el comportamiento es muy diferente. En un ensayo de tensión, la muestra se estira, puede ocurrir estricción y finalmente sucede la fractura. Cuando el material se comprime, se abulta hacia fuera en los lados y adopta una forma como de barril, debido a que la fricción entre la muestra y las placas extremas evita la expansión lateral. Al aumentar la carga, la muestra se aplana y presenta una resistencia mucho mayor a un www.FreeLibros.com 24 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante s (ksi) 80 60 40 20 0 0 0.2 0.4 e 0.6 FIGURA 1.17 Diagrama esfuerzodeformación unitaria para el cobre en compresión. 0.8 acortamiento adicional (lo que significa que la curva esfuerzo-deformación unitaria se vuelve muy empinada). Esas características se ilustran en la figura 1.17, donde se muestra un diagrama esfuerzo-deformación unitaria en compresión para el cobre. Como el área de la sección transversal real de una muestra ensayada en compresión es mayor que el área inicial, el esfuerzo verdadero es un ensayo de compresión es menor que el esfuerzo nominal. Los materiales frágiles cargados en compresión usualmente tienen una región lineal inicial seguida de una región en la que el acortamiento aumenta a una velocidad ligeramente mayor que la carga. Las curvas esfuerzo-deformación unitaria para compresión y tensión con frecuencia tienen formas similares, pero los esfuerzos últimos en compresión son mucho mayores que los de tensión. Además, a diferencia de los materiales dúctiles, que se aplanan cuando se comprimen, los materiales frágiles en realidad se fracturan con la carga máxima. Tablas de propiedades mecánicas Las propiedades de los materiales se listan en las tablas del apéndice H al final del libro. Los datos de materiales en las tablas son los típicos y adecuados para resolver problemas en este libro. Sin embargo, las propiedades de los materiales y las curvas esfuerzo-deformación unitaria varían en gran medida, incluso para el mismo material, debido a los diferentes procesos de manufactura, a la composición química, a defectos internos, a la temperatura y a muchos otros factores. Por estas razones, los datos obtenidos del apéndice H (o de otras tablas de naturaleza similar) no se deben emplear para fines específicos de ingeniería o diseño. En cambio, se debe consultar los fabricantes o proveedores de materiales para obtener información sobre un producto particular. 1.4 ELASTICIDAD, PLASTICIDAD Y TERMOFLUENCIA Los diagramas de esfuerzo-deformación unitaria presentan el comportamiento de los materiales ingenieriles cuando están cargados en tensión o compresión, como se describió en la sección anterior. Para ir un paso más allá, consideremos que sucede cuando la carga se quita y el material se descarga. Suponga por ejemplo, que aplicamos una carga de tensión a una muestra tal que el esfuerzo y la deformación unitaria vayan del origen O al punto A en la curva de esfuerzo-deformación unitaria de la figura 1.18a. Suponga además que cuando la carga se remueve, el material sigue exactamente la misma curva de regreso al origen O. Esta propiedad de un material, mediante la cual regresa a sus dimensiones originales durante la descarga, se denomina elasticidad y se dice que el propio material es elástico. Observe que la curva esfuerzo-deformación unitaria de O a A no tiene que ser lineal a fin de que el material sea elástico. Ahora suponga que cargamos este mismo material hasta un nivel mayor, tal que se alcanza el punto B en la curva esfuerzo-deformación unitaria (figura 1.18b). Cuando la descarga sucede a partir del punto B, el material sigue la línea BC en el diagrama. Esta línea de descarga es paralela a la parte inicial de la curva de carga; es decir, la línea BC es paralela a una tangente a la curva esfuerzo-deformación unitaria en el origen. Cuando se alcanza el punto C, la carga se ha removido por completo, pero en el material permanece una deformación unitaria residual o deformación unitaria permanente, representada SECCIÓN 1.4 s F E De sc arg a Ca rg a A O e Elástico Plástico (a) s rga Desca Ca rg a A F B E C D O e Recuperación elástica Deformación unitaria residual (b) FIGURA 1.18 Diagramas esfuerzodeformación unitaria que ilustran (a) un comportamiento elástico y (b) un comportamiento parcialmente elástico. Elasticidad, plasticidad y termofluencia 25 por la línea OC. Como consecuencia, la barra ensayada es más larga ahora que antes de la aplicación de la carga. Este alargamiento residual de la barra se denomina deformación permanente. De la deformación total OD desarrollada durante la carga de O a B, la deformación unitaria CD se ha recuperado elásticamente y la deformación unitaria OC permanece como una deformación unitaria permanente. Así, durante la descarga la barra regresa parcialmente a su forma original y, por tanto, se dice que el material es parcialmente elástico. Entre los puntos A y B en la curva esfuerzo-deformación unitaria (figura 1.18b), debe haber un punto antes del cual el material es elástico y después del cual el material es parcialmente elástico. Para encontrar este punto, cargamos el material hasta un valor seleccionado de esfuerzo y luego removemos la carga. Si no hay una deformación unitaria permanente (es decir, si el alargamiento de la barra regresa a cero), entonces el material es completamente elástico hasta el valor seleccionado del esfuerzo. El proceso de carga y descarga se puede repetir para valores sucesivamente mayores del esfuerzo. Al final se alcanzará un esfuerzo tal que no toda la deformación unitaria se recupera durante la descarga. Mediante este procedimiento es posible determinar el esfuerzo en el límite superior de la región elástica, por ejemplo, el esfuerzo en el punto E en las figuras 1.18a y b. El esfuerzo en este punto se conoce como límite elástico del material. Muchos materiales, incluyendo la mayor parte de los metales, tienen regiones lineales al inicio de sus curvas esfuerzo-deformación unitaria (por ejemplo, consulte las figuras 1.10 y 1.13). El esfuerzo en el límite superior de esta región lineal es el límite de proporcionalidad, como se explicó en la sección anterior. El límite elástico usualmente es igual o ligeramente mayor que el límite de proporcionalidad. De aquí que, para muchos materiales, a los dos límites se les asigne el mismo valor numérico. En el caso del acero dulce, el esfuerzo de fluencia también está muy cercano al límite de proporcionalidad, tal que para fines prácticos el esfuerzo de fluencia, el límite elástico y el límite de proporcionalidad se suponen iguales. Por supuesto, esta situación no es válida para todos los materiales. El caucho es un notable ejemplo de un material que es elástico mucho más allá de su límite de proporcionalidad. La característica de un material por la cual experimenta deformaciones unitarias inelásticas, más allá de la deformación unitaria en el límite elástico, se conoce como plasticidad. Por tanto, en la curva esfuerzo-deformación unitaria de la figura 1.18a tenemos una región elástica seguida de una región plástica. Cuando suceden deformaciones unitarias grandes en un material dúctil cargado en la región plástica, se dice que el material experimenta flujo plástico. Carga repetida de un material Si el material permanece dentro del rango elástico, se puede cargar, descargar y cargar de nuevo sin cambiar significativamente su comportamiento. Sin embargo, cuando está cargado en el rango plástico, la estructura interna del material se altera y cambian sus propiedades. Por ejemplo, ya hemos observado que se da una deformación unitaria permanente en la muestra después de la descarga desde la región plástica (figura 1.18b). Ahora suponga que el material se recarga después de esa descarga (figura 1.19). La nueva carga inicia en el punto C en el diagrama y continúa hacia arriba hasta el punto B, el punto en el cual comenzó la descarga durante el primer ciclo de carga. Entonces el material sigue la curva original de esfuerzo-deformación unitaria hacia el punto F. Así, para la segunda carga, podemos imaginar que www.FreeLibros.com 26 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante s B O repeti da Carga Desca rga Ca rg a E F e C FIGURA 1.19 Carga repetida de un material y elevación de los límites elástico y de proporcionalidad. tenemos un diagrama nuevo de esfuerzo-deformación unitaria con su origen en el punto C. Durante la segunda carga el material se comporta de una manera linealmente elástica de C a B, donde la pendiente de la recta CB es igual que la pendiente de la tangente a la curva original de carga, en el origen O. Ahora el límite de proporcionalidad está en el punto B, el cual está mayor esfuerzo que el límite elástico original (punto E). Así, al estirar un material como el acero o el aluminio en el rango inelástico o plástico, cambian las propiedades del material —aumenta la región linealmente elástica, aumenta el límite de proporcionalidad y aumenta también el límite elástico—. Sin embargo, la ductilidad se reduce debido a que en el “nuevo material” la cantidad de fluencia más allá del límite elástico (de B a F) es menor que en el material original (de E a F).* Termofluencia Alargamiento d0 O t0 P Tiempo (a) (b) FIGURA 1.20 Termofluencia en una barra sometida a una carga constante. Alambre (a) Esfuerzo s0 O t0 Tiempo (b) FIGURA 1.21 Relajación del esfuerzo en un alambre sometido a una deformación unitaria constante. Los diagramas de esfuerzo-deformación unitaria descritos antes se obtuvieron a partir de ensayos de tensión en los que se aplicaba carga y descarga estática a las muestras y el paso del tiempo no entró en nuestros análisis. No obstante, cuando los materiales se cargan durante periodos largos, algunos de ellos desarrollan deformaciones unitarias adicionales y se dice que presentan termofluencia. Este fenómeno se manifiesta de diversas maneras. Por ejemplo, suponga que una barra vertical (figura 1.20a) se carga lentamente mediante una fuerza P, produciendo un alargamiento igual a d0. Supongamos que la carga y el alargamiento correspondiente tiene lugar durante un intervalo que dura t0 (figura 1.20b). Después del tiempo t0, la carga permanece constante. Sin embargo, debido a la termofluencia, la barra puede alargarse en forma gradual, como se muestra en la figura 1.20b, aunque la carga no cambie. Este comportamiento sucede en muchos materiales, aunque algunas veces el cambio es demasiado pequeño para considerarlo. Como otra manifestación de termofluencia, considere un alambre que se estira entre dos soportes inmóviles, de manera tal que tiene un esfuerzo de tensión inicial s0 (figura 1.21). Una vez más, denotaremos el tiempo durante el cual el alambre se alarga inicialmente como t0. Con el paso del tiempo el esfuerzo en el alambre disminuye de manera gradual y termina alcanzando un valor constante, aun cuando los soportes en los extremos del alambre no se muevan. Este proceso se denomina relajación del material. En general, la termofluencia es más importante a temperaturas elevadas que a temperaturas ordinarias y, por lo tanto, siempre se debe tomar en cuenta en el diseño de motores, chimeneas y otras estructuras que operan a temperaturas elevadas durante grandes periodos. Sin embargo, materiales como el acero, el concreto y la madera tendrán una termofluencia ligera aun a temperaturas ambiente. Por ejemplo, la termofluencia del concreto en el trascurso de grandes periodos puede crear ondulaciones en las calzadas de puentes debido a la flexión entre los apoyos. (Una solución es construir la calzada con una contraflecha, que es un desplazamiento inicial arriba de la horizontal, de modo que cuando ocurra la termofluencia, los tramos del puente bajen hasta su posición a nivel.) *El estudio del comportamiento de materiales expuestos a diversas condiciones ambientales y sometidos a varias cargas es una rama importante de la mecánica aplicada. Para obtener información ingenieril más detallada sobre materiales, consulte un libro de texto enfocado en este tema. SECCIÓN 1.5 Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación de Poisson 27 1.5 ELASTICIDAD LINEAL, LEY DE HOOKE Y RELACIÓN DE POISSON Muchos materiales estructurales, incluyendo la mayor parte de los metales, madera, plásticos y cerámicos, se comportan tanto de manera elástica como lineal cuando se cargan por primera vez. En consecuencia, sus curvas esfuerzo-deformación unitaria inician con una línea que pasa por el origen. Un ejemplo es la curva esfuerzo-deformación unitaria para el acero estructural (figura 1.10), donde la región desde el origen O hasta el límite de proporcionalidad (punto A) es tanto lineal como elástica. Otros ejemplos son las regiones bajo los límites tanto de proporcionalidad como de elasticidad en los diagramas para el aluminio (figura 1.13), los materiales frágiles (figura 1.16) y el cobre (figura 1.17). Cuando un material se comporta elásticamente y también presenta una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria se dice que es linealmente elástico. Este tipo de comportamiento es muy importante en ingeniería por una razón obvia: al diseñar estructuras y máquinas para que trabajen en esta región, evitamos deformaciones permanentes debidas a la fluencia plástica. Ley de Hooke La relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria para una barra en tensión o compresión simple se expresa por la ecuación s Ee (1.8) en donde s es el esfuerzo axial,  es la deformación unitaria axial y E es una constante de proporcionalidad conocida como módulo de elasticidad del material. El módulo de elasticidad es la pendiente del diagrama esfuerzodeformación unitaria en la región linealmente elástica, como mencionamos en la sección 1.3. Como la deformación unitaria es adimensional, las unidades de E son las mismas que las del esfuerzo. Las unidades típicas de E son psi o ksi en unidades inglesas y pascales (o sus múltiplos) en unidades SI. La ecuación s = Ee se conoce como ley de Hooke, nombrada en honor del famoso científico inglés Robert Hooke (1635-1703), quien fue la primera persona que investigó científicamente las propiedades elásticas de los materiales y probó varios de ellos como metal, madera, piedra, hueso y tendones. Hooke midió el alargamiento de alambres largos que soportaban pesos y observó que los estiramientos “siempre mantienen las mismas proporciones entre sí de acuerdo con los pesos que los causaron” (referencia 1.6). Así, Hooke estableció la relación lineal entre las cargas aplicadas y los alargamientos resultantes. La ecuación (1.8) en realidad es una versión muy limitada de la ley de Hooke debido a que sólo se relaciona con los esfuerzos longitudinales y las deformaciones unitarias desarrolladas en tensión o compresión simple de la barra (esfuerzo uniaxial). Para tratar con estados más complicados de esfuerzos, como los encontrados en la mayoría de las estructuras y máquinas, debemos emplear ecuaciones más completas de la ley de Hooke (consulte las secciones 7.5 y 7.6). El módulo de elasticidad tiene valores relativamente grandes para materiales que son muy rígidos, como los metales estructurales. El acero tiene www.FreeLibros.com 28 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante un módulo de elasticidad de aproximadamente 30 000 ksi (210 GPa) y el aluminio tiene valores típicos alrededor de 10 600 ksi (73 GPa). Los materiales más flexibles tienen un módulo menor —los valores para los plásticos varían de 100 a 2000 ksi (0.7 a 14 GPa)—. Algunos valores representativos de E se enlistan en la tabla H.2 del apéndice H. Para la mayor parte de los materiales el valor de E en compresión es casi el mismo que en tensión. El módulo de elasticidad con frecuencia se llama módulo de Young, en honor de otro científico inglés, Thomas Young (1773-1829), quien introdujo la idea de un “módulo de la elasticidad” en conexión con una investigación de tensión y compresión de barras prismáticas. Sin embargo, su módulo no era el mismo que el empleado en la actualidad, debido a que comprendía propiedades de la barra así como del material (referencia 1.7). Relación de Poisson (a) P P Cuando una barra prismática se somete a tensión, la elongación axial va acompañada de una contracción lateral (es decir, contracción normal a la dirección de la carga aplicada). Este cambio de forma se representa en la figura 1.22, donde en la parte (a) se muestra la barra antes de la carga y en la (b) después de la carga. En la parte (b), las líneas discontinuas representan la forma de la barra antes de la carga. La contracción lateral se observa con facilidad estirando una banda de caucho, pero en los metales los cambios en las dimensiones laterales (en la región linealmente elástica) usualmente son demasiado pequeños para observarlos a simple vista. Sin embargo, se pueden detectar mediante dispositivos sensitivos de medición. La deformación unitaria lateral ⬘ en cualquier punto en una barra es proporcional a la deformación unitaria axial  en el mismo punto si el material es linealmente elástico. La relación de esas deformaciones unitarias es una propiedad del material conocida como relación de Poisson. Esta relación adimensional, que en general se denota por la letra griega n (nu), se puede expresar mediante la ecuación (b) FIGURA 1.22 Alargamiento axial y contracción lateral de una barra prismática en tensión (a) antes de aplicar la carga y (b) barra después de aplicar la carga. (Las deformaciones de la barra se muestran muy exageradas.) n deformación unitaria lateral deformación unitaria axial e e (1.9) El signo menos agregado en la ecuación es para compensar el hecho de que las deformaciones unitarias lateral y axial por lo general tienen signos opuestos. Por ejemplo, la deformación unitaria axial en una barra en tensión es positiva y la deformación unitaria lateral es negativa (debido a que el ancho de la barra disminuye). Para compresión tenemos la situación opuesta ya que la barra se acorta (deformación unitaria axial negativa) y se hace más ancha (deformación unitaria lateral positiva). Por tanto, para materiales ordinarios la relación de Poisson tendrá un valor positivo. Cuando se conoce la relación de Poisson para un material, podemos obtener la deformación unitaria lateral a partir de la deformación unitaria axial como sigue: e ne (1.10) Al emplear las ecuaciones (1.9) y (1.10) siempre debemos tener en cuenta que sólo se aplican a una barra sometida a esfuerzo axial, es decir, una barra para la cual el único esfuerzo es el esfuerzo normal s en la dirección axial. SECCIÓN 1.5 Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación de Poisson 29 La relación de Poisson recibe su nombre en honor del matemático francés Siméon Denis Poisson (1781-1840), quien intentó calcular esta relación mediante una teoría molecular de los materiales (referencia 1.8). Para materiales isotrópicos, Poisson determinó que n = 1/4. Cálculos más recientes basados en mejores modelos de estructura atómica dan como resultado n = 1/3. Esas dos cifras están cercanas a los valores reales medidos, que están en el rango de 0.25 a 0.35 para la mayor parte de los metales y para muchos otros materiales. Entre los materiales con un valor extremadamente bajo de la relación de Poisson se incluyen el corcho, para el cual n es prácticamente cero y el concreto, para el cual n es aproximadamente 0.1 o 0.2. Un límite teórico superior para la relación de Poisson es 0.5, como se explica en la sección 7.5. El caucho se acerca a este valor limitante. En el apéndice H se da una tabla de relaciones de Poisson para varios materiales en el rango linealmente elástico (consulte la tabla H.2). Para la mayor parte de los fines se supone que la relación de Poisson es la misma tanto en tensión como en compresión. Cuando las deformaciones unitarias en un material son grandes, la relación de Poisson cambia. Por ejemplo, en el caso del acero estructural la relación llega hasta 0.5 cuando ocurre la fluencia plástica. Así, la relación de Poisson permanece constante sólo en el rango linealmente elástico. Cuando el comportamiento del material es no lineal, la relación entre la deformación unitaria lateral y la deformación unitaria axial con frecuencia se denomina relación de contracción. Por supuesto, en el caso especial de comportamiento linealmente elástico, la relación de contracción es igual que la relación de Poisson. Limitaciones (a) P P (b) FIGURA 1.22 (Repetida.) Para un material particular, la relación de Poisson permanece constante en todo el rango linealmente elástico, como ya se explicó antes. Por tanto, en cualquier punto dado en la barra prismática de la figura 1.22, la deformación unitaria lateral permanece proporcional a la deformación unitaria axial conforme la carga aumenta o disminuye. Sin embargo, para un valor dado de la carga (que significa que la deformación unitaria axial es constante en toda la barra), se deben cumplir condiciones adicionales si las deformaciones unitarias laterales deben ser las mismas en toda la barra. En primer lugar, el material debe ser homogéneo, es decir, debe tener la misma composición (y en consecuencia las mismas propiedades elásticas) en cada punto. Sin embargo, tener un material homogéneo no significa que las propiedades elásticas en un punto particular sean las mismas en todas las direcciones. Por ejemplo, el módulo de elasticidad podría ser diferente en las direcciones axial y lateral, como en el caso de un poste de madera). Por tanto, una segunda condición para la uniformidad en las deformaciones unitarias laterales es que las propiedades elásticas deben ser las mismas en todas las direcciones perpendiculares al eje longitudinal. Cuando se cumplen las condiciones anteriores, como es el caso frecuente con los metales, las deformaciones unitarias laterales en una barra prismática sometida a una tensión uniforme serán las mismas en cada punto en la barra y también en todas las direcciones laterales. Los materiales que tienen las mismas propiedades en todas las direcciones (ya sea axial, lateral o cualquier otra dirección) se llaman isotrópicos. Si las propiedades difieren en distintas direcciones, el material es anisotrópicos (aeolotrópico). En este libro, todos los ejemplos y problemas se resuelven suponiendo que el material es linealmente elástico, homogéneo e isótropo, a menos que se especifique lo contrario. www.FreeLibros.com 30 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Ejemplo 1.3 P L Un tubo de acero con longitud L = 4.0 ft, diámetro exterior d2 = 6.0 in y diámetro interior d1 = 4.5 in se comprime mediante una fuerza axial P = 140 k (figura 1.23). El material tiene un módulo de elasticidad E = 30,000 ksi y una relación de Poisson n = 0.30. Determine las siguientes cantidades para el tubo: (a) su acortamiento d, (b) la deformación unitaria lateral ’, (c) el aumento ∆d2 del diámetro exterior y el aumento ∆d1 del diámetro interior y (d) el aumento ∆t en el espesor de la pared. Solución El área A de la sección transversal y el esfuerzo longitudinal s se determinan como sigue: d1 d2 A FIGURA 1.23 Ejemplo 1.3. Tubo de acero en compresión. p 2 d2 4 140 k 12.37 in2 P A s p (6.0 in)2 4 d 21 (4.5 in)2 12.37 in2 11.32 ksi (compresión) Como el esfuerzo es mucho menor que el esfuerzo de fluencia (consulte la tabla H.3 del apéndice H), el material se comporta en forma linealmente elástica y la deformación unitaria axial se puede determinar a partir de la ley de Hooke: s E e 11.32 ksi 30, 000 ksi 377.3 10 6 El signo de menos para la deformación unitaria indica que el tubo se acorta. (a) Conociendo la deformación unitaria axial, ahora podemos determinar el cambio de longitud del tubo (consulte la ecuación 1.2) d eL ( 377.3 10 6)(4.0 ft)(12 in/ft) 0.018 in De nuevo el signo negativo indica un acortamiento del tubo. (b) La deformación unitaria lateral se obtiene de la relación de Poisson (consulte la ecuación 1.10): e9 2ne 2(0.30)( 377.3 10 6) 113.2 10 6 El signo positivo de ⬘ indica un aumento de las dimensiones laterales, como se esperaba para un esfuerzo de compresión. SECCIÓN 1.5 Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación de Poisson 31 (c) El aumento del diámetro exterior es igual a la deformación unitaria lateral por el diámetro: d2 e9d2 (113.2 10 6)(6.0 in) 0.000679 in De manera similar, el aumento del diámetro interior es d1 e9d1 (113.2 10 6)(4.5 in) 0.000509 in (d) El aumento del espesor de la pared se determina de la misma manera que el aumento de los diámetros; por tanto, t e9t (113.2 10 6)(0.75 in) 0.000085 in Este resultado se puede verificar observando que el aumento del espesor de la pared es igual a la mitad de la diferencia de los aumentos de los diámetros: t d1 d2 2 1 (0.000679 in 2 0.000509 in) 0.000085 in como se esperaba. Observe que en compresión las tres cantidades aumentan (diámetro exterior, diámetro interior y espesor). Nota: los resultados numéricos obtenidos en este ejemplo ilustran que los cambios dimensionales en materiales estructurales ante condiciones normales de carga son extremadamente pequeños. A pesar de ello, los cambios de las dimensiones pueden ser importantes en ciertas clases de análisis (como el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas) y en la determinación experimental de esfuerzos y deformaciones unitarias. www.FreeLibros.com 32 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.6 ESFUERZO CORTANTE Y DEFORMACIÓN UNITARIA CORTANTE En las secciones anteriores analizamos los efectos de los esfuerzos normales producidos por cargas axiales que actúan en barras rectas. Estos esfuerzos se denominan “esfuerzos normales” debido a que actúan en direcciones perpendiculares a la superficie del material. Ahora consideraremos otro tipo de esfuerzo, llamado esfuerzo cortante, que actúa de manera tangencial a la superficie del material. Como un ejemplo de la acción de los esfuerzos cortantes, considere la conexión con perno que se muestra en la figura 1-24a. Esta conexión consiste de una barra plana A, una horquilla C y un perno B que pasa por agujeros en la barra y en la horquilla. Por la acción de las cargas de tensión P, la barra y la horquilla presionarán contra el perno en compresión y se desarrollarán esfuerzos de contacto, llamados esfuerzos de compresión, esfuerzos en apoyos o esfuerzos de soporte. Además, la barra y la horquilla tienden a cortar el perno, es decir, pasar a través de él, y esta tendencia es resistida por los esfuerzos cortantes en el perno. Como un ejemplo, considere el refuerzo para un pasillo peatonal elevado que se muestra en la fotografía. Arriostramiento diagonal para un pasillo elevado; se muestra una horquilla y un pasador sometidos a cortante doble P B C A P (a) P m p n q 1 P m p 3 n m 2 q p V n 2 t m n q V (b) FIGURA 1.24 Conexión con perno en la que éste está sometido a cortante doble. (c) (d) (e) Para mostrar con más claridad las acciones de los esfuerzos de soporte y cortante, analicemos este tipo de conexión en una vista lateral esquemática (figura 1.24b). Con este esquema en mente, dibujamos un diagrama de cuerpo libre del perno (figura 1.24c). Los esfuerzos en los apoyos ejercidos por la horquilla contra el perno se muestran en el lado izquierdo del diagrama de cuerpo libre y se identifican con 1 y 3. Los esfuerzos de la barra aparecen en el lado derecho y se identifican con 2. La distribución real de los esfuerzos de soporte es difícil de determinar, por lo que se acostumbra suponer que están distribuidos uniformemente. Con base en la suposición de SECCIÓN 1.6 Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante 33 distribución uniforme, podemos calcular un esfuerzo de soporte promedio sb dividiendo la fuerza de soporte total Fb entre el área de soporte Ab: sb Fb Ab (1.11) El área de soporte se define como el área proyectada de la superficie curva de soporte. Por ejemplo, considere los esfuerzos de soporte identificados con 1. El área proyectada Ab sobre la cual actúan es un rectángulo que tiene una altura igual al espesor de la horquilla y un ancho igual al diámetro del perno. Además, la fuerza de soporte Fb representada por los esfuerzos identificados con 1 es igual a P/2. La misma área y la misma fuerza se aplican a los esfuerzos identificados con 3. Ahora considere los esfuerzos de soporte entre la barra plana y el perno (los esfuerzos identificados con 2). Para estos esfuerzos, el área de soporte Ab es un rectángulo con una altura igual al espesor de la barra plana y con un ancho igual al diámetro del perno. La fuerza de soporte correspondiente Fb es igual a la carga P. El diagrama de cuerpo libre de la figura 1.24c muestra que hay una tendencia a cortar el perno a lo largo de las secciones transversales mn y pq. A partir de un diagrama de cuerpo libre de la parte mnpq del perno (consulte la figura 1.24d), observamos que las fuerzas cortantes V actúan sobre las superficies cortadas del perno. En este ejemplo particular hay dos planos de corte (mn y pq) y, por tanto, se dice que el perno está en cortante doble. En cortante doble, cada una de las fuerzas de corte es igual a la mitad de la carga transmitida por el perno, es decir, V = P/2. P (a) P m FIGURA 1.25 Conexión con perno en la que el perno está sometido a cortante simple. n (b) www.FreeLibros.com (c) m V n (d) 34 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Las fuerzas cortantes V son las resultantes de los esfuerzos cortantes distribuidos sobre el área de la sección transversal del perno. Por ejemplo, los esfuerzos cortantes que actúan en la sección transversal mn se muestran en la figura 1.24e. Estos esfuerzos actúan paralelos a la superficie de corte. La distribución exacta de los esfuerzos no se conoce, pero son máximos cerca del centro y se vuelven cero en ciertas ubicaciones en los bordes. Como se indica en la figura 1.24e, los esfuerzos cortantes se representan con la letra griega t (tau). Una conexión con perno en cortante simple se muestra en la figura 1.25a, donde la fuerza axial P en la barra metálica se transmite al patín de la columna de acero mediante un perno. Una vista de la sección transversal de la columna (figura 1.25b) muestra la conexión con más detalle. Además, un bosquejo del perno (figura 1.25c) muestra la distribución supuesta de los esfuerzos de soporte que actúan en el perno. Como ya se mencionó, la distribución real de estos esfuerzos de soporte es mucho más compleja que la mostrada en la figura. Además, también se desarrollan esfuerzos de soporte contra las superficies internas de la cabeza del perno y de la tuerca. Así, la figura 1.25c no es un diagrama de cuerpo libre, ya que sólo se muestran los esfuerzos de soporte idealizados actuando en el vástago del perno. Al cortar el perno en la sección mn obtenemos el diagrama que se muestra en la figura 1.25d. Este diagrama incluye la fuerza cortante V (igual a la carga P) que actúa sobre la sección transversal del perno. Como ya se señaló, esta fuerza cortante es la resultante de los esfuerzos cortantes que actúan en el área de la sección transversal del perno. P (a) P m n FIGURA 1.25 (Repetida.) (b) (c) m V n (d) SECCIÓN 1.6 Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante 35 Carga FIGURA 1.26 Falla de un perno en cortante simple. Carga La deformación de un perno, cargado casi hasta su fractura en cortante simple se muestra en la figura 1.26 (compare con la figura 1.25c). En las explicaciones anteriores de conexiones con perno ignoramos la fricción (producida al apretar los pernos) entre los elementos de conexión. La presencia de fricción significa que parte de la carga es soportada por las fuerzas de fricción, y por ende reducen las cargas en los pernos. Como las fuerzas de fricción son poco confiables y difíciles de estimar, es práctica común pecar de conservador y omitirlas en los cálculos. El esfuerzo cortante promedio sobre la sección transversal de un perno se obtiene dividiendo la fuerza cortante total V entre el área A de la sección transversal sobre la que actúa, como sigue: tprom V A (1.12) En el ejemplo de la figura 1.25, que muestra un perno en cortante simple, la fuerza cortante V es igual a la carga P y el área A es el área de la sección transversal del perno. Sin embargo, en el ejemplo de la figura 1.24, donde el perno está en cortante doble, la fuerza cortante V es igual a P/2. De la ecuación (1.12) observamos que los esfuerzos cortantes, al igual que los esfuerzos normales, representan una intensidad de la fuerza o fuerza por unidad de área. Así, las unidades del esfuerzo cortante son las mismas que para el esfuerzo normal, que son, psi o ksi en unidades inglesas y pascales o sus múltiplos en unidades SI. Las configuraciones de carga que se muestran en las figuras 1.24 y 1.25 son ejemplos de cortante directo (o cortante simple) en los cuales los esfuerzos cortantes se originan por la acción directa de las fuerzas al tratar de cortar a través del material. El cortante directo se origina en el diseño de pernos, pasadores, remaches, cuñas, soldaduras y juntas pegadas. También se producen esfuerzos cortantes de una manera indirecta cuando los elementos se someten a tensión, torsión y flexión, como se analiza más adelante en las secciones 2.6, 3.3 y 5.8, respectivamente. Igualdad de los esfuerzos cortantes en planos perpendiculares Para obtener una representación más completa de la acción de los esfuerzos cortantes, consideremos un elemento pequeño de material en la forma de un paralelepípedo rectangular con longitudes de sus lados a, b y c en las direc- www.FreeLibros.com 36 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante y a c t2 b t1 x z FIGURA 1.27 Elemento pequeño de material sometido a esfuerzos cortantes. ciones x, y y z, respectivamente (figura 1.27).* Las caras anterior y posterior de este elemento están libres de esfuerzo. Ahora suponga que un esfuerzo cortante t1 está distribuido uniformemente sobre la cara derecha, que tiene un área bc. A fin de que el elemento esté en equilibrio en la dirección y, la fuerza cortante total t1bc que actúa sobre la cara derecha se debe equilibrar por una fuerza cortante igual pero en dirección opuesta en la cara izquierda. Como las áreas de estas dos caras son iguales, se deduce que los esfuerzos cortantes sobre las dos caras deben ser iguales. Las fuerzas t1bc que actúan sobre las caras laterales izquierda y derecha (figura 1.27) forman un par que tiene un momento con respecto al eje z, de magnitud t1abc, que actúa en sentido contrario al de las manecillas del reloj, en la figura.** Para el equilibrio de los elementos se requiere que este momento esté equilibrado por un momento igual y opuesto resultante de los esfuerzos cortantes actuando sobre las caras superior e inferior del elemento. Si representamos los esfuerzos sobre las caras superior e inferior como t2, observamos que las fuerzas cortantes horizontales son iguales a t2ac. Estas fuerzas forman un par en el sentido de las manecillas del reloj de momento t2abc. Del equilibrio de momentos del elemento con respecto al eje z, observamos que t1abc es igual a t2abc, o t1 a c t q 1. b t 2. x s z r (a) g 2 p t q t gr 2 s p –g 2 (1.13) Por tanto, las magnitudes de los cuatro esfuerzos cortantes que actúan sobre el elemento son iguales, como se muestra en la figura 1.28a. En resumen, hemos llegado a las siguientes observaciones generales acerca de los esfuerzos cortantes que actúan sobre un elemento rectangular: y p t2 p +g 2 (b) FIGURA 1.28 Elemento de material sometido a esfuerzos y deformaciones unitarias en cortante. Los esfuerzos cortantes sobre caras opuestas (y paralelas) de un elemento son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Los esfuerzos cortantes sobre caras adyacentes (y perpendiculares) de un elemento son de igual magnitud y tienen direcciones tales que ambos esfuerzos apuntan alejándose de la línea de intersección de las caras. Estas observaciones se obtuvieron para un elemento sujeto sólo a esfuerzos cortantes (no esfuerzos normales), como se representa en las figuras 1.27 y 1.28. Este estado de esfuerzo se denomina cortante puro y se describirá más adelante con más detalle (sección 3.5). Para la mayor parte de los fines, las conclusiones anteriores son válidas aun cuando los esfuerzos normales actúen sobre las caras del elemento. La razón es que los esfuerzos sobre caras opuestas de un elemento pequeño usualmente son iguales en magnitud y opuestos en dirección; y de aquí que no modifiquen las ecuaciones de equilibrio empleadas para llegar a las conclusiones anteriores. * Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos; así, un paralelepípedo tiene seis caras, cada una de ellas es un paralelogramo. Caras opuestas son paralelas y paralelogramos idénticos. Un paralelepípedo rectangular tiene todas sus caras en la forma de rectángulos. ** Un par consiste en dos fuerzas paralelas que son iguales en magnitud y opuestas en dirección. SECCIÓN 1.6 Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante 37 Deformación unitaria cortante Los esfuerzos cortantes que actúan sobre un elemento de material (figura 1.28a) van acompañados de deformaciones unitarias cortantes. Como una ayuda para visualizar esas deformaciones, observamos que los esfuerzos cortantes no tienen una tendencia a alargar o acortar el elemento en las direcciones x, y y z —en otras palabras, las longitudes de los lados del elemento no cambian—. Más bien, los esfuerzos cortantes producen un cambio en la forma del elemento (figura 1.28b). El elemento original, que es un paralelepípedo rectangular, se deforma en un paralelepípedo oblicuo y las caras anterior y posterior se transforman en romboides.* Debido a esta deformación, cambian los ángulos entre las caras laterales. Por ejemplo, los ángulos en los puntos q y s, que eran π/2 antes de la deformación, se reducen en un ángulo pequeño g a π/2 – g (figura 1.28b). Al mismo tiempo, los ángulos en los puntos p y r aumentan a π/2 + g. El ángulo g es una medida de la distorsión o cambio en la forma del elemento y se denomina deformación unitaria cortante. Como la deformación unitaria cortante es un ángulo, por lo general se mide en grados o radianes. Convenciones de signo para esfuerzos cortantes y deformaciones unitarias cortantes Como ayuda para establecer convenciones de signo para los esfuerzos cortantes y las deformaciones unitarias cortantes, necesitamos un esquema en el que se indiquen las diferentes caras de un elemento de esfuerzo (figura 1.28a). De ahora en adelante nos referiremos a las caras orientadas hacia las direcciones positivas de los ejes como las caras positivas del elemento. En otras palabras, una cara positiva tiene su normal exterior dirigida en la dirección positiva de un eje coordenado. Las caras opuestas son caras negativas. Por tanto, en la figura 1.28a, las caras derecha, superior y frontal son las caras x, y y z, respectivamente, y las caras opuestas son las caras negativas x, y y z. Empleando la terminología descrita en el párrafo anterior, podemos estipular la convención de signos para los esfuerzos cortantes de la siguiente manera: Un esfuerzo cortante que actúa sobre una cara positiva de un elemento es positivo si actúa en la dirección positiva de uno de los ejes coordenados y negativo si actúa en la dirección negativa de un eje. Un esfuerzo cortante que actúa sobre una cara negativa de un elemento es positivo si actúa en la dirección negativa de un eje y negativo si actúa en una dirección positiva. Así, todos los esfuerzos cortantes que se muestran en la figura 1.28a son positivos. La convención de signos para las deformaciones unitarias en cortante es como sigue: La deformación unitaria cortante en un elemento es positiva cuando se reduce el ángulo entre dos caras positivas (o dos caras negativas). La deformación unitaria es negativa cuando aumenta el ángulo entre dos caras positivas (o entre dos negativas). * Un ángulo oblicuo puede ser agudo o bien obtuso, pero no es un ángulo recto. Un romboide es un paralelogramo con ángulos oblicuos y lados adyacentes no iguales. (Un rombo es un paralelogramo con ángulos oblicuos y todos sus cuatro lados iguales, algunas veces denominado figura con forma de diamante). www.FreeLibros.com 38 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Por tanto, las deformaciones unitarias que se muestran en la figura 1.28b son positivas y observamos que los esfuerzos cortantes positivos van acompañados de deformaciones unitarias cortantes positivas. Ley de Hooke en cortante Las propiedades de un material en cortante se pueden determinar de manera experimental a partir de ensayos de cortante directo o de ensayos de torsión. Estos últimos ensayos se realizan torciendo tubos circulares huecos, lo que produce un estado de cortante puro, como se explica más adelante en la sección 3.5. A partir de los resultados de esos ensayos, podemos trazar diagramas de esfuerzo-deformación unitaria cortante (es decir, diagramas de esfuerzo cortante t en función de la deformación unitaria cortante g). Estos diagramas son similares en forma a los diagramas de ensayos de tensión (s en función de ) para los mismos materiales, aunque difieren en las magnitudes. De los diagramas de esfuerzo-deformación unitaria cortante podemos obtener propiedades de los materiales como el límite de proporcionalidad, el módulo de elasticidad, el esfuerzo de fluencia y el esfuerzo último. Estas propiedades en cortante por lo general son casi de la mitad de magnitud que las correspondientes en tensión. Por ejemplo, el esfuerzo de fluencia para el acero estructural en cortante es de 0.5 a 0.6 veces el esfuerzo de fluencia en tensión. Para muchos materiales, la parte inicial del diagrama de esfuerzo-deformación unitaria en cortante es una recta que pasa por el origen, al igual que en tensión. Para esta región linealmente elástica, el esfuerzo cortante y la deformación unitaria en cortante son proporcionales y, por lo tanto, tenemos la ecuación siguiente para la ley de Hooke en cortante: t Gg (1.14) en donde G es el módulo de elasticidad en cortante (también denominado módulo de rigidez). El módulo de corte G tiene las mismas unidades que el módulo de tensión E, que son, psi o ksi en unidades inglesas y pascales (o sus múltiplos) en unidades SI. Para el acero dulce, los valores comunes de G son 11 000 ksi o 75 GPa; para aleaciones de aluminio, los valores comunes son 4000 ksi o 28 GPa. En la tabla H-2 del apéndice H se enlistan valores adicionales. Los módulos de elasticidad en tensión y en cortante están relacionados por la ecuación siguiente: G E 2(1 n) (1.15) en donde n es la relación de Poisson. Esta relación, que se deducirá después, en la sección 3.6, muestra que E, G y n no son propiedades elásticas independientes del material. Debido a que la relación de Poisson para materiales ordinarios se encuentra entre cero y un medio, de la ecuación (1.15) observamos que G debe ser de un tercio a un medio de E. Los siguientes ejemplos ilustran algunos análisis típicos que comprenden los efectos del esfuerzo cortante. El ejemplo 1.4 tiene que ver con esfuerzos cortantes en una placa, el ejemplo 1.5 trata de esfuerzos de soporte y cortantes en pasadores y pernos, y el ejemplo 1.6 implica determinar los esfuerzos cortantes y las deformaciones unitarias cortantes en una placa elastomérica de soporte sometida a una fuerza cortante horizontal. SECCIÓN 1.6 Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante 39 Ejemplo 1.4 En la figura 1.29a se muestra un punzón para hacer agujeros en placas de acero. Suponga que se utiliza un punzón con un diámetro d = 20 mm para hacer un agujero en una placa de 8 mm de espesor, como se muestra en la vista transversal correspondiente (figura 1.29b). Si se requiere de una fuerza P = 110 kN para hacer el agujero, ¿cuál es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión promedio en el punzón? P P = 110 kN d = 20 mm t = 8.0 mm FIGURA 1.29 Ejemplo 1.4. Realización de un agujero con punzón en una placa de acero. (a) (b) Solución El esfuerzo cortante promedio en la placa se obtiene dividiendo la fuerza P entre el área en cortante de la placa. El área en cortante As es igual a la circunferencia del agujero por el espesor de la placa, o As pdt 502.7 mm2 p(20 mm)(8.0 mm) en donde d es el diámetro del punzón y t es el espesor de la placa. Por lo tanto, el esfuerzo cortante promedio en la placa es tprom P As 110 kN 502.7 mm2 219 MPa El esfuerzo de compresión promedio en el punzón es sc P Apunzón P pd 2/4 110 kN p (20 mm)2/4 350 MPa en donde Apunzón es el área de la sección transversal del punzón. Nota: este análisis está muy idealizado debido a que ignoramos los efectos de impacto que ocurren cuando se penetra una placa con un punzón. (Para incluirlos se requiere una metodología de análisis que están más allá del alcance de la mecánica de materiales.) www.FreeLibros.com 40 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Ejemplo 1.5 Un puntal S de acero que sirve como riostra para un malacate marino transmite una fuerza de compresión P = 12 k a la plataforma de un muelle (figura 1.30a). El puntal tiene una sección transversal hueca con espesor de pared t = 0.375 in (figura 1.30b) y el ángulo u entre el puntal y la horizontal es 40°. Un pasador que atraviesa el puntal transmite la fuerza de compresión del puntal a dos placas de unión G que están soldadas a la placa base B. Cuatro pernos de anclaje sujetan la placa base a la plataforma. El diámetro del pasador es dpasador = 0.75 in, el espesor de las placas de unión es tG = 0.625 in, el espesor de la placa base es tB = 0.375 in y el diámetro de los pernos de anclaje es dperno = 0.50 in. Determine los esfuerzos siguientes: (a) el esfuerzo de soporte entre el puntal y el pasador, (b) el esfuerzo cortante en el pasador, (c) el esfuerzo de soporte entre el pasador y las placas de unión, (d) el esfuerzo de soporte entre los pernos de anclaje y la placa base y (e) el esfuerzo cortante en los pernos de anclaje. (No tenga en cuenta la fricción entre la placa base y la plataforma.) P u = 40° S Pasador G S G G B t FIGURA 1.30 Ejemplo 1.5. (a) Conexión con pasador entre el puntal S y la placa base B. (b) Sección transversal a través del puntal S. (a) (b) Solución (a) Esfuerzo de soporte entre el puntal y el pasador. El valor promedio del esfuerzo de soporte entre el puntal y el pasador se determina dividiendo la fuerza en el puntal entre el área total de soporte del puntal contra el pasador. Ésta última es igual al doble del espesor del puntal (debido a que el soporte se tiene en dos ubicaciones) por el diámetro del pasador (consulte la figura 1.30b). Por tanto, el esfuerzo de soporte es sb1 12 k P 2(0.375 in)(0.75 in) 2tdperno 21.3 ksi SECCIÓN 1.6 Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante 41 Este esfuerzo de soporte no es excesivo para un puntal de acero estructural. (b) Esfuerzo cortante en el pasador. Como se observa en la figura 1.30b, el pasador tiende a cortarse en dos planos, que son los planos entre el puntal y las placas de unión. Por tanto, el esfuerzo cortante promedio en el pasador (que está en cortante doble) es igual a la carga total aplicada al pasador dividida entre dos veces el área de su sección transversal. tpasador P 2pd 2pasador /4 12 k 2p(0.75 in) 2/4 13.6 ksi Normalmente el pasador se fabricaría con acero de alta resistencia (esfuerzo de fluencia en tensión mayor que 50 ksi) y con facilidad podría soportar este esfuerzo cortante (el esfuerzo de fluencia en cortante usualmente es al menos 50% del esfuerzo de fluencia en tensión). (c) Esfuerzo de soporte entre el pasador y las placas de unión. El pasador se apoya contra las placas de unión en dos puntos, por tanto el área de soporte es el doble del espesor de las placas de unión por el diámetro del pasador; entonces, sb2 12 k 2(0.625 in)(0.75 in) P 2tG d pasador 12.8 ksi que es menor que el esfuerzo de soporte entre el puntal y el pasador (21.3 ksi). (d) Esfuerzo de soporte entre los pernos de anclaje y la placa base. La componente vertical de la fuerza P (consulte la figura 1.30a) se transmite a la plataforma por soporte directo entre la placa base y la plataforma. Sin embargo, la componente horizontal se transmite a través de los pernos de anclaje. El esfuerzo de soporte promedio entre la placa base y los pernos de anclaje es igual a la componente horizontal de la fuerza P dividida entre el área de soporte de los cuatro pernos. El área de soporte para un perno es igual al espesor de la placa base por el diámetro del perno. En consecuencia, el esfuerzo de soporte es sb3 P cos 40° 4tB dperno (12 k)(cos 40°) 4(0.375 in)(0.50 in) 12.3 ksi (e) Esfuerzo cortante en los pernos de anclaje. El esfuerzo cortante promedio en los pernos de anclaje es igual a la componente horizontal de la fuerza P dividida entre el área total de la sección transversal de los cuatro pernos (observe que cada perno está sometido a cortante simple). Por lo tanto, tperno P cos 40° 4p d 2perno /4 (12 k)(cos 40°) 4p (0.50 in) 2/4 11.7 ksi Cualquier fricción entre la placa base y la plataforma reduciría la carga sobre los pernos de anclaje. www.FreeLibros.com 42 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Ejemplo 1.6 Una placa de soporte del tipo empleado para sostener máquinas y trabes de puentes consiste en un material linealmente elástico (por lo general un elastómero como el caucho) cubierto con una placa de acero (figura 1.31a). Suponga que el espesor del elastómero es h, que las dimensiones de la placa son a × b y que la placa está sometida a una fuerza cortante horizontal V. Obtenga fórmulas para el esfuerzo cortante promedio tprom en el elastómero y el desplazamiento horizontal d de la placa (figura 1.31b). a b d V g V h h a FIGURA 1.31 Ejemplo 1.6. Placa de soporte en cortante. (a) (b) Solución Suponga que los esfuerzos cortantes en el elastómero están distribuidos uniformemente en todo el volumen del mismo. Entonces el esfuerzo cortante sobre cualquier plano horizontal a través del elastómero es igual a la fuerza cortante V dividida entre el área ab de la placa (figura 1.31a): tprom V ab (1.16) La deformación unitaria cortante correspondiente (de la ley de Hooke para cortante; ecuación 1.14) es g tprom Ge V abGe (1.17) en donde Ge es el módulo de corte del material elastomérico. Por último, el desplazamiento horizontal d es igual a h tan g (de la figura 1.31b): d h tan g h tan V abGe (1.18) En la mayor parte de las situaciones prácticas la deformación unitaria por cortante g es un ángulo pequeño y en esos casos tan g se puede sustituir por g y obtenemos d hg hV abGe (1.19) Las ecuaciones (1.18) y (1.19) dan resultados aproximados del desplazamiento horizontal de la placa, debido a que se basan en la suposición de que el esfuerzo cortante y la deformación unitaria cortante son constantes en todo el volumen del material elastomérico. En realidad, el esfuerzo cortante es cero en los bordes del material (porque no hay esfuerzos cortantes sobre las caras verticales libres) y, por tanto, la deformación del material es más compleja que la representada en la figura 1.31b. Sin embargo, si la longitud a de la placa es grande en comparación con el espesor h del elastómero, los resultados anteriores son satisfactorios para fines de diseño. SECCIÓN 1.7 Esfuerzos y cargas permisibles 43 1.7 ESFUERZOS Y CARGAS PERMISIBLES La ingeniería se ha descrito apropiadamente como la aplicación de la ciencia a los propósitos comunes de la vida. Al cumplir esta misión, los ingenieros diseñan una variedad aparentemente sin fin de objetos para satisfacer las necesidades básicas de la sociedad. Esas necesidades incluyen vivienda, agricultura, transporte, comunicación y muchos otros aspectos de la vida moderna. Los factores que se deben considerar en el diseño incluyen funcionalidad, resistencia, apariencia, economía y efectos ambientales. Sin embargo, al estudiar la mecánica de materiales, nuestro interés principal de diseño es la resistencia, es decir, la capacidad del objeto para soportar o trasmitir cargas. Entre los objetos que deben soportar cargas se incluyen edificios, máquinas, recipientes, camiones, aeronaves, barcos y similares. Por simplicidad, nos referiremos a estos objetos como estructuras; por tanto, una estructura es cualquier objeto que debe soportar o transmitir cargas. Factores de seguridad Como se debe evitar la falla estructural, las cargas que una estructura debe soportar deben ser mayores que las cargas a que se someterá cuando esté en servicio. Como la resistencia es la habilidad de una estructura para resistir cargas, el criterio anterior se puede volver a plantear como sigue: la resistencia real de una estructura debe ser mayor que la resistencia requerida. La razón entre la resistencia real y la resistencia requerida se denomina factor de seguridad n: Factor de seguridad n Resistencia real Resistencia requerida (1.20) Por supuesto, para evitar la falla el factor de seguridad debe ser mayor que 1.0. Dependiendo de las circunstancias, se utilizan factores de seguridad un poco mayores que 1.0 y hasta de 10. La incorporación de factores de seguridad en el diseño no es un asunto simple, porque tanto la resistencia como la falla pueden tener significados distintos. La resistencia se puede medir mediante la capacidad de soporte de carga de una estructura o por el esfuerzo en el material. Falla puede significar la fractura y el derrumbe completo de una estructura, o puede significar que las deformaciones son tan grandes que la estructura ya no puede realizar sus funciones propuestas. Éste último tipo de falla puede presentarse con cargas mucho menores que las que ocasionan el desplome real. En la determinación de un factor de seguridad también deben tomarse en cuenta aspectos como los siguientes: probabilidad de sobrecarga accidental de la estructura, por cargas que sobrepasan las cargas de diseño; tipos de cargas (estáticas o dinámicas); si las cargas se aplican una vez o se repiten; qué tan exactamente se conocen las cargas; posibilidades de falla www.FreeLibros.com 44 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante por fatiga; imprecisiones de construcción; variabilidad en la calidad de la mano de obra; variaciones en las propiedades de los materiales; deterioro debido a corrosión u otros efectos ambientales; precisión de los métodos de análisis; si la falla es gradual (con advertencia suficiente) o repentina (sin advertencia); consecuencias de la falla (daño menor o catástrofe mayor) y otras consideraciones de este tipo. Si el factor de seguridad es muy bajo, la probabilidad de falla será alta y la estructura será inaceptable; si es muy grande, la estructura será un desperdicio de materiales y tal vez inadecuada para su función (por ejemplo, podría ser muy pesada). Debido a estas complejidades e incertidumbres, los factores de seguridad deben determinarse con una base probabilística. En general son establecidos por grupos de ingenieros experimentados que escriben los códigos y las especificaciones empleadas por otros diseñadores y en algunas ocasiones se promulgan como leyes. Las previsiones de códigos y especificaciones tienen el propósito de proporcionar niveles de seguridad razonables sin costos exorbitantes. En el diseño de aeronaves se acostumbra hablar del margen de seguridad en lugar del factor de seguridad. El margen de seguridad se define como el factor de seguridad menos uno: Margen de seguridad = n – 1 (1.21) El margen de seguridad con frecuencia se expresa como un porcentaje, caso en el cual el valor dado antes se multiplica por 100. Por tanto, una estructura que tiene un resistencia real que es 1.75 veces la requerida tiene un factor de seguridad de 1.75 y un margen de seguridad de 0.75 (o 75 por ciento). Cuando el margen de seguridad se reduce a cero o menos, la estructura (probablemente) fallará. Esfuerzos permisibles Los factores de seguridad se definen e implantan de diversas maneras. Para muchas estructuras, es importante que el material permanezca dentro del rango elástico a fin de evitar deformaciones permanentes cuando se remuevan las cargas. En estas condiciones el factor de seguridad se establece con respecto a la fluencia de la estructura. La fluencia inicia cuando el esfuerzo de fluencia se alcanza en cualquier punto dentro de la estructura. Por tanto, al aplicar un factor de seguridad con respecto al esfuerzo de fluencia (o resistencia a la fluencia), obtenemos un esfuerzo permisible (o esfuerzo de trabajo) que no se debe rebasar en la estructura. Por tanto, Esfuerzo permisible Resistencia a la fluencia Factor de seguridad (1.22) SECCIÓN 1.7 Esfuerzos y cargas permisibles 45 O bien, para tensión y cortante, respectivamente, sperm sY n1 y tperm tY n2 (1.23a,b) donde sY y tY son los esfuerzos de fluencia y n1 y n2 son los factores de seguridad correspondientes. En el diseño de edificios, un factor de seguridad común con respecto a la fluencia en tensión es 1.67; por lo que un acero dulce que tenga una resistencia a la fluencia de 36 ksi tiene un esfuerzo permisible de 21.6 ksi. En ocasiones el factor de seguridad se aplica al esfuerzo último en vez de al esfuerzo de fluencia. Este método es adecuado para materiales frágiles, como el concreto y algunos plásticos, y para materiales sin un esfuerzo de fluencia bien definido, como la madera y los aceros de alta resistencia. En estos casos los esfuerzos permisibles en tensión y cortante son sperm sU y tperm n3 tU n4 (1.24a,b) donde sU y tU son los esfuerzos últimos (o resistencias últimas). Los factores de seguridad con respecto a la resistencia última de un material, en general, son mayores que los basados en la resistencia a la fluencia. En el caso de acero dulce, un factor de seguridad de 1.67 con respecto a la fluencia corresponde a un factor de aproximadamente 2.8 con respecto a la resistencia última. Cargas permisibles Después que se han establecido los esfuerzos permisibles para un material o una estructura particular, se puede determinar la carga permisible sobre esa estructura. La relación entre la carga permisible y el esfuerzo permisible depende del tipo de estructura. En este capítulo nos interesan sólo las clases más elementales de estructuras, que son las barras en tensión o compresión y los pasadores (o pernos) en cortante directo y en soporte. En estos tipos de estructuras los esfuerzos están distribuidos uniformemente (o al menos se supone que lo están) sobre un área. Por ejemplo, en el caso de una barra en tensión, el esfuerzo está distribuido uniformemente sobre el área de la sección transversal, siempre que la fuerza axial resultante actúe en el centroide de la sección transversal. Lo mismo es válido para una barra en compresión con la condición que no se le someta a una carga excéntrica que provoque pandeo. En el caso de un pasador sometido a cortante, sólo consideramos el esfuerzo cortante promedio sobre la sección transversal, que es equivalente a suponer que el esfuerzo cortante está distribuido uniformemente. De manera similar, sólo consideramos un valor promedio del esfuerzo de soporte que actúa sobre el área proyectada del pasador. www.FreeLibros.com 46 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Por tanto, en los cuatro casos anteriores la carga permisible (también llamada carga segura) es igual al esfuerzo permisible por el área sobre la que actúa: Carga permisible = (Esfuerzo permisible)(Área) (1.25) Para barras en tensión y compresión directa (sin pandeo), esta ecuación se convierte en Pperm sperm A (1.26) donde sperm es el esfuerzo normal permisible y A es el área de la sección transversal de la barra. Si la barra tiene un agujero, cuando se somete a tensión es usual que se emplee el área neta. El área neta es el área total de la sección transversal menos el área del agujero. Para compresión, se puede emplear el área total si por el agujero pasa un perno o un pasador que pueda transmitir los esfuerzos de compresión. Para pasadores en cortante directo, la ecuación (1.25) se transforma en Pperm tperm A (1.27) en donde tperm es el esfuerzo cortante permisible y A es el área sobre la que actúa el esfuerzo cortante. Si el pasador está en cortante simple, el área es el de la sección transversal del pasador; en cortante doble, es el doble del área de la sección transversal. Por último, la carga permisible basada en soporte es Pperm = sbAb (1.28) en donde sb es el esfuerzo normal permisible y Ab es el área proyectada del pasador u otra superficie sobre la que actúan los esfuerzos de soporte. El siguiente ejemplo ilustra cómo se determinan las cargas permisibles cuando se conocen los esfuerzos permisibles del material. SECCIÓN 1.7 Esfuerzos y cargas permisibles 47 Ejemplo 1.7 Una barra de acero que trabaja como barra de suspensión para maquinaria pesada en una fábrica, está acoplada a un soporte mediante la conexión con perno que se muestra en la figura 1.32. La parte principal del colgante tiene una sección transversal rectangular con un ancho b1 = 1.5 in y un espesor t = 0.5 in. En la conexión con perno la barra de suspensión se alarga hasta un ancho b2 = 3.0 in. El perno, que transfiere la carga de la barra a las dos placas de unión, tiene un diámetro d = 1.0 in. Determine el valor permisible de la carga de tensión P en la barra de suspensión con base en las siguientes consideraciones: (a) El esfuerzo de tensión permisible en la parte principal de la barra de suspensión es 16,000 psi. (b) El esfuerzo de tensión permisible en la barra de suspensión en su sección transversal que pasa por el agujero del perno es 11,000 psi. (El esfuerzo permisible en esta sección es menor debido a las concentraciones de esfuerzos alrededor del agujero). (c) El esfuerzo de soporte permisible entre la barra de suspensión y el perno es 26,000 psi. (d) El esfuerzo cortante permisible en el perno es 6500 psi. b2 = 3.0 in d = 1.0 in Tornillo Arandela Cartela Barra de suspensión t = 0.5 in b1 = 1.5 in FIGURA 1.32 Ejemplo 1.7. Barra de suspensión vertical sometida a una carga de tensión P: (a) vista frontal de la conexión con perno y (b) vista lateral de la conexión. P P (a) (b) Solución (a) La carga permisible P1 con base en el esfuerzo en la parte principal de la barra de suspensión es igual al esfuerzo permisible en tensión por el área de la sección transversal de la barra de suspensión (ecuación 1.26): P1 sperm A sperm b1t (16,000 psi)(1.5 in 0.5 in) 12,000 lb continúa www.FreeLibros.com 48 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Una carga mayor que este valor provocará una tensión excesiva en la parte principal de la barra de suspensión, es decir, el esfuerzo real excederá el esfuerzo permisible y, en consecuencia, se reduciría el factor de seguridad. (b) En la sección transversal de la barra de suspensión a través del perno debemos hacer un cálculo similar, pero con un esfuerzo permisible y un área diferentes. El área neta de la sección transversal es igual al ancho neto por el espesor. El ancho neto es igual al ancho total b2 menos el diámetro d del agujero. Por tanto, la ecuación para la carga permisible P2 en esta sección es P2 sperm A sperm (b2 d)t (11,000 psi)(3.0 in 1.0 in)(0.5 in) 11,000 lb (c) La carga permisible basada en el soporte entre la barra de suspensión y el perno es igual al esfuerzo de soporte permisible por el área se soporte. El área de soporte es la proyección del área real de contacto, que a su vez es igual al diámetro del perno por el espesor de la barra de suspensión. Por tanto, la carga permisible (ecuación 1.28) es P3 sb A sbdt (26,000 psi)(1.0 in)(0.5 in) 13,000 lb (d) Por último, la carga permisible P4 con base en el cortante en el perno es igual al esfuerzo cortante permisible por el área de corte (ecuación 1.27). El área de corte es dos veces el área del perno debido a que el perno está en cortante doble; por tanto: P4 tperm A tperm (2)(pd 2/4) (6500 psi)(2)(p)(1.0 in) 2/4 10,200 lb Ahora hemos determinado las cargas de tensión permisibles en la barra de suspensión con base en las cuatro condiciones dadas. Al comparar los cuatro resultados anteriores, observamos que el valor menor de la carga es Pperm 10,200 lb Esta carga, que se basa en el cortante en el perno, es la carga de tensión permisible en la barra de suspensión. SECCIÓN 1.8 Diseño por cargas axiales y cortante directo 49 1.8 DISEÑO POR CARGAS AXIALES Y CORTANTE DIRECTO En la sección anterior analizamos la determinación de las cargas permisibles para estructuras simples y en secciones anteriores vimos cómo determinar esfuerzos, deformaciones unitarias y deformaciones en barras. La determinación de esas cantidades se conoce como análisis. En el contexto de la mecánica de materiales, el análisis consiste en determinar la respuesta de una estructura a cargas, cambios de temperatura y otras acciones físicas. Por respuesta de una estructura queremos decir los esfuerzos, las deformaciones unitarias y las deformaciones producidas por las cargas. Respuesta también se refiere a la capacidad de soporte de carga de una estructura; por ejemplo, la carga permisible sobre una estructura es una forma de respuesta. Se dice que una estructura es conocida (o dada) cuando tenemos una descripción física completa de ella, es decir cuando conocemos todas sus propiedades. Las propiedades de una estructura incluyen los tipos de elementos y cómo están dispuestos, las dimensiones de todos los elementos, los tipos de soportes y dónde se ubican, los materiales empleados y sus propiedades. Así, cuando se analiza una estructura, se dan las propiedades y se determinará su respuesta. El proceso inverso se denomina diseño. Al diseñar una estructura, debemos determinar las propiedades de la estructura a fin de que soporte las cargas y cumpla sus funciones previstas. Por ejemplo, un problema de diseño común en ingeniería es determinar el tamaño de un elemento para soportar ciertas cargas dadas. En general, diseñar una estructura es un proceso más largo y más difícil que analizarla; de hecho, analizar una estructura, a menudo más de una vez, es parte característica del proceso de diseño. En esta sección trataremos el diseño en su forma más elemental calculando los tamaños requeridos de elementos en tensión y compresión simple así como de pasadores y pernos cargados en cortante. En estos casos el proceso de diseño es muy directo. Si se conocen las cargas que se van a transmitir y los esfuerzos permisibles en los materiales, podemos calcular las áreas necesarias de los elementos a partir de la relación general siguiente (compárela con la ecuación 1.25): Área requerida Carga por transmitir Esfuerzo permisible (1.29) Esta ecuación se puede aplicar a cualquier estructura en la que los esfuerzos estén distribuidos uniformemente sobre el área. (Su uso en la determinación del tamaño de una barra en tensión y el tamaño de un pasador en cortante se ilustra en el ejemplo 1.8 que sigue). Además de consideraciones de resistencia, como se ejemplifica por la ecuación (1.29), es probable que el diseño de una estructura comprenda la rigidez y la estabilidad. Rigidez se refiere a la capacidad de la estructura para resistir cambios de forma (por ejemplo, para resistir alargamiento, flexión o torsión) y estabilidad se refiere a la habilidad de la estructura para resistir pandeo ante esfuerzos de compresión. En ocasiones son necesarias www.FreeLibros.com 50 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante limitaciones en la rigidez para evitar deformaciones excesivas, como deflexiones grandes de una viga que podrían interferir con su desempeño. El pandeo es la consideración principal en el diseño de columnas, que son elementos esbeltos en compresión (capítulo 11). Otra parte del proceso de diseño es el perfeccionamiento, que es la tarea de diseñar la mejor estructura para cumplir con una meta particular, como peso mínimo. Por ejemplo, puede haber muchas estructuras que soportarán una carga dada, pero en algunas circunstancias la mejor estructura será la más ligera. Por supuesto, una meta como peso mínimo generalmente se debe equilibrar con consideraciones más generales, incluyendo los aspectos estético, económico, ambiental, político y técnico del proyecto de diseño particular. Al analizar o diseñar una estructura, nos referimos a las fuerzas que actúan sobre ella ya sea como cargas o reacciones. Las cargas son fuerzas activas que se aplican a la estructura debido a alguna causa externa, como la gravedad, presión del agua, viento y movimiento del suelo por un terremoto. Las reacciones son fuerzas pasivas que se inducen en los soportes de la estructura, cuyas magnitudes y direcciones se determinan por la naturaleza de la propia estructura. Por tanto, las reacciones se deben calcular como parte del análisis, en tanto que las cargas se conocen de antemano. El ejemplo 1.8, en las siguientes páginas, comienza con un repaso de los diagramas de cuerpo libre y de la estática elemental y concluye con el diseño de una barra en tensión y un pasador en cortante directo. Al trazar diagramas de cuerpo libre es útil hacer la diferencia entre reacciones debidas a cargas y reacciones debidas a otras fuerzas aplicadas. Un esquema común es colocar una línea o línea inclinada, a través de la flecha cuando representa una fuerza reactiva, como se ilustra en la figura 1.34 del siguiente ejemplo. SECCIÓN 1.8 Diseño por cargas axiales y cortante directo 51 Ejemplo 1.8 La armadura de dos barras ABC que se muestra en la figura 1.33 tiene soportes articulados en los puntos A y C, que están separados 2.0 m. Los elementos AB y BC son barras de acero, interconectadas por un pasador en el nodo B. La longitud de la barra BC es de 3.0 m. Un anuncio que pesa 5.4 kN está suspendido de la barra BC en los puntos D y E, que están ubicados a 0.8 m y 0.4 m, respectivamente, de los extremos de la barra. Determine el área de la sección transversal necesaria de la barra AB y el diámetro necesario del pasador en el soporte C si los esfuerzos permisibles en tensión y cortante son 125 MPa y 45 MPa, respectivamente. (Nota: los pasadores en los soportes están en cortante doble. Además, no tome en cuenta los pesos de los elementos AB y BC.) A 2.0 m C D E 0.9 m B 0.9 m 0.8 m 0.4 m W = 5.4 kN FIGURA 1.33 Ejemplo 1.8. Armadura de dos barras ABC que soportan un anuncio con peso W. Solución Los objetivos de este ejemplo son determinar los tamaños necesarios de la barra AB y del pasador en el soporte C. Como primer punto, debemos determinar la fuerza de tensión en la barra y la fuerza cortante que atúa sobre el pasador. Estas cantidades se encuentran a partir de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio. Reacciones: iniciamos con un diagrama de cuerpo libre de la armadura completa (figura 1.34a). En este diagrama mostramos todas las fuerzas que actúan sobre la armadura, que son, las cargas del peso del anuncio y las fuerzas reactivas ejercidas por los soportes de los pasadores en A y C. Cada reacción se muestra mediante sus componentes horizontal y vertical, mostrando la reacción resultante mediante una línea discontinua. (Observe el uso de líneas a través de las flechas para distinguir las reacciones de las cargas). La componente horizontal RAH de la reacción en el soporte A se obtiene sumando momentos con respecto al punto C, como sigue (los momentos en sentido contrario al de las manecillas del reloj son positivos): MC 0 RAH (2.0 m) (2.7 kN)(0.8 m) (2.7 kN)(2.6 m) 0 continúa www.FreeLibros.com 52 CAPÍTULO 1 RA Tensión, compresión y cortante RAV A RAH 2.0 m FAB RCH C RC RCV D 0.8 m E B RCH C RC RCV 1.8 m 2.7 kN D E 0.8 m 2.7 kN 0.4 m B 1.8 m 2.7 kN 0.4 m 2.7 kN (a) (b) FIGURA 1.34 Diagramas de cuerpo libre para el ejemplo 1.8. Resolviendo esta ecuación, obtenemos RAH 4.590 kN Enseguida sumamos las fuerzas en la dirección horizontal y tenemos Fhoriz 0 RCH RAH 4.590 kN Para obtener la componente vertical de la reacción en el soporte C podemos emplear un diagrama de cuerpo libre del elemento BC, como se muestra en la figura 1.34b. La suma de momentos con respecto al nodo B da la componente deseada de la reacción: MB 0 RCV (3.0 m) RCV (2.7 kN)(2.2 m) (2.7 kN)(0.4 m) 0 2.340 kN Ahora regresamos al diagrama de cuerpo libre de la armadura completa (figura 1.34a) y sumamos fuerzas en la dirección vertical para obtener la componente vertical RAV de la reacción en A: Fvert 0 RAV RAV RCV 2.7 kN 3.060 kN 2.7 kN 0 SECCIÓN 1.8 Diseño por cargas axiales y cortante directo 53 Como una verificación parcial de estos resultados, observamos que la razón RAV/RAH de las fuerzas que actúan en el punto A es igual a la razón de las componentes vertical y horizontal de la línea AB que es: 2.0 m/3.0 m o 2/3. Conociendo las componentes horizontal y vertical de la reacción en A, podemos calcular la reacción misma (figura 1.34a): (RAH)2 RA (RAV)2 5.516 kN De manera similar, la reacción en el punto C se obtiene a partir de sus componentes RCH y RCV, como sigue: (RCH)2 RC (RCV)2 5.152 kN Fuerza de tensión en la barra AB. Como no tomamos en cuenta el peso de la barra AB, la fuerza de tensión FAB en la barra es igual a la reacción en A (consulte la figura 1.34): FAB RA 5.516 kN Fuerza cortante que actúa sobre el pasador en C. Esta fuerza cortante es igual a la reacción RC (consulte la figura 1.34); por tanto, VC RC 5.152 kN De esta manera, ahora hemos determinado la fuerza de tensión FAB en la barra AB y la fuerza cortante VC que actúa sobre el pasador en C. Área necesaria de la barra. El área de la sección transversal necesaria de la barra AB se calcula dividiendo la fuerza de tensión entre el esfuerzo permisible, ya que el esfuerzo está distribuido uniformemente sobre la sección transversal (consulte la ecuación 1.29): AAB FAB sperm 5.516 kN 125 MPa 44.1 mm2 La barra AB se debe diseñar con un área de sección transversal igual o mayor que 44.1 mm2 a fin de que soporte el peso del anuncio, que es la única carga que consideramos. Si se incluyen otras cargas en los cálculos, el área necesaria será mayor. Diámetro necesario del pasador. El área de la sección transversal necesaria del pasador en C, el cual está en cortante doble, es Apasador VC 2tperm 5.152 kN 2(45 MPa) 57.2 mm2 de donde podemos calcular el diámetro requerido: dpasador 4Apasador /p 8.54 mm continúa www.FreeLibros.com 54 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Se necesita un pasador con al menos este diámetro para soportar el peso del anuncio sin sobrepasar el esfuerzo cortante permisible. Notas: en este ejemplo, omitimos intencionalmente en los cálculos el peso de la armadura. Sin embargo, una vez que se conozcan los tamaños de los elementos, se pueden calcular sus pesos e incluirlos en los diagramas de cuerpo libre de la figura 1.34. Cuando se incluyen los pesos de las barras, el diseño del elemento AB se complica, debido a que ya no es una barra en tensión simple. En cambio, es una viga sometida tanto a flexión como a tensión. Existe una situación análoga para el elemento BC. No sólo debido a su propio peso, sino también al peso del anuncio, el elemento BC está sometido tanto a flexión como a compresión. El diseño de esos elementos debe esperar hasta que estudiemos los esfuerzos en vigas (capítulo 5). En la práctica se tienen que considerar otras cargas además de los pesos de la armadura y del anuncio antes de tomar una decisión final sobre los tamaños de las barras y de los pasadores. Las cargas que podrían ser importantes incluyen cargas por viento, cargas por sismo y los pesos de los objetos que tendrían que soportar de manera temporal la armadura y el anuncio. RA RAV A RAH 2.0 m FAB RCH C RC RCV D 0.8 m E RCH C RC RCV 1.8 m 2.7 kN D 0.8 m 2.7 kN 0.4 m (a) FIGURA 1.34 (Repetida.) B E B 1.8 m 2.7 kN 0.4 m 2.7 kN (b) CAPÍTULO 1 Resumen y repaso del capítulo 55 RESUMEN Y REPASO DEL CAPÍTULO En el capítulo 1 aprendimos sobre las propiedades mecánicas de los materiales de construcción. Calculamos esfuerzos y deformaciones unitarias normales en barras cargadas por cargas axiales centroidales y también esfuerzos y deformaciones unitarias en cortante (así como esfuerzos de soporte) en conexiones con pasador empleadas para ensamblar estructuras simples, como armaduras. También definimos los niveles permisibles del esfuerzo a partir de factores de seguridad apropiados y utilizamos estos valores para determinar las cargas permisibles que se podrían aplicar a la estructura. Algunos de los conceptos importantes presentados en este capítulo son los siguientes: 1. El objetivo principal de la mecánica de materiales es determinar los esfuerzos, las deformaciones unitarias y los desplazamientos en estructuras y sus componentes debidos a las cargas que actúan sobre ellos. Estos componentes incluyen barras con cargas axiales, ejes en torsión, vigas en flexión y columnas en compresión. 2. Las barras prismáticas sometidas a cargas de tensión o compresión que actúan en el centroide de su sección transversal (para evitar la flexión) experimentan esfuerzos y deformaciones normales y una extensión o bien una contracción proporcional a sus longitudes. Estos esfuerzos y deformaciones son uniformes excepto cerca de los puntos de aplicación de la carga donde se tienen esfuerzos o concentraciones de esfuerzos muy localizados. 3. Investigamos el comportamiento mecánico de varios materiales y trazamos el diagrama esfuerzo-deformación unitaria resultante, que representa información importante sobre el material. Los materiales dúctiles (como el acero dulce) tienen una relación inicial lineal entre el esfuerzo normal y la deformación unitaria normal (hasta el límite de proporcionalidad) y se dicen ser linealmente elásticos con el esfuerzo y la deformación unitaria relacionados por la ley de Hooke (s = E ∙ ); también tienen un punto de fluencia bien definido. Otros materiales dúctiles (como aleaciones de aluminio) comúnmente no tienen un punto de fluencia bien definido, por lo que se puede determinar un esfuerzo de fluencia arbitrario empleando el método de desplazamiento. 4. Los materiales que fallan en tensión a valores relativamente bajos de deformación unitaria (como el concreto, piedra, fundición gris, la cerámica vidriada y una variedad de aleaciones metálicas) se clasifican como frágiles. Los materiales frágiles fallan sólo con poco alargamiento después del límite de proporcionalidad. 5. Si el material permanece dentro del rango elástico, se puede cargar, descargar y volver a cargar sin cambiar significativamente su comportamiento. Sin embargo, al cargar el material en el rango plástico su estructura interna se altera y cambian sus propiedades. El comportamiento al cargar y descargar los materiales depende de las propiedades de elasticidad y plasticidad del material, como el límite elástico y la posibilidad de (deformación residual) en el material. Las cargas sostenidas durante mucho tiempo pueden conducir a termofluencia y relajación. 6. El alargamiento axial de las barras cargadas en tensión va acompañada de una contracción lateral; la relación entre la deformación unitaria lateral y la deformación unitaria normal se conoce como relación de Poisson. Ésta permanece constante en todo el rango linealmente elástico, siempre que el material sea homogéneo e isotrópico. La mayoría de los ejemplos y problemas en el libro se resuelven con la suposición que el material es linealmente elástico, homogéneo e isotrópico. 7. Los esfuerzos normales actúan perpendiculares a la superficie del material y los esfuerzos cortantes actúan tangenciales a la superficie. Investigamos conexiones con perno entre placas en las que los pernos se sometieron a cortante simple o bien a cortante doble, así como a esfuerzos de soporte promedio. Los esfuerzos de soporte actúan sobre la proyección rectangular de la superficie curva de contacto real entre un perno y una placa. continúa www.FreeLibros.com 56 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 8. Analizamos un elemento de material sometido a esfuerzos cortantes y deformaciones unitarias en cortante para estudiar un estado de esfuerzo referido como . Vimos que la deformación unitaria en cortante (g) es una medida de la distorsión o cambio de forma del elemento en cortante puro. Estudiamos la ley de Hooke en cortante en la que el esfuerzo cortante (t) está relacionado con la deformación unitaria en cortante mediante el módulo de elasticidad en corte (G), t = G ∙ g. Observamos que E y G están relacionados y por lo tanto no son propiedades elásticas independientes del material. 9. La resistencia es la capacidad de una estructura o componente para soportar o transmitir cargas. Los factores de seguridad relacionan la resistencia real con la resistencia requerida de los elementos estructurales y toman en cuenta una variedad de incertidumbres, como variaciones en las propiedades de los materiales, magnitudes o distribuciones inciertas de las cargas, probabilidad de sobrecarga accidental, etcétera. Debido a estas incertidumbres, los factores de seguridad deben determinarse empleando métodos probabilísticos. 10. Los esfuerzos de fluencia o de nivel último se pueden dividir entre factores de seguridad para producir valores permisibles para emplearlos en el diseño. Para un elemento conectado con un perno en tensión axial, la carga permisible depende del esfuerzo permisible multiplicado por el área adecuada (por ejemplo, área neta de la sección transversal para barras sometidas a cargas de tensión centroidales, área de la sección transversal de un pasador para pasadores en cortante y área proyectada para pernos en soporte). Si la barra está en compresión no es necesario emplear el área neta de la sección transversal, pero el pandeo puede ser una consideración importante. 11. Por último, consideramos el diseño, que es el proceso iterativo mediante el cual se determina el tamaño apropiado de los elementos estructurales para cumplir con una variedad de requisitos tanto de resistencia como de rigidez para una estructura particular sometida a una variedad de cargas distintas. Sin embargo, la incorporación de factores de seguridad en el diseño no es asunto simple, debido a que los conceptos tanto de resistencia como de falla pueden tener significados distintos. CAPÍTULO 1 Problemas 57 PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 1 Esfuerzo normal y deformación normal unitaria 1.2.2 Un ciclista aplica una fuerza P de 70 N al freno de mano 1.2.1 Un poste circular hueco ABC (consulte la figura) sopor- frontal de una bicicleta (P es la resultante de una presión distribuida uniformemente). Conforme el freno de mano gira en A, se desarrolla una tensión T en el cable con longitud de 460 mm (Ae = 1.075 mm2) que se estira en d = 0.214 mm. Determine el esfuerzo normal s y la deformación unitaria  en el cable del freno. ta una carga P1 = 1700 lb que actúa en su parte superior. Una segunda carga P2 está distribuida uniformemente alrededor de la placa de cubierta del poste en B. El diámetro y el espesor de las partes superior e inferior del poste son dAB = 1.25 in, tAB = 0.5 in, dBC = 2.25 in y tBC = 0.375 in, respectivamente. (a) Calcule el esfuerzo normal sAB en la parte superior del poste. (b) Si se desea que la parte inferior del poste tenga el mismo esfuerzo de compresión que la parte superior, ¿cuál será la magnitud de la carga P2? (c) Si P1 permanece en 1700 lb y P2 ahora se fija en 2260 lb, ¿qué espesor nuevo de BC resultará en el mismo esfuerzo de compresión en las dos partes? P1 Cable del freno, L = 460 mm Pivote A del freno de mano A tAB dAB P2 37.5 mm A T P (resultante de la presión distribuida) B dBC 50 mm tBC 100 C PROB. 1.2.2 PROB. 1.2.1 www.FreeLibros.com mm Presión uniforme del freno de mano 58 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.2.3 Un ciclista quiere comparar el efectividad de los frenos de cantilever [consulte la figura (a)] con los frenos en “V” [parte (b) de la figura]. (a) Calcule la fuerza de frenado RB en los rines del neumático para cada uno de los sistemas de frenado de las bicicletas. Suponga que todas las fuerzas actúan en el plano de la figura y que la tensión del cable T = 45 lb. También calcule cuál es el esfuerzo normal de compresión promedio sc en la almohadilla del freno (A = 0.625 in2). (b) Para cada sistema de frenado, ¿cuál es el esfuerzo en el cable del freno (suponga un área de la sección transversal efectiva de 0.00167 in2)? (Sugerencia: debido a la simetría, sólo necesita emplear la mitad de cada figura en su análisis). T 4 in T D C D TDC = TDE 45° TDE T 4 in TDC TDE 90° E T TDCv C TDCh 5 in 4.25 in 1 in B F RB A G Puntos pivote anclados en el marco HA B E 2 in RB 1 in F 1 in HA Puntos pivote anclados en el marco VA A VA (a) Frenos en cantilever Frenos en “V” PROB. 1.2.3 Deformímetro 1.2.4 Un tubo circular de aluminio con longitud L = 400 mm está cargado en compresión por fuerzas P (consulte la figura). Los diámetros interior y exterior son 60 mm y 50 mm, respectivamente. Se coloca un deformímetro en el exterior de la barra para medir las deformaciones unitarias normales en la dirección longitudinal. (a) Si la deformación unitaria es  = 550 × 10 –6, ¿cuál es el acortamiento d de la barra? (b) Si el esfuerzo de compresión en la barra se propone sea de 40 MPa, ¿cuál debe ser la carga P? P P L = 400 mm PROB. 1.2.4 1.2.5 En la siguiente figura se muestra la sección transversal de una columna de esquina de concreto que está cargada uniformemente en compresión. CAPÍTULO 1 (a) Determine el esfuerzo de compresión promedio sc en el concreto si la carga es igual a 3200 k. (b) Determine las coordenadas xc y yc del punto donde la carga resultante debe actuar a fin de producir un esfuerzo normal uniforme en la columna. Problemas 59 un ángulo a = 20° con la horizontal y el alambre 2 forma un ángulo b = 48°. Los dos alambres tienen un diámetro de 30 milésimas. (Los diámetros del alambre, con frecuencia, se expresan en milésimas de pulgada; una milésima es igual a 0.001 in). Determine los esfuerzos de tensión s1 y s2 en los dos alambres. y 24 in 20 in 20 in T2 T1 b a 16 in 8 in x 8 in PROB. 1.2.5 W 1.2.6 Un carro que pesa 130 kN, cuando está completamente cargado, se jala lentamente hacia arriba por una pista inclinada mediante un cable de acero (consulte la figura). El cable tiene un área de sección transversal efectiva de 490 mm2 y el ángulo a de la inclinación es 30°. Calcule el esfuerzo de tensión st en el cable. Cable PROB. 1.2.7 1.2.8 Un muro de retención de gran longitud está apuntalado con puntales de madera dispuestos en un ángulo de 30° y soportados por bloques de empuje de concreto, como se muestra en la primera parte de la figura. Los puntales están espaciados uniformemente a 3 m. Para fines de análisis, la pared y los puntales se idealizan como se muestra en la segunda parte de la figura. Observe que la base del muro y los dos extremos de los puntales se supone que están articulados. La presión del suelo contra el muro se supone distribuida triangularmente y la fuerza resultante que actúa sobre una longitud de 3 m del muro es F = 190 kN. Si cada puntal tiene una sección transversal cuadrada de 150 mm × 150 mm, ¿cuál es el esfuerzo de compresión sc en los puntales? Suelo a PROB. 1.2.6 Muro de retención Bloque de Puntal empuje de concreto 30° 1.2.7 Dos alambres de acero soportan una cámara móvil suspendida que pesa W = 25 lb (consulte la figura), empleada para hacer acercamientos de las acciones en el campo en eventos deportivos. En un instante dado, el alambre 1 forma B F 30° 1.5 m A C 0.5 m 4.0 m PROB. 1.2.8 www.FreeLibros.com 60 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.2.9 Una puerta trasera de una camioneta soporta una caja (WC = 150 lb), como se muestra en la figura siguiente. La puerta pesa WT = 60 lb y está soportada por dos cables (sólo se muestra uno en la figura). Cada cable tiene un área transversal efectiva Ae = 0.017 in2). (a) Encuentre la fuerza de tensión T y el esfuerzo normal s en cada cable. (b) Si cada cable se estira d = 0.01 in debido al peso tanto de la caja como de la puerta, ¿cuál es la deformación unitaria promedio en el cable? MC = 68 kg dc = 460 mm Ca H = 305 mm ble Caja Puerta trasera Camioneta dT = 350 mm L = 406 mm WC = 150 lb H = 12 in dc = 18 in Ca ble PROB. 1.2.10 Caja Camioneta *1.2.11 Una losa de concreto en forma de “L” de 12 ft × 12 Puerta trasera dT = 14 in MT = 27 kg WT = 60 lb L = 16 in PROBS. 1.2.9 y 1.2.10 ft (pero con un corte de 6 ft × 6 ft) y espesor t = 9.0 in, se levanta mediante tres cables sujetos en los puntos O, B y D, como se muestra en la figura. Los cables se juntan en el punto Q, que está 7 ft arriba de la superficie de la losa y directamente arriba del centro de masa en el punto C. Cada cable tiene un área transversal efectiva Ae = 0.12 in2. (a) Determine la fuerza de tensión Ti (i = 1, 2, 3) en cada cable debido al peso W de la losa de concreto (no tome en cuenta el peso de los cables). (b) Determine el esfuerzo promedio si en cada cable. (Consulte la tabla H-1 del apéndice H para obtener el peso específico del concreto reforzado). F Coordenadas de D en ft Q (5, 5, 7) T3 1 T1 7 D (5, 12, 0) 1 T2 5 5 z 1.2.10 Resuelva el problema anterior si la masa de la puerta trasera es MT = 27 kg y la de la caja es MC = 68 kg. Utilice las dimensiones H = 305 mm, L = 406 mm, dC = 460 mm y dT = 350 mm. El área transversal del cable es Ae = 11.0 mm2. (a) Encuentre la fuerza de tensión T y el esfuerzo normal s en cada cable. (b) Si cada cable se estira d = 0.25 mm debido al peso tanto de la caja como de la puerta, ¿cuál es la deformación unitaria promedio en el cable? O (0, 0, 0) y x 6 ft C (5, 5, 0) 5 7 7 6 ft W 6 ft B (12, 0, 0) lb Losa de concreto g = 150 — ft3 Espesor t, centro de gravedad (5 ft, 5 ft, 0) PROB. 1.2.11 CAPÍTULO 1 *1.2.12 Una barra redonda ACB de longitud 2L (consulte la figura) gira con respecto a un eje que pasa por el punto medio C, con una velocidad angular constante s (radianes por segundo). El material de la barra tiene un peso específico g. (a) Deduzca una fórmula para el esfuerzo de tensión sx en la barra como una función de la distancia x desde el punto medio C. (b) ¿Cuál es el esfuerzo de tensión máximo smáx? Problemas (a) Determine las fuerzas de tensión en cada cable: TAQ y TBQ (kN); no tome en cuenta la masa de los cables, pero incluya la masa del aguilón además de la carga P. (b) Determine el esfuerzo promedio (s) en cada cable. z D P v B x 2 1 PROB. 1.2.12 B 1.2.13 Dos góndolas en un teleférico están aseguradas en la posición que se muestra en la figura mientras se hacen reparaciones en otro lugar. La distancia entre las torres de soporte es L = 100 ft. La longitud de cada segmento de cable sobre las góndolas que pesan WB = 450 lb y WC = 650 lb son DAB = 12 ft, DBC = 70 ft y DCD = 20 ft. El pandeo del cable en B es ΔB = 3.9 ft y en C(ΔC) es 7.1 ft. El área de la sección transversal efectiva del cable es Ae = 0.12 in2. (a) Encuentre la fuerza de tensión en cada segmento de cable; no tome en cuenta la masa del cable. (b) Encuentre el esfuerzo promedio (s) en cada segmento de cable. A D u1 DB B u2 DC WC 2m 2m 55° O 5m TAQ 5m x 5m A 3m PROB. 1.2.14 Propiedades mecánicas y diagramas esfuerzo-deformación unitarias u3 1.3.1 Imagine que un alambre largo de acero cuelga vertical- Torre de soporte mente desde un globo a gran altura. (a) ¿Cuál es la longitud máxima (ft) que puede tener el alambre sin fluencia si el acero fluye a 40 ksi? (b) Si el mismo alambre cuelga de un barco en alta mar, ¿cuál es la máxima longitud? (Obtenga los pesos específico del acero y del agua de mar de la tabla H.1 del apéndice H). C WB TBQ 2 ón de l L uil L y C ag rúa C Q Ag A 61 L = 100 ft PROB. 1.2.13 1.3.2 Imagine que un alambre largo de tungsteno cuelga ver- 1.2.14 Un aguilón de una grúa tiene una masa de 450 kg con su centro de masa en C estabilizado por dos cables AQ y BQ (Ae = 304 mm2 para cada cable) como se muestra en la figura. Una carga P = 20 kN está soportada en el punto D. El aguilón de la grúa yace en el plano y-z. ticalmente de un globo a gran altitud. (a) ¿Cuál es la máxima longitud (metros) que puede tener sin que se rompa el alambre, si la resistencia última (o resistencia de ruptura) es 1500 MPa? (b) Si el mismo alambre cuelga de un barco en alta mar, ¿cuál es la mayor longitud? (Obtenga los pesos específicos del tungsteno y del agua de mar de la tabla H.1 del apéndice H.) www.FreeLibros.com 62 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.3.3 Se prueban tres materiales diferentes, designados A, B y C, se ensayan en tensión empleando muestras de ensayo que tienen diámetros de 0.505 in y longitudes calibradas de 2.0 in (consulte la figura). En la falla, se ve que las distancias entre las marcas de calibración son 2.13, 2.48 y 2.78 in, respectivamente. También, se observa que en la falla las secciones transversales de los diámetros tienen 0.484, 0.398 y 0.253 in, respectivamente. Determine la elongación porcentual y el porcentaje de reducción en el área de cada muestra y luego, utilice su propio juicio e indique si cada material es frágil o dúctil. A B C a D P PROB. 1.3.5 P Longitud calibrada 1.3.6 Una muestra de un plástico metacrilato se ensaya en P PROB. 1.3.3 1.3.4 La razón entre resistencia y peso de un material estructural se define como su capacidad de soporte de carga dividida entre su peso. Para materiales en tensión, podemos emplear un esfuerzo de tensión característico (como se obtiene de una curva esfuerzo-deformación unitaria) como una medida de resistencia. Por ejemplo, se podría emplear el esfuerzo de fluencia o bien el esfuerzo último, dependiendo de la aplicación particular. Así, la razón entre resistencia y peso RS/W para un material en tensión se define como s RS/W = g donde s es el esfuerzo característico y g es el peso específico. Observe que la relación tiene unidades de longitud. Empleando el esfuerzo último sU como el parámetro de la resistencia, calcule la razón entre resistencia y peso (en unidades de metros) para cada uno de los materiales siguientes: aleación de aluminio 6061-T6, abeto Douglas (en flexión), nailon, acero estructural ASTM-A572 y aleación de titanio. (Obtenga las propiedades de los materiales de las tablas H.1 y H.3 del apéndice H. Cuando en una tabla se da un rango de valores, utilice el valor promedio). 1.3.5 Una armadura simétrica que consiste en tres barras articuladas, está cargada por una fuerza P (consulte la figura). El ángulo entre las barras inclinadas y la horizontal es a = 48°. La deformación unitaria axial en medio de la barra se mide y resulta que es 0.0713. Determine el esfuerzo de tensión en las barras exteriores si están construidas de una aleación de aluminio que tiene un diagrama esfuerzo-deformación unitaria como se muestra en la figura 1.13. (Exprese el esfuerzo en unidades inglesas). tensión a temperatura ambiente (consulte la figura), produciendo los datos de esfuerzo-deformación unitaria que se listan en la tabla siguiente. Trace la curva esfuerzo-deformación unitaria y determine el límite de proporcionalidad, el módulo de elasticidad (es decir, la pendiente de la parte inicial de la curva esfuerzodeformación unitaria) y el esfuerzo de fluencia a un desplazamiento de 0.2 por ciento. ¿Es dúctil o frágil el material? P P PROB. 1.3.6 Esfuerzo (MPa) Deformación unitaria 8.0 17.5 25.6 31.1 39.8 0.0032 0.0073 0.0111 0.0129 0.0163 44.0 48.2 53.9 58.1 62.0 62.1 0.0184 0.0209 0.0260 0.0331 0.0429 Fractura CAPÍTULO 1 *1.3.7 Los datos de la tabla siguiente se obtuvieron de un ensayo en tensión con acero de alta resistencia. La muestra de ensayo tenía un diámetro de 0.505 in y una longitud calibrada de 2.00 in. (Consulte la figura para el problema 1.3.3). En la fractura, el alargamiento entre las marcas de calibración fue 0.12 in y el diámetro mínimo fue 0.42 in. Trace la curva esfuerzo-deformación unitaria convencional para el acero y determine el límite proporcional, el módulo de elasticidad (es decir, la pendiente de la parte inicial de la curva esfuerzo-deformación unitaria), el esfuerzo de fluencia a un desplazamiento de 0.1 por ciento y la reducción porcentual del área. Problemas 63 ¿Cuál es la diferencia entre la longitud final de la barra y su longitud original? (Sugerencia: utilice los conceptos ilustrados en la figura 1.18b). s (ksi) 60 40 20 0 0 0.002 0.004 0.006 e Carga (lb) Alargamiento (in) 1,000 2,000 6,000 10,000 12,000 12,900 13,400 13,600 13,800 14,000 14,400 15,200 16,800 18,400 20,000 22,400 22,600 0.0002 0.0006 0.0019 0.0033 0.0039 0.0043 0.0047 0.0054 0.0063 0.0090 0.0102 0.0130 0.0230 0.0336 0.0507 0.1108 Fractura PROB. 1.4.1 1.4.2 Una barra con una longitud de 2.0 in está hecha de un acero estructural que tiene un diagrama esfuerzo-deformación unitaria como se muestra en la figura. El esfuerzo de fluencia del acero es 250 MPa y la pendiente de la parte inicial lineal de la curva esfuerzo-deformación unitaria (módulo de elasticidad) es 200 GPa. La barra se carga axialmente hasta que se alarga 6.5 mm y luego se quita la carga. ¿Cuál es la diferencia entre la longitud final de la barra y su longitud original? (Sugerencia: utilice los conceptos ilustrados en la figura 1.18b). s (MPa) 300 200 Elasticidad y plasticidad 1.4.1 Una barra de acero estructural que tiene el diagrama esfuerzo-deformación unitaria que se muestra en la figura tiene una longitud de 48 in. El esfuerzo de fluencia del acero es 42 ksi y la pendiente de la parte inicial lineal de la curva esfuerzo-deformación unitaria (módulo de elasticidad) es 30 × 103 ksi. La barra se carga axialmente hasta que se alarga 0.20 in y luego se quita la carga. 100 0 0 0.002 0.004 e PROB. 1.4.2 www.FreeLibros.com 0.006 64 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.4.3 Una barra de aluminio tiene una longitud L = 5 ft y un (c) Si se quitan las fuerzas, ¿cuál es la deformación permanente de la barra? (d) Si se aplican de nuevo las fuerzas, ¿cuál es el límite de proporcionalidad? diámetro d = 1.25 in. La curva esfuerzo-deformación unitaria para el aluminio se muestra en la figura 1.13 de la sección 1.3. La parte inicial en línea recta de la curva tiene una pendiente (módulo de elasticidad) de 10 × 106 psi. La barra está cargada por fuerzas de tensión P = 39 k y luego se descarga. (a) ¿Cuál es la deformación permanente de la barra? (b) Si la barra se vuelve a cargar, ¿cuál es el límite de proporcionalidad? (Sugerencia: utilice los conceptos ilustrados en las figuras 1.18b y 1.19.) Ley de Hooke y relación de Poisson 1.4.4 Una barra circular de una aleación de magnesio tiene 1.5.1 Una barra de acero de alta resistencia que se usa en una una longitud de 750 mm. El diagrama esfuerzo-deformación unitaria para el material se muestra en la figura. La barra se carga en tensión hasta obtener un alargamiento de 6.0 mm y luego se quita la carga. (a) ¿Cuál es la deformación permanente de la barra? (b) Si la barra se vuelve a cargar, ¿cuál es el límite de proporcionalidad? (Sugerencia: utilice los conceptos ilustrados en las figuras 1.18b y 1.19.) Al resolver los problemas de la sección 1.5, suponga que el material se comporta de manera linealmente elástica. grúa grande tiene un diámetro d = 2.00 in (consulte la figura). El acero tiene un módulo de elasticidad E = 29 × 10 6 psi y una relación de Poisson n = 0.29. Debido a requisitos de holgura, el diámetro de la barra está limitado a 2.001 in, cuando se comprime por fuerzas axiales. ¿Cuál es la carga máxima de compresión Pmáx permitida? d 200 P P s (MPa) PROB. 1.5.1 100 1.5.2 Una barra redonda de 10 mm de diámetro está hecha 0 0 0.005 e 0.010 PROBS 1.4.3 y 1.4.4 *1.4.5 Un alambre con longitud L = 4 ft y diámetro d = 0.125 in se estira mediante fuerzas de tensión P = 600 lb. El alambre está hecho de una aleación de cobre que tiene una relación esfuerzo-deformación unitaria que se puede describir matemáticamente mediante la ecuación siguiente: s 18,000e 1 300e de una aleación de aluminio 7075-T6 (consulte la figura). Cuando la barra se estira por fuerzas axiales P, su diámetro disminuye 0.016 mm. Determine la magnitud de la carga P. (Obtenga las propiedades del material del apéndice H.) d = 10 mm P P 7075-T6 0 e 0.03 (s ksi) en donde  es adimensional y s tiene unidades de kips por pulgada cuadrada (ksi). (a) Elabore un diagrama esfuerzo-deformación unitaria para el material. (b) Determine la elongación del alambre debida a las fuerzas P. PROB. 1.5.2 1.5.3 Una barra de polietileno tiene un diámetro d1 = 4.0 in, y se coloca dentro de un tubo de acero que tiene un diámetro interior d2 = 4.01 in (consulte la figura). Luego la barra de polietileno se comprime por una fuerza axial P. CAPÍTULO 1 ¿Cuál es el valor de la fuerza P que hará que se cierre el espacio entre la barra de polietileno y el tubo de acero? (Para el polietileno suponga E = 200 ksi y n = 0.4.) 50 mm P d1 d2 PROB. 1.5.3 1.5.4 Una barra prismática con una sección transversal circu- lar se somete a fuerzas de tensión P = 65 kN (consulte la figura). La barra tiene una longitud L = 1.75 m, un diámetro d = 32 mm y está hecha de una aleación de aluminio con un módulo de elasticidad E = 75 GPa y una relación de Poisson n = 1/3. Determine el incremento en la longitud de la barra y el decremento porcentual en el área de su sección transversal. d P PROB. 1.5.6 Barra de polietileno P 65 (a) ¿Cuál es el módulo de elasticidad E del bronce? (b) Si el diámetro disminuye 0.00830 mm, ¿cuál es la relación de Poisson? 10 mm Tubo de acero Problemas 1.5.7 Un tubo circular hueco de bronce ABC (consulte la figura) soporta una carga P1 = 26.5 kips que actúa en su parte superior. Una segunda carga P2 = 22.0 kpis está distribuida uniformemente alrededor de la placa de soporte en B. Los diámetros y espesores de las partes superior e inferior del tubo son dAB = 1.25 in, tAB = 0.5 in, dBC = 2.25 in y tBC = 0.375 in, respectivamente. El módulo de elasticidad es 14 000 ksi. Cuando se aplican las dos cargas, el espesor del tubo BC aumenta en 200 × 10 –6 in. (a) Determine el aumento en el diámetro interior del segmento BC del tubo. (b) Determine la relación de Poisson para el bronce. (c) Determine el aumento en el espesor de la pared del segmento AB del tubo y el aumento en el diámetro interior del segmento AB. P L P1 PROBS 1.5.4 y 1.5.5 A dAB 1.5.5 Una barra de metal monel tiene una longitud L = 9 in, un diámetro d = 0.225 in, como se muestra en la figura anterior. La barra se somete a una carga axial mediante una fuerza de tensión P. Si la barra se alarga en 0.0195 in, ¿cuál es el decremento en su diámetro d? ¿Cuál es la magnitud de la carga P? utilice los datos de la tabla H.2 del apéndice H. tAB P2 B Placa de soporte dBC tBC 1.5.6 Se lleva a cabo un ensayo de tensión en una probeta de bronce que tiene un diámetro de 10 mm utilizando una longitud calibrada de 50 mm (consulte la figura). Cuando una carga de tensión P alcanza un valor de 20 kN, la distancia entre las marcas de calibración aumenta 0.122 mm. C PROB. 1.5.7 www.FreeLibros.com 66 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante *1.5.8 Una barra de bronce con longitud de 2.25 m y sección transversal cuadrada de 90 mm por lado, se somete a una fuerza axial de tensión de 1500 kN (consulte la figura). Suponga que E = 110 GPa y n = 0.34. Determine el aumento del volumen de la barra. DiPresión distribuida sobre la mensula de ángulo Losa de piso Vigeta de piso Ménsula de ángulo 90 mm 90 mm PROB. 1.6.1 1500 kN 1500 kN 2.25 m PROB. 1.5.8 1.6.2 Los elementos de soporte de una armadura que sostie- Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante 1.6.1 Una ménsula formada con un perfil angular tiene un espesor t = 0.75 in y está unida al patín de una columna mediante dos pernos de 5/8 in de diámetro (consulte la figura). Una carga distribuida uniformemente de una viga de piso actúa sobre la cara superior de la ménsula con una presión p = 275 psi. La cara superior de la ménsula tiene una longitud L = 8 in y un ancho b = 3.0 in. Determine la presión de soporte promedio sb entre la ménsula de ángulo y los pernos, y el esfuerzo cortante promedio tprom en los pernos. (No tenga en cuenta la fricción entre la ménsula y la columna.) ne un techo están conectados a una placa de unión de 26 mm de espesor mediante un pasador con un diámetro de 22 mm, como se muestra en la figura y fotografía siguientes. Cada una de las dos placas extremas en los elementos de la armadura tiene un espesor de 14 mm. (a) Si la carga P = 80 kN, ¿cuál es el esfuerzo de soporte mayor que actúa sobre el pasador? (b) Si el esfuerzo cortante último para el pasador es 190 MPa, ¿cuál es la fuerza Púlt que se requiere para que el pasador falle en cortante? (No tenga en cuenta la fricción entre las placas.) Estructura del techo Elemento de la armadura P b P L Ménsula de ángulo PROB. 1.6.2 t Placas extremas P Pasador t = 14 mm Placa de unión 26 mm Elementos de la armadura que sostiene un techo CAPÍTULO 1 1.6.3 La plataforma superior de un estadio de futbol está so- Problemas Determine las cantidades siguientes. (a) El esfuerzo cortante promedio tprom en el pasador (b) El esfuerzo de soporte promedio entre las planchas de ala y el pasador (sbf) y entre las placas de unión y el pasador (sbg). (No tome en cuenta la fricción entre las placas.) portada por puntales que transfieren cada uno una carga P = 160 kips a la base de una columna [consulte la parte (a) de la figura]. Una placa de soporte en la parte inferior del puntal distribuye la carga P a cuatro planchas de ala (tf = 1 in) mediante un perno (dp = 2 in) a dos placas de unión (tg = 1.5 in) [consulte las partes (b) y (c) de la figura]. Placa de soporte Planchas de ala (tf = 1 in) Pasador (dp = 2 in) Placa de unión (tg = 1.5 in) (b) Detalle en la parte inferior del puntal P P = 160 k Placa de soporte (a) Puntal del estadio Pasador ( dp = 2 in) P Planchas de ala (tf = 1 in) Placa de unión (tg = 1.5 in) P/2 P/2 (c) Sección por la parte inferior del puntal PROB. 1.6.3 67 www.FreeLibros.com 68 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.6.4 La escalera inclinada AB soporta a un pintor de casas (82 kg) en C y el peso propio (q = 36 N/m) de la escalera. Cada riel de la escalera (tr = 4 mm) está soportado por una zapata (ts = 5 mm) que está sujeta al riel de la escalera mediante un perno con diámetro dp = 8 mm. (a) Encuentre las reacciones de soporte en A y B. (b) Encuentre la fuerza resultante en el perno de la zapata en A. (c) Encuentre el esfuerzo cortante máximo promedio (t) y los esfuerzos de soporte (sb) en el perno de la zapata en A. Utilice las dimensiones que se muestran en la figura. No tenga en cuenta el peso del sistema de frenado. (a) Determine el esfuerzo cortante promedio tprom en el pasador pivote donde está anclado al cuadro de la bicicleta en B. (b) Determine el esfuerzo de soporte promedio sb,prom en el pasador pivote sobre el segmento AB. Peldaño típico tr Riel de la escalera (tr = 4 mm) Perno de la zapata (dp = 8 mm) Zapata de la escalera (ts = 5 mm) ts A —y 2 A —y 2 Sección en la base T B Bx Extremo inferior del cable del freno frontal C D H=7m T 36 N/ m T Frotadores de frenado q= Perno de la zapata en A 3.25 in C HC A Ax a = 1.8 m Ay b = 0.7 m Suponga que no hay deslizamiento en A HE 1.0 in HF A PROB. 1.6.4 VF 1.6.5 La fuerza en el cable del freno del sistema de frenado en “V” que se muestra en la figura es T = 45 lb. El pasador pivote en A tiene un diámetro dp = 0.25 in y una longitud LP = 5/8 in. HB B PROB. 1.6.5 Pasadores pivote anclados al cuadro (dP) VB LP CAPÍTULO 1 1.6.6 Una placa de acero con dimensiones de 2.5 m × 1.2 m × 0.1 m se levanta mediante cables de acero con longitudes L1 = 3.2 m y L2 = 3.9 m que están sujetos a la placa mediante horquillas y pasadores (consulte la figura). Los pasadores que pasan por las horquillas tienen un diámetro de 18 mm y están separados 2.0 m. Los ángulos de orientación son u = 94.4° y a = 54.9°. Para estas condiciones, determine primero las fuerzas en el cable T1 y T2, luego determine el esfuerzo cortante promedio tprom en los pasadores 1 y 2, y después determine el esfuerzo de soporte promedio sb entre la placa de acero y cada pasador. No tome en cuenta la masa de los cables. Problemas 69 (c) Determine el esfuerzo cortante promedio tprom en la tuerca y en la placa de acero. y T1 tp T2 d 30° 2r x Cables Tuerca 30° t P Perno de ojo T3 Placa de acero L1 Horquilla y pasador 1 PROB. 1.6.7 b1 b2 u L2 a 2.0 Horquilla y pasador 2 m Centro de masa de la placa Placa de acero (2.5 × 1.2 × 0.1 m) 1.6.8 Una almohadilla de soporte elastomérico que consiste de dos placas de acero unidas a un elastómero cloropreno (un caucho artificial) se somete a una fuerza cortante V durante una prueba de carga estática (consulte la figura). Las dimensiones de la almohadilla son a = 125 mm y b = 240 mm y el elastómero tiene un espesor t = 50 mm. Cuando la fuerza V es igual a 12 kN, la placa superior se desplaza lateralmente 8.0 mm con respecto a la placa inferior. ¿Cuál es el módulo de elasticidad G en cortante del cloropreno? PROB. 1.6.6 1.6.7 Un perno de ojo para fines especiales con diámetro de su vástago d = 0.50 in pasa por un agujero en una placa de acero con espesor tp = 0.75 in (consulte la figura) y está asegurado por una tuerca con espesor t = 0.25 in. La tuerca hexagonal se apoya directamente contra la placa de acero. El radio del círculo circunscrito para el hexágono es r = 0.40 in (lo cual significa que cada lado del hexágono tiene una longitud de 0.40 in). Las fuerzas de tensión en tres cables sujetos al perno de ojo son T1 = 800 lb, T2 = 550 lb y T3 = 1241 lb. (a) Determine la fuerza resultante que actúa sobre el perno de ojo. (b) Determine el esfuerzo de soporte promedio sb entre la tuerca hexagonal en el perno de ojo y la placa. b a V t PROB. 1.6.8 www.FreeLibros.com 70 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.6.9 Una junta entre dos losas de concreto A y B se rellena con un epóxico flexible que se une con firmeza al concreto (consulte la figura). La altura de la junta es h = 4.0 in, su longitud es L = 40 in y su espesor es t = 0.5 in. Ante la acción de fuerzas cortantes V, las losas se desplazan verticalmente una distancia d = 0.002 in una respecto de la otra. (a) ¿Cuál es la deformación unitaria promedio gprom en el epóxico? (b) ¿Cuál es la magnitud de las fuerzas V si el módulo de elasticidad G en cortante para el epóxico es 140 ksi? P — 2 160 mm Placa de caucho X P P — 2 Placa de caucho X 80 mm t = 9 mm t = 9 mm Sección X-X PROB. 1.6.10 A B L h t 1.6.11 Una boya esférica de fibra de vidrio que se usa en un experimento submarino, está anclada en agua poco profunda mediante una cadena [consulte la parte (a) de la figura]. Como la boya está ubicada justo debajo de la superficie del agua, no se espera que se destruya por la presión del agua. La cadena está sujeta a la boya mediante un grillete y un pasador [consulte la parte (b) de la figura]. El diámetro del pasador es 0.5 in y el espesor del grillete es 0.25 in. La boya tiene un diámetro de 60 in y pesa 1800 lb en la tierra (no se incluye el peso de la cadena). (a) Determine el esfuerzo cortante promedio tprom en el pasador. (b) Determine el esfuerzo de soporte promedio sb entre el pasador y el grillete. d A h B V V t PROB. 1.6.9 d 1.6.10 Una conexión flexible que consiste de placas de caucho (espesor t = 9 mm) unidas a las placas de acero se muestra en la figura. Las placas tienen 160 mm de largo y 80 mm de ancho. (a) Encuentre la deformación unitaria normal gprom en el caucho si la fuerza P = 16 kN y el módulo en cortante para el caucho es G = 1250 kPa. (b) Encuentre el desplazamiento horizontal relativo d entre la placa interior y las placas exteriores. (a) CAPÍTULO 1 Problemas 71 *1.6.12 La mordaza que se muestra en la figura se utiliza para soportar una carga que cuelga del patín inferior de una viga de acero. La mordaza consiste de dos brazos (A y B) unidos por un pasador en C. El pasador tiene un diámetro d = 12 mm. Debido a que el brazo B abre el brazo A, el pasador está en cortante doble. La línea 1 en la figura define la línea de acción de la fuerza resultante horizontal H que actúa entre el patín inferior de la viga y el brazo B. La distancia vertical desde esta línea hasta el pasador es h = 250 mm. La línea 2 define la línea de acción de la fuerza vertical resultante V que actúa entre el patín y el brazo B. La distancia horizontal desde esta línea hasta la línea central de la viga es c = 100 mm. Las condiciones de la fuerza entre el brazo A y el patín inferior son simétricas con las que se dan para el brazo B. Determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador en C cuando la carga P = 18 kN. Pasador Grillete (b) PROB. 1.6.11 c Línea 2 P Brazo A Brazo B Línea 1 h Brazo A C P PROB. 1.6.12 www.FreeLibros.com 72 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante *1.6.13 Un soporte de bicicleta montado en un enganche está diseñado para cargar hasta cuatro bicicletas de 30 lb montadas y sujetas a dos brazos GH [consulte las cargas de las bicicletas en la parte (a) de la figura]. El soporte está conectado al vehículo en A y se supone que es como una viga en cantilever ABCDGH [parte (b) de la figura]. El peso del segmento fijo AB es W1 = 10 lb, centrado a 9 in de A [consulte la parte (b) de la figura] y el resto del soporte pesa W2 = 40 lb, centrado a 19 in de A. El segmento ABCDG es un tubo de acero de 2 × 2 in de espesor t = 1/8 in. El segmento BCDGH gira con respecto a un perno en B con diámetro dB = 0.25 in para permitir el acceso a la parte posterior del vehículo sin remover el soporte de enganche. Cuando el soporte se usa se asegura en una posición erecta mediante un pasador en C (diámetro del pasador dp = 5/16 in). [Consulte la fotografía y la parte (c) de la figura]. El efecto de volcamiento de las bicicletas se resiste por un par de fuerzas F ∙ h en BC. (a) Determine las reacciones de soporte en A para el soporte completamente cargado. (b) Encuentre las fuerzas en el perno en B y en el pasador en C. (c) Encuentre los esfuerzos cortantes promedio tprom en el perno en B y en el pasador en C. (d) Encuentre los esfuerzos de soporte promedio sb en el perno en B y en el pasador en C. y 4 Cargas de las bicicletas 19 in G H 27 in 3 @ 4 in W2 MA Ay 6 in D C F 2.125 in W1 Ax A h = 7 in x B F (b) Pasador en C C Cargas de las bicicletas 2.125 in. Pasadores de liberación en C y G 5 (dp = — in) 16 G D H (c) Sección a-a a 2 in C Soporte fijo en A A Tubo de 2 2 1/8 in 2 in 1 ( — in) 8 PROB. 1.6.13 D F a F B Perno en B 1 (dB = — in) 4 h = 7 in (a) **1.6.14 Una cadena de bicicleta consiste en una serie de eslabones pequeños, cada uno con 12 mm de longitud entre los centros de los pasadores (consulte la figura). Usted quiere examinar una cadena de bicicleta y analiza su construcción. Observe en en particular los pasadores, que se suponen tienen un diámetro de 2.5 mm. Para resolver este problema, ahora debe realizar dos mediciones en una bicicleta (consulte la figura): (1) la longitud L del brazo de rotación desde el eje principal hasta el eje del pedal y (2) el radio R de la estrella (la rueda dentada, algunas veces llamada anillo de cadena). (a) Utilizando sus dimensiones medidas calcule la fuerza de tensión T en la cadena debida a una fuerza F = 800 N aplicada a uno de los pedales. (b) Calcule el esfuerzo cortante promedio tprom en los pasadores. CAPÍTULO 1 Pasador Eslabones 12 mm 2.5 mm T Rueda dentada F 73 elemento AB está compuesto de dos barras [consulte la parte (b) de la figura] que tienen, cada una, un espesor tAB/2 = 10 mm y una longitud L = 3 m. El apoyo de rodillo en B está compuesto de dos placas de soporte que tienen, cada una, un espesor tsp/2 = 12 mm. (a) Determine las reacciones de soporte en los nodos A y B, y las fuerzas en los elementos AB, BC y AC. (b) Calcule el esfuerzo cortante promedio mayor tp,máx en el pasador en el nodo B, ignore la fricción entre los elementos; consulte las partes (b) y (c) de la figura donde se muestran las vistas en corte del nodo. (c) Calcule el esfuerzo de apoyo promedio mayor sb,máx que actúa contra el pasador en el nodo B. R P = 490 kN Cadena L Problemas P C a PROB. 1.6.14 muestra en la figura se utiliza para soportar un instrumento delicado. El soporte consiste en un tubo exterior de acero con diámetro interior b, una barra central de acero con diámetro d que soporta la carga P y un cilindro hueco de caucho (altura h) unido al tubo y a la barra. (a) Obtenga un fórmula para el esfuerzo cortante t en el caucho a una distancia radial r desde el centro del montaje antivibratorio. (b) Obtenga una fórmula para el desplazamiento d hacia abajo de la barra central debido a la carga P, suponga que G es el módulo de elasticidad en cortante del caucho y que el tubo de acero y la barra son rígidos. Ax h b B P a FBC at 45° Elemento AB Elemento BC Placa de soporte Pasador By — 2 By — 2 (b) Corte a-a en el nodo B (vista en elevación) Elemento AB tAB (2 barras, cada una — ) 2 FAB ––– 2 Pasador FBC FAB ––– 2 Placa de soporte tsp (2 barras, cada una —) 2 b P — 2 PROB. 1.6.15 1.6.16 La armadura plana de acero en la figura está sometida a tres fuerzas P, cada una de 490 kN. Cada uno de los elementos de la armadura tiene un área de sección transversal de 3900 mm2 y están conectados mediante pasadores que tienen un diámetro dp = 18 mm. Cada uno de los elementos AC y BC consiste de una barra con espesor tAC = tBC = 19 mm. El 45° (a) Barra de acero Caucho L=3m Ay r d 45° Placa de soporte B y pasador y Tubo de acero P b A **1.6.15 Un montaje antivibratorio construido como se P — 2 Carga P en el nodo B aplicada a las dos placas de soporte (c) Corte b-b en el nodo B (vista en planta) PROB. 1.6.16 www.FreeLibros.com 74 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.6.17 Una boquilla rociadora para una manguera de jardín requiere una fuerza F = 5 lb para abrir la cámara de rocío accionada por el resorte AB. El agarre de la boquilla gira con respecto a un pasador que pasa a través de una brida en O. Cada una de las dos bridas tiene un espesor t = 1/16 in y el pasador tiene un diámetro dp = 1/8 in [consulte la parte (a) de la figura]. La boquilla de rocío está conectada a la manguera con un aditamento de desconexión rápida en B [consulte la parte (b) de la figura]. Tres bolas de latón (diámetro db = 3/16 in) mantienen en posición la cabeza rociadora ante la fuerza de presión del agua fp = 30 lb en C [consulte la parte (c) de la figura]. Use las dimensiones dadas en la parte (a) de la figura. (a) Encuentre la fuerza en el pasador en O debida a la fuerza aplicada F. (b) Encuentre el esfuerzo cortante promedio tprom y el esfuerzo de soporte sb en el pasador en O. Pasador t 1.6.18 Un puntal de acero AB con diámetro ds = 8 mm y masa de 20 kg, soporta la cubierta del motor de un vehículo que gira con respecto a las bisagras en C y D (consulte las figuras (a) y (b)). El extremo del puntal está doblado en forma de aro por donde pasa un perno en A con diámetro db = 10 mm. El puntal AB se encuentra en un plano vertical. (a) Determine la fuerza del puntal Fs y el esfuerzo normal promedio s en el puntal. (b) Determine el esfuerzo de soporte promedio tprom en el perno en A. (c) Determine el esfuerzo de soporte promedio sb en el perno en A. Brida dp Pasador en O A (c) Encuentre el esfuerzo cortante promedio tprom en las bolas de retención de latón en C debido a la fuerza de presión del agua fp. F Vista superior en O B O a = 0.75 in Boquilla de rocío Brida F b = 1.5 in F F 15° c = 1.75 in F Agarre de la rociadora Fuerza de presión del agua en la boquilla, fp C (b) C Aditamientos de desconexión rápida Manguera de jardín (c) (a) PROB. 1.6-17 3 bolas de latón a 120°, 3 diámetro db = — in 16 CAPÍTULO 1 y 75 B h = 660 mm Soga, tensión = T W hc = 490 mm a T C B Problemas Muelle de retorno débil y 2T x C 45° x A 30° Collarín Hoja de corte D Hoja del serrucho D a C P (a) Parte superior del serrucho de pértiga (a) C Bisagra W Fs D z Puntal ds = 8 mm 2T 20° B 50° BC = 6 in Cy H = 1041 mm h = 660 mm T b = 254 mm c = 506 mm y a = 760 mm d = 150 mm B C Capó DC 70° C D = 1 in P Cx 20° 20° 70° A (b) Diagrama de cuerpo libre (b) PROB. 1.6.18 B 1.6.19 La parte superior de un serrucho de pértiga empleado para recortar ramas pequeñas de árboles se muestra en la parte (a) de la figura. La hoja de corte BCD [consulte las partes (a) y (b) de la figura] aplica una fuerza P en el punto D. No tenga en cuenta el efecto del muelle de retorno débil conectado a la hoja de corte debajo de B. Use las propiedades y las dimensiones dadas en la figura. (a) Encuentre la fuerza P sobre la hoja de corte en D si la fuerza de tensión en la cuerda es T = 25 lb (consulte el diagrama de cuerpo libre en la parte (b)). (b) Encuentre la fuerza en el pasador de soporte en C. (c) Encuentre el esfuerzo cortante promedio tprom y el esfuerzo de soporte sb en el pasador de soporte en C [consulte la sección a-a de la hoja de corte en la parte (c) de la figura]. x 6 in Hoja de corte 3 (tb = — in) 32 Collarín 3 (tc = — in) 8 C 1 in D Pasador en C 1 (dp = — in) 8 (c) Corte a–a PROB. 1.6.19 www.FreeLibros.com 76 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante Esfuerzos permisibles 1.7.3 Un amarre en la cubierta de un bote de vela consiste de 1.7.1 Una barra sólida con sección transversal circular está una barra doblada conectada por pernos en sus dos extremos, como se muestra en la figura. El diámetro dB de la barra es 1/4 in, el diámetro dW de las arandelas es 7/8 in y el espesor t de la cubierta de fibra de vidrio es 3/8 in. cargada en tensión por fuerzas P (consulte la figura). La barra tiene una longitud L = 16.0 in y un diámetro d = 0.50 in. El material es una aleación de magnesio que tiene un módulo de elasticidad E = 6.4 × 106 psi. El esfuerzo permisible en tensión es sperm = 17,000 psi y la elongación de la barra no debe rebasar 0.04 in. ¿Cuál es el valor permisible de las fuerzas P? Si el esfuerzo cortante permisible en la fibra de vidrio es 300 psi y la presión de soporte permisible entre la arandela y la fibra de vidrio es 550 psi, ¿cuál es la carga permisible P perm en el amarre? d P P P L PROB. 1.7.1 1.7.2 Un par de torsión T0 se transmite entre dos ejes que contienen bridas mediante diez pernos de 20 mm (consulte la figura y la fotografía). Si el esfuerzo cortante permisible en los pernos es 85 MPa, ¿cuál es el par de torsión permisible máximo? (No tome en cuenta la fricción en las bridas.) dB dB t dW dW PROB. 1.7.3 T0 d T0 1.7.4 Dos tubos de acero unidos en B mediante cuatro pasa- T0 Acoplamiento de un eje de impulsión en un motor de un barco PROB. 1.7.2 dores (dp = 11 mm), como se muestra en la sección transversal a-a en la figura. Los diámetros exteriores de los tubos son dAB = 40 mm y dBC = 28 mm. Los espesores de las paredes son tAB = 6 mm y tBC = 7 mm. El esfuerzo de esfuerzo de fluencia en tensión para el acero es sY = 200 MPa y el esfuerzo último en tensión es sU = 340 MPa. Los valores correspondientes de esfuerzo de fluencia y último en cortante para el pasador son 80 MPa y 140 MPa, respectivamente. Por último, los valores de esfuerzo de fluencia y último en soporte entre los pasadores y los tubos son 260 MPa y 450 MPa, respectivamente. Suponga que los factores de seguridad con respecto al esfuerzo de fluencia y al esfuerzo último son 4 y 5, respectivamente. (a) Calcule la fuerza de tensión permisible Pperm considerando la tensión en los tubos. (b) Vuelva a calcular Pperm para cortante en los pasadores. (c) Por último, vuelva a calcular Pperm para soporte entre los pasadores y los tubos. ¿Cuál es el valor de control de P? CAPÍTULO 1 dAB A tBC B (a) de la figura] está soportada por dos bisagras en B1 y B2, y por dos puntales A1B1 y A2B2 (diámetro ds = 10 mm) como se muestra en la parte (b) de la figura. Los puntales están soportados en A1 y A2 por pasadores con diámetro dp = 9 mm y que pasan por un ojal con espesor t = 8 mm en el extremo del puntal [consulte la parte (b) de la figura]. Si se aplica una fuerza de cierre P = 50 N en G y la masa de la puerta Mh = 43 kg está concentrada en C: (a) ¿Cuál es la fuerza F en cada puntal? [Utilice el diagrama de cuerpo libre de la mitad de la puerta en la parte (c) de la figura]. (b) ¿Cuál es la fuerza máxima permisible en el puntal, Fperm, si los esfuerzos permisibles son como sigue: esfuerzo de compresión en el puntal, 70 MPa; esfuerzo cortante en el pasador, 45 MPa y esfuerzo de soporte entre el pasador y el extremo del puntal, 110 MPa. dBC C P a tAB 77 1.7.6 La puerta trasera de una camioneta [BDCF en la parte a Pasador tAB Problemas dp tBC dAB dBC F B2 B1 C Mh Sección a–a D Parte inferior del puntal G F P PROB. 1.7.4 ds = 10 mm A1 A2 Ojal 1.7.5 Una plataforma de acero que soporta maquinaria pesada se apoya sobre cuatro tubos cortos, huecos, de fundición gris (consulte la figura). La resistencia última del hierro colado en compresión es 50 ksi. El diámetro exterior de los tubos es d = 4.5 in y su espesor de pared es t = 0.40 in. Utilice un factor de seguridad de 3.5 con respecto a la resistencia última, para determinar la carga total P que puede soportar la plataforma. t = 8 mm (b) (a) 127 mm 505 mm 505 mm 75 mm Bx B G C D 710 mm Mh — 2 g By 10° 460 mm t Soporte del pasador A F d PROB. 1.7.5 (c) PROB. 1.7.6 www.FreeLibros.com P — 2 78 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.7.7 Un bote salvavidas cuelga de dos pescantes, como se muestra en la figura. Un pasador con diámetro d = 0.80 in pasa por cada pescante y soporta dos poleas, una a cada lado del pescante. Los cables sujetos al bote pasan sobre poleas y se enrrollan en malacates que suben y bajan el bote. Las partes inferiores de los cables están en posición vertical y las partes superiores forman un ángulo a = 15° con la horizontal. La fuerza de tensión permisible en cada cable es 1800 lb y el esfuerzo cortante permisible en los pasadores es 4000 psi. Si el bote pesa 1500 lb, ¿cuál es el peso máximo que se debe llevar en el bote? (b) ¿Cuál es el peso W máximo que se puede agregar a la jaula en B con base en los esfuerzos permisibles siguientes? El esfuerzo cortante en los pasadores es 50 MPa; el esfuerzo de soporte entre el pasador y la polea es 110 MPa. a dpA = 25 mm L1 C A Cable a T T Jaula L2 a = 15° dpC = 22 mm Polea Pasador B dpB = 30 mm Cable Jaula W (a) Cable PROB. 1.7.7 Polea t dpB tB Pasador dp Ménsula de soporte 1.7.8 El sistema de cables y poleas que se muestra en la parte (a) de la figura soporta una jaula con una masa de 300 kg en B. Suponga que esto también incluye la masa de los cables. El espesor de cada una de las tres poleas de acero es t = 40 mm. Los diámetros de los pasadores son dpA = 25 mm, dpB = 30 mm y dpC = 22 mm [consulte las partes (a) y (b) de la figura]. (a) Deduzca expresiones para las fuerzas resultantes que actúan sobre las poleas en A, B y C en términos de la tensión T en el cable. Jaula en B Corte a-a: detalle del soporte de la polea en A y C Corte a-a: detalle del soporte de la polea en B (b) PROB. 1.7.8 CAPÍTULO 1 Problemas 79 1.7.9 La berlinga de un barco está conectada a la base de un P y 15 38 mm 90° Rx 10° mm 50° x Rx 140° b= mástil mediante una conexión con pasador (consulte la figura). La berlinga es un tubo de acero con un diámetro exterior d2 = 3.5 in y un diámetro interior d1 = 2.8 in. El pasador de acero tiene un diámetro d = 1 in y las dos placas que conectan a la berlinga al pasador tienen un espesor t = 0.5 in. Los esfuerzos permisibles son los siguientes: esfuerzo de compresión en la berlinga, 10 ksi; esfuerzo cortante en el pasador, 6.5 ksi y esfuerzo de soporte entre el pasador y las placas de conexión, 16 ksi. Determine la fuerza de compresión permisible Pperm en la berlinga. 90° P C m Pasador C 125 m a 50 mm PROB. 1.7.10 Mástil Pasador P Berlinga Placa de conexión 1.7.11 Una barra metálica AB con peso W está suspendida por un sistema de alambres de acero dispuestos como se muestra en la figura. El diámetro de los alambres es 5/64 in y el esfuerzo de fluencia del acero es 65 ksi. Determine el peso máximo permisible Wmáx para tener un factor de seguridad de 1.9 con respecto a la fluencia. 2.0 ft PROB. 1.7.9 2.0 ft 7.0 ft 5.0 ft 1.7.10 ¿Cuál es el valor máximo posible de la fuerza de sujeción C en las quijadas de las pinzas que se muestran en la figura si el esfuerzo cortante último en el pasador con diámetro de 5 mm es 340 MPa? ¿Cuál es el valor máximo permisible de la carga aplicada P si se debe mantener un factor de seguridad de 3.0 con respecto a la falla del pasador? 5.0 ft W A PROB. 1.7.11 www.FreeLibros.com B 80 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.7.12 Una armadura plana se somete a cargas 2P y P en los nodos B y C, respectivamente, como se muestra en la parte (a) de la figura. Las barras de la armadura están hechas de dos ángulos L102 × 76 × 6.4 [consulte la tabla E-5(b): área de la sección transversal de los dos ángulos, A = 2180 mm2 y la parte (b) de la figura] que tienen un esfuerzo último en tensión igual a 390 MPa. Los ángulos están conectados a una placa de unión de 12 mm de espesor en C [consulte la parte (c) de la figura] con remaches de 16 mm diámetro; suponga que cada remache transfiere una parte igual de la fuerza del elemento a la placa de unión. Los esfuerzos últimos en cortante y de soporte para el acero de los remaches es 190 MPa y 550 MPa, respectivamente. Determine la carga permisible Pperm si se desea tener un factor de seguridad de 2.5 con respecto a la carga última que se pueda soportar. (Considere tensión en las barras, cortante en los remaches y soporte entre los remaches y las barras, y también soporte entre los remaches y la placa de unión. No tome en cuenta la fricción entre las placas y el peso de la propia armadura.) 1.7.13 Una barra sólida con sección transversal circular (diámetro d) tiene un agujero con un diámetro d/5 que pasa lateralmente por el centro de la barra (consulte la figura). El esfuerzo de tensión promedio permisible sobre la sección transversal neta de la barra es sperm. (a) Obtenga una fórmula para la carga permisible Pperm si la barra está hecha de latón, tiene un diámetro d = 1.75 in y sperm = 12 ksi. (Sugerencia: utilice las fórmulas del caso 15 del apéndice D.) d d/5 P d PROB. 1.7.13 Barras de la armadura F a a A B a C a a a D Placa de unión Remache C P 2P FBC FCD (a) P (c) Placa de unión 6.4 mm 12 mm Remache (b) Corte a-a PROB. 1.7.12 FCG FCF G d/5 P CAPÍTULO 1 1.7.14 Una barra sólida de acero con diámetro d1 = 60 mm tiene un agujero longitudinal con diámetro d2 = 32 mm (consulte la figura). Un pasador de acero con diámetro d2 pasa por el agujero y está sujeto a dos soportes. Determine la carga de tensión máxima permisible Pperm en la barra si el esfuerzo de fluencia para cortante en el pasador es tY = 120 MPa, el esfuerzo de fluencia para tensión en la barra es sY = 250 MPa y se requiere un factor de seguridad de 2.0 con respecto a la fluencia. (Sugerencia: utilice las fórmulas para el caso 15 del apéndice D.) Anuncio (Lv Resultante de la presión del viento F C A F en cada 4 perno d1 d1 h Momento y de volcamiento con respecto B al eje x FH x W en cada 4 perno (a) P db dw FH — = Rh 2 La mitad del momento de volcamiento con respecto al eje x actúa sobre cada par de pernos Placa B base (tbp) W Tubo de la columna z A y 1.7.15 Un anuncio con peso W está soportado en su base por Cimiento F/4 Tensión h R R Compresión (b) z FH — 2 b= 1 D FH 2 2 in in R W 4 F 4 R (c) PROB. 1.7.15 www.FreeLibros.com W 4 x A F 4 R y B h 4 =1 C cuatro pernos anclados en un cimiento de concreto. La presión del viento p actúa normal a la superficie del anuncio; la resultante de la presión uniforme del viento es la fuerza F en el centro de presión. La fuerza del viento se supone que desarrolla fuerzas cortantes iguales F/4 en la dirección y en cada perno [consulte las partes (a) y (c) de la figura]. El efecto de volcamiento de la fuerza del viento también ocasiona una fuerza de elevación R en los pernos A y C y una fuerza hacia abajo (–R) en los pernos B y D [consulte la parte (b) de la figura]. Los efectos resultantes del viento y los esfuerzos últimos derivados para cada condición de esfuerzo, son: esfuerzo normal en cada perno (su = 60 ksi), cortante a través de la placa base (tu = 17 ksi); cortante horizontal y de soporte en cada perno (thu = 25 ksi y sbu = 75 ksi) y soporte en la parte inferior de la arandela en B (o D) (sbw = 50 ksi). Determine la presión máxima del viento pmáx (lb/ft2) que puede soportar el sistema de soporte con perno para el anuncio si se desea un factor de seguridad de 2.5 con respecto a la carga última del viento que se puede soportar. Utilice los datos numéricos siguientes: perno db = ¾ in; arandela dw = 1.5 in; placa base tbp = 1 in; dimensiones de la placa base h = 14 in y b = 12 in; W = 500 lb; H = 17 ft; dimensiones del anuncio (Lv = 10 ft × Lh = 12 ft; diámetro del tubo de la columna d = 6 in y espesor del tubo de la columna t = 3/8 in. Lv z b 2 D PROB. 1.7.14 Lh) W Tubo de la columna d2 81 Lh 2 C.P. H Problemas W 4 82 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.7.16 El émbolo en un motor está conectado a una biela AB, que a su vez está conectada a un cigüeñal BC (consulte la figura). El pistón se desliza sin fricción en un cilindro y se somete a una fuerza P (supuesta constante) mientras se mueve a la derecha en la figura. La biela, que tiene un diámetro d y una longitud L, está conectada en los extremos por pernos. El cigüeñal gira con respecto al eje C con el pasador en B moviéndose en un círculo con radio R. El eje en C, que está soportado por cojinetes, ejerce un momento resistente M contra el cigüeñal. (a) Obtenga una fórmula para la fuerza máxima permisible Pperm con base en un esfuerzo de compresión permisible sc en la biela. (b) Calcule la fuerza Pperm permisible con los datos siguientes: sc = 160 MPa, d = 9.00 mm y R = 0.28L. Cilindro Biela Pistón A P M d d/10 d (c) PROB. 1.8.1 1.8.2 Un tubo de aleación de cobre que tiene un esfuerzo de fluencia sY = 290 MPa soportará una carga axial de tensión P = 1500 kN [consulte la parte (a) de la figura]. Se utilizará un factor de seguridad de 1.8 contra la fluencia. (a) Si el espesor t del tubo debe ser de un octavo de su diámetro exterior, ¿cuál es el diámetro dmín exterior mínimo requerido? (b) Repita el inciso (a) si el tubo tiene un agujero con un diámetro de d/10 por toda su longitud, como se muestra en la figura [inciso (b)]. C B d t =— 8 P R L PROB. 1.7.16 d Diseño para cargas axiales y cortante directo 1.8.1 Se requiere que un tubo de aluminio transmita una (a) fuerza axial de tensión P = 33 k [consulte la parte (a) de la figura]. El espesor de la pared del tubo será de 0.25 in. (a) ¿Cuál es el diámetro exterior mínimo requerido dmín si el esfuerzo de tensión permisible es 12,000 psi? (b) Repita el inciso (a) si el tubo tiene un agujero con un diámetro d/10 a la mitad de su longitud [consulte las partes (b) y (c) de la figura]. P Agujero con diámetro d/10 d t =— 8 d d P P (b) (a) PROB. 1.8.2 1.8.3 Una viga horizontal AB con dimensiones de su sección Agujero con diámetro d/10 d P (b) transversal [b = 0.75 in] × (h = 8.0 in) está soportada por un puntal inclinado CD y soporta una carga P = 2700 lb en B [consulte la parte (a) de la figura]. El puntal, que consiste de dos barras cada una con un espesor 5b/8, está conectado a la viga por un perno que pasa por las tres barras que se unen en C [consulte la parte (b) de la figura]. CAPÍTULO 1 (a) Si el esfuerzo cortante permisible en el perno es 13,000 psi, ¿cuál es el diámetro mínimo necesario dmín del perno en C? (b) Si el esfuerzo de soporte permisible en el perno es 19,000 psi, ¿cuál es el diámetro mínimo necesario dmín del perno en C? 83 Placa de unión tc tg dmín Ho rq uil la d 4 ft Problemas 5 ft B C A 3 ft F P (b) D PROB. 1.8.4 1.8.5 Las fuerzas P1 = 1500 lb y P2 = 2500 lb se aplican en (a) b Viga AB (b h — 2 h) Perno (dmín) h — 2 5b — 8 el nodo C de la armadura plana ABC que se muestra en la parte (a) de la figura. El elemento AC tiene un espesor tAC = 5/16 in y el elemento AB está compuesto de dos barras, cada una con espesor tAB/2 = 3/16 in [consulte la parte (b) de la figura]. No tome en cuenta el efecto de las dos placas que forman el soporte del pasador en A. Si el esfuerzo cortante permisible en el pasador es 12,000 psi y el esfuerzo de soporte permisible en el pasador es 20,000 psi, ¿cuál es el diámetro mínimo necesario dmín del pasador? P2 Puntal CD C (b) P1 PROB. 1.8.3 L 1.8.4 En la parte (a) de la figura se muestra el arriostramiento A lateral para un corredor peatonal. El espesor de la placa de la horquilla es tc = 16 mm y el espesor de la placa de unión es tg = 20 mm [consulte la parte (b) de la figura]. La fuerza máxima en el arriostramiento diagonal se espera que sea F = 190 kN. Si el esfuerzo cortante permisible en el pasador es de 90 MPa y el esfuerzo de soporte permisible entre el pasador y las placas de la horquilla y de unión es 150 MPa, ¿cuál es el diámetro mínimo necesario dmín del pasador? a B L a Ax (a) tAC Placas de soporte del pasador Horquilla Placa de unión Pasador AC tAB — 2 AB Pasador A Ay — 2 Ay — 2 Corte a–a Tirante en diagonal (a) By Ay (b) PROB. 1.8.5 www.FreeLibros.com 84 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.8.6 Una péndola en un puente suspendido consiste en un cable que pasa sobre el cable principal (consulte la figura) y soporta la calzada del puente, que se encuentra muy abajo. La péndola se mantiene en su posición mediante un amarre metálico el cual se evita que se deslice hacia abajo por abrazaderas alrededor del cable suspendido. Sea P la carga en cada parte del cable suspendido y u el ángulo del cable suspendido justo arriba del amarre. Por último, sea sperm el esfuerzo de tensión permisible en el amarre metálico. (a) Obtenga una fórmula para el área de la sección transversal mínima necesaria del amarre. (b) Calcule el área mínima si P = 130 kN, u = 75° y sperm = 80 MPa. do por los cables en los puntos A y B. La sección transversal es un cuadrado hueco con dimensión interna b1 = 8.5 in y dimensión externa b2 = 10.0 in. El esfuerzo cortante permisible en el pasador es 8700 psi y el esfuerzo de soporte permisible entre el pasador y el tubo es 13,000 psi. Determine el diámetro mínimo del pasador a fin de soportar el peso del tubo. (Nota: no tenga en cuenta las esquinas redondeadas del tubo cuando calcule su peso). d A Cable principal Tubo cuadrado Péndola Collarín u L Tubo cuadrado Pasador d b2 u B A B b1 b2 Amarre Abrazadora PROB. 1.8.7 P P PROB. 1.8.6 1.8.7 Un tubo cuadrado de acero con longitud L = 20 ft y ancho b2 = 10.0 in se eleva por una grúa (consulte la figura). El tubo cuelga de un pasador con diámetro d que está sosteni- 1.8.8 Un sistema de cable y polea en D se utiliza para poner en posición vertical un poste (ACB) de 230 kg, como se muestra en la parte (a) de la figura. El cable tiene una fuerza de tensión T y está conectado en C. La longitud L del poste es 6.0 m, su diámetro exterior es d = 140 mm y el espesor de su pared es t = 12 mm. El poste gira con respecto a un pasador en A como se muestra en la parte (b) de la figura. El esfuerzo cortante permisible en el pasador es 60 MPa y el esfuerzo de soporte permisible es 90 MPa. Encuentre el diámetro mínimo del pasador en A para soportar el peso del poste en la posición que se muestra en la parte (a) de la figura. CAPÍTULO 1 B 1.0 m Problemas 85 Placa de cubierta Poste C Cable 30° Perno de acero Polea 5.0 m a p Cilindro T A D 4.0 m a D (a) PROB. 1.8.9 d ACB Placas de soporte del pasador A Pasador Ay — 2 Ay — 2 1.8.10 Un poste tubular con diámetro exterior d2 está sujeto mediante dos cables dispuestos con tensores de tornillo (consulte la figura). Los cables se estiran girando los tensores de tornillo, produciendo así tensión en los cables y compresión en el poste. Los dos cables se tensan con una fuerza de 110 kN. El ángulo entre los cables y el suelo es 60° y el esfuerzo de compresión permisible en el poste es sc = 35 MPa. Si el espesor de la pared del poste es 15 mm, ¿cuál es el valor mínimo permisible del diámetro exterior d2? (b) PROB. 1.8.8 Cable Tensión de tornillo 1.8.9 Un cilindro circular presurizado tiene una placa de cubierta sujetada con pernos de acero (consulte la figura). La presión p del gas en el cilindro es 290 psi, el diámetro interior D del cilindro es 10.0 in y el diámetro dB del perno es 0.50 in. Si el esfuerzo de tensión permisible en los pernos es 10,000 psi, encuentre el número n de pernos necesarios para sujetar la cubierta. d2 60° PROB. 1.8.10 www.FreeLibros.com Poste 60° 86 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante 1.8.11 Una panel de concreto precolado grande para un depósito se eleva hasta la posición vertical empleando dos juegos de cables en dos líneas de izado, como se muestra en la parte (a) de la figura. El cable 1 tiene una longitud L1 = 22 ft y las distancias a lo largo del panel [consulte la parte (b) de la figura] son a = L1/2 y b = L1/4. Los cables están sujetos en los puntos de izado B y D y el panel se gira con respecto a su base en A. Sin embargo, como el peor de los casos, suponga que el panel se iza momentáneamente arriba del suelo y, por tanto, su peso total debe ser soportado por los cables. Suponiendo que las fuerzas de izado del cable F en cada línea de izado son casi iguales, utilice el modelo simplificado de una mitad del panel de la parte (b) de la figura para realizar su análisis para la posición de izado que se muestra. El peso total del panel es W = 85 kips. La orientación del panel se define por los ángulos siguientes: g = 20° y u = 10°. Determine el área de la sección transversal necesaria AC del cable si su esfuerzo a la ruptura es 91 ksi y se desea un factor de seguridad de 4.0 con respecto a la falla. 1.8.12 Una columna de acero de sección circular hueca se soporta sobre una placa de base circular y un pedestal de concreto (consulte la figura). La columna tiene un diámetro exterior d = 250 mm y soporta una carga P = 750 kN. (a) Si el esfuerzo permisible en la columna es 55 MPa, ¿cuál es el espesor mínimo necesario t? Con base en su resultado, seleccione un espesor para la columna. (Elija un espesor que sea un entero par, tal como 10, 12, 14,..., en unidades de milímetros). (b) Si el esfuerzo de soporte permisible sobre el pedestal de concreto es 11.5 MPa, ¿cuál es el diámetro mínimo necesario D de la placa de base si se diseña para la carga permisible Pperm que la columna con el espesor seleccionado puede soportar? d P Columna P Placa base t D (a) F PROB. 1.8.12 H T2 b2 T1 a b1 y b — 2 B g u a C W — 2 D b g b A (b) PROB. 1.8.11 x 1.8.13 Una pista elevada para trotar está soportada en intervalos mediante una viga de madera AB (L = 7.5 ft) que está articulada en A y soportada por una barra de acero BC y una arandela de acero en B. Tanto la barra (dBC = 3/16 in) como la arandela (dB = 1.0 in) se diseñaron utilizando una fuerza de tensión en la barra de TBC = 425 lb. La barra se dimensionó empleando un factor de seguridad de 3 contra el alcance del esfuerzo último su = 60 ksi. Se utilizó un esfuerzo de soporte permisible sba = 565 psi para dimensionar el tamaño de la arandela en B. Ahora, se suspenderá una plataforma pequeña HF debajo de una sección de la pista elevada para soportar equipo mecánico y eléctrico. La carga del equipo consiste en una carga uniforme q = 50 lb/ft y una carga concentrada WE = 175 lb a la mitad del claro de la viga HF. El plan es hacer un agujero por la viga AB en D e instalar la misma barra (dBC) y arandela (dB) tanto en D como en F para soportar la viga HF. (a) Use su y sba para verificar el diseño propuesto para la barra DF y la arandela dF; ¿son aceptables los tamaños de la barra y de la arandela? CAPÍTULO 1 (b) También vuelva a verificar el esfuerzo normal de tensión en la barra BC y el esfuerzo de soporte en B; si cualquiera es inadecuado ante la carga adicional de la plataforma HF, rediséñelos para que cumplan el criterio original de diseño. d Problemas P b t Estructura original C Barra de acero, 3 dBC = — in 16 TBC = 425 lb L — 25 Viga de madera soportando la pista D B Arandela dB = 1.0 in 3 Nueva barra de acero dDF = — in 16 WE = 175 lb q = 50 lb/ft L — 25 Nueva viga para soportar el equipo H L — 2 Hx L — 2 P PROB. 1.8.14 L = 7.5 ft A 87 F Arandela, dF (igual a D arriba) Hy **1.8.15 Dos barras AB y BC hechas del mismo material soportan una carga vertical P (consulte la figura). La longitud L de la barra horizontal es fija, pero el ángulo u puede variar moviendo el soporte A verticalmente y cambiando la longitud de la barra AC para que corresponda a la nueva posición del soporte A. Los esfuerzos permisibles en las barras son los mismos en tensión y compresión. Podemos observar que cuando se reduce el ángulo u, la barra AC se acorta pero las áreas de las secciones transversales de las dos barras aumentan (debido a que las fuerzas axiales son mayores). Se tienen efectos opuestos si se aumenta el ángulo u. Por tanto, observamos que el peso de la estructura (que es proporcional al volumen) depende del ángulo u. Determine el ángulo u de manera que la estructura tenga un peso mínimo sin exceder los esfuerzos permisibles en las barras. (Nota: los pesos de las barras son muy pequeños comparados con la fuerza P y se pueden ignorar). PROB. 1.8.13 A *1.8.14 Una barra plana con ancho b = 60 mm y espesor t = 10 mm está cargada en tensión por una fuerza P (consulte la figura). La barra está sujeta a un soporte por un pasador con diámetro d que pasa por un agujero con el mismo tamaño de la barra. El esfuerzo de tensión permisible sobre la sección transversal neta de la barra es sT = 140 MPa, el esfuerzo cortante permisible en el pasador es tS = 80 MPa y el esfuerzo de soporte permisible entre el pasador y la barra es sB = 200 MPa. (a) Determine el diámetro del pasador dm para el cual la carga P será máxima. (b) Determine el valor correspondiente Pmáx de la carga. θ B C L P PROB. 1.8.15 www.FreeLibros.com 88    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Un equipo de perforación petrolera se compone de elementos cargados axialmente que se deben diseñar para una variedad de condiciones de carga, incluidos el peso, el impacto y los efectos de la temperatura. secCiÓn 1.1 Introducción a la mecánica de materiales    89 2 Elementos cargados axialmente ASPECTOS GENERALES DEL CAPÍTULO En este capítulo se describirán otros aspectos de elementos cargados axialmente, comenzamos con la determinación de los cambios de longitud causados por cargas (secciones 2.2 y 2.3). El cálculo de los cambios de longitud es una parte esencial en el análisis de las estructuras estáticamente indeterminadas, un tema que se introduce en la sección 2.4. Si el elemento está estáticamente indeterminado, debemos aumentar las ecuaciones del equilibrio estático con ecuaciones compatibles (que se basan en relaciones fuerza-desplazamiento) para resolver cualquier incógnita de interés, como reacciones de apoyo o fuerzas internas axiales en elementos. Los cambios de longitud también se deben calcular cuando sea necesario controlar los desplazamientos de una estructura, ya sea por razones estéticas o bien funcionales. En la sección 2.5 analizaremos los efectos de la temperatura sobre la longitud de una barra y presentaremos los conceptos de esfuerzo térmico y deformación unitaria térmica. En esta sección también se incluye un análisis de los efectos de desajustes y deformaciones previas. En la sección 2.6 se presentará una visión generalizada de los esfuerzos en barras cargadas axialmente, donde analizamos los esfuerzos sobre secciones inclinadas (a diferencia de las secciones transversales) de barras. Si bien sólo los esfuerzos normales actúan sobre secciones transversales de barras cargadas axialmente, los esfuerzos normales y cortantes actúan sobre secciones inclinadas. Los esfuerzos sobre secciones inclinadas de elementos cargados axialmente se investigan como un primer paso hacia una consideración más completa del esfuerzo plano en capítulos posteriores. Luego introducimos varios temas adicionales de importancia en mecánica de materiales, que son: energía de deformación (sección 2.7), carga de impacto (sección 2.8), fatiga (sección 2.9), concentraciones de esfuerzo (sección 2.10) y comportamiento no lineal (secciones 2.11 y 2.12). Aunque estos temas se analizan en el contexto de elementos con cargas axiales, su descripción proporciona la base para aplicar los mismos conceptos a otros elementos estructurales, como barras en torsión y vigas en flexión. www.FreeLibros.com 89 90    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente El capítulo 2 está organizado como sigue: 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 *2.8 *2.9 *2.10 *2.11 *2.12 Introducción 91 Cambios de longitud de elementos cargados axialmente 91 Cambios de longitud en condiciones no uniformes 100 Estructuras estáticamente indeterminadas 107 Efectos térmicos, desajustes y deformaciones previas 116 Esfuerzos sobre secciones inclinadas 128 Energía de deformación 140 Carga de impacto 153 Carga repetida y fatiga 162 Concentraciones de esfuerzos 164 Comportamiento no lineal 170 Análisis elastoplástico 175 Resumen y repaso del capítulo 181 Problemas 182 * Temas especiales y/o avanzados secciÓn 2.2 Cambios de longitud de elementos cargados axialmente    91 2.1 INTRODUCCIÓN Los componentes estructurales sometidos sólo a tensión o compresión se conocen como elementos cargados axialmente. Las barras sólidas con ejes longitudinales rectos son el tipo más común, aunque los cables y resortes helicoidales también soportan cargas axiales. Ejemplos de barras cargadas axialmente son los elementos de armaduras, bielas de motores, rayos de ruedas de bicicleta, columnas de edificios y puntales en soportes de motores en aeronaves. El comportamiento esfuerzo-deformación unitaria de esos elementos se analizó en el capítulo 1, donde también obtuvimos ecuaciones para los esfuerzos que actúan sobre secciones transversales (s = P/A) y las deformaciones unitarias en direcciones longitudinales ( = d/L). 2.2 CAMBIOS DE LONGITUD DE ELEMENTOS CARGADOS AXIALMENTE P Figura 2.1 Resorte sometido a una carga axial P. Al determinar los cambios de longitud de elementos cargados axialmente, es conveniente iniciar con un resorte helicoidal (figura 2.1). Los resortes de este tipo se emplean en grandes cantidades, en muchos tipos de máquinas y dispositivos; por ejemplo, en los automóviles hay docenas de ellos. Cuando una carga se aplica a lo largo del eje de un resorte, como se muestra en la figura 2.1, el resorte se alarga o se acorta dependiendo de la dirección de la carga. Si la carga actúa alejándose del resorte, éste se estira y decimos que está cargado en tensión. Si la carga actúa hacia el resorte, éste se acorta y decimos que está en compresión. Sin embargo, no se debe inferir a partir de esta terminología que las espiras individuales de un resorte están sometidas a esfuerzos directos de tensión o compresión; más bien, las espiras actúan principalmente en cortante o torsión directa (o torcimiento). No obstante, el estiramiento o acortamiento global de un resorte es análogo al comportamiento de una barra en tensión o compresión, por lo que se usa la misma terminología. Resortes El alargamiento de un resorte se representa en la figura 2.2, donde en la parte superior de la figura se muestra un resorte en su longitud natural L (también denominada longitud sin esfuerzo, longitud relajada o longitud libre) y en la parte inferior de la figura se muestran los efectos al aplicar una carga de tensión. Debido a la acción de la fuerza P, el resorte se alarga una cantidad d y su longitud final resulta L + d. Si el material del resorte es linealmente elástico, la carga y el alargamiento serán proporcionales: L P d P Figura 2.2 Alargamiento de un resorte cargado axialmente. k fP (2.1a,b) donde k y f son constantes de proporcionalidad. La constante k se denomina rigidez del resorte y se define como la fuerza necesaria para producir un alargamiento unitario, es decir, k = P/d. De manera similar, la constante f se conoce como flexibilidad y se define como el alargamiento producido por una carga de valor unitario, es decir, f = d/P. Aunque para este análisis empleamos un resorte en tensión, es www.FreeLibros.com 92    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente obvio que las ecuaciones (2.1a) y (2.1b) también se aplican a resortes en compresión. De la explicación anterior es evidente que la rigidez y la flexibilidad de un resorte son recíprocas entre sí: P Figura 2.3 Barra prismática con sección transversal circular. k 1 f f (2.2a,b) La flexibilidad de un resorte se puede determinar fácilmente midiendo el alargamiento producido por una carga conocida y luego la rigidez se puede calcular con la ecuación (2.2a). Otros términos para la rigidez y la flexibilidad de un resorte son la constante del resorte y la docilidad, respectivamente. Las propiedades de un resorte definidas por las ecuaciones (2.1) y (2.2) se pueden utilizar en el análisis y diseño de varios dispositivos mecánicos que contengan resortes, como se ilustra en el ejemplo 2.1. Barras prismáticas Secciones transversales sólidas Las barras cargadas axialmente se alargan bajo cargas de tensión y se acortan con cargas de compresión, como lo hacen los resortes. Para analizar este comportamiento consideremos la barra prismática que se muestra en la figura 2.3. Una barra prismática es un elemento estructural que tiene un eje longitudinal recto y una sección transversal constante en toda su longitud. Aunque con frecuencia empleamos barras circulares en nuestros ejemplos, debemos tener en cuenta que los elementos estructurales pueden tener una variedad de formas en sus secciones transversales, como las mostradas en la figura 2.4. El alargamiento d de una barra prismática sometida a una carga de tensión P se muestra en la figura 2.5. Si la carga actúa en el centroide de la sección transversal extrema, el esfuerzo normal uniforme en secciones transversales alejadas de los extremos está dado por la fórmula s = P/A, donde A es el área de la sección transversal. Además, si la barra está hecha de un material homogéneo, la deformación unitaria axial es  = d/L, donde d es el alargamiento y L es la longitud de la barra. También supongamos que el material es linealmente elástico, lo cual significa que obedece la ley de Hooke, entonces los esfuerzos y las deformaciones unitarias están relacionadas por la ecuación s = E, donde E es el módulo de elasticidad. Al combinar estas relaciones básicas, obtenemos la siguiente ecuación para el alargamiento de la barra: Secciones transversales huecas o tubulares Secciones transversales abiertas de pared delgada Figura 2.4 Secciones transversales comunes de elementos estructurales. L PL EA d P Figura 2.5 Alargamiento de una barra prismática en tensión. 1 k (2.3) Esta ecuación indica que el alargamiento es directamente proporcional a la carga P y a la longitud L e inversamente proporcional al módulo de elasticidad E y al área de la sección transversal A. El producto EA se conoce como rigidez axial de la barra. Aunque la ecuación (2.3) fue deducida para un elemento en tensión, también se aplica a uno en compresión, caso en el cual d representa el acortamiento de la barra. En general sabemos por inspección si un elemento se secCiÓn 2.2 Cambios de longitud de elementos cargados axialmente    93 alarga o se acorta; sin embargo, hay ocasiones cuando es necesaria una convención de signos (por ejemplo, cuando se analiza una barra estáticamente indeterminada). En ese caso es usual que el alargamiento se tome positivo y el acortamiento como negativo. El cambio de longitud de una barra por lo general es muy pequeño en comparación con su longitud, en especial cuando el material es un metal estructural, como el acero o el aluminio. Como ejemplo considere un puntal de aluminio de 75 in de longitud sometido a un esfuerzo de compresión moderado de 7000 psi. Si el módulo de elasticidad es 10,500 ksi, el acortamiento del puntal (de la ecuación 2.3 con P/A reemplazada por s) es d = 0.050 in. En consecuencia, la razón entre el cambio de longitud y la longitud original es 0.05/75, o 1/1500, y la longitud final es 0.999 multiplicado por la longitud original. En condiciones similares a la anterior, podemos utilizar la longitud original de una barra (en lugar de la longitud final) en los cálculos. La rigidez y la flexibilidad de una barra prismática se definen de la misma manera que se hizo para un resorte. La rigidez es la fuerza necesaria para producir un alargamiento unitario, o P/d, y la flexibilidad es su alargamiento debido a una carga unitaria, o d/P. Por tanto, de la ecuación (2.3) observamos que la rigidez y la flexibilidad de una barra prismática son, respectivamente, k EA L f L EA (2.4a,b) Las rigideces y flexibilidades de elementos estructurales, incluyendo las dadas por las ecuaciones (2.4a) y (2.4b), tienen una función especial en el análisis de estructuras grandes mediante métodos computacionales. Cables Cables de acero sobre una polea Figura 2.6 Configuración típica de torones y alambres en un cable de acero. Los cables se utilizan para transmitir fuerzas grandes de tensión, por ejemplo, al levantar y jalar objetos pesados, subir elevadores, atirantar torres y soportar puentes colgantes. A diferencia de los resortes y las barras prismáticas, los cables no pueden resistir la compresión. Además, tienen poca resistencia a la flexión y, por tanto, pueden ser curvos y rectos. No obstante, un cable se considera como un elemento cargado axialmente debido a que se somete sólo a fuerzas de tensión. Como las fuerzas de tensión en un cable están dirigidas a lo largo de su eje, pueden variar tanto en dirección como en magnitud, dependiendo de la configuración del cable. Los cables se construyen a partir de un número grande de alambres arrollados de alguna forma particular. Aunque se dispone de muchas configuraciones dependiendo de cómo se utilice el cable, un tipo común, como se muestra en la figura 2.6, se forma por seis torones enrrollados helicoidal­ mente alrededor de un torón central. Cada torón a su vez está construido por muchos alambres, también enrrollados helicoidalmente. Por esta razón, a los cables a menudo se les refiere como cuerdas de alambre. El área de la sección transversal de un cable es igual al área de la sección transversal total de los alambres individuales, denominada área efectiva o área metálica. Ésta es menor que el área de un círculo que tiene el mismo diámetro que el cable debido a los espacios entre los alambres indi- www.FreeLibros.com 94    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente viduales. Por ejemplo, el área de la sección transversal real (área efectiva) de un cable particular de 1.0 in de diámetro sólo es 0.471 in2, en tanto que el área de un círculo de 1.0 in de diámetro es 0.785 in2. Con la misma carga de tensión, el alargamiento de un cable es mayor que el de una barra sólida del mismo material e igual área de la seccción transversal metálica, debido a que los alambres en un cable “se aprietan” de la misma manera que las fibras en una cuerda. Por tanto, el módulo de elasticidad (denominado módulo efectivo) de un cable es menor que el módulo del material del que está hecho. El módulo efectivo de cables de acero es aproximadamente 20,000 ksi (140 GPa), mientras que el acero tiene un módulo de aproximadamente 30,000 ksi (210 GPa). Al determinar el alargamiento de un cable a partir de la ecuación (2.3) se debe emplear el módulo efectivo para E y el área efectiva para A. En la práctica las dimensiones de la sección transversal y otras propiedades de los cables se obtienen de los fabricantes. Sin embargo, para resolver problemas en este libro (y definitivamente no para aplicaciones en ingeniería) en la tabla 2.1 se dan las propiedades de un tipo particular de cable. Observe que en la última columna se da la carga última, que es la carga que ocasionaría que el cable se rompa. La carga permisible se obtiene a partir de la carga última aplicando un factor de seguridad que puede variar de 3 a 10, dependiendo de cómo se utilice el cable. Los alambres individuales en un cable por lo general se hacen con acero de alta resistencia y el esfuerzo de tensión calculado en la carga de rompimiento puede ser tan alto como 200,000 psi (1400 MPa). Los siguientes ejemplos ilustran técnicas para analizar dispositivos simples que contienen resortes y barras. Las soluciones requieren utilizar diagramas de cuerpo libre, ecuaciones de equilibrio y ecuaciones para cambios de longitud. Los problemas al final del capítulo proporcionan muchos ejemplos adicionales. TABLA 2.1 PROPIEDADES DE CABLES DE ACERO* Diámetro nominal Peso aproximado in (mm) lb/ft 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 (12) (20) (25) (32) (38) (44) (50) 0.42 0.95 1.67 2.64 3.83 5.24 6.84 * Para (N/m) (6.1) (13.9) (24.4) (38.5) (55.9) (76.4) (99.8) Área efectiva Carga última in 2 (mm2 ) lb (kN) 0.119 0.268 0.471 0.745 1.08 1.47 1.92 (76.7) (173) (304) (481) (697) (948) (1230) 23,100 51,900 91,300 144,000 209,000 285,000 372,000 (102) (231) (406) (641) (930) (1260) (1650) emplearse únicamente con el fin de resolver problemas en este libro. secCiÓn 2.2 Cambios de longitud de elementos cargados axialmente    95 Ejemplo 2.1 Un marco rígido ABC en forma de “L” consiste de un brazo horizontal AB (longitud b = 10.5 in) y un brazo vertical BC (longitud c = 6.4 in) tiene una articulación en el punto B, como se muestra en la figura 2.7a. La articulación está unida al marco exterior BCD, que está montado sobre una mesa de laboratorio. La posición del índice en C se controla mediante un resorte (rigidez k = 4.2 lb/in) que está conectado a una barra roscada. La posición de la barra roscada se ajusta girando la tuerca moleteada. El paso de las rosca (es decir, la distancia de un hilo al siguiente es p = 1/16 in, lo cual significa que una revolución completa de la tuerca moverá la barra en esa misma cantidad. Al inicio, cuando no hay un peso sobre la varilla de suspensión, la tuerca se gira hasta que el índice en el extremo del brazo BC esté directamente sobre la marca de referencia en el marco exterior. Si se coloca un peso W = 2 lb sobre la varilla de suspensión en A, ¿cuántas revoluciones de la tuerca se requieren para regresar el índice a la marca? (Las defor- b B A Varilla de suspensión Marco c W Tuerca moleteada Resorte Barra roscada D C (a) W b A B F W c F Figura 2.7 Ejemplo 2.1. (a) Marco rígido ABC en forma de “L” sujeto al marco exterior BCD por una articulación en B y (b) diagrama de cuerpo libre del marco ABC. C (b) continúa www.FreeLibros.com 96    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente maciones de las partes metálicas del dispositivo se pueden ignorar debido a que son despreciables con respecto al cambio de longitud del resorte.) Solución Al inspeccionar el dispositivo (figura 2.7a) se observa que el peso W que actúa hacia abajo ocasionará que el índice se mueva a la derecha. Cuando el índice se mueve a la derecha, el resorte se estira en una cantidad adicional que podemos determinar a partir de la fuerza en el resorte. Para determinar la fuerza en el resorte elaboramos un diagrama de cuerpo libre del marco ABC (figura 2.7b). En este diagrama, W representa la fuerza aplicada por la varilla de suspensión y F la fuerza aplicada por el resorte. Las reacciones en la articulación se indican con rayas pequeñas a través de las flechas (consulte el análisis de reacciones en la sección 1.8). Tomando momentos con respecto al punto B da Wb c F (a) El alargamiento correspondiente del resorte (de la ecuación 2.1a) es F k d Wb ck (b) Para regresar el indicador a la marca debemos girar la tuerca las vueltas necesarias para mover la barra roscada hacia la izquierda, una cantidad igual al alargamiento del resorte. Como cada vuelta completa de la tuerca mueve la barra una distancia igual al paso p, el movimiento total de la barra es igual a np, donde n es el número de vueltas. Por tanto, np d Wb ck (c) de donde obtenemos la fórmula siguiente para el número de revoluciones de la tuerca: n Wb ckp (d))   Resultados numéricos. Como paso final en la solución, sustituimos los datos numéricos dados en la ecuación (d), como sigue: n Wb ckp (2 lb)(10.5 in) (6.4 in)(4.2 lb/in)(1/16 in) 12.5 revoluciones Este resultado indica que si giramos la tuerca 12.5 revoluciones, la barra roscada avanzara hacia la izquierda una cantidad igual al alargamiento del resorte causado por la carga de 2 lb, así el indicador regresa a la marca de referencia. secCiÓn 2.2 Cambios de longitud de elementos cargados axialmente    97 Ejemplo 2.2 El dispositivo que se muestra en la figura 2.8a consiste en una viga horizontal ABC soportada por dos barras verticales BD y CE. La barra CE está articulada en sus dos extremos pero la barra BD está empotrada en su cimentación en su extremo inferior. La distancia de A a B es 450 mm y de B a C es 225 mm. Las barras BD y CE tienen longitudes de 480 mm y 600 mm, respectivamente, y las áreas de sus secciones transversales son 1020 mm2 y 520 mm2, respectivamente. Las barras están hechas de acero que tiene un módulo de elasticidad E = 205 GPa. Suponga que la viga ABC es rígida, calcule la carga máxima permisible Pmáx si el desplazamiento del punto A se limita a 1.0 mm. A B C P 450 mm 225 mm 600 mm D 120 mm E (a) A B P H C FCE FBD 450 mm 225 mm (b) B" A" B A d BD a C' d CE C B' dA A' 450 mm Figura 2.8 Ejemplo 2.2. Viga horizontal ABC soportada por dos barras verticales. 225 mm (c) continúa www.FreeLibros.com 98    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Solución Para calcular el desplazamiento del punto A, necesitamos conocer los desplazamientos de los puntos B y C. Por tanto, debemos encontrar los cambios en las longitudes de las barras BD y CE empleando la ecuación general d = PL/EA (ecuación 2.3). Iniciamos determinando las fuerzas en las barras a partir de un diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 2.8b). Como la barra CE está articulada en sus dos extremos, es un elemento con “dos fuerzas” y sólo transmite una fuerza vertical FCE a la viga. Sin embargo, la barra BD puede transmitir tanto una fuerza vertical FBD como una fuerza horizontal H. De acuerdo con el equilibrio de la viga ABC en la dirección horizontal, observamos que no existe la fuerza horizontal. Dos ecuaciones adicionales de equilibrio nos permiten expresar las fuerzas FBD y FCE en términos de la carga P. Entonces, tomando momentos con respecto al punto B y luego sumando fuerzas en la dirección vertical, determinamos FCE B" A" B A d BD a B' (a) 3P FBD C' Observe que la fuerza FCE actúa hacia abajo sobre la barra ABC y que la fuerza FBD d CE actúa hacia arriba. Por tanto, el elemento CE está en tensión y el elemento BD en C compresión. El acortamiento del elemento BD es dA dBD A' 450 mm 2P 225 mm FBD LBD EA BD (3P)(480 mm) (205 GPa)(1020 mm2) 6.887P 6 10 mm (P newtons) (b) (c) Figura 2.8c (Repetida.) Observe que el acortamiento dBD se expresa en milímetros, siempre que la carga P se exprese en newtons. De manera similar, el alargamiento del elemento CE es dCE FCE L C E E AC E (2P)(600 mm) (205 GPa)(520 mm2) 11.26P 10 6 mm (P newtons) (c) Una vez más, el desplazamiento se expresa en milímetros siempre que la carga P se exprese en newtons. Conociendo los cambios en las longitudes de las dos barras, ahora podemos expresar el desplazamiento del punto A. Diagrama de desplazamiento. El trazo del diagrama de desplazamiento que muestra las posiciones relativas de los puntos A, B y C se observa en la figura 2.8c. La línea ABC representa la alineación original de los tres puntos. Después de la aplicación de la carga P, el elemento BD se acorta en una cantidad dBD y el punto B se mueve a B9. Asimismo, el elemento CE se alarga en una cantidad dCE y el punto C se mueve a C9. Como se supone que la viga ABC es rígida, los puntos A′, B′ y C′ se encuentran en una línea recta. Por claridad, en el diagrama los desplazamientos están muy exagerados. En realidad, la línea ABC gira un ángulo muy pequeño hasta su nueva posición A′B′C′ (consulte la nota 2 al final de este ejemplo). secCiÓn 2.2 Cambios de longitud de elementos cargados axialmente    99 Utilizando triángulos semejantes, ahora podemos encontrar las relaciones entre los desplazamientos en los puntos A, B y C. De los triángulos A′A′′C′ y B′B′′C′ obtenemos BB B C AA AC o dA dCE 450 225 dBD dCE 225 (d) en donde todos los términos están expresados en milímetros. Sustituyendo los valores de dBD y dCE de las ecuaciones (b) y (c), se obtiene dA 11.26P 10 450 225 6 6.887P 10 6 11.26P 225 10 6 Por último, sustituimos dA por su valor limite de 1.0 mm y despejamos la carga P de la ecuación. El resultado es B" A" B A d BD a B' dA A' 450 mm 225 mm (c) C' d CE C P Pmáx 23,200 N (o 23.2 kN) Cuando la carga alcanza este valor, el desplazamiento hacia abajo en el punto A es 1.0 mm. Nota 1: como la estructura se comporta de una manera linealmente elástica, los desplazamientos son proporcionales a la magnitud de la carga. Por ejemplo, si la carga es la mitad de Pmáx, o sea, si P = 11.6 kN, el desplazamiento hacia abajo del punto A es 0.5 mm. Nota 2: para verificar nuestra premisa de que la recta ABC gira un ángulo muy pequeño, podemos calcular el ángulo de rotación a a partir del diagrama de desplazamiento (figura 2.8c), como se muestra: Figura 2.8c (Repetida.) tan a AA AC dA dCE 675 mm (e) El desplazamiento dA del punto A es 1.0 mm y el alargamiento dCE de la barra CE se determina con la ecuación (c) sustituyendo P = 23 200 N; el resultado es dCE = 0.261 mm. Por tanto, de la ecuación (e) obtenemos tan a 1.0 mm 0.261 mm 675 mm 1.261 mm 675 mm 0.001868 de donde a = 0.11°. Este ángulo es tan pequeño que si intentáramos trazar el diagrama a escala, no seríamos capaces de distinguir entre la línea original ABC y la línea girada A′B′C′. Entonces, al trabajar con diagramas de desplazamiento es usual considerar que los desplazamientos son cantidades muy pequeñas y por ello debemos simplificar la geometría. En este ejemplo se supuso que los puntos A, B y C sólo se movieron verticalmente, en tanto que si los desplazamientos fueran grandes, tendríamos que www.FreeLibros.com 100    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.3 CAMBIOS DE LONGITUD EN CONDICIONES NO UNIFORMES considerar que se mueven a lo largo de trayectorias curvas. Cuando una barra prismática de material linealmente elástico se carga sólo en sus extremos, podemos obtener su cambio de longitud a partir de la ecuación d = PL/EA, como se describió en la sección anterior. En esta sección veremos cómo esta misma ecuación se puede utilizar en situaciones más generales. Barras con cargas axiales intermedias Suponga, por ejemplo, que una barra prismática se carga con una o más cargas axiales que actúan en puntos intermedios a lo largo de su eje (figura 2.9a). Podemos determinar el cambio de longitud de esta barra sumando algebraicamente los alargamientos y acortamientos de los segmentos individuales. El procedimiento es el siguiente. 1. 2. Identifique los segmentos de la barra (segmentos AB, BC y CD) como los segmentos 1, 2 y 3, respectivamente. Determine las fuerzas axiales internas N1, N2 y N3 en los segmentos 1, 2 y 3, respectivamente, a partir de los diagramas de cuerpo libre de las figuras 2.9b, c y d. Observe que las fuerzas axiales internas se denotan con la letra N para distinguirlas de las cargas externas P. Sumando fuerzas en la dirección vertical obtenemos las siguientes expresiones para las fuerzas axiales: PB N1 PC PD N2 PC PD N3 PD Al escribir estas ecuaciones empleamos la convención de signos de la sección anterior (las fuerzas axiales internas son positivas cuando son de tensión y negativas cuando son de compresión). N1 A PB L1 B PB B N2 L2 C C C PC N3 PC PC L3 Figura 2.9 (a) Barra con cargas externas que actúan en puntos intermedios; (b), (c) y (d) diagramas de cuerpo libre que muestran las fuerzas axiales internas N1, N2 y N3. D D D PD (a) PD (b) D PD (c) PD (d) secCiÓn 2.3 Cambios de longitud en condiciones no uniformes    101 3. 4. Determine los cambios en las longitudes de los segmentos con la ecuación (2.3): N1L1 N2 L 2 N3 L 3 d2 d3 d1 EA EA EA en donde L1, L2 y L3 son las longitudes de los segmentos y EA es la rigidez axial de la barra. Sume d1, d2 y d3 para obtener d, que es el cambio en longitud de toda la barra: 3 d di d1 d 2 d 3 i 1 Como ya se explicó, los cambios en las longitudes se deben sumar algebraicamente, considerando positivos los alargamientos y negativos los acortamientos. Barras que consisten en segmentos prismáticos Este mismo enfoque general se puede emplear cuando la barra consiste de varios segmentos prismáticos, cada uno con fuerzas axiales distintas, diámetros y materiales diferentes (figura 2.10). El cambio de longitud se puede obtener mediante la ecuación PA A n i L1 E1 1 Ni L i Ei Ai (2.5) en donde el subíndice i es un índice numerador para los distintos segmentos de la barra y n es el número total de segmentos. Observe en especial que Ni no es una carga externa sino que es la fuerza axial interna en el segmento i. PB B Barras con cargas o dimensiones que varían continuamente E2 L2 C Figura 2.10 Barra formada por segmentos prismáticos que tienen fuerzas axiales distintas, dimensiones y materiales diferentes. En ocasiones la fuerza axial N y el área de la sección transversal A varían continuamente a lo largo del eje de la barra, como se ilustra mediante la barra ahusada de la figura 2.11a. Ésta no sólo tiene un área de su sección transversal que varía continuamente, sino también una fuerza axial que cambia continuamente. En esta ilustración la carga consiste en dos partes, una fuerza única PB que actúa en el extremo B de la barra y fuerzas distribuidas p(x) que actúan a lo largo del eje. (Una fuerza distribuida tiene unidades de fuerza por unidad de distancia, como libras por pulgada o newtons por metro). Una carga axial distribuida podría ser resultado de factores como fuerzas centrífugas, fuerzas de fricción o el peso de una barra que cuelga en una posición vertical. En estas condiciones ya no podemos emplear la ecuación (2.5) para obtener el cambio de longitud, sino que debemos determinar el cambio de longitud de un elemento diferencial de la barra y luego integrarlo sobre su longitud. Para hacer esto seleccionamos un elemento diferencial a una distancia x desde el extremo izquierdo de la barra (figura 2.11a). La fuerza axial interna N(x) que actúa sobre esta sección transversal (figura 2.11b) se puede determinar a partir del equilibrio utilizando ya sea el segmento AC o bien el CB como un cuerpo libre. En general, esta fuerza es una función de x. Además, si conocemos las dimensiones de la barra, podemos expresar el área de la sección transversal A(x) como una función de x. www.FreeLibros.com 102    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente A C B p(x) x Figura 2.11 Barra con área de su sección transversal variable y fuerza axial variable. A PB C p(x) C N(x) N(x) N(x) x dx dx L (a) (b) (c) El alargamiento dd del elemento diferencial (figura 2.11c) se puede obtener a partir de la ecuación d = PL/EA sustituyendo N(x) por P, dx por L y A(x) por A, como sigue: N(x) dx EA(x) d (2.6) El alargamiento de toda la barra se obtiene integrando sobre la longitud: L L d d 0 0 N(x)dx EA(x) (2.7) Si las expresiones para N(x) y A(x) no son muy complicadas, la integral se puede evaluar de manera analítica y se obtiene una fórmula para d, como se ilustra más adelante en el ejemplo 2.4. Sin embargo, si la integración formal es difícil o imposible, se utilizará un método numérico para su evaluación. Limitaciones Las ecuaciones (2.5) y (2.7) sólo se aplican a barras hechas de materiales linealmente elásticos, como se muestra por la presencia del módulo de elasticidad E en las fórmulas. Además, la fórmula d = PL/EA se obtuvo suponiendo que la distribución de esfuerzos es uniforme sobre cada sección transversal (debido a que se basa en la fórmula s = P/A). Esta suposición es válida para barras prismáticas pero no para barras ahusadas, y por tanto la ecuación (2.7) da resultados satisfactorios para una barra ahusada sólo si el ángulo entre los lados de la barra es pequeño. Como ilustración, si el ángulo entre los lados de una barra es 20°, el esfuerzo calculado con la expresión s = P/A (en una sección transversal seleccionada arbitrariamente) es 3 por ciento menor que el esfuerzo exacto para la misma sección transversal (calculada mediante métodos más avanzados). Para ángulos menores el error es aún menor. En consecuencia, podemos decir que la ecuación (2.7) es satisfactoria si el ángulo de ahusamiento es pequeño. Si el ahusamiento es grande, se necesitan métodos de análisis más exactos (referencia 2.1). Los ejemplos siguientes ilustran la determinación de los cambios de longitudes de barras no uniformes. secCiÓn 2.3 Cambios de longitud en condiciones no uniformes    103 Ejemplo 2.3 Una barra de acero ABC vertical está soportada por un pasador en su extremo superior y cargada por una fuerza P1 en su extremo inferior (figura 2.12a). Una viga horizontal BDE está conectada con un perno a la barra vertical en la unión B y soportada en el punto D. La barra soporta una carga P2 en el extremo E. La parte superior de la barra vertical (segmento AB) tiene una longitud L1 = 20.0 in y un área de sección transversal A1 = 0.25 in2; la parte inferior (segmento BC) tiene una longitud L2 = 34.8 in y área A2 = 0.15 in2. El módulo de elasticidad E del acero es 29.0 × 106 psi. Las partes izquierda y derecha de la viga BDE tienen longitudes a = 28 in y b = 25 in, respectivamente. Calcule el desplazamiento vertical dC en el punto C si la carga P1 = 2100 lb y la carga P2 = 5600 lb. (No tome en cuenta los pesos de la barra y la viga.) A A1 L1 a b B D E P2 L2 A2 (a) C P1 RA A a P3 b B D RD P3 (b) Figura 2.12 Ejemplo 2.3. Cambio de longitud de una barra no uniforme (barra ABC). E B P2 C P1 (c) continúa www.FreeLibros.com 104    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Solución Fuerzas axiales en la barra ABC. De la figura 2.12a observamos que el desplazamiento del punto C es igual al cambio de longitud de la barra ABC. Por tanto, debemos determinar las fuerzas axiales en los dos segmentos de esta barra. La fuerza axial N2 en el segmento inferior es igual a la carga P1. La fuerza axial N1 en el segmento superior se puede determinar si conocemos la reacción vertical en A o bien la fuerza aplicada a la barra por la viga. Esta última fuerza se puede obtener de un diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 2.12b), en donde la fuerza que actúa sobre la viga (de la barra vertical) se denota P3 y la reacción vertical en el apoyo D se denota RD. No hay fuerzas horizontales que actúen entre la barra y la viga, como se observa en un diagrama de cuerpo libre de la barra vertical (figura 2.12c). Por tanto, no hay reacción horizontal en el apoyo D de la viga. Tomando momentos con respecto al punto D para el diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 2.12b), se obtiene P3 (5600 lb)(25.0 in) 28.0 in P2b a 5000 lb (a) Esta fuerza actúa hacia abajo sobre la viga (figura 2.12b) y hacia arriba sobre la barra vertical (figura 2.12c). Ahora podemos determinar la reacción hacia abajo en el apoyo A (figura 2.12c): RA P3 P1 5000 lb 2100 lb 2900 lb (b) La parte superior de la barra vertical (segmento AB) está sometida a una fuerza axial de compresión N1 igual a RA o 2900 lb. La parte inferior (segmento BC) soporta una fuerza axial de tensión N2 igual a P1 o 2100 lb. Nota: como una alternativa para los cálculos anteriores podemos obtener la reacción RA de un diagrama de cuerpo libre de toda la estructura (en vez de a partir del diagrama de cuerpo libre de la viga BDE). Cambios de longitud: considerando positiva la tensión, la ecuación (2.5) da n d i 1 NiLi EiAi N1L1 EA1 N2L2 EA2 ( 2900 lb)(20.0 in) (29.0 106 psi)(0.25 in2) 0.0080 in 0.0168 in (c) (2100 lb)(34.8 in) (29.0 106 psi)(0.15 in2) 0.0088 in en donde d es el cambio de longitud de la barra ABC. Como d es positiva, la barra se alarga. El desplazamiento del punto C es igual al cambio de longitud de la barra: dC 0.0088 in Este desplazamiento es hacia abajo. secCiÓn 2.3 Cambios de longitud en condiciones no uniformes    105 Ejemplo 2.4 Una barra cónica AB con sección transversal circular sólida y longitud L (figura 2.13a) está empotrada en el extremo B y sometida a una carga de tensión P en su extremo libre A. Los diámetros de la barra en los extremos A y B son dA y dB, respectivamente. Determine el alargamiento de la barra debido a la carga P, suponga que el ángulo de conicidad es pequeño. x A B A P dB O dx B dA dA LA d(x) L L LB (a) (b) Figura 2.13 Ejemplo 2.4. Cambio de longitud de una barra cónica con sección transversal sólida. dB Solución La barra analizada en este ejemplo tiene una fuerza axial constante (igual a la carga P) en toda su longitud. Sin embargo, el área de su sección transversal varía continuamente de un extremo al otro. Por tanto, debemos integrar (consulte la ecuación 2.7) para determinar el cambio de su longitud. Área de la sección transversal: el primer paso en la solución es obtener una expresión para el área de la sección transversal A(x) en cualquier sección transversal de la barra. Para este fin, debemos establecer un origen para la coordenada x. Una posibilidad es colocar el origen de las coordenadas en el extremo libre A de la barra. Sin embargo, las integraciones que se realizarán se simplificarán ligeramente si ubicamos el origen de las coordenadas ampliando los lados de la barra cónica hasta que se unan en el punto O, como se muestra en la figura 2.13b. Las distancias LA y LB desde el origen O hasta los extremos A y B, respectivamente, están dadas por la razón LA LB dA dB (a) obtenida de triángulos semejantes en la figura 2.13b. También por triángulos semejantes obtenemos la razón entre diámetro d(x) y la distancia x desde el origen hasta el diámetro dA en el extremo pequeño de la barra: d(x) dA x LA o d(x) dAx LA (b) Por tanto, el área de la sección transversal a la distancia x desde el origen es A(x) p[d(x)]2 4 p d 2A x2 4L2A (c) continúa www.FreeLibros.com 106    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Cambio de longitud. Ahora sustituimos la expresión para A(x) en la ecuación (2.7) y obtenemos el alargamiento d: LB N(x)dx EA(x) d LA Pdx(4 L 2A ) E(p d 2Ax 2) 4PL2A pEd 2A LB LA dx x2 (d) Al realizar la integración (consulte la fórmulas de integración en el apéndice C) y sustituir los límites, obtenemos d 4PL2A pEd 2A 1 x LB LA 4PL 2A 1 pEd 2A LA 1 LB (e) Esta expresión para d puede simplificarse observando que 1 LA 1 LB LB LA LALB L LAL B (f) Por tanto, la ecuación para d se transforma en 4 P L LA p E d 2A LB d (g) Por último, sustituimos LA/LB = dA/dB (consulte la ecuación a) y obtenemos d 4P L pE dAdB (2.8)   Esta fórmula proporciona el alargamiento de la barra ahusada con sección transversal circular. Al sustituir valores numéricos podemos determinar el cambio de longitud para cualquiera barra particular. Nota 1: un error común es suponer que el alargamiento de una barra cónica se puede determinar calculando el alargamiento de una barra prismática que tenga la misma área de sección transversal que la sección media de la barra cónica. Examinando la ecuación (2.8) se demuestra que esta idea no es válida. Nota 2: la fórmula anterior para una barra cónica (ecuación 2.8) se puede reducir para el caso especial de una barra prismática sustituyendo dA = dB = d. El resultado es d 4PL pEd2 PL EA que sabemos que es correcta. Una fórmula general como la ecuación (2.8) se debe verificar si es posible para comprobar que se reduce a resultados conocidos para casos especiales. Si la reducción no produce un resultado correcto, la fórmula original está errada. Si se obtiene un resultado correcto, la fórmula original aún puede ser incorrecta pero aumenta nuestra confianza en ella. En otras palabras, este tipo de verificación es una condición necesaria pero insuficiente para que la fórmula original sea correcta. secCiÓn 2.4 Estructuras estáticamente indeterminadas    107 2.4 ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS P1 A P2 B R Figura 2.14 Barra estáticamente determinada. RA A P Los resortes, las barras y los cables que se describieron en las secciones anteriores tienen una característica importante en común: sus reacciones y fuerzas internas se pueden determinar únicamente a partir de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio. A las estructuras de este tipo se les clasifica como estáticamente determinadas. Debemos destacar que las fuerzas en una estructura estáticamente determinada se pueden determinar sin conocer las propiedades de los materiales. Considere, por ejemplo, la barra AB que se muestra en la figura 2.14. Los cálculos para las fuerzas axiales internas en las dos partes de la barra, así como para la reacción R en la base, son independientes del material de que está hecha la barra. La mayor parte de las estructuras son más complejas que la barra de la figura 2.14 y no se pueden determinar sus reacciones y fuerzas internas sólo mediante la estática. Esta situación se ilustra en la figura 2.15, que muestra una barra AB empotrada en los dos extremos. Ahora hay dos reacciones verticales (RA y RB) pero sólo una ecuación de equilibrio útil, la ecuación de la suma de fuerzas en la dirección vertical. Dado que esta ecuación contiene dos incógnitas, no es suficiente para determinar las reacciones. Las estructuras de este tipo se clasifican como estáticamente indeterminadas y para su análisis debemos completar las ecuaciones de equilibrio con ecuaciones adicionales que contengan los desplazamientos de la estructura. Para ver cómo se analiza una estructura estáticamente indeterminada, considere el ejemplo de la figura 2.16a. La barra prismática AB está fija sobre apoyos rígidos en sus dos extremos y cargada axialmente mediante una fuerza P en un punto intermedio C. Como ya se explicó, no se pueden determinar las reacciones RA y RB sólo mediante la estática, debido a que sólo disponemos de una ecuación de equilibrio: Fvert 0 RA RB Figura 2.15 Barra estáticamente indeterminada. RB 0 (a) Se necesita una ecuación adicional para resolver las dos reacciones desconocidas. La ecuación adicional se basa en la observación de que una barra con sus dos extremos fijos no cambia de longitud. Si separamos la barra de sus apoyos (figura 2.16b) obtenemos una barra que está libre en sus extremos y cargada por las tres fuerzas RA, RB y P. Éstas ocasionan que la barra cambie de longitud en una cantidad dAB, que debe ser igual a cero: dAB B P 0 (b) Esta ecuación, denominada ecuación de compatibilidad, expresa el hecho de que el cambio de longitud de la barra debe ser compatible con las condiciones de apoyo. A fin de resolver las ecuaciones (a) y (b), ahora debemos expresar la ecuación de compatibilidad en términos de las fuerzas desconocidas RA y RB. Las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre una barra y sus cambios de longitud se conocen como relaciones fuerza-desplazamiento. És- www.FreeLibros.com 108    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente RA RA A A P a P C C dAC L b B B RB (a) Figura 2.16 Análisis de una barra estáticamente indeterminada. tas tienen varias formas dependiendo de las propiedades del material, si éste es linealmente elástico se puede utilizar la ecuación d = PL/EA para obtener las relaciones fuerza-desplazamiento. Supongamos que la barra de la figura 2.16 tiene un área de la sección transversal A y está hecha de un material con módulo de elasticidad E. Entonces, los cambios en las longitudes de los segmentos superior e inferior de la barra son, respectivamente, RB (b) RA a EA dCB RB b EA (c,d) donde el signo menos indica un acortamiento de la barra. Las ecuaciones (c) y (d) son las relaciones fuerza-desplazamiento. Ahora estamos listos para resolver simultáneamente los tres conjuntos de ecuaciones (la ecuación de equilibrio, la ecuación de compatibilidad y las relaciones fuerza-desplazamiento). En este caso, iniciamos combinando las relaciones fuerza-desplazamiento con la ecuación de compati­ bilidad: dAB dAC dCB RAa EA RBb EA 0 (e) Observe que esta ecuación contiene las dos reacciones como incógnitas. El paso siguiente es resolver simultáneamente la ecuación de equilibrio (ecuación a) y la ecuación anterior (ecuación e). Los resultados son RA Pb L RB Pa L (2.9a,b) Conocidas las reacciones, se pueden determinar todas las cantidades de las otras fuerzas y desplazamientos. Suponga, por ejemplo, que queremos encontrar el desplazamiento hacia abajo dC del punto C. Este desplazamiento es igual al alargamiento del segmento AC: dC dAC RAa EA Pab L EA (2.10) Además, podemos determinar directamente los esfuerzos en los dos segmentos de la barra a partir de las fuerzas axiales internas (por ejemplo, sAC = RA/A = Pb/AL). Comentarios generales Del estudio anterior observamos que el análisis de una estructura estáticamente indeterminada comprende plantear y resolver ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y relaciones fuerza-desplazamiento. Las ecuaciones de equilibrio relacionan las cargas que actúan sobre la estructura con las fuerzas desconocidas (que pueden ser reacciones o fuerzas internas) y las ecuaciones de compatibilidad expresan condiciones sobre los desplazamientos de la estructura. Las relaciones fuerza-desplazamiento son expresiones que utilizan las dimensiones y propiedades de los elementos estructurales para relacionar las fuerzas y los desplazamientos de dichos elementos. En el caso de barras cargadas axialmente que se comportan de secCiÓn 2.4 Estructuras estáticamente indeterminadas    109 una manera linealmente elástica, las relaciones se basan en la ecuación d = PL/EA. Por último, los tres conjuntos de ecuaciones pueden resolverse simultáneamente para determinar las fuerzas y los desplazamientos desconocidos. En la literatura técnica se utilizan varios términos para las condiciones expresadas por las ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad y por las relaciones fuerza-desplazamiento. Las ecuaciones de equilibrio también se conocen como ecuaciones estáticas o cinéticas; las ecuaciones de compatibilidad en ocasiones se denominan ecuaciones geométricas, ecuaciones cinemáticas o ecuaciones de deformaciones consistentes; y a las relaciones fuerza-desplazamiento con frecuencia se les refiere como relaciones cons­ titutivas (debido a que tratan de la constitución o propiedades físicas de los materiales). Para las estructuras relativamente simples analizadas en este capítulo, el método de análisis anterior es adecuado. Sin embargo, para estructuras más complicadas se necesitan enfoques más formalizados. Dos métodos de uso común, el método de la flexibilidad (también denominado método de las fuerzas) y el método de la rigidez (también llamado método del despla­ zamiento), se describen con detalle en libros de texto sobre análisis estructural. Si bien estos métodos, en general, se emplean para estructuras grandes y complejas que requieren la solución de cientos y algunas veces de miles, de ecuaciones simultáneas, aún se basan en los conceptos descritos anteriormente, es decir, en ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y relaciones fuerza-desplazamiento.* Los dos ejemplos siguientes ilustran la metodología para analizar estructuras estáticamente indeterminadas formadas por elementos axialmente cargados. *Desde un punto de vista histórico, parece que Euler en 1774 fue el primero en analizar un sistema estáticamente indeterminado; él consideró el problema de una mesa rígida con cuatro patas soportada sobre una base elástica (referencias 2.2 y 2.3). El trabajo siguiente fue realizado por el matemático e ingeniero francés L. M. H. Navier, quien en 1825 destacó que las reacciones estáticamente indeterminadas se podrían encontrar tomando en cuenta la elasticidad de la estructura (referencia 2.4). Navier resolvió armaduras y vigas estáticamente indeterminadas. www.FreeLibros.com 110    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Ejemplo 2.5 Dentro de un tubo circular hueco de cobre C está encerrado un cilindro circular sólido de acero S (figuras 2.17 a y b). El cilindro y el tubo se comprimen entre las placas rígidas de una máquina de pruebas mediante fuerzas de compresión P. El cilindro de acero tiene un área de su sección transversal As y un módulo de elasticidad Es, el tubo de cobre tiene un área Ac y un módulo Ec, y las dos partes tienen una longitud L. Determine las cantidades siguientes: (a) las fuerzas de compresión Ps en el cilindro de acero y Pc en el tubo de cobre; (b) los esfuerzos de compresión correspondientes ss y sc; y el acortamiento d del conjunto. Pc P Ps P L C Ac As L S Ps Pc (b) (d) (a) (c) Figura 2.17 Ejemplo 2.5. Análisis de una estructura estáticamente indeterminada. Solución (a) Fuerzas de compresión en el cilindro de acero y en el tubo de cobre. Iniciamos removiendo la placa superior del conjunto a fin de exponer las fuerzas de compresión Ps y Pc que actúan sobre el cilindro de acero y el tubo de cobre, respectivamente (figura 2.17c). La fuerza Ps es la resultante de los esfuerzos distribuidos uniformemente que actúan sobre la sección transversal del cilindro de acero y la fuerza Pc es la resultante de los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal del tubo de cobre. Ecuaciones de equilibrio. Un diagrama de cuerpo libre de la placa superior se muestra en la figura 2.17d. Esta placa está sometida a la fuerza P y a las fuerzas de compresión desconocidas Ps y Pc; por tanto, la ecuación de equilibrio es Fvert 0 Ps Pc P 0 (f) Ésta, que es la única ecuación de equilibrio no trivial disponible, contiene dos incógnitas. Por lo tanto, concluimos que la estructura está estáticamente indeterminada. secCiÓn 2.4 Estructuras estáticamente indeterminadas    111 Pc P Ps P L C Ac As L S Ps Pc (b) (d) (a) (c) Figura 2.17 (Repetida.) Ecuación de compatibilidad. Como las placas en los extremos son rígidas, el cilindro de acero y el tubo de cobre se deben acortar en la misma cantidad. Si denotamos los acortamientos de las partes de acero y cobre con ds y dc, respectivamente, obtenemos la siguiente ecuación de compatibilidad: ds (g) dc Relaciones fuerza-desplazamiento. Los cambios de longitud del cilindro y del tubo se pueden obtener a partir de la ecuación general d = PL/EA. Por tanto, en este ejemplo las relaciones fuerza-desplazamiento son ds Ps L Es As dc Pc L Ec Ac (h,i) Solución de ecuaciones. Ahora resolvemos simultáneamente los tres conjuntos de ecuaciones. Primero, sustituimos las relaciones fuerza-desplazamiento en la ecuación de compatibilidad, con lo que se obtiene Ps L Es As Pc L Ec Ac (j) Esta ecuación expresa la condición de compatibilidad en términos de las fuerzas desconocidas. Luego, resolvemos simultáneamente la ecuación de equilibrio (ecuación f) y la ecuación anterior de compatibilidad (ecuación j) y obtenemos las fuerzas axiales en el cilindro de acero y el tubo de cobre:      Ps P Es As Es As Ec Ac Pc P Ec Ac Es As Ec Ac (2.11a,b)   continúa www.FreeLibros.com 112    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Estas ecuaciones muestran que las fuerzas de compresión en las partes de acero y cobre son directamente proporcionales a sus rigideces axiales respectivas e inversamente proporcionales a la suma de sus rigideces. (b) Esfuerzos de compresión en el cilindro de acero y en el tubo de cobre. Conociendo las fuerzas axiales, ahora podemos obtener los esfuerzos de compresión en los dos materiales: ss Ps As PEs Es As Ec Ac PEc (2.12a,b)   Es As Ec Ac Pc Ac sc Observe que la razón ss/sc de los esfuerzos es igual a la razón Es/Ec de los módulos de elasticidad, demostrando que en general el material “más rígido” siempre tiene el esfuerzo mayor. (c) Acortamiento del conjunto. El acortamiento d de todo el conjunto se puede obtener ya sea con la ecuación (h) o bien con la ecuación (i). Por tanto, al sustituir las fuerzas (de las ecuaciones 2.11a y b), obtenemos Ps L Es As d Pc L Ec Ac Es As PL Ec Ac (2.13)   Este resultado muestra que el acortamiento del conjunto es igual a la carga total dividida entre la suma de las rigideces de las dos partes (recuerde de la ecuación 2.4a que la rigidez de una barra cargada axialmente es k = EA/L). Solución alternativa de las ecuaciones. En vez de sustituir las relaciones fuerza-desplazamiento (ecuaciones h e i) en la ecuación de compatibilidad, podríamos reescribir estas relaciones en la forma siguiente: Es As ds L Ps Ec Ac dc L Pc (k,l) y sustituirlas en la ecuación de equilibrio (ecuación f): Es As ds L Ec Ac dc L P (m) Esta ecuación expresa la condición de equilibrio en términos de los desplazamientos desconocidos. Luego resolvemos simultáneamente la ecuación de compatibilidad (ecuación g) y la ecuación anterior, obteniendo de esta manera los desplazamientos: ds dc PL Es As Ec Ac (n) que concuerdan con la ecuación (2.13). Por último, sustituimos la expresión (n) en las ecuaciones (k) y (l) y obtenemos las fuerzas de compresión Ps y Pc (consulte las ecuaciones 2.11a y b). Nota: el método alternativo para resolver las ecuaciones es una versión simplificada del método de análisis de la rigidez (o desplazamiento), y el primer método para resolver las ecuaciones es una versión simplificada del método de la flexibilidad (o fuerza). Los nombres de estos dos métodos se originan del hecho que la ecuación (m) tiene desplazamientos como incógnitas y rigideces como coeficientes (consulte la ecuación 2.4a), en tanto que la ecuación (i) tiene fuerzas como incógnitas y flexibilidades como coeficientes (consulte la ecuación 2.4b). secCiÓn 2.4 Estructuras estáticamente indeterminadas    113 Ejemplo 2.6 Una barra AB rígida horizontal está articulada en el extremo A y soportada por dos alambres (CD y EF) en los puntos D y F (figura 2.18a). Una carga vertical P actúa en el extremo B de la barra. La longitud de la barra es 3b y los alambres CD y DF tienen longitudes L1 y L2, respectivamente. Además, el alambre CD tiene un diámetro d1 y módulo de elasticidad E1; el alambre EF tiene un diámetro d2 y un módulo E2. (a) Obtenga fórmulas para la carga permisible P si los esfuerzos permisibles en los alambres CD y EF, son s1 y s2, respectivamente. (No tome en cuenta el peso de la barra). (b) Calcule la carga permisible P para las condiciones siguientes: el alambre CD está hecho de aluminio con módulo E1 = 72 GPa, diámetro d1 = 4.0 mm y longitud L1 = 0.40 m. El alambre EF está hecho de magnesio con módulo E2 = 45 GPa, diámetro d2 = 3.0 mm y longitud L2 = 0.30 m. Los esfuerzos permisibles en los alambres de aluminio y magnesio son s1 = 200 MPa y s2 = 175 MPa, respectivamente. C E L1 A D b A RH L2 F b D B b T1 T2 F B P RV (b) P A (a) D d1 F B d2 B' Figura 2.18. Análisis de una estructura estáticamente indeterminada. (c) Solución Ecuación de equilibrio. Comenzamos el análisis dibujando un diagrama de cuerpo libre de la barra AB (figura 2.18b). En este diagrama T1 y T2 son las fuerzas de tensión desconocidas en los alambres y RH y RV son las componentes horizontal y vertical de la reacción en el apoyo. De inmediato vemos que la estructura es estáticamente indeterminada debido a que hay cuatro fuerzas desconocidas (T1, T2, RH y RV) pero sólo tres ecuaciones independientes de equilibrio. Tomando momentos con respecto al punto A (momentos positivos en sentido contrario al de las manecillas del reloj) se obtiene MA 0 Tl b T2 (2b) 2 P(3b) 0 o Tl 2T2 3P      (o) Las otras dos ecuaciones, obtenidas sumando fuerzas en la dirección horizontal y en la vertical, no son útiles para determinar T1 y T2. continúa www.FreeLibros.com 114    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Ecuación de compatibilidad. Para obtener una ecuación relacionada con los desplazamientos, observamos que la carga P ocasiona que la barra AB gire con respecto al apoyo articulado A, y debido a esto los alambres se estiran. Los desplazamientos resultantes se muestran en el diagrama de desplazamientos de la figura 2.18c, donde la línea AB representa la posición original de la barra rígida y la línea AB′ representa la posición girada. Los desplazamientos d1 y d2 son los alargamientos de los alambres. Dado que estos desplazamientos son muy pequeños, la barra gira un ángulo muy pequeño (en la figura se muestra muy exagerado) y podemos hacer los cálculos con la suposición de que los puntos D, F y B se mueven verticalmente hacia abajo (en lugar de moverse a lo largo de arcos de círculos). Como las distancias horizontales AD y DF son iguales, obtenemos la relación geométrica siguiente entre los estiramientos: d2 (p) 2d1 La ecuación (p) es la ecuación de compatibilidad. Relaciones fuerza-desplazamiento. En virtud de que los alambres se comportan de una manera linealmente elástica, sus alargamientos se pueden expresar en términos de las fuerzas desconocidas T1 y T2 mediante las siguientes expresiones: T1 L1 E1 A1 d1 d2 T2 L 2 E2 A2 en donde A1 y A2 son las áreas de las secciones transversales de los alambres CD y EF, respectivamente; es decir, p d 21 4 A1 A2 p d 22 4 Por conveniencia, al escribir las ecuaciones, introduzcamos la notación siguien­ te para las flexibilidades de los alambres (consulte la ecuación 2.4b): L1 E1 A1 f1 f2 L2 E 2 A2 (q,r) Entonces las relaciones fuerza-desplazamiento se transforman en d1 f1T1 d2 f2T2 (s,t) Solución de ecuaciones. Ahora resolvemos simultáneamente los tres conjuntos de ecuaciones (equilibrio, compatibilidad y fuerza-desplazamiento). Sustituyendo las expresiones de las ecuaciones (s) y (t) en la ecuación de compatibilidad (ecuación p) se obtiene f2T2 (u) 2 f1T1 La ecuación de equilibrio (ecuación o) y la ecuación anterior (ecuación u) contienen cada una las fuerzas T1 y T2 como cantidades desconocidas. Resolviendo estas dos ecuaciones simultáneamente se obtienen T1 3 f2P 4f1 f2 T2 6 f1P 4f1 f2 (v,w) Conociendo las fuerzas T1 y T2 es fácil determinar los alargamientos de los alambres a partir de las relaciones fuerza-desplazamiento. secCiÓn 2.4 Estructuras estáticamente indeterminadas    115 (a) Carga permisible P. Ahora que hemos terminado el análisis estáticamente indeterminado y que conocemos las fuerzas en los alambres podemos determinar el valor permisible de la carga P. El esfuerzo s1 en el alambre CD y el esfuerzo s2 en el alambre EF se obtienen fácilmente a partir de las fuerzas (ecuaciones v y w): s1 3P f2 A1 4 f1 f2 T1 A1 6P f1 A2 4 f1 f2 T2 A2 s2 De la primera de estas ecuaciones despejamos la fuerza permisible P1 con base en el esfuerzo permisible s1 en el alambre CD: P1 s1 A1(4 f1 3 f2 f2 ) (2.14a)   De manera similar, de la segunda ecuación obtenemos la fuerza permisible P2 con base en el esfuerzo permisible s2 en el alambre EF: s 2 A2 (4 f1 6 f1 P2 f2 ) (2.14b)   La menor de estas dos cargas es la carga máxima permisible Pperm. (b) Cálculos numéricos de la carga permisible. Utilizando los datos dados y las ecuaciones anteriores obtenemos los siguientes valores numéricos: A1 p d 12 4 p (4.0 mm)2 4 12.57 mm2 A2 p d 22 4 p (3.0 mm)2 4 7.069 mm2 f1 L1 E1 A1 0.40 m (72 GPa)(12.57 mm 2 ) 0.4420 10 f2 L2 E2 A2 0.30 m (45 GPa)(7.069 mm 2 ) 0.9431 10 6 6 m/N m/N Además, los esfuerzos permisibles son s1 200 MPa s2 175 MPa Por tanto, sustituyendo en las ecuaciones (2.14a y b) da P1 2.41 kN P2 1.26 kN El primer resultado se basa en el esfuerzo permisible s1 en el alambre de aluminio y el segundo se basa en el esfuerzo permisible s2 en el alambre de magnesio. La carga permisible es el menor de estos dos valores: Pperm 1.26 kN    En esta carga el esfuerzo en el magnesio es 175 MPa (el esfuerzo permisible) y el esfuerzo en el aluminio es (1.26/2.41)(200 MPa) = 105 MPa. Como se esperaba, este esfuerzo es menor que el esfuerzo permisible de 200 MPa. www.FreeLibros.com 116    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.5 EFECTOS TÉRMICOS, DESAJUSTES Y DEFORMACIONES PREVIAS Las cargas externas no son las únicas fuentes de esfuerzos y deformaciones en una estructura. Otras fuentes incluyen los efectos térmicos que se originan por los cambios de temperatura, desajustes que resultan de imperfecciones en la construcción y deformaciones previas que se producen por deformaciones iniciales. Otras causas son asentamientos (o movimientos) de apoyos, cargas inerciales por movimiento acelerado y fenómenos naturales como terremotos. Los efectos térmicos, los desajustes y las deformaciones previas por lo común se encuentran tanto en sistemas mecánicos como estructurales y se describen en esta sección. Como regla general, son mucho más importantes en el diseño de estructuras estáticamente indeterminadas que en las estáticamente determinadas. Efectos térmicos A B Figura 2.19 Bloque de material sometido a un aumento de temperatura. Los cambios de temperatura producen dilatación o contracción de los materiales estructurales, lo que resulta en deformaciones térmicas y esfuerzos térmicos. Un ejemplo simple de dilatación térmica se muestra en la figura 2.19, donde el bloque de material no está restringido y, por tanto, tiene libertad para expandirse. Cuando se calienta el bloque, cada elemento del material experimenta deformaciones térmicas en todas las direcciones y, en consecuencia, las dimensiones del bloque aumentan. Si tomamos la esquina A como un punto fijo de referencia y dejamos que el lado AB mantenga su alineación original, el bloque adoptará la forma que se muestra con las líneas discontinúas. Para la mayor parte de los materiales estructurales, la deformación unitaria térmica T es proporcional al cambio de temperatura ∆T; es decir, eT ( T) (2.15) en donde a es una propiedad del material llamada coeficiente de dilatación térmica. Como la deformación unitaria es una cantidad adimensional, el coeficiente de dilatación térmica tiene unidades iguales al recíproco del cambio de temperatura. En unidades SI las dimensiones de a se pueden expresar ya sea como 1/K (el recíproco de kelvins) o bien como 1/°C (el recíproco de grados Celsius). El valor de a es igual en ambos casos, porque un cambio de temperatura es numéricamente igual tanto en Kelvin como en grados Celsius. En el sistema inglés las dimensiones de a son 1/°F (el recíproco de grados Fahrenheit).* Los valores comunes de a se proporcionan en la tabla H.4 del apéndice H. Si se necesita una convención de signos para las deformaciones unitarias térmicas, es usual suponer que la dilatación es positiva y la contracción negativa. Para demostrar la importancia relativa de las deformaciones unitarias térmicas, las compararemos con las deformaciones unitarias inducidas por cargas de la manera siguiente. Suponga que tenemos una barra cargada axialmente con deformaciones unitarias longitudinales dadas por la ecuación *Para ver un análisis de las unidades y la escala de temperatura, consulte la sección A.4 del apéndice A. secCiÓn 2.5 Efectos térmicos, desajustes y deformaciones previas    117  = s/E, donde s es el esfuerzo y E es el módulo de elasticidad. Luego suponga que tenemos una barra idéntica sometida a un cambio de temperatura ∆T, lo cual significa que la barra tiene deformaciones unitarias térmicas dadas por la ecuación (2.15). Igualando las dos deformaciones se tiene la ecuación s 5 Ea( T ) A partir de esta ecuación podemos calcular el esfuerzo axial s que produce la misma deformación unitaria que el cambio de temperatura ∆T. Por ejemplo, considere una barra de acero inoxidable con E = 30 × 106 psi y a = 9.6 × 10–6/°F. Un cálculo rápido a partir de la ecuación anterior de s muestra que un cambio de temperatura de 100°F produce la misma deformación unitaria que un esfuerzo de 29,000 psi. Este esfuerzo está en el rango de esfuerzos permisibles comunes para el acero inoxidable. Por tanto, un cambio relativamente modesto de temperatura produce deformaciones unitarias con la misma magnitud que las causadas por cargas ordinarias, lo que demuestra que los efectos de la temperatura pueden ser importantes en el diseño en la ingeniería. Los materiales estructurales ordinarios se dilatan al calentarse y se contraen al enfriarse y, por tanto, un aumento en la temperatura produce una deformación unitaria térmica positiva. Las deformaciones unitarias en general son reversibles, en el sentido que el elemento regresa a su forma original cuando la temperatura regresa al valor original. Sin embargo, recientemente se han desarrollado algunas aleaciones metálicas especiales que no se comportan de la manera acostumbrada. En cambio, dentro de ciertos valores de temperatura sus dimensiones disminuyen al calentarse y aumentan al enfriarse. El agua también es un material inusual desde un punto de vista térmico, se dilata al calentarse a temperaturas superiores a 4°C y también se dilata al enfriarse debajo de 4°C. Por tanto, el agua tiene una densidad máxima a 4°C. Ahora retornemos al bloque de material que se muestra en la figura 2.19. Suponemos que el material es homogéneo e isotrópico y que el incremento de temperatura ∆T es uniforme en todo el bloque. Podemos calcular el aumento de cualquier dimensión del bloque multiplicando la dimensión original por la deformación unitaria térmica. Por ejemplo, si una de las dimensiones es L, entonces esa dimensión aumentará en la cantidad dT L ΔT dT Figura 2.20 Incremento de longitud de una barra prismática debido a un aumento uniforme de temperatura (ecuación 2.16). eT L a( T )L (2.16) La ecuación (2.16) es una relación temperatura-desplazamiento, análoga a las relaciones fuerza-desplazamiento descritas en la sección anterior y se puede emplear para calcular cambios de longitudes de elementos estructurales sujetos a cambios de temperatura uniformes, como el alargamiento dT de la barra prismática que se muestra en la figura 2.20. (Las dimensiones transversales de la barra también varían, pero estos cambios no se muestran en la figura puesto que usualmente no tienen efecto alguno sobre las fuerzas axiales trasmitidas por la barra). En las descripciones anteriores de deformaciones unitarias térmicas, supusimos que la estructura no tenía restricciones y que era capaz de dilatarse o contraerse libremente. Estas condiciones existen cuando un objeto reposa sobre una superficie sin fricción o cuelga en espacio abierto. En esos casos no se producen esfuerzos por un cambio uniforme de temperatura en www.FreeLibros.com 118    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente A ΔT1 B C ΔT2 Figura 2.21 Armadura estáticamente determinada con un cambio uniforme de temperatura en cada elemento. todo el objeto, aunque cambios no uniformes de temperatura pueden producir esfuerzos internos. Sin embargo, muchas estructuras tienen soportes que evitan la dilatación y contracción libre, caso en el cual se desarrollarán esfuerzos térmicos aun cuando el cambio de temperatura sea uniforme en toda la estructura. Para ilustrar algunas de estas ideas sobre efectos térmicos, considere la armadura de dos barras ABC de la figura 2.21 y suponga que la temperatura de la barra AB cambia en ∆T1 y la temperatura de la barra BC cambia en ∆T2. Como la armadura está estáticamente determinada, las dos barras pueden alargarse o acortarse, resultando en un desplazamiento del nodo B. Sin embargo, no hay esfuerzos en ninguna de las barras y no hay reacciones en los apoyos. Esta conclusión es aplicable en general a estructuras estáticamente determinadas; es decir, los cambios uniformes de temperatura en los elementos producen deformaciones unitarias térmicas (y los cambios correspondientes de las longitudes) sin producir ningún esfuerzo correspondiente. B C A D Figura 2.22 Armadura estáticamente indeterminada sometida a cambios de temperatura. Se pueden desarrollar fuerzas en armaduras estáticamente indeterminadas debidas a cambios de temperatura y deformación previa Una estructura estáticamente indeterminada puede o no desarrollar esfuerzos por temperatura, dependiendo del carácter de la estructura y de la naturaleza de los cambios de temperatura. Para ilustrar algunas de las posibilidades, considere la armadura estáticamente indeterminada que se muestra en la figura 2.22. Como los apoyos de esta estructura permiten que el nodo D se mueva horizontalmente, no se desarrollan esfuerzos cuando toda la armadura se calienta uniformemente. Todos los elementos aumentan su longitud en proporción a sus longitudes originales y la armadura aumenta ligeramente su tamaño. Sin embargo, si algunas barras se calientan y otras no, se desarrollarán esfuerzos térmicos debido a que la configuración estáticamente indeterminada de las barras evita la dilatación libre. Para visualizar esta condición, imagine que sólo se calienta una barra. Conforme ésta se alarga, encuentra resistencia de las otras barras y, por tanto, se desarrollan esfuerzos en todos los elementos. El análisis de una estructura estáticamente indeterminada con cambios de temperatura se basa en los conceptos estudiados en la sección anterior, que son las ecuaciones de equilibrio, las ecuaciones de compatibilidad y las relaciones de los desplazamientos. La diferencia principal es que ahora utilizamos relaciones temperatura-desplazamiento (ecuación (2.16) además de relaciones fuerza-desplazamiento (como d = PL/EA) al realizar el análisis. Los dos ejemplos siguientes ilustran los procedimientos con detalle. secCiÓn 2.5 Efectos térmicos, desajustes y deformaciones previas    119 Ejemplo 2.7 Una barra prismática AB con longitud L se sujeta entre apoyos inmóviles (figura 2.23a). Si la temperatura de la barra se aumenta uniformemente en una cantidad ∆T, ¿qué esfuerzo térmico sT se desarrolla en la barra? (Suponga que la barra está hecha de un material linealmente elástico). RA RA A dT A L ΔT A dR ΔT B B B RB Figura 2.23 Ejemplo 2.7. Barra estáticamente indeterminada con aumento uniforme de temperatura ∆T. (a) (b) (c) Solución Ya que la temperatura aumenta, la barra tiende a alargarse pero está restringida por los apoyos rígidos en A y B. Por lo tanto, se desarrollan las reacciones RA y RB en los apoyos y la barra está sometida a esfuerzos de compresión uniformes. Ecuación de equilibrio. Las únicas fuerzas que actúan sobre la barra son las reacciones que se muestran en la figura 2.23a. Por tanto, del equilibrio de fuerzas en la dirección vertical se obtiene Fperm 0 RB RA 0 (a) Como esta es la única ecuación de equilibrio no trivial y puesto que contiene dos incógnitas, observamos que la estructura está estáticamente indeterminada y se necesita una ecuación adicional. Ecuación de compatibilidad. La ecuación de compatibilidad expresa el hecho de que el cambio de longitud de la barra es cero (ya que los apoyos no se mueven): dAB 0 (b) Para determinar este cambio de longitud removemos el apoyo superior de la barra y obtenemos una barra que está fija en la base y es libre para desplazarse en el extremo superior (figuras 2.23b y c). Cuando sólo actúa el cambio de temperatura (figura 2.23b), la barra se alarga en una cantidad dT y cuando sólo actúa la reacción RA, la continúa www.FreeLibros.com 120    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente barra se acorta en una cantidad dR (figura 2.23c). Por tanto, el cambio neto de longitud es dAB = dT – dR y la ecuación de compatibilidad se transforma en dT dAB dR (c) 0 Relaciones de desplazamiento. El aumento de longitud de la barra debido al cambio de temperatura está dado por la relación temperatura-desplazamiento (ecuación 2.16): dT (d) a( T)L en donde a es el coeficiente de dilatación térmica. La disminución de longitud debida a la fuerza RA está dada por la relación fuerza-desplazamiento: dR RA L EA (e) en donde E es el módulo de elasticidad y A es el área de la sección transversal. Solución de ecuaciones. Sustituyendo las relaciones de desplazamiento (d) y (e) en la ecuación de compatibilidad (ecuación c) da la siguiente ecuación: dT a( T)L dR RA L EA (f) 0 Ahora resolvemos simultáneamente la ecuación anterior y la ecuación de equilibrio (ecuación a) para determinar las reacciones RA y RB: RB RA EAa( T) (2.17) De estos resultados obtenemos el esfuerzo térmico sT en la barra: sT RA A RB A Ea( T) (2.18)   Este esfuerzo es de compresión cuando la temperatura de la barra aumenta. Nota 1: en este ejemplo las reacciones son independientes de la longitud de la barra y el esfuerzo es independiente tanto de la longitud como del área de la sección transversal (consulte las ecuaciones 2.17 y 2.18). Entonces, una vez más observamos la utilidad de una solución simbólica, ya que estas características importantes del comportamiento de la barra no se notarían en una solución puramente numérica. Nota 2: al determinar la dilatación térmica de la barra (ecuación d), supusimos que el material era homogéneo y que el incremento de temperatura era uniforme en todo el volumen de la barra. También, al determinar la disminución de la longitud debida a la fuerza reactiva (ecuación e), supusimos un comportamiento linealmente elástico del material. Estas limitaciones siempre se deben tener en cuenta al escribir ecuaciones como las (d) y (e). Nota 3: la barra en este ejemplo tiene desplazamientos longitudinales nulos, no sólo en los extremos fijos, sino también en cada sección transversal. Por tanto, no hay deformaciones unitarias axiales en esta barra y tenemos la situación especial de esfuerzos longitudinales sin deformaciones unitarias longitudinales. Por supuesto, hay deformaciones unitarias transversales en la barra debidas tanto al cambio de temperatura como a la compresión axial. secCiÓn 2.5 Efectos térmicos, desajustes y deformaciones previas    121 Ejemplo 2.8 Un manguito en forma de un tubo circular con longitud L se coloca alrededor de un perno y se ajusta entre arandelas en cada extremo (figura 2.24a). Luego la tuerca se gira hasta que está firme. El manguito y el perno están hechos de materiales distintos y tienen áreas de sus secciones transversales diferentes. (Suponga que el coeficiente de dilatación térmica aS del manguito es mayor que el coeficiente aB del perno). (a) Si la temperatura de todo el conjunto se eleva en una cantidad ∆T, ¿qué esfuerzos sS y sB se desarrollan en el manguito y el perno, respectivamente? (b) ¿Cuál es el aumento d en la longitud L del manguito y el perno? Tuerca Arandela Manguito Cabeza del perno Perno L (a) d1 d2 ΔT (b) d d4 d3 Figura 2.24 Ejemplo 2.8. Conjunto de un manguito y un perno con aumento uniforme de temperatura ∆T. PB PS (c) Solución Dado que el manguito y el perno son de materiales diferentes, se alargarán en cantidades distintas al calentarlos y permitir que se dilaten libremente. Sin embargo, cuando son retenidos por el conjunto, la dilatación libre no puede tener lugar y se desarrollan esfuerzos térmicos en los materiales. Para encontrar dichos esfuerzos, utilizamos los mismos conceptos como en cualquier análisis estáticamente indeterminado: ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y relaciones de desplazamiento. No obstante, no podemos formular estas ecuaciones sino hasta desarmar la estructura. Una forma simple de cortar la estructura es remover la cabeza del perno y de esta manera permitir que el manguito y el perno se dilaten libremente por el cambio de temperatura ∆T (figura 2.24b). Los alargamientos resultantes del manguito y el continúa www.FreeLibros.com 122    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente perno se denotan d1 y d2, respectivamente, y las relaciones temperatura-desplaza­ miento correspondientes son aS ( T)L d 2 d1 (g,h) aB( T )L Como aS es mayor que aB, el alargamiento d1 es mayor que d2, como se muestra en la figura 2.24b. Las fuerzas axiales en el manguito y el perno deben ser tales que acorten el manguito y alarguen el perno hasta que las longitudes finales de ambos sean iguales. Estas fuerzas se muestran en la figura 2.24c, donde PS denota la fuerza de compresión en el manguito y PB la fuerza de tensión en el perno. El acortamiento correspondiente d3 del manguito y el alargamiento d4 del perno son PS L ES AS d3 d4 PB L EB AB (i,j) en donde E S AS y E B AB son las rigideces axiales respectivas. Las ecuaciones (i) y (j) son las relaciones carga-desplazamiento. Ahora podemos escribir una ecuación de compatibilidad que exprese el hecho de que el alargamiento final d es el mismo para el manguito y el perno. El alargamiento del manguito es d1 – d3 y el del perno es d2 + d4; por lo tanto, d d1 d3 d2 (k) d4 Al sustituir las relaciones temperatura-desplazamiento y carga-desplazamiento (ecuaciones g a i) en esta ecuación, se tiene d aS( T )L PS L ES AS aB( T )L PB L EB AB (l) de donde obtenemos PS L ES AS PB L EB AB aS( T)L aB( T)L (m) que es un forma modificada de la ecuación de compatibilidad. Observe que contiene las fuerzas PS y PB como incógnitas. Una ecuación de equilibrio se obtiene a partir de la ecuación 2.24c, que es un diagrama de cuerpo libre de la parte restante del conjunto después de remover la cabeza del perno. Sumando fuerzas en la dirección horizontal se obtiene PS PB (n) que expresa el hecho obvio de que la fuerza de compresión en el manguito es igual a la fuerza de tensión en el perno. Ahora resolvemos simultáneamente las ecuaciones (m) y (n) para obtener las fuerzas axiales en el manguito y el perno. PS PB (aS aB)( T )ES AS EB AB ES AS EB AB (2.19) Al deducir esta ecuación supusimos que aumentó la temperatura y que el coeficiente aS era mayor que el coeficiente aB. Con estas condiciones, PS es la fuerza de compresión en el manguito y PB es la fuerza de tensión en el perno. secCiÓn 2.5 Efectos térmicos, desajustes y deformaciones previas    123 Los resultados serán muy diferentes si la temperatura aumenta pero el coeficiente aS es menor que el coeficiente aB. Con estas condiciones, se tendrá una holgura entre la cabeza del perno y el manguito y no habrá esfuerzos en ninguna parte del conjunto. (a) Esfuerzos en el manguito y el perno. Las expresiones para los esfuerzos sS y sB en el manguito y el perno, respectivamente, se obtienen dividiendo las fuerzas correspondientes entre las áreas respectivas: sS PS AS (a S a B )( T )E S E B AB ES AS EB AB (2.201a)   sB PB AB (aS aB)( T )ES AS EB ES AS EB AB (2.201b)   En las condiciones supuestas, el esfuerzo sS en el manguito es de compresión y el esfuerzo sB en el perno es de tensión. Es interesante observar que estos esfuerzos son independientes de la longitud del conjunto y que sus magnitudes son inversamente proporcionales a sus áreas respectivas (es decir, sS/sB = AB/AS). (b) Aumento de longitud del manguito y el perno. El alargamiento d del conjunto se puede determinar sustituyendo PS o bien PB de la ecuación (2.19) en la ecuación (l) y se obtiene d (aS ES AS aB EB AB)( T )L ES AS EB AB (2.21)   Si disponemos de las fórmulas anteriores, es fácil calcular las fuerzas, los esfuer­ zos y los desplazamientos del conjunto para cualquier conjunto dado de datos numé­ ricos. Nota: como verificación parcial de los resultados, podemos ver si las ecuaciones (2.19), (2.20) y (2.21) se reducen a valores conocidos en casos simplificados. Por ejemplo, suponga que el perno es rígido y, por tanto, no se ve afectado por cambios de temperatura. Podemos representar esta situación igualando aB = 0 y haciendo EB infinitamente grande, creando así un conjunto en el que el manguito se sostiene entre soportes rígidos. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (2.19), (2.20) y (2.21), obtenemos PS ES AS aS( T ) sS ESaS ( T) d 0 Estos resultados concuerdan con los del ejemplo 2.7 para una barra sostenida entre soportes rígidos (compare con las ecuaciones 2.17 y 2.18 y con la ecuación b). Como segundo caso especial, suponga que el manguito y el perno están hechos del mismo material. Entonces las dos partes se dilatarán libremente y se alargarán la misma cantidad cuando la temperatura cambie. No se desarrollarán fuerzas o esfuerzos. Para ver si las ecuaciones derivadas predicen este comportamiento, sustituimos aS = aB = a en las ecuaciones (2.19), (2.20) y (2.21) y obtenemos PS PB 0 sS que son los resultados esperados. www.FreeLibros.com sB 0 d a( T )L 124    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Desajustes y deformaciones previas C A L D B (a) C A L D B P (b) Figura 2.25 Estructura estáticamente determinada con un pequeño desajuste. C A D E L F L B (a) C A D E L F (b) L B P Figura 2.26 Estructura estáticamente indeterminada con un pequeño desajuste. Suponga que un elemento de una estructura se fabrica con su longitud ligeramente diferente de la que está especificada. Entonces el elemento no se ajustará en la estructura de la manera propuesta y la geometría de la estructura será diferente de la planeada. A estos casos se les conoce como desajustes. En ocasiones los desajustes se crean intencionalmente a fin de introducir deformaciones en la estructura en el momento en que se construye. Como estas deformaciones existen antes de que se apliquen las cargas a la estructura, se llaman deformaciones previas. Con las deformaciones previas se presentan esfuerzos previos y se dice que la estructura está preesforzada. Ejemplos comunes de preesforzado son los rayos en las rue­ das de bicicleta (que se arruinarían si no estuvieran preesforzados), las caras pretensadas de las raquetas de tenis, las partes de máquinas de ajuste por contracción y las vigas de concreto preesforzado. Si una estructura es estáticamente determinada, los desajustes pequeños en uno o más de los elementos no producirán deformaciones unitarias ni esfuerzos, aunque habrá desviaciones de la configuración teórica de la estructura. Para ilustrar esta afirmación, considere una estructura simple con una viga horizontal AB soportada por una barra vertical CD (figura 2.25a). Si la barra CD tiene exactamente la longitud correcta L, la viga será horizontal al tiempo que se construye la estructura. Sin embargo, si la barra es ligeramente más larga que lo propuesto, la viga formará un ángulo pequeño con la horizontal. No obstante, no habrá deformaciones unitarias o esfuerzos en la barra o en la viga atribuibles a la longitud incorrecta de la barra. Además, si una carga P actúa en el extremo de la viga (figura 2.25b), los esfuerzos en la estructura debidos a esa carga no se afectarán por la longitud incorrecta de la barra CD. En general, si una estructura es estáticamente determinada, la presencia de desajustes pequeños producirá ligeros cambios en la geometría pero no deformaciones unitarias o esfuerzos. Por tanto, los efectos de un desajuste son similares a los del cambio de temperatura. La situación es muy diferente si la estructura es estáticamente indeterminada, ya que entonces la estructura no tiene libertad para adaptarse a los desajustes (al igual que no tiene libertad de acoplarse a ciertas cambios de temperatura). Para demostrar esto, considere una viga soportada por dos barras verticales (figura 2.26a). Si las dos barras tienen exactamente la longitud correcta L, la estructura se puede ensamblar sin deformaciones o esfuerzos y la viga será horizontal. Sin embargo, suponga que la barra CD es ligeramente más larga que la longitud prescrita. Entonces, a fin de ensamblar la estructura, la barra CD se debe comprimir mediante fuerzas externas (o alargar la barra EF mediante fuerzas externas), las barras se deben ajustar en su lugar y luego se deben liberar las fuerzas externas. Como resultado, la viga se deformará y girará, la barra CD estará en compresión y la barra EF estará en tensión. En otras palabras, existirá una deformación previa en todos los elementos y la estructura estará preesforzada, aunque no actúen cargas externas. Si ahora se agrega una carga P (figura 2.26b), se producirán deformaciones unitarias y esfuerzos adicionales. El análisis de una estructura estáticamente indeterminada con desajustes y deformaciones previas procede de la misma manera general como se describió con anterioridad para cargas y cambios de temperatura. Los ingre- secCiÓn 2.5 Efectos térmicos, desajustes y deformaciones previas    125 dientes básicos del análisis son las ecuaciones de equilibrio, las ecuaciones de compatibilidad, las relaciones fuerza-desplazamiento y (si es apropiado) las relaciones temperatura-desplazamiento. La metodología se ilustra en el ejemplo 2.9. Pernos y tensores de tornillo Al preesforzar una estructura se requiere que una o más de sus partes se alarguen o compriman a partir de sus longitudes teóricas. Una forma simple para producir un cambio de longitud es apretar un perno o un tensor de tornillo. En el caso de un perno (figura 2.27) cada vuelta de la tuerca ocasionará que ésta se mueva alrededor del perno una distancia igual al espaciamiento p de las roscas (denominado paso de las roscas). Por tanto la distancia d recorrida por la tuerca es d np (2.22) en donde n es el número de revoluciones de la tuerca (no necesariamente un entero). Dependiendo de cómo esté conformada la estructura, al girar la tuerca o se alarga o bien se comprime un elemento. p Figura 2.27 El paso de las roscas es la distancia de una rosca a la siguiente. En el caso de un tensor de tornillo de doble acción (figura 2.28), hay dos tornillos extremos. Como en un extremo se utiliza una rosca derecha y en el otro una izquierda, el dispositivo o se alarga o bien se acorta cuando se gira el tensor. Cada vuelta completa del tensor causa que éste recorra una distancia p a lo largo del tornillo, donde de nuevo p es el paso de las roscas. Por tanto, si el tensor de tornillo se aprieta una vuelta, las roscas se acercan una distancia 2p y el efecto es acortar el dispositivo en 2p. Para n vueltas, tenemos d 2np (2.23) Los tensores de tornillo a menudo se insertan en cables y luego se aprietan, de esta manera se crea una tensión inicial en los cables, como se ilustra en el ejemplo siguiente. Figura 2.28 Tensor de tornillo de doble acción. (Cada vuelta completa del tensor acorta o alarga el cable en 2p, donde p es el paso del tornillo.) P www.FreeLibros.com P 126    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Ejemplo 2.9 El conjunto mecánico que se muestra en la figura 2.29a consiste en un tubo de cobre, una placa extrema rígida y dos cables con tensores de tornillo. La holgura de los cables se elimina girando los tensores hasta que el conjunto está firme pero sin esfuerzos iniciales. (Un apretón adicional de los tensores producirá una condición preesforzada en la que los cables están en tensión y el tubo en compresión). (a) Determine las fuerzas en el tubo y los cables (figura 2.29a) cuando los tensores se aprietan n vueltas. (b) Determine el acortamiento del tubo. Tubo de cobre Cable de acero Placa rígida Tensor de tornillo (a) L d1 (b) d1 d2 Figura 2.29 Ejemplo 2.9. Conjunto estáticamente indeterminado con un tubo (c) de cobre en compresión y dos cables en tensión. d3 Ps Pc Ps Solución Iniciamos el análisis quitando la placa en el extremo derecho del conjunto de manera que el tubo y los cables estén en libertad para cambiar de longitud (figura 2.29b). Girando los tensores n vueltas acortará los cables en una distancia d1 2np (o) como se muestra en la figura 2.29b. Las fuerzas de tensión en los cables y la fuerza de compresión en el tubo deben ser tales que alarguen los cables y acorten el tubo hasta que sus longitudes finales sean las mismas. Estas fuerzas se muestran en la figura 2.29c, donde Ps representa la fuerza de tensión en uno de los cables de acero y Pc denota la fuerza de compresión en el tubo de cobre. El alargamiento de un cable debido a la fuerza Ps es d2 Ps L Es As (p) secCiÓn 2.5 Efectos térmicos, desajustes y deformaciones previas    127 en donde EsAs es la rigidez axial y L es la longitud de un cable. Además, la fuerza de compresión Pc en el tubo de cobre ocasiona que éste se acorte en Pc L Ec Ac d3 (q) en donde EcAc es la rigidez axial del tubo. Las ecuaciones (p) y (q) son las relaciones carga-desplazamiento. El acortamiento final de uno de los cables es igual al acortamiento d1 ocasionado al girar el tensor menos el alargamiento d2 debido a la fuerza Ps. Este acortamiento final del cable debe ser igual al acortamiento d3 del tubo: d1 d2 (r) d3 que es la ecuación de compatibilidad. Sustituyendo la relación del tensor (ecuación o) y las relaciones carga-desplazamiento (ecuaciones p y q) en la ecuación anterior se obtiene PssL EssAss 2np PccL EccAcc (s) 2np (t) bien oObien PssL EssAss PccL EccAcc que es una forma modificada de la ecuación de compatibilidad. Observe que contiene Ps y Pc como incógnitas. De la figura 2.29c, que es un diagrama de cuerpo libre del conjunto con la placa extrema removida, obtenemos la siguiente ecuación de equilibrio: 2Ps Pc (u) (a) Fuerzas en los cables y el tubo. Ahora resolvemos simultáneamente las ecuaciones (t) y (u), y obtenemos las fuerzas axiales en los cables de acero y el tubo de cobre, respectivamente:    Ps 2npEc Ac Es As L (Ec Ac 2Es As ) Pc 4npEc Ac Es As L (Ec Ac 2Es As ) (2.24a,b)   Recuerde que las fuerzas Ps son de tensión y la fuerza Pc es de compresión. Si se quiere, ahora se pueden obtener los esfuerzos ss y sc en el acero y el cobre dividiendo las fuerzas Ps y Pc entre las áreas de las secciones transversales As y Ac, respectivamente. (b) Acortamiento del tubo. La disminución de la longitud del tubo es la cantidad d3 (consulte la figura 2.29 y la ecuación q): d3 Pc L Ec Ac 4npEs As    (2.25)   Ec Ac 2Es As Al disponer de las fórmulas anteriores es fácil calcular las fuerzas, los esfuerzos y los desplazamientos del conjunto para cualquier grupo dado de datos numéricos. www.FreeLibros.com 128    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.6 ESFUERZOS SOBRE SECCIONES INCLINADAS En nuestro análisis anterior de tensión y compresión en elementos cargados axialmente, los únicos esfuerzos que consideramos fueron los normales que actúan sobre las secciones transversales. Éstos se representan en la figura 2.30, donde consideramos una barra AB sometida a cargas axiales P. Cuando la barra se corta en una sección transversal intermedia por un plano mn (perpendicular al eje x), obtenemos el diagrama de cuerpo libre que se muestra en la figura 2.30b. Los esfuerzos normales que actúan sobre la sección cortada se deben calcular con la fórmula sx = P/A siempre que la distribución del esfuerzo sea uniforme sobre el área de la sección transversal A. Como ya se explicó en el capítulo 1, esta condición existe si la barra es prismática, el material es homogéneo y la fuerza axial P actúa en el centroide del área de la sección transversal, y la sección transversal está alejada de de cualquier concentración localizada de esfuerzos. Por supuesto, no hay esfuerzos cortantes actuando sobre la sección cortada, debido a que ésta es perpendicular al eje longitudinal de la barra. Por conveniencia se suelen mostrar los esfuerzos en una vista bidimensional de la barra (figura 2.30c) en vez de la vista tridimensional más compleja (figura 2.30b). Sin embargo, al trabajar con figuras bidimensionales no debemos olvidar que la barra tiene un espesor perpendicular al plano de y P z m O P x A B n (a) y P z O sx = P A x A (b) y Figura 2.20 Barra prismática en tensión mostrando los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal mn: (a) barra con fuerzas axiales P, (b) vista tridimensional mostrando los esfuerzos normales y (c) vista bidimensional. P O A m x C sx = n (c) P A secCiÓn 2.6 Esfuerzos sobre secciones inclinadas    129 la figura. Esta tercera dimensión debe considerarse en las deducciones y en los cálculos. Elementos de esfuerzo La forma más útil de representar los esfuerzos en la barra de la figura 2.30 es aislar un elemento pequeño de material, como el que se identifica con C en la figura 2.30c y luego mostrar los esfuerzos que actúan sobre todas sus caras. Un elemento de este tipo se denomina elemento de esfuerzo. El elemento de esfuerzo en el punto C es un bloque rectangular pequeño (no importa si es un cubo o un paralelepípedo rectangular) con su cara derecha coincidiendo con la sección mn. Las dimensiones de un elemento de esfuerzo se suponen infinitesimalmente pequeñas, pero por claridad lo dibujamos a una escala grande, como en la figura 2.31a. En este caso, los bordes del elemento son paralelos a los ejes x, y y z, y las únicos esfuerzos son los normales sx que actúan sobre las caras x (recuerde que las caras x tienen sus normales paralelas al eje x). Como es más conveniente, con frecuencia dibujaremos una vista bidimensional del elemento (figura 2.31b) en lugar de una vista tridimensional. Esfuerzos sobre secciones inclinadas El elemento de esfuerzo de la figura 2.31 sólo muestra una vista limitada de los esfuerzos en una barra cargada axialmente. Para obtener una representación más completa, necesitamos investigar los esfuerzos que actúan sobre secciones inclinadas, como la sección cortada por el plano inclinado pq en la figura 2.32a. Puesto que los esfuerzos son los mismos en toda la barra, los que actúan sobre la sección inclinada deben estar distribuidos uniformemente, como se representa en los diagramas de cuerpo libre de la figura 2.32b (vista tridimensional) y en la figura 2.32c (vista bidimensional). A partir del equilibrio del cuerpo libre sabemos que la resultante de los esfuerzos debe ser una fuerza horizontal P. (La resultante se traza con una línea discontinua en las figuras 2.32b y 2.32c.) y y P sx = A sx = P A O Figura 2.31 Elemento de esfuerzo en el punto C de la barra cargada axialmente mostrada en la figura 2.30c: (a) vista tridimensional del elemento y (b) vista bidimensional del elemento. x sx sx x O z (a) www.FreeLibros.com (b) 130    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente y P z p O P x A B q (a) y P z O P x A (b) Figura 2.32 Barra prismática en tensión mostrando los esfuerzos que actúan sobre una sección inclinada pq: (a) barra con fuerzas axiales P, (b) vista tridimensional de la barra cortada mostrando los esfuerzos y (c) vista bidimensional. y P O p P x q A (c) Como punto preliminar, necesitamos un esquema para especificar la orientación de la sección inclinada pq. Un método estándar es especificar el ángulo u entre el eje x y la normal n a la sección (consulte la figura 2.33a). De esta manera, el ángulo u para la sección inclinada mostrada en la figura es aproximadamente 30°. En contraste, la sección transversal mn (figu­ra 2.30a) tiene un ángulo u igual a cero (debido a que la normal a la sección es el eje x). Como ejemplos adicionales, considere, el elemento de esfuerzo de la figura 2.31. El ángulo u para la cara derecha es 0, para la cara superior es 90° (una sección longitudinal de la barra), para la cara izquierda es 180° y para la cara inferior es 270° (o –90°). Ahora regresemos a la tarea de determinar los esfuerzos que actúan sobre la sección pq (figura 2.33b). Como ya se mencionó, la resultante de estos esfuerzos es una fuerza P en la dirección x. Esta resultante se puede separar en dos componentes, una fuerza normal N que es perpendicular al plano inclinado pq y una fuerza cortante V que es tangencial a ella. Estas componentes de la fuerza son N P cos u V P sen u (2.26a,b) Asociados con las fuerzas N y V se tienen esfuerzos normales y cortantes que están distribuidos uniformemente sobre la sección inclinada (figuras secCiÓn 2.6 Esfuerzos sobre secciones inclinadas    131 y P n p u O P x A B q (a) y P O p N x u P A V q (b) p A A1 = N su = — A1 A cos u q (c) p V tu = – — A1 Figura 2.33 Barra prismática en tensión mostrando los esfuerzos que actúan sobre una sección inclinada pq. A A1 = A cos u q (d) 2.33 c y d). El esfuerzo normal es igual al fuerza normal N dividida entre el área de la sección y el esfuerzo cortante es igual a la fuerza cortante V dividida entre el área de la sección. Por tanto, los esfuerzos son s N A1 t V A1 (2.27a,b) en donde A1 es el área de la sección inclinada: A1 www.FreeLibros.com A cos u (2.28) 132    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Como es usual, A representa el área de la sección transversal de la barra. Los esfuerzos s y t actúan en las direcciones que se muestran en la figura 2.33c y d, es decir, en las mismas direcciones que la fuerza normal N y que la fuerza cortante V, respectivamente. En este punto necesitamos establecer una notación y convención de signos estandarizadas para los esfuerzos que actúan sobre las secciones inclinadas. Utilizaremos un subíndice u para indicar que el esfuerzo actúa sobre una sección inclinada un ángulo u (figura 2.34), de igual forma empleamos un subíndice x para indicar que los esfuerzos actúan sobre una sección perpendicular al eje x (consulte la figura 2.30). Los esfuerzos normales su son positivos en tensión y los esfuerzos cortantes tu son positivos cuando tienden a producir una rotación del material en sentido contrario al de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 2.34. Figura 2.34 Convención de signos para esfuerzos que actúan sobre una sección inclinada. (Los esfuerzos normales son positivos en tensión y los esfuerzos cortantes son positivos cuando tienden a producir rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj). y su tu P O u x Para una barra en tensión, la fuerza normal N produce esfuerzos normales positivos su (consulte la figura 2.33c) y la fuerza cortante produce esfuerzos cortantes negativos tu (consulte la figura 2.33d). Estos esfuerzos están dados por las siguientes ecuaciones (consulte las ecuaciones 2.26, 2.27 y 2.28): su N A1 P cos2u A V A1 tu P senu cos u A Introduciendo la notación sx = P/A, en donde sx es el esfuerzo normal sobre una sección trasversal y también empleando las relaciones trigonométricas cos2u 1 (1 2 cos 2u) senu cos u 1 (sen 2u) 2 obtenemos las expresiones siguientes para los esfuerzos normal y cortante: x   cos2 x x 2 sen cos (1 cos 2 ) x 2 (sen 2 ) (2.29a) (2.29b) Estas ecuaciones dan los esfuerzos que actúan sobre una sección inclinada orientada en un ángulo u con respecto al eje x (figura 2.34). Es importante reconocer que las ecuaciones (2.29a) y (2.29b) sólo fueron deducidas a partir de la estática y, por tanto, son independientes del material. Entonces, estas ecuaciones son válidas para cualquier material, ya sea que se comporte lineal o no linealmente, elástica o inelásticamente. secCiÓn 2.6 Esfuerzos sobre secciones inclinadas    133 su o tu sx su 0.5sx –90° Figura 2.35 Gráfica del esfuerzo normal su y del esfuerzo cortante tu en función del ángulo u de la sección inclinada (consulte la figura 2.34 y las ecuaciones 2.29a y b). –45° 0 tu 45° u 90° –0.5sx Esfuerzos normales y cortantes máximos La forma en que varían los esfuerzos conforme la sección inclinada se corta en varios ángulos se muestra en la figura 2.35. El eje horizontal da el ángulo u conforme varía de –90° a +90°, el eje vertical indica los esfuerzos su y tu. Observe que un ángulo positivo u se mide en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x (figura 2.34) y uno negativo se mide en sentido de las manecillas del reloj. Como se muestra en la gráfica, el esfuerzo normal su es igual a sx cuando u = 0. Entonces, a medida que u aumenta o disminuye, el esfuerzo normal disminuye hasta que en u = ±90° se hace cero, debido a que no hay esfuerzos normales sobre las secciones cortadas paralelas al eje longitudinal. El esfuerzo normal máximo se presenta en u = 0 y es smáx sx (2.30) Además, observamos que cuando u = ±45°, el esfuerzo normal es la mitad del valor máximo. El esfuerzo cortante tu es cero sobre las secciones transversales de la barra (u = 0) así como sobre las secciones longitudinales (u = ±90°). Entre estos extremos, el esfuerzo varía como se muestra en la gráfica, alcanzando el valor positivo máximo cuando u = –45° y el valor negativo máximo cuando u = +45°. Estos esfuerzos cortantes máximos tienen la misma magnitud: tmáx sx 2 (2.31) pero tienden a girar al elemento en direcciones opuestas. Los esfuerzos máximos en una barra en tensión se muestran en la figura 2.36. Hemos seleccionado dos elementos de esfuerzo, el elemento A está orientado en u = 0° y el elemento B está orientado en u = 45°. El elemento A tiene los esfuerzos normales máximos (ecuación 2.30) y el elemento B tiene los esfuerzos cortantes máximos (ecuación 2.31). En el caso del elemento A (figura 2.36b), los únicos esfuerzos son los normales máximos (no existen esfuerzos cortantes sobre ninguna de las caras). www.FreeLibros.com 134    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente y P O x A P B (a) sx 2 sx 2 u = 45° y sx O y x sx O A Figura 2.36 Esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre elementos de esfuerzo orientados en u = 0° y u = 45° para una barra en tensión. x B t máx = sx 2 (b) sx 2 sx 2 (c) En el caso del elemento B (figura 2.36c), actúan esfuerzos normales y cortantes sobre todas las caras (excepto, por supuesto, en las caras anterior y posterior del elemento). Considere, por ejemplo, la cara a 45° (la superior derecha). Sobre ella, los esfuerzos normales y cortantes (de las ecuaciones 2.29a y b) son sx/2 y –sx/2, respectivamente. De aquí, el esfuerzo normal está en tensión (positivo) y el esfuerzo cortante actúa en el sentido de las manecillas del reloj (negativo) contra el elemento. Los esfuerzos sobre las caras restantes se obtienen de una manera similar sustituyendo u = 135°, –45° y –135° en las ecuaciones (2.29a y b). Entonces, en este caso especial de un elemento orientado en u = 45°, los esfuerzos normales sobre las cuatro caras son los mismos (iguales a sx/2) y los cuatro esfuerzos cortantes tienen la misma magnitud (igual a sx/2). Asimismo, observe que los esfuerzos cortantes que actúan sobre planos perpendiculares son iguales en magnitud y tienen direcciones ya sea hacia arriba o bien alejadas de la línea de intersección de los planos, como se analizó con detalle en la sección 1.6. Si una barra se carga en compresión en lugar de en tensión, el esfuerzo sx será de compresión y tendrá un valor negativo. En consecuencia, todos los esfuerzos que actúan sobre elementos de esfuerzo tendrán direcciones opuestas a las de una barra en tensión. Por supuesto, las ecuaciones (2.29a y b) aún se pueden usar para los cálculos simplemente sustituyendo sx como una cantidad negativa. No obstante que el esfuerzo cortante máximo en una barra cargada axialmente sólo es la mitad del esfuerzo normal máximo, el esfuerzo cortante puede ocasionar la falla si el material es mucho más débil en cortante secCiÓn 2.6 Esfuerzos sobre secciones inclinadas    135 que en tensión. Un ejemplo de una falla por cortante se representa en la figura 2.37, donde se muestra un bloque de madera que se sometió a compresión y falló por cortante a lo largo de un plano a 45°. Un comportamiento similar se tiene en el acero dulce sometido a tensión. Durante un ensayo a tensión de una barra plana de acero al bajo carbono con superficies pulidas, aparecen bandas de deslizamiento visibles en los lados de la barra a aproximadamente 45° respecto de su eje (figura 2.38). Estas bandas indican que el material está fallando en cortante a lo largo de planos sobre los cuales el esfuerzo cortante es máximo. Las bandas fueron observadas por primera vez por G. Piobert en 1842 y W. Lüders en 1860 (consulte las referencias 2.5 y 2.6) y en la actualidad se llaman bandas de Lüders o bandas de Piobert. Comienzan a aparecer cuando el esfuerzo de fluencia se alcanza en la barra (punto B en la figura 1.10 de la sección 1.3). Carga Esfuerzo uniaxial Carga Figura 2.37 Falla por cortante a lo largo de un plano a 45° de un bloque de madera sometido a compresión. El estado de esfuerzo que se describe en toda esta sección se llama esfuerzo uniaxial, por la obvia razón de que la barra se somete a tensión o compresión simple sólo en una dirección. Las orientaciones más importantes de los elementos de esfuerzo para esfuerzo uniaxial son u = 0 y u = 45° (figuras 2.36b y c); la primera tiene un esfuerzo normal máximo y la segunda tiene un esfuerzo cortante máximo. Si las secciones se cortan a través de la barra en otros ángulos, los esfuerzos que actúan sobre las cargas de los elementos de esfuerzo correspondientes se pueden determinar a partir de las ecuaciones (2.29a y b), como se ilustra en los ejemplos 2.10 y 2.11 siguientes. El esfuerzo uniaxial es un caso especial de un estado de esfuerzo más general conocido como esfuerzo plano, que se describe con detalle en el capítulo 7. Carga Figura 2.38 Bandas de deslizamiento (o bandas de Lüders) en una probeta de acero pulido sometida a tensión. www.FreeLibros.com Carga 136    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Ejemplo 2.10 Una barra prismática con área de su sección transversal A = 1200 mm2 se comprime mediante una carga axial P = 90 kN (figura 2.39a). (a) Determine los esfuerzos que actúan sobre una sección inclinada pq cortada a través de la barra en un ángulo u = 25°. (b) Determine el estado de esfuerzo completo para u = 25° y muestre los esfuerzos sobre un elemento de esfuerzo con la orientación adecuada. y p P O u = 25° P = 90 kN x 13.4 MPa 28.7 MPa 28.7 MPa b 61.6 MPa q c (a) 28.7 MPa 28.7 MPa 61.6 MPa P 25° 61.6 MPa 25° a d 28.7 MPa 13.4 MPa (b) (c) Figura 2.39 Ejemplo 2.10. Esfuerzos sobre una sección inclinada. Solución (a) Esfuerzos sobre la sección inclinada. Para determinar los esfuerzos que actúan sobre una sección con u = 25°, primero calculamos el esfuerzo normal sx que actúa sobre una sección transversal: sx P A 90 kN 1200 mm2 75 MPa secCiÓn 2.6 Esfuerzos sobre secciones inclinadas    137 donde el signo menos indica que el esfuerzo es de compresión. Enseguida, calculamos los esfuerzos normal y cortante con las ecuaciones (2.29a y b) con u = 25°, como sigue: su tu sx cos2 u ( 75 MPa)(cos 25°)2 sx senu cos u 61.6 MPa (75 MPa)(sen 25°)(cos 25°)    28.7 MPa    En la figura 2.39b se muestran estos esfuerzos que actúan sobre la sección inclinada. Observe que el esfuerzo normal su es negativo (de compresión) y el esfuerzo cortante tu es positivo (sentido contrario al de las manecillas del reloj). (b) Estado de esfuerzo completo. Para determinar el estado de esfuerzo completo necesitamos calcular los esfuerzos que actúan sobre todas las caras de un elemento de esfuerzo orientado a 25° (figura 2.39c). La cara ab, para la cual u = 25°, tiene la misma orientación que el plano inclinado que se muestra en la figura 2.39b. Por tanto, los esfuerzos son los mismos que los dados con anterioridad. Los esfuerzos sobre la cara opuesta cd son los mismos que sobre la cara ab, lo que se puede verificar sustituyendo u = 25° + 180° = 205° en las ecuaciones (2.29a y b). Para la cara ad sustituimos u = 25° – 90° = –65° en las ecuaciones (2.29a y b) y obtenemos su 13.4 MPa tu 28.7 MPa Estos mismos esfuerzos se aplican a la cara opuesta bc, como se puede verificar sustituyendo u = 25° + 90° = 115° en las ecuaciones (2.29a y b). Observe que el esfuerzo normal es de compresión y que el esfuerzo cortante actúa en el sentido de las manecillas del reloj. El estado de esfuerzo completo se muestra por el elemento de esfuerzo de la figura 2.39c. Un bosquejo de este tipo es una forma excelente para mostrar las direcciones de los esfuerzos y las orientaciones de los planos sobre los que actúan. www.FreeLibros.com 138    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Ejemplo 2.11 Una barra en compresión con sección transversal cuadrada de ancho b debe soportar una carga P = 8000 lb (figura 2.40a). La barra está hecha con dos piezas de material que están conectadas mediante una junta pegada (conocida como junta biselada) a lo largo del plano pq, que está a un ángulo a = 40° con respecto a la vertical. El material es un plástico estructural con esfuerzos permisibles en compresión y cortante de 1100 y 600 psi, respectivamente. Además, los esfuerzos permisibles en la junta pegada son 750 psi en compresión y 500 psi en cortante. Determine el ancho mínimo b de la barra. Solución Por conveniencia giremos la barra hasta una posición horizontal (figura 2.40b) que iguale a las figuras empleadas al deducir las ecuaciones para los esfuerzos sobre una sección inclinada (consulte las figuras 2.33 y 2.34). Con la barra en esta posición observamos que la normal n respecto al plano de la junta pegada (plano pq) forma un ángulo bb = 90° – a, o 50°, con el eje de la barra. Como el ángulo u se define como positivo cuando es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj (figura 2.34), concluimos que u = –50° para la junta pegada. El área de la sección transversal de la barra se relaciona con la carga P y el esfuerzo sx que actúa sobre las secciones transversales mediante la ecuación P sx A (a) Por tanto, para encontrar el área necesaria, debemos determinar el valor de sx que corresponde a cada uno de los cuatro esfuerzos permisibles. Luego, el valor menor de sx determinará el área necesaria. Los valores de sx se obtienen reacomodando las ecuaciones (2.29a y b) como sigue: su cos2u sx sx tu senu cos u (2.32a,b) Ahora aplicamos estas ecuaciones a la junta pegada y al plástico. (a) Valores de sx con base en los esfuerzos permisibles en la junta pegada. Para compresión en la junta pegada tenemos su = –750 psi y u = –50°. Sustituyendo estos valores en la ecuación (2.32a), obtenemos sx 750 psi (cos 50°)2 1815 psi (b) Para el cortante en la junta pegada tenemos un esfuerzo permisible de 500 psi. Sin embargo, no es inmediatamente evidente si tu es +500 psi o –500 psi. Un enfo- secCiÓn 2.6 Esfuerzos sobre secciones inclinadas    139 3 que es sustituir los dos valores +500 psi y –500 psi en la ecuación (2.32b) y después seleccionar el valor de sx que sea negativo. El otro valor de sx será positivo (tensión) y no se aplica a esta barra. Otro enfoque es inspeccionar la propia barra (figura 2.40b) y observar a partir de las direcciones de las cargas que el esfuerzo cortante actúa en el sentido de las manecillas del reloj contra el plano pq, lo que significa que el esfuerzo cortante es negativo. Por lo tanto, sustituimos tu = –500 psi y u = –50° en la ecuación (2.32b) y obtenemos S a T sx E E (sen 500 psi 50°)(cos 50°) (c) 1015 psi (b) Valores de sx con base en los esfuerzos permisibles en el plástico. El esfuerzo de compresión máximo en el plástico se tiene sobre una sección transversal. Por tanto, como el esfuerzo permisible en compresión es 1100 psi, de inmediato sabemos que D sx \ S 3 2 [ 3 (d) 1100 psi El esfuerzo cortante máximo ocurre sobre un plano a 45° y numéricamente es igual a sx/2 (consulte la ecuación 2.31). Puesto que el esfuerzo permisible en cortante es 600 psi, obtenemos a T Q b  $²a a $ b $ u ² b ²$ E Figura 2-40 Ejemplo 2.11. Esfuerzos sobre una sección inclinada. sx (e) 1200 psi El mismo resultado se puede obtener con la ecuación (2.32b) sustituyendo tu = 600 psi y u = 45°. (c) Ancho mínimo de la barra. Al comparar los cuatro valores de sx (ecuaciones b, c, d y e), observamos que el menor es sx = –1015 psi. Por tanto, este valor gobierna el diseño. Sustituyendo en la ecuación (a) y empleando sólo valores numéricos obtenemos el área necesaria: A 8000 lb 1015 psi 7.88 in2 Como la barra tiene una sección transversal cuadrada (A = b2), el ancho mínimo es bmín A 7.88 in2 2.81 in    Cualquier ancho mayor que bmín garantizará que no se rebasen los esfuerzos permisibles. www.FreeLibros.com 140    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.7 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN L d P Figura 2.41 Barra prismática sometida a una carga aplicada estáticamente. P dP1 P La energía de deformación es un concepto fundamental en la mecánica aplicada, y sus principios se usan ampliamente para determinar la respuesta de máquinas y estructuras sometidas a cargas estáticas y dinámicas. En esta sección introducimos el tema de energía de deformación en su forma más simple considerando sólo elementos cargados axialmente sometidos a cargas estáticas. En capítulos posteriores se analizan elementos estructurales más complicados—barras en torsión en la sección 3.9 y vigas en flexión en la sección 9.8—. Además, el uso de la energía de deformación en conexión con cargas dinámicas se describe en las secciones 2.8 y 9.10. Para ilustrar las ideas básicas, consideremos de nuevo una barra prismática con longitud L sometida una fuerza de tensión P (figura 2.41). Suponemos que la carga se aplica lentamente, de manera que aumenta gradualmente de cero a su valor máximo P. Una carga de este tipo se denomina carga estática debido a que no hay efectos dinámicos o inerciales debidos a algún movimiento. La barra se alarga gradualmente conforme se aplica la carga y al final alcanza su alargamiento máximo d al mismo tiempo que la carga alcanza su valor total P. Después de esto, la carga y el alargamiento permanecen sin cambio. Durante el proceso de carga, la carga P se mueve lentamente la distancia d y realiza una cierta cantidad de trabajo. Para evaluar éste, recordamos de la mecánica elemental que una fuerza constante realiza un trabajo igual al producto de la fuerza por la distancia a través de la cual se mueve. Sin embargo, en nuestro caso la fuerza varía en magnitud de cero a su valor máximo P. Para encontrar el trabajo realizado por la carga en estas condiciones, necesitamos conocer la manera en que varía la fuerza. Esta información la proporciona un diagrama carga-desplazamiento como el de la figura 2.42. En este diagrama el eje vertical representa la carga axial y el eje horizontal representa el alargamiento correspondiente de la barra. La forma de la curva depende de las propiedades del material. Si denotamos con P1 cualquier valor de la carga entre cero y el valor máximo P y el alargamiento correspondiente de la barra con d1. Entonces un incremento dP1 en la carga producirá un aumento dd1 en el alargamiento. El trabajo realizado por la carga durante este alargamiento incremental es el producto de la carga por la distancia a través de la cual se mueve la carga, es decir, el trabajo es igual a P1dd1. Este trabajo se representa en la figura por el área de la franja sombreada debajo de la curva carga-desplazamiento. El trabajo total realizado por la carga conforme aumenta de cero al valor máximo P es la suma de todas las franjas elementales: d P1 W O dd1 d1 d Figura 2.42 Diagrama cargadesplazamiento. d 0 P1dd1 (2.33) En términos geométricos, el trabajo realizado por la carga es igual al área debajo de la curva carga-desplazamiento. Cuando la carga alarga la barra se producen deformaciones unitarias. La presencia de estas deformaciones unitarias aumenta el nivel de energía de secCiÓn 2.7 Energía de deformación    141 la propia barra. Por tanto, se define una cantidad nueva, llamada energía de deformación, que es la energía absorbida por la barra durante el proceso de carga. A partir del principio de conservación de la energía sabemos que esta energía de deformación es igual al trabajo realizado por la carga siempre que no se agregue o se reste energía en forma de calor. Por tanto, U W P1d 1 (2.34) 0 en donde U es el símbolo para la energía de deformación. En ocasiones a la energía de deformación se le refiere como trabajo interno para distinguirlo del trabajo externo realizado por la carga. El trabajo y la energía se expresan en las mismas unidades. En unidades SI, la unidad de trabajo y energía es el joule (J), que es igual a un newton metro (1 J = N∙m). En el sistema inglés, el trabajo y la energía se expresan en pie-libras (ft-lb), pie-kips (ft-k), pulgada-libras (in-lb) y pulgada-kips (in-k).* Energía de deformación elástica e inelástica P A B Energía de deformación inelástica Energía de deformación elástica O D C Si la fuerza P (figura 2.41) se remueve lentamente de la barra, ésta se acortará. Si no rebasa el límite elástico del material, la barra regresará a su longitud original. Si rebasa el límite elástico, quedará una deformación per­ manente (consulte la sección 1.4). Por tanto, toda la energía de deformación o parte de ella se recuperará en forma de trabajo. Este comportamiento se muestra en el diagrama carga-desplazamiento de la figura 2.43. Durante la carga, el trabajo realizado por aquélla es igual al área debajo de la curva (área OABCDO). Cuando se remueve la carga, el diagrama carga-desplazamiento sigue la línea BD si el punto B está más allá del límite elástico y se producirá un alargamiento permanente OD. Por tanto, la energía de deformación recuperada durante la descarga, denominada energía de deformación elástica, está representada por el triángulo sombreado BCD. El área OABDO representa energía que se pierde en el proceso de deformación permanente de la barra. Esta energía se conoce como energía de deformación inelástica. La mayor parte de las estructuras se diseñan con la expectativa que el material permanecerá dentro del intervalo elástico en condiciones ordinarias de servicio. Supongamos que la carga a la cual el esfuerzo en el material llega el límite elástico se representa por el punto A en la curva carga-desplazamiento (figura 2.43). Siempre que la carga este abajo de este valor, toda la energía de deformación se recuperará durante la descarga y no queda un alargamiento permanente. Por tanto, la barra actúa como un resorte elástico, almacenando y liberando energía conforme la carga se aplica y se remueve. d Figura 2.43 Energía de deformación elástica e inelástica. * Los factores de conversión para trabajo y energía se dan en la tabla A-5 del apéndice A. www.FreeLibros.com 142    CapÍtulo 2 P Elementos cargados axialmente Comportamiento linealmente elástico A U = Pd 2 P O Ahora supongamos que el material de la barra sigue la ley de Hooke, de modo que la curva carga-desplazamiento es una línea recta (figura 2.44). Entonces la energía de deformación U almacenada en la barra (igual al trabajo W realizado por la carga) es B d U d Figura 2.44 Diagrama cargadesplazamiento para una barra de material linealmente elástico. P 2 W (2.35) que es el área del triángulo sombreado OAB en la figura.* La relación entre la carga P y el alargamiento d para una barra de material linealmente elástico está dada por la ecuación d PL EA (2.36) Al combinar esta ecuación con la ecuación (2.35) nos permite expresar la energía de deformación de una barra linealmente elástica en cualquiera de las siguientes formas: P 2L 2E A U U EA 2 2L (2.37a,b) La primera ecuación expresa la energía de deformación como una función de la carga y la segunda la expresa como una función del alargamiento. A partir de la primera ecuación observamos que al aumentar la longitud de una barra se incrementa la cantidad de energía de deformación aunque la carga no cambie (debido a que más material se deforma por la carga). Por otra parte, al aumentar el módulo de elasticidad o bien el área de la sección transversal disminuye la energía de deformación debido a que las deformaciones en la barra se reducen. Estas ideas se ilustran en los ejemplos 2.12 y 2.15. Las ecuaciones de energía de deformación análogas a las ecuaciones (2.37a) y (2.37b) se pueden escribir para un resorte linealmente elástico reemplazando la rigidez EA/L de la barra prismática con la rigidez k del resorte. Por tanto, U P2 2k U k 2 2 (2.38a,b) Pueden obtenerse otras formas de estas ecuaciones reemplazando k con 1/f, donde f es la flexibilidad. * El principio que afirma que el trabajo de las cargas externas es igual a la energía de deformación (para el caso de comportamiento linealmente elástico) fue enunciado primero por el ingeniero francés B. P. E. Clapeyron (1799-1864) y se conoce como teorema de Clapeyron (referencia 2.7). secCiÓn 2.7 Energía de deformación    143 Barras no uniformes A La energía de deformación total U de una barra formada de varios segmentos es igual a la suma de las energías de deformación de los segmentos individuales. Por ejemplo, la energía de deformación de la barra representada en la figura 2.45 es igual a la energía de deformación del segmento AB más la energía de deformación del segmento BC. Este concepto se expresa en términos generales mediante la siguiente ecuación: P1 B C n Ui U P2 i Figura 2.45 Barra formada de segmentos prismáticos que tienen diferentes áreas de sus secciones transversales y distintas fuerzas axiales. en donde Ui es la energía de deformación del segmento i de la barra y n es el número de segmentos. (Esta relación es válida ya sea que el material se comporte de una manera lineal o no lineal). Ahora suponga que el material de la barra es linealmente elástico y que la fuerza axial interna es constante dentro de cada segmento. Entonces podemos emplear la ecuación (2.37a) para obtener las energías de deformación de los segmentos y la ecuación (2.39) se transforma en n A U x dx B i L P (2.39) 1 1 N i2L i 2E i Ai (2.40) donde Ni es la fuerza axial que actúa en el segmento i y Li, Ei y Ai son propiedades del segmento i. (El uso de esta ecuación se ilustra en los ejemplos 2.12 y 2.15 al final de esta sección). Podemos obtener la energía de deformación de una barra prismática con una fuerza axial que varía continuamente (figura 2.46) aplicando la ecuación (2.37a) a un elemento diferencial (que se muestra sombreado en la figura) y luego integrando a lo largo de la longitud de la barra: L Figura 2.46 Barra no prismática con fuerza axial variable. U 0 [N(x)]2dx 2EA(x) (2.41) En esta ecuación, N(x) y A(x) son la fuerza axial y el área de la sección transversal a una distancia x desde el extremo de la barra. (El ejemplo 2.13 ilustra el uso de esta ecuación). Comentarios Las expresiones anteriores para la energía de deformación (ecuaciones 2.37 a 2.41) muestran que la energía de deformación no es una función lineal de las cargas, ni siquiera cuando el material es linealmente elástico. Por tanto, es importante tomar en cuenta que no podemos obtener la energía de defor­ mación de una estructura que soporta más de una carga combinando las energías de deformación obtenidas a partir de las cargas individuales que actúan por separado. En el caso de la barra no prismática que se muestra en la figura 2.45, la energía de deformación total no es la suma de la energía de deformación debida a la carga P1 que actúa sola y la energía de deformación debida a la carga P2 actuando sola. Entonces, debemos evaluar la energía de deformación con todas las cargas que actúan simultáneamente, como se demuestra más adelante en el ejemplo 2.13. www.FreeLibros.com 144    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Aunque sólo hemos considerado elementos en tensión en los análisis anteriores de energía de deformación, todos los conceptos y las ecuaciones se aplican igualmente bien a elementos en compresión. Dado que el trabajo realizado por una carga axial es positivo sin importar si la carga ocasiona tensión o compresión, se deduce que la energía de deformación siempre es una cantidad positiva. Este hecho es también evidente en las expresiones para la energía de deformación de barras linealmente elásticas (como las ecuaciones 2.37a y 2.37b). Estas expresiones siempre son positivas debido a que los términos de la carga y el alargamiento están elevados al cuadrado. La energía de deformación es una forma de energía potencial (o “energía de posición”) porque depende de las ubicaciones relativas de las partículas o elementos que componen el miembro. Cuando una barra o un resorte se comprimen, sus partículas se agrupan más juntas; cuando se estira, las distancias entre las partículas aumentan. En los dos casos la energía de deformación del elemento se incrementa en comparación con su energía de deformación en la posición sin carga. Desplazamientos ocasionados por una carga individual El desplazamiento de una estructura linealmente elástica que sólo soporta una carga se puede determinar a partir de su energía de deformación. Para ilustrar el método, considere una armadura de dos barras (figura 2.47) sometida a una fuerza vertical P. Nuestro objetivo es determinar el desplazamiento vertical d en el nodo B donde se aplica la carga. Cuando la carga P se aplica lentamente a la armadura, realiza trabajo conforme se mueve por el desplazamiento vertical d. Sin embargo, no realiza trabajo a medida que se mueve lateralmente, es decir, a los lados. Por lo tanto, como el diagrama carga-desplazamiento es lineal (consulte la figura A B C d B' Figura 2.47 Estructura soportando una carga individual P. P secCiÓn 2.7 Energía de deformación    145 2.44 y la ecuación 2.35), la energía de deformación U almacenada en la estructura, igual al trabajo realizado por la carga, es U Pd 2 W de donde obtenemos 2U P (2.42) Esta ecuación muestra que en ciertas condiciones especiales, como se destaca en el párrafo siguiente, el desplazamiento de una estructura se puede determinar directamente a partir de la energía de deformación. Las condiciones que se deben cumplir a fin de usar la ecuación (2.42) son las siguientes: (1) la estructura se debe comportar de una manera linealmente elástica y (2) sólo puede actuar una carga sobre la estructura. Además, el único desplazamiento que se puede determinar es el correspondiente a la propia carga (es decir, el desplazamiento debe ocurrir en la dirección de la carga y debe estar en el punto donde se aplica la carga). Por tanto, este método para determinar desplazamientos está extremadamente limitado en su aplicación y no es un buen indicador de la gran importancia de los principios de la energía de deformación en la mecánica estructural. Sin embargo, el método sí proporciona una introducción al uso de la energía de deformación. (El método se ilustra más adelante en el ejemplo 2.14). Densidad de energía de deformación En muchas situaciones es conveniente emplear una cantidad denominada densidad de energía de deformación, que se define como la energía de deformación por unidad de volumen de material. Las expresiones para la densidad de energía de deformación en el caso de materiales linealmente elásticos se pueden obtener con las fórmulas para la energía de deformación de una barra prismática (ecuaciones 2.37a y b). Como la energía de deformación de la barra está uniformemente distribuida en todo su volumen, podemos determinar la densidad de energía de deformación dividiendo la energía de deformación total U entre el volumen AL de la barra. Por tanto, la densidad de energía de deformación, denotada con el símbolo u, puede expresarse en cualquiera de estas formas: u P2 2E A2 u Ed 2 2 L2 (2.43a,b) Si reemplazamos P/A con el esfuerzo s y d/L con la deformación unitaria , obtenemos 2 u 2E u E 2 2 (2.44a,b) Estas ecuaciones proporcionan la densidad de energía de deformación en un material linealmente elástico en términos del esfuerzo normal s o de la deformación unitaria normal . www.FreeLibros.com 146    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Las expresiones en las ecuaciones (2.44a y b) tienen una interpretación geométrica simple. Son iguales al área s/2 del triángulo debajo del diagrama esfuerzo-deformación unitaria para un material que sigue la ley de Hooke (s = E). En una situación más general donde el material no sigue la ley de Hooke, la densidad de energía de deformación aún es igual al área debajo de la curva esfuerzo-deformación unitaria, pero se debe evaluar el área para cada material particular. La densidad de energía de deformación tiene unidades de energía dividida entre el volumen. Las unidades en el SI son joules por metro cúbico (J/m3) y en el sistema inglés son pie-libras por pie cúbico, pulgada-libras por pulgada cúbica y otras unidades similares. Como todas estas unidades se reducen a unidades de esfuerzo (recuerde que 1 J = 1 Nm), también podemos utilizar unidades como pascales (Pa) y libras por pulgada cuadrada (psi) para la densidad de energía de deformación. La densidad de energía de deformación del material cuando se esfuerza hasta el límite de proporcionalidad se denomina módulo de resilencia ur , y se determina sustituyendo el límite de proporcionalidad spl en la ecuación (2.44a): ur s 2pl 2E (2.45) Por ejemplo, un acero dulce que tiene spl = 36,000 psi y E = 30 × 106 psi tiene un módulo de resilencia ur = 21.6 psi (o 149 kPa). Observe que el módulo de resilencia es igual al área debajo de la curva esfuerzo-deformación unitaria hasta el límite de proporcionalidad. La resilencia representa la habilidad de un material para absorber y liberar energía dentro del intervalo elástico. Otra cantidad, denominada tenacidad, se refiere a la habilidad de un material para absorber energía sin fracturarse. El módulo correspondiente, de­ nominado módulo de tenacidad ut, es la densidad de energía de deformación cuando el material se esfuerza hasta el punto de falla y es igual al área debajo de toda la curva esfuerzo-deformación unitaria. Entre mayor sea el módulo de tenacidad de un material, mayor será su capacidad para absorber energía sin fallar. Por tanto, un módulo de tenacidad elevado es importante cuando el material se somete a cargas de impacto (consulte la sección 2.8). Las expresiones anteriores para la densidad de energía de deformación (ecuaciones 2.43 a 2.45) se dedujeron para esfuerzo uniaxial, es decir, para materiales sometidos sólo a tensión o compresión. Las fórmulas para la densidad de energía de deformación en otros estados de esfuerzo se presentan en los capítulos 3 y 7. secCiÓn 2.7 Energía de deformación    147 Ejemplo 2.12 Tres barras redondas con la misma longitud L pero con formas diferentes se muestran en la figura 2.48. La primera barra tiene un diámetro d en toda su longitud, la segunda tiene un diámetro d en un quinto de su longitud y la tercera tiene un diámetro d en un quinceavo de su longitud. En el resto de la longitud, la segunda y la tercera barra tienen un diámetro 2d. Las tres barras se someten a la misma carga axial P. Compare las cantidades de energía de deformación almacenadas en las barras suponiendo un comportamiento linealmente elástico. (No tome en cuenta los efectos de las concentraciones de esfuerzo y los pesos de las barras). d 2d L 2d L — 5 d P Figura 2.48 Ejemplo 2.12. Cálculo de la energía de deformación. P (b) (a) L — 15 d P (c) Solución (a) Energía de deformación U1 de la primera barra. La energía de deformación de la primera barra se determina directamente de la ecuación (2.37a): U1 P 2L 2EA (a)   en donde A = πd2/4. continúa www.FreeLibros.com 148    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente (b) Energía de deformación U2 de la segunda barra. La energía de deformación se determina sumando las energías de deformación en los tres segmentos de la barra (consulte la ecuación 2.40). Por tanto, n U2 i 1 N i2Li 2Ei Ai P 2(L /5) 2 EA P2(4L/5) 2E(4A) P 2L 5E A 2U1 5 (b)   que es sólo 40% de la energía de deformación de la primera barra. Por tanto, aumentando el área de la sección transversal en parte de la longitud reduce en gran medida la cantidad de energía de deformación que se puede almacenar en la barra. (c) Energía de deformación U3 de la tercera barra. De nuevo empleando la ecuación (2.40), obtenemos U3 n i 1 N i2Li 2E i Ai P 2(L/15) 2EA P 2(14L /15) 2E(4 A) 3P2L 20E A 3U1 10 (c)   La energía de deformación ahora ha disminuido a 30% de la energía de deformación de la primera barra. Nota: al comparar estos resultados observamos que la energía de deformación disminuye conforme aumenta la parte de la barra con el área mayor. Si se aplica la misma cantidad de trabajo a las tres barras, el esfuerzo mayor será en la tercera, debido a que ésta tiene la menor capacidad de absorción de energía. Si la región que tiene el diámetro d se hace aún menor, la capacidad de absorción de energía disminuirá todavía más. Por tanto, concluimos que sólo se requiere una cantidad pequeña de trabajo para llevar el esfuerzo de tensión a un valor mayor en una barra con una ranura, y entre más estrecha sea esta última, más severa será su condición. Cuando las cargas son dinámicas y la habilidad para absorber energía es importante, la presencia de ranuras es muy perjudicial. En el caso de cargas estáticas, los esfuerzos máximos son más importantes que la habilidad para absorber energía. En este ejemplo las tres barras tienen el mismo esfuerzo máximo P/A (siempre que se amortigüen las concentraciones de esfuerzo) y, por tanto, las tres barras tienen la misma capacidad de soporte de carga cuando ésta se aplica estáticamente. secCiÓn 2.7 Energía de deformación    149 Ejemplo 2.13 x Determine la energía de deformación de una barra prismática que cuelga de su extremo superior (figura 2.49). Considere las cargas siguientes: (a) el peso de la barra y (b) el peso de la barra más una carga P en el extremo inferior. (Suponga un comportamiento linealmente elástico.) x L dx L dx Solución P (a) (b) Figura 2.49 Ejemplo 2.13. (a) Barra colgada por su propio peso y (b) barra que cuelga por su propio peso y también soporta una carga P. (a) Energía de deformación debida al peso de la barra (figura 2.49a). La barra está sometida a una fuerza axial variante, la fuerza interna es cero en su extremo inferior y máxima en su extremo superior. Para determinar la fuerza axial, consideramos un elemento con longitud dx (que se muestra sombreado en la figura) a una distancia x desde el extremo superior. La fuerza axial interna N(x) que actúa sobre este elemento es igual al peso de la barra debajo del elemento: N(x) (d) x) gA(L en donde g es el peso específico del material y A es el área de la sección transversal de la barra. Sustituyendo en la ecuación (2.41) e integrando se obtiene la energía de deformación total: L    U 0 [N(x)]2 dx 2EA(x) L 0 [gA(L x)]2 dx 2EA g 2AL3 6E (2.46)   (b) Energía de deformación debida al peso de la barra más la carga P (figura 2.49b). En este caso la fuerza axial N(x) que actúa sobre el elemento es N(x) gA(L x) (e) P (compare con la ecuación d). Ahora de la ecuación (2.41) obtenemos L U 0 [gA(L x) P]2 dx 2EA g 2AL3 6E gPL2 2E P 2L 2E A (2.47)   Nota: el primer término en esta expresión es igual que la energía de deformación de una barra que cuelga bajo su propio peso (ecuación 2.46) y el último término es igual que la energía de deformación de una barra sometida a una fuerza axial P (ecuación 2.37a). Sin embargo, el término medio contiene tanto a g como a P, mostrando que depende del peso de la barra y de la magnitud de la carga aplicada. Por tanto, este ejemplo ilustra que la energía de deformación de una barra sometida a dos cargas no es igual a la suma de las energías de deformación producidas por las cargas individuales que actúan por separado. www.FreeLibros.com 150    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Ejemplo 2.14 Determine el desplazamiento vertical dB del nodo B de la armadura que se muestra en la figura 2.50. Observe que la única carga que actúa sobre la armadura es la carga vertical P en el nodo B. Suponga que los dos elementos de la armadura tienen la misma rigidez axial EA. A C b b H B Figura 2.50 Ejemplo 2.14. Desplazamiento de una armadura que soporta una sola carga P. P Solución Como sólo hay una carga que actúa sobre la armadura, podemos determinar el desplazamiento correspondiente a esa carga igualando el trabajo de la carga con la energía de deformación de los elementos. Sin embargo, para encontrar la energía de deformación debemos conocer las fuerzas en los elementos (consulte la figura 2.37a). A partir del equilibrio de las fuerzas que actúan en el nodo B observamos que la fuerza axial F en cualquier barra es F P 2 cos b (f) en donde b es el ángulo que se muestra en la figura. Además, de la geometría de la armadura vemos que la longitud de cada barra es H cos b L1 (g) en donde H es la altura de la armadura. Ahora podemos obtener la energía de deformación de las dos barras con la ecuación (2.37a): U (2) F2L 1 2E A P2H 4EA cos3 b (h) También, el trabajo de la carga P (de la ecuación 2.35) es W PdB 2 (i) donde dB es el desplazamiento hacia abajo del nodo B. Igualando U y W, y despejando dB, obtenemos dB PH 2EA cos3 b (2.48)   Observe que encontramos este desplazamiento empleando sólo el equilibrio y la energía de deformación, no necesitamos trazar un diagrama de desplazamiento en el nodo B. secCiÓn 2.7 Energía de deformación    151 Ejemplo 2.15 El cilindro de un compresor de aire está sujeto por pernos que pasan por las bridas del cilindro (figura 2.51a). En la parte (b) de la figura se muestra un detalle de uno de los pernos. El diámetro d del vástago es 0.500 in y el diámetro de la raíz dr de la sección roscada es 0.406 in. El agarre g de los pernos es 1.50 in y las roscas se extienden una distancia t = 0.25 in en el agarre. Debido la acción de ciclos repetidos de presión alta y baja en la cámara, los pernos podrían romperse. Para reducir la posibilidad de que fallen los pernos, los diseñadores sugieren dos modificaciones posibles: (1) rebajar los vástagos de los pernos de modo que su diámetro sea igual que el diámetro de la rosca dr, como se muestra en la figura 2.52a. (2) Reemplazar cada par de pernos por un solo perno largo como se ve en la figura 2.52b. Los pernos largos son similares a los pernos originales (figura 2.51b) excepto que el agarre se aumenta hasta la distancia L = 13.5 in. Compare la capacidad de absorción de energía de las tres configuraciones de los pernos: (a) pernos originales, (b) pernos con diámetro del vástago reducido y (c) pernos largos. (Suponga un comportamiento linealmente elástico y no tenga en cuenta los efectos de las concentraciones de esfuerzos). Cilindro Perno t d Figura 2.51 Ejemplo 2.15. (a) Cilindro con émbolo y pernos de sujeción y (b) detalle de un perno. dr d g Émbolo Cámara (b) (a) Solución (a) Pernos originales. Los pernos originales se pueden idealizar como barras que consisten de dos segmentos (figura 2.51b). El segmento izquierdo tiene una longitud g – t y un diámetro d, y el segmento derecho tiene una longitud t y un diámetro dr. La energía de deformación de un perno sometido a una carga de tensión P se puede obtener sumando las energías de deformación de los dos segmentos (ecuación 2.40): n U1 i 1 N i2L i 2E i Ai P2(g t) 2EAs P2t 2EAr (j) en donde As es el área de la sección transversal del vástago y Ar es el área de la sección transversal en la raíz de las roscas; por tanto, As p d2 4 Ar p d r2 4 (k) continúa www.FreeLibros.com 152    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (j), obtenemos la siguiente fórmula para la energía de deformación de uno de los pernos: U1 2P2(g t) p Ed 2 2 P 2t p E d r2 (l) (b) Pernos con diámetro reducido del vástago. Estos pernos se pueden idealizar como barras prismáticas con longitud g y diámetro dr (figura 2.52a). Por tanto, la energía de deformación de un perno (consulte la ecuación 2.37a) es U2 2P 2g p E d r2 (m) La razón de las energías de deformación para los casos (1) y (2) es t dr P 2g 2E Ar dr d g (a) U2 U1 (g gd2 t)dr2 (n) td 2 o, al sustituir valores numéricos, U2 U1 (1.50 in (1.50 in)(0.500 in) 2 0.25 in)(0.406 in) 2 (0.25 in)(0.500 in) 2 1.40 Por tanto, al utilizar pernos con diámetros reducidos de los vástagos resulta en un aumento de 40% en la cantidad de energía de deformación que pueden absorber los pernos. Si este esquema se implementa reducirá el número de fallas causadas por las cargas de impacto. (c) Pernos largos. Los cálculos para los pernos largos (figura 2.52b) son los mismos que para los pernos originales excepto que el agarre g cambia al agarre L. Por tanto, la energía de deformación de un perno largo (compare con la ecua­ ción l) es U3 L (b) Figura 2.52 Ejemplo 2.15. Modificaciones propuestas para los pernos: (a) pernos con diámetros reducidos del vástago y (b) pernos con longitud aumentada. 2P2(L t) p Ed 2 2P 2t p Edr2 (o) Como un perno largo sustituye dos de los pernos originales, debemos comparar las energías de deformación tomando la razón entre U3 y 2U1, como se muestra: U3 2U 1 (L 2(g t) d r2 t) d r2 td 2 2td 2 (p) Sustituyendo valores numéricos se tiene U3 2U1 (13.5 in 2(1.50 in 0.25 in)(0.406 in) 2 0.25 in)(0.406 in) 2 (0.25 in)(0.500 in) 2 2(0.25 in)(0.500 in) 2 4.18 Entonces, utilizar pernos largos aumenta la capacidad de absorción de energía en 318 por ciento y logra la mayor seguridad desde el punto de vista de la energía de deformación. Nota: al diseñar pernos también se debe considerar los esfuerzos máximos de tensión, los esfuerzos máximos de soporte, las concentraciones de esfuerzos y muchos otros factores. secCiÓn 2.8 Carga de impacto    153 2.8 CARGA DE IMPACTO A Collarín deslizante con masa M h B Brida (a) A M L h B d máx (b) Figura 2.53 Carga de impacto sobre una barra prismática AB debida a un objeto en caída con masa M. Las cargas se pueden clasificar como estáticas o dinámicas, dependiendo de si permanecen constantes o varían con el tiempo. Una carga estática se aplica lentamente para que no cause efectos vibratorios o dinámicos en la estructura. La carga aumenta gradualmente de cero a su valor máximo y después permanece constante. Una carga dinámica puede adoptar muchas formas, algunas cargas se aplican y se remueven repentinamente (cargas de impacto), otras persisten durante periodos largos y varían continuamente de intensidad (cargas fluc­ tuantes). Las cargas de impacto se producen cuando dos objetos colisionan o cuando un objeto en caída golpea una estructura. Las cargas fluctuantes se producen por maquinaria rotatoria, tránsito, rachas de viento, olas de agua, sismos y procesos de manufactura. Como un ejemplo de cómo responden las estructuras a las cargas dinámicas, analizaremos el impacto de un objeto que cae hacia el extremo inferior de una barra prismática (figura 2.53). Un collarín con masa M, inicialmente en reposo, cae desde una altura h hacia un brida en el extremo de la barra AB. Cuando el collarín golpea la brida, la barra comienza a alargarse, creando esfuerzos axiales dentro de la barra. En un intervalo de tiempo muy breve, del orden de algunos milisegundos, la brida se moverá hacia abajo y alcanzará su posición de desplazamiento máximo. Después, la barra se acorta, luego se alarga, se acorta de nuevo conforme la barra vibra longitudinalmente y el extremo de la barra se mueve hacia arriba y abajo. Las vibraciones son análogas a las que suceden cuando un resorte se estira y luego se libera, o cuando una persona salta con una cuerda elástica sujetada a su tobillo. Las vibraciones de la barra se extinguen pronto debido a varios efectos de amortiguamiento y luego la barra llega al reposo con la masa M soportada por la brida. Es obvio que la respuesta de la barra al collarín descendente es muy complicada y un análisis completo y exacto requiere el uso de técnicas matemáticas avanzadas. Sin embargo, podemos hacer un análisis aproximado empleando el concepto de energía de deformación (sección 2.7) y formulando varias suposiciones simplificadas Iniciemos considerando la energía del sistema justo antes de que se libere el collarín (figura 2.53a). La energía potencial del collarín con respecto a la elevación de la brida es Mgh, donde g es la aceleración de la gravedad.* Esta energía potencial se convierte en energía cinética conforme cae el collarín. En el instante que el collarín golpea la brida, su energía potencial con respecto a la elevación de la brida es cero y su energía cinética es Mn2/2, donde n = √2gh es su velocidad.** *En unidades SI, la aceleración de la gravedad g = 9.81 m/s2, en unidades inglesas, g = 32.2 ft/s2. Para valores más precisos de g, o para un análisis de masa y peso, consulte el apéndice A. **En trabajos de ingeniería es usual que la velocidad se tome como una cantidad vectorial. Sin embargo, como la energía cinética es un escalar, emplearemos la palabra “velocidad” para denominar la magnitud de la velocidad o su rapidez. www.FreeLibros.com 154    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Durante el impacto resultante, la energía cinética del collarín se convierte en otras formas de energía. Parte de la energía cinética se transforma en la energía de deformación de la barra estirada. Algo de la energía se disipa produciendo calor y causando deformaciones plásticas localizadas del collarín y de la brida. Una pequeña parte permanece como la energía cinética del collarín, que o se mueve hacia abajo aún más (mientras está en contacto con la brida) o bien rebota hacia arriba. Para hacer un análisis simplificado de esta situación tan compleja, idealizaremos el comportamiento haciendo las siguientes suposiciones. (1) Supondremos que el collarín y la brida están construidos de tal manera que el collarín “se pega” a la brida y se mueve hacia abajo con ella (es decir, el collarín no rebota). Este comportamiento es más probable que se dé cuando la masa del collarín es grande comparada con la masa de la barra. (2) No tendremos en cuenta todas las pérdidas de energía y supondremos que la energía cinética de la masa en caída se transforma completamente en energía de deformación de la barra. Esta suposición predice esfuerzos mayores en la barra que los que se anticiparían si se tomaran en cuenta pérdidas de energía. (3) No tomaremos en cuenta cualquier cambio en la energía potencial de la barra (debido al movimiento vertical de sus elementos) ni tomaremos en cuenta la existencia de energía de deformación en la barra debida a su propio peso. Estos dos efectos son extremadamente pequeños. (4) Supondremos que los esfuerzos en la barra permanecen dentro del intervalo linealmente elástico. (5) Supondremos que la distribución de esfuerzos en toda la barra es la misma que cuando está cargada estáticamente por una fuerza en su extremo inferior, es decir, supondremos que los esfuerzos son uniformes en todo el volumen de la barra. (En realidad las ondas del esfuerzo longitudinal viajarán por la barra y debido a esto causaría variaciones en la distribución del esfuerzo). Con base en las suposiciones anteriores, podremos calcular el alargamiento máximo de la barra y los esfuerzos de tensión máximos producidos por la carga de impacto. (Recuerde que no tomamos en cuenta el peso de la barra y sólo hemos determinado los esfuerzos debidos al collarín que cae). Alargamiento máximo de la barra El alargamiento máximo de la barra dmáx (figura 2.53b) se puede obtener a partir del principio de conservación de la energía igualando la energía potencial perdida por la masa en caída con la energía de deformación máxima adquirida por la barra. La energía potencial pérdida es W(h + dmáx), donde W = Mg es el peso del collarín y h + dmáx es la distancia que se desplaza. La energía de deformación de la barra es EA d2máx/2L , donde EA es la rigidez axial y L es la longitud de la barra (consulte la figura 2.37b). Con estos datos obtenemos la siguiente ecuación: W(h EAd 2máx 2L dmáx) (2.49) Esta ecuación es cuadrática en dmáx y se puede despejar la raíz positiva; el resultado es dmáx WL EA WL EA 2 2h WL EA 1/2 (2.50) secCiÓn 2.8 Carga de impacto    155 Observe que el alargamiento máximo de la barra aumenta si el peso del collarín o bien la altura de la caída aumentan. El alargamiento disminuye si la rigidez EA/L aumenta. La ecuación anterior se puede escribir en una forma más simple introduciendo la notación WL EA dest MgL EA (2.51) en donde dest es el alargamiento de la barra debida al peso del collarín en condiciones de carga estática. Entonces, la ecuación (2-50) se transforma en (d 2est dmáx dest dmáx dest 1 2hdest )1/2 (2.52) o bien 1 2h dest 1/2 (2.53) En esta ecuación observamos que el alargamiento de la barra ante la carga de impacto es mucho mayor que si aplicara la misma carga de manera estática. Suponga, por ejemplo, que el peso h es 40 multiplicado por el desplazamiento estático dest; entonces el alargamiento máximo sería 10 multiplicado por el alargamiento estático. Cuando la altura h es grande comparada con el alargamiento estático, podemos ignorar los “unos” en el lado derecho de la ecuación (2.53) y obtenemos dmáx Mv2L EA 2hdest (2.54) 2gh es la velocidad de la masa en caída cuando en donde M = W/g y v golpea la brida. Esta ecuación también se puede obtener directamente de la ecuación (2.49) omitiendo dmáx en el lado izquierdo de la ecuación y luego despejando dmáx. Debido a los términos que se omitieron, los valores de dmáx calculados con la ecuación (2.54) siempre son menores que los que se obtienen con la ecuación (2.53). Esfuerzo máximo en la barra El esfuerzo máximo se puede calcular fácilmente a partir del alargamiento máximo debido a que suponemos que la distribución de esfuerzos es uniforme en toda la longitud de la barra. De la ecuación general d = PL/EA = sL/E, sabemos que Edmáx (2.55) smáx L Sustituyendo de la ecuación (2.50), obtenemos la siguiente ecuación para el esfuerzo de tensión máximo: smáx W A W A 2 2WhE AL 1/2 (2.56) Introduciendo la notación sest W A www.FreeLibros.com Mg A Edest L (2.57) 156    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente en donde sest es el esfuerzo cuando la carga actúa estáticamente, podemos escribir la ecuación (2.56) en la siguiente forma: smáx s 2est sest 1/2 2hE sest L (2.58) o bien smáx sest 1 1 2hE Lsest 1/2 (2.59) Esta ecuación es análoga a la ecuación (2.53) y de nuevo muestra que una carga de impacto produce efectos mucho mayores que cuando la misma carga se aplica estáticamente. Considerando otra vez el caso en el que la altura h es grande en comparación con el alargamiento de la barra (compare con la ecuación 2.54), obtenemos smáx 2hEs est L Mv2E AL (2.60) De este resultado observamos que un aumento en la energía cinética Mn2/2 de la masa que cae aumenta el esfuerzo, en tanto que un aumento en el volumen AL de la barra reducirá el esfuerzo. Esta situación es muy diferente a la de tensión estática de la barra, donde el esfuerzo es independiente de la longitud L y del módulo de elasticidad E. Las ecuaciones anteriores para el alargamiento máximo y el esfuerzo máximo se aplican sólo en el instante en que la brida de la barra está en su posición más baja. Después que se alcanza el alargamiento máximo en la barra, ésta vibrará axialmente hasta llegar al reposo en el alargamiento estático. De allí en adelante el alargamiento y el esfuerzo tienen valores dados por las ecuaciones (2.51) y (2.57). Si bien las ecuaciones anteriores se dedujeron para el caso de una barra prismática, se pueden usar para cualquier estructura linealmente elástica sometida a una carga en caída, siempre que conozcamos la rigidez apropiada de la estructura. En particular, las ecuaciones se pueden utilizar para un resorte sustituyendo la rigidez k del resorte (consulte la sección 2.2) por la rigidez EA/L de la barra prismática. Factor de impacto La razón entre la respuesta dinámica de una estructura y la respuesta estática (para la misma carga) se conoce como factor de impacto. Por ejemplo, secCiÓn 2.8 Carga de impacto    157 el factor de impacto de la barra de la figura 2.53 es la razón entre alargamiento máximo y el alargamiento estático. Factor de impacto = dmáx dest (2.61) Este factor representa la cantidad en la cual se amplifica el alargamiento estático debida a los efectos dinámicos del impacto. Se pueden escribir ecuaciones análogas a la (2.61) para otros factores de impacto, como el factor de impacto para el esfuerzo en la barra (la razón smáx entre sest). Cuando el collarín cae desde una altura considerable, el factor de impacto puede ser muy grande, de 100 o mayor. Carga aplicada repentinamente Un caso especial de impacto ocurre cuando la carga se aplica repentinamente sin velocidad inicial. Para explicar este tipo de carga considere otra vez la barra prismática que se muestra en la figura 2.53 y suponga que el collarín deslizante se baja despacio hasta que apenas toca la brida. Luego el collarín se libera repentinamente. Aunque en este caso no existe energía cinética al inicio de la extensión de la barra, el comportamiento es muy diferente del de la carga estática de la barra. En condiciones de carga estática, la carga se libera de forma gradual y siempre existe equilibrio entre la carga aplicada y la fuerza resistente de la barra. Sin embargo, considere qué sucede cuando el collarín se libera repentinamente desde su punto de contacto con la brida. Inicialmente el alargamiento de la barra y el esfuerzo en la barra son cero, pero el collarín se mueve hacia abajo ante la acción de su propio peso. Durante este movimiento la barra se alarga y su fuerza resistente aumenta gradualmente. El movimiento continúa hasta que en algún instante la fuerza resistente es apenas igual a W, el peso del collarín. En este instante particular el alargamiento de la barra es dest. Sin embargo, ahora el collarín tiene cierta energía cinética que adquiere durante el desplazamiento hacia abajo dest. Por tanto, el collarín continúa moviéndose hacia abajo hasta que su velocidad se hace cero por la fuerza resistente en la barra. El alargamiento máximo para esta condición se obtiene con la ecuación (2.53) igualando h a cero; de donde obtenemos dmáx 2dest (2.62) A partir de esta ecuación observamos que una carga aplicada repentinamente produce un alargamiento que es el doble del causado por la misma carga aplicada estáticamente. Por tanto, el factor de impacto es 2. www.FreeLibros.com 158    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Después que se ha alcanzado el alargamiento máximo 2dest, el extremo de la barra se moverá hacia arriba y comienza una serie de vibraciones hacia arriba y hacia abajo que finalmente llegan al reposo en el alargamiento estático producido por el peso del collarín.* Limitaciones Los análisis anteriores se basaron en la suposición de que no ocurren pérdidas de energía durante el impacto. En la realidad siempre se tienen pérdidas de energía y la mayor parte de ellas se disipan en forma de calor y de deformación localizada de los materiales. Debido a estas pérdidas la energía cinética de un sistema inmediatamente después de un impacto es menor que antes del impacto. En consecuencia, se convierte menos energía en energía de deformación de la barra que la que se supuso con anterioridad. Como resultado, el desplazamiento real del extremo de la barra de la figura 2.53 es menor que el anticipado mediante nuestro análisis simplificado. También supusimos que los esfuerzos en la barra permanecen dentro del límite de proporcionalidad. Si el esfuerzo máximo excede este límite, el análisis se hace más complicado debido a que el alargamiento de la barra ya no es proporcional a la fuerza axial. Otros factores que se deben considerar son los efectos de las ondas de esfuerzo, amortiguamiento e imperfecciones en las superficies de contacto. Por tanto, debemos recordar que todas las fórmulas en esta sección se basan en condiciones muy idealizadas y proporcionan sólo una aproximación burda de las condiciones verdaderas (por lo general al sobrestimar el alargamiento). Los materiales que presentan ductilidad considerable más allá del límite de proporcionalidad ofrecen una resistencia mucho mayor a las cargas de impacto que los materiales frágiles. También se debe considerar que las barras con ranuras, agujeros y otras formas de concentraciones de esfuerzos (consulte las secciones 2.9 y 2.10) son muy débiles contra el impacto; una sacudida ligera puede producir la fractura, incluso cuando el material es dúctil ante cargas estáticas. *La ecuación (2.62) fue obtenida por primera vez por el matemático y científico francés J. V. Poncelet (1788-1867); consulte la referencia 2.8. secCiÓn 2.8 Carga de impacto    159 Ejemplo 2.16 d = 15 mm M = 20 kg L = 2.0 m Una barra prismática redonda de acero (E = 210 GPa), longitud L = 2.0 m y diámetro d = 15 mm cuelga verticalmente de un soporte en su extremo superior (figura 2.54). Un collarín deslizante con masa M = 20 kg cae desde una altura h = 150 mm sobre una brida en el extremo inferior de la barra sin rebotar. (a) Calcule el alargamiento máximo de la barra debida al impacto y determine el factor de impacto correspondiente. (b) Calcule el esfuerzo de tensión máximo en la barra y determine el factor de impacto correspondiente. h = 150 mm Figura 2.54 Ejemplo 2.16. Carga de impacto sobre una barra vertical. Solución Como la configuración de la barra y el collarín en este ejemplo es igual a la configuración que se muestra en la figura 2.53, podemos emplear las ecuaciones derivadas con anterioridad (ecuaciones 2.49 a 2.60). (a) Alargamiento máximo. El alargamiento de la barra producido por el collarín en caída se puede determinar con la ecuación (2.53). El primer paso es determinar el alargamiento estático de la barra debido al peso del collarín. Como el peso del collarín es Mg, el cálculo del alargamiento es como sigue: dest MgL EA (20.0 kg)(9.81 m/s2)(2.0 m) (210 GPa)(p/4)(15 mm)2 0.0106 mm De este resultado observamos que h d est 150 mm 0.0106 mm 14,150 Ahora se pueden sustituir los valores numéricos en la ecuación (2.53) para obtener el alargamiento máximo: dmáx dest 1 1 (0.0106 mm)[1 1.79 mm 2h d 1/2 1 2(14,150)]    continúa www.FreeLibros.com 160    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Como la altura de caída es muy grande comparada con el alargamiento estático, obtenemos casi el mismo resultado calculando el alargamiento máximo con la ecuación (2.54): dmáx [2(150 mm)(0.0106 mm)]1/2 2hdest 1.78 mm El factor de impacto es igual a la razón entre alargamiento máximo y el alargamiento estático: Factor de impacto dmáx dest 1.79 mm 0.0106 mm 169 Este resultado demuestra que los efectos de una carga dinámicamente aplicada pueden ser muy grandes comparados con los efectos de la misma carga cuando actúa estáticamente. (b) Esfuerzo de tensión máximo. El esfuerzo máximo producido por el collarín en caída se obtiene de la ecuación (2.55) como sigue: smáx Ed máx L (210 GPa)(1.79 mm) 2.0 m 188 MPa Este esfuerzo se puede comparar con el esfuerzo estático (consulte la ecuación 2.57), que es sest W A Mg A (20 kg)(9.81 m/s2) (p/4)(15 mm)2 1.11 MPa La razón entre smáx y sest es 188/1.11 = 169, es igual al factor de impacto para los alargamientos. Este resultado era de esperarse, debido a que los esfuerzos son directamente proporcionales a los alargamientos correspondientes (consulte las ecuaciones 2.55 y 2.57). secCiÓn 2.8 Carga de impacto    161 Ejemplo 2.17 Una barra horizontal AB con longitud L recibe un impacto en su extremo libre por un bloque pesado con masa M que se mueve horizontalmente con velocidad n (consulte figura 2.55). (a) Determine el acortamiento máximo dmáx de la barra debido al impacto y determine el factor de impacto correspondiente. (b) Determine el esfuerzo de compresión máximo smáx de la barra y el factor de impacto correspondiente. (Sea EA la rigidez axial de la barra). Solución v M d máx A L B Figura 2.55 Ejemplo 2.17. Carga de impacto sobre una barra horizontal La carga sobre la barra en este ejemplo es muy diferente de las cargas sobre las barras representadas en las figuras 2.53 y 2.54. Por tanto, debemos hacer un análisis con base en la conservación de la energía. (a) Acortamiento máximo de la barra. Para este análisis adoptamos las mismas suposiciones anteriores. Así, no tomaremos en cuenta todas las pérdidas de energía y supondremos que la energía cinética del bloque en movimiento se transforma por completo en energía de deformación de la barra. La energía cinética del bloque en el instante del impacto es Mn2/2. La energía de deformación de la barra cuando el bloque llega al reposo en el instante de acortamiento máximo es EA d2máx/2L , según lo establece la ecuación (2.37b). Por tanto, podemos escribir la siguiente ecuación de conservación de la energía: Mv 2 2 EAd 2máx 2L dmáx M v 2L EA (2.63) Despejando dmáx, obtenemos (2.64)   Esta ecuación es agual a la ecuación (2.54), lo que podríamos haber anticipado. Para determinar el factor de impacto necesitamos conocer el desplazamiento estático del extremo de la barra. En este caso el desplazamiento estático es el acortamiento de la barra debido al peso del bloque aplicado como una carga de compresión sobre ella (consulte la ecuación 2.51): dest WL EA MgL EA Por tanto, el factor de impacto es Factor de impacto dmáx dest EAv2 Mg2L (2.65)   El valor determinado con esta ecuación debe ser mucho mayor que 1. (b) Esfuerzo de compresión máximo en la barra. El esfuerzo máximo en la barra se determina a partir del acortamiento máximo mediante la ecuación (2.55): smáx Edmáx L E L M v 2L EA M v2E AL (2.66)   Esta ecuación es agual a la ecuación (2.60). El esfuerzo estático sest en la barra es igual a W/A o Mg/A que (en combinación con la ecuación 2.66) conduce al mismo factor de impacto que antes (ecuación 2.65). www.FreeLibros.com 162    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente *2.9 CARGA REPETIDA Y FATIGA Carga O Tiempo (a) Carga O Tiempo (b) Carga O Tiempo (c) Figura 2.56 Tipos de cargas repetidas: (a) carga que actúa sólo en una dirección, (b) carga alternante o invertida y (c) carga fluctuante que varía con respecto a un valor promedio. El comportamiento de una estructura no sólo depende de la naturaleza del material con que esté hecha, sino también del carácter de las cargas. En algunas situaciones las cargas son estáticas —se aplican en forma gradual, actúan durante largos periodos y cambian lentamente—. Otras cargas son de carácter dinámico, como ejemplos están las cargas de impacto que actúan repentinamente (sección 2.8) y las cargas repetidas recurrentes en grandes números de ciclos. Algunos patrones comunes de las cargas repetidas se presentan en la figura 2.56. La primera gráfica (a) muestra una carga que se aplica, se remueve y se aplica de nuevo, siempre actúa en la misma dirección. La segunda gráfica (b) muestra una carga alternante que invierte su dirección durante cada ciclo de carga y la tercera gráfica (c) ilustra una carga fluctuante que varía con respecto a un valor promedio. Las cargas repetidas se asocian generalmente con maquinaría, motores, turbinas, generadores, ejes, impulsores, partes de aeronaves, partes de automóviles y similares. Algunas de estas estructuras se someten a millones (e incluso a miles de millones) de ciclos de carga durante su vida útil. Es probable que una estructura sometida a cargas dinámicas falle a un esfuerzo menor que cuando las mismas cargas se aplican de manera estática, en especial cuando se repiten durante un número grande de ciclos. En esos casos es usual que la falla sea por fatiga o por fractura progresiva. Un ejemplo conocido de una falla por fatiga se tiene al someter a esfuerzo un sujetapapeles metálico hasta el punto de rompimiento al flexionarlo repetidamente hacia delante y hacia atrás. Si el sujetapapeles se dobla sólo una vez, no se rompe. Pero si la carga se invierte al flexionarlo en la dirección opuesta, y si todo el ciclo de carga se repite varias veces, el sujetapapeles finalmente se romperá. La fatiga se define como el deterioro de un material por acción de ciclos repetidos de esfuerzo y deformación, lo que resulta en un agrietamiento progresivo que finalmente produce la fractura. En una falla por fatiga típica, se forma una grieta microscópica en un punto de esfuerzo elevado (por lo general en una concentración de esfuer­ zos, que se describirá en la siguiente sección) y se alarga gradualmente conforme se aplican las cargas repetidamente. Cuando la grieta se vuelve tan grande que el material restante no puede resistir las cargas, ocurre una fractura repentina del material (figura 2.57). Dependiendo de la naturaleza del material, puede tomar desde algunos ciclos de carga hasta cientos de millones de ellos para producir una falla por fatiga. Como ya se destacó, la magnitud de la carga que ocasiona una falla por fatiga es menor que la carga que se puede soportar en forma estática. Para determinar la carga de falla se deben realizar ensayos del material. En el caso de carga repetida, el material se prueba a varios niveles de esfuerzo y se registra el número de ciclos antes de la falla. Por ejemplo, una probeta de material se coloca en una máquina de ensayos a la tensión y se carga repetidamente hasta un cierto esfuerzo, por ejemplo s1. Los ciclos de carga se continúan hasta que ocurra la falla y se registra el número n de ciclos de carga. Luego el ensayo se repite para un esfuerzo diferente, por ejemplo s2. Si s2 es mayor que s1, el número de ciclos antes de la falla será menor. Si s2 es menor que s1, el número será mayor. Al final, se acumulan datos suficientes para trazar una curva de resistencia a la fatiga o diagrama S-N, en secCiÓn 2.9 Carga repetida y fatiga    163 Figura 2.57 Falla por fatiga de una barra cargada repetidamente en tensión; la grieta se propagó en forma gradual sobre la sección transversal hasta que la fractura ocurrió repentinamente. (Cortesía de MTS Systems Corporation) Esfuerzo de falla s Límite de fatiga O Número n de ciclos a la falla Figura 2.58 Curva de resistencia a la fatiga, o diagrama S-N, mostrando el límite de fatiga. el que se traza el esfuerzo de falla (S) contra el número (N) de ciclos antes de la falla (figura 2.58). Es usual que el eje vertical sea una escala lineal y el eje horizontal una escala logarítmica. La curva de resistencia a la fatiga de la figura 2.58 muestra que entre menor sea el esfuerzo, mayor será el número de ciclos para producir la falla. Para algunos materiales la curva tiene una asíntota horizontal conocida como límite de fatiga o límite de resistencia a la fatiga. Cuando existe, este límite es el esfuerzo debajo del cual no ocurrirá una falla por fatiga sin importar cuántas veces se repita la carga. La forma precisa de una curva de resistencia a la fatiga depende de muchos factores, incluidas las propiedades del material, la geometría de la probeta de ensayo, la velocidad del ensayo, el patrón de carga y la condición de la superficie de la probeta. En publicaciones técnicas se reportan para su consulta los resultados de muchos ensayos a la fatiga hechos en una gran variedad de materiales y componentes estructurales. Los diagramas S-N típicos para el acero y el aluminio se muestran en la figura 2.59. La ordenada es el esfuerzo de falla, expresado como porcentaje del esfuerzo último para el material y la abscisa es el número de ciclos en que ocurre la falla. Observe que el número de ciclos está trazado en una escala logarítmica. La curva para el acero se vuelve horizontal en aproxima- 100 80 Esfuerzo de falla (porcentaje del 60 esfuerzo último de tensión) 40 Acero Aluminio 20 Figura 2.59 Curvas de resistencia comunes para acero y aluminio en carga alternante (invertida). 0 103 104 105 106 107 108 Número n de ciclos antes de la falla www.FreeLibros.com 164    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente damente 107 ciclos y el límite de fatiga es casi 50% del esfuerzo de tensión último para carga estática ordinaria. El límite de fatiga para el aluminio no está tan definido como el del acero, pero un valor común del límite de fatiga es el esfuerzo a 5 × 108 ciclos o aproximadamente 25% del esfuerzo último. Ya que en general las fallas por fatiga inician con una grieta microscópica en un punto de esfuerzo muy localizado (es decir, en una concentración de esfuerzos), la condición de la superficie del material es extremadamente importante. Las probetas muy pulidas tienen límites de resistencia a la fatiga mayores. Las superficies rugosas, en especial las que se encuentran en concentraciones de esfuerzos alrededor de agujeros o ranuras, disminuyen en gran medida el límite de resistencia a la fatiga. La corrosión, que causa diminutas irregularidades en la superficie, tiene un efecto similar. Para el acero, la corrosión ordinaria puede reducir el límite de fatiga en más de 50 por ciento. *2.10 CONCENTRACIONES DE ESFUERZOS P s= P bt s= P bt s= P bt b Figura 2.60 Distribuciones de esfuerzos cerca del extremo de una barra con sección transversal rectangular (ancho b, espesor t) sometida a una carga concentrada P que actúa sobre un área pequeña. Cuando se determinan los esfuerzos en barras cargadas axialmente, es usual emplear la fórmula básica s = P/A, en la cual P es la fuerza axial en la barra y A es el área de su sección transversal. Esta fórmula se basa en la suposición de que la distribución del esfuerzo es uniforme en toda la sección. En realidad, las barras con frecuencia tienen agujeros, ranuras, muescas, filetes, roscas u otros cambios abruptos en su geometría que producen perturbaciones en el patrón uniforme de esfuerzos. Estas discontinuidades en la geometría causan esfuerzos elevados en regiones muy pequeñas de la barra y se conocen como concentraciones de esfuerzos. Las discontinuidades se llaman elevadores de esfuerzos. Las concentraciones de esfuerzos también aparecen en cargas puntuales. Por ejemplo, una carga puede actuar sobre un área muy pequeña y producir esfuerzos elevados en la región alrededor de su punto de aplicación. Un ejemplo es una carga aplicada a través de una conexión con pasador, caso en el cual la carga se aplica sobre el área de soporte del pasador. Los esfuerzos que existen en concentraciones de esfuerzos se pueden determinar mediante métodos experimentales o bien por métodos avanzados de análisis, incluyendo el método del elemento finito. Los resultados de la investigación para muchos casos de interés práctico están disponibles en publicaciones técnicas (por ejemplo, en la referencia 2.9). Algunos datos de concentración de esfuerzos comunes se dan más adelante en esta sección y también en los capítulos 3 y 5. Principio de Saint-Venant Para ilustrar la naturaleza de las concentraciones de esfuerzos, considere los esfuerzos en una barra con sección transversal rectangular (ancho b, espesor t) sometida a una carga concentrada P en el extremo (figura 2.60). El esfuerzo pico directamente debajo de la carga puede ser varias veces el valor del esfuerzo promedio P/bt, dependiendo del área sobre la cual se aplica. Sin embargo, el esfuerzo máximo disminuye rápidamente conforme nos alejamos del punto de la aplicación de la carga, como se muestra mediante secCiÓn 2.10 Concentraciones de esfuerzos    165 los diagramas de esfuerzos en la figura. A una distancia desde el extremo de la barra igual al ancho b de la misma, la distribución de esfuerzos es casi uniforme y el esfuerzo máximo es sólo un pequeño porcentaje mayor que el esfuerzo promedio. Esta observación es cierta para la mayor parte de las concentraciones de esfuerzos, como agujeros y ranuras. Por lo anterior, podemos establecer un enunciado general de que la ecuación s = P/A define los esfuerzos axiales sobre una sección transversal de la barra sólo cuando la sección está alejada al menos una distancia b de cualquier carga concentrada o discontinuidad en su forma, donde b es la dimensión lateral más grande de la barra (como el ancho o el diámetro). El enunciado anterior sobre los esfuerzos en una barra prismática es parte de una observación general conocida como principio de Saint-Venant. Con raras excepciones, este principio se aplica a cuerpos linealmente elásticos de todo tipo. Para comprender el principio de Saint-Venant imagine que tenemos un cuerpo con un sistema de cargas que actúan sobre una parte pequeña de su superficie. Por ejemplo, suponga que tenemos una barra prismática con ancho b sometida a un sistema de varias cargas concentradas que actúan en el extremo (figura 2.61a). Por simplicidad, suponga que las cargas son simétricas y que sólo tienen una resultante vertical. A continuación, considere un sistema de carga diferente pero estáticamente equivalente que actúa sobre la misma región pequeña de la barra. (“Estáticamente equivalente” significa que los dos sistemas de carga tienen la misma fuerza resultante y el mismo momento resultante). Por ejemplo, la carga distribuida uniformemente que se muestra en la figura 2.61b es estáticamente equivalente al sistema de cargas concentradas que se muestra en la figura 2.61a. El principio de Saint-Venant establece que los esfuerzos en el cuerpo causados por cualquiera de los sistemas de carga son los mismos, siempre que nos alejemos de la región cargada una distancia al menos igual a la dimensión mayor de la región cargada (distancia b en nuestro ejemplo). Figura 2.61 Ilustración del principio de Saint-Venant: (a) sistema de cargas concentradas que actúan sobre una región pequeña de una barra y (b) sistema estáticamente equivalente. b b (a) (b) www.FreeLibros.com 166    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente P s= P bt s= P bt s= P bt b Figura 2.60 (Repetida.) Por tanto, las distribuciones del esfuerzo que se muestran en la figura 2.60 son una ilustración del principio de Saint-Venant. Por supuesto, este “principio” no es una ley rigurosa de la mecánica sino que es una observación de sentido común basada en la experiencia teórica y práctica. El principio de Saint-Venant tiene una gran importancia práctica en el diseño y análisis de barras, vigas, ejes y otras estructuras que se encuentran en la mecánica de materiales. Ya que los efectos de las concentraciones del esfuerzo son localizados, podemos emplear todas las fórmulas estándares de los esfuerzos (como s = P/A) en secciones transversales a una distancia suficientemente alejada de la fuente de la concentración. Cerca de ese lugar los esfuerzos dependen de los detalles de la carga y de la forma del elemento. Además, las fórmulas aplicables a elementos completos, como las fórmulas para alargamientos, desplazamientos y energía de deformación, dan resultados satisfactorios aun cuando se presenten concentraciones de esfuerzos. La explicación yace en el hecho que las concentraciones de esfuerzos están localizadas y tienen poco efecto sobre el comportamiento general de un elemento.* Factores de concentración de esfuerzos Ahora consideremos algunos casos particulares de concentraciones de esfuerzos causadas por discontinuidades en la forma de la barra. Comenzamos con una barra con sección transversal rectangular que tiene un agujero circular y que está sometida a una fuerza de tensión P (figura 2.62a). La barra es relativamente esbelta y su ancho b es mucho mayor que su espesor t. El agujero tiene un diámetro d. c/2 P b P d c/2 (a) smax P Figura 2.62 Distribución del esfuerzo en una barra plana con un agujero circular. (b) *El principio de Saint-Venant se denomina así en honor del famoso matemático y experto en elasticidad francés Barré de Saint-Venant (1789-1886) (referencia 2.10). El principio se aplica por lo general a barras y vigas sólidas, pero no a secciones abiertas con pared delgada. Para ver un análisis de las limitaciones del principio de Saint-Venant, consulte la referencia 2.11. secCiÓn 2.10 Concentraciones de esfuerzos    167 El esfuerzo normal que actúa sobre la sección transversal a través del centro del agujero tiene la distribución que se muestra en la figura 2.62b. El esfuerzo máximo smáx ocurre en los bordes del agujero y puede ser bastante mayor que el esfuerzo nominal s = P/ct en la misma sección transversal. (Observe que ct es el área neta en la sección transversal que pasa por el agujero). La intensidad de una concentración de esfuerzos usualmente se expresa por la razón entre el esfuerzo máximo y el esfuerzo nominal, y se llama factor de concentración de esfuerzos K: K máx (2.67) nom Para una barra en tensión, el esfuerzo nominal es el esfuerzo promedio ba­ sado en el área neta de la sección transversal. En otros casos se puede emplear una variedad de esfuerzos. Ahora bien, siempre que se utilice un factor de concentración de esfuerzos es importante observar cuidadosamente cómo se define el esfuerzo nominal. En la figura 2.63 se ve una gráfica del factor de concentración de esfuerzos K para una barra con un agujero. Si el agujero es pequeño, el factor K es igual a 3, lo que significa que el esfuerzo máximo es tres veces el esfuerzo nominal. Conforme el agujero es más grande en proporción al ancho de la barra, K se hace menor y el efecto de la concentración no es tan severo. De acuerdo con el principio de Saint-Venant sabemos que, a distancias iguales al ancho b de la barra alejadas del agujero en cualquier dirección axial, la distribución del esfuerzo es prácticamente uniforme e igual a P dividida entre el área transversal total (s = P/bt). 3.0 2.5 K P c/2 b c/2 2.0 s K = s máx nom Figura 2.63 Factor de concentración de esfuerzos K para barras planas con agujeros circulares. 1.5 P d 0 P s nom = ct 0.1 t = espesor 0.2 www.FreeLibros.com d b 0.3 0.4 0.5 168    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Los factores de concentración de esfuerzos para otros dos casos de interés práctico se dan en las figuras 2.64 y 2.65. Estas gráficas son para barras planas y barras circulares, respectivamente, que disminuyen su tamaño debido a un escalón formando un reborde. Para reducir los efectos de la concentración de esfuerzo se utilizan filetes para redondear las esquinas entrantes.* Sin los filetes, los factores de concentración de efectos serían extremadamente grandes, como se indica en el lado izquierdo de cada gráfica donde K tiende al infinito conforme el radio del filete R tiende a cero. En los dos casos el esfuerzo máximo ocurre en la parte menor de la barra en la región del filete.** 3.0 1.5 b =2 c R P c 2.5 1.3 K 1.1 P bb s K = smáx nom 1.2 2.0 snom = P ct t = espesor R= b–c 2 Figura 2.64 Factor de concentración de esfuerzos K para barras planas con filetes en los rebordes. La línea discontinua es para un filete de un cuarto de círculo. 1.5 0 0.05 0.15 R c 0.10 0.20 3.0 D2 =2 D1 R P D2 1.5 2.5 K s K = s máx nom 1.2 1.1 0.25 D1 s nom = 0.30 P P p D21/4 2.0 R= Figura 2.65 Factor de concentración de esfuerzos K para barras redondas con filetes en los rebordes. La línea discontinua es para un filete de un cuarto de círculo. 1.5 * 0 D2 – D1 2 0.05 0.10 0.15 R D1 0.20 0.25 0.30 Un filete es una superficie curva y cóncava formada donde dos superficies se unen. Su propósito es redondear lo que de otra manera sería una arista aguda entrante. ** Los factores de concentración de esfuerzos dados en las gráficas son teóricos, para barras de material linealmente elástico. Las gráficas están trazadas a partir de fórmulas dadas en la referencia 2.9. secCiÓn 2.10 Concentraciones de esfuerzos    169 Diseño por concentraciones de esfuerzos Debido a la posibilidad de fallas por fatiga, las concentraciones de esfuerzos son especialmente importantes cuando el elemento se somete a carga repetida. Como se explicó en la sección anterior, las grietas comienzan en el punto de máximo esfuerzo y luego se difunden de manera gradual por todo el material conforme se repite la carga. En un diseño práctico, el límite de fatiga (figura 2.58) se considera como el esfuerzo último para el material cuando el número de ciclos es extremadamente grande. El esfuerzo permisible se obtiene aplicando un factor de seguridad con respecto a este esfuerzo último. Luego el esfuerzo pico en la concentración de esfuerzo se compara con el esfuerzo permisible. En muchas situaciones es demasiado estricto el uso del valor total teórico del factor de concentración de esfuerzos. Los ensayos de fatiga por lo general producen la falla a niveles mayores del esfuerzo nominal que los obtenidos dividiendo el límite de fatiga entre K. En otras palabras, un elemento estructural sometido a carga repetida no es tan sensitivo a una concentración de esfuerzos como indica el valor de K y, por tanto, con frecuencia se emplea un factor reducido de concentración de esfuerzos. Otros tipos de cargas dinámicas, como las cargas de impacto, también requieren que se tomen en cuenta los efectos de concentración de esfuerzos. A menos que se disponga de mejor información, se debe utilizar el factor de concentración de esfuerzos completo. Los elementos sometidos a temperaturas bajas también son muy susceptibles a fallas en las concentraciones de esfuerzos y por lo tanto se debe tener cuidado especial en esos casos. La importancia de las concentraciones de esfuerzos cuando un elemento se somete a carga estática depende del tipo de material. En los materiales dúctiles, como el acero estructural, a menudo se puede ignorar una concentración de esfuerzo. La razón es que el material en el punto de esfuerzo máximo (por ejemplo alrededor de un agujero) tiene fluencia y ocurrirá flujo plástico, reduciendo de esta manera la intensidad de la concentración de esfuerzo y haciendo casi uniforme la distribución de esfuerzo. Por otro lado, en materiales frágiles (como el vidrio), una concentración de esfuerzo permanecerá hasta el punto de fractura. Por tanto, podemos hacer una observación general que con cargas estáticas y un material dúctil no es probable que el efecto de concentración de esfuerzo sea importante, pero con cargas estáticas y un material frágil se debe considerar el factor total de concentración de esfuerzos. La intensidad de las concentraciones de esfuerzos se puede reducir si las partes tienen una proporción adecuada. Los filetes de buen tamaño reducen las concentraciones de esfuerzos en las aristas reentrantes. Las su­ perficies lisas en puntos de esfuerzo elevado, como en el interior de un agujero, inhiben la formación de grietas. Un refuerzo alrededor de agujeros también puede ser benéfico. Hay muchas otras técnicas para uniformar las distribuciones de los esfuerzos en un elemento estructural y debido a esto se puede reducir el factor de concentración de esfuerzos. Esas técnicas, que se estudian en cursos de diseño en ingeniería, son de gran importancia en el diseño de aviones, barcos y máquinas. Muchas fallas estructurales innecesarias han ocurrido debido a que los diseñadores erraron en reconocer los efectos de las concentraciones de esfuerzos y de la fatiga. www.FreeLibros.com 170    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente *2.11 COMPORTAMIENTO NO LINEAL Hasta este punto nuestros análisis han tratado principalmente con elementos y estructuras compuestas de materiales que siguen la ley de Hooke. Ahora consideraremos el comportamiento de elementos cargados axialmente cuando el esfuerzo excede el límite de proporcionalidad. En esos casos los esfuerzos, las deformaciones y los desplazamientos dependen de la forma de la curva esfuerzo-deformación unitaria en la región más allá del límite de proporcionalidad (consulte la sección 1.3 donde se presentan algunos diagramas esfuerzo-deformación unitaria). Curvas esfuerzo-deformación unitaria no lineales s s s= s= ) No ) lineal ƒ(e s =E =E e e No lineal Linealmente elástica Linealmente elástica e s O ƒ(e O (a) e (a) s ) e Para fines de análisis y diseño, con frecuencia representamos la curva esfuerzo-deformación unitaria real de un material mediante una curva idealizada esfuerzo-deformación unitaria que se puede expresar como una función matemática. Algunos ejemplos se muestran en la figura 2-66. El primer diagrama (figura 2.66a) consiste en dos partes, una región inicial linealmente elástica seguida de una región no lineal definida por una expresión matemática apropiada. El comportamiento de algunas aleaciones de aluminio algunas veces se puede representar con mucha precisión mediante una curva de este tipo, al menos en la región antes de que las deformaciones se hagan excesivamente grandes (compare la figura 2.66a con la figura 1.13). En el segundo ejemplo (figura 2.66b), se utiliza una sola expresión matemática para toda la curva esfuerzo-deformación unitaria. La expresión mejor conocida de este tipo es la ley esfuerzo-deformación unitaria de Ramberg-Osgood, que se describe más adelante con más detalle (consulte las ecuaciones 2.70 y 2.71). ƒ( s = No lineal s = ƒ( ) s e No lineal O O s s e (b) e (b) Figura 2.66 Tipos de comportamiento idealizado del material: (a) curva esfuerzodeformación unitaria elástica no lineal, (b) curva esfuerzo-deformación unitaria general no lineal, (c) curva esfuerzodeformación unitaria elastoplástica y (d) curva esfuerzo-deformación unitaria bilineal. s s sY Perfectamente plástica sY Perfectamente plástica Linealmente elástica O O Linealmente elástica eY Linealmente elástica e O eY (c) O e r o po ient m i urec ción End eforma o por t d n mie reci ación u d En eform d Linealmente elástica e (d) e En la figura(c) 2.66c se ve el diagrama esfuerzo-deformación unitaria em(d) pleado para el acero estructural. Como el acero tiene una región linealmente elástica seguida de una región de fluencia considerable (consulte los diagramas esfuerzo-deformación unitaria de las figuras 1.10 y 1.12), su comportamiento se puede representar mediante dos líneas rectas. Se supone que el material sigue la ley de Hooke hasta el esfuerzo de fluencia sY, después de lo cual fluye ante un esfuerzo constante, este último comportamiento se conoce como plasticidad perfecta. La región perfectamente plástica continúa hasta que las deformaciones unitarias son 10 o 20 veces mayores que la deformación unitaria de fluencia. Un material que tiene un diagrama esfuerzo-deformación unitaria de este tipo se denomina material elastoplástico (o material elástico-plástico). secCiÓn 2.11 Comportamiento no lineal    171 A la larga, cuando la deformación unitaria se hace extremadamente grande, la curva esfuerzo-deformación unitaria para el acero se eleva arriba del esfuerzo de fluencia debido al endurecimiento por deformación, como se explica en la sección 1.3. Sin embargo, en el instante que inicia el endurecimiento por deformación, los desplazamientos son tan grandes que la estructura habrá perdido su utilidad. En consecuencia, es práctica común analizar las estructuras de acero con base en el diagrama elastoplástico que se muestra en la figura 2.66c, tanto para análisis de tensión como de compresión. Un análisis basado en estas suposiciones se denomina análisis elastoplástico, o simplemente, análisis plástico y se describe en la siguiente sección. En la figura 2.66d se muestra un diagrama esfuerzo-deformación unitaria formado por dos líneas con pendientes diferentes, se llama diagrama bilineal esfuerzo-deformación unitaria. Observe que en las dos partes del diagrama la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria es lineal, pero sólo en la primera parte el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria (ley de Hooke). Este diagrama idealizado se puede emplear para representar materiales con endurecimiento por deformación o se puede utilizar como una aproximación a diagramas con las formas no lineales generales que se muestran en las figuras 2.66a y b. Cambios en la longitud de barras El alargamiento o acortamiento de una barra puede determinarse si se conoce la curva esfuerzo-deformación unitaria del material. Para ilustrar el procedimiento general, consideraremos la barra ahusada AB que se muestra en la figura 2.67a. Tanto el área de la sección transversal como la fuerza axial varían a lo largo de la longitud de la barra y el material tiene una curva esfuerzo-deformación unitaria general no lineal (figura 2.67b). Dado que la barra está estáticamente determinada, podemos encontrar las fuerzas axiales internas en todas las secciones transversales a partir sólo del equilibrio estático. Luego podemos determinar los esfuerzos dividiendo las fuerzas entre las áreas de las secciones transversales y las deformaciones unitarias A B x L dx (a) s Figura 2.67 Cambio en la longitud de una barra ahusada formada de un material que tiene una curva esfuerzo-deformación unitaria no lineal. O www.FreeLibros.com e (b) 172    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente a partir de la curva esfuerzo-deformación unitaria. Por último, podemos determinar el cambio en la longitud a partir de las deformaciones unitarias, como se describe en el párrafo siguiente. El cambio en la longitud de un elemento dx de la barra (figura 2.67a) es  dx donde  es la deformación unitaria a una distancia x desde el extremo de la barra. Integrando esta expresión desde un extremo de la barra hasta el otro, obtenemos el cambio en la longitud de toda la barra: L (2.68) e dx 0 donde L es la longitud de la barra. Si las deformaciones unitarias se expresan en términos analíticos, es decir, mediante fórmulas algebraicas, será posible integrar la ecuación (2.68) con métodos matemáticos formales y así obtener una expresión para el cambio en la longitud. Si los esfuerzos y las deformaciones unitarias se expresan en forma numérica, es decir, por una serie de valores numéricos, podemos proceder como sigue. Podemos dividir la barra en segmentos pequeños con longitud ∆x, determinar el esfuerzo y la deformación unitaria promedios para cada segmento y después calcular el alargamiento de toda la barra sumando los alargamientos de los segmentos individuales. Este proceso equivale a evaluar la integral en la ecuación (2.68) por métodos numéricos en lugar de integración formal. Si las deformaciones unitarias son uniformes en toda la longitud de la barra, como en el caso de una barra prismática sometida a una fuerza axial constante, la integración de la ecuación (2.68) es trivial y el cambio en la longitud es d (2.69) eL como se esperaba (compare con la ecuación 1.2 en la sección 1.2). Ley esfuerzo-deformación unitaria de Ramberg-Osgood Las curvas esfuerzo-deformación unitaria para varios metales, incluyendo el aluminio y el magnesio, pueden representarse exactamente por la ecuación de Ramberg-Osgood: e e0 s s0 a s s0 m (2.70) En esta ecuación, s y  son el esfuerzo y la deformación unitaria, respectivamente, y 0, s0, a y m son constantes del material (obtenidas mediante ensayos de tensión). Una forma alternativa de la ecuación es e s E s0a s E s0 m (2.71) en donde E = s0/0 es el módulo de elasticidad en la parte inicial de la curva esfuerzo-deformación unitaria.* En la figura 2.68 se muestra una gráfica de la ecuación (2.71) para una aleación de aluminio para la cual las constantes son las siguientes: * La ley de esfuerzo-deformación unitaria de Ramberg-Osgood se presenta en la referencia 2.12. secCiÓn 2.11 Comportamiento no lineal    173 s (psi) 50,000 40,000 30,000 20,000 Aleación de aluminio E = 10 × 106 psi 10 s e = + 1 ⎞ s ⎞ 614.0 ⎠38,000⎠ 10 × 106 10,000 Figura 2.68 Curva esfuerzo-deformación unitaria para una aleación de aluminio empleando la ecuación de RambergOsgood (ecuación 2.72). s = psi 0 0.010 0.020 0.030 e E = 10 × 10 6 psi, s0 = 38,000 psi, a = 3/7 y m = 10. La ecuación de esta curva particular esfuerzo-deformación unitaria es s e 10 6 10 1 s 614.0 38,000 10 (2.72) donde s tiene unidades de libras por pulgada cuadrada (psi). Una ecuación similar para una aleación de aluminio, pero en unidades SI (E = 70 GPa, s0 = 260 MPa, a = 3/7 y m = 10) es la siguiente: e s 70,000 1 s 628.2 260 10 (2.73) donde s tiene unidades de megapascales (MPa). El cálculo del cambio de longitud de una barra, empleando la ecuación (2.73) para la relación esfuerzo-deformación unitaria, se ilustra en el ejemplo 2.18. Estructuras estáticamente indeterminadas Si una estructura es estáticamente indeterminada y el material se comporta en forma no lineal, los esfuerzos, las deformaciones unitarias y los desplazamientos se determinan resolviendo las mismas ecuaciones generales que se describieron en la sección 2.4 para estructuras linealmente elásticas, que son, ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y relaciones fuerza-desplazamiento (o relaciones equivalentes esfuerzo-deformación unitaria). La diferencia principal es que las relaciones fuerza-desplazamiento ahora son no lineales, lo que significa que no se pueden obtener soluciones analíticas excepto en situaciones muy simples. Entonces, las ecuaciones se deben resolver de forma numérica, utilizando un programa de cómputo adecuado. www.FreeLibros.com 174    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Ejemplo 2.18 Una barra prismática AB con longitud L = 2.2 m y área de su sección transversal A = 480 mm2 soporta dos cargas concentradas P1 = 108 kN y P2 = 27 kN, como se muestra en la figura 2.69. El material de la barra es una aleación de aluminio que tiene una curva esfuerzo-deformación unitaria no lineal, representada por la ecuación de Ramberg-Osgood siguiente (ecuación 2.73): e A L 2 P2 L 2 B P1 Figura 2.69 Ejemplo 2-18. Alargamiento de una barra de material no lineal empleando la ecuación de RambergOsgood. s 70,000 1 s 628.2 260 10 en donde s tiene unidades de MPa. (La forma general de esta curva esfuerzo-deformación unitaria se muestra en la figura 2.68.) Determine el desplazamiento dB del extremo inferior de la barra para cada una de las siguientes condiciones: (a) la carga P1 actúa sola, (b) la carga P2 actúa sola y (c) las cargas P1 y P2 actúan simultáneamente. Solución (a) Desplazamiento debido sólo a la carga P1. La carga P1 produce un esfuerzo uniforme de tensión en toda la longitud de la barra igual a P1/A o 225 MPa. Sustituyendo este valor en la relación esfuerzo-deformación unitaria da  = 0.003589. Por tanto, el alargamiento de la barra, igual al desplazamiento en el punto B, es (consulte la ecuación 2.69) dB eL (0.003589)(2.2 m) 7.90 mm    (b) Desplazamiento debido sólo a la carga P2. El esfuerzo en la mitad superior de la barra es P2/A o 56.25 MPa y no hay esfuerzo en la mitad inferior. Continuando como en el inciso (a), obtenemos el siguiente alargamiento: dB eL/2 (0.0008036)(1.1 m) 0.884 mm    (c) Desplazamiento debido a las dos cargas que actúan simultáneamente. El esfuerzo en la mitad inferior de la barra es P1/A y en la mitad superior es (P1 + P2)/A. Los esfuerzos correspondientes son 225 MPa y 281.25 MPa, y las deformaciones correspondientes son 0.003589 y 0.007510 (de la ecuación de RambergOsgood). Por tanto el alargamiento de la barra es dB (0.003589)(1.1 m) 3.95 mm 8.26 mm (0.007510)(1.1 m) 12.2 mm    Los tres valores calculados de dB ilustran un principio importante relativo a una estructura hecha de un material que se comporta no linealmente: En una estructura no lineal, el desplazamiento producido por dos (o más) car­ gas que actúan simultáneamente no es igual a la suma de los desplazamientos pro­ ducidos por las cargas actuando por separado. secCiÓn 2.12 Análisis elastoplástico    175 *2.12 ANÁLISIS ELASTOPLÁSTICO s sY Pendiente = E O eY e Figura 2.70 Diagrama idealizado esfuerzo-deformación unitaria para un material elastoplástico, como el acero estructural. P P P L PY PY = sYA PYL sYL = EA E EA Pendiente = L dY = O dY d Figura 2.71 Diagrama cargadesplazamiento para una barra prismática de material elastoplástico. En la sección anterior analizamos el comportamiento de estructuras cuando los esfuerzos en el material exceden el límite de proporcionalidad. Ahora describiremos un material de mucha importancia en el diseño de ingeniería: el acero, el metal estructural que más se utiliza. El acero dulce (o acero estructural) se puede modelar como un material elastoplástico con un diagrama esfuerzo-deformación unitaria como se muestra en la figura 2.70. Un material elastoplástico al inicio se comporta de una manera linealmente elástica con un módulo de elasticidad E. Después del inicio de la fluencia plástica las deformaciones unitarias aumentan a un esfuerzo más o menos constante, llamado esfuerzo de fluencia sY. La deformación unitaria al inicio de la fluencia se conoce como deformación unitaria de fluencia Y. El diagrama carga-desplazamiento para una barra prismática de material elastoplástico sometida a una carga de tensión (figura 2.71) tiene la misma forma que el diagrama esfuerzo-deformación unitaria. Al inicio, la barra se alarga de una manera linealmente elástica y sigue la ley de Hooke. Por tanto, en esta región de carga podemos determinar el cambio de longitud a partir de la fórmula conocida d = PL/EA. Una vez que se alcanza el esfuerzo de fluencia, la barra se puede alargar sin un aumento en la carga y el alargamiento no tiene una magnitud específica. La carga a la cual inicia la fluencia se llama carga de fluencia Py y el alargamiento correspondiente de la barra se denomina desplazamiento de fluencia dY. Observe que para una barra prismática individual, la carga de fluencia PY es igual a sY A y el desplazamiento de fluencia dY es igual a PY L/EA o sY L/E. (Son válidos comentarios similares en una barra en compresión, siempre que no ocurra pandeo). Si una estructura sólo consiste de elementos cargados axialmente es estáticamente determinada (figura 2.72), su comportamiento general sigue el mismo patrón. La estructura se comporta de una manera linealmente elástica hasta que uno de sus elementos alcanza el esfuerzo de fluencia. Luego ese elemento comenzará a alargarse (o acortarse) sin cambio adicional en la carga axial en ese elemento. Así, toda la estructura fluirá y su diagrama carga-desplazamiento tiene la misma forma que para una sola barra (figura 2.71). Estructuras estáticamente indeterminadas P Figura 2.72 Estructura estáticamente determinada, consiste en elementos cargados axialmente. La situación es más compleja si una estructura es estáticamente indeterminada. Si un elemento fluye, otros elementos continuarán resistiendo cualquier aumento en la carga. Sin embargo, finalmente suficientes elementos fluirán causando que toda la estructura fluya. Para ilustrar el comportamiento de una estructura estáticamente indeterminada, emplearemos la configuración simple que se muestra en la figura 2.73. Esta estructura consiste de tres barras que soportan una carga P aplicada mediante una placa rígida. Las dos barras exteriores tienen longitud L1, la barra interior tiene longitud L2 y las tres barras tienen la misma área de sección transversal A. El diagrama idealizado esfuerzo-deformación unitaria para el acero se muestra en la figura 2.70 y el módulo de elasticidad en las regiones linealmente elásticas es E = sY/Y. www.FreeLibros.com 176    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Como sucede en el caso normal de una estructura estáticamente indeterminada, iniciamos el análisis con las ecuaciones de equilibrio y com­ patibilidad. De acuerdo con el equilibrio de la placa rígida en la dirección vertical obtenemos 2F1 F2 (a) P donde F1 y F2 son las fuerzas axiales en las barras externas e interna, respectivamente. Como la placa se mueve hacia abajo como un cuerpo rígido al aplicar la carga, la ecuación de compatibilidad es d1 (b) d2 donde d1 y d2 son los alargamientos de las barras exterior e interior, respectivamente. Ya que dependen sólo del equilibrio y de la geometría, las dos ecuaciones anteriores son válidas en todos los niveles de la carga P; no importa si las deformaciones unitarias se encuentran en la región linealmente elástica o en la región plástica. Cuando la carga P es pequeña, los esfuerzos en las barras son menores que el esfuerzo de fluencia sY y el material está sometido a esfuerzos dentro de la región linealmente elástica. Por lo tanto, las relaciones fuerza-despla­ zamiento entre las fuerzas en las barras y sus alargamientos son F1L1 EA d1 d2 F2 L2 EA (c) Al sustituir en la ecuación de compatibilidad (ecuación b), obtenemos F1L1 (d) F2 L2 Al resolver de manera simultánea las ecuaciones (a) y (d), se obtiene F1 F1 F1 L1 L1 L2 Placa rígida P Figura 2.73 Análisis elastoplástico de una estructura estáticamente indeterminada. PL2 2L 2 F2 L1 PL1 2L 2 (2.74a,b) De esta manera, ahora hemos determinado las fuerzas en las barras en la región linealmente elástica. Los esfuerzos correspondientes son    s1 F2 L1 F1 A PL 2 A(L1 2L 2) s2 F2 A PL1 A(L1 2L 2) (2.75a,b) Estas ecuaciones para las fuerzas y los esfuerzos son válidas siempre que los esfuerzos en las tres barras permanezcan menores que el esfuerzo de fluencia sY. Conforme la carga P aumenta gradualmente, los esfuerzos en las barras se incrementan hasta que se alcanza el esfuerzo de fluencia en la barra interior o bien en las barras exteriores. Supongamos que las barras exteriores son mayores que la barra interior, como se muestra en la figura 2.73: L1 L2 (e) Entonces, la barra interior está sometida a un esfuerzo mucho mayor que las otras (consulte las ecuaciones 2.75a y b) y alcanzará primero el esfuerzo de fluencia. Cuando eso sucede, la fuerza en la barra interior es F2 = sY A. La magnitud de la carga P cuando se alcanza el esfuerzo de fluencia por secCiÓn 2.12 Análisis elastoplástico    177 primera vez en una de las barras se llama carga de fluencia PY. Podemos determinar PY igualando F2 a sY A en la ecuación (2.74b) y despejando la carga: PY PP O (2.76) Siempre que la carga P sea menor que PY, la estructura se comporta de una manera linealmente elástica y las fuerzas en la barras se pueden determinar a partir de las ecuaciones (2.74a y b). El desplazamiento hacia abajo de la barra rígida en la carga de fluencia, llamado desplazamiento de fluencia dY, es igual al alargamiento de la barra interior cuando su esfuerzo alcanza por primera vez el esfuerzo de fluen­cia sY: P PY 2L 2 L1 sY A 1 A dY B dP Figura 2.74 Diagrama cargadesplazamiento para la estructura estáticamente indeterminada que se muestra en la figura 2.73. C d dY F2 L 2 EA s2L2 E sY L2 E (2.77) La relación entre la carga aplicada P y el desplazamiento hacia abajo d de la barra rígida se representa en el diagrama carga-desplazamiento de la figura 2.74. El comportamiento de la estructura hasta la carga de fluencia PY está representado por la línea OA. Con un aumento adicional en la carga, las fuerzas F1 en las barras exteriores aumentan, pero la fuerza F2 en la barra interior permanece con el valor constante sY A debido a que ahora esta barra es perfectamente plástica (consulte la figura 2.71). Cuando las fuerzas F1 alcanzan el valor sY A, las barras exteriores también fluyen y, por tanto, la estructura no puede soportar ninguna carga adicional. Entonces, las tres barras se alargarán plásticamente ante esta carga constante, llamada carga plástica PP. La carga plástica está representada por el punto B en el diagrama carga-desplazamiento (figura 2.74) y la línea horizontal BC representa la región de deformación plástica continua sin ningún aumento en la carga. La carga plástica PP se puede calcular del equilibrio estático (ecua­ ción a) sabiendo que F1 sY A F2 sY A (f) Por tanto, a partir del equilibrio obtenemos PP 3sY A (2.78) El desplazamiento plástico dP en el instante justo que la carga alcanza la carga plástica PP es igual al alargamiento de las barras exteriores en el instante que alcanzan el esfuerzo de fluencia. Por tanto, dP F1L1 EA s1 L1 E sY L1 E (2.79) Al comparar dP con dY, observamos que en este ejemplo la razón entre el desplazamiento plástico y el desplazamiento de fluencia es www.FreeLibros.com dP dY L1 L2 (2.80) 178    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Además, la razón entre la carga plástica y la carga de fluencia es PP PY L1 3L1 2L2 (2.81) Por ejemplo, si L1 = 1.5L2, las razones son dP/dY = 1.5 y PP/PY = 9/7 = 1.29. En general, la razón de los desplazamientos siempre es mayor que la razón de las cargas correspondientes y la región AB parcialmente plástica en el diagrama carga-desplazamiento (figura 2.74) siempre tiene una pendiente menor que la región elástica OA. Por supuesto, la región completamente plástica BC tiene la pendiente menor (cero). Comentarios generales Para comprender por qué la gráfica de carga-desplazamiento es lineal en la región parcialmente plástica (recta AB en la figura 2.74) y tiene una pendiente que es menor que en la región linealmente elástica, considere lo siguiente. En la región parcialmente plástica de la estructura, las barras exteriores aún se comportan de una manera linealmente elástica. Por tanto, su alargamiento es una función lineal de la carga. Como su alargamiento es igual que el desplazamiento hacia abajo de la placa rígida, el desplazamiento de la placa rígida también debe ser una función lineal de la carga. En consecuencia, tenemos una línea recta entre los puntos A y B. Sin embargo, la pendiente del diagrama carga-desplazamiento en esta región es menor que en la región lineal inicial debido a que la barra interior fluye plásticamente y sólo las barras exteriores ofrecen una resistencia creciente a la carga creciente. En efecto, ha disminuido la rigidez de la estructura. De acuerdo con la descripción relacionada con la ecuación (2.78), vemos que el cálculo de la carga plástica PP sólo requiere el uso de la estática, ya que todos los elementos han fluido y se conocen sus fuerzas axiales. En contraste, el cálculo de la carga de fluencia PY requiere un análisis estáticamente indeterminado, lo que significa que se deben resolver las ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad y de fuerza-desplazamiento. Después que se ha alcanzado la carga plástica PP, la estructura continúa deformándose como lo muestra la línea BC en el diagrama carga-desplazamiento (figura 2.74). Finalmente, ocurre el endurecimiento por deformación y luego la estructura es capaz de soportar cargas adicionales. Sin embargo, la presencia de desplazamientos muy grandes por lo general significa que la estructura ya no debe usarse, por lo que es usual que la carga plástica PP se considere como la carga de falla. El análisis anterior fue sobre el comportamiento de una estructura cuando se le aplica carga por primera vez. Si la carga se remueve antes de que se alcance la carga de fluencia, la estructura se comportará elásticamente y regresará a su condición original sin esfuerzo. Sin embargo, si sobrepasa la carga de fluencia, algunos elementos de la estructura retendrán una deformación permanente cuando se remueva la carga, creando así una condición preesforzada. En consecuencia, la estructura tendrá esfuerzos residuales en ella aunque no actúen cargas externas. Si la carga se aplica una segunda vez, la estructura se comportará de una manera diferente. secCiÓn 2.12 Análisis elastoplástico    179 Ejemplo 2.19 La estructura que se muestra en la figura 2.75a consiste en una viga horizontal AB (supuesta rígida) soportada por dos barras idénticas (barras 1 y 2) hechas de un material elastoplástico. Las barras tienen longitud L y área de sección transversal A, y el material tiene un esfuerzo de fluencia sY, deformación de fluencia Y y módulo de elasticidad E = sY/Y. La viga tiene una longitud 3b y soporta una carga P en el extremo B. (a) Determine la carga de fluencia PY y el desplazamiento de fluencia correspondiente dY en el extremo de la barra (punto B). (b) Determine la carga plástica PP y el desplazamiento plástico correspondiente dP en el punto B. (c) Elabore un diagrama carga-desplazamiento relacionando la carga P con el desplazamiento dB del punto B. F2 F1 1 L P A Figura 2.75 Ejemplo 2.19. Análisis elastoplástico de una estructura estáticamente indeterminada. PP = 6 PY 5 PY 2 B b b b O P B A dY C dB dP = 2 d Y (a) (b) Solución Ecuación de equilibrio. Como la estructura es estáticamente indeterminada, iniciamos con las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad. Considerando el equilibrio de la viga AB, tomamos momentos con respecto al punto A y obtenemos MA 0 F1(b) F2(2b) P(3b) 0 en donde F1 y F2 son las fuerzas axiales en las barras 1 y 2, respectivamente. Esta ecuación se simplifica a 2F2 F1 (g) 3P Ecuación de compatibilidad. La ecuación de compatibilidad se basa en la geometría de la estructura. Ante la acción de la carga P la viga rígida gira con respecto al punto A y, por tanto, el desplazamiento hacia abajo en cada punto a lo largo de la viga es proporcional a su distancia desde el punto A. Entonces, la ecuación de compatibilidad es d2 (h) 2d1 donde d2 es el alargamiento de la barra 2 y d1 es el alargamiento de la barra 1. continúa www.FreeLibros.com 180    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente (a) Carga de fluencia y desplazamiento de fluencia. Cuando la carga P es pequeña y los esfuerzos en el material son en la región linealmente elástica, las relaciones fuerza-desplazamiento para las dos barras son F1L EA d1 d2 F2L EA (i,j) Al combinar estas ecuaciones con la ecuación de compatibilidad (ecuación h) se obtiene F2L EA 2 F1L EA o F2 (k) 2F1 Ahora, sustituyendo en la ecuación de equilibrio (ecuación g), determinamos 3P 5 F1 F2 6P 5 (l,m) La barra 2, que tiene la fuerza mayor, será la primera en llegar al esfuerzo de fluencia. En ese instante la fuerza en la barra 2 será F2 = sY A. Al sustituir ese valor en la ecuación (m), se obtiene la carga de fluencia PY como sigue: PY 5sY A 6 (2.82)   El alargamiento correspondiente de la barra 2 (de la ecuación j) es d2 = sY L/E y por lo tanto el desplazamiento de fluencia en el punto B es dY 3 2 2 3sY L 2E (2.83)   Tanto PY como dY se indican en el diagrama carga-desplazamiento (figura 2.75b). (b) Carga plástica y desplazamiento plástico. Cuando se alcanza la carga plástica PP, las dos barras se alargan hasta el esfuerzo de fluencia y las dos fuerzas F1 y F2 serán iguales a sY A. Se deduce del equilibrio (ecuación g) que la carga plásti­ca es PP sY A (2.84)   En esta carga, la barra izquierda (barra 1) apenas ha alcanzado el esfuerzo de fluencia; por tanto, su alargamiento (de la ecuación i) es d1 = sY L/E y el desplazamiento plástico del punto B es dP 3d1 3sYL E (2.85)   La razón entre la carga plástica PP y la carga de fluencia PY es 6/5 y la razón entre desplazamiento plástico dP y el desplazamiento de fluencia dY es 2. Estos valores también se muestran en el diagrama carga-desplazamiento. (c) Diagrama carga-desplazamiento. El comportamiento completo carga-desplazamiento de la estructura se representa en la figura 2.75b. El comportamiento es linealmente elástico en la región de O a A, parcialmente plástico de A a B y completamente plástico de B a C. capítulo 2 Resumen y repaso del capítulo    181 RESUMEN Y REPASO DEL CAPÍTULO En este capítulo investigamos el comportamiento de barras cargadas axialmente sometidas a cargas distribuidas, como el propio peso y también cambios de temperaturas y deformaciones previas. Desarrollamos relaciones fuerza-desplazamiento para emplearlas en el cálculo de cambios de longitud de barras en condiciones uniformes (es decir, fuerza constante sobre toda su longitud) y no uniformes (es decir, las fuerzas axiales, y tal vez también el área de la sección transversal, varían sobre la longitud de la barra). Luego se desarrollaron ecuaciones de equilibrio y compatibilidad para estructuras estáticamente indeterminadas en un procedimiento de superposición que conduce a la solución de todas las fuerzas desconocidas, esfuerzos, etcétera. Desarrollamos ecuaciones para esfuerzos normal y cortante sobre secciones inclinadas y, a partir de estas ecuaciones, determinamos los esfuerzos normal máximo y cortante máximo a lo largo de la barra. Se presentó una variedad de temas avanzados en las últimas partes del capítulo. Los conceptos principales presentados en este capítulo son los siguientes: 1. El alargamiento o acortamiento de barras prismáticas sometidas a cargas centroidales de tensión o compresión es proporcional tanto a la carga como a la longitud de la barra e inversamente proporcional a la rigidez axial (EA) de la barra; esta relación se llama relación fuerza-desplazamiento. 2. Los cables son elementos que trabajan sólo en tensión y se debe usar un módulo de elasticidad efectivo (Ee) y un área de sección transversal efectiva (Ae) para tomar en cuenta el efecto de apriete que ocurre cuando los cables se someten a una carga. 3. La rigidez axial por unidad de longitud de una barra se refiere a su rigidez (k) y la relación inversa es la flexibilidad (f = 1/k) de la barra. 4. La suma de los desplazamientos de los segmentos individuales de una barra prismática es igual al alargamiento o acortamiento de toda la barra (d). Se utilizan diagramas de cuerpo libre para determinar la fuerza axial (N) en cada segmento i; si las fuerzas axiales y/o las áreas de las secciones transversales varían continuamente, se requiere una expresión integral. 5. Si la estructura de la barra es estáticamente indeterminada, se requieren ecuaciones adicionales (más allá de las disponibles en la estática) para calcular fuerzas desconocidas. Las ecuaciones de compatibilidad se emplean para relacionar los desplazamientos de la barra con las condiciones de apoyo y así generar relaciones adicionales entre las incógnitas. Es conveniente emplear una superposición de estructuras “liberadas” (o estáticamente determinadas) para representar la estructura real estáticamente indeterminada de la barra. 6. Los efectos térmicos resultan en desplazamientos proporcionales al cambio de temperatura y a la longitud de la barra pero no en esfuerzos en estructuras estáticamente determinadas. El coeficiente de dilatación térmica (a) del material también se requiere para calcular los desplazamientos axiales debidos a los efectos térmicos. 7. El desajuste y las deformaciones previas inducen fuerzas sólo en barras estáticamente indeterminadas. 8. Los esfuerzos normal máximo y cortante máximo se pueden obtener considerando un elemento inclinado de esfuerzo para una barra cargada por fuerzas axiales. El esfuerzo normal máximo ocurre a lo largo del eje de la barra, pero el esfuerzo cortante máximo ocurre a una inclinación de 45° respecto del eje de la barra y el esfuerzo cortante máximo es la mitad del esfuerzo normal máximo. www.FreeLibros.com 182    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 2 Cambios de longitud de elementos cargados axialmente 2.2.1 El brazo ABC on forma de “L” que se muestra en la figura se encuentra en un plano vertical y tiene una articulación que gira con respecto a un pasador horizontal en A. El brazo tiene un área de sección transversal constante y un peso total W. Un resorte vertical con rigidez k soporta el brazo en el punto B. Obtenga una fórmula para el alargamiento del resorte debido al peso del brazo. 2.2.3 Un alambre de acero y uno de cobre tienen longitudes iguales y soportan cargas iguales P (consulte la figura). Los módulos de elasticidad para el acero y el cobre son Es = 30,000 ksi y Ec = 18,000 ksi, respectivamente. (a) Si los alambres tienen diámetros iguales, ¿cuál es la razón entre el alargamiento del alambre de cobre y el alargamiento del alambre de acero? (b) Si los alambres se estiran la misma cantidad, ¿cuál es la razón entre el diámetro del alambre de cobre y el diámetro del alambre de acero? k A B b C b b — 2 Alambre de cobre Prob. 2.2.1 2.2.2 Un cable de acero con diámetro nominal de 25 mm (consulte la tabla 2.1) se utiliza en un patio de construcción para levantar una sección de un puente que pesa 38 kN, como se muestra en la figura. El cable tiene un módulo de elasticidad efectivo E = 140 GPa. (a) Si el cable tiene una longitud de 14 m, ¿cuánto se estirará al levantar la carga? (b) Si el cable está clasificado para una carga máxima de 70 kN, ¿cuál es el factor de seguridad con respecto a la falla del cable? Prob. 2.2.2 Alambre de acero P P Prob. 2.2.3 2.2.4 ¿Qué distancia h se mueve hacia abajo la jaula que se muestra en la figura cuando se coloca el peso W dentro de ella? (Consulte la figura). Considere sólo los efectos del estiramiento del cable, que tiene una rigidez axial EA = 10,700 kN. La polea en A tiene un diámetro dA = 300 mm y la polea en B tiene un diámetro dB = 150 mm. Además, la distancia L1 = 4.6 m, la distancia L2 = 10.5 mm y el peso W = 22 kN. (Nota: al calcular la longitud del cable, incluya las partes del cable que se arrollan alrededor de las poleas en A y B). capítulo 2 Problemas    183 escala angular. L1 A Si la carga es P = 8 N, ¿a qué distancia x se deberá colocar la carga para que el indicador marque 3° en la escala? L2 A B P x B Jaula W C 0 k b Prob. 2.2.4 Prob. 2-2.6 2.2.5 Una válvula de seguridad en la parte superior de un recipiente que contiene vapor a una presión p tiene un orificio de descarga con diámetro d (consulte la figura). La válvula está diseñada para liberar vapor cuando la presión alcance el valor pmáx. Si la longitud natural del resorte es L y su rigidez es k, ¿cuál deberá la dimensión h de la válvula? (Exprese su resultado como una fórmula para determinar h.) h 2.2.7 Dos barras rígidas, AB y CD, se apoyan sobre una superficie horizontal (consulte la figura). La barra AB gira en A y la barra CD gira en D. Las barras están conectadas entre sí por dos resortes linealmente elásticos con rigidez k. Antes de que se aplique la carga P, las longitudes de los resortes son tales que las barras son paralelas y los resortes no están sometidos a esfuerzo. Deduzca una fórmula para el desplazamiento dC en el punto C cuando la carga P actúa cerca del punto B como se muestra. (Suponga que las barras giran ángulos muy pequeños ante la acción de la carga P.) d p b P b b A Prob. 2.2.5 B C 2.2.6 El dispositivo que se muestra en la figura consiste en un indicador ABC soportado por un resorte con rigidez k = 800 N/m. El resorte está colocado a una distancia b = 150 mm del extremo articulado A del índice. El dispositivo se ajusta de manera que cuando no hay carga P, el índice indica cero en la dC Prob. 2.2.7 www.FreeLibros.com D 184    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.2.8 La armadura de tres barras ABC que se muestra en la figura tiene un claro L = 3 m y está construida de tubos de acero que tienen un área de la sección transversal A = 3900 mm2 y un módulo de elasticidad E = 200 GPa. Cargas idénticas P actúan vertical y horizontalmente en el nodo C, como se muestra. (a) Si P = 650 kN, ¿cuál es el desplazamiento horizontal del nodo B? (b) ¿Cuál es el valor máximo permisible de la carga Pmáx si el desplazamiento del nodo B está limitado a 1.5 mm? P P C A (b) Si ahora se quita P, ¿qué valor nuevo de k1 se requiere para que la barra [parte (a) de la figura] se suspenda en posición horizontal ante el peso W? (c) Si P se remueve y k1 = 300 N/m, ¿qué distancia b se deberá mover el resorte k1 a la derecha tal que la barra [parte (a) de la figura] quede en una posición horizontal ante el pe­so W? (d) Si ahora el resorte a la izquierda se reemplaza con dos resortes en serie (k1 = 300 N/m, k3) con longitud natural global L1 = 250 mm [consulte la parte (b) de la figura], ¿qué valor de k3 se requiere para que la barra quede en una posición horizontal ante el peso W? 45° 45° k1 L1 B Posición nueva de k1 sólo para el inciso (c) b k2 L2 W A L P x Prob. 2.2.8 2.2.9 Un alambre de aluminio con diámetro d = 1/10 in y longitud L = 12 ft se somete a una carga de tensión P (consulte la figura). El aluminio tiene un módulo de elasticidad E = 10 600 ksi. Si el alargamiento máximo permisible del alambre es 1/8 in y el esfuerzo permisible en tensión es 10 ksi, ¿cuál es la carga permisible Pmáx? P d L P h B Carga P sólo para el inciso (a) L (a) k3 L1 — 2 k1 L1 — 2 A h k2 L2 W B Prob. 2.2.9 2.2.10 Una barra uniforme AB con peso W = 25 N está soportada por dos resortes, como se muestra en la figura. El resorte a la izquierda tiene una rigidez k1 = 300 N/m y longitud natural L1 = 250 mm. Las cantidades correspondientes para el resorte a la derecha son k2 = 400 N/m y L2 = 200 mm. La distancia entre los resortes es L = 350 mm y el resorte a la derecha está suspendido de un soporte que se ubica a una distancia h = 80 mm debajo del punto de soporte del resorte a la izquierda. No tome en cuenta el peso de los resortes. (a) ¿A qué distancia x desde el resorte a la izquierda [parte (a) de la figura] se debe colocar una carga P = 18 N a fin de llevar la barra a la posición horizontal? L (b) Prob. 2.2.10 2.2.11 Un tubo circular hueco de hierro colado (Ec = 12,000 ksi) soporta una barra de latón (Eb = 14,000 ksi) y un peso W = 2 kips, como se muestra. El diámetro exterior del tubo es dc = 6 in. (a) Si el esfuerzo permisible de compresión en el tubo es 5000 psi y su acortamiento permisible es 0.02 in, ¿cuál es el espesor de pared mínimo permisible tc’mín? (Incluya los pesos de la barra y la tapa de acero en sus cálculos.) capítulo 2 Problemas    185 (b) ¿Cuál es el alargamiento de la barra de latón dr debida a la carga W y a su propio peso? (c) ¿Cuál es el espacio libre h mínimo requerido? Tuerca y arandela 3 dw = — in 4 ( ) Tapa de acero (ts = 1 in) Tubo de hierro colado (dc = 6 in, tc) Lr = 3.5 ft **2.2.13 La armadura ABC consiste de dos barras rígidas AB y BC, cada una con longitud b (consulte la primera parte de la figura). Las barras tienen conexiones articuladas en A, B y C, y están unidas por un resorte con rigidez k. El resorte está sujeto a los puntos medios de las barras. La armadura tiene un soporte articulado en A y un soporte de rodillo en C, y las barras están en un ángulo a con respecto a la horizontal. Cuando se aplica una carga vertical P en el nodo B (consulte la segunda parte de la figura) el soporte de rodillo C se mueve hacia la derecha, el resorte se estira y el ángulo de las barras disminuye de a a u. Determine el ángulo u y el aumento d en la distancia entre los puntos A y C. (Utilice los datos siguientes: b = 8.0 in, k = 16 lb/in, a = 45° y P = 10 lb). Lc = 4 ft Barra de latón 1 dr = — in 2 ( **2.2.14 Resuelva el problema anterior con los siguientes datos: b = 200 mm, k = 3.2 kN/m, a = 45° y P = 50 N. ) W h Prob. 2.2.11 b — 2 *2.2.12 La viga horizontal rígida ABCD que se muestra en la figura está soportada por las barras verticales BE y CF, y está sometida a las dos fuerzas verticales P1 = 400 kN y P2 = 360 kN que actúan en los puntos A y D, respectivamente (consulte la figura). Las barras BE y CF están hechas de acero (E = 200 GPa) y tienen áreas de sus secciones transversales ABE = 11,100 mm2 y ACF = 9280 mm2. Las distancias entre varios puntos en las barras se muestran en la figura. Determine los desplazamientos verticales dA y dD de los puntos A y D, respectivamente. 1.5 m A 1.5 m B b — 2 B b — 2 b — 2 k a A a C 2.1 m D C P P1 = 400 kN 2.4 m P2 = 360 kN B F E Prob. 2.2.12 0.6 m A u Prob. 2.2.13 y 2.2.14 www.FreeLibros.com u C 186    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Cambios de longitud en condiciones no uniformes 2.3.1 Calcule el alargamiento de una barra de cobre con sección transversal circular y con sus extremos ahusados cuando se estira por cargas axiales con magnitud 3.0 k (consulte la figura). La longitud de los segmentos extremos es 20 in y la longitud del segmento prismático medio es 50 in. Además, los diámetros en las secciones transversales A, B, C y D son 0.5, 1.0, 1.0 y 0.5 in, respectivamente, y el módulo de elasticidad es 18,00 ksi. (Sugerencia: utilice el resultado del ejemplo 2.4.) 2.3.3 Una barra AD (consulte la figura) tiene un área de sección transversal de 0.40 in2 y está cargada por fuerzas P1 = 2700 lb, P2 = 1800 lb y P3 = 1300 lb. Las longitudes de los segmentos de la barra son a = 60 in, b = 24 in y c = 36 in. (a) Suponiendo que el módulo de elasticidad es E = 30 × 106 psi, calcule el cambio de longitud d de la barra. ¿Se alarga o se acorta la barra? (b) ¿En qué cantidad P se debe aumentar la carga P3 para que la barra no cambié de longitud cuando se apliquen las tres cargas? P1 A A B C 3.0 k D 20 in 50 in 20 in b C D c P3 Prob. 2.3.3 3.0 k Prob. 2.3.1 2.3.2 Una barra rectangular larga de cobre sometida a una carga de tensión P cuelga de un pasador que está soportado por dos postes de acero (consulte la figura). La barra de cobre tiene una longitud de 2.0 m, un área de sección transversal de 4800 mm2 y un módulo de elasticidad Ec = 120 GPa. Cada poste de acero tiene una altura de 0.5 m, un área de sección transversal de 450 mm2 y un módulo de elasticidad Es = 200 GPa. (a) Determine el desplazamiento hacia abajo d del extremo inferior de la barra de cobre debido a una carga P = 180 kN. (b) ¿Cuál es la carga máxima permisible Pmáx si el desplazamiento d está limitado a 1.0 mm? Poste de acero a B P2 2.3.4 Una barra rectangular con longitud L tiene una ranura a la mitad de su longitud (consulte la figura). La barra tiene un ancho b, espesor t y módulo de elasticidad E. La ranura tiene un ancho b/4. (a) Obtenga una fórmula para el alargamiento d de la barra debido a las cargas axiales P. (b) Calcule el alargamiento de la barra si el material es acero de alta resistencia, el esfuerzo axial en la región media es 160 MPa, la longitud es 750 mm y el módulo de elasticidad es 210 GPa. P b L — 4 b — 4 L — 2 t P L — 4 Probs. 2.3.4 y 2.3.5 2.3.5 Resuelva el problema anterior si el esfuerzo axial en la región media es 24,000 psi, la longitud es 30 in y el módulo de elasticidad es 30 × 106 psi. Barra de cobre P Prob. 2.3.2 2.3.6 Un edificio de dos pisos tiene columnas de acero AB en el primer piso y BC en el segundo piso, como se muestra en la figura. La carga sobre el techo P1 es igual a 400 kN y la carga en el segundo piso P2 es igual a 720 kN. Cada columna tiene una longitud L = 3.75 m. Las área de las secciones transversales de las columnas del primer y segundo piso son 11,000 mm2 y 3900 mm2, respectivamente. (a) Suponiendo que E = 206 GPa, determine el acortamiento total dAC de las dos columnas debido a la acción combinada de las cargas P1 y P2. capítulo 2 Problemas    187 (b) ¿Qué carga adicional P0 se puede colocar en la parte superior de la columna (punto C) si el acortamiento total dAC no debe exceder 4.0 mm? P1 = 400 kN P2 = 720 kN (c) Por último, si se aplican cargas P en los extremos y dmáx = d2/2, ¿cuál es la longitud permisible x del agujero si el acortamiento está limitado a 8.0 mm? [Consulte la parte (c) de la figura.] C L = 3.75 m B L = 3.75 m A dmáx A d2 = 0.50 in d dmáx = —2 2 P d2 B C d1 P P = 5000 lb 4.0 ft L — 2 (a) A P P L — 4 L — 4 2.3.7 Una barra de acero con una longitud de 8 ft tiene una sección transversal circular d1 = 0.75 in en la mitad de su longitud y diámetro d2 = 0.5 in en la otra mitad (consulte la figura). El módulo de elasticidad es E = 30 × 106 psi. (a) ¿Cuál es el alargamiento de la barra ante una carga de tensión P = 5000 lb? (b) Si con el mismo volumen de material se hace una barra con diámetro constante d y longitud 8.0 ft, ¿cuál será el alargamiento con la misma carga P? d1 = 0.75 in C d1 P Prob. 2.3.6 d2 B L — 4 L — 4 4.0 ft Prob. 2.3.7 L — 2 b (b) 2.3.8 Una barra ABC con longitud L consiste de dos partes con segmentos iguales pero diámetros diferentes. El segmento AB tiene un diámetro d1 = 100 mm y el segmento BC tiene un diámetro d2 = 60 mm. Los dos segmentos tienen una longitud L/2 = 0.6 m. En el segmento AB se perfora un agujero longitudinal con diámetro d en la mitad de su longitud (distancia L/4 = 0.3 m). La barra está hecha de plástico que tiene un módulo de elasticidad E = 4.0 GPa y sobre sus extremos actúan cargas de compresión P = 110 kN. (a) Si el acortamiento de la barra está limitado a 8.0 mm, ¿cuál es el diámetro máximo permisible dmáx del agujero? [Consulte la parte (a) de la figura]. (b) Ahora, si dmáx se fija en d2/2, ¿a qué distancia b desde el extremo C se debe aplicar la carga P para limitar el acortamiento de la barra a 8.0 mm? [Consulte la parte (b) de la figura.] d dmáx = —2 2 A B x L — 2 P L — 2 x (c) www.FreeLibros.com C d1 P Prob. 2.3.8 d2 188    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.3.9 Un pilote de madera clavado en el suelo soporta una carga P completamente por fricción sobre su superficie (consulte la figura). La fuerza de fricción f por unidad de longitud del pilote se supone que esta distribuida uniformemente sobre la superficie del mismo. La longitud del pilote es L, su área de la sección transversal es A y su módulo de elasticidad es E. (a) Deduzca una fórmula para el acortamiento d del pilote en términos de P, L, E y A. (b) Dibuje un diagrama mostrando cómo el esfuerzo de compresión sc varía en toda la longitud del pilote. P f 2.3.10 Considere los tubos de cobre soldados empleando una junta “sudada”. Utilice las propiedades y dimensiones dadas. (a) Determine el alargamiento total del segmento 2-3-4 (d2–4) para una fuerza de tensión aplicada de P = 5 kN. Use Ec = 120 GPa. (b) Si la resistencia a la fluencia en cortante de la soldadura de estaño-plomo es ty = 30 MPa y la resistencia a la fluencia en tensión del cobre es sy = 200 MPa, ¿cuál es la carga máxima Pmáx que se puede aplicar a la junta si el factor de seguridad deseado en cortante es FSt = 2 y en tensión es FSs = 1.7? (c) Determine el valor de L2 en el cual las propiedades del tubo y la soldadura son iguales. L 2.3.11 La barra circular no prismática en voladizo que se muestra tiene un agujero cilíndrico interno con diámetro d/2 de 0 a x, de manera que el área neta de la sección transversal para el segmento 1 es (3/4)A. La carga P se aplica en x y la carga P/2 se aplica en x = L. Suponga que E es constante. Prob. 2.3.9 Junta sudada P Juntas soldadas 1 Número de segmento 2 3 4 L2 L3 L4 d0 = 22.2 mm t = 1.65 mm L3 = 40 mm L2 = L4 = 18 mm Soldadura de estaño-plomo en el espacio entre los tubos de cobre; suponga que el espesor de la soldadura es cero Prob. 2.3.10 5 d0 = 18.9 mm t = 1.25 mm P capítulo 2 Problemas    189 (a) Determine la fuerza de reacción R1. (b) Determine las fuerzas axiales Ni en los segmentos 1 y 2. (c) Determine la distancia x requerida para obtener un desplazamiento axial en la junta 3 de d3 = PL/EA. (d) En el inciso (c), ¿cuál es el desplazamiento en la junta 2, d2? (e) Si P actúa en x = 2L/3 y P/2 en la junta 3 se reemplaza con bP, encuentre b de manera que d3 = PL/EA. (f) Trace la fuerza axial (AFD: N(x), 0 ≤ x ≤ L) y los diagrama del desplazamiento axial (ADD: d(x), 0 ≤ x ≤ L) empleando los resultados de los incisos (b) a (d) anteriores. Segmento 1 R1 d d — 2 x AFD 0 A L C h B Prob. 2.3.12 *2.3.13 Una barra plana con sección transversal rectangular, longitud L y espesor t constante se somete a fuerzas de tensión P (consulte la figura). El ancho de la barra varía linealmente de b1 en su extremo menor a b2 en su extremo mayor. Suponga que el ángulo de ahusamiento es pequeño. (a) Obtenga la siguiente fórmula para el alargamiento de la barra: Segmento 2 3 —A 4 A P — 2 P 3 2 L–x PL b ln 2 Et(b2 b1) b1 d 0 (b) Calcule el alargamiento, suponiendo L = 5 ft, t = 1.0 in, P = 25 k, b1 = 4.0 in, b2 = 6.0 in y E = 30 × 10 6 psi. ADD 0 0 Prob. 2.3.11 b2 t 2.3.12 Una barra prismática AB con longitud L, área de sección transversal A, módulo de elasticidad E y peso W cuelga verticalmente por su peso propio (consulte la figura). (a) Obtenga una fórmula para el desplazamiento hacia abajo dC del punto C, ubicado a una distancia h desde el extremo inferior de la barra. (b) ¿Cuál es el alargamiento dB de toda la barra? (c) ¿Cuál es la razón b entre el alargamiento de la mitad superior de la barra y el alargamiento de la mitad inferior de la barra? P b1 P Prob. 2.3.13 www.FreeLibros.com L 190    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente *2.3.14 Un poste AB que soporta equipo en un laboratorio está ahusado uniformemente en toda su altura H (consulte la figura). La secciones transversales del poste son cuadradas, con dimensiones b × b en su parte superior y 1.5b × 1.5b en su base. Deduzca una fórmula para el acortamiento d del poste debido a la carga de compresión P que actúa en su parte superior. (Suponga que el ángulo de ahusamiento es pequeño y no tome en cuenta el peso del poste.) P A 2.3.16 Un tubo uniformemente ahusado AB con sección transversal circular y longitud L se muestra en la figura. Los diámetros promedio en sus extremos son dA y dB = 2dA. Suponga que E es constante. Deduzca una fórmula para el alargamiento d del tubo cuando se somete a cargas P que actúan en sus extremos Utilice los siguientes datos numéricos: dA = 35 mm, L = 300 mm, E = 2.1 Gpa, P = 25 KN para los casos siguientes: (a) Se perfora un agujero con diámetro constante dA de B hacia A para formar una sección hueca con longitud x = 1/2 [consulte la parte (a) de la figura]. (b) Se perfora un agujero con diámetro variable d(x) de B hacia A para formar una sección hueca con longitud x = 1/2 y espesor constante t [consulte la parte (b) de la figura]. (Suponga que t = dA/20.) x A b P b A dA B P L H dA B 1.5b B dB 1.5b (a) Prob. 2.3.14 x *2.3.15 Una barra larga esbelta con forma de cono circular recto con longitud L y diámetro d en su base cuelga verticalmente por la acción de su propio peso (consulte la figura). El peso del cono es W y el módulo de elasticidad del mate­ rial es E. Deduzca una fórmula para el aumento d de la longitud de la barra debido a su peso. (Suponga que el ángulo de ahusamiento del cono es pequeño). dA A B P L d(x) t constante dB (b) d Prob. 2.3.16 L Prob. 2.3.15 P **2.3.17 Los cables principales de suspensión de un puente colgante [consulte la parte (a) de la figura] siguen una curva que es casi parabólica debido a que la carga principal sobre los cables es el peso de la calzada del puente, que tiene una intensidad uniforme a lo largo de la horizontal. Por tanto, representemos la región central AOB de uno de los cables principales [consulte la parte (b) de la figura] como un cable parabólico soportado en los puntos A y B, y que sostiene una carga uni- capítulo 2 Problemas    191 forme con intensidad q a lo largo de la horizontal. El claro del cable es L, la flecha es h, la rigidez axial es EA, y el origen de las coordenadas está en el centro del claro. (a) Deduzca la fórmula siguiente para el alargamiento del cable AOB que se muestra en la parte (b) de la figura: qL 1 8hEA 3 d ( 16h 3L2 2 ) Deduzca la fórmula siguiente para el alargamiento de una mitad de la barra (es decir, el alargamiento de AC o bien de BC): L2 2 (W1 3gEA 3W2) en donde E es el módulo de elasticidad del material de la barra y g es la aceleración debida a la gravedad. (b) Calcule el alargamiento d del claro central de uno de los cables principales del puente Golden Gate, para el cual la dimensiones y propiedades son L = 4200 ft, h = 470 ft, q = 12,700 lb/ft y E = 28,800,000 psi. El cable consiste de 27,572 alambres paralelos con diámetro 0.196 in. Sugerencia: determine la fuerza de tensión T en cualquier punto en el cable a partir de un diagrama de cuerpo libre de una parte del cable; luego determine el alargamiento de un elemento del cable con longitud ds; por último, integre a lo largo de la curva del cable para obtener una ecuación para el alargamiento d. A C W2 W1 v B W1 L W2 L Prob. 2.3.18 Estructuras estáticamente indeterminadas 2.4.1 El conjunto que se muestra en la figura consiste de un núcleo de latón (diámetro d1 = 0.25 in) rodeado por una cubierta de acero (diámetro interior d2 = 0.28 in, diámetro exterior d3 = 0.35 in). Una carga P comprime el núcleo y la cubierta, que tienen longitudes L = 4.0 in. Los módulos de elasticidad del latón y del acero son Eb = 15 × 106 psi y Es = 30 × 106 psi, respectivamente. (a) ¿Qué carga P comprimirá el conjunto en 0.003 in? (b) Si el esfuerzo permisible en el acero es 22 ksi y el esfuerzo permisible en el latón es 16 ksi, ¿cuál es la carga de compresión permisible Pperm? (Sugerencia: utilice las ecuaciones obtenidas en el ejemplo 2.5.) (a) L — 2 A q y O L — 2 B h P x (b) Cubierta de acero Núcleo de latón Prob. 2.3.17 L **2.3.18 Una barra ABC gira en un plano horizontal con respecto a un eje vertical en el punto medio C (consulte la figura). La barra, que tiene una longitud 2L y área de su sección transversal A, gira a una velocidad angular constante v. Cada mitad de la barra (AC y BC) tiene un peso W1 y soporta un peso W2 en su extremo. d1 d2 d3 Prob. 2.4.1 www.FreeLibros.com 192    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.4.2 Un conjunto cilíndrico que consiste de un núcleo de latón y una cubierta de aluminio se comprime por una carga P (consulte la figura). Las longitudes de la cubierta de aluminio y del núcleo de latón son 350 mm, el diámetro del núcleo es 25 mm y su diámetro exterior es 40 mm. Además, los módulos de elasticidad del aluminio y el latón son 72 GPa y 100 GPa, respectivamente. (a) Si la longitud del conjunto disminuye en 0.1% cuando se aplica la carga P, ¿cuál es la magnitud de ésta? (b) ¿Cuál es la carga máxima permisible Pmáx si los esfuerzos permisibles en el aluminio y el latón son 80 MPa y 120 MPa, respectivamente? (Sugerencia: utilice las ecuaciones obtenidas en el ejemplo 2.5.) P Cubierta de aluminio Núcleo de latón 350 mm 25 mm 40 mm Prob. 2.4.2 2.4.3 Tres barras prismáticas, dos de material A y una de material B, transmiten una carga de tensión P (consulte la figura). Las dos barras exteriores (material A) son idénticas. El área de la sección transversal de la barra central (material B) es 50% mayor que el área de la sección transversal de una de las barras exteriores. Además, el módulo de elasticidad del material A es el doble que el del material B. (a) ¿Qué fracción de la carga P se transmite por la barra central? (b) ¿Cuál es la razón entre esfuerzo en la barra central y el esfuerzo en las barras exteriores? (c) ¿Cuál es la razón entre la deformación unitaria en la barra central y la deformación unitaria en las barras exteriores? A P B A Prob. 2.4.3 2.4.4 Una barra circular ACB con diámetro d que tiene un agujero cilíndrico con longitud x y diámetro d/2 de A a C está empotrada rígidamente entre los apoyos A y B. Una carga P actúa en L/2 desde los extremos A y B. Suponga que E es constante. (a) Obtenga fórmulas para las reacciones RA y RB en los apoyos A y B, respectivamente, debidas a la carga P [consulte la parte (a) de la figura]. (b) Obtenga una fórmula para el desplazamiento d en el punto de aplicación de la carga [consulte la parte (a) de la figura]. (c) ¿Para qué valor de x es RB = (6/5)RA? [Consulte la parte (a) de la figura.] (d) Repita el inciso (a) si la barra ahora está ahusada linealmente de A a B, como se muestra en la parte (b) de la figura y x = L/2. (e) Repita el inciso (a) si ahora la barra gira hasta una posición vertical, la carga P se remueve y la barra cuelga por su propio peso (suponga una densidad = r). [Consulte la parte (c) de la figura.] Suponga que x = L/2. P, d L — 2 d — 2 d RA RB B C A x L–x (a) capítulo 2 Problemas    193 d dB = — 2 d — 2 dA = d RA RB C P, d A L — 2 x L–x L — 2 B P aplicada L a— 2 (b) RB B L–x Prob. 2.4.5 C d — 2 2.4.6 Una barra de plástico AB con longitud L = 0.5 m tiene un diámetro d1 = 30 mm (consulte la figura). Un manguito de plástico CD con longitud c = 0.3 m y diámetro exterior d2 = 45 mm está pegado firmemente a la barra de manera que no ocurre deslizamiento entre la barra y el manguito. La barra está hecha de un acrílico con módulo de elasticidad E1 = 3.1 GPa y el manguito está hecho de una poliamida con E2 = 2.5 GPa. (a) Calcule el alargamiento d de la barra cuando es jalada por fuerzas axiales P = 12 kN. (b) Si el manguito se extiende hasta la longitud total de la barra, ¿cuál es el alargamiento? (c) Si el manguito se remueve, ¿cuál es el alargamiento? x d A RA Prob. 2.4.4 (c) 2.4.5 Tres cables de acero soportan en conjunto una carga de 12 k (consulte la figura). El diámetro del cable central es ¾ in y el diámetro de cada cable exterior es ½ in. La tensión en los cables se ajusta de manera que cada cable soporte un tercio de la carga (es decir, 4 k). Después la carga se aumenta en 9 k para un total de 21 k. (a) ¿Qué porcentaje de la carga total está soportado ahora por el cable central? (b) ¿Cuáles son los esfuerzos sM y sO en el cable central y en los exteriores, respectivamente? (Nota: consulte la tabla 2.1 en la sección 2.2 para obtener las propiedades de los cables.) d1 d2 C A D B P P b c L Prob. 2.4.6 www.FreeLibros.com b 194    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.4.7 La barra ABCD cargada axialmente que se muestra en la figura está sostenida entre dos soportes rígidos. La barra tiene un área de su sección transversal A1 de A a C y 2A1 de C a D. (a) Deduzca fórmulas para las reacciones RA y RD en los extremos de la barra. (b) Determine los desplazamientos dB y dC en los puntos B y C, respectivamente. (c) Trace un diagrama del desplazamiento axial en el que la abscisa sea la distancia desde el soporte izquierdo hasta cualquier punto en la barra y la ordenada sea el desplazamiento horizontal d en ese punto. A1 P A L — 4 B L — 4 2.4.9 Los tubos de aluminio y acero que se muestran en la figura están sujetos a soportes rígidos en los extremos A y B, y a una placa rígida C en su unión. La longitud del tubo de aluminio es el doble de la del tubo de acero. Dos cargas iguales y colocadas de manera simétrica actúan sobe la placa en C. (a) Obtenga fórmulas para los esfuerzos axiales sa y ss en los tubos de aluminio y acero, respectivamente. (b) Calcule los esfuerzos para los siguientes datos: P = 12 k, área de la sección transversal del tubo de aluminio Aa = 8.92 in2, área de la sección transversal del tubo de acero As = 1.03 in2, módulo de elasticidad del aluminio Ea = 10 × 10 6 psi y módulo de elasticidad del acero Es = 29 × 10 6 psi. A 2A1 C L — 2 L D P Tubo de acero P C Prob. 2.4.7 Tubo de aluminio 2L B 2.4.8 La barra ABCD con extremos fijos consiste de tres segmentos prismáticos, como se muestra en la figura. Los segmentos en los extremos tienen un área de sección transversal A1 = 840 mm2 y longitud L1 = 200 mm. El segmento central tiene un área de sección transversal A2 = 1260 mm2 y longitud L2 = 250 mm. Las cargas PB y PC son de 25.5 kN y 17.0 kN, respectivamente. (a) Determine las reacciones RA y RD en los soportes fijos. (b) Determine la fuerza axial de compresión FBC en el segmento central de la barra. A1 A2 A1 PB A PC B L1 Prob. 2.4.8 D C L2 L1 Prob. 2.4.9 2.4.10 Una barra no prismática ABC se compone de dos segmentos: AB con longitud L1 y área de su sección transversal A1 y BC con longitud L2 y área de su sección transversal A2. El módulo de elasticidad E, la densidad masa r y la aceleración debida a la gravedad g son constantes. Al inicio, la barra ABC está horizontal y después se restringe en A y C y se gira hasta una posición vertical. Luego la barra cuelga verticalmente por su propio peso (consulte la figura). Sea A1 = 2A2 = A y L1 = 3 2 5 L, L2 = 5 L. (a) Obtenga fórmulas para las reacciones RA y RC en los soportes A y C, respectivamente, debidas a la gravedad. (b) Deduzca una fórmula para el desplazamiento hacia abajo dB del punto B. (c) Formule expresiones para los esfuerzos axiales a una distancia pequeña arriba de los puntos B y C, respectiva­ mente. capítulo 2 Problemas    195 2.4.12 Una barra rígida con peso W = 800 N cuelga de tres alambres verticales igualmente espaciados (longitud L = 150 mm, espaciamiento a = 50 mm): dos alambres son de acero y uno de aluminio. Los alambres también soportan una carga P que actúa sobre la barra. El diámetro de los alambres de acero es ds = 2 mm y el diámetro del alambre de aluminio es da = 4 mm. Suponga Es = 210 GPa y Ea = 70 GPa. (a) ¿Qué carga Pperm se puede soportar en el punto medio de la barra (x = a) si el esfuerzo permisible en los alambres de acero es 220 MPa y en el alambre de aluminio es 80 MPa? [Consulte la parte (a) de la figura.] (b) ¿Cuál es el valor de Pperm si la carga se ubica en x = a/2? [Consulte la parte (a) de la figura.] (c) Repita el inciso (b) si el segundo y el tercer alambre se cambian como se muestra en la parte (b) de la figura. RA A A1 L1 B Elementos de esfuerzo L2 A2 C RC Prob. 2.4.10 2.4.11 Una barra bimetálica (o barra compuesta) con sección transversal cuadrada y dimensiones 2b × 2b está construida de dos metales diferentes que tienen módulos de elasticidad E1 y E2 (consulte la figura). Las dimensiones de las secciones transversales de las dos partes de la barra son iguales. La barra se comprime por fuerzas P que actúan a través de placas extremas rígidas. La línea de acción de las cargas tiene una excentricidad e con una magnitud tal que cada parte de la barra se somete a un esfuerzo de compresión de manera uniforme. (a) Determine las fuerzas axiales P1 y P2 en las dos partes de la barra. (b) Determine la excentricidad e de las cargas. (c) Determine la razón s1/s2 de los esfuerzos en las dos partes de la barra. a L S a A Barra rígida con peso W x P (a) a L E2 P e b b E1 S a S P A Barra rígida con peso W e b b x 2b Prob. 2.4.11 S Prob. 2.4.12 www.FreeLibros.com P (b) 196    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente *2.4.13 Una barra horizontal rígida con peso W = 7200 lb está soportada por tres barras circulares esbeltas que están igualmente espaciadas (consulte la figura). Las dos barras exteriores están hechas de aluminio (E1 = 10 × 106 psi) con diámetro d1 = 0.4 in y longitud L1 = 40 in. La barra interior es de magnesio (E2 = 6.5 × 106 psi) con diámetro d2 y longitud L2. Los esfuerzos permisibles en el aluminio y el magnesio son 24,000 psi y 13,000 psi, respectivamente. Si se desea que las tres barras estén cargadas hasta sus valores máximos permisibles, ¿cuál deberá ser el diámetro d2 y la longitud L2 de la barra central? **2.4.15 Una barra rígida AB con longitud L = 66 in está articulada en el apoyo A y soportada por dos alambres verticales sujetos en los puntos C y D (consulte la figura). Los dos alambres tienen la misma área de sección transversal (A = 0.0272 in2) y están hechos del mismo material (módulo E = 30 × 10 6 psi). El alambre en C tiene una longitud h = 18 in y el alambre en D tiene una longitud del doble que la del alambre en C. Las distancias horizontales son c = 20 in y d = 50 in. (a) Determine los esfuerzos de tensión sC y sD en los alambres debidos a la carga P = 340 lb que actúa en el extremo B de la barra. (b) Encuentre el desplazamiento hacia abajo dB en el extremo B de la barra. d2 d1 d1 L1 2h A h C D B c d W = peso de la barra rígida P L Prob. 2.4.13 Prob. 2.4.15 2.4.14 Una barra circular de acero ABC (E = 200 GPa) tiene un área de su sección transversal A1 de A a B y área de su sección transversal A2 de B a C (consulte la figura). La barra está soportada rígidamente en el extremo A y está sometida a una carga P igual a 40 kN en el extremo C. Un collarín circular de acero BD que tiene área de su sección transversal A3 soporta la barra en B. El collarín se ajusta firmemente en B y D donde no hay carga. Determine el alargamiento dAC de la barra debido a la carga P. (Suponga L1 = 2L3 = 250 mm, L2 = 225 mm, A1 = 2A3 = 960 mm2 y A2 = 300 mm2.) a = 250 mm A A A1 B b = 500 mm C L1 c = 200 mm B A3 D A2 Prob. 2.4.14 *2.4.16 Una barra rígida ABCD está articulada en el punto B y soportada por dos resortes en A y D (consulte la figura). Los resortes en A y D tienen rigideces k1 = 10 kN/m y k2 = 25 kN/m, respectivamente, y las dimensiones a, b y c son 250 mm, 500 mm y 200 mm, respectivamente. Una carga P actúa en el punto C. Si el ángulo de rotación de la barra debido a la acción de la carga P está limitado a 3°, ¿cuál es la carga máxima permisible Pmáx? C P L3 k1 = 10 kN/m L2 D P k 2 = 25 kN/m Prob. 2.4.16 **2.4.17 Una barra trimetálica es comprimida uniformemente por una fuerza axial P = 9 kips que se aplica mediante una placa extrema rígida (consulte la figura). La barra consiste en un núcleo circular de acero rodeado de tubos de latón y cobre. capítulo 2 Problemas    197 El núcleo de cobre tiene un diámetro de 1.25 in, el tubo de latón tiene un diámetro exterior de 1.75 in y el tubo de cobre tiene un diámetro exterior de 2.25 in. Los módulos de elasticidad correspondientes son Es = 30,000 ksi, Eb = 16,000 ksi y Ec = 18,000 ksi. Calcule los esfuerzos de compresión ss, sb y sc en el acero, latón y cobre, respectivamente, debidos a la fuerza P. P=9k 2.5.3 Una barra rígida con peso W = 750 lb cuelga de tres alambres igualmente espaciados, dos de acero y uno de aluminio (consulte la figura). El diámetro de los alambres es 1/8 in. Antes de aplicar la carga los tres alambres tenían la misma longitud. ¿Qué aumento de temperatura ∆T en los tres alambres dará como resultado que toda la carga la soporten los alambres de acero? (Suponga Es = 30 × 106 psi, as = 6.5 × 10–6/°F y aa = 12 × 10–6/°F.) Tubo de cobre Tubo de latón Núcleo de acero S A S 1.25 in 1.75 in W = 750 lb 2.25 in Prob. 2.5.3 Prob. 2.4.17 Efectos térmicos 2.5.1 Los rieles de una vía de ferrocarril están soldados en sus extremos (para formar rieles continuos y así eliminar el sonido del golpeteo de las ruedas) cuando la temperatura es 60°F. ¿Qué esfuerzo de compresión s se produce en los rieles cuando se calientan con el sol a 120°F si el coeficiente de dilatación térmica a = 6.5 × 10–6/°F y el módulo de elasticidad E = 30 × 106 psi? 2.5.4 Una barra de acero de 15 mm de diámetro se sostiene firmemente (pero sin esfuerzos iniciales) entre dos muros rígidos por la configuración que se muestra en la figura. (Para la barra de acero utilice a = 12 × 10–6/°C y E = 200 GPa.) (a) Calcule la caída de temperatura ∆T (grados Celsius) a la cual el esfuerzo cortante promedio en el perno de 12 mm de diámetro es 45 MPa. (b) ¿Cuáles son los esfuerzos de soporte promedio en el perno y la horquilla en A y la arandela (dw = 20 mm) y el muro (t = 18 mm) en B? Arandela, dw = 12 mm Perno de 12 mm de diámetro 2.5.2 Un tubo de aluminio tiene una longitud de 60 m a una temperatura de 10°C. Un tubo adyacente de acero a la misma temperatura es 5 mm más largo que el de aluminio. ¿A qué temperatura (grados Celsius) será el tubo de alu­ minio 15 mm más largo que el de acero? (Suponga que los coeficientes de dilatación térmica del aluminio y el acero son aa = 23 × 10–6/°C y as = 12 × 10–6/°C, respectivamente.) B ΔT A Horquilla, t = 10 mm Prob. 2.5.4 www.FreeLibros.com 15 mm 18 mm 198    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.5.5 Una barra AB con longitud L se sostiene entre dos soportes rígidos y se calienta de manera no uniforme de tal manera que el aumento de temperatura ∆T a una distancia x desde el extremo A está dado por la expresión ∆T = ∆TBx3/ L3, donde ∆TB es el aumento de temperatura en el extremo B de la barra [consulte la parte (a) de figura]. (a) Deduzca una fórmula para el esfuerzo de compresión sc en la barra. (Suponga que el material tiene un módulo de elasticidad E y un coeficiente de dilatación térmica a.) (b) Ahora modifique la fórmula del inciso (a) si el soporte rígido en A se reemplaza por un soporte elástico en A que tiene una constante de resorte k [consulte la parte (b) de la figura]. Suponga que sólo la barra AB está sometida al aumento de temperatura. (a) Calcule las siguientes cantidades: (1) la fuerza de compresión N en la barra; (2) el esfuerzo máximo de compresión sc y (3) el desplazamiento dC del punto C. (b) Repita el inciso (a) si el soporte rígido en A se reemplaza por un soporte elástico que tiene una constante de resorte k = 50 MN/m [consulte la parte (b) de la figura; suponga que sólo la barra ABC se somete al aumento de temperatura]. A 50 mm C 75 mm 225 mm B 300 mm (a) k A 50 mm C 75 mm B ΔTB ΔT 225 mm 300 mm 0 A (b) B x Prob. 2.5.6 L (a) ΔTB ΔT 0 k A B x L 2.5.7 Una barra circular de acero AB (diámetro d1 = 1.0 in, longitud L1 = 3.0 ft) tiene un manguito de bronce (diámetro exterior d2 = 1.25 in, longitud L2 = 1.0 ft) ajustado por contracción sobre ella de manera que las dos partes están firmemente unidas (consulte la figura). Calcule el alargamiento total d de la barra de acero debido al aumento de temperatura ∆T = 500°F. (Las propiedades de los materiales son las siguientes: para el acero, Es = 30 × 10 6 psi y as = 6.5 × 10–6/°F; para el bronce, Eb = 15 × 10 6 psi y ab = 11 × 10–6/°F). A (b) d1 d2 B L2 Prob. 2.5.5 L1 Prob. 2.5.7 2.5.6 Una barra plástica ACB que tiene dos secciones trasversales circulares sólidas se sostiene entre soportes rígidos, como se muestra en la figura. Los diámetros en las partes izquierda y derecha son 50 mm y 75 mm, respectivamente. Las longitudes correspondientes son 225 mm y 300 mm. Además, el módulo de elasticidad E es 6.0 GPa y el coeficiente de dilatación térmica a es 100 × 10–6/°C. La barra se somete a un aumento de temperatura uniforme de 30°C. 2.5.8 Un manguito de latón S está ajustado sobre un perno de acero B (consulte la figura) y la tuerca se aprieta sólo hasta que está firme. El perno tiene un diámetro dB = 25 mm y el manguito tiene diámetros interior y exterior d1 = 26 mm y d2 = 36 mm, respectivamente. Calcule el aumento de temperatura ∆T necesario para producir un esfuerzo de compresión de 25 MPa en el manguito. capítulo 2 Problemas    199 (Use las siguientes propiedades del material: para el manguito, aS = 21 × 10–6/°C y ES = 100 GPa; para el perno, aB = 10 × 10–6/°C y EB = 200 GPa). (Sugerencia: utilice los resultados del ejemplo 2-8.) A d2 d1 dC dB C B 2b dB D b 2b Manguito (S) P Prob. 2.5.10 Perno (B) Prob. 2.5.8 2.5.9 Barras rectangulares de cobre y aluminio se sostienen por pasadores en sus extremos, como se muestra en la figura. Espaciadores delgados proporcionan una separación entre las barras. Las barras de cobre tienen dimensiones transversales 0.5 in × 2.0 in y la barra de aluminio tiene dimensiones 1.0 in × 2.0 in. Determine el esfuerzo cortante en los pasadores de 7/16 in de diámetro si la temperatura se aumenta en 100°F. (Para el cobre, Ec = 18 000 ksi y ac = 9.5 × 10–6/°F; para el aluminio, Ea = 10 000 ksi y aa = 13 × 10–6/°F). (Sugerencia: utilice los resultados del ejemplo 2.8.) *2.5.11 Un marco triangular rígido está articulado en C y se sostiene por dos alambres idénticos en los puntos A y B (consulte la figura). Cada alambre tiene una rigidez axial EA = 120 k y un coeficiente de dilatación térmica a = 12.5 × 10–6/°F. (a) Si una carga vertical P = 500 lb actúa en el punto D, ¿cuáles son las fuerzas de tensión TA y TB en los alambres A y B, respectivamente? (b) Si mientras actúa la carga P se aumenta la tempe­ ratura de los dos alambres en 180°F, ¿cuáles son las fuerzas TA y TB? (c) ¿Qué aumento adicional en la temperatura ocasionará que el alambre B se afloje? A b B b D Barra de cobre C P Barra de aluminio 2b Barra de cobre Prob. 2.5.11 Prob. 2.5.9 Desajustes y deformaciones previas *2.5.10 Una barra rígida ABCD está articulada en el extremo A y soportada por dos cables en los puntos B y C (consulte la figura). El cable en B tiene un diámetro nominal dB = 12 mm y el cable en C tiene un diámetro nominal dC = 20 mm. Una carga P actúa en el extremo D de la barra. ¿Cuál es la carga permisible P si la temperatura aumenta en 60°C y se requiere que cada cable tenga un factor de seguridad de al menos 5 contra su carga última? (Nota: los cables tienen módulos de elasticidad efectivos E = 140 GPa y el coeficiente de dilatación térmica a = 12 × 10–6/°C. Otras propiedades de los cables se encuentran en la tabla 2.1 de la sección 2.2.) 2.5.12 Un alambre de acero AB se estira entre dos soportes rígidos (consulte la figura). El esfuerzo previo inicial en el alambre es 42 MPa cuando la temperatura es 20°C. (a) ¿Cuál es el esfuerzo s en el alambre cuando la temperatura baja a 0°C? (b) ¿A qué temperatura T el esfuerzo en el alambre es cero? (Suponga a = 14 × 10−6/°C y E = 200 GPa). A Prob. 2.5.12 www.FreeLibros.com B Alambre de acero 200    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.5.13 Una barra de cobre AB con longitud de 25 in y diámetro de 2 in se coloca en posición vertical a temperatura ambiente con un espacio libre de 0.008 in entre el extremo A y una restricción rígida (consulte la figura). La barra está soportada en el extremo B por un resorte elástico con constante de resorte k = 1.2 × 106 lb/in. (a) Calcule el esfuerzo axial de compresión sc en la barra si la temperatura sólo de la barra aumenta 50°F. (Para el cobre utilice a = 9.6 × 10–6/°F y E = 16 × 10 6 psi.) (b) ¿Cuál es la fuerza en el resorte? (No tome en cuenta los efectos de la gravedad.) (c) Repita el inciso (a) si k → ∞. 0.008 in A (b) Si sólo se aplica P2, determine P2 (kips) necesaria para cerrar el espacio libre s; si luego se inserta un pasador y se remueve P2, ¿cuáles son las fuerzas de reacción RA y RB para este caso de carga? (c) ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo en los tubos, para las cargas indicadas en los incisos (a) y (b)? (d) Si se va a aplicar un aumento de temperatura ∆T en toda la estructura para cerrar el espacio libre s (en lugar de aplicar las fuerzas P1 y P2), determine el ∆T necesario para cerrar el espacio libre. Si se inserta un pasador después que se ha cerrado el espacio libre, ¿cuáles son las fuerzas de reacción RA y RB para este caso? (e) Por último, si la estructura (con el pasador insertado) luego se enfría hasta la temperatura ambiente original, ¿cuáles son las fuerzas de reacción RA y RB? d = 2 in 25 in B Tubo 1 (acero) Tubo 2 (latón) Espacio libre s k RA C P1 L2 P2 Prob. 2.5.13 2.5.14 Una barra AB que tiene una longitud L y rigidez axial EA está fija en el extremo A (consulte la figura). En el otro extremo existe un espacio libre pequeño con dimensión s entre el extremo de la barra y una superficie rígida. Una carga P actúa sobre la barra en el punto C, que está a dos tercios de la longitud desde el extremo fijo. Si las reacciones en los soportes producidas por la carga P deben tener una magnitud igual, ¿cuál debe ser la dimensión s del espacio libre? s L — 3 2L — 3 A L1 C B P Prob. 2.5.14 2.5.15 El tubo 2 se ha insertado firmemente en el tubo 1, pero los agujeros para un pasador de conexión no están alineados; hay un espacio libre s. El usuario decide aplicar una fuerza P1 al tubo 1 o bien una fuerza P2 al tubo 2, la que sea menor de la dos. Determine lo siguiente empleando las propiedades numéricas que se presentan en el recuadro. (a) Si sólo se aplica P1, determine P1 (kips) necesaria para cerrar el espacio libre s; si luego se inserta un pasador y se remueve P1, ¿cuáles son las fuerzas de reacción RA y RB para este caso de carga? RB P1 en L1 L P2 en —2 2 Propiedades numéricas E1 = 30,000 ksi, E2 = 14,000 ksi a1 = 6.5 10–6/°F, a2 = 11 10–6/°F Espacio libre s = 0.05 in L1 = 56 in, d1 = 6 in, t1 = 0.5 in, A1 = 8.64 in2 L2 = 36 in, d2 = 5 in, t2 = 0.25 in, A2 = 3.73 in2 Prob. 2.5.15 2.5.16 Una barra no prismática ABC compuesta de segmentos AB (longitud L1, área de sección transversal A1) y BC (longitud L2, área de sección transversal A2) está fija en A y libre en C (consulte la figura). El módulo de elasticidad de la barra es E. Existe un espacio libre pequeño con dimensión s entre el extremo de la barra y un resorte elástico con longitud L3 y constante de resorte k3. Si sólo la barra ABC (no el resorte) se somete a un aumento de temperatura ∆T determine lo siguiente: (a) Escriba una expresión para las fuerzas de reacción RA y RD si el alargamiento de ABC excede la longitud del espacio libre s. (b) Determine expresiones para los desplazamientos de los puntos B y C si el alargamiento de ABC excede la longitud libre s. capítulo 2 Problemas    201 a, T RA A L1, EA1 s B L2, EA2 C RD D P L3, k3 Prob. 2.5.16 S s 2.5.17 Los alambres B y C están sujetos a un soporte en el extremo izquierdo y a una barra rígida articulada en el extremo derecho (consulte la figura). Cada alambre tiene un área de sección transversal A = 0.03 in2 y módulo de elasticidad E = 30 × 106 psi. Cuando la barra está en una posición vertical, la longitud de cada alambre es L = 80 in. Sin embargo, antes de sujetarse a la barra, la longitud del alambre B era 79.98 in y la del alambre C era 79.95 in. Calcule las fuerzas de tensión TB y TC en los alambres por la acción de una fuerza P = 700 lb que actúa en el extremo superior de la barra. 700 lb B b C b C C 2.5.19 Un tubo de hierro colado con casquete es comprimido por una barra de latón, como se muestra. La tuerca se gira hasta que sólo está firme, luego se gira un cuarto de vuelta adicional para precomprimir el tubo de hierro colado. El paso de las roscas del perno es p = 52 mils (un mil es un milésimo de pulgada). Utilice las propiedades numéricas dadas. (a) ¿Qué esfuerzos sp y sr se producirán en el tubo de hierro colado y la barra de latón, respectivamente, por el cuarto de giro adicional de la tuerca? Tuerca y arandela 3 dw = — in 4 ( ) Casquete de acero (tc = 1 in) Prob. 2.5.17 Tubo de hierro colado (do = 6 in, di = 5.625 in) Lci = 4 ft 2.5.18 Una placa rígida de acero está soportada por tres postes de concreto de alta resistencia, cada uno con área de sección transversal efectiva A = 40 000 mm2 y longitud L = 2 m (consulte la figura). Antes de que se aplique la carga, el poste central es más corto que los otros en una cantidad s = 1.0 mm. Determine la carga máxima permisible Pperm si el esfuerzo de compresión permisible en el concreto es sperm = 20 MPa. (Utilice E = 30 GPa para el concreto.) L Prob. 2.5.18 b 80 in C Barra de latón 1 dr = — in 2 ( ) Módulo de elasticidad, E: Acero (30,000 ksi) Latón (14,000 ksi) Hierro colado (12,000 ksi) Prob. 2.5.19 www.FreeLibros.com 202    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente d = np (b) Determine el esfuerzo de soporte sb bajo la arandela y el esfuerzo cortante tc en el casquete de acero. Perno de acero L Probs. 2.5.20 y 2.5.21 2.5.21 Resuelva el problema anterior si los datos para el conjunto son los siguientes: longitud L = 10 in, paso de las roscas del perno p = 0.058 in, módulo de elasticidad para el acero Es = 30 × 10 6 psi, módulo de elasticidad para el plástico Ep = 500 ksi, área de la sección transversal de un perno As = 0.06 in2 y área de la sección transversal del cilindro de plástico Ap = 1.5 in2. 2.5.22 Considere el manguito hecho de dos tubos de cobre unidos con soldadura de estaño-cobre en una distancia s. El manguito tiene tapas de latón en los dos extremos, que están sujetados mediante un perno y una arandela de acero con esta última apretada sólo firmemente al inicio. Luego, se aplican dos “cargas”: n = ½ vuelta aplicada a la tuerca; al mismo tiempo se eleva la temperatura en DT = 30°C. (a) Encuentre las fuerzas en el manguito y el perno, Ps y Pb debidas tanto a las dos presiones en el perno como al aumento de temperatura. Para el cobre utilice Ec = 120 GPa y ac = 17 × 10–6/°C; para el acero utilice Es = 200 GPa y as = 12 × 10–6/°C. El paso de las roscas del perno es p = 1.0 mm. Suponga s = 26 mm y diámetro del perno db = 5 mm. (b) Determine la longitud necesaria de la junta soldada, s, si el esfuerzo cortante en la junta sudada no debe sobrepasar el esfuerzo cortante permisible taj = 18.5 MPa. (c) ¿Cuál es el alargamiento final del todo el conjunto debida al cambio de temperatura DT y a los presfuerzos iniciales en el perno? L1 = 40 mm, d1 = 25 mm, t1 = 4 mm T S T L2 = 50 mm, d2 = 17 mm, t2 = 3 mm 2.5.20 Un cilindro de plástico está sujeto firmemente entre una placa rígida y una cimentación, mediante dos pernos de acero (consulte la figura). Determine el esfuerzo de compresión sP en el plástico cuando las tuercas en los pernos de acero se aprietan dándoles una vuelta completa. Los datos para este conjunto son los siguientes: L = 200 mm, paso de las roscas del perno p = 1.0 mm, módulo de elasticidad para el acero Es = 200 GPa, módulo de elasticidad para el plástico Ep = 7.5 GPa, área de la sección transversal de un perno As = 36.0 mm2 y área del cilindro de plástico Ap = 960 mm2. Tapa de latón Manguito de cobre Perno de acero Prob. 2.5.22 2.5.23 Un tubo de polietileno (longitud L) tiene una tapa que cuando está instalada comprime un resorte (con longitud sin deformar L1 > L) en una cantidad d = (L1 – L). No tome en cuenta las deformaciones de la tapa y la base. Utilice la fuerza en la base de los resortes como la redundante. Use las propiedades numéricas que se dan en los recuadros. (a) ¿Cuál es la fuerza resultante en el resorte, Fk? (b) ¿Cuál es la fuerza resultante en el tubo, Ft? (c) ¿Cuál es la longitud final del tubo, Lf? (d) ¿Qué cambio de temperatura DT dentro del tubo resultará en una fuerza cero en el resorte? d = L1 – L Tapa (supóngala rígida) Tubo (d0, t, L, at, Et) Resorte ( k, L1 > L) capítulo 2 Problemas    203 2.5.25 Un tubo de polietileno (longitud L) tiene una tapa que se mantiene en posición por un resorte (con longitud sin deformar L1 < L). Después de instalar la tapa, el resorte se tensa despúes girando un tornillo de ajuste una cantidad d. No tome en cuenta las deformaciones de la tapa y la base. Utilice la fuerza en la base del resorte como la redundante. Emplee las propiedades numéricas que se dan en los recuadros. (a) ¿Cuál es la fuerza resultante en el resorte, Fk? (b) ¿Cuál es la fuerza resultante en el tubo, Ft? (c) ¿Cuál es la longitud final del tubo, Lf? (d) ¿Qué cambio de temperatura DT dentro del tubo resultará en una fuerza cero en el resorte? Módulo de elasticidad Tubo de polietileno (Et = 100 ksi) Coeficientes de dilatación térmica at = 80 10–6/°F, ak = 6.5 10–6/°F Propiedades y dimensiones 1 d0 = 6 in t = — in 8 kip L1 = 12.125 in > L = 12 in k = 1.5 ––– in Prob. 2.5.23 2.5.24 En ocasiones las vigas de concreto preesforzado se fabrican de la siguiente manera. Se estiran varillas de acero de alta resistencia mediante un mecanismo con gatos hidráulicos que aplican una fuerza Q, como se representa en el esquema de la parte (a) de la figura. Luego se vacía concreto alrededor de las varillas para formar una viga, como se muestra en la parte (b) de la figura. Después que el concreto ha fraguado apropiadamente, se liberan los gatos y se remueve la fuerza Q [consulte la parte (c) de la figura]. De esta manera la viga se deja en una con­ dición preesforzada, con las varillas en tensión y el concreto en compresión. Supongamos que la fuerza de esfuerzo previo Q produce en las varillas de acero un esfuerzo inicial s0 = 620 MPa. Si los módulos de elasticidad del acero y del concreto tienen una razón 12:1 y las áreas de las secciones transversales tienen una razón de 1:50, ¿cuáles son los esfuerzos finales ss y sc en los dos materiales? Tapa (supóngala rígida) Tubo (d0, t, L, at, Et) Resorte (k, L1 < L) d = L – L1 Tornillo de ajuste Varillas de acero Q Q Tornillo (a) Concreto Q Prob. 2.5.24 Q Módulo de elasticidad Tubo de polietileno (Et = 100 ksi) (b) Coeficientes de dilatación térmica at = 80 10–6/°F, ak = 6.5 10–6/°F (c) Propiedades y dimensiones 1 d0 = 6 in t = — in 8 kip L = 12 in L1 = 11.875 in k = 1.5 ––– in www.FreeLibros.com 204    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Esfuerzos sobre secciones inclinadas 2.6.1 Una barra de acero con sección transversal rectangular (1.5 in × 2.0 in) soporta una carga de tensión P (consulte la figura). Los esfuerzos permisibles en tensión y cortante son 14,500 psi y 7100 psi, respectivamente. Determine la carga máxima permisible Pmáx. 2.0 in P 2.6.4 Un alambre de latón con diámetro d = 2.42 mm se estira firmemente entre dos soportes rígidos de manera que la fuerza de tensión es T = 98 N (consulte la figura). El coeficiente de dilatación térmica del alambre es 19.5 × 10–6/°C y el módulo de elasticidad es E = 110 GPa. (a) ¿Cuál es la caída de temperatura máxima permisible ∆T si el esfuerzo cortante permisible en el alambre es 60 MPa? (b) ¿A qué cambio de temperatura se afloja el alambre? P T d T 1.5 in Prob. 2.6.1 Probs. 2.6.4 y 2.6.5 2.6.2 Una barra redonda de acero con diámetro d está sometida a una fuerza de tensión P = 3.5 kN (consulte la figura). Los esfuerzos permisibles en tensión y cortante son 118 MPa y 48 MPa, respectivamente. ¿Cuál es el diámetro mínimo permisible dmín de la barra? 2.6.5 Un alambre de latón con diámetro d = 1/16 in se estira entre dos soportes rígidos con una tensión inicial T de 37 lb (consulte la figura). Suponga que el coeficiente de dilatación térmica es 10.6 × 10–6/°F y el módulo de elasticidad es 15 × 106 psi). d P P = 3.5 kN Prob. 2.6-2 2.6.3 Un ladrillo estándar (dimensiones 8 in × 4 in × 2.5 in) se comprime en sentido longitudinal mediante una fuerza P, como se ilustra en la figura. Si el esfuerzo cortante último para el ladrillo es 1200 psi y el esfuerzo de compresión último es 3600 psi, ¿qué fuerza Pmáx se requiere para romper el ladrillo? (a) Si la temperatura se disminuye en 60°F, ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo tmáx en el alambre? (b) Si el esfuerzo cortante permisible es 10 000 psi, ¿cuál es la caída de temperatura máxima permisible? (c) ¿A qué cambio de temperatura ∆T se afloja el alambre? 2.6.6 Una barra de acero con diámetro d = 12 mm se somete a una carga de tensión P = 9.5 kN (consulte la figura). (a) ¿Cuál es el esfuerzo normal máximo smáx en la barra? (b) ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo tmáx? (c) Trace un elemento de esfuerzo orientado a 45° con respecto al eje de la barra y muestre todos los esfuerzos que actúan sobre las caras de este elemento. P P d = 12 mm P = 9.5 kN Prob. 2.6.6 8 in Prob. 2.6.3 4 in 2.5 in 2.6.7 Durante un ensayo a la tensión de una probeta de acero dulce (consulte la figura), el extensómetro muestra una alargamiento de 0.00120 in con una longitud calibrada de 2 in. Suponga que el acero se esfuerza debajo del límite de proporcionalidad y que el módulo de elasticidad es E = 30 × 10 6 psi. capítulo 2 Problemas    205 (a) ¿Cuál es el esfuerzo normal máximo smáx en la probeta? (b) ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo tmáx? (c) Trace un elemento de esfuerzo orientado a un ángulo de 45° con respecto al eje de la barra y muestre todos los esfuerzos que actúan sobre las caras de este elemento. P P = 45 kips C 9 ft 2 in T T B 12 ft A P Ax Prob. 2.6.7 Ay By NAB 2.6.8 Una barra de cobre con sección transversal rectangular está sostenida sin aplicar ningún esfuerzo entre dos soportes rígidos (consulte la figura). Luego se aumenta la temperatura de la barra 50°C. Determine los esfuerzos sobre todas las caras de los elementos A y B, y muestre estos esfuerzos en dibujos de los elementos. (Suponga a = 17.5 × 10–6/°C y E = 120 GPa.) 45° A B Prob. 2.6.8 NAB u Prob. 2.6.9 2.6.10 Una barra de plástico con diámetro d = 32 mm se comprime en un dispositivo de prueba mediante una fuerza P = 190 N aplicada como se muestra en la figura. (a) Determine los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre todas las caras de los elementos orientados (1) en un ángulo u = 0°, (2) en un ángulo u = 22.5° y (3) en un ángulo u = 45°. En cada caso, muestre los esfuerzos en un bosquejo de un elemento apropiadamente orientado. ¿Cuáles son los valores de smáx y tmáx? (b) Encuentre smáx y tmáx en la barra de plástico si se inserta un resorte de recentrado con rigidez k en el dispositivo de prueba, como se muestra en la figura. La rigidez del resorte es 1/6 de la rigidez axial de la barra de plástico. P = 190 N 100 mm 2.6.9 La cuerda inferior AB de una armadura pequeña ABC (consulte la figura) está fabricada con un perfil de acero de patín ancho W8 × 28. El área de su sección transversal es A = 8.25 in2 [apéndice E, tabla E-1(a)] y cada una de las tres cargas aplicadas son P = 45 k. Primero, encuentre la fuerza en el elemento NAB; luego, determine los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre todas las caras de los elementos de esfuerzo ubicados en el alma del elemento AB y orientados (a) en un ángulo u = 0o, (b) en un ángulo u = 30° y (c) en ángulo u = 45°. En cada caso, muestre los esfuerzos en un diagrama de un elemento apropiadamente orientado. 300 mm 200 mm u Barra de plástico d = 32 mm Prob. 2.6.10 www.FreeLibros.com Resorte de recentrado [sólo para el inciso (b)]. k 206    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.6.11 Una barra de plástico con sección transversal rectangular (b = 1.5 in y h = 3 in) está ajustada firmemente entre soportes rígidos a temperatura ambiente (68°F) pero sin esfuerzo inicial (consulte la figura). Cuando la temperatura de la barra se aumenta a 160°F, el esfuerzo de compresión sobre un plano inclinado pq a la mitad del claro alcanza un valor de 1700 psi. (a) ¿Cuál es el esfuerzo cortante sobre el plano pq? (Suponga a = 60 × 10–6/°F y E = 450 × 103 psi.) (b) Dibuje un elemento de esfuerzo orientado con respecto al plano pq y muestre los esfuerzos que actúan sobre todas las caras de este elemento. (c) Si el esfuerzo normal permisible es 3400 psi y el esfuerzo cortante permisible es 1650 psi, ¿cuál es la carga máxima P (en la dirección +x) que se puede agregar en el punto a un cuarto del claro (además de los efectos térmicos anteriores) sin rebasar los valores del esfuerzo permisible en la barra? L — 2 L — 4 como una fracción de la longitud L) se puede aplicar la carga P = 15 kN sin rebasar los valores del esfuerzo permisible en la barra? Suponga que sa = 75 MPa y ta = 35 MPa. 2.6.13 Una barra circular de latón con diámetro d es el elemento AC en la armadura ABC que tiene una carga P = 5000 lb aplicada en el nodo C. La barra AC se compone de dos segmentos soldados en un plano pq formando un ángulo a = 36° con el eje de la barra (consulte la figura). Los esfuerzos permisibles en el latón son 13,500 psi en tensión y 6500 en cortante. En la junta soldada, los esfuerzos permisibles son 6000 psi en tensión y 3000 psi en cortante. ¿Cuál es la fuerza de tensión NAC en la barra AC? ¿Cuál es el diámetro mínimo necesario dmín de la barra AC? L — 2 NAC p P u A q Carga P sólo para el inciso (c) a p Prob. 2.6.11 2.6.12 Una barra de cobre con sección transversal rectangular (b = 18 mm y h = 40 mm) se sostiene firmemente (pero sin ningún esfuerzo inicial) entre dos soportes rígidos (consulte la figura). Los esfuerzos permisibles sobre el plano inclinado pq a la mitad del claro, para el cual u = 55°, se especifican como 60 MPa en compresión y 30 MPa en cortante. (a) ¿Cuál es el aumento de temperatura máximo permisible ∆T si no se deben rebasar los esfuerzos permisibles sobre el plano pq? (Suponga a = 17 × 10–6/°C y E = 120 GPa). (b) Si la temperatura aumenta en la cantidad máxima permisible, ¿cuáles son los esfuerzos en el plano pq? (c) Si la temperatura aumenta ∆T = 28°C, ¿qué tan alejada hacia la derecha del extremo A (distancia bL expresada L — 2 L — 2 bL p P A q Carga sólo para el inciso (c) Prob. 2.6.12 u B q B u = 60° d C P NAC Prob. 2.6.13 2.6.14 Dos tableros se unen con pegamento mediante una junta empalmada, como se muestra en la figura. Para fines de cortar y pegar, el ángulo a entre el plano de la junta y las caras de los tableros deben estar entre 10° y 40°. Con una carga de tensión P, el esfuerzo normal en los tableros es 4.9 MPa. (a) ¿Cuáles son los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre la junta pegada si a = 20°? (b) Si el esfuerzo cortante permisible sobre la junta es 2.25 MPa, ¿cuál es el valor máximo permisible del ángulo a? (c) ¿Para qué ángulo a el esfuerzo cortante sobre la junta pegada será numéricamente igual al doble del esfuerzo normal sobre la junta? capítulo 2 Problemas    207 P P 65 MPa u a 23 MPa Prob. 2.6.14 2.6.15 Sobre los lados de un elemento de esfuerzo cortado de una barra en esfuerzo uniaxial actúan esfuerzos de tensión de 10,000 psi y 5000 psi, como se muestra en la figura. (a) Determine el ángulo u y el esfuerzo cortante tu y muestre todos los esfuerzos en un diagrama del elemento. (b) Determine el esfuerzo normal máximo smáx y el esfuerzo cortante máximo tmáx en el material. Prob. 2.6.16 *2.6.17 El esfuerzo normal sobre el plano pq de una barra prismática en tensión (consulte la figura) es 7500 psi. En el plano rs que forma un ángulo b = 30° con el plano pq, el esfuerzo es 2500 psi. Determine el esfuerzo normal máximo smáx y el esfuerzo cortante máximo tmáx en la barra. p r b 5000 psi tu tu P su = 10,000 psi P u s q Prob. 2.6.17 10,000 psi tu tu 5000 psi Prob. 2.6.15 2.6.16 Una barra prismática se somete a una fuerza axial que produce un esfuerzo de tensión su = 65 MPa y un esfuerzo cortante tu = 23 MPa sobre cierto plano inclinado (consulte la figura). Determine los esfuerzos que actúan sobre todas las caras de un elemento de esfuerzo orientado en un ángulo u = 30° y muestre los esfuerzos en un diagrama del elemento. *2.6.18 Se quiere construir un elemento en tensión con dos piezas de plástico pegadas a lo largo del plano pq (consulte la figura). Para fines de cortar y pegar, el ángulo u debe estar entre 25° y 45°. Los esfuerzos permisibles sobre la junta pegada en tensión y cortante son 5.0 MPa y 3.0 MPa, respectivamente. (a) Determine el ángulo u de manera que la barra soporte la mayor carga posible P. (Suponga que la resistencia de la junta pegada controla el diseño). (b) Determine la carga máxima permisible Pmáx si el área de la sección transversal de la barra es 225 mm2. P p u q Prob. 2.6.18 www.FreeLibros.com P 208    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.6.19 Una barra no prismática 1-2-3 con sección área A transversal de dos materiales se sostiene firmemente (pero sin ningún esfuerzo inicial) entre soportes rígidos (consulte la figura). Los esfuerzos permisibles en compresión y cortante se especifican como sa y ta, respectivamente. Utilice los datos numéricos siguientes. (Datos: b1 = 4b2/3 = b; A1 = 2A2 = A; 6 = 8 in, g = 490 lb ft3, E1 = 3E2/4 = E; a1 = 5a2/4 = a; sa1 = 4sa2/3 = sa, ta1 = 2sa1/5, ta2 = 3sa2/5; sea sa = 11ksi, P = 12 kips, A = 6 in2, E = 30,000 ksi, a = 6.5 × 10–6/°F; g1 = 5g2/3 = g). (a) Si la carga P se aplica en la junta 2 como se muestra en la figura, formule una expresión para el aumento de temperatura máximo permisible DTmáx tal que no se sobrepasen los esfuerzos permisibles en cualquier ubicación A o B. (b) Si se remueve la carga P y ahora la barra se gira a una posición vertical donde cuelga bajo su peso propio (intensidad de carga = w1 en el segmento 1-2 y w2 en el segmento 2-3), formule una expresión para el aumento de temperatura máximo permisible DTmáx de manera que no se excedan los esfuerzos permisibles en cualquier ubicación 1 o 3. Las ubicaciones 1 y 3 están a una distancia corta de los soportes 1 y 3, respectivamente. b1 b2 1 2 P A B E2, A2, a2 E1, A1, a1 (a) Energía de deformación Al resolver los problemas de la sección 2.7, suponga que el material se comporta de manera linealmente elástica. 2.7.1 Una barra prismática AD con longitud L, área de su sección transversal A y módulo de elasticidad E se somete a cargas 5P, 3P y P que actúan en los puntos B, C y D, respectivamente (consulte la figura). Los segmentos AB, BC y CD tienen longitudes L/6, L/2 y L/3, respectivamente. (a) Obtenga una fórmula para la energía de deformación U de la barra. (b) Calcule la energía de deformación si P = 6 k, L = 52 in, A = 2.76 in2 y el material es aluminio con E = 10.4 × 106 psi. 5P A L — 6 W w1 = —1 b1 3 C L — 3 D 2.7.2 En la figura se muestra una barra con sección transversal circular que tiene dos diámetros distintos d y 2d. La longitud de cada segmento de la barra es L/2 y el módulo de elasticidad del material es E. (a) Obtenga una fórmula para la energía de deformación U de la barra debida a la carga P. (b) Calcule la energía de deformación si la carga P = 27 kN, la longitud L = 600 mm, el diámetro d = 40 mm y el material es latón con E = 105 GPa. 2d P d P E1, A1, b1 2 W w2 = —2 b2 E2, A2, b2 3 R3 (b) Prob. 2.6.19 L — 2 P Prob. 2.7.1 R1 1 B 3P L — 2 L — 2 Prob. 2.7.2 2.7.3 Una columna con altura de tres pisos en un edificio soporta cargas del techo y del entrepiso como se muestra en la figura. La altura de un piso H es 10.5 ft, el área de la sección transversal A de la columna es 15.5 in2 y el módulo de elasticidad E del acero es 30 × 10 6 psi. Calcule la energía de deformación U de la columna suponiendo P1 = 40 K y P2 = P3 = 60 k. capítulo 2 Problemas    209 2.7.6 La armadura ABC que se muestra en la figura está sometida a una carga horizontal P en el nodo B. Las dos barras son idénticas con un área de su sección transversal A y módulo de elasticidad E. (a) Determine la energía de deformación U de la armadura si el ángulo b = 60°. (b) Determine el desplazamiento horizontal db del nodo B igualando la energía de deformación de la armadura con el trabajo realizado por la carga. P1 H P2 H P3 Prob. 2.7.3 A 2.7.4 La barra ABC que se muestra en la figura está cargada por una fuerza P que actúa en el extremo C y por una fuerza Q que actúa en el punto medio B. La barra tiene una rigidez axial constante EA. (a) Determine la energía de deformación U1 de la barra cuando sólo actúa la fuerza P (Q = 0). (b) Determine la energía de deformación U2 cuando sólo actúa la carga Q (P = 0). (c) Determine la energía de deformación U3 cuando las fuerzas P y Q actúan simultáneamente sobre la barra. Q A B L — 2 P L — 2 P B H C Prob. 2.7.4 2.7.5 Determine la energía de deformación por unidad de volumen (unidades de psi) y la energía de deformación por unidad de peso (unidades de in) que se pueden almacenar en cada uno de los materiales que se presentan en la tabla siguiente, suponiendo que el material se esfuerza hasta el límite proporcional. b b C L Prob. 2.7.6 2.7.7 La armadura ABC que se muestra en la figura soporta una carga horizontal P1 = 300 lb y una carga vertical P2 = 900 lb. Las dos barras tienen un área de su sección transversal A = 2.4 in2 y están hechas de acero con E = 30 × 106 psi. (a) Determine la energía de deformación U1 de la armadura cuando sólo actúa la carga P1 (P2 = 0). (b) Determine la energía de deformación U2 cuando sólo actúa la carga P2 (P1 = 0). (c) Determine la energía de deformación U3 cuando las dos cargas actúan simultáneamente. A DATOS PARA EL PROBLEMA 2.7.5 Material Módulo de elasticidad (ksi) Límite de proporcionalidad (psi) 0.284 30,000 36,000 0.284 0.0984 0.0405 30,000 10,500 0.300 75,000 60,000 300 Peso específico (lb/in3) Acero dulce Acero para herramientas Aluminio Caucho (suave) C 30° B P1 = 300 lb P2 = 900 lb 60 in Prob. 2.7.7 www.FreeLibros.com 210    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.7.8 La estructura estáticamente indeterminada que se muestra en la figura consiste de una barra rígida horizontal AB soportada por cinco resortes igualmente espaciados. Los resortes 1, 2 y 3 tienen rigideces 3k, 1.5k y k, respectivamente. Cuando no están sometidos a una carga, los extremos inferiores de los cinco resortes se encuentran a lo largo de una línea horizontal. La barra AB, que tiene un peso W, ocasiona que los resortes se estiren en una cantidad d. (a) Obtenga una fórmula para la energía de deformación total U de los resortes en términos del desplazamiento hacia abajo d de la barra. (b) Obtenga una fórmula para el desplazamiento d igualando la energía de deformación de los resortes con el trabajo realizado por el peso W. (c) Determine las fuerzas F1, F2 y F3 en los resortes. (d) Determine la energía de deformación U, el desplazamiento d y las fuerzas en los resortes si W = 600 N y k = 7.5 N/mm. dimensiones y las propiedades del conjunto son las siguientes: L = 1.0 m, área de la sección transversal de cada barra A = 3000 mm2 y módulo de elasticidad E = 45 GPa y el espacio libre s = 1.0 mm. (a) Calcule la carga P1 necesaria para cerrar el espacio libre. (b) Calcule el desplazamiento hacia abajo d de la placa rígida cuando P = 400 kN. (c) Calcule la energía de deformación total U de las tres barras cuando P = 400 kN. (d) Explique por qué la energía de deformación U no es igual a P/2. (Sugerencia: trace un diagrama de carga-desplazamiento.) P s L 1 3k k 1.5k 2 3 1.5k 2 1 A 3k B Prob. 2.7.10 W Prob. 2.7.8 2.7.9 Una barra ligeramente ahusada AB con sección transversal rectangular y longitud L se somete a una fuerza P (consulte la figura). El ancho de la barra varía uniformemente de b2 en el extremo A a b1 en el extremo B. El espesor t es constante. (a) Determine la energía de deformación U de la barra. (b) Determine el alargamiento d de la barra igualando la energía de deformación con el trabajo realizado por la fuerza P. A B b2 b1 **2.7.11 El bloque B es empujado contra tres resortes por una fuerza P (consulte la figura). El resorte central tiene una rigidez k1 y los resortes exteriores tienen una rigidez k2. Al inicio, los resortes están sin esfuerzo y el resorte central es más largo que los exteriores (la diferencia de longitud se denota con s). (a) Trace un diagrama fuerza-desplazamiento con la fuerza P como la ordenada y el desplazamiento x del bloque como la abscisa. (b) Del diagrama, determine la energía de deformación U1 de los resortes cuando x = 2s. (c) Explique por qué la energía de deformación U1 no es igual a Pd/2, donde d = 2s. s P P k2 k1 B k2 L Prob. 2.7.9 x Prob. 2.7.11 *2.7.10 Una carga de compresión P se transmite mediante una placa rígida a tres barras de una aleación de magnesio que son idénticas excepto que inicialmente la barra central es ligeramente más corta que las otras barras (consulte la figura). Las ***2.7.12 Una cuerda elástica que se comporta de manera linealmente elástica tiene una longitud sin estirar L0 = 760 mm y una rigidez k = 140 N/m. La cuerda está sujeta a dos capítulo 2 Problemas    211 espigas, separadas una distancia b = 380 mm y jaladas en su punto medio por una fuerza P = 80 N (consulte la figura). (a) ¿Cuánta energía de deformación U está almacenada en la cuerda? (b) ¿Cuál es el desplazamiento dC del punto donde se aplica la carga? (c) Compare la energía de deformación U con la cantidad PdC/2. (Nota: el alargamiento de la cuerda no es pequeño comparado con su longitud original.) 2.8.2 Resuelva el problema anterior si el collarín tiene una masa M = 80 kg, la altura es h = 0.5 m, la longitud es L = 3.0 m, el área de la sección transversal es A = 350 mm2 y el módulo de elasticidad es E = 170 GPa. 2.8.3 Resuelva el problema 2.8.1 si el collarín tiene un peso W = 50 lb, la altura es h = 2.0 in, la longitud es L = 3.0 ft, el área de la sección transversal es A = 0.25 in2 y el módulo de elasticidad es E = 30,000 ksi. A b Collarín B L Barra C P h Brida Prob. 2.7.12 Carga de impacto Los problemas de la sección 2.8 deben resolverse con base en las suposiciones e idealizaciones descritas en el texto. En particular, suponga que el material se comporta de manera linealmente elástica y que no se pierde energía durante el im­ pacto. 2.8.1 Un collarín deslizante con peso W = 150 lb cae desde una altura h = 2.0 in hacia una brida ubicada en el fondo de una barra esbelta vertical (consulte la figura). La barra tiene una longitud L = 4.0 ft, área de su sección transversal A = 0.75 in2 y módulo de elasticidad E = 30 × 106 psi. Calcule las cantidades siguientes: (a) el desplazamiento máximo hacia abajo de la brida, (b) el esfuerzo de tensión máximo en la barra y (c) el factor de impacto. Probs. 2.8.2 y 2.8.3 2.8.4 Un bloque que pesa W = 5.0 N cae dentro de un cilindro desde una altura h = 200 mm hacia un resorte que tiene rigidez k = 90 N/m (consulte la figura). (a) Determine el acortamiento máximo del resorte debido al impacto y (b) determine el factor de impacto. Bloque Cilindro Collarín Brida Prob. 2.8.1 k L Barra h Probs. 2.8.4 y 2.8.5 www.FreeLibros.com h 212    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.8.5 Resuelva el problema anterior si el bloque pesa W = 1.0 lb, h = 12 in y k = 0.5 lb/in. 2.8.6 Una pelota pequeña de caucho (peso W = 450 mN) está sujeta a una paleta de madera por una cuerda de caucho (consulte la figura). La longitud natural de la cuerda es L0 = 200 mm, su área de la sección transversal es A = 1.6 mm2 y su módulo de elasticidad es E = 2.0 MPa. Después de ser golpeada por la paleta, la pelota estira la cuerda hasta una longitud total L1 = 900 mm. ¿Cuál es la velocidad n de la pelota cuando rebota sobre la paleta? (Suponga un comportamiento linealmente elástico de la cuerda de caucho y no tome en cuenta la energía potencial debida a cualquier cambio en la elevación de la pelota.) 2.8.8 Un cable con un tope en el fondo cuelga verticalmente de su extremo superior (consulte la figura). El cable tiene un área de la sección transversal efectiva A = 40 mm2 y un módulo de elasticidad efectivo E = 130 GPa. Un collarín con masa M = 35 kg cae desde una altura h = 1.0 m sobre el tope. Si el esfuerzo permisible en el cable para una carga de impacto es 500 MPa, ¿cuál es la longitud mínima permisible L del cable? Cable Collarín L h Tope Prob. 2.8.6 2.8.7 Un peso W = 4500 lb cae desde una altura h sobre un poste vertical de madera que tiene longitud L = 15 ft, diámetro d = 12 in y módulo de elasticidad E = 1.6 × 10 6 psi (consulte la figura). Si el esfuerzo permisible en la madera para una carga de impacto es 2500 psi, ¿cuál es la altura h máxima permisible? W = 4500 h d = 12 in Probs. 2.8.8 y 2.8.9 2.8.9 Resuelva el problema anterior si el collarín tiene un peso W = 100 lb, h = 45 in, A = 0.080 in2, E = 21 × 10 6 psi y el esfuerzo permisible es 70 ksi. 2.8.10 Un poste parachoques al final de un vía de ferrocarril en un patio de trenes tiene una constante de resorte k = 8.0 MN/m (consulte la figura). El desplazamiento máximo posible d del extremo de la placa de impacto es 450 mm. ¿Cuál es la velocidad máxima nmáx que un vagón de ferrocarril con peso W = 545 kN puede tener sin dañar el poste al golpearlo? L = 15 ft v k d Prob. 2.8.7 Prob. 2.8.10 capítulo 2 Problemas    213 2.8.11 Un parachoques para vagones de mina se construye con un resorte con rigidez k = 1120 lb/in (consulte la figura). Si un vagón con peso de 3450 lb viaja a una velocidad n = 7 mph cuando golpea el resorte, ¿cuál es el acortamiento máximo del resorte? *2.8.13 Un peso W está sobre la parte superior de una pared y está sujeto al extremo de una cuerda muy flexible que tiene un área de su sección transversal A y un módulo de elasticidad E (consulte la figura). El otro extremo de la cuerda está sujeto firmemente a la pared. Luego el peso se empuja y cae libremente una distancia igual a la longitud total de la cuerda. (a) Determine una fórmula para el factor de impacto. (b) Evalúe el factor de impacto si el peso, cuando cuelga estáticamente, estira la cuerda 2.5 por ciento de su longitud original. v k W W Prob. 2.8.11 Prob. 2.8.13 *2.8.12 Un saltador con cuerda elástica que tiene una masa de 55 kg salta desde un puente, interrumpiendo su caída con una cuerda larga elástica contra impactos que tiene una rigidez axial EA = 2.3 kN (consulte la figura). Si el punto de salto está a 60 m arriba del agua y si se desea mantener una distancia libre de 10 m entre el saltador y el agua, ¿qué longitud L de la cuerda debe emplearse? **2.8.14 Una barra rígida AB con masa M = 1.0 kg y longitud L = 0.5 m está articulada en el extremo A y soportada en el extremo B por una cuerda de nailon BC (consulte la figura). La cuerda tiene un área de su sección transversal A = 30 mm2, longitud b = 0.25 m y módulo de elasticidad E = 2.1 GPa. Si la barra se eleva hasta su altura máxima y luego se deja caer, ¿cuál es el esfuerzo máximo en la cuerda? C b A W L Prob. 2.8.12 Prob. 2.8.14 www.FreeLibros.com B 214    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente Concentraciones de esfuerzos Los problemas de la sección 2.10 se deben resolver conside­ rando los factores de concentración de esfuerzos y suponien­ do un comportamiento linealmente elástico. 2.10.1 Las barras planas que se muestran en las partes (a) y (b) de la figura están sometidas a fuerzas de tensión P = 3.0 k. Cada barra tiene un espesor t = 0.25 in. (a) Para la barra con un agujero circular, determine los esfuerzos máximos para diámetros de los agujeros d = 1 in y d = 2 in. Si el ancho b = 6.0 in. (b) Para la barra escalonada con filetes en los rebordes, determine los esfuerzos máximos para radios de los filetes R = 0.25 in y R = 0.5 in si los anchos de la barra son b = 4.0 in y c = 2.5 in. P P d b b c P P d Prob. 2.10.3 2.10.4 Una barra redonda de latón con diámetro d1 = 20 mm tiene extremos recalcados con diámetro d2 = 26 mm (consulte la figura). Las longitudes de los segmentos de la barra son L1 = 0.3 m y L2 = 0.1 m. Se utilizan filetes de un cuarto de círcu­ lo en los rebordes de la barra y el módulo de elasticidad del latón es E = 100 GPa. Si la barra se alarga 0.12 mm con una carga de tensión P, ¿cuál es el esfuerzo máximo smáx en la barra? d2 L2 R b P P (a) P ¿Cuál es la carga de tensión máxima permisible Pmáx si el esfuerzo de tensión permisible en el material es st? d2 d1 L1 P L2 Problemas 2.10.4 y 2.10.5 (b) 2.10.5 Resuelva el problema anterior para una barra de metal monel que tiene las propiedades siguientes: d1 = 1.0 in, d2 = 1.4 in, L1 = 20.0 in, L2 = 5.0 in y E = 25 × 106 psi. Además, la barra se alarga 0.0040 in cuando se aplica la carga de tensión. 2.10.2 Las barras planas que se muestran en las partes (a) y (b) de la figura están sometidas a fuerzas de tensión P = 2.5 kN. Cada barra tiene un espesor t = 5.0 mm. (a) Para la barra con un agujero circular determine los esfuerzos máximos para diámetros de los agujeros d = 12 mm y d = 20 mm si el ancho es b = 60 mm. (b) Para la barra escalonada con filetes en los rebordes, determine los esfuerzos máximos para radios de los filetes R = 6 mm y R = 10 mm si los anchos de las barras son b = 60 mm y c = 40 mm. 2.10.6 Una barra prismática con diámetro d0 = 20 mm se compara con una barra escalonada con el mismo diámetro (d1 = 20 mm) que está agrandada en su parte media a un diámetro d2 = 25 mm (consulte la figura). El radio de los filetes en la barra escalonada es de 2.0 mm. (a) ¿El agrandamiento de la barra en la parte media la hace más fuerte que la barra prismática? Demuestre su respuesta determinando la carga máxima permisible P1 para la barra prismática y la carga máxima permisible P2 para la barra alargada, suponiendo que el esfuerzo permisible para el material es 80 MPa. (b) ¿Cuál debe ser el diámetro d0 de la barra prismática si debe tener la misma carga permisible máxima que la barra escalonada? Probs. 2.10.1 y 2.10.2 2.10.3 Una barra plana con ancho b y espesor t tiene una agujero con diámetro d (consulte la figura). El agujero puede tener cualquier diámetro que tenga cabida dentro de la barra. capítulo 2 Problemas    215 P1 A P2 L d0 d1 P1 B Prob. 2.11.1 d2 d1 2.11.2 Una barra prismática con longitud L = 1.8 m y área de su sección transversal A = 480 mm2 está cargada por fuerzas P1 = 30 kN y P2 = 60 kN (consulte la figura). La barra está construida de una aleación de magnesio que tiene una curva esfuerzo-deformación unitaria descrita por la ecuación de Ramberg-Osgood siguiente: P2 Prob. 2.10.6 2.10.7 Una barra escalonada con un agujero (consulte la figura) tiene anchos b = 2.4 in y c = 1.6 in. Los filetes tienen radios iguales a 0.2 in. ¿Cuál es el diámetro dmáx del agujero más grande que se puede taladrar en la barra sin reducir su capacidad de soporte de carga? e s 45,000 1 s 618 170 MPa) P1 C B P2 P c b d (s en donde s tiene unidades de megapascales. (a) Calcule el desplazamiento dC del extremo de la barra cuando sólo actúa la carga P1. (b) Calcule el desplazamiento cuando sólo actúa la carga P2. (c) Calcule el desplazamiento cuando actúan las dos cargas simultáneamente. A P 10 L — 3 2L — 3 Prob. 2.10.7 Prob. 2.11.2 Comportamiento no lineal (cambios de longitud de barras) 2.11.1 Una barra AB Con longitud L y densidad de peso g cuelga verticalmente por su peso propio (consulte la figura). La relación esfuerzo-deformación unitaria para el material está dada por la ecuación de Ramberg-Osgood (ecuación 2.71): s E e s0a s E s0 m Deduzca la fórmula siguiente 2 d gL 2E s 18,000e 1 300e 0 e 0.03 (s ksi) (a) Trace un diagrama esfuerzo-deformación unitaria para el material. (b) Si el alargamiento de la barra está limitado a 0.25 in y el esfuerzo máximo está limitado a 40 ksi, ¿cuál es la carga permisible P? d P s0aL gL (m 1)E s0 para el alargamiento de la barra. 2.11.3 Una barra circular con longitud L = 32 in y diámetro d = 0.75 in está sometida a tensión por fuerzas P (consulte la figura). La barra está hecha de una aleación de cobre que tiene la relación hiperbólica esfuerzo-deformación unitaria siguiente: m L Prob. 2.11.3 www.FreeLibros.com P 216    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.11.4 Una barra prismática en tensión tiene una longitud L = 2.0 m y un área de su sección transversal A = 249 mm2. El material de la barra tiene una curva esfuerzo-deformación unitaria como se muestra en la figura. Determine el alargamiento d de la barra para cada una de las cargas axiales siguientes: P = 10 kN, 20 kN, 30 kN, 40 kN y 45 kN. A partir de estos resultados, trace un diagrama de la carga P contra el alargamiento d (diagrama carga-desplazamiento). 200 de alta resistencia que tiene un módulo de elasticidad E = 210 GPa y un esfuerzo de fluencia sY = 820 MPa. La longitud del alambre es L = 1.0 m y su diámetro es d = 3 mm. El diagrama esfuerzo-deformación unitaria para el acero se define por la ley de la potencia modificada como sigue: s s Ee sY Ee sY n 0 s s sY sY (a) Suponiendo n = 0.2, calcule el desplazamiento dB en el extremo de la barra debido a la carga P. Tome los valores de P de 2.4 kN a 5.6 kN en incrementos de 0.8 kN. (b) Trace un diagrama carga-desplazamiento mostrando P contra dB. s (MPa) 100 C L 0 0 0.005 e 0.010 A D B Prob. 2.11.4 P 2.11.5 Una barra de aluminio sometida a fuerzas de tensión P tiene una longitud L = 150 in y un área de su sección transversal A = 2.0 in2. El comportamiento esfuerzo-deformación unitaria del aluminio se puede representar de manera aproximada mediante el diagrama bilineal esfuerzo-deformación unitaria que se muestra en la figura. Calcule el alargamiento d de la barra para cada una de las cargas axiales siguientes: P = 8 k, 16 k, 24 k, 32 k y 40 k. A partir de estos resultados, trace un diagrama de la carga P contra el alargamiento d (diagrama carga desplazamiento). s 12 000 psi E2 = 2.4 × 106 psi 2b b Prob. 2.11.6 Análisis elastoplástico Los problemas de la sección 2.12 se deben resolver suponien­ do que el material es elastoplástico con esfuerzo de fluencia sY , deformación unitaria de fluencia Y y módulo de elasti­ cidad E en la región linealmente elástica (consulte la figura 2.70). 2.12.1 Dos barras idénticas AB y BC soportan una carga vertical P (consulte la figura). Las barras están hechas de acero que tiene una curva esfuerzo-deformación unitaria que se puede idealizar como elastoplástica con esfuerzo de fluencia sY. Cada barra tiene un área de la sección transversal A. Determine la carga de fluencia PY y la carga plástica PP. E1 = 10 × 106 psi A 0 u u e Prob. 2.11.5 *2.11.6 Una barra rígida AB, articulada en el extremo A, está soportada por un alambre CD y cargada por una fuerza P en el extremo B (consulte la figura). El alambre está hecho de acero B P Prob. 2.12.1 C capítulo 2 Problemas    217 2.12.2 Una barra escalonada ACB con sección transversal circular está sostenida entre dos soportes rígidos y sometida a una fuerza axial P en su parte media (consulte la figura). Los diámetros de las dos partes de la barra son d1 = 20 mm y d2 = 25 mm, y el material es elastoplástico con esfuerzo de fluencia sY = 250 MPa. Determine la carga plástica PP. a A d1 d2 P C a B b P L — 2 Prob. 2.12.4 L — 2 Prob. 2.12.2 2.12.3 Una barra rígida horizontal AB que soporta una carga P cuelga de cinco alambres colocados simétricamente, cada uno con área de su sección transversal A (consulte la figura). Los alambres están sujetos a una superficie curva con radio R. (a) Determine la carga plástica PP si el material de los alambres es elastoplástico con esfuerzo de fluencia sY. (b) ¿Cómo cambia PP si la barra AB es flexible en vez de rígida? (c) ¿Cómo cambia PP si aumenta el radio R? 2.12.5 La armadura simétrica ABCDE que se muestra en la figura está construida con cuatro barras y soporta una carga P en el nodo E. Cada una de las dos barras exteriores tiene un área de su sección transversal de 0.307 in2 y cada una de las dos barras interiores tiene un área de su sección transversal de 0.601 in2. El material es elastoplástico con esfuerzo de fluencia sY = 36 ksi. Determine la carga plástica PP. R A 21 in B A P 54 in 21 in C B D Prob. 2.12.3 36 in 2.12.4 Una carga P actúa sobre una viga horizontal que está soportada por cuatro barras configuradas en un patrón simétrico como se muestra en la figura. Cada barra tiene un área de sección transversal A y el material es elastoplástico con esfuerzo de fluencia sY. Determine la carga plástica PP. E P Prob. 2.12.5 www.FreeLibros.com 218    CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente 2.12.6 Cinco barras, cada una con diámetro de 10 mm, soportan una carga P como se muestra en la figura. Determine la carga plástica PP si el material es elastoplástico con esfuerzo de fluencia sY = 250 MPa. b b b L A C P L b B a a a a Prob. 2.12.8 2b P Prob. 2.12.6 2.12.7 Una barra circular de acero AB con diámetro d = 6.0 in es alargada firmemente entre dos soportes de manera que al inicio el esfuerzo de tensión en la barra es 10 ksi (consulte la figura). Luego se aplica una fuerza axial P a la barra en un punto intermedio C. (a) Determine la carga plástica PP si el material es elastoplástico con esfuerzo de fluencia sY = 36 ksi. (b) ¿Cómo cambia PP si el esfuerzo de tensión inicial se duplica a 20 ksi? *2.12.9 La estructura que se muestra en la figura consiste de una barra rígida horizontal ABCD soportada por dos alambres de acero, uno con longitud L y el otro con longitud 3L/4. Los dos alambres tienen un área de la sección transversal A y están hechos de un material elastoplástico con esfuerzo de fluencia sY y módulo de elasticidad E. Una carga vertical P actúa en el extremo D de la barra. (a) Determine la carga de fluencia PY y el desplazamiento de fluencia correspondiente dY en el punto D. (b) Determine la carga plástica PP y el desplazamiento correspondiente dP en el punto D cuando la carga apenas alcanza el valor PP. (c) Trace un diagrama de carga-desplazamiento con la carga P como ordenada y el desplazamiento dD del punto D como abscisa. L B A A B C 3L 4 D d Prob. 2.12.7 2b *2.12.8 Una barra rígida ACB está soportada sobre un fulcro en C y sometida a una fuerza P en el extremo B (consulte la figura). Tres alambres idénticos hechos de un material elastoplástico (esfuerzo de fluencia sY y módulo de elasticidad E) resisten la carga P. Cada alambre tiene un área de la sección transversal A y longitud L. (a) Determine la carga de fluencia PY y el desplazamiento correspondiente de fluencia dY en el punto B. (b) Determine la carga plástica PP y el desplazamiento correspondiente de fluencia dP en el punto B cuando la carga apenas alcanza el valor PP. (c) Trace un diagrama carga-desplazamiento con la carga P como ordenada y el desplazamiento dB del punto B como abscisa. b b P Prob. 2.12.9 **2.12.10 Dos cables, cada uno con longitud L de aproximadamente 40 m, soportan un contenedor cargado con peso W (consulte la figura). Los cables, que tienen un área de sección transversal efectiva A = 48.0 mm2 y módulo de elasticidad efectivo E = 160 GPa, son idénticos excepto que un cable es más largo que el otro cuando cuelgan separadamente y sin carga. La diferencia en las longitudes es d = 100 mm. Los cables están hechos de acero que tiene un diagrama esfuerzo-deformación unitaria elastoplástico con sY = 500 MPa. Suponga que el peso W inicialmente es cero y se incrementa lentamente agregando material al contenedor. capítulo 2 Problemas    219 (a) Determine el peso WY que produce primero la fluencia del cable más corto. Además, determine el alargamiento dY correspondiente del cable más corto. (b) Determine el peso WP que produce fluencia de los cables. Además, determine el alargamiento dP del cable más corto cuando el peso W apenas alcanza el valor WP. (c) Elabore un diagrama de carga-desplazamiento mostrando el peso W como ordenada y el alargamiento d del cable más corto como abscisa. (Sugerencia: el diagrama cargadesplazamiento no es una sola línea recta en la región 0 ≤ W ≤ WY .) está montada dentro del tubo. Cuando no hay carga, hay un espacio libre c = 0.0100 in entre la barra B y la placa rígida. La barra y el tubo están hechos de acero que tiene un diagrama esfuerzo-deformación unitaria elastoplástico con E = 29 × 103 ksi y sY = 36 ksi. (a) Determine la carga de fluencia PY y el acortamiento correspondiente dY del tubo. (b) Determine la carga plástica PP y el acortamiento correspondiente dY del tubo. (c) Elabore un diagrama carga-desplazamiento mostrando la carga P como ordenada y el acortamiento d del tubo como abscisa. (Sugerencia: el diagrama carga-desplazamiento no es una sola línea recta en la región 0 ≤ P ≤ PY.) P L c T T W Prob. 2.12.10 **2.12.11 Un tubo circular hueco T con longitud L = 14 in está comprimido uniformemente por una fuerza P que actúa sobre una placa rígida (consulte la figura). Los diámetros interior y exterior del tubo son 3.0 y 2.75 in, respectivamente. Una barra circular sólida concéntrica B con 1.5 in de diámetro Prob. 2.12.11 www.FreeLibros.com B T L B 220    CapÍtulo 3 Torsión Los ejes circulares son componentes esenciales de máquinas y dispositivos para generación y transmisión de energía. secCiÓn 3.1 Introducción a la mecánica de materiales    221 3 Torsión Aspectos generales del capítulo Este capítulo trata del torcimiento de barras circulares y ejes huecos sometidos a momentos torsionales. Primero consideramos la torsión uniforme que se refiere al caso en el cual el par de torsión es constante en toda la longitud de un eje prismático, en tanto que la torsión no uniforme describe casos en los que el momento torsional y/o la rigidez torsional de la sección varía en toda la longitud. Como en el caso de deformaciones axiales, debemos relacionar el esfuerzo y la deformación unitaria y también la carga aplicada y la deformación unitaria. Para torsión, recuerde que la ley de Hooke para cortante establece que los esfuerzos cortantes, t, son proporcionales a las deformaciones unitarias por cortante, g, con G como la constante de proporcionalidad, que es el módulo de elasticidad en cortante. Los esfuerzos cortantes y las deformaciones unitarias por cortante varían linealmente con la distancia radial en la sección transversal, como se describe con la fórmula de la torsión. El ángulo de torsión, w, es proporcional al momento torsional interno y a la flexibilidad torsional de la barra circular. La mayor parte del análisis en este capítulo se dedica al comportamiento lineal elástico y a rotaciones pequeñas de elementos estáticamente determinados. Sin embargo, si la barra es estáticamente indeterminada, debemos aumentar las ecuaciones del equilibrio estático con ecuaciones de compatibilidad (que se basan en relaciones par de torsión-desplazamiento) para resolver cualesquiera incógnitas de interés, como momentos de soporte o momentos torsionales internos en elementos. Los esfuerzos sobre secciones inclinadas también se estudian como primer paso hacia una consideración más complicada de estados de esfuerzo plano en capítulos posteriores. Por último, al final del capítulo se introduce una variedad de temas especializados y avanzados (como energía de deformación, flujo cortante en tubos de pared delgada y concentraciones de esfuerzos en torsión). El capítulo 3 está organizado como sigue: Introducción 222 Deformaciones torsionantes de una barra circular 223 Barras circulares de materiales linealmente elásticos 226 Torsión no uniforme 238 Esfuerzos y deformaciones unitarias en cortante puro 245 Relación entre los módulos de elasticidad E y G 252 Transmisión de potencia por ejes circulares 254 Elementos de torsión estáticamente indeterminados 259 Energía de deformación en torsión y cortante puro 263 Tubos de pared delgada 270 Concentraciones de esfuerzos en torsión 279 Resumen y repaso del capítulo 282 Problemas 283 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 *3.11 *Temas especializados y/o avanzados www.FreeLibros.com 221 222    CapÍtulo 3 Torsión 3.1 INTRODUCCIÓN (a) T (b) Figura FIG. 3-1 3.1 Torsión de un destornillador debida al par de torsión T aplicado al mango. P2 P1 d1 P2 P1 T1 = P1d1 d2 Eje de la barra T2 = P2 d 2 (a) T1 T2 (b) T1 T2 (c) Figura 3.2 Barra circular sometida a torsión por los pares de torsión T1 y T2. En los capítulos 1 y 2 analizamos el comportamiento del tipo de elemento estructural más simple, que es una barra recta sometida a cargas axiales. Ahora consideramos un tipo de comportamiento ligeramente más complejo conocido como torsión. Torsión se refiere al torcimiento de una barra recta al ser cargada por momentos (o pares de torsión) que tienden a producir rotación con respecto al eje longitudinal de la barra. Por ejemplo, cuando usted gira un destornillador (figura 3.1a), su mano aplica un par de torsión T al mango (figura 3.1b) y tuerce el vástago del destornillador. Otros ejemplos de barras en torsión son los ejes de impulsión en automóviles, ejes de transmisión, ejes de hélices, barras de dirección y brocas de taladros. Un caso idealizado de carga torsional se representa en la figura 3.2a, donde se muestra una barra recta soportada en un extremo y cargada por dos pares de fuerzas iguales y opuestas. El primer par consiste en las fuerzas P1 que actúan cerca del punto medio de la barra y el segundo para consiste de las fuerzas P2 que actúan en el extremo. Cada par de fuerzas forma un par de torsión que tiende a torcer la barra con respecto a su eje longitudinal. Como sabemos de la estática, el momento de un par de torsión es igual al producto de una de las fuerzas y la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las fuerzas; por tanto, el primer par de torsión tiene un momento T1 = P1d1 y el segundo tiene un momento T2 = P2d2. Las unidades en el sistema inglés para el momento son la libra-pie (lb-ft) y la libra-pulgada (lb-in). La unidad en el SI para el momento es el newton metro (N∙m). El momento de un par de torsión se puede representar por un vector en forma de una flecha con cabeza doble (figura 3.2b). La flecha es perpendicular al plano que contiene el par de torsión y, por tanto, en este caso las dos flechas son paralelas al eje de la barra. La dirección (o sentido) del momento se indica mediante la regla de la mano derecha para vectores momento: empleando su mano derecha, permita que sus dedos se curven en el sentido del momento y entonces su dedo pulgar apuntará en la dirección del vector. Una representación alternativa de un momento es una flecha curva que actúa en el sentido de la rotación (figura 3.2c). La flecha curva y las representaciones vectoriales son de uso común y en este libro emplearemos las dos. La elección depende de la conveniencia y la preferencia personal. Los momentos que producen el torcimiento de una barra, como los marcados T1 y T2 en la figura 3.2, se llaman pares de torsión o momentos de torsión. Los elementos cilíndricos que se someten a pares de torsión y transmiten potencia mediante rotación se llaman ejes; por ejemplo, el eje impulsor de un automóvil o el eje de la hélice de un barco. La mayor parte de los ejes tienen secciones transversales circulares sean sólidas o tubulares. En este capítulo iniciamos el desarrollo de fórmulas para las deformaciones unitarias y los esfuerzos en barras circulares sometidas a torsión. Luego, analizamos el estado de esfuerzo conocido como cortante puro y obtendremos la relación entre los módulos de elasticidad E y G en tensión y cortante, respectivamente. Enseguida, estudiaremos los ejes rotatorios y determinaremos la potencia que transmiten. Por último, estudiaremos varios temas adicionales relacionados con la torsión, los cuales son: elementos estáticamente indeterminados, energía de deformación, tubos de pared delgada con sección transversal no circular y concentraciones de esfuerzos. sección 3.2 Deformaciones torsionantes de una barra circular    223 3.2 DEFORMACIONES TORSIONANTES DE UNA BARRA CIRCULAR Comenzamos nuestro estudio de torsión al considerar una barra prismática con sección transversal circular torcida por pares de torsión T que actúan en sus extremos (figura 3.3a). Dado que cada sección transversal de la barra es idéntica y puesto que cada sección transversal se somete al mismo par de torsión interno, decimos que la barra está en torsión pura. A partir de consideraciones de simetría, se puede demostrar que las secciones transversales de la barra no cambian de forma conforme giran con respecto al eje longitudinal. En otras palabras, todas las secciones transversales permanecen planas y circulares y todos los radios permanecen rectos. Además, si el ángulo de rotación entre un extremo de la barra y el otro es pequeño, no cambiarán la longitud de la barra ni sus radios. Para ayudar a visualizar la deformación de la barra, imagine que el extremo izquierdo de la misma (figura 3.3a) está fijo. Luego, ante la acción del par de torsión T, el extremo derecho girará (con respecto al extremo izquierdo) un ángulo pequeño f, conocido como ángulo de torsión (o ángulo de rotación). Debido a esta rotación, una línea recta longitudinal pq en la superficie de la barra se convertirá en la curva helicoidal pq´, donde q´ es la posición del punto q después de que la sección transversal extrema ha girado el ángulo f (figura 3.3b). El ángulo de torsión cambia a lo largo del eje de la barra y en secciones transversales intermedias tendrá un valor f(x) que está entre cero en el extremo izquierdo y f en el extremo derecho. Si cada sección transversal de la barra tiene el mismo radio y se somete al mismo par de torsión (torsión pura), el ángulo f(x) variará linealmente entre los extremos. Deformaciones unitarias por cortante en la superficie exterior Ahora considere un elemento de la barra entre dos secciones transversales separadas una distancia dx (consulte la figura 3.4a). Este elemento se muestra agrandado en la figura 3.4b. En su superficie exterior identificamos un elemento pequeño abcd, con lados ab y cd que al inicio son paralelos al eje longitudinal. Durante el torcimiento de la barra, las secciones transversales derechas giran con respecto a las secciones transversales izquierdas un ángulo pequeño de torsión df, de manera que los puntos b y c se mueven a b' y c’, respectivamente. Las longitudes de los lados del elemento, que ahora es el elemento ab'c'd, no cambian durante esta rotación pequeña. Sin embargo, los ángulos en las esquinas del elemento (figura 3.4b) ya no son iguales a 90°. Por tanto, el elemento está en un estado de cortante puro, lo cual significa que el elemento está sometido a deformaciones por f (x) T p q q' r x Figura 3.3 Deformaciones de una barra circular en torsión pura. f q f T q' r (b) L (a) www.FreeLibros.com 224    CapÍtulo 3 Torsión T T x dx L (a) gmáx g b a T b' c d c' Figura 3.4 Deformación de un elemento con longitud dx cortado de una barra en torsión. df df r T r dx dx (b) (c) cortante pero no a deformaciones normales (consulte la figura 1.28 de la sección 1.6). La magnitud de la deformación por cortante en la superficie exterior de la barra, denotada gmáx, es igual al decremento en el ángulo en el punto a, es decir, el decremento en el ángulo bad. De la figura 3.4b observamos que el decremento en este ángulo es gmáx bb ab (a) donde gmáx se mide en radianes, bb' es la distancia que se desplaza el punto b y ab es la longitud del elemento (igual a dx). Si r denota el radio de la barra, podemos expresar la distancia bb´ como rdf, donde df también se mide en radianes. Por tanto, la ecuación anterior se convierte en gmáx r df dx (b) Esta ecuación relaciona la deformación unitaria cortante en la superficie exterior de la barra con el ángulo de torsión. La cantidad df/dx es la razón de cambio del ángulo de torsión f con respecto a la distancia x medida a lo largo del eje de la barra. Denotaremos df/dx con el símbolo u y nos referiremos a ella como razón de torsión o ángulo de torsión por unidad de longitud. u df dx (3.1) Con esta notación ahora podemos escribir la ecuación para la deformación unitaria por cortante en la superficie exterior (ecuación b) como sigue: sección 3.2 Deformaciones torsionantes de una barra circular    225 q f q' rd dx gmáx r Figura 3.3b (Repetida.) ru gmáx gmáx b T b' c d c' (3.2) Por conveniencia hemos considerado una barra sujeta a torsión pura al deducir las ecuaciones (3.1) y (3.2). Sin embargo, las dos ecuaciones son válidas en casos más generales de torsión, como cuando la razón de torsión u no es constante sino que varía con la distancia x a lo largo del eje de la barra. En el caso especial de torsión pura, la razón de torsión es igual al ángulo total de torsión f dividido entre la longitud L, es decir, u = f/L. Por lo tanto, sólo para torsión pura, obtenemos (b) a ru df T r r L (3.3) Esta ecuación se puede obtener directamente de la geometría de la figura 3.3a al observar que gmáx es el ángulo entre las líneas pq y pq', es decir, gmáx es el ángulo qpq'. Por tanto, gmáxL es a la distancia qq' en el extremo de la barra. Pero como la distancia qq' también es igual a rf (figura 3.3b), obtenemos rf = gmáxL, que concuerda con la ecuación (3.3). Deformaciones unitarias por cortante dentro de la barra Las deformaciones unitarias por cortante en el interior de la barra se pueden determinar mediante el mismo método empleado para encontrar la deformación unitaria por cortante gmáx en la superficie. Como los radios en las secciones transversales de una barra permanecen rectos y sin distorsión durante la torsión, observamos que el análisis anterior para un elemento abcd en la superficie exterior (figura 3.4b) también será válido para un elemento similar situado en la superficie de un cilindro interior con radio r (figura 3.4c). Por tanto, los elementos interiores también están en cortante puro con las deformaciones unitarias por cortante correspondientes dadas por la ecuación (compare con la ecuación 3.2): dx (b) Figura 3.4b (Repetida.) g df r g dx ru r r gmáx (3.4) Esta ecuación muestra que las deformaciones unitarias cortantes en una barra circular varían linealmente con la distancia radial r desde el centro, siendo cero la deformación unitaria en el centro y alcanzando un valor máximo gmáx en la superficie exterior. (c) Figura 3.4c (Repetida.) Tubos circulares g máx Un repaso de los análisis anteriores demostrará que las ecuaciones para las deformaciones unitarias cortantes (ecuaciones 3.2 a 3.4) se aplican a tubos circulares (figura 3.5) así como a barras circulares sólidas. En la figura 3.5 se muestra la variación lineal en deformación unitaria por cortante entre la deformación unitaria máxima en la superficie exterior y la deformación unitaria mínima en la superficie interior. Las ecuaciones para estas deformaciones unitarias son las siguientes: g mín r1 r2 Figura 3.5 Deformaciones unitarias por cortante en un tubo circular. r r2f r1f gmín r1 gmáx (3.5a,b) 2 L L en donde r1 y r2 son los radios interior y exterior, respectivamente, del tubo. gmáx www.FreeLibros.com 226    CapÍtulo 3 Torsión Todas las ecuaciones anteriores para las deformaciones unitarias en una barra circular se basan en conceptos geométricos y no incluyen las propiedades del material. Por tanto, las ecuaciones son válidas para cualquier material, ya sea que se comporte elástica o inelásticamente, lineal o no linealmente. Sin embargo, las ecuaciones están limitadas a barras con ángulos de torsión pequeños y deformaciones unitarias mínimas. 3.3 BARRAS CIRCULARES DE MATERIALES LINEALMENTE ELÁSTICOS Ahora que hemos investigado las deformaciones unitarias por cortante en una barra circular en torsión (consulte las figuras 3.3 a 3.5) podemos determinar las direcciones y magnitudes de los esfuerzos cortantes correspondientes. Las direcciones de los esfuerzos se pueden determinar por inspección, como se ilustra en la figura 3.6a, donde observamos que el par de torsión T tiende a girar el extremo derecho de la barra en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se ve desde la derecha. Por tanto, los esfuerzos cortantes t que actúan sobre un elemento de esfuerzo ubicado en la superficie de la barra tendrán las direcciones que se muestran en la figura. Por claridad, el elemento de esfuerzo que se muestra en la figura 3.6a está agrandado en la figura 3.6b, donde se muestran tanto la deformación unitaria por cortante como los esfuerzos cortantes. Como se explicó antes en la sección 2.6, acostumbramos a dibujar elementos de esfuerzo en dos dimensiones, como en la figura 3.6b, pero siempre debemos recordar que los elementos de esfuerzo en realidad son objetos tridimensionales con un espesor perpendicular al plano de la figura. Las magnitudes de los esfuerzos cortantes se pueden determinar a partir de las deformaciones unitarias mediante la relación esfuerzo-deformación unitaria para el material de la barra. Si el material es linealmente elástico, podemos utilizar la ley de Hooke en cortante (ecuación 1.14): t (3.6) Gg en donde G es el módulo de elasticidad en cortante y g es la deformación unitaria por cortante en radianes. Al combinar esta ecuación con las ecuaciones para las deformaciones unitarias por cortante (ecuaciones 3.2 y 3.4), obtenemos T T t (a) a t b b' t máx t d Figura 3.6 Esfuerzos cortantes en una barra circular en torsión. t (b) r t g t r c c' (c) secCiÓn 3.3 Barras circulares de materiales linealmente elásticos    227 tmáx t máx t máx Figura 3.7 Esfuerzos cortantes longitudinal y transversal en una barra circular sometida a torsión. T T Figura 3.8 Esfuerzos de tensión y compresión que actúan sobre un elemento orientado a 45° con respecto al eje longitudinal. Gru t Gru r t r máx (3.7a,b) en donde tmáx es el esfuerzo cortante en la superficie exterior de la barra (radio r), t es el esfuerzo cortante en un punto interior (radio r) y u es la razón de torsión. (En estas ecuaciones, u tiene unidades de radianes por unidad de longitud). Las ecuaciones (3.7a) y (3.7b) muestran que los esfuerzos cortantes varían linealmente con la distancia desde el centro de la barra, como se ilustra por el diagrama triangular en la figura 3.6c. Esta variación lineal del esfuerzo es una consecuencia de la ley de Hooke. Si la relación esfuerzodeformación unitaria no es lineal, los esfuerzos no variarán linealmente y se necesitarán otros métodos de análisis. Los esfuerzos cortantes que actúan sobre un plano transversal van acompañados de esfuerzos cortantes con la misma magnitud que las que actúan sobre planos longitudinales (figura 3.7). Esta conclusión se deriva del hecho que en planos mutuamente perpendiculares siempre existen esfuerzos cortantes iguales, como se explicó en la sección 1.6. Si el material de la barra es más débil en cortante en planos longitudinales que en planos transversales, como es común en la madera cuando el grano corre paralelo al eje de la barra, la primera grieta debida a la torsión aparecerá en la superficie en la dirección longitudinal. El estado de cortante puro en la superficie de la barra (figura 3.6b) equivale a esfuerzos iguales de tensión y compresión que actúan en un elemento orientado a un ángulo de 45°, como se explica más adelante en la sección 3.5. Por tanto, un elemento rectangular con lados a 45° con respecto al eje de la barra estará sometido a esfuerzos de tensión y compresión, como se muestra en la figura 3.8. Si una barra en torsión está hecha de un material que es más débil en tensión que en cortante, la falla ocurrirá en tensión a lo largo de una hélice inclinada a 45° con respecto al eje, como usted lo puede demostrar torciendo una pieza de gis para pizarrón. La fórmula de la torsión dA t r r Figura 3.9 Determinación de la resultante de los esfuerzos cortantes que actúan sobre una sección transversal. El paso siguiente en nuestro análisis es determinar la relación entre los esfuerzos cortantes y el par de torsión T. Una vez determinada esta relación, podremos calcular los esfuerzos y las deformaciones unitarias en una barra debidas a cualquier conjunto de pares de torsión aplicados. La distribución de los esfuerzos cortantes que actúan sobre una sección transversal se representa en las figuras 3.6c y 3.7. Debido a que dichos esfuerzos actúan continuamente alrededor de la sección transversal, tienen una resultante en la forma de un momento que es igual al par de torsión T que actúa sobre la barra. Para determinar esta resultante consideramos un elemento de área dA ubicado a una distancia radial r desde el eje de la barra (figura 3.9). La fuerza cortante que actúa sobre este elemento es igual a t dA, donde t es el esfuerzo cortante a un radio r. El momento de esta fuerza con respecto al eje de la barra es igual a la fuerza multiplicada por su distancia desde el centro, o trdA. Sustituyendo el valor del esfuerzo cortante t dado por la ecuación (3.7b), podemos expresar este momento elemental como dM trdA www.FreeLibros.com tmáx 2 r r dA 228    CapÍtulo 3 Torsión El momento resultante (igual al par de torsión T) es la suma a lo largo de toda el área de la sección transversal de todos los momentos elementales: T dM A tmáx r r 2 dA A tmáx r IP (3.8) en donde IP A r 2 dA (3.9) es el momento polar de inercia de la sección transversal circular. Para un círculo con radio r y diámetro d, el momento polar de inercia es IP pr 4 2 pd 4 32 (3.10) como se indica en el apéndice D, caso 9. Observe que los momentos de inercia tienen unidades de longitud a la cuarta potencia.* Es posible obtener una expresión para el esfuerzo cortante máximo reacomodando la ecuación (3.8), como sigue: tmáx Tr IP (3.11) Esta ecuación, conocida como la fórmula de la torsión, muestra que el esfuerzo cortante máximo es proporcional al par de torsión aplicado T e inversamente proporcional al momento de inercia polar IP. Las unidades comunes empleadas en la fórmula de la torsión son las siguientes. En el sistema SI el par de torsión T suele expresarse en newton metro (N∙m), el radio r en metros (m), el momento polar de inercia IP en metros a la cuarta potencia (m4) y el esfuerzo cortante t en pascales (Pa). Si se utilizan unidades inglesas, con frecuencia T se expresa en libra-pies (lb-ft) o libra-pulgadas (lb-in), r en pulgadas (in), IP en pulgadas a la cuarta potencia (in4) y t en libras por pulgada cuadrada (psi). Sustituyendo r = d/2 e IP = πd2/32 en la fórmula de la torsión, obtenemos la ecuación siguiente para el esfuerzo máximo: tmáx 16T pd 3 (3.12) Esta ecuación sólo se aplica a barras con sección transversal circular sólida, en tanto que la fórmula de la torsión (ecuación 3.11) se aplica tanto a barras sólidas como a tubos circulares, como se explica más adelante. La ecuación (3.12) muestra que el esfuerzo cortante es inversamente proporcional al cubo del diámetro. Por tanto, si se duplica el diámetro, el esfuerzo se reduce por un factor de ocho. *Los momentos polares de inercia se ilustran en la sección 12.6 del capítulo 12. secCiÓn 3.3 Barras circulares de materiales linealmente elásticos    229 El esfuerzo cortante a una distancia r desde el centro de la barra es r t r máx t T IP (3.13) que se obtiene al combinar la ecuación (3.7b) con la fórmula de la torsión (ecuación 3.11). La ecuación (3.13) es una fórmula generalizada de la torsión y de nuevo observamos que los esfuerzos cortantes varían linealmente con la distancia radial desde el centro de la barra. Ángulo de torsión Ahora podemos relacionar el ángulo de torsión de una barra de material linealmente elástico con el par de torsión aplicado T. Al combinar la ecuación (3.7a) con la fórmula de la torsión obtenemos u T GIP (3.14) en donde u tiene unidades de radianes por unidad de longitud. Esta ecuación muestra que la razón de torsión u es directamente proporcional al par de torsión T e inversamente proporcional al producto GIP, conocido como rigidez torsional de la barra. Para una barra en torsión pura, el ángulo de torsión f total, igual a la razón de torsión multiplicada por la longitud de la barra (es decir, f = uL), es f TL GIP (3.15) en donde f se mide en radianes. El uso de las ecuaciones anteriores tanto en análisis como en diseño se ilustra en los ejemplos 3.1 y 3.2. La cantidad GIP/L, llamada rigidez torsional de la barra, es el par de torsión necesario para producir una rotación de un ángulo unitario. La flexibilidad torsional es el recíproco de la rigidez, o L/GIP, y se define como el ángulo de rotación producido por un par de torsión unitario. Por tanto, tenemos las expresiones siguientes: kT GIP L fT L GIP (a,b) Estas cantidades son análogas a la rigidez axial k = EA/L y a la flexibilidad axial f = L/EA de una barra en tensión o compresión (compare con las ecuaciones 2.4a y 2.4b). Las rigideces y las flexibilidades desempeñan papeles importantes en el análisis estructural. La ecuación para el ángulo de torsión (ecuación 3.15) proporciona una forma conveniente para determinar el módulo de elasticidad en cortante G de un material. Al realizar una prueba de torsión en una barra circular podemos medir el ángulo de torsión f producido por un par de torsión conocido T. Luego se puede calcular el valor de G con la ecuación (3.15). www.FreeLibros.com 230    CapÍtulo 3 Torsión Tubos circulares t r2 tmáx r1 t Figura 3.10 Tubo circular en torsión. Los tubos circulares resisten con más eficiencia las cargas torsionales que las barras sólidas. Como sabemos, los esfuerzos cortantes en una barra circu­ lar sólida son máximos en el borde exterior de la sección transversal y cero en el centro. Por tanto, la mayor parte del material en un eje sólido se somete a un esfuerzo significativamente menor que el esfuerzo cortante máximo. Además, los esfuerzos cerca del centro de la sección transversal tiene un brazo de momento menor r a tomar en cuenta en la determinación del par de torsión (consulte la figura 3.9 y la ecuación 3.8). En contraste, en un tubo hueco común la mayor parte del material está cerca del borde exterior de la sección transversal donde los esfuerzos cortantes y los brazos de momento son mayores (figura 3.10). Por tanto si en una aplicación es importante reducir peso y ahorrar material, se aconseja emplear un tubo circular. Por ejemplo, los ejes de impulsión largos, los ejes de hélices y los ejes de generadores usualmente tienen secciones transversales huecas. El análisis de la torsión de un tubo circular es casi idéntico al de una barra sólida. Se pueden emplear las mismas expresiones básicas para los esfuerzos cortantes (por ejemplo, las ecuaciones 3.7a y 3.7b). Por supuesto, la distancia radial r está limitada al intervalo r1 a r2, donde r1 es el radio interior y r2 es el radio exterior de la barra (figura 3.10). La relación entre el par de torsión T y el esfuerzo máximo está dada por la ecuación (3.8), pero los límites en la integral para el momento polar de inercia (ecuación 3.9) son r = r1 y r = r2. Por tanto, el momento polar de inercia del área de la sección transversal de un tubo es IP p 4 (r 2 2 r 41) p 4 (d 2 32 d 41) (3.16) Las expresiones anteriores también se pueden escribir en las siguientes formas: IP prt (4r 2 2 t 2) pdt 2 (d 4 t 2) (3.17) en donde r es el radio promedio del tubo, igual a (r1 + r2)/2; d es el diámetro promedio, igual a (d1 + d2)/2 y t es el espesor de la pared (figura 3.10), igual a r2 – r1. Por supuesto, las ecuaciones (3.16) y (3.17) dan los mismos resultados, pero en ocasiones la última es más conveniente. Si el tubo es relativamente delgado, de tal modo que el espesor de la pared t es pequeño en comparación con el radio promedio r, podemos ignorar los términos t2 en la ecuación (3.17). Con esta simplificación obtenemos las fórmulas aproximadas siguientes para el momento polar de inercia: IP 2pr 3t pd 3t 4 Estas expresiones se dan en el caso 22 del apéndice D. (3.18) secCiÓn 3.3 Barras circulares de materiales linealmente elásticos    231 Recordatorios: en las ecuaciones 3.17 y 3.18, las cantidades r y d son el radio y el diámetro promedios, no los máximos. Además, las ecuaciones 3.16 y 3.17 son exactas; la ecuación 3.18 es aproximada. La fórmula de la torsión (ecuación 3.11) se puede emplear para un tubo circular de material linealmente elástico siempre que IP se evalúe de acuerdo con la ecuaciones (3.16), (3.17) o, si es apropiado, con la ecuación (3.18). Los mismos comentarios se aplican a la ecuación general para el esfuerzo cortante (ecuación 3.13), a las ecuaciones para la razón de torsión y el ángulo de torsión (ecuaciones 3.14 y 3.15) y a las ecuaciones para la rigidez y la flexibilidad (ecuaciones a y b). La distribución del esfuerzo cortante en un tubo se representa en la figura 3.10, donde se observa que el esfuerzo promedio en un tubo delgado es casi tan grande como el esfuerzo máximo. Esto significa que en una barra hueca se utiliza el material de manera más eficiente que en una barra sólida, como se explicó antes y se demuestra más adelante en los ejemplos 3.2 y 3.3. Al diseñar un tubo circular para transmitir un par de torsión, debemos estar seguros de que el espesor t es suficientemente grande para evitar el arrugamiento o pandeo de la pared del tubo. Por ejemplo, se puede especificar un valor máximo de la razón entre el radio y el espesor, como (r2/t)máx = 12. Otras consideraciones incluyen los factores ambientales y de durabilidad, que también imponen requerimientos para el espesor mínimo de la pared del tubo. Estos temas se estudian en cursos y libros de texto sobre diseño mecánico. Limitaciones Las ecuaciones deducidas en esta sección están limitadas a barras con sección transversal circular (sólidas o huecas) que se comportan de una manera linealmente elástica. En otras palabras, las cargas deben ser tales que los esfuerzos no sobrepasen el límite de proporcionalidad del material. Además, las ecuaciones para esfuerzos son válidas sólo en partes de las barras alejadas de concentraciones de esfuerzos (como agujeros y otros cambios abruptos de la forma) y alejadas de las secciones transversales donde se aplican las cargas. (Las concentraciones de esfuerzos en torsión se analizan más adelante en la sección 3.11.) Por último, es importante hacer énfasis en que las ecuaciones para la torsión de barras y tubos circulares no se pueden utilizar para barras que tengan otras formas. Las barras no circulares, como las rectangulares y las que tienen secciones transversales en forma de “I,” se comportan de manera muy diferente a las barras circulares. Por ejemplo, sus secciones transversales no permanecen planas y sus esfuerzos máximos no se ubican en las distancias más alejadas desde los puntos medios de las secciones transversales. Entonces, estas barras requieren métodos de análisis más avanzados, como los que se presentan en libros sobre teoría de elasticidad y mecánica de materiales avanzada.* *La teoría de la torsión para barras circulares se originó con el trabajo del famoso científico francés C. A. de Coulomb (1736-1806); se atribuyen desarrollos adicionales a Thomas Young y A. Duleau (referencia 3.1). La teoría general de la torsión (para barras con cualquier forma) se debe al más famoso investigador de la elasticidad de todos los tiempos, Barré de Saint-Venant (1797-1886); consulte la referencia 2.10. www.FreeLibros.com 232    CapÍtulo 3 Torsión Ejemplo 3.1 Una barra sólida de acero con sección transversal circular (figura 3.11) tiene un diámetro d = 1.5 in, longitud L = 54 in y módulo de elasticidad en cortante G = 11.5 × 106 psi. La barra está sometida a pares de torsión T que actúan en sus extremos. (a) Si los pares de torsión tienen una magnitud T = 250 lb-ft, ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo en la barra? ¿Cuál es el ángulo de torsión entre los extremos? (b) Si el esfuerzo cortante permisible es 6000 psi y el ángulo de torsión permisible es 2.5°, ¿cuál es el par de torsión máximo permisible? d = 1.5 in T T Figura 3.11 Ejemplo 3.1. Barra en torsión pura. L = 54 in Solución (a) Esfuerzo cortante máximo y ángulo de torsión. Dado que la barra tiene una sección transversal circular sólida, podemos determinar el esfuerzo cortante con la ecuación (3.12), como sigue: tmáx 16 T p d3 16(250 lb-ft)(12 in/ft) p (1.5 in) 3 4530 psi De una manera similar, el ángulo de torsión se obtiene con la ecuación (3.15) con el momento polar de inercia dado por la ecuación (3.10): IP pd 4 32 p(1.5 in)4 32 0.4970 in4 (250 lb-ft)(12 in/ft)(54 in) 0.02834 rad 1.62° (11.5 106 psi)(0.4970 in 4) Por tanto, el análisis de la barra ante la acción del par de torsión dado está completo. (b) Par de torsión máximo. El par de torsión máximo se determina mediante el esfuerzo cortante permisible o bien por el ángulo de torsión permisible. Iniciando con el esfuerzo cortante, reacomodamos la ecuación (3.12) y el cálculo es el siguiente: El eje impulsor de un barco es una parte clave del sistema de propulsión f TL GIP T1 p d 3tperm 16 p (1.5 in) 3(6000 psi) 16 3980 lb-in 331 lb-ft Cualquier par de torsión mayor que este valor resultará en un esfuerzo cortante que sobrepasará el esfuerzo permisible de 6000 psi. Utilizando la ecuación (3.15) reacomodada, ahora podemos calcular el par de torsión con base en el ángulo de torsión: secCiÓn 3.3 Barras circulares de materiales linealmente elásticos    233 T2 GIPf perm L 4618 lb-in 106 psi)(0.4970 in 4)(2.5°)(p rad/180°) 54 in (11.5 385 lb-ft Cualquier par de torsión mayor que T2 resultará en un ángulo de torsión mayor que el permisible. El par de torsión máximo es el menor de T1 y T2: Tmáx 331 lb-ft En este ejemplo el esfuerzo cortante permisible proporciona la condición limitante. Ejemplo 3.2 Se va a fabricar un eje de acero como una barra circular sólida o bien como un tubo circular (figura 3.12). Se requiere que el eje transmita un par de torsión de 1200 N∙m sin que se exceda un esfuerzo cortante permisible de 40 MPa ni una razón de torsión permisible de 0.75°/m. (El módulo de elasticidad en cortante del acero es 78 GPa). (a) Determine el diámetro necesario d0 del eje sólido. (b) Determine el diámetro exterior necesario d2 del eje hueco si su espesor t se especifica igual a un décimo del diámetro exterior. (c) Determine la razón de los diámetros (es decir, la razón d2/d0) y la razón de los pesos de los ejes hueco y sólido. t= Cigüeñal complejo d0 d2 10 d1 d2 Figura 3.12 Ejemplo 3.2. Torsión de un eje de acero. (a) (b) Solución (a) Eje sólido. El diámetro requerido d0 se determina a partir del esfuerzo cortante o bien de la razón de torsión permisible. En el caso del esfuerzo cortante permisible reacomodamos la ecuación (3.12) y obtenemos 3 16T 16(1200 N m) d0 p (40 MPa) p 152.8 10 6 m3 perm continúa www.FreeLibros.com 234    CapÍtulo 3 Torsión t= d2 10 de donde obtenemos 0.0535 m d0 53.5 mm En el caso de la razón de torsión permisible, empezamos determinando el momento polar de inercia (consulte la ecuación 3.14): IP d0 d1 Figura 3.12 (Repetida.) 1175 10 9 m4 Como el momento polar de inercia es igual a πd2/32, el diámetro necesario es d2 (a) 1200 N m (78 GPa)(0.75°/m)(p rad/180°) T Gu perm dd 4400 (b) 32 32IIPP p p 32(1175 32(1175 p p 10 10 9 9 4 m m4)) 11.97 11.97 10 10 6 6 4 m m4 oo o 0.0588 0.0588 m m dd00 58.8 58.8 mm mm Al comparar los dos valores de d0, observamos que la razón de torsión gobierna el diseño y el diámetro necesario del eje sólido es d0 58.8 mm En un diseño práctico, seleccionaríamos un diámetro ligeramente mayor que el valor calculado de d0; por ejemplo, 60 mm. (b) Eje hueco. De nuevo, el diámetro requerido se basa en el esfuerzo cortante permisible o bien en la razón de torsión permisible. Comenzamos observando que el diámetro exterior de la barra es d2 y el diámetro interior es d1 d2 2t d2 2(0.1d2) 0.8d2 Por tanto, el momento polar de inercia (ecuación 3.16) es IP p 4 (d 2 32 d 14) p d 24 32 p (0.5904d 24) 32 (0.8d2)4 0.05796d 24 En el caso del esfuerzo cortante permisible, utilizamos la fórmula de la torsión (ecuación 3.11) como sigue: Tr IP tperm T(d2/2 ) 0.05796 d 24 T 0.1159d 32 Reacomodando términos, obtenemos d 23 T 0.1159tperm 1200 N m 0.1159(40 MPa) 258.8 10 6 m3 Resolviendo para d2 da d2 0.0637 m 63.7 mm que es el diámetro exterior necesario con base en el esfuerzo cortante. secCiÓn 3.3 Barras circulares de materiales linealmente elásticos    235 En el caso de la razón de torsión permisible, utilizamos la ecuación (3.14) reemplazando u con uperm e IP con la expresión que obtuvimos antes; por tanto, T G(0.05796d 24 ) uperm de donde d 24 T 0.05796Guperm 1200 N m 0.05796(78 GPa)(0.75°/m)(p rad/180°) 20.28 10 6 m4 Resolviendo para d2 obtenemos d2 0.0671 m 67.1 mm que es el diámetro necesario con base en la razón de torsión. Al comparar los dos valores de d2, observamos que la razón de torsión gobierna el diseño y el diámetro exterior necesario del eje hueco es d2 67.1 mm El diámetro interior d1 es igual a 0.8d2, o 53.7 mm. (Como valores prácticos, podríamos seleccionar d2 = 70 mm y d1 = 0.8d2 = 56 mm.) (c) Razones de diámetros y pesos. La razón entre diámetro exterior del eje hueco y el diámetro del eje sólido (empleando los valores calculados) es d2 d0 67.1 mm 58.8 mm 1.14 Como los pesos de los ejes son proporcionales a las áreas de sus secciones transversales, podemos expresar la razón entre peso del eje hueco y el peso del eje sólido como sigue: Whueco Wsólido Ahueco Asólido p(d 22 d 21)/4 pd 20/4 (67.1 mm)2 (53.7 mm)2 (58.8 mm)2 d 22 d 20 d 21 0.47 Estos resultados muestran que para el eje hueco sólo se requiere 47 por ciento del material necesario para el eje sólido, en tanto que el diámetro exterior sólo es 14 por ciento mayor. Nota: este ejemplo muestra cómo determinar los tamaños necesarios de barras sólidas y tubos circulares cuando se conocen los esfuerzos permisibles y las razones de torsión permisibles. También ilustra el hecho que los tubos circulares utilizan el material de manera más eficiente que las barras sólidas. www.FreeLibros.com 236    CapÍtulo 3 Torsión Ejemplo 3.3 Un eje hueco y uno sólido construidos con el mismo material tienen la misma longitud y radios exteriores R (figura 3.13). El radio interior del eje hueco es 0.6R. (a) Suponiendo que los dos ejes se someten al mismo par de torsión, compare sus esfuerzos cortantes, ángulos de torsión y pesos. (b) Determine las razones entre resistencia y peso de los ejes. R R 0.6R Figura 3.13 Ejemplo 3.3. Comparación de un eje hueco y uno sólido. (a) (b) Solución (a) Comparación de los esfuerzos cortantes. Los esfuerzos cortantes máximos, dados por la fórmula de la torsión (ecuación 3.11), son proporcionales a 1/IP ya que los pares de torsión y los radios son los mismos. Para el eje hueco, obtenemos pR4 2 IP p(0.6R)4 2 0.4352pR4 y para el eje sólido, IP pR4 2 0.5pR4 Por tanto, la razón b1 entre el esfuerzo cortante máximo en el eje hueco y en el eje sólido es b1 tH tS 0.5pR 4 0.4352pR 4 1.15 donde los subíndices H y S se refieren al eje hueco y al sólido, respectivamente. Comparación de los ángulos de torsión. Los ángulos de torsión (ecuación 3.15) también son proporcionales a 1/IP, debido a que los pares de torsión T, las longitudes L y los módulos de elasticidad G son los mismos para los dos ejes. Por tanto, su razón es la misma que para los esfuerzos cortantes: b2 fH fS 0.5pR 4 0. 435 2pR 4 1.15 secCiÓn 3.3 Barras circulares de materiales linealmente elásticos    237 Comparación de los pesos. Los pesos de los ejes son proporcionales a las áreas de sus secciones transversales, en consecuencia, el peso del eje sólido es proporcional a πR2 y el peso del eje hueco es proporcional a p R2 p (0.6R)2 0.64p R 2 Por tanto, la razón entre peso del eje hueco y el peso del eje sólido es WH WS b3 0.64p R 2 p R2 0.64 De las razones anteriores observamos de nuevo la ventaja inherente de los ejes huecos. En este ejemplo el eje hueco tiene un esfuerzo 15 por ciento mayor y un ángulo de rotación 15 por ciento mayor que el eje sólido pero 36 por ciento menos peso. (b) Razones entre resistencia y peso. Algunas veces la eficiencia relativa de una estructura se mide por su razón entre resistencia y peso, que para una barra en torsión se define como el par de torsión permisible dividido entre el peso. El par de torsión permisible para el eje hueco de la figura 3.13a (de la fórmula de la torsión) es tmáx(0.4352pR 4) R tmáxIP R TH 0.4352pR3tmáx y para el eje sólido es tmáxIP R TS tmáx(0.5pR 4) R 0.5pR3tmáx Los pesos de los ejes son iguales a las áreas de sus secciones transversales multiplicadas por su longitud L y por el peso especifico g del material: WH 0.64pR2Lg WS pR2Lg Entonces, las razones entre resistencia y peso, SH y SS para las barras hueca y sólida, respectivamente, son SH TH WH 0.68 tmáxR gL SS TS WS 0.5 tmáxR gL En este ejemplo la razón entre resistencia y peso del eje hueco es 36 por ciento mayor que la razón entre resistencia y peso del eje sólido, demostrando una vez más la eficiencia relativa de los ejes huecos. Para un eje más esbelto, el porcentaje aumentará; para un eje más robusto, disminuirá. www.FreeLibros.com 238    CapÍtulo 3 Torsión 3.4 TORSIÓN NO UNIFORME T1 T2 A T3 B T4 C LAB D LBC LCD (a) T2 T1 T3 TCD A B C (b) T2 T1 TBC A B (c) Como se explicó en la sección 3.2, torsión pura se refiere a la torsión de una barra prismática sometida a pares de torsión que actúan sólo en sus extremos. Torsión no uniforme difiere de la torsión pura en que no se requiere que la barra sea prismática y los pares de torsión aplicados pueden actuar en cualquier parte a lo largo del eje de la barra. Las barras en torsión no uniforme se pueden analizar aplicando las fórmulas de torsión pura a segmentos finitos de la barra y luego se suman los resultados, o se aplican las fórmulas a elementos diferenciales de la barra y luego se integran. Para ilustrar estos procedimientos, consideraremos tres casos de torsión no uniforme. Otros casos se pueden manejar mediante técnicas similares a las que aquí se describirán. Caso 1. Barra constituida de segmentos prismáticos con par de torsión constante en cada segmento (figura 3.14). La barra que se muestra en la parte (a) de la figura tiene dos diámetros diferentes y está sometida a pares de torsión que actúan en los puntos A, B, C y D. En consecuencia, dividimos la barra en segmentos, de tal manera que cada uno sea prismático y esté sometido a un par de torsión constante. En este ejemplo hay tres segmentos, AB, BC y CD. Cada segmento está en torsión pura, y por tanto, se pueden aplicar todas las fórmulas deducidas en la sección anterior a cada segmento por separado. El primer paso en el análisis es determinar la magnitud y el sentido del par de torsión interno en cada segmento. Es usual que los pares de torsión se determinen por inspección, pero si es necesario se pueden encontrar al cortar secciones a través de la barra, trazar diagramas de cuerpo libre y resolver ecuaciones de equilibrio. Este proceso se ilustra en las partes (b), (c) y (d) de la figura. El primer corte se hace en cualquier parte del segmento CD, con lo cual se expone el par de torsión interno TCD. Del diagrama de cuerpo libre (figura 3.14b), observamos que TCD es igual a –T1 – T2 + T3. Del siguiente diagrama vemos que TBC es igual a –T1 – T2 y del último tenemos que TAB es igual a –T1. Por tanto, TCD T1 T2 T3 TBC T1 T2 TAB T1 (a,b,c) Cada uno de estos pares de torsión es constante en toda la longitud de su segmento. TAB Al determinar los esfuerzos cortantes en cada segmento, sólo necesitamos las magnitudes de estos pares de torsión internos, ya que las direccioA nes de los esfuerzos no son de interés. Sin embargo, al obtener el ángulo (d) de torsión para toda la barra, necesitamos conocer la dirección o sentido de la torsión en cada segmento a fin de combinar los ángulos de torsión de maFIG. 3-14 3.14 Barra en torsión no uniforme Figura nera correcta. Por tanto, es necesario establecer una convención de signos (caso 1). para los pares de torsión internos. Una regla conveniente en muchos casos es la siguiente: un par de torsión es positivo cuando su vector apunta en dirección contraria a la sección cortada y negativo cuando su vector apunta hacia la sección. De esta manera, todos los pares de torsión internos que se muestran en la figuras 3.14b, c y d están representados con sus sentidos positivos. Si el par de torsión calculado (con la ecuación a, b o c) resulta tener un signo positivo, significa que actúa en el sentido supuesto; si el par de torsión tiene un signo negativo, actúa en el sentido opuesto. El esfuerzo cortante máximo en cada segmento de la barra se obtiene fácilmente a partir de la fórmula de la torsión (ecuación 3.11) al emplear las T1 secCiÓn 3.4 Torsión no uniforme    239 dimensiones apropiadas y el par de torsión adecuado. Por ejemplo, el esfuerzo máximo en el segmento BC (figura 3.14) se determina al utilizar el diámetro de ese segmento y el par de torsión TBC que se calcula mediante la ecuación (b). El esfuerzo máximo en toda la barra es el esfuerzo mayor de entre los esfuerzos calculados para cada uno de los tres segmentos. El ángulo de torsión para cada segmento de determina con la ecuación (3.15), al emplear de nuevo las dimensiones adecuadas y el par de torsión apropiado. Luego se obtiene el ángulo de torsión total de un extremo de la barra con respecto al otro mediante la siguiente suma algebraica: f ... f2 f1 fn (3.19) donde f1 es el ángulo de torsión para el segmento 1, f2 es el ángulo de torsión para el segmento 2, etcétera, y n es el número total de segmentos. Puesto que cada ángulo de torsión se determina con la ecuación (3.15), podemos escribir la fórmula general n n f fi 1 i T T B A dx x L Figura 3.15 Barra en torsión no uniforme (caso 2). 1 i Ti Li Gi(IP)i (3.20) en donde el subíndice i es un índice de numeración para los diversos segmentos. Para el segmento i de la barra, Ti es el par de torsión interno (encontrado del equilibrio como se ilustra en la figura 3.14), Li es la longitud, Gi es el módulo de cortante e (IP)i es el momento polar de inercia. Algunos de los pares de torsión (y los ángulos de torsión correspondientes) pueden ser positivos y algunos negativos. Al sumar de manera algebraica los ángulos de torsión de todos los segmentos se obtiene el ángulo de torsión f total entre los extremos de la barra. El proceso se ilustra más adelante en el ejemplo 3.4. Caso 2. Barra con secciones transversales que varían continuamente y par de torsión constante (figura 3.15). Cuando el par de torsión es constante, el esfuerzo cortante máximo en una barra sólida siempre ocurre en la sección transversal que tiene el diámetro menor, como se muestra en la figura (3.12). Además, es usual que esta observación sea válida para barras tubulares; si este es el caso, sólo necesitamos investigar la sección transversal más pequeña a fin de calcular el esfuerzo cortante máximo. De lo contrario, puede ser necesario evaluar los esfuerzos en más de una ubicación con objeto de determinar el esfuerzo máximo. Para encontrar el ángulo de torsión, consideramos un elemento con longitud dx a una distancia x desde un extremo de la barra (figura 3.15). El ángulo diferencial de rotación df para este elemento es df T dx GIP(x) (d) en donde IP(x) es el momento polar de inercia de la sección transversal a una distancia x desde el extremo. El ángulo de torsión para toda la barra es la suma de los ángulos diferenciales de rotación: L L df f 0 www.FreeLibros.com 0 T dx GIP(x) (3.21) 240    CapÍtulo 3 Torsión t TA TB B A x dx L (a) t TA A T(x) x (b) Figura 3.16 Barra en torsión no uniforme (caso 3). Si la expresión para el momento polar de inercia IP(x) no es demasiado compleja, esta integral se puede evaluar de manera analítica, como en el ejemplo 3.5. En otros casos, se debe evaluar de manera numérica. Caso 3. Barra con secciones transversales continuamente variables y par de torsión continuamente variable (figura 3.16). La barra que se muestra en la parte (a) de la figura está sometida a un par de torsión distribuido con intensidad t por unidad de distancia a lo largo del eje de la barra. Como resultado, el par de torsión interno T(x) varía de manera continua a lo largo del eje (figura 3.16b). El par de torsión interno se puede evaluar con ayuda del diagrama de cuerpo libre y una ecuación de equilibrio. Como en el caso 2, el momento polar de inercia IP(x) se puede evaluar con las dimensiones de la sección transversal de la barra. Conociendo el par de torsión y el momento polar de inercia como funciones de x, se puede emplear la fórmula de la torsión para determinar cómo varía el esfuerzo cortante a lo largo del eje de la barra. Luego se puede identificar la sección transversal de esfuerzo cortante máximo y determinar el esfuerzo cortante máximo. El ángulo de torsión de la barra de la figura 3.16a se puede encontrar de la misma manera que se describió para el caso 2. La única diferencia es que el par de torsión, al igual que el momento polar de inercia, también varía a lo largo del eje. En consecuencia, la ecuación para el ángulo de torsión se convierte en L L df f 0 0 T(x ) dx GIP(x) (3.22) Esta integral se puede evaluar de forma analítica en algunos casos, pero es usual que se deba evaluar de manera numérica. Limitaciones Los análisis descritos en esta sección son válidos para barras hechas de materiales linealmente elásticos con secciones transversales circulares (sólidas o huecas). Además, los esfuerzos determinados con la fórmula de la torsión son válidos en regiones de la barra alejadas de concentraciones de esfuerzos, que son esfuerzos altamente localizados que ocurren cuando el diámetro cambia abruptamente y cuando se aplican pares de torsión concentrados (consulte la sección 3.11). Sin embargo, las concentraciones de esfuerzos tienen relativamente poco efecto sobre el ángulo de torsión y, por tanto, en general las ecuaciones para f son válidas. Por último, debemos tener en cuenta que la fórmula de la torsión y las fórmulas para los ángulos de torsión se dedujeron para barras prismáticas. Podemos aplicarlas con seguridad a barras con secciones transversales variables sólo cuando los cambios de diámetro sean pequeños y graduales. Como regla básica, las fórmulas dadas aquí son satisfactorias siempre que el ángulo de ahusamiento (el ángulo entre los lados de la barra) sea menor que 10°. secCiÓn 3.4 Torsión no uniforme    241 Ejemplo 3.4 Un eje sólido de acero ABCDE (figura 3.17) con diámetro d = 30 mm gira libremente sobre cojinetes en los puntos A y E. El eje es impulsado por un engrane en C que aplica un par de torsión T2 = 450 N∙m en el sentido que se muestra en la figura. Los engranes B y D son impulsados por el eje y tienen pares de torsión resistentes T1 = 275 N∙m y T3 = 175 N∙m, respectivamente, que actúan en el sentido opuesto al par de torsión T2. Los segmentos BC y CD tienen longitudes LBC = 500 mm y LCD = 400 mm, respectivamente, y el módulo de cortante es G = 80 GPa. Determine el esfuerzo cortante máximo en cada parte del eje y el ángulo de torsión entre los engranes B y D. T1 T2 T3 d A E B Figura 3.17 Ejemplo 3.4. Eje de acero en torsión. C LBC D LCD Solución Cada segmento de la barra es prismático y está sometido a un par de torsión constante (caso 1). Por tanto, el primer paso en el análisis es determinar los pares de torsión que actúan en los segmentos, después de lo cual podemos determinar los esfuerzos cortantes y los ángulos de torsión. Pares de torsión que actúan en los segmentos. Los pares de torsión en los segmentos extremos (AB y DE) son cero puesto que no estamos tomando en cuenta ninguna fricción en los cojinetes en los soportes. Por tanto, los segmentos extremos no tienen esfuerzos ni ángulos de torsión. El par de torsión TCD en el segmento CD se determina cortando la sección a través del segmento y elaborando un diagrama de cuerpo libre, como en la figura 3.18a. El par de torsión se supone positivo y, por tanto, su vector apunta alejándose de la sección cortada. Del equilibrio del cuerpo libre, obtenemos TCD T2 T1 450 N m 275 N m 175 N m El signo positivo en el resultado significa que TCD actúa en el sentido positivo supuesto. T2 T1 d TCD B Figura 3.18 Diagramas de cuerpo libre del ejemplo 3.4. T1 TBC C LBC B (a) (b) continúa www.FreeLibros.com 242    CapÍtulo 3 Torsión El par de torsión en el segmento BC se determina de una manera similar, utilizando el diagrama de cuerpo libre de la figura 3.18b: TBC T1 275 N m Observe que este par de torsión tiene un signo negativo, lo que significa que su sentido es opuesto al que se muestra en la figura. Esfuerzos cortantes. Los esfuerzos cortantes máximos en los segmentos BC y CD se encuentran con la forma modificada de la fórmula de la torsión (ecuación 3.12); por tanto tBC 16TBC pd 3 16(275 N m) p (30 mm)3 51.9 MPa tCD 16TCD pd 3 16(175 N m) p (30 mm)3 33.0 MPa Como las direcciones de los esfuerzos cortantes no son de interés en este ejemplo, en los cálculos anteriores sólo se emplean los valores absolutos de los pares de torsión Ángulos de torsión. El ángulo de torsión fBD entre los engranes B y D es la suma algebraica de los ángulos de torsión para los segmentos intermedios de la barra, según la ecuación (3.19); entonces, fBD fBC fCD Al calcular los ángulos de torsión individuales, necesitamos el momento de inercia de la sección transversal: IP p d4 32 p(30 mm)4 32 79,520 mm4 Ahora podemos determinar los ángulos de torsión como se muestra: f BC fCD TBC LBC GI P TCD LCD GIP ( 275 N m)(500 mm) (80 GPa)(79,520 mm4) (175 N m)(400 mm) (80 GPa)(79,520 mm4) 0.0216 rad 0.0110 rad Observe que en este ejemplo los ángulos de torsión tienen sentidos opuestos. Sumando algebraicamente, obtenemos el ángulo de torsión total: fBD fBC fCD 0.0216 0.0110 0.0106 rad 0.61° El signo negativo significa que el engrane D gira en el sentido de las manecillas del reloj (cuando se ve desde el extremo derecho del eje) con respecto al engrane B. Sin embargo, para la mayor parte de los fines sólo se necesita el valor absoluto del ángulo de torsión y, por tanto, es suficiente decir que el ángulo de torsión entre los engranes B y D es 0.61°. El ángulo de torsión entre los dos extremos de un eje en ocasiones se llama enrollado. Notas: los procedimientos ilustrados en este ejemplo se pueden utilizar para ejes con segmentos de diferentes diámetros o de materiales distintos, siempre que las dimensiones y las propiedades permanezcan constantes en cada segmento. En este ejemplo y en los problemas al final del capítulo sólo se consideran los efectos de la torsión. Los efectos de la flexión se consideran más adelante, al inicio del capítulo 4. secCiÓn 3.4 Torsión no uniforme    243 Ejemplo 3.5 Una barra ahusada AB con sección transversal circular se somete a pares de torsión T aplicados en los extremos (figura 3.19). El diámetro de la barra varía linealmente de dA en el extremo izquierdo a dB en el extremo derecho, suponiendo que dB es mayor que dA. (a) Determine el esfuerzo cortante máximo en la barra. (b) Deduzca una fórmula para el ángulo de torsión de la barra. Solución (a) Esfuerzos cortantes. Como el esfuerzo cortante máximo en cualquier sección transversal de una barra sólida está dado por la fórmula modificada de la torsión (ecuación 3.12), sabemos de inmediato que el esfuerzo cortante máximo ocurre en la sección transversal que tenga el diámetro menor, es decir, en el extremo A (consulte la figura 3.19): 16T pd 3A tmáx (b) Ángulo de torsión. Como el par de torsión es constante y el momento polar de inercia varía continuamente con la distancia x desde el extremo A (caso 2), utilizaremos la ecuación (3.21) para determinar el ángulo de torsión. Iniciamos formulando una expresión para el diámetro d a una distancia x desde el extremo A: d dA dB dA L x (3.23) en donde L es la longitud de la barra. Ahora podemos escribir una expresión para el momento polar de inercia: pd 4 32 IP(x) dB p dA 32 dA L x 4 (3.24) Al sustituir esta expresión en la ecuación (3.21), obtenemos una fórmula para el ángulo de torsión: L f 0 T 32T pG T dx GIP(x) L 0 dA dx dB dA x L 4 (3.25) B A T x dx L Figura 3.19 Ejemplo 3.5. Barra ahusada en torsión. dA dB continúa www.FreeLibros.com 244    CapÍtulo 3 Torsión Para evaluar la integral en esta ecuación, observamos que es de la forma (a dx bx)4 en donde a dA b dA dB (e,f) L Con ayuda de una tabla de integrales (consulte el apéndice C), obtenemos (a dx bx)4 1 bx)3 3b(a Esta integral se evalúa sustituyendo x con los límites 0 y L y con los valores de a y b de las expresiones en las ecuaciones (e) y (f). Por tanto, la integral en la ecuación (3.25) es igual a L 3(dB 1 dA) d 3A 1 d 3B (g) Al reemplazar la integral en la ecuación (3.25) con esta expresión, obtenemos 1 32TL 3pG(dB dA) d 3A f 1 d 3B (3.26)   que es la ecuación deseada para el ángulo de torsión de la barra ahusada. Una forma conveniente de escribir la ecuación anterior es f TL b2 b G(IP)A 3b 3 b dB dA 1 (3.27) en donde (IP)A p d 4A 32 (3.28) La cantidad b es la razón de los diámetros extremos e (IP)A es el momento polar de inercia en el extremo A. En el caso especial de una barra prismática, tenemos b = 1 y la ecuación (3.27) da f = TL/G(IP)A, como se esperaba. Para valores de b mayores que 1, el ángulo de rotación disminuye debido a que el diámetro mayor en el extremo B produce un aumento en la rigidez torsional (en comparación con una barra prismática). secCiÓn 3.5 Esfuerzos y deformaciones unitarias en cortante puro    245 3.5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES UNITARIAS EN CORTANTE PURO Cuando una barra circular, sea sólida o hueca, se somete a torsión, actúan esfuerzos cortantes sobre las secciones transversales y sobre planos longitudinales, como se ilustró previamente en la figura 3.7. Ahora examinaremos con más detalle los esfuerzos y las deformaciones unitarias producidas durante la torsión de una barra. Iniciamos considerando un elemento de esfuerzo abcd cortado entre dos secciones transversales de una barra en torsión (figuras 3.20a y b). Este elemento está en un estado de cortante puro, debido a que los únicos esfuerzos que actúan sobre él son esfuerzos cortantes t en los cuatro lados (consulte el análisis sobre esfuerzos cortantes en la sección 1.6). Las direcciones de estos esfuerzos cortantes dependen de los sentidos de los pares de torsión aplicados T. En este análisis suponemos que los pares de torsión giran el extremo derecho de la barra en el sentido de las manecillas del reloj cuando se ve desde la derecha (figura 3.20a); de aquí que los esfuerzos cortantes que actúan sobre el elemento tienen las direcciones que se muestran en la figura. Este mismo estado de esfuerzo existe en un elemento similar cortado desde el interior de la barra, excepto que las magnitudes de los esfuerzos cortantes son menores debido a que la distancia radial hasta el elemento es menor. Los sentidos de los pares de torsión que se muestran en la figura 3.20a están elegidos intencionalmente de modo que los esfuerzos cortantes resultantes (figura 3.20a) sean positivos de acuerdo con la convención de signos para esfuerzos cortantes descrita previamente en la sección 1.6. Esta convención de signos se repite a continuación: Un esfuerzo cortante que actúa sobre una cara positiva de un elemento es positivo si actúa en el sentido positivo de uno de los ejes coordenados y negativo si actúa en el sentido negativo de un eje. Y lo opuesto, un esfuerzo que actúa en una cara negativa de un elemento es positivo si actúa en la dirección negativa de uno de los ejes coordenados y negativo si actúa en la dirección positiva de un eje. Al aplicar esta convención de signos a los esfuerzos cortantes que actúan sobre el elemento de esfuerzo de la figura 3.20b observamos que los cuatro esfuerzos cortantes son positivos. Por ejemplo, el esfuerzo en la cara derecha (que es positiva debido a que el eje x está dirigido hacia la derecha) actúa en la dirección positiva del eje y; por tanto, es un esfuerzo cortante positivo. Además, el esfuerzo en la cara izquierda (que es negativa) actúa en la dirección negativa del eje y; por tanto, es un esfuerzo cortante positivo. Comentarios análogos se aplican a los esfuerzos restantes. t a T Figura 3.20 Esfuerzos que actúan sobre un elemento de esfuerzo cortado de una barra en torsión (cortante puro). T a b d c t y b O d t (a) www.FreeLibros.com (b) x c t 246    CapÍtulo 3 Torsión Esfuerzos sobre planos inclinados Ahora ya podemos determinar los esfuerzos que actúan sobre planos inclinados cortados a través del elemento de esfuerzo en cortante puro. Seguiremos el mismo enfoque que se empleó en la sección 2.6 para analizar los esfuerzos en esfuerzo uniaxial. En la figura 3.21a se muestra una vista bidimensional del elemento de esfuerzo. Como ya se explicó en la sección 2.6, usualmente trazamos una vista bidimensional por conveniencia, pero siempre debemos estar conscientes de que el elemento tiene una tercera dimensión (espesor) perpendicu­ lar al plano de la figura. Ahora cortamos un elemento de esfuerzo con forma de cuña (o “triangular”) con una cara orientada a un ángulo u con respecto al eje x (figura 3.21b). Los esfuerzos normales su y los esfuerzos cortantes tu actúan sobre esta cara inclinada y en la figura se muestran en sus direcciones positivas. La convención de signos para los esfuerzos su y tu se describió con anterioridad en la sección 2.6 y se repite a continuación: Los esfuerzos normales su son positivos en tensión y los esfuerzos cortantes tu son positivos cuando tienden a producir rotación del material en sentido contrario al de las manecillas del reloj. (Observe que esta convención de signos para el esfuerzo cortante tu que actúa sobre un plano inclinado es diferente de la convención de signos para los esfuerzos cortantes ordinarios t que actúan sobre los lados de elementos rectangulares orientados con respecto a un conjunto de ejes xy). Las caras horizontal y vertical del elemento triangular (figura 3.21b) tienen esfuerzos cortantes positivos t que actúan sobre ellas y las caras anterior y posterior del elemento están libres de esfuerzo. Por tanto, todos los esfuerzos que actúan sobre el elemento son visibles en esta figura. Ahora se pueden determinar los esfuerzos su y tu a partir del equilibrio del elemento triangular. Las fuerzas que actúan sobre sus tres caras se obtienen multiplicando los esfuerzos por las áreas sobre las que actúan. Por ejemplo, la fuerza sobre la cara izquierda es igual a tA0, donde A0 es el área de la cara vertical. Esta fuerza actúa en la dirección y negativa y se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la figura 3.21c. Puesto que el espesor del elemento en la dirección z es constante, observamos que el área de la cara inferior es A0 tan u y el área de la cara inclinada es A0 sec u. Al multiplicar t a Figura 3.21 Análisis de esfuerzos sobre planos inclinados: (a) elemento en t cortante puro, (b) esfuerzos que actúan sobre un elemento triangular de esfuerzo y (c) fuerzas que actúan sobre el elemento triangular de esfuerzo (diagrama de cuerpo libre). b y O x d su tu t u t t A0 c t 90° u t A0 tan u t (a) tu A0 sec u su A0 sec u u (b) (c) secCiÓn 3.5 Esfuerzos y deformaciones unitarias en cortante puro    247 los esfuerzos que actúan sobre estas caras por las áreas correspondientes nos permite obtener las fuerzas restantes y de allí completar el diagrama de cuerpo libre (figura 3.21c). Ahora estamos en condiciones de escribir dos ecuaciones de equilibrio para el elemento triangular, una en la dirección de su y la otra en la dirección de tu. Al escribir estas ecuaciones, las fuerzas que actúan sobre las caras izquierda e inferior se deben descomponer en componentes en las direcciones de su y tu. De esta manera, la primera ecuación, obtenida sumando fuerzas en la dirección de su, es A00 sec sec uu suu A s tA00 sen sen uu tA tA00 tan tan uu cos cos uu tA o 2t sen sen uu cos cos uu 2t suu s (3.29a) La segunda ecuación se obtiene sumando fuerzas en la dirección de tu: secuu tA tA0cos cosuu tA tA0tan tanuusen senuu ttuuAA00sec 0 0 ooo (cos22uu sen sen22uu)) ttuu tt(cos (3.29b) Estas ecuaciones se pueden expresar en formas más simples introduciendo las identidades trigonométricas siguientes (consulte el apéndice C): sen 2u 2 sen u cos u cos2 u cos 2u sen2 u Entonces las ecuaciones para su y tu se convierten en su t sen 2u t cos 2u tu (3.30a,b) Las ecuaciones (3.30a y b) dan los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre cualquier plano inclinado en términos de los esfuerzos cortantes t que actúan sobre los planos x y y (figura 3.21a) y del ángulo u que define la orientación del plano inclinado (figura 3.21b). La manera en que varían los esfuerzos su y tu con la orientación del plano inclinado se muestra en la figura 3.22, que es una gráfica de las ecuaciones (3.30a y b), en donde observamos que para u = 0, que es la cara derecha del elemento de esfuerzo en la figura 3.21a, la gráfica da su = 0 y tu = t. Este último resultado era de esperarse, porque el esfuerzo cortante su o tu t tu –90° Figura 3.22 Gráfica de esfuerzos normales su y esfuerzos cortantes tu contra el ángulo u del plano inclinado. – 45° su www.FreeLibros.com tu 0 –t 45° su u 90° 248    CapÍtulo 3 Torsión t actúa en sentido contrario al de las manecillas del reloj contra el elemento y, por tanto, produce un esfuerzo cortante positivo tu. Para la cara superior del elemento (u = 90°), obtenemos su = 0 y tu = – t. El signo menos de tu significa que actúa en el sentido de las manecillas del reloj contra el elemento, es decir, hacia la derecha sobre la cara ab (figura 3.21a), lo es consistente con la dirección del esfuerzo cortante t. Observe que los esfuerzos cortantes numéricamente mayores ocurren en los planos para los que u = 0 y 90°, así como sobre las caras opuestas (u = 180° y 270°). De la gráfica observamos que el esfuerzo normal su alcanza un valor máximo en u = 45°. En ese ángulo el esfuerzo es positivo (tensión) y numéricamente igual al esfuerzo cortante t. De manera similar, su tiene su valor mínimo (que es de compresión) en u = – 45°. En los dos ángulos de 45°, el esfuerzo cortante tu es igual a cero. Estas condiciones se representan en la figura 3.23 donde se muestran elementos de esfuerzos orientados en u = 0 y u = 45°. El elemento a 45° está sometido a esfuerzos de tensión y compresión iguales en direcciones perpendiculares, sin esfuerzos cortantes. Observe que los esfuerzos normales que actúan sobre el elemento a 45° (figura 3.23b) corresponden a un elemento sometido a esfuerzos cortantes t que actúan en la dirección que se muestra en la figura 3.23a. Si se invierte la dirección de los esfuerzos cortantes que actúan sobre el elemento de la figura 3.23a, los esfuerzos normales que actúan sobre los planos a 45° también cambiarán direcciones. Si un elemento de esfuerzo está orientado a un ángulo distinto a 45°, smín = – t smáx = t t y O 45° y t O x x t Figura 3.23 Elementos de esfuerzo orientados en u = 0 y u = 45° para cortante puro. t s mín = – t smáx = t (a) (b) los esfuerzos normal y cortante actuarán sobre las caras inclinadas (consulte las ecuaciones 3.30a y b y la figura 3.22). Los elementos de esfuerzo sujetos a estas condiciones más generales se analizan con detalle en el capítulo 7. Las ecuaciones deducidas en esta sección son válidas para un elemento de esfuerzo en cortante puro sin importar si el elemento se corta de una barra en torsión o de algún otro elemento estructural. Además, como las ecuaciones (3.30) se dedujeron sólo a partir del equilibrio, son válidas para cualquier material, ya sea que se comporte o no de una manera linealmente elástica. La existencia de esfuerzos de tensión máximos sobre planos a 45° con respecto al eje x (figura 3.23b) explica por qué las barras en torsión que están hechas de materiales frágiles y débiles en tensión fallan agrietándose a lo largo de una superficie helicoidal a 45° (figura 3.24). Como se mencionó en la sección 3.3, este tipo de falla se demuestra fácilmente torciendo una secCiÓn 3.5 Esfuerzos y deformaciones unitarias en cortante puro    249 Grieta a 45° T T Figura 3.24 Falla por torsión de un material frágil por agrietamiento de tensión a lo largo de una superficie helicoidal a 45°. pieza de tiza para pizarrón. Deformaciones unitarias en cortante puro Ahora analizamos las deformaciones unitarias en un elemento en cortante puro. Por ejemplo, considere el elemento en cortante puro que se muestra en la figura 3.23a. Las deformaciones unitarias por cortante correspondientes se muestran en la figura 3.25a, donde están muy exageradas. La deformación unitaria cortante g es el cambio en ángulo entre dos líneas que originalmente eran perpendiculares entre sí, como se analizó con anterioridad en la sección 1.6. Por tanto, la disminución en el ángulo en la esquina inferior izquierda del elemento es la deformación unitaria por cortante g (medida en radianes). Este mismo cambio de ángulo ocurre en la esquina superior derecha, donde el ángulo disminuye y en las otras dos esquinas, donde los ángulos aumentan. Sin embargo, las longitudes de los lados del elemento, incluyendo el espesor perpendicular al plano de la hoja, no cambian cuando ocurren estas deformaciones unitarias por cortante. Por tanto, el elemento cambia su forma de un paralelepípedo rectangular (figura 3.23a) a un paralelepípedo oblícuo (figura 3.25a). Este cambio de forma se llama distorsión cortante. Si el material es linealmente elástico, la deformación unitaria por cortante para el elemento orientado en u = 0 (figura 3.25a) está relacionada con el esfuerzo cortante mediante la ley de Hooke en cortante: g t G (3.31) donde, como es usual, el símbolo G representa el módulo de elasticidad en cortante. A continuación considere las deformaciones unitarias que ocurren en smáx = t smín = – t 45° t t Figura 3.25 Deformaciones unitarias en cortante puro: (a) distorsión cortante de un elemento orientado en u = 0 y (b) distorsión de un elemento orientado en u = 45°. t p 2 g smín = – t smáx = t t (a) www.FreeLibros.com (b) 250    CapÍtulo 3 Torsión un elemento orientado en u = 45° (figura 3.25b). Los esfuerzos de tensión que actúan a 45° tienden a alargar el elemento en esa dirección. Debido al efecto de Poisson, también tienden a acortarlo en la dirección perpendicular (donde u = 135° o – 45°). De manera similar, los esfuerzos de compresión que actúan a 135° tienden a acortar el elemento en esa dirección y a alargarlo en la dirección a 45°. Estos cambios dimensionales se muestran en la figura 3.25b, donde las líneas discontinuas muestran el elemento deformado. Como no hay distorsiones cortantes, el elemento permanece siendo un paralelepípedo rectangular no obstante que sus dimensiones han cambiado. Si el material es linealmente elástico y obedece la ley de Hooke, podemos obtener una ecuación que relacione las deformaciones unitarias con el esfuerzo para el elemento en u = 45° (figura 3.25b). El esfuerzo de tensión smáx que actúa en u = 45° produce una deformación unitaria normal en esa dirección igual a smáx/E. Como smáx = t, también podemos expresar esta deformación unitaria como t/E. El esfuerzo smáx también produce una deformación unitaria normal en la dirección perpendicular igual a – nt/E, donde n es la relación de Poisson. De manera similar, el esfuerzo smín = –t (en u = 135°) produce una deformación unitaria igual a – t/E en esa dirección y una deformación unitaria positiva en la dirección perpendicular (la dirección a 45°) igual a nt/E. Por tanto, la deformación unitaria normal en la dirección a 45° es e máx t E nt E t (1 E n) (3.32) que es positiva, representando alargamiento. La deformación unitaria en la dirección perpendicular es una deformación unitaria negativa de la misma magnitud. En otras palabras, el cortante puro produce alargamiento en la dirección a 45° y acortamiento en la dirección a 135°. Estas deformaciones unitarias son consistentes con la forma del elemento deformado de la figura 3.25a, debido a que la diagonal a 45° se ha alargado y la diagonal a 135° se ha acortado. En la siguiente sección emplearemos la geometría del elemento deformado para relacionar la deformación unitaria por cortante g (figura 3.25a) con la deformación unitaria normal máx en la dirección a 45° (figura 3.25b). Al hacerlo deduciremos la siguiente relación: emáx g 2 (3.33) Esta ecuación, junto con la ecuación (3.31), se pueden emplear para calcular las deformaciones unitarias por cortante máximas y las deformaciones unitarias normales máximas en torsión pura cuando se conoce el esfuerzo cortante t. secCiÓn 3.5 Esfuerzos y deformaciones unitarias en cortante puro    251 Ejemplo 3.6 T = 4.0 kN⋅m T Un tubo circular con diámetro exterior de 80 mm y diámetro interior de 60 mm se somete a un par de torsión T = 4.0 kN∙m (figura 3.26). El tubo está hecho de una aleación de aluminio 7075-T6. (a) Determine los esfuerzos máximos de cortante, tensión y compresión en el tubo y muéstrelos en diagramas de elementos de esfuerzo apropiadamente orien­ tados. (b) Determine las deformaciones unitarias máximas correspondientes en el tubo y muéstrelas en diagramas de los elementos deformados. Solución (a) Esfuerzos máximos. Los valores máximos de los tres esfuerzos (cortante, de tensión y de compresión) son numéricamente iguales, aunque actúan sobre planos diferentes. Sus magnitudes se determinan con la fórmula de la torsión: 60 mm 80 mm tmáx Figura 3.26 Ejemplo 3.6. Tubo circular en torsión. (4000 N m)(0.040 m) p (0.080 m)4 (0.060 m)4 32 Tr IP 58.2 MPa Los esfuerzos cortantes máximos actúan sobre planos transversales y longitudinales, como se muestra en la figura 3.27a, donde el eje x es paralelo al eje longitudinal del tubo. Los esfuerzos máximos de tensión y compresión son 58.2 MPa st 58.2 MPa sc Estos esfuerzos actúan sobre planos a 45° con respecto al eje (figura 3.27b). (b) Deformaciones unitarias máximas. La deformación unitaria máxima en el tubo se obtiene con la ecuación (3.31). El módulo de elasticidad cortante se obtiene de la tabla H-2 del apéndice H, que es G = 27 GPa. Por tanto, la deformación unitaria máxima es tmáx G gmáx 58.2 MPa 27 GPa 0.0022 rad El elemento deformado se muestra mediante las líneas discontinuas en la figu­ra 3.27c. La magnitud de las deformaciones unitarias normales (de la ecuación 3.33) es emáx gmáx 2 0.0011 Por tanto, las deformaciones unitarias máximas en tensión y compresión son et 0.0011 ec 0.0011 El elemento deformado se muestra mediante las líneas discontinuas en la figu­ra 3.27d para un elemento con lados de dimensiones unitarias. continúa www.FreeLibros.com 252    CapÍtulo 3 Torsión sc = 58.2 MPa 58.2 MPa y O x 45° y t máx = 58.2 MPa O x st = 58.2 MPa (a) Figura 3.27 Elementos de esfuerzo y deformación unitaria para el tubo del ejemplo 3.6: (a) esfuerzos cortantes máximos, (b) esfuerzos máximos de tensión y compresión, (c) deformaciones unitarias máximas y (d) deformaciones unitarias máximas de tensión y compresión. (b) 45° g máx = 0.0022 rad e t = 0.0011 (c) 1 1 e c = 0.0011 (d) 3.6 RELACIÓN ENTRE LOS MÓDULOS DE ELASTICIDAD E Y G Es posible obtener una relación importante entre los módulos de elasticidad E y G a partir de las ecuaciones deducidas en la sección anterior. Para este fin, considere el elemento de esfuerzo abcd que se muestra en la figura 3.28a. La cara anterior se supone que es cuadrada, la longitud de cada lado se denota con h. Cuando este elemento se somete a cortante puro por esfuerzos t, la cara anterior se distorsiona en un rombo (figura 3.28b) con lados de longitud h y con deformación unitaria por cortante g = t/G. Debido a la distorsión, la diagonal bd se alarga y la diagonal ac se acorta. La longitud Lbd 2 h(1multiplicada emáx ) por el de la diagonal bd es igual a su longitud inicial factor 1 + máx, donde máx es la deformación unitaria normal en la dirección a 45°; por tanto, Lbd 2 h(1 emáx ) (a) Esta longitud se puede relacionar con la deformación unitaria normal g considerando la geometría del elemento deformado. Para obtener las relaciones geométricas requeridas, considere el triángulo abd (figura 3.28c) que representa la mitad de los rombos presentados en la figura 3.28b. El lado bd de este triángulo tiene una longitud Lbd (ecuación a) y los otros lados tienen una longitud h. El ángulo adb del triángulo es igual a la mitad del ángulo adc del rombo o π/4 – g/2. El ángulo abd en el triángulo es el mismo. Por tanto, el ángulo dab del triángulo es igual a π/2 + g. Ahora, empleando la ley de los cosenos (consulte el apéndice C) para el triángulo abd, obtenemos secCiÓn 3.6 Relación entre los módulos de elasticidad E y G    253 t b a p –g –– 2 t Figura 3.28 Geometría de un elemento deformado en cortante puro. c d h p +g a –– 2 h t h d b a c (b) L 2bd h2 b g p – –– –– 4 2 L bd g p – –– d –– 4 2 t (a) h (c) h2 2h2 cos p 2 g Al sustituir Lbd obtenido en la ecuación (a) y simplificando, obtenemos (1 emáx)2 1 cos p 2 g Desarrollando el término en el lado izquierdo y observando que cos(π/2 + g) = – sen g, obtenemos 1 2emáx 1 e 2máx sen g Como máx y g son deformaciones unitarias muy pequeñas, podemos ignorar el término 2máx en comparación con 2máx y remplazar sen g con g. La expresión resultante es emáx g 2 (3.34) que establece la relación ya presentada en la sección 3.5 como la ecuación (3.33). La deformación unitaria por cortante g que aparece en la ecuación (3.34) es igual a t/G según la ley de Hooke (ecuación 3.31) y la deformación unitaria normal máx es igual a t(1 + n)/E de acuerdo con la ecuación (3.32). Al realizar estas dos sustituciones en la ecuación (3.34) se obtiene G E 2(1 n) (3.35) Vemos que E, G y n no son propiedades independientes de un material linealmente elástico y, si dos de ellas se conocen, la tercera se puede calcular a partir de la ecuación (3.35). Algunos valores comunes de E, G y n se presentan en la tabla H.2 del apéndice H. www.FreeLibros.com 254    CapÍtulo 3 Torsión 3.7 TRANSMISIÓN DE POTENCIA POR EJES CIRCULARES El uso más importante de los ejes circulares es transmitir potencia mecánica de un dispositivo o una máquina a otra, como en el caso del eje impulsor de un automóvil, el eje de la hélice de un barco o el eje de una bicicleta. La potencia se transmite mediante el movimiento rotatorio del eje, y la cantidad de potencia transmitida depende de la magnitud del par de torsión y de la velocidad de rotación. Un problema común de diseño es determinar el tamaño necesario de un eje tal que transmita una cantidad especificada de potencia a una velocidad rotacional especificada sin sobrepasar los esfuerzos permisibles para el material. Supongamos que un eje impulsado por un motor (figura 3.29) gira a una velocidad angular v, medida en radianes por segundo (rad/s). El eje transmite un par de torsión T al dispositivo (no se muestra en la figura) que realiza trabajo útil. El par de torsión aplicado por el eje al dispositivo externo tiene el mismo sentido que la velocidad angular v, es decir, su vector apunta hacia la izquierda. Sin embargo, el par de torsión que se muestra en la figura es el par de torsión ejercido sobre el eje por el dispositivo y, por tanto, su vector apunta en la dirección opuesta. En general, el trabajo W realizado por un par de torsión de magnitud constante es igual al producto del par de torsión por el ángulo que gira; es decir, W (3.36) Tc donde c es el ángulo de rotación en radianes. Potencia es la rapidez con que se realiza el trabajo o P dW dt T dc dt (3.37) en donde P es el símbolo para la potencia y t representa el tiempo. La razón de cambio dc/dt del desplazamiento angular c es la velocidad angular v y, por tanto, la ecuación anterior se convierte en P Tv (v rad/s) (3.38) Motor v Figura 3.29 Eje que transmite un par de torsión T constante a una velocidad angular v. T secCiÓn 3.7 Transmisión de potencia por ejes circulares    255 Esta fórmula, que resulta familiar de la física elemental, da la potencia transmitida por un eje rotatorio que transmite un par de torsión constante T. Las unidades que se deben utilizar en la ecuación (3.38) son las siguientes. Si el par de torsión T se expresa en newtons metro, entonces la potencia se expresa en watts (W). Un watt es igual a un newton metro por segundo (o un joule por segundo). Si T se expresa en libras-pie, entonces la potencia se expresa en pies-libra por segundo.* Con frecuencia la velocidad angular se expresa como la frecuencia f de rotación, que es el número de revoluciones por unidad de tiempo. La unidad de la frecuencia es el hertzio (Hz), que es igual a una revolución por segundo (s-1). Como una revolución es igual a 2π radianes, obtenemos v 2p f (v rad/s, f Hz s 1) (3.39) Entonces la expresión para la potencia (ecuación 3.38) se convierte en 2p f T P (f Hz s 1) (3.40) Otra unidad de uso común es el número de revoluciones por minuto (rpm), denotada con la letra n. Por tanto, también tenemos las siguientes relaciones: n 60 f 2p nT 60 (n (3.41) y P rpm) (3.42) En las ecuaciones (3.40) y (3.42), las cantidades P y T tienen las mismas unidades que en la ecuación (3.38); es decir, P tiene unidades de watts si T tiene unidades de newtons metro y P tiene unidades de pies-libra por segundo si T tiene unidades de libras-pie. En la práctica de ingeniería en Estados Unidos, la potencia algunas veces se expresa en caballos de potencia (hp), una unidad igual a 550 ft-lb/s. Por tanto, los caballos de potencia H transmitidos por un eje rotatorio son H 2p nT 60(550) 2pnT 33,000 (n rpm, T lb-ft, H hp)(3.43) Un caballo de potencia es aproximadamente igual a 746 watts. Las ecuaciones anteriores relacionan el par de torsión que actúa en un eje con la potencia transmitida por éste. Al conocer el par de torsión podemos determinar los esfuerzos cortantes, las deformaciones unitarias por cortante, los ángulos de torsión y otras cantidades que se deseen mediante los métodos descritos en las secciones 3.2 a 3.5. Los ejemplos siguientes ilustran algunos de los procedimientos para analizar ejes rotatorios. * Consulte la tabla A-1 del apéndice A, para ver las unidades de trabajo y potencia. www.FreeLibros.com 256    CapÍtulo 3 Torsión Ejemplo 3.7 Un motor que impulsa un eje sólido circular de acero transmite 40 hp al engrane en B (figura 3.30). El esfuerzo cortante permisible en el acero es 6000 psi. (a) ¿Cuál es el diámetro d requerido para el eje si opera a una velocidad de 500 rpm? (b) ¿Cuál es el diámetro d requerido para el eje si opera a una velocidad de 300 rpm? Motor ω d T Figura 3.30 Ejemplo 3.7. Eje de acero en torsión. B Solución (a) Motor que opera a 500 rpm. Conociendo la potencia y la velocidad de rotación, podemos encontrar el par de torsión T que actúa sobre el eje empleando la ecuación (3.43). Despejando T en la esa ecuación, obtenemos T 33,000H 2p n 33,000(40 hp) 2p(500 rpm) 420.2 lb-ft 5042 lb-in Este par de torsión lo transmite el eje del motor al engrane. El esfuerzo cortante máximo en el eje se puede obtener con la fórmula modificada de la torsión (ecuación 3.12): tmáx 16T pd3 Al despejar el diámetro d en esta ecuación y al sustituir tperm con tmáx, obtenemos d3 16T ptperm 16(5042 lb-in) p(6000 psi) 4.280 in3 de donde d 1.62 in El diámetro del eje debe tener al menos esta medida para no exceder el esfuerzo cortante permisible. secCiÓn 3.7 Transmisión de potencia por ejes circulares    257 Motor ω d T B Figura 3.30 (Repetida) (b) Motor operando a 300 rpm. Siguiendo el mismo procedimiento que en el inciso (a), obtenemos T 33,00 0H 2p n d3 33,000(40 hp) 2p (3000 rpm) 16T p tperm 70.03 lb-ft 16(840.3 lb-in) p (6000 psi) d 840.3 lb-in 0.7133 in3 0.89 in que es menor que el diámetro determinado en el inciso (a). Este ejemplo ilustra que a mayor velocidad de rotación, menor será el tamaño requerido del eje (para la misma potencia y mismo esfuerzo permisible). Ejemplo 3.8 Un eje sólido de acero ABC con 50 mm de diámetro (figura 3.31a) es impulsada en A por un motor que transmite 50 kW al eje a 10 Hz. Los engranes en B y C impulsan maquinaria que requiere potencia igual a 35 kW y 15 kW, respectivamente. Calcule el esfuerzo cortante máximo tmáx en el eje y el ángulo de torsión fAC entre el motor en A y el engrane en C. (Utilice G = 80 GPa). 1.0 m Motor A 1.2 m B TA = 796 N ⋅ m C A TB = 557 N ⋅ m TC = 239 N ⋅ m B C 50 mm (a) (b) Figura 3.31 Ejemplo 3.8. Eje de acero en torsión. continúa www.FreeLibros.com 258    CapÍtulo 3 Torsión Solución Pares de torsión en el eje. Iniciamos el análisis determinando los pares de torsión aplicados al eje por el motor y los dos engranes. Como el motor suministra 50 kW a 10 Hz, crea un par de torsión TA en el extremo A del eje (figura 3.31b) que podemos calcular con la ecuación (3.40): 50 kW 2p(10 Hz) P 2pf TA 796 N m De una manera similar, podemos calcular los pares de torsión TB y TC aplicados por los engranes al eje: P 35 kW TB 557 N m 2pf 2p (10 Hz) P 2pf TC 15 kW 2p (10 Hz) 239 N m Estos pares de torsión se muestran en el diagrama de cuerpo libre del eje (figura 3.31b). Observe que los pares de torsión aplicados por los engranes tienen sentidos opuestos al par de torsión aplicado por el motor. (Si consideramos TA como la “carga” aplicada al eje por el motor, entonces los pares de torsión TB y TC son las “reacciones” de los engranes). Ahora se determinan (por inspección) los pares de torsión internos en los dos segmentos del eje a partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 3.31b: 796 N m TAB TBC 239 N m Los dos pares de torsión internos actúan en el mismo sentido y por lo tanto, los ángulos de torsión en los segmentos AB y BC son aditivos al determinar el ángulo total de torsión. (Para ser específicos, los dos pares de torsión son positivos de acuerdo con la convención de signos adoptada en la sección 3.4). Esfuerzos cortantes y ángulos de torsión. El esfuerzo cortante y el ángulo de torsión en el segmento AB del eje se determinan de la manera usual con las ecuaciones (3.12) y (3.15): tAB fAB TABLAB G IP 16TAB pd 3 16(796 N m) p(50 mm)3 (796 N m)(1.0 m) p (80 GPa) (50 mm)4 32 32.4 MPa 0.0162 rad Las cantidades correspondientes para el segmento BC son tBC fBC TBC LBC GIP 16TBC pd3 16(239 N m) p (50 mm)3 (239 N m)(1.2 m) p (80 GPa) (50 mm)4 32 9.7 MPa 0.0058 rad Por tanto, el esfuerzo cortante máximo en el eje se tiene en el segmento AB y es tmáx 32.4 MPa Además, el ángulo total de torsión entre el motor en A y el engrane en C es fAC fAB fBC 0.0162 rad 0.0058 rad 0.0220 rad 1.26° Como se explicó antes, las dos partes del eje giran en el mismo sentido, por lo que sus ángulos de torsión se suman. secCiÓn 3.8 Elementos de torsión estáticamente indeterminados    259 3.8 ELEMENTOS DE TORSIÓN ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS A B T (a) Barra (1) d1 Tubo (2) d2 (b) Tubo (2) A f B Barra (1) T Placa extrema L (c) A f1 d1 B Barra (1) T1 (d) A f2 d2 (e) B Tubo (2) Figura FIG. 3-32 3.32 Barra estáticamente indeterminada en torsión. T2 Las barras y los ejes descritos en las secciones anteriores de este capítulo están estáticamente indeterminados debido a que todos los pares de torsión internos y todas las reacciones se pueden obtener de diagramas de cuerpo libre y de las ecuaciones de equilibrio. Sin embargo, si se agregan restricciones adicionales a las barras, como soportes fijos, las ecuaciones de equilibrio ya no serán adecuadas para determinar los pares de torsión. Entonces, las barras se clasifican como estáticamente indeterminadas. Los elementos torsionales de este tipo se pueden analizar complementando las ecuaciones de equilibrio con ecuaciones de compatibilidad relativas a los desplazamientos rotacionales. De esta manera, el método general para analizar elementos torsionales estáticamente indeterminados es el mismo que se describió en la sección 2.4 para barras estáticamente indeterminadas con cargas axiales. El primer paso en el análisis es escribir ecuaciones de equilibrio, que se obtienen de diagramas de cuerpo libre de la situación física dada. Las cantidades desconocidas en las ecuaciones de equilibrio son los pares de torsión, ya sea internos o de reacciones. El segundo paso en el análisis es formular ecuaciones de compatibilidad, con base en las condiciones físicas relativas a los ángulos de torsión. Como consecuencia, las ecuaciones de compatibilidad contienen ángulos de torsión como incógnitas. El tercer paso es relacionar los ángulos de torsión con los pares de torsión mediante relaciones par de torsión-desplazamiento, como f = TL/GIP. Después de introducir estas relaciones en las ecuaciones de compatibilidad, también se convierten en ecuaciones que contienen pares de torsión como incógnitas. Por tanto, el último paso es obtener los pares de torsión desconocidos y resolver de manera simultánea las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad. Para ilustrar el método de solución. Analizaremos la barra compuesta AB que se muestra en la figura 3.32a. La barra está sujeta a un soporte fijo en el extremo A y cargada por un par de torsión T en el extremo B. Además, la barra consiste de dos partes: una barra sólida y un tubo (figuras 3.32b y c), con la barra sólida y el tubo unidos a una placa extrema rígida en B. Por conveniencia, identificaremos la barra sólida y el tubo (y sus propiedades) con los números 1 y 2, respectivamente. Por ejemplo, el diámetro de la barra sólida se denota d1 y el diámetro exterior del tubo se denota d2. Existe un espacio libre entre la barra y el tubo, por tanto el diámetro interior del tubo es ligeramente mayor que el diámetro d1 de la barra. Al aplicar un par de torsión T a la barra compuesta, la placa extrema gira un ángulo pequeño f (figura 3.32c) y se desarrollan los pares de torsión T1 y T2 en la barra sólida y el tubo, respectivamente (figuras 3.32d y e). Del equilibrio sabemos que la suma de estos pares de torsión es igual a la carga aplicada, por tanto la ecuación de equilibrio es T1 T2 T (a) Como esta ecuación contiene dos incógnitas (T1 y T2), reconocemos que la barra compuesta está estáticamente indeterminada. www.FreeLibros.com 260    CapÍtulo 3 Torsión Para obtener una segunda ecuación debemos considerar los desplazamientos rotacionales tanto de la barra sólida como del tubo. Si denotamos el ángulo de torsión de la barra sólida (figura 3.32d) con f1 y el ángulo de torsión del tubo con f2 (figura 3.32e). Estos ángulos de torsión deben ser iguales en virtud de que la barra y el tubo están unidos firmemente a la placa extrema y giran con ella; en consecuencia, la ecuación de compatibilidad es f1 f2 (b) Los ángulos f1 y f2 están relacionados con los pares de torsión T1 y T2 por las relaciones par de torsión-desplazamiento, que en el caso de materiales linealmente elásticos se obtienen de la ecuación f = TL/GIP. Por tanto, f1 T1L G1IP1 T2L G2 IP2 f2 (c,d) en donde G1 y G2 son los módulos de elasticidad en cortante de los materiales e IP1 e IP2 son los momentos polares de inercia de las secciones transversales. Al sustituir las expresiones anteriores para f1 y f2 en la ecuación (b), la ecuación de compatibilidad se convierte en T1L G1IP1 T2L G2IP2 (e) Ahora tenemos dos ecuaciones (ecuaciones a y e) con dos incógnitas, por lo que podemos despejar de ellas los pares de torsión T1 y T2. Los resultados son T1 T G1IP1 G1IP1 G2IP2 T2 T G2IP2 G1IP1 G2IP 2 (3.44a,b) Conociendo estos pares de torsión, la parte esencial del análisis estáticamente indeterminado está completa; ahora todas las otras ecuaciones, como los esfuerzos y los ángulos de torsión, se pueden determinar a partir de los pares de torsión. Mediante el análisis anterior se ilustra la metodología general para analizar un sistema en torsión estáticamente indeterminado. En el siguiente ejemplo se utiliza el mismo enfoque para analizar una barra que está fija contra la rotación en los dos extremos. En el ejemplo y en los problemas, suponemos que las barras están hechas de materiales linealmente elásticos. Sin embargo, la metodología general también se aplica a barras de materiales no lineales, el único cambio es en las relaciones par de torsión-desplazamiento. secCiÓn 3.8 Elementos de torsión estáticamente indeterminados    261 Ejemplo 3.9 TA dA A dB C B T0 TB (a) La barra ACB que se muestren en las figuras 3-33a y b está fija en los dos extremos y cargada por un par de torsión T0 en el punto C. Los segmentos AC y CB de la barra tienen diámetros dA y dB, longitudes LA y LB y momentos polares de inercia IPA e IPB, respectivamente. El material de la barra es el mismo en los dos segmentos. Obtenga fórmulas para (a) los pares de torsión reactivos TA y TB en los extremos, (b) los esfuerzos cortantes máximos tAC y tCB en cada segmento de la barra y (c) el ángulo de rotación fC en la sección transversal donde se aplica la carga T0. Solución TA A IPA C IPB B TB T0 LA Ecuación de equilibrio. La carga T0 produce reacciones TA y TB en los extremos de la barra, como se muestra en las figuras 3.33a y b. Por tanto, del equilibrio de la barra obtenemos TA LB L C f1 B T0 (c) A C f2 f1 B (d) (f) T0 Dado que hay dos incógnitas en esta ecuación (y ninguna otra ecuación útil de equilibrio), la barra es estáticamente indeterminada. Ecuación de compatibilidad. Ahora separamos la barra de su soporte en el extremo B y obtenemos una barra que está fija en el extremo A y libre en el extremo B (figuras 3.33c y d). Cuando la carga T0 actúa sola (figura 3.33c), produce un ángulo de torsión en el extremo B que denotamos f1. De manera similar, cuando el par de torsión reactivo TB actúa solo, produce un ángulo f2 (figura 3.33d). El ángulo de torsión en el extremo B en la barra original, igual a la suma de f1 y f2, es cero. Por tanto, la ecuación de compatibilidad es (b) A TB TB f2 0 (g) Observe que f1 y f2 se suponen positivos en el sentido que se muestra en la figura. Ecuaciones par de torsión-desplazamiento. Los ángulos de torsión f1 y f2 se pueden expresar en términos de los pares de torsión T0 y TB con referencia a las figuras 3.33c y d, y utilizando la ecuación f = TL/GIP. Las ecuaciones son las siguientes: Figura 3.33 Ejemplo 3.9. Barra estáticamente indeterminada en torsión. f1 T0LA GIPA f2 TB LA GIPA TB LB GIPB (h,i) El signo de menos aparece en la ecuación (i) debido a que TB produce una rotación con sentido opuesto al sentido positivo de f2 (figura 3.33d). Ahora sustituimos los ángulos de torsión (ecuaciones h e i) en la ecuación de compatibilidad (ecuación g) y obtenemos T0LA GIPA TBLA GIPA TBLB GIPB 0 o TBLA IPA www.FreeLibros.com TBLB IPB T0 LA IPA ( j) 262    CapÍtulo 3 Torsión Solución de ecuaciones. En la ecuación anterior se puede despejar el par de torsión TB, que luego se puede sustituir en la ecuación de equilibrio (ecuación f) para obtener el par de torsión TA. Los resultados son TA T0 LBIPA LBIPA LAIPB TB LAIPB    (3.45a,b) LB IPA LA IPB T0 Por tanto, hemos determinado los pares de torsión reactivos en los extremos de la barra y la parte estáticamente indeterminada del análisis está completa. Como un caso especial, observe que si la barra es prismática (IPA = IPB = IP) los resultados anteriores se simplifican a TA T0LB L T0LA L TB (3.46a,b) donde L es la longitud total de la barra. Estas ecuaciones son análogas a las de las reacciones de una barra cargada axialmente con extremos fijos (consulte las ecuaciones 2.9a y b). Esfuerzos cortantes máximos. Los esfuerzos cortantes máximos en cada parte de la barra se obtienen directamente de la fórmula de la torsión: tAC TAd A 2 IPA tCB TB dB 2IPB Sustituyendo las ecuaciones (3.45a) y (3.45b) en la ecuación anterior da tAC T0 LB dA 2(LB IPA LA IPB) tCB T0 LAdB 2(LB IPA LAIPB) (3-47a,b) (3.47a,b) Comparando el producto LBdA con el producto LAdB, podemos determinar de inmediato cuál segmento de la barra tiene el esfuerzo mayor. Ángulo de rotación. El ángulo de rotación fC en la sección C es igual al ángulo de torsión de cualquier segmento de la barra, puesto que los dos giran el mismo ángulo en la sección C. Por tanto, obtenemos fC TALA GIPA TB LB GIPB T0LA LB G(LB IPA LAIPB) (3.48) En el caso especial de una barra prismática (IPA = IPB = IP), el ángulo de rotación en la sección donde se aplica la carga es fC T0LALB GLIP (3.49) Este ejemplo ilustra el análisis de una barra estáticamente indeterminada y también las técnicas para determinar esfuerzos y ángulos de rotación. Además, observe que los resultados obtenidos en este ejemplo son válidos para una barra que consiste de segmentos sólidos o tubulares. secCiÓn 3.9 Energía de deformación en torsión y cortante puro    263 3.9 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN EN TORSIÓN Y CORTANTE PURO A f B L T Figura 3.34 Barra prismática en torsión pura. Par de torsión A T U=W= O Tf 2 Cuando se aplica una carga a una estructura, la carga realiza trabajo y en la estructura se desarrolla una energía de deformación, como se describió con detalle en la sección 2.7 para una barra sometida a cargas axiales. En esta sección utilizaremos los mismos conceptos básicos para determinar la energía de deformación de una barra en torsión. Considere una barra prismática AB en torsión pura ante la acción de un par de torsión T (figura 3.34). Cuando la carga se aplica estáticamente, la barra se tuerce y el extremo libre gira un ángulo f. Si suponemos que el material de la barra es linealmente elástico y que obedece la ley de Hooke, entonces la relación entre el par de torsión aplicado y el ángulo de torsión también será lineal, como se muestra en el diagrama par de torsión-rotación de la figura 3.35 y como se da por la ecuación f = TL/GIP. El trabajo W realizado por el par de torsión conforme gira a través del ángulo f es igual al área debajo de la línea par de torsión-rotación OA, es decir, es igual al área del triángulo sombreado en la figura 3.35. Además, del principio de conservación de la energía sabemos que la energía de deformación de la barra es igual al trabajo realizado por la carga, siempre que no se gane o pierda energía en forma de calor. Por tanto, obtenemos la siguiente ecuación para la energía de deformación U de la barra: f Ángulo de rotación Figura 3.35 Diagrama par de torsiónrotación para una barra en torsión pura (material linealmente elástico). U TG 2 W (3.50) Esta ecuación es análoga a la ecuación U = W = Pd/2 para una barra sometida a una carga axial (consulte la ecuación 2.35). Utilizando la ecuación f = TL/GIP, podemos expresar la energía de deformación en las siguientes formas: U T 2L 2G IP U GIP f 2 2L (3.51a,b) La primera expresión está en términos de la carga y la segunda en términos del ángulo de torsión. Una vez más, observe la analogía con las ecuaciones correspondientes para una barra con una carga axial (consulte las ecuaciones 2.37a y b). La unidad SI para el trabajo y la energía es el joule (J), que es igual a un newton metro (1 J = 1 N ∙ m). La unidad inglesa básica es el pie-libra (ft-lb), pero es común emplear otras unidades similares, como la pulgadalibra (in-lb) y pulgada-kip (in-k). Torsión no uniforme Si una barra se somete a una torsión no uniforme (descrita en la sección 3.4), necesitamos fórmulas adicionales para la energía de deformación. En los casos en que la barra consista en segmentos prismáticos con par de torsión constante en cada segmento (consulte la figura 3.14 de la sección 3.4), www.FreeLibros.com 264    CapÍtulo 3 Torsión podemos determinar la energía de deformación de cada segmento y luego sumarlas para obtener la energía total de la barra: n U i 1 Ui (3.52) en donde Ui es la energía de deformación del segmento i y n es el número de segmentos. Por ejemplo, si utilizamos la ecuación (3.51a) para obtener las energías de deformación individuales, la ecuación anterior se transforma en n U 1 i T i2Li 2Gi(IP)i (5.53) en donde Ti es el par de torsión interno en el segmento i y Li, Gi e (IP)i son las propiedades torsionales del segmento. Si la sección transversal de la barra o el par de torsión interno varía a lo largo del eje, como se ilustra en las figuras 3.15 y 3.16 de la sección 3.4, podemos obtener la energía de deformación total determinando primero la energía de deformación de un elemento y luego integrando a lo largo del eje. Para un elemento con longitud dx, la energía de deformación es (consulte la ecuación 3.51a) [T(x)]2dx dU 2GIP(x) en donde T(x) es el par de torsión interno que actúa sobre el elemento e IP(x) es el momento polar de inercia de la sección transversal en el elemento. Por tanto, la energía de deformación total de la barra es U L [T(x) ]2dx 0 2GIP(x) (3-54) De nuevo deben observarse las similitudes de las expresiones para la energía de deformación en torsión y carga axial (compare las ecuaciones 3.53 y 3.54 con las ecuaciones 2.40 y 2.41 de la sección 2.7). El empleo de las ecuaciones anteriores para torsión no uniforme se ilustra en los ejemplos que siguen. En el ejemplo 3.10 la energía de deformación se determina para una barra en torsión pura con segmentos prismáticos y en los ejemplos 3.11 y 3.12 se determina la energía de deformación para barras con pares de torsión variables y dimensiones de sus secciones transversales variables. Además, en el ejemplo 3.12 se muestra cómo en condiciones muy limitadas el ángulo de torsión de una barra se puede determinar a partir de su energía de deformación. (Para un análisis más detallado de este método, incluyendo sus limitaciones, consulte la subsección “Desplazamientos causados por una sola carga” en la sección 2.7). Limitaciones Al evaluar la energía de deformación debemos tener en cuenta que las ecuaciones deducidas en esta sección sólo se aplican a barras de materiales linealmente elásticos con ángulos de torsión pequeños. Además, debemos recordar la observación importante enunciada previamente en la sección 2.7: la energía de deformación de una estructura que soporta más de una carga no se puede obtener sumando las energías de deformación obtenidas secCiÓn 3.9 Energía de deformación en torsión y cortante puro    265 para las cargas individuales que actúan por separado. Esta observación se demuestra en el ejemplo 3.10. Densidad de energía de deformación en cortante puro Como los elementos individuales de una barra en torsión se someten a esfuerzos en cortante puro, es útil obtener expresiones para la energía de deformación asociada con los esfuerzos cortantes. Iniciamos el análisis considerando un elemento pequeño de material sometido a esfuerzos cortantes t sobre sus caras laterales (figura 3.36a). Por conveniencia supondremos que la cara anterior del elemento es cuadrada, con cada lado de longitud h. Si bien la figura muestra sólo una vista bidimensional del elemento, reconocemos que el elemento en realidad es tridimensional con espesor t perpen­ dicular al plano de la figura. Ante la acción de los esfuerzos cortantes, el elemento se distorsiona de manera tal que la cara anterior se convierte en un rombo. Como se muestra en la figura 3.36b. El cambio de ángulo en cada esquina del elemento es la deformación unitaria por cortante g. Las fuerzas cortantes V que actúan sobre las caras laterales del elemento (figura 3.36c) se determinan multiplicando los esfuerzos por las áreas ht sobre las que actúan: V (a) tht Estas fuerzas realizan trabajo conforme el elemento se deforma desde su forma inicial (figura 3.36a) hasta forma distorsionada (figura 3.36b). Para calcular este trabajo necesitamos determinar las distancias relativas a través de las cuales se mueven se las fuerzas cortantes. Esta tarea se facilita si el elemento en la figura 3.36c se gira como un cuerpo rígido hasta que dos de sus caras sean horizontales, como en la figura 3.36d. Durante la rotación t t t t h p –g –– 2 t t h t (a) (b) d V V V p –g –– 2 V Figura 3.36 Elemento en cortante puro. (c) www.FreeLibros.com V V g V V (d) 266    CapÍtulo 3 Torsión de cuerpo rígido, el trabajo neto realizado por las fuerzas V es cero debido a que éstas ocurren en pares que forman dos pares iguales y opuestos. Como se puede observar en la figura 3.36d, la cara superior del elemento se desplaza de forma horizontal a través de una distancia d (con respecto a la cara inferior) conforme la fuerza cortante aumenta gradualmente de cero a su valor final V. El desplazamiento d es igual al producto de la deformación unitaria por cortante g (que es un ángulo pequeño) y la dimensión vertical del elemento: d (b) gh Si suponemos que el material es linealmente elástico y que obedece la ley de Hooke, entonces el trabajo realizado por las fuerzas V es igual a Vd/2, que también es la energía de deformación almacenada en el elemento: U Vd 2 W (c) Observe que las fuerzas que actúan sobre las caras del elemento (figura 3.36d) no se mueven a lo largo de sus líneas de acción, de aquí que no realicen trabajo. Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) en la ecuación (c), obtenemos la energía de deformación total del elemento: tgh2t 2 U Como el volumen del elemento es h2t, la densidad de la energía de deformación u (es decir, la energía de deformación por unidad de volumen) es u tg 2 (d) Por último, sustituimos la ley de Hooke en cortante (t = Gg) y obtenemos las siguientes ecuaciones para la densidad de la energía de deformación en cortante puro: u t2 2G u Gg 2 2 (3.55a,b) Estas ecuaciones son similares en forma a las del esfuerzo uniaxial (consulte las ecuaciones 2.44a y b de la sección 2.7). La unidad SI para la energía de deformación es el joule por metro cúbico (J/m3) y la unidad inglesa es la pulgada-libra por pulgada cúbica (u otras unidades similares). Como estas unidades son las mismas que para el esfuerzo, también podemos expresar la densidad de la energía de deformación en pascales (Pa) o libras por pulgada cuadrada (psi). En la sección siguiente (sección 3.10) utilizaremos la ecuación para la densidad de la energía de deformación en términos del esfuerzo cortante (ecuación 3.55a) para determinar el ángulo de torsión de un tubo de pared delgada con forma arbitraria en su sección transversal. secCiÓn 3.9 Energía de deformación en torsión y cortante puro    267 Ejemplo 3.10 Una barra circular sólida AB con longitud L está fija en un extremo y libre en el otro (figura 3.37). Se deben considerar tres condiciones diferentes de carga: (a) par de torsión Ta que actúa en el extremo libre; (b) par de torsión Tb que actúa en el punto medio de la barra y (c) pares de torsión Ta y Tb que actúa de manera simultánea. Para cada caso de carga, obtenga una fórmula para la energía de deformación almacenada en la barra. Luego evalúe la energía de deformación para los datos siguientes: Ta = 100 N∙m, Tb = 150 N∙m, L = 1.6 m, G = 80 GPa e IP = 79.52 × 103 mm4. Solución (a) Par de torsión Ta que actúan en el extremo libre (figura 3.37a). En este caso la energía de deformación se obtiene directamente con la ecuación (3.51a): T 2aL Ua (e)   2G IP (b) Par de torsión Tb que actúa en el punto medio de la barra (figura 3.37b). Cuando el par de torsión actúa en el punto medio, aplicamos la ecuación (3.51a) al segmento AC de la barra: T b2(L/ 2) 2 GIP Ub T b2L 4G IP (f)   (c) Pares de torsión Ta y Tb que actúan simultáneamente (figura 3.37c). Cuando las dos cargas actúan sobre la barra, el par de torsión en el segmento CB es Ta y el par de torsión en el segmento AC es Ta + Tb. Por tanto, la energía de deformación (de la ecuación 3.53) es A B Ta n Uc L (a) C Tb A L — 2 i T a2L 2GIP B (b) C Tb L — 2 (c) B TaTbL 2GIP (Ta T b2L 4GIP Tb)2(L/2) 2GIP (g)   Al comparar las ecuaciones (e), (f) y (g) se tiene que la energía de deformación producida por las dos cargas actuando simultáneamente no es igual a la suma de las energías de deformación producidas por las cargas actuando por separado. Como se destacó en la sección 2.7, la razón es que la energía de deformación es una función cuadrática de las cargas, no una función lineal. (d) Resultados numéricos. Al sustituir los datos dados en la ecuación (e), obtenemos T a2L 2GIP Ua A 1 T a2(L/ 2) 2 GIP T i2L i 2G(IP)i Ta L — 2 1.26 J    Recuerde que un joule es igual un newton metro (1 J = 1 N ∙ m). Continuando de la misma manera para las ecuaciones (f) y (g), obtenemos Ub Uc Figura 3.37 Ejemplo 3.10. Energía de deformación producida por dos cargas. (100 N m)2(1.6 m) 2(80 GPa)(79.52 103 mm4) 1.26 J 1.41 J 1.89 J 1.41 J 4.56 J Observe que el término medio, que comprende el producto de las dos cargas, contribuye de manera significativa a la energía de deformación y no se puede ignorar. www.FreeLibros.com 268    CapÍtulo 3 Torsión Ejemplo 3.11 Una barra prismática AB, fija en un extremo y libre en el otro, está cargada por un par de torsión distribuido, con intensidad constante t por unidad de distancia a lo largo del eje de la barra (figura 3.38). (a) Deduzca una fórmula para la energía de deformación de la barra. (b) Evalúe la energía de deformación de un eje hueco empleado para perforar en el suelo si los datos son los siguientes: t = 480 lb-in/in, L = 12 ft, G = 11.5 3 106 psi e IP = 17.18 in4. t A Figura 3.38 Ejemplo 3.11. Energía de deformación producida por un par de torsión distribuido. B dx x L Solución (a) Energía de deformación de la barra. El primer paso en la solución es determinar el par de torsión interno T(x) que actúa a una distancia x desde el extremo libre de la barra (figura 3.38). Este par de torsión interno es igual al par de torsión total que actúa sobre la parte de la barra entre x = 0 y x = x. Este último par de torsión es igual a la intensidad t del par de torsión por la distancia x sobre la que actúa: T(x) tx (h) Sustituyendo en la ecuación (3.54), obtenemos U L 0 [T(x)]2dx 2GIP 1 2GIP L 0 (tx)2dx t 2L3     (3.56) 6GIP Esta expresión da la energía de deformación total almacenada en la barra. (b) Resultados numéricos. Para evaluar la energía de deformación del eje hueco sustituimos los datos dados en la ecuación (3.56): U t 2L3 6GIP (480 lb-in/in)2 (144 in) 3 6(11.5 106 psi)(17.18 in 4) 580 in-lb Este ejemplo ilustra el uso del proceso de integración para evaluar la energía de deformación de una barra sometida a un par de torsión distribuido. secCiÓn 3.9 Energía de deformación en torsión y cortante puro    269 Ejemplo 3.12 A T dA fA B d(x) x dB dx Una barra ahusada en voladizo AB con sección transversal circular sólida está soportada en el extremo derecho y cargada por un par de torsión T en el otro extremo (figura 3.39). El diámetro de la barra varía linealmente de dA en el extremo izquierdo a dB en el extremo derecho. Determine el ángulo de rotación fA en el extremo A de la barra igualando la energía de deformación con el trabajo realizado por la carga. L Solución Figura 3.39 Ejemplo 3.12. Barra ahusada en torsión. Del principio de conservación de la energía sabemos que el trabajo realizado por el par de torsión aplicado es igual a la energía de deformación de la barra; por tanto, W = U. El trabajo está dado por la ecuación TfA 2 W (i) y la energía de deformación U se puede determinar con la ecuación (3.54). Para utilizar la ecuación (3.54), necesitamos expresiones para el par de torsión T(x) y el momento polar de inercia IP(x). El par de torsión es constante a lo largo del eje de la barra e igual a la carga T, y el momento polar de inercia es p d(x) 4 32 IP(x) en donde d(x) es el diámetro de la barra a una distancia x desde el extremo A. De la geometría de la figura observamos que d(x) dA dB dA L x (j) y, por tanto, IP(x) p dA 32 dB dA L x 4 (k) Ahora podemos sustituir en la ecuación (3.54), como sigue: U L 0 [T(x)]2dx 2GIP(x) 16T 2 pG L 0 dA dx dB dA x L 4 La integral en esta expresión se puede integrar con ayuda de una tabla de integrales (consulte el apéndice C). Sin embargo, ya evaluamos esta integral en el ejemplo 3.5 de la sección 3.4 (consulte la ecuación g de ese ejemplo) y determinamos que L 0 dA dx dB dA x L 4 3(dB L 1 dA) d 3A 1 d B3 continúa www.FreeLibros.com 270    CapÍtulo 3 Torsión Por tanto, la energía de deformación de la barra ahusada es U 1 16T 2L 3pG(dB dA) d 3A 1 d B3 (3.57) Igualando la energía de deformación con el trabajo del par de torsión (ecuación i) y despejando fA, obtenemos fA 1 32TL 3pG(dB dA) d 3A 1 d B3 (3.58) Esta ecuación, que es igual a la ecuación (3.26) del ejemplo 3.5 de la sección 3.4, da el ángulo de rotación en el extremo A de la barra ahusada. Observe en especial que el método empleado en este ejemplo para encontrar el ángulo de rotación sólo es adecuado cuando la barra se somete a una sola carga y luego sólo cuando el ángulo deseado corresponde a esa carga. De lo contrario, debemos encontrar los desplazamientos angulares por los métodos usuales descritos en las secciones 3.3, 3.4 y 3.8. 3.10 TUBOS DE PARED DELGADA La teoría de la torsión descrita en las secciones anteriores se aplica a barras sólidas o huecas con secciones transversales circulares. Las formas circulares son las más eficientes para resistir torsión y en consecuencia son las de uso más común. Sin embargo, en estructuras de peso ligero, como aeronaves y naves espaciales, con frecuencia se requieren elementos tubulares de pared delgada con secciones transversales no circulares para resistir la torsión. En esta sección analizaremos elementos estructurales de este tipo. Para obtener fórmulas que se puedan aplicar a una variedad de formas, consideremos un tubo de pared delgada con sección transversal arbitraria (figura 3.40a). El tubo tiene forma cilíndrica, es decir, todas las secciones transversales son idénticas y el eje longitudinal es una línea recta. El espesor t de la pared no necesariamente es constante sino que puede variar alrededor de la sección transversal. Sin embargo, debe ser pequeño en comparación con el diámetro total del tubo. El tubo se somete a torsión pura por pares de torsión T que actúan en los extremos. Esfuerzos cortantes y flujo cortante Los esfuerzos cortantes t que actúan sobre una sección transversal del tubo se representan en la figura 3.40b, en donde se muestra un elemento del tubo cortado entre dos secciones transversales que está separadas una distancia dx. Los esfuerzos actúan paralelos a los límites de la sección transversal y “fluyen” alrededor de ésta. La intensidad de los esfuerzos varía tan ligeramente a través del espesor del tubo (debido a que el tubo se supone delgado) que podemos suponer que t es constante en esa dirección. Sin embargo, si el espesor t no es constante, los esfuerzos variarán en intensidad conforme secCiÓn 3.10 Tubos de pared delgada    271 se va alrededor de la sección transversal, y se debe determinar la manera en que varían a partir del equilibrio. Para determinar la magnitud de los esfuerzos cortantes consideraremos un elemento rectangular abcd obtenido haciendo dos cortes longitudinales ab y cd (figuras 3.40a y b). Este elemento está aislado del cuerpo libre en la figura 3.40c. Actuando sobre la cara transversal bc están los esfuerzos cortantes t que se muestran en la figura 3.40b. Suponemos que éstos varían en intensidad al moverse a lo largo de la sección transversal de b a c; por lo tanto, el esfuerzo cortante en b lo denotamos tb y el esfuerzo en c lo denotamos tc (consulte la figura 3.40c). Como sabemos del equilibrio, esfuerzos idénticos actúan en la dirección opuesta sobre la cara transversal opuesta ad y esfuerzos cortantes con la misma magnitud también actúan sobre las caras longitudinales ab y cd. Por tanto, los esfuerzos cortantes que actúan sobre las caras ab y cd son iguales a tb y tc, respectivamente. Los esfuerzos que actúan sobre las caras longitudinales ab y cd producen fuerzas Fb y Fc (figura 3.40d). Estos factores se obtienen multiplicando los esfuerzos por las áreas sobre las que actúan: Fb tbtb dx Fc tc tc dx en donde tb y tc representan los espesores del tubo en los puntos b y c, respectivamente (figura 3.40d). y t T a d O z x b c T x dx L (a) T a d t b c tb T tc tb a b d c tb a F1 (c) www.FreeLibros.com F1 c Fc dx (b) tb b d tc tc Figura 3.40 Tubo de pared delgada con forma transversal arbitraria. Fb (d) tc 272    CapÍtulo 3 Torsión Además, las fuerzas F1 se producen por los esfuerzos que actúan sobre las caras bc y ad. Del equilibrio del elemento en la dirección longitudinal (la dirección x), observamos que Fb = Fc, o tb tb tc tc En virtud de que las ubicaciones de los cortes longitudinales ab y cd se seleccionaron arbitrariamente, se deduce de la ecuación anterior que el producto del esfuerzo cortante t por el espesor t del tubo es el mismo en cada punto en la sección transversal. Este producto se conoce como flujo cortante y se denota con la letra f: f constante tt (3.59) Esta relación muestra que el esfuerzo cortante máximo ocurre donde el espesor del tubo es menor, y viceversa. En regiones donde el espesor es constante, el esfuerzo cortante es constante. Observe que el flujo cortante es la fuerza cortante por unidad de distancia a lo largo de la sección transversal. Fórmula de la torsión para tubos de pared delgada El siguiente paso en el análisis es relacionar el flujo cortante f (y de aquí el esfuerzo cortante t) con el par de torsión T que actúa sobre el tubo. Para ese fin, examinemos la sección transversal del tubo, como se representa en la figura 3.41. La línea central (también llamada línea mediana o línea media) de la pared del tubo se muestra como una línea discontinua en la figura. Consideramos un elemento de área con longitud ds (medida a lo largo de la línea central) y espesor t. La distancia s que define la ubicación del elemento se mide a lo largo de la línea central desde algún punto de referencia elegido arbitrariamente. La fuerza cortante total que actúa sobre el elemento de área es fds y el momento de esta fuerza con respecto a cualquier punto O dentro del tubo es dT s ds t f ds en donde r es la distancia perpendicular desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza fds. (Observe que la línea de acción de la fuerza fds es tangente a la línea central de la sección transversal en el elemento ds). El par de torsión total T producido por los esfuerzos cortantes se obtiene integrando a lo largo de la línea central de la sección transversal: T r O Figura 3.41 Sección transversal de un tubo de pared delgada. rfds f Lm 0 r ds (a) en donde Lm denota la longitud hasta la línea central. La integral en la ecuación (a) puede ser difícil de resolver mediante medios matemáticos formales, pero por fortuna se puede evaluar con facilidad dándole una interpretación geométrica simple. La cantidad rds representa el doble del área del triángulo sombreado que se muestra en la figura 3.41. (Observe que el triángulo tiene una longitud en su base ds y una altura igual secCiÓn 3.10 Tubos de pared delgada    273 a r). Por tanto, la integral representa dos veces el área Am contenida hasta la línea central de la sección transversal: Lm r ds 0 2Am (b) De la ecuación (a) se deduce que T = 2fAm y por tanto el flujo cortante es f T 2Am (3.60) Ahora podemos eliminar el flujo cortante f entre las ecuaciones (3.59) y (3.60) y obtener una fórmula de torsión para tubos de pared delgada: T 2tAm t (3.61) Como t y Am son propiedades de la sección transversal, el esfuerzo cortante t se puede calcular con la ecuación (3.61) para cualquier tubo de pared delgada sometido a un par de torsión T conocido. (Recordatorio: el área Am es el área contenida hasta la línea central, no es el área de la sección transversal del tubo). Para ilustrar el uso de la fórmula de la torsión, considere un tubo circu­lar de pared delgada (figura 3.42) con espesor t y radio r hasta la línea central. El área contenida hasta la línea central es t r Am p r2 (3.62) y por tanto el esfuerzo cortante (constante alrededor de la sección transversal) es (3.63) Esta fórmula concuerda con el esfuerzo obtenido con la fórmula estándar de la torsión (ecuación 3.11) cuando la fórmula estándar se aplica a un tubo circular con paredes delgadas empleando la expresión aproximada Ip ≈ 2πr3 t para el momento polar de inercia (ecuación 3.18). Como segunda ilustración, considere un tubo rectangular de pared delgada (figura 3.43) que tiene espesor t1 en sus lados y espesor t2 en sus partes superior e inferior. Además, la altura y el ancho (medidos hasta la línea central de la sección transversal) son h y b, respectivamente. El área dentro de la línea central es t2 t1 T 2pr 2t t Figura 3.42 Tubo circular de pared delgada. t1 Am h (3.64) bh y, por tanto, los esfuerzos cortantes en los lados vertical y horizontal, respectivamente, son t2 b Figura 3.43 Tubo rectangular de pared delgada. tvert T 2t1bh thoriz T 2t2bh (3.65a,b) Si t2 es mayor que t1, el esfuerzo cortante máximo ocurrirá en los lados verticales de la sección transversal. www.FreeLibros.com 274    CapÍtulo 3 Torsión Energía de deformación y constante de torsión La energía de deformación de un tubo de pared delgada se puede determinar primero encontrando la energía de deformación de un elemento y luego integrando sobre todo el volumen de la barra. Considere un elemento del tubo con área t ds en la sección transversal (consulte el elemento en la figu­ ra 3.41) y longitud dx (consulte el elemento en la figura 3.40). El volumen del elemento, que tiene forma similar al elemento abcd que se muestra en la figura 3.40a, es t ds dx. Como los elementos del tubo están en cortante puro, la densidad de la energía de deformación del elemento es t2/2G, como se da en la ecuación (3.55a). La energía de deformación total del elemento es igual a la densidad de la energía de deformación total por el volumen: dU t2 t ds dx 2G t 2t 2 ds dx 2G t f 2 ds dx 2G t (c) en donde reemplazamos tt con el flujo de cortante f (una constante). La energía de deformación total del tubo se obtiene integrando dU sobre todo el volumen del tubo, es decir, ds se integra de 0 a Lm alrededor de la línea central y dx se integra a lo largo del eje del tubo de 0 a L, donde L es la longitud. Por tanto, U dU f2 2G Lm 0 ds t L 0 dx (d) Observe que el espesor t puede variar alrededor de la línea central y debe permanecer con ds bajo el signo de integración. Como la última integral es igual a la longitud L del tubo, la ecuación para la energía de deformación se convierte en f 2L 2G U Lm 0 ds t (e) Sustituyendo el flujo de cortante dado en la ecuación (3.60), obtenemos T 2L 8GA2m U Lm 0 ds t (3.66) como la ecuación para la energía de deformación del tubo en términos del par de torsión T. La expresión anterior para la energía de deformación se puede escribir en forma más simple introduciendo una propiedad nueva de la sección transversal, llamada constante de torsión. Para un tubo de pared delgada, la constante de torsión (denotada con la letra J) se define así: J 4A2m ______ Lm ds t 0 (3.67) Con esta notación, la ecuación para la energía de deformación (ecuación 3.66) se convierte en secCiÓn 3.10 Tubos de pared delgada    275 T 2L 2G J U (3.68) que tiene la misma forma que la ecuación para la energía de deformación en una barra circular (consulte la ecuación 3.51a). La única diferencia es que la constante de torsión J ha reemplazado al momento polar de inercia IP. Observe que la constante de torsión tiene unidades de longitud a la cuarta potencia. En el caso especial de una sección transversal con espesor constante t, la expresión para J (ecuación 3.67) se simplifica a 4tA2m Lm J Para cada forma de sección transversal, podemos evaluar J con la ecuación (3.67) o bien con la ecuación (3.69). Como ejemplo, considere de nuevo el tubo circular de pared delgada de la figura 3.42. Como el espesor es constante utilizamos la ecuación (3.69) y sustituimos Lm = 2πr y Am = πr2; el resultado es t r 2pr 3t J Figura 3.42 (Repetida.) (3.70) que es la expresión apropiada para el momento polar de inercia (ecua­ ción 3.18). Así, en el caso de un tubo circular de pared delgada, el momento polar de inercia es igual a la constante de torsión. Como segunda ilustración, utilizaremos el tubo rectangular de la figura 3.43. Para esta sección transversal tenemos Am = bh. Además, la integral en la ecuación (3.67) es t2 t1 (3.69) t1 h Lm ds 0 t2 b 2 t h 0 ds t1 2 b 0 ds t2 2 h t1 b t2 Por tanto, la constante de torsión (ecuación 3.67) es Figura 3.43 (Repetida.) J 2b2h2t1t2 bt1 ht2 (3.71) Las constantes de torsión para otras secciones transversales de pared delgada se pueden encontrar de una manera similar. Ángulo de torsión El ángulo de torsión f para un tubo de pared delgada con sección transversal arbitraria (figura 3.44) se puede determinar igualando el trabajo W realizado por el par de torsión T a la energía de deformación U del tubo. Por tanto, W U www.FreeLibros.com o Tf 2 T 2L 2GJ 276    CapÍtulo 3 Torsión f T Figura 3.44 Ángulo de torsión f para un tubo de pared delgada. de donde obtenemos la ecuación para el ángulo de torsión: f TL GJ (3.72) Un vez más, observe que la ecuación tiene la misma forma que la ecuación correspondiente para una barra circular (ecuación 3.15), pero con el momento polar de inercia reemplazado con la constante de torsión. La cantidad GJ se llama rigidez torsional del tubo. Limitaciones Las fórmulas desarrolladas en esta sección se aplican a elementos prismáticos que tienen formas tubulares cerradas con paredes delgadas. Si la sección transversal es de pared delgada pero abierta, como en el caso de las vigas con forma de I y canales, la teoría dada aquí no se aplica. Para hacer énfasis en este punto, imagine que tomamos un tubo de pared delgada y lo cortamos a lo largo, entonces la sección transversal se convierte en una sección abierta, los esfuerzos cortantes y los ángulos de torsión aumentan, la resistencia torsional disminuye y las fórmulas presentadas en esta sección no se pueden emplear. Algunas de las fórmulas que se dan en esta sección están restringidas a materiales linealmente elásticos, por ejemplo, cualquier ecuación que contenga el módulo de elasticidad G se encuentra en esta categoría. Sin embargo, las ecuaciones para el flujo cortante y el esfuerzo cortante (ecuaciones 3.60 y 3.61) se basan sólo en el equilibrio y son válidas sin importar las propiedades del material. Toda la teoría es aproximada debido a que se basa en dimensiones hasta la línea central y los resultados se hacen menos precisos conforme aumenta el espesor t de la pared.* Una consideración importante en el diseño de cualquier elemento de pared delgada es la posibilidad de que las paredes se pandeen. Entre más delgadas sean las paredes y más largo sea el tubo, más probable será que ocurra pandeo. En el caso de tubos no circulares, a menudo se utilizan atiesadores y diafragmas para mantener la forma del tubo y evitar pandeo localizado. En todos nuestros análisis y problemas suponemos que se evita el pandeo. *La teoría de la torsión para tubos de pared delgada descrita en esta sección la desarrolló R. Bredt, un ingeniero alemán que la presentó en 1896 (referencia 3.2). Con frecuencia se llama teoría de la torsión de Bredt. secCiÓn 3.10 Tubos de pared delgada    277 Ejemplo 3.13 Compare el esfuerzo cortante máximo en un tubo circular (figura 3.45) calculado mediante la teoría aproximada para un tubo de pared delgada con el esfuerzo calcu­ lado mediante la teoría exacta de la torsión. (Observe que el tubo tiene espesor t constante y radio r hasta la línea central de la sección transversal). t r Figura 3.45 Ejemplo 3.13. Comparación de las teorías aproximada y exacta de la torsión. Solución Teoría aproximada. El esfuerzo cortante obtenido con la teoría aproximada para un tubo de pared delgada (ecuación 3.63) es T 2p t 3b 2 T 2pr 2t t1 (3.73) en la cual se introduce la relación: r t b (3.74) Fórmula de la torsión. El esfuerzo máximo obtenido con la fórmula de la torsión que es más precisa (ecuación 3.11) es T(r t2 t/2) (f) IP donde IP p 2 r t 2 4 r t 2 4 (g) Después de desarrollarla, esta expresión se simplifica a IP p rt (4r 2 2 t 2) (3.75) y la expresión para el esfuerzo cortante (ecuación f) se transforma en t2 T(2r t) prt(4r 2 t 2) T(2b 1) pt 3b(4b 2 1) (3.76) Razón. La razón t1/t2 de los esfuerzos cortantes es t1 t2 que depende sólo de la razón b. www.FreeLibros.com 4b 2 1 2b (2 b 1) (3.77) 278    CapÍtulo 3 Torsión Para valores de b iguales a 5, 10 y 20, con la ecuación (3.77) obtenemos los valores t1/t2 = 0.92, 0.95 y 0.98, respectivamente. De esta manera, observamos que la fórmula aproximada para los esfuerzos cortantes da resultados que son ligeramente menores que los obtenidos con la fórmula exacta. La precisión de la fórmula aproximada aumenta conforme disminuye el espesor de la pared. En el límite, cuando el espesor tiende a cero y b tiende al infinito, la razón t1/t2 se vuelve 1. Ejemplo 3.14 Un tubo circular y uno cuadrado (figura 3.46) están construidos con el mismo material y se someten al mismo par de torsión. Los dos tubos tienen la misma longitud, mismo espesor de pared y tienen la misma área de sección transversal. ¿Cuáles son las razones de sus esfuerzos cortantes y ángulos de torsión? (No tome en cuenta los efectos de las concentraciones de esfuerzos en las esquinas del tubo cuadrado). t r t b Figura 3.46 Ejemplo 3.14. Comparación de un tubo circular con uno cuadrado. (a) (b) Solución Tubo circular. Para el tubo circular, el área Am1 contenida hasta la línea central de la sección transversal es Am1 pr 2 (h) donde r es el radio de la línea central. Además, la constante de torsión (ecuación 3.70) y el área de la sección transversal son J1 2pr 3t A1 2prt (i,j) Tubo cuadrado. Para el tubo cuadrado, el área de la sección transversal es A2 4bt (k) donde b es la longitud de un lado, medida a lo largo de la línea central. Puesto que las áreas de los tubos son iguales, obtenemos b = πr/2. Además, la constante de torsión (ecuación 3.71) y el área contenida por la línea central de la sección transversal son J2 b3t p 3r 3t 8 Am2 b2 p 2r 2 4 (1,m) secCiÓn 3.11 Concentraciones de esfuerzos en torsión    279 Razones. La razón t1/t2 entre esfuerzo cortante en el tubo circular y el esfuerzo cortante en el tubo cuadrado (de la ecuación (3.61) es t1 t2 Am2 Am1 p 2r 2/4 pr2 p 4 0.79 (n)   La razón de los ángulos de torsión (de la ecuación 3.2) es f1 f2 J2 J1 p 3r 3t/8 2pr 3t p2 16 0.62 (o)   Estos resultados muestran que el tubo circular no sólo tiene un esfuerzo cortante 21 por ciento menor que el tubo circular, sino también mayor rigidez contra la rotación. *3.11 CONCENTRACIONES DE ESFUERZOS EN TORSIÓN En las secciones anteriores de este capítulo analizamos los esfuerzos en elementos torsionales suponiendo que la distribución del esfuerzo variaba de una manera uniforme y continua. Esta hipótesis es válida siempre que no haya cambios abruptos en la forma de la barra (sin agujeros, ranuras, escalones abruptos y cambios similares) y siempre que la región en consideración esté alejada de cualesquiera puntos de carga. Si existe alguna o algunas condiciones disruptivas, entonces se desarrollarán esfuerzos muy localizados en las regiones circundantes a las discontinuidades. En el trabajo práctico de ingeniería estas concentraciones de esfuerzos se manejan mediante factores de concentración de esfuerzos, como ya se explicó en la sección 2.10. Los efectos de una concentración de esfuerzos están confinados a una región pequeña alrededor de la discontinuidad, de acuerdo con el principio de Saint-Venant (consulte la sección 2.10). Por ejemplo, considere un eje escalonado que consiste de dos segmentos con diámetros diferentes (figura 3.47). El segmento mayor tiene un diámetro D2 y el segmento menor tiene un diámetro D1. La unión entre los dos segmentos forma un “escalón” u “hombro” que está maquinado con un filete de radio R. Sin el filete, el factor de concentración de esfuerzo teórico sería infinitamente grande debido a la esquina abrupta reentrante a 90°. Por supuesto, los esfuerzos infinitos no pueden ocurrir, más bien, el material en la esquina reentrante se deformaría y aliviaría parcialmente la concentración de esfuerzos elevada. Sin embargo, ese tipo de situación es muy peligrosa ante cargas dinámicas y en un buen diseño siempre se utiliza un filete. Entre mayor sea el radio del filete, menores serán los esfuerzos. A una distancia desde el hombro aproximadamente igual al diámetro D2 (por ejemplo, en la sección transversal A-A en la figura 3.47a) los esfuerzos cortantes torsionales prácticamente no se ven afectados por la discontinuidad. Por tanto, el esfuerzo máximo t2 a una distancia suficiente a la izquierda del hombro se puede encontrar con la fórmula de la torsión empleando D2 como el diámetro (figura 3.47b). Los mismos comentarios www.FreeLibros.com 280    CapÍtulo 3 Torsión Filete (R = radio) A T B C D2 T D1 B A C (a) t2 D2 Figura 3.47 Eje escalonado en torsión. t1 tmáx D1 Sección A-A (b) D1 Sección B-B (c) Sección C-C (d) generales se aplican a la sección C-C, que es la distancia D1 (o mayor) desde el inicio del filete. Como el diámetro D1 es menor que el diámetro D2, el esfuerzo máximo t1 en la sección C-C (figura 3.47d) es mayor que el esfuerzo t2. El efecto de concentración de esfuerzos es mayor en la sección B-B, que corta a travéz del inicio del filete. En esta sección el esfuerzo máximo es tmáx Ktnom K Tr IP K 16T pD13 (3.78) En esta ecuación, K es el factor de concentración de esfuerzos y tnom (igual a t1) es el esfuerzo cortante nominal, es decir, el esfuerzo cortante en la parte menor del eje. Los valores del factor K están trazados en la figura 3.48 como una función de la razón R/D1. Las curvas se presentan para varios valores de la razón D2/D1. Observe que cuando el radio del filete R es muy pequeño y la transición de un diámetro al otro es abrupta, el valor de K es muy grande. Al contrario, cuando R es grande, el valor de K tiende a 1.0 y el efecto de la concentración de esfuerzos desaparece. La curva discontinua en la figura 3.48 es para el caso especial de un filete de un cuarto de círculo, lo cual significa que D2 = D1 = 2R. (Nota: los problemas 3.11.1 a 3.11.5 proporcionan práctica para obtener valores de K de la figura 3.48). En la bibliografía técnica (consulte, por ejemplo, la referencia 2.9) se encuentran muchos otros casos de concentraciones de esfuerzos para ejes circulares, como un eje con una grieta y un eje con un agujero. secCiÓn 3.11 Concentraciones de esfuerzos en torsión    281 2.00 R K 1.1 1.2 T tmáx = Ktnom 1.5 1.50 1.00 0 D1 T 16T tnom = —— p D13 D2 —– = D1 2 D2 = D1 + 2R Figura 3.48 Factor de concentración de esfuerzos K para un eje escalonado en torsión. (La línea discontinua es para un filete de un cuarto de círculo.) D2 0.10 R —– D1 0.20 Como se explicó en la sección 2.10, las concentraciones de esfuerzos son importantes para los materiales frágiles ante cargas estáticas y para la mayor parte de los materiales sometidos a cargas dinámicas. Como caso de ejemplo, las fallas por fatiga son de mayor interés en el diseño de ejes rotatorios y flechas (consulte la sección 2.9 para un análisis breve de la fatiga). Los factores de concentración de esfuerzos teóricos K dados en esta sección se basan en un comportamiento linealmente elástico del material. Sin embargo, experimentos de fatiga demuestran que esos factores son conservadores y que las fallas por fatiga en materiales dúctiles, en general, ocurren con cargas más grandes que las anticipadas por los factores teóricos. www.FreeLibros.com 282    CapÍtulo 3 Torsión RESUMEN Y REPASO DEL CAPÍTULO En este capítulo investigamos el comportamiento de barras y tubos huecos sometidos a pares de torsión concentrados o a momentos torsionales distribuidos, así como a efectos de deformaciones previas. Desarrollamos relaciones par de torsión-desplazamiento para emplearlas en el cálculo de ángulos de torsión de barras en condiciones uniformes (es decir, momento torsional constante sobre toda su longitud) y no uniformes (o sea, pares de torsión y tal vez también el momento polar de inercia varían sobre la longitud de la barra). Luego se desarrollaron ecuaciones de equilibrio y compatibilidad para estructuras estáticamente indeterminadas en un procedimiento de superposición que conduce a la solución para todos los pares de torsión desconocidos, desplazamientos rotacionales, esfuerzos, etcétera. Iniciando con un estado de cortante puro o elementos de esfuerzo alineados con el eje de la barra, desarrollamos luego ecuaciones para esfuerzos normal y cortante sobre secciones inclinadas. Se presentó una variedad de temas especiales en las últimas partes del capítulo. Los conceptos importantes presentados en este capítulo son los siguientes: 1. Para barras y tubos circulares, el esfuerzo cortante (t) y la deformación unitaria (g) varían linealmente con la distancia radial desde el centro de la sección transversal. 2. La fórmula de la torsión define la relación entre el esfuerzo cortante y el momento torsional. El esfuerzo cortante máximo tmáx se presenta en la superficie exterior de la barra o del tubo y depende del momento torsional T, de la distancia radial r y del segundo momento de inercia de la sección transversal IP conocido como momento polar de inercia para secciones transversales circulares. Se observa que los tubos de pared delgada son más eficientes en torsión, debido a que el material disponible está sometido a esfuerzo de manera más uniforme que las barras circulares sólidas. 3. El ángulo de torsión f de barras prismáticas circulares sometidas a momento(s) torsional(es) es proporcional al par de torsión T y a la longitud de la barra L, e inversamente proporcional a la rigidez torsional (GIP) de la barra; esta relación se llama relación par de torsión-desplazamiento. 4. El ángulo de torsión por unidad de longitud de una barra se refiere a su flexibilidad torsional (fT) y la relación inversa es la rigidez torsional (kT = 1/fT) de la barra o eje. 5. La suma de las deformaciones por torsión de los segmentos individuales de un eje no prismático es igual a la torsión de toda la barra (f). Se utilizaron diagramas de cuerpo libre para determinar los momentos torsionales (Ti) en cada segmento i. Si los momentos torsionales y/o las propiedades de la sección transversal (IP) varían continuamente, se requiere una expresión integral. 6. Si la estructura de la barra es estáticamente indeterminada, se requieren ecuaciones adicionales para resolver los momentos desconocidos. Las ecuaciones de compatibilidad se emplean para relacionar rotaciones de la barra con las condiciones de apoyo y, por tanto, generan relaciones adicionales entre las incógnitas. Es conveniente usar una superposición de estructuras “liberadas” (o estáticamente determinadas) para representar la estructura estáticamente indeterminada real de la barra. 7. Los desajustes y las deformaciones previas inducen momentos torsionales sólo en barras o ejes estáticamente indeterminados. 8. Un eje circular está sometido a cortante puro debido a momentos torsionales. Los esfuerzos normal y cortante máximos se pueden obtener considerando un elemento de esfuerzo inclinado. El esfuerzo cortante máximo ocurre en un elemento alineado con el eje de la barra; pero el esfuerzo normal máximo sucede en una inclinación a 45° con respecto al eje de la barra y el esfuerzo normal máximo es igual al esfuerzo cortante máximo. capítulo 3 Problemas    283 PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 3 Deformaciones por torsión 3.2.1 Una barra de cobre con longitud L = 18.0 in se torcerá mediante pares de torsión T (consulte la figura) hasta que el ángulo de rotación entre los extremos de la barra sea 3.0° Si la deformación unitaria por cortante permisible en el cobre es 0.0006 rad, ¿cuál es el diámetro máximo permisible de la barra? d T 3.2.4 Un tubo circular de acero con longitud L = 1.0 m está cargado en torsión por pares de torsión T (consulte la figura). (a) Si el radio interior del tubo es r1 = 45 mm y el ángulo de torsión medido entre los extremos es 0.5°, ¿cuál es la deformación unitaria por cortante g1 (en radianes) en la superficie interior? (b) Si la deformación unitaria por cortante máxima permisible es 0.0004 rad y el ángulo de torsión se debe mantener en 0.45° ajustando el par de torsión T, ¿cuál es radio exterior máximo permisible (r2)máx? 3.2.5 Resuelva el problema anterior si la longitud L = 56 in, el radio interior r1 = 1.25 in, el ángulo de torsión es 0.5° y la deformación unitaria por cortante permisible es 0.0004 rad. T L Probs. 3.2.1 y 3.2.2 3.2.2 Una barra de plástico con diámetro d = 56 mm se torcerá por pares de torsión T (consulte la figura) hasta que el ángulo de rotación entre los extremos sea 4.0°. Si la deformación unitaria por cortante permisible en el plástico es 0.012 rad, ¿cuál es la longitud mínima permisible de la barra? 3.2.3 Un tubo circular de aluminio sometido a torsión pura mediante pares de torsión T (consulte la figura) tiene un diámetro exterior r2 igual a 1.5 multiplicado por el radio interior r1. (a) Si la deformación unitaria por cortante máxima en el tubo es 400 × 10–6 rad, ¿cuál es la deformación unitaria por cortante g1 en la superficie interior? (b) Si la razón de torsión máxima permisible es 0.125 grados por pie y la deformación unitaria por cortante máxima se debe mantener en 400 × 10–6 rad ajustando el par de torsión T, ¿cuál es el radio exterior mínimo requerido (r2)mín? T Barras y tubos circulares 3.3.1 Un minero utiliza un malacate de operación manual (consulte la figura) para izar un cubo de mineral en el tiro de su mina. El eje del malacate es una barra de acero con diámetro d = 0.625 in. Además, la distancia desde el centro del eje hasta el centro de la cuerda de izado es b = 4.0 in. Si el peso del cubo cargado es W = 100 lb, ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo en el eje debido a la torsión? P T L d W r2 b r1 Probs. 3.2.3, 3.2.4 y 3.2.5 W Prob. 3.3.1 www.FreeLibros.com 284    CapÍtulo 3 Torsión 3.3.2 Al taladrar un agujero en una pata de una mesa, un carpintero utiliza un taladro de operación manual (consulte la figura) con una broca con diámetro d = 4.0 mm. (a) Si el par de torsión resistente suministrado por la pata de la mesa es igual a 0.3 N∙m, ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo en la broca del taladro? (b) Si el módulo de elasticidad cortante del acero es G = 75 GPa, ¿cuál es la razón de torsión de la broca del taladro (grados por metro)? 3.3.4 Una barra de aluminio con sección transversal sólida se tuerce por pares de torsión T que actúan en los extremos (consulte la figura). Las dimensiones y el módulo de elasticidad en cortante son las siguientes: L = 1.4 m, d = 32 mm y G = 28 GPa. (a) Determine la rigidez torsional de la barra. (b) Si el ángulo de torsión de la barra es 5°, ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo? ¿Cuál es la deformación unitaria por cortante máxima (en radianes)? T d d T L Prob. 3.3.4 Prob. 3.3.2 3.3.3 Al desmontar una rueda para cambiar un neumático, un conductor aplica fuerzas P = 25 lb en los extremos de dos de los brazos de una llave de cruz (consulte la figura). La llave está hecha de acero con módulo de elasticidad en cortante G = 11.4 × 106 psi. Cada brazo de la llave tiene una longitud de 9.0 in y tiene una sección transversal circular sólida con diámetro d = 0.5 in. (a) Determine el esfuerzo cortante máximo en el brazo que gira la tuerca del birlo (brazo A). (b) Determine el ángulo de torsión (en grados) de este mismo brazo. 3.3.5 Una barra de perforación de acero de alta resistencia utilizada para taladrar un agujero en el suelo tiene un diámetro de 0.5 in (consulte la figura). El esfuerzo cortante permisible en el acero es 40 ksi y el módulo de elasticidad en cortante es 11,600 ksi. ¿Cuál es la longitud mínima requerida de la barra de manera que uno de sus extremos se pueda torcer 30° con respecto al otro sin sobrepasar el esfuerzo permisible? T d = 0.5 in T L Prob. 3.3.5 3.3.6 El eje de acero de una llave de cubo tiene un diámetro de 8.0 mm y una longitud de 200 mm (consulte la figura). Si el esfuerzo permisible en la barra es 60 MPa, ¿cuál es el par de torsión máximo permisible Tmáx que se puede ejercer con la llave? ¿Qué ángulo f (en grados) girará el eje ante la acción del par de torsión máximo? (Suponga G = 78 GPa y no tome en cuenta ninguna flexión del eje). P 9.0 in A 9.0 d = 0.5 in Prob. 3.3.3 d = 8.0 mm in T L = 200 mm P = 25 lb Prob. 3.3.6 capítulo 3 Problemas    285 3.3.7 Un tubo circular de aluminio se somete a torsión por pares de torsión T aplicados en los extremos (consulte la figura). La barra tiene una longitud de 24 in y los diámetros interior y exterior son 1.25 in y 1.75 in, respectivamente. Mediante una medición se ha determinado que el ángulo de torsión es 4° cuando el par de torsión es 6200 lb-in. Calcule el esfuerzo cortante máximo tmáx en el tubo, el módulo de elasticidad en cortante G y la deformación unitaria por cortante máxima gmáx (en radianes). T 3.3.9 Tres discos circulares idénticos A, B y C están soldados a los extremos de tres barras circulares idénticas (consulte la figura). Las barras se encuentran en un plano común y los discos están en planos perpendiculares a los ejes de las barras. Las barras están soldadas en su intersección D para formar una conexión rígida. Cada barra tiene un diámetro d1 = 0.5 in y cada disco tiene un diámetro d2 = 3.0 in. Las fuerzas P1, P2 y P3 actúan sobre los discos A, B y C, respectivamente, sometiendo de esta manera las barras a torsión. Si P1 = 28 lb, ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo tmáx en cualquiera de las tres barras? T 24 in P3 135° P1 P3 d1 A 1.25 in C D 1.75 in P1 90° 135° d2 Prob. 3.3.7 P2 P2 3.3.8 Un eje de hélice para un yate pequeño está hecho de una barra sólida de acero con diámetro de 104 mm. El esfuerzo permisible en cortante es 48 MPa y la razón de torsión permisible es 2.0° en 3.5 metros. Suponiendo que el módulo de elasticidad en cortante es G = 80 GPa, determine el par de torsión máximo Tmáx que se pueda aplicar al eje. T d B Prob. 3.3.9 3.3.10 El eje de acero de un malacate grande en un trans­atlántico está sometido a un par de torsión de 1.65 kN∙m (consulte la figura). ¿Cuál es el diámetro mínimo requerido dmín si el esfuerzo cortante permisible es 48 MPa y la razón de torsión permisible es 0.75°/m? (Suponga que el módulo de elasticidad en cortante es 80 GPa.) T T L d T Prob. 3.3.8 Prob. 3.3.10 www.FreeLibros.com 286    CapÍtulo 3 Torsión 3.3.11 Un eje hueco de acero empleado en una barrena de construcción tiene un diámetro exterior d2 = 6.0 in y un diámetro interior d1 = 4.5 in (consulte la figura). El acero tiene un módulo de elasticidad G = 11.0 × 106 psi. Para un par de torsión aplicado de 150 k-in, determine las cantidades siguientes: (a) El esfuerzo cortante t2 en la superficie exterior del eje. (b) El esfuerzo cortante t1 en la superficie interior y (c) La razón de torsión u (grados por unidad de longitud). También, trace un diagrama mostrando cómo varía la magnitud de los esfuerzos cortantes a lo largo de la línea radial en la sección transversal. Si el esfuerzo cortante permisible en el poste es 4500 psi, ¿cuál es el diámetro mínimo requerido dmín del poste? c c A P B P d Probs. 3.3.13 y 3.3.14 d2 d1 d2 3.3.14 Resuelva el problema anterior si las fuerzas horizontales tienen una magnitud P = 5.0 kN, la distancia c = 125 mm y el esfuerzo cortante permisible es 30 MPa. 3.3.15 Una barra sólida de latón con diámetro d = 1.25 in se somete a pares de torsión T1, como se muestra en la parte (a) de la figura. El esfuerzo cortante permisible en el latón es 12 ksi. (a) ¿Cuál es el valor máximo permisible de los pares de torsión T1? (b) Si se taladra un agujero con diámetro de 0.625 in longitudinalmente por la barra, como se muestra en la parte (b) de la figura, ¿cuál es el valor máximo permisible de los pares de torsión T2? (c) ¿Cuál es el decremento porcentual en el par de torsión y el decremento porcentual en el peso debidos al agujero? Probs. 3.3.11 y 3.3.12 T1 3.3.12 Resuelva el problema anterior si el eje tiene diámetro exterior d2 = 150 mm y diámetro interior d1 = 100 mm. Además, el acero tiene un módulo de elasticidad en cortante G = 75 GPa y el par de torsión aplicado es 16 kN∙m. 3.3.13 Un poste vertical con sección transversal circular se tuerce por fuerzas horizontales P = 1100 lb que actúan en los extremos de un brazo horizontal AB (consulte la figura). La distancia desde el exterior del poste hasta la línea de acción de cada fuerza es c = 5.0 in. d T1 (a) T2 d T2 (b) Prob. 3.3.15 capítulo 3 Problemas    287 3.3.16 Un tubo hueco de aluminio utilizado en una techumbre tiene un diámetro exterior d2 = 104 mm y un diámetro interior d1 = 82 mm (consulte la figura). El tubo tiene una longitud de 2.75 m y el módulo de elasticidad en cortante del aluminio es G = 28 GPa. (a) Si el tubo se tuerce en torsión pura mediante pares de torsión en los extremos, ¿cuál es el ángulo de torsión (en grados) cuando el esfuerzo cortante máximo es 48 MPa? (b) ¿Qué diámetro d se requiere para un eje sólido (consulte la figura) para resistir el mismo par de torsión con el mismo esfuerzo máximo? (c) ¿Cuál es la razón entre el peso del tubo hueco y el peso del eje sólido? segmento más largo del eje tiene un diámetro d1 = 2.25 in y una longitud L1 = 30 in; el segmento más corto tiene un diámetro d2 = 1.75 in y una longitud L2 = 20 in. El material es acero con módulo de cortante G = 11 × 106 psi y los pares de torsión son T1 = 20,000 lb-in y T2 = 8000 lb-in. Calcule las cantidades siguientes: (a) el esfuerzo cortante máximo tmáx en el eje y (b) el ángulo de torsión fC (en grados) en el extremo C. T1 d1 d2 B A L1 T2 C L2 Prob. 3.4.1 d d1 d2 Prob. 3.3.17 *3.3.17 Un tubo circular con diámetro interior r1 y diámetro exterior r2 se somete a un par de torsión producido por fuerzas P = 900 lb (consulte la figura). Las fuerzas tienen sus líneas de acción a una distancia b = 5.5 in desde el exterior del tubo. Si el esfuerzo cortante permisible en el tubo es 6300 psi y el radio interior r1 = 1.2 in, ¿cuál es el radio exterior mínimo permisible r2? P 3.4.2 Un tubo circular con diámetro exterior d3 = 70 mm y diámetro interior d2 = 60 mm está soldado en el extremo derecho a una placa fija y en el extremo izquierdo a una placa extrema rígida (consulte la figura). Dentro del tubo y concéntrica con el tubo se encuentra una barra circular sólida con diámetro d1 = 40 mm. La barra pasa por un agujero en la placa fija y está soldada a la placa extrema rígida. La barra tiene una longitud de 1.0 m y la longitud del tubo es igual a la mitad de la barra. Un par de torsión T = 1000 N∙m actúa en el extremo A de la barra. Además, tanto la barra como el tubo están hechos de una aleación de aluminio con módulo de elasticidad en cortante G = 27 GPa. (a) Determine los esfuerzos cortantes máximos en la barra y el tubo. (b) Determine el ángulo de torsión (en grados) en el extremo A de la barra. Tubo Placa fija Placa extrema P Barra P T r2 A r1 Tubo P b 2r2 b Barra Prob. 3.3.17 d1 d2 d3 Torsión no uniforme 3.4.1 Un eje escalonado ABC que consiste de dos segmentos circulares sólidos se somete a pares de torsión T1 y T2 que actúan en sentidos opuestos, como se muestra en la figura. El Prob. 3.4.1 www.FreeLibros.com 288    CapÍtulo 3 Torsión 3.4.3 Un eje escalonado ABCD que consiste en segmentos circulares sólidos se somete a tres pares de torsión, como se muestra en la figura. Los pares de torsión tienen magnitudes de 12.5 k-in, 9.8 k-in y 9.2 k-in. La longitud de cada segmento es 25 in y los diámetros de los segmentos son 3.5 in, 2.75 in y 2.5 in. El material es acero con módulo de elasticidad en cortante G = 11.6 × 103 ksi. (a) Calcule el esfuerzo cortante máximo tmáx en el eje. (b) Calcule el ángulo de torsión fD (en grados) en el extremo D. 3.5 in 12.5 k-in 9.8 k-in 9.2 k-in 2.75 in 2.5 in 25 in 25 in 80 mm D C B A 3.4.6 Un eje con sección transversal sólida que consiste de dos segmentos se muestra en la primera parte de la figura. El segmento izquierdo tiene un diámetro de 80 mm y una longitud de 1.2 m; el segmento derecho tiene un diámetro de 60 mm y una longitud de 0.9 m. En la segunda parte de la figura se muestra un eje hueco hecho con el mismo material y con la misma longitud. El espesor t del eje hueco es d/10, donde d es el diámetro exterior. Los dos ejes se someten al mismo par de torsión. Si el eje hueco debe tener la misma rigidez torsional que el eje sólido, ¿cuál deberá ser su diámetro exterior d? 25 in 1.2 m Prob. 3.4.3 3.4.4 Una barra circular sólida ABC consiste de dos segmentos, como se muestra en la figura. Un segmento tiene un diámetro d1 = 56 mm y una longitud L1 = 1.45 m; el otro segmento tiene un diámetro d2 = 48 mm y una longitud L2 = 1.2 m. ¿Cuál es el par de torsión permisible Tperm si el esfuerzo cortante no debe sobrepasar 30 MPa y el ángulo de torsión entre los extremos de la barra no debe exceder 1.25°? (Suponga G = 80 GPa). d1 T 60 mm d2 A T C B L1 L2 0.9 m d d t=— 10 2.1 m Prob. 3.4.6 3.4.7 Cuatro engranes están conectados a un eje circular y transmiten los pares de torsión que se muestran en la figura. El esfuerzo cortante permisible en el eje es 10,000 psi. (a) ¿Cuál es el diámetro requerido d del eje si tiene una sección transversal sólida? (b) ¿Cuál es el diámetro exterior requerido d si el eje es hueco con un diámetro interior de 1.0 in? Prob. 3.4.4 3.4.5 Un tubo hueco ABCDE construido de metal monel está sometido a cinco pares de torsión que actúan en los sentidos que se muestran en la figura. Las magnitudes de los pares de torsión son T1 = 1000 lb-in, T2 = T4 = 500 lb-in y T3 = T5 = 800 lb-in. El tubo tiene un diámetro exterior d2 = 1.0 in. El esfuerzo cortante permisible es 12,000 psi y la razón de torsión permisible es 2.0°/ft. Determine el diámetro interior máximo permisible d1 del tubo. T1 = 1000 lb-in T2 = 500 lb-in T3 = 800 lb-in T4 = 500 lb-in T5 = 800 lb-in 8000 lb-in 19,000 lb-in 4000 lb-in A 7000 lb-in B C D A Prob. 3.4.5 B C d2 = 1.0 in D E Prob. 3.4.7 capítulo 3 Problemas    289 3.4.8 Una barra ahusada AB con sección transversal sólida se tuerce por pares de torsión T (consulte la figura). El diámetro de la barra varía linealmente de dA en el extremo izquierdo a dB en el extremo derecho. ¿Para qué razón dB/dA será el ángulo de torsión de la barra ahusada la mitad del ángulo de torsión de una barra prismática con diámetro dA? (La barra prismática está hecha con el mismo material, tiene la misma longitud y se somete al mismo par de torsión que la barra ahusada). Sugerencia: utilice los resultados del ejemplo 3.5. T B A T (d) ¿Cuál es la rotación en el punto 2, f2? (e) Trace el momento torsional (TMD: T(x), 0 ≤ x ≤ L) y los diagramas del desplazamiento (TDD: f(x) 0 ≤ x ≤ L). Segmento 2 Segmento 1 x 7 —Ip 8 R1 T — 2 Ip T 1 2 x 3 L–x L dA dB TMD 0 0 TDD 0 0 Probs. 3.4.8, 3.4.9 y 3.4.10 3.4.9 Una barra ahusada AB con sección transversal sólida se tuerce por pares de torsión T = 36,000 lb-in (consulte la figura). El diámetro de la barra varía linealmente de dA en el extremo izquierdo a dB en el extremo derecho. La barra tiene una longitud L = 4.0 ft y está hecha de una aleación de aluminio que tiene un módulo de elasticidad en cortante G = 3.9 × 106 psi. El esfuerzo cortante permisible en la barra es 15,000 psi y el ángulo de torsión permisible es 3.0°. Si el diámetro en el extremo B es 1.5 veces el diámetro en el extremo A, ¿cuál es el diámetro mínimo requerido dA en el extremo A? (Sugerencia: utilice los resultados del ejemplo 3.5). 3.4.10 La barra que se muestra en la figura está ahusada linealmente del extremo A al extremo B y tiene una sección transversal sólida. El diámetro en el extremo más pequeño de la barra es dA = 25 mm y la longitud es L = 300 mm. La barra está hecha de acero con módulo de elasticidad en cortante G = 82 GPa. Si el par de torsión T = 180 N∙m y el ángulo de torsión permisible es 0.3°, ¿cuál es el diámetro mínimo permisible dB en el extremo más grande de la barra? (Sugerencia: utilice los resultados del ejemplo 3.5). 3.4.11 La barra circular no prismática en voladizo que se muestra tiene un agujero cilíndrico interno de 0 a x, de manera que el momento polar de inercia de la sección transversal para el segmento 1 es (7/8)IP. El par de torsión T se aplica en x y el par de torsión T/2 se aplica en x = L. Suponga que G es constante. (a) Encuentre el momento de reacción R1. (b) Encuentre los momentos torsionales internos Ti en los segmentos 1 y 2. (c) Encuentre x requerida para obtener una torsión en el punto 3 de f3 = TL/GIP. Prob. 3.4.11 3.4.12 Un tubo uniformemente ahusado AB con sección transversal circular se muestra en la figura. El tubo tiene espesor de pared constante t y longitud L. Los diámetros promedio en los extremos son dA y dB = 2dA. El momento polar de inercia se puede representar mediante la fórmula aproximada IP ≈ pd3t/4 (consulte la ecuación 3.18). Deduzca una fórmula para el ángulo de torsión f del tubo cuando se somete a pares de torsión T que actúan en los extremos. B A T T L t t dA Prob. 3.4.12 www.FreeLibros.com dB = 2dA 290    CapÍtulo 3 Torsión 3.4.13 En la figura se muestra un tubo de una aleación de aluminio uniformemente ahusado AB con sección transversal circular y longitud L. Los diámetros exteriores en los extremos son dA y dB = 2dA. Una sección hueca con longitud L/2 y espesor constante t = dA/10 está formada en el tubo y se extiende desde B hasta la mitad del tubo hacia A. (a) Encuentre el ángulo de torsión f del tubo cuando se somete a pares de torsión T que actúan en los extremos. Utilice los valores numéricos siguientes: dA = 2.5 in, L = 48 in, G = 3.9 × 106 psi y T = 40,000 in-lb. (b) Repita el inciso (a) si la sección hueca tiene un diámetro constante dA. [(Consulte la parte (b) de la figura]. A T t constante t dB – 2t L — 2 dA B T L 3.4.15 Un ciclista que sube por una colina aplica un par de torsión T = Fd (F = 15 lb, d = 4 in) al extremo de los manillares ABCD (empujando sobre sus extensiones DE). Considere sólo la mitad derecha del conjunto del manillar (suponga que las barras están fijas en la horquilla en A). Los segmentos AB y CD son prismáticos con longitudes L1 = 2 in y L3 = 8.5 in, y con diámetros exteriores y espesores d01 = 1.25 in, t01 = 0.125 in, y d03 = 0.87 in, t03 = 0.115 in, respectivamente, como se muestra en la figura. El segmento BC tiene una longitud L2 = 1.2 in aunque está ahusado y el diámetro exterior y los espesores varían linealmente entre los puntos B y C. Considere sólo los efectos de la torsión. Suponga que G = 4000 ksi es constante. Obtenga una expresión integral para el ángulo de torsión fD de la mitad del tubo del manillar cuando se somete a un par de torsión T = Fd actuando en el extremo. Evalúe fD para los valores numéricos dados. dB (a) L — 2 A T B Extensión del manillar d01, t01 dA B T A dA dB L E T = Fd d03, t03 C L1 L2 D L3 Prob. 3.4.13 3.4.14 Para el tubo delgado no prismático de acero con espesor constante t y diámetro variable d que se muestra con pares de torsión aplicados en los puntos 2 y 3, determine lo siguiente: (a) Encuentre el momento de la reacción R1. (b) Encuentre una expresión para la rotación de torsión f3 en el punto 3. Suponga que G es constante. (c) Trace el diagrama del momento torsional (TMD: T(x), 0 ≤ x ≤ L). 2d t T/2 R1 1 0 Prob. 3.4.14 L — 2 x d 2 t d 45° D d L — 2 T, f3 3 TMD Prob. 3.4.15 Extensión del manillar F capítulo 3 Problemas    291 3.4.16 Una barra prismática AB con longitud L y sección transversal circular (diámetro d) está cargada por un par de torsión con intensidad constante t por unidad de distancia (consulte la figura). (a) Determine el esfuerzo cortante máximo tmáx en la barra. (b) Determine el ángulo de torsión f entre los extremos de la barra. (c) Encuentre la rotación fC. (d) Encuentre el esfuerzo cortante máximo tmáx y su ubicación a lo largo de la barra. (e) Trace el diagrama de momento torsional (TMD: T(x), 0 ≤ x ≤ L). T —0 L t A 2Ip RA A B L Fc IP C B L — 2 T0 — 3L L — 2 Prob. 3.4.16 *3.4.17 Una barra prismática AB con sección transversal circular sólida (diámetro d) está cargada por un par de torsión distribuido (consulte la figura). La intensidad del par de torsión, es decir, el par de torsión por unidad de distancia, se denota t(x) y varía linealmente de un valor máximo tA en el extremo A a cero en el extremo B. Además, la longitud de la barra es L y el módulo de elasticidad cortante del material es G. (a) Determine el esfuerzo cortante máximo tmáx en la barra. (b) Determine el ángulo de torsión f entre los extremos de la barra. t(x) A L B Prob. 3.4.17 3.4.18 Una barra no prismática ABC con sección transversal circular sólida está cargada por pares de torsión distribuidos (consulte la figura). La intensidad de los pares de torsión, es decir, el par de torsión por unidad de distancia, se denota t(x) y varía linealmente de cero en A a un valor máximo T0/L en B. El segmento BC tiene un par de torsión linealmente distribuido con intensidad t(x) = T0/3L de signo opuesto al aplicado a lo largo de AB. Además, el momento polar de inercia de AB es el doble que el de BC y el módulo de elasticidad en cortante del material es G. (a) Encuentre el par de torsión de la reacción RA. (b) Encuentre los momentos torsionales internos T(x) en los segmentos AB y BC. 0 TMD Prob. 3.4.18 **3.4.19 Un alambre de una aleación de magnesio con diámetro d = 4 mm y longitud L gira dentro de un tubo flexible a fin de abrir o cerrar un interruptor desde una ubicación remota (consulte la figura). Se aplica un par de torsión manualmente (ya sea en el sentido de las manecillas del reloj o contrario a éste) en B, torciendo así el alambre dentro del tubo. En el otro extremo A, la rotación del alambre opera una manija que abre o cierra el interruptor. Se requiere un par de torsión T0 = 0.2 N∙m para operar el interruptor. La rigidez torsional del tubo, combinada con la fricción entre el tubo y el alambre, induce un par de torsión distribuido con intensidad constante t = 0.04 N∙m/m (par de torsión por unidad de distancia) que actuá a lo largo de toda la longitud del alambre. (a) Si el esfuerzo cortante permisible en el alambre es tperm = 30 MPa, ¿cuál es la longitud máxima permisible Lmáx del alambre? (b) Si el alambre tiene una longitud L = 4.0 m y el módulo de elasticidad en cortante para el alambre es G = 15 GPa, ¿cuál es el ángulo de torsión f (en grados) entre los extremos del alambre? Tubo flexible T0 = par de torsión B d A Prob. 3.4.19 www.FreeLibros.com t T 292    CapÍtulo 3 Torsión 3.4.20 Dos tubos huecos están conectados por un pasador en B, que se inserta en un agujero que pasa por los dos tubos en B (consulte la vista de sección transversal en B). El tubo BC está ajustado firmemente en el tubo AB pero no tome en cuenta ninguna fricción sobre la interfaz. Los diámetros interior y exterior del tubo di (i = 1, 2, 3) y el diámetro de pasador dp están identificados en la figura. El par de torsión T0 se aplica en C. El módulo de elasticidad en cortante del material es G. Formule expresiones para el par de torsión máximo T0,máx que se puede aplicar en C para cada una de las condiciones siguientes. (a) El cortante en el pasador de conexión es menor que algún valor permisible (tpasador < tp,perm). (b) El cortante en el tubo AB o BC es menor que algún valor permisible (ttubo < tt,perm). (c) ¿Cuál es la rotación máxima fC para cada uno de los casos (a) y (b) anteriores? T d2 T L d1 d2 Probs. 3.5.1, 3.5.2 y 3.5.3 3.5.2 Una barra hueca de acero (G = 80 GPa) se somete a pares de torsión T (consulte la figura). La torsión de la barra produce una deformación unitaria máxima gmáx = 640 × 10–6 rad. La barra tiene diámetros exterior e interior de 150 mm y 120 mm, respectivamente. (a) Determine la deformación unitaria máxima por tensión en la barra. (b) Determine el esfuerzo de tensión máximo en la barra. (c) ¿Cuál es la magnitud de los pares de torsión aplicados T? 3.5.3 Una barra tubular con diámetro exterior d2 = 4.0 in se tuerce por pares de torsión T = 70.0 k-in (consulte la figura). Ante la acción de estos pares de torsión, se determina que el esfuerzo de tensión máximo en la barra es 6400 psi. (a) Determine el diámetro interior d1 de la barra. (b) Si la barra tiene una longitud L = 48.0 in y está hecha de aluminio con módulo en cortante G = 4.0 × 106 psi, ¿cuál es el ángulo de torsión f (en grados) entre los extremos de la barra? (c) Determine la deformación unitaria por cortante máxima gmáx (en radianes) Prob. 3.4.20 3.5.4 Una barra circular sólida con diámetro d = 50 mm (consulte la figura) se tuerce en una máquina de pruebas hasta que el par de torsión aplicado alcanza el valor T = 500 N∙m. En este valor del par de torsión, un deformímetro orientado a 45° con respecto al eje de la barra da una lectura  = 339 × 10–6. ¿Cuál es el módulo de cortante G del material? d = 50 mm Cortante puro 3.5.1 Un eje hueco de aluminio (consulte la figura) tiene un diámetro exterior d2 = 4.0 in y diámetro interior d1 = 2.0 in. Cuando se tuerce por los pares de torsión T, el eje tiene un ángulo de torsión por unidad de distancia igual a 0.54°/ft. El módulo de elasticidad del aluminio es G = 4.0 × 106 psi. (a) Determine el esfuerzo de tensión máximo smáx en el eje. (b) Determine la magnitud de los pares de torsión aplicados T. Deformímetro T = 500 N·m T 45° Prob. 3.5.4 3.5.5 Un tubo de acero (G = 11.5 × 106 psi) tiene un diámetro exterior d2 = 2.0 in y un diámetro interior d1 = 1.5 in. Cuando se tuerce por un par de torsión T, el tubo desarrolla una deformación unitaria normal máxima de 170 × 10–6. ¿Cuál es la magnitud del par de torsión aplicado T? capítulo 3 Problemas    293 3.5.6 Una barra circular sólida de acero (G = 78 GPa) transmite una par de torsión T = 360 N∙m. Los esfuerzos permisibles en tensión, compresión y cortante son 90 MPa, 70 MPa y 40 MPa, respectivamente. Además, la deformación unitaria permisible en tensión es 220 × 10-6. Determine el diámetro mínimo requerido d de la barra. 3.5.7 La deformación unitaria normal en la dirección a 45° sobre la superficie de un tubo circular (consulte la figura) es 880 × 10–6 cuando el par de torsión T = 750 lb-in. El tubo está hecho de una aleación de cobre con G = 6.2 × 106 psi. Si el diámetro exterior d2 del tubo es 0.8 in, ¿cuál es el diámetro interior d1? T d 2 = 0.8 in Deformímetro 3.5.8 Un tubo de aluminio con diámetro interior d1 = 50 mm y módulo de elasticidad en cortante G = 27 GPa se somete a un par de torsión T = 4.0 kN∙m. El esfuerzo cortante permisible en el aluminio es 50 MPa y la deformación unitaria normal permisible es 900 × 10–6. Determine el diámetro exterior d2 requerido. 3.5.9 Una barra sólida de acero (G = 11.8 × 106 psi) con diámetro d = 2.0 in está sometida a pares de torsión T = 8.0 k-in que actúan en los sentidos que se muestran en la figura. (a) Determine los esfuerzos máximos de cortante, tensión y compresión en la barra y muéstrelos en diagramas de elementos de esfuerzo orientados apropiadamente. (b) Determine las deformaciones máximas correspondientes (en cortante, tensión y compresión) en la barra y muéstrelas en diagramas de los elementos deformados. T = 8.0 k-in Prob. 3.5.9 3.5.10 Una barra sólida de aluminio (G = 27 GPa) con diámetro d = 40 mm se somete a pares de torsión T = 300 N ∙ m que actúan en los sentidos que se muestran en la figura. (a) Determine los esfuerzos máximos en cortante, tensión y compresión en la barra y muéstrelos en diagramas de elementos de esfuerzo orientados apropiadamente. (b) Determine las deformaciones unitarias máximas correspondientes (en cortante, tensión y compresión) en la barra y muéstrelas en diagramas de los elementos deformados. T Prob. 3.5.10 d = 40 mm 120 rpm d 50 hp Prob. 3.7.1 Prob. 3.5.7 T 3.7.1 Un eje de un generador en una planta hidroeléctrica pequeña gira a 120 rpm y suministra 50 hp (consulte la figura). (a) Si el diámetro del eje es d = 3.0 in, ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo tmáx en el eje? (b) Si el esfuerzo cortante está limitado a 4000 psi, ¿cuál es el diámetro mínimo permisible dmín del eje? T = 750 lb-in 45° d = 2.0 in Transmisión de potencia 3.7.2 Un motor impulsa un eje a 12 Hz y suministra 20 kW de potencia (consulte la figura). (a) Si el eje tiene un diámetro de 30 mm, ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo tmáx en el eje? (b) Si el esfuerzo cortante máximo permisible es 40 MPa, ¿cuál es el diámetro mínimo permisible dmín del eje? 12 Hz d 20 kW Prob. 3.7.2 3.7.3 El eje de la hélice de un barco grande tiene un diámetro exterior de 18 in y un diámetro interior de 12 in, como se muestra en la figura. El eje está clasificado para un esfuerzo cortante máximo de 4500 psi. (a) Si el eje gira a 100 rpm, ¿cuál es la potencia máxima, en caballos de potencia, que se puede transmitir sin sobrepasar el esfuerzo permisible? (b) Si la velocidad rotacional del eje se duplica pero los requerimientos de potencia permanecen iguales, ¿qué pasa con el esfuerzo cortante en el eje? 18 in 100 rpm T = 300 N·m 12 in 18 in Prob. 3.7.3 www.FreeLibros.com 294    CapÍtulo 3 Torsión 3.7.4 El eje motriz de un camión (diámetro exterior de 60 mm y diámetro interior de 40 mm) está girando a 2500 rpm (consulte la figura). (a) Si el eje transmite 150 kW, ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo en el eje? (b) Si el esfuerzo cortante permisible es 30 MPa, ¿cuál es la potencia máxima que se puede transmitir? *3.7.9 Un motor suministra 275 hp a 1000 rpm al extremo de un eje (consulte la figura). Los engranes en B y C toman 125 y 150 hp, respectivamente. Determine el diámetro d requerido del eje si el esfuerzo cortante permisible es 7500 psi y el ángulo de torsión entre el motor y el engrane C está limitado a 1.5°. (Suponga G = 11.5 × 106 psi, L1 = 6 ft y L2 = 4 ft). 2500 rpm 60 mm Motor C d A B 40 mm 60 mm L2 L1 Prob. 3.7.4 3.7.5 Un eje circular hueco que va a usarse en una estación de bombeo se está diseñando con un diámetro interior igual a 0.75 veces el diámetro exterior. El eje debe transmitir 400 hp a 400 rpm sin exceder el esfuerzo cortante máximo permisible de 6000 psi. Determine el diámetro exterior d mínimo requerido. 3.7.6 Un eje tubular diseñado para utilizarse en un sitio de construcción debe transmitir 120 kW a 1.75 Hz. El diámetro interior del eje tendrá la mitad del diámetro exterior. Si el esfuerzo cortante permisible en el eje es 45 MPa, ¿cuál es el diámetro exterior d mínimo requerido? 3.7.7 Un eje de hélice con sección transversal circular y diámetro d esta empalmado mediante un collarín del mismo material (consulte la figura). El collarín está firmemente unido a las dos partes del eje. ¿Cuál debe ser el diámetro exterior mínimo d1 del collarín a fin de que el empalme pueda transmitir la misma potencia que el eje sólido? d1 Probs. 3.7.9 y 3.7.10 *3.7.10 El eje ABC que se muestra en la figura está impulsado por un motor que suministra 300 kW a una velocidad rotacional de 32 Hz. Los engranes en B y C toman 120 y 180 kW, respectivamente. Las longitudes de las dos partes del eje son L1 = 1.5 m y L2 = 0.9 m. Determine el diámetro d requerido del eje si el esfuerzo cortante permisible es 50 MPa, el ángulo de torsión permisible entre los puntos A y C es 4.0° y G = 75 GPa. Elementos torsionales estáticamente indeterminados 3.8.1 Una barra circular sólida ABCD con soportes fijos está sometida a los pares de torsión T0 y 2T0 en las ubicaciones que se muestran en la figura. Obtenga una fórmula para el ángulo de torsión máximo fmáx de la barra. (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.46a y b del ejemplo 3.9 para obtener los pares de torsión reactivos.) d Prob. 3.7.7 3.7.8 ¿Cuál es la potencia máxima que puede suministrar un eje hueco de hélice (diámetro exterior de 50 mm, diámetro interior de 40 mm y módulo de elasticidad en cortante de 80 GPa) que gira a 600 rpm si el esfuerzo cortante permisible es 100 MPa y la razón de torsión permisible es 3.0°/m? TA A 3L — 10 T0 2T0 B C 3L — 10 4L — 10 L Prob. 3.8.1 D TD capítulo 3 Problemas    295 3.8.2 Una barra sólida circular ABCD con soportes fijos en los extremos A y D está sometida a dos pares de torsión iguales y con sentidos opuestos T0 como se muestra en la figura. Los pares de torsión se aplican en los puntos B y C, cada uno de ellos se ubica a una distancia x desde un extremo de la barra. (La distancia x puede variar de cero a L/2. (a) ¿Para qué distancia x el ángulo de torsión en los puntos B y C será un máximo? (b) ¿Cuál es el ángulo de torsión fmáx correspondiente? (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.46a y b del ejemplo 3.9 para obtener los pares de torsión reactivos.) 200 mm A P 200 mm C B P 600 mm 400 mm TA A T0 T0 B C D x TD x L Prob. 3.8.2 Prob. 3.8.4 3.8.5 Un eje escalonado ACB que tiene secciones transversales circulares sólidas con dos diámetros diferentes se mantiene fijo contra la rotación en los extremos (consulte la figura). Si el esfuerzo cortante permisible en el eje es 6000 psi, ¿cuál es el par de torsión máximo (T0)máx que se puede aplicar en la sección C? (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.45a y b del ejemplo 3.9 para obtener los pares de torsión reactivos.) 3.8.3 Un eje circular sólido AB con diámetro d tiene sus extremos fijos para evitar su rotación (consulte la figura). Un disco circular está conectado al eje en la ubicación mostrada. ¿Cuál es el ángulo de rotación máximo permisible fmáx del disco si el esfuerzo cortante permisible en el eje es tperm? (Suponga que a > b. Además, utilice las ecuaciones 3.46a y b del ejemplo 3.9 para obtener los pares de torsión reactivos.) 1.50 in 0.75 in C A 6.0 in T0 B 15.0 in Prob. 3.8.5 Disco A Disco d a B b Prob. 3.8.3 3.8.4 Un eje hueco de acero ACB con diámetro exterior de 50 mm y diámetro interior de 40 mm está fijo en los extremos A y B (consulte la figura) a fin de evitar su rotación. Las fuerzas horizontales P se aplican en los extremos de un brazo vertical que está soldado al eje en el punto C. Determine el valor permisible de las fuerzas P si el esfuerzo cortante máximo permisible en el eje es 45 MPa. (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.46a y b del ejemplo 3.9 para obtener los pares de torsión reactivos.) 3.8.6 Un eje escalonado ACB que tiene secciones transversales circulares sólidas con dos diámetros diferentes se sostiene firmemente para evitar la rotación en sus extremos (consulte la figura). Si el esfuerzo cortante permisible en el eje es de 43 MPa, ¿cuál es el par de torsión máximo (T0)máx que se puede aplicar en la sección C? (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.45a y b del ejemplo 3.9 para obtener los pares de torsión reactivos.) 20 mm 25 mm B C A 225 mm Prob. 3.8.6 www.FreeLibros.com T0 450 mm 296    CapÍtulo 3 Torsión 3.8.7 Un eje escalonado ACB se sostiene firmemente para evitar la rotación en los extremos A y B y se somete a un par de torsión T0 que actúa en la sección C (consulte la figura). Los dos segmentos del eje (AC y CB) tienen diámetros dA y dB, respectivamente, y momentos polares de inercia IPA e IPB, respectivamente. El eje tiene una longitud L y la longitud del segmento AC es a. (a) ¿Para qué razón a/L serán iguales los esfuerzos cortantes máximos en los dos segmentos del eje? (b) ¿Para qué razón a/L serán iguales los pares de torsión internos en los dos segmentos del eje? (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.45a y b del ejemplo 3.9 para obtener los pares de torsión reactivos). dA IPA A dB C IPB B T0 a L Prob. 3.8.7 3.8.8 Una barra circular AB con longitud L está fija en ambos extremos para evitar la rotación y cargada por un par de torsión distribuido t(x) con intensidad que varía linealmente de cero en el extremo A a t0 en el extremo B (consulte la figura). Obtenga fórmulas para los pares de torsión en los extremos fijos TA y TB. A 25 in T0 B x 2.4 in 3.0 in Prob. 3.8.9 3.8.10 Una barra sólida de acero con diámetro d1 = 25.0 mm está contenida por un tubo de acero con diámetro exterior d3 = 37.5 mm y diámetro interior d2 = 30.0 mm (consulte la figura). Tanto la barra como el tubo se mantienen rígidamente mediante un soporte en el extremo A y están unidos firmemente a una placa rígida en el extremo B. La barra compuesta, que tiene una longitud L = 550 mm, se tuerce por un par de torsión T = 400 N∙m que actúa sobre la placa extrema. (a) Determine los esfuerzos cortantes máximos t1 y t2 en la barra y el tubo, respectivamente. (b) Determine el ángulo de rotación f (en grados) de la placa extrema, suponiendo que el módulo de elasticidad en cortante del acero es G = 80 GPa. (c) Determine la rigidez torsional kT de la barra compuesta. (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.44a y b para encontrar los pares de torsión en la barra y el tubo). t0 t(x) TA TB A 25 in 3.0 in A B Tubo B T Barra x Placa extrema L L Prob. 3.8.8 3.8.9 Una barra circular AB con extremos fijos para evitar su rotación tiene un agujero que se extiende hasta la mitad de su longitud (consulte la figura). El diámetro exterior de la barra es d2 = 3.0 in y el diámetro del agujero es d1 = 2.4 in. La longitud total de la barra es L = 50 in. ¿A qué distancia x desde el extremo izquierdo de la barra se debe aplicar un par de torsión T0 de manera que los pares de torsión reactivos en los soportes sean iguales? d1 d2 d3 Probs. 3.8.10 y 3.8.11 capítulo 3 Problemas    297 3.8.11 Una barra sólida de acero con diámetro d1 = 1.50 in está contenida por un tubo de acero con diámetro exterior d3 = 2.25 in y diámetro interior d2 = 1.75 in (consulte la figura). Tanto la barra como el tubo se sostienen rígidamente mediante un soporte en el extremo A y están unidos firmemente a una placa rígida en el extremo B. La barra compuesta, que tiene una longitud L = 30.0 in, se tuerce por un par de torsión T = 5000 lb-in, que actúa sobre la placa extrema. (a) Determine los esfuerzos cortantes máximos t1 y t2 en la barra y el tubo, respectivamente. (b) Determine el ángulo de rotación f (en grados) de la placa extrema, suponiendo que el módulo en cortante del acero es G = 11.6 × 106 psi. (c) Determine la rigidez torsional kT de la barra compuesta. (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.44a y b para encontrar los pares de torsión en la barra y el tubo. *3.8.12 El eje compuesto que se muestra en la figura se manufacturó ajustando por contracción un manguito de acero sobre un núcleo de latón de manera que las dos partes actúen como una sola barra sólida en torsión. Los diámetros exteriores de las dos partes son d1 = 40 mm para el núcleo de latón y d2 = 50 mm para el manguito de acero. Los módulos de elasticidad en cortante son Gb = 36 GPa para el latón y Gs = 80 GPa para el acero. Suponiendo que los esfuerzos cortantes permisibles en el latón y el acero son tb = 48 MPa y ts = 80 MPa, respectivamente, determine el par de torsión máximo permisible Tmáx que se puede aplicar al eje. (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.44a y b para encontrar los pares de torsión). T Manguito de acero Núcleo de latón T *3.8.13 El eje compuesto que se muestra en la figura se manufacturó ajustando por contracción un manguito de acero sobre un núcleo de latón de manera que las dos partes actúan como una sola barra sólida en torsión. Los diámetros exteriores de las dos partes son d1 = 1.6 in para el núcleo de latón y d2 = 2.0 in para el manguito de acero. Los módulos de elasticidad en cortante son Gb = 5400 ksi para el latón y Gs = 12,000 ksi para el acero. Suponiendo que los esfuerzos cortantes permisibles en el latón y el acero son tb = 4500 psi y ts = 7500 psi, respectivamente, determine el par de torsión máximo permisible Tmáx que se puede aplicar al eje. (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.44a y b para encontrar los pares de torsión). 3.8.14 Un eje de acero (Gs = 80 GPa) con longitud total L = 3.0 m está contenido en un tercio de su longitud por un manguito de latón (Gb = 40 GPa) que está firmemente unido al acero (consulte la figura). Los diámetros exteriores del eje y el manguito son d1 = 70 mm y d2 = 90 mm, respectivamente. (a) Determine el par de torsión permisible T1 que se puede aplicar a los extremos del eje si el ángulo de torsión entre los extremos está limitado a 8.0°. (b) Determine el par de torsión permisible T2 si el esfuerzo cortante en el latón está limitado a tb = 70 MPa. (c) Determine el par de torsión permisible T3 si el esfuerzo cortante en el acero está limitado a ts = 110 MPa. (d) ¿Cuál es el par de torsión máximo permisible Tmáx si se deben cumplir las tres condiciones anteriores? Manguito de latón T A d2 = 90 mm 1.0 m L = 2.0 m 2 Manguito d1 d1 de latón d1 d2 d2 Probs. 3.8.12 y 3.8.13 Prob. 3.8.14 www.FreeLibros.com d2 Eje d1 = 70 mm de acero T B C L = 2.0 m 2 Eje de acero d1 298    CapÍtulo 3 Torsión Fijo contra rotación d(x) L — 2 Fijo contra rotación TA TB T0 dA t constante dB L (a) Fijo contra rotación Fijo contra rotación TA TB T0 dA L — 2 dA dB L (b) Prob. 3.8.15 3.8.15 Un tubo AB de una aleación de aluminio uniformemente ahusado con sección transversal circular y longitud L está fijo contra la rotación en A y B, como se muestra en la figura. Los diámetros exteriores en los extremos son dA y dB = 2dA. Una sección hueca con longitud L/2 y espesor constante t = dA/10 está moldeada en el tubo y se extiende desde B hasta la mitad del tubo hacia A. El par de torsión T0 se aplica en L/2. (a) Encuentre los pares de torsión reactivos en los soportes, TA y TB. Utilice los valores numéricos siguientes: dA = 2.5 in, L = 48 in, G = 3.9 × 106 psi, T0 = 40,000 in-lb. (b) Repita el inciso (a) si la sección hueca tiene un diámetro constante dA. IPA TA IPB Tubo A A B C L b TB Tubo B L Pasador en C Tubo A Tubo B Sección transversal en C 3.8.16 Un tubo circular hueco A (diámetro exterior dA, espesor de pared tA) se ajusta sobre el extremo de un tubo circular B (dB, tB), como se muestra en la figura. Los extremos más alejados de los dos tubos están fijos. Al inicio, un agujero que atraviesa el tubo B forma un ángulo b con una línea que pasa por los dos agujeros en el tubo A. Luego el tubo B se tuerce hasta que los agujeros están alineados y se coloca un pasador (diámetro dp) que pasa por ellos. Cuando el tubo B se libera, el sistema regresa al equilibrio. Suponga que G es constante. (a) Utilice superposición para encontrar los pares de torsión reactivos TA y TB en los soportes. (b) Formule una expresión para el valor máximo de b si el esfuerzo cortante en el pasador, tp, no puede exceder tp,perm. (c) Formule una expresión para el valor máximo de b si el esfuerzo cortante en los tubos, tt, no puede exceder tt,perm. (d) Formule una expresión para el valor máximo de b si el esfuerzo de soporte en el pasador en C no puede sobrepasar sb,perm. Prob. 3.8.16 Energía de deformación en torsión 3.9.1 Una barra circular sólida de acero (G = 11.4 × 106 psi) con longitud L = 30 in y diámetro d = 1.75 in se somete a torsión pura por pares de torsión T que actúan en los extremos (consulte la figura). (a) Calcule la cantidad de energía de deformación U almacenada en la barra cuando el esfuerzo cortante máximo es 4500 psi. (b) A partir de la energía de deformación, calcule el ángulo de torsión f (en grados). T d T L Probs. 3.9.1 y 3.9.2 capítulo 3 Problemas    299 3.9.2 Una barra circular sólida de cobre (G = 45 GPa) con longitud L = 0.75 m y diámetro d = 40 mm se somete a torsión pura por pares de torsión T que actúan en los extremos (consulte la figura). (a) Calcule la cantidad de energía de deformación U almacenada en la barra cuando el esfuerzo cortante máximo es 32 MPa. (b) A partir de la energía de deformación, calcule el ángulo de torsión f (en grados). 3.9.6 Obtenga una fórmula para la energía de deformación U de la barra circular estáticamente indeterminada que se muestra en la figura. La barra tiene soportes fijos en los extremos A y B, y está cargada por pares de torsión 2T0 y T0 en los puntos C y D, respectivamente. Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.46a y b del ejemplo 3.9, sección 3.8, para obtener los pares de torsión reactivos. 3.9.3 Un eje escalonado con secciones transversales circulares sólidas (consulte la figura) tiene una longitud L = 45 in, diámetro d2 = 1.2 in y diámetro d1 = 1.0 in. El material es latón con G = 5.6 × 106 psi. Determine la energía de deformación U del eje si el ángulo de torsión es 3.0°. d2 d1 T 2T0 T0 A B C D L — 2 L — 4 T L — 4 Prob. 3.9.6 L — 2 L — 2 Probs. 3.9.3 y 3.9.4 3.9.4 Un eje escalonado con secciones transversales circulares sólidas (consulte la figura) tiene una longitud L = 0.80 m, diámetro d2 = 40 mm y diámetro d1 = 30 mm. El material es acero con G = 80 GPa. Determine la energía de deformación U del eje si el ángulo de torsión es 1.0°. 3.9.5 Una barra en voladizo con sección transversal circular y longitud L está fija en un extremo y libre en el otro (consulte la figura). La barra está cargada por un par de torsión T en el extremo libre y por un par de torsión con intensidad constante t por unidad de distancia a lo largo de la longitud de la barra. (a) ¿Cuál es la energía de deformación U1 de la barra cuando la carga T actúa sola? (b) ¿Cuál es la energía de deformación U2 cuando la carga t actúa sola? (c) ¿Cuál es la energía de deformación U3 cuando las dos cargas actúan simultáneamente? 3.9.7 Un eje escalonado estáticamente indeterminado ACB está fijo en los extremos A y B, y cargado por un par de torsión T0 en el punto C (consulte la figura). Los dos segmentos del eje están hechos del mismo material, tienen longitudes LA y LB, y tienen momentos polares de inercia IPA e IPB. Determine el ángulo de rotación f de la sección transversal en C empleando la energía de deformación. Sugerencia: utilice la ecuación 3.51b para determinar la energía de deformación U en términos del ángulo f. Luego iguale la energía de deformación con el trabajo realizado por el par de torsión T0. Compare su resultado con la ecuación 3.48 del ejemplo 3.9, sección 3.8. A IPA T0 C t IPB LA L Prob. 3.9.5 LB T Prob. 3.9.7 www.FreeLibros.com B 300    CapÍtulo 3 Torsión 3.9.8 Deduzca una fórmula para la energía de deformación U de la barra en voladizo que se muestra en la figura. La barra tiene secciones transversales circulares y longitud L. Está sometida a un par de torsión distribuido con intensidad t por unidad de distancia. La intensidad varía linealmente de t = 0 en el extremo libre a un valor máximo t = t0 en el soporte. Cuando la barra B se libera y el sistema regresa al equilibrio, ¿cuál es la energía de deformación total U de las dos barras? (Sean IPA e IPB los momentos polares de inercia de las barras A y B, respectivamente. La longitud L y el módulo de elasticidad en cortante G son los mismos para las dos barras). t0 IPA IPB Tubo A Barra B t L L b Tubo A L Barra B Prob. 3.9.8 *3.9.9 Un tubo hueco de pared delgada AB con forma cónica tiene un espesor constante t y diámetros promedio dA y dB en los extremos (consulte la figura). (a) Determine la energía de deformación U del tubo cuando se somete a torsión pura por pares de torsión T. (b) Determine el ángulo de torsión f del tubo. Nota: utilice la fórmula aproximada IP ≈ π