ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Rasional Bil Pecahan Bil Bulat - Bil Imaginer (khayal) Bil Irasional Bil Bulat Bil Bulat 0 Bil Bulat + Sistem Bilangan Kompleks Untuk maka bentuk umum bilangan kompleks adalah dengan , dinamakan satuan khayal (imaginary unit) bersifat . dinamakan bagian riil dari dan dinamakan bagian khayal dari yang berturutturut dinyatakan dengan Re( ) dan Im( ). Kompleks sekawan (Complex Conjugate) dari suatu bilangan kompleks adalah ̅ Operasi Dasar Bilangan Kompleks 1. Penjumlahan 2. Pengurangan 3. Perkalian 4. Pembagian 1 Anny Sovia ANALISIS KOMPLEKS Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks Misalkan adalah bilangan kompleks, maka berlaku: 1. Hukum komutatif 2. Hukum asosiatif 3. Hukum distributif (penyebaran) 4. Hukum kesekawanan 5. 6. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̿ Contoh1 Diberikan ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ dan ̅ ̅̅̅̅̅̅ , maka: a. b. c. d. Latihan 1 1. Selesaikan operasi yang diberikan a. b. c. d. e. f. g. h. i. 2. Tunjukkan bahwa bila 3. Buktikan bahwa ̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ 4. Tentukan bilangan riil dan 2 Anny Sovia maka sehingga ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ANALISIS KOMPLEKS 5. Buktikan bahwa untuk setiap , berlaku ̅ Grafik Bilangan Kompleks ̅ Suatu bilangan kompleks dapaat digambarkan dalam suatu bidang kompleks seperti menggambarkan suatu titik pada bidang cartesius . Y (Imaginer) X (Riil) Nilai Mutlak Nilai mutlak atau absolut atau modulus didefinisikan sebagai jarak antara sumbu koordinat dan diberikan sebagai | | √ dan Y (Imaginer) | | X (Riil) Contoh 2 , maka modulus dari adalah | | Diketahui Contoh 3 Jika | dan 1. | | √ bilangan kompleks, maka berlaku | | || | 3 Anny Sovia √ √ ANALISIS KOMPLEKS 2. | | 3. | 4. | | | | | | | | | | | | | | | Bentuk Polar (Kutub) Bilangan Kompleks Perhatikan gambar berikut Andaikan berdasarkan gambar merupakan suatu titik pada bidang kompleks, , Dimana dan √ | |dinamakan modulus dari dinamakan argumen dari menyatakan suatu sudut antara garis mengakibatkan , ditulis yaitu ditulis dengan sumbu yang dinamakan dengan bentuk kutub bilangan kompleks, dan koordinat kutub. Dapat juga ditulis dalam bentuk positif. Hal ini dan dinamakan Operasi Aljabar Bentuk Kutub Misalkan 1. 2. 3. 4. 4 Anny Sovia dan , maka: ANALISIS KOMPLEKS Contoh 4 Diketahui dan a. Gambar kedua bilangan kompleks tersebut dalam bidang kompleks 1 -1 1 -1 b. Modulus dan argumen dari masing-masing bilangan kompleks Modulus: | | =√ √ atau | | =√ √ atau Argumen: , maka di peroleh atau , maka di peroleh atau c. Bentuk kutub masing-masing bilangan kompleks Latihan 2 √ √ ̅ 1. Tentukan | | ! 2. Hitunglah setiap bentuk berikut jika diketahui | a. | b. | ̅ ̅| 3. Tentukan bentuk polar dari bilangan kompleks a. √ b. Kemudian gambarkan grafiknya pada bidang kompleks 4. Diketahui a. b. dan dan √ . Tentukan dan tulis masing-masingnya dalam bentuk kutub 5 Anny Sovia ANALISIS KOMPLEKS Teorema De’Moivre Misalkan dan . Maka diperoleh Jika , maka diperoleh Dinamakan teorema De’Moivre. Rumus Euler Ingat kembali deret Maclaurin ∑ Menyebabkan Misalkan dengan , dinamakan rumus Euler. Secara umum kita dapat mendefinisikan Sehingga bilangan kompleks Contoh 5 1. Tunjukkan bahwa a. 6 Anny Sovia dapat kita tulis dalam bentuk ANALISIS KOMPLEKS Diketahui dan Sehingga diperoleh b. dan Dengan menggunakan teorema De’Moivre Sehingga diperoleh dan c. sehingga Perhatikan bahwa = Latihan 3 1. Tunjukkan bahwa a. b. dan c. 2. Jika diketahui 7 Anny Sovia . Tentukan ANALISIS KOMPLEKS a. b. Akar Bilangan Kompleks Andaikan adalah akar dari yaitu: Sehingga dengan menggunakan teorema De’Moivre diperoleh ( atau bentuk umum Contoh 6 { ( ) ) ( )} Tentukan setiap akar yang diberikan berikut dan letaknya pada bidang kompleks a. √ √ √ Untuk 8 Anny Sovia (√ ) { √ } ANALISIS KOMPLEKS b. ( √ ) ( √ Untuk √( √ ) ) { √ √ √ } Persamaan Suku Banyak Penyelesaian persamaan suku banyak berbentuk dimana bilangan kompleks yang diketahui dan bilangan bulat positif. Persamaan suku banyak memiliki akar kompleks. Jika adalah buah akarnya, maka dinamakan bentuk pemfaktoran persamaan suku banyak. Contoh 7 Selesaikan penyelesaian Setelah difaktorkan diperoleh Maka 9 Anny Sovia ANALISIS KOMPLEKS Latihan 4 1. Selesaikan persamaan 2. Tentukan semua akar dari Fungsi Kompleks Suatu fungsi kompleks dengan variabel kompleks dinyatakan oleh dengan sebagai domain dari dan fungsi kompleks terdiri dari bilangan riil dan imaginer sehingga fungsi kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk atau dimana adalah bagian riil dan Dalam bentuk koordinat polar dan yaitu: adalah bagian imaginer. dapat juga dinyatakan dengan mengganti Jadi y y A’ x x A Bidang xy Bidang w Contoh 1. Jika 10 Anny Sovia . Tentukan fungsi kompleks dalam ANALISIS KOMPLEKS Penyelesaian Jika ̅ menyebabkan ̅ Sehingga ( ̅ ̅ 2. Diketahui ) ̅ ( ̅ ̅ ̅ ) a. Nyatakan dalam bentuk b. Tentukan dan c. Tentukan Penyelesaian ̅ a. ̅ ̅ b. ̅ ̅ diperoleh dan c. Latihan 1. Tentukan nilai fungsi jika jika a. b. c. 2. Jika a. b. 3. Jika tentukan pemetaan dari bidang jika 3i , tentukan a. b. 4. Misalkan dengan 11 Anny Sovia | | . Tentukan nilai yang dinyatakan ANALISIS KOMPLEKS a. b. 5. Jika . Tentukan . Tentukan 6. Jika a. b. 7. Jika . Tentukan a. b. Nilai sehingga 8. Pisahkan setiap fungsi berikut ini dalam bagian riil dan khayalnya yaitu menentukan . a. b. c. Fungsi Eksponensial Didefinisikan dengan sehingga Sifat-sifat fungsi eksponensial 1. Bukti Misalkan 2. dan (buktikan sebagai latihan) 3. | | Bukti Misalkan | 12 Anny Sovia | | | √ | | ANALISIS KOMPLEKS 4. Bukti | | Fungsi Trigonometri Ingat kembali rumus Euler menyebabkan Contoh Buktikan bahwa 1. Bukti 2. Latihan (buku Schaum halaman 67 no 62, 64, 68) 13 Anny Sovia (prove it!) ANALISIS KOMPLEKS Fungsi Hiperbolik Definisi dengan Jika adalah bilangan kompleks, maka Sifat-sifat fungsi hiperbolik 1. Bukti: ( 2. 3. ) ( ) (prove it!) Bukti: ( 14 Anny Sovia ) ( ) ANALISIS KOMPLEKS 4. 5. (prove it !) Bukti: ( ) 6. 7. ( ) (prove it!) Bukti: ( 8. (prove it !) Fungsi Logaritma Secara umum ditulis Nilai utama 15 Anny Sovia )( ) ( )( ) ANALISIS KOMPLEKS Latihan (buku Schaum halaman 67 no 74, 75, 76) Fungsi Invers Trigonometri 1. Bukti Jika ( ) √ , maka merupakan invers sinus dari , yaitu dimana Untuk menentukan , perhatikan bahwa ( Andaikan ) , sehingga , merupakan persamaan kuadrat dalam , sehingga √ √ Menyebabkan √ √ √ ( Maka 2. 3. 4. 5. 6. ( ( ( √ √ √ ) ) √ ) Fungsi Invers Hiperbolik 1. 16 Anny Sovia ( √ ) ) √ ANALISIS KOMPLEKS Bukti Jika , maka merupakan invers sinus dari , yaitu dimana Untuk menentukan , perhatikan bahwa ( Andaikan ) , sehingga , merupakan persamaan kuadrat dalam , sehingga √ √ Menyebabkan √ √ √ ( Maka ( 2. 3. ( 4. 5. 6. ( √ √ √ √ ) ) √ ) ) Limit Fungsi Andaikan suatu fungsi adalah fungsi kompleks dengan variabel adalah L dengan mendekati yaitu Jika untuk setiap 17 Anny Sovia ada sehingga | | jika | dan limit | ANALISIS KOMPLEKS L+ L Lc- c c+ Teorema Limit Jika dan , maka 1. 2. 3. 4. Contoh 1. Diketahui dan . Tentukan Penyelesaian | | | | | || | Karena | Maka diperoleh 18 Anny Sovia | | | | | | | | | | | ANALISIS KOMPLEKS 2. Hitunglah Penyelesaian dengan menggunakan teorema limit Latihan 1. Diketahui dan . Tentukan 2. (Buku Schaum Latihan halaman 69 nomor 94) 3. Jika , tentukan Turunan Andaikan adalah fungsi kompleks, maka turunan didefinisikan oleh Dimana berarti atau . atau , sehingga yaitu Contoh 1. Tentukan turunan Penyelesaian 19 Anny Sovia dengan menggunakan definisi turunan ANALISIS KOMPLEKS Jadi, Perhatikan grafik berikut Untuk konstan Maka .......... (1) Untuk konstan Maka 20 Anny Sovia ANALISIS KOMPLEKS .............. (2) Dari (1) dan (2) Sehingga diperoleh dan yang dinamakan persamaan Cauchy-Riemann. yakni mempunyai turunan di . dikatakan fungsi analitik, Bentuk Polar Persamaan Cauchy-Riemann Misalkan terdapat suatu fungsi kompleks dengan , dimana dan . Sehingga maka Contoh Apakah Penyelesaian 21 Anny Sovia memenuhi persamaan Cauchy-Riemann? ANALISIS KOMPLEKS Misalkan menyebabkan diperoleh dan sehingga , Jadi, , , dan memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann Latihan 1. (Buku Shaum, halaman 97 nomor 43a, 43b, 46a, dan 47a) 2. Apakah fungsi berikut memenuhi persamaan Cauchy-Rieman a. b. dengan Fungsi Harmonik Andaikan terdapat suatu fungsi kompleks persamaan Cauchy-Riemann ......... (1) ....... (2) Jika pers (1) didiferensialkan terhadap diperoleh ........... (3) Jika pers (1) didiferensialkan terhadap diperoleh ........... (4) Jika pers (2) didiferensialkan terhadap diperoleh ........... (5) Jika pers (2) didiferensialkan terhadap 22 Anny Sovia diperoleh . Dari ANALISIS KOMPLEKS ............ (6) Jadi, jika turunan parsial kedua dari dalam suatu daerah maka dan terhadap dan ada dan kontinu dari pers (3) dan (6) diperoleh dari pers (4) dan (5) diperoleh yang disebut dengan persamaan Laplace. Fungsi di mana dan memenuhi persamaan Laplace dalam suatu daerah dinamakan fungsi harmonik dan dikatakan harmonik dalam . Contoh a. Buktikan bahwa fungsi harmonik b. Tentukan suatu fungsi sehingga menentukan fungsi sekawan dari c. Nyatakan dalam suku-suku dari adalah analitik (yaitu Penyelesaian a. Karena , maka fungsi harmonik. b. Suatu fungsi dikatakan analitik jika memenuhi persamaan CauchyRiemann. Maka   ∫ 23 Anny Sovia ∫ .......... (*) ANALISIS KOMPLEKS ............. (**) Substitusi (**) ke (*) sehingga diperoleh c. Latihan (Buku Shaum, halaman 97 nomor 50, 51, dan 53a) Aturan Pendiferensialan Jika fungsi pendiferensialan berikut ini: 1. Bukti 2. 3. 4. Bukti 5. Bukti 24 Anny Sovia analitik dari , maka berlaku aturan ANALISIS KOMPLEKS 6. Jika di mana maka Dengan cara yang sama, jika , maka di mana dan Aturan pendiferensialan seperti ini dinamakan aturan rantai 7. Jika 8. Jika , maka Aturan L’Hospital dihubungkan oleh analitik dalam suatu daerah yang memuat titik dan , tetapi . Maka aturan L’Hospital Contoh 1. Tunjukkan bahwa Bukti ( 25 Anny Sovia dan ⁄ di mana adalah parameter, maka ⁄ ⁄ dan Misalkan dan andaikan menyatakan bahwa ; dan ) ( ) ANALISIS KOMPLEKS ( ) 2. Tentukan turunan setiap fungsi berikut ini a. b. c. 3. Tentukan turunan kedua dari Penyelesaian 4. Tentukan jika Penyelesaian ( 5. Hitunglah ) ⁄ Penyelesaian Latihan 1. Gunakan aturan pendiferensialan untuk menentukan turunan dari fungsi berikut a. b. c. 26 Anny Sovia ANALISIS KOMPLEKS 2. (Buku Shaum, halaman 99 nomor 74, 77b, 78, dan 79) Pengintegralan Fungsi Kompleks Jika dan kontinu pada , maka: ∫ Jika ada kontinu bagian demi bagian pada dengan dan ∫ ∫ diketahui terdapat , maka terintegralkan pada ∫ ∫ Integral Tentu Fungsi Kompleks Misalkan berarti: , untuk fungsi kontinu pada dan ∫ ∫ sehingga dan ∫ ∫ ∫ Sifat-sifat Integral Tentu: 1. 2. 3. ∫ ∫ ∫ ∫ | 4. |∫ 5. ∫ Contoh Tentukan Penyelesaian ∫ 27 Anny Sovia ∫ ∫ | ∫ ∫ ∫ , ∫ adalah konstanta kompleks | dan ∫ , ANALISIS KOMPLEKS Karena Maka {∫ } ∫ dan {∫ } ∫ Teorema Dasar Kalkulus Jika mempunyai anti turunan, misalkan dan kontinu pada dengan kata lain , maka: | ∫ Teorema Dasar Kalkulus untuk Fungsi Bernilai Kompleks Misalkan untuk kontinu pada . Jika sehingga dan maka ∫ | Contoh Hitunglah a. ∫ b. ∫ (kerjakan sebagai latihan) 28 Anny Sovia | | ANALISIS KOMPLEKS Penyelesaian a. Misalkan Batas integral : ∫ ∫ √ | √ Kontur/ Lintasan Definisi (busur) Jika untuk , dimana dan pada . Maka himpunan titik-titik atau bidang kompleks dinamakan busur. Perhatikan tabel berikut Misalkan , maka , maka Maka 29 Anny Sovia sehingga sehingga fungsi kontinu dalam ANALISIS KOMPLEKS Busur di atas dinamai dengan dengan persamaan . Jika dan keduanya kontinu pada terbentuk busur kontinu. Jika maka dan maka busur sederhana terbentuk busur sedehana (busur Yordan). dimana maka Contoh Busur Yordan Bukan busur Yordan Jika busur Yordan mempunyai sifat dan , dengan kata ) lain ( , tapi tidak memotong dirinya sendiri Maka busur tersebut disebut kurva tertutup sedehana (kurva Yordan). 30 Anny Sovia ANALISIS KOMPLEKS Contoh , Kurva Yordan , Bukan kurva Yordan Jika kontinu dan maka busur mempunyai perubahan arah garis singgung yang kontinu dan disebut smoot/ busur mulus/ busur licin. Sedangkan kontur merupakan serangkaian busur (sejumlah berhingga) busur mulus. Contoh (kontur) Panjang Busur Misalkan busur dengan persamaan dimana dan ada pada , maka dikatakan busur terdiferensialkan, panjang busur tersebut dinamakan , yaitu: ∫| | | | Contoh Tentukan panjang busur Penyelesaian 31 Anny Sovia , √ ANALISIS KOMPLEKS Karena dan ada pada maka busur disebut busur terdiferensialkan, maka ∫| panjang busur | ∫√ | ∫ adalah Latihan 1. Diketahui Apakah merupakan busur Yordan? 2. Jika diketahui a. b. Selidiki apakah merupakan kurva Yordan? Integral Garis Jika dan adalah fungsi riil dari dan yang kontinu di semua titik pada kurva , maka integral garis sepanjang kurva dapat didefinisikan sebagai: ∫ Contoh Hitunglah ∫ a. Parabola b. Garis lurus dari c. Garis lurus dari sepanjang ke ke , kemudian dari ke Penyelesaian a. Titik dan pada parabola berkaitan dengan Maka integral yang diberikan sama dengan 32 Anny Sovia dan . ANALISIS KOMPLEKS ∫ b. Sepanjang garis lurus dari sama dengan ∫ ke ∫ Sepanjang garis lurus dari garisnya sama dengan , ke ∫ integral garisnya ∫ dan integral ∫ Maka nilai yang diinginkan c. Suatu persamaan garis yang menghubungkan . Selesaikan untuk maka sama dengan dan adalah . Jadi integral garisnya ∫ ∫ Hasil tersebut juga dapat diperoleh dengan menggunakan Integral Garis Fungsi Kompleks Misalkan adalah suatu fungsi kompleks yang kontinu disemua titik sepanjang . Integral fungsi sepanjang dimulai dari sampai dalam bidang kompleks dirumuskan sebagai ∫ ∫ Contoh 1. Hitunglah ∫ 33 Anny Sovia bila dimana ANALISIS KOMPLEKS Penyelesaian kontinu sepanjang ∫ , maka integral sepanjang lintasan ada, yaitu . Maka ∫ ∫ | ) ( Jadi ∫ . ∫ juga dapat dicari dengan terlebih dahulu mengubah bentuk kutub, yakni . (Kerjakan sebagai latihan!) 2. Carilah ∮ jika diketahui adalah sebagai berikut (0,1) ke dalam dan lintasan (1,1) (0,0)   : Maka : 34 Anny Sovia ke ∫ ke , . ∫ ANALISIS KOMPLEKS ∫  ∫ ke ∫ Jadi ∮ ∫ Hubungan antara Integral Garis Riil dan Kompleks Jika , maka integral kompleks ∫ dapat dinyatakan dalam suku-suku integral garis riil sebagai ∫ ∫ ∫ ∫ Contoh Hitunglah ∫ oleh ̅ dari a. b. Garis ke ke sepanjang kurva kemudian dari yang diberikan ke Penyelesaian a. Titik dan berkaitan dengan integral garisnya sama dengan ∫(̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ∫ b. Integral garis yang diberikan sama dengan 35 Anny Sovia dan . Maka ANALISIS KOMPLEKS ∫ ∫ Garis dari Garis dari sehingga ∫ ke sama seperti garis dari dan integral garisnya sama dengan ∫ ke ∫ ∫ ∫ ke sama dengan garis dari dan integral garisnya sama dengan ∫ Maka nilai yang diinginkan ∫ sehingga ke ∫ Latihan Buku Shaum, halaman 125 nomor 32, 33, 34, dan 38 Integral Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik Gunakan pengetahuan yang sudah anda dapat pada mata kuliah kalkulus untuk menjawab soal-soal berikut. Tentukan 1. ∫ 2. ∫ 3. ∫ 4. ∫ 5. ∫ 6. ∫ 7. ∫ 8. ∫ 9. ∫ 10. ∫ 11. ∫ 12. ∫ 36 Anny Sovia , ANALISIS KOMPLEKS 37 Anny Sovia