T.C. MUĞLA ÜNĠVERSĠTESĠ SOSYAL BĠLĠMLER ENSTĠTÜSÜ FELSEFE ANABĠLĠM DALI RIEMANN‟IN MANĠFOLD KAVRAMI VE YENĠ BĠR MEKÂN-GEOMETRĠ ĠNġASINDAKI YERĠ FELSEFE ALANINDA YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ÖĞRENCĠNĠN ADI AHMET DĠNÇER ÇEVĠK DANIġMANLAR PROF. DR. MEHMET ELGĠN DOÇ. DR. SAMET BAĞÇE ARALIK, 2011 MUĞLA MUĞLA ÜNĠVERSĠTESĠ SOSYAL BĠLĠMLER FELSEFE ANA BĠLĠM DALI RIEMANN‟IN MANĠFOLD KAVRAMI VE YENĠ BĠR MEKÂN-GEOMETRĠ ĠNġASINDAKI YERĠ AHMET DĠNÇER ÇEVĠK Sosyal Bilimleri Enstitüsünce “Yüksek Lisans” Diploması Verilmesi Ġçin Kabul Edilen Tezdir. Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: Tezin Sözlü Savunma Tarihi: 19.12.2011 Tez DanıĢmanı : Prof. Dr. Mehmet ELGĠN Tez DanıĢmanı : Doç.Dr. Samet BAĞÇE Jüri Üyesi : Prof.Dr. Yıldıray OZAN Jüri Üyesi : Doç.Dr. Bülent GÖZKAN Jüri Üyesi : Doç.Dr. Nebil REYHANĠ Enstitü Müdürü : Prof. Dr. Namık Kemal ÖZTÜRK ARALIK, 2011 MUĞLA TUTANAK Muğla Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü‘nün ....../...../......... tarih ve ............ sayılı toplantısında oluĢturulan jüri, Lisansüstü Eğitim-Öğretim Yönetmeliği‘nin ......... maddesine göre, Felsefe Anabilim Dalı Yüksek lisans öğrencisi A.DĠNÇER ÇEVĠK‘ in ―Riemann‘ın Manifold Kavramı ve Yeni Bir Mekân-Geometri ĠnĢasındaki Yeri‖ adlı tezini incelemiĢ ve aday 19/12/2011 tarihinde saat 14.30‘da jüri önünde tez savunmasına alınmıĢtır. Adayın kiĢisel çalıĢmaya dayanan tezini savunmasından sonra ....... dakikalık süre içinde gerek tez konusu, gerekse tezin dayanağı olan anabilim dallarından sorulan sorulana verdiği cevaplar değerlendirilerek tezin ................... olduğuna ................... ile karar verildi. Tez DanıĢmanı Üye Üye Tez DanıĢmanı Üye YEMĠN Yüksek lisans tezi olarak sunduğum ―Riemann‘ın Manifold Kavramı ve Yeni Bir MekânGeometri ĠnĢasındaki Yeri‖ adlı çalıĢmanın, tarafımdan bilimsel ahlak ve geleneklere aykırı düĢecek bir yardıma baĢvurulmaksızın yazıldığını ve yararlandığım eserlerin Kaynakça‘da gösterilenlerden oluĢtuğunu, bunlara atıf yapılarak yararlanmıĢ olduğumu belirtir ve bunu onurumla doğrularım. 19/12/2011 A.DĠNÇER ÇEVĠK Aileme… TEġEKKÜR Muğla Üniversitesi Felsefe Bölümüne geldiğim günden beri desteğini esirgemeyen, tezin asıl meselesi üzerine odaklanmamı sağlayan ve tezin son okumasında ve geliĢtirilmesinde en büyük desteği aldığım tez danıĢmanım Mehmet Elgin‘e, Lisans eğitimim boyunca önce bilim felsefesine ardından da mekân ve geometri felsefesine ilgimin oluĢmasını sağlayan, tezimin tamamlanmasında önerileri ve teĢvikleriyle emek veren tez danıĢmanım ODTÜ Felsefe Bölümü‘nden Samet Bağçe‘ye, Tezimin matematik bilgisi içeren kısımlarını anlayabilmek ve anlatabilmek için bana hem derslerini takip etme fırsatını sunan hem de değerli zamanını birebir çalıĢmalarımızda sabırla bana ayıran, yorumları, teĢvikleriyle tez sürecinde desteğini esirgemeyen ODTÜ Matematik Bölümü‘nden Yıldıray Ozan‘a, Önemli kaynaklara ulaĢmamı sağlayan, içeriğe dair meseleleri sorduğum her zaman açıklayıcı yanıtlar aldığım Wuppertal Üniversitesi‘nden Erhard Scholz ve Sevilla Üniversitesinden Jose Ferreiros‘a, Jürimde olmayı kabul ettikleri ve teze değerli yorum ve eleĢtirileri ile destek verdikleri için Nebil Reyhani ve Bülent Gözkan hocalarıma, Desteklerini her daim her hücremde hissettiğim, sonuna ve sonsuza kadar arkamda olduğunu bildiğim ailem ve özellikle abim Diren Çevik‘e, Felsefe yoluna beraber çıktığım ve bu sürecin en keyifli zamanlarını lisans hayatım boyunca paylaĢtığım ve ilerde de paylaĢmayı planladığım dostlarım Volkan Çifteci ve Umut Baysan‘a, Teze hem yorumlarıyla hem de Ġngilizce‘den çevrilmesindeki çok değerli yardımlarıyla destek veren sevgili dostum Kerem Eryılmaz‘a, Bana her zaman inanan, her türlü desteği her zaman veren can dostlarım Ali Murat Çitanak ve Onur YetiĢ Kılıç‘a, Zelha Nil‘e, TeĢekkürü borç biliyorum... i ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET .......................................................................................................................................... ĠĠĠ ABSTRACT ................................................................................................................................. ĠV GĠRĠġ .......................................................................................................................................... 1 BÖLÜM 1. MEKÂNIN METAFĠZĠĞĠNĠN KISA BĠR TARĠHĠ ............................................................ 5 1.1.Titanların SavaĢı ............................................................................................................................ 5 1.2. Kant‘ın tereddüdü: Newton ve Leibniz ....................................................................................... 10 1.3. Bilimin ve mekânın temelleri üzerine: Kant, Newton ve Leibniz............................................... 11 1.3.1. Kant ve Leibniz .................................................................................................................... 11 1.3.2. Kant ve Leibniz‘in Ötesinde Bir Yol: Metafizik.................................................................. 12 1.3.3. Kant ve Newton ................................................................................................................... 14 1.4. Kant‘ın mekân teorisi .................................................................................................................. 17 1.4.1. Apriori ve aposteriori ........................................................................................................... 17 1.4.2. Analitik ve sentetik yargılar ................................................................................................. 18 1.5. Kant‘ın Geometri Felsefesi ......................................................................................................... 19 1.5.1. Zaman ve mekân kavramları ................................................................................................ 19 1.5.2. Mekânın metafiziksel açımlanması ...................................................................................... 19 1.5.3. Mekânın transendental açımlanması ................................................................................... 20 1.5.4. Görü ve Saf Görüde ĠnĢa ...................................................................................................... 21 1.5.5. Kant‘ta ‗Çoklu‘ (Manifold) Kavramı ................................................................................... 38 1.5.5.1. Kapsamlı ve Yoğun Büyüklükler (Extensive-Intensive Magnitudes)............................... 49 2.1. Herbart‘ın Felsefesi ..................................................................................................................... 56 2.1.1. Herbart‘ın Riemann Üzerindeki Etkisi................................................................................. 56 2.1.3. Russell‘ın Herbart-Riemann iliĢkisine dair görüĢleri ........................................................... 72 2.1.4. Torretti‘nin Herbart-Riemann iliĢkisine dair görüĢleri ........................................................ 73 2.1.5. Ferreiros‘un Herbart-Riemann iliĢkisine dair görüĢleri ....................................................... 76 2.1.6. Herbart‘ın Kant ile ĠliĢkisi ve Riemann Üzerindeki Etkisi .................................................. 78 BÖLÜM 3. BĠR GEOMETRĠ TARĠHĠ ............................................................................................88 3.1. Öklidyen olmayan geometrilerin kısa bir tarihi .......................................................................... 88 3.2. Bir matematik anlayıĢı geleneği olarak Grössenlehre ................................................................ 91 BÖLÜM 4. GAUSS‟UN MATEMATĠĞĠNĠN MANĠFOLD KAVRAMININ AÇIKLANMASINDAKĠ YERĠ ...................................................................................................................................................93 4.1. ‗Eğriler (curves) ve eğrilikler (curvatures)‘ ................................................................................ 93 ii 4.1.1. Gauss Eğriliği (Gaussian Curvature) ................................................................................... 95 4.2. Gauss ve karmaĢık sayılar ........................................................................................................... 99 4.3. Gauss‘un Matematiğin Temellerine ĠliĢkin GörüĢleri ve Kant ile ĠliĢkisi ................................ 102 BÖLÜM 5. RĠEMANN‟IN „HABĠLĠTATĠON ‟ DERSĠ ..................................................................... 110 5.1. Riemann'ın 1854 Tarihli Habilitationsvortrag'ının Olası Bir Yeniden ĠnĢası .......................... 110 5.2. Habilatitionsvortag‘ta Riemann ne diyor? Tarihsel-epistemolojik bir yorum.......................... 130 Herbart, Gauss, Riemann ve Kant .................................................................................................... 136 Değerlendirme.................................................................................................................................. 148 REFERANSLAR ......................................................................................................................... 152 iii Ö ZET Bu çalıĢmanın iki amacı vardır. Bunlardan biri Riemann‘ın manifold kavramını nasıl açıkladığının hesabını vermektir. Riemann bir yandan Herbart‘ın felsefesi diğer yandan da Gauss‘un matematiği tarafından etkilenmiĢtir. Bu sebeple Erhard Scholz manifold kavramının yarı felsefi bir kavram olduğunu iddia eder. Öyleyse Riemann‘ın manifold kavramında felsefesinin oynadığı rolü açıklamak önemlidir çünkü bu bize felsefenin matematikle ve diğer çalıĢma alanlarıyla nasıl ve ne ölçüde ilgili olabileceğini gösterecektir. Ardından bu kavramın geometri (özellikle mekân fikirlerinin evrimi ile ilgili meselelerde) mümkün sonuçlarını bilgi kuramsal bakıĢ açısından tartıĢacağım. Anahtar kelimeler: Riemann, manifold, mekân, Öklidyen olmayan geometriler. iv ABSTRACT This thesis aims to achieve two things. One is to give an account of how Riemann explains his notion of manifold. Riemann was influenced by Herbart‘s philosophy on the one hand and Gauss‘s mathematics on the other. For this reason, Erhard Scholz claims that the notion of manifold is a quasi-philosophical concept. It is therefore important to explicate the role philosophy plays in Riemann‘s notion of manifold as this will show how and to what extend philosophy can be relevant to mathematics and perhaps other fields of study as well. I will then discuss possible consequences of this notion for geometry (especially issues regarding the evolution of ideas of space) from an epistemological point of view. Key Words: Riemann, manifold, space, Non-Euclidean geometries. 1 GĠRĠġ Geometri felsefesinde mekân anlayıĢının geometri ve felsefe için önemli bir tartıĢma zemini yarattığını görmekteyiz. Zaman ve mekân her zaman için hem felsefe hem de matematikte büyük bir ilgi kaynağı olmuĢtur. Matematik alanındaki bu ilgi geometrinin, dünyanın anlaĢılmasında üstlendiği rol temelinde açıklanabilir. Benzer Ģekilde, felsefeciler de dünyayı anlama çabasında geometriye büyük bir ilgi göstermiĢlerdir. Çünkü onlar için zaman ve mekân bilginin merkezinde yer almaktadır. Bu anlamda geometri felsefesi matematik ve felsefenin karĢılıklı etkileĢiminde dıĢ dünyanın gerçekliğinin kavranılmasına götüren yollardan biridir. Riemann 1854 ‗Habilitation1‟ dersinde geometrinin geleneksel olmayan kavramlarla tanımlanması gerektiğini iddia etmiĢtir. Riemann Öklidyen geometrinin aksiyomlarının doğru olarak kabul edilmelerinin hiçbir rasyonel dayanağı olmadığını iddia eder çünkü ona göre bu aksiyomlar ne apriori ne de aposteriori olarak gerekçelendirilebilirler. Öte yandan, Riemann mekâna iliĢkin genel kavramlarımızın aydınlatılması gerektiğini de düĢünür. ĠĢte Riemann‘ın manifold2 kavramı bu aydınlatma iĢindeki merkezi kavramdır. Manifold kavramı en yalın haliyle, ―yapısallaĢtırılabilir noktalar kümesi‖ olarak ifade edilir Manifold kavramının ortaya çıkıĢ hikâyesi farklı disiplinlerce incelenebilir ancak bu çalıĢmada bu kavram ve ortaya çıkıĢ öyküsü sadece matematik tarihi ve bilgikuramsal açıdan ele alınacaktır. Riemann‘ın manifold kavramının ortaya çıkıĢını ve mekân ve geometri anlayıĢımızda neleri değiĢtirdiğini görmek için tarihsel bir arka plana da ihtiyaç vardır. Bu tarihsel Riemann ‗ın yaĢadığı dönemde Alman üniversitelerinde doktora sonrası üniversite konseyi tarafından belirlenen dar bir konuda verilen ders. Bu ders baĢarılı bir Ģekilde verilmeksizin üniversitede eğitim vermenin imkânı yoktu. Monastyrsky, M. (1987). Riemann,topology, and physics. Boston: Birkhauser, s.23. 2 Riemann mekânı yapısal noktalar kümesi olarak konu edinmesine karĢılık gelen kavram. Bakınız; Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company, s.103. Daha teknik bir tanımı Ģöyle verilebilir; içinde sürekliliğin tanımlandığı soyut elementlerin (mekânın noktaları) seti. Alexandroff, P.( 1932). Elementary Concepts of Topology, çevr. Alan R. Parley, Dover Publications, New York, s.8. 1 2 arka planı kurmak için öncelikle mekân fikrinin metafiziğinin tarihsel olarak incelemek gerekir. Bu nedenle, tezin birinci bölümünde bu tarihin önemli bir kısmını oluĢturan Newton ve Leibniz arasındaki ―mutlak mekân‖ (absolute space) ―iliĢkisel mekân‖ (relational space) tartıĢması ve bu iki kavrayıĢ arasında Kant‘ın aldığı pozisyon incelenecektir. Newton, mutlak mekânı ‗Tanrı‘ gibi tözsel bir entite olarak kurar ve insan aklının bu tözsel entitenin duyusal içeriğini kavrayamayacağını öne sürerken, Leibniz mekânı dünyadaki Ģeylerin birbiriyle sürekli iliĢkisi olarak görür ve insan zihninin soyutlama iĢlemiyle onu kavrayabileceğini öne sürer. Newton‘un mutlak mekân ve zaman anlayıĢı temelinde yükselen fiziği baĢarılı olup destek gördükçe, Leibniz‘in mekân anlayıĢı önemini yitirmiĢti. Kant da Newton ve Leibniz arasındaki bu tartıĢmaya sonradan dâhil olmuĢtur. Kant, ilk dönem yazılarında, Leibnizci ve Newtoncu mekân anlayıĢlarını uzlaĢtırmaya çalıĢsa da, daha sonra Euler okumalarının da etkisiyle Newtoncu mekân anlayıĢına yaklaĢmıĢtır. Kant Saf Aklın Eleştirisi‘nin Transendental Estetik bölümünde ve Prolegomena‘da zaman ve mekânı saf görünün formları olarak ele alır ve yargıları ‗analitik/sentetik; apriori/aposteriori‘ Ģeklinde ayırır. Fizik yasalarının kurucu öğeleri olarak görülebilecek ―her Ģeyin bir nedeni vardır‖ türünden önermelerin ve geometrinin önermelerinin sentetik apriori-evrensel olarak zorunlu olan ve bilgimizi geniĢleten yargılar olduğunu söyler. Tezin ikinci bölümünde Herbart‘ın felsefesinin genel olarak Riemann‘ın geometri ve doğa felsefesine etkisi, özel olarak da Riemann‘ın manifold kavramını Ģekillendirmesi üzerindeki etkisi konu edilecektir. Riemann‘ın çalıĢmaları felsefi izler de taĢır. Bu izlerin Herbart‘ın etkisiyle ortaya çıktığını belirtmek gerekir. Herbart‘ın Riemann‘ın üzerinde etkili olduğu kabul edilmekle beraber bu etkinin boyutları hakkında literatürde görüĢ ayrılıkları bulunmaktadır. Yine de bu etkinin gerçek olduğu ve manifold kavramının felsefi bir çağrıĢımının bulunduğu yadsınamaz. Herbart, eğitimine idealist Fichte‘nin yanında baĢlar, ancak eğitiminin sonlarına doğru Fichteci fikirleri eleĢtirir ve kendi pozisyonunu realist olarak tanımlayacaktır. Fichte felsefesinden uzaklaĢan Herbart Kant felsefesine yaklaĢır. Ancak mekân konusunda Kant ile aynı fikirde değildir. O, mekân konusunda 3 Leibnizci bir tutum benimser. Öte yandan, bilimsel disiplinler arasında Herbart felsefeye en yakın disiplin olarak matematiği görür. Onun görüĢüne göre felsefe diğer bilimlerle iliĢkisi içerisinde geliĢmelidir. Buna ek olarak, her disiplin bir temel kavram etrafında odaklanmalı diğer tüm teorik geliĢmeler bu temel kavram etrafında dönmelidir. Bu anlamda bu çalıĢmada Riemann‘ın manifold kavramının Herbart‘ın bilimlerin bir merkezi kavram etrafında ilerlemesi gerektiği anlayıĢıyla örtüĢtüğünü gösterilmeye çalıĢılacaktır. Daha sonra, Herbart-Riemann iliĢkisi üzerine sırasıyla Scholz‘un, Russell‘ın, Torretti‘nin ve Ferreiros‘un yorumlarına değinilecektir. Üçüncü bölümde Öklidyen olmayan geometrilerin kısa bir değerlendirilmesi yapılacaktır. Bilindiği üzere Öklidyen olmayan geometrilerin keĢfi Öklid‘in beĢinci postülatının ispatlanması giriĢimlerinin tarihidir. BeĢinci postülatın ispati giriĢimlerinde farklı metotlar denenmiĢtir. Bu postülatın ispatlanma giriĢimlerinin tarihi kullanılan yöntemler temelinde üç dönemde incelenebilir. Bu süreçteki ilk denemeler beĢinci postülatın yerine daha açık bir postülat bulma giriĢimlerini içermekteydi. Ġtalyan geometrici Saccheri bu gelenekten ayrı olarak ‗olmayana ergi‘ (reductio ad absurdum) metodunu kullanmıĢtır. Bu yolla, Saccheri beĢinci postülatı yanlıĢ olduğunu kabul ettiğimizde Öklid‘in diğer tüm postülatları çeliĢeceğini göstermeyi denemiĢti. BeĢinci postülatın ispatı giriĢimlerinin ikinci dönemi hiperbolik trigonometrik fonksiyonların kullanılmaya baĢlar. Alman geometrici Lambert bu fonksiyonlardan astronomik araĢtırmalarında faydalanmıĢ ancak Öklidyen olmayan geometrilerin keĢfine aracılık edebileceğini düĢünememiĢti. Gauss ve Taurinus bahsi geçen fonksiyonları geometri çalıĢmalarında kullandı ve Öklidyen olmayan geometrilerin keĢfinde öncü oldular. Diferansiyel denklemlerin geometride kullanılması üçüncü döneme iĢaret eder. Riemann‘ı tam da bu dönem içerisinde görürüz. 19.yy. ortalarında matematik halen Grek‘lerden beri süregelen geleneksel bir Ģekilde büyüklüklerin bilimi olarak Grössenlehre (büyüklüklerin bilimi, science of magnitudes) tanımlanıyordu ve bu anlayıĢ biçimi daha önce sözünü ettiğimiz geliĢmelerin yanı sıra manifold kavramının geliĢmesinde etkili olmuĢtur. Dördüncü bölümde Riemann‘ın manifold kavramını açıkladığı ‗Habilitationsvortrag‘ dersindeki matematiksel açıklamaları anlayabilmek için 4 gerekli olan ‗eğriler ve eğrilikler‘ (curves and curvatures) gibi temel kavramlar açıklanacaktır. Ardından Riemann‘ın takip ettiği Gauss‘un çalıĢmaları incelenecektir. Gauss manifold kavramının biçimlenmesine yüzeyler üzerine yaptığı çalıĢmalarla ve karmaĢık sayıları yorumlama Ģekliyle katkıda bulunmuĢtur. Onun eğrilikler ve yüzeyler üzerine çalıĢırken bulduğu ―Theorema Egregium” (―Olağanüstü Teorem‖) Riemann‘ın geometri çalıĢmalarında ve manifold kavramını sunmasında önemli bir rol oynamıĢtır. Bu teoremin en önemli sonucu, her yüzeyin kendi dıĢında onu çevreleyen (örneğin Öklidyen) bir mekâna referans olmaksızın ele alınabileceğini göstermesidir. Gauss‘un manifold kavramının ortaya çıkıĢında üstlendiği bir baĢka rol, karmaĢık sayıları çok daha soyut bir Ģekilde düzlem üzerindeki noktalar olarak yorumlamasıdır. BeĢinci bölümde Riemann‘ın 1854 ‗Habilitation‘ dersinin bir yeniden inĢası sunulacaktır. Bu derste Riemann geometrinin hâlihazırdaki durumunun bir kritiğini verir ve mekânı manifold olarak tanımlayıĢını diferansiyel denklemlerin yardımıyla gösterir. Ardından bu tanımı fiziksel mekâna uygular ve sonuçlarını incelemeye geçer. Habilitationsvortrag‟un yeniden yapılandırılmasının ardından bu dersin ve daha da özelde manifoldun kavramının üretkenlik, yüksek açıklama gücü ve yalınlık gibi önemli kabul edilen bilimsellik ölçütlerini sağladığı iddiası temellendirilecek ve mekânı manifold olarak almanın farklı disiplinlerde nasıl kullanıldığı ve getirdiği avantajlar tartıĢma konusu edilecektir. Son olarak manifold kavramı temelinde Riemann‘ın geometrisi bilgi kuramsal olarak tartıĢılacaktır. 5 BÖLÜM 1. MEKÂNIN METAFĠZĠĞĠNĠN KISA BĠR TARĠHĠ Herbart‘ın Kant‘ın bazı noktalarda takipçisi olmasına karĢın mekân konusunda Leibniz‘ci bir tutum benimsemesi Riemann‘ın mekânı ‗manifold‘ olarak tasviri ile ilgili bazı ipuçları taĢımaktadır. Bu bölümde Newton ve Leibniz arasındaki mutlak mekân üzerine tartıĢmalara değinilecek ve Kant‘ın neden nihai olarak Newtoncu mekân anlayıĢına yaklaĢtığı açıklanacaktır. Daha sonra, Riemann üzerinde önemli etkisi olan Herbart‘ın Kant‘ın uzay anlayıĢına karĢı neden Leibnizci uzay anlayıĢını benimsediği açıklanacaktır. 1.1.Titanların SavaĢı3 Newton mekânın cisimlerden bağımsız olduğu fikrindedir. GörünüĢteki zaman ve mekândan göreli (relative) mekân ve zaman olarak bahseder: Zaman, mekân, yer ve hareketi herkesin bildiği Ģekliyle tanımlamıyorum. Yalnızca gözlemliyorum ki sıradan halk bu nicelikleri baĢka kavramlar altında değil onların duyulur nesnelere olan iliĢkisinde kavramaktadır. Ve bu yüzden kesin önyargılar ortaya çıkmaktadır, bunları ortadan kaldırmak için bu nicelikleri mutlak ve göreceli, doğru ve görünüĢte, matematiksel ve bilindik… diye ayırmak yerinde olacaktır. 4 Ancak Newton‘un vurgusu açıkça ‗mutlak‘ ve ‗matematiksel‘ üzerinedir: Mutlak, doğru ve matematiksel zamanın kendisi, onun kendi doğasından eĢit Ģekilde, dıĢsal hiçbir Ģeye iliĢkisi olmaksızın ve süre olarak baĢka Ģekilde isimlendirilerek cereyan eder. 5 Benzer Ģekilde mutlak mekân için Ģunları yazar: Mutlak mekân kendi doğasında, dıĢsal hiçbir Ģeye iliĢkisi olmaksızın, her zaman benzer ve hareket ettirilemez kalır. Göreceli mekân mutlak mekânların ölçüsü veya hareket ettirilebilir bir boyutudur; ki bizim duyularımız onu (göreceli mekân) cisimlere Amit Hagar (2008). ―Kant and non-Euclidean Geometry‖, Kant Studien, 99 (1), s.82 Newton, Principles, Jammer, M. (1993). Concepts of Space Dover Publications, New York, içinde s.100. ―I do not define time, space, place and motion, as being well known to all. Only I must observe that the common people conceive those quantities under no other notions but from the relation they bear to sensible objects. And thence arise certain prejudices, for the removing of which it will be convenient to distinguish them into absolute and relative, true and apparent, mathematical and common.‖ 5 Newton, Rosenfeld, B.A. (1988). A history of Non-Euclidean geometry. New York: Springer-Verlag, içinde s.184. ―Absolute, true and mathematical time, of itself, and from its own nature flows equally without relation to anything external and by another name is called duration.‖ 3 4 6 pozisyonu aracılığıyla belirler, ve o genellikle hareket ettirilemez mekân için alınır, öylece gizli, havaya ait, göksel, dünyaya göre belirlenir. Mutlak mekân ve göreceli mekân Ģekil ve büyüklük bakımından aynıdır; ancak onlar sayısal olarak her zaman aynı kalmazlar. Çünkü dünya, örneğin, eğer hareket ederse, havamızın bir mekânı- ki o göreceli olarak ve dünyaya göre her zaman aynı kalır-, zamanın birinde ona havanın geçeceği mutlak mekânın bir parçası olacaktır; baĢka bir zaman o sürekli değiĢecektir. 6 Öyleyse Newton‘un mekânı ‗mutlak‘ olarak almasının anlamı onun diğer tüm mekânların kararlaĢtırılabilmesi için bir referans noktası olmasıdır. ‗Mutlak mekân‘ ―dıĢsal hiç bir Ģeye iliĢkisi olmaksızın, homojen ve hareket ettirilemezdir‖7, o ―mutlak yerlerin‖ bir araya gelmesinden oluĢur. Bu mutlak mekânlar ―verili pozisyonlarını birbirlerine göre iliĢkilerinde sonsuzdan sonsuza korurlar‖8, yani ‗mutlak hareket‘ bu ‗mutlak mekânlar‘ arasında aktarım olur.9 Buna ek olarak, yukarıdaki cümleler bize ‗mutlak mekân‘ın ―bir biçimlilik, hareket ettirilemezlik, dıĢsal her Ģeyden bağımsızlık‖10 olarak sıralanabilecek karakteristikleri olan yalnızca kavramsal bir üstyapı (conceptual superstructure) değil aksine doğadaki olup bitmelere bağlı olmayan, tersine, içinde fiziksel fenomenlerin cereyan ettiği gerçek bir yapı olduğu anlatılmaktadır. Leibniz Newton‘un ‗mutlak mekân‘ anlayıĢının yanlıĢlığını ―ayırt edilemezlerin özdeşliği” ve ―yeter sebep ilkesi‖11 ilkelerine dayalı olarak göstermeye çalıĢmıĢtır. Newton , Jammer, M. (1993) Concepts of Space Dover Publications, New York, içinde, s.100. ―Absolute space in its own nature, without relation to anything external, remains always similar and immovable. Relative space is some movable dimension or measure of the absolute spaces; which our senses determine by its position to bodies, and which is commonly taken for immovable space, such is the dimension of a subterraneous, an aerial, or celestial space, determined by its position in respect to the earth. Absolute space and relative space are the same in figure and magnitude; but they do not remain always numerically the same. For if the earth, for instance, moves, a space of our air, which relatively and in respect of the earth remains always the same, will at one time be one part of the absolute space into which the air passes; at another time it will be continually changed.‖ 7 Newton, , DiSalle, R.(2006) Understanding Space-Time, Cambridge University Press, içinde s.25. ―It is ―without regard to anything external, homogeneous and immovable.‖ 8 A.g.e., s.25. 9 A.g.e., s.25. ―It is composed of ―absolute places These absolute places ―all keep given positions in relation to one another from infinity to infinity‖, thus absolute motion becomes translation between these absolute places.‖ 10 Rosenberg, B.A. (1988). A history of Non-Euclidean geometry. New York: Springer-Verlag, s.185. ―Absolute space has characteristics of uniformity, immovableness and independence of everything external.‖ 11 Bu her ikisi de Leibniz‘e atfedilmektedir. Basitçe yeter neden prensibi her Ģeyin bir neden yüzünden meydana geldiğini söyler. Öte yandan ayrılamazların özdeşliği ise eğer iki ya da daha fazla entitenin sahip oldukları tüm özellikler özdeĢse aynı olduklarını iddia eder. 6 7 Bu eleĢtirileri incelemeye geçmeden önce Leibniz‘in ‗mutlak mekân-zaman‘ anlayıĢına karĢı geliĢtirdiği argümanı tekrar kurmaya çalıĢacağız. P1 ve p2 mutlak mekândaki noktalar, t1 ve t2 de mutlak zamandaki anlar olsun. P1 noktası p2 noktasının üç metre sağında olsun ve t1 t2 den sadece beĢ saniye sonra olsun. P1 noktasının p2 noktasının üç metre sağında olması için yeterli bir neden yoksa (en nihayetinde p1 noktasının p2 noktasının üç metre sağında olmak yerine pekâlâ baĢka bir yerde de olabilirdi) ve t1 t2 den beĢ saniye sonra olması içinde yeterli bir neden yoktur çünkü aradaki süre pekâlâ beĢ saniyeden az ya da fazla olabilirdi. Benzer Ģekilde, p1 ve p2 noktaları ve t1 ve t2 zaman aralıkları hiçbir yolla ayrılamazlardır. P1 ve p2 mutlak mekân üzerindeki aynı noktalar ise, t1 ve t2 aynı zaman aralıkları ise, hiçbir yolla ayrılamayan iki mekân ve iki zamandan bahsedebiliriz ki bu da ayrılamazların özdeşliği kanunu ile çeliĢir. Bu da, p1 ve p2 arasında ve t1 ile t2 arasında bir seçim yapmak anlamlı olmayacaksa Tanrı‘nın seçiminin (yeter sebep) pek de bir anlamı kalmayacağı anlamına gelecektir. Leibniz‘in argümanını Ģu Ģekilde özetlenebilir: 1. Mutlak uzay varsa bu uzayın hiçbir noktası herhangi diğer noktasından ayırt edilebilir olmayacaktır. 2. Eğer uzayın hiçbir noktası diğer herhangi bir noktasından ayırt edilebilir değilse, bir nesnenin uzayın herhangi bir noktası yerine diğer herhangi bir noktasına yerleĢtirilmesi arasında hiçbir fark olmayacaktır. 3. Eğer bir nesnenin uzayın herhangi bir noktası yerine diğer herhangi bir noktasına yerleĢtirilmesi arasında hiçbir fark yoksa Yeter-sebep ilkesi ihlal edilmiĢ demektir çünkü nesnenin bir nokta yerine diğer noktaya yerleĢtirilmesi arasında hiçbir açıklayıcı neden kalmamıĢtır bu durumda. 4. Tanrı her zaman en mükemmeli yarattığı için yeter-sebep ilkesi doğrudur (YSI ve MI). 5. O halde, bir nesnenin uzayın herhangi bir noktası yerine diğer herhangi bir noktasına yerleĢtirilmesi arasında bir fark vardır (MTT 3, 4). 6. O halde, Uzayın bazı noktaları diğer herhangi bazı noktalarından ayırt edilebilir (MTT 2, 5). 8 7. O halde, mutlak uzay yoktur12(MTT 1, 6). Leibniz‘in Newton‘cu ‗mekân ve zaman‘a eleĢtirilerini özetledikten sonra artık onun kendisinin mekâna iliĢkin önerisine dönebiliriz. Leibniz mekânı metafiziğinin temelinde yer alan monadlar ile açıklar. Monadlar uzamı olmayan, evreni yansıtan dıĢarıya kapalı olan, zaman ve mekân içinde yer almayan ve evrendeki düzenliliği yansıtması için Tanrı iradesine gerek duyan birimlerdir.13 Tanrı monadları evrendeki uyumu oluĢturacak biçimde düzenler. Öte yandan, bizim algıladığımız mekân salt monadlar arasındaki etkileĢimin sonucunda ortaya çıkmıĢ bir yapı değildir. Mekânın algılanması insan zihninde bir operasyonuna da ihtiyaç duyar Mekân ve zaman bizim algımızda söz konusudur, Tanrı zamanın ve mekânın kaynağıdır ve o da monadlar gibi zamanın ve mekânın dıĢındadır. Mekân beraberce var olan fenomenlerin düzenliliğidir.14 Leibniz mekânı gerçek bir entite olarak kabul etmez bunun yerine onu, Ģeylerin sürekli ve beraberce var olmalarından çıkarsar. Newton‘un mutlak mekân anlayıĢında ‗matematiksellik‘ ve ‗mutlaklık‘ vurgusu olduğunu söylemiĢtik, Leibniz için ise mekân iliĢkiler sistemidir ve bu iliĢkiler sistemini ‗iliĢki‘ ve ‗süreklilik‘ olarak ele alır. Böylece, her Ģeyin mekânı diğer bir Ģeyin o anda varlığına referansla belirlenmektedir. Newton‘cu ve Leibniz‘ci mekân anlayıĢları, kavramsal düzeyde, düzenleme, hizaya sokma iĢlemlerinde iĢ görmeleri için tasarlanmıĢtır.15 Buna ek olarak, her iki filozofun açıklamaları ‗mekân‘‘ın üç boyutlu Öklidyen geometrisi olduğunu kabul eder.16 Öte yandan iki filozofun anlayıĢları arasında önemli farklılıklar vardır. Bu farklardan ilki iki filozofun mekân anlayıĢlarına atfettikleri ontolojilerde göze çarpmaktadır. Newton için ‗mutlak zaman-mekân‘ var olan Ģeylerden önce gelirken Rodriguez, G. (1999). ―Leibniz‘s argument for the Identity of Indiscernibles in his correspondance with Clarke‖, Australasian Journal of Philosophy, 77 (4), ss. 429-438. 13 Leibniz, G.W. (1988). Monadoloji çev: Suut Kemal Yetkin Milli Eğitim Gençlik ve Spor Bakanlığı Yayınları, Milli Eğitim Basımevi, Ġstanbul , s.2 14 Leibniz, G. W (1951). Selections, ed: Philip P. Wiener, Charles Scribner‘s Sons, New York, s.108. 15 Agassi, J. (1969). ―Leibniz‘s Place in the History of Physics‖, Journal of the History of Ideas, Vol. 30, No 3. s. 336 16 A.g.y., s.336. 12 9 (ontolojik anlamda), Leibniz bu görüĢü kabul etmez, onun için mekân mekânsal iliĢkilerin zihinde soyutlanmasıyla elde edilir.17 Khamara‘nın da özetlediği gibi: Leibniz‘in göreceli mekân ve zaman teorisinin merkezinde olan tez onların ontolojik statülerini ilgilendirmektedir: Bu tezi Leibniz‘in ortaya koyduğu Ģekilde zaman ve mekânın varlığı, sıradan bir Ģekilde onların yerini dolduran Ģeyler olarak gördüğümüz Ģeylerin varlığı üzerine parazitiktir. Yani, eğer maddesel cisimler yoksa mekân yoktur 18 ve eğer olaylar ve süreçler yoksa zaman da olmayacaktı. Yani, Leibniz‘in mekân anlayıĢı Ģeylerin varlığının kalıcılığında temellenirken, Newton onu Ģeylerden bağımsız bir yere koyar. Ontoloji konusunda bu farkla ilgili olarak dikkat çekilen ilk nokta için Leibniz Ģunu söyler: Bana kalırsa, birden fazla Ģekilde açıkladım ki ben mekânı arı Ģekilde göreli olarak anlıyorum, zamanı olduğu gibi. Onun aynı anda var olanların düzeni olduğunu anlıyorum, zamanın ardı ardına gelmelerin düzeni olarak anladığım gibi. Çünkü mekân, onların özel varoluĢ yollarını dikkate almaksızın, bir arada olmaları itibariyle aynı anda var olan Ģeylerin olanağı açısından ifade edilir.19 Öyleyse Leibniz‘in mekân teorisi mekânın varlığı konusunda indirgemecedir; o mekânı ayrı bir kap olarak kabul etmez. Ancak ne Newton ne de Leibniz mekânsal iliĢkileri daha ilksel iliĢkilere indirgeyecek kadar indirgemeci değildirler.20 Newton‘un matematiksel mutlak mekânı sürekli iken, Leibniz‘in Ģeylere göreli iliĢkisel mekânı sürekli değildir. Bu belirleme biraz daha açıklamayı gerekli kılmaktadır. Leibniz‘in süreklilik anlayıĢı felsefesi açısından önem taĢımakla beraber onun bu konuyla ilgili görüĢleri karıĢık görünmektedir. Leibniz‘de bu karıĢıklığı gösteren birkaç cümle bulmak mümkün: ―Madde sürekli değil, ama parçalıdır (discrete)… Aynısı sürekli olmayan değiĢimler için de geçerlidir.‖ Sürekli nicelik Arthur, R.(1994). ―Space and Relativity in Newton and Leibniz‖, The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 45, No. 1, s.229. 18 Khamara.E. J. (1993). ―Leibniz‘s Theory of Space: A reconstruction‖, The Philosophical Quarterly, Vol. 43, No. 173, Special Issue: Philosophers and Philosophies, s. 473. ―The central thesis of Leibniz' relative theory of space and time concerns their ontological status: it asserts that they are, as Leibniz put it, 'relative beings', in that their existence is parasitic upon the existence of things which we ordinarily regard as their occupants. Thus if there were no material bodies, there would be no space; and if there were no events or processes, there would be no time.‖ 19 Leibniz, a.g.y., içinde s.473. ―For my part, I have stated more than once that I hold space to be something purely relative, as time is: that I hold it to be an order of co- existences, as time is an order of successions. For space denotes in terms of possibility an order of things which exist at the same time, in so far as they exist together, without considering their particular ways of existing.‖ 20 Khamara.E. J. (1993). ―Leibniz‘s Theory of Space: A reconstruction‖, The Philosophical Quarterly, Vol. 43, No. 173, Special Issue: Philosophers and Philosophies, s. 473. 17 10 olanaklara ait olan ideal bir Ģeydir… Gerçekte yalnızca parçalı (discrete) nicelik vardır…‖21 Öte yandan, Leibniz maddeyi ―gerçekte sonsuza bölünmüĢ‖ olarak yani ‗yoğun‘ olarak tanımlar ve ―(sürekli) mekânın tayin edilebilir hiçbir kısmı maddeden yoksun değildir.‖22 Yine de Leibniz‘in mekân teorisinin Ģunu iddia ettiğini göstermeye çalıĢan giriĢimler vardır: ―Madde süreklidir (yani sürekli bölünebilirdir), ve maddesel evren uzamda sınırsızdır. Yine de, maddesel evrenin bir baĢlangıcı olduğunu farz etmek daha makul görünmektedir, öyle ki zaman geçmiĢe göre sonsuz olmasın.‖23 Russell‘ın Leibniz‘in felsefesinde ‗süreklilik‘ meselesi ile ilgili yorumu meseleyi uca taĢımaktadır: ―Süreklilik kanununa rağmen, Leibniz‘in felsefesi süreklinin tamamen inkârı olarak tarif edilebilir.‖24 1.2. Kant‟ın tereddüdü: Newton ve Leibniz Kant, 1755 tarihli Thoughts on the True Estimation of Living Forces25 adlı eserinde, Newton ve Leibniz‘in mekân anlayıĢlarını uzlaĢtırma çabası içerisindedir. Leibniz ile hemfikir olarak Kant mekânsal kavramların birlikte var olan Ģeylerin düzeni aracılığıyla gelen empirik verilerin refleksiyonları ile değil, var olan Ģeylerin karĢılıklı etkileĢimleri yardımıyla elde ettiğimizi düĢünür. Çünkü Kant için madde, öylece nedensel içsel bağlılığın kaynağı olamaz; Ģu halde Newton‘un mutlak mekânında anlamını bulan bu yücelik (divine) ve bağımsızlık (independent) tanrıya benzer (Godlike) bir varlığı çağrıĢtırmaktadır. Leibniz, Arthur, R. T.W (1986). ―Leibniz on Continuity‖, Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association, Vol. 1986, Volume One, içinde s. 107. "Matter is not continuous, but discrete.... The same holds for changes, which are not truly continuous." Continuous quantity is something ideal, which pertains to possibles... . In Actuals there is only discrete Quantity...‖ 22 A.g.y., ―no assignable part of [continuous] space is devoid of matter." 23 Khamara.E. J. (1993). ―Leibniz‘s Theory of Space: A reconstruction‖, The Philosophical Quarterly, Vol. 43, No. 173, Special Issue: Philosophers and Philosophies, s. 475. ―Matter is continuous (i.e., infinitely divisible), and the material universe is infinite in extent. However, it is more reasonable to assume that the material universe had a beginning, so that time is not infinite with respect to the past.‖ 24 Russell, Arthur, R. T.W (1986). ―Leibniz on Continuity‖, Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association, Vol. 1986, Volume One, içinde s. 107. ―In spite of the law of continuity, Leibniz's philosophy may be described as a complete denial of the continuous.‖ 25 Kant, I. (1929). Kant‟s Inaugural Dissertation and Early Writings on Space, içinde, çev. J. Handyside, ss.3-15. 21 11 Benzer Ģekilde 1756 tarihli the Physical Monadology26 eserinde de Kant metafizikçi için nihai gerçekliğin temel, bölünemez monadlardan oluĢtuğu iddiası karĢısında matematikçi için mekânın sonsuzca bölünebilir olduğunu savunur.27 Sonuç olarak, fizikçi matematiksel mekânı metafiziksel madde üzerinde uygular. Bu mekân töz olarak değil tözler arasındaki iliĢkiler olarak alındığında ve eğer töz kuvvetin merkezinde, kuvvetlerin kolektif iĢlemi olarak karĢılıklı etkide olduğu kabul edilirse mümkündür. Basit bir töz hemen yanındaki monadların yaklaĢımını engellemek amacıyla daha kuvvetli ya da zayıf itme kuvvetlerinin uygulanmasına göre daha geniĢ ya da küçük maddesel parçacıkların sayısında yer tutar. Öyleyse, mekânsal büyüklük, töz tarafından uygulanan fiili kuvvetin yoğunluğunun ölçüsü olarak tarif edilebilir. 1.3. Bilimin ve mekânın temelleri üzerine: Kant, Newton ve Leibniz Kant‘ın eleĢtirel felsefesinin temel amacı, zamansal-mekânsal kavramlarımızın nesnel bilimsel doğasının nasıl ortaya çıktığını anlamaya çalıĢmaktı. Kant, kendi felsefesini kurarken, Leibniz‘in metafiziğini ve Newton‘un fiziğini derinlemesine incelemiĢtir. Kant‘a göre Leibniz‘in metafiziği, kuvvet ve hareket gibi kavramların doğalarını sunmada baĢarısız olduğu için onun arzu ettiği türde bilgi sağlamamıĢtır. Öte yandan, Kant için Newton‘un fiziği yeterli bir açıklama sunmaktadır. 1.3.1. Kant ve Leibniz Kant‘ın Leibnizci iliĢkisel mekân fikrini reddediĢi iki Ģekilde ortaya çıkar; bunların karĢılıklı iliĢkisinde Kant‘ın Leibniz‘in mekân fikrini reddediĢini anlamamız kolaylaĢacaktır. Bu amaçla öncelikle mutlak-iliĢkisel mekân tartıĢması izlenebilir. Ardından Kant‘ın metafizik üzerinden sürdürdüğü daha genel bir Leibniz eleĢtirisi dikkate alınabilir. ġimdi öncelikle birinci yoldan ilerleyelim. Kant, I. (1992). Theoretical Philosophy 1755-1770 içinde, çev. D. Waldford ve R. Meebbote, Cambridge: Cambridge University Press, ss. 51-66. 27 A.g.e., s.131. 26 12 Kant 1768 tarihli “ÖrtüĢmeyen EĢler‖28 makalesinde Leibniz‘ci iliĢkisel mekân iddiasına karĢı bir örnek sunar. Sağ ve sol el tamamıyla aynı içsel özelliklere sahip olmalarına rağmen farklı uzayları örterler. Kant‘ın sorusu Ģudur: bu tamamıyla aynı içsel özelliklere sahip iki Ģeyin farklı uzayları örtmesi nasıl açıklanabilir? Bunu onların içsel özellikleri bakımından açıklayamayız zira bu özellikler bakımından bir farklılık yoktur. O halde, soru ancak bu iki Ģeyin dıĢsal bir Ģeyle olan iliĢkisi çerçevesinde açıklanabilir ki bu da bu iki cismin örttüğü mekânlarla ilgilidir. Demek ki, mekân nesnelere önsel olarak var olmalıdır. 29 Kant Eleştiri döneminde hem Newton‘cu hem de Leibniz‘ci zaman-mekân anlayıĢlarını her ikisinin de ―Dogmatik metafizik‖ olduğu gerekçesi ile reddeder. 1770 yılındaki doktora tezinden itibaren zaman ve mekânı ―görünün arı formları‖ olarak değerlendirmeye baĢlar. Kant‘a göre hem Newton‘cular hem de Leibniz‘ciler zaman ve mekânın kendinde Ģeylere ait olduğunu düĢünmüĢlerdir. Kant bu kanıya Newton‘un mutlak mekânın gerçekliğini iddia etmesiyle, Leibniz‘in de mekânı gerçek Ģeylerin iliĢkilerinde temellendirmesi sonucunda varır. 1.3.2. Kant ve Leibniz‟in Ötesinde Bir Yol: Metafizik Kant metafizik meseleleri Eleştiri öncesinde de ele almıĢtır. O özellikle 1763 tarihli Berlin Bilimler Akademisi‘nin makale yarıĢması için hazırladığı Inquiry concerning the Distinctness of the Principles of Natural Theology and Morality makalesinde metafiziğin ve matematiğin tanımlarındaki kesinliklerine ulaĢma yöntemleri ile ilgili düĢüncelerini ortaya koymuĢtur. Kant‘a göre metafizik kesin tanımlanamayan Kant‘ın eleĢtiri döneminde ―örtüĢmeyen eĢler‖ mutlak-iliĢkisel mekân tartıĢması bağlamında değil onun mekânın kavramlara indirgenemeyecek görüsel gösterimi iddiası temelinde mekânın görüsü problemi bağlamında tartıĢılmıĢtır. Kant‘ın bu dönem incelemeleri meseleyi özel bir metafiziksel bakıĢ açısı özel bir fenomeni açıklayabilir mi sorusu çerçevesinde değil, daha ziyade deneyimin mümkün koĢulları için mekân ile ilgili neleri varsaymamız gerektiği üzerinedir. Kant‘ın ―örtüĢmeyen eĢler‖ argümanını mutlak-iliĢkisel mekân çerçevesinde ele alıĢımızı Ģüpheli kılacak baĢka bir neden ise argümanın mutlak-iliĢkisel mekân ile ilgili olmaktan ziyade onun mekânın üç boyutlu olması ile ilgili olmasından kaynaklanmaktadır. Yani mutlak-iliĢkisel zaman mekân anlayıĢları birer teori iken, ―örtüĢmeyen eĢler‖ mekânın daha spesifik bir özelliği olan ‗boyut‘ meselesi ile ilgilidir. Bakınız; DiSalle, R.(2006) Understanding Space-Time, Cambridge University Press, s.62-64. 29 Gözkan, B. (2006). ―Kant‘ın EleĢtiri Öncesi Döneminden EleĢtiri Dönemine GeçiĢteki Anahtar Yazı: Uzayda Yönler Arasındaki Farklılığın Nihai Dayanağı Hakkında‖, Felsefe Tartışmaları, 37.sayı, içinde, ss. 49-51. Ayrıca bakınız: Kant, I. (1992).―Concerning the Ultimate Ground on the Differentiation of Directions in Space‖, Theoretical Philosophy 1755-1770 içinde, çev. D. Waldford ve R. Meebbote, Cambridge: Cambridge University Press. 28 13 kavramların salt analizini yaparak ilerlemektedir. Buna karĢıt olarak, Kant‘a göre, matematikteki tanımlar sentetiktir.30 Biz düĢüncemizde ya da bir kâğıt üzerinde nesneleri inĢa edebiliriz ve duyusal görümüz (sensible intuition) bu süreçte hayal gücümüzü sınırlayan bir iĢleve sahiptir. Bu sınırlayıcılık tanımlardaki olası keyfilik ve olası anlam muğlâklıklarından kurtulmamızı sağlar. Öte yandan, metafiziğin tanımlarında bu tür olası keyfilik ve olası anlam muğlâklıklarını görmek mümkündür çünkü metafizikteki kavramları tanımlarken duyusal sezginin matematiğin kavramlarını tanımlama sürecinde oynadığı sınırlama rolünü oynayacak bir yeti yoktur. Örneğin ‗Tanrı‘ veya ‗töz‘ dediğimizde hayal gücümüzde herhangi bir Ģey bulamayız ve bu nedenle de ‗Tanrı‘ ya da ‗töz‘ gibi kavramların tatmin edici bir tanımına ulaĢamayız çünkü tanımların uygunluğunu denetlemek için temel alacağımız hiçbir Ģey yoktur. Eğer metafizik böyle bir tanımı sentez yardımıyla verecek olursa, duyusal sezginin eksikliğinde sonuç muhtemelen Leibniz‘in tikel görülemeyen ‗monad‘ ları gibi keyfi bir kavram olacaktır. Bu tür kavramlar üzerine inĢa edilen felsefi bir sistem de ister istemez hipotetik bir karaktere sahip olacaktır.31 Kant için geometri salt kavramsal mantık analizi ile temellenebilecek bir bilim değildir. Öte yandan, ona göre geometri, deneysel bir bilim de değildir, onun Kant, I. (1992).―Inquiry concerning the Distinctness of the Principles of Natural Theology and Morality‖, Theoretical Philosophy 1755–1770 içinde, çev. D. Waldford ve R. Meebbote, Cambridge: Cambridge University Press. 31 Sonsuzluk‘ ‗süreklilik‘ kavramları ile ilgili 19.yy matematiğindeki bazı geliĢmelerin Kant‘ın matematiksel kavramların doğasına iliĢkin iddialarını çürüttüğünü düĢünenler olsa da onun Leibniz‘in görüĢlerine getirdiği eleĢtirilerinin halen etkili genel olarak kabul görmektedir. DiSalle‘nin de belirttiği gibi:―Onun sezginin vazgeçilmezliğine inancı, çoğu yorumcunun da belirttiği gibi, yalnızca, onun anladığı kadarıyla mantığın sınırlarını yansıtmaktadır. Yine de bu geliĢme onun Leibniz geleneği eleĢtirisini zayıflatmamaktadır. Bilakis, eleĢtirisinin matematiğin daha fazla geliĢebilmesi için ne kadar can alıcı bir önemi olduğunu göstermektedir. Kant eğer matematiksel akıl yürütmenin sezgisel inĢalara baĢvurması gerektiği konusunda yanıldıysa, matematikçilerin aslında sezgiye güvendiğini düĢünmesinde haklıydı-Leibniz gibi matematikçiler bile matematiği ve onun doğruluğunun temelini anlamalarını yalnızca düĢünsel olarak tasavvur etti. 19.yy felsefecileri sezgisel adımların matematiksel akıl yürütmesinin olmadığı Ģeklindeki Leibnizci illüzyonun etkisinde kalmıĢ olsalardı, sezgisel adımların matematiksel akıl yürütmesini temize çıkaramazlardı‖. DiSalle, R.(2006) Understanding Space-Time, Cambridge University Press, s.64–65. ―His belief that intuition was indispensable, as many commentators have pointed out, only reflected the limitations of logic as he understood it. But this development does not undermine his critique of the Leibnizian tradition. On the contrary, it reveals how crucially important that critique was for the further development of mathematics. If Kant erred in thinking that mathematical reasoning must appeal to intuitive constructions, he was correct in thinking that mathematicians did in fact rely on intuition – even mathematicians who, like Leibniz, imagined that their grasp of mathematics, and the foundation of its truth, were purely intellectual. Nineteenth-century philosophers could not have purged mathematical reasoning of intuitive steps, surely, had they remained under the Leibnizian illusion that there were none.‖ 30 14 önermeleri evrensel ve apodeiktir; yani kendi zorunluluklarını beraberlerinde getirir. Öyleyse mekânın gerçekliğinin ve bilgisinin kavranmasında deneysel olmayan apriori görüye de ihtiyaç vardır. Bu da, zihnimizin düĢünme yetisinden farklı olan kendi apriori formlarına sahip duyusal görü aracılığıyla gelebilir. Sonuç olarak, Kant‘a göre, Leibniz‘in metafiziği hipotetik bir yapıya sahip olduğundan dolayı geometri ya da matematiğin baĢka bir dalı için bir temel olamazdı. Hem Kant hem de Leibniz mekânın yalnızca empirik olarak bilinemeyeceği konusunda hemfikirdirler. Onlara göre mekânın bilgisi, bilen öznenin, empirik bilgi üzerinde gerçekleĢtirdiği operasyonla elde edilir.32 Leibniz için hem mekânın formunun veya düzeninin kaynağı hem de mekânsal iliĢkideki empirik içeriğin kaynağı özne olduğundan, mekânın ve zamanın iliĢkiselliği empirik içerikte örtük olarak mevcuttur. Öte yandan, Kant için mekân ve zamanın düzeni ve empirik içeriği farklı kaynaklara sahip olduğundan mekân ve zamanın iliĢkiselliği empirik içerikte mantıksal olarak içerilmez.33 1.3.3. Kant ve Newton Leibniz‘den farklı olarak Newton‘un fiziğinin kurucu öğeleri Kant için bir alternatif olabilirdi. Kant Newton ve Leibniz‘e dair görüĢlerini olgunlaĢtırırken Leibniz ve Newton‘u önceleri uzlaĢtırmaya çalıĢan Euler‘den etkilenmiĢtir.34 18.yy.‘da fiziksel araĢtırmaların öneminin artmaya baĢlamasıyla mekânın doğası tartıĢmasının galibi Newton‘cu mutlak mekân olmuĢtu.35 Euler, Newton‘un mutlak mekânının mantıksal zorunluluğunu göstermek için büyük çaba sarf etmiĢti. Öte yandan Euler sonraları, Leibniz‘in metafiziğinin, fiziksel fenomenin açıklanmasında kullanılamayacağı sonucuna varsa da, Leibniz‘in metafiziksel açıklamalarına sempati duymuĢtur.36 Northrop., F.S.C. (1946). ―Leibniz‘s Theory of Space‖, Journal of the History of Ideas, Vol. 7, No.4, s 441. 33 A.g.y. 34 A.g.y., s.57, Jammer, M. (1993) “Concepts of Space” Dover Publications, New York, s.131. 35 Jammer, M. (1993) “Concepts of Space” Dover Publications, New York, s.127. 36 DiSalle, R. (2006) Understanding Space-Time, Cambridge University Press, s.51. 32 15 Euler‘i Leibniz metafiziğinin doğanın açıklanmasında iĢlevsiz olduğu sonucuna götüren nedenleri ayrıntısına girmeden irdelemek yerinde olacaktır. Belirttiğimiz gibi Euler, Newton ve Leibniz‘i uzlaĢtırmaya çalıĢıyordu, ancak o, töz, nedensellik ve nesnenin doğası gibi Leibniz‘in apriori bir Ģekilde yaklaĢtığı meselelere empirik olarak yaklaĢma eğilimindeydi. Euler için mesele olan mutlak zaman ve mekânın varlığının gerçekliği değildi. Bundan ziyade onun için mesele ―mutlak hareketin ve dinginliğin kararlaĢtırılabilmesi için böyle bir mekânı tasarımlamak‖37 gerekliliğiydi. Dolayısıyla, Euler‘in Leibniz metafiziğinden Newton‘a geçiĢi onun mutlak mekân ve dinginliği empirik Ģekilde açıklama eğiliminin bir sonucudur. O, özellikle Leibniz‘in, Newton‘un mutlak hareket teorisine karĢı çıkıĢını eleĢtirmiĢtir. Euler‘e göre fiziksel kanunlar üzerine Newton‘un teorisi öyle iyi temellenmiĢtir ki ne Leibniz‘in metafiziği ne de baĢka herhangi bir sistem bu teoriye alternatif olamazdı. Sonuç olarak, Euler için hiçbir metafiziksel prensip fiziğin ve onun temel kavramları olan zaman ve mekânı sorgulayabilme otoritesine sahip değildir. Kant Euler‘in Newton‘un Principia‘sının temel iddiaları üzerine çalıĢırken geliĢtirdiği argümanlarından ve iddialarından etkilenmiĢtir. Kant‘ın Euler‘den etkilenmesi ile ilgili olarak özellikle iki noktanın altını çizmeliyiz. Bunlardan ilki dinamiğin zaman-mekânın belli özelliklerini varsaymak zorunda oluĢu ve düzenli hareketin Leibniz‘in iliĢkisel mekânı ile çözülemeyeceği düĢüncesidir. Ġkinci noktayı ise Ģöyle özetleyebiliriz. Leibniz mekânı iliĢkilere indirgemiĢti. Öyleyse hareket, göreceli pozisyonun değiĢimine göre açıklanmalıydı. Dolayısıyla Leibniz‘ci mekân anlayıĢında kuvvet kavramının gerçek metafiziksel bir nicelik olarak göreceli hareket ile nasıl uyumlu hale getirilebileceği önemli bir soru olarak karĢımıza çıkar. 38 Yani, Leibniz‘in mekân anlayıĢında biz mekânın karıĢık bir resmini görürüz: Newton‘un dialektik argümanının nihai amacı-―ki o amaç için Principia‘yı yazdığını bildirir-―dünyanın sisteminin referansı‖ sorusunu çözmektir. Ve argümanın itme kuvveti mekâniğin kabul edilmiĢ prensipleri, açık olmayan Ģekilde, soruyu radikal Ģekilde dönüĢtüren doğru hareketin tanımını içermesidir. Leibniz için, örneğin, soru, hareketin fenomenal ve göreli olduğunu belirten felsefi anlayıĢla dönüĢmüĢtü: bu yüzden sorunun Jammer, M. (1993) Concepts of Space Dover Publications, New York, s.129. ―…to imagine such a space for the determination of absolute motion and absolute rest.‖ 38 DiSalle, R. (2006). Understanding Space-Time, Cambridge University Press, ss.57-58. 37 16 objektif bir yanıtı yoktur ve biz cismin dingin olduğunu söyleyen en basit hipotezi 39 seçmekten daha fazla yapabileceğimiz bir Ģey yoktur. Kant temel kurucu prensiplerin mümkün deneyimi açıklaması gerektiğini yani onların transendental olması gerektiğini iddia etmiĢti. Bu anlamda, Newton‘un mutlak zaman-mekânı maddeyi, hareketi ve kuvveti anlamak için gerekli koĢulları gösteriyordu. Kant‘a göre Newton fiziği doğal süreçleri hepsi mekânik terimlerle anlaĢılacak entitelerin özelliklerine, temel prensiplere ve etkileĢimlere indirgemektedir. Bu suretle, mekânik felsefe fiziğin kesinliğinin sorgulanabileceği bir nokta olmaktadır. Tüm bunlara ve Kant‘ın Newton fiziğini fiziğin yapısallaĢtırıcı tanımlarını sağlaması açısından çok önemli bulmasına karĢın onu eleĢtirmekten geri durmamıĢtır. Daha önce vurguladığımız gibi Newton genel olarak fiziğin kanunlarını özel olarak da mutlak zaman ve mekânı yalnızca hipotezler olarak anlamakla kalmamıĢtır. Kant Newton‘un mutlak zaman mekânı ile ilgili bazı metafiziksel problemler olduğuna da dile getirmiĢtir. Ona göre Newton‘un kastettiği anlamda zaman-mekânın mutlaklığı vurgusu töz üzerine düĢünen geleneği anımsatmaktadır. Newton‘cular mekânı tüm cisimlere, iliĢkilere, zihne önsel olan, nedensel iliĢkilerden yoksun, sonsuz ve dokunarak hissedilmeyen bir Ģey olarak tasarladılar. Böyle bir bakıĢ açısında, Kant‘a göre, mekân kavramı sonsuz bir töz gibi tanrı benzeri (Godlike) bir entite halini almaktadır. Bu haliyle Newton‘un mutlak zaman-mekânı ―mümkün deneyimin ilkeleri‖ olamaz. Newton ve Leibniz‘in mekân tasarımlarını, Kant‘ın bu iki metafizik ve mekân tasarımları arasında kalıĢını ve Euler okumalarının etkisiyle yönünü nasıl belirlediğini gördükten sonra artık Kant‘ın mekânı nasıl tasarladığını ve onun geometri felsefesini inceleme fırsatına sahibiz. A.g.e., s.47. ―The ultimate object of Newton‘s dialectical argument-―the aim for which I composed‖ the Principia- is to resolve the question of ―frame of the system of the world‖. And the thrust of the argument is that accepted principles of mechanics contain, implicitly, a definition of true motion by which the question is radically transformed. To Leibniz for example, the question was transformed by the philosophical insight that motion is purely phenomenal and relative: the question therefore has no objective answer, and we can do no more than choose the simplest hypothesis about which body is at rest.‖ 39 17 1.4. Kant‟ın mekân teorisi Bu bölümde Kant‘ın epistemolojisinin temel kavramları ve bunların mekân anlayıĢı ile olan iliĢkisi ele alınacaktır. 1.4.1. Apriori ve aposteriori Kant apriori yargı hakkında Ģunları söyler: ġu öyleyse daha yakından araĢtırılması gereken ve hemen ilk bakıĢta yanıtlanamayacak bir sorudur: Deneyimden ve giderek tüm duyu izlenimlerinden bağımsız bir bilgi var mıdır? Bu tür bilgi apriori olarak adlandırılır ve kaynağını aposteriori, e.d. deneyimde bulan görgül bilgiden ayırt edilir. 40 Yukarıdaki alıntı aposteriori yargıların da duyu izlenimlerinden ve deneyimden bağımsız olmayan onlara bağlı olan yargılar olduğunu ima eder. Yani Kant için apriori, basitçe tüm deneyimden bağımsız olarak anlaĢılmalıdır. Buna zıt olarak aposteriori bilgi deneyim yoluyla kazanılır. Zorunluluk ve evrensellik bilginin apriori olmasını garanti eden kıstaslardır. Bu kıstasları karĢılamayan herhangi bir bilgi aposterioridir: Deneyim hiç kuĢkusuz bir Ģeyin Ģu ya da bu doğada olduğunu öğretir, baĢka türlü olamayacak olduğunu değil. Öyleyse, ilk olarak, düĢünüldüğünde aynı zamanda zorunluluğu ile düĢünülen bir önerme varsa, bu bir apriori yargıdır ve eğer, bundan baĢka, kendisi de yine zorunlu olarak geçerli olan bir önerme dıĢında baĢka bir önerme dıĢında baĢka bir önermeden türetilmemiĢse, o zaman saltık olarak aprioridir. Ġkinci olarak, deneyim yargılarına hiçbir zaman gerçek ya da sağın değil ama yalnızca varsayımlı ve karĢılaĢtırmalı evrensellik verebilir (tümevarım yoluyla), öyle ki gerçekte ancak Ģimdiye dek algılamıĢ olduklarımıza göre Ģu ya da bu kurala aykırı hiçbir durum yoktur diyebiliriz. Buna göre, eğer bir yargı sağın evrensellik içinde, e.d. hiçbir kuraldıĢına olanak tanımayacak bir yolda düĢünülüyorsa, o zaman deneyimden türetilmiĢ değildir ve saltık olarak apriori geçerlidir.41 Kant bu belirlemelerin hemen ardından apriori, evrensel ve zorunlu bilimlere örnek olarak matematiği verir; ona göre matematiğin tüm önermeleri bu bahsedilen özellikleri sağlamaktadır.42 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, s.53. A.g.e., s.54. 42 A.g.e., s.54 40 41 18 1.4.2. Analitik ve sentetik yargılar Kant‘a göre analitik ve sentetik yargılar arasındaki ayrım söz konusu yargılardaki özne-yüklem iliĢkisine göre yapılır. Analitik yargıların iki koĢulu sağlamasını bekleriz: Yargının yüklemi öznede içerilir ve bu yargılar bizim bilgimize hiçbir Ģey eklemezler. Sözgelimi ―üçgen üç kenarlı bir cisimdir‖ önermesi bu koĢulları taĢıması bakımından analitik bir yargıda bulunmaktadır. Sentetik önermeler, öte yandan, özne-yüklem arasında bir aynılık iliĢkisi içermezler. Özne yüklemi içermese bile yine de aralarında bilgimizi arttıracak bir iliĢki vardır. Kant‘a göre sentetik yargıları üç biçim içinde görüyoruz: 1. Deneyimin yargıları, 2. Matematiksel yargılar, 3. Metafiziksel yargılar.43 Yukarıdaki tanımlamalarda, analitik yargıların yalnızca apriori olabileceği çok açıkken apriori yargıların aynı zamanda sentetik olabileceği aynı derecede açık değildir. Buna en güzel örnek matematikteki aksiyomlardır. Hem geometri hem de aritmetiğin aksiyomları analitik doğrular değilse sentetiktir ancak bunlar bildiğimiz türden sentetik yargılardan çok farklıdır (örneğin ―Mars‘ın yörüngesi elipstir‖ önermesi de sentetiktir ama bu ―iki nokta arasındaki en yakın mesafe bir doğrudur‖ önermesinden bir hayli farklıdır). Matematikteki bu aksiyomlar aynı zamanda bir zorunluluk bildirirler fakat bu sahih önermeler analitik olmadığı için mantıksal bir zorunluluk değildir. Zorunluluk deneyimden gelemeyeceğine göre öznede bir Ģekilde kaynağını bulmalıdır; o halde, matematiğin bu türden yargılarına sentetik ama apriori diyebiliriz. A.g.e., B12, B15 , B18 , s., 63-65-66, Kant, I .(2002). Prolegomena, çev. Ġonna Kuçuradi-Yusuf Örnek, Türkiye Felsefe Kurumu, Ankara, s. 16-19. 43 19 1.5. Kant‟ın Geometri Felsefesi 1.5.1. Zaman ve mekân kavramları Zaman ve mekân apriori bilgiyi üreten ―saf görünün formları‖dır. 44 Kant‘a göre ―Uzayda Ģekil, büyüklük ve birbirleri ile iliĢkileri belirli ya da belirlenebilirdir.‖45 Kant diğer bir saf görü formu olan zaman için ise Ģunları söyler: Zaman genel olarak tüm görüngülerin biçimsel apriori koĢuludur. 46 Zaman iç duyunun, e.d. kendi kendimizin ve iç durumumuzun görüsünün biçiminden baĢka bir Ģey değildir.47 Zaman kendi için kalıcı ya da Ģeylere nesnel belirlenim olarak bağlı bir Ģey değildir; öyleyse, Ģeylerin görüsü tüm öznel koĢullardan soyutlanırsa, geriye zaman kalır. 48 Bizim Ģu an üzerinde durduğumuz mesele Kant‘ın geometri felsefesi olduğu için zaman‘ı bir kenara bırakıp onun mekân ile ilgili görüĢleri doğrultusunda ilerleyeceğiz. Kant‘ın mekânı açımlama (expositions) ile ilgili daha detaylı bir incelemeye giriĢmeden önce Kant‘ın açımlama‘dan ne anladığına bakmak faydalı olacaktır: ―Açımlama ile bir kavrama ait olanın duru (gerçi kapsamlı olmasa da) tasarımını anlıyorum; ama açımlama eğer apriori verili olanı kapsıyorsa metafizikseldir.‖49 ġimdi sırasıyla mekânın metafiziksel ve transendental açımlamalarını inceleyelim. 1.5.2. Mekânın metafiziksel açımlanması Mekânın metafiziksel açımlamasında dört temel önerme mevcuttur: 1.Uzay dıĢ deneyimlerden türetilen görgül (empirik) bir kavram değildir. 50 44 A.g.e., A22, s.79. A.g.e., s.79. 46 A.g.e., B51, s.90 47 A.g.e.,s.90 48 A.g.e., s.89. 49 A.g.e., s.80 50 A.g.e., B38, s. 80. 45 20 Kant‘a göre mekândaki Ģeylerin iliĢkisel kısmı ile elde edilen dıĢsal deneyim mekânın temsilini bize vermez. Bu iliĢkisellik ancak mekânı önceden varsayarsak mümkündür. 2. Uzay tüm dıĢ görülerin temelinde yatan zorunlu bir apriori tasarımdır. 51 Kant‘a göre Ģeyler olmaksızın mekânı tasarımlayabildiğimizden ama mekân olmaksızın Ģeyleri tasarımlayamadığımızdan mekân zorunlu aprioridir. 3. Uzay genel olarak Ģeylerin iliĢkilerinin diskürsif ya da, söylendiği gibi, evrensel bir kavramı değil, ama arı bir görüdür. 52 Kant‘a göre mekânın parçalarından bahsederken bile biz bir ve aynı mekândan bahsederiz, öyleyse o genel bir kavram değil görüdür. 4. Uzay verili sonsuz bir büyüklük olarak tasarımlanır. 53 Kant‘a göre mekânın tüm bölümleri ebedi biçimde aynı zamanda olduğundan o bir kavram değil saf görüdür.54 1.5.3. Mekânın transendental açımlanması Kant transendental açımlama ile bir kavramın baĢka sentetik apriori bilgilerin anlaĢılabilmesini sağlayan bir ilke olarak açıklamasını‖55 anlar. Bunun olabilmesi için iki koĢul öne sürer: 1) Gerçekten bu tür bilgilerin verili kavramlardan doğmaları 2) Bu bilgilerin ancak bu kavram için verili bir açıklama kipinin varsayımı üzerine olanaklı olmaları gerekir.56 Kant bu iki koĢulun ıĢığında sentetik apriori biçimde belirlenen geometriyi ortaya koyar: 51 A.g.e., A24/B39, s.80. A.g.e. A25, s.81. 53 A.g.e. B40, s.82. 54 A.g.e. B40, s.82. 55 A.g.e. B37, s.82. 56 A.g.e., B40, s.82. 52 21 Demek oluyor ki, benim görümün nesnenin gerçekliğinden önce gelmesi ve apriori bilgi olarak gerçekleĢmesi sadece tek bir Ģekilde olanaklıdır: eğer benim öznemde tüm gerçek izlenimlerinden önce gelen ve nesneler tarafından uyarılmamı sağlayan duyusallığın biçiminden baĢka hiçbir Ģey içermezse. Çünkü duyu nesnelerinin yalnız ve yalnız biçimine göre görülebileceklerini ben apriori bilebilirim. 57 Sentetik apriori bilgi olarak Saf Matematik, ancak sırf duyuların nesneleriyle iliĢki kurmakla olanaklıdır.58 Kant artık geometriyi sentetik apriori olarak sunmaya hazırdır: Geometri uzayın özelliklerini sentetik olarak ve gene de apriori belirleyen bir bilimdir. O zaman uzay tasarımımız onun böyle bir bilgisinin olanaklı olması için ne olmalıdır? Kökensel olarak görü olmalıdır; çünkü salt bir kavramdan o kavramın ötesine geçen hiçbir önerme çıkarılamaz ve gene de geometride olan Ģey budur. Ama bu görü apriori olmalı, e.d. bir nesnenin bizde bulunan tüm algısını öncelemeli ve dolayısıyla görgül değil ama arı görü olmalıdır. 59 Mekânı transendental olarak açımladıktan sonra Kant'ın vardığı sonuçlar Ģöyle sıralanır: a) Uzay herhangi bir kendinde Ģeyin özelliğini temsil etmediği gibi onları birbirleri ile iliĢkileri içinde de sunmaz; eĢ deyiĢiyle, nesnelerin kendilerine bağlı ve görünün tüm öznel koĢulları soyutlandığı zaman bile sürecek bir belirlenimi temsil etmez. Çünkü ister saltık isterse göreli olsun hiçbir belirlenim ait olduğu Ģeyin varoluĢuna önsel olarak ve dolayısıyla apriori sezilemez. b) Uzay dıĢ duyunun tüm görüngülerinin biçiminden, e.d.duyarlığın öznel koĢulundan baĢka bir Ģey değildir, bir koĢul ki, bizim için dıĢ görü yalnızca onun altında olanaklıdır. ġimdi, öznenin alıcılığı, nesneler tarafından etkilenme yeteneği, zorunlu olarak bu nesnelerin tüm görülerini öncelediği için, tüm görüngülerin biçiminin anlıkta tüm edimsel algılardan önce ya da apriori nasıl verilebildiğini ,ve içinde tüm nesnelerin belirlenmeleri gereken arı bir görü olarak bu nesnelerin iliĢkilerinin ilkelerini tüm deneyimden önce nasıl kapsayabildiğini anlamak kolaydır. 60 1.5.4. Görü ve Saf Görüde ĠnĢa Hatırlatmamız gerekirse Kant Newton ve Leibniz‘i bilimlerin metafiziksel temellerine dair görüĢlerini araĢtırdığımız birinci bölüm boyunca görü (intuition) ve Kant, I. (2002). Prolegomena, çev. Ġonna Kuçuradi-Yusuf Örnek, Türkiye Felsefe Kurumu, Ankara, s. 31. 58 Kant, I. (2002). Prolegomena, çev. Ġonna Kuçuradi-Yusuf Örnek, Türkiye Felsefe Kurumu, Ankara, s. 33. 59 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, s.82. 60 A.g.e. A26/B42, ss.83-84. 57 22 kavram‘dan (concept) bahsettik. Newton ve Leibniz‘in görü ve kavramlarla ilgili görüĢlerini bu bahsettiğimiz kısımda görmüĢtük. Peki, Kant bu konuda ne söylüyor? Sentetik aposteriori yargıları henüz açıkladık; basitçe deneyime bağlı bilgimizi arttırıcı yargılardır. Ancak Kant‘ın asıl önem verdiği saf matematiğe ve fiziğe ait olan sentetik apriori yargılardır ki onlar kendi baĢlarına doğruyu ve evrensel olanı yakalamaya haiz olan yargılardır: ―…güvenle diyebiliriz ki bazı saf apriori sentetik bilgiler, yani Saf Matematik ve Doğa Bilimi, gerçektir ve verilmiĢtir; çünkü her ikisi de, kısmen sırf akıl aracılığıyla zorunluluklu bir Ģekilde kesin oldukları, kısmen de deneyden gelen genel anlaĢma aracılığıyla ama buna rağmen deneyden bağımsız oldukları her yerde bilinen önermeler içerirler.‖61 Öyleyse Kant için soru sentetik yargıların var olup olmadığı değil, onların nasıl var olduğudur. Kant‘ın görüyü açıklaması bu bağlam içinde görülür. Öyleyse burada öncelikle bu çerçevede Kant‘ın geometri felsefesinin merkezinde yatan görü62 ve saf görüde inşa hakkındaki yaklaĢımını inceleyeceğim. Kant için saf görünün formları olan mekân ve zaman kavram değildirler. Bunun anlamı Ģudur; kavramların bir özneye yüklem olabilmeleri gerekir ancak mekân ve zaman Ģeylere yüklem olamazlar. Biz Ģeylerin mekân ve zamansallığından bahsedebiliriz ama bunu yaparken mekân ve zamanın kendisinden türetilen parçaları olarak bahsederiz, mekân ve zamanın kendisinden değil. Biz dıĢ dünyayı mekân zaman adaları Ģeklinde düĢünmeyiz, onu mekân zaman bütünlüğü içinde kavrarız; mekân ve zamanı tek, birlikli bütünlüklü olarak düĢünürsek onları kavram olmaktan çıkartırız. Yine Kant‘ın mekânın saf görü olduğuna dair ―örtüĢmeyen eĢler‖ yardımıyla da mekânın neden kavram değil de görü olduğunu anlayabiliriz. Sağ ve sol elimizi biz tanımlayamayız dolayısıyla kavramsal düzeyde anlamlandıramayız. Kant, I (2002). Prolegomena, çev. Ġonna Kuçuradi-Yusuf Örnek, Türkiye Felsefe Kurumu, Ankara, s. 23. 62 Kant‘ın Saf Aklın Eleştiri‘sinden yapılan alıntılar için Aziz Yardımlı‘nın Arı Usun Eleştirisi çevirisi kullanılmıĢtır. Bu çeviride Almanca Anschauung (Ġngilizce; Intuition) terimi Türkçe ‗sezgi‘ olarak karĢılanmıĢtır. Ancak Anschauung teriminin Türkçe ‗görü‘ terimiyle karĢılamak genel olarak daha uygun bulunmaktadır. Bu çalıĢmada Aziz Yardımlı çevirilerinde alıntı kurallarına bağlı kalmak adına Anscauung teriminin karĢılığı ‗sezgi‘ olarak bırakılacak diğer yerlerde bu terim ‗görü‘ olarak karĢılanacaktır. Yine aynı nedenlerle Kant‘ın Saf Aklın Eleştiri‘sinden Aziz Yardımlı çevirisine baĢvurulmayan yerlerde Saf Aklın Eleştirisi ya da kısaca Eleştiri olarak bahsedilecektir. 61 23 Sağ ve sol elimizin mekânda aynı alanı ve hacmi kapatamadıklarını kendi baĢına kavramsal analizle gösteremeyiz; bu farka yalnızca iĢaret edebiliriz. Kant‘ın mekândan kavram değil de görü olarak söz etmesinin nedeni budur.63 Kant saf ve empirik görüden bahseder. Kant saf görü ile empirik görü arasında görünün nesnesinin saf ya da empirik olmasına göre bir ayrım yapar. ―Duyum yoluyla nesneyle iliĢkide bulunan görüye‖64 empirik görü denir. Yani saf görü apriori olarak zihinde bulunurken, empirik görü nesnesiyle duyumun aracılığıyla iliĢkilenir. Her türden kavramın nesnesi empirik görüde bulunur; dolayısıyla saf görüye dayalı matematiğin kavramları bile anlamlarını, onları empirik görünüĢlerde gösterebilmemize bağlı olarak kazanırlar:65 ġimdi bir kavrama bir nesne sezgide olmaktan baĢka türlü verilemez; ve, gerçi bir arı sezgi nesneden önce apriori olanaklı olsa da, bu sezgi bile nesnesini ve dolayısıyla nesnel geçerliliğini ancak salt biçimi olduğu gibi görgül sezgi yoluyla kazanabilir. Öyleyse tüm kavramlar ve onlarla birlikte tüm temel ilkeler, ne denli apriori olanaklı olurlarsa olsunlar, gene de görgül sezgiler ile,e.d, olanaklı deneyim için veriler ile iliĢkilidirler. Bu iliĢki olmaksızın hiçbir nesnel geçerlilikleri yoktur, tersine tasarımları açısından yalnızca imgelem yetisinin ya da anlağın birer oyunudurlar. Matematik kavramlarını örnek alarak bunları ilkin arı sezgileri içinde irdeleyelim. Uzayın üç boyutu vardır, iki nokta arasında ancak bir doğru çizgi olabilir v.b. Gerçi tüm temel ilkeler ve bu bilimin ele aldığı nesnelerin tasarımları anlıkta bütünüyle apriori üretilebiliyor olsalar da, eğer anlamlarını her zaman görüngülerde (görgül nesnelerde) gösteremiyor olsaydık, hiçbir anlamları olmazdı. 66 Dolayısıyla Kant‘a göre matematiğin doğruları için saf görü değil empirik görü bir zemin sağlayabilir. Dolayısıyla matematiğin gerçek olanağını, yani matematiğin empirik nesnelere uygulanabilmesini, saf görü kendi baĢına gösteremez.67 Kant‘ın görü ile ilgili fikirlerinin çıkıĢ noktası geometrinin kavramları ve önermeleri matematikle baĢarılı bir Ģekilde uyuĢabilmesinden ve nesnelere eksiksiz biçimde uygulanabilmesidir: Reyhani, N.(2011). KiĢisel diyalog. Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, A20/B34, s.s.77-78 65 Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Press, s.101. 66 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A239-A240/B298-299, s.293 67 Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Press, s.101. 63 64 24 Eğer bir apriori görü yetiniz olmasaydı; eğer bu öznel koĢul biçim açısından aynı zamanda bu (dıĢ) sezginin kendisinin nesnesini olanaklı kılan biricik evrensel apriori koĢul olmasaydı; eğer nesne (üçgen) özneniz ile iliĢkisinde olmaksızın kendinde bir Ģey olsaydı, o zaman nasıl diyebilirdiniz ki bir üçgen çizmek için öznel koĢullarınızda zorunlu olarak yatan Ģey zorunlu olarak kendinde üçgene ait olmalıdır? 68 Yani Kant için matematiksel olarak bir üçgenin nesnesine uyması ancak öznenin zihnindeki görünün apriori biçimlerini temel almasıyla mümkündür. Kant geometrinin önermeleriyle nesnesinin uyuĢmasının nasıl olduğunu temellendirir. Nesneler görünüĢler olarak bizde vardır, bu görünüĢlerin olanağı ise bizdeki mekânın saf görüsüdür. Nesnenin görünüĢünün biçimi, nesneyi olanaklı kılmakla kalmaz, ona uygulandığından dolayı onunla uyuĢur ve apriori olduğundan dolayı da geometri evrensel ve zorunlu olur. Kant‘ın geometrinin sentetik apriori doğasına iliĢkin verdiği açıklama temellendirmesini kuvvetlendirmektedir: Duyulara verilen dünyamızın tüm dıĢ nesneleri zorunlu olarak Geometrinin önermelerine noktası noktasına uygun düĢmek zorundadır, çünkü duyusallık, geometricinin ele aldığı dıĢ görü biçimin (uzamın) aracılığıyla ,o nesneleri her Ģeyden önce olanaklı kılar. 69 Saf görüde inĢanın Kant tarafından nasıl anlaĢıldığına geçmeden önce Kant‘ın görüye iliĢkin verdiği tanımları ve açıklamaları incelemeliyiz. Görünün tanımına Kant‘ın Saf Aklın Eleştiri‟sinde Ģu Ģekilde rastlamaktayız: Bir bilgi nesneler ile hangi yolda ve hangi araç yoluyla bağıntılı olursa olsun, onu onlarla dolaysızca bağıntılayan ve tüm düĢüncenin araç olarak göz önünde tuttuğu Ģey sezgidir. Ama sezgi ancak nesneler bize verildikleri sürece yer alır; ve bu da yine, en azından bu insanlar için, ancak nesnenin anlığı belli bir yoldan etkilemesi yoluyla olanaklıdır. Nesnelerin bizi etkileyiĢ kipi yoluyla tasarımları alma yetisine (alıcılık) duyarlık denir. Öyleyse duyarlık aracılığıyla nesneler bize verilirler ve yalnızca o bize görüleri sağlar.70 68 A.g.e., A78, s.101. Kant, I. (2002). Prolegomena, çev. Ġoanna Kuçuradi-Yusuf Örnek, Türkiye Felsefe Kurumu, Ankara, Not 1, s.37. 70 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, A19, s 77. 69 25 Burada görü zihinsel resim ve geometrik hayal ya da tasavvurumuza olanak veren Ģey olarak anlaĢılmaktadır.71 Kant burada görü ile aklın fakültesi olan duyarlık arasında görünün duyarlıktan kaynaklandığını belirterek bir iliĢki kurma giriĢimindedir.72 Öte yandan duyarlığın sezgilerin tek kaynağı olamayacağına dair yani baĢka yollarla bu sezgilere sahip olan varlıkların olabileceği Kant için ihtimal dâhilindedir: ―Duyarlığın sezgilerin mümkün olan yegâne kaynağı olduğunu iddia edemeyiz.‖73 Prolegomena‘nın 8. Bölümünde Kant matematiksel önermelerin yaĢadığımız Dünya ile iliĢkisini ve bu dünyada uygulanabilirliğini ele alır ve yine görüye vurgu yapar: Ne var ki, bu adımda güçlük azalmaktan çok artmıĢ gibi görünüyor. Çünkü artık soru Ģöyle olur: bir Ģeyi apriori görmek nasıl olanaklıdır? Görü, nesnenin varlığına sanki doğrudan doğruya bağımlı bir tasarımdır. Bu nedenle aslında apriori görmek olanaksız gibi görünmektedir; çünkü görü bu durumda ne önceden ne de Ģimdi var olan ve kendisiyle iliĢki içine sokulacak bir nesne olmadan gerçekleĢmek zorunda olurdu, dolayısıyla görü olmazdı.Gerçi kavramlar öyle türdendir ki, bazılarını, söz geliĢi bir nesnenin sadece genel olarak düĢünülmesini içerenleri, bir nesneyle doğrudan doğruya bir iliĢkide bulunmaksızın, pekala apriori olarak oluĢturabiliriz, örneğin büyüklük, neden kavramlarını v.b.; ama bunların bile, önem ve anlam kazanmaları için somut olarak belirli bir Ģekilde kullanılmaları, yani herhangi bir görüye uygulanmaları gerekir, öyle ki bu görünün bir nesnesi verilsin. Ancak nesnenin görüsü nesnenin kendisinden önce nasıl gelebilir?74 Burada Kant Eleştiri‟de kullandığı geometrik hayal yerine matematik ve geometrinin nesnelerinin örneklemeler olarak yani genel kavramların birer tikel durumlarının kullanılmasından bahsetmektedir.75 Prolegomena‘da görü Ģu Ģekilde verilmektedir: Görü, nesnenin varlığına sanki doğrudan doğruya bağımlı olan bir tasarımdır. … Demek oluyor ki, benim görümün nesnenin gerçekliğinden önce gelmesi ve apriori bilgi olarak gerçekleĢmesi sadece tek bir Ģekilde olanaklıdır: eğer benim öznemde tüm gerçek izlenimlerinden önce gelen ve nesneler tarafından uyarılmamı sağlayan duyusallığın biçiminden baĢka hiçbir Ģey içermezse. Çünkü duyu nesnelerinin yalnız ve yalnız biçimine göre görülebileceklerini ben apriori bilebilirim. Buradan Ģu sonuç çıkmaktadır:sırf duyusal görünün biçimiyle ilgili önermeler duyu nesneleri için olanaklı Bağçe, S. (2003). ―Russell‘ın Kant EleĢtirisi Üzerine‖, Felsefe Tartışmaları, 30.sayı, s.31. A.g.y., s.31. 73 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul A254/B310 s.306. 74 Kant, I. (2002). Prolegomena, çev. Ġonna Kuçuradi-Yusuf Örnek, Türkiye Felsefe Kurumu, Ankara, ss. 30-31. 75 Bağçe, S. (2003). ―Russell‘ın Kant EleĢtirisi Üzerine‖, Felsefe Tartışmaları, 30.sayı, s.31. 71 72 26 ve geçerli olacak; aynı Ģekilde de tersine, apriori olanaklı görüler, duyularımızın nesnelerinden baĢka hiçbir Ģeyle ilgili olamazlar 76 Burada ise Kant nesneler ile bizim duyularımız, bir baĢka deyiĢle görümüz ile duyarlığımız arasındaki iliĢki bağlamında görüden bahsetmektedir.77 Mantık‘ta: Bütün biliĢler, yani, nesnelere bilinçlice gönderim yapan bütün temsiller, ya görüdürler ya da kavramdırlar. Görü tekil bir temsildir; kavram ise genel veya yansıtılmıĢ sunumdur.78 Buradaki tanımıyla Kant her bir tikel ideyi görü olarak tanımlar. Yani zihinlerimizde tikelleri temsil eden Ģey görüdür. Bu anlamda görülemek hususi hale getirmek anlamına gelir. Niceleme mantığıyla bu kavramı anlamak istersek görü bağımsız bir tikel terimdir.79 J. Alberto Coffa da Kant‘ın saf görü tanımının Platonist, oluşturmacı (constructivist) ve yapısalcı (structuralist) olarak üç farklı Ģekilde yorumlanabileceğini iddia eder. 80 Coffa saf görü kavramının Platonist yorumuna Eleştiri‘den bir alıntıyla baĢlar: Bir koninin Ģeklinin sezgisini hiçbir görgül yardım olmaksızın ve yalnızca kavramına göre oluĢturabiliriz; ama bu koninin rengi Ģu ya da bu deneyimde daha önceden verilmiĢ olmalıdır. Genel olarak bir nedenin kavramını bana deneyin tarafından verilen bir örnek üzerinde olmaksızın hiçbir biçimde görüde tasarımlayamam. 81 Yani, nitelikler empirik görüde sergilenmezler ama nicelikler sergilenirler. Coffa burada biçim ile içerik arasında Kant‘ın bir ayrım yaptığını ve bu ayrımın doğuĢtan ve sonradan edinilen arasındaki ayrıma uygun düĢüyor gibi göründüğü söylemektedir. Bu düĢünceden yola çıkarak Coffa, koninin sanki renksiz imajı daha önceden deneyimlememiĢ biri tarafından biçimlendirilebildiği ve bu anlamıyla bu Kant, I. (2002). Prolegomena, çev. Ġonna Kuçuradi-Yusuf Örnek, Türkiye Felsefe Kurumu, Ankara, s.31. 77 Bağçe, S. (2003). ―Russell‘ın Kant EleĢtirisi Üzerine‖, Felsefe Tartışmaları, 30.sayı, s.31. 78 Kant, I. (1988). Logic, çevr. R. Hartmann- W. Schwarez, New York: Dover, s.96 79 Bağçe, S. (2003). ―Russell‘ın Kant EleĢtirisi Üzerine‖, Felsefe Tartışmaları, 30.sayı, s.32. 80 Coffa, J. A. ( 1993). The Semantic Tradition From Kant to Carnap: To the Vienna Station, Cambridge Press, s.43. 81 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, A715/B743, ss.660-661. 76 27 imajın saf görü olabileceğini düĢündürttüğünü belirtir. Coffa Kant‘ın saf görüsünün böyle bir Platonist yorumuna örnekler verir. Coffa'nın yaklaĢımı, Whewell‘in Kant‘ın saf görüsünü, ―hayali bakıĢ‖ (imaginary looking) olarak değerlendirmesi ve Alois Riehl‘in de onda ―Platonik formlar öğretisinin ekosunu‖ duyması ile uyumludur.82 Coffa Platonist yorumuna devam ederken yine Kant‘ın inĢa ile ilgili sözlerini alıntılar: Böylece bir üçgen çizerim ve, bunu bu kavrama karĢılık düĢen nesneyi ya salt imgelem yoluyla arı sezgide ya da yine ona göre bir de kağıt üzerinde görgül sezgide, ama her iki durumda da herhangi bir deneyimden hiçbir model ödünç almaksızın bütünüyle apriori tasarımlayarak yaparım. 83 Coffa‘ ya göre burada inĢanın tasvirinde Kant‘ın görüyü hayal etmeyi içeren saf görü ile empirik görü arasında yaptığı ayrıma dikkat çeker ve bu ayrımın bizi iki farklı alan düĢünmeye sevk eder.84 Platonist yorumun Kant için saf görünün ontolojik yerinin insan zihni, Platon‘un İdealar‘ının yerinin insan zihni olmadığı düĢünülürse doğru olmadığı görülebilecektir.85 Ayrıca Coffa ‗ya göre bu tarz Platonist bir okuma Kant ın matematiğin ve geometrinin dünya ile nasıl bu kadar uyumlu olduğunun anlaĢılması amacıyla örtüĢmemektedir. 86 Coffa saf görünün anlaĢılması ile ilgili olarak ikinci yoruma yani oluşturmacı yoruma geçerken bu yorumun da ilki gibi saf görü ile nesnelerin verililiği arasında eĢleĢtirdiğini ancak bu yorumun nesneleri empirik olarak aldığını ve Kant‘ın matematiksel kavramların yapılmasıyla ilgili düĢünceleri merkezinde geliĢtiğinin altını çizer. 82 Coffa, J. A. ( 1993). The Semantic Tradition From Kant to Carnap: To the Vienna Station, Cambridge Press, s.44. 83 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, A713/B741, ss.659-660. 84 Coffa, J. A. ( 1993). The Semantic Tradition From Kant to Carnap: To the Vienna Station, Cambridge Press, s.44. 85 Yalçın, ġ. (2003). ―Kant'ta Matematiğin Felsefi Temelleri‖, Felsefe Dünyası, 37. Sayı, 21 numaralı dipnot, s.134. 86 Coffa, J. A. ( 1993). The Semantic Tradition From Kant to Carnap: To the Vienna Station, Cambridge Press, s.44. 28 OluĢturmacı yorumda Coffa öncelikle duyarlık ve anlama yetisi arasındaki karĢılıklı iliĢkiye dair ünlü Kant‘ın diktumunu hatırlatır; ―Görüsüz kavramlar boĢ, kavramsız görü ise kördür‖ ve yine Kant‘ı alıntılar: Bir bilgi nesnel olgusallık taĢıyacaksa, e.d. bir nesne ile iliĢkili olacak ve onun açısından imlemi ve anlamı olacaksa, o zaman nesne herhangi bir yolda verilebilir olmalıdır. Onsuz kavramlar boĢturlar; ve gerçi onlar yoluyla düĢünmüĢ olsak da, gerçekte bu düĢünce yoluyla hiçbir Ģey bilmemiĢ, tersine yalnızca tasarımlarla yalnızca oynamıĢ 87 oluruz. Coffa burada ne Kant‘ın ne de takipçilerinin yapısallaĢtırma ile ne anlatmak istedikleri hakkında net bir fikirleri olmadığından yakınır, öyle ki ona göre yapısallaĢtırma kavramının açıklanmasındaki netlik ile kavramın akla yatkınlığı arasında ters bir oran vardır.88 Coffa Kant‘ ın saf görüde yapısallaĢtırma ile ne anlatmak istediğini ne zaman dile getirmeye çalıĢsa empirik görüye baĢvurduğunu yine Kant‘ı alıntılayarak gösterir: ―Bir çizgiyi düĢüncede çizmeksizin, bir çemberi ise betilemeksizin düĢünemeyiz ve uzayın üç boyutunu aynı noktadan birbirlerine dik üç çizgi çekmeksizin tasarımlayamayız.‖89 Coffa‘ya göre yapısalcı yorum Platonist ve oluĢturmacı yorumlardan farklıdır. Bu iki yorum saf görüyü tikel gösterim olarak alır. Coffa için saf görünün yapısalcı yorumunda Kant saf ve apriori olanın bir tür nesne olarak değil empirik nesnelerinin bilgisinin kipi (modu) olarak alır.90 Yani bu yorumda görünün tüm nesneleri empiriktir ve saf görü de empirik görünün yalnızca formudur. Bu yorum için Coffa Eleştiri‘den baĢka bir alıntı yapar: ġimdi bir kavrama bir nesne sezgide olmaktan baĢka türlü verilemez; ve, gerçi bir arı sezgi nesneden önce apriori olanaklı olsa da, bu sezgi bile nesnesini dolayısıyla nesnel geçerliğini ancak salt biçimi olduğu görgül sezgi yoluyla kazanabilir. Öyleyse tüm kavramlar ve onlarla birlikte tüm temel ilkeler, ne denli apriori olanaklı olurlarsa olsunlar, gene de görgül sezgiler ile, e.d. olanaklı deneyim için veriler ile iliĢkilidirler. 91 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, A 156/B194-195 s.217. 88 Coffa, J. A. ( 1993). The Semantic Tradition From Kant to Carnap: To the Vienna Station, Cambridge Press, s.44. 89 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, B15,. s.189. 90 Coffa, J. A. ( 1993). The Semantic Tradition From Kant to Carnap: To the Vienna Station, Cambridge Press, s.45. 91 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, A239/B298, ss.292-293. 87 29 Coffa ya göre saf görünün bu üçüncü yorumunda Kant üçgen kavramını kurarken yaptığımız Ģeyin üçgenin bir örneğini kurmak ya da tikel bir örneği görüye sunmak değil kurduğumuz Ģeyin nesnenin formu olduğunu söyleyecektir. Coffa‘ya saf görü nasıl yorumlanırsa yorumlansın Kant‘ın geometri anlayıĢında birbiriyle ilgili ama ayırt edilebilir iki probleme iĢaret eder: ―Saf görü Öklidyen geometrinin zorunluluğunu nasıl destekler? Neden geometrik bir argüman dizisi saf görünün rehberlik ettiği bir çıkarımlar dizisi olsun?‖92 Bu ikinci sorunun içerdiği iddia Kant‘ın üçgenin iç açılarının toplamının bir dik açısı ile iliĢkisini irdelediği bölümde geçer. Kant önce bir filozofun sonra da bir geometricinin bu problemle nasıl ilgilendiğini betimledikten sonra geometrici için Ģunu söyler: Sonra üçgenin karĢıt kenarına koĢut bir çizgi çizerek bu dıĢ açıyı böler ve burada dıĢ açılardan birine eĢit bir bitiĢik dik açı elde ettiğini görür, vb. Bu yolda he zaman sezgi tarafından güdülen bir çıkarsamalar zinciri yoluyla sorunun bütünüyle açık ve aynı zamanda evrensel çözümüne ulaĢır.93 Kant‘ın bir kavramın inĢa ile ilgili fikirlerinin onun matematiğin ve felsefenin doğasına iliĢkin görüĢlerini Ģekillendirdiğini söyleyebiliriz. Kant‘ın Leibniz ve Newton‘un metafiziklerini değerlendirdiği kısımları inceleyen bölümde onun matematikçinin kavramın içeriğine uygun kavramı inĢa biçiminden ne denli etkilendiğini vurgulamıĢtım. Yani Kant felsefe ve matematiğin yöntemleri arasındaki farkı hâlihazırda fark etmiĢti: Felsefi bilgi öyleyse tikeli yalnızca evrenselde, matematiksel bilgi ise evrenseli tikelde, ya da giderek tekil olanda ve gene de apriori us aracılığıyla irdeler, öyle ki nasıl bu tekil [nesne] inĢanın belirli evrensel koĢulları altında belirleniyorsa, benzer olarak kavramın nesnesinin de- ki bu tekil nesne ona yalnızca onun Ģeması olarak karĢılık düĢer-evrensel olarak belirlenmiĢ olduğu düĢünülmelidir. Öyleyse us bilgisinin bu iki türünün özsel ayrımı bu biçim ayrımından oluĢur, ve özdeğinin ya da nesnelerinin ayrımı üzerine dayanmaz. Felsefeyi matematikten ayırt etmeyi isteyenler ve bunu birincinin yalnızca niteliği, ikincinin ise yalnızca niceliği nesne aldığını söyleyerek yapanlar etkiyi neden yerine almaktadırlar. Matematiksel bilginin biçimi onun yalnızca nicelik ile sınırlandırılmasının nedenidir. Çünkü yalnızca 92 Coffa, J. A. (1993). The Semantic Tradition From Kant to Carnap: To the Vienna Station, Cambridge Press, s.45. 93 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, A717/B745, s.662. 30 büyüklük kavramı inĢaya, e.d. görüde apriori sergilenmeye izin verirken, nitelikle ise kendilerini görgül görüden baĢkasına sergilenmeye bırakmazlar. 94 Kant öyleyse saf görüde inĢayı kavram ile apriori görünün uyumluluğunun bir dıĢa vurumu (exhibition) olarak anlar.95 Bu dıĢavurum içinde biz kavramın tüm sınıfının tekil örneklemelerini görürüz. Zaman ve mekândaki saf inĢalar sembolik, evrensel örneklerdir ki örneğin geometrinin önermelerinin doğrulanmasının imkânına biz bu örnekler yardımıyla sahip oluruz. Örneğin bir üçgenin yapılaĢtırılması sonucunda biz üçgenliği kuran iliĢkilerin bir dıĢavurumunu görürüz. Saf görüde inĢanın önemi üçgen figürü olmaksızın üçgenliği kuran iliĢkileri anlamamızın zorlukla mümkün olmasından ileri gelmektedir.96 ―...uzayda herhangi birĢeyi, örneğin bir çizgiyi bilmek için, onu çizmem ve dolayısıyla verili çoklunun belirli bir birleĢmesini sentetik olarak ortaya çıkarmam gerekir, öyle ki bu edimin birliği aynı zamanda bilincin birliğidir (bir çizginin kavramında olduğu gibi), ve ilkin bilincin birliği yoluyladır ki bir nesne (belirli bir uzay) bilinir.‖97 Friedman‘a göre saf görüde yapısallaĢtırma ile Kant temelde iki iddiada bulunmaktadır. Geometrinin önermelerini ispatlama giriĢimlerinde bazı ek çizgilerin çizilmesi gibi ekstra iĢlemler kanıtlama iĢlemi için zorunludur. Bu ekstra iĢlemler geometrik ispatlarımızı mekânsal nesneler haline getirirler. Ġkinci olarak, bu ekstra iĢlemler, örneğin çizgi çizilmesi iĢlemi sürekli olarak yapılmaktadır (continuously introduced). Yani bu çizgiler zaman içinde türetilmektedir ki bu da geometrik kanıtlarımızın zamansal nesneler haline getirmektedir. Friedman‘a göre geometrik kanıtların zaman ve mekânsallığı Kant‘ın kendi felsefesini Öklidyen geometri ve Newton fiziği üzerine temellendirebilmesine imkan vermektedir.98 Ancak bizim modern anlayıĢımızda geometrik kanıtlar zaman-mekânsal nesneler değil, belli bir formel dilin ifadeleridir. Örneğin üçgenin iç açılarının toplamının iki Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, A715-B743, s.660. 95 Winterbourne, A. T. ( 1988). The Ideal and the Real, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s.55. 96 A.g.e., s.55, Magnani, L. (2001). Philosophy and Geometry: Theoretical and Historical Issues, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, ss.33-34. 97 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, B137-138, s.177. 98 Friedman, M. (1985). ―Kant‘s Theory of Geometry‖, Vol. 94, No.4. Philosophical Review, ss.459460. 94 31 dik açıya eĢit olduğu önermesini kanıtlamak istediğimizde biz ABC‘ nin üçgen olmasını kanıtın zaman-mekânsallığına baĢvurmadan Öklid‘in aksiyomlarıyla yalnızca mantık yardımıyla yapabiliyoruz.99 Friedman ayrıca bizim modern anlayıĢımızda polyadik mantık kullandığımızı Kant‘ın ise monadik (silojistik,tasımsal) mantık kullandığını ve bu ikincisinin sonsuzluk kavramı ile iliĢkisinde dezavantajlı olduğunu belirtir. Monadik mantık çember, çizgi gibi sürekli geometrik figürlerin sonsuz bir Ģekilde türetilebilmesine izin vermez. Ayrıca monadik mantık iki ya da daha fazla değiĢken arasında iliĢki kurmamıza da izin vermez.100 Kant‘ın model aldığı Öklid geometrisinde çember, düz çizgi gibi geometrik figürleri biz postülatlar101 yardımıyla kurabiliriz. Ancak bu postülatlar çemberlerin ve çizgilerin kesiĢim noktalarını garanti etmek için mantıksal olarak yeterli değildirler. Öklid böyle kesiĢim noktalarının varlığı için bize postülat ya da aksiyom sunmamıĢtır. Bu noktada Friedman örnek olarak Öklid‘ in ―eĢkenar üçgen kurma‖ ispatının prosedürünü verir.102 Bu prosedürün basamaklarından biri ispat iki çemberin sürekli olduğu fikrine dayanmaktadır. Burada iki çemberin sürekli oluĢundan çemberlerin merkezleri dıĢındaki bir noktada kesiĢiyor oldukları sonucu çıkmamaktadır. Ancak Öklid‘in ne aksiyomları ne de postülatları arasında böyle bir süreklilik aksiyomu yoktur. . Bu sorunun çözümü için süreklilik aksiyomuna ihtiyacımız vardır.103 Böyle bir aksiyoma sahip olabilmemiz için içinde sonsuz sayıda nesne üretebileceğimiz bir sisteme ihtiyacımız vardır. Örneğin verili bir aralıkta sürekli bir çizgi kurmak istiyorsak ya sonsuz sayıda nokta üretebilecek bir kavrama ya da bu verili aralıkta 99 A.g.y., s.460. A.g.y., s.s.460,461,462. Bağçe, S. (2003). ―Russell‘ın Kant EleĢtirisi Üzerine‖, Felsefe Tartışmaları, 30.sayı, ss.42-43. 101 Öklid sisteminde postülatlar inĢa etme iĢinin ilkeleridir. Aksiyomlar, ya da Öklid‘in deyiĢiyle genel terimler (common notions) ise ispat etme iĢleminin ilkeleridir. Heath, T. (1965). A History of Greek Matmematics, Volume 1,Oxford Clarendon Press, s.336. Ayrıca bakınız; Bağçe, S. (2003). ―Russell‘ın Kant EleĢtirisi Üzerine‖, Felsefe Tartışmaları, 30.sayı, s.37. 102 Friedman, M. (1985). ―Kant‘s Theory of Geometry‖, Vol. 94, No.4. Philosophical Review,ss.461462-463. 103 A.g.y., s.463. 100 32 sonsuz sayıda noktaya ihtiyacımız vardır. Ancak Kant‘ın zamanının monadik mantığı ilksel yüklemlerin (primitive predicates) sonlu setinden sonsuz nesne türetmede yetersizdir.104 Ayrıca monadik mantıkla birden fazla yüklem arasında bir iliĢki tesis edilemez. Çünkü böyle bir iliĢkinin tesisi niceleyici bağlılığı (quantifier dependence) ve ikili ya da daha fazla yüklem içeren bir mantık diline ihtiyaç duyar. 105 Örneğin sonsuzluk fikri polyadik mantıkta tesis edilebiliyorken106 monadik mantıkta edilemez. Bir niceleyicinin diğerine bağımlılığı yani tikel niceleyicinin tümel niceleyiciye bağlı olması bize sonsuz sayıda nokta türetebilmemize imkân verir, bu da sürekli geometrik figürleri kurmamıza yardım eder. Halbuki, Friedman‘a göre, Kant sonsuzluk fikrini formel ya da kavramsal olarak monadik mantıkla gösteremeyeceğinden ötürü sonsuzluk fikrini görüsel olarak düĢündü yani mekânsal figürlerin tekrar süreci ile kurulduğunu gösterdi.107 Öklid geometrisinde çizgilerin, çemberlerin sürekliliği sağlayan aksiyomların olmamasının doğurduğu sıkıntıları giderebilmek için postülatları tekrarlı (iterative) bir Ģekilde uygulamaya çalıĢır.108 Yani Öklid bazı postülatları gerekli figürlerin kurulabilmesi için gerekli olduğu sayıda tekrarlayarak kullanır. Bunlar Öklid‘in ilk üç postülatıdır: 1) Herhangi iki noktayı birleĢtiren düz bir doğru parçası çizilebilir. 2) Herhangi bir düz doğru parçası, düz bir doğru parçası, düz bir doğru oluĢturacak Ģekilde istenildiği kadar uzatılabilir. 3) Herhangi bir düz doğru parçasının bir ucu merkez, kendisi de yarıçap kabul edilerek bir çember çizilebilir.109 104 A.g.y., s.461. Bağçe, S. (2003). ―Russell‘ın Kant EleĢtirisi Üzerine‖, Felsefe Tartışmaları, 30.sayı, s.42. 106 Polyadik niceleyici mantıkta sonsuzluk fikri formel olarak Ģu Ģekilde gösterilebilir: ∀x∃y Gx,y (Gx,y: ―y‖, ―x‖den büyüktür, y>x ). Bağçe, S. (2003). ―Russell‘ın Kant EleĢtirisi Üzerine‖, Felsefe Tartışmaları, 30.sayı, s.43. 107 Friedman, M. (1985). ―Kant‘s Theory of Geometry‖, Vol. 94, No.4., Philosophical Review,ss.466467. Bağçe ise Kant‘ın ‗sonsuzluk‘ gibi kavramları formel olarak ifade edemese bile bu tür kavramları baĢka Ģekilde gösterebilecek araçları olduğunu savunur. Bakınız; Bağçe, S. (2003). ―Russell‘ın Kant EleĢtirisi Üzerine‖, Felsefe Tartışmaları, 30.sayı, ss-27-43. 108 Friedman, M. (1985). ―Kant‘s Theory of Geometry‖, Vol. 94, No.4, Philosophical Review, ss.464. 109 Heath, T. (1956). Euclid‟s „Elements‟, Dover, New York, ss. 154-155. 105 33 Görü, tümelin tikelde örneklenmesidir, yani tikel mekân görüsü biliĢsel olarak genel anlamıyla mekân kavramından öncedir. Kant ilkelerin kavramlardan önce geldiğini geometri bilgimize baĢvurarak yanıtlar: Böylece tüm geometrik temel ilkeler de-örneğin, bir üçgende bir arada alınan iki kenar üçüncüden büyüktür-hiçbir zaman çizgi ve üçgen gibi genel kavramlardan değil, ama ancak sezgiden, ve dahası, apodiktik pekinlikte apriori türetilebilirler.110 Benzer bir geometri bilgimize baĢvuruyu Kant doktora tezinde mekânın saf görü olduğu iddiasını temellendirirken yapar. Ona göre ―mekânın üçten fazla boyutu olamayacağı, herhangi iki noktayı birleĢtiren yalnızca düz bir doğru parçası çizilebileceği ve herhangi bir düz doğru parçasının bir ucu merkez, kendisi de yarıçap kabul edilerek bir çember çizilebileceği‖ genel bir mekân tanımından çıkarsanamaz onlar yalnızca oldukları gibi mekânda somut olarak görülür.‖111 Kant, doktora tezinde ―örtüĢmeyen eĢler‖ ile ilgili iddiasını da saf görünün fonksiyonuna vurgu yapmak amacıyla ileri sürer: ―Burada farklılık yani uyuĢmazlık yalnızca bir tür saf görü yardımıyla fark edilebilir.‖112 Kant burada yine geometrik ispatlara baĢvurur: ―Geometri kendi evrensel önermelerini, zihin durumlarında olduğu gibi, nesnesini evrensel bir kavram aracılığıyla ele geçirmek suretiyle göstermez, aksine duyu durumlarında olduğu gibi, onu tikel bir görüde göze sunarak gösterir.‖113 Yani tikel nesne görüsünün biliĢsel önceliği bizim geometri bilgimizde temellenmektedir. Eğer biz geometri bilgimizin kavramsal değil de görüsel olduğunu gösterebilirsek, genel mekân kavramımızın biliĢsel olarak yetersiz olduğunu ve tikel mekân görümüzün önsel olduğunu görürüz.114 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, A25, s.81. Kant, I. (1929). Kant‟s Inaugural Dissertation and Early Writings on Space, içinde, çev. J. Handyside, s.60. ―For that space has not more than three dimensions, that there is but one single straight line between two points, that from a given point in a plane surface with a given straight line as radius a circle can be described, etc., are not inferred from any universal notion of space, but can only be discerned in space in the concrete.‖ 112 Kant, I. (1929). Kant‟s Inaugural Dissertation and Early Writings on Space,içinde, çev. J. Handyside, s.60.‖It is therefore clear that in these cases the diversity, that is, the incongruence, cannot be apprehended except by pure intuition‖. 113 Kant, I, a.g.e., içinde s.61. ―Further, geometry does not demonstrate its universal propositions by apprehending the object through a universal concept, as is done in matters of reason, but by submitting it to the eyes in a singular intuition, as is done in matters of sense.‖ 114 Friedman, M. (1985). ―Kant‘s Theory of Geometry‖, Vol. 94, No.4. Philosophical Review, ss.472473. 110 111 34 Kant‘a göre geometri yalnızca mantık yardımıyla ilerlemez yani geometrik akıl yürütme analitik değildir. Geometrinin önermelerini sentetik yapan Ģey inĢa (inĢa etme) iĢidir. Yani Kant‘ın saf görüsü Öklid‘in ispat iĢlemlerinde gerekli olan geometrik figürlerin varlığı için sürekli tekrarlanan prosedürünün yerine iĢlev görür. Kant Öklid‘e benzer Ģekilde geometrik akıl yürütmelerde Ģekillerin rolünün mantık ispatlarında ispat basamaklarının akıl yürütmenin ilerlemesine yönelik olarak oynadığı role paralel Ģekilde görür. Geometrik önermelerin sentetik oluĢu geometrik Ģekillerin inĢa etme iĢinde kullanılmasından ileri gelmektedir.115 Kant olanaklı olanın görü ve kavramların biçimsel koĢullarını sağlaması gerektiğini, yalnızca bir çeliĢkinin bulunmamasının mümkün bir geometrik figürü kurmak için yeterli olmadığını belirtir: Böyle bir kavramda hiçbir çeliĢkinin kapsanmaması gerektiği hiç kuĢkusuz mantıksal koĢuldur; ama kavramın nesnel olgusallığı için,.e.d. kavram yoluyla düĢünüldüğü biçimiyle bir nesnenin olanağı için bu hiçbir biçimde yeterli değildir. Böylece, iki düz çizgi arasına kapatılmıĢmıĢ bir beti kavramında hiçbir çeliĢki yoktur. Çünkü iki düz çizginin ve bunların kesiĢmelerinin kavramları bir betinin olumsuzlanmasını, kapsamaz; tersine, olanaksızlık kendinde kavramdan değil, ama onun uzayda yapılaĢtırılmasından, e.d. uzayın belirleniminin koĢulundan kaynaklanır. 116 Kant‘a göre geometrik bir figürün olanağını saptayabilmek için gereken Ģey olanaklı deneyimin bütün nesnelerine temel olabilecek koĢullar altında düĢünülebilir olmasıdır. 117 Kant olanaklı olana dair görüĢlerine Ģöyle devam eder: Olanaklı tüm deneyim alanımıza ait olanların dıĢında baĢka algıların ve dolayısıyla bütünüyle bir özdek alanın var olup olamayacağı konusunda anlak karar veremez. Onun iĢi yalnızca verili olanın sentezi ile ilgilenmektir. Dahası edimsel her Ģeyi (tüm deneyim nesneleri) salt küçük bir parçası olarak kapsayan geniĢ bir olanak alanına açılmamızı sağlayan alıĢıldık tasımlarımızın yoksulluğu apaçık gözler önündedir. Edimsel her Ģey olanaklıdır; doğal olarak buradan mantıksal evirme kuralına göre Ģu salt tikel önerme çıkar: Olanaklı kimi Ģeyler edimseldir; ve bu öyle görünür ki , ‗Edimsel olmayan çok Ģey olanaklıdır‘ anlamına da gelecektir. 118 Bağçe, S. (2003). ―Russell‘ın Kant EleĢtirisi Üzerine‖, Felsefe Tartışmaları, 30.sayı, ss-29-38. Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, A221/B268, ss.270-271. 117 A.g.e., A224, s.273. 118 A.g.e., A231, s.282. 115 116 35 Bu alıntılardan yola çıkarak Friedman Kant‘ın iki anlamda olanaktan bahsettiği sonucuna varır. Ona göre Kant‘ın olanaklılık anlayıĢı Ģöyle açıklanabilir. DüĢünmenin koĢulları ile görü ve kavramanın birlikteliği tarafından sağlanan olanaklılık arasında bir ayrım vardır. Kant için düĢünmenin koĢulları bizim anladığımız anlamda mantıksal olanaklılığa değil daha çok ‗kendinde Ģey‘ in boĢ fikrine çeliĢmezlik ilkesi aracılığıyla sınır çizen düĢünmenin koĢullarına karĢılık gelir. Dolayısıyla bizim anladığımız mantıksal olanaklılık düĢünmenin koĢulları tarafından sağlanır. Gerçek olanaklılık ise düĢüncenin koĢulları ve empirik görü aracılığı ile belirlenir. Bu anlamda mantıki olanaklılık saf matematiğe karĢılık gelirken gerçek olanaklılık matematiksel fiziğe ve bizim fiziksel olanaklılık anlayıĢımıza yakındır.119 Burada eğer mantıksal olanaklılıktan, modern niceleyiciler teorimize denk gelen bugünkü mantıksal olanaklılığı anlarsak, mantıksal olanaklılık bizim için, Öklidyen mekânın, Öklidyen olmayan mekânlarla birlikte birer eleman olarak içerildiği geniĢ bir kümeye iĢaret edecektir. Bu durumda gerçek olanaklılığı ise yalnızca Öklidyen mekânı içeren bir küme olarak düĢünme yanılgısına düĢeriz.120 Kant için mantıki olanaklılık düĢüncenin koĢullarıyla yani genel mantıkla yani çeliĢmezlik ilkesi ile uyum içinde olmaktır. Bu meseleyi ‗Ġki çizginin bir uzayı kapatamaması‘ önermesinden yola çıkarak daha iyi anlayabiliriz. Bu önermenin tersini aldığımızda ‗Ġki çizginin bir uzay kapatabilmesi‘ önermesini elde ederiz ve bu önerme Öklidyen olmayan mekânlarda geçerli olabilen bir önermedir ve Kant bunun mantıki olarak kendisiyle çeliĢmeyen bir ifade olduğunu yani mantıki olarak olanaklı olduğunu kabul etmekle birlikte onun gerçekten olanaklı olduğunu kabul etmeyecektir. Çünkü insan zihni böyle bir geometrik figürü kuramaz, biz zaman ve mekânın Öklidyen görüsüyle nesneleri kurarız: Ama kavramların bizim duyusal sezgimizin ötesine bu geniĢlemesinin hiçbir yararı yoktur. Çünkü o zaman nesnelerin boĢ kavramlarıdırlar ve bu nesnelerin olanaklı olup olmadıklarını bile onlarla yargılayamayız. Yalnızca düĢünce biçimleridirler ki hiçbir nesnel olgusallıkları yoktur, çünkü elimizde bu düĢünce biçimlerinin biricik kapsamlarını oluĢturan tam algının sentetik birliğinin uygulanabileceği ve böylece bir Friedman, M. (1985). ―Kant‘s Theory of Geometry‖, Vol. 94, No.4. Philosophical Review ,ss.503504. Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Press, ss. 99-100. 120 Friedman, M. (1985). ―Kant‘s Theory of Geometry‖, Vol. 94, No.4. Philosophical Review,ss.503. 119 36 nesneyi belirleyebilecek hiçbir sezgi yoktur. Ancak bizim duyusal ve görüsel sezgimiz ona anlam verebilir. 121 Aslında Kant‘ın saf görünün mekân formunu Öklidyen almak suretiyle iĢaret ettiği sınırlamaya benzer bir sınırlamayı Riemann‘da yapar: Basitlik sırasındaki bir sonraki vaka, muhtemelen, doğru elemanının dördüncü dereceden bir diferansiyel ifadenin dördüncü kökü tarafından ifade edildiği manifoldları içerecektir. Daha genel olan bu sınıfı araĢtırmak için çok farklı ilkelere ihtiyaç olmayacaktır. Yalnız, özel olarak sonuçların geometrik olarak ifade edilemeyecek olmasından ötürü, bu araĢtırma çok zaman alacaktır ve mekân kuramına görece yeni bir ıĢık tutacaktır.122 Ancak burada altı çizilmesi gereken bir nokta vardır. Kant için mekânın özellikleri Öklidyen geometri tarafından belirlenir. ĠnĢa saf mekân görüsünde gerçekleĢir ve bu insanın geometrik akıl yürütmesinin doğal sonucudur. Yani Kant‘ın vurgusu daha çok insanın mekân ve geometri anlayıĢının görüsel bir noktadan sınırlarken Riemann‘ın dördüncü dereceden diferansiyellerle ifade edilen manifoldlar yerine sabit eğikliğe sahip manifoldlarla yola devam etmesi sürekli tikelden genel durumlara gitmeye çalıĢan bir matematikçi için J. Gray‘in deyimiyle ―yapay‖dır. 123 Yine de bu tutumun Riemann‘ın kendi genel amaçlarıyla örtüĢtüğü iddia edilebilir. Riemann‘ın en temel amacı geometrinin temelinde yatan gerçek hipotezleri ortaya koymaktı. Dolayısıyla mekânın metrik iliĢkilerinin kendisinden yola çıkılarak kararlaĢtırılacağı en temel verileri araĢtırmalıydı. Bu temel verilerden biri de mekândaki niceliklerin ölçümünden yola çıkan mekânın sabit eğriliğe sahip manifold olması sonucuydu.124 Friedman‘a göre Kant‘ın Öklid aksiyomlarının dıĢ dünyanın ayrıntılı bir tasarımının gösterilmesinin en genel koşullarını sunduğu düĢüncesi Riemann‘ın 1854 tarihli Habilitationsvortrag‘ ında sunmasıyla bu en genel koĢullardan daha genel koşulları sağlayacak manifold kavramını sunmasıyla sorunlu bir hale gelir: Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, B149, s.185. Riemann, B. (1929). ―On the Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry‖, çevr. Simith,D.E in A Source Book in Mathematics içinde, s.417. 123 J. Gray, Tazzioli, R. (2003). ―Towards a history of the geometric foundations of mathematics Late XIXth century‖, Revue de Synthese, Volume 124, Number 1, içinde , s.18. 124 A.g.y., s.18. 121 122 37 Öklid‘in aksiyomlarıyla ilgili ciddi bir soru cevaplanmayı beklemektedir. Üzerine gidilirse, Kant, muhtemelen Ģöyle diyecektir: Bu aksiyomlar öyle koĢulları temsil etmektedir ki, bu koĢullar altında tek baĢına bir yer kaplayan büyüklük kavramı ve dolayısıyla sıkı bir dıĢ dünya anlayıĢı mümkün olmaktadır (B204). Ve artık Ģunu biliyoruz ki, Kant burada ciddi anlamda bir yanılgı içindedir. 1854‘te Riemann nboyutlu genel bir manifold kavramı geliĢtirmiĢtir ve bu kavram, üç boyutlu Öklid mekânını ve Kant‘ın (veya 18. yy'da yaĢamıĢ herhangi bir kimsenin) hayal bile edemediği çok sayıda ek olanağı çok özel durumlar olarak içermektedir.125 Bu iddiası için Friedman Kant‘ın Ģu sözlerine referans verir: Uzam matematiği (geometri), belitleri ile birlikte- ki bunlar duyusal apriori sezginin dıĢ görüngünün bir arı kavramının Ģemasının ortaya çıkmasını sağlayan koĢulları anlatırlar-, Ģekillerin üretiminde üretken imgelem yetisinin bu ardıĢık sentezi üzerine dayanır; örneğin, ‗Ġki nokta arasında salt bir doğru çizgi olanaklıdır‘; ya da , ‗Ġki çizgi bir uzay kapatamazlar‘ vb.126 Hâlbuki burada Kant dıĢ görünüşten (appearances) bahsetmektedir, Friedman'ın iddia ettiği gibi dıĢ dünyanın tasarımından değil. Riemann dıĢ dünyanın farklı boyutlarda olabileceğinin olanağını gösterir ama Kant açısından burada dikkat edilmesi gereken Ģey onun nesnelerin bize görünüĢte üç boyutlu Öklid geometrisinden farklı bir Ģekilde verilemeyeceğini söylemesidir. DıĢ dünya kaç boyutlu olursa olsun biz onunla Öklidyen geometrinin belirlenimleri ile iliĢki içindeyizdir. Kant dıĢ dünyanın Öklidyen aksiyomlara uymayacak bir Ģekilde yaratılamayacağı iddiasında değildir, geometrik olarak farklı bir dünya tasarımı mümkündür ama görünüş açısından baktığımızda bizim dıĢ dünya ile iliĢkimiz Öklidyendir. Kaldı ki Friedman burada haklı olsa da Kant‘ın kaygısı mümkün deneyimin koĢullarını ortaya koyabilmektir. Görünün saf formları olan zaman ve mekân Friedman, M. (1985). ―Kant‘s Theory of Geometry‖, Vol. 94, No.4. Philosophical Review ,s.505. "There remains a serious question about Euclid's axioms, of course; when pressed, Kant would most likely claim that they represent the most general conditions under which alone a concept of extended magnitude - and therefore a rigoruous conception of an external world- is possible ( B204). And of course, we now know that Kant is fundamentally mistaken here. In 1854 Riemann developed the general concept of n-fold extended manifold- containing three dimensional Euclidean space as one very spacial case alongside of more additional possibilities than Kant (or anyone else in the eighteenth century) ever imagined." 126 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, Ġstanbul, B204, ss.223-224. 125 38 nesneleri görebilmemizin imkânını yaratırlar düşünmemizin değil.127 Öyleyse ‗Ġki çizgi bir uzay kapatmazlar‘ türünden bir önermenin biz tersini düĢündüğümüzde mantıki olanaksızlık oluĢturmaz, böyle bir önermenin tersini düĢünmeyle dile getirilen (‗Ġki çizgi bir uzayı kapatırlar‘) türünden Öklidyen olmayan bir önermede dile getirilen iliĢkiyi düĢünebiliriz ancak görmemiz mümkün olmaz. 1.5.5. Kant‟ta „Çoklu‟ (Manifold) Kavramı Riemann‘dan önce Kant hem Eleştiri öncesi yazılarında hem de Prolegomena, Metaphysical Foundations of Natural Science ve Saf Aklın Eleştirisi gibi sonraki eserlerinde çoklu (manifold) kavramını kullanmıĢtır. Literatürde Riemann‘ın manifold kavramını Kant‘a borçlu bulunulabileceği yönünde iddialar 128 olabileceği yönünde spekülasyonlarda olsa da, benim bu bölümdeki amacım böyle bir iliĢki kurulmasının mümkün olup olmadığını araĢtırmaktan ziyade Kant‘ın genel olarak büyüklük kavramını araĢtırmak ve bu kavramın onun felsefesinde temelde cebir- aritmetik ve geometri arsındaki farklara dayandırılan bir çeĢitlilik içinde kavrandığını göstermek olacak. Böylece Kant‘ın genel olarak büyüklük kavramının onun bilme edimini özellikle de matematiksel bilme edimini açıklamasındaki rolü geometri felsefesinin temelinde yatan saf görü ve saf görüde inĢa ile iliĢkisinde açıklamaya çalıĢacağım. Kant bilginin kaynağı ile ilgili olarak yaptığı apriori-aposteriori ayrımını manifolda da uygular:129 En genel anlamda alındığında sentez ile değiĢik tasarımları birbirlerine ekleme ve onlardaki çokluyu tek bir bilgide kavrama edimini anlıyorum. Eğer çoklu görgül olarak değil ama apriori olarak verili ise (tıpkı uzay ve zamandaki çokluk gibi), böyle bir sentez arıdır. Tasarımlarımızın tüm analizinden önce onların kendilerinin verilmiĢ olması zorunludur, ve içerik açısından hiçbir kavram analiz yoluyla doğamaz. Ama ilk olarak bir çoklunun ( bu ister görgül isterse apriori verili olsun) sentezi birliği ortaya çıkarır ki, baĢlangıçta henüz Reyhani, N.( 2010). ―Sentetik apriori: Tarihsel Arkaplanı ve Bugün için Anlamı‖, Bilgi Felsefesi, ed. Betül Çotuksöken –Ahu Tunçel, Heyamola Yayınları, Ġstanbul, içinde s.213. 127 Bakınız; Plotnitsky, A. (2009). ―Bernhard Riemann‘s Conceptual Mathematics and Idea of Space‖, Configurations, Vol. 17, No:1, s.112. 129 Yücel Dursun (2004). Felsefe ve Matematikte Analitik/Sentetik Ayrımı, Elips Kitap.ss,54-55. 128 39 ham ve karıĢık olabilir ve bu nedenler analize gereksinir; gene de sentez bilgilere doğru öğeler toplayan ve bunları belli bir içeriğe birleĢtirendir; öyleyse bilgimizin ilk kaynağı üzerine yargıda bulunmayı istiyorsak, dikkat etmemiz gereken ilk nokta sentezdir. 130 Kant Eleştiri‟nin birçok yerinde görünüĢün manifoldundan bahseder. Buna göre her görünüĢ bir manifold içerir: Bize verilen ilk Ģey görüngüdür ki, bilinç ile bağlandığı zaman algı olarak adlandırılır (en azından olanaklı olan bir bilinç ile iliĢkisi olmaksızın görüngü bizim için hiçbir zaman bir bilgi nesnesi olmayacak ve bu yüzden bir hiç olacaktır ve kendinde hiçbir nesnel olgusallığı olmadığı ve yalnızca bilgilerde var olduğu için genel olarak hiçbir Ģey olacaktır). Ama her görüngü çoklu kapsadığı için, ve dolayısıyla değiĢik algılar anlıkta kendi içlerinde dağınık ve ayrı olarak bulundukları için, duyunun kendisinde elde edemeyecekleri bir birleĢmeleri gereklidir. Öyleyse bizde bu çoklunun sentezi için bir etkin yeti vardır ki, bunu imgelem yetisi olarak adlandırırız ve bunun dolaysızca algılar üzerinde uygulanan edimine ayrımsama diyorum. Ġmgelem yetisinin sezginin çoklusunu bir imge içine getirmesi gerektiği için, izlenimleri daha önceden etkinliği içine almıĢ, e.d. ayrımsamıĢ olmalıdır. 131 Yani Kant‘a göre görünüĢün içeriği manifolddan oluĢur. GörünüĢün biçimi ise görünüĢün manifoldunun düzenlenmesi ve belirlenmesi iĢinde rol alır; ―Görüngüde duyuma karĢılık düĢene onun özdeği, ama görüngü çoklusunu belli iliĢkiler içinde düzenlenebilir kılana ise görüngünün biçimi diyorum‖.132 GörünüĢün biçimine biz apriori olarak sahibizdir içeriği ise empirik olarak verilir. Apriori biçim içeriğin olanağının koĢulu olduğu için zihindedir. GörünüĢün çokluğu da zihindedir ama empirik olarak verilir.133 Kant zihinde manifoldun nasıl oluĢtuğuna dair net bir tanım vermemekle beraber Ģunları söyler: Genel mantık, daha önce birçok kez söylendiği gibi, bilginin tüm içeriğini soyutlar ve ona baĢka nereden olursa olsun analiz yoluyla kavramlara dönüĢtüreceği tasarımların verilmesini bekler. Buna karĢın aĢkınsal mantık apriori duyarlığın bir çoklusunu önünde bulur ki, bu arı anlak kavramlarına bir gereç verebilmek için ona aĢkınsal estetik tarafından sunulur ve yokluğunda bu kavramlar tüm içerikten yoksun ve dolayısıyla bütünüyle boĢ olacaklardır. Uzay ve zaman arı apriori sezginin bir çoklusunu kapsarlar; ama gene de anlığımızın alıcılığının koĢullarına aittirler ki, anlık ancak onların altında nesnelerin tasarımlarını alabildiği için, her zaman bu nesnelerin kavramlarını da Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A78, s.127. Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A120, s.164. 132 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A20/B34, s.77. 133 Yücel Dursun (2004). Felsefe ve Matematikte Analitik/Sentetik Ayrımı, Elips Kitap, s.54. 130 131 40 etkiliyor olmalıdırlar. Ama düĢüncemizin kendiliğindenliği bu çoklunun bilgisinin oluĢturulabilmesi için ona ilkin belli bir yoldan girilmesini, soğrulmasını ve bağlanmasını gerektirir. Bu eylemi sentez olarak adlandırıyorum. 134 Burada bahsedilen apriori duyusallığın manifoldunun saf anlığın kavramlarının gereçleri ( material) olması gibi manifold da genel olarak bilgimizin malzemesidir. Eleştiride manifoldun geçtiği yerler göz önüne alındığında manifoldun duyum sonucu oluĢan tasarımlar olarak alınması makul bir yorum olarak görünmektedir. Ancak yine de bu daha çok empirik manifolda yakın duran bir yorumdur ve apriori manifold için böyle bir yorum geçerli olmayabilir.135 Kant büyüklüğü Ģöyle tanımlar: ġimdi, genel olarak sezgideki çoklu türdeĢin bilinci, bir nesnenin tasarımının ancak onun yoluyla olanaklı olması ölçüsünde, bir büyüklük (quanti) kavramıdır.136 Kant manifold terimini özel teknik bir anlamda kullanmaz, her türlü çokluk için bu terimi kullanır. Büyüklük olmanın temel özelliği homojen manifold olmaktır. Daha da ötesinde görüde homojen manifold olmaktır. Büyüklük kavramına sentetik birliği eklemeksizin büyüklüğün görüde homojen çokluk dıĢında bir anlamı yoktur.137 Kant büyüklüğü görüdeki genel homojen manifold olarak tanımlar ve bu suretle o bizim arı formlarımız olan mekân ve zamandan soyutlanan bir Ģeydir.138 Öte yandan Kant‘ın özellikle matematiksel bilme ile ilgili kullandığı iki kavram daha vardır; quantum (Alm.‟quanti‟, İng. „quantum‟) ve quantitas. Bu iki kavram için de Kant ‗büyüklük‘ (Gröse) terimini kullanır. Bu iki kavram arasındaki ayrımı Kant Görünün Aksiyomları (Axioms of Intuition) kısmında yapar. Latince –itas eki soyut Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A77, ss.126-127. Dursun, Y. (2004). Felsefe ve Matematikte Analitik/Sentetik Ayrımı, Elips Kitap, s.54. 136 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, B203, s.223. Kant, I. (1965). Critique of Pure Reason, trans. by Smith, N. K.,New Yorki St Martins. ―The concept of magnitude (quantum) is the consciousness of the homogenous manifold in intuition in general, so far as through it the reprsentation of an object first becomes possible.‖ 137 Sutherland, D. (2004). ―The Role of Magnitude in Kant‘s Critical Philosophy‖, Canadian Journal of Philosophy, Volume 34, No:3, s.426. 138 A.g.y. 134 135 41 bir entiteye ya da özelliğe referans vermek için kullanılır.139 Bu açıdan bakıldığında quantitas‘ın quantum‘a göre daha soyut bir büyüklüğe referansla kullanıldığı düĢünülebilir. Görece somut olması yine de quantumun kendisi uzay ve zamana has özelliklere sahip olmasını zorunlu kılmaz. Quantumun zaman ve mekânsallık kazanabilmesi için quanta olarak görüde tasarımlanması gerekir. Yani quanta görüde tasarımlanarak zamansal ve mekânsal özelliklere sahip olacaktır. Kant quantum‘u görüde genel olarak bulunan homojen manifold olarak tanımlar. Bu nokta önemlidir çünkü görünün bilmede özellikle matematiksel bilmedeki rolü homojen manifoldu sunmaktır. Bu özellik uzay ve zaman görüleri için ortaktır, herhangi birinin tikel özelliklerine bağlı değildir.140 Kant hiçbir yerde quantitası net bir Ģekilde tanımlamaz. Quantitas‘ı karakterize eden Ģeyi Kant ‗Bir Ģey ne kadar büyük?‘ sorusunun yanıtı olacak Ģekilde düĢünür. Örneğin ‗Ġki nokta arasında yalnızca bir doğru çizilebilir‘ ya da ‗Ġki düz çizgi bir uzay kapatamaz‘ gibi önermeler yalnızca quanta ile ilgilidir, öte yandan: Ama büyüklüğe (quantitas),e.d. bir Ģeyin ne denli büyük olduğu sorusuna verilen yanıta gelince, bu bakımdan sentetik ve dolaysızca pekin (indemonstrabilia) çeĢitli önermelerin olmasına karĢın, sözcüğün gerçek anlamında hiçbir belit yoktur. 141 Geometrinin önermeleri mekânsal büyüklükleri ilgilendirir ama onların miktarlarını değil; öte yandan quantitas bir miktar belirtir. Dolayısıyla quantitas‘ın sorusu ‗Bir Ģey ne kadar büyük?‘ ölçmeyi gerektirir. Bu sorunun önemine Riemann‘ da dikkat çeker: Ölçüm kıyaslanacak büyüklüklerin üst üste getirme (süperpozisyon) iĢleminde yer alır, ölçüm bir büyüklüğü diğeri için ölçü olacak Ģekilde nakletmenin araçlarını gerektirir. Bunun yokluğunda iki büyüklük kıyaslaması ancak biri diğerinin parçası ise mümkün 139 A.g.y., s.427. A.g.y., s.428. 141 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, B203, s.224. 140 42 olabilir ki bu durumda bile yalnızca ne kadar fazla ya da az sorusunun yanıtına karar verilebilir, ne kadar çok sorusunun yanıtına değil. 142 Yani ölçüm iĢi bir birim ya da sayı belirlemeyi gerektirir. Bu yolla kaç tane birimin ölçülen Ģeydeki miktara eĢit olup olmadığı ölçülür. Ama bir Ģeyin miktarı (quantitas‘ı) seçilen birimden bağımsızdır ve ölçülen nesnenin bir özelliğidir. Örneğin bir cetvel bizim onu tanımlamamızdan ve ölçmek için belirlediğimiz birimden bağımsız olarak, 28 cm ya da 11 inçtir. Quantitas somut tikel quantumun soyut bir miktarıdır; örneğin söz konusu cetvelin uzunluğudur. Bu cetvel ile bir kağıt parçası eĢit quantitasa bir Ģekilde sahip olabilir ancak her biri kendi quantitasına sahiptir. Buna alternatif olarak quantitas farklı quantalar tarafından paylaĢılan ortak soyut miktar olabilir. Söz konusu cetvelin quantitası bu kâğıt parçasının quantitası ile bir ve aynı olabilir.143 Kant‘ın quanta ile quantitas arsında yaptığı ayrımı anlamak için cebir-aritmetik ile geometri arsındaki farktan da yola çıkılabilir. Yukarıdaki alıntıda Kant‘ın Indemonstrabilia olarak belirlediği quantitas‟ı ilgilendiren önermelere aritmetikten 7+5=12 toplama iĢlemi örnek olarak verilebilir. Bu tür önermeler aksiyom değildirler çünkü geometrinin aksiyomlarının aksine ‗genel‘ değildirler.144 Sonuç olarak geometri quanta‘yı ilgilendirir ve aksiyomları vardır, aritmetiğin ise aksiyomları yoktur ve quantite‘yi ilgilendirir. Geometrinin görüsünün nesnesi büyüklük olarak quantadır.145 Kant Eleştiri‘nin ilerleyen bölümlerinden birinde yine cebir-aritmetik ve geometri arsındaki bir farka dikkat çeker: Riemann, B. (1929). ―On the Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry‖, çevr. Simith,D.E in A Source Book in Mathematics içinde, s.413. 143 Sutherland, D. (2004). ―The Role of Magnitude in Kant‘s Critical Philosophy‖, Canadian Journal of Philosophy, Volume 34, No:3, s.428. 144 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A164/B205, s.224. 145 Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Press, s.107. 142 43 … ama matematik geometride olduğu gibi salt büyüklükleri (quanta) yapılaĢtırmakla kalmaz; tersine, cebirde olduğu gibi salt büyüklüklerin (quantitas) yapılaĢtırmasını da üstlenir ve burada böyle bir büyüklük kavramına göre düĢünülmesi gereken nesnenin niteliğini bütünüyle soyutlar.146 Burada ise quanta ile quantitas arasındaki ayrımı ‗doğrudan gösteren‘ geometrik (ostensive) olanla ‗sembolik‘ olan ‗karakteristik inĢa‘147 arasındaki ayrıma göre yapılıyor. Geometrik yapılaĢtırma nesnelerin kendisiyle ilgilenirken sembolik yapılaĢtırma nesneleri nasıl oluĢturulduğundan soyutlar, Kant bu alıntıda aritmetikten değil de cebirden bahseder ancak yine de sembolik yapılaĢtırma bağlamında ikisini de aynı bağlamda değerlendirmekteydi. 148 Cebir ve aritmetiğin soyutluğu ile geometrinin doğrudanlığı arasındaki bu ayrım temelinde quanta ile quantitas arasındaki farkı daha yakından anlamaya çalıĢalım. Nesnenin niteliğinden bütünüyle soyutladığımızda somut nesne artık söz konusu değildir. Bu da cebirin quantitas‘ının quanta ile doğrudan bir iliĢkisi olmadığı Ģeklindeki ihtimali kuvvetlendirir. Az önceki örneği yeniden düĢünecek olursak aritmetiğin quantitası 7 ve 5 gibi tikel rakamlara iĢaret eder, cebirin quantitas‘ı ise bu tikel rakamlardan soyutlama yaparken bu rakamları değiĢkenler olarak ele alır. 149 Kant‘ın cebirde tam soyutlama vurgusu cebirin nesnesi olmadığı ya da nesnesine genel olarak sahip olduğu Ģeklinde yorumlanabilir.150 Kant cebir ve aritmetiği kendi özel alanları olmayan bilimler olarak, yalnızca belli tipteki problemleri çözmek için hesaplama tekniklerini içeren dolayısıyla her türlü nesnenin büyüklüğünü hesaplayabilecek matematiğin genel büyüklük teorisi Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A717/B745, s.662. Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A735/B763, s.675. N. Kemph Smith ‗karakteristik inĢa‘,( characteristische Konstruction) Kant‘ın bu cümle ile anlatmak istediği Ģeyi Ģüpheli bulur ve semboller yardımıyla inĢa olarak da çevrilebileceğinin altını çizer; ―[characteristische Konstruction. The meaning in which Kant uses this phrase is doubtful. It might also be translated ‗construction by means of symbols‘.]‖. Kant, I. (1965). Critique of Pure Reason, trans. by Smith, N. K.,New York St Martins. 148 Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Pres, s.108.. 149 Sutherland, D. (2004). ―The Role of Magnitude in Kant‘s Critical Philosophy‖, Canadian Journal of Philosophy, Volume 34, No:3, s.429. 150 Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Press, s.108, Sutherland, D. (2004). ―The Role of Magnitude in Kant‘s Critical Philosophy‖, Canadian Journal of Philosophy, Volume 34, No:3, s.429. 146 147 44 kapsamında değerlendiriyordu. Kant için kendi özel nesne alanına sahip olan bilim geometriydi. Bu bakıĢ açısı Kant ve Öklid‘de ortaktır.151 Geometride bize verilen uzunluklar, alanlar, hacimler öncelikle mekânsal büyüklükler olarak kavranır. Verilen bu mekânsal büyüklükler, örneğin sonlu bir uzunluk parçası ‗girdi‘ (‗Input‘) olarak alınır. Bu girdiden hareketle verili uzunluk parçasının uzunluğunun büyüklüğü sorusunun yanıtı ‗çıktı‘ (‗Output‘) olarak değerlendirir. 152 Bu çıktıyı belirleyebilmek için yani söz konusu çizginin ne kadar uzun olduğunu anlamak için keyfi bir ‗birim‘ (‗unit‘) belirler; örneğin eğer söz konusu büyüklük bir karenin köĢegeni ise bu köĢegenin büyüklüğünü belirleyebilmek için karenin bir kenarını ‗birim‘ olarak belirleyebiliriz. Eğer büyüklük ve seçilen birim aynı standartlarla ölçülebilir ise aritmetik bir belirli kesir ya da sayı verir, değilse cebir bize sayılarla yaklaĢık bir değer bulmamızın kesin bir kuralını verir.153 Cebirin ve aritmetiğin geometriye göre soyutluğu onların genelliğinde içerilmez. Daha ziyade bu soyutluk onların, hesaplama teknikleri olarak, büyüklükleri hesaplanacak nesnelerin özel doğasından bağımsız olmalarından gelir. Cebir ve aritmetiğin kendilerinde biz büyüklüklerin doğası ve varlığı hakkında bir Ģey varsaymayız, yalnızca ‗ekleme çıkarma kök bulma‘ gibi iĢlemler yaparız ve büyüklükleri manipüle edecek örneğin ‗oran‘ gibi kavramlara baĢvururuz. Hangi büyüklüklerin hesaplandığı görümüz tarafından ve cebir ve aritmetikten bağımsız 151 Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Press, ss.112-113. Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Press s.112. Bu sürecin örneklenmesi için Kant‘ın Prolegomena‘da büyüklük kavramının uygulanması yardımıyla bir çizginin uzunluğundan bahsettiği kısım değerlendirilebilir: 152 En basit aksiyomlarında Saf Matematiğin yargıları bile bu koĢulun dıĢında tutulamaz. ―Doğru çizgi, iki nokta arsındaki en kısa çizgidir‖ ilkesi, çizginin büyüklük kavramı altına sokulmasını varsayar; bu kavram elbetteki sırf bir görü değildir, ancak ve ancak anlama yetisinde bulunur ve (çizginin) görüsünü, ondan çıkabilecek yargıları kurmak amacıyla, niceliği bakımından, yani çokluğu bakımından (iudicia plurativa olarak) belirlemeye yarar; çünkü bunlardan, verilmiĢ bir görüde aynı türden pek çok Ģeyin içerildiği anlaĢılır (s.52). 153 Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Press, s.112. 45 olarak tesis edilir. Böylece, uzunluk, alan ve hacimler olarak büyüklükler ve diğer tipteki büyüklükler de kavranabilir olur.154 Öyleyse quanta, görünün büyüklükler olarak nesnesi, yalnızca özel tipte büyüklüklerdir. Bu büyüklükler, Öklid‘in ilk üç aksiyomu tarafından ilgili mekânsal figürlerin kurulmasını sağlayan aksiyomlarla verilir. Quantitas, genel olarak büyüklüğün belirlenmesiyle elde edilen Ģey olarak, herhangi bir büyüklüğün özel bir büyüklüğünü hesaplamak için aritmetik ve cebir tarafından baĢvurulan operasyon ve kavramları kapsar. Burada herhangi bir özel büyüklüğün varlığı için bir Ģey postüle etmeyiz, bu nedenle quantitas için aksiyomlar yoktur. Quantitas‘ın hesaplanması geometriden farklı olarak bizim görümüzün özel karakterine bağımlı değildir, o bize Ģeyin kavramını genel olarak sağlar:155 Ama arı büyüklük (quantitas) Ģeması, anlağın bir kavramı olarak, sayıdır-birimin birim ile (türdeĢ) ardıĢık toplamını kapsayan bir tasarım. 156 Örneğin bir evin görgül sezgisini onun çoklusunun ayrımsanması yoluyla bir algıya çevirdiğimde, benim için uzayın ve genel olarak dıĢ duyusal sezginin zorunlu birliği temelde yatar, ve bu evin Ģeklini bir bakıma uzaydaki çoklunun bu sentetik birliğine uygun olarak çizerim. Ama eğer uzay biçimini soyutlarsam, tam bu sentetik birlik yerini anlakta bulur, ve genel olarak bir sezgideki türdeĢin sentezinin kategorisidir ,e.d. büyüklük kategorisidir ki, ayrımsamanın o sentezi, e.d. algı, baĢtan sona uygun olmalıdır.157 Quanta ile quantitas arasındaki ayrımı incelemenin baĢka bir yolu da Kant‘ın şematizm‘ ini incelemektir. Kant‘a göre Ģema kavramlar ile görüler arasında aracı bir rol oynar. Kant Ģema ile en genel anlamıyla Ģunu kasteder ―Ġmgelem yetisinin bir kavrama imgesini sağlamaya yönelik bu evrensel iĢleminin bu tasarımını bu kavramın Ģeması olarak adlandırıyorum.‖158 O zaman sorumuz Ģudur: ―O zaman, 154 A.g.e., s.114. A.g.y., s.114, Sutherland, D. (2004). ―The Role of Magnitude in Kant‘s Critical Philosophy‖, Canadian Journal of Philosophy, Volume 34, No:3, s.429. 156 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A143/B182, s.208. 157 A.g.e., B162, s.194 158 A.g.e., A141/B180, s.206-207. 155 46 sezgilerin arı kavramlar altına alınmaları ve dolayısıyla kategorilerin görüngülere uygulanmaları nasıl olanaklıdır eğer hiç kimse bir kategorinin, söz gelimi nedenselliğin duyular yoluyla sezildiğini ve görüngüde kapsandığını söylemiyorsa?‖159 Bunun için nesnenin tasarımı ile kavram aynı türden olmalıdır. Yani kategorilerin görünüĢlere uygulanabilmesi için kavram kavramın altına getirilen nesnede tasarımlanan bir Ģeyi içermelidir.160 ġema anlağın arı kavramları ve empirik ve saf duyulur kavramlar için ayrı ayrı iĢ görebilir.161 Anlağın saf kavramı, örneğin bir üçgen kavramı, empirik ve saf duyular kavramın aksine görüyle ortak bir içeriğe sahip değildir. Dolayısıyla anlağın saf kavramları görülerle doğrudan bağlantı içinde değillerdir. Bu iliĢkiyi kurmak şema ile mümkündür. Kategorilerin Ģeması temsiller arasındaki zamansal iliĢkileri belirlerken gereken kuralların biçimini alır. Kant‘a göre kavramlar anlağın kurallarıdır ve Ģema bu kuralları yansıttığı sürece kavramlarla genelliğin gösterilmesi iĢini paylaĢırlar. Zamanın belirlenimleri olarak Ģema zamanda, dolayısıyla görüde gösterilen her temsille iliĢkilidir. Yani Ģemalar kategoriler ile görüler arasında bir köprü kurarlar:162 Anlak kavramı genelde çoklunun arı sentetik birliğini kapsar. Ġç duyunun çoklusunun, dolayısıyla tüm tasarımların bağlantılarının biçimsel koĢulu olarak zaman arı sezgide bir apriori çoklu kapsar. ġimdi aĢkınsal bir zaman belirlenimi (onun birliğini oluĢturan) kategori ile evrensel olması ve bir apriori kural üzerine dayanması ölçüsünde türdeĢtir. Ama öte yandan, zamanın çoklunun her görgül tasarımında kapsanması ölçüsünde, görüngü ile türdeĢtir. Buna göre, kategorinin görüngüler üzerine uygulanıĢı aĢkınsal zaman belirlenimi yoluyla olanaklı olur, ki bu, anlak kavramlarının Ģeması olarak, görüngülerin kategori altına alınmasına aracılık ederler.163 ġemanın kategorileri gibi, empirik kavramların ve duyumun saf kavramlarının Ģeması da kesin genel bir kavram için kurallardır.164 Yine de aralarında önemli bir 159 A.g.e., A138/B177, s.204. A.g.e., A137/B176, s.204. 161 Sutherland, D. (2004). ―The Role of Magnitude in Kant‘s Critical Philosophy‖, Canadian Journal of Philosophy, Volume 34, No:3, s.431. 162 A.g.y., s.431. 163 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A139/B178, s.205. 164 A.g.e., A141/B180, ss.206-207. 160 47 fark vardır anlağın saf kavramlarının Ģeması ‗imaj‘ haline getirilemezken 165, empirik duyum kavramının Ģeması getirilebilir.166 Qunta ile quantitas‘ın rolleri farklıdır. Quanta nın imajı yani zaman ve mekân kendi baĢlarına niceliğin kategorileri için imaj üretemezler. Onlar yalnızca homojen manifoldu üretirler ki onlar da niceliğin kategorilerine göre belirlenim kazanırlar. Kant‘ın burada tikel bir quantumun imajına gönderimde bulunmadığı daha ziyade dıĢ duyumun tüm quantasına ve iç duyumun tüm nesnesine gönderimde bulunduğuna dikkat etmek önemlidir.167 Yani Kant‘ın dikkat çektiği imajlar tikel zaman ve mekânlar değil, görüde belirlenmemiĢ olarak verili zaman ve mekândır. Kant bu suretle quanta‘ nın görüdeki herhangi manifolda genel olarak manifoldun belirlenmiĢ olup olmadığına bakmaksızın iĢaret ettiğini söylemiĢ oluyor. 168 Biz belirlenmemiĢ quanta‘yı görüleyebiliriz: ―Belirsiz bir niceyi [Quantum] bir bütün olarak sezebiliriz, eğer onu bütünlüğünün ölçme yoluyla, e.d. parçalarının ardıĢık sentezi yoluyla çizilmesi gerekmeksizin sınırlar içine kapayabilmiĢsek. Çünkü sınırlar, tamamlanmıĢlığı daha öte her Ģeyden yalıtmakla, onu daha önceden belirlerler.‖169 Zaman ve mekân verili görüler olarak, yani belirlenmemiĢ olarak, büyüklüklerdirler. Demek ki quanta görüdeki homojen her türlü manifolda, belirlenmiĢ olup olmadığına bakılmaksızın uygulanabilen bir kavramdır. 170 ġema ile imge arasındaki iliĢkiyi anlamak için Ģu alıntılara bakabiliriz: Böylece, birbiri ardına beĢ nokta koyacak olursam, ….., bu beĢ sayısının bir imgesidir. Buna karĢı, salt bir sayıyı düĢünecek olursam, bu ister beĢ isterse yüz olsun, bu düĢünce daha çok bir çokluğu (örneğin bin) belli bir kavrama uygun olarak bir imgede 165 A.g.e., A142/B181, s.207. Sutherland, D. (2004). ―The Role of Magnitude in Kant‘s Critical Philosophy‖, Canadian Journal of Philosophy, Volume 34, No:3, s.431. 167 A.g.y., s.434. 168 Sutherland, D. (2004). ―The Role of Magnitude in Kant‘s Critical Philosophy‖, Canadian Journal of Philosophy, Volume 34, No:3, s.434. 169 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A426/B454, s.448. ―An indeterminate quantum can be intuited as a whole when it is such that though enclosed within the limits of we do not require to construct its totality through measurement, that is, through the succesive sytnthesis of its parts. For the limits, in cutting off anything futrher, themselves determine its completeness.‖ Kant, I. ( 1965). Critique of Pure Reason, trans. by Smith, N. K.,New Yorki St Martins., s.397. 170 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A25/B39, s.81. 166 48 tasarımlamak için bir yöntem tasarımıdır, çünkü böyle bir durumda imgeyi ancak güçlükle göz önüne getirebilir ve kavram ile karĢılaĢtırabilirim. 171 Kant‘ın burada altını çizmek istediği nokta bizim beĢ kitaba bakarak beĢ elma çizerek beĢ sayısının imgesine sahip olabileceğimiz ama beĢ sayısının içerdiği bütün imgeleri karĢılamayacağıdır. BeĢ sayısı imge kavramıyla karĢılanamaz.172 Benzer Ģekilde: Gerçekte arı duyusal kavramlarımızın temelinde nesnelerin imgeleri değil ama Ģemaları yatar. Genelde bir üçgen kavramı için onun hiçbir imgesi hiçbir zaman yeterli olmaz. Çünkü kavramın onu ister dik açılı isterse dar açılı olsun tüm üçgenler için geçerli kılan evrenselliğine imge hiçbir zaman eriĢemez, tersine her zaman bu alanın yalnızca bir bölümüne sınırlı kalır.173 Kant‘ a göre empirik kavramın Ģeması, örneğin bu alıntıda üçgen, ―mekândaki saf Ģekillere ilgisinde imajinasyonun sentezininin kuralıdır‖. 174 Yani Ģema bize bir kavramın imajını sağlamak, bu imaj sayesinde genelliği göstermek ve bu genellik sayesinde bu kavram altında içerilen nesneler hakkında akıl yürütebilmek için genel bir prosedür verir.175 ġema sayesinde tek tek üçgenleri değil tüm üçgenleri ilgilendiren sonuçlar hakkında akıl yürütebiliriz.176 Cebir ve aritmetiğin nesneleri zamansal olmasa da büyüklük kavramının kurulmasında zamansal bir nokta vardır. Bu zamansal nokta ―büyüklüğün saf şemasıdır‖: Tüm büyüklüklerin (quantorum) dıĢ duyu önündeki arı imgesi uzaydır; genel olarak duyuların tüm nesnelerininki ise zaman. Ama arı büyüklük (quantitatis) şeması, anlağın bir kavramı olarak, sayıdır-birimin birim ile (türdeĢ) ardıĢık toplamını kapsayan bir tasarım. Öyleyse sayı genel olarak türdeĢ bir sezginin çokluğunun sentezinin birliğinden 171 A.g.e., A140/ B179-B180, s.206. Yücel Dursun (2004). Felsefe ve Matematikte Analitik/Sentetik Ayrımı, Elips Kitap., s.65-66. 173 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A141/B180, s.207. 174 A.g.e. 175 Sutherland, D. (2004). ―The Role of Magnitude in Kant‘s Critical Philosophy‖, Canadian Journal of Philosophy, Volume 34, No:3, s.432. 176 A.g.y., ss.432-433. 172 49 baĢka bir Ģey değildir, ve sezginin ayrımsanmasında zamanın kendisini üretmem yoluyla ortaya çıkar. 177 Buradaki zamansal olan nokta, birimlerin ardıĢık birbirine eklenmesi görünün nesnelerine yani quanta‘yı iĢaret etmiyor. Quanta‟yı iĢaret eden Ģey ―büyüklüğün saf imajıdır‖.178 Dolayısıyla imajlar Ģemadan ayrıdır. Burada dikkat edilmesi gereken nokta quantanın zamansal olduğu değil, quantite‘ nin bir Ģekilde zamansal olduğudur.179 Bu alıntıdan yine anlıyoruz ki quantum değil de quantitas kategorileri sunar. Burada Kant rakamdan ‗birlik‘, ‗çokluk‘ ve ‗bütünlük‘ kategorilerine uyan Ģema olarak bahseder. Burada quantumun kavramın imajına, quantitas‘ın ise şemasına denk geldiği düĢünülebilir, Kant quanta‘nın imajından quantitas‘ın ise Ģemasından bahsediyor dolayısıyla Ģema ve imaj farklı kavramlardır. Bu alıntıdan yola çıkılarak yine denebilir ki quantitas kategorileri göstermektedir. Kant niceliğin kategorilerinin Ģemaları tarafından nasıl uygulandığını betimliyor ve quantitas‘ın Ģemasını tanımlıyor. Kant‘ın quanta‘ya referansı ise saf imajı ile sınırlı oluĢu bağlamındadır. Büyüklüğün Ģeması ile anlağın kavramı da quantitas olarak büyüklüğü anlağın kavramı olarak nitelediğini gösteriyor. Quantitas nicelik kategorisine denk gelir. 180 1.5.5.1. Kapsamlı ve Yoğun Büyüklükler (Extensive-Intensive Magnitudes) Kant büyüklüklere iliĢkin bir bölümleme daha yapar; kapsamlı büyüklükler ve yoğun büyüklükler. Kant için bu kavramların ne ifade ettiğine geçmeden önce kapsamlı ve Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A142-143/ B182, s.208. ―The pure image of all magnitudes (quantorum) for outer sense is space; that of all objects of the senses in general is time. But the pure schema of magnitude (quantitatis), as a concept comprises the successive addition of homogeneous units. Number is therefore simply the unirt of the synthesis of the manifold of a homogenous intuition in general, a unity due to my generating time itself in the apprehension of the intuition.‖ Kant, I. ( 1965). Critique of Pure Reason, trans. by Smith, N. K.,New Yorki St Martins, ss.183-184. 178 Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Press, s.115. 179 A.g.e., s.116. 180 Sutherland, D. (2004). ―The Role of Magnitude in Kant‘s Critical Philosophy‖, Canadian Journal of Philosophy, Volume 34, No:3, s.433. 177 50 yoğun büyüklük ile ne kastedildiğini daha genel bir açıdan ele alarak baĢlamak daha uygun olacaktır. Bazı nicelikler için birbirine bağlama, birbirine birleĢtirme ve sıralama iĢlemleri için doğal yollar mevcuttur. Örneğin bir metre çelik bir teli yan yana koyarak ve birbirlerine ekleyerek 4 metrelik bir çubuk elde edebilirsiniz. Birbirine ekleme iĢlemlerine böyle izin veren niceliklere kapsamlı büyüklükler (extensive quantities) deriz. Öte yandan bazı nicelikler vardır ki böyle bir ekleme iĢi onlar için mümkün değildir. Örneğin sıcaklık böyle bir niceliktir. 40 santigrat derecedeki bir kova suya 20 santigrat derece bir kova su dökerseniz sonuç 60 santigrat derecelik bir su olmayacaktır. Böylece doğal ekleme iĢlemine izin vermeyen niceliklere de yoğun büyüklükler (intensive magnitudes) diyoruz. Kapsamlı büyüklükler kıyaslamaya izin verdiğinden ve nümerik olarak temsil edilebildiğinden dolayı ölçüm iĢinin temelinde yatarlar. 181 Görünün Aksiyomları Öncelemeleri (Axioms of Intuition) kapsamlı büyüklükler, Algı (Anticipations) ise yoğun büyüklükler ile ilgilidir. Kant‘a göre kapsamlı büyüklükler parçalarının gösteriminin bütünün gösterimini mümkün kıldığı büyüklüklerdir: Parçaların tasarımı bütünün tasarımını olanaklı kılıyorsa (ve öyleyse zorunlu olarak onu önceliyorsa), büyüklüğe uzamlı bir büyüklük diyorum. Ne denli küçük olursa olsun, hiçbir çizgiyi düĢüncede çizmeksizin, e.d. bir noktadan birbiri ardına tüm parçaları yaratmaksızın ve her Ģeyden önce bu yolla sezgiyi üretmeksizin tasarımlayamam. 182 Duyumlar ve görüngülerde gösterilen ve onlara uyan Ģeyler ise yoğun büyüklüklerdir: 181 Torretti, R.(1990). Creative understanding: Philosophical Reflections on Physics, University of Chicago Press, s.60. 182 Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi, A162/ B203, s.223. 51 Görüngüler kendilerinde Ģeyler değildirler. Görgül sezgi ancak arı sezgi (uzay ve zamanın) yoluyla olanaklıdır. Geometrinin arı sezgi için söylediği bu yüzden yadsınamayacak bir yolsa görgül sezgi için de geçerlidir. Duyuların nesnelerinin uzayda çizim kurallarına (örneğin çizgilerin ya da açıların sonsuz bölünebilirliği) uygun olmayabilecekleri yolundaki tüm özürler bir yana bırakılmalıdır. Çünkü bunlarla uzayın dolayısıyla tüm matematiğin nesnel geçerliği yadsınır ve bundan böyle matematiğin görüngülere nasıl ve ne denli uygulanacağı bilinmez olur. Uzayların ve zamanların sentezi, tüm sezginin özsel biçiminin sentezi olarak, aynı zamanda görüngünün ayrımsanmasını, ve dolayısıyla her dıĢ deneyimi ve sonuçta ayrıca bu deneyimin nesnelerinin tüm bilgisini olanaklı kılan Ģeydir. 183 Algı Öncelemeleri‘nde Kant yoğun büyüklükler içeren fenomene matematiğin uygulanmasının olanağını açıklar. Bu anlamda yoğun büyüklüklerin matematiğin uygulama alanı olmaları dıĢında matematiğin olanağının açıklanması bakımından bir rolleri yoktur.184 Öte yandan kapsamlı büyüklüklerin matematiksel bilmeyi açıklamada rolü vardır ve bu onu yoğun büyüklüklere göre öncelikli kılar. Yoğun büyüklükleri belirlenmiĢ zamanlar olmaksızın yani kapsamlı büyüklükler olmaksızın kavrayamayız.185 Kant‘ın kapsamlı büyüklükler ve ardıl sentezin temel rol aldığı argümantasyonu Ģu Ģekilde özetlenebilir: 1. Bir kapsamlı büyüklük parçaların gösteriminin bütünü mümkün kıldığı dolayısıyla parçaların bütünden önce geldiği bir Ģeydir. 2. Belirli zaman ve mekânın gösterimi ancak parçadan parçaya sürekli bir sentez ile olanaklıdır. 3. Ardıl sentez yoluyla kavranılan her Ģey parçaların bütünü olanaklı kılmasını zorunlu kılar. 4. Öyleyse, tüm belirli zaman ve mekânlar kapsamlı büyüklüklerdir. 5. Tüm görüngüler belirlenmiĢ186 zaman ve mekânda bir görü içerirler. 187 6. Öyleyse, tüm görüngüler kapsamlı büyüklüklerdir. 183 A.g.e., A165/B207., s.225. Sutherland, D. (2004). ―The Role of Magnitude in Kant‘s Critical Philosophy‖, Canadian Journal of Philosophy, Volume 34, No:3, s.436. 185 A.g.y., s.436. 186 A.g.y., s.417. ‗Belirleme‘ Kant için matematiksel bilmenin ve büyüklüklerin hesabının verilmesinde önemli bir yer tutar. Kant‘a göre çizgiler, yüzeyler, zaman ve deneyimin nesnesinin tikel tüm zamansal ve mekânsal özellikleri belirli zamanlar ve mekânlar olarak değerlendirilebilir. Yani, belirli zaman ve mekânlar hem geometride kurulabilecek figürleri hem de düĢüncede kurulabilecekleri içerir. 187 A.g.y., s.436-437. 184 52 Burada altı çizilmesi gerek basamak ‗ardıl sentez‘den (‗successive synthesis‘) bahsedilen ikinci basamaktır. Bu basamak daha önce değerlendirdiğimiz Kant‘ın şematizm‘i ile daha iyi anlaĢılabilir; quantitas‘ın Ģeması, yani sayı, görünün nicelik kategorisi ile uyumlu olarak belirlenmesine rehberlik eder. Ardıl sentez belirlenmiĢ zaman ve mekânların önceden verilmiĢ parçalarının toplamı olarak sunulmasından sorumludur. BelirlenmiĢ zaman ve mekânların parça-bütün iliĢkisinin sunulması geometri için önemlidir.188 Geometri cebir ve aritmetik gibi ardıl sentezi Ģöyle içerir: Öklidyen geometrinin nesnelerini Öklid‘in ilk üç aksiyomunu istediğimiz düzende ve sayıda tekrarlayarak elde edebiliriz. Öyleyse geometrik inĢa cebir ve aritmetiğin sembolik (ya da karakteristik) inĢasına benzer Ģekilde yapılabilir. Geometrinin nesneleri zorunlulukla zamansal olmak zorunda olmasa da geometrik inĢa zamansal bir aktivitedir: Mekânsal gösterimde zaman hiçbir Ģekilde düĢünülmez ama belirli bir mekânın, örneğin çizginin gösteriminde düĢünülür. Zamanda üretilen tüm büyüklükler zamanda konumlamanın tekrarlanması yoluyla olur.(14, 54.1-4)189 Geometrik ve sembolik inĢa arasındaki fark böylece açıklanmıĢ oluyor: geometrik yapılaĢtırma zorunlulukla Öklid‘in ilk üç aksiyomundan baĢlar, onları sabit veriler olarak alır geometrik operasyonlarımızda tekrarlarız. Aritmetik ve cebirde ise sabit girdilerimiz yoktur yalnızca tekrarlanan prosedürlerden oluĢan ardıl sentezi uygularız.190 Kant ‗büyüklük‘ için quanta, quantitas, gibi kavramları kullanır ve manifoldu özel bir anlamda kullanmaz ve teknik bir Ģekilde tanımlamaz. Onun için manifold her türlü ‗çokluk‘ a denk gelen bir kavramdır. Kant‘ın ‗büyüklük‘ ve ‗çoklu‘ kavramları 188 A.g.y., s.439. Kant, I., Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Press, içinde, s.119. ―In spatial representation certainly nothing of time is thought, but it is in the construction of the concept of a certain space, e.g., a line. All magnitude is generation in time by means of repeated position in time.‖ (14, 54.1-4). 190 Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Press, s.119. 189 53 daha çok bilme, daha özelde de matematiksel bilmenin hesabını verirken baĢvurduğu kavramlardır. Matematik büyüklükler hakkındadır ve quanta belirlenmemiĢ büyüklükleri içeren görüdeki homojen manifold iken, quantitas nicelik kategorilerine denk düĢmektedir ve ölçüm sonucunun miktarıdır. Bu kavramları Görünün görevi homojen manifoldu temsil etmek olduğundan Kant‘ın geometri felsefesinin kalbinde yatan saf görü olmaksızın kavramaya çalıĢmak güç görünmektedir. Kant‘ın Quanta ile quantitas ayrımını yaparken quantitas‘ı düĢünüĢ biçimi sorusu bağlamının önemini Riemann‘ da geometrinin ‗ölçme‘ iĢi olduğunu ve bu iĢlemin (üst üste getirme iĢlemi) doğruya en yakın Ģekilde yapılabilmesi için ‗ne kadar az ya da fazla‘ değil ―Ne kadar çok?‖ sorusu önemlidir. Kant‘ın yine yoğun ve kapsamlı büyükleri ayrımı Riemann‘ın sürekli ve ayrık manifold ayrımını anımsatmaktadır. Burada birebir bir benzeĢim görünmese de özellikle Kant‘ın kapsamlı büyüklükleri tanımlayıĢ ve düĢünüĢ biçimi, Riemann‘ın ayrık ve sürekli manifoldları ayırıp sürekli manifoldlarla çalıĢmasıyla benzerlik göstermektedir. Riemann için iki sonsuz yakınlıktaki nokta arasında ölçüm yapmak sürekli manifoldlar için geçerlidir. Bu nokta Kant‘ın kapsamlı büyüklüklerin kıyaslamaya dolayısıyla ölçmeye izin veriyor olduğu görüĢü ile benzerlik göstermektedir. Ayrıca Riemann manifoldun belli kısımlarından bahsetmek için quanta terimini kullanır. Quanta‟ların birbiriyle kıyası ayrık manifoldlarda ‗sayarak‘ sürekli manifoldlarda ise ‗ölçerek‘ mümkündür. Matematikte özellikle de geometride Kant ve Riemann‘ın kapsamlı ve yoğun büyüklüklerin ayrımı, ölçümün hangi durumlarda yapılabileceği gibi kısmi noktalarda benzer kaygıları taĢıyor görünürler. Ancak son değerlendirmede Kant için manifold matematiksel bilme sırasında çeĢitli iĢlemlere (sentezlenme, sunulma, kavranma) maruz kalmak suretiyle bir anlamda bilgi kuramının malzemesiyken Riemann için manifold daha çok fiziksel geometrinin üzerinde iĢlem yaptığı biçimlendirilmemiĢ noktalar yığınıdır. Riemann ―manifold‖ kavramının kendisini 54 Gauss‘tan almıĢ191 ve n boyutlu geometrilerin imkânını göstermede kavramı daha çok bir matematikçinin gözüyle biçimlendirmiĢtir. Bu biçimlendirme esnasında Riemann‘ın kullandığı matematiksel teknikler ve yüzey geometrisinin geliĢtirmesi Gauss, onun manifold kavramını geometrisinin merkezine oturtarak matematiksel düĢünmenin olanağını geniĢletme giriĢimi ise Herbart kökenlidir. Ferreiros, J. (2004).―The Magic Triangle: Mathematics, Physics and Philosophy in Riemann‘s Geometrical Work‖, s.3, (http://semioweb.msh-paris.fr/f2ds/docs/geo_2004/Jose_Ferreiro_2.pdf.) 191 55 BÖLÜM 2. HERBART‟IN FELSEFESĠNĠN MANĠFOLD KAVRAMI ÜZERĠNDEKĠ ETKĠSĠ Zaman zaman Riemann‘ın sergilediği resim matematik, fizik ve felsefe tarafından oluĢturulan ―büyülü üçlü‖192 (―magic triangle‖) olarak anılır. Riemann‘ın matematiksel çalıĢmalarının felsefi meseleler ile paralel olarak ilerlediğini söyleyebiliriz. Riemann‘ın çalıĢmalarının felsefi arka planı bakımından, 1941 yılına kadar Göttingen‘de profesörlük yapan Johann Friedrich Herbart çok önemlidir. Bu bölümdeki amacım genelde Riemann‘ın Habilitationsvortrag‘ının özelde ise ‗manifold‘ kavramının takdiminde Riemann‘ın Herbart‘tan hangi noktaları aldığı ve kullandığını göstermek olacaktır. Bunu yaparak ‗manifold‘ kavramının arkasında yatan felsefi altyapıyla ilgili daha kavranabilir bir resim sunmayı hedefliyorum. Herbart, Riemann‘ın çalıĢmalarının epistemolojik izlerini oluĢturmaktadır. Onun özellikle ileriki bölümlerde açıklanacak olan ―seri formlar‖ teorisi (“serial forms”, “Reihenformen‖) ‗manifold‘ kavramının Ģekillenmesinde çok önemli bir etkiye sahiptir. Scholz‘a göre Herbart‘ın Riemann‘ın çalıĢmalarında ne ölçüde etkili olduğu konusunda literatürde bir uzlaĢma bulunmamaktadır. Russell193, Torretti194ve Scholz195 Herbart‘ın fikirleri ile Riemann‘ın çalıĢmaları arasındaki iliĢkiye dair olarak farklı noktalara iĢaret etmiĢlerdir. Ancak, genel olarak epistemoloji boyutunda Herbart‘ın etkileri daha açık Ģekilde görülmektedir. Bu bölümde Herbart‘ın Riemann ve onun ‗manifold‘ kavramı üzerindeki etkileri ve bu etkilerin dereceleri hakkında öne sürülmüĢ farklı görüĢler ele alınacaktır. Ferreiros, J. (2006). ―Riemann's Habilitationsvortrag at the Crossroads of Mathematics, Physics and Philosophy‖., J.Gray, Ferreiros, J. ( Eds.), The Architecture of modern mathematics, New York: Oxford University Press, içinde s.67. Ferreiros ―büyülü üçlü‖ (―magic triangle‖) ifadesini Sanchez Ron‘un Einstein ile ilgili bir makalede kullandığı Ģekline atıfta bulunarak kullanır. 193 Russell, Bertrand (1956). An Essay on the Foundations of Geometry, Dover Publications. 194 Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company. 195 Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann‖, 9, Historia Mathematica , 413-440. 192 56 2.1. Herbart‟ın Felsefesi Herbart idealist Fichte‘nin bir öğrencisiydi. Herbart öğrencilik zamanlarının sonuna doğru, bu dönem Almanya‘sını idealizm etkisi altına almasına rağmen hocasını eleĢtirerek kendisini realist olarak tanımlayacak kadar Fichte‘nin fikirlerinin karĢısında yer alır.196 Fichte‘nin görüĢlerinden sıyrılarak Herbart kendisini Kant‘ın bir destekçisi olarak değerlendirmeye baĢlar. Yine de burada belirtmeliyiz ki mekânın kavramsallaĢtırılmasında Herbart Kant ile aynı fikirde değildir. Öte yandan Herbart‘ın doktrinlerinin bazı noktalarının Leibniz‘den esinlendiğini görüyoruz. Leibniz gibi Herbart da Newton‘cu ve Kant‘çı, mekân anlayıĢını reddeder; (Herbart için) mekân daha ziyade, Ģeylerin ―birlikte var olmasının‖ düzeni gibi görünmektedir.‖197 Herbart matematiği felsefeye en yakın bilimsel disiplin olarak görmektedir.198 Bu görüĢü anlamak için Herbart‘ın felsefesinin genel hatlarına bakılabilir. Herbart felsefenin diğer bilimlerle iliĢki içinde geliĢmesinin önemine iĢaret eder ve her disiplinin teorik geliĢmelere olanak verecek merkezi bir kavram etrafında kurulması gerektiğini savunur. Bütün bunların Herbart‘ın, matematiği felsefeye en yakın disiplin olarak görmesini açıkladığı söylenebilir. 2.1.1. Herbart‟ın Riemann Üzerindeki Etkisi Riemann‘ın Herbart‘tan hangi noktalarda etkilendiği üzerine birçok görüĢün olduğunu daha önce söylemiĢtik. Herbart‘ın felsefesi ile Riemann‘ın manifold kavramını Ģekillendirmesindeki noktaları anlaĢılır kılmak için öncelikle Scholz‘un 1982 tarihli makalesini incelemek istiyorum. Scholz, Göttingen Üniversitesi‘ndeki Riemann ArĢivinde yaptığı araĢtırmalar çerçevesinde kaleme aldığı bu makalede Herbart‘ın felsefesinin detaylı bir analizini ve Riemann‘ın Herbart‘ın makaleleri üzerine çalıĢırken aldığı notları, yaptığı alıntıları sunmaktadır. Ben de bundan 196 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser, s.43. 197 A.g.e.,s.46.― Like Leibniz, Herbart rejects the Newtonian (and Kantian) conception of space as an absolute receptacle for physical phenomena; rather, it seems to be an ―order of coexistence‖ of things.‖ 198 A.g.e.,s.46. 57 sonraki bölümlerde Scholz‘un makalesi temelinde Herbart‘ın Riemann üzerindeki etkileri üzerine daha somut bir resim sunmayı hedefliyorum.199 2.1.2. Scholz‟un Riemann‟ın „Notlar‟ı Üzerine ÇalıĢması Riemann‘ın Nachlass‘ından anlıyoruz ki Herbart‘ın çalıĢmalarından seçilen alıntılar genel olarak metafizik ve psikolojiyi ilgilendirmektedir.200 Herbart felsefeyi farklı parçalara ayırmaktaydı; metafizik (ki bu kısım Eidoloji, Metodoloji, Ontoloji ve Synechologie‘yi içermekteydi), estetik, pratik felsefe. 201 Herbart‘ın felsefesinin genel hatlarını çizerken onun önce Fichte‘nin daha sonra da Kant‘ın (mekân konusunda onunla hemfikir olmasa bile) bir takipçisi olduğunu söylemiĢtik. Bu eğitimine paralel bir Ģekilde Herbart için felsefenin ve bilimlerin amacı ―zıtlıklar içerisindeki duyu algılarından altta yatan gerçekliğin kavramlarına‖ ilerleyiĢtir.202 Herbart Fichte‘nin ―Ben‖ (self) kavramından etkilenmiĢti ve ‗Ben‘in zıtlıklarıyla beraber felsefenin en temel kavramlarından biri olduğunu düĢünmüĢtü. Herbart için ‗Eidoloji‘ ‗kiĢi‘ ile ilgilenen felsefenin bir alanıdır. Metodoloji ve Eidoloji beraberce Herbart‘ın epistemolojisinin temellerini oluĢturmaktadır. Herbart için ‗varlık‘ (being), ‗quality‘ (nitelik), ‗içsellik‘ (inherence) ve ‗değiĢim‘ (change) ‗realite‘‘nin kategorileridir ve Ontoloji‘nin konusu bu kavramlar tarafından Ģekillendirilmektedir. Ancak, bilimsel bir araĢtırma temeli için bizim baĢka bir Ģeye daha ihtiyacımız vardır Herbart‘ın felsefesi ve onun Riemann için açtığı yol hakkında geniĢ bir literatür mevcuttur. Özellikle bakınız; Eric C. Banks (2005). ―Kant Herbart Riemann―, Kant Studies, Vol 96 ,Issue 2, ss. 208-234, Ehm Werner (2010).―Broad Views of the philosophy of nature: Riemann, Herbart and the ―matter of the mind‖ ―, Philosophical Psychology, 23:2, ss.141-162., Russell,.B.(1956) An Essay on the Foundations of Geometry, Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company, Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser. Ancak Ehm Werner‘in (2010, s.142) de belirttiği gibi Scholz Riemann‘ın Herbart‘tan aldığı notları Göttingen Üniversitesindaki ArĢiv temelinde 1982 makalesi (―Herbart‘s Influence on Bernhard Riemann‖) sununca ‗resim değiĢti‘; Scholz‘un çalıĢması Herbart ve Riemann arasındaki bağlantı için temek kaynak oldu‖.Bu önemden ötürü bu bölümde Scholz‘un çalıĢmalarına ve görüĢlerine görece daha çok baĢvurulacaktır. 200 Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann. Historia Mathematica ―, 9 , s.415. 201 A.g.y., s.415. 202 A.g.y., s.415. ―…―from contradictory sense perceptions to concepts of the underlying reality.‖ 199 58 ki bu da ‗mekân‘,‘zaman‘, ‗sayı‘ ve ‗madde‘ kavramlarının türetilmesi ile ilgilenen Synechologie‘dir.203 Riemann Herbart‘ın metafiziğinden, yani Eidoloji, Metodoloji, Ontoloji ve Synechologie‘sinden etkilenmiĢtir. Tüm bu materyal temelinde Scholz Riemann‘ın Herbart felsefesinde özel önem verdiği noktaları ‗diyalektiğin elementleri‘ (elements of dialectic), ‗metodoloji‘ (methodology), ‗mekânsal kavramlar‘ (spatial concepts) ve ‗matematiksel araĢtırmanın yönelimi‘(orientation of mathematical research) olarak belirler. Riemann‘ın Herbart‘ın eserlerinden yaptığı alıntılara baktığımızda görüyoruz ki, ‗ben‘ kavramı Schelling ve Fichte felsefelerinde temellerini bulur.204 Dolayısıyla Riemann‘ın Schelling ve Fichte felsefeleriyle iliĢkisi Herbart üzerinden kurulmaktadır. Herbart, Fichte‘nin özellikle ‗mutlak ben‘ fikrinden çok etkilenmiĢti ancak Herbart daha sonraları ‗Eidoloji‘ olarak adlandıracağı kendi ‗ben‘ fikrini yaratmıĢtır.205 Herbart‘ın ‗ben‘ fikri Fichte‘nin ‗ben‘ -‗ben olmayan‘ terminolojisinden esinlenilerek oluĢturulmuĢtur. Herbart kendi ‗ben‘ fikrini ‗düĢünme‘ iĢi (act of reflection) ve ‗düĢünülme‘ (reflected) arasındaki zıtlık -ki bu zıtlık ‗ben‘‘ in ayrılamaz bir parçasıdır- temelinde kurmuĢtur. Bu zıtlık yardımıyla o, ‗ben‘‘in karmaĢık bir fikir olduğu sonucuna varmıĢtır; ―en zengin ve en somut kavramlardan biri olarak ben fikri felsefe için bir baĢlangıç noktası olamazdı.‖206 ‗Ben‘ fikri Herbart için fikirlerin akıcı bir yapısını içeren veya bu fikirlerin sunularının birbirine karĢıt olmalarını, birbirlerini engellemelerini içeren bir ‗özellikler demetidir.‘ Bu nokta Herbart için önemlidir çünkü bilgi edinme süreci ‗metodolojinin prensipleri‘ 203 A.g.y., s.415. Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann. Historia Mathematica‖, 9, s.417. 205 A.g.y., s.417. 206 A.g.y., s.417.― …it was one of the richest and most concrete concepts, and so could not be the starting point for philosophy.‖ 204 59 ve sunuların birbirini engellemesi ve devimin kanunları‘ tarafından düzenlenmektedir.207 Riemann‘ın Herbart‘ın Eidolojisinin özelliklerinden etkilendiği söylenmiĢti. Bunu görmek için Riemann‘ın Herbart‘ın pozisyonunu yeniden beyan ettiği Ģu sözlere bakabiliriz: 1. Sunular ruhun orta dereceden güçleridir. Onlar birbirinin karĢısına gelirler ve birbirlerini engellerler. Ortaya çıkan zıtlıklar düĢüncenin devimini yaratırlar. 2. DıĢ dünyanın imajları verili duyu algıları tarafından oluĢturulur. Olumsuzlamanın kendisi sunuların hükümsüz kılınmalarının tecrübelerinden öğrenilmelidir. 3. Önceden ĢekillendirilmiĢ bir bağlantı ile beraber birbirleriyle içten bağlantılı imajlar/konseptler‘e ulaĢıldığı zaman olumsuzlamanın kendisi hükümsüz kılınır ve yeni bir pozisyon elde edilir. 208 Sonuç olarak, Herbart‘ın ‗Ben‘ teorisini (Eidolojisini) incelerken Riemann, üç temel nokta belirler; ―kavramların/temsillerin zıtlığı‘, ‗olumsuzlama‘ ve ‗hükümsüz kılınmıĢ olumsuzlama pozisyonu.‖209 Riemann‘ın Eidoloji hakkındaki incelemesi Herbart‘ın tarihsel çerçevede metafizik üzerine değerlendirmelerini içermektedir. Ona göre Platon doğanın zıtlıklar içerisindeki doğasını gördüğünde dünyayı ezeli ve ebedi fikirlerin içerildiği bilgi dünyası ile değiĢimlerin yaĢandığı dünya olmak üzere ikiye ayırdı. Herbart‘a göre Platon‘un bu iki dünya arasındaki zıtlığı, idealar tarafından ĢekillendirilmiĢ hissedilir dünyanın değiĢken Ģeylerini içeren nitelikten yoksun bir töz varsayarak azaltmaya çalıĢtı.210 207 A.g.y., s.417. Riemann, Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann‖, 9, Historia Mathematica‖ , içinde s.418. 1. ―Presentations are the elementary forces of the soul. They oppose and impede each other. The resulting antagonisms generate the movement of thought. 2. Images of the outside world are generated by negations of the given perceptions. Negation itself has to be learned from the given experience of the cancellation of presentations. 3. Negation is cancelled and a new position is gained, when a connection with the already formed and interdependent images/concepts is attained.‖ 209 ―opposition of concepts/presentations, negation, and position as canceled negation.‖ 210 Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann.,Historia Mathematica‖ , s.418. 208 60 Öte yandan Herbart, değiĢen fenomen ve gerçek arasındaki iliĢki meselesine farklı bir yolla yaklaĢmıĢtır. Ona göre biz gerçeğin bilgisini fenomenin tenkit sürecinden geçirilmesi ile elde ederiz. Bu ―bilginin (gerçeğe iliĢkin bilginin) fenomenin iliĢkilerine göre yapılandırılması‖ anlamına gelir. Herbart‘a göre metafizik gerçeğin bilgisinin elde edilmesinden sorumludur. Ancak Herbart metafizikten fazlasını bekler; onun için metafizik ‗ayrıca verili fenomenin gerçekten‘ ayrılması iĢinden de sorumludur. Bu süreç ‗metodolojinin prensipleri‘ tarafından kontrol edilmelidir. ‗DeğiĢim problemi ve gerçeğin yapısı‘ meselesinde de Riemann‘ın Herbart‘ın eserlerini detaylı bir Ģekilde çalıĢtığı görülmektedir. Bu konuyla ilgili olarak Scholz‘un sözlerine kulak verelim: Öncelikle, Herbart‘a göre, deneyim bize özellikler ve özelliklerin demetlerini (complexionen) gösterir, ona bu özelliklerin atfedildiği altta yatan gerçekliğin öncelikle şeylerde ( things) aranması gerekir (1825, 199*). Ancak analizin bir sonraki basamağı, diye devam ediyor Herbart, araĢtırmacıları Grek felsefesinin elementlerine götürür ki ondan şeyler (the things) Ģimdi ―ödünç alınan gerçekliği‖ ( geliehene Realitat, 1825, 199) elde ederler. Sonra bilim adamlarının analizi kimyasal elementlerin (chemical elements) takdimine götürür ki onlardan Ģimdi eski elementler ( en azından su, hava ki Herbart onlara açık bir Ģekilde iĢaret etmektedir) türetilir. Son olarak, Herbart‘a göre, idealist felsefe geldi ve „ben‟ fikrinin diğer tüm kavramları desteklediği ve onlara gerçekliği ‗ödünç verdiği‘ sonucunu kimyasal elementleri, özellikleri, Ģeyleri ve eski elementleri çıkartarak sezgiye (Anschauung) ve düĢünceye indirgedi. 211 Sonuç olarak, Herbart hem metafizik hem de bilim üzerine düĢünmüĢtür. Bu durum onun felsefe ile bilimler arasında keskin bir ayrım olmadığı anlayıĢıyla uyum göstermektedir. Riemann‘ın üzerine çalıĢtığı alıntıları takip ederek onun temel ilgisinin metafiziğin değiĢim ve değiĢimin gerçeklikle ilgili sonuçları açısından oynadığı rol üzerine olduğu söylenebilir. Riemann‘ın, Herbart‘ın gerçeği ve Ģeyleri ―özellik demetleri‖ Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann.,Historia Mathematica‖ ,s.419, ―In the first place, according to, Herbart, experience shows us properties and bundles [Complexionen] of properties, the underlying reality of which must first be sought in things to which the properties are ascribed [1825, 199*]. But the next step of analysis, so he continued, led investigators to the elements of Greek philosophy, from which the things now obtained a ―borrowed reality‖ [geliehene Realität, 1825, 199]. Later scientists‘ analysis led to the introduction of chemical elements from which now the old elements (at least water and air, which Herbart explicitly referred to) were derived. Finally idealist philosophy came, according to Herbart, and reduced even chemical elements, as well as properties, things, and old elements, to intuition [Anschauung] and thought, concluding that the idea of the self underlay all other concepts and ―lent reality‖ to them.‖ (Ġtalikler orijinal). 211 61 (bundle of properties) olarak kavraması üzerine yoğunlaĢtığı sırada, Herbart‘ın ‗gerçeğin‘ inĢası ile ilgili düĢüncelerinin Riemann tarafından pek de çekici bulunmaması onun Herbart‘ın ontolojisiyle hemfikir olmadığı gerçeğiyle bağdaĢmaktadır. Yine de, belirtmek gerekir ki, gerçek ve değiĢen fenomen arasındaki ayrım ve bunlar aralarındaki iliĢki Riemann‘ın bilimin epistemolojisi üzerine düĢüncelerini geliĢtirdiği noktalar olarak görülebilir. Herbart‘ın bilginin ilerlemesi fikrinin ‗ben‘ ve ‗değiĢim problemi ve gerçeğin yapısı‘ temelinde anladığını gördük. Riemann bu anlayıĢı bazı değiĢikliklerle benimsemiĢtir. Herbart bilgi sürecini metafiziksel bir Ģekilde açıklamaya çalıĢırken Riemann‘ın Herbart‘ın metodunu değiĢtirmiĢ hali bilimsel araĢtırmaya daha yakın durmaktadır: 1. 2. 3. Kavramların algılardan Ģekillendirilmesi (soyutlama ve indüksiyon, aposteriori sentez) Algılananın kavramlardan türetilmesi (apriori sentez).212 Kavram değiĢimi Riemann için mümkündür ve bu Ģu Ģekilde baĢarılır; Kavrananın mümkün olmadığı ya da kavramlara göre ihtimal dâhilinde olmadığında kavramların değiĢimi (ya da tamamlanması) zorlukla mümkündür. Sonuç olarak Riemann için kavramların değiĢimine ulaĢabilmek için ‗aklın ve sonucun diyalektikleriyle‘ ilgilenebilmemize olanak tanıyan Herbart‘ın ‗iliĢkiler metodu‘ kullanıĢlıdır.213 Fikirlerin değiĢimi ve kavramsal devrimler zıtlıkların çözülmesiyle mümkündür. Riemann‘ın notları bu konuyla ilgili olarak Herbart‘ın astronomi biliminde kurduğu analojiye dikkat ettiğini göstermektedir. Bu noktaya ek olarak kavramların değiĢimi konusunda Riemann Herbart‘ı bir noktada daha iĢaret etmektedir. Ayrıntılarına girmeden, Herbart‘ın ‗Psikoloji Bilimi‘nin (Eidoloji) Riemann‘ın değiĢim ile ilgili düĢünceleri üzerinde etkili olduğunu söylemek gerekir. Riemann Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann‖. Historia Mathematica, 9 , içinde s.418. Bu nokta hakkında Scholz Ģu tartıĢmalı yorumu yapar; ―Açık ki Riemann Kant‘ın sentetik apriori ile kastettiği Ģeyi söylemek istememektedir, onun aklında olan, bilginin tüm sürecinin (soyutlama ve endüksiyon) diğer yarısında varsayılan, deneyim için kavramsal bir çerçeve teĢkil eden bir Ģeydir.‖ Riemann‘ın tam da Kant‘ın sentetik apriori kavramını kast ettiğine dair yorumların tartıĢması için bknz: Bağçe, S. (2006). ―Kant‘ın Geometriye Dair GörüĢlerini Kurtarmak için Bir Yol Var mı ?‖, Ulug Nutku'ya Armagan, içinde s. 341. ―1. Formation of concepts from perceptions (abstraction and induction, synthesis aposteriori),2. Generation of the perceived from the concepts (synthesis apriori), 3. Change (or completion) of the concepts as small as possible, where the perceived is impossible or unlikely according to the concepts.‖ 213 Riemann Scholz, E. (1982).―Herbart's influence on Bernhard Riemann―, 9, Historia Mathematica ,s.420. 212 62 Scholz Herbart‘ın felsefesinin Riemann‘ın epistemolojisi üzerindeki etkileri hakkında Ģu noktaların altını çizer:   Fenomena ve altta yatan gerçek arasında bir ayırıma denk düĢecek bir Ģekilde algı ve gerçeğin kavramsal olarak kavranması arasındaki farklılık, bunlardan ikincisi ―fenomenin gerisine gitmektir‖ ve Riemann‘a göre fenomen ve altta yatan gerçekliğin açıklanması için bir zemin hazırlama hizmetini sunmaktadır; Kavramlar ile fenomen arasındaki ya da açıklama seviyelerindeki zıtlıklardan ötürü bilginin ilerlemesinin ―eski kavramsal sistemlerin dönüĢümü‖ ile olanaklı olduğuna dair inanç.214 Bu iki noktanın ıĢığında Scholz yine Riemann‘ın ve Herbart‘ın pozisyonlarını kıyaslarken Ģu üç noktaya dikkat çekmektedir: 1) Herbart hem metafiziğe hem de bilimi araĢtırırken ve bunlardan metafiziğe açık bir Ģekilde vurgu yaparken, Riemann temel olarak bilimleri soruĢturmuĢtur. 2) Öyleyse Riemann makalesine, bilim geleneğine uyan bir Ģekilde materyalist doğruluk kriterini dahil edebilmiĢtir. Riemann için bilgi, eğer kavramların bağlantısı Ģeylerin bağlantısına tekabül ediyorsa doğrudur ki bu yine algılanan fenomenin bağlantısından çözülecektir. 3) Sonunda, Herbart kavramların (özellikle ontolojideki) tarihsel değiĢiminin hatalar zinciri Ģeklinde olduğunu düĢünmüĢtür (1825, 198ff. Kısmen not (8) de alıntılanmıĢtır). Riemann, bilimsel bilginin geliĢimine bakarak farklı bir görüĢ sunmuĢtur. O gerçekliğin belli bir kesimi hakkındaki yeni bilginin gerçekliğin aynı kesiminin eski bilgisi ile zorunlulukla doğrulama ve yanlıĢ iliĢkisi olmayabileceğini iddia eder. Kavramsal yapıda değiĢimler (modifications) de mümkündür ki bu yalnızca eski kavramsal elementlerinin bir kısmını ya da tamamını yanlıĢlamadan arıtmak ile olabilir.215 A.g.y., ss.420-421. ―1) A distinction between the phenomena and the underlying reality with a corresponding difference between the perception and the conceptual acquisition of reality, the latter had ―to go back behind the phenomena‖ and according to Riemann could thus serve as a base for the explanation of the former; 2) A belief in progress of knowledge by ―transformation of older conceptual systems‖ because of contradictions on the level of the explanations or between concepts and phenomena.‖ 215 Scholz, E. (1982).―Herbart's influence on Bernhard Riemann‖, Historia Mathematica, 9, s.421. ―1) Riemann referred mainly to the sciences, whereas Herbart had investigated both metaphysics and science, with a clear emphasis on the former. 2) Riemann was therefore able to integrate the materialist criterion of truth, corresponding to the tradition of science, much more clearly into his essay. According to Riemann knowledge was true if the connection of the concepts correspond to the connection of things, which again was to be deciphered from the connection of the perceived phenomena [Riemann 1892b, 523]. 214 63 Sonuç olarak Riemann Habilitationsvortrag‘ında ―Yazar (Riemann‘ın kendisi) epistemolojide Herbartçıdır, ama ontolojide değil‖ derken ne demek istediği daha anlaĢılır hale gelmiĢtir. Riemann Herbart‘tan epistemolojik olarak iki yönden etkilenmiĢtir; öncelikle onun epistemolojisinin temellerini bir matematikçinin gözüyle inceleyip bilim geleneğinin içerisinde bu temelleri geliĢtirmiĢtir. 19. yy.‘ın ilk yarısında Alman idealistleri Kant‘ın zaman ve mekân anlayıĢına karĢıydılar. Kabaca, Kant ‗Birinci Kritiğin ‗Transendental Estetik‟ bölümünde zaman ve mekânı ‗saf görünün formları‘ (pure forms of intuition) olarak tanımlar ve bu anlamıyla onlar her türlü mümkün deneyimin ön koĢuludur. Herbart, Fichte Schelling, Hegel ve Schleiermacher gibi idealistlerin yanında yer alarak Kant‘ın bu anlayıĢını eleĢtirir. Burada idealist felsefenin Kant‘a karĢı çıkıĢını ayrıntılı olarak incelemek yerine, Herbart‘ın zaman ve mekâna dair görüĢlerini incelemek çalıĢmamın hedefleri açısından yeterlidir. Ġlerleyen bölümlerde daha da açımlanacak olan bu konu için Ģimdilik yalnızca Herbart için zaman ve mekânın ‗deneyimin formları‘ olarak iĢ gören ve bu bakımdan tam da Kant‘ın kategorilerinin fonksiyonuna sahip olduğunu söyleyebiliriz.216 Herbart‘a göre mekânsal kavramlar ‗deneyimin formları‘ olarak iĢ gören diğer tüm kavramlardan farklı değillerdir. Tıpkı diğer tüm kavramlar gibi mekânsal kavramlar da deneyimdedir. Ancak, ona göre biz felsefi ve bilimsel düĢünme ile mekânsal kavramları Ģekillendirmeliyiz. Bu seviyede mekânsal tasarımlar (presentations) ―insan varlığının komĢuluğunda yer değiĢtirebiliyor olmasının yardımıyla Ģeylerin algısı‖ tarafından Ģekillendirilir(1824, 425*). Böylece ―…tasarımlar serisi 3) Finally, Herbart had considered the historical change of concepts (mainly in ontology) to have been a chain of errors [1825, 198ff. partially cited in note [8]. Riemann, looking at the development of scientific knowledge, expressed a different point of view. He declared that the relationship of new knowledge about a certain sector of reality to older knowledge of the same sector was not necessarily that of correction and error. He stated that modification of conceptual structure was also possible, which only refined the conceptual elements of the old system without falsification of part or all of them [9].‖ 216 A.g.y., s.422. 64 (Vorstellungsreihen), ki o en sonunda kendilerini biçimlendirir, düzene sokar ve birbirleriyle bağlar ve onda algılar (aufbewahrt) içerilir217, varlığa gelir.‖218 Mekân ve zaman Herbart‘ın daha genel ‗sürekli seri formlar (continuierliche Reihenformen) üreteceği yola çıkıĢ noktalarıdır. Scholz sürekli seri formlar hakkında aĢağıdaki noktalara dikkat çekmektedir: Sonrakinin (sürekli seri formların) açıklanması çok karmaĢık bir prosedürdür ve metafiziğin bir parçası olan Herbart‘ın Siynekolojisi (Synechology) bununla ilgilenir. Riemann‘ın alıntıları gösteriyor ki o seri formların üretilmesi ile ilgili spesifik prosedürlerle kendini sıkmadı, yine de o tüm bunun Herbart‘ın geometrik düĢünmesiyle nasıl ilgili olduğu ile ilgilendi, çünkü bu genel fikir mekânsal kavramların geometrik olmayan bağlama transfer edilebilmesini mümkün kıldı. 219 Scholz ‗sürekli seri formlar‘ı Ģöyle tanımlıyor: Kabaca konuĢursak, bir sürekli seri formlar (a continuous serial forms) özelleĢmiĢ bir sunular grubu dereceli bir birleĢme geçirdiği (―graded fusion‖, abgestufte Verchmelzung) zaman-ki bununla beraber uyan sunular hizaya sokulur, öyle ki hepsi mekânsal modda bir araya getirilebilir-üretilir.220 Scholz Ģöyle devam ediyor: Sonuç olarak Herbart için mekân yoktur; yerine mekânlar koleksiyonu (collection of spaces) vardır ki onun için varlığın modu tamamen farklıdır. Onun iki temel örneği ―ses çizgisi‖ (Tonlinie) ve mavi, kırmızı, sarıdan renklerinin köĢelerde olduğu ve iki boyutta iki köĢe arasında karıĢık renklerin olduğu renk üçgenidir. Benzer Ģekilde o her Ģeyi her bir özelliğin farklı bir niteliksel süreklilikte (―qualitative continuum‖) bulunduğu bir özellik demeti (bundle (Complexionen)of properties) olarak düĢünür.221 Herbart, Scholz, E. (1982).―Herbart's influence on Bernhard Riemann‖,Historia Mathematica , içinde s.422. ―the perception of things due to; ―mobility of man in his neighborhood [1824, 425*]. So ―…the series of presentations [Vorstellungsreihen], which eventually form, order, and connect themselves and in which the order of perceptions is contained [aufbewahrt] come into being.‖ 218 A.g.y., s.422. 219 A.g.y., s.422. ―The explanation of the latter (continuous serial forms) was a very complicated procedure and, part of the discipline of metaphysics that he (Herbart) called synechology [Herbart 1829, 110-158; Weiss 1928, 50-57]. Riemann‘s excerpts suggest that he did not bother about specific procedures to generate ―serial forms‖, although he was interested in how all of this related to Herbart‘s geometrical thinking, because the very general idea made it possible to transfer spatial concepts into nongeometric context.‖ 220 A.g.y., s.422. ―Vaguely speaking, a continuous ―serial forms‖ is produced when a specified class of presentations undergoes a ―graded fusion‖ [abgestufte Verschmelzung] through which the corresponding presentations are ordered, so that one cannot but unite them in a spatial mode [Herbart 1825, 192*] [11]‖. 221 Riemann Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann―, Historia Mathematica, s.423. ―Consequently, Space did not exist for Herbart; instead there was a collection of spaces for 217 65 Sonuç olarak, Herbart her Ģeyi ‗özellik demeti‘ olarak anlar. Bizim düĢündüğümüz anlamda tek bir mekân yoktur, birçok mekânlar vardır. O, mekânı her birinin farklı bir varoluĢ karakterine sahip olduğu mekânların toplamı olarak anlar. ġimdi de, Scholz‘u takip ederek Herbart‘ın bu mekân anlayıĢının Riemann‘ın manifold kavramı üzerindeki etkilerini görelim. 1) Daha önce vurguladığımız gibi Herbart Ģeyleri ‗özellik demetleri‘ olarak görüyordu, yani onun için herhangi bir özellik ‗niteliksel bir süreklilik‘(qualitative continuum) olarak düĢünülebilirdi (Herbart 1825, 193*) (R.59) da alıntılanmıĢtır.). Herbart için geometrik düĢünmeyi herhangi bir baĢka kavramsal çerçeveye taĢımak ―çok genel, neredeyse evrenseldir‖.222 Buna zıt olarak, Habilitationsvortrag‘ında Riemann günlük hayatta sürekli büyüklükler (continuous magnitudes) nadirdir, yalnızca yüksek iddiasındadır. matematiğin içinde sıklıkla onun örneklerini görürüz 223 2) Bu bahsedilen son nokta, sürekli büyüklükleri yüksek matematiğin içinde görme, 19.yy. matematiğinin baskın eğilimlerinden biriydi. Bu matematiksel eğilim Scholz tarafından Ģu Ģekilde açıklanıyor: ―geometrik dili cebirsel ya da birkaç değiĢkenlilerin analitik sistemlerine transfer etmek- ki bu eğilim en azından kısmen de olsa Gauss yoluyla Riemann tarafından biliniyordu ve bu Herbartçı felsefeden bağımsız bir eğilimdi224 (Scholz 1980, 15ff., 53ff.). Scholz‘a göre bu nokta ıĢığında ―Ģu sonucu çıkartabiliriz; yine Riemann‘ın kavram Ģekillendirmesinin arka planında which the modes of existence completely different [Herbart 207]. His two main examples were the ―line of sound‖ [Tonlinie] and the color triangle with blue, red, and yellow at the corners and the mixing colors in the two dimensional continuum in between [1825, 193*] [12]. Similarly he considered anything as a ―bundle [Complexion] of properties,‖ each property of which ought to be thought of as lying in a different ―qualitative continuum‖ [1825, 193*]‖. 222 Herbart, Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann‖,Historia Mathematica , 9 ,s.423. ―So, transferring geometric thinking to any other conceptual framework ―was very broad, nearly universal one for him [13]‖. 223 A.g.y.,s.423 224 A.g.y., s.423. ―… to transfer geometrical language to algebraic or analytical systems of several variables, a tendency which was at least partially known to Riemann via Gauss [Scholz 1980, 15ff., 53 ff.] and which was independent of Herbartian philosophy.‖ 66 baskın olan bu ―matematiksel eğilimidir‖ ki onun sayesinde geometrik düĢünme geometrik olmayan alanlara transfer edilebilir.‖225 3) Scholz Riemann‘ın kavram Ģekillendirmesinin arka planı ile ilgili olarak ek bir noktaya daha dikkat çeker. Bu nokta Riemann‘ın ‗manifold‘ boyutluluğu ayırt edici yenilikçi yanıdır. Ancak kavramının çok Herbart, Ģeylerin geometrikleĢtirilmesi fikrinde üç boyuta kendisini sınırlamıĢtı. Dolayısıyla Riemann‘ın ‗manifold‘ kavramını Ģekillendirmesi Herbart‘ın görüĢlerinden bağımsız ve daha ziyade yukarıda bahsi geçen matematiksel eğilimin bir sonucudur. Sonuç olarak, Scholz‘a göre Herbart‘ın Riemann‘ın ‗manifold‘ kavramı üzerinde direk bir etkisinin olduğunu söylemek zorlukla mümkündür. Öte yandan, büyük olasılıkla Herbart‘ın seri formlarla ilgili felsefi spekülasyonları Riemann‘ın ilgisini çekmiĢti. Burada asıl dikkat edilmesi gereken nokta, Scholz‘un da altını çizdiği gibi, Riemann‘ın ‗manifold‘ kavramının temel özellikleri olan çok boyutluluk, bölgesel basit ve genel ölçekte karmaĢıklık, uzatılmıĢ büyüklüklerin niteliksel yüzünün niceliksel olanlardan ayrılması ve ondaki yapıların içsel bağlılığı ve ayrılması226 gibi özelliklerinin Herbart‘ın geometrik düĢünceleriyle bir ilgisinin olmaması, Riemann‘ın tüm bunları matematiksel olandan geliĢtirmesidir. Scholz Herbart‘ın asıl etkisinin, en açık haliyle Riemann‘ın matematiğin amacı ile ilgili düĢünceleri üzerinde görüleceğini iddia eder.227 Herbart‘ın 1807 makalesi onun felsefe yapmaktan ne anladığı ile ilgili bazı ipuçları vermektedir. O merkezi bir kavram ile birlikte çalıĢılmasını ve bu merkezi kavramın ayrıntılandırılması ve açımlanması ile ‗çoklukta birliğe‘ ulaĢılabileceğini iddia A.g.y.,s.423. ―[W]e may draw the conclusion that again it was this mathematical tendency to transfer geometric thinking to nongeometric fields which was dominant background of his (Riemann‘s) concept formation.‖ 226 Riemann Scholz, E. (1982).―Herbart's influence on Bernhard Riemann―, Historia Mathematica , 9, s.424.―…multidimensionality, locally simple, globally complex behavior, separation of qualitative aspects of extended magnitudes from quantitative ones, and the separation and interdependence of structures on it.‖ 227 A.g.y., s.424. 225 67 eder.228 Bu merkezi kavram herhangi bir alandaki ‘birlik‘ fikri üzerine düĢünmek için olanak yaratacaktır.229 Herbart felsefe ve bilimler arasında merkezi kavrama olan ilgileri çerçevesinde bir ayrım yapar. Bilimler kendi özel ilgi alanlarının içinde kendi merkezi kavramlarını Ģekillendirir. Oysa Herbart için ―bütünleyici kavramlar Ģekillendirmek spesifik bir bağlamı aĢar, ve bu bilimlerin felsefi çalıĢmalardan sahici felsefeye (Philosophie als eigene Wissenscahft) götürür.‖230 Herbart için sahici felsefe yalnızca en bütünleyici kavramları gruplamakla kalmamalı onların ―içsel zorluklarını‖ (―their intrinsic difficulties‖) da analiz edip çözümlemelidir.231 Bunu yaparken, ona göre felsefe emprisizmin ve rasyonalizmin hatalarına düĢmemelidir. Bu noktalara ek olarak, Herbart bilimler ve felsefe arasındaki iliĢkiyi diyalektik olarak görür: ―felsefe ve bilimler baĢka bir bilginin dıĢında değildirler, ama kendilerini birlikte ve aynı olanda oluĢtururlar.‖232 Sahici felsefenin oluĢturulması bağlamında ‗spekülasyon‘ Herbart‘ın felsefesinde merkezi bir rol alıyor görünmektedir. Herbart spekülasyonu ―kavramlar arası geçiĢler yapabilmenin yolunu oluĢturmadaki her türlü giriĢim‖ olarak tanımlar.233 Spekülasyonun nihai amacı ise ‗gerçeği ‗ göstermektir. ―Sonuç olarak felsefi edim (spekülasyon) karakteristik bir özelliğe sahiptir; onun nesneleri kavramlardır.‖234 Bu belirlediğimiz son noktadan, Herbart bilimlerin araĢtırma konusunun ‗verili olan‘ olduğunu söyler ve felsefe ile bilimler incelemesinde matematiğe özel bir vurgu yapar:―Felsefi olarak ele alındığında o (matematik) felsefenin parçasıdır. Ve onun kendi gereksinimleri için eğer hâlihazırda yoksa bir nicelik bilimi (Grösenlehre) 228 A.g.y., s.424. A.g.y., s.424. 230 Scholz, E. (1982). Herbart's influence on Bernhard Riemann, Historia Mathematica, 9, s.424. ―…to form unifying concepts transcending a specific context, and this led from philosophical studies of the sciences to philosophy proper230 [Philosophie als eigene Wissenschaft].‖ 231 Herbart, a.g.y. içinde s.424. ― 232 Herbart, a.g.y. içinde s.425. ―[philosophy and sciences does not lie outside of other knowledge, but constitutes itself with and in the same‖ [14]. 233 Herbart, Scholz, E. (1982). Herbart's influence on Bernhard Riemann, Historia Mathematica, 9, içinde s.425.‖ ―any endeavor to make the way for transitions‖ between concepts [1807, 275].‖ 234 Scholz, E. (1982). Herbart's influence on Bernhard Riemann, Historia Mathematica, 9, s.425. ―So philosophical activity (speculation) had a characteristic feature, it had concepts as its objects.‖ 229 68 yaratması gerekir.‖235 Bu durum Herbart‘ın matematiği neden diğer bilimler arasında felsefeye en yakın disiplin olarak gördüğünü açık bir Ģekilde ortaya koymaktadır. Riemann‘ın notlarında Herbart‘ın ‗spekülasyon‘ kavramı aĢağıdaki Ģekillerde resmedilmektedir: --- Spekülasyon= problemlerin çözümüne doğru giriĢim (endeavor, Streben) --- Kavramlararası gerekli bağlantının gösterilmesi Ġlave spekü(-lasyon) problemi --- Bilim olarak felsefe Spekülasyon yardımıyla bunun (bilim olarak felsefenin) türetilmesi Ki o kavramlarını nesneler olarak alır…(R.177) [17]236 Bu notlar üzerine Scholz Ģu yorumu yapıyor: Büyük ihtimalle Riemann bu notları açılıĢ dersine (inaugural lecture) hazırlandığı sıralarda almıĢtı ki bu onun matematiğin ve matematiksel bilimlerin metotları ve amaçlarını yorumladığı dönem olmalıydı. Özellikle bunun nedeni eğer Herbart‘ın felsefeyi karakterize etme biçimiyle Riemann‘ın kendi düĢünceleri arasındaki yapısal bağlantıyla iliĢkilenirse, Riemann‘ın Herbart‘ın makalesinden neden sadece bu özellikleri alıntıladığını bilmek oldukça ilginç olurdu. 237 Scholz‘un değerlendirmelerini takiben Riemann‘ın ve Herbart‘ın bilim anlayıĢları ile ilgili üç temel noktanın altı çizilebilir; Herbart, a.g.y. içinde s.425. ―Philosophically treated, it [mathematics] becomes part of the philosophy which had to create a science of quantity [Größenlehre] for its own necessities, if one did not already exist,‖ [1807, 275]. 235 236 Riemann, a.g.y. içinde s.425; ---Speculation= endeavor [Streben] toward resolution of problems ---Demonstration of necessary connection between concepts A problem of further specul[-ation] ---Philosophy as a science General character that it is generated by speculation That it takes concepts as its object… (R.177) [17] 237 Scholz, E. (1982).―Herbart's influence on Bernhard Riemann―, Historia Mathematica, 9, s.425.― It is likely that Riemann wrote these notes during the preparation of his inaugural lecture [18], which must have been a very important period for his interpretation of the methods and goals of mathematics and mathematical sciences. It would be interesting to know why Riemann extracted just these features from Herbart‘s article, especially if the reason is related to some structural relationship between Herbart‘s characterization of philosophy and Riemann‘s own thoughts 69 Riemann bilimi ―doğayı kavramlarla algılama giriĢimi‖238 olarak anlar. Bu 1) giriĢim içerisinde zıtlıklardan doğan problemler çözülür. Bilimsel kavramların biçimlenmesi, geliĢmesi ve geniĢletilmesi bağlamında Riemann matematiğin pozisyonunu Herbart‘ın felsefeye atfettiği role benzer Ģekilde görür. Hatırlanacağı gibi Herbart felsefeye merkezi kavramlar oluĢturma ve bu kavramlar aracılığıyla birlikteki çokluğa ulaĢılması rolünü biçmiĢti. Riemann da benzer Ģekilde bilimler içerisinde bu merkezi kavramlara ulaĢma ve onlar etrafında çalıĢmanın matematikle mümkün olacağını düĢünmektedir. Ġlerideki bölümlerde göreceğimiz gibi Habilitationsvortrag‘ının baĢlarında Riemann ‗olanak‘ ve ‗ gereklilik‘ gibi temel kavramlardan bahsetmektedir. Bu kavramların karĢılanması için onun ‗manifold‘ u merkezi bir kavram olarak faydalı olacaktır.239 Riemann‘ın matematiğin farklı alanlarındaki (karmaĢık fonksiyon teorisi, 2) geometri) çalıĢmaları ―kavramsal yapıların‖ ayrıntılandırılmasını göstermektedir. Scholz‘a göre bu nokta çok önemlidir: Bu o kadar doğruydu ki, biri Herbart‘ın matematiği karakterize etme biçiminin adeta Riemann tarafından verildiğini düĢünebilirdi [:Matematik], bilgi edinme giriĢiminde beliren problemleri çözmek ve hâlihazırda tesis edilmiĢ bilgiler ( Herbart‘ ın dilinde ‗spekülasyon‘) arasındaki bağlantıları netleĢtirmekle ilgilenen bir bilimdir 240 Bu nokta- ki 1. maddenin açıklanmasını içermektedir- Herbart için felsefenin 3) amaçlarından ve Riemann için matematiğin amaçları arasındaki benzerliklerden kaynaklanmaktadır. Herbart‘ın bilimler ve felsefe arasında gördüğü iliĢki Riemann‘ın matematik ile bilimler arasında gördüğü iliĢkiye paralellik göstermektedir. Bu noktayı Scholz Ģöyle özetler: ―Aslında Riemann‘ın Herbart‘ın (1807) makalesine Herbart, Scholz, E. (1982).― Herbart's influence on Bernhard Riemann, Historia Mathematica, 9, s.426. ―…the attempt to perceive nature through accurate concepts [1892a, 521]‖ 239 Scholz, E. (1982).―Herbart's influence on Bernhard Riemann―, Historia Mathematica, 9, s.426. Riemann‘ Habilitationsvortrag‘ına, kendi zamanında hâkim olan Öklidyen mekânın ön kabullerinin gerekliliği ve apriori'liğini sorgulayarak baĢlar; ona göre Öklidyen mekânın ―bağlantılarının ne kadar gerekli, mümkün veya a apriori olduğunu tespit etmek mümkün değildir. 240 Scholz, E. (1982).―Herbart's influence on Bernhard Riemann―, Historia Mathematica, 9, s.426.― This was true to such an extent that one might be tempted to read Herbart‘s note as providing a characterization of mathematics as Riemann himself would have given: A science dealing with concepts generated to solve problems arising in the attempt to gain knowledge and to clarify connections between already established knowledge (―speculation‖ in Herbart‘s language)‖ 238 70 olan ilgisi onun kendi matematik anlayışını felsefenin aynasında aydınlatma isteğinin sonucu olduğu görülmektedir.‖241 Scholz bu son noktayı Herbart‘ın matematik ve felsefe arasındaki yakın iliĢki ile ilgili görüĢlerini de sunduğu ve Riemann‘ın da üzerine çalıĢtığı1807 makalesine bağlayarak son bir gözlem yapar: ( Bu) Riemann tarafından özetlenen makalede matematik ve felsefe arasında çok yakın bir iliĢki Herbart tarafından iĢaret edildiğinden beri daha geçerlidir. Ona göre felsefi olarak ele alındığında matematik felsefenin bir parçasıdır (1807, 275), ve makalesinin baĢında, o bu minvalde bir Ģey önerir: Matematikçi dâhice (geistvoll) formüllerin ruhunun örtüsünü kaldırmak için çağrıyı (Beruf) hisseder (19). Riemann‘ın matematik yapma biçimini daha iyi karakterize eden bir tasavvur çok zordur (20). 242 Sonuç olarak matematik, bilimler ve felsefe arasındaki iliĢkide Riemann matematiği, Herbart da felsefeyi bilimler ile iliĢkide bir çeĢit köprü olarak görür. Öte yandan hem Herbart hem de Riemann için felsefe ile matematik arasında daha yakın bir iliĢki vardır. Matematik, bilimler ve felsefe arasında kurulan bu karĢılıklılık iliĢkileri Riemann‘ın matematiksel çalıĢmalarının arka planında durmaktadır. O bu iliĢkileri bir matematikçi gözüyle inceleyip yorumlamıĢ ve matematik yapma biçimine dâhil etmiĢtir. Özellikle Herbart‘ın matematiksel araĢtırmanın yönüyle ilgili fikirleri Riemann‘ın matematik yapma biçiminin merkezinde durmaktadır. Scholz bu noktanın önemini Herbart‘ın fikirleri olmaksızın Riemann ―belki de asla yenilikçi ve çok büyük bir kavram olarak manifoldu formüle edemeyecekti‖243sözleriyle ifade ediyor. Sonuç olarak denebilir ki Riemann‘ın matematiksel ve geometrik fikirleri üzerinde Herbart‘ın felsefesinin etkisinin dolaylı olması onun, Riemann‘ın Scholz, E. (1982). Herbart's influence on Bernhard Riemann, Historia Mathematica, 9s.426. ―In fact, Riemann‘s interest in Herbart‘s article [1807] seems to have been the result of his desire to clarify his own perception of mathematics in the mirror of philosophy.” 242 A.g.y., s.426. ―This is all the more likely since a very close relation between mathematics and philosophy was suggested by Herbart in the very article summarized by Riemann. According to Herbart, mathematics became a part of philosophy if dealt with philosophically [1807, 275], and at the beginning of his article, he proposed something very much along this line: The mathematician feels the call [Beruf] to unveil the spirit of his ingenious [geistvoll] formulas [19]. It would be difficult to imagine a better characterization of Riemann‘s way of doing mathematics [20]‖ 243 Scholz, E. (1982). Herbart's influence on Bernhard Riemann, Historia Mathematica, 9, s.426. 241 71 matematikte öne sürdüğü yenilikçi düĢünceler üzerindeki etkisinin önemini azaltmamalıdır. ġu halde ortaya çıkan sonuçlar Ģu Ģekilde özetlenebilir: Herbart‘ın ‗seri formlar teorisi‘ (Reihenformen) Riemann‘ın ‗manifold‘ 1) kavramını Ģekillendirmesinde teĢvik edici bir rol oynamıĢtır. Yine de Scholz‘un açık bir Ģekilde vurguladığı gibi ‗manifold‘ kavramı 2) köklerini 19.yy. Almanya‘sının matematiğinin ruhunda bulunmaktadır. Bu dönemde geometrik olmayan alanların geometrikleĢtirilmesi eğilimleri vardı. Riemann‘ın matematiğe bakıĢı ile Herbart‘ın felsefeye bakıĢı temel bazı 3) benzerlikler taĢımaktadır. Hatırlamak gerekirse, Herbart‘a göre matematik felsefi biçimde ele alındığında felsefenin bir parçasıdır, Riemann‘ın matematik yapma biçimi de tam da Herbart‘ın matematiğin metodu ile ilgili önerisi ile uyumludur. Riemann Herbart‘ın fikirlerini bir bilim adamının gözüyle matematikle 4) uyumlu hale getirmiĢtir. Herbart‘ın Riemann üzerindeki etkisi genel anlamda matematiğin metodolojisi ve görevi ile ilgili eğilimlerinde görülür. Riemann Herbart‘ın bu konularla ilgili görüĢlerini dikkatlice çalıĢtı ve kendi görüĢlerine göre değiĢtirdi. ―Scholz‘a göre ―bu tam da Herbart‘ın felsefenin bilimlerle iliĢkisinde yapmasını beklediği Ģeydi‖244, ―o uzaktan gelen bir ıĢık‖245olarak felsefe anlayıĢını reddetti ve onu dıĢarıda değil ama tamamen diğer ―bilgilerle içkin yapısında‖246geliĢtirmek istedi.‖247 Sonuç olarak Herbart‘ın Riemann üzerindeki etkisi epistemoloji ve 5) matematiğin metodunda görülmektedir. 244 Scholz, E. (1982). Herbart's influence on Bernhard Riemann, Historia Mathematica, 9, s.428. ―This was exactly what Herbart had expected philosophy could do in relation to science.‖ 245 Herbart, a.g.y.içinde s.428. 246 Herbart, a.g.y. içinde s.428. 247 Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann‖, Historia Mathematica , 9, s.428. ―He rejected philosophy as ―light coming from afar‖ and wanted to develop it not outside but in ― a thoroughly immanent relationship to‖ other knowledge 247 [1807, 230]‖. 72 2.1.3. Russell‟ın Herbart-Riemann iliĢkisine dair görüĢleri Russell ―An Essay on the foundations of geometry‖248 adlı eserinin birinci bölümünü ‗metageometriye‘249 ayırır. O metageometrinin tarihini de üçe ayırır. Birinci dönem Gauss, Lobachevski ve Bolyai‘yi, ikinci dönem Riemann ve Helmholtz‘u, üçüncü dönem de Cayley ve Klein‘ı içerir. Tezin konusu Riemann‘ın manifold kavramı olduğu için, ben burada sadece Russell‘ın ikinci döneme iliĢkin düĢüncelerini ele alacağım. Russell‘a göre Riemann‘ın ait olduğu metageometrinin ikinci dönemi birinci ve üçüncü dönemlere göre dikkate değer bir Ģekilde farklı bir pozisyona sahiptir. Russell için bu dönem yöntemlerinde yapılaĢtırıcı (constructive) ve amaçlarında felsefidir. Metodolojik olarak bu dönem metrik geometriyi kullanarak Öklidyen olmayan iki geometrinin; Lobacevski ve küresel (spherical) geometrilerin kuruluĢunu göstermiĢtir. Russell‘a göre Riemann‘ın mekânı ele alıĢ biçimi mantıksal analiz çerçevesinde değil daha ziyade felsefi bir motivasyonla kurulmuĢ olan ‗manifold‘ kavramının bir örneğidir.250 Russell bu dönemin temel kavramlarının ‗manifold‘ ve ―eğriliğin ölçüsü‖ (measure of curvature) olduğunu belirler. Ona göre manifold kavramı mekânın çok genel büyüklüklerin (magnitudes) özel bir örneği olarak tanımlanıĢı bakımından felsefi bir öneme sahiptir. ―Eğriliğin ölçüsü‖ (measure of curvature) ise mekânın noktadan noktaya değiĢimini belirleme açısından hem felsefi hem de matematiksel bir öneme ve kullanıma sahiptir.251 Eğriliğin ölçüsü‖ Gauss‘un Olağanüstü Teoreminin sonucudur. Bu teoremle Gauss a) yüzey üzerinde metrik değiĢkenlerin noktadan noktaya değiĢmesi yüzeyin tüm geometrisinin bilgisini içerir, b) bir yüzeyin toplam eğriliği (K sabiti) yüzeyin mutlak özelliğidir gibi önemli matematiksel sonuçlara ulaĢır. Felsefi olarak ise yüzeyin toplam eğriliğinin onun içsel bir özelliği olduğu ve baĢka hiçbir Ģeye (örneğin üçüncü bir boyuta) referansı olmaksızın bilinebileceğini göstermesi bakımından önemlidir. Yine de Russell için bu kavramın matematiksel önemi felsefi karakterine önseldir.252 Çünkü eğriliğin 248 Russell, Bertrand (1956). An Essay on The Foundations of Geometry, Dover Publications. Russell Metageometri‘yi Öklidyen olmayan geometriler ile eĢ anlamlı kullanır, a.g.e., s.7. 250 Russell, Bertrand (1956). An Essay on The Foundations of Geometry, Dover Publications s.14. 251 A.g.e.,s.14. 252 A.g.e.,s.14. 249 73 ölçüsü Riemann‘ın Habilitationsvortrag‘ında sunduğu fikirlerin çekirdeğinde yatmaktadır. Russell Herbart‘ın geometri ile ilgili fikirlerinin çok büyük önem arz etmediğini düĢünmekle beraber onu Kant‘tan sonra gelen felsefeciler arasında geometri teorisini geliĢtirenlerden birisi olarak görür.253 Yine de Russell‘a göre Herbart‘ın önemi Riemann üzerindeki etkisi aracılığıyla anlaĢılabilir. O bu etki ile ilgili olarak beĢ noktaya iĢaret eder: … Ama onun psikolojik mekân teorisi, uzamı (mekânı) noktalar serisinden yapısallaĢtırması, onun mekânı ton ve renk serileriyle kıyaslaması, onun genel olarak sürekli olan yerine parçalı olanı tercih etmesi ve son olarak onun mekânı diğer seri formlarla kıyaslamasının önemine dair inancı Riemann‘ı çağ açan spekülasyonlarına yol açmıĢ ve onu mekânın yalnızca analitik ve niceliksel özelliklerle açıklanması için cesaretlendirmiĢtir.254 2.1.4. Torretti‟nin Herbart-Riemann iliĢkisine dair görüĢleri Torretti için bu beĢ nokta arasında Herbart‘ın mekânı ton ve renk serileriyle kıyaslamasını içeren üçüncü husus özellikle Herbartçıdır çünkü ―bir cinsin özelleĢmelerinin kümesi olarak tanımlanan manifold kavramı noktalar olarak düĢünülen mekândan daha çok renkler ve renkliliğin manifolduna uygun düĢmektedir.‖ ―kuvvetli Ģekilde Herbart‘çıdır ve büyük ihtimalle Riemann‘ın manifoldu bir cinsin (genus) özelleĢmelerinin kümesi olarak tanımlamasına- ki bu tanım renkleri ve renkliliğin (colour-hues) manifolduna mekânın noktalarına uyduğundan daha iyi uymaktadır.‖255 Torretti‘ye göre Herbart‘ın psikolojik mekân 253 A.g.e., s.62. Russell, Bertrand (1956). An Essay on The Foundations of Geometry, Dover Publications, ss.6263. ―… But his psychological theory of space, his construction of extension out of series of points, his comparison of space with the tone and colour-series, his general preference for the discrete above the continuous, and finally his belief in the great importance of classifying space with other forms of series (Reihenformen), gave rise to many of Riemann‘s epoch-making speculations, and encouraged the attempt to explain the nature of space by its analytical and quantitative aspect alone.‖ 255 Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company, s.107. Ayrıca Mekân ve renkler arasındaki iliĢkinin bir incelemesi için Mach, E. (1906). Space and Geometry In The Light of Physiological, Psychological and Physical Inquiry, trans.by Thomas J. McCormac‘ın özellikle 98,99,100. sayfalarına bakınız. Ek olarak, Russell (1956,s.68) renk ve manifoldlar arasındaki benzerliği kavramada zorlandığını söyler. Russell‘ın bu Ģikâyeti Banks E.C. (2005, s.230) tarafından yanıtlanır; ―Sonuç olarak Russell‘ın Riemann‘ı bir rengi baĢka bir renk ile hareket ettirerek ya da üst üste bindirerek kıyaslama yapmak için aracının olmaması temelinde onun renklerle mekân arasında analoji kurmasını eleĢtirmesi oldukça haksızdır. Metrik özellik, eğer bir tane varsa, koordinatların karar verildiği özellikle aynı Ģey olmak zorunda değildir. Aslında, Riemann‘ın yaptığı gibi manifoldun katlarını ve metrik değerlendirmeleri çekip ayırmak daha iyi olacaktır. Russell- ki o açıkça kafasında fiziksel durumların sezgisine sahip değildi- serbest hareketin (free mobility) ya da bir pozisyondan diğerine geçerken mesafenin 254 74 teorisi Kant‘taki zaman-mekânı da içeren sınıfı iĢaret etmek için kullandığı Manningfaltigkeit kavramında köklerini bulmaktadır.256 Torretti Herbart‘ın psikolojik mekân teorisinin Riemann‘ın 1854 Habilitationsvortrag‘ındaki üzerindeki etkisini kavramakta zorlandığını belirtir. Ona göre Riemann Habilitationsvortrag‘da Herbart‘tan olsa olsa ―empirist önyargı‖ noktasında etkilenmiĢ olabilir.257 Herbart‘a göre bizdeki mekân temsili empirik olanla baĢlar ancak Habilatationsvortrag‘da, Torretti‘nin de belirttiği gibi, psikoloji kaynaklı bir mekân algısının (psychogenesis‘in) yeri yoktur. Russell‘ın listesindeki parçalı olanın sürekli olana tercih edilmesi iddiası ile ilgili olarak Torretti. Russell‘ın bunu iddia ederken tam olarak neyi düĢünmüĢ olabileceği hakkında bir fikri olmadığını, böyle bir tercihin Riemann‘ın yazılarının neresinde rastlanıldığını anlayamadığını söyler. 258 Torreti‘nin bu iddialarında haklı olduğunu düĢünüyorum, çünkü ilerde Habilitationsvortrag‘ı korunması (the preservation of distance from one position to another) özelliğinin de geçerli olmadığı bir koordinat sisteminin bir manifold üzerinde kurulmasının mümkün olmadığına inandı. Ancak bu yalnızca eğer koordinat sistemi mekân mesafe ölçüsünün yardımıyla (―with the help of spatial distance measurement‖) döĢenirse ve sonra mesafenin bir özelliği bu koordinatlardan gizli bir Ģekilde türetilirse doğrudur ( böylece Russell ve diğerlerinin suçladığı gibi Riemann geometrisi sorun ihtiva etmesiyle suçlu olurdu). Ancak, renk manifoldu veya görsel mekân ile yapılan kıyaslamaların tüm göstermek istediği, bölgeselliğin özellikleri (―properties of locality) ve yön (―direction‖) mesafeye önceldir (―prior to distance‖). Russell ayrıca kendisinin mekân felsefesinin temel aranılan bir niteliği (―main desideratum‖) olan mekânsal özelliklerin çok daha temel olan niteliksel belirlenimlerden soyutlanması olarak belirlediği Ģeyin tam da Riemann‘ın baĢarmak için gayret gösterdiği Ģey olduğunu görmedi.‖ (Alıntının orijinali: ―Thus Russell‘s criticism of Riemann‘s analogy of colors with space, viz., that he had given no means of comparing one color with another by motion or superposition, is quite unfair. Thus Russell‘s criticism of Riemann‘s analogy of colors with space, viz., that he had given no means of comparing one color with another by motion or superposition, is quite unfair. The metric property, if there is one, need not be the same property by which the coordinates are determined. In fact, it is better to pull apart the stages of manifold determination and metric considerations as Riemann does. Russell – who apparently did not have sense-physiological cases in mind – believed it was ―impossible to set up a coordinate system in a manifold in which free mobility or the preservation of distance from one position to another did not also hold.‖ But this is only true if the coordinate system is laid down with the help of spatial distance measurement, and then a property of distance surreptitiously derived by means of those coordinates (then indeed Riemannian geometry would be guilty of question begging, as Russell and others accused). But the whole point of comparisons with the color manifold, or with visual space, is to show that the properties of locality and direction are prior to distance. Russell also does not see that his own main desideratum of a philosophy of space, namely that spatial properties be abstracted from more fundamental qualitative determinations, is the very thing that Riemann also strove to accomplish.‖) 256 Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company, s.107. 257 Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company s.107. 258 Torretti, a.g.e., s.108. ―I do not know what Russell had in mind when he spoke of ―Herbart‘s his general preference for the discrete above the continuous‖, so that I cannot judge wherein such preference shows up in Riemann‘s writings.‖ 75 incelerken hemen giriĢinde göreceğimiz gibi Riemann günlük hayatta parçalı manifoldların (discrete manifold) örneklerine çok, sürekli manifold örneklerine ise az rastladığımızı söyler ama bizim içinde çalıĢtığımız yüksek matematikte sürekli manifold örneklerine daha çok rastladığımızı ve bunların daha temel bir rolü olduğunu belirtir. Yani, parçalı manifoldların örneklerine nicelik olarak sürekli manifoldlara nazaran daha çok rastlasak bile Riemann genel olarak matematikte özel olarak da mekân ve geometri çalıĢmalarında sürekli manifoldlara niteliksel farkından (sürekli olmaları sebebiyle yapılaĢtırmaya olanak tanımaları) ötürü daha büyük bir önem verir. Riemann‘ın sürekli manifoldları ayrı tutmasının kaynağını Riemann‘ın Habilaltionsvortrag‘ın yeniden inĢa etme giriĢimimizde daha detaylı olarak inceleyeceğiz.259 Sonuç olarak, Russell‘ın Herbart‘ın parçalı olanı sürekli olana tercih ettiği ve bunun Riemann üzerinde etkili olduğunu iddia ettiği dördüncü maddenin anlaĢılmazlığı konusunda Torretti ile hemfikir olduğumu belirtmeliyim. Öte yandan, Torretti Russell‘ın ikinci iddiası, yani Riemann‘ın ―mekânın noktalar serisinden yapısallaĢtırılması‖nın büyük bir olasılıkla Herbart‘ın sistemindeki ‗süreklilik teorisinden‘ etkilendiği iddiası ile kısmen hemfikirdir.260 Çünkü Torretti‘ye göre Herbart‘ın süreklilik teorisi yardımıyla mekânı oluĢturması ile Riemann‘ın yapılaĢtırması arsında fark vardır. Herbart bu yapılaĢtırmada değiĢmez, katı dizilerin yapılaĢtırması Habilitationsvortrag‘da sürekli (rigid line) dizilerin ile sınırlı (continuous kalırken, line) Riemann yapılaĢtırmasının yöntemini verir. Sonuç olarak, Torretti Russell ile Herbart‘ın Riemann‘ı etkilediği noktalar konusunda kısmen hemfikir görünmektedir. Herbart‘ın ton ve renk serilerini mekân ile kıyaslamasının Riemann üzerinde etkili olduğu fikrinde Torretti Russell ile hemfikirken, Riemann‘ın ‗manifold‘un yapısallaĢmasını ‗seri geçiĢler‘(continuous transitions) olarak açıklama biçiminin- ki bu bir çeĢit noktalar arasında durağan olmayan, karĢılıklı, düzenli bir hareketi ima eder- Herbart‘ın nokta kümelerinin Bakınız BeĢinci Bölümde 1. “N-kez Yer Kaplayan Manifold Kavramı” baĢlığı altında 1,1.‖Sürekli ve ayrık manifoldlar‖ 260 Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company, s.108. 259 76 yapısallaĢtırılması düĢüncesi ile bir benzerliği olduğu iddiasında Russell‘dan ayrılır; Riemann‗ın yapılaĢtırma yöntemi sürekliliğin yöntemini verirken Herbart‘ın yöntemi değiĢmez, esnek olmayan nokta kümesini sağlamakla yetinir. 2.1.5. Ferreiros‟un Herbart-Riemann iliĢkisine dair görüĢleri Ferreiros261 Scholz‘un Herbart‘ın Riemann üzerindeki etkisi ile ilgili verdiği açıklamalarla hemfikir olmakla beraber felsefeci ve matematikçi arasında daha fazla direk bağlantılar olduğunu iddia eder. Daha önce gördüğümüz gibi Herbart‘ın mekân kavrayıĢı onun süreklilik teorisi ile (Synchology) bağlantılı bir Ģekilde geliĢtirilmiĢtir. Herbart mekân, zaman, sayı ve madde gibi ‗süreklilik‘ içeren kavramların oluĢlarına ‗dereceli birleĢme‘ (‗graded fusion‘ ,abgestufte Verschemelzung) kavramı ile açıkladı. Bu görüĢün ıĢığında, Ferreiros Riemann‘ın Herbart‘ın süreklilik ile ilgili verdiği hesabın ayrıntılarını kabul etmediğini ―Herbart‘ın bakıĢ açısının çok genel taraflarını kabul ediyor göründüğünü‖262 iddia eder. Ferreiros‘un çalıĢması ile ilgili bir baĢka nokta da onun Leibniz ile Herbart ve Riemann arasında mekâna dair fikirleri bağlamında bir köprü kurmaya çalıĢmasıdır. Ona göre, Herbart‘ın mekân ile ilgili fikirleri Leibniz‘in mekânı aynı anda olmaklığın düzeni (space as order of coexistence) olarak tanımlaması ile uyumludur. Herbart için mekân deneyim sonucunda edinilen zihinsel imgelerin bir sonucu olarak hayal gücümüzde oluĢan bir formdur. Bu görüĢü takiben, her türlü zihinsel imge ‗sürekli seri formların‘-ki bu imgelerin hepsinde mekânın kavramlaĢması cereyan eder- üretilebilmesine neden olabilirdi. Öyleyse her Ģey; zaman, mekân, madde, sayı 261 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser. Ferreiros Riemann‘ın ‗manifold‘ kavramına farklı bir Ģekilde yaklaĢır. Onun bu kavramın Ģekillenmesindeki temel vurgusu mantık, özellikle de set teori temelindedir. Yine de, Ferreiros (s.39) set-teorik bakıĢ açısıyla Riemann‘ın ‗manifold‘ kavramı arasında direk bir iliĢki yerine set teorinin geliĢiminin Riemann‘ın kavramını yapısallaĢtırma motivasyonu ile bir paralellik olduğunu önerir. Buna ek olarak, Detlef, L. (1999). Turning Points in the conception of mathematics, Bernhard Riemann 1826–1866: Birkhauser, ss.231–232, de Ferreiros‘un set teorinin geliĢimi ile Riemann‘ın ‗manifold‘ kavramını Ģekillendirmesinde arasında bir iliĢki olduğu görüĢünü paylaĢıyor görünür. Yine de, bu görüĢün geçerli olup olmadığına bu çalıĢmada yer verilmeyecektir. 262 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser, s.46. ―…he seems to have adopted some quite general aspects of Herbart‘s approach.‖ 77 geometrikleĢtirilebilirdi. Dolayısıyla Herbart için mekânsal formlar hem fiziksel dünyaya hem zihinsel temsillere uygulanabiliyordu. Ferreiros Leibniz‘in ve Riemann‘ın mekânı kavrama biçimleri arasında gördüğü iliĢkiyle ilgili olarak sözlerini Ģöyle bitirir; ―Tarihsel bakıĢ açısıyla, açıkça, Leibniz ve Riemann ‗ın böyle bir kavramsallaĢtırma önerileri arasında bir bağlantı- ki bu bağlantı Herbart‘ın doktrinleri tarafından kurulmaktadır- bulmak oldukça ilginçtir.‖263 Ferreiros Herbart-Riemann bağlantısına iliĢkin bir noktaya daha dikkat çeker. Ona göre Riemann‘ın 1853 makalesinde açıkladığı ‗manifold‘ kavramı Gauss‘un 1831 yılındaki makalesinde açıkladığı fikirlerden çok Herbart‘ın fikirlerine yakındır. Bahsi geçen makalede Riemann ‗manifold‘ fikrini ―fiziksel bir sistem içinde iki ya da n fiziksel büyüklüğün, değerlerinin belirlendiği ölçüm deneyindeki bütün olasılıklı sonuçların toplamına iĢaret ederek kullanır.‖ Ferreiros bunu ―bir sistem için durumların mekânının kavramı‖264 (―the notion of the space of states for the given system‖) olarak anlayabileceğimizi söyler ve bu Ģekilde alındığında ona göre ‗manifold‘‘ Gauss‘un 1831 kullandığı anlamda ‗manifold‘ tanımından oldukça farklı hale gelir. Gauss bu makalesinde manifoldları iliĢkiler ve özellikler açısından ele alır ve manifoldları soyut büyüklükler teorisinden ayırmak gerektiğini ve manifoldların sezgisel örneklemelerinin mekânsal kavramların yardımıyla temsil edilebileceğini iddia eder. Ancak ―Riemann söz konusu kavramın çok boyutlu manifold‘a iĢaret ettiğini gösterir, üstelik bu kavram (multidimensional manifold) tüm geometrinin mekânsal sezgiye güvenmeksizin geliĢtirilebilmesi için tatmin edici bir zemin sağlar.‖265 Manifold‘un bu Ģekilde tanımlanıĢı ve açıklanıĢı Herbart‘ın her Ģeyin her özelliğinin farklı bir niteliksel süreklilikte yatan özellikler toplamı olarak ele alma düĢüncesi ile paralellik göstermektedir. 263 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland; Boston: Birkhauser, s.46.― From a historical point of view it is quite interesting to find that, apparently, there was a connection between Leibniz's and Riemann's proposals of such a conception, the link being Herbart's doctrines.‖ 264 A.g.e., s.47. 265 A.g.e., s.58. ―But Riemann indicates that the notion in question is that of a multidimensional manifold and, moreover, that this notion affords a satisfactory basis for developing the whole of geometry without the least reliance on spatial intuition.‖ 78 Sonuç olarak Ferreiros Scholz‘un Riemann‘ın Nachlass‘ı temelinde çizdiği resim ile hemfikirdir. Ancak, ona göre Herbart‘ın felsefesi ile Riemann‘ın çalıĢmaları arasında görece daha çok direk bağlantı vardır. Ferreiros‘a göre, Herbart‘ın süreklilik ile ilgili açıklaması ile mekânı fiziksel nesnelerin özelliklerine bağlantılı olarak kavramsallaĢtırması ve Riemann‘ın ‗manifold‘u açıklama ve tanımlama biçimi arasında bağlantılar vardır. 2.1.6. Herbart‟ın Kant ile ĠliĢkisi ve Riemann Üzerindeki Etkisi Bu bölümde öncelikle Herbart‘ın, mekân ve geometriyi kavrayıĢ biçimi temelinde Kant ile iliĢkisini inceleyeceğim. Ġkinci olarak Herbart‘ın, Riemann‘ın geometri anlayıĢında ve mekânı manifold olarak ele almasında ne Ģekilde ve ne seviyeye kadar etkili olduğunu göstermeye çalıĢacağım. Herbart‘ın Kant‘ın mekânı saf görünün formu olarak ele almasından duyduğu rahatsızlık Herbart‘ın felsefesinin genel hatlarının çizildiği bölümde belirtilmiĢti. Herbart bu rahatsızlıktan hareketle Kant‘ın Eleştirel felsefesini yeniden ele alma düĢüncesindeydi. Bu amacın merkezinde ise zaman mekân ile kendinde Ģeyler arasındaki iliĢki yatar. Herbart Kant‘ın bu ikisi arasında kurduğu iliĢkiyi açık bulmaz. Herbart bu iliĢkiyi açık kılmak için önce Kant‘ın nedensellik anlayıĢını yeniden ele alır. Bu iliĢkiyi o, Kant‘ın EleĢtirel felsefesi ile Leibniz-Wolff sistemi arasında kurmaya çalıĢır, ki bu Kant‘ın EleĢtiri öncesi döneminde yaptığı Leibniz–Wolff sistemi ile Öklid geometrisi ve Newton‘un doğa felsefesi arasında denge kurma giriĢimine öykünmektedir. Kant kendi sentezleme giriĢiminin sonucunda mekânın üç boyutlu, sonsuz bölünebilir olduğunu, mekânsal özelliklerin ise Leibniz-Wolff sisteminin, monadik mekân tasarımıyla açıklanamayacağını görmüĢtü. Çözüm olarak dıĢ dünya tarafından sağlanan duyusal görünün insanın biliĢsel kapasitesi ile nasıl iliĢkide olduğunun hesabını vermek için mekânın saf görüsü kavramını insan zihnine yerleĢtirmiĢti. Bu yolla hem mekân görüsünün özel bir karakteri olduğunu vurgulamıĢ hem de anlama yetisinin sağladığı kurallar, Ģemalar ve genel inĢa iĢlerinin duyusal görünün nesnelerine nasıl uygulandığının hesabını vermiĢti. Sonuç 79 olarak anlama yetisinin saf kavramlarının uygulanabilirliğini zaman ve mekânda görünüĢler dünyasıyla sınırlamıĢtı. Öte yandan Herbart‘ın temelde zaman-mekân ile kendinde Ģeyler arsındaki iliĢkiyi tesis etmek için iki önerisi vardır.266 Bunlardan ilki nedenselliği kendinde Ģeylerin gerçek yapısının bir parçası olarak ele alarak Kant‘ın nedensellik kategorisini görünüĢler dünyasına sınırlandırılmasını kaldırmaktır. Bu yolla Herbart öznel ve nesnel mekân arasındaki farkı kaldırabileceğimizi düĢünüyordu. Bu yolda katı cisim (rigid body) kavramı onun için anahtar roldeydi.267 Herbart‘ın ikinci önerisi ise Öklidyen geometrinin bir örnek olacağı farklı uygulamalı geometrilerin temeli olabilecek ‗soyut bir iliĢkiler bilimi‘ kurmaktı.268 Herbart için kavranabilir mekân tutarlı mantıki iliĢkilerin soyut bir bilimiydi: Geometri mekânı verili olarak alır ve onun içeriğini, çizgilerini, açılarını yapılaĢtırma ile elde eder. Ama basit özler için mekân verili değildir ( ve doğal felsefe onları gerçek için kati bir zemin oluĢturma amacıyla indirgemelidir). O (mekân) onun tüm belirlenimleri ile beraber üretilmelidir. Geometrinin durumu metafizik için çok aĢağıdadır. Metafizik onu kullanmadan önce geometrinin olanağını ve geçerliliğini olanağını ve geçerliliğini açık hale getirmelidir. 269 Herbart‘a göre geometrici tarafından varsayılan mekân duyular dünyasından yani Kant‘ın ‗mekânsal görüler dünyası‘ndan alınmak suretiyle varsayılmaktadır.270 Hâlbuki Herbart‘a göre kavranabilir mekânın geometrisi (the geometry of intelligible space) geometrinin bir üst biçimidir ve o kavramlarını duyulur deneyimden almaz bunun yerine bu kavramları belli ilk kavramlar temelinde kurar. Herbart kavranabilir mekânın geometrisi ‗pozisyon‘, ‗aralarında‘, ‗içinde‘ ‗dıĢında‘, gibi ilksel kavramlarla ve farklı mantıki iliĢkilerle iĢe baĢlar. ‗Katı çizgi‘ (rigid line) ve ‗düz Lenoir, T. (2006). ―Operationalizing Kant: Manifolds, Models, and Mathematics in Helmholtz‘s Theories of Perception‖, The Kantian Legacy in Nineteenth-Century Science, M. Friedman, A. Nordmann (Eds.), MIT Press, içinde, s.151. 267 A.g.y., s.151. 268 A.g.y., s.151. 269 A.g.y., s.152. 270 A.g.y., s.152. 266 80 çizgi‘ (straight line) bu geometri için anahtar kavramlardır.271 Herbart‘ın çizgileri ve düzlemleri tartıĢması bu bakıĢ açısı ve onun psikolojik ve nesnel mekân ile ilgili görüĢleri ile yakından ilgilidir. Herbart çizgiyi ‗yönlü büyüklük‘ olarak anlar ve bunu iki nokta arsındaki en kısa yolu belirlemek için kullanır.272 Çizgiyi bu Ģekilde birleĢik yönlerin toplamı olarak düĢünen ―felsefi‖ bir geometrinin en önemli sonucu mekânsal boyutların sayısı konusunda ilkece sınırlı olmayıĢımızdır. Aynı prosedür iki ya da üç boyutlu büyüklüklerin inĢasında dört, beĢ ya da daha fazla boyuta izin verecektir. Ancak Herbart‘a göre böyle bir yapılaĢtırma yalnızca kavramlarla ve yapılaĢtırmanın kurallarıyla oynamaktır ve ‖Kavranabilir mekân tıpkı görülenebilir olan gibi yalnızca üç boyutludur.‖273 Riemann manifoldun kurulması iĢinden bahsederken, tek boyutlu manifoldda tek bir yönde; (ileri ve geri) hareket edilebilirliği benzer Ģekilde iki boyutlu bir manifold (yüzey) üzerinde hareket tanımlamak için iki ayrı yönün gerektiğini ve n boyutlu manifolda n tane ayrı yön ile belirlendiğini gösterir. Dolayısıyla Herbart‘ın felsefi geometrisinde çizgilerin yönlü büyüklükler olarak tanımlanması Riemann‘ın manifoldun tanımını verdiği genel çerçevede görülebilir. Herbart benzer bir iĢlemsel bakıĢa diğer anahtar kavramların türetimi için de sahiptir.274 Doğru çizgileri, harekete olabildiğince az baĢvurmak suretiyle tanımladığı Ģekilde maddeyi de içsel iliĢkileri olan ve bu iliĢkileri hareket boyunca koruyan noktaların, çizgilerin, yüzeylerin toplamı olarak tanımlar.275 Herbart dolayısıyla ―atomların toplamı‖ ya da ―kohezyon‖ olarak ya da itim ve çekim arasındaki iliĢkinin ―içine iĢlememezliği‖ (impenetrability) sağlaması Ģeklindeki Kant‘ın Metaphysical Foundations of Natural Science276‘da baĢvurduğu tanımlardan ayrılır. Herbart için ‗katı cisim‘i tanımlamak noktaların, çizgilerin, yüzeylerin aktarım ve dönme gibi 271 A.g.y., s.152. A.g.y., s.153. 273 A.g.y., s.154. 274 A.g.y.,s.154. 275 A.g.y., s.154. 276 Kant, I (2004). Metaphysical Foundations of Natural Science, translated and ed. M. Friedman, Cambridge University Press. 272 81 hareketleri boyunca aynı sistematik özellikleri koruması için tutarlı sabit bir kural belirlemektir.277 Herbart‘ın ‗katı cisim‘ tanımakla ilgili vurgusu hem Riemann hem de ondan sonra gelen geometriciler278 tarafından da ele alınmıĢtır. Riemann Habilatitionsvortrag‘da mekânın topolojik özelliklerinin nasıl belirlenebileceği üzerine odaklanmıĢtır. Bu topolojik özellikler figürlerin mekânsal, dönüĢümlerde değiĢmeyen yani figür mekânda hareket ettiğinde değiĢmeden kalan özelliklerdir. Riemann n boyutlu bir mekânda yani n tane sürekli ve bağımsız değiĢken tarafından belirlenen bir mekânın sabit eğriliğe sahip olduğunu mekânsal figürlerin formları bozulmadan hareket ettirilebileceğini, döndürülebileceği hipotezine dayanarak göstermiĢtir. Figürlerin mekândan bağımsız olarak bulunması ancak ve ancak cisimler hareket ettirildiklerinde değiĢmeyen bazı özellikleri olduğunda mümkündür. Yani, eğer cisimler yerini değiĢtirdiğinde aynı özelliklerine farklı mekânlarda halen koruyabilirse, özellikleri dönüĢüm durumunda da değiĢmeden kalır. Riemann‘a göre Lenoir, T. (2006). ―Operationalizing Kant: Manifolds, Models, and Mathematics in Helmholtz‘s Theories of Perception‖, The Kantian Legacy in Nineteenth-Century Science, M. Friedman, A. Nordmann (Eds.), MIT Press, içinde, s.154. 278 Helmholtz 1868 tarihli On the Facts Underlying Geometry makalesinde benzer ama bir yanıyla farklı bir konuya odaklanır. O da Riemann ile figürleri kıyaslamadan ve ölçmeden geometri yapmamızın imkânsız olduğunu ve bu iĢlemleri yapabilmek için de ölçüm aletlerimizin değiĢmeden kalan bazı özelliklerinin bulunması konusunda hemfikirdir. Ama onun sorusu daha spesifiktir; figürlerin özelliklerinin değiĢmeden kaldığı hareketlere dair geometrik aksiyomlarımız neler olmalıdır? Helmholtz bu soruyu ―kalıplaĢmıĢ hareketler‖ (rigid motions) ile yanıtlamaya çalıĢır. Bu hareketler nesnelerin özelliklerini koruyan hareketlerdir. Örneğin bir küre kendi merkezi ekseni etrafında döndürüldüğünde bu hareket kürenin X ve Y eksenlerindeki simetrisini korur, dolayısıyla bu simetriler dönüĢümlerde değiĢmezler. Helmholtz da makalesinde katı cisimlere (rigid bodies) ve ıĢık ıĢınlarına (light rays) vurgu yapar. Bu iki alet bize geometri yapabilmemize temel teĢkil eden düz çizgi ve benzerlik kavramlarını türetebilmemize fırsat verirler. Düz çizgi ve benzerlik de yön, mesafe, büyüklük, geometrik inĢa gibi kavram ve iĢlemlerimizin arka planındadırlar. Helmholtz‘a göre katı cisimler ve ıĢık ıĢınları geometrinin prensiplerinin empirik temelli olduğunu anlamamıza temel teĢkil ederler. Bilgi kuramsal olarak bu anlayıĢ, Riemann‘ın programının temel bileĢenlerinden olan ‗serbest hareketlilik‘ fikrini uca taĢımaktadır. Riemann için serbest hareketlilik fiziksel cisimlerin tamamen sağlayamayacağı, yalnızca yaklaşabileceği bir özelliktir. Ayrıca Riemann kalıplaĢmıĢ hareketlere uzlaĢımla karar vermek yerine fiziğin avantajlarını kullanarak daha küçük skalalarda daha kesin kavramlara ulaĢabileceğimizi düĢünür. Yani Riemann için serbest hareketlilik fiziksel geometrinin bir koĢulu değil, bir kabuldür. Mikroskobik iliĢkileri ve cisimlerin doğası hakkında daha derin bir kavrayıĢa sahip olduğumuzda pekala bu kabul uygulanamaz hale gelebilecektir. Helmholtz, H.V.(1977). Epistemological Writings, Boston Studies in the Philosophy of Science, ed.Robert T., S Cohen and Marx W. Wartofsky, Dordrecht Reidel Publishing, içinde s.s.39-71, DiSalle, R(2006). Understanding Space –Time, Cambridge University Press, ss.77-78. 277 82 bu kabul olmaksızın iki kısa arasındaki en kısa yol olarak ıĢık ıĢını ve mesafe ölçümlerinde kullandığımız metre çubuğu gibi katı cisimler güvenilir ölçümleri temellendirebileceğimiz özelliklerden yoksun olurlar. Yani geometrinin temeli olan ölçüm iĢlemini yapabilmek için bu temel aletler değiĢmeyen bazı özelliklere sahip olmalıdır. Herbart katı cisimlerle ilgili bu fikirleri iliĢkilerin soyut biliminin çok sayıdaki uygulamasından biri olarak gördüğü geometriye uygular ve duyulur mekânı (sensory space) kurmanın hesabını vermeye çalıĢır.279 Herbart, Kant‘ın mekânın saf görü olduğu fikrine alternatif olarak, Locke‘un ve Ģeyleri özellik demetleri olarak ele alan geleneğin anlayıĢı temelinde, psikolojik mekânın duyulardan yola çıkılarak empirik olarak kurulabileceğini göstermeye çalıĢır.280 Temel renklerin, tonların ve benzerlerinin olması Herbart‘ın çıkıĢ noktasıdır. Bunların fark edilebilmeleri için onların arasında tezat bir duyumun olması yani farklılık yaratacak bir duyumun olması gerekir. Herbart‘ a göre biz algı seviyesinde zaten kıyaslama ve ölçmenin psikolojik sürecini yaĢarız ve bu sürekli olarak olur. Ona göre örneğin, herhangi bir varyasyon olmadan "do" notasına sürekli maruz kalmak o sesin duyulmamaya baĢlamasına yol açar benzer Ģekilde gözlerimizi kıpırdatmadan mavi bir kumaĢ parçasına bakmak da onun yavaĢ yavaĢ gözden kaybolmasına sebep olur.281 Böyle bir anlayıĢta algılar yoğunlukta282 derecelenmek suretiyle birbirlerini dengeleyen kuvvetler olarak değerlendirilir. Herbart duyumları kuvvetler olarak tanımlayarak buradan dokunmada hissedilen direnç ve keyif ve acı olarak hissedilen kuvvet ile bir benzerlik kurar. Herbart kuvveti dıĢsal bir aracı ile Lenoir, T. (2006). ―Operationalizing Kant: Manifolds, Models, and Mathematics in Helmholtz‘s Theories of Perception‖, The Kantian Legacy in Nineteenth-Century Science, M. Friedman, A. Nordmann (Eds.), MIT Press, içinde, s.154. 280 A.g.y., s.154. 281 A.g.y., s.155. 282 Herbart‘ın mekânsız duyumlarla ilgili düĢüncelerinin Kant‘ın ―yoğun büyüklükler doktrini‖ ile iliĢkisi için bakınız; Eric, C. Banks (2005). ―Kant Herbart and Riemann‖, Kant Studies, Vol 96, Issue 2, ss. 211. 279 83 onla iletiĢim kurulan fizyolojik aygıt arasındaki bir iliĢki olarak anlar. Öznenin deneyimlediği bu iliĢkiye Herbart ‗engelleyici özellik‘283 ( Hemmung) adını verir. 284 Herbart‘ ın algıları kuvvetler olarak tanımlaması onları kendi yeni psikofiziğinin ölçüsüne indirgeme amacına yönelik olarak düĢünülmelidir.285 Herbart‘ta görüngüler dünyası basit duyuların ve onların kombinasyonlarının deneydeki dinamik ve statik iliĢkilerinden yapılaĢtırılarak kurulur. Bu yeni duyum fakültesi teorisinin merkezinde onun Reihenformen adını verdiği doktrini vardı. Bu doktrinin amacı duyular arasındaki iliĢkileri yoğunluk, kalite ve niceliğe göre göstermektir. Aynı dinamik kurallar az ya da çok sınırlanmıĢ Ģekliyle algının her modelinin kurulmasını ve onların daha üst ve düzenli bir birlik olarak sentezlenmesini kontrol eder. Bu daha üst düzenli birlik Complexionen‘dir. Böyle bir anlayıĢta mekân ‗verili‘ bir Ģey değildir daha ziyade dünya ile iliĢkimizdeki farklı duyumsal modlarımızın sembolize edildiği ve onların tek bir deneyimde sentez edildiği bir Ģeydir:286 Duyusal mekân, kati olmak gerekirse, orijinal olarak tek bir mekân değildir. Daha ziyade gözler, ve hissetme ve dokunma birbirlerinden bağımsız olarak mekânın üretimini baĢlatırlar; hemen sonra hepsi bir araya gelir [verschmolzen] ve daha fazla geliĢir. Yeteri kadar sıklıkla tek bir mekân (fenomenal mekân) olduğu Ģeklindeki önyargıya karĢı uyarıda bulunamıyoruz. Mekân diye bir Ģey yoktur; ama algıları tekrar üretmenin kanunlarının ağı [Gewebe] (ki algılayan için onların nesnesi mekânsaldır) boyunca kaynaĢtırarak algılar sistemini üretmek için motivasyonlar [Veranlassungen] vardır. Böyle yapılaĢtırmalar için çok sayıda motivasyon vardır. Bunların hepsi eĢit derecede baĢarılı değildir; mekânı yapılaĢtırma denemelerinin çoğu eksik ve karanlıkta kalmaktadır; örneğin optik illüzyonlar. 287 Lenoir, T. (2006). ―Operationalizing Kant: Manifolds, Models, and Mathematics in Helmholtz‘s Theories of Perception‖, The Kantian Legacy in Nineteenth-Century Science, M. Friedman, A. Nordmann (Eds.), MIT Press, içinde, s.155. 283 Lenoir, T. (2006). ―Operationalizing Kant: Manifolds, Models, and Mathematics in Helmholtz‘s Theories of Perception‖, The Kantian Legacy in Nineteenth-Century Science, M. Friedman, A. Nordmann (Eds.), MIT Press, içinde, s.155. 286 A.g.y., s.155. 287 A.g.y., s.157. ―Sensory space, to be exact, is not originally a single space. Rather the eyes, and the sense of feeling or touch independently from one another initiate the production of space; afterward both are melted together [verchmolzen] and further developed. We cannot warn often enough against the prejudice that there exists only one space, namely phenomenal space. There exists no such thing as space; but there do exist motivations [Veranlassungen] for generating a system of perceptions by fusing them through a network [Gewebe] of laws of reproduction, whose perceived object is something spatial, nemely fort he perceiver. There are numerous motivations for undertaking such constructions, and they are not all equally successful; for many attempts to construct space remain incomplete and in the dark [e.g., in optical illusions]. (1824/1825, 5:489-490)‖ 285 84 Dolayısıyla Herbart‘ ın amacı farklı manifoldları duyu verisiyle iliĢkilendirererek mekânın verili ve tek olmadığını, üretilen bir Ģey olduğunu göstermektir. Herbart‘a göre Herbart‘ın zaman-mekân ile kendinde Ģey arasındaki iliĢkiyi kurmak için ikinci önerisi olan iliĢkilerin soyut bilimi iki farklı ama paralel problemi çözebilirdi; kavranabilir tözlerin mekânsal olmayan dünyasının fenomenal dünya ile iliĢkisini ortaya koymak, diğeri ise empirik psikolojide dıĢ kaynaklı duyu verisinin bizim üç boyutlu görsel deneyimimizle iliĢkisini açıklamak.288 Herbart‘ın kaygılarından biri duyu verisi ile görsel deneyim arasındaki iliĢkidir. Ona göre fizyoloji kavranan nesnenin duyumda ortaya çıkıĢını göstermede baĢarılı olabilse bile duyu verisi ile görsel deneyim arasındaki iliĢkide yine de bir boĢluk olacaktır: ―ġimdi ruh, retinal görüntüdeki tamamen yok olmuĢ mekânsal iliĢkileri tepeden tırnağa baĢtan üretmek zorundadır. Ve bunu, algılarına en ufak bir zarar vermeden yapmalıdır. Ama mekânsal bir Ģeyin algısı, algısı olduğu mekânsal Ģeye belli bir benzerlik göstermelidir. Yoksa bu algı iĢlemi sonucu algılanan nesne mekânsal bir Ģey hariç her Ģey olabilir.‖289 Herbart‘a göre retinamızdaki sinirlerin dıĢ dünya kaynaklı duyu verisinin birebir eĢleĢmesini temel alan bu tür bakıĢ açılarının hatası empirik psikolojinin konusu olan fenomenal mekânı biyolojik donanımımızda ―verili‖ olarak değerlendirmesinde yatar.290 Herbart‘a göre empirik psikolojinin mekânı gerçek ve içine Ģeylerin yerleĢtirildiği bir kap değildir. Mekân bizim duyularımız aracılığıyla dünyadaki farklı etkileĢimlerin sunulması ve sembolize edilmesi için bir araçtır. Mekânın ölçüsü kendiliğinden verilmez daha ziyade ―büyüklüğün tüm kavramları gibi, varlığının uygulandığı nesnelerin doğası uyarınca bükülen ve Ģekil verilen yalnızca 288 A.g.y., s.152. Herbart, a.g.y., içinde, s.153. ―The soul must now generate from ground up the completely destroyed spatial relationships [within the retinal image]. And it has to do this without distorting its perception slightest. … But the perception of something spatial must have a certain similarity to the spatial thing itself, otherwise the perceived object resulting from this act of perception might be anything but something spatial‖ (1829,118). 290 Lenoir, T. (2006). ―Operationalizing Kant: Manifolds, Models, and Mathematics in Helmholtz‘s Theories of Perception‖, The Kantian Legacy in Nineteenth-Century Science, M. Friedman, A. Nordmann (Eds.), MIT Press, içinde, s.153. 289 85 düĢünceye yardım olarak düĢünülmelidir ve asla yanlıĢ Ģekilde o nesnelerin gerçek yüklemlerini sunduğu düĢünülmemelidir.‖291 Bu değerlendirmeler ıĢığında temelde Herbart‘ın Kant‘çı mekân görüsünden rahatsız olup mekânı daha çok Leibniz‘ci bir çerçevede ―iliĢkisellik‖ bağlamında ve Kant‘ın mekân görüsünü eleyecek Ģekilde ele alması, geometriyi ―soyut iliĢkiler bilimi‖ olarak değerlendirmesi Riemann‘ı doğrudan olmayan bir Ģekilde etkiler. Riemann‘da, ‗manifold‘ kavramı ile genel mekânı, ‗fiziksel mekân‘ ile Almanca‘da (der) Raum olarak karĢılanan içinde bulunulan yeri düĢünür. Herbart‘ın Kant‘ın mekân görüsünü elemeye çalıĢması Riemann‘ın mekân görüsüne baĢvuru olmaksızın ya da görülenebilir mekânın yalnızca bir seçenek olarak değerlendirilebileceği iddiasında bulunmasında etkili olduğu düĢünülebilir. Ancak Riemann‘ın bu iddialarında genel olarak Gauss ve dönemin matematik anlayıĢı ile mekân görüsünün doğası üzerine bir hesaplaĢma içinde olduğu düĢünülebilir dolayısıyla Riemann‘ın görü ile ilgili kendi görüĢlerini sunmadığı dönemim matematiğinin iddiaları ile bir tartıĢma içinde olduğu söylenebilir.292 Örneğin ilerleyen bölümlerde göreceğimiz gibi, Riemann çoğu alıntıda adeta Kant‘ın mekân görüsüne karĢı konuĢuyormuĢ gibi görünse de görü ile tam olarak Kant‘ın mekân görüsünü kastettiği net değildir. 293 Öte yandan Herbart‘ın Riemann‘ın manifold kavramını açıklamasında direk etkilememiĢ olması, etkisinin daha genel bir seviyede görülmesi anlaĢılabilir bir durumdur. Riemann Herbart‘ın önerilerini bir matematikçinin294 gözüyle ele almıĢ ve kendi çalıĢmalarında değerlendirmiĢtir. Bu anlamda Riemann‘ın bu tutumu, tam da Herbart, 2006). ―Operationalizing Kant: Manifolds, Models, and Mathematics in Helmholtz‘s Theories of Perception‖, The Kantian Legacy in Nineteenth-Century Science, M. Friedman, A. Nordmann (Eds.), MIT Press, içinde, s.153. ―…like all concepts of magnitude, must be considered merely as an aid to thought which has to be bent and shaped in accordance with the nature of the objects to which it is being applied, and necer mistakenly conceived as delivering up their real predicates‖ (1821, 312). 291 Ferreiros, J. (2011), Scholz, E.(2011). KiĢisel diyalog. Ferreiros, J. (2011), Scholz, E.(2011), Wilson, M. (University of Pittsburgh) (2011). KiĢisel diyalog. 294 Herbart, Fichte ve özellikle de Kant‘ın düĢüncelerini yorumlayan, netleĢtiren ve bilim insanları için daha kolay kabul edilebilir hale getiren bir filozoftu. Herbart‘ın etkilediği diğer bilim insanlarına Mach ve Grassman örnek gösterilebilir. Bakınız; Eric, C. Banks (2005). ―Kant Herbart and Riemann‖, Kant Studies, Vol 96 Issue 2, ss. 208-209. 292 293 86 Herbart‘ın felsefeden beklediği bilimlerle iliĢkiye geçme hedefine uygun düĢmektedir. Herbart‘ın felsefesi Riemann‘ın araĢtırma programının nasıl olması gerektiği ve hangi yönde yapılması gerektiğinin yani matematiksel çalıĢmanın oryantasyonu295 sorusunun yanıtını vermiĢtir. Sonuç olarak Herbart‘ın Riemann‘ın manifold kavramını açıklamasında doğrudan bir etkisinin olmaması bu kavramın açıklanmasında çok önemli bir etkisi olmadığı anlamına gelmemektedir: Riemann‘ın matematik üzerine düĢünceleri onun Herbart‘ın felsefesini kapsamlı bir Ģekilde çalıĢmasını tarafından derinleĢmiĢ ve netleĢmiĢtir. Üstelik bu oryantasyon olmadan Riemann çok önemli ve yenilikçi manifold kavramını belki de asla formüle edemeyecekti. Herbart‘ın Riemann‘ın matematiği ve (özellikle) geometrisi üzerinde bu dolaylı ama etkili tesirini temsil etmektedir.296 Herbart‘ın genel olarak epistemolojisi özellikle de felsefenin bilimlerle iliĢkisi ile ilgili görüĢleri Riemann‘ın matematiğin neyi baĢarması gerektiği ile ilgili fikirlerini etkilemiĢtir. Herbart‘ın realist epistemolojisi bilginin deneyimden yola çıkılarak fenomenin açıklanmasında altta yatan gerçekliğin kavramsal olarak netleĢtirilmesi ile elde edilebileceğini düĢünür. Bu bakıĢ açısıyla matematiğin bir bilim olarak nesnesine net bir kavramsal bakıĢ geliĢtirmesi gerektiği fikrinin manifold kavramının açıklanmasında Riemann‘ı etkilemiĢ olması mümkündür. Bu noktada yine Herbart‘ın her disiplinde merkezi bir kavramla (Hauptbegriff) çalıĢma önerisi yine Riemann‘ın geometrisini etkilemiĢtir. Manifold kavramı Habilitationsvortrag‘ın ilk bölümünde tanımlanır Habilitationsvortrag‘ın diğer iki bölümü olan geometri ve fiziğe sunulur. Bu sunum esnasında yapılan tüm belirlenimler manifold kavramı üzerinden yapılır. Riemann‘ın bilimi ―doğayı uygun kavramlarla kavrama giriĢimi‖297 olarak anlar. Bu giriĢim kavramlardaki ya da kavramlarla deneyim arasındaki iliĢkiler sonucunda ortaya çıkan sorunların derece derece çözülmesiyle olur. Burada yine Herbart‘ın Scholz Herbart‘ın matematiksel araĢtırmanın oryantasyonu bağlamındaki Herbart-Riemann iliĢksinin benzerinin Schleiermacher- Grassmann arasında da bulunduğunu iddia eder. Grassmann‘ın döneminde çok tanınmamıĢ olması ama Riemann‘ın dönemin matemetiğinde merkezi bir figür olması dolayısıyla Herbart-Riemann arasındaki iliĢki Schleiermacher ve Grassmann arasındaki iliĢkiden daha çok dikkat çekmektedir. Bakınız; Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann‖, Historia Mathematica , 9, s.428. 295 296 297 Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann‖, Historia Mathematica , 9, s.426. A.g.y., s.426. 87 temel kavramların Ģekillendirilmesi, geliĢtirilmesi ve kapsamının geniĢletilmesi ile ilgili fikirlerinin yankısı görülür. Riemann bilimlerle iliĢkisinde matematikten Herbart‘ın felsefeden beklediğini bekler: Riemann Habilatitionsvortrag‘a geometrinin temel kavramları arasındaki iliĢkilerinin ―zorunlu‖ ve ―olanaklı‖ olması ile ilgili sorularla baĢlar ve manifold kavramının kurulmasının ‗felsefi bir iĢ‘ olduğunu belirtir ve bu kavramın geometrinin temel kavramları arasındaki sorunların derece derece (empirik gözleme ısrarla vurgu yaptığı bölümde derinlemesine irdelenecektir) çözülmesinde iĢe yarayacağını iddia eder. 88 BÖLÜM 3. BĠR GEOMETRĠ TARĠHĠ Önceki bölümlerde Herbart felsefesi ve Gauss‘un “Olağanüstü Teorem”inin Riemann‘ın manifold kavramı arasındaki iliĢkiler ele alınmıĢtı. Bu bölümde, 19.yy. Almanya‘sının Grössenlehre olarak matematik anlayıĢı ve Öklidyen olmayan geometrilerin keĢfi 298ile ‗manifold‘ kavramı arasındaki iliĢkiler ele alınacaktır. 3.1. Öklidyen olmayan geometrilerin kısa bir tarihi Bundan önceki bölümlerde Kant‘ın dünyanın gerçek doğasını anlamak için gerekli olan bilim anlayıĢını geometrinin sentetik apriori yargıları temelinde biçimlendirdiğini görmüĢtük. 19.yy Kant‘ın felsefesinin hâkimiyeti altında geometride yalnızca matematikçilerin değil, felsefecilerin de ilgisiz kalamayacağı geliĢmelere Ģahit olmuĢtur. Bu geliĢmeler ‗Öklid‘in BeĢinci Postülatı‘nı ispatlama giriĢimlerinin sonucu olarak ortaya çıkmıĢtır. Öklid‘in BeĢinci Postülatı Ģöyledir: Eğer bir düz çizgi diğer iki düz çizgiyi keserse, öyle ki, bir kenardaki iki iç açının toplamı iki dik açıdan küçükse, Ģu halde iki düz çizgi yeterince uzatıldığında, bu açıların olduğu ilk çizginin aynı kenarında kesiĢirler.299 BeĢinci Postülatın ispatlanması giriĢimlerinde farkı yöntemler denenmiĢtir. Birinci gruptaki denemeler ya BeĢinci Postülatı diğer dört postülttan çıkarmayı ya da onu daha kendisinde açık bir postülat ile değiĢtirmeyi denediler. Ġkinci gruptaki denemeler BeĢinci Postülatı reddetti ve bu süreç ‗mutlak geometrinin‘ (absolute geometry) keĢfine yol açtı. Üçüncü grup denemeler ise BeĢinci Postülatı varsayıp bir Öklidyen olmayan geometrilerin keĢif serüveni uzun bir süreçtir. Bu süreç ardı ardına birbirini dizgesel Ģekilde takip eden geliĢmelerden oluĢan bir süreç değildir. Bu tezin odak noktası manifold kavramı ve yeni bir geometri ve mekân anlayıĢındaki yeri olduğundan bu süreç yoğunlaĢtırılmıĢ ve özet Ģeklinde sunulmuĢtur. 299 Barker, Stephen F (2003). Matematik Felsefesi, çev. Yücel Dursun, Ġmge Kitabevi, s.40. 298 89 zıtlık bulmayı denediler, bu denemeler de ‗Hiperbolik geometrin‘nin keĢfiyle sonuçlandı.300 BeĢinci Postülatı ispatlama giriĢimlerinin bölümlenmesi ile ilgili olarak Gray ―Standard hesap‖ (standart account)‘u ayrıntılandırır. Ona göre Bonola‘nın, Coolidge‘in ve Kline‘ın Öklidyen olmayan geometrilerin tarihi okumalarının ortak noktası onların bu tarihi dört dönemde incelemesidir.301 Bu ortaklık temelinde onlar, bir dönemi Öklidyen olmayan geometrilerin öncülleri, bir dönemi Gauss, Schweikart ve Taurinus, bir dönemi Bolyai Lobachevski ve bir dönemi de sonraki geliĢmelere ayırır.302 Gray‘a göre, Bonola, Coolidge ve Kline‘ın Öklidyen olmayan geometri tarihini sınıflandırmaları tarihsel sıralamaya ek olarak bu tarihte kullanılan matematiksel yöntemlere bölümlemede de ortaktır. Gray bu noktayı Ģöyle özetler: ―18.yy. da Saccheri ve Lambert klasik geometriyi kullandılar; 18.yy baĢlarında Bolyai ve Lobachevski analizi kulandılar; 19.yy ortalarında Riemann ve Beltrami diferansiyel geometrinin tekniklerine döndüler.‖303 Saccheri‘nin yeni yaklaĢımına kadar olan birinci dönem BeĢinci Postülatı ispatlamanın ilk giriĢimlerini içerir. Saccheri‘ye kadar BeĢinci Postülatı ispatlama giriĢimlerinin ortak noktası onu sistemden çıkarıp yerine yeni bir postulat koyma çabasıydı. Ancak Saccheri BeĢinci Postülat üzerine çalıĢırken reductio ad absurdum (olmayana ergi-bundan sonra RAA olarak kısaltılacaktır) yöntemini kullandı. Onun amacı BeĢinci Postülatın yanlıĢlığını kabul ederek bu kabulden bir çeliĢki türetmekti. Bu da, BeĢinci Postulatın yanlıĢ kabul edilmesi halinde, Öklid‘in sisteminin kalanıyla bir zıtlık bulunacağı anlamına gelmekteydi. Saccheri RAA‘yı kullanan ilk kiĢi değildi, Öklid de bu yöntemi kullanmıĢtı.304 Ancak, Saccheri RAA‘yı sistematik olarak kullandı ve bu paraleller problemine yeni bir Ģelkilde yaklaĢabilmek için yeni bir höristik (Heuristic) sağladı. Buna ek olarak Saccheri BeĢinci Postülatı 300 Inaltong M.C. (2000) The Discovery of Non-Euclidean Geometries and Non-Euclidean Geometries in Kant‟s Philosophy, basılmamıĢ master Üniversitesi, s.19. 301 Gray, J. (1989). Ideas of space. Oxford: Clarendon press, s.168. 302 A.g.e., s.168. 303 A.g.e., s.168. 304 Inaltong M.C. (2000) The Discovery of Non-Euclidean Geometries and Non-Euclidean Geometries in Kant‟s Philosophy, basılmamıĢ master Üniversitesi, s.3. Kant: The Possibility of tezi, Ortadoğu Teknik Kant: The Possibility of tezi, Ortadoğu Teknik 90 quadrileteraller, üçgenler ve alanlar (quadrilaterals, triangles and angles) ile iliĢkisinde ele almıĢtır ki bu BeĢinci Postülatın ispatı giriĢimleri için yeni bir bakıĢ getiren diğer bir geliĢmedir. Ġslam geleneğinden bir geometrici olan Nasir Edin Tusi quadrileterali daha önce kullanmıĢtır ancak Saccheri‘nin durumunda quadriletaralin RAA metoduyla beraber kullanıldığını görüyoruz. Saccheri bu amacında baĢarılı olamamıĢtır; yani BeĢinci Postulatın yanlıĢlığını kabul ederek sistemin diğeri ile çeliĢecek önermeler ispat edememiĢtir. Bu da, BeĢinci Postulatın Öklid sistemi için zorunlu olduğunun ispat edilememiĢ olduğu anlamına geliyordu. 19. yy.‘ın baĢlarına geldiğimizde BeĢinci Postülatın Öklidyen Geometri için konumu ile ilgili tartıĢmalar ve ispatlama giriĢimleri halen güncelliğini korumaktaydı. Hiperbolik trigonometrik fonksiyonların keĢfiyle beraber, BeĢinci Postülatın konumuna ıĢık tutacak geliĢmeler de baĢlamıĢ oluyordu. Öklidyen olmayan geometrilerin keĢfinde yaratacağı imkânların farkında olmaksızın, Lambert trigonometrik fonksiyonları astronomi çalıĢmalarında kullanmıĢtır. Öte yandan, Gauss ve Taurinus bu fonksiyonların taĢıdığı potansiyeli görmüĢ ve geometriye yeni bir bakıĢ getirecek olan kendi çalıĢmalarında kullanmıĢtır.305 Gauss‘tan bağımsız bir Ģekilde Johann Bolyai Macaristan‘da, Nikolai Lobachevski Rusya‘da Öklidyen olmayan geometriler keĢfettiklerini duyurmuĢlardır.306 Diferansiyel denklemlerin kullanılmaya baĢlanması üçüncü dönemi belirlemektedir. Diferansiyel denklemlerin geometriye uygulanması ile ‗eğrilikler‘, ‗jeodesikler‘ (curvatures, geodesics) gibi kavramlar mekân ve geometri çalıĢmalarında kullanılmaya baĢlanmıĢtır.307 Öklidyen mekân anlayıĢından Öklidyen olmayan mekân anlayıĢına doğru geçirilen evrimin bilgi kuramı ile ilgili hiçbir sonucunun olmaması düĢünülemezdi. 19. yy.‘a 305 Inaltong M.C. (2000). The Discovery of Non-Euclidean Geometries and Kant: The Possibility of Non-Euclidean Geometries in Kant‟s Philosophy, basılmamıĢ master tezi, Ortadoğu Teknik Üniversitesi, s.3. 306 Wolfe, H.E. (1945). Introduction to Non-Euclidean Geometry, New York and London: Holt, Rinehart and Winston, s.45 307 Inaltong M.C. (2000) The Discovery of Non-Euclidean Geometries and Kant: The Possibility of Non-Euclidean Geometries in Kant‟s Philosophy, basılmamıĢ master tezi, Ortadoğu teknik Üniversitesi, s.3. 91 kadar olan dönemde Öklidyen mekân‘ın fiziksel evren için de geçerli olduğu konusunda pek Ģüphe duyulmamaktaydı. Öklidyen olmayan geometrilerin keĢfi, Kant‘ın felsefesinin etkisindeki felsefede ―mekân problemi‖ olarak adlandırılan felsefi problemle ilgili tartıĢmalar için de önemli sonuçlara sahipti. Kant‘ın anladığı Ģekilde Öklidyen geometrinin elimizdeki tek alternatif olduğu ve bir bilgi modeli olarak iĢ gördüğü fikri yeni geometrilerin keĢfiyle tartıĢmalı bir hal almıĢtır.308 Mekân fikrinin evrimindeki bu dönüĢümlere ek olarak Kant‘ın felsefesinin matematikteki ve felsefedeki hâkimiyetinin sarsılmaya baĢlamasıyla açılan yeni yollarda Kant‘ın matematik anlayıĢının karĢısında yer alan isimler ön plana çıkmaya baĢlamıĢtır. Gauss fizik ve matematik ile ilgili düĢünceleriyle bu isimler arasında Riemann‘ın ustalarından biri olarak yer almaktaydı. Sonuç olarak, Riemann mekâna dair görüĢlerini bu konuda hem felsefi hem de matematiksel çeĢitli tartıĢmaların ve yeni düĢüncelerin ortaya atıldığı zengin bir dönemde geliĢtirmiĢtir. Onun ‗manifold‘ kavramını açık hale getirmeye çalıĢtığı bu dönem Herbart‘ın felsefesi, Gauss, Öklidyen olmayan geometrilerin keĢfi ve Kant‘ın felsefesi tarafından oluĢturulan düĢünce iklimi çerçevesinde düĢünülmelidir. 3.2. Bir matematik anlayıĢı geleneği olarak Grössenlehre Manifold kavramının ortaya çıktığı bağlamı araĢtırırken baĢka bir yol da göz ardı edilmemelidir. 19.yy. ortalarında matematik halen Grek‘lerden beri süregelen geleneksel bir Ģekilde büyüklüklerin bilimi (science of magnitudes) olarak tanımlanıyordu. Greklerde, örneğin Aristoteles‘te sayıları içeren parçalı (discrete magnitudes) büyüklükler ve sürekli büyüklükler (continuous magnitudes) olarak da Öklidyen olmayan geometrilerin keĢfinin Kant‘ın felsefesi ile iliĢkisi üzerine tartıĢmalar baĢlıca iki görüĢ temelinde sürdürülmektedir. Birinci görüĢe göre Öklidyen olmayan geometrilerin keĢfinin Kant‘ın genel anlamda epistemolojisini daha özelde de mekân teorisini desteklemektedir. Diğer görüĢe göre ise Öklid geometrisinden farklı ama yine de tutarlı bu geometrilerin keĢfi Kant‘ın epistemolojisini ve mekân anlayıĢının geçerliliğini yitirmesine neden olmuĢtur. Bu çalıĢmada ayrı bir tartıĢma konusu olduğundan bu görüĢlerden hangisinin geçerli olduğunu tartıĢmayacağım. Bu tartıĢmalarla ilgili bakınız; , Bağçe, S. (2004). ―Are non-Euclidean geometries possible for Kant?‖, Mugla Üniversitesi Felsefe Bölümü Uluslararası Kant Sempozyumunda sunulan bildirilerden ss.2937, Friedman, M. (1985). ―Kant‘s Theory of Geometry‖, the Philosophical Review, 94, ss.455-506, Amit H. (2008). ―Kant and non-Euclidean Geometry‖, Kant Studien, ss.80-98 308 92 çizgi, yüzey ve cisim arasında bir ayrım vardır.309 Aristoteles‘e göre büyüklükler ve sayılar (magnitudes and numbers) matematiğin konuları arasındadır.310 Bu Grek anlayıĢının 19.yy Almanya‘sında matematiği Ģekillendirdiğini söylemek mümkündür. Bu tarz bir bakıĢ açısı aritmetik ve geometrinin aynı baĢlıkta toplanabileceği basit matematiğin genel bir açıklamasını öneriyordu. Bu dönemde Almanya‘da matematiğin büyüklüklerin bilimi olarak kabulünün farklı örneklerini sunmak mümkündür. Örneğin Ferreiros‘un, Euler‘in Cebir‟inden yaptığı aĢağıdaki alıntı bunlara bir örnektir: Öncelikle her Ģeyin arttırılabilir ya da azaltılabilir, ya onlara bir Ģeylerin eklenip onlardan bir Ģeyler çıkartılabileceği büyüklükler olduğu kabul edilecektir… matematik onları ölçebilecek metotlar bulan büyüklüklerin biliminden baĢka bir Ģey değildir.311 Ferreiros matematiğin Grössenlehre (science of magnitudes) olarak kabulüne iliĢkin baĢka kanıtlar da sunar. Örneğin Klügel ve Hoffman‘ın matematiksel sözlüklerinde matematik ―büyüklükler teorisi olarak‖ tanımlanır.312 Bu tanım dönemin matematikçiler tarafından da kabul görmüĢtür. Gauss, Bolzano, Grassmann ve Weierstrass çalıĢmalarını matematiğin bu klasik tanımı çerçevesinde yürüten isimlerdi. Bu isimler arasında yalnızca Gauss topoloji alanındaki çalıĢmalarıyla bu geleneksel matematik anlayıĢının ötesine geçmiĢ görünür. Yine de bu geleneksel matematik anlayıĢı içinden gelmesine rağmen bu kavrayıĢı çok daha öteye götürme anlamında Riemann, Gauss gibi bahsi geçen önemli isimlere göre farklı bir konumda bulunmaktadır. 309 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland; Boston: Birkhauser, s.41. 310 A.g.y., s.41. 311 Euler, Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser, içinde s.41. ―First, everything will be said to be magnitude, which is capable of increase or diminution, or to which something may be added or substracted. …mathematics is nothing more than the science of magnitudes, which finds methods by which they can be measured.‖ 312 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser, s.42. 93 BÖLÜM 4. GAUSS‟UN MATEMATĠĞĠNĠN MANĠFOLD KAVRAMININ AÇIKLANMASINDAKĠ YERĠ Gauss‘un karmaĢık sayılar üzerine erken dönem çalıĢmaları, ‗büyüklükler‘ üzerine değerlendirmeleri ve eğri yüzeyler (curved surfaces) üzerine olan çalıĢmaları Riemann ‗manifold‘ kavramını ortaya atmasında etkili olmuĢtur. Özel olarak, Gauss‘un 1827 tarihli Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas eserinde açıkladığı Theorema Egregium (“Olağünüstü Teorem,“Remarkable Theorem”) Riemann tarafından daha sonra kendi adıyla anılacak olan geometrinin kuruluĢunda kullanılacak ve geliĢtirilecek olan tüm sonuç ve kavramları içermekteydi. Bu suretle, bu bölümdeki amacım önce Riemann‘ın ‗manifold‘ kavramı ile Gauss‘un geometrinin özünlü özellikleri (intrinsic properties of geometry) üzerine yaptığı çalıĢmalar arasındaki iliĢkiyi, ikinci olarak da Gauss‘un karmaĢık sayılar üzerine olan çalıĢmaları ile ‗manifold‘ kavramı arasındaki iliĢkiye dair spekülasyonları incelemektir. 4.1. „Eğriler (curves) ve eğrilikler (curvatures)‟ Bir yüzeyde A ve B gibi iki nokta belirleyip bu iki nokta arasındaki en yakın mesafeyi bulmaya çalıĢtığımızda, A ve B arasındaki noktaları birleĢtirerek bu yüzeye ait bir ‗jeodezik‘ (geodesik) elde ederiz. Bu yüzey bir kürenin yüzeyi ise bu jeodezik ―çapın uç noktaları değil, bu iki nokta boyunca uzanan en büyük çemberin yayıdır.‖313 Öyleyse, yukarıda tanımladığımız düzlem ve küre yüzeyine göre jeodesikler yardımıyla küre üzerindeki yüzeyin geometrisi ile düzlemin geometrisini karĢılaĢtırmaya baĢlayabiliriz. Bu durumda küre üzerindeki noktalar ile düzlem üzerindeki noktalar arasında bir uyum olacak ve A ve B noktaları arasındaki mesafe her iki durumda da eĢit olacaktır. 313 R.Bonola. (1912). Non-Euclidean geometry, a critical and historical study of its develeopment. Chicago: Open Court Publishing Co., s. 130. ―…not the extremities of a diameter, is an arc of the great circle through the two points.‖ 94 Böyle bir eĢitliğe ulaĢabilmek için bir baĢka varsayıma daha ihtiyacımız vardır; ―yüzey esneyebilen ve uzatılamayan bir kâğıttan yapılmıĢ olsun.‖314 Bu varsayım temelinde eĢit olduğuna karar verdiğimiz figürleri içeren yüzeyi hareket ettirerek bir figürü diğerinin üzerine getirelim. Bu noktada bir dünya haritası düĢünmek faydalı olacaktır; dünyanın bir küresel modeli yüzeye yalnızca eğerek ancak deforme etmeyerek transfer edilebilir. Böyle bir durumda ―genel olarak bu iki figürün mekânda eĢit olmamasına rağmen, yüzey üzerinde çakıĢtıkları noktalarda aynı alanlarla eĢit oldukları‖315 açıktır. Öyleyse, eğerek ama yırtmayarak yüzeyler birbirine dönüĢtürülebildiğinde aynı geometriyi elde ederiz. Yani yüzey (kürenin yüzeyi) üzerinde geometri ile düzlem üzerinde geometri arasında temel bir fark316 olmasına rağmen ―Aralarında önemli bir analoji vardır. Bu analoji kendisini kürenin kendi üzerinde serbest Ģekilde hareket ettirilebilmesinde bulur, öyle ki yüzey üzerinde benzerlik postülatlarına her Ģekilde benzeĢim gösteren önerme küre üzerindeki eĢit figürler için de geçerlidir.‖317 Küre yüzeyi- düzlem geometrilerinin analojisinin sağladığı sonucu genelleyebilmek için, bizim ―bükmeyle değiĢmeyecek, yüzey üzerinde tüm noktalarda sabit bir değere sahip olması gereken kesin bir sayı [K]‖ belirlememiz gerekmektedir. Gauss ulaĢtığı bu sabit değeri eğrilik (curvature) ya da Gauss Eğriliği (Gaussian Curvature) olarak isimlendirir.318 314 A.g.e., s.130. A.g.e.,s.130. ―…two figures ought to be called equal on the surface, which coincide with equal areas on the plane, through of course two such figures are not in general equal in space.‖ 316 Kürenin bir kısmını düzleme uygulayamayız. 317 R.Bonola. (1912). Non-Euclidean geometry, a critical and historical study of its development. Chicago: Open Court Publishing Co. s.131. ―There is an important analogy between the geometry on the plane and the geometry on the sphere. This analogy has its foundation in the fact that the sphere can be freely moved upon itself, so that prepositions in every way analogous to the postulates of congruence on the plane hold for equal figures on the sphere.‖ 315 318 R.Bonola. (1912). Non-Euclidean geometry, a critical and historical study of its develeopment. Chicago: Open Court Publishing Co. s.131. 95 4.1.1. Gauss Eğriliği (Gaussian Curvature) Yüzeydeki bir noktadaki Gauss ‗eğriliğini‘ anlamak eğriliğin ne olduğunu anlamamızı gerektiriyor. Bu amaçla, bu baĢlıkta eğri ve eğrilikleri inceleyeceğim. Basitçe, eğriliği düz bir çizgiden sapmanın ölçüsü olarak tanımlayabiliriz. Yüzey eğriliği üzerine çalıĢmalar küçük ölçeklerde Yunanlılar tarafından baĢlatılmıĢ olsa da 17–18. yy‗da bu çalıĢmaların henüz açıklanmıĢ olan koordinat geometrisiyle beraber daha kapsamlı bir geliĢme göstermiĢtir.319 Eğriliğin en önemli bölgesel özelliği olarak yön (direction) çalıĢmaları kalkülüs‘ün keĢfedilmesinde temel bir rol oynamıĢtı. Bunun karĢılığında eğriliklerin teorisinde kalkülüsün sağladığı metotlar dikkate değer bir öneme sahiptir.320 Eğrilik kavramını açıklamak için ‗uzunluğun‘ düz çizgiden çıkarsandığı örneğini ele alabiliriz. Uzunluk kavramını benzer Ģekilde eğriliklere onları sonsuz küçük düz çizgilere bölerek uygulayabiliriz. Bu düĢünce Ģekline paralel olarak, ‗eğrilik‘ kavramı çemberden çıkarsayıp onu çemberi sonsuz küçük yaylara bölerek uygulayabiliriz.321 Basit bir çember örneğiyle baĢlayalım. Bir çemberde eğrilik; yani düz bir çizgiden (bu örnekte çemberin eğri çizgisinden) sapma miktarı, yarım çemberlerin karĢılılıkları tarafından ölçülür. Yani, bir çemberin eğriliği yarıçapı ile ters orantılıdır.322 Ancak baĢka yüzeylerdeki eğrilikleri düĢündüğümüzde durum değiĢir ve zorlaĢır. Örneğin eğri büğrü bir yüzeyi ele alalım; sürekli kıvrımlara sahip, dolayısıyla eğriliğin belirli olmadığı böyle bir yüzeyde çembere nazaran düzlükten sapma derecesini ölçmek daha zor olacaktır. Böyle bir ölçüm sonsuz yakın noktaların aralarındaki mesafelerin hesaplanmasını gerektirecektir.323 319 Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company, s.68. 320 A.g.e. 321 Russell, Bertrand (1956). An Essay on the Foundations of Geometry, Dover Publications, s.17. 322 Greenberg, M..J. (1994). Euclidean And Non-Euclidean Geometries Development and History ,3th edition, W.H. Freeman and Company, New York, s.443 323 Russell, Bertrand (1956) An Essay on the Foundations of Geometry, Dover Publications, ss.17-18. 96 Eğrilikler teorisine ve tarihine kısaca değindikten sonra Gauss‘un kendi ismiyle anılan eğriliğe iliĢkin sözlerine bakmak yararlı olacaktır: Diyeceğiz ki, verili bir çevre ile sınırlandırılmıĢ eğriliğe sahip bir yüzeyin parçası Ģeklin kürenin yüzeyindeki Ģekle uygun düĢen alan tarafından sağlanan toplam bir eğriliğe sahiptir. Toplam eğrilik ile eğriliğin ölçüsü diyeceğimiz bir çeĢit spesifik eğrilik arasında açık bir ayrım yapmalıyız. Bunlardan ikincisi yüzey üzerindeki bir noktaya aittir ve onun kesri noktaya bitiĢik yüzeyin bir unsurun (an element) bu unsurun alanı tarafından toplam eğriliğin (total curvature) bölünmesiyle elde edilir ve sonuç olarak küre yüzeyinde ve eğrili yüzeyde tekabül eden sonsuz küçük alanların oranını verir. Umuyoruz ki son tahlilimiz bu yeni kavramların yararını tam bir Ģekilde açıklayacaktır.324 Gauss Ģöyle devam eder: Yüzey üzerindeki bir noktadaki eğriliğin ölçüsü payı 1 olan ve paydası ‗normal kısım‘ (normal section)‘un iki asil (principal curvatures) eğriliğinin çarpımı olan kesire eĢittir. Konveks-konveks ve konkav-konkav yüzeyler için eğriliğin ölçüsünün pozitif olduğu (bu önemsiz bir ayrımdır), konveks-konkav yüzeyler için ise eğriliğin ölçüsünün negatif olduğu açıktır. Eğer yüzey her iki türün (konveks-konveks, konkav-konkav) parçalarından oluĢuyorsa, sınırlarında eğriliğin ölçüsü yok olmalıdır. 325 Son olarak Gauss eğriliğin ölçüsü ile ilgili çalıĢmalarının sonucu üzerine yorum yapar: Son kısımdaki formülün kendisi bizi Ģu olağanüstü teoreme götürür; eğer eğri bir yüzey baĢka bir yüzeye uygulanırsa her noktadaki eğriliğin ölçüsü değiĢmeden kalır. Ek olarak, açıktır ki eğri bir yüzeyin her sonlu parçası baĢka bir yüzeye uygulandıktan sonra, toplam eğriliğinde muhafaza edilir. 324 Gauss , C.F. Werke, Rosenfeld, B. (1988). A history of Non-Euclidean geometry. New York: Springer-Verlag., içinde s.285.― We shall say that a part of a curved surface bounded by a given contour has total curvature given by area of the corresponding figure on the surface of the sphere. One must draw a clear distinction between the total curvature and a kind of specific curvature that we shall call the measure of curvature. The latter pertains to a point on the surface and is fraction obtained by dividing the total curvature of an element of the surface adjacent to the point by the area of that element, and thus gives the ratio of corresponding infinitesimal areas on the sphere and on the curved surface. We hope that our subsequent exposition will fully explain the utility of these new concepts.‖ 325 Gauss. C.F.Werke, a.g.e. içinde,s.286. ―The measure of curvature at a point of the surface is equal to fraction whose numerator is 1 and whose denominator is the product of the two principal curvatures of the normal section. It is clear that the measure of curvature is positive for convex-convex or concave-concave surfaces (this is a trivial distinction) and negative for convex-concave ones. If the surface is made up of parts of both kinds, then on their boundary the measure of curvature must vanish.‖ 97 Geometricilerin kendi çalıĢmalarını Ģimdiye kadar sınırlandırdıkları özel durum bir düzleme uygulanabilen (applicable to a plane) durumdur. Bizim teorimiz kolayca böyle yüzeylerdeki her noktada eğriliğin ölçüsünün sıfır olduğunu gösterir… 326 Tüm bu alıntılarda geçenleri modern terimlerle ve daha açık bir Ģekilde ifade etmeye çalıĢalım. S yüzeyindeki P noktasında bir S yüzeyinin eğriliğini tanımlamak için önce ―S yüzeyindeki P noktasında S yüzeyine normal içeren düzlemler tarafından oluĢturulmuĢ S yüzeyinin kısımlarını‖327 düĢünmeliyiz. Bu Ģekilde düĢündüğümüzde ― P deki yüzeye normal içeren düzlemlerin yüzeyi çok farklı eğrilerle, farklı eğriliklerle kesebildiğini‖328 görürüz. Bu eğrilikler arasında bir tane maksimum bir tane de minimum P eğriliği bulmak olanaklıdır (maximum and minimum curvatures at P). Bu maksimum ve minimum eğrilikleri sırasıyla k1 ve k2.ile gösterdiğimizde, bu iki değerin çarpımı bize Gauss Eğriliği olarak bilinen K sabitini verir; K=k1k2 ki bu değer bir yüzey baĢka bir yüzeye uygulandığında değiĢmez. Burada dikkat etmemiz gereken nokta asli eğriliklerin (principal curvatures) yönleridir. Eğer iki asli maksimum ve minimum eğrilik aynı taraftaysa K sabiti pozitif (yüzey vadi Ģeklinde), eğer ikisi farklı taraftaysa K negatif (semerli yüzey), iki asli eğrilikten eğer en azından biri sıfır ise K da sıfır olur (yassı yüzey). Silindir ve düzlem sıfır Gauss Eğriliği‘nin örnekleridir.329 Gauss‘un hesaplamalarına iliĢkin bir baĢka önemli nokta da onun K sabitini R3 içinde çalıĢarak elde etmiĢ olmasıdır. Bu Gauss‘un R2 teki yüzeyleri R3 te modern ifadeyle 326 Gauss , C.F. Werke, Rosenfeld, B. (1988). A history of Non-Euclidean geometry. New York: Springer-Verlag., içinde, s.286. ―The formula in the last section leads, of itself, to the following remarkable theorem. If a curved surface is applied to another surface then the measure of curvature at each points remains unchanged. Also, it is clear that every finite part of a curved surface will, after application to another surface, retain its total curvature. The special case to which geometers have until now limited their investigations is the case of surfaces applicable to a plane. Our theory readily shows that the measure of curvature of such surfaces in any point is zero.‖ 327 Eves, H. (1990) An Introduction to History of Mathematics, s.557. ―…sections of surface S made by planes containing the normal to S at a point P on S.‖ 328 Stillwell, J. (2002) Mathematics and its history, New York, Springer, s.243. ―…different planes normal to the surface at P may cut the surface in quite different curves, with different curvatures.‖ 329 Eves, H. (1990) An Introduction to History of Mathematics, s.557 98 ‗gömülü‘ (embedded) olarak almıĢtır. BaĢka bir Ģekilde söylemek gerekirse Gauss 2 boyutlu bir yüzeyde etrafını saran 3 boyutlu Öklidyen mekân olmaksızın geometri yapabileceğimizi göstermiĢtir.330 Bu nokta Riemann‘ın ‗doğru çizgisi unsuru‘ (the line element) formülünü incelerken tekrar ele alınacaktır.331 Gauss Eğriliği çok önemli sonuçları beraberinde getirmiĢtir. Öncelikle bu sabitin sayesinde ―eğer bir yüzey bükülürse (yırtmadan, kırıĢtırılmadan, gerilmeden), her noktadaki toplam eğrilik değiĢmeden kalır.‖332 Yani bir yüzeyi bir baĢka yüzey üzerine getirdiğimizde mekânda genel olarak benzemeseler de bu iki yüzey aynı geometrilere sahiptir. Diyebiliriz ki ―bir düzlem ve bir silindir mekân genel olarak farklı diferansiyel geometrilere (global differential geometry) sahip olmasına rağmen, aynı bölgesel içsel geometriye sahiptir333 (local intrinsic geometry). Burada önemli olan nokta bizim araĢtırma konumuzun bölgesel geometri olduğudur; bu da ―küresel bir yüzeyi düzleme uygulayamayacağımız‖334 anlamına gelir. Ġkinci olarak, bir noktadaki normal eğriliklerin yüzeyin göreli özellikleri olmasına rağmen (relative properties of surface) asli eğriliklerin çarpımı olan ―K yüzeyin mutlak özelliğidir.‖335 Yani eğer bu K sabitinin değerini bilirsek ardından tüm ölçüm iliĢkileri evrensel bir Ģekilde belirlenebilir. Dolayısıyla Gauss Eğriliği yardımıyla biz değiĢken olmayan bir yapıya (invariant structure) ulaĢırız. Çünkü ―Bir yüzey üzerinde metrik değiĢkenlerin noktadan noktaya değiĢmesi yüzeyin tüm geometrisinin bilgisini içermektedir.‖336 ―Bir yüzeyin toplam eğriliği K, yüzeyin 330 Gray, J. (1989). Ideas of space. Oxford: Clarendon press, s.193. Riemann‘ın Habilitationsortrag‘ının yeniden yapılandırma denemesini alan 5. Bölümde manifoldun ölçüm iliĢkilerinin eğrilik yardımıyla belirlenmesini araĢtıran ―2.2. ―N-boyutun manifoldluğunu aramak‖ kısmına bakınız. 332 Gray, J. (1989). Ideas of space. Oxford: Clarendon press, s.193. ―…if a surface is bent (without stretching, creasing, or tearing), the total curvature of the surface at each point remains unaltered.‖ 333 Gray, J. (1989). Ideas of space. Oxford: Clarendon press, s.193. ―A plane and a circular cylinder have the same local intrinsic geometry and not global differential geometry.‖ 334 R.Bonola. (1912). Non-Euclidean geometry, a critical and historical study of its develeopment. Chicago: Open Court Publishing Co., s.131. 335 Eves, H. (1990) An Introduction to History of Mathematics, s.557. ―K is an absolute property of the surface.‖ 336 A.g.e., s.557. ―How metric coefficients vary from point to point on a surface contains all the information of the geometry of the surface.‖ 331 99 mutlak özelliğidir ifadesi Gauss‘un Theorema Egregium‘u (Olağanüstü Teorem) olarak bilinir.‖337 4.2. Gauss ve karmaĢık sayılar Bu kısımda teknik detaylarına girmeden Gauss‘un karmaĢık sayılara iliĢkin çalıĢmalarının Riemann‘ın ‗manifold‘ kavramını geliĢtirmesi sürecinde etkisini ve bu etkinin ne Ģekilde gerçekleĢtiğini konu edeceğim.338 Habilatitionsvortrag‘ın ‗manifold‘ kavramından bahsetmeye baĢlamadan önceki kısmında Riemann açık bir Ģekilde; Gauss‘un Bikuadratik Kalıntılar (―Biquadratic Residiues‖) üzerine olan ikinci incelemesinde, Göttingen Gelehrte Anziege‘de ve onun ellinci yıl dönüm kitabında (―Jubilee book‖) yer alan çok kısa ipuçlarından bahsederek Gauss‘a iĢaret eder.339 Gauss ayrıca ―karmaĢık sayıların tamamen kabulünde‖ önemli bir figür olarak karĢımıza çıkar.340 Gauss‘un ‗manifold‘ kavramı ile ilgili verdiği ipuçları için onun 1832 yılındaki Bikuadratik Kalıntılar eserine, 1831 yılındaki bu makalenin tebliğine ve 1849 yılındaki cebirin temel teoreminin ispatına (―proof of the fundamental theorem of algebra‖) bakılabilir. Tüm bu çalıĢmaların karmaĢık sayılarla ilgili olduğuna dikkat etmek önemlidir.341 Bunlara ek olarak, Gauss‘un karmaĢık sayıları manifoldları iĢaret eden düĢünüĢ biçimiyle ilgili olarak Ferreiros Ģunları söyler: KarmaĢık sayıların çok daha soyut anlamının yalnızca misali olarak Gauss onların düzlem üzerinde noktalar olarak yorumunu düĢündü. Ona göre bazı fiziksel Ģartlar özel türde sayıların kullanılması için fırsat önerirken bazıları önermez. Kesirli parçaların ya da zıtlarının olacağı durumların olması kesirler teorisinin ya da negatif sayıların tamamıyla anlamlandırılabilmesi için yeterlidir. Aynısı özlerle değil ama özler A.g.e., s.557. ―The statement that the total curvature K of a surface is an absolute property of the surface is known as Gauss‘s Therema Egregium.‖ 338 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser., ss.43-44. 339 A.g.e. 340 A.g.e. 341 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser s.43. 337 100 arasındaki iliĢkilerle ilgilendiğimizde uygulama bulan karmaĢık sayılar için olur. Gerçek ve karmaĢık birimler ölçüm için gereklidir.342 Gauss‘un kendi sözlerine bakmak gerekirse: …eğer nesneler tek bir sınırsız seride hizaya konamayacak Ģekildeyse, ancak serilerin bir serisine hizalanacaksa , eğer 2 boyutlu bir manifold biçimlendireceklerse ve eğer seriler arasındaki iliĢkilerde bir iliĢki olacaksa, ya da birbirleri arasında birinden diğerine geçiĢ olacaksa ki bu zaten bahsedilmiĢ olan bir üyeden aynı serinin baĢka bir üyesine geçiĢe benzemektedir…Bu Ģekilde, 2 katı Ģekilde serilerin serilerini hizaya sokmak mümkün olacaktır. Matematikçi tamamen nesnelerin niteliğinden ve onların iliĢkilerinin içeriğinden soyutlama yapmalıdır; o yalnızca onların birbirleriyle iliĢkilerini saymak ve kıyaslamak ile meĢgul olmalıdır.343 Gauss‘un sözleri karıĢık görünse de soyut büyüklükler teorisi (abstract theory of magnitudes) ile ne anladığı hakkında bir fikir edinebiliyoruz. O ‗manifold‘u iliĢkiler ve özellikler açısından anlamaktadır. Yani, Gauss için bir manifold ―bazı iliĢkilerle bağlantılı olan, boyutu iliĢkilerinin içsel bağlantıları ve özelliklerine bağlı olan nesnelerin bir sisteminden‖344 baĢka bir Ģey değildir. Gauss‘un vurgulamak istediği nokta 2 boyutlu bir manifold‘u düĢünebilmek için gerekli olan özelliklerdir. Ġleride göreceğimiz gibi Riemann ‗manifold‘u açıklamaya çalıĢırken Gauss‘un bu anlayıĢını baĢlangıç noktası olarak alacaktır. A.g.e., s.43. ―Gauss regarded the interpretation of complex numbers as points in a plane as a mere illustration of the much more abstract meaning of complex numbers. He argues that some physical situations afford an occasion for employing a particular kind of numbers, and some not. It suffices that there be situations where fractional parts or opposites occur, to make full sense of a theory of fractions or of negative numbers. The same happens with complex numbers, which, in his view, only find application then we are not dealing with substances, but with relations between substances [Gauss 1863/1929, vol.2, 175-76]. The use of real and complex units for measurement is required.‖ 343 Gauss C.F, a.g.e., içinde s.44. ―if the objects such that they cannot be ordered in to a single unlimited series, but only into a series of series, or, what comes to the same, if they form a manifold of two dimensions; And if there is a relation between the relations among the series, or between the transitions from one to another, which is similar to the already mentioned transitions from one member of a series to another one belonging to the same series…In this way, it will be possible to order the system doubly into series of series. The mathematician abstracts entirely from the quality of the objects and the content of their relations; he only occupies himself with counting and comparing their relations to each other.‖ 344 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser., ss.43-44. ―a system of objects linked by some relations, the dimensionality of the manifold depending on the properties and interconnections of the relations.‖ 342 101 Laugwitz345 de Gauss‘ un karmaĢık sayılar üzerine yaptığı çalıĢmalar ile Riemann‘ın ‗manifold‘ kavramını biçimlendirmesi arasındaki iliĢkiye Gauss‘u alıntıladığı Ģu cümlelerle dikkat çeker: Gauss‘un imaları karmaĢık düzlem (complex plane) ile bağlantılıdır. Bunlardan doktora derecesini almasının ellinci yıldönümü ile ilgili olarak 1849 yılında yazılan Cebir denklemlerinin teorisine katkılar (Beitrage zur Theorie der Algebraischen Gleishungen (Contributions to the theory of algebraic equations)‘da bulunan bir tanesini alıntılıyoruz: ―Kanıtın üslubu pozisyonun geometrisinden alınır, çünkü bu Ģekilde en üst düzeyde sezgisel çekicilik ve basitlik kazanır. Kelimenin tam anlamıyla, iddianın tüm içeriği daha yüksek, mekândan bağımsız, süreklilik tarafından sağlanan büyüklük kombinasyonlarını araĢtıran büyüklüklerin genel soyut biliminin alanına aittir. Hâlihazırda bu alan pek geliĢmemiĢtir ve mekânsal imajların dilini ödünç almaksızın ilerlemek mümkün değildir.‖346 Laugwitz bu alıntı üzerine Ģu yorumda bulunur: Bu kesinlikle geometrik dilin geometrik olmayan bir bağlamda kullanılmasına olduğu kadar, sayıların n tane elemandan oluĢan sıralı dizilerin (n-tuples) sürekliliği tarafından koordine edilen manifoldlara da bir ima olarak düĢünülebilir. Gauss düzlemin noktalarını t, u gerçek koordinatları tarafından verili değerlendirdi ve karmaĢık sayıların ―cebirsel yapısını‖ tarif etti. Riemann n tane elemandan oluĢan sıralı dizileri ―metrik yapıyı‖ araĢtırmak için tanımlayacaktı.347 Bunlara ek olarak, Gauss‘un karmaĢık sayıları ele alıĢ biçimi ve Riemann‘ın ‗manifold‘ kavramı arasındaki iliĢki Riemann‘ın 1851 yılında vermiĢ olduğu ve ―karmaĢık değiĢkenlerin fonksiyonlarının teorisinin temelleri üzerine‖348 odaklandığı doktora tezini düĢündüğümüzde daha açık bir hal alacaktır. Onun doktora tezinden 345 Detlef, L. (1999). Turning points in the conception of mathematics,Bernhard Riemann 1826-1866. Boston: Birkhauser. 346 Gauss C.F. Werke, Detlef, L. (1999). Turning points in the conception of mathematics,Bernhard Riemann 1826-1866. Boston: Birkhauser, içinde, s.225. Gauss‘ allusions are connected with the complex plane. We quote one of them. It is found in his paper Beitrage zur Theorie der algebraischen Gleichungen (Contributions to the theory of algebraic equations), written in 1849 in connection with the fiftieth anniversary of the awarding of his doctoral degree: ―The wording of the proof is taken from the geometry of position, for in this way it gains maximal intuitive appeal and simplicity. Strictly speaking, the essential content of the whole argument belongs to a higher, space-independent, domain of the general abstract science of magnitude that investigates combinations of magnitudes held together by continuity. At present, this domain is poorly developed, and one cannot move in it without the use of language borrowed from spatial images.‖ 347 Detlef, L. (1999). Turning points in the conception of mathematics,Bernhard Riemann 1826-1866. Boston: Birkhauser, s.226. ―This can certainly be regarded as an allusion to manifolds coordinazited by continua of n-tuples of numbers, as well as to the use of geometric language in a nongeometric context. Gauss considered points of the plane given by real coordinates t, u and introduced an ―algebraic structure‖, that of the complex numbers. Riemann was to introduce real n-tuples and to investigate a ―metric structure.‖ 348 Gray, J. (2007). Worlds Out of Nothing, Springer-Verlag, London,s.189. 102 Habilitationsvortrag‘a olan süreçte Gauss‘un karmaĢık sayılarla ilgili çalıĢmalarını önceden incelemiĢ olduğu yüksek bir ihtimaldir.349 Gauss bu çalıĢmalarında karmaĢık sayıların yorumu için seriler arası geçiĢlerden bahsederken iki boyutlu manifoldun kurulmasından bahseder ve böylece manifoldun terminolojisi için ve boyutluluk ile ilgili ipuçları verir. Riemann da doktora tezinde cebirsel eğriliği ele alırken Gauss‘un verdiği ipuçlarını değerlendirir. Bu değerlendirmede Riemann‘ın bakıĢ açısıyla bir eğrilik üzerindeki karmaĢık noktaların gerçek bir yorumuna gerek yoktur. Cebirsel eğrilik karmaĢık sayılar üzerine tanımlanır ve karmaĢık düzlem (complex plane) en temel Riemann yüzeyini oluĢturur. Bu nokta ile ilgili Gray‘in Ģu sözleri toparlayıcı olacaktır: ―Riemann yüzeyleri onun büyüklükler ve nicelikler felsefesinin güzel bir örneğidir. Onun bakıĢ açısından bir eğrilik üzerinde karmaĢık noktaların gerçek bir yorumuna gerek yoktur. Ġlk defa bir eğrilik karmaĢık noktalara kendi üzerinde basitçe bulundurabilirdi.‖350 4.3. Gauss‟un Matematiğin Temellerine ĠliĢkin GörüĢleri ve Kant ile ĠliĢkisi Gauss‘a göre matematiğin konusu tikel belli nesneler değil, nesneler arasındaki iliĢkiler ve bu iliĢkiler arsındaki iliĢkilerdir. Ona göre matematik ―en genel anlamıyla iliĢkiler bilimidir.‖351 Ona göre ―Matematikçi tamamen nesnelerin niteliğinden ve nesnelerin iliĢkilerinin içeriğinden soyutlar; o, yalnızca nesnelerin birbirleriyle iliĢkilerini hesaplamak ve karĢılaĢtırmak ile ilgilenir.‖352 Yani Gauss için matematiksel büyüklükler soyut nesneler ve matematik iliĢkisel yapıların bir teorisiydi.353 349 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser., s.43. 350 Gray, J. (2007). Worlds Out of Nothing, Springer-Verlag, London,s.185. ―Riemann surfaces are a good example of Riemann‘s philosophy of magnitudes and quantities at work. From Riemann‘s standpoint there was no need for a real interpretation of complex points on a curve. For the first time, a curve may simply have complex points on it.‖ 351 Gauss, Ferreiros, J. (2006). ―The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss‖, The Shaping of Arithmetic: Number theory after Carl Friedrich Gauss‟s Disquisitiones Arithmeticae, ed. por C. Goldstein, N. Schappacher, J. Schwermer. Springer, Berlin, içinde, s.226. 352 Gauss, a.g.y. içinde, ―The mathematician abstracts entirely from the quality of the objects and the content of their relations; he just occupies himself with counting and comparing their relations to each other‖, s.226. 353 A.g.y., s.226. 103 Gauss‘un mekânın doğası ve nasıl bilinebileceğine dair görüĢlerinin kimi yerlerde Kant‘çı kimi yerlerde ise Kant ile zıt özellikler taĢıdığını görüyoruz. Bunu görmek için Gauss‘un kendi sözlerini değerlendirebiliriz: Her gün, geometrimize olan ihtiyacımızın en azından akıl yürütmeyle ortaya konamayacağına biraz daha ikna oluyorum. Belki bir baĢka hayatta, mekânın özüne dair Ģu anda bizim için elde edilebilir olmayan neticelere varacağız. Fakat o zamana kadar geometri, saf bir Ģekilde apriori olan aritmetik yerine mekaniği eĢdeğer sayılmalıdır.354 Bu alıntıda birkaç noktanın altı çizilmelidir. Öncelikle Gauss, matematiğin metafiziğine, dolayısıyla temellerine iliĢkin görüĢlerini felsefi bir dille ifade eder.355 Ġkinci önemli nokta ise Gauss‘un yukarıdaki alıntıda geometrinin temelleri ile aritmetiğin temelleri arasında aritmetiği ―saf bir Ģekilde apriori‖ olarak belirleyerek yaptığı ayrımda göze çarpar; Gauss‘un bu ayrımı yaparken kullandığı dil Kant‘çıdır.356 Gauss‘un Kant felsefesine, görünün iĢlevi konusunda benzer düĢündüğünü gösteren bir örnek vardır.357 Bu örneği Gauss‘un Johann Christoph Schwab‘ın 1816 tarihli bir kitabı üzerine yorumunda görürüz. Sözkonusu kitapta Schwab‘ın iki temel amacı vardır. Bunlardan ilki paralellik aksiyomunun yanlıĢlanmaya çalıĢılmasıdır ki Gauss bunu yanlıĢ bir deneme olduğunu düĢündüğü için eleĢtirir. Kitabın ikinci temel hedefi Kant‘ın yanıldığını ve ―geometrinin duyularda ve görüde değil zihinde‖358 olduğunu göstermektir. Gauss, bu denemeyi de Kant‘ın geometricilerin sürekli mantıki prensipler kullandığını reddetmediğini ancak bu prensiplerin postülatların kendilerini temellendirmek için yeterli olmadığını ve Kant‘ın postülatların Gauss, a.g.y., içinde, s.19. ―I become more certain every day that the need for our geometry cannot be demonstrated, or at least not by human reasoning. Perhaps in some other life we will reach other conclusions on the essence of space, which are for the time being unattainable to us. Until that moment geometry must be placed on a par with mechanics rather than with arithmetic, which is purely apriori.‖ 355 Ferreiros, J. (2006). ―The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss‖, The Shaping of Arithmetic: Number theory after Carl Friedrich Gauss‟s Disquisitiones Arithmeticae, ed. por C. Goldstein, N. Schappacher, J. Schwermer. Springer, Berlin, içinde, s.209 356 A.g.y., ss.209-210. 357 Ferreiros, J. (2006). ―The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss‖, The Shaping of Arithmetic: Number theory after Carl Friedrich Gauss‟s Disquisitiones Arithmeticae, ed. por C. Goldstein, N. Schappacher, J. Schwermer. Springer, Berlin, içinde, s.229. 358 Gauss, a.g.y., içinde, s.229. 354 104 kendilerini temellendirmek için görüye ihtiyaç duyduğunu belirterek eleĢtirir. Bu bir anlamda Kant‘çı bir tutum benimsemektir. Gauss‘un matematik ve geometride görünün gerekliliği ile ilgili bu tutumunun 1800‘lerde yazılmıĢ olan Zur Metaphysik der Mathematik adlı müsveddelerinden kalma olduğu iddia edilir.359 Bu çalıĢmasında Gauss matematiğin konusunu birbirleriyle iliĢkili büyüklükler olarak değerlendirir: Matematik gerçekten genel büyüklükler arasındaki iliĢkilerle ilgili doğruları öğretir ve onun amacı büyüklükleri tanımlamak- ki bu büyüklükler bilinen iliĢkileri bilinen büyüklüklere taĢırlar ya da bu büyüklüklere bilinen büyüklükler bilinen iliĢkileri taĢır- ve böylece onların temsilini olanaklı kılmaktır.360 Demek ki Gauss için büyüklüğün temsili 1) dolaysız görü (dolaysız temsil), 2) bilinen büyüklükleri kıyaslamak suretiyle mümkündür. Geometri büyüklükleri dolaysız olarak ―yapılaĢtırma ya da geometrik temsil ile gösterir‖.361 Dolayısıyla Gauss için görü matematiksel büyüklüklerin temsili için anahtar bir rol oynar. Kant‘ın çokluları (manifold, quanta, quantitas) ele alıĢ biçimini incelediğimiz bölümde Gauss‘un bu ayrımına çok benzeyen bir ayrım görmüĢtük; Kant için geometri büyüklüklerini doğrudan (ostensive) gösterir, aritmetik ise sembolik olarak bunu yapar. Dolayısıyla bu alıntıdaki fikirler kullanılan terminoloji ve fikirler bağlamında Gauss Kant ile benzer görüĢleri benimsiyor gibi görünmektedir.362 Gauss için geometri büyüklükler arasındaki iliĢkileri doğrudan ele alırken, aritmetik bu iliĢkileri dolaylı yoldan ve genel bir Ģekilde ele alır. Dolaysız görü (dolaysız temsil)‘in rolü geometri ve aritmetiği iki farklı alan olarak ayırmadan önce teyit 359 A.g.y., s.229. Gauss, a.g.y., s.229 içinde; ―Mathematics really teaches general truths concerning the relations between magnitudes, and its aim is to describe magnitudes that bear known relations to known magnitudes or to which known magnitudes bear known relations, i.e., to make possible a representation of them.‖ 361 Gauss, a.g.y., içinde s.230. 362 A.g.y., s.230. Ferreiros bu alıntılar ıĢığında Gauss‘un 1816‘ya kadar Kant‘ın matematik ile ilgili birçok görüĢünü paylaĢtığını ve özellikle aritmetiğin doğası ile ilgili görüĢlerinde Gauss‘un Kant‘a 1800‘lerde sonraki 25 yılına göre çok daha yakın olduğunu iddia eder. 360 105 edilir dolayısıyla aritmetiğe de dolaysız görü uygulanabilir.363Aritmetiğin saf apriori olması için aritmetiğin empirik değil saf görüde temellenmiĢ olması gerekir. Öte yandan Gauss Ortodoks bir Kant‘çı olmadığından geometriyi empirik görüye dayandırır.364 Gauss‘a göre beĢinci postülata apriori değil empirik olarak karar verebiliriz.365 Bu görüĢle beraber Gauss artık geometriyi saf matematik olarak değerlendirmeyi bırakır:366 Benim en derin inancım odur ki, mekân teorisi apriori bilgimize göre saf büyüklükler teorisinden tamamen farklı bir yere sahiptir. Mekân teorisine iliĢkin bilgimiz, saf büyüklükler öğretisinin karakteristiği olan, onun zorunluluğuna (ve böylece onun mutlak doğruluğuna) dair bu inanca tamamen ihtiyaç duyar. Bu yüzden tevazu içinde kabul etmeliyiz ki eğer sayı yalnızca zihnimizin ürünüyse, mekân bizim zihnimiz dıĢında da bir gerçekliğe sahiptir, ve biz onun yasalarını apriori olarak tanımlayamayız.367 Bu alıntıda Gauss yine zorunlu, kesin, mutlak doğrulardan oluĢan aritmetiğin doğasının apriori olduğunu söylüyor. Ancak bu alıntıyı dikkatlice ele aldığımızda Gauss‘un fazladan ve daha önemli bir Ģey daha söylediğini görüyoruz. Gauss 1830‘larda, Carnap‘tan çok önce, saf ve uygulamalı matematik arasında bir ayrım yapmaktadır.368 Carnap Kant‘ın saf ve uygulamalı matematik arasındaki farkı 363 A.g.y., s.230. A.g.y., s.230. 365 A.g.y., s.230. 366 A.g.y., s.230. 367 Ferreiros, J. (2006). ―The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss‖, The Shaping of Arithmetic: Number theory after Carl Friedrich Gauss‟s Disquisitiones Arithmeticae, ed. por C. Goldstein, N. Schappacher, J. Schwermer. Springer, Berlin, içinde, s.209-10. ―According to my most intimate conviction, the theory of space has a completely different position with regards to our knowledge apriori, than the pure theory of magnitudes. Our knowledge of the former lacks completely that absolute conviction of its necessity (and therefore of its absolute truth) which is characteristic of the latter. We must humbly acknowledge that, whereas number is just a product of our minds space also has a reality outside of minds, whose laws we cannot be prescribe apriori‖. Ferreiros Gauss‘un apriori ile yalnızca aritmetiği değil ―saf büyüklükler teorisi‖ (―reine Grössenlehre‖) olarak andığı karmaĢık sayıların teorisindeki bütün farklı durumları kapsayacak biçimde bir belirleme yaptığını düĢünür. Bkz. Ferreiros, J. (2006). ―The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss‖, The Shaping of Arithmetic: Number theory after Carl Friedrich Gauss‟s Disquisitiones Arithmeticae, ed. por C. Goldstein, N. Schappacher, J. Schwermer. Springer, Berlin, içinde, s.210. 368 Kvazs, L. (2011). ―Kant‘s Philosophy of Geometry-On the Road to a Final Assessment‖, Philosophia Mathematica (III) 19, ss.151-153. Bu makalesinde Kvazs Gauss‘un bu ayrımı Carnap‘tan önce yaptığını göstermek için Carnap‘ın söylediklerini neredeyse birebir Ģekilde Gauss‘a yalnızca Carnap‘ın bu açıklamayı yaptığı 1966 yılını Gauss için 1830 olarak değiĢtirerek söyletir. Ayrıca bu ayrımın Gauss tarafından Carnap‘tan önce yapıldığını Ferreiros‘ta iddia eder. Bakınız; Ferreiros, J. (2006). ―The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss‖, The Shaping of Arithmetic: Number theory after Carl Friedrich Gauss‟s Disquisitiones Arithmeticae, ed. por C. Goldstein, N. Schappacher, J. Schwermer. Springer, Berlin, içinde, s.210. 364 106 göremediği için yanıldığını iddia eder. Carnap‘a göre Kant bu ayrımı yapabilmiĢ olsaydı saf matematiğin analitik ve apriori olduğunu ancak fiziksel (yani uygulamalı geometrinin) geometrinin sentetik aposteriori olduğunu görebilecek ve geometrinin sentetik apriori yargıları olduğu fikrini ileri sürmeyecekti.369 Sentetik apriori yargıların doğası ve geometrinin saf görüde temellendirilmesi fikri Mantıksal Olgucular tarafından eleĢtirilmiĢtir. Bu eleĢtiriler temellerini Hilbert‘in Öklid geometrisini mantıki olarak titiz bir Ģekilde aksiyomlaĢtırmasında, Öklidyen olmayan geometrilerin keĢfinde ve bu geometrilerden biri olan Riemann geometrisinin Einstein‘ın ―Görelik‖ kuramında kullanılmasında bulmaktadır. Bu geliĢmeler ile beraber Russell, Carnap, Schlick ve Reichenbach gibi Mantıksal Olguculular matematiği felsefi olarak yeniden yapılandırma giriĢimlerinde artık Kant‘ın geometriyi mekân görüsünde temellendirmeye çalıĢmasının ve geometrinin yargılarının sentetik apriori olduğu iddialarının tutarlı bir Ģekilde savunulamayacağını düĢünmeye baĢlamıĢlardır.370 Onlara göre saf matematik tamamıyla apriori iken geometri ve mekaniğin içerildiği uygulamalı matematiğin empirik kökenleri vardır. Gauss için de durum henüz 1830‘larda buna benzerdir; ona göre ―Metafizikçi filozofların boĢ, sözel bilgelikleri‖371 nin aksine mekân üzerine bilebileceklerimiz Ģunlardır: Mekânın gerçek özüne dair o kadar az Ģey biliyoruz ki gözümüzde doğal olmayan bir Ģeyi imkânsız bir Ģey olarak değerlendirmemiz son derece mümkündür. Eğer Öklidyen olmayan geometri gerçek geometri olsaydı ve bu sabit dünyaya dair ölçümlerimizdeki çoklukla bir iliĢkiye sahip olsaydı, bunu ancak aposteriori keĢfedebilirdik.372 Gauss J. Bolyai‘ye yazdığı bir mektupta Ģunları söyler:373 369 Carnap, R. (1966). Philosophical Foundations of Physics, ed. Martin Gardner, Basic Books Inc, ss.181,182,183. Bu ayrım Einstein‘ın Ģu sözleriyle formüle edilir; ―Geometrinin kanunları gerçekliğe iĢaret ettikleri sürece kesin değildirler ve kesin oldukları sürece de gerçekliğe iĢaret etmezler.‖ Friedman, M. (1985). ―Kant‘s Theory of Geometry‖, Vol. 94, No.4. Philosophical Review, s.456. 370 Kant‘ın mekânı görüsünün Mantıksal Olgucularca reddinin nedenleri ayrı bir çalıĢmanın konusu olabilir. Bu konuyla ilgili olarak bakınız; Friedman, M. (1999). Reconsidering Logical Positivism. Cambridge University Press, ss.6,20,21,26,27,28,30,33,34,36,40,44. 371 Gauss, a.g.y., içinde, s.19. ―…empty verbal wisdom of the metaphysical philosophers‖. 372 Gauss, Bottazini, U. (1994). ―Geometry and ―metaphysics of space‖ in Gauss and Riemann‖, In Romanticism in Science, eds. S.Poggi, M. Rossi, Dordrecht: Kluwer, içinde s.19. ―So little, not to say nothing, about true essence of space that we would be quite capable of mistaking something which appears in our eyes to be unnatural with something absolutely impossible. If non-Euclidean geometry were the true geometry, and that constant were in some relationship to a quantity existing in the realms of our measurements on earth or in the heavens, we could discover this aposteriori.‖ 373 A.g.y., s.23. 107 Tam da ∑ ve S arasındaki seçimi apriori olarak yapamayacağımız Kant‘ın mekânı yalnızca bizim görümüzün formu olarak açıklamasının yanlıĢ olduğunu en açık Ģekilde göstermektedir. Kant‘ın açıklamasının yanlıĢ olduğunu diğer ve en az bunun kadar kuvvetli bir sebebi Göttingischen gelehrten Anzeigen 1831 de kısa bir notla belirtmiĢtim.374 Gauss bu alıntının sonunda geçen ve Kant‘ın mekânın doğasına iliĢkin açıklamalarının yanlıĢ olduğunu gösterdiğini iddia ettiği ―kuvvetli sebep‖ ile Gauss Kant‘ın meĢhur ―örtüĢmeyen eĢler‖ uslamlaması ve onun sonuçlarını kasteder.375 Gauss mekânın doğasının Kant‘ın mekânın görünün saf formu olduğu iddiasını ―fantastik bir fikir‖ (Einbildung) olarak değerlendirir.376 Kant mekânın görünün saf formu olduğunu göstermek için ―örtüĢmeyen eĢler‖ uslamlamasını kullanır ve Gauss bu uslamlamadan yine J.Bolyai‘ye yolladığı bir mektupta bahseder:377 …sağ ve sol arasındaki ayrım, sabit bir düzlemde rastgele birer ön ve arka yön, düzlemin iki yüzeyine göre aĢağı ve yukarı yön seçildiğinde tamamen tanımlanmıĢ olur; ancak bu ayrımla ilgili görülerimizi değiĢtirirsek bunu gerçekten var olan, maddi nesneleri kullanarak aktarabiliriz.378 Gauss bu iki gözlemin de Kant tarafından yapıldığını ama böylesine algısı yüksek bir filozofun özellikle ikinci gözlemde tam tersine, görüsel kapasitemiz olmaksızın, ―mekânın görümüzden bağımsız olarak gerçek bir anlamı olması gerektiğine‖379 dair böyle bir ispat varken birinci gözlemi mekânın basitçe "bir tür görü" olduğuna dair bir kanıt olarak görmesini anlayamadığını belirtir.380 Yani ―örtüĢmeyen eĢler‖ uslamlamasının yorumu ve anlamı Kant ve Gauss için çok farklıdır. Kant için bu Gauss, a.g.y., içinde s. 23. ―Precisely in the impossibility of deciding apriori between ∑ and S that we find the clearest demonstration that Kant was wrong to state that space is only a form of our intuition. Another and just as strong reason I have had occasion to point out in a short note in the Göttingischen gelehrten Anzeigen 1831.” 375 Ferreiros, J. (2006). ―The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss‖, The Shaping of Arithmetic: Number theory after Carl Friedrich Gauss‟s Disquisitiones Arithmeticae, ed. por C. Goldstein, N. Schappacher, J. Schwermer. Springer, Berlin, içinde, ss.230-231. 376 A.g.y., ss.230-231. 377 Gauss, Bottazini, U. (1994). ―Geometry and ―metaphysics of space‖ in Gauss and Riemann‖, In Romanticism in Science, eds. S.Poggi, M. Rossi, Dordrecht: Kluwer, içinde s. 23. 378 Gauss, a.g.y., içinde s. 23. ―…this difference between right and left is in itself completely determined soon as a random front and back have been fixed on a plane and above and below in relation to the two surfaces of the plane; only if we change our intuition of this difference can we communicate it by indicating really existing material objects.‖ 379 Gauss, a.g.y., s23. ―… space, regardless of our capacity of intuition, must have a real meaning‖. 380 A.g.y., s.23. 374 108 uslamlama mekânın görünün saf formu olduğuna dair bir delildir. Gauss ise bu uslamlama ile Kant ile neredeyse taban tabana zıt bir sonuca ulaĢır. Gauss bu uslamlamayı sağduyusal bir bakıĢla ele alır. Bu bakıĢ açısıyla bu uslamlama geometrik modellerinin mekânı gerçekçi bir Ģekilde yorumlayabileceğimizi kanıtlamaktadır.381 Gauss böylece bu uslamlamanın ―nihai‖ (―a decisive refutation‖) olarak Kant‘ı yanlıĢladığını düĢünür. Bu görüĢ farklılıklarına rağmen yine de Gauss‘un Kant‘ın epistemolojisinin tamamıyla karĢısında olduğunu iddia etmek doğru olmayacaktır. Ġkisinin arasında önemli farklar olmasına rağmen Gauss‘un Kant‘çılığın içinde kalarak bazı revizyonlar yaptığını görmek mümkündür.382 Örneğin mekaniğin bazı kanunlarının apriori olmasına rağmen empirik bir kısmının olduğunu Kant da düĢünür. Gauss da geometrinin apriori bir kısmının olduğunu düĢünür; mekânın üç boyutlu manifold olması büyüklüklerin saf teorisi aprioridir. Gauss için yine mekânın topolojik özellikleri örneğin süreklilik veya tamlık, üç boyutluluk (―continuity or completeness, three-dimensionality‖) ve Lobachevski-Bolyai geometrisinin bazı metrik özellikleri de apriori‘dir.383 Gauss döneminin matematiği ve Kant ile iliĢkisini analiz etmek için tekrar görü meselesine dönelim. 19.yy baĢlarında matematiksel bilginin görülenebilirliği Alman bilim insanları ve matematikçileri tarafından bilinen bir tezdi.384 Gauss‘un da bu tezi değerlendirip takip ettiği, bu nedenle karmaĢık sayıları takdiminin ―görüden uzak bir Ģekilde‖385 yapılamayacağını, bilakis Gauss yüzeyleri yardımıyla ―karmaĢık sayıların aritmetiğinin en görüsel düzeyde temsil edilebileceğini‖ 386 söyler. Gauss‘un buradaki anlamıyla görüyü genel ve soyut bir gösterimin aracı olarak anladığı bu anlamda görüyü analoji kurmanın bir Ģekli olarak yorumladığı görünmektedir. Oysa görünün bu yorumu Kant‘ın görüye yüklemek istediği anlamla tam bir uyuĢma Ferreiros, J. (2006). ―The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss‖, The Shaping of Arithmetic: Number theory after Carl Friedrich Gauss‟s Disquisitiones Arithmeticae, ed. por C. Goldstein, N. Schappacher, J. Schwermer. Springer, Berlin, içinde, s.231. 382 A.g.y., s.231. 383 A.g.y., s.231. 384 A.g.y., s.227. 385 Gauss, a.g.y., s.227 içinde. 386 Gauss, a.g.y., s.227 içinde. 381 109 içinde değildir. Gauss her ne kadar geometrinin görüsel temelini vurguluyor görünse de görünün yapısı bağlamında Kant ile aynı fikirleri paylaĢıyor görünmemektedir. Kant‘ın, mekânı, Ģeyleri uzamsal iliĢki içinde ortaya çıkıĢının apriori koĢulu olarak belirlemesi nettir. Gauss görünün saf mı empirik mi olduğu konusunda net değildir ayrıca eğer mekânın apriori bir görüsü varsa bunun metriksel değil topolojik olabileceğini düĢünmektedir.387 Gauss‘un aritmetik ve geometrinin doğasına iliĢkin görüĢlerinin süreç içinde evrildiğini görmekteyiz. Gauss‘un, Kant‘ın matematik ve geometri felsefesi ile önemli bir noktaya kadar hemfikir olduğu söylenebilir. Gauss sayı teorisi (number theory) ve karmaĢık analiz (complex analysis) gibi ―aritmetiksel bilimlerin‖ dolayısıyla saf matematiksel bilginin doğasının apriori olduğunu düĢünür ve bu Kant ile paylaĢtığı bir noktadır. Öte yandan Gauss‘un saf matematik ile uygulamalı matematik arasında yaptığı ayrımın kendi düĢünce dizgesinde bir dönüm noktası oluĢturduğunu görüyoruz. Bu ayrımla beraber Gauss Öklidyen geometrinin doğasının mekanik ile beraber yarı empirik olduğunu düĢünmesi temelinde Kant‘tan ayrılır. Gauss‘un görü kavramı ile ilgili düĢüncelerinin de kısmi olarak Kantçı bir tutum benimsediğini görüyoruz. Gauss da geometriyi görü temelinde kurmayı hedefler ancak bunu apriori değil, empirik görü yardımıyla yapmak istiyor görünmektedir. Dolayısıyla onun görü yorumu Kant‘ın yorumuyla tam bir uyuĢma içinde değildir.388 Bu noktayı Gauss‘un ―örtüĢmeyen eĢler‖ uslamlamasından yola çıkarak görmek mümkündür. Gauss için bu uslamlamadan mekânın görünün saf formu olduğu sonucu çıkmaz, aksine mekânın görü kapasitemiz olmaksızın gerçek bir anlamı olduğu düĢüncesi çıkar. Gauss için bu sonuç nihai olarak Kant‘ın geometri felsefesini yanlıĢlar. 387 388 Ferreiros, J. (2011). KiĢisel diyalog. Ferreiros, J. (2011). KiĢisel diyalog. 110 BÖLÜM 5. RIEMANN‟IN „HABILITATION ‟ DERSĠ 5.1. Riemann'ın 1854 Tarihli Habilitationsvortrag'ının Olası Bir Yeniden ĠnĢası Bir düĢünürün katkılarının en önemli ve en kolay görmezden gelinen kısmı, mevcut görüĢlere getirdiği eleĢtirilerdir. Bu eleĢtiriler düĢünürün alternatif teorisinin baĢlangıcı olmasa dahi, yerinde eleĢtiriler oldukları sürece, rasyonel diskur gereği o veya bu yönde bir değiĢime yol açarlar.389 Alıntıda bahsi geçen görüĢe uygun olarak, takip eden kısma, Riemann390'ın mevcut duruma getirdiği eleĢtirilerle baĢlıyoruz. “Araştırma Planı” Riemann bu bölüme geometriyle ilgili kafa karıĢıklıklarından söz ederek baĢlar. Riemann, tarih boyunca geometri çalıĢmalarında ana kavram ve savları ön kabul olarak aldığımızı belirtir. Geometrideki temel kavramları tanımlamak için kullandığımız ve sadece ismen var olan tanım ve kavramlara atfettiğimiz niteliklerin içkin özellikleri ve iliĢkilerine dair bir ipucu vermez. Bu bakıĢ açısından hareketle, Riemann mekân kavramını (mekân kavramı çok boyutlu yer kaplayan büyükler olarak tanımlanan genel kavramın sadece bir örneğidir) çok boyutlu yer kaplayan büyüklükler olarak tanımladığı genel kavram‟dan ayırır.391 Riemann bu genel kavramı niceliğin genel kavramlarından inĢa etmeyi önerir.392 Böyle bir inĢa etme ile sorunu yeniden tanımlamıĢ oluruz; niceliğin genel kavramlarından yapılaĢtırılan çoklu yer kaplayan büyüklük olarak mekân üzerinde farklı metrik sistemler bulunabilir. Bu bağlamda, Riemann, kendi zamanında hâkim olan Öklidyen metriğin geçerli olduğu mekânın ön kabullerinin gerekliliğini ve apriori olup olmadığını Agassi, J.(1969). ―Leibniz‘s Place in the History of Physics‖ , Journal of the History of Ideas, Vol. 30, No. ss. 333- 334. 390 Aksi belirtilmediği sürece tırnak tüm alıntılar Riemann, Bernhard, ―On the Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry‖, çevr. Simith,D.E.(1929) in A Source Book in Mathematics, ‗den yapılacaktır. 391 Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company, s.83. 392 A.g.e., s.83. 389 111 sorgulayarak baĢlar; ―bu kabullerin bağlantılarının ne kadar gerekli, mümkün veya apriori olduğunu tespit etmek mümkün değildir.‖393 Bu vurgulanmaya değer bir noktadır zira Riemann, mekânı geniĢ anlamıyla almaz. Ona göre, ―mekân, kendi sözleriyle der Raum, fiziksel cisimlerin yeri ve fiziksel hareketin yeri olan eĢsiz bir varlıktır.‖394 Geleneksel anlayıĢta, mekân, Öklidyen geometrinin doğa bilimlerinde uygulanabilirliğini sağlayan geometrik noktalar kümesinin kabı (holder) olarak anlaĢılıyordu. Mekânı Riemann'ın anladığı Ģekliyle, yani toplanmıĢ (kümelenmiĢ), yapılandırılmıĢ bir noktalar kümesi olarak alırsak baĢka geometrilerin de mümkün olduğunu görürüz. Bu, baĢka geometrilerden hangisinin geometrik yapılara ve doğal fenomenlerin açıklanmasına daha uygun olduğu gibi önemli bir soruyu beraberinde getirir. Böylece, bu sorunun öğeleri ve yanıtları eğer ―mekân daha büyük, türlerinden her biri bir geometriyle ayırt edilen bir sınıf olarak kabul edilirse‖ elde edilebilir.395 Riemann, tarih boyunca ne matematikçilerin ne de filozofların, geometrinin temellerinde yatan ―karanlığı‖ aydınlatamadığını iddia eder. Riemann bunun sebebini Ģuna bağlar: Mekânsal-büyüklüklerin kavrandığı çok boyutlu yer kaplayan büyüklüklerin genel kavramı hiç açıklığa kavuĢturulmamıĢtır. Bu yüzden, kendime ilk problem olarak genel nicelik kavramlarından çoklu yer kaplayan büyüklük kavramını oluĢturmayı seçtim. Buradan, birçoklu yer kaplayan büyüklüğün birçok metrik bağıntıya elveriĢli olduğu ve mekânın sadece üç boyutlu yer kaplayan büyüklüklerin tekil bir örneği olduğu sonucu çıkacaktır.396 Riemann, Bernhard, ―On the Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry‖, çevr. Simith,D.E.(1929) in A Source Book in Mathematics, s.411. ―…one sees neither whether and in how far their connection is necessary, nor apriori whether it is possible.‖ 394 Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company, s.83. ―Space is, in his words, the space, der Raum, a unique entity which is the site of physical bodies and the locus of physical movements.‖ 395 Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company, s.83. ―…space is considered as an instance of a broader genus, each of whose species is characterized by geometry.‖ 396 Riemann, Bernhard, ―On the Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry‖, çevr. Simith,D.E.(1929) in A Source Book in Mathematics, s.411. ―The general concept of multiply extended magnitudes in which spatial-magnitudes are comprehended has not been elaborated at all. Accordingly I have proposed to myself at first the problem of constructing the concept of a multiply extended magnitude out of general notions of quantity. From this it will result that a multiply extended 393 112 Bu nokta çok önemlidir zira göreceğimiz gibi, Riemann ―çok boyutlu yer kaplayan büyüklüğü‖, geometrinin temeli olarak alıp detaylandırmak istemiĢtir. Geometri hakkındaki kafa karıĢıklığının diğer sebebi olarak, Riemann, kendi zamanına kadar Ģekle bağlı özelliklerle metriksel, ölçüme dayalı özelliklerin ayrılmamasını gösterir. Riemann bu bahsi geçen bağıntıları ayıracağını, bu vesileyle ―üç boyutlu yer kaplayan büyüklüklerin‖ (manifold) değiĢik metriksel sistemlere sahip olabileceğini görebileceğimizi iĢaret eder. ―AraĢtırma planı‖ nın sonunda Riemann der ki: Bu olgular, tüm olgular gibi, gerekli değil sadece empirik bir kesinliğe dairdir; bunlar birer hipotezdir ve bu yüzden olasılıkları araĢtırılabilir ki bu olasılıklar gözlemlenebilenin sınırları içerisinde çok yüksektir ve bundan sonra da hem ölçülemeyecek kadar büyük, hem de ölçülemeyecek kadar küçük olanlar için bunları gözlemin sınırları dıĢarısına geniĢletmenin kabul edilebilirliği ile ilgili karar verilebilir.397 Bu anlayıĢ, önemli bir noktayı da beraberinde getirir; Riemann'a göre mekân, yaĢadığımız dünyadır, ama ―çoklu yer kaplayan büyüklüklerin‖ (manifold) sadece biridir. BaĢka bir deyiĢle, Riemann, böyle büyüklüklerde (manifoldların) farklı metriklerin de mümkün olduğuna, yani gerçek dünyanın bu farklı metriksel bağıntıların sadece biri olduğuna iĢaret eder. Bunun sonucu olarak, eğer baĢka metriksel bağlantılar da mümkünse, o zaman ―mekânın gerçek geometrisi salt kavramsal analizle tespit edilemez.‖398 Buradan hareketle Riemann, ―mekânı, düĢünülebilecek diğer üç boyutlu yer kaplayan niceliklerden ayıran özellikler sadece deneyim yoluyla elde edilebilir‖399 der. magnitude is susceptible of various metric relations and that space accordingly constitutes only a particular case of triply extended magnitude.‖ 397 Riemann, Bernhard, ―On the Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry‖, çevr. Simith,D.E.(1929) in A Source Book in Mathematics, s.412, ―These facts are, like all facts, not necessary but of a merely empirical certainty; they are hypotheses; one may therefore inquire into their probability, which is truly great within the bounds of observation, and thereafter decide concerning the admissibility of protracting them outside the limits of observation, not only toward the immeasurably large, but also toward the immeasurably small.‖ 398 Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company, s.84. ―…true geometry of space cannot be determined by conceptual analysis alone.‖ 399 Riemann, Bernhard, ―On the Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry‖, çevr. Simith,D.E.(1929) in A Source Book in Mathematics, s.412. ―…those properties which distinguish space from other conceivable threefold extended quantities can be gathered only from experience.‖ 113 Riemann'ın empirik kesinliği sorgulamadaki ısrarı dikkate değerdir; zira Habilatitionsvortrag‘ın sonuna doğru ilk iki kısımda sunduğu sonuç ve yapıların empirik geçerliliğini sorgular. Bölüm 3.2 (Bu empirik tespitlerin geçerliliğini sorgulamak) bu noktayı açıklığa kavuĢturacaktır. “N-kez Yer Kaplayan Manifold Kavramı” Mekânı ―çok boyutlu yer kaplayan büyüklük‖ olarak belirledikten sonra, Riemann bu genel kavramı kesinleĢtirmeye giriĢir. Bunun için de bazı bölümlemeler yapar; bu kısım manifoldlar hakkındaki genel fikirleri Ģu alt baĢlıklar altında inceler; Sürekli ve ayrık manifold Riemann manifoldları ikiye ayırır; Ģayet bir manifolttan bir baĢkasına sürekli bir yol (path) varsa bu manifold ―sürekli manifold‖, aksi takdirde ―ayrık manifold‖ olarak adlandırılır. Sürekli manifoldlarda ―tek özelleĢmeler‖e (individual specializations) nokta, ayrık manifoldlarda ise manifold ögeleri ismi verilir. Riemann sürekli manifoldlara örnek olarak ―renkler‖i ve ―duyusal nesnelerin konumları‖nı verir. Riemann bunlara örnek vermese de, yüksek matematikte sürekli manifoldlara baĢka örnekler bulmanın mümkün olduğunu iddia eder. Ayrık manifoldların örneklerine ise daha sık rastlanır. Riemann'ın cümleleriyle: ÖzelleĢmeleri ayrık manifoltluk yaratan kavramlar o kadar yaygındır ki, en azından geliĢmiĢ dillerde (developed languages) onların var olduğu bir kavram bulmak her zaman mümkündür. Bu yüzden matematikçiler bazı Ģeylerin denk sayılabileceği varsayımından hareketle ayrık büyüklükler teorisini kolayca kurabilmiĢlerdir. 400 Riemann iki genel tip manifold tanımlasa da, Habilatitionsvortrag‘ındaki değerlendirmelerine sürekli manifoldlar üzerinden devam etmeyi tercih etmiĢtir. Bunun sebepleriyle ilgili Scholz Ģu noktaya iĢaret eder: Riemann, Bernhard, ―On the Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry‖, çevr. Simith,D.E.(1929) in A Source Book in Mathematics, s.423. ―Notions whose specialisations form a discrete manifoldness are so common that at least in the cultivated languages any things being given it is always possible to find a notion in which they are included. (Hence mathematicians might unhesitatingly found the theory of discrete magnitudes upon the postulate that certain given things are to be regarded as equivalent.)‖ 400 114 Sonlu veya ayrık manifoldlarla bazı – daha sonradan geliĢtirilen küme kuramına rağmen - ender açıklamaları saymazsak, Riemann doğrudan tekil örnekleri sürekli geçişe izin veren durumlarla devam etmiĢtir. Bu sezgisel bir Ģekilde anlaĢılmalıdır, zira süreklilik ancak gerçel sayılar ortaya çıktıktan ve küme-kuramsal fikirler ortaya konduktan sonra matematiksel açıdan çözümlenebilmiĢtir ki bu da 1870/80lerden önce yapılamamıĢtır. Riemann'ın yaklaĢımı Herbart'ın seri formlar (serial forms) teorisiyle paralellik taĢır; fakat Riemann kavramın tekil örneklerini belirlemenin, 1-parametreli, 2-parametreli, …, (n-1)-parametreli ve son olarak n-parametreli varyasyonları kısmen- sinematik (quasicinetamatical) anlamda yerel, ardıĢık bir Ģekilde yeniden yapılandırarak, bu fikri bir adım öteye taĢımıĢtır. Bu durumlarda, açık ama fazlasıyla genellenmiĢ bir geometrik kavram olarak noktayı genel kavramın (manifold) tekil bir örneği olarak kullanır.401 Riemann'ın bu tercihi, Herbart'ın daha önce anlatılan süreklilik ile ilgili felsefi spekülasyonlarıyla uyumlu görünmektedir. Bu tercih için baĢka bir sebep ise sürekli manifoldların doğasında yatıyor olabilir; Riemann'ın programının merkezinde yer alan iki sonsuz yakınlıktaki nokta arasında ölçüm yapma fikri, ancak sürekli manifoldların içinde mümkündür. Riemann, manifoldun belli kısımlarından bahsetmek için ―Quanta‖ terimini kullanır. Quanta'ların karĢılaĢtırması ayrık manifoldlarda ―sayım‖ (counting) ile sürekli manifoldlarda ise ―ölçüm‖ (measuring) ile mümkündür. Manifoldları ayrık ve sürekli olarak ikiye ayırdıktan sonra, sürekli manifoldlarda, sürekli manifoldların özelleĢtirilmelerini takip ediyoruz. Sürekli manifoldlar ―büyüklük bağıntıları‖(size relations) ve ―alan bağıntıları‖ (region relations) üzerinden birbirinden ayrılabilir. Bu ayrımın, Riemann'ın ―AraĢtırma planını‖ kısmında bahsettiği ikinci problemle doğrudan iliĢkili bir Ģekilde ele alınması mümkündür. Hatırlanırsa, Riemann geometri hakkındaki kafa karıĢıklığını iki probleme bağlamıĢtı; çoklu yer kaplayan büyüklüklerin muğlâk konumu ve şekilsel (depend on shape) ve metriksel (depend on measure) özelliklerin birbirinden Scholz, E,(1992). ―Riemann‘s vision of a new approach to geometry‖, Boi, Flament and Salanskis, ed., içinde s.22. ―Leaving some sparse - even if in the light of the later development of set theory important - remarks on finite or discrete manifolds aside, Riemann proceeded immediately to those situations where the particular instances of the concept admit continuous transitions. That was to be understood in an intuitive sense, as the concept of continuity came to be mathematically analyzed only after the formal definitions of real numbers had appeared and set theoretic ideas were being formulated, that is not before the 1870/80s.a Riemann's approach was somehow parallel to the introduction of Herbart's serial forms; but Riemann specified the idea further by a local successive reconstruction in a quasi-cinematical sense, by 1-parameter, 2-parameter, ..., (n - 1)- parameter, and finally n-parameter variation of the determination of instances of the concept. In these cases he admitted the obvious, but drastically generalized geometric terminology of point for a particular instance of the general concept (manifold).‖ 401 115 ayrılmamıĢ olması. Sürekli manifoldların büyüklük (size) ve alan bağıntıları (region) üzerinden ayrılmasını, Ģekilsel ve metriksel özellikler ayrımı bağlamında değerlendirmek mümkündür. Sürekli Manifoldların Bölümlenmesi Eğer ―Sürekli manifoldların, konfigürasyondan bağımsız oldukları varsayımının geçerli olduğu büyüklük bağıntılarına göre bölümlenmesi‖402mümkün değilse, ―iki büyüklüğü ancak biri diğerinin parçasıyken ve o zaman da birinin diğerinden ne kadar büyük olduğu değil sadece hangisinin diğerinden büyük olduğu üzerinden karĢılaĢtırabiliriz‖.403 Ölçüm (süper pozisyon, üst üste getirme iĢlemi), ancak biz ―konumdan bağımsız büyüklükler varsayılmalıdır‖ savını kabul edersek mümkün olur. Yani, büyüklük ölçümünün kullanılabilirliği, konumdan bağımsız büyüklük bağıntılarının varlığına bağlıdır. Aksi takdirde, ölçüm yapılabilmesinin temel Ģartlarından olan standart ölçüm birimini tespit etmek mümkün değildir. Konumdan bağımsız büyüklükler prensibinin, sabit eğriliğe sahip mekânlarla da önemli bir iliĢkisi vardır. Riemann göre, ―Nesnelerin varoluĢunun onların mekânda nasıl durduklarına bağlı olmadığı iddiası ancak mekân sabit eğrilik manifoldu ise savunulabilir.‖404 Yani, ―katı cisimlerden‖ (rigid bodies) bahsetmek ancak sabit eğrilik olduğu zaman anlamlıdır. “Sürekli manifoldların, konfigürasyondan bağımsız oldukları varsayımının geçerli olmayabileceği alan bağıntılarına göre bölümlenmesi” Büyüklük bağıntılarının incelenebildiği sürekli manifoldların dıĢında, ―büyüklüklerin konumdan bağımsız bir Ģekilde düĢünülemeyeceği ve bir birimle değil ancak manifolddaki alanlarla gösterilebileceği‖ sürekli manifoldlar da mevcuttur. Riemann bu manifoldların ―çok-değerli analitik fonksiyonların incelenmesi‖ gibi matematiğin ―Division of continuous magnitudes with respect to size relations in which the assumption that magnitudes independent from configuration must be hold‖ 403 ―…one can compare two magnitudes only when the one is the part of the other, and even then one can only decide upon the question of more or less, not upon the question of how many.‖ 404 Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company, s. 100. 402 116 farklı alanlarında gerekli olduğunu ve ―diferansiyel denklemler teorisinin verimsizliğinin‖ de bu manifoldların eksikliğinden kaynaklandığını belirtir. Bundan baĢka da konumdan bağımsız büyüklükler varsayımının geçerli olmadığı manifoldlara dair baĢka bir detay veya açıklama sunmaz. Çoklu yer kaplayan manifoldlar kavramının üretimi Riemann ―n-kez yer kaplayan manifold‖ kavramını tanımlamak için kullanacağı bir savla baĢlar; ―Nicelik kavramları, ancak hâlihazırda değiĢik biçimde belirlemelere (determination) izin veren bir genel kavram mevcutsa var olabilir‖. 405 Buradan yola çıkan Riemann, manifold üretimini açıklamaya giriĢir. Burada ―belirleme biçimi sürekli değiĢen‖ bir kavramdan bahseder; eğer bir biçimden diğerine tam belirlenmiĢ bir yoldan ilerlenirse bir basit yer kaplayan manifold elde ederiz. Riemann bunu ―eğer bir kavramın özelleĢmiĢ halleri sürekli bir manifold oluĢturuyorsa ve bir özelleĢmiĢ halden diğerine belli bir biçimde geçilebiliyorsa, geçilen özelleĢmeler bir basit yer kaplayan manifold oluĢturur‖406 diyerek açıklar. Eğer bir manifoldun her bir noktasından bir baĢkasına ilerlersek iki boyutlu (iki kez yer kaplayan) bir manifold ortaya çıkar. Eğer bu, iki manifold üçüncüsüne uygulanırsa üç boyutlu (üç kez yer kaplayan) bir manifold ortaya çıkar. Burada önemli bir nokta, tek boyutlu durumda tek bir doğrultuda hareket edilebiliyor olmasıdır; ileri ve geri. Yani, iki boyutlu bir manifold (yüzey) üzerinde hareket tanımlamak için iki ayrı doğrultudan bahsedilebilmelidir, üç boyutlu manifoldlar (mekân) içinse üç ayrı doğrultu var olmalıdır. N-boyutlu manifoldlar da benzer Ģekilde düĢünülebilir (n farklı doğrultu). Yani, manifoldun basitçe ―değiĢken bir nesne‖ ve onun değiĢik evreleri (―belirleme biçimleri veya modelleri‖) arasındaki bağıntı sonucunda üretildiğini söylemek mümkündür; bu değiĢik evreler manifoldun ―nokta‖larını oluĢturur. Bir noktanın n-adet değişkenle temsili ―… a concept ―whose mode of determination varies continuously.‖ ―If in the case of a notion whose specialisations form a continuous manifoldness, one passes from a certain specialisation in a definitive way to another, the specialisations passed over form a simply extended manifoldness.‖ 405 406 117 Bu prosedürü görebilmek için ―tek boyutlu bir manifoldun, manifoldun her noktasında o noktayla beraber değiĢen tanımlı birer değeri olan – ve değerlerin karĢılaĢtırılabilirliği açısından sabit bir baĢlangıca sahip olan - değiĢken bir kısmı‖407 nı düĢünelim. Yani bu manifold içerisinde değeri sabit olmayan ―sürekli bir konum fonksiyonu‖ farz edelim. Bu durumda, fonksiyonun sabit değere sahip olduğu noktalar ―verilen manifolttan daha az boyuta sahip bir sürekli manifold‖ oluĢturur. Fonksiyonun değerinin değiĢmesiyle birlikte ―bu manifoldlar sürekli bir Ģekilde birbirine geçer‖. Bu geçiĢ, her bir noktanın ―diğerindeki sabit bir noktaya‖ geçiĢiyle mümkündür. Yani ―hepsinin (manifold), bir tanesinden doğduğu kabul edilebilir‖.408 Daha önce de değindiğimiz sabit bir baĢlangıç noktasına ve tanımlı değerlere sahip sürekli bir fonksiyonu kullanarak, n-kez geniĢleme üretimini ―bir boyutlu bir değiĢkenlik ve daha az boyutlu bir değiĢkenlik‖409 olarak tersine çevirmek mümkündür. Riemann bundan ―bir manifoltta konum belirtmek mümkün ise, bu konum sonlu sayıda çokluğun belirlenmesine indirgenebilir‖ 410 sonucunu çıkarır. Bu yüzden de ―bir n-kez geniĢlemenin temel belirtisi‖ olarak‖ konumun belirlenmesi n adet çokluk belirlemesiyle ifade edilebilir.‖ Daha açık söylemek gerekirse, n-boyutlu bir manifoltta bir noktanın konumunu x1,x2,……,xn gibi n adet değiĢken parametre ile belirtebiliriz (x1,x2,……,xn koordinat adlarıdır). “Her Doğrunun Konumundan Bağımsız Bir Uzunluğa Sahip Olduğu, Yani Her Doğrunun Her Bir Diğer Doğruyla Ölçülebildiği, Varsayımıyla, N-boyutlu Bir Manifoldun Metrik Bağıntıları” Bu kısmın yapısından bahsetmeden önce, bazı genel saptamalarda bulunmak faydalı olacaktır. Bu kısımda Habilitationsvortrag‘ın matematiksel sonuçları ―…a variable portion of a manifold of one dimension, -reckoning from a fixed starting point or origin, so that its values are comparable with another- which has for every point of the given manifold a definite value changing continuously with that point‖. 408 By means of changes in the value of the function, ―these manifolds pass over, one into another, continuously‖. This passing over is possible by passing every point into ―a definite point of the other‖. So, ―one may assume that from one of them (manifold) all the rest emanate‖. 407 ―…a variability of one dimension and a variability of fewer dimensions‖. ―…fixing of position in a given manifold is reduced, whenever this is possible, to the determination of a finite number of quantities‖. 409 410 118 verilecek olup, bunları bu sonuçlarla ilgili saptamalar takip edecektir. Riemann bu noktaya kadar bahsettiği hususları hatırlatarak baĢlar. Bu hususlardan ikisi ―manifoldun üretimi‖ ve ―manifoldluğun‖ temel belirtisi olarak konumun n adet büyüklük belirlemesiyle ifade edilebilmesi‖dir. Konferansın bu kısmının baĢlığından da anlaĢılabileceği gibi, Riemann bu kısımda n-boyutlu manifoldlardaki metriksel bağıntılara odaklanır. N-kez yer kaplayan manifold bu metriksel sistemler ıĢığında incelenir. Bu kısımda, uzunluklar ve eğriler birincil öneme sahiptir. Russell da Riemann‘ın fikirlerinden bahsederken bu önemden Ģöyle söz eder: Riemann, ki mantıksal olarak Einstein‘ın selefidir, değeri yarım yüzyıl boyunca anlaĢılamamıĢ yeni bir fikir ortaya attı. Geometrinin, sonsuz küçük olandan (infinitesimal) baĢlaması ve sonlu uzunluklar, alanlar ve hacimler hakkındaki ifadelerin bütünleĢtirilmesi üzerine kurulması gerektiğini düĢündü. Bu da, baĢka Ģeylere ilaveten, doğrunun bir eğriyle değiĢtirilmesini gerektirir; ikincisinin sonsuz küçüklükteki mesafelere dayanan bir tanımı varken birincisinin yoktur. Geleneksel görüĢ, iki nokta arasındaki bir doğru parçası bir bütün olarak alınabilirse bile parçalarının toplamı veya limiti olarak alınamayacağıydı. Riemann‘ın görüĢü ise doğrunun bu anlamda eğriden bir farkı olmadığı yönündeydi. 411 Yani eğrilerin ölçülmesiyle ilgili bu vurgu, Riemann‘ın programının muhakeme sırasından kaynaklanır; a) daha kesin olmak için sonsuz küçüklükler kapsamında çalıĢmalıyız, b) sonsuz küçüklükler kapsamında çalıĢabilmek sonlu uzunluklara ihtiyaç vardır; c) zira eğrilerin tanımlanması sonsuz küçüklükteki mesafelere ihtiyaç duyar. Bu akıl yürütmeyi takip edip Riemann‘ın ne söylediğini anlamak için eğrilere uzunluk atfedilmesi prosedürünü hatırlamalıyız. Riemann burada eğrilerin uzunluk kullanılarak ölçülmesini önerir. Bu süreçte Riemann‘ın Gauss‘un eğri yüzeyleri incelediği ve ―mekânın geometrisi, bizzat yüzeye Russell, B., Source Book on Mathematics, içinde, s.425. ―Riemann, who was logically the immediate predecessor of Einstein, brought in a new idea of which the importance was not perceived for half a century. He considered that geometry ought to start from the infinitesimal and depend upon integration for statements about finite lengths, areas, or volumes. This requires, inter alia, the replacement about straight line by the geodesic: the latter has a definition depending upon infinitesimal distances, while the former has not. The traditional view was that, while the length of the straight line between two points could be defined as a whole, not as the limit or a sum of the bits. Riemann‘s view was that a straight line does not differ from a curve in this respect.‖ 411 119 odaklanarak incelenebilir‖412 iddiasında bulunduğu Therorema Egregium (Olağanüstü Teorem) çalıĢmasını ilerlettiğini görürüz. Gauss‘un eğriler üzerine olan çalıĢmalarını daha önce incelemiĢtik. Riemann‘ın eğrilerin uzunluklarla ölçülmesine odaklanan baĢlangıç noktası, Gauss‘un Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas adlı çalıĢmasına dayandırılabilir. Bu çalıĢmada Gauss‘un en önemli keĢfi, evrensel olarak her yüzeyde metriksel bağıntıların o yüzeyin eğriliğiyle belirlenebilir olduğudur. Bu saptamayla Gauss, Öklidyen mesafe kavramını eğri yüzeyleri de kapsayacak Ģekilde geniĢletir. Yani Riemann‘ın kendine biçtiği ―mekânın metriksel bağıntılarının saptanabileceği en basit gerçekleri bulmak‖ amacının kökleri Gauss‘un eğriler ve mekânın içkin geometrisi üzerine yaptığı çalıĢmalara dayanır. Altı çizilmesi gereken bir baĢka önemli noktaysa ―doğruların konumlarından bağımsız uzunluklara sahip olduğu, yani, her doğrunun diğer her bir doğruyla ölçülebileceği‖ varsayımıdır. Bu önermenin ne anlama geldiğini anlamak için Tazzioli‘ye baĢvurabiliriz: Sezgilerimize yardımcı olması amacıyla ölçülecek çokluğun üç boyutlu bir uzaya yerleĢtirildiğini düĢünelim. ġu halde eğer standart bir uzunluğa (mesela bir metre) sahip bir parçayı kullanıp ölçülecek çokluğun üstüne koyarsak ölçüm yapmak mümkün hale gelir; çokluğun boyutları bu uzunluk birimi esas alınarak ölçülebilir. Bu prosedür ancak ―doğruların konfigürasyonlarından bağımsız bir uzunluğa sahip olduğu ve böylece her doğrunun baĢka her bir doğruyla ölçülebileceği‖ varsayımında bulunulursa kullanılabilir. Aslında, Ģayet bu varsayım yanlıĢsa, birim uzunluk hareket ettikçe uzayacak ve kısalacak ve haliyle mekânda çoklukların ölçümü imkânsızlaĢacaktır; yani ―katı cisim‖ – noktaları arasındaki mesafeler sabit olan bir cisim – hareket ederken Ģekil değiĢtirecektir.413 412 Kline, M. (1972). Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Oxford University Press , s.888 413 Tazzioli,R. ( 2003). ―Towards a history of the geometric foundations of mathematics Late XIX th century‖, Revue de Syntese, Volume124, Number 1, s.17. ―In order to help intuition, one can image a 3-dimensional space where the quantity to be measured is placed. Measurement is then possible if one considers a segment with standard length (for example 1 meter long) and superposes it on the quantity; then the dimensions of the quantity are evaluated with respect to the unit of length. This procedure is allowed only on the assumption that ‗lines have a length independent of their configuration, so that ‗every line can be measured by every other‘. In fact, if this hypothesis is not valid, the unit of length will become shorter or longer during its motion which amounts to saying that measurement of quantities in space would not be possible; that is to say, ‗a rigid body‘- a body in which distances between its points are constant- would change its shape during the motion.‖ 120 Bu yüzden, ―katı cisimlerin serbest hareketi‖ prensibi ve ―eğrilere uzunluk atfeden‖ iĢlemler konferansın bu bölümünün temellerini oluĢturur. Bu noktaların ıĢığında, sürekli manifoldlarda temel iĢlemimizin ölçüm olduğu ve bunun da ―cisimlerin hareket ederken Ģekillerini korumaları‖nı gerektirdiği görülebilir. Burada Riemann‘ın çıkıĢ noktası ―metrik belirlemesi konumdan, yani birden fazla Ģekilde ortaya çıkabilen bir özellikten bağımsız olmalıdır‖ 414 saptamasıdır. Bu önermeden ve iki nokta arasındaki mesafeyi ölçmek amacından yola çıkan Riemann ―ilk akla gelen ve benim de burada takip etmeye niyetlendiğim varsayım ‗doğruların uzunluklarının durumlarından bağımsız olması, bu vesileyle her bir doğrunun diğer her bir doğruyla ölçülebilmesi‘ olabilir‖ der. Eğer bu elde edilebilirse, ―bir eğrinin büyüklüğü içkin bir özellik, yani, tek boyutlu bir manifold olarak eğrinin, dıĢında kalan noktalarla iliĢkisinden bağımsız olarak sahip olduğu bir özellik olarak tespit edilebilir.‖415 Yukarıdaki varsayımlardan yola çıkarak iki nokta arasındaki mesafenin tespitiyle, yani ―doğrulara bir uzunluk‖ atfederek, ―daha sonra diğer doğruların uzunluğu, doğruyu oluĢturan ve doğrulardan meydana gelen eğrilerin en küçük üst sınırı ile belirlenebilir‖416 saptamasıyla baĢlıyoruz. Eğrilere uzunluk atfedilerek, eğrilerin doğrularla ölçülmesini mümkün kılınabilir. Buna rağmen Riemann, muhtemelen eğrilere uzunluk atfetmenin iki sonsuz yakınlıktaki nokta arasındaki mesafeyi ölçmek için esas olmasından dolayı, kendisini bununla sınırlamaz; zira mesafe ölçümündeki sınırlamalar genelliği koruyarak ilerlemesine engel olacaktır. Bu yüzden ―tüm eğrilere bir uzunluk atfetmenin, önceden belli bir eğri sınıfının tanımlanmasına bağlı olmayan, örnek (uniform) bir metodun düĢünülmesi‖417 önerisinde bulunur. ―Determinations of measure require to be independent of location, a state of things which can occur in more than one way‖. 415 Torretti, R., (1978), Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company, s. 91. ―the length of an arc in a manifold will be determinable as an intrinsic property, i.e. as a property belonging to the arc as a one-dimensional submanifold, no matter what its relation to the points outside it.‖ 416 Spivak, M., (1975). A comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol 2,Eds., s.156 417 Spivak, M., (1975). A comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol 2,Eds., s.156 414 121 Riemann daha önce bir noktayı x1,x2,……,xn koordinat adları olmak üzere, n-değiĢkenli parametreler x1,x2,……,xn ile temsil etmiĢti (Bakınız; 1.3. bir noktanın n-adet değiĢkenle temsilinin incelendiği kısım). N adet fonksiyonun oluĢturduğu (x1(t), x2(t)…., xn (t)) kümesi t‘nin bazı değerleri için bir eğri tanımlar. Eğri üzerindeki sürekli hareket t için dt tarafından ve her bir x için dx tarafından sağlanır.418 Eğri boyunca ds2 mesafesi (iki sonsuz yakınlıktaki noktanın arasındaki mesafenin ölçüsü olan ―doğru çizgisi unsuru‖nun (line element‘in karesi) ikinci de dx1, dx2 ….dxn ikinci dereceden denklemiyle hesaplanabilir. Örneğin, Öklidyen 3-boyutlu durumda ―Pisagor durumu‖419 yani ds2=dx12+dx22+dx32 ifadesi elde edilir.420 Bu yüzden, üçlü yer kaplayan büyüklüklerde eğrilerin uzunlukları hesaplanabilir.421 Temel varsayım ve iĢlemleri bu Ģekilde özetledikten sonra, Habilitationsvortrag‘ın bu kısmının detaylarına geçebiliriz. Doğrunun çizgisi unsurunun matematiksel ifadesi Burada Riemann, Ģayet bir doğru tam diferansiyellerin kareleri toplamının karekökü olarak ifade edilebiliyorsa, bu manifoldlun ―düz‖ olarak nitelendirildiğini belirtir. Kendi sözleriyle; ―eğer doğru çizgisi unsuru, yüzeylerde olduğu gibi, ikinci dereceden bir diferansiyelinin karekökü olarak ifade edilebiliyorsa, iki kez yer kaplayan bir manifolddaki her bir noktanın iç metriksel bağıntıları eğrilik ölçümüyle tanımlanabilir‖.422 Doğru çizgisi unsuru hayati öneme sahip olduğu için onu daha derinden incelemek faydalı olacaktır. Bunun için ilk olarak Riemann‘ın bazı varsayımlarını hatırlatılacaktır, sonra doğrusal unsurun matematiksel ifadesinin üretimine bakıp, son olarak da doğrusal unsurun anlamıyla ilgili bazı sonuçlar verilecektir. 418 Gray, J. (1989). Ideas of space. Oxford: Clarendon press, s.142. A.g.e., s.142. 420 A.g.e., s.142. 421 A.g.e., s.142. 422 ―…in every point the interior metric relations of a doubly extended manifold are characterized by the measure of curvature if the line-element can be expressed by the square root of a differential expression of the second degree, as in the case with surfaces.‖ 419 122 Doğru çizgisi unsuru doğuran varsayımlar a. ―Metrik belirlemenin konumdan, yani birden fazla Ģekilde ortaya çıkabilen bir özellikten bağımsız olması.‖ b. Üstteki varsayımdan hareketle Riemann ―doğruların, durumlarından bağımsız uzunlukları olduğu ve bu sayede her bir doğrunun diğer her bir doğruyla ölçülebileceği‖ varsayımına ulaĢır. c. Konum belirlenmesinin büyüklüklerin belirlenmesine atfedilebilmesi, yani, nboyutlu bir manifolddaki bir nokta x1,x2,x3, olarak n adet değiĢken büyüklükle ifade edilebiliyorken verilebilmesi.‖ ―x çokluklarının tek bir değiĢkenin fonksiyonları olarak 423 Böylece problemin formülasyonu, değiĢken çoklukların birimler cinsinden ifade edilebildiği bir matematiksel ifadeyle doğruların uzunluklarının gösterilmesi olarak ortaya konmuĢ oluyor. Buna rağmen, Riemann kendini ―dx – yani x‘teki değiĢimin – sürekli değiĢtiği‖ doğrularla sınırlar, zira sadece bu durumda ―doğruların dx çokluklarının oranlarının sabit olduğu unsurlara bölünmesi düĢünülebilir‖.424 Bu tanım, yukarıdaki sorunu ―her bir nokta için o noktada baĢlayan ve bu yüzden x ve dx çokluklarını içeren bir doğru çizgisi unsurunun genel ifadesini bulma‖425 indirgemeye olanak sağlar. Riemann‘ın doğruların matematiksel ifadelerini oluĢtururkenki bir baĢka varsayımı ise ―ikinci dereceden çokluklar yok sayıldığında, bir doğru çizgisi unsurunun uzunluğunun, tüm noktalarının sonsuz küçüklükte konum değiĢtirmesiyle değiĢmeyeceğidir. Bu varsayımla Riemann, doğru çizgisi a.―Determinations of measure require magnitude to be independent of location; a state of things which can occur in more than one way‖ b..Based on above assumption Riemann follows the assumption that ―the length of lines be independent of their situation, that therefore every line be measurable by every other‖ c..Then if the fixing of the location is referred to determinations of magnitudes, that is, if the location of a point in the n-dimensional manifold be expressed by n variable quantities x1,x2,x3, and so on to xn, so that ― quantities x be given as functions of a single variable‖. 423 ―…one can think of the lines as laid off into elements within which the ratios of the quantities d x may be regarded as constant‖. 425 ―…set up for every point a general expression for a line element which begins there, an expression which will therefore contain the quantities x and the quantities dx.‖ 424 123 unsurundaki değiĢikliklerin dx çokluklarındaki değiĢikliklere bağlı olduğunu göstermeye çalıĢır. Son olarak, Riemann doğru çizgisi unsurunu ―iĢaret değiĢtirdiğinde değiĢmeyen ve geliĢigüzel (arbitrary) sabitleri x çokluklarının sürekli bir fonksiyonu olan, dx çokluklarının tek türel (homogenous), birinci dereceden bir fonksiyonu‖ olarak tanıtır. Böylece doğru çizgisi unsurunun diferansiyel ifadesini elde etmiĢ oluruz; ds2=∑ij gij dxi dxj (1) Burada gij metrik (ölçüm)fonksiyonlarını, x1...xn ise manifolddaki koordinatları ifade eder. Bu ikinci dereceden ifade Ģu Ģartları sağlar; a) Simetri, (gij=gji) b) Pozitif (1≤ i, j ≤n) belgin matris, ki bunlar Öklidyen mekânda mesafe ölçmenin temel Ģartlarıdır. Doğru çizgisi unsuruyla ilgili çalıĢmalarında Riemann ―doğru çizgisi unsurunun dördüncü dereceden bir diferansiyel ifadenin dördüncü kökü olarak ifade edilmesi‖ ihtimalini de değerlendirir. Buna rağmen, bu olasılığın peĢinden gitmemeyi tercih eder zira ―böyle bir çalıĢma ikinci dereceden bir doğru çizgisi unsurunun gerektirdiklerinden baĢka prensipler gerektirmeyecek ve dördüncü derece çok zaman almasına rağmen mekân teorisine nispeten az katkıda bulunacaktır‖. Buna ilaveten, Riemann‘a göre dördüncü derecenin incelenmesinin sonuçlarını geometrik bir Ģekilde göstermenin bir yolu yoktur. Bu yüzden Riemann kendisini ―doğru unsurları ikinci dereceden bir diferansiyel ifadenin karekökü olan manifoldlarla‖ sınırlama kararına varır. Doğru çizgisi unsurunun böyle bir ifadesi, bizi mekâna ve geometriye yaklaĢımımızla ilgili bazı önemli noktalara götürür. ġimdi bu noktalar üzerinde duracağız. 124 Ġlk olarak, sonsuz yakınlıktaki her nokta çifti arasındaki mesafe doğrusal unsurla belirlenir. Burada x ve dx çoklukları alıĢılagelmiĢ koordinat eksenlerine denk gelmek durumunda değildir. Yani, bu Ģekilde x değiĢkenlerinin ifadesi dik koordinat sisteminden bağımsız hale gelir. Ġkinci olarak, (1) doğrusal unsuru Gauss‘un iki boyuttaki (yüzeylerdeki) nokta çiftleri arasındaki mesafeyi ölçmeye yarayan formülünün n-boyuta genellenmesini gösterir. Bu da yüzeyle ilgili geliĢigüzel koordinatların seçilmesi ve (1)‘de kullanılmasıyla gerçekleĢtirilir. Bu nokta bir sonraki kısmın (2.2) sonunda, nboyutlu manifoldluğun incelenmesi esnasında ele alınacaktır. Üçüncü olarak, (1) doğrusal unsuru ―bir manifoldun metriğini, manifoldun sonsuz küçüklükteki bir parçasında belirterek belirlemek gibi tamamen yeni bir fikri ortaya atar.‖426 Bu fikir iki yeni husus ortaya çıkarır. Birinci husus çalıĢmanın metodolojisiyle ilgilidir. (1) diferansiyel denklemi nokta analizi mümkün kılarak karmaĢık iĢlemleri ―mekânın veya zamanın sonsuz küçüklükteki bir unsuru‖427 çerçevesinde incelememize izin verir. Denklem (1) tek bir noktanın komĢuluğu ile bir diğeri temel alınarak oluĢturulduğu için, mekânın doğasının noktadan noktaya değiĢebilme olasılığını beraberinde getirir. Ġkinci husus V.F. Kagan tarafından Ģu Ģekilde özetlenmiĢtir: Ġlaveten, bu, (1) bağıntısını temel alarak sonsuz sayıda geometrik sistem oluĢturmanın genel metodunu sağlar. Doğru Ģekilde seçildiklerinde, bu sistemler ortaya koydukları geometrik temsiller sayesinde doğal fenomenlerin incelenmesinde kullanılacak gerçek araçlar olarak kullanılabilir. Bağıntı (1), manifoldu unsurları nokta olarak adlandırılan bir ―mekân‖a dönüĢtürür. Bir baĢka deyiĢle, bir Ģekilde (mesela (1) aracılığıyla) bir metrik tanımlanmıĢ nboyutlu bir manifold (kümesi), n-boyutlu bir mekân olarak adlandırılmaya baĢlanmıĢtır. Nboyutlu mekân terimi sıklıkla unsurları klasik geometridekilere benzer bağıntılarla bağlanmıĢ n-boyutlu unsurlar için kullanılır.428 Kagan. V.F. (2005). ―Riemann‘s Geometric Ideas‖, The American Mathematical Monthly, Vol. 112, No. 1, s.81. 427 A.g.y. s.81. 428 Kagan. V.F. (2005). ―Riemann‘s Geometric Ideas‖, The American Mathematical Monthly, Vol. 112, No. 1, s.81. ―For another, it provides a general method for constructing an infinite variety of geometric systems based on the relation (1). Properly chosen, these systems can serve as genuine tools for the study of natural phenomena through their geometric representations. The relation (1) transforms the manifold into a "space" whose elements are called points. In other words, a manifold 426 125 Yani, (1) ifadesi her biri aynı manifold üzerinde uygulanan değiĢik metriklerle 429 (metrik) ortaya çıkan değiĢik geometrik sistemler oluĢturmanın mümkün olduğunu ortaya koyar. (1)‘in ıĢığında, manifold, seçilen metrik sistemine göre bir ‗mekân‘ a2+b2+c2=d2 olarak tanımlanır. Buna ilaveten, bu n-boyutlu farklı ―mekânlar‖daki bağıntılar, klasik geometrideki bağıntılardan farklı değildir. Örnek olarak, 2 boyutlu klasik Öklidyen sistemde a2+b2=c2 Ģeklindeki Pisagor Teoremi kullanılır, 3 boyutta, n boyutta ise a2+b2+c2+…=z2 halini alır. Burada altı çizilmesi gereken nokta, iddianın Pisagor Teoremi‘nin tüm Riemann manifoldları için geçerli olduğu değil, manifold kavramı sayesinde kimi bilindik Öklidyen teoremleri n-boyutta da uygulanabildiğidir. Örnek olarak, Pisagor Teoremi hem R2 hem de Rn için geçerlidir.430 N-boyutun manifoldunu aramak Üstteki Ģarttan hareketle (―doğru çizgisi unsuru ikinci dereceden bir diferansiyelin karekökü olarak ifade edilebilir‖) metrik bağıntıları incelenmiĢtir. Burada Riemann ―belli bir noktada ve belli bir yüzey-doğrultusunda düzlükten sapma (eğiklik)‖ üzerinde yoğunlaĢır. Riemann‘a göre ―N-boyutlu bir manifoldun belli bir noktasındaki ve o noktadan geçen bir yüzey-doğrultusundaki eğiklik metriğinin anlamlı olabilmesi için, o noktada baĢlayan en kısa doğrunun, doğrultusu verilerek tamamen saptanabilir olması gerekir.‖ Metrik bağıntılarını belirlemek için ½ n (n–1) (doğrusal unsurun katsayıları) yüzey doğrultusunda bütün noktalarının eğikliğinin geliĢigüzel verilmiĢ olması kabul edilebilir ve yeterlidir.‖ Bu husus biraz daha açıklama gerektirir. Riemann daha önce n-boyutlu bir manifoldun yeterli bir temsili için n adet parametre fonksiyonuna ihtiyaç olduğuna değinmiĢti431 Eğer koordinat sistemi değiĢtirilirse, n parametre fonksiyonu da değiĢir. Buna rağmen, doğru çizgisi (set) of n dimensions in which a metric has been defined in some manner (by means of (1), say) came to be called a space of n dimensions. The term n-dimensional space is frequently applied to an ndimensional manifold whose elements are connected by relations similar to those of classical geometry.‖ 429 Burada metrik ile gi ve gj‘ seçilmesini anlatmak istiyoruz. 430 Basit bir ifadeyle Rn de Pisagor Teoremini 2 boyutta, örneğin bir kağıt üzerinde uyguluyoruz. R 2 de ise 3 boyutta, örneğin bir küpte uyguluyoruz. 431 N- boyutlu bir manifoltta bir nokta n-adet değiĢkenle temsil edilmiĢti 126 unsurunun matematiksel ifadesi ½ n (n+1) katsayı içerdiği için, geriye yine ½ n (n– 1) katsayı kalacaktır. Buradan hareketle Riemann ―bu yüzden eğer ½ n (n–1) yüzeydoğrultusundaki her noktanın eğikliği verilirse, sürekliliğin metrik bağıntılarının bunlar kullanılarak‖ bulunabileceği sonucuna varır. Burada dikkat etmek gerekir ki gi ve gj (manifoldu tanımlayan metrikler) koordinat sistemi tarafından değil eğiklik tarafından sağlanır. Yani manifoldu temsil etmek için belli bir koordinat sistemine ihtiyacımız yoktur, ―manifoldun metrik bağıntıları tamamen eğiklik tarafından belirlenir‖. Bu noktada Riemann‘ın Gauss‘un eğiklik temel kavramını genellediği görülür.432 Geometrik temsil Riemann, iç metriksel bağıntıları değiĢmeden bükülerek düzleme dönüĢtürülebildikleri için rast gele silindirik veya konik yüzeylerin düzleme denk olduğunu göstermiĢtir. Genel olarak düz manifoldlar Daha önceki incelemeler neticesinde Riemann, metriksel bağıntıları saptamak için ―her bir noktada, eğiklik ölçümleri birbirinden bağımsız ½ n (n–1) yüzeydoğrultusunda eğikliğin sıfır‖ olmasının yeterli olduğu sonucuna varmıĢtır. Eğikliğin her yerde sıfır olduğu bu manifoldlar ―eğikliğin her yerde sabit olduğu manifoldların bir özel durumu olarak düĢünülebilir‖. Bu saptamayı ―sabit eğikliğe sahip manifoldların ortak özelliği Ģöyle de özetlenebilir: onların içindeki Ģekiller sündürülmeden hareket ettirilebilir‖ diyerek örneklendirir. Bu yüzden, bu bölümün önemi, ―Öklidyen mekânın tarifi‖nin, bir yüzeyin eğikliğinin saptanmasıyla elde edilebilmesidir. Yani, manifold eğriliği kavramıyla Riemann Öklidyen mekânı (sabit, sıfır eğiklik) ve Ģekillerin metriksel bozulmaya uğramadan hareket ettirilebildikleri mekânları tarif etmeye çalıĢır. Sabit eğriliğe sahip (pozitif, negatif veya sıfır eğiklik) bir manifoldda bunun mümkün olduğu söylenebilir, çünkü 432 Obrecht, A.Paul (2001). ―Four out of Five Mathematicians Agree: Riemann is God‖, s.5. 127 herhangi bir noktadaki tüm eğrilik ölçümleri farklı herhangi bir noktadaki ölçümlerle aynı ve onlara eĢittir. Sabit eğrilik ölçüsünün sonuçları Bu kısım esas olarak mekânın nasıl değiĢik metriksel sistemlere uygun olabileceğini gösterir. Yani Riemann farklı değerdeki sabit eğiklik ihtimalinin önünü açmaktadır; pozitifken küresel bir mekân elde edilirken, negatifken bizi farklı geometrilerin varlığı ihtimaline götüren sabit negatif eğiklik elde edilir. Bu noktayı Ģu Ģekilde özetler: ―Daha az pozitif eğriliğe sahip yüzeyler, daha geniĢ küresel yüzeylerden iki geniĢ çemberin yarıları kadar bir kısmın kesilmesi ve kenarlarının birleĢtirilmesiyle elde edilebilir. Sıfır eğriliğe sahip yüzey ekvator üzerinde duran silindirik bir yüzey olacak; negatif eğriliğe sahip yüzeyler ise bu silindire dıĢ teğet geçecek ve eksene bakan kısmı bir halkanın yüzeyinin iç kısmı Ģeklinde olacaktır.‖ Riemann‘ın adımlarını takip ederek konferansın son kısmı olan ve Riemann‘ın ―küçükten büyüğe, yerel özelliklerden yer kaplayan büyüklüklere ve oradan da manifoldların bahsedilen evrensel özelliklerine ve açıkça matematikten fiziğe bir geçiĢ olan metodunun özeti‖433olan ―Mekâna Uygulanması‖ kısmına geçebiliriz. “Mekâna Uygulanması” Geometride varsayılan mekânın ölçü bağıntılarını saptamanın gerekli ve yeterli koşulları. Bu kısmın baĢında Riemann ―doğruların konfigürasyondan bağımsızlığı‖ ve ―doğru çizgisi unsurunun ikinci dereceden bir diferansiyelle ifade edilebildiği‖ varsayımlarıyla yaptığı metriksel bağıntıların saptanması incelemesinin sonucunda mekânın metriksel bağıntılarının saptanmasının gerekli ve yeterli koĢullarının elde edilebileceği yorumunda bulunur. Üç farklı durumdan söz eder; 433 Gray, J. (1989). Ideas of space. Oxford: Clarendon press, s.143. 128 1. Bu koĢulların ―bir üçgenin iç açıları toplamı daima iki dik açıya eĢittir‖ durumu için incelenmesi 2. Öklidyen bir varsayımın izinden gitmek; doğruların hem varlığı hem de gövdeleri konfigürasyondan bağımsızsa ―o zaman eğiklik her yerde sabittir; o zaman da bir üçgenin iç açılarının toplamı herhangi bir üçgen için saptanırsa tüm üçgenler için de saptanmıĢ demektir‖. 3. Doğruların uzunluklarını konumdan bağımsız düĢünmek. Bu, ―konumdaki değiĢiklikler ve farklar kendi bağımsız birimleriyle ifade edilebilen karmaĢık çokluklardır‖ demektir. Empirik saptamaların sorgulanması ―AraĢtırma planı‖ bölümünün baĢında Riemann mekânı incelemek için aradığı gerçekliklerin ―sadece empirik kesinliğe‖ sahip olduğunu belirtmiĢti. Bu yüzden empirik sınırlar içerisindeki olasılıklarını araĢtırmalıyız. Bu anlayıĢa uygun olarak, bir sonraki kısımda Riemann ―bu varsayımlar nasıl, ne seviyede ve ne kadar deneyim tarafından güvencelenmiĢtir‖434 sorusuna yanıt arar. “Genişlik bağıntıları” ve “ölçüm bağıntıları” arasındaki ayrım Yukarıdaki soru bağlamında Riemann ―muhtemel durumların ayrık bir manifold oluĢturduğu ve deneyimin asla emin olamadığı, fakat kesinlik konusunda eksiği olmayan‖ ―sadece geniĢlik bağıntıları‖ ile ―muhtemel durumların bir süreklilik oluĢturduğu, olasılığı çok yüksek dahi olsa, deneyime bağlı hiçbir belirlemenin hiçbir zaman kesin olmadığı‖ ―ölçüm bağıntıları‖nı birbirinden ayırır. GeniĢlik ve ölçüm bağıntıları arasındaki bu farkın önemi, ―bu empirik saptamalar, gözlemin sınırlarının ötesine, ölçülemeyecek kadar büyük ve ölçülemeyecek kadar küçük olanlara geniĢletildiğinde‖ ortaya çıkar; zira ―gözlemin sınırlarının ötesinde‖ ölçüm bağıntılarının ―kesinliği daha da azalabilir, ama bu diğeri için geçerli değildir‖. Riemann, B. (1854). ―On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry‖, çevr. William Kingdon Clifford [Nature, Vol.VIII.Nos. 183,184, ss.14-17,36,37]. 434 129 “Sınırsızlık” ve “sonsuzluk” ayrımı Ġkinci kısmın konusu, ―mekândaki yapılar ölçülemeyecek büyüklüklere geniĢletildiği‖nde görünür hale gelen ―sınırsızlık‖ ve ―sonsuzluk‖ ayrımıdır. Bu ayrım, yukarıda incelenen ―geniĢlik özellikleri‖ ve ―ölçüm özellikleri‖ ayrımı üzerinden okunabilir. ÇağdaĢ terminolojide ―geniĢlik bağıntıları‖ ―topolojik bağıntılara‖, ―ölçüm bağıntıları‖ ise ―metriksel bağıntıları‖na tekabül eder. Bu farkı bir kürenin yüzeyini inceleyerek görebiliriz; bu yüzey sonsuz değildir ama sınırsızdır. Riemann'a göre ―mekânın sınırsız, üçlü yer kaplayan bir manifold olduğu‖ varsayımı ―dıĢ dünyayla ilgili tüm kavrayıĢlarımızca da teyit edilir‖. Buna bağlı olarak da ―mekânın sınırsızlığı empirik olarak dıĢ dünyayla ilgili tüm deneyimlerimizden daha kesindir‖. Doğayı anlamada sonsuz küçüklüğün önemi Bu kısım, doğayı anlamada sonsuz küçüklükler üzerine yapılan çalıĢmaların faydası üzerinde durur; ―ölçülemez büyüklükteki alanlarla ilgili sorular, doğayı açıklamak için oldukça kullanıĢsızdır. Ölçülemez küçüklükler içinse durum farklıdır. Fenomenlerin nedensel bağlantılarına dair bilgimiz temelde onları sonsuz küçüklüklere kadar takip ederkenki hassasiyetimize bağlıdır‖. Riemann da buradan ―ölçümün sonsuz küçüklüklerdeki mekânsal bağıntıları bu yüzden kullanıĢsız değildir‖ sonucuna ulaĢır. AĢağıda, ―geometrinin önermelerinin geçerliliği‖, sonsuz küçüklük vurgusuyla incelenmiĢtir: Sonsuz küçüklükler için geometrinin önermelerinin geçerliliği sorunu, mekânda bağıntıların kaynağı sorununun bir parçasıdır. Aslında mekân felsefesi kapsamında ele alınabilecek bu soruyla bağlantılı olarak, yukarıdaki saptama kullanılabilir. Yani ayrık manifoldlarda metriksel bağıntılar manifoldun içkin bir özelliğiyken, sürekli manifoldlarda bu özellik dıĢarıdan sağlanmalıdır. O zaman ya mekânı oluĢturan gerçek 130 unsurlar ayrık bir manifold oluĢturmalı, ya da metriksel bağıntıların kökeni o gerçekliğin haricinde, onun üzerinde etki eden kuvvetlerde aranmalıdır. 435 Sonunda Riemann, Ģu ana kadar takip ettiği yolu ―bu yol bizi fiziğin, mevcut durumun doğasına inmemize izin vermediği dünyasına götürür‖ Ģeklinde tasvir eder. 5.2. Habilatitionsvortag‟ta Riemann ne diyor? Tarihsel-epistemolojik bir yorum Newton, Leibniz ve Kant‘ın da dâhil olduğu mekânın doğasına iliĢkin tartıĢmalar ve Öklidyen postülatların doğasına iliĢkin tartıĢmalar mekân tarihinde önemli yer tutar. Riemann mekânı 'yapılandırılabilir bir noktalar kümesi' (manifold ) olarak alarak tanımlar ve mekânın sonsuz küçüklüklerdeki davranıĢlarını inceler. Ayrıca Riemann'ın ortaya koyduğu kavramın kökenleri hem Herbart'ın felsefesinde, hem de Gauss'un eğrilik çalıĢmaları ve karmaĢık sayıları anlatırken kullandığı geometrik dilde bulunabilir. Ġlkinin felsefesi Kantçı felsefeden Leibnizci felsefeye bir geçiĢ addedilirken, ikincisi hem Öklidyen olmayan geometrinin öncülerinden biri, hem de mekân ve geometriye Kantçı bakıĢın rakiplerinden biri olmuĢtur.436 Riemann'ın Habilatitionsvortrag'ı sunarken Lobachevski ve Bolyai'nin Öklidyen olmayan geometrilerine hiç atıfta bulunmamıĢ olması dikkat çekicidir.437 Bu durum, Riemann, Bernhard, ―On the Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry‖, çevr. Simith,D.E.(1929) in A Source Book in Mathematics, s.425. ―The question of the validity of the postulates of geometry in the indefinitely small is involved in the question concerning the ultimate basis of relations in space. In connection with this question, which may well be assigned to the philosophy of the space, the above mark is applicable, namely that while in a discrete manifold the principle of metric relations is implicit in the notion of this manifold, and it must come from somewhere else in the case of a continuous manifold. Either then the actual things forming the groundwork of a space must constitute a discrete manifold, or else the basis of metric relations must be sought for outside that actuality, in colligating forces that operate upon it.‖ 436 Yani bir anlamda denebilir ki 19.yy fiziksel geometrisi bir anlamda Kant‘ın kendisi tarafından baĢlatılmıĢ olmasına rağmen Kant‘tan kopuĢu sergilemektedir. DiSalle, R.(2006) Understanding Space-Time, Cambridge University Press, s.25. 437 Riemann Lobachevski ve Bolyai‘den bahsetmemesine rağmen büyük ihtimalle onların çalıĢmalarından haberdardı. Çünkü Lobachevski‘nin çalıĢmalarından biri 1837 yılında Crelle‘nin Dergisinde yayınlanmıĢtı.Bakınız; Bottazzini, U. Tazzioli, R. (1995). ―Naturephilosophie and Its Role in Riemann‘s mathematics‖, Revue d‟histoire des math´ematiques, s.27. The Journal für die reine und angewandte Mathematik [Journal for pure and applied mathematics] 1826 yılında matematiksel çalıĢmalara derin bir ilgi duyan, bir mühendis ve yüksek memur olan A. L. Crelle‘nin kurduğu ve editörlüğünü yaptığı bir dergiydi. Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser, s.8. Buna ek olarak Riemann‘ın Lobachevski be Bolyai‘nin çalıĢmalarından Gauss aracılığıyla haberdardı. 435 131 Riemann'ın yeni bir aksiyomatik sistem üretmek veya ―bağımsızlık ve tutarlılık gibi kavramların bir incelemesi‖ne giriĢmek gibi bir amacının olmaması göz önünde bulundurulursa anlaĢılabilir. Onun esas amacı, doğayı ―içyapısı‖ndan yola çıkarak yorumlamaktır.438 Bu mantığa dayanarak, kavramını sadece matematiğe atıfla ortaya koyması mümkün değildir zira bu kavramın açıklanması için ―matematikte dilsel veya sembolik bir çerçeve yoktur.‖439 Bu yüzden Riemann'ın öne çıkardığı kavram teknik değil ―yarı-felsefi bir Ģekilde‖ tanımlanmıĢtır.440 Habilitationsvortrag‘ın özel olarak da manifold kavramının değerlendirilmesi için önce Riemann‘ın metodolojisinin genel hatlarını ve manifold kavramının geometride ve diğer alanlardaki pozisyonunu inceleyeceğim. Ardından felsefi bir mesele olan Riemann‘ın apriori fikrinden kaçınması üzerine görüĢlerimi sunacağım. Riemann'ın metodolojisiyle ilgili değinilmesi gereken ilk husus onun analitik yaklaĢımıdır. Riemann, çalıĢmalarında analitik yaklaĢımı benimsemiĢtir zira ―geometrik ispatlarda, algılarımız bizi yanıltarak açıkça belirtmediğimiz varsayımlarda bulunmamıza sebep olabilir‖441 Riemann mekânı yapılandırılabilir bir noktalar kümesi (manifold) olarak tanımlamıĢtır ve uzaklık fonksiyonuyla (doğru çizgisi unsuru) bir metrik tanımlayabileceğimizi göstermiĢtir. Riemann aynı zamanda bu iĢlemlerin ve yapıların geçerli olup olmadığının empirik sınırlar dâhilinde ―olasılıklarını araĢtırmak‖ gerektiğini de belirtir. Habilatitionsvortrag'da uzaklık fonksiyonunu tanımlarken Riemann'ın diferansiyel denklemler kullandığı görülür. Bunun önü Gauss ve birtakım baĢka matematikçiler tarafından açılmıĢtı.442 Riemann da onların yolunu takip etmiĢ ve diferansiyel metodlar olanağını geniĢletmiĢtir. Onun analitik yaklaĢımı empirist epistemoloji ıĢığında daha kolay anlaĢılabilir. Bu iki eğilimi, yani empirisizm ve analitik yöntemi, bir araya getirerek Riemann mekânı Bakınız; Detlef, L. (1999). Turning points in the conception of mathematics: Bernhard Riemann 18261866. Boston: Birkhauser, s.224. 438 Ehm, Werner (2010). ―Broad views of the philosophy of nature: Riemann, Herbart, and the ―matter of the mind‖', Philosophical Psychology, 23: 2, s.148. 439 Scholz, E. (1999a). ‗The Concept of Manifold‘, 1850-1950, James, I. M. (1999) History of Topology, içinde s.26. 440 Scholz, E. (1992). ―Riemann's new vision of a vew approach to geometry‖. D. F. L. Boi in, 18301930: a century of geometry Berlin: Springer-Verlag, içinde, s.22. 441 Kline, M. (1972) Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press, s.889. 442 Öklidyen olmayan geometrilerin metodolojilerine göre incelendiği bölüme bakınız. 132 diferansiyel denklemlerle inceler ve bu vesileyle mekânın yerel özellikleri anlaĢılabilir hale gelir ki bu da doğayı içyapısından yola çıkarak açıklama amacıyla örtüĢür. Riemann her ne kadar Öklidyen yaklaĢıma ters düĢtüğü için ―aykırı düĢünür‖ gibi görünse de, aslında Öklidyen geometri genellemesini doğallaĢtırmıĢtır.443 Yaptığı Ģey sadece Öklidyen geometrinin ayrıcalıklı rolünü aĢındırmak olmuĢtur.444 Bu doğallaĢtırma sürecinde Riemann'ın kullandığı mantık, yöntem ve sezgilerin ―ekstra matematik‖ addedilip addedilemeyeceği ucu açık bir sorudur. Yine de, mekân kavramı ve geometrinin evrimi konularındaki konumu epistemolojik bir kırılma noktası olarak kabul edilebilir.445 Hem Öklidyen olmayan geometrilerin keĢfi açısından, hem de geometri tarihi ve diğer alanlar açısından Riemann'ın bakıĢ açısı birçok Ģeyi değiĢtirmiĢtir. Öncelikle Öklidyen olmayan geometrileri ele alalım. Manifold kavramıyla Riemann sadece ―geometrik düĢünceyi Öklidyen deli gömleğinden kurtarmıĢ‖446 değil, aynı zamanda sorunu daha genel bir bağlamda ele alıp çözmüĢtür. Laugwitz bu noktayı Ģu Ģekilde açıklar: ―Öklidyen olmayan geometri gerçekten bir yenilik getirmiĢ midir? ĠĢin aslı Öklidyen inĢa yöntemlerinin tamamen dâhilinde kalmıĢtır, fakat Riemann bu alanı terk etmiĢ ve mekânı tamamen farklı bir Ģekilde inĢa etmiĢtir.‖447 Riemann'ın son derece genellenebilen manifold kavramı, mekân hakkındaki fikirlerimizi ve geometrinin statüsünü oldukça değiĢtirmiĢtir. Manifoldun iĢin içine girmesiyle ne Öklidyen ne de baĢka bir geometrinin diğerlerine göre bir önceliği olmadığı görülebilmiĢtir.448 Bu yeni kavram çerçevesinde geometri öylesine tekrar temellendirilmiĢtir ki ―Riemann sonsuz boyutlu mekânları incelemeye hazırdı. 443 Detlef, L. (1999). Turning points in the conception of mathematics,Bernhard Riemann 1826-1866. Boston: Birkhauser, s.232. 444 Manifoldu lokal olarak Öklidyen tanımlıyoruz. 445 Scholz, E. (1992). Riemann's new vision of a view approach to geometry. D. F. L. Boi in, 18301930: a century of geometry , Berlin: Springer-Verlag, içinde s.22. 446 A.g.e., s.24. 447 Detlef, L. (1999). Turning points in the conception of mathematics, Bernhard Riemann 1826-1866. Boston: Birkhauser, s.295. 448 Riemann‘ın tanımlamıĢ olduğu doğru çizgisi unsuru (ds2=∑ij gij dxi dxj)unda gi and gj lerin her farklı seçimi bize farklı geometriler tanımlayabileceğimiz farklı metrikler sağlamaktadır. 133 Öklidyen mekân ise öncelikli bir role sahip değildi, hatta hiçbir role sahip değildi… Geometri artık Öklidyen geometri ile baĢlamıyordu.‖449 Geometrinin bu durumunu biraz daha derin irdelemeye çalıĢalım. Gauss'un ortaya attığı içkin ölçümden yola çıkan Riemann, Gauss'un görüĢünü geliĢtirerek sabit eğriliğe sahip manifoldların değiĢik değerlerinin gündeme getirdiği olasılıklardan bahseder; eğrilik pozitifken küresel bir mekân elde edilirken, sürekli negatif eğrilik farklı geometrilerin varlığı ihtimalini ortaya çıkarır. Riemann'ın Habilatitionsvortrag‘ının ―matematik tarihi üzerindeki muazzam etkisi‖450 üzerine yazarken Gray Ģunlardan bahseder: Geometrik düĢüncede ilk kez Öklid'den daha temel birimlerle düĢünmek mümkün olmuĢtur, böylece Öklid'in tasavvurundaki muğlaklıklar ve problemler çözülebilir hale gelmiĢtir.451 Ayrıca, Öklidyen olmayan, Öklid'inkilerin özelliklerinin birçoğundan mahrum olan ama yeni özelliklere sahip geometriler tasarlamak mümkün olmuĢtur ve bu teoriler Ģu anda fizikte ve özellikle görelilik kuramında sıkça kullanılır hale gelmiĢtir. 452 Ġlk defa, paralellik hakkında döngüsel gerekçelendirme geometrilerden bahsetmek mümkün hale gelmiĢtir.453 yapmadan değiĢik Riemann'ın en büyük iddiası konum kavramı ve konumun iliĢkilerinin uzaklık ve yön olarak ifade edilebilmesinin geometriye temel teĢkil ettiği iddiasıdır. Bu temel kavramlardan klasik geometriyi yeniden kurmak ve kendi baĢına ilgili çekici olan, fizikte olduğu gibi, yeni geometriler icat etmek mümkündür. 454 Daha önce gördüğümüz gibi Riemann‘ın Habilatitionsvortrag'ı her biri daha önce bahsedilen ―sihirli üçgen‖e denk gelen üç kısma ayrılmıĢtır; felsefi bağlamda manifold kavramının üretimi, matematiksel bağlama doğru unsuru denklemi ve fiziksel bağlamda bunların mekâna uygulanması. Manifold kavramı, Riemann'ın Gray, J. (2008). Plato‟s Ghost: The Modernist Transformation of Mathematics, Princeton University Press, s.52. 450 Gray, J. (1989). Ideas of space. Oxford: Clarendon press, s.141. 451 A.g.e. s.141. ―For the first time it becomes possible to think geometrically in terms more basic than those of Euclid, with the result that ambiguities and difficulties in Euclid‘s formulation can be resolved.‖ 452 A.g.e. s.141. ―Further, it became possible to design geometries that were highly non-Euclidean, lacking many properties of Euclid‘s but having new ones of their own, and these new geometries now turn up frequently in physics, notably in relativity theory.‖ 453 A.g.e. s.145. ―For the first time we have a way of saying what the various geometries are without making any question begging assumptions about parallels.‖ 454 A.g.e. s.145. ―The profound suggestion of Riemann is that basic to geometry is the notion of position, and the relations of position can be expressed by means of direction and distance. From these basic notions it is possible to recapture all of classical geometry and to invent new geometries which might be of independent interest, for example in physics.‖ 449 134 doğa-felsefesinin (nature philosophy) bir örneğidir. Bu noktada manifold kavramının Riemann'ın programının bileĢenleri arasında merkezi bir yere sahip olduğunu hatırlamakta fayda vardır; Habilitationsvortrag, bu kavramın tanımıyla baĢlar. Yani, manifold kavramının ortaya atılması, onun matematiksel üretiminden önce gelir.455 Boi, makalesinde ―yeni fikirler, özellikle Riemann'ınkiler, mekânın doğası ve geometrinin statüsüyle ilgili görüĢlerimizi muazzam bir Ģekilde değiĢtirmiĢtir‖456 dedikten sonra Riemann'ın genel olarak mekân incelemesi ve spesifik olarak manifold kavramını ortaya atıĢı ile ilgili konumunu Ģu Ģekilde açıklar: Öncelikle bu bilimin bizzat konusu artık değiĢmiĢtir; Riemann üç boyutlu Öklidyen mekânı değil matematiksel olarak çok daha genel bir kavram olan manifold (Mannigfaltigkeiten) kavramını inceler. Bu noktadan sonra Öklidyen mekân, sabit eğiklikli üç boyutlu bir manifoldun sadece herhangi bir örneğidir. Ġkinci olarak, geometrik mekân matematiksel olarak üç yapısal seviyede belirlenir: topolojik-biçimsiz, metriksel, türevlenebilir ve topoloji-türevlenebilir. Bu yapıların her biri tamamlayıcı özellikler ekleyerek mekân kavramının zenginliğini artırır. Üçüncü olarak, Riemann manifold kavramını sadece matematiksel açıdan değil, aynı zamanda fiziksel ve diğer doğal fenomenleri daha bilinebilir ve anlaĢılabilmesi açısından Öklidyen tasavvurdan daha genel ve güçlü addeder; Riemann için matematiksel ve özellikle geometrik yapıların fiziksel öneme sahip olduğu, geometriyi fiziksel evrenin idealize edilmiĢ bir görüntüsü olarak gördüğü de unutulmamalıdır. 457 Ġlerlemeden önce, yukarıdakilerden hareketle Riemann'ın temel kavramının bazı özelliklerini listelemek faydalı olacaktır. Manifold kavramı; 1) üretkendir; hem Öklidyen hem de diğer geometrilerin varlığına izin verir ve her iki tip geometri de 455 Gray, Detlef, L. (1999). Turning points in the conception of mathematics,Bernhard Riemann 18261866. Boston: Birkhauser, içinde, s.232. 456 Boi L, (1992). ―The "revolution" in the geometrical vision of space in the nineteenth century, and the hermeneutical epistemology of mathematics‖, Donald G. Revolutions in Mathematics. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, içinde, s.192. 457 Boi L, (1992). ―The "revolution" in the geometrical vision of space in the nineteenth century, and the hermeneutical epistemology of mathematics‖ , Donald G. Revolutions in Mathematics. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, içinde, s.192.―First, the very subject of this science is no longer the same; he considers not three-dimensional Euclidean space but the mathematically much more general concept of manifolds (Mannigfaltigkeiten). Euclidean space could thenceforth be no more than a particular sort of three- dimensional manifold of constant-curvature space. Secondly, geometrical space is mathematically determined according to different levels of structure: the topological-amorphous, metrical, differentiable, and the topologicaldifferentiable. Each of these structures adds complementary properties of increasing richness to the concept of space. Thirdly, Riemann saw the concept of manifolds as being more general and profound than the Euclidean concept, not only from the mathematical point of view but as making the phenomena of physics, and nature in general, more knowable and more intelligible. It must not be forgotten that for Riemann, mathematical- and particularly geometrical- structures also had an essentially physical significance, and that he basically conceived of geometry as an idealized image of the physical universe.‖ 135 ondan türetilebilir, 2) açıklayıcıdır; fiziksel geometride, mesela Einstein'ın görelilik kuramında ve görüntüleme bilimi bu açıklayıcılığın örnekleridir (imaging science) 3) yalınlık ilkesine uygundur; tüm diğer varsayım ve yapılar manifold kavramının etrafında Ģekillenir.458 Riemann'ın ortaya attığı kavram yeni bir aksiyomatik sistem yaratma veya mevcut bir sistemi değiĢtirme çabasından ziyade ―matematiksel ve fiziksel teori için yeni kavramsal olanaklar yaratmak amacıyla, yeni, daha zengin ve daha geniĢ geometrik kuramlar geliĢtirerek temellerin derinleĢtirilmesidir‖.459 Riemann'ın manifoldu sadece geometri alanında değil baĢka alanlarda da üretkendir. Her Ģeyin geometrileĢtirilebileceği fikrine dayandığı için fizik gibi diğer alanlarda da bir araç olarak iĢlev görür. Bir örnek vermek gerekirse, ―genel görelilikte uzay, metriği maddenin varlığınca belirlenen dört boyutlu bir Riemann uzayı olarak tasavvur edilir; buna bağlı olarak Einstein'ın ünlü eĢdeğerlik prensibinde metrik ve yerçekimi birbirine eklemlenir. ds2=∑ij gik dxi dxj formülü bir Riemann manifoldunun doğrusal unsurunu tanımlar; genel görelilikte gij yerçekimi alanını tanımlamak için kullanılır.‖460 Fiziksel araĢtırmalara bir baĢka örnek olarak Scholz'un Riemann'ı alıntıladığı Ģu sözlerine bakılabilir: ―Gauss oldukça temkinliyken, öğrencisi B. Riemann daha kesin bir önermede bulunmaya cesaret etmiĢtir. 1854 tarihli ünlü Habilitationsvortrag'ının sonunda Riemann manifold kavramının ―mekân‖ın, yanı Herbart‘ın merkezi kavramlarla çalıĢma önerisini ve Riemann‘ın bu anlayıĢı manifold kavramını biçimlendirmesinde nasıl etkili olduğunu hatırlayınız. 459 Ferreiros, J. (2006). ―Riemann's Habilitationsvortrag at the Crossroads of Mathematics, Physics and Philosophy‖. J.Gray, Ferreiros, J. (Eds.), The Architecture of modern mathematics, New York: Oxford University Press., içinde s.69. Ferreiros ―temellerin derinleĢtirilmesi‖ (deepening of foundations) ifadesini Hilbert‘in kullandığı Ģekline atıfta bulunarak kullanır. 460 Boi L, The "revolution" in the geometrical vision of space in the nineteenth century, and the hermeneutical epistemology of mathematics in Donald G. (1992) Revolutions in Mathematics. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, içinde s.193. ―…in general relativity space is conceived as four dimensional Riemannian space whose metric is determined by the presence of matter; consequently, according to Einstein‘s well-known principle of equivalence, metric and gravitation are fused. The formula ds2=∑ij gik dxi dxj defines the linear element of a Riemannian manifold; in general relativity the functions gij are used to describe the gravitational field.‖ 458 136 fiziksel mekânın, yapısının belirlenmesinde kullanılmasını tartıĢır (sect. III.3). Soruyu nasıl düĢündüğünü aydınlatan küçük bir yorum yapar:‖461 Eğer nesnelerin mekândan bağımsız olarak var olduğunu varsayarsak, o zaman eğiklik ölçümü her yerde sabit olmalıdır ve astronomik ölçümlerden hareketle bu değer sıfırdan farklı olamaz; en azından karĢılık değeri, teleskoplarımızda görebildiğimiz alanın karĢısında kaybolacağı bir alan olmalıdır. 462 Manifoldun üretkenliğine ve açıklama gücüne baĢka bir alandan, görüntüleme bilimi ve teknolojisinden de bir örnek verebiliriz. Riemann'ın doğrusal unsuru sonsuz küçüklüklerin araĢtırılmasına imkân verdiği için renk uyaranlarının incelenmesinde kullanılmaktadır: ―Riemann geometrisi, Öklidyen bir mekândaki koordinat sistemine benzer bir koordinat sistemini bir renk mekânında da kurabilmek için çok güçlü araçlar sunar. Özellikle iki renk uyaranı arasındaki renk farkı ikisi arasındaki jeodezik mesafeyle ölçülebilir.‖463 Açıkça görüldüğü gibi, felsefe ve geometri arasındaki etkileĢim, fizik ve geometri arasındaki etkileĢime dönüĢür. SONUÇ VE DEĞERLENDĠRME : Herbart, Gauss, Riemann ve Kant Riemann'ın genel olarak geometri üzerine ve özelde manifold kavramı üzerine çalıĢmalarını anlamanın bir yolu da epistemolojisi üzerine düĢünmektir. Riemann'ın duruĢu Kant karĢıtı anlayıĢın izlerini taĢır. Bu anlayıĢ, Riemann'ın iki akıl hocasına bağlanabilir. Daha önce incelendiği üzere, Herbart çalıĢmalarına Kantçı bir anlayıĢla baĢlamıĢ olsa da sonunda Leibnizci felsefede karar kılmıĢtır. Herbart'ın Kantçı Scholz, E. (2005). ―Curved spaces: Mathematics and empirical evidence‖, ca. 1830 – 1923, Oberwolfach Reports 2 (4), 3195—3198, s.3. ―While Gauss remained very cautious, his student B. Riemann dared a more definite claim. At the end of his famous Habilatitionsvortrag of 1854 Riemann discussed the application of the concept of manifold to the determination of the structure of ―the space‖, i.e., physical space (sect. III.3). Just in passing he made a remark which sheds light on how he thought on the question.‖ 462 Riemann, Scholz, E.(2005). ―Curved spaces: Mathematics and empirical evidence‖, ca. 1830 – 1923, Oberwolfach Reports 2 (4), 3195—3198,içinde s.3. ―If one assumes existence of the bodies independent on the place, then the curvature measure is constant everywhere, and it follows from astronomical measurements that it cannot be different from zero; at least its reciprocal value had to be an area against which the area accessible to our telescopes had to vanish.‖ 463 Toko Kohei, Jinhui Chao, ve Reiner Lenz (2010).―On Curvature of Color Spaces and Its Implications‖, published in CGIV-Fourth European Conference on Colour in Graphics, Imaging, and MCS/10 Vision 12th International Symposium on Multispectral Colour Science, s. 393. 461 137 felsefeyi terk etmesinin temelinde, Riemann'ın da kurtulmaya çalıĢtığı apriorici tutum yatar. Hem Herbart hem de Riemann için, bilginin merkezinde deneyim yatar. Öte yandan bu Riemann'ın saf bir empirist olduğu anlamına gelmez. Ġnsan zihni, bilimsel bilgi edinmede etkin bir rol oynar.464 Her iki düĢünür de deneyimin ve zihinsel iliĢkilendirmenin (mental association) önemli olsa da, bunların bilimsel bilginin yegâne kaynakları olmadığını, gerçekliğin tutarlı bir kavrayıĢının derin düşünce (Nachdenken) gerektirdiğini savunmuĢtur.465 Bu yüzden, bilimsel bilgi ―deneyimin sunduğu gözlemler ve derin düĢüncenin sağladığı varsayım veya teorilerin etkileĢimi‖ haline gelir.466 Scholz‘un Riemann‘ın geometrisinin bilgi kuramını özetlediği Ģu sözlerine bakalım: Riemann'a göre teorik bilgi, özellikle matematik teorisi, bilimsel bilgi için kavramsal bir çerçeve oluĢturduğu ölçüde, empirik bilgiye göre göreli veya diyalektik apriori demeyi tercih ettiğim bir rol oynar. -Bu bilgi apriori'dir; zira tümevarım, genelleme, hatta deneyimlerin idealize edilmesiyle bile elde edilemez. Bilinçli bir kavramsal yaratının ürünüdür ve empirik araĢtırmalar için teorik bir referans sistemi olarak iĢlev görür. Bu yüzden de empirik dünyanın anlaĢılmasında Ģekillendirici bir rol oynar. - Öte yandan bu bilgi göreli ve diyalektiktir. Yapısı biricik olarak belirlenmiĢ değildir, yani kavramların üretiminde teorik tercihlere yer vardır ve bu tercihler mevcut empirik kanıtların ıĢığında yapılır. Zaman içerisinde sabit olmadığı kadar, tarihsel bir süreç olarak bilginin rafine edilmesi vesilesi ile de değiĢebilir. Rafine etmek (Riemann'ın tabiriyle) eski yapıyı, onun geçerliliğini tamamen ortadan kaldırmadan kavramsal açıdan değiĢtirme anlamına gelen pragmatik bir deyiĢ olarak okunabilir. Bu yüzden de her ne kadar daha genel bir dil kullanılmıĢ olsa da, diyalektik olumsuzlamanın (Aufhebung) karakteristik özelliklerini paylaĢır.467 Ferreiros, J. (2006). ―Riemann's Habilitationsvortrag at the Crossroads of Mathematics, Physics and Philosophy‖., J.Gray, Ferreiros, J. ( Eds.), The Architecture of modern mathematics, New York: Oxford University Press, içinde s.74. 465 A.g.e., s.74. 466 A.g.e., s.74. 467 Scholz, E. (1992).―Riemann's new vision of a vew approach to geometry‖. D. F. L. Boi, 18301930: a century of geometry, Berlin: Springer-Verlag, içinde s.32. ―Theoretical knowledge, in particular mathematical theory, insofar as it constitutes a conceptual framework for scientific knowledge, plays, according to Riemann, a role of what I want to call a relative or dialectical apriori with respect to empirical knowledge. - This knowledge is apriori, because it is never to be derived by induction, generalization, or even straightforward idealization from experience. It is constituted by a deliberate conceptual creation and serves as a theoretical system of reference for empirical investigations and thus plays a formative role for the cognition of the empirical world. On the other hand this knowledge is relative and dialectical. Its structure is not uniquely determined, i.e. there is place for theoretical choices in the process of generation of the concepts, and these choices are done in consideration of the available empirical evidence. Just as little is it stable in time; it is subject to changes during the historical process of refinement of knowledge. Refinement (Riemann's term) may 464 138 Riemann'ın apriori fikrinden kaçınması468 sadece Herbart'ın felsefesinden kaynaklanmaz. Gauss da mekân ve geometri üzerine Kant ile tam bir uyuĢma içinde değildir. Her Ģeyden önce, Gauss Öklidyen olmayan geometrinin öncülerinden biriydi. Kant'a göre gerçek geometri Öklidyen olmalıyken, Gauss baĢka geometrilerin de mümkün olduğunu göstermenin – ki bu konuda baĢarılı olmuĢ olsa da ―Boethçilerin yaygarasından‖469 korktuğu için çalıĢmalarını yayınlamakta tereddüt etmiĢtir – peĢindeydi. Kant saf zihni bilginin kaynağı olarak belirlemez; bilgi, deneyin sunduğu malzemenin zihnin kategorik fonksiyonu aracılığıyla bir senteze getiriliĢidir. Kant‘a göre bilgi deneyle baĢlar ama deneyden gelmez. Deney bilginin verisini sağlar. Çünkü bilgi deneyle elde edilen içeriğin zihnin düzenleyici-sentezleyici edimini Ģart koĢar. Bu düzenleme esnasında nesne empirik gerçeklikten saf görünün formları olan zaman ve mekân içinde alınarak zihin tarafından iĢlenir. Bu formlar deneyden gelmez, aprioridir. Görüldüğü gibi Kant için mekân ne doğuĢtan gelen zihinsel bir entitedir, ne de bizim dıĢ dünyada nesnenin kendisine iliĢtirilmiĢ olarak bulduğumuz reel bir unsurdur. Saf görü olarak mekân, mümkün deneyin, Ģeyleri algılayabilmemizin koĢulu olarak iĢ görür. Apriori (saf) görü olarak mekân, tüm duyusallığı olanaklı kılan duyusallık yetisinin bir formudur. Kant‘ın temel sorusu geometrinin aksiyomlarının epistemolojik statüsünün ne olduğu ile ilgiliydi. Eğer bu aksiyomlar analitik doğrular değilse sentetik olmak be read as a pragmatic expression for a type of conceptual change which overcomes the old structure without destroying completely the latter's validity. It thus shares the characteristic features of dialectical negation (Aufhebung), even if presented in less elaborate language.‖ 468 Ferreiros, J.(2005). ―Dogmas and changing Images of Foundations‖, Philosophia Scientiae, Cahier special Fonder autrement les mathématiques, G. Heinzmann, P. Nabonnand, eds. içinde s.3. 469 Kline, M. (1972). Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Oxford University Press, s.871. Gauss ―The clamour of Boetians‖ (―Boetçilerin çığlığı‖) tabirini dogmatic düĢünce yapısına sahip bir Grek kabilesine referansla kullanır. Gauss‘un bu tabiri kullanmaktaki amacı özellikle Kant felsefesini destekleyenlerin tepkilerinden ne denli çekindiğini göstermektir. 139 zorundaydılar. Öte yandan, sentetik önermeler zorunlu bağlantılar içermemektedir. Fakat geometrinin aksiyomları düĢünüldüğünde onlarda bir çeĢit zorunluluğu hepimiz görürüz; örneğin iki boyutlu bir düzlemde iki nokta arasındaki en kısa uzaklığın bir doğru olduğunun dıĢında durumlar hayal etmek bizim için pek mümkün değildir. O halde, aksiyomlardaki bu zorunluluk apriori bir kaynağa sahip olmak durumundadır. Bu tür önermelerin temeli Kant için saf görüdür. Kant‘a göre görünün iki saf formu vardır: zaman ve mekân. Bunlar sentetik a apriori bilginin kaynağını oluĢtururlar. Saf mekânın görüsü geometrinin, saf zamanın görüsü de aritmetiğin sentetik apriori bir bilim olmasına olanak verir. Öte yandan Riemann, ustaları olarak nitelediği Gauss ve Herbart‘ın Kant‘ın mekân ve geometriye dair görüĢlerini yorumlamalarının etkisinde kalmıĢtır. Riemann ‗ustaları‘ olarak nitelediği Gauss ve Herbart‘tan temel olarak etkilendiği noktaları Ģöyle özetleyebiliriz: Riemann‘ın Herbart‘tan etkilendiği ve geliĢtirdiği temel noktalar: 1) Kant‘ın apriori görü anlayıĢının tamamıyla reddi, görüngünün birlikte varolmasının düzeni olarak Leibniz‘ci mekân fikrine yakınlık, 2) Matematiğin ve metodunun felsefi olarak ele alınması; matematiğin tüm alanlarında çalıĢırken baĢlangıç noktası olarak genel kavramların gerekliliğine duyulan inanç.470 Riemann‘ın Gauss‘tan etkilendiği ve geliĢtirdiği temel noktalar: 1) Gauss‘un 1831 tarihinde ―örtüĢmeyen eĢler‖ uslamlamasının Kant‘ı ―nihai‖ olarak yanlıĢladığını düĢünmesi temelinde Kant‘ın kısmi olarak reddi, Ferreiros, J. (2004).―The Magic Triangle: Mathematics, Physics and Philosophy in Riemann‘s Geometrical Work‖, s.3, (http://semioweb.msh-paris.fr/f2ds/docs/geo_2004/Jose_Ferreiro_2.pdf.) 470 140 2) KarmaĢık sayılar, iki boyutlu manifoldlar ve topoloji arasındaki iliĢki, ―manifold‖ kavramı, 3) Diferansiyel geometrinin geliĢtirilmesi, Gauss eğriliği kavramı, 4) Gauss hayatının son dönemlerinde n boyutlu manifoldlar ve fiziksel mekân ile ilgili bir çalıĢma içindeydi dolayısıyla Riemann bu çalıĢmalardan Gauss‘un dersleri, onunla kiĢisel konuĢmaları ya da Weber aracılığıyla haberdardı.471 Riemann‘ın Gauss ve Herbart‘tan devraldığı ve geliĢtirdiği bu temel noktalar arasında göze ortak nokta olarak Kant karĢıtlığı çarpmaktadır. Herbart‘ın Kant karĢıtlığı Gauss‘tan daha açık bir Ģekilde görülmektedir. Bu nokta Gauss‘un mekânın doğasına iliĢkin felsefi argümanlardan haberdar olmakla beraber daha çok bir matematikçi olarak geometri ve mekânı ele almasıyla anlaĢılabilirdir. Mekânın saf görünün formu olması ve geometrinin görü temelli bir aktivite olduğu Ģeklindeki Kant‘çı iddialar karĢısında Riemann‘ın pozisyonu belirsizlikler içermektedir. Riemann‘ı bu belirsizlikler çerçevesinde Kant ile taban tabana zıt düĢünce çizgisinde oldukları fikri uyansa da durumun böyle olduğundan emin olmak için yeterli nedenimiz yoktur. Bu nokta aĢağıda daha da geliĢtirilecektir ancak Ģimdilik Ģunu belirtmekle yetinebiliriz; Riemann‘ın felsefi dayanağı Herbart‘tır. Herbart kendi mekân felsefesinde Kant yerine Leibniz felsefesine yakındır, dolayısıyla Kant‘ın felsefesi Riemann‘ın çalıĢmalarında Herbart yoluyla daha en baĢında dıĢarıda bırakılmıĢtır.472 Riemann‘ın manifold kavramı ile mekânı kavramada, mekânı düĢünmenin olanağını geniĢleterek kendine özgü bir katkısı vardır. Riemann‘ın bu katkısı Gauss kaynaklı matematiksel ve teknik araçlarla Herbart kaynaklı matematiksel araĢtırmanın yönü ile ilgili doğru bir kavrayıĢa ulaĢmasının verimli bir sentezin sonucudur. Bu katkının daha iyi anlaĢılabilmesi için görü ve olanaklılık temelinde Kant ile Riemann‘ın ayırıcı çizgilerini belirlemeye çalıĢacağım. 471 472 A.g.y., s.4. A.g.y., 2 numaralı dipnot, s.3 ve Ferreiros, J.(2011). KiĢisel diyalog. 141 Bu belirleme için Riemann‘ın manifold kavramını ve geometrisinin temel hipotezlerini açıkladığı Habilitationsvortrag‘ını kısaca ele almalıyız. Bu derste Riemann mekândaki yapısallaĢtırmalardan önce mekânın yapısallaĢtırmasını sorgular ve mekânın topolojik özelliklerinin nasıl belirlenebileceği üzerine odaklanır. Bu amaçla Habilitationsvortrag düĢünce yapısının üç temel ayağına göre felsefe, matematik ve fizik olarak bölümlenmiĢtir. Felsefe bölümü manifold hakkındaki genel fikirler, metrik ve topolojik özellikler arasındaki ayrım, manifoldun boyutu kavramı ve n boyutlu manifoldun ölçeklendirilmesi gibi konulardan oluĢur. Matematik bölümü diferansiyel geometrinin manifold üzerine uygulanması, doğru çizgisi unsurunun diferansiyel formunun verilmesi, Gauss‘un eğiklik kavramının genelleĢtirmesi, değiĢken eğriliğe sahip yüzeyler ve geometrik örneklerle sabit eğriliğe sahip yüzeylerin gösterimi gibi konulardan oluĢur. Fizik bölümü mekânın metriklerinin empirik olarak tayin edilebilmesi için kabuller, fiziksel mekânın çok geniĢ ölçekteki özellikleri ve fiziksel mekânın çok küçük ölçekteki özellikleri gibi konulardan oluĢur. Riemann‘ın düĢünce yapısının tüm mimarisinin ilk basamağı manifold kavramının kurulmasıdır. Bu kavram ona mekânı kavramsallaĢtırırken ve deneyimlerken bir özgürlük sunar. Riemann düĢünce dizgesinde felsefe, matematik için manifold kavramını üretir ve bu kavram temelinde mekân fiziksel olarak sorgulamaya tabi tutulur. Bu dizge onun Habilitationsvortrag‘ında açık bir Ģekilde görülür. Riemann‘ın manifold kavramı, içinde felsefe ve matematiğin olduğu kritik bir kavram analizi sonucu inĢa edilir. Riemann‘ın manifold kavramı, dıĢ dünyadaki belli tipte sürekliliklerden yola çıkılarak (bu noktada Herbart‘ın dıĢ dünyadaki sürekliliklerden yola çıkarak mekânı kavrama önerisi düĢünülmelidir) oluĢturulan ve mekân kavrayıĢımızı geniĢletecek, empirik gözleme de olanak tanıyacak Ģekilde tanımlanmıĢtır. Riemann‘ın araĢtırma programının temel hipotezleri Ģunlardır; 1) Mekân, sürekli, ayırt edilebilir manifolddur. 142 2) Doğruların uzunlukları mekândaki konfigürasyonlarına bağlı değildir, dolayısıyla her bir doğru bir diğeri ile ölçülebilir. 3) Doğru çizgisi unsuru ikinci dereceden bir diferansiyelin karekökü olarak ifade edilebilir. 4) Katı cisimler metrik deformasyona uğramadan serbestçe hareket edebilirler.473 Bu temel hipotezlerin ıĢığında, Riemann‘ın Habilitationsvortrag boyunca peĢinde olduğu Ģey, aksiyomatik bir sisteme ulaĢmak ya da var olan aksiyomatik sistemlerin bir hesabını vermek değildir. Onun için, bu sistemlerin aksiyomlarının ve bu aksiyomların yardımıyla ulaĢılan sonuçların zorunlu doğrular olup olmadığı sorusu ucu açık bir sorudur. Bu sorunun yanıtı bu aksiyomlar arasında iĢlem yapılarak verilemez. O geometriyi üzerinde mantık aracılığıyla iĢlemler yapılacak bir sistem olarak görme eğiliminde değildir. Riemann empirik sorgulama ile olası doğruların ortaya konabileceği bir geometri üzerine düĢünmeyi hedeflemektedir. Bu hedef doğrultusunda Riemann onlar yardımıyla mekânın metrik iliĢkilerinin kararlaĢtırılabileceği ―en temel‖ gerçeklikleri bulmayı hedefler. Bu gerçeklikler tüm gerçeklikler gibi ―zorunlu değil ama yalnızca empirik kesinliktedir, onlar hipotezlerdir.‖ Burada Riemann‘ın neden aksiyom yerine hipotez sözcüğünü kullanmayı tercih ettiğini anlıyoruz. Riemann için aksiyom Kant ve eski geleneğin anladığı anlamıyla doğruluğu kendisi ile verili olan önermeler anlamına gelmektedir.474 Riemann aksiyomların bu Ģekilde anlaĢılmasından duyduğu rahatsızlıkla düĢüncenin olanaklarının geniĢletilmesi yolunda aksiyomların fiziğe uygulanma kısmında artık hipotezlerle çalıĢmaya baĢlar. Riemann‘a göre mekân anlayıĢımızda gitgide daha sınırlayıcı olacak Ģekilde yeni hipotezler kurmak için n boyutlu manifold genel kavramıyla baĢlamamız gerekir, bu yolla saf bir topoloji ile baĢlayıp Öklidyen mekânın somutlaĢtırılması sonucuna ulaĢırız. Böyle bir çalıĢmada n boyutlu manifold olarak mekân kavramı topolojik bir karakterdedir yani henüz Ferreiros, J. (2004).―The Magic Triangle: Mathematics, Physics and Philosophy in Riemann‘s Geometrical Work‖, s.6. (http://semioweb.msh-paris.fr/f2ds/docs/geo_2004/Jose_Ferreiro_2.pdf.) 474 A.g.y., s.5. 473 143 içinde sürekliliğin tanımlandığı soyut elementlerin (mekânın noktaları) seti olarak alınır. Dolayısıyla herhangi bir mekân görüsüne dayanmaz.475 Mekân görüsünden bağımsız yürütülen bir çalıĢmanın Kant karĢıtı olduğu düĢünülebilir. Bu düĢünceden yola çıkarak Riemann‘ın Habilitationsvortrag‘ı aracılığıyla, onun Kant‘a karĢı yazılmıĢ olduğunu varsayan bir okuma yardımıyla, Kant ve Riemann‘ın mekân ve geometri anlayıĢlarının farklarını görmek deneysel olmak dıĢında öğretici de olacaktır. Gregory Nowak476 Riemann ile Kant‘ı karĢı karĢıya getirir. Bildiğimiz gibi Kant Öklidyen geometriyi fiziksel mekânın sentetik apriori doğrular setinin bir örneği olarak görür. Burada fiziksel mekânın altını çizmek önemlidir. Kendisi aracılığıyla mekânın kavramlarını kendimize gösterdiğimiz saf görü olarak mekân vardır. Biz boĢ mekânı düĢünebiliriz ama mekânın olmamasını düĢünemeyiz dolayısıyla bu görü görüngülerin olanağının koĢuludur dolayısıyla aprioridir. Bu noktada Nowak, Kant‘ın transendental idealite‘ye empirik realite‟nin özelliklerini vererek, saf görüyü, olağan deneyimin fiziksel mekânıyla özdeĢleĢtirdiğini iddia eder.477 Nowak‘a göre Kant‘ın mantıki olanaklılık ile karakterize edilebilecek bir baĢka mekânı daha vardır. Dolayısıyla Nowak‘a göre Kant için görülenen, fiziksel ve mantıki olanaklı mekân vardır ve Kant‘ın amacı görülenebilir ve fiziksel mekânı eĢleĢtirip mantıki olanaklı ya da aksiyomatik mekânı fiziksel mekân hakkında bir Ģey söylemediği ve ilk ikisi ile herhangi bir iliĢkisi olmadığı için dıĢarıda bırakmaktır. Kant için görülenen mekânın önermeleri sentetik apriori, fiziksel mekânların önermeleri ise aposterioridir. Öte yandan Nowak‘a göre Riemann‘ın stratejisi Kant‘tan farklıdır. Ona göre Riemann‘ın amacı görülenen mekânla mantıki olanaklı (aksiyomatik) mekânı eĢleĢtirip fiziksel mekânı dıĢarıda bırakmaktır.478 Fiziksel mekân mantıki olanaklı ve Ferreiros, J. (2004).―The Magic Triangle: Mathematics, Physics and Philosophy in Riemann‘s Geometrical Work‖, s.6. (http://semioweb.msh-paris.fr/f2ds/docs/geo_2004/Jose_Ferreiro_2.pdf.) 476 Nowak, G. (1989). Riemann's Habilitationsvortrag and the synthetic apriori status of geometry, The History of Modern Mathematics Volume: 1, ed. David E.Rowe-John McCleary, Academic Press, içinde ss. 17-48. 475 Nowak, G. (1989). ―Riemann's Habilitationsvortrag and the synthetic apriori status of geometry‖, The History of Modern Mathematics Volume: 1, ed. David E.Rowe-John McCleary, s.20. 478 A.g.y. 477 144 görülenebilir olanın kombinasyonu ile modellenebilir.479 Fiziksel mekânın nasıl modellendiği sentetik aposteriori önermelerle, görülenen aksiyomatik mekânlar ise analitik apriori önermelerle belirlenir.480 Riemann Habilitationsvortrag‘ın baĢlarında öncelikle genel mekân kavramının yani ―manifold‖un araĢtırılması gerektiğine vurgu yapar. Riemann‘a göre bu araĢtırmanın sonuçları fiziksel mekânı modellemek için kullanılmalıdır. Habilitationsvortrag‘ın üçüncü bölümünde mekânın üç farklı durumu (sıfır, pozitif, negatif eğikliğe sahip manifoldlar) değerlendirilir. Farklı metriklerin aynı mekânda uygulanabilmesi ve çoklu uzamlı manifold bizim görümüze açıktır. Çok boyutlu yer kaplayan manifold metrik iliĢkilere karar vermemizi sağlayan farklı niteliksel varsayımların kullanılmasıyla tasavvur edilebilir. Ancak fiziksel mekânın geometrisine karar veren niteliksel varsayımlar çok boyutlu yer kaplayan manifoldun zorunlu koĢulu değildir; üç boyutlu manifold üzerinde farklı metrik iliĢkilerin kurulabilmesine olanak vardır. Fiziksel mekânın modellendiği geometrinin niteliksel varsayımları aposteriori önermelerdir.481 Riemann niteliksel olan uzam özellikleri (topolojik özellikler) ile mesafe ile ilgili olan ölçüm özelliklerinin (metriksel bağıntılar) ayırımını yapar. Bu ayrım temelinde mekânın geometrisinin yani mekânın metriksel iliĢkilerinin belirlenmesinin mekân kavramının ayrılmaz bir parçası olduğu fikrine karĢı çıkar. Mekânsal nesneler manifold olarak yani henüz metrik iliĢkiler dolayısıyla bir geometri kabul etmemiĢ haliyle alınırsa, aynı manifoldun üzerinde farklı metriksel iliĢkilerin kurulabileceği dolayısıyla farklı geometriler kurulabileceği böylece fiziksel mekânın üç boyutlu manifoldların yalnızca bir örneği olduğu gösterilebilir. Bu Riemann için mekânın geometrisinin aksiyomlarının geniĢlik özellikleri ile belirlenemeyeceği, deneyimle belirlenebileceği anlamına gelir. Metrik belirlenimlerin aksiyom sistemleri ile belirlenmesinde ise Öklid sistemini en temelde yatan aksiyom sistemi olarak görür. Ancak fiziksel mekânın tasvirinde Öklid‘in bu aksiyom sistemi de dahil olmak üzere hiçbir sistem mantıksal olarak zorunlu değil, empirik olarak olumsaldır. Yani 479 A.g.y. A.g.y. 481 A.g.y., s.24. 480 145 Riemann‘ın dert edindiği mesele mekân kavramı ile fiziksel mekânın aksiyomları arasındaki iliĢkinin doğasıdır:482 Mekânın sınırsız üç boyutlu manifold olması dıĢ dünyayı her kavrayıĢımızda kullandığımız bir varsayımdır. Bu varsayım sayesinde gerçek algının alanının her anı sağlanır ve peĢinde olunan nesnelerin olası mekânları kurulur ve bu uygulamalarda bu varsayım sürekli olarak teyit edilir. Sonuç olarak, mekânın sınırsız oluĢunun dıĢ dünyanın herhangi bir deneyiminden daha kesin empirik bir kesinliği vardır. Ancak mekânın sonsuzluğu herhangi bir Ģekilde bundan çıkmaz. 483 Riemann‘ın burada mekânın algıdaki rolünden bahsetmesi Kant ile bir karĢılaĢtırmayı gerektiriyor. Kant için mekânın sınırsız üç boyutlu manifold olması apriori görü iken, Riemann için bir varsayımdır.484 Riemann için bu varsayım deneyimde temellenir yani aposterioridir. Kant için ise deneyden bağımsız yani aprioridir. Mekân kavramı ile fiziksel mekânın aksiyomları arasındaki iliĢkinin doğasının kavranması kısmında Riemann‘ın görüden bahsettiği noktalar da vardır. Örneğin Riemann‘ın Ģu sözlerine bakalım: Birkaç boyutlu manifold kavramı bizim mekân görülerimizden bağımsız olarak var olur. Mekân, düzlem ve çizgi yalnızca iki, üç ve bir boyutun manifoldunun en görülenebilir [anschaulichste] örnekleridir. Mekân görüsüne en ufak bir Ģekilde sahip olmaksızın biz yine de tüm geometriyi geliĢtirebiliriz.485 Nowak, G. (1989). ―Riemann's Habilitationsvortrag and the synthetic apriori status of geometry‖, The History of Modern Mathematics Volume: 1, ed. David E.Rowe-John McCleary, içinde s.25. 483 Riemann, B. (1929). ―On the Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry‖, çevr. Simith,D.E in A Source Book in Mathematics içinde, s.423. Vurgu eklenmiĢtir. ―That space is an unlimited, triply extended manifold is an assumption applied in every conception of the external world; by it at every moment the domain of real perceptions is supplemented and possible locations of an object that is sought for are constructed, and in these applications the assumption is continually being verified. The unlimitedness of space has therefore a greater certainty, empirically, than experience of the external. From this, however, follows in no wise its infiniteness…‖ 484 Nowak, G. (1989). ―Riemann's Habilitationsvortrag and the synthetic apriori status of geometry‖, The History of Modern Mathematics Volume: 1, ed. David E.Rowe-John McCleary, içinde s.25. 485 Riemann, a.g.y., içinde s.31. ―The concept of a manifold of several dimensions exists independently of our intuitions in space. Space, the plane, and the line are the only the clearest [anschaulichste] examples of a manifold of two, three, or one dimensions. Without having the least spatial intuition, we would nevertheless be able to develop all of geometry.‖ Alıntının orijinali için bakınız; Scholz, E.(1982). ―Riemanns frühe Notizen zum Mannigfaltigkeitsbegriff und zu den Grundlagen der Geometrie‖, AHES 27, s.228 482 146 Nowak bu alıntıda geçen ―en görülenebilir‖ vurgusuyla Riemann‘ın görülenebilirliği derecelendirdiğini ve görülenen mekân ile aksiyomatik mekânı eĢleĢtirdiğini vurgular.486 Nowak‘a göre Riemann görülenebilirliği dereceleyerek mekân, düzlem ve çizgiden farklı manifoldların görülenebileceğini göstermeye çalıĢmaktadır. Bu sayılanlar matematikçinin görüsü ile en net Ģekilde kavrayabildiği manifoldlardır. Nowak Riemann‘ın mekân görüsü olmaksızın geometriyi kurma fikrini fiziksel mekân ile ―Raum‖u, genel mekân kavramı ile de manifodları eĢleĢtirmesi bağlamında anlaĢılabileceğini iddia eder.487 Nowak‘a göre Riemann diğer manifoldların görülenemeyeceğini söylememekle, diğer manifoldların fiziksel mekânın görüsünden çıkarsadığımız yargılar olmadan görülenebileceğini söylemektedir.488 Yine mekân görüsü olmaksızın mekânın kavranabileceğini ve geometri yapılabileceğini Riemann Ģu sözleriyle vurgular: Düz çizgileri ilgilendiren geometrideki tüm önermeleri düz çizginin bu tanımından çıkarsayabilirim. Açıktır ki biri mekânsal görüden en ufak bir yardım almaksızın ilerleyebilir. Geometrinin bu Ģekilde ele alınıĢını ya da üç boyutlu manifoldlar teorisini kullanarak alıĢılageldik geometrinin mekân görüsünden alınan tüm aksiyomlar (mesela Öklid‘in ilk aksiyomu olan iki nokta arasından yalnızca düz bir çizgi çizilebilir vb… ) 489 atılabilecektir. Mekân görüsünden vazgeçmeye dair bu güçlü vurgulara rağmen Riemann bu sözlerinin hemen ardından geometrinin bu Ģekilde ele alınıĢının, ilginç olsa dahi bu bakıĢ açısının, yeni ilkeler bulunamayacağından, çok verimli olamayacağını, mekânın temsilinde basit ve açık olan Ģeylerin zor ve karmaĢık bir hal alacağını 486 A.g.y. A.g.y. 488 A.g.y. 489 Riemann, Nowak, G. (1989). ―Riemann's Habilitationsvortrag and the synthetic apriori status of geometry‖, The History of Modern Mathematics Volume: 1, ed. David E.Rowe-John McCleary, içinde s.30. ―From this definition of a straight line I would be able to derive all the propositions which occur in geometry that concern straight lines. It is clear that one can proceed in this way without the least appeal to spatial intuition. Using this treatment of geometry or the theory of manifolds of three dimensions, all axioms which in the usual treatment of geometry are borrowed from spatial intuition would be dropped, as for example, that through two points only one straight line is possible, the first axiom of Euclid, etc…‖. Alıntının orijinali için bakınız; Scholz, E.(1982). ―Riemanns frühe Notizen zum Mannigfaltigkeitsbegriff und zu den Grundlagen der Geometrie‖, AHES 27, s.229. 487 147 dolayısıyla mekân görüsünün gerekli olduğunu belirtir490 Bu durum görünün mekân ve geometrideki rolüne dair karıĢık bir tablo resmetmektedir. Dolayısıyla denebilir ki Riemann manifold kavramı temelinde yükselen bu yeni bakıĢ açısının getirdiği yeniliklerin temelinde yatan tek bir topolojinin farklı metrikleri kabul etmeye hazır olduğu ve Gauss‘çu diferansiyel geometrinin genellenebilmesi için tatmin edici bir zemin hazırladığının farkında değildi.491 Riemann mekân görüsü olmaksızın düĢünülecek soyut bir geometrinin faydalı olamayacağını, ancak geometrik hayal gücünün çok boyutlu manifoldları anlamak için bir araç olarak kullanılabileceğini savunur: Hep karĢı doğrultuda ilerledik, ve ne zaman matematikte, tıpkı hayali büyüklükler kuramı içerisindeki belirli integraller öğretisinde olduğu gibi, çok boyutlu manifoldlarla karĢılaĢtıysak, uzamsal görülerimize baĢvurmak zorunda kaldık. ġunu biliyoruz ki, bu konu hakkında ne zaman doğru bir bakıĢ açısına kavuĢacaksak, iĢte o zaman en önemli noktalar aĢikar olacak.492 Riemann‘ın görünün iĢlevine iliĢkin farklılaĢan düĢüncelerini Riemann‘ı kendi çağı içerisinde düĢünerek ve düĢünce dizgesinde bir geçiĢ dönemi yaĢadığını yadsımazsak anlamlandırabiliriz. Riemann‘ın çağının merkezi eğilimi matematiksel analizde geometri ve görüye baĢvurmaktan kaçınmaktı. Bu genel eğilime zıt biçimde, bilinen geometrik fikirleri soyut olarak yeniden formüle etme eğiliminde olan bir gelenek daha vardı ve Riemann bu geleneğin içinde yetiĢmiĢti.493 Dolayısıyla Riemann çalıĢmalarında matematiksel nesne ve iliĢkileri soyut bir Ģekilde ifade etmekten Tazzioli, R. (2003). ―Towards a history of the geometric foundations of mathematics Late XIX th century‖, Revue de Synthese, Volume 124, Number 1, s.16. Riemann, Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser, içinde, s.58. Scholz, E.(1982). ―Riemanns frühe Notizen zum Mannigfaltigkeitsbegriff und zu den Grundlagen der Geometrie‖, AHES 27, s.229. 491 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser, s.58. 492 Riemann, Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser, içinde, s.59. "One has thus always followed the opposite path, and every time that one has stumled upon manifolds of many dimensions in mathematics, as in the doctrine of definite integrals within the theory of imaginary magnitudes, one has had recourse to spatial intuition. It is well known, how one thus wins a true view of the matter, and how only in that way the essentials points become evident." Alıntının orijinali için bakınız; Scholz, E.(1982). ―Riemanns frühe Notizen zum Mannigfaltigkeitsbegriff und zu den Grundlagen der Geometrie‖, AHES 27, s.229. 493 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser, s.58. 490 148 kaçınmıyordu. Buna ek olarak Riemann çalıĢmalarının felsefi temelini Herbart‘a dayandırmıĢtı. Riemann Herbart etkisiyle mekân görüsü olmaksızın mekânı kavrayabileceğimiz ve geometri yapabileceğimiz vurgusu temelinde Kant‘ı ve mekân görüsünü çalıĢmalarında daha en baĢından dıĢarıda bırakmıĢtı. Dolayısıyla burada Riemann‘ın Kant‘ın ve mekânın görüsünün karĢısında yer aldığını iddia etmek için yeterli nedenimiz yoktur.494 Onun kavramsal geometrisinin Kant karĢıtı olduğunun ileri sürülebilmesi için daha güçlü dayanaklar gereklidir Değerlendirme Riemann görülenen mekânı yalnızca bir alternatif olarak ele alırken kendi döneminin geometri anlayıĢında mekân görüsünün doğası üzerine bir tartıĢma içinde olduğu düĢünülebilir. Bu Ģekliyle ele alındığında Riemann‘ın mekân meselesinde görünün doğası ve iĢlevi ile ilgili kendi görüĢlerini sunmaktan ziyade döneminin eğilimleri ile hesaplaĢıyor olduğu da ihtimal dâhilindedir.495 Sonuç olarak Riemann çoğu alıntıda adeta Kant‘ın mekân görüsüne karĢı konuĢuyormuĢ gibi görünse de burada görü ile tam olarak Kant‘ın mekân görüsünü kastettiği, dolayısıyla karĢısında yer aldığı görünün Kant‘ın görüsü olduğu net değildir.496 Bu anlamda Nowak‘ın Riemann‘ın Habilitationsvortag‘ı Kant‘a karĢı mekân görüsünü eleyecek Ģekilde yazdığı yönündeki değerlendirmeleri eksik görünmektedir. Riemann ile Kant‘ı karĢı karĢıya getirdiğimizde her ikisinin de, modern terimlerle konuĢmamız gerekirse, farklı paradigmalardan mekân ve geometri felsefesini ele aldıkları ortaya çıkmaktadır. Kant mekânı zaman ile beraber görünün saf formu olarak, fiziksel mekânın üç boyutlu geometrisinin önermelerini sentetik apriori olarak belirler. Öte yandan Riemann‘ın derdi bir aksiyomatik sistem ortaya koymak olmadığından, o geometrinin önermelerinin doğası ile çok fazla ilgilenmemiĢ, görülenen mekânın yalnızca bir örnek olduğunu, fiziksel mekân görüsüne baĢvurmaksızın farklı boyutların geometrilerinin kurulabileceğini ve böyle bir Ferreiros, J. (2011), Scholz, E.(2011). KiĢisel diyalog. Ferreiros, J. (2011), Scholz, E.(2011). KiĢisel diyalog. 496 Ferreiros, J. (2011), Scholz, E.(2011), Wilson, M. (University of Pittsburgh) (2011). KiĢisel diyalog. 494 495 149 çalıĢmanın temel manifold kavramı temelinde yapılabileceğini göstererek mekân ve geometri öğretisine iliĢkin belki de en özgün ve olanakları zengin düĢünüĢ biçimini ortaya koymuĢtur. Riemann‘ın doğa felsefesinin manifold kavramı merkezli geometrisi Herbart‘ın genel kavramlarla çalıĢma ve doğanın altında yatan gerçekliğin kavramsal olarak netleĢtirilmesi önerisinin ve Gauss‘un eğrilik kavramı ve diferansiyel geometrisinin sonsuz boyuta taĢınması sonucu ortaya çıkmıĢtır. Riemann‘ın asıl derdi mekânı kavrama ve geometri yapma pratiğinde Kant‘ın iddialarının haklı olup olmadığını tartıĢmak değil, eski düĢünce geleneğini terk eden yepyeni bir düĢünme tarzı ortaya koymaktır. Riemann kendisinden önceki geleneğin ―kısıtlamacılığından‖ sıyrılmayı hedeflemektedir ve bu ancak bilimsel araĢtırmalarımıza bize tanıdığı olanaklarla birlikte gelenekten sıyrılma olanağını sunabilecek genel kavramlarla baĢlarsak mümkündür. Habilitationsvortag‘ın sonundaki Ģu sözler Riemann‘ın bakıĢ açısını net bir Ģekilde göz önüne sermektedir: Genel kavramlardan yola çıkan bunun gibi araĢtırmalar ancak Ģunları kesin bir Ģekilde gösterir: bu tür çalıĢmalar fazla kısıtlamacı kavramlar tarafından sekteye uğratılmaz ve Ģeylerin arasındaki bağlantıları anlamadaki geliĢmeler geleneksel önyargılar tarafından engellenemez.497 Riemann bu cümleleriyle yönteminin ve geometri felsefesinin mimarisini sunmaktadır. Riemann kendisine verili olmayan ama kurulmasıyla gösterilmesinin mümkün olduğu bir baĢlangıç noktası seçer. Manifold kavramı ile beraber mekânın kavranmasında Öklidyen geometrinin ya da üzerinde kurulması mümkün diğer geometrilerin herhangi biri ön plana çıkartılmaz. Bu Ģekilde Riemann bizim aletlerimizle yaptığımız ölçümlerle kıyaslandığında çok büyük ya da çok küçük mekânlarda farklı geometrilerin geçerli olabileceğini gösterir. Bu anlamda manifold kavramı ona mekânı modelleyeceğimiz geometrilerin çok fazla sayıda olabileceğini Riemann, B. (1929). ―On the Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry‖, çevr. Simith,D.E in A Source Book in Mathematics içinde, s.423. ―Such investigations as start out, like this present one, fromgeneral notions, can promote only the purpose that this task shall not be hindered by too restricted conceptions, and that progress in perceiving the connection of things shall not be obstructed by the prejudices of tradition‖. 497 150 görmenin imkanını verir. Böylece Riemann mekânın doğasını geometrilerin çokluğuyla açıklayabilecektir; yani Riemann‘ın geometri felsefesi çoğulcudur. Riemann‘ın kaygısı doğayı içyapısından kavramaktır. Bu kavrama giriĢiminde kendisini mekânın gerçekliğine daha fazla yaklaĢtıracak bir geometri için halihazırda bulunan Öklidyen ya da Öklidyen olmayan diğer geometrileri bir tarafa bırakabilecektir. Riemann kendi zamanına kadar uzanan geleneğin çalıĢma biçimini eleĢtirirken kullandığı apriori kavramından, kendi araĢtırma programının temel kavramı olan manifold kavramının çerçevesini oluĢtururken uzak kalmaya çalıĢmıĢ olabildiğince gözlemin sınırlarının içinde kalarak doğayı anlamaya çalıĢmıĢtır. ve 498 Riemann‘ın asıl sorusu Öklidyen metriğin geçerli olduğu mekânın geometrisinin kabullerinin sorgulanabilirliğidir. Bu amaçla Riemann‘a göre geometrinin temelinde yatacak olan kavram, kendisinin gerekli ve olanaklı olma durumunun tayin edilebilmesine imkân tanıyacak nitelikte olmalıdır. Çünkü Riemann‘a göre örneğin Öklid geometrisinde ‗mekândaki inĢa‘ iĢlerinde kullanılacak kavramlar aksiyomların formunda tanımsal düzeyde verilmiĢtir. Bu Ģekliyle onlar Riemann‘ın arzu ettiği türde empirik bir araĢtırmanın konusu olamazlar. Hâlbuki mekânı manifold olarak tarif etmek, Riemann‘ın anladığı Ģekliyle kaynağı apriori olması gereken zorunlu olanın değil, deneyin sınırlarında olanaklı olanın incelenmesine imkân tanır. Yine Öklidyen geometrinin muğlâklığından arınabilmek, yani geometrik inĢalarda baĢvurulan tanım ve postulatların apriori zorunlu olduğu fikrinden kaçınmak için geometrik aksiyomların doğasında olan zorunluluk, olanaklı olanla yer değiĢtirir. Olanaklı olma manifold kavramıyla verilir, çünkü o farklı metrik sistemler kabul edebilir; bu metriklerin geçerliliği empirik gözleme açıktır ve gözlem sonucunda açıklanamayan hususlar varsa manifold revize edilebilir. Geometrinin aksiyomlarındaki apriori zorunluluk mekândaki yapısallaĢtırmalardan bahsettiğimiz seviyede ortaya çıkar. Hâlbuki Riemann önce mekânı yapısallaĢtırmanın yolunu önererek yani onu manifold olarak tanımlayarak henüz bir Ferreiros, J.(2005). ―Dogmas and changing Images of Foundations‖, Philosophia Scientiae, Cahier special Fonder autrement les mathématiques, G. Heinzmann, P. Nabonnand, eds. içinde s.3. 498 151 aksiyom seti, dolayısıyla bir geometri önermez, aksine önce mekânın tanımını değiĢtirir. Ancak bu tanım ontolojik düzeyde kalmaz, zira mekânın yapısının ne olduğu sorusu artık bu düzeyden sonra aksiyomların doğasıyla değil, gözlemin sınırları içindeki noktasal davranıĢla, ölçüm için kabul ettiğimiz metriğin empirik olarak sorgulanmasıyla deneysel bir hal alır. Uzam özellikleri ile metrik iliĢkilerini ayırır ve metrik iliĢkileri belirlemeye izin verecek koĢullar empirik olarak bulunabilir. Riemann mekânı manifold olarak ele alınmasını önermekle mekân ve geometriye dair sorularımızın değiĢmesine olanak tanımıĢtır. Riemann mekân bilgimizin dıĢ dünyanın bilgisi ile eĢleĢmesinde özellikle fiziksel geometrinin ne Ģekilde iĢleyebileceğini aksiyomlar üzerinden değil, merkeze revizyona açık temel bir kavram olan manifoldu alarak göstermiĢtir. Söz konusu kavram, mekânın doğası sorusunu değiĢtirerek-mekândaki yapısallaştırmalardan önce mekânı yapısallaştırmanın yolunu önererek- mekânın bilgi kuramsal bir hesabını da verebilmesine olanak tanımaktadır. 152 REFERANSLAR  Agassi, J.(1969). ―Leibniz‘s Place in the History of Physics‖ , Journal of the History of Ideas, Vol. 30, No 3, ss.331-344.  Alexandroff, P.(1932). Elementary Concepts of Topology, çevr. Alan R. Parley, Dover Publications, New York.  Amit Hagar (2008). ―Kant and non-Euclidean Geometry‖, Kant Studien. 99. Jahrg., ss.80-98.  Arthur, R. (1986). ―Leibniz on Continuity‖, Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association, Vol. 1986, Volume One, ss.107-115.  Arthur, R. (1994). ―Space and Relativity in Newton and Leibniz‖, The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 45, No. 1, ss.219-240.  Bağçe, S. (2003). ―Russell‘ın Kant EleĢtirisi Üzerine‖, Felsefe Tartışmaları, 30.sayı, ss.27-43.  Bağçe, S. (2004) ―Are Non-Euclidean Geometries Possible For Kant?‖ Muğla Üniversitesi Uluslararası Kant Sempozyumunda sunulan bildirilerinden, ss.29-37  Bağçe, S. (2006). "Kant'ın Geometriye Dair Goruslerini Kurtarmak icin Uygun bir Yol Var mı?" Uluğ Nutku'ya Armagan içinde, ss.335-347.  Banks, E, C. (2005). ―Kant Herbart Riemann‖ , Kant Studies, Vol 96 Issue 2, ss. 208-234.  153 Barker, Stephen F.(2003). Matematik Felsefesi çev. Yücel Dursun, Ġmge Kitabevi.  Boi L, (1992). ―The "revolution" in the geometrical vision of space in the nineteenth century, and the hermeneutical epistemology of mathematics‖ , Donald G. Revolutions in Mathematics. Oxford Science Publications, içinde, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York.  Bonola, R. (1912). Non-Euclidean geometry, a critical and historical study of its development. Chicago: Open Court Publishing Co.  Bottazzini, U., Tazzioli, R. (1995). ―Naturephilosophie and Its Role in Riemann‘s mathematics‖, Revue d‟histoire des math´ematiques, 1, ss3-38.  Bottazini, U. (1994). ―Geometry and ―metaphysics of space‖ in Gauss and Riemann‖ Romanticism in Science, içinde, eds. S.Poggi, M. Rossi, Dordrecht: Kluwer, ss-15-29.  Carnap, R. (1966). Philosophical Foundations of Physics, ed. Martin Gardner, Basic Books Inc.  Coffa, J. A. ( 1993). The Semantic Tradition From Kant to Carnap: To the Vienna Station, Cambridge Press.  Detlef, L. (1999). Turning points in the conception of mathematics, Bernhard Riemann 1826-1866. Boston: Birkhauser.   DiSalle, R. (2006). Understanding Space-Time, Cambridge University Press. Dursun, Y. (2004). Felsefe ve Matematikte Analitik/Sentetik Ayrımı, Elips Kitap.  154 Ehm, Werner (2010). ―Broad Views of the philosophy of nature: Riemann, Herbart and the ―matter of the mind‖ ‖, Philosophical Psychology, 23:2, ss.141-162.  Eves, H. (1990). An Introduction to History of Mathematics, Saunders College Publishers.  Friedman, M. (1985). ―Kant‘s Theory of Geometry‖, Vol. 94, No.4, Philosophical Review, ss.455-506.   Friedman, M. (1992). Kant and Exact Sciences, Harvard University Press. Friedman, M. (1999). Reconsidering Logical Positivism. Cambridge University Press.  Ferreiros, J. (2004).―The Magic Triangle: Mathematics, Physics and Philosophy in Riemann‘s Geometrical Work‖, BasılmamıĢ bildiri, http://semioweb.msh-paris.fr/f2ds/docs/geo_2004/Jose_Ferreiro_2.pdf.  Ferreiros, J.(2005). ―Dogmas and changing Images of Foundations‖, Philosophia Scientiae, Cahier special Fonder autrement les mathématiques, G. Heinzmann, P. Nabonnand, eds. içinde ss.27-42.  Ferreiros, J. (2006). ―The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss, The Shaping of Arithmetic: Number theory after Carl Friedrich Gauss‟s Disquisitiones Arithmeticae, ed. por C. Goldstein, N. Schappacher, J. Schwermer. Springer, Berlin, içinde, ss.207-240.  Ferreiros, J. (2006). ―Riemann's Habilitationsvortrag at the Crossroads of Mathematics, Physics and Philosophy‖, içinde J.Gray, Ferreiros, J. ( Eds.), The Architecture of modern mathematics University Press. (ss.67-97). New York: Oxford  155 Ferreiros, J. (2007). Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Switzerland ; Boston: Birkhauser.  Gözkan, B. (2006). ―Kant‘ın EleĢtiri Öncesi Döneminden EleĢtiri Dönemine GeçiĢteki Anahtar Yazı: Uzayda Yönler Arasındaki Farklılığın Nihai Dayanağı Hakkında‖, Felsefe Tartışmaları, 37.sayı, ss.43-55.  Gray, J. (1989). Ideas of space, Oxford: Clarendon press.  Gray, J. (2007). Worlds Out of Nothing, Springer-Verlag, London.  Gray, J (2008). Plato‟s Ghost: the Modernist Transformation of Mathematics, Princeton University Press.  Greenberg, M.J. (1994). Euclidean and Non-Euclidean Geometries Development and History, 3th edition, W.H. Freeman and Company, New York.  Heath, T. (1956). Euclid‟s Elements‟, Dover, New York.  Heath, T. (1965). A History of Greek Matmematics, Volume 1,Oxford Clarendon Press.  Helmholtz, H.V.(1977). Epistemological Writings, Boston Studies in the Philosophy of Science, ed.Robert T., S Cohen and Marx W. Wartofsky, Dordrecht Reidel Publishing, içinde, ss.39-71  Inaltong M.C. (2000). The Discovery of Non-Euclidean Geometries and Kant: The Possibility of Non-Euclidean Geometries in Kant‟s Philosophy, basılmamıĢ master tezi, Ortadoğu Teknik Üniversitesi.  Jammer, M. (1993). Concepts of Space, Dover Publications, New York.  156 Kagan. V.F.(2005). ―Riemann‘s Geometric Ideas‖, The American Mathematical Monthly, Vol. 112, No. 1, ss.79-86.  Kant, I. (1929). Kant‟s Inaugural Dissertation and Early Writings on Space,içinde, çev. J. Handyside, Open Court Pub.  Kant, I. (1965). Critique of Pure Reason, trans. by Smith, N. K., New York, St Martin‘s.  Kant, I. (1988). Logic, (çevr. R. Hartmann- W. Schwarez), New York: Dover.  Kant, I. (1992). ―Inquiry concerning the Distinctness of the Principles of Natural Theology and Morality‖, Theoretical Philosophy 1755–1770 içinde, çev. D. Waldford ve R. Meebbote, Cambridge: Cambridge University Press.  Kant, I. (2002). Prolegomena, çev. Ġonna Kuçuradi-Yusuf Örnek, Türkiye Felsefe Kurumu, Ankara.  Kant, I. (2008). Arı Usun Eleştirisi, çev. Aziz Yardımlı, Ġdea Yayınevi.  Khamara.E. J. (1993). ―Leibniz‘s Theory of Space: A reconstruction‖, The Philosophical Quarterly, Vol. 43, No. 173, Special Issue: Philosophers and Philosophies, ss.472-488.  Kline, M. (1972). Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Oxford University Press.  Kvazs, L. (2011). ―Kant‘s Philosophy of Geometry-On the Road to a Final Assessment‖, Philosophia Mathematica (III) 19, ss.139-166.  Leibniz, G.W. (1988). Monadoloji, (çev. Suut Kemal Yetkin) Milli Eğitim Gençlik ve Spor Bakanlığı Yayınları, Milli Eğitim Basımevi, Ġstanbul.  157 Leibniz, G. W (1951) Selections, Ed: Philip P. Wiener, Charles Scribner‘s Sons, New York.  Lenoir, T.(2006).―Operationalizing Kant: Manifolds, Models, and Mathematics in Helmholtz‘s Theories of Perception‖, The Kantian Legacy in Nineteenth-Century Science, M. Friedman, A. Nordmann (Eds.), MIT Press, ss.141-210.  Mach, E. (1906). Space and Geometry In The Light of Physiological, Psychological and Physical Inquiry, trans.by Thomas J. McCormac.  Magnani, L. (2001). Philosophy and Geometry: Theoretical and Historical Issues, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.  Monastyrsky, M. (1987). Riemann, topology, and physics. Boston: Birkhauser.  Northrop, F.S.C. (1946). ―Leibniz‘s Theory of Space‖, Journal of the History of Ideas, Vol. 7, No.4, ss.422-446.  Nowak, G. (1989). ―Riemann's Habilitationsvortrag and the synthetic apriori status of geometry‖, The History of Modern Mathematics Volume: 1, ed. David E.Rowe-John McCleary, Academic Press içinde ss.17-48.  Obrecht, A. Paul. (2001). ―Four out of Five Mathematicians Agree: Riemann is God.‖  Plotnitsky, A. (2009). ―Bernhard Riemann‘s Conceptual Mathematics and the Idea of Space‖, Configurations, Vol. 17, No: 1, pp.105-130.  Reyhani, N.( 2010). ―Sentetik apriori: Tarihsel Arkaplanı ve Bugün için Anlamı‖, Bilgi Felsefesi, ed. Betül Çotuksöken-Ahu Tunçel, Heyamola Yayınları, Ġstanbul içinde, ss.211-251.  158 Reichenbach, H. (1938). Experience and prediction. Chicago: The University of Chicago Press.  Riemann, B. (1929). ―On the Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry‖, çevr. Simith,D.E in A Source Book in Mathematics içinde.  Riemann, B. (1854) ―On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry, trans. by William Kingdon‖ Clifford [Nature, Vol.VIII.Nos. 183, 184, ss.1417,36,37].  Rosenfeld, B. (1988). A history of Non-Euclidean geometry. New York: Springer-Verlag.  Rodriguez, G. (1999). ―Leibniz‘s argument for the Identity of Indiscernible in his correspondence with Clarke‖, Australasian Journal of Philosophy, 77 (4), ss. 429-438.  Russell, B.(1956) An Essay on the Foundations of Geometry, Dover Publications, New York.  Scholz, E. (1982). ―Herbart's influence on Bernhard Riemann‖, 9, Historia Mathematica , ss.413-440.  Scholz, E.(1982). ―Riemanns frühe Notizen zum Mannigfaltigkeitsbegriff und zu den Grundlagen der Geometrie‖, AHES 27, ss.213-132.  Scholz, E. (1992). ―Riemann's new vision of a vew approach to geometry‖, D. F. L. Boi , 1830-1930: a century of geometry içinde (s. 22-34). Berlin: Springer-Verlag.  Scholz, E.(2005). ―Curved spaces: Mathematics and empirical evidence, ca. 1830 – 1923‖, Oberwolfach Reports 2 (4), 3195—3198.  159 Spivak, M., (1975). A comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol 2, 2 .Eds.  Stillwell, J. (2002). Mathematics and its history, New York, Springer.  Sutherland, D. (2004). ―The Role of Magnitude in Kant‘s Critical Philosophy‖, Canadian Journal of Philosophy, Volume 34, No:3, ss.411-442.  Tazzioli, R. (2003). ―Towards a history of the geometric foundations of mathematics Late XIXth century‖, Revue de Synthèse, Volume 124, Number 1,ss-11-41.  Toko Kohei, Jinhui Chao,ve Reiner Lenz (2010). ―On Curvature of Color Spaces and Its Implications‖ published in CGIV-Fourth European Conference on Colour in Graphics, Imaging, and MCS/10 Vision 12th International Symposium on Multispectral Colour Science.  Torretti, R. (1978). Philosophy of geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht: Reidel: D. Reidel Publishing Company.  Torretti, R.(1990). Creative understanding : Philsophical Reflections on Physics, University of Chicago Press.  Yalçın, ġ. (2003). ―Kant'ta Matematiğin Felsefi Temelleri‖, Felsefe Dünyası, 37. Sayı, ss.128‐143.  Winterbourne, A. T. (1988). The Ideal and the Real, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.  Wolfe, H.E. (1945) Introduction to Non-Euclidean Geometry, New York and London: Holt, Rinehart and Winston. KĠġĠSEL BĠLGĠLER Adı Soyadı : A.DĠNÇER ÇEVĠK Doğum Yeri : ANTAKYA Doğum Yılı : 19.06.1983 Medeni Hali : BEKÂR EĞĠTĠM VE AKADEMĠK BĠLGĠLER Lise 1997-2000 : ANTAKYA KURTULUġ LĠSESĠ Lisans 2003-2008 : ODTÜ FELSEFE Yabancı Dil : ĠNGĠLĠZCE MESLEKĠ BĠLGĠLER 2010 GÖREVLĠSĠ : MUĞLA ÜNĠVERSĠTESĠ FELSEFE BÖLÜMÜ ARAġTIRMA