Penerapan Integral

Penerapan Integral Yunita S. Anwar Universitas Mataram Oktober 2016 Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 1 / 32 Luas Antara Kurva • Sebelumnya, telah didefinisikan integral sebagai luas di bawah grafik suatu fungsi • Lebih lanjut, akan dicari luas daerah yang terletak di antara grafik dua fungsi • Misalkan daerah S terletak diantara kurva y = f (x) dan y = g (x) dan di antara dua garis tegak x = a dan x = b, dimana f dan g fungsi kontinu, f (x) ≥ g (x) untuk semua x di dalam selang [a, b] Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 2 / 32 • Hampiri irisan ke-i • Bagi daerah S menjadi n menggunakan persegi panjang beralas △x dan tinggi f (xi∗ ) − g (xi∗ ) persegi panjang berlebar sama, △x = b−a n • Sehingga jumlah Riemann: n X i=1 Yunita S. Anwar Oktober 2016 [f (xi∗ ) − g (xi∗ )]△x Penerapan Integral 3 / 32 • Dengan mengambil n → ∞ akan semakin baik menghampiri luas daerah S: A = lim n→∞ n X i=1 [f (xi∗ ) − g (xi∗ )]△x Definisi Luas A, suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x), y = g (x), dan garis x = a, x = b, dimana f dan g fungsi kontinu, f (x) ≥ g (x) untuk semua x di dalam selang [a, b], adalah A= Z b a [f (x) − g (x)] dx = Z b a [yT − yB ] dx dengan yT kurva-atas dan yB kurva-bawah Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 4 / 32 Example Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x − x 2 dan y = x 2. A= Z = Z = Z 1 0 1 0 1 0  [(2x − x 2 ) − (x 2 )] dx [2x − 2x 2 ] dx 2[x − x 2 ] dx x2 x3 − =2 2 3 Yunita S. Anwar Oktober 2016 1 0 Penerapan Integral = 1 3 5 / 32 Jika kurva yang membatasi daerah lengkung S lebih mudah dinyatakan sebagai fungsi dalam variabel y , Definisi Luas A, suatu daerah yang dibatasi oleh kurva x = f (y ), x = g (y ), dan garis y = c, y = d, dimana f dan g fungsi kontinu, f (y ) ≥ g (y ) untuk semua x di dalam selang [c, d], adalah Z d A= [f (y ) − g (y )] dy c Z b = [xR − xL ] dy a maka Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 6 / 32 Example Carilah luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x − 1 dan parabola y 2 = 2x + 6. Z 4   1 2 (y + 1) − A= y −3 2 −2  Z 4 1 2 = − y + y + 4 dy 2 −2  4 1 y2 = − y3 + + 4y 2 2 −2  dy = 18 Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 7 / 32 Volume • Seperti dalam mencari luas daerah dengan memanfaatkan integral tentu, selanjutnya akan dicari volume benda pejal sebagai hasil perputaran daerah pada bidang terhadap suatu garis tertentu, misalnya daerah R dibawah grafik f yang terletak pada interval [a, b] diputar terhadap sumbu-x sebagai berikut: • Ada dua metode yang akan digunakan dalam pencarian volume, yaitu metode cakram dan metode kulit silindris Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 8 / 32 Metode Cakram dalam pencarian Volume • Misalkan akan dicari volume benda pejal S yang dibangun oleh daerah R sebagai berikut: • Langkah pertama, partisi initerval [a, b] menjadi n subinterval: [a = x0 , x1 ], [x1 , x2 ], · · · , [xn−1 , xn = b] • Setiap partisi [a, b] membagi R menjadi n subdaerah: R1 , R2 , · · · , Rn dan menentukan benda pejal S1 , S2 , · · · , Sn ketika R diputar terhadap sumbu-x Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 9 / 32 • Pada interval ke-k, [xk−1 , xk ], misalkan ck adalah titik sampel pada [xk−1 , xk ], maka daerah Rk dihampiri oleh persegi panjang dengan tinggi f (ck ) dan lebar △x = b−a n , lalu diputar terhadap sumbu-x dan menghasilkan cakram Dk dengan jari-jari f (ck ) dan tinggi △x: • Sehingga Volume cakram Dk adalah △Vk = π [f (ck )]2 △x Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 10 / 32 • Volume Dk merupakan hampiran dari volume Sk , sehingga volume S1 , S2 , · · · , Sn bersesuaian dengan volume D1 , D2 , · · · , Dn , sehingga volume V dari benda pejal S adalah V = n X k=1 △Vk = n X k=1 π [f (ck )]2 △x • Hampiran akan semakin baik untuk n → ∞, sehingga didefinisikan volume sebagai limit dari suatu jumlah Riemann Z b n X π [f (x)]2 dx V = lim π [f (ck )]2 △x = n→∞ k=1 Yunita S. Anwar Oktober 2016 a Penerapan Integral 11 / 32 Definisi Misalkan f adalah fungsi kontinu tak negatif pada [a, b], dan misalkan R adalah daerah dibawah grafik f pada selang [a, b]. Volume benda putar yang dihasilkan dari perputaran R terhadap sumbu-x adalah Z b n X 2 V = lim π [f (x)]2 dx π [f (ck )] △x = n→∞ a k=1 V =π Yunita S. Anwar Z b 2 [f (x)] dx = π a Oktober 2016 Z b a y 2 dx, f ≥ 0 Penerapan Integral 12 / 32 Example Tentukan volume benda pejal yang diperoleh dengan memutar √ daerah dibawah grafik y = x pada selang [0, 2] disekeliling sumbu-x. • Langkah pertama, gambarkan grafik y = Yunita S. Anwar Oktober 2016 √ x pada selang [0, 2] Penerapan Integral 13 / 32 • Pada gambar, jari-jari cakram adalah y = √ x, sehingga volume benda pejal S adalah Z 2 V =π y 2 dx 0 Z 2 √ =π ( x)2 dx 0 Z 2 x dx =π 0 1  2 = π x2 0 2 1 = π(4 − 0) = 2π 2 Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 14 / 32 Example √ Dengan memutar daerah dibawah grafik y = r 2 − x 2 pada interval [−r , r ], tunjukkan bahwa volume bola dengan jari-jari r adalah V = 34 πr 3 • Grafik y = Yunita S. Anwar √ r 2 − x 2 adalah setengah lingkaran: Oktober 2016 Penerapan Integral 15 / 32 • Pada gambar, jari-jari cakram adalah y = volume bola: V =π =π =π Z √ r 2 − x 2 , sehingga r y 2 dx Z−rr Z−rr −r Z ( p r 2 − x 2 )2 dx (r 2 − x 2 ) dx r (r 2 − x 2 ) dx  0 1 3 r 2 = 2π r x − x 3   0 1 = 2π r 2 − r 3 3 4 = πr 3 3 = 2π Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 16 / 32 • Jika benda pejal diperoleh dari perputaran daerah R yang dibatasi oleh grafik x = g (y ), x = 0, y = c, dan y = d yang diputar terhadap sumbu-y : • Volume benda pejal: V =π Yunita S. Anwar Z d [g (y )]2 dy = π c Oktober 2016 Z d c x 2 dy , g ≥ 0 Penerapan Integral 17 / 32 Example Tentukan volume benda pejal yang diperoleh dengan memutarkan daerah yang dibatasi oleh y = x 3 , y = 8, dan x = 0 terhadap sumbu-y . • Daerah R dengan benda pejal hasil perputaran daerah R digambarkan sebagai berikut: Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 18 / 32 • Pada gambar, jari-jari cakram adalah x = y 1/3 , sehingga volume bola: V =π Z =π Z =π Z  8 x 2 dy 0 8 (y 1/3 )2 dy 0 8 y 2/3 dy 0 3 = π y 5/3 5 96 = π 5 Yunita S. Anwar Oktober 2016 8 0 Penerapan Integral 19 / 32 Example Daerah R dibatasi oleh grafik y = x dan y = x 2 , kemudian diputar searah sumbu-x. Tentukan volume benda yang terbentuk. • Grafik y = x dan y = x 2 berpotongan di titik (0, 0) dan (1, 1). Benda pejal hasil perputaran daerah R digambarkan sebagai berikut: Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 20 / 32 • Pada gambar, cakram-cakram yang terbentuk memiliki lubang ditengahnya (yang disebut cincin), sehingga luas cakram merupakan selisih dari cincin luar (rout = x) dikurangi cincin dalam (rin = x 2 ), yaitu: V =π =π =π Z Z Z  1 0 1 0 1 0 2 − rin2 ) dx (rout [x 2 − (x 2 )2 ] dx (x 2 − x 4 ) dx x3 x5 − =π 3 5 2 = π 15 Yunita S. Anwar Oktober 2016 1 0 Penerapan Integral 21 / 32 Example Tentukan volume benda pejal hasil perputaran daerah R yang dibatasi oleh grafik y = x dan y = x 2 terhadap garis y = 2. • Benda pejal hasil perputaran daerah R digambarkan sebagai berikut: Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 22 / 32 • Luas cakram merupakan selisih dari cincin luar (rout = 2 − x 2 ) dikurangi cincin dalam (rin = 2 − x), yaitu: V =π =π Z Z 1 0 1 0 2 − rin2 ) dx (rout [(2 − x 2 )2 − (2 − x)2 ] dx =π Z 0 =π  x3 x2 x5 −5 +4 5 3 2 1 (x 4 − 5x 2 + 4x) dx 1 0 8 = π 15 Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 23 / 32 Metode Kulit Silindris dalam pencarian Volume Example Tentukan volume benda pejal hasil perputaran daerah yang dibatasi oleh grafik y = 2x 2 − x 3 dan y = 0 terhadap sumbu-y . • Benda pejal hasil perputaran daerah yang dibatasi oleh grafik y = 2x 2 − x 3 dan y = 0 terhadap sumbu-y digambarkan sebagai berikut: • Akan sulit sekali mencari volume benda pejal yang terbentuk jika menggunakan metode cincin seperti sebelumnya. Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 24 / 32 • Misalkan S adalah benda pejal yang diperoleh dari hasil perputaran terhadap sumbu-y daerah yang dibatasi oleh y = f (x), f (x) ≥ 0, y = 0, x = a, dan x = b, dengan b > a ≥ 0 seperti gambar berikut: • Bagi selang [a, b] menjadi n selang bagian berlebar sama, △x = b−a n • Misalkan x̄i adalah titik tengah dari subinterval ke-i, [xi−1 , xi ] Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 25 / 32 • Jika segiempat dengan alas [xi−1 , xi ] dan tinggi f (x̄i ) diputar terhadap sumbu-y , maka diperoleh kulit silindris dengan jari-jari rata-rata x̄i , tinggi f (x̄i ), dan tebal △x • Sehingga volume kulit silindris: Vi = (2πx̄i )△xf (x̄i ) = (2πx̄i )f (x̄i )△x Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 26 / 32 • Sehingga hampiran volume dari benda pejal S adalah: V = n X i=1 Vi = n X 2πx̄i f (x̄i )△x i=1 • Hampiran akan semakin baik ketika n → ∞, yaitu V = lim n→∞ n X 2πx̄i f (x̄i )△x = i=1 Yunita S. Anwar Oktober 2016 Z b 2πxf (x) dx a Penerapan Integral 27 / 32 Definisi Volume benda pejal yang diperoleh dengan memutar terhadap sumbu-y daerah yang berada dibawah kurva y = f (x) dari a sampai b, adalah Z b 2πxf (x) dx V = a dimana 0 ≤ a < b. Agar mudah diingat: Z b a (2πx) [f (x)] |{z} dx | {z } | {z } keliling alas tinggi Yunita S. Anwar Oktober 2016 tebal Penerapan Integral 28 / 32 Latihan Buku Purcell Soal-soal 6.3 No 1 Tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila daerah R yang dibatasi oleh y = x1 , x = 1, x = 4, dan y = 0, mengelilingi sumbu-y dengan rumus hampiran volume kulit tabung. No 3 Tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila daerah R √ yang dibatasi oleh y = x, x = 3, dan y = 0, mengelilingi sumbu-y dengan rumus hampiran volume kulit tabung. No 4 Tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila daerah R yang dibatasi oleh y = 9 − x 2 , x ≥ 0, x = 0, dan y = 0, mengelilingi sumbu-y dengan rumus hampiran volume kulit tabung. Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 29 / 32 Latihan Buku Purcell Soal-soal 6.3 No 5 Tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila daerah R √ yang dibatasi oleh y = x, x = 5, dan y = 0, mengelilingi garis x = 5 dengan rumus hampiran volume kulit tabung. No 7 Tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila daerah R yang dibatasi oleh y = 14 x 3 + 1, y = 1 − x, dan x = 1, mengelilingi sumbu-y dengan rumus hampiran volume kulit tabung. No 9 Tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila daerah R yang dibatasi oleh x = y 2 , y = 1, dan x = 0, mengelilingi sumbu-x dengan rumus hampiran volume kulit tabung. Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 30 / 32 Soal No 13. Perhatikan daerah berikut. Susunlah sebuah integral untuk volume benda yang terbentuk apabila daerah R diputar mengelilingi garis-garis yang diberikan menggunakan metode yang ditunjuk. • Sumbu-x (metode cincin) • Sumbu-y (metode kulit tabung) • Garis x = a (metode kulit tabung) • Garis x = b (metode kulit tabung) Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 31 / 32 Soal No 14. Perhatikan daerah berikut. Susunlah sebuah integral untuk volume benda yang terbentuk apabila daerah R diputar mengelilingi garis-garis yang diberikan menggunakan metode yang ditunjuk. • Sumbu-y (metode cincin) • Sumbu-x (metode kulit tabung) • Garis y = 3 (metode kulit tabung) Yunita S. Anwar Oktober 2016 Penerapan Integral 32 / 32