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LABORATOIRE NATIONAL DE MÉTROLOGIE ET D’ESSAIS SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE TEMPS ESPACE THÈSE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE PARIS VI spécialité : Lasers et matière présentée par Audrey QUESSADA-VIAL pour obtenir le grade de Docteur de l’Université de Paris VI sujet de thèse : DÉVELOPPEMENT D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES DE STRONTIUM PIÉGÉS : RÉALISATION D’UN LASER ULTRA-STABLE ET STABILITÉ DE FRÉQUENCE soutenue le 30 mai 2005 devant le jury composé de : M. Mme M. M. M. M. M. GRANVEAUD M. HOUSSIN P. JUNCAR P. LEMONDE J. REICHEL P. TUCKEY Directeur de thèse Rapporteur Rapporteur Examinateur Président du jury Directeur de thèse A ma mère. Patience, patience Patience dans l’azur ! Chaque atome de silence Est la chance d’un fruit mûr ! PAUL VALERY (La Palme) iii iv Table des matières Introduction 1 1 Généralités sur les étalons de fréquence optique 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 L’exactitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Les horloges à ions piégés . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 L’ion 199 Hg+ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Performances et limitations . . . . . . . . 1.5 Les horloges à atomes neutres . . . . . . . . . . . 1.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Performances et limitations . . . . . . . . 1.6 Vers une horloge optique à atomes piégés ? . . . . 1.6.1 La longueur d’onde magique . . . . . . . . 1.6.2 Performances envisagées . . . . . . . . . . 1.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 5 6 6 8 10 11 11 13 13 14 18 18 2 Discussion sur les performances d’un étalon de fréquences optiques 19 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Définition de l’effet Dick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Cas d’une horloge optique à atomes neutres libres . . . . . . 22 2.3.1 Matrice d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Description de l’interféromètre Ramsey-Bordé . . . . 26 2.3.3 Fonction de sensibilité dans le cas d’une interrogation de type Ramsey-Bordé . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.4 Expression des coefficients de Fourier . . . . . . . . . 30 2.3.5 Evaluation de l’effet Dick pour un bruit blanc de fréquence 33 2.3.6 Evaluation de l’effet Dick pour différents oscillateurs 33 2.4 Cas d’une horloge optique à atomes neutres piégés . . . . . . 40 v TABLE DES MATIÈRES 2.4.1 Interrogation de type Ramsey . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Interrogation avec une impulsion Rabi . . . . . . . . 2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Réalisation d’une diode laser ultra-stable 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 La technique de Pound Drever Hall . . . . . . . 3.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Le signal d’erreur . . . . . . . . . . . . . 3.3 Sources de bruit du système . . . . . . . . . . . 3.3.1 L’environnement . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 La référence . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Le laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Asservissement du laser . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Principe de l’asservissement . . . . . . . 3.4.2 La cavité Fabry-Perot . . . . . . . . . . 3.4.3 Le laser et le banc optique . . . . . . . . 3.4.4 Le montage électronique . . . . . . . . . 3.4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Spectre de bruit de fréquence du laser . . . . . . 3.5.1 La deuxième cavité Fabry-Perot . . . . . 3.5.2 Mesure du spectre de bruit de fréquence 3.5.3 Evaluation des vibrations . . . . . . . . 3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Vers une horloge optique à atomes froids de strontium : source d’atomes froids 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 La source laser à 461 nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 La somme de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Le doublage de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le ralentisseur Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Principe du ralentisseur . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Description générale . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Performances du ralentisseur . . . . . . . . . . . . . 4.4 Le piège magnéto-optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Description générale . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 La dynamique du PMO . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 43 47 51 51 52 52 55 56 57 58 61 61 61 62 64 70 73 76 77 78 80 84 la . . . . . . . . . . . . 87 87 88 90 96 98 99 103 103 106 106 106 109 TABLE DES MATIÈRES 5 Mesure de la transition fortement interdite strontium 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Le verrouillage en phase . . . . . . . . 5.2.2 Le laser femtoseconde . . . . . . . . . . 5.3 Mesure indirecte de la transition 1 S0 -3 P0 . . . 5.3.1 La mesure de la transition 1 S0 -3 P1 . . . 5.3.2 La mesure de la transition 3 P1 -3 S1 . . . 5.3.3 La mesure de la transition 3 P0 -3 S1 . . . 5.3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Mesure directe de la transition 1 S0 -3 P0 . . . . 5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 S0 →3 P0 du 111 . . . . . . . . 111 . . . . . . . . 112 . . . . . . . . 113 . . . . . . . . 114 . . . . . . . . 119 . . . . . . . . 119 . . . . . . . . 123 . . . . . . . . 128 . . . . . . . . 139 . . . . . . . . 139 . . . . . . . . 146 A Compléments du chapitre 2 A.1 Interrogation de Ramsey-Bordé . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1 Effet Dick évalué en fonction de la fréquence de cycle et du rapport cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.2 Effet Dick calculé en fonction du temps mort et de la fréquence de cycle fc . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Interrogation de Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Effet Dick calculé en fonction du rapport cyclique d et de la fréquence de cycle fc . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Effet Dick calculé en fonction du temps mort et de la fréquence de cycle fc . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Interrogation de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Compléments du chapitre 3 B.1 Rappels sur l’interféromètre Fabry-Perot . . . . . B.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.2 Calcul du champ transmis par la cavité et d’Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.3 Fonction de transfert du PF . . . . . . . . B.2 Comparaison des deux cavités Fabry-Perot . . . . C Rappels d’optique non linéaire C.1 Introduction . . . . . . . . . . . . C.2 Equations de propagation dans un C.3 Conditions d’accord de phase . . C.4 Quasi-accord de phase . . . . . . Bibliographie . . . . milieu . . . . . . . . 147 148 148 148 151 151 151 151 157 . . . . . . 157 . . . . . . 157 Fonction . . . . . . 158 . . . . . . 159 . . . . . . 164 . . . . . . . non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 165 165 166 167 171 vii TABLE DES MATIÈRES viii Introduction La définition de la seconde adoptée par la 13e Conférence Générale des Poids et Mesures en 1967 est la suivante [1] : La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de 133 Cs. La seconde est l’unité SI qui est réalisée, à l’heure actuelle de la façon la plus exacte avec une incertitude relative en fréquence inférieure à 10−15 [2]. Si des étalons atomiques de fréquences performants sont nécessaires en métrologie, il existe d’autres domaines dans lesquels ils peuvent apporter leur contribution, en particulier la physique fondamentale : certaines théories qui sont développées dans le but d’unifier gravitation et mécanique quantique (par exemple la théorie des cordes) prévoient la variation spatiotemporelle des constantes fondamentales [3]. Les horloges atomiques et plus généralement la spectroscopie haute précision de transitions atomiques permettent de réaliser ces tests de façon reproductible en laboratoire sur des échelles de temps relativement courtes [4–6]. Grâce à des horloges microondes, on a déjà pu réaliser des comparaisons entre fréquences de transition d’horloge d’espèces atomiques différentes (Cs/Rb) [7] ce qui a permis de déterminer une limite supérieure à la variation de la constante de structure fine α : α̇/α = −0.4 ± 16 × 10−16 an−1 . Cependant, les horloges micro-ondes les plus stables ont déjà presque atteint leur stabilité ultime (quelques 10−14 à 1 s [2]) et d’autres types d’étalons de fréquence plus prometteurs en matière de performances (stabilité et exactitude) ont été développés : il s’agit des étalons de fréquence optique, leur transition d’horloge se situant effectivement dans le domaine optique. Par ailleurs, un autre intérêt des étalons de fréquence optique est qu’il est désormais possible d’effectuer des comparaisons entre étalons de fréquence optique et fontaines micro-onde, ou entre deux étalons de fréquence optique différents grâce au développement des lasers femtosecondes [8, 9] ce qui permettrait d’affiner des tests de physique fondamentale : et optiques 1 Introduction et Cs/Hg+ ) et dans le deuxième cas, |α̇/α| < 1.2 × 10−15 an−1 [10]. 2 Chapitre 1 Généralités sur les étalons de fréquence optique 1.1 Introduction Les performances des étalons de fréquence micro-onde se sont considérablement améliorées au cours de ces dix dernières années. En particulier, les fontaines à atomes de césium présentent désormais une stabilité relative en fréquence de 1.6 × 10−14 τ −1/2 et une exactitude de ±6.5 × 10−16 [2] contre 1.1 × 10−13 τ −1/2 et 1.1 × 10−15 il y a cinq ans [11]. Néanmoins, les fontaines à césium ont presque atteint la limite quantique en ce qui concerne leur stabilité relative en fréquence et il semble peu probable par la suite que l’on puisse gagner des ordres de grandeurs sur leurs perfomances : augmenter le nombre d’atomes participant au signal d’horloge pourrait être une solution mais le bénéfice qu’il en résulterait pour la stabilité se ferait au détriment de l’exactitude, et ce à cause des collisions froides [12]. Un des intérêts de construire des étalons de fréquence optique réside dans le fait que les transitions d’horloge potentielles possèdent un facteur de qualité atomique Q très élevé (entre 1012 et 1019 selon les espèces atomiques et la transition envisagée), et par conséquent la limite quantique pour la stabilité se trouverait autour de 10−17 à 1 s pour les transitions les plus étroites (et pour des horloges à atomes neutres). Nous allons présenter dans ce chapitre deux types d’étalons de fréquence optique : les horloges à ions uniques piégés et les horloges à atomes neutres. Dans ce dernier cas, de récentes évolutions ont permis d’envisager d’interroger des atomes neutres piégés combinant ainsi les avantages des deux types d’étalons de fréquence [13]. 3 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉTALONS DE FRÉQUENCE OPTIQUE 1.2 La stabilité La stabilité relative en fréquence de l’étalon de fréquence est sa capacité à délivrer la même fréquence au cours du temps. Elle s’exprime généralement au moyen de la variance d’Allan. Les échantillons du signal y(t) notés yk sont donnés par : Z 1 tk+1 yk = y(t)dt (1.1) Tc tk où Tc = tk+1 − tk est le temps de cycle de l’horloge. La variance d’Allan est alors définie par [14] : σy2 (τ ) N −1 X 1 = lim (yk+1 − yk )2 N →∞ 2(N − 1) k=1 (1.2) avec τ = N Tc . De façon générale, la stabilité d’un étalon de fréquence est donnée par la relation suivante : r Tc η σy (τ ) = (1.3) QS/N τ où S/N est le rapport signal à bruit sur un cycle de durée Tc , η est un facteur de l’ordre de l’unité qui tient compte de la forme de la résonance : en particulier on montre que η = 2/π pour une interrogation atomique de type Ramsey-Bordé et η = 1/π pour une interrogation de type Ramsey. Q, le facteur de qualité atomique vaut ν0 /δν0 : il est défini comme le rapport de la fréquence de la transition atomique ν0 sur sa largeur de raie à mi-hauteur δν0 . La largeur ultime de δν0 est la largeur naturelle de la transition mais elle est généralement élargie sous l’effet de diverses contraintes expérimentales comme le temps et le type d’interrogation des atomes. Pour accroı̂tre Q, une possibilité consisterait, à ν0 donné, à augmenter le temps d’interrogation des atomes, c’est-à-dire à diminuer δν0 : c’est ce qui est envisagé actuellement pour des horloges micro-ondes spatiales avec le projet européen ACES afin de limiter les effets de la gravité qui réduisent le temps d’interaction avec les atomes. L’autre possibilité est de changer le domaine d’interrogation des atomes, autrement dit interroger des atomes présentant une transition étroite dans le domaine optique comme c’est le cas pour les atomes de strontium, calcium, magnésium, ytterbium, argent et mercure [15–19]. La limite ultime de stabilité pour un étalon de fréquence atomique est le bruit de projection quantique [20, 21]. En effet, le système atomique est décrit par une superposition des états |f i et |ei respectivement l’état fondamental et l’état excité de la transition atomique (voir figure 1.1), soit 4 1.3. L’EXACTITUDE |ψi = cf |f i + ce |ei : la probabilité du système de se trouver dans l’état |f i (respectivement |ei) est donnée par |cf |2 (respectivement |ce |2 ) telle que |cf |2 +|ce |2 = 1. On ne peut prédire avec certitude à l’issue de l’interrogation dans quel état sera détecté le système [20]. Dans ce cas, la dispersion sur la mesure de la probabilité √ de transition atomique est décrite par une loi binomiale telle que S/N = N où N est le nombre d’atomes participant au signal d’horloge. Outre le bruit de projection quantique, il existe d’autres types de bruits techniques pouvant limiter la stabilité de l’horloge : bruits de l’électronique, du laser de détection ou de l’oscillateur local [21]. En particulier, nous nous intéresserons à l’effet Dick lié aux fluctuations de fréquence de l’oscillateur local qui sera traité en détail dans le chapitre 2. Nous pouvons d’ores et déjà signaler que cet effet Dick sera la principale limitation aux performances d’une horloge optique à atomes neutres : en effet le bruit de projection quantique ultime se situe autour de 10−18 à 1 s alors que l’effet Dick est de l’ordre de 10−16 τ −1/2 après optimisation de certains paramètres expérimentaux et pour un oscillateur local présentant un spectre de bruit de fréquence donné dans le chapitre 2 (voir figure II.2.7 courbe rouge). Précisons également que l’effet Dick a longtemps limité la stabilité des fontaines à césium à 10−13 τ −1/2 avant l’utilisation d’oscillateurs cryogéniques qui ont permis d’atteindre 10−14 à 1 s. 1.3 L’exactitude La fréquence νOL délivrée par l’oscillateur local (noté OL) asservi sur une transition atomique (voir figure 1.1) peut se mettre sous la forme suivante : νOL = ν0 [1 + ε + y(t)] (1.4) où ν0 est la fréquence atomique de référence, ε représente les déplacements systématiques de fréquence relative et y(t), les fluctuations de fréquence relative. Les déplacements de fréquence systématiques sont dûs aux perturbations qui affectent l’atome au cours de l’interrogation. Il peut s’agir de l’effet Zeeman, de l’effet du rayonnement du corps noir, de l’effet Doppler du premier et second ordre, des déplacements collisionnels etc... La liste n’est pas exhaustive. Dans le cas des fontaines micro-ondes, des études détaillées sur ces effets sont développées notamment dans les références [22–26]. On définit alors l’exactitude comme l’incertitude sur la connaissance de tous 5 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉTALONS DE FRÉQUENCE OPTIQUE A to m e s e n E e 0 E f f C o r r e c tio n In te r r o g a tio n O s c illa te u r L o c a l n O L Fig. 1.1 – Principe d’un étalon de fréquence passif : l’oscillateur local interE −E roge la transition atomique. La différence entre ν0 = e ~ f et νOL permet de corriger la fréquence de l’oscillateur local. ces effets systématiques. Le tableau 1.1 présente, comme exemple, un budget d’exactitude pour la fontaine FO2 réalisée dans notre laboratoire. Il faut souligner que, à l’exception de l’effet Doppler du premier ordre, les effets qui déplacent la fréquence d’horloge ne dépendent pas de la transition atomique envisagée : en particulier pour une horloge optique, ces déplacements de fréquence relative liés à l’environnement sont, au mieux dans le rapport νCs /νopt , plus petits que dans le cas des horloges micro-onde (avec νCs fréquence de la transition micro-onde et νopt celle de la transition optique). En revanche l’effet Doppler du premier ordre dépend linéairement de la transition d’horloge et par conséquent, passer du domaine micro-onde au domaine optique ne permet pas de négliger ce déplacement en terme de fréquence relative comme ce pourrait être le cas pour les autres effets. 1.4 1.4.1 Les horloges à ions piégés Principe Comme nous l’avons vu précédemment, une alternative pour augmenter le facteur de qualité atomique est d’accroı̂tre le temps d’interaction et pour cela, une solution consisterait à piéger les atomes. Historiquement, il a été plus facile de piéger des ions [28], grâce à leur charge électrique, dans un 6 1.4. LES HORLOGES À IONS PIÉGÉS Effets Spectre et fuites micro-onde Effet Doppler du premier ordre Rayonnement du corps noir Collisions froides et cavity pulling Effet de recul Déplacement Ramsey et Rabi Collisions avec le gaz résiduel Effet Zeeman quadratique Effet Doppler du second ordre Incertitude totale (×10−16 ) FO2 < 4.3 <3 -168.2 ± 2.5 -375 ± 2.0 < 1.4 <1 <1 1927.3 ± 0.3 < 0.08 ± 6.5 Tab. 1.1 – Budget des déplacements de fréquence relative pour FO2 en fonctionnement césium [27]. Les deux effets les plus importants limitant l’exactitude sont les fuites micro-onde de la cavité et l’effet Doppler du premier ordre. piège électrique et/ou magnétique, que des atomes neutres. Pour un piège radiofréquence de type Paul par exemple, un potentiel quadrupolaire harmonique dans les trois directions de l’espace et modulé à une fréquence RF est généré par des électrodes. La profondeur d’un piège est typiquement de quelques 104 K. La trajectoire d’un ion est décrite par une superposition d’un mouvement séculaire (lentement variable) et d’un mouvement micrométrique à la fréquence RF. Il est possible de piéger un grand nombre d’ions dans le piège même si ce nombre est limité par la charge d’espace (typiquement de l’ordre de 105 ions) néanmoins seuls quelques ions se trouvent au centre du piège où le potentiel s’annule et par conséquent pour que les effets du piège (effet Stark) et l’effet Doppler du premier ordre ne limitent pas l’exactitude de l’horloge à ∼ 10−12 [29], on préfère piéger un ion unique. Par ailleurs, le refroidissement laser de l’ion unique lui permet d’atteindre le régime de Lamb-Dicke : plusieurs techniques de refroidissement ont été élaborées et on peut citer par exemple le refroidissement par bandes latérales [30]. Dans le régime de Lamb-Dicke [31, 32] l’amplitude du mouvement de vibration de l’ion dans le piège est plus petite que la longueur d’onde utilisée pour sonder l’ion et dans ce cas, l’effet Doppler du premier ordre s’annule et l’effet Doppler du second ordre devient négligeable. On peut de cette façon obtenir des temps de confinement de l’ion dans le piège extrêmement longs, de l’ordre de quelques mois [33]. Le schéma général des niveaux des ions utilisés dans les étalons de fréquence optique est est présenté sur la figure 1.2(a). On voit qu’il est pos7 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉTALONS DE FRÉQUENCE OPTIQUE sible de refroidir ces ions sur la transition dipolaire électrique également employée pour la détection optique de l’ion grâce à la fluorescence de résonance : si un deuxième laser excite l’ion vers l’état métastable de la transition d’horloge, la fluorescence disparaı̂t et chaque excitation peut être détectée de cette façon (electron shelving) avec une efficacité proche de 100% comme une période noire de la fluorescence [34](voir figure 1.2(b)). De nombreux ions sont d’éventuels candidats pour l’élaboration de standards de fréquence optique : par exemple l’ion 171 Yb+ [36–38], l’ion 199 Hg+ [9, 33, 39, 40], l’ion 88 Sr+ [41, 42], l’ion 115 In+ [43] ou encore l’ion 43 Ca+ [44] pour ne citer qu’eux. 1.4.2 L’ion 199 Hg+ Nous allons maintenant nous intéresser plus en détail à l’étalon de fréquence utilisant l’ion 199 Hg+ du NIST qui montre des performances remarquables : une stabilité de 7×10−15 à 1s [45] et une exactitude inférieure à 10−14 limitée essentiellement par le déplacement quadrupolaire du niveau 2 D5/2 . La transition d’horloge est la transition quadrupolaire électrique 2 S1/2 (F = 0, mF = 0)-2 D5/2 (F = 2, mF = 0) à 282 nm. Sa largeur naturelle est de 2Hz (voir figure 1.3). Elle est interrogée par un laser à colorant à 563 nm, doublé en fréquence, et stabilisé par la technique de Pound-Drever-Hall (voir chapitre 3) sur une cavité Fabry-Pérot de grande finesse (F=200 000). La largeur de raie du laser est de 0.2 Hz [46]. La transition 2 S1/2 (F = 1)-2 P1/2 (F = 0) est utilisée pour le refroidissement laser et la transition 2 S1/2 (F = 0)2 P1/2 (F = 1) sert repomper les ions vers le niveau 2 S1/2 (F = 1). Un ion unique est confiné dans un piège de Paul cryogénique pour augmenter sa durée dans de vie dans le piège limitée les effets d’échange de charge avec les atomes d’hydrogène résiduel. Sous ces conditions, l’ion 199 Hg+ peut être piégé de façon continue pendant une durée dépassant 100 jours. La séquence temporelle est la suivante : l’ion est refroidi par laser pendant 50 ms, puis il est préparé dans l’état 2 S1/2 (F = 0) grâce au pompage optique pendant 25 ms. Il est enfin interrogé par un laser à 282 nm sur la transition 2 S1/2 (F = 0, mF = 0)-2 D5/2 (F = 2, mF = 0) pendant des périodes de 10 à 120 ms. Enfin la détection s’effectue pendant 20 ms. L’interrogation et la détection de l’ion s’appuie sur la méthode dite electron shelving. Grâce aux sauts quantiques observés, on en déduit le profil de la transition en effectuant plusieurs cycles de mesures pour différentes fréquences du laser d’interrogation : une largeur de raie de 6.5 Hz pour un 8 1.4. LES HORLOGES À IONS PIÉGÉS (a ) n iv e a u m é ta s ta b le r e fr o id is s e m e n t/ d é te c tio n t r a n s it io n d 'h o r lo g e n iv e a u fo n d a m e n ta l Fig. 1.2 – En (a), schéma général des niveaux des ions utilisés dans les étalons de fréquences. En (b), observation de sauts quantiques pour un ion Ba+ publiée par W. Nagourney dans la référence [35]. 9 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉTALONS DE FRÉQUENCE OPTIQUE t ~ 2 n s F = 1 P 2 1 /2 F = 0 t ~ 8 6 m s 2 R e fr o id is s e m e n t D é te c tio n 1 9 4 n m D 5 /2 F = 3 F = 2 T r a n s itio n d 'h o r lo g e 2 8 2 n m 2 S F = 1 1 /2 F = 0 Fig. 1.3 – Schéma des niveaux de l’ion réalisation de l’étalon de fréquence . 199 Hg+ intervenant dans la temps d’interrogation de 120 ms a pu être détectée ce qui correspond à un facteur de qualité atomique de 1.6 × 1014 (le facteur de qualité ultime de cette transition est de 5 × 1014 ). La fréquence du laser d’interrogation (ou oscillateur local) est mesurée grâce à un laser femtoseconde avec un taux de répétition de 1 GHz (voir chapitre 5). Ce laser femtoseconde permet de diviser la fréqence mesurée dans le domaine micro-onde et dans ce cas peut-être enregistrée par un compteur [47]. 1.4.3 Performances et limitations Rappelons que la stabilité de l’étalon de fréquence à ion 199 Hg+ unique et piégé est de 7 × 10−15 à 1 s. La limite ultime est donnée par le bruit de projection quantique de 1×10−15 τ −1/2 . D’après la relation 1.3, on voit que la principale limitation de ce type d’étalon est le rapport signal à bruit qui est au mieux l’unité. On constate qu’on peut difficilement améliorer la stabilité d’une telle horloge à ion piégé. Précisons par ailleurs que le bruit du laser d’interrogation intervient également dans le bruit de projection quantique par l’intermédiaire de sa largeur de raie qui limite la largeur de la transition mesurée. En revanche, avec un ion unique, l’exactitude n’est limitée que par le décalage quadrupolaire électrique qui est de l’ordre de 10−15 . Tous les autres effets, comme l’effet Doppler du second ordre, l’effet Zeeman quadratique et 10 1.5. LES HORLOGES À ATOMES NEUTRES l’effet Stark peuvent être contrôlés au niveau de 10−18 à 4 K, température du piège cryogénique. 1.5 Les horloges à atomes neutres Des étalons de fréquence optique sont actuellement en cours de développement (Sr [15, 48], Yb [18], Ca [16], Mg [17]) et de nombreuses équipes travaillent avec des atomes de la famille des alcalino-terreux (Ca, Mg, Sr) ou présentant une structure atomique semblable (Yb, Hg). Ces atomes ont l’avantage de possèder une ou plusieurs transitions d’horloge potentielles étroites dans le domaine optique. En 2001, la proposition énoncée par Katori [13], et détaillée dans les paragraphes suivants, a introduit une nouvelle approche dans la conception des étalons de fréquence optique à atomes neutres et la plupart des projets s’orientent désormais dans cette direction. 1.5.1 Principe Nous allons nous appuyer essentiellement dans ce paragraphe sur les références [16] et [17] qui décrivent des évaluations préliminaires d’étalons de fréquence optique basés sur des atomes de Ca et Mg respectivement. La première étape de la conception d’un tel étalon de fréquence consiste à refroidir des atomes à partir d’un jet atomique thermique et à les piéger dans un piège magnéto-optique (PMO) afin d’atteindre des températures de l’ordre du mK. Le refroidissement et le piégeage sont réalisés sur la transition cyclante 1 S0 -1 P1 . Le tableau 1.2 résume quelques caractéristiques de ce refroidissement telles que la largeur de la transition ou la source laser employée, pour différents atomes. Pour donner quelques valeurs de paramètres significatifs, environ 5×106 atomes de calcium sont chargés dans le PMO en 25 ms par l’équipe du NIST de L. Hollberg [49]. Le niveau fondamental ne possède pas de structure hyperfine et de ce fait il est impossible de procéder à un refroidissement de type Sisyphe pour atteindre des températures subDoppler. Ainsi selon les expériences, il peut exister une deuxième étape de refroidissement qui s’effectue sur la transition d’intercombinaison 1 S0 -3 P1 pour permettre d’atteindre des températures de l’ordre d’une dizaine de µK en quelques dizaines de ms. Pour le Ca ou le Mg, on utilise la technique de quench cooling pour optimiser cette deuxième étape de refroidissement car la largeur de la transition d’intercombinaison est trop étroite (quelques centaines de Hz) pour refroidir directement des atomes ayant une distribution de vitesse correspondant à une température initiale du mK [50]. Les atomes sont interrogés sur la transition d’intercombinaison 1 S0 -3 P1 par interférométrie atomique grâce à un laser ultra-stable (voir chapitre 3), 11 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉTALONS DE FRÉQUENCE OPTIQUE Atomes 24 Mg 40 Ca 87 Sr 171 Yb λ 285 nm 423 nm 461 nm 399 nm Γ/2π 80 MHz 35 MHz 32 MHz 28 MHz Laser Laser à colorant Ti :Sa MOPA à 922 nm Diode laser violet Cristal BBO PPKTP - Puissance 40 mW [17] 500 mW [16] 240 mW [51] 30 mW [52] Tab. 1.2 – Sources lasers utilisées pour refroidir les atomes sur la transition cyclante 1 S0 -1 P1 . La plupart de ces sources lasers s’appuient sur le principe d’un doublage de fréquence dans un cristal non linéaire. Soulignons toutefois qu’une source à 461 nm pour l’expérience strontium a été réalisée à partir d’une somme de fréquence décrite dans le chapitre 4. Précisons aussi que l’atome Yb, bien que n’étant pas un alcalino-terreux comme le Ca, Mg ou Sr présente une structure atomique similaire. une fois les champs extérieurs éteints (lasers du PMO et gradient de champ magnétique). L’interférométrie atomique est nécessaire pour s’affranchir de l’élargissement Doppler résiduel. La géométrie la plus couramment utilisée pour l’interrogation des atomes est celle de Ramsey-Bordé [53] dans le domaine temporel : les atomes subissent une séquence d’impulsions laser issues de deux paires de faisceaux contra-propageants qui vont séparer puis recombiner les paquets d’ondes ce qui conduit à des franges d’interférences atomiques (voir figure 1.4). A chaque impulsion laser, la phase de celui-ci est imprimée au paquet d’onde. En tenant compte de l’effet de recul, il en résulte un déphasage global Φ accumulé par les paquets d’ondes dont va dépendre la probabilité de transition atomique mesurée à la sortie de l’interféromètre par la technique dite electron shelving : Φ = 2T (∆ ± ωR ) + (ϕ2 − ϕ1 ) + (ϕ4 − ϕ3 ) (1.5) avec T la durée entre deux impulsions copropageantes, ∆ le désaccord du laser par rapport à la résonance atomique, ωR la fréquence angulaire de recul et ϕi la phase du laser à l’interaction i. Dans le cas idéal où l’alignement des lasers est parfait, ces différences de phases ϕk − ϕi s’annulent. Expérimentalement, ce n’est pas le cas : les atomes en chute libre ne voient pas la même phase à chaque impulsion, à cause, par exemple, de défauts de fronts d’onde laser, de l’expansion thermique du nuage atomique ou encore à cause des sauts de phase que peuvent produire les modulateurs acoustioptiques qui génèrent les impulsions. La séquence temporelle utilisée par le groupe du NIST est la suivante : les impulsions laser ont une durée de 1-2 µs et T est de l’ordre de quelques centaines de µs ce qui permet d’atteindre une résolution meilleure que le kHz. 12 1.6. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES PIÉGÉS ? Fig. 1.4 – Franges obtenues par interrogation de Ramsey-Bordé du calcium développée au NIST [16]. 1.5.2 Performances et limitations La stabilité de tels étalons de fréquence optique est de l’ordre de 10−14 τ −1/2 [16]. Elle est principalement limitée par l’effet Dick qui est dû à la conversion du bruit haute fréquence du laser interrogeant les atomes vers les basses fréquences par un effet d’échantillonnage à la fréquence de cycle de l’horloge. Les séquences temporelles du cycle d’horloge doivent nécessairement être optimisées pour réduire cet effet comme nous le verrons dans le chapitre 2. L’exactitude relative est de 1.2×10−14 et une des principales contributions au budget des incertitudes est due à l’effet Doppler du premier ordre car les atomes interrogés sont en chute libre et donc les degrés de liberté externes sont moins bien contrôlés que ceux des ions piégés. Cet effet peut être estimé en testant plusieurs configurations d’interféromètres atomiques [54] mais la qualité du faisceau laser reste un paramètre critique pour l’exactitude de l’horloge. 1.6 Vers une horloge optique à atomes piégés ? Pour résumer les paragraphes précédents, les performances des étalons de fréquences optiques sont très prometteuses. Cependant la stabilité des horloges à ion unique piégé est limitée par un rapport signal à bruit de 1 qui 13 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉTALONS DE FRÉQUENCE OPTIQUE ne peut être amélioré de par la nature même de l’horloge. L’exactitude en revanche bénéficie du fait que l’on étudie un système peu sensible aux effets du mouvement atomique. Pour les horloges optiques à atomes neutres libres, la stabilité est limitée principalement par des bruits techniques (l’effet Dick) et l’effet Doppler du premier ordre limite aujourd’hui l’exactitude à quelques 10−15 . Dans les deux cas, il s’agit de réaliser un compromis entre stabilité et exactitude. S’il était possible de piéger des atomes neutres dans le régime de Lamb-Dicke, l’effet Doppler du premier ordre s’annulerait ainsi que l’effet de recul. De plus un réseau optique constitué de milliers de potentiels confinant les atomes permettrait d’envisager des temps d’interrogation plus longs que ceux utilisés actuellement avec les atomes libres, et donc d’augmenter le facteur de qualité atomique. 1.6.1 La longueur d’onde magique Pour réaliser un tel étalon de fréquence optique, les atomes doivent être piégés dans un réseau optique. Le réseau optique est constitué de deux faisceaux contra-propageants pour chaque direction de confinement. Les franges d’interférences ainsi créées forment un réseau de pièges dipolaires séparés de λ (figure 1.5) où λ est la longueur d’onde des faisceaux. Lorsque la fréquence 2 des faisceaux pièges est éloignée de toute fréquence de transition atomique pour éviter des effets parasites d’émission spontanée, il est possible de piéger les atomes pendant plusieurs secondes. En revanche, la présence des faisceaux piéges induisent des déplacements lumineux des niveaux intervenant dans la transition d’horloge [55]. Une solution envisagée pour résoudre ce problème a été proposée par H. Katori en 2001 [13]. Pour une transition d’horloge telle que les deux niveaux impliqués possèdent un moment cinétique J = 0, il existe une longueur d’onde des faisceaux pièges, appelée longueur d’onde magique, pour laquelle les déplacements lumineux des niveau fondamental et excité se compensent exactement au premier ordre [56,57]. La transition d’horloge choisie pour permettre une telle configuration est la transition 1 S0 -3 P0 des isotopes alcalino-terreux fermioniques (spin nucléaire non nul). En particulier, la longueur d’onde magique a été calculée et évaluée expérimentalement pour le 87 Sr et vaut dans ce cas 813.5 ± 0.9 nm [57]. Soulignons que cette longueur d’onde est éloignée des longueurs d’onde des transitions atomiques du 87 Sr d’une part et d’autre part, elle peut être générée facilement par un laser solide de puissance de type Ti :Sa. 14 1.6. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES PIÉGÉS ? Fig. 1.5 – Représentation d’un piège dipolaire 2D. La fréquence ν de la transition d’horloge perturbée par un champ électrique E peut s’écrire : 1 1 → → ~ν = ~ν0 − ∆α(− e , ω)E 2 − ∆γ(− e , ω)E 4 − . . . (1.6) 4 64 → → où ν0 est la fréquence de la transition non perturbée, ∆α(− e , ω) et ∆γ(− e , ω) sont les différences entre les polarisabilités et hyperpolarisabilités des niveaux fondamental et excité qui dépendent de façon générale de la fréquence → ω/2π et du vecteur unitaire de polarisation − e de l’onde lumineuse. Si on néglige la structure hyperfine (voir la référence [56]), le déplacement lumineux est scalaire et ne dépend donc pas de la polarisation pour des états ayant des moments cinétiques J = 0 tels que le 1 S0 et le 3 P0 . Le piège dipolaire induit des couplages entre différents états qui sont représentés sur la figure 1.6. Le déplacement lumineux résultant du couplage entre 1 S0 et 1 P1 est négatif pour des longueurs d’ondes λ du piège supérieures à la longueur d’onde de la transition. De la même façon, le niveau 3 P0 est couplé aux niveaux 3 S1 et 3 D1 ce qui induit des déplacements lumineux négatif dans le premier cas (λ → 679 nm par valeur supérieure) et positif dans l’autre cas (λ → 2600 nm par valeur inférieure). Il existe donc une valeur particulière de la longueur d’onde λ, telle que ∆α=0 : la transition d’horloge n’est pas perturbée par le piège dipolaire au premier ordre. Le graphe 1.7 représente 15 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉTALONS DE FRÉQUENCE OPTIQUE 3 S 1 6 7 9 n m 1 P 1 l 3 P p 3 D 1 2 .6 0 m m 0 4 6 1 n m l 1 S 6 9 8 n m p 0 Fig. 1.6 – Niveaux couplés par le piège dipolaire pour un atome de 87 Sr. les déplacements lumineux des niveaux fondamental (courbe en trait plein) et excité (courbe en pointillée) de la transition d’horloge du 87 Sr en fonction de la longueur d’onde des faisceaux pièges. On constate effectivement une intersection entre les deux courbes pour λ ∼ 800 nm. Remarque : L’un des avantages de cette configuration d’horloge est que l’on peut ainsi tester différents types d’interrogation atomique (Rabi, Ramsey), ces tests pouvant servir à mieux caractériser les effets de déplacements de fréquence relative de la transition d’horloge. En effet, les atomes étant dans le régime de Lamb-Dicke, on peut envisager par exemple une interrogation de type Ramsey, c’est-à-dire, avec deux zones d’interrogation séparée temporellement de T (voir figure 1.8). Pour des atomes libres, cette interrogation est extrêmement sensible à la longueur de cohérence transverse du jet atomique lc et au temps T : une condition pour observer les franges est donnée par : λ (1.7) T ≪ δv où λ est la longueur d’onde de l’OL et δv la dispersion des vitesses transverses. Typiquement, pour un temps T = 10 ms et une longueur d’onde de 698 nm (correspondant à la transition d’horloge du 87 Sr), la dispersion de vitesse transverse des atomes devrait être plus petite que 10−5 m.s−1 , ce qui peut être difficile à réaliser et par conséquent les franges d’interférences sont brouillées. Pour des atomes dans le régime de Lamb-Dicke, la condition 1.7 est vérifiée. 16 1.6. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES PIÉGÉS ? Fig. 1.7 – Déplacements lumineux des niveaux de la transition d’horloge du 87 Sr pour différentes valeurs de longueurs d’onde du piège dipolaire. Ce graphe est extrait de la référence [56]. L’intensité des faisceaux pièges est de 10 kW.cm−2 . Dans l’insert sont représentés les déplacements lumineux des sous-niveaux de l’état 3 P0 (F=9/2) en fonction de l’angle de polarisation du laser piège θ et en présence d’un champ magnétique de 3 mT. T |e |f |e D z |f Fig. 1.8 – Interrogation Ramsey des atomes libres d’un jet atomique dans le domaine optique. Il y a deux ports de sorties par états internes séparés de la quantité ∆z = ~kL T /M selon la direction z transverse du jet atomique, avec kL vecteur d’onde de faisceaux lasers et M , masse de l’atome. 17 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉTALONS DE FRÉQUENCE OPTIQUE 1.6.2 Performances envisagées La stabilité ultime d’une horloge optique à atomes neutres est de 10−18 à 1 s. En revanche, on peut gagner deux ordres de grandeurs en exactitude entre une hologe optique à atomes neutres piégés et une horloge optique à atomes libres, l’effet Doppler n’étant plus dans ce cas précis limitant. Les déplacements de fréquence relative liés aux déplacements lumineux d’ordres supérieurs, à l’effet Zeeman, au déplacement lumineux induit par le laser d’interrogation peuvent être contrôlés au niveau de 10−17 . 1.7 Conclusion Nous avons vu dans ce chapitre l’intérêt de développer une horloge optique à atomes piégés qui présentent des performances ultimes prometteuses (∼ 10−17 pour l’exactitude et 10−18 à 1 s pour la stabilité). Pour pouvoir approcher ces objectifs, il s’agit d’étudier les effets qui peuvent compromettre ces performances et d’élaborer une stratégie pour s’en affranchir. En particulier pour la stabilité de l’horloge, elle sera, dans les premiers temps, limitée par le bruit en fréquence de l’oscillateur local à savoir le laser d’interrogation. Dans le chapitre 2, nous étudierons cet effet connu sous le nom d’effet Dick et nous verrons que deux points sont importants pour le réduire au niveau de 10−16 à 1 s : la séquence temporelle d’interrogation et la pureté spectrale du laser d’interrogation. Expérimentalement, nous avons construit un laser de grande pureté spectrale pouvant satisfaire ces objectifs et décrit dans le chapitre 3. Pour l’élaboration de notre horloge optique à atomes neutres piégés, nous avons choisi l’atome de strontium qui présente de nombreux avantages en particulier les longueurs d’onde utilisées pour refroidir, piéger et interroger les atomes sont relativement facilement accessibles avec des diodes lasers ou des lasers solides. La réalisation d’une source froide d’atomes de strontium est présentée dans le chapitre 4. Enfin l’observation de la transition d’horloge et la mesure de sa fréquence sont exposées dans le chapitre 5. 18 Chapitre 2 Discussion sur les performances d’un étalon de fréquences optiques 2.1 Introduction L’effet Dick limite les performances des étalons de fréquence fonctionnant en régime pulsé. Le bruit de l’oscillateur local libre est échantillonné à la fréquence de cycle fc de l’horloge et, par repliement de spectre, les composantes de ce bruit aux fréquences de Fourier proches d’un multiple de fc sont converties vers les basses fréquences [58–60]. La réponse des atomes interrogés par l’oscillateur local à une telle conversion se traduit par une fluctuation de la probabilité de transition. L’effet Dick se manifeste par l’ajout d’une composante de bruit blanc de fréquence dans le spectre de l’oscillateur local asservi. Dans les années 90, pour les fontaines à césium, l’effet Dick limitait leur stabilité autour de 3 − 4 × 10−13 τ −1/2 avec l’utilisation d’oscillateurs à quartz [61, 62]. En améliorant la chaı̂ne de synthèse de fréquences et en remplaçant l’oscillateur à quartz par un oscillateur cryogénique en saphir [63], on a pu atteindre la limite quantique et réduire l’effet Dick en deça de cette limite ce qui correspond à une stabilité de ∼ 10−14 τ −1/2 [2]. Dans le cas des horloges optiques à atomes neutres, le bruit de projection quantique est au moins de trois ordres de grandeur plus petit que dans le cas des fontaines à césium. Dans un premier temps, l’effet Dick limite donc nécessairement les performances de ces horloges optiques. Néanmoins, il est possible de minimiser ces effets d’une part grâce à des améliorations techniques de l’oscillateur local (un laser) et d’autre part grâce à l’optimisation de la séquence d’interrogation des atomes. Dans ce chapitre, nous allons définir l’effet Dick dans un cadre général, 19 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES puis nous étudierons ses conséquences sur la stabilité des étalons de fréquence optiques à atomes neutres. Deux cas seront exposés : les horloges optiques à atomes neutres libres et celles à atomes piégés. Nous verrons que selon les cas, il faut envisager des interrogations différentes des atomes telles que les interrogations Ramsey-Bordé pour les atomes neutres libres, Ramsey ou Rabi pour les atomes piégés. Nous traiterons l’effet Dick pour chacune de ces configurations et nous montrerons qu’il est possible, après optimisation de certains paramètres expérimentaux, d’atteindre une stabilité de quelques 10−16 τ −1/2 . 2.2 Définition de l’effet Dick La stabilité des étalons de fréquences dits passifs est limitée par les fluctuations de phase de l’oscillateur local. Cet effet a été étudié par G. J. Dick à la fin des années 80 [58] et est ainsi connu sous le nom d’effet Dick. Lorque l’horloge fonctionne en mode pulsé, on appelle temps de cycle Tc la durée totale du processus qui aboutit à l’obtention d’une valeur de la fréquence délivrée par l’oscillateur local (noté par la suite OL) après interrogation et détection de la transition atomique. Le cycle comprend pour les fontaines, par exemple, quatre étapes : le refroidissement et le lancement à travers la cavité micro-onde (environ 500 ms), la préparation de l’état quantique des atomes (quelques ms), l’interrogation (environ 500 ms) et la détection (quelques ms). En dehors de la phase d’interrogation, les atomes ne sont pas sensibles au bruit de fréquence de l’oscillateur local. La probabilité de transition des atomes entre les deux états de la transition d’horloge, qui conduit au signal d’erreur pour l’asservissement de l’OL, dépend directement de la sensibilité de la réponse atomique à ces fluctuations de phase [64]. Celle-ci est caractérisée par la fonction de sensibilité g(t) introduite par G. J. Dick : elle traduit la réponse atomique linéaire à un saut de phase infinitésimal δΦ de l’OL au temps t tel que (n − 1)Tc ≤ t < nTc . Elle s’écrit [64] : δP (δΦ, t) g(t) = 2 lim (2.1) δΦ→0 δΦ avec δP (δΦ, t) la variation de probabilité de transition. De fait, la réponse atomique filtre les fluctuations de fréquence de l’OL, et pour un fonctionnement pulsé de l’horloge, on échantillonne les composantes spectrales du bruit de fréquence de l’OL à la fréquence de cycle de l’horloge fc = T1c . Cela a pour conséquence une conversion par repliement de spectre du bruit de fréquence de l’OL autour des harmoniques de la fréquence fc , fn = nfc , vers les basses fréquences induisant un bruit supplémentaire sur l’asservis20 2.2. DÉFINITION DE L’EFFET DICK sement [58, 64]. On peut ainsi écrire [58] : lim f →0 SyLLO ∞ 2 X 2 2 = 2 (g + gcn )SyLO (fn ) g0 n=0 sn (2.2) où SyLLO est la densité spectrale de bruit de fréquence relative de l’OL asservi, SyLO la densité spectrale de bruit de fréquence relative de l’OL libre et g0 , gsn et gcn les coefficients du développement en série de Fourier de la fonction de sensibilité g(t) : ∞ g0 X t t g(t) = + gcn cos(2πn ) + gsn sin(2πn ) 2 Tc Tc n=1 où  R Tc 2  g0 = Tc R0 g(t)dt T gcn = T2c 0 c g(t) cos(2πn Ttc )dt  R T  gsn = T2c 0 c g(t) sin(2πn Ttc )dt (2.3) (2.4) En terme de variance d’Allan [65], l’équation 2.2 s’écrit : 2 σyLLO (τ ) ∞ n 1 X 2 2 (gsn + gcn )SyLO ( ) = 2 τ g0 n=1 Tc (2.5) avec τ le temps d’intégration. L’effet Dick peut être estimé pour différents types de bruits usuellement rencontrés en modélisant SyLO par une loi de puissance : SyLO (f ) = α=+2 X hα f α (2.6) α=−2 où hα est un coefficient caractérisant un bruit particulier. Pour du bruit blanc de fréquence, α = 0. La variance d’Allan liée à l’effet Dick pour un bruit décrit par un α spécifique s’écrit : 2 σyLLO,α (τ ) ∞ 1 hα X 2 2 = 2 α )nα ] [(g + gcn τ g0 Tc n=1 sn (2.7) La série converge si les coefficients de Fourier se comportent asymptotiquement comme n1k avec 2k − α > 1. Dans ce cas, l’expression de σyLLO est caractéristique d’un bruit blanc de fréquence (comportement en τ −1/2 ) introduit à long terme dans le spectre de bruit de fréquence de l’oscillateur asservi. 21 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES 2.3 Cas d’une horloge optique à atomes neutres libres La fonction de sensibilité de g(t) a été calculée suivant différentes méthodes pour des horloges micro-ondes avec une interrogation de type Ramsey dans les références [66], [64] et [67]. Le principe, qui sera repris pour les étalons de fréquences optiques à atomes neutres libres, est le suivant : afin de calculer la fonction de sensibilité après une interaction de durées τp entre les atomes et l’OL, on suppose qu’un saut de phase de l’OL intervient à un temps t de cette interaction. Celle-ci se décompose alors en deux impulsions Rabi successives de durée respectives t − t0 et τp − t, où t0 est le temps marquant le début de l’interaction. Par la suite, il suffit de déterminer la variation de la probabilité de transition atomique à l’issue de ces deux impulsions successives pour obtenir g(t) suivant l’équation 2.1. On doit cependant prendre quelques précautions dans le calcul de g(t) pour les horloges optiques à atomes neutres libres : il faut tenir compte des états externes de l’atome. La composante du recul de l’atome ne peut certainement plus être négligée comme c’était le cas dans les fontaines microondes. Cette dernière est de l’ordre de quelques kHz pour l’atome de 87 Sr, pour la transition 1 S0 −→3 P0 à 698 nm, alors que pour l’atome de 133 Cs elle est de 10−6 Hz pour la transition d’horloge à ∼ 9.2 GHz. 2.3.1 Matrice d’interaction Déterminons dans un premier temps la matrice décrivant l’interaction entre l’atome et un faisceau laser. Considérons un atome à deux niveaux {|f i, |ei} soumis à l’interaction d’un champ laser. L’atome se déplace dans la direction notée x perpendiculairement à la direction de propagation de l’onde laser considérée comme plane pour simplifier la discussion (figure 2.1). Le champ laser peut alors s’écrire sous la forme : →→ − →− 1− r , t)eı(ωL t−kL z−ϕ) + c.c E (→ r , t) = E0 (− 2 (2.8) On suppose également que l’atome appartient à un jet collimaté selon l’axe Ox de sorte que sa vitesse transverse vz est très petite devant sa vitesse longitudinale vx . Par ailleurs, on néglige tout effet parasite d’émission spontanée pendant le temps de la traversée de l’onde laser. L’opérateur décrivant l’interaction atome-laser Vlaser est donné grâce à l’opérateur moment dipo− → laire électrique d : − → − → − → d = D |ei hf | + D |f i he| (2.9) 22 2.3. CAS D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES NEUTRES LIBRES k L z v x z v v a t A to m e x F a is c e a u la s e r Fig. 2.1 – Déplacement de l’atome par rapport au faisceau laser. − → D étant supposé réel. Quelques hypothèses sont encore nécessaires afin de traiter simplement ce problème. Seul le mouvement de l’atome selon l’axe Oz est quantifié : on assimile l’opérateur position X à la grandeur classique x(t). L’hamiltonien d’interaction Vlaser s’écrit dans ce cas : − →− → Vlaser = − d . E (2.10) ¤ ~Ω0 (t) £ |ei hf |eı(kL Z−ωL t−ϕ) + |f i he|e−ı(kL Z−ωL t−ϕ) = 2 − →→ − où Ω0 = −E~0 . D est la pulsation de Rabi. L’opérateur e±ıkL Z agit sur les degrés de liberté externes de l’atome : il translate l’impulsion atomique pz de la quantité ±~kL . Les notations utilisées dans toute la suite du chapitre sont explicitées dans le tableau 2.1. − → → → Vlaser ne couple l’état |f, − p i qu’à l’état |e, − p + ~kL i. L’Halmiltonien total s’écrit : − →2 P + Vlaser (2.11) H = ~ω0 + 2M → → L’état de l’atome est décrit par une superposition des états {|f, − p i, |e, − p + − → ~kL i} [68] : − → → → |Ψ(t)i = cf (t)|f, − p i + ce (t)|e, − p + ~kL i (2.12) On se place dans la représentation du champ tournant : ( − pt cf (t) = γf (t)e−ıωf,→ − →t −ıω − p +~ kL ce (t) = γe (t)e e,→ 23 (2.13) CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES Grandeur Différence de fréquences angulaires entre le laser et l’atome → Energie du niveau |f, − pi − → Energie du niveau |e, p + − → ~kL i Désignation ∆ Valeur ωL − ω0 Energie du niveau − → − → |f, p + 2~kL i, voir section ’Description de l’interféromètre Ramsey Bordé’ − → ~ωf,− → p +2~kL Effet Doppler du premier ordre Fréquence angulaire de recul δ désaccord sur les deux premières impulsions δ ′ désaccord sur les deux dernières impulsions ωD → → − − P .k L M ωR 2 ~kL 2M − ~ωf,→ p − → ~ωe,→ − p +~kL ~ω0 + − → → − ( P +~kL )2 2M − → → − ( P +2~kL )2 2M = = − →2 P 2M → −2 P + 2M − →2 P 2M ~(ω0 + ωD + ωR ) + ~(2ωD + 4ωR ) δ − − → ωf,→ → p + ωL − ωe,− p +~kL δ′ − → + ωL − ω → − → ωf,→ − p +2~kL e,− p +~kL Tab. 2.1 – Définition des notations utilisées dans la suite des calculs. 24 2.3. CAS D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES NEUTRES LIBRES Im p u ls io n la s e r q t t0 c c f c te m p s (t0) c f e (t) = M e c c f (t0) e Fig. 2.2 – Evolution des états de l’atome. Dans le cadre de l’approximation séculaire, l’équation de Schrödinger décrivant l’évolution de |Ψ(t)i est ramenée au système d’équations différentielles : ( γ̇f = −ı Ω20 eı(δt+ϕ) γe (t) γ̇e = −ı Ω20 e−ı(δt+ϕ) γf (t) (2.14) On cherche des solutions de γf (t) et γe (t) sous la forme : ( δ Ωt Ωt γf (t) = eı 2 t (ξf eı 2 + χf e−ı 2 ) δ Ωt Ωt γe (t) = e−ı 2 t (ξe eı 2 + χe e−ı 2 ) (2.15) p avec Ω = δ 2 + Ω20 . En résolvant 2.14 et en tenant compte de 2.15, on en déduit la matrice M qui traduit l’évolution des états d’un atome lors d’une interaction de durée θ = t − t0 avec le champ laser (voir figure 2.2) [69] :   £ δ − − Ω0 ı( 2δ −ωf,→ p )(t−t0 ) p )(t−t0 ) cos( Ω0 (t − t )) −ı e eı( 2 −ωf,→ 0 Ω 2 ¤   − ı Ωδ sin( Ω20 (t − t0 )) × sin( Ω20 (t − t0 ))eı(ωL t0 +ϕ)     M=  δ δ   − → )(t−t0 ) − → )(t−t0 ) £ −ı( 2 +ωe,→ − − Ω0 p +~ kL p +~ kL  −ı Ω0 e−ı( 2 +ωe,→ e − t0 ))  cos( 2 (t Ω ¤ + ı Ωδ sin( Ω20 (t − t0 )) × sin( Ω20 (t − t0 ))e−ı(ωL t0 +ϕ) (2.16) 25 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES t T T T v D ' C ' B ' E ' If ,p > Ie ,p -h k > B If ,p > k> If ,p > C A 2h ,I f p + If ,p > E If ,p > D Ie ,p -h k > Fig. 2.3 – Interféromètre de Ramsey-Bordé dans le domaine temporel. En fait, sur les seize chemins possibles au total, on distingue quatre chemins fermés qui aboutissent à deux intérferomètres possibles ABB’CC’D’ et ABB’EE’D. 2.3.2 Description de l’interféromètre Ramsey-Bordé Nous allons maintenant nous intéresser au cas où l’atome subit quatre impulsions laser selon la configuration de l’interféromètre de Ramsey-Bordé [53, 70]. Le champ laser va permettre de séparer, réflechir et recombiner les paquets d’ondes atomiques, les différents chemins étant repérés par l’ état interne de l’atome. On peut réaliser un interféromètre de Ramsey-Bordé soit dans le domaine spatial soit dans le domaine temporel. Dans le premier cas, l’atome traverse deux paires de faisceaux laser contrapropageants. Dans le second cas, celui auquel nous allons nous attacher par la suite, l’atome subit deux impulsions laser de durée τp séparées d’un temps T puis deux autres impulsions d’un laser contrapropageant de même durée et espacées du même temps T (voir figure 2.3). La durée entre les deux paires d’impulsions est Tv . A chaque zone d’interaction, le paquet d’onde atomique se sépare en deux paquets. Il évolue librement entre deux impulsions. Seuls quatre chemins sur les seize possibles constituent deux interféromètres fermés bien distincts et permettent ainsi la superposition de deux paquets d’onde cohérents lors de la quatrième impulsion laser. Cette superposition de paquets d’ondes conduit à des franges d’interférences atomiques. Dans le cas d’une interrogation de type Ramsey-Bordé, on obtient deux systèmes de franges centrés sur ±ωR , 26 2.3. CAS D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES NEUTRES LIBRES chacun correspondant à un interféromètre, et la population de l’état excité s’écrit : 1 1 (2.17) Pe = − {cos[2T (∆ + ωR )] + cos[2T (∆ − ωR )]} 2 8 Ces deux systèmes contribuent de façon égale au signal détecté et pour qu’il y ait intérférences constructives entre les deux systèmes conduisant à un contraste maximal, il existe une condition sur T telle que T ∝ 1/4ωR . Pendant les impulsions, les phases du champ laser aux temps d’interaction sont ’imprimées’ aux fonctions d’onde atomiques. Par la suite on considère que les faisceaux laser utilisés ont des cols beaucoup plus larges que la taille des nuages atomiques, on peut ainsi négliger la variation spatiale de la pulsation de Rabi Ω, nous supposerons également que la fréquence angulaire Ω(t) est constante pendant toute la durée de l’impulsion τp (c’est-à-dire que Ω possède un profil rectangulaire) et que les paramètres expérimentaux sont ajustés de façon à ce que le produit Ωτp soit égal à π2 . 2.3.3 Fonction de sensibilité dans le cas d’une interrogation de type Ramsey-Bordé Calculons maintenant la fonction de sensibilité pour une interrogation de type Ramsey-Bordé. Dans notre cas, il est inutile de prendre en compte les deux composantes de recul (celle issue de l’interféromètre ABB’CC’D et celle issue de ABB’EE’D’). Pour ces deux composantes, la fonction de sensibilité est la même dans les deux cas à un coefficient de proportionalité près, lequel n’intervient pas dans le calcul de l’effet Dick. Nous choisissons de calculer g(t) pour l’interféromètre ABB’CC’D. Les autres chemins qui ne conduisent pas à un interféromètre fermé, ne contribuent pas au calcul de g(t) au premier ordre. Rappelons la méthode employée : si un saut de phase intervient à un temps t lors d’une impulsion, cette dernière sera décomposée en deux impulsions successives de durées respectives t − t0 (t0 désigne le début de l’impulsion) et τp − t et de phases 0 et ϕ. La phase du laser peut ainsi être modélisée par une fonction échelon : ( 0 0 ≤ ti < t ϕ(ti ) = (2.18) ϕ ti > t En reprenant les calculs décrivant l’interaction entre un atome et une impulsion laser définie plus haut, |Ψ(t)i se décompose sur la base des états {|1i, |2i} : |Ψ(t)i = C1 (t)|1i + C2 (t)|2i. (2.19) 27 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES L’état |1i est l’état de l’atome le long du chemin AB’C’D de l’interféromètre − → → donné par |e, − p + ~kL i. L’état |2i, quant à lui, est l’état atomique le long − → − → → → → de ABCD repéré successivement par |f, − p i, |e, − p + ~kL i, |f, − p + 2~kL i et − → → |e, − p +~kL i. L’évolution de C1 (t) et de C2 (t) est déterminée par la méthode suivante [68] : au lieu d’utiliser une matrice 16 × 16 donnant l’évolution de tous les états sur tous les chemins possibles, nous allons décomposer pour chaque impulsion l’état atomique sur la base {|f i, |ei} et ne garder à l’issue de l’impulsion que la projection de l’état qui nous intéresse pour construire l’interféromètre. L’évolution de l’état atomique au sein même de l’impulsion laser est bien-entendu donnée par M. La propagation libre, quant à elle, se − → − → −ıωe,→ −ıω − − − p +~ kL p +2~ kL p , e traduit par un terme de phase e−ıωf,→ ou e f,→ selon que − → − → − → − → − → l’on a affaire respectivement aux états |f, p i, |e, p +~kL i ou |f, p +2~kL i. En gardant à l’esprit ces méthodes, nous allons illustrer notre propos − → → par le calcul de l’amplitude de probabilité de l’état |e, − p + ~kL i suivant le chemin ABCD lorsque une variation de phase du laser se produit pendant la troisième interaction. En effet, on peut montrer que si l’interrogation est paire, la fonction de sensibilité est paire également [67]. Il suffit donc de calculer g(t) pour t > 0, autrement dit pour les troisième et quatrième impulsions de l’interféromètre Ramsey-Bordé (figure 2.4). µ ¶2 Tv δ ı Ω0 −ıωe,→ − → (4τp +2T +Tv ) ıω (T +2τ +T ) −ıτ (δ+δ ′ ) − p v p +~ kL C2 (T + + 2τp ) = √ 1 + ı e e L e p 2 Ω Ω 2 2 (µ ¶ ¸ · ¸ · 2 Ω Tv Ω Tv Ω0 ( + τp − t) sin (t − ) sin × Ω 2 2 2 2 −ı(t− Tv )(ω − → +ω − →) − − 2 f,→ p +2~ kL e,→ p +~ kL × e−ı[ωL t+ϕ] e · · ¸ · ¸¸ Ω Tv Ω Tv δ′ − cos ( + τp − t) + ı sin ( + τp − t) 2 2 2 2 2 · · ¸ · ¸¸¾ Ω Ω Tv δ′ Tv × cos (t − ) + ı sin (t − ) 2 2 2 2 2 (2.20) On procède de la même façon pour C1 . Il suffit par la suite de calculer le module au carré de la somme des deux amplitudes obtenues pour en − → → déduire la probabilité de transition vers l’état |e, − p + ~kL i à la sortie de l’interféromètre et de dériver la relation par rapport à φ pour φ = 0 afin d’obtenir la fonction de sensibilité sur l’intervalle de temps T2v < t < τp + Tv . En réitérant ce processus de calcul pour des variations de phases du 2 laser intervenant lors de chaque impulsion, on arrive à l’expression de g(t) complète pour t > 0 : 28 2.3. CAS D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES NEUTRES LIBRES ¸ ¶4 · Tv Ω0 Ω (t − ) sin Ω 2 2 ( µ ¶3 δ × 2ℜ −ı 1 + ı e−ı2T (∆+ωR ) Ω (· ¸2 Tv δ′ Ω Tv Ω − t)] + ı sin[ (τp + − t)] × cos[ (τp + 2 2 Ω 2 2 · ¸ Ω Tv δ′ Ω Tv × cos[ (t − )] + ı sin[ (t − )] 2 2 Ω 2 2 · ¸)) µ ¶2 ′ Ω T Ω T δ Ω T Ω0 v v v sin2 [ (τp + − t)] cos[ (t − )] + ı sin[ (t − )] + Ω 2 2 2 2 Ω 2 2 1 g(t) = 4 µ sur l’intervalle 1 g(t) = 4 µ Tv Tv < t < τp + ; 2 2 Ω0 Ω ¶4 µ δ2 1+ 2 Ω ¶ ) (µ ¶2 δ′ 1+ı ×ℑ eı2T (∆+ωR ) Ω (2.21) (2.22) Tv sur l’intervalle τp < t < τp + T + ; 2 ( µ ¶4 ¶µ ¶2 µ Tv Ω δ δ′ 1 Ω0 ı2T (∆+ωR ) − t)] × 2ℜ ıe sin[ (2τp + T + 1+ı 1+ı g(t) = 4 Ω 2 2 Ω Ω (· ¸2 Tv δ′ Ω Tv Ω − T − τp )] + ı sin[ (t − − T − τp )] × cos[ (t − 2 2 Ω 2 2 · ¸ Ω Tv δ′ Ω Tv × cos ( + T + 2τp − t) + ı sin ( + T + 2τp − t) 2 2 Ω 2 2 µ ¶2 Ω0 Ω Tv + sin2 [ (t − − T − τp )] Ω 2 2 ¸¾¾ · δ′ Ω Tv Ω Tv × cos[ ( + T + 2τp − t)] + ı sin[ ( + T + 2τp − t)] 2 2 Ω 2 2 Tv Tv < t < 2τp + T + ; sur l’intervalle τp + T + 2 2 (2.23) 29 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES 0 0 -(T + 2 t + T v /2 ) -(T + t + T v /2 ) -(T v /2 + t ) f 0 -T v /2 0 t T v /2 f T v /2 + t T + 2 t + T v /2 T + t + T v /2 te m p s Fig. 2.4 – Représentation des impulsions de l’interféromètre de RamseyBordé dans le domaine temporel. Une variation de phase du laser de 0 à φ s’effectue pendant la troisième impulsion. Cette expression peut se simplifier dans le cas des faibles désaccords, c’est-à-dire pour δ ≪ Ω0 , en effectuant un développement limité au premier ordre en Ωδ . La fonction de sensibilité g(t) s’écrit alors pour Ωτp = (2k+1)π/2 (voir figure 2.5) :  (−1)k sin[Ω(t − T2v )]    1 1 g(t) = sin 2T (∆+ωR ) (−1)k sin[Ω(2τp + T + 4    0 Tv 2 Tv 2 < t < τp + T2v τp + T2v < t < τp + T2v + T − t)] τp + T2v + T < t < 2τp + T2v + T sinon (2.24) g(t) a été tracée pour trois cas : Ωτp = π2 , Ωτp = 2.5). 2.3.4 3π 2 et Ωτp = 5π 2 (figure Expression des coefficients de Fourier Rappelons tout d’abord que, d’après l’équation 2.5, les coefficients de Fourier de la fonction de sensibilité g(t) pondèrent la conversion vers les basses fréquences du bruit de l’oscillateur local aux harmoniques de la fréquence de cycle fc . g(t) est, comme nous l’avons vu précédemment, une fonction paire, ce qui signifie que les coefficients gsn sont nuls. Les gcn peuvent être calculés analytiquement. On note Tc le temps de cycle : 30 2.3. CAS D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES NEUTRES LIBRES Fig. 2.5 – Fonction de sensibilité dans le cas d’une interrogation RamseyBordé pour t > 0 pour différentes valeurs de Ωτp . Les paramètres temporels sont τp = Tv = 0.1T , le temps de cycle est Tc = 5ms et le rapport cyclique = 0.5. d = 2T Tc · ¸ T + 2ε + 2τp gcn = 2 sin[2T (∆ + ωR )] cos πn Tc ¶ · µ ½ πnT 1 2πn sin(Ωτp ) sin (ΩTc )2 − (2πn)2 T ¶ µ c ¶¸ µ T + 2τp πnT + Ωτp cos πn − Ωτp cos(Ωτp ) cos Tc Tc ¾ πnT 1 sin + 2πn Tc (2.25) L’expression de g0 est plus simplement : · 1 T g0 = 2 sin[2T (∆ + ωR )] (1 − cos Ωτp ) + ΩTc 2Tc ¸ (2.26) On peut simplifier l’expression des coefficients de Fourier en prenant Ωτp = (2k + 1) π2 , avec k ∈ Z, et en fonction du rapport cyclique d = 2T Tc (τp , Tv ≪ T ) : 31 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES 2 Fig. 2.6 – Rapport des coefficients de Fourier ggcn2 pour l’interrogation de 0 (k = 1), Ramsey-Bordé en fonction de log(n) pour Ω = π2 (k = 0) et Ω = 3π 2 un rapport cyclique de 0.5 et Tc = 5ms. · d 4τp + (−1)k g0 =(−1) sin[2T (∆ + ωR )] (2k + 1)πTc 2 k µ k πnd 2 ¶ ¸ gcn = 2(−1) sin[2T (∆ + ωR )] cos " # ( 1 2πn πnd k ) + (−1) sin( 2 2πn ( (2k+1)π Tc )2 − (2πn)2 2τp µ ¶) (2k+1)π T c πnd 2τ cos + (2k+1)π p 2 Tc )2 − (2πn)2 ( (2.27) 2τp Le graphe 2.6 illustre la façon dont ces coefficients dégradent la stabilité de fréquence de l’horloge et donne leur comportement asymptotique : les 2 2 /g02 qui intervient dans se comportent comme n14 . De plus le rapport gcn gcn le calcul de la variance d’Allan liée à l’effet Dick ne dépend que du rapport cyclique d. 32 2.3. CAS D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES NEUTRES LIBRES 2.3.5 Evaluation de l’effet Dick pour un bruit blanc de fréquence Dans le cas d’un bruit blanc de fréquence, SyLO (fn ) vaut h0 en reprenant les notations de l’équation 2.6. Sous cette condition particulière, l’écart-type d’Allan dû à l’effet Dick peut se calculer de façon analytique, en utilisant le théorème de Parseval : 2 Tc On a alors : Z 0 Tc 2 ∞ g2 1 X 2 g (t)dt = 0 + g 4 2 n=1 cn 2 " Z Tc # 2 g 2 (t) 1 4 h 0 2 dt − σyLLO (τ ) = τ Tc 0 g02 2 (2.28) (2.29) Cette expression se traduit simplement pour τ ≫ Tc par : σy2 (τ ) h0 = 2τ µ ¶ 1 −1 d (2.30) On retrouve exactement le même résultat que dans le cas d’une interrogation Ramsey [64] : la stabilité en fréquence ne dépend que de d, le rapport cyclique. D’après l’équation 2.30, l’OL asservi est plus stable que l’OL en fonctionnement libre si 1 > d ≥ 0.5. On constate également que la limite 2 de σyLLO lorsque d tend vers 1 est 0, ce qui signifie que pour d = 1, il n’y a pas d’effet Dick. On voit d’ores et déjà que l’on a intérêt à choisir un rapport cyclique le plus proche possible de 1. Le tableau 2.2 donne pour différents rapports cycliques, la variance d’Allan liée à l’effet Dick. On choisit comme niveau de bruit blanc de l’OL 10−2 Hz2 /Hz avec une fréquence de cycle fc = T1c de 100 Hz, ce qui correspond au palier de bruit blanc du laser ultra-stable utilisé dans notre expérience. 2.3.6 Evaluation de l’effet Dick pour différents oscillateurs Illustrons l’effet Dick sur la stabilité d’une horloge optique à atomes non piégés avec une interrogation de type Ramsey-Bordé, dans le cas d’oscillateurs bien particuliers présentés ci-après. Le bruit de l’oscillateur aux fréquences inférieures à fc n’est pas échantillonné par la réponse atomique. Par conséquent, on peut penser, a priori, que avec une valeur de fc appropriée, seul le palier de bruit blanc du laser intervient dans l’évaluation de 33 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES Rapport cyclique d 0.5 0.7 0.9 0.95 0.99 Effet Dick 2.33 × 10−16 τ −1/2 1.52 × 10−16 τ −1/2 7.77 × 10−17 τ −1/2 5.34 × 10−17 τ −1/2 2.34 × 10−17 τ −1/2 Tab. 2.2 – Valeurs de l’effet Dick dans le cas d’une interrogation de RamseyBordé pour diverses valeurs du rapport cyclique, dans le cas du bruit blanc de fréquence au niveau de 10−2 Hz2 /Hz. l’effet Dick. La stabilité liée à l’effet Dick est toujours donnée dans ce cas par la relation 2.30. Le laser ultra-stable de l’expérience strontium Le laser ultra-stable de l’expérience strontium est une diode laser à 698 nm asservie sur une cavité Fabry-Perot de grande finesse (F = 27 000) en utilisant la technique de Pound Drever Hall qui sera décrite dans le chapitre 3. Le spectre de bruit de fréquence peut se décomposer suivant deux domaines de fréquence : à basse fréquence (1 Hz - 60 Hz), le bruit en fréquence du laser est dû aux vibrations et est relativement élevé (14 Hz2 /Hz à 10 Hz). Le niveau du palier de bruit blanc se situe sur ce graphe à 10−1 Hz2 /Hz dans le domaine 60 Hz - 20 kHz. On verra par la suite l’effet Dick associé à un tel spectre. Ajoutons que les performances du laser ultra-stable ont été, depuis les résultats présentés dans ce mémoire, encore optimisées en particulier dans le domaine des basses fréquences (< 100 Hz) et que les stabilités calculées pour les différents types d’interrogation constituent des limites supérieures aux stabilités attendues. Autres lasers Nous avons également choisi de nous intéresser à deux lasers particuliers : le premier est utilisé dans l’expérience VIRGO dont le spectre1 de bruit de fréquence est présenté par la courbe (b) du graphe 2.7 et le deuxième est un laser ’idéal’ uniquement limité par le bruit thermique de la cavité PF sur laquelle il est asservi. Son spectre de bruit de fréquence est représenté par la coube (c) du graphe 2.7. Nous avons supposé que pour notre expérience 1 Je remercie beaucoup François Bondu de m’avoir fourni ces données. 34 2.3. CAS D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES NEUTRES LIBRES Fig. 2.7 – Densité spectrale des bruits de fréquence des lasers ultra-stables utilisés dans le projet strontium (a) et dans le projet VIRGO (b). En (c) est représenté le spectre de bruit de fréquence d’un laser, dont la limite ultime serait le bruit thermique de la cavité Fabry-Perot sur laquelle il est asservi. d’horloge optique, nous disposons d’un oscillateur local qui possède les mêmes propriétés spectrales que l’un ou l’autre de ces deux lasers. Par souci de clarté, les résultats concernant les différents types d’interrogation atomique discutés pour ces deux lasers, sont présentés dans l’annexe A de ce mémoire. Effet Dick évalué en fonction du rapport cyclique et de la fréquence de cycle Nous avons évalué l’effet Dick pour les OL décrits précédemment en fonction de deux paramètres qui semblent a priori appropriés, à savoir le rapport cyclique d et la fréquence de cycle fc . Les résultats sont présentés dans les graphes 2.8. On remarque que plus la fréquence de cycle est élevée, plus la variance d’Allan est petite, on gagne ainsi plus d’un ordre de grandeur entre une fréquence fc = 1Hz et fc = 60Hz où 60 Hz représente, dans le cas du laser de l’expérience Sr, le début du palier de bruit blanc de fréquence. De plus, σy,DICK diminue de façon importante pour des rapports cycliques supérieurs ou égaux à 0.9 ce qui corrobore notre analyse effectuée pour du bruit blanc de fréquence. Il semble de ce fait, que les couples les plus intéressants nous permettant d’obtenir une stabilité de quelques 10−16 à 1 s soient pour d ≥ 0.9 et fc ≥ 30Hz. Dans cette étude, nous avons constaté 35 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES Fig. 2.8 – Variance d’Allan liée à l’effet Dick pour différentes valeurs des couples {d, fc } pour le laser de l’expérience Sr que l’on obtient de meilleures stabilités pour des rapports cycliques proches de 1 et des fréquences de cycle élevées. Quoiqu’il en soit, rappelons que le temps de cycle de l’horloge est la somme du temps de préparation des atomes et de leur détection que nous appellerons temps ’mort’ Tm et du temps d’interrogation. Le temps mort est une durée techniquement incompressible qui dépend des performances de la source d’atomes froids et on peut l’écrire en fonction des paramètres d et fc : 1 (2.31) Tm = (1 − d) fc On s’aperçoit, d’après l’équation 2.31, que pour satisfaire les conditions optimales de stabilité de l’horloge, c’est-à-dire pour les couples {d, fc } retenus par l’étude précédente, il est nécessaire d’avoir Tm inférieur à la milliseconde, ce qui semble à l’heure actuelle difficile à réaliser techniquement. Rappelons à titre d’exemple que pour les fontaines à césium, ce temps mort est de plusieurs centaines de millisecondes. Il est donc indispensable d’analyser notre système en tenant compte, comme contrainte, de temps morts supérieurs (ou égaux) à la milliseconde. Effet Dick évalué en fonction du temps mort et de la fréquence de cycle Nous nous sommes donc fixés comme paramètres, la fréquence de cycle fc et la durée du temps ’mort’ Tm du cycle d’horloge. Nous avons également 36 2.3. CAS D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES NEUTRES LIBRES fixé la durée d’une impulsion laser τp à T2m . Les écart-types d’Allan sont représentés sur les graphes 2.9(b) associés aux valeurs du rapport signal à bruit S/B (graphes 2.9(a)) pour le laser Sr. Remarque 1 : Le rapport S/B intervient dans le calcul de la stabilité σ d’un étalon de fréquence optique donnée pour une interrogation de RamseyBordé par : r 2 1 σ(τ ) = (2.32) πQS/B fc τ Il nous indique le nombre minimal d’atomes N qui doivent participer au signal détecté : en effet, lorsqu’on atteint la limite quantique pour un étalon √ de fréquence, le rapport S/B s’exprime comme S/B = N (voir chapitre 1). Illustrons ceci avec nos paramètres expérimentaux : au vu des performances de notre source d’atomes froids de strontium, nous pouvons capturer dans le piège magnéto-optique (PMO) 2.8 × 1010 atomes de 87 Sr par seconde soit quelques 107 atomes de 87 Sr en 2 ms à une température d’ environ 1 mK. La fraction d’atomes du PMO pouvant participer au signal détecté est donnée par le rapport entre la fréquence de Rabi et la largeur de la résonance élargie par effet Doppler (∼1.5 MHz) soit de l’ordre de 1000 atomes pour une impulsion de durée de 1 ms ce qui correspond à un rapport S/B de 45. En ce qui concerne le laser Sr, pour des temps morts plus petits que 10 ms, on peut espérer des stabilités inférieures à 10−15 , soit un ordre de grandeur mieux que les stabilités des meilleures horloges actuelles. Les valeurs du rapport S/B sont également prometteuses, puisqu’elles ne sont pas forcément élevées (< 30 pour la plupart). On voit qu’ainsi, il n’est pas nécessaire d’atteindre l’état de l’art dans l’élaboration d’un laser ultra-stable utilisé comme OL, pour obtenir des performances d’horloge en rapport avec les objectifs fixés. Remarque 2 : On doit cependant considérer ces résultats avec précaution. En effet pour certains couples {Tm , fc } typiquement pour fc < 30Hz, la largeur de la raie centrale des franges de Ramsey-Bordé est de l’ordre de la largeur de raie de notre laser (∼ 10Hz), et par conséquent on ne peut plus modéliser la réponse des atomes à une perturbation de l’OL par un processus linéaire. Pour conclure cette étude, nous pouvons dire que : 37 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES – Lorsque le rapport cyclique est le paramètre limitant (autrement dit qu’on ne peut obtenir d proche de 1), nous avons intérêt à choisir des fréquences de cycle élevées (fc > 10 Hz). – Lorsque le temps mort est le paramètre limitant (Tm >1 ms), il est conseillé de choisir des fréquences de cycle basses (fc < 10 Hz). En effet, pour un temps mort de 1 ms, on a σy,DICK = 1.08 × 10−16 τ −1/2 avec une fréquence de cycle de 5 Hz alors que pour fréquence de cycle de 100 Hz, σy,DICK = 3.38 × 10−16 τ −1/2 . On a ainsi gagné un facteur 3 en passant d’une fréquence de cycle de 100 Hz à une fréquence de cycle de 5 Hz. On peut voir sur le graphe 2.10, la façon dont les coefficients de Fourier dégradent la stabilité dans ces deux cas : la contribution des dix premiers coefficients de Fourier à l’effet Dick est en effet la plus importante et sur ces dix premiers termes, il y a un facteur 400 entre ceux qui correspondent à une fréquence de cycle de 5 Hz et ceux calculés pour une fréquence de cycle de 100 Hz. Donc en remarquant que le bruit de fréquence du laser est de 50 Hz2 / Hz à 5 Hz et de 0.3 Hz2 / Hz à 100 Hz, on retrouve bien ce facteur 3 entre les stabilités. Les fréquences de cycle les plus basses sont par ailleurs, plus faciles à mettre en oeuvre expérimentalement. Quoiqu’il en soit, il est nécessaire de réduire au maximum le temps mort pour optimiser les performances de l’horloge (en ce qui concerne la stabilité). On peut souligner ici, qu’utiliser un second piège magnéto-optique fonctionnant sur la transition d’intercombinaison 1 S0 − 3 P1 (à 689 nm pour le strontium avec 7.6 kHz de largeur de raie), comme c’est le cas dans l’expérience de H. Katori [71], est à éviter si possible. En effet, le chargement efficace d’un tel piège prend environ une centaine de millisecondes. Dans notre expérience, en effectuant le refroidissement des atomes uniquement sur la transition 1 S0 − 1 P1 , nous pourrions envisager un temps mort de 10 ms. Remarque 3 : Pour effectuer une impulsion π/2, le laser OL, dont le faisceau est supposé gaussien, doit avoir une puissance donnée par : P = hπ 4 w2 ν03 12Γc2 τp2 (2.33) où ν0 = 429 THz est la fréquence de la transition atomique, τp la durée d’une impulsion, Γ/2π = 1 mHz, la largeur de la transition et w, le col du faisceau. Ces puissances lasers sont sont de l’ordre du mW et sont aisément accessibles avec une diode laser. 38 2.3. CAS D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES NEUTRES LIBRES Fig. 2.9 – Rapport S/B en (a) et variance d’Allan liée à l’effet Dick en (b) (valeur donnée à 1s) dans le cas d’une interrogation Ramsey-Bordé pour un spectre de bruit de fréquence du laser ultra-stable utilisé dans l’expérience strontium. Fig. 2.10 – Coefficients de Fourier pour Tm =1 ms tracés avec une fréquence de cycle de 5 Hz (¥) et avec une fréquence de cycle de 100 Hz (◦) pour une interrogation Ramsey-Bordé. 39 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES Conclusion Au vu de cette étude, il est nécessaire de minimiser Tm et τp dans le mesure du possible pour augmenter la stabilité de l’horloge, par exemple avec Tm = 2τp = 3 ms, la stabilité est de 3.52 × 10−16 τ −1/2 pour fc = 30Hz. 2.4 2.4.1 Cas d’une horloge optique à atomes neutres piégés Interrogation de type Ramsey La fonction de sensibilité dans le cas Ramsey optique est la même que dans le cas micro-onde donnée dans les références [24, 64]. De même que précédemment, on peut choisir une origine des temps de façon à ce que g(t) soit paire :  T  −τp − T2 ≤ t < − T2 sin Ω(t + τp + 2 ) g(t) = 1 (2.34) − T2 ≤ t < T2   sin(Ω( T2 + τp − t)) T2 ≤ t < T2 + τp dans le cas où le désaccord entre la fréquence laser et la résonance atomique est très faible. Bruit blanc de fréquence Dans ce cas, comme g(t) est paire, les coefficients gsn sont nuls. Les coefficients de Fourier s’écrivent pour Ωτp = (2k + 1) π2 : 2τp T 4 [(−1)k + ] Tc (2k + 1)π 2 πnT 1 2πn =4 sin ] [ + (2k+1)πTc Tc 2πn [ ]2 − (2πn)2 g0 = gcn 2τp + (−1)k (2k + 1)πTc /2τp c 2 ] [ (2k+1)πT 2τp − (2πn)2 cos (2.35) πn (T + 2τp ) Tc 2 se comportent asymptotiquement comme 1/n4 comme on Les coefficients gcn peut le voir sur le graphe 2.12. On peut souligner le fait que les coefficients de Fourier dans le cas Ramsey ne dépendent que du rapport cyclique d et non de la fréquence de cycle fc . 40 2.4. CAS D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES NEUTRES PIÉGÉS Fig. 2.11 – Graphe de la fonction de sensibilité pour une interrogation de type Ramsey avec deux impulsions π2 . En insert, l’agrandissement de la fonction de sensibilité sur l’intervalle de temps [−τp − T2 , − T2 ]. 2 Fig. 2.12 – Rapport des coefficients de Fourier ggcn2 pour une interrogation 0 de Ramsey en fonction de log(n) pour Ωτp = π2 (k = 0) et pour Ωτp = π2 (k = 1), un rapport cyclique de 0.5 et Tc = 5ms. 41 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES Toujours en utilisant le théorème de Parseval, on obtient l’écart-type d’Allan lié à l’effet Dick pour du bruit blanc de fréquence : µ ¶ h0 1 2 −1 σyLLO (τ ) = (2.36) 2τ d Il est donc intéressant de remarquer que nous obtenons exactement les mêmes résultats concernant la variance d’Allan liée à l’effet Dick pour une interrogation Ramsey-Bordé et pour le cas Ramsey, avec les conclusions identiques qui en découlent (voir tableau 2.2). Remarque 4 : La stabilité de l’étalon de fréquence pour une interrogation de type Ramsey est donnée par : r 1 1 (2.37) σ(τ ) = πQS/B fc τ Cette expression diffère d’un facteur 2 de celle de la stabilité dans le cas d’une interrogation de Ramsey-Bordé donnée par 2.32. De la même façon que précédemment, on peut calculer le nombre minimal N d’atomes participant au signal déduit du rapport S/B. Nous reprenons donc, pour évaluer l’ordre de grandeur de N , les paramètres de la source d’atomes froids de strontium. Nous devons également prendre en compte ceux du piège dipolaire qui va servir à confiner les atomes dans le régime de Lamb-Dicke. L’expérience étant en cours de réalisation, nous n’avons pas de taux de chargement Υ du piège mesuré, mais nous pouvons envisager Υ = 106 atomes par seconde par exemple. Le nombre d’atomes détectés étant le nombre d’atomes piégés dans le piège dipolaire, on peut estimer qu’on peut piéger 103 atomes en 1 ms. Cas d’oscillateurs particuliers Nous allons analyser l’effet Dick dans un premier temps en fonction de d et de fc puis en fonction du temps mort, qui semble être un paramètre plus pertinent pour optimiser les performances de l’horloge. Effet Dick évalué en fonction du rapport cyclique et de la fréquence de cycle : Les résultats sont présentés sur le graphe 2.13. Comme pour le cas Ramsey-Bordé, les couples {d, fc } qui optimisent la stabilité de l’étalon de fréquence sont pour d ≥ 0.9 et fc ≥ 30Hz. Les écarts-types d’Allan calculés pour une interrogation Ramsey sont du même ordre de grandeur que ceux obtenus pour Ramsey-Bordé. On observe également une forte diminution de σy,Dick pour un rapport cyclique supérieur à 0.9. 42 2.4. CAS D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES NEUTRES PIÉGÉS Fig. 2.13 – Variance d’Allan liée à l’effet Dick du laser de l’expérience strontium pour une interrogation Ramsey. Effet Dick évalué en fonction du temps mort et de la fréquence de cycle : Les écart-types d’Allan liés à l’effet Dick et les rapports S/B associés sont représentés sur les graphes 2.14((b) et (a) respectivement) en fonction des différents couples {Tm , fc }, pour l’OL utilisé dans l’expérience strontium. Il est intéressant de constater que les rapports S/B sont relativement peu élevés, pour la plupart inférieurs à 10. Conclusion : Pour diminuer le temps mort, une solution consisterait à recycler les atomes : on peut envisager qu’une fraction non négligeable des atomes (∼ 90%) n’est pas perdue par le piège (durée de vie ∼ 1s) en fin de cycle, et peut être ré-interrogée dans le cycle suivant. A l’heure actuelle, des stratégies ont été élaborées mais n’ont pas encore été testées expérimentalement pour permettre ce recyclage : il est nécessaire d’améliorer l’expérience pour atteindre cet objectif. La remarque 2 du cas Ramsey-Bordé 1 . reste encore valable, avec une largeur de frange centrale donnée par 2T 2.4.2 Interrogation avec une impulsion Rabi Fonction de sensibilité et coefficients de Fourier On peut considérer une interrogation avec une impulsion Rabi comme le cas limite d’une interrogation Ramsey avec un temps T = 0. La fonction de sensibilité s’écrit dans ce cas précis par l’equation 2.38 pour t > 0 et est 43 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES Fig. 2.14 – Rapport S/B en (a) et variance d’Allan liée à l’effet Dick en (b) des lasers de l’expérience strontium. représentée par la figure 2.15 pour Ωτp = π : ( − sin[Ω(t − τ2p )] 0 < t < g(t) = 0 t > τ2p τp 2 (2.38) Sous ces conditions, g(t) est paire et donc gsn = 0. Les coefficients de Fourier g0 et gcn sont donnés par les expressions, en posant d = Tτpc : g0 = τp 4 [1 − cos(Ω )] ΩTc 2 (2.39) gcn 4ΩTc = cos(πnd) (ΩTc )2 − (2πn)2 ce qui se simplifie pour Ωτp = π en : g0 = 4d π (2.40) gcn = 4π/d cos(πnd) − (2πn)2 (π/d)2 2 /g02 est représenté sur le graphe 2.16. Le comportement asympLe rapport gcn 2 totique des gcn est toujours en 1/n4 et ils ne dépendent que du rapport cyclique et non de la fréquence de cycle. 44 2.4. CAS D’UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES NEUTRES PIÉGÉS Fig. 2.15 – Fonction de sensibilité g(t) pour une impulsion π. 2 Fig. 2.16 – Coefficients de Fourier log( ggcn2 ) en fonction de log n pour un 0 rapport cyclique d = 0.65 dans le cas d’une impulsion Rabi. 45 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES Rapport cyclique d 0.65 0.7 0.9 0.95 0.99 Effet Dick 1.56 × 10−16 τ −1/2 1.44 × 10−16 τ −1/2 1.00 × 10−16 τ −1/2 9.00 × 10−17 τ −1/2 8.17 × 10−17 τ −1/2 Tab. 2.3 – Valeurs de l’effet Dick en fonction du rapport cyclique, pour du bruit blanc de fréquence dans le cas d’une impulsion Rabi. Bruit blanc de fréquence Nous déduisons du théorème de Parseval l’effet Dick pour un bruit blanc de fréquence : ¶ µ h0 π 2 2 −1 σyLLO (τ ) = (2.41) 2τ 8d Le tableau 2.3 donne les valeurs de l’effet Dick avec un niveau de bruit blanc de 10−2 Hz2 /Hz. Comme dans les cas précédents, σyLLO ne dépend que du rapport cyclique et l’OL asservi est plus stable que l’OL en fonctionnement libre si 0.62 < d < 1. On remarque que contrairement aux cas des interrogations Ramsey-Bordé et Ramsey, lorsque d tend vers 1, l’effet Dick ne s’annule pas. On peut donc, pour une interrogation Rabi, prendre d le plus proche de 1 possible pour voir une diminution de l’effet Dick mais celle-ci ne sera pas aussi significative que pour Ramsey et Ramsey-Bordé. Effet Dick évalué en fonction du rapport cyclique et de la fréquence de cycle : Les variances d’Allan liées à l’effet Dick sont données par les graphes 2.17 en fonction de d le rapport cyclique et fc la fréquence de cycle. On constate que σy,DICK diminue beaucoup moins rapidement dans le cas Rabi que dans le cas Ramsey pour d > 0.9. Effet Dick évalué en fonction du temps mort et de la fréquence de cycle : Les stabilités liées à l’effet Dick dans le cas de notre laser ultra-stable sont représentées sur les graphes 2.18. Il existe plus d’un ordre de grandeur entre les stabilités calculées pour une interrogation Ramsey et une interrogation Rabi. En effet, pour une interrogation de Ramsey, lorsque T ≫ τp et pour des temps morts tels que Tm ≪ T , la fonction de sensibilité est quasi constante (g(t) ∼ 1) en dehors de la durée des deux impulsions. La dégradation de la stabilité qui en découle est alors moindre pour une 46 2.5. CONCLUSION Fig. 2.17 – Variance d’Allan liée à l’effet Dick pour une impulsion Rabi dans le cas de notre laser ultra-stable. interrogation Ramsey que pour une impulsion Rabi, pour laquelle la fonction de sensibilité est modulée. Le graphe 2.19 illustre bien cette différence entre les deux types d’interrogation : il représente la fonction de sensibilité sur deux cycles d’horloge pour des interrogations de Ramsey et de Rabi. Cette interrogation de Rabi peut néanmoins être intéressante à tester : en effet, le profil obtenu pour une interrogation Rabi est moins large que l’enveloppe des franges de Ramsey-Bordé (donnée par 1/τ ) ce qui a pour conséquence une dispersion en fréquence moins grande et donc la possibilité d’exciter d’autres transitions proches est plus faible que dans le cas Ramsey. 2.5 Conclusion Nous avons vu dans ce chapitre, que nous pouvons atteindre une stabilité d’horloge limitée par effet Dick de quelques 10−16 à 1 s avec un laser OL ultra-stable certes mais sans qu’il soit nécessaire d’atteindre l’état de l’art concernant la réalisation de celui-ci. Différents types d’interrogation des atomes ont été discutés dans deux cas particuliers : une horloge optique à atomes neutres libres et une horloge optique à atomes piégés. On se rend compte que pour atteindre des stabilités élevées, on peut jouer à la fois sur l’optimisation du laser ultra-stable et sur celle des séquences temporelles : celles-ci peuvent éventuellement être réalisables expérimentalement à condition d’optimiser certains éléments-clés de l’expérience, en particulier la source d’atomes froids et le piège dipolaire. En effet, les paramètres 47 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES Fig. 2.18 – Rapport S/B en (a) et variance d’Allan liée à l’effet Dick en (b) pour une impulsion Rabi dans le cas de notre laser ultra-stable. Fig. 2.19 – Fonction de sensibilité g(t) représentée sur deux cycles d’horloge pour une fréquence de cycle de 1 Hz et un temps mort de 2 ms dans le cas des interrogations de Ramsey et de Rabi. On constate que g(t) est quasiment constante pour une interrogation de Ramsey alors qu’elle est modulée pour une interrogation de Rabi. 48 2.5. CONCLUSION influant sur la stabilité de l’horloge sont le temps mort et la fréquence de cycle. Il serait ainsi intéressant d’avoir un laser suffisamment stable pour avoir la possibilité de choisir des fréquences de cycles basses qui sont faciles à mettre en oeuvre (≤ 10 Hz) avec un temps mort relativement court : plus le temps mort est court, meilleure est la stabilité. Ajoutons également que lorsque le rapport cyclique d tend vers 1, le laser asservi est plus stable que le laser libre. A l’heure actuelle, avec notre source d’atomes froids (voir chapitre 4), il faut un minimum de 2 ms aux atomes pour traverser le ralentisseur Zeeman et encore 2 ms sont indispensables pour capturer ∼ 107 atomes dans le PMO. A cela, on doit ajouter le temps de transfert des atomes du PMO vers le piège dipolaire et le chargement de ce dernier. Le piège dipolaire étant en cours de construction, il est impossible de se faire une idée sur ces temps. On peut seulement penser qu’une dizaine de millisecondes de temps mort semble une durée incompressible pour notre expérience. Avec ce temps mort de 10 ms et une fréquence de cycle de 5 Hz, la stabilité de l’horloge espérée est inférieure à 10−15 τ −1/2 soit un ordre de grandeur mieux que les meilleures horloges actuelles. Il est également possible d’envisager différentes stratégies d’interrogation pour améliorer la stabilité qui consistent à recycler les atomes d’une interrogation à l’autre. Cette étude pourrait être approfondie une fois les expériences de capture des atomes dans le piège dipolaire effectuées afin de s’appuyer sur des paramètres réels. Il faut également souligner le fait que diminuer Tm peut dégrader l’exactitude de l’horloge : une solution consisterait à étudier deux echantillons d’atomes, l’un permettant de réaliser l’exactitude et l’autre, la stabilité. De ce chapitre, on peut également conclure que l’asservissement du laser sur les atomes peut être un moyen efficace pour réaliser une source laser extrêmement stable. L’effet Dick étant lié à la nature pulsée de l’horloge, on peut aussi envisager de réaliser une horloge optique continue. Une telle configuration pour une horloge micro-onde a été déjà testée avec un jet continu d’atomes froids de césium [72]. 49 CHAPITRE 2. DISCUSSION SUR LES PERFORMANCES D’UN ÉTALON DE FRÉQUENCES OPTIQUES 50 Chapitre 3 Réalisation d’un laser ultra-stable 3.1 Introduction Dans le chapitre précédent, nous avons souligné l’importance de la pureté spectrale du laser d’interrogation pour sonder la transition d’horloge. L’objectif que nous nous sommes fixé est√d’atteindre un niveau de bruit de fréquence du laser de l’ordre de 10−1 Hz/ Hz sur un domaine de fréquence allant de quelques Hz à quelques dizaines de kHz. Initialement la densité spectrale de bruit de fréquence du laser non asservi est supérieure à 104 √ Hz/ Hz sur ce même intervalle. Pour ce faire, le gain de l’asservissement du laser doit être au moins de 100 dB et la réalisation de la référence doit être compatible avec ce niveau de bruit. Il est donc nécessaire en particulier que la bande passante soit aussi grande que possible, c’est-à-dire dans notre cas, de l’ordre du MHz. Ce chapitre est ainsi consacré à la réalisation d’un tel laser grâce à la technique de Pound-Drever-Hall [73, 74], que nous allons présenter dans une première partie. Cette technique s’appuie sur l’asservissement du laser sur une cavité Fabry-Perot grâce à une modulation de phase à haute fréquence utilisant la réponse en réflexion de la cavité. L’avantage d’une telle technique réside dans la bande passante de l’asservissement qui est plus grande que la largeur de la résonance du pic de la cavité. Cette méthode d’asservissement a été utilisée avec grand succès par l’équipe de Bergquist (NIST) : la largeur de raie du laser est de 0.6 Hz pour des temps de mesure de 32 s et la stabilité relative en fréquence du laser a été mesurée à 3 × 10−16 à 1 s [46]. D’autres équipes utilisent des résonateurs optiques cryogéniques [75] : un laser Nd :YAG est stabilisé sur une cavité Fabry-Pérot en saphir refroidie à l’hélium liquide et présente une stabilité de 0.7 Hz pour des temps d’intégration de 20 s. 51 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE Citons également l’expérience VIRGO,√dont le laser Nd :YAG a un niveau de bruit blanc de fréquence à 10−3 Hz/ Hz pour des fréquences supérieures à 1kHz [76]. Dans un deuxième temps, nous décrirons le montage expérimental optique, la cavité Fabry-Pérot de grande finesse (PF), ainsi que l’asservissement du laser sur cette cavité. Nous exposerons les mesures qui ont servi à caractériser ce système et des pistes possibles d’amélioration. 3.2 3.2.1 La technique de Pound Drever Hall Principe La technique de Pound Drever Hall permet d’asservir en fréquence un laser sur une cavité Fabry-Perot de très grande finesse (voir figure 3.1). De plus, elle permet de supprimer les fluctuations de fréquences plus rapides que le temps de réponse de la cavité. Dans notre cas, pour une cavité de finesse 27 000 et d’intervalle spectral libre de 1.5 GHz, ce temps de réponse mesuré est de 5.6 × 10−6 s. Intéressons-nous au signal réfléchi par la cavité PF. Supposons pour simplifier notre discussion que les coefficients de réflexions en amplitude des miroirs sont égaux r1 = r2 = r et que le champ laser incident s’écrit Ei eıωL t où ωL est la fréquence angulaire du laser. Le champ laser réfléchi Er par la cavité PF est donné par : Er = Γr (ωL )Ei (3.1) où Γr (ω) s’écrit (pour le calcul de Γr (ω), voir annexe B) : Γr (ω) = r (e −ı ν ω ISL − 1) = |Γr (ω)|eıΨω (3.2) 1− c l’intervalle spectral libre de la cavité PF et L sa longueur. avec νISL = 2L Le champ réfléchi est constitué d’une composante directement réfléchie par le miroir d’entrée du PF et d’une composante interne transmise par le miroir d’entrée (champ E3 dans l’annexe B, figure B.1). Lorsque la cavité est à résonance, le champ E3 et le champ directement réflechi interfèrent destructivement et le champ total réfléchi Er est alors nul (figure B.3(b) de l’annexe B). Si le laser n’est plus parfaitement résonnant avec la cavité, alors la phase du champ total réfléchi Er a un signe opposé au désaccord à la résonance (figure B.3(a), annexe B). C’est cette phase ΨωL qui va nous −ı ω r2 e νISL 52 3.2. LA TECHNIQUE DE POUND DREVER HALL C a v ité F a b r y - P é r o t L a m e s é p a r a tr ic e M E O D io d e L a s e r O s c illa te u r lo c a l P h o to d io d e r a p id e D é p h a s e u r F iltr e p a s s e -b a s M é la n g e u r Fig. 3.1 – Le laser est modulé en phase par un modulateur électro-optique MEO générant des bandes latérales. L’intensité du champ réfléchi par la cavité (bandes latérales, champ E3 et champ directement réfléchi) est détectée par une photodiode rapide. Ce signal est ensuite démodulé, filtré et renvoyé vers le contrôle de fréquence du laser. Le déphaseur sert à ajuster la phase de façon à choisir la composante en phase ou en quadrature qui nous intéresse. 53 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE indiquer de quel côté de la résonance se trouve la fréquence du laser. Il faut donc établir une phase de référence fixe qui nous permettra par comparaison de déduire ΨωL . Pour cela, nous allons moduler en phase le champ laser incident Ei avec un modulateur électro-optique (MEO), ce qui aura pour effet de créer des bandes latérales. Ces nouvelles composantes spectrales du champ laser transmises par le MEO ont des relations de phases connues et fixes entre elles. En faisant interférer ces bandes latérales avec le champ réfléchi, on obtient un battement à la fréquence de modulation, qui après démodulation nous renseignera sur l’amplitude et la phase de Er . Soient Ω et β respectivement la fréquence angulaire et l’indice de modulation. Emod = Ei eı(ωL t+βΩ sin Ωt) (3.3) En developpant l’équation 3.3 sous la forme d’une série de fonctions de Bessel Jn (β), nous obtenons : Emod = Ei ∞ X Jn (β)eı(ωL +nΩ)t (3.4) n=−∞ On choisit l’indice de modulation suffisamment petit (β < 2) et l’on néglige les termes d’ordre supérieur à 1 : © Emod ≃ Ei J0 (β)eıωL t + J−1 (β)eı(ωL −Ω)t ª +J1 (β)eı(ωL +Ω)t (3.5) Le champ incident est donc constitué d’une porteuse à la fréquence angulaire ωL et de deux bandes latérales opposées en phase aux fréquences angulaires ωL ± Ω. D’où l’expression du champ réfléchi, en se rappelant que J−1 (β) = −J1 (β) : © Er = Ei |Γr (ωL )|J0 (β)eı(ωL t+ΨωL ) − |Γr (ωL − Ω)|J1 (β)eı[(ωL −Ω)t+ΨωL −Ω ] + |Γr (ωL + Ω)|J1 (β)eı[(ωL +Ω)t+ΨωL +Ω ª ] (3.6) Une photodiode rapide détecte l’intensité réflechie Ir ∝ |Er |2 . L’intensité réfléchie s’écrit alors : 54 3.2. LA TECHNIQUE DE POUND DREVER HALL Ir = IP |Γr (ωL )|2 + IBL {|Γr (ωL + Ω)|2 + |Γr (ωL − Ω)|2 } p + 2 IBL IP {ℜ[Γr (ωL )Γr (ωL + Ω) − Γr (ωL )Γ(ωL − Ω)] cos Ωt (3.7) − ℑ[Γr (ωL )Γr (ωL + Ω) − Γr (ωL )Γr (ωL − Ω)] sin Ωt} + (termes en 2Ω) où l’on a posé IP = J02 (β)|Ei |2 et IBL = J12 (β)|Ei |2 les intensités dans la porteuse et dans les deux bandes latérales. Les termes à la fréquence angulaire 2Ω sont filtrés électroniquement ainsi que les composantes continues, de sorte qu’il ne nous reste plus que les termes oscillant à la fréquence angulaire Ω. L’information qui nous intéresse, à savoir la phase et l’amplitude du champ réfléchi, est effectivement contenue dans ces termes. Une fois l’intensité du champ réfléchi calculée, et après démodulation, nous pouvons déduire le signal d’erreur. 3.2.2 Le signal d’erreur La fréquence de modulation Ω étant telle que νISL ≪ Ω, les bandes F latérales sont intégralement réfléchies par la cavité et donc Γr (ωL ±Ω) ≃ −1. En effectuant cette approximation dans l’équation 3.7, il ne subsiste que le terme en sin(Ωt) et donc, en le multipliant par sin(Ωt) pour la démodulation, nous obtenons l’expression du signal d’erreur ε (voir figure 3.2) : Ωp ε = −2 IP IBL ℑ[Hcavite ] Ii p = −2 IP IBL ℑ[Γr (ωL )Γr (ωL + Ω) (3.8) − Γr (ωL )Γr (ωL − Ω)] où Ii est l’intensité incidente et Hcavite est la fonction de transfert de la cavité en réflexion comme nous le verrons dans les paragraphes suivants. La pente du signal d’erreur au voisinage de la résonance peut facilement se calculer en se rappelant que le champ réfléchi devient quasi-nul et que par conséquent |Γr (ωL )|2 ∼ 0. On ne garde alors dans l’équation 3.8 que les termes au premier ordre en Γr (ωL ). Au voisinage de la résonance, la pulsation laser ωL peut s’écrire comme : ωL = ωP F − δω 55 (3.9) CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE Fig. 3.2 – Signal d’erreur obtenu avec les paramètres de notre expérience : la fréquence de modulation est de 60 MHz, l’intervalle spectral libre est de 1.5 GHz et le coefficient de réflexion en intensité des miroirs R = r2 = 0.9999. Nous pouvons constater que la pente du signal d’erreur pour la porteuse est de signe opposé à celle obtenue pour les bandes latérales. où ωP F est la pulsation du pic de la cavité PF sur lequel est asservi le laser et δω est le désaccord à la résonance. On suppose également que la finesse π de la cavité est très grande de sorte que F ∼ (1−r 2 ) . Γr peut alors s’écrire, δωF toujours dans le cadre de ces approximations, ı πνISL , d’où une expression simplifiée du signal d’erreur : ε∼ 4p δω IP IBL F π νISL (3.10) Dans l’asservissement, pour minimiser l’effet des bruits électroniques, il faut maximiser la pente du signal d’erreur. On doit alors choisir l’indice de modulation adéquat β en conséquence, les autres paramètres étant fixés dans l’expression 3.10. En annulant la dérivée de 3.10 par le biais des expressions de IP et IBL et en ne tenant compte que des composantes d’ordre 1 en β, on trouve numériquement β = 1.082. 3.3 Sources de bruit du système Les performances du laser asservi sur la cavité PF peuvent être dégradées par différentes sources de bruit affectant la référence, autrement dit la cavité, 56 3.3. SOURCES DE BRUIT DU SYSTÈME le laser ou l’environnement. 3.3.1 L’environnement Le bruit de détection : Le bruit ultime de la détection est le bruit de grenaille. La densité spectrale du bruit de la puissance P mesurée par la photodiode associée au bruit du nombre de photons par unité de temps est SP : hc SP = 2 P en W2 /Hz (3.11) λ avec P ∼ (J02 (β) + 2J12 (β)) P0 et P0 , la puissance laser incidente. On en déduit la densité spectrale de bruit de fréquence, en utilisant l’équation 3.10 : π 2 h c ∆νP2 F J02 (β) + 2J12 (β) Sν = en Hz2 /Hz (3.12) 8λP0 J02 (β)J12 (β) Avec nos paramètres expérimentaux, nous obtenons une limite de 2.2×10−4 Hz2 /Hz. Les interférences parasites : Un grand soin a été apporté à la réalisation de l’expérience pour éviter tout effet d’interférences parasites créées par des étalons constitués des surfaces des optiques (lentilles, lames demi et quartd’onde, hublots de la cavité et surface sensible de la photodiode) et du miroir d’entrée de la cavité PF : par exemple, les hublots de la cavité et la surface active de la photodiode de détection sont inclinés de 5◦ par rapport à l’axe de propagation du faisceau. Ces interférences parasites déplacent le point d’asservissement donné par le signal d’erreur. Cet effet est modélisé de la façon suivante (voir figure 3.3) : Ei le champ incident est réfléchi par une lame séparatrice de coefficient de réflexion en amplitude r (|r|2 ∼ 1%) d’une part et transmis avec un coefficient en amplitude t vers la cavité PF d’autre part. Le champ réfléchi par la cavité interfère après la séparatrice avec le champ directement réfléchi par celle-ci : le champ total, noté Ed , est détecté par la photodiode rapide et le signal est ensuite démodulé à la fréquence de modulation pour donner le signal d’erreur. Le signal d’erreur peut alors s’écrire : n h i p 2 ε = −2t IP IBL ℑ Γr (ωL )Γr (ωL + Ω) − Γr (ωL )Γr (ωL − Ω) (3.13) +ℜ [ıreıϕ (Γr (ωL + Ω) + Γr (ωL − Ω))]} où ϕ est une phase décrivant la propagation de l’onde entre la séparatrice et le miroir d’entrée de la cavité PF. Le signal d’erreur autour de la résonance a été tracé (graphe 3.3) pour différentes phases et pour un coefficient de 57 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE réflexion de la séparatrice de 1%. Un tel effet est maximal pour un déphasage de ϕ = ±π/2. L’offset du signal d’erreur n’est pas connu expérimentalement car ϕ peut fluctuer sous l’influence de nombreux paramètres tels que la température ou les vibrations acoustiques ou mécaniques du système. Typiquement avec un coefficient de dilatation en température du banc de l’ordre de 10−5 K−1 et une distance L de 10 cm (voir schéma 3.3), un déphasage maximal de π/2 correspond à une variation de température de 100 mK. Dans notre expérience, les variations de température n’excèdent pas le mK. De plus, un coefficient de réflexion |r|2 de 1% entraı̂ne des fluctuations du signal d’erreur d’environ 15% pour un déphasage de π2 , or expérimentalement, on n’observe pas de fluctuations : on en déduit qu’elles doivent être au maximum de l’ordre de 1 ou 2% et donc que le coefficient de réflexion |r|2 est inférieur à 10−3 . 3.3.2 La référence Les perturbations acoustiques, mécaniques et thermiques peuvent induire des déplacements de fréquence en agissant sur la longueur de la cavité Fabry-Perot [77]. Les perturbations mécaniques : On peut modéliser le corps de la cavité par un cylindre reposant sur deux points d’Airy. Le système est alors soumis au champ uniforme de gravitation. Ceci se traduit au second ordre par des déformations verticales du corps de la cavité en statique et par une sensibilité au premier ordre aux accélérations. Cette sensibilité est de l’ordre de quelques MHz/g. La cavité PF est donc beaucoup plus sensible aux accélérations verticales que horizontales. Une solution pour limiter ces effets consisterait à symétriser les contraintes sur la cavité [78] ou à envisager une autre géométrie de la cavité (voir la cavité de pré-stabilisation utilisée dans l’expérience VIRGO par exemple [76]). Les perturbations liées à la température : Une variation de température a pour conséquence une dilatation δL du corps de la cavité en ULE, ce qui induit un déplacement en fréquence des modes de la cavité de δν. On a alors : δν δL = (3.14) L ν Pour une variation de température de 1 mK, δL ∼ 10−12 ce qui corresL pond à environ 500 Hz. Pour minimiser les effets thermiques, nous avons choisi de placer la cavité PF dans trois blindages en aluminium. Le blindage extérieur de 2 cm d’épaisseur constitue une masse thermique. Les deux 58 3.3. SOURCES DE BRUIT DU SYSTÈME S é p a r a tr ic e r E i tE E d E C a v ité P F R i R L Fig. 3.3 – Principe de la modélisation des interférences parasites. Le graphe (a) représente le signal d’erreur de Pound Drever autour de la résonance pour différentes valeurs de la phase ϕ pour un coefficient de réflexion de la séparatrice de 1%. Le graphe (b) montre le déplacement de fréquence maximal pour une phase de π/2. 59 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE autres blindages intérieurs permettent de minimiser l’angle solide du rayonnement thermique extérieur. Pour limiter également la conduction thermique, les surfaces de contact entre les trois enceintes sont réduites et une feuille de Kevlar placée au niveau du contact assure l’isolation (voir figure 3.5). Expérimentalement on observe une dérive de la fréquence des modes de 20 Hz/s qui correspond à une variation de 40 µK/s. Cette dérive étant déterministe, il est aisé de la retrancher lors de mesures de fréquence du laser asservi (voir chapitre 5). Néanmoins par souci de confort, un asservissement en température de l’enceinte à vide a permis de réduire cette dérive à 0.15 Hz/s. Ajoutons que la constante de temps typique de ces effets thermiques est très longue, de l’ordre de la semaine et il est donc difficile d’évaluer ces effets sur des échelles de temps plus courtes. Les perturbations dues aux fluctuations de pression : Les fluctuations de pression du gaz entre les deux miroirs produisent des fluctuations d’indice de réfraction [77] et donc une variation de la longueur optique de la cavité. A température ambiante, l’indice de réfraction n est reliée à la pression P (en Pa) par : n − 1 ∼ 3 × 10−9 P (3.15) Des fluctuations de l’ordre de 10% d’une pression à 105 Pa entraı̂neraient un déplacement de la fréquence du laser de l’ordre du GHz. On place la cavité PF dans une enceinte à vide avec une pression inférieure à 10−6 Pa. Les fluctuations de pression à 10−6 Pa sont difficiles à évaluer et on ne peut donc pas estimer la stabilité du système pour cet effet. Le bruit thermique : Un système en équilibre thermodynamique avec son environnement et soumis à dissipation subit une force stochastique qui dépend de la fréquence, d’après le théorème de fluctuation-dissipation énoncé par Callen [79]. De ce fait, il existe, à température non nulle, une incertitude sur la position des miroirs de la cavité et donc sur la longueur de celle-ci qui peut limiter la stabilité en fréquence du laser asservi sur la cavité [80]. Numata et al. ont calculé dans leur article [81] le bruit thermique pour différents types de cavités rigides en tenant compte de la géométrie et du matériau du corps de la cavité, ainsi que l’épaisseur, le substrat et le revêtement des miroirs. Pour une cavité en ULE de 15.24 cm de long de forme cylindrique et de 3.9 cm de diamètre, des miroirs en silice contactés sur le corps de la cavité et un faisceau laser à 698 nm ayant un col de 200 µm (paramètres proches de ceux de notre cavité), le bruit de thermique est √ −2 de 8.7 × 10 Hz/ Hz à 1 Hz et pour une température de 300 K. 60 3.4. ASSERVISSEMENT DU LASER 3.3.3 Le laser Le bruit de conversion : Le bruit de conversion traduit le fait que la cavité PF convertit les fluctuations d’amplitude du champ laser en fluctuations d’intensité. Le niveau de bruit associé à cette conversion dépend du bruit du laser en fonctionnement libre (amplitude et fréquence), de la largeur de raie du pic PF ∆νP F lorsque la largeur de raie du laser ∆νL est beaucoup plus faible, et du désaccord entre la fréquence laser et la résonance PF. On peut minimiser les effets de ce bruit en choisissant des fréquences de modulation élevées par rapport à la largeur de raie de la cavité. La densité spectrale de bruit d’intensité dû à la conversion s’écrit pour une détection en réflexion [82] : S(Ω) = 2Ii2 J02 (β) ∆νL en [A2 /Hz] Ω (3.16) soit S(Ω) = 2 × 10−4 A2 /Hz avec nos paramètres expérimentaux. Le bruit d’intermodulation : Le bruit d’intermodulation (équivalent à l’effet Dick appliqué à une interrogation continue, voir chapitre 2) traduit le fait que les composantes du bruit du laser aux fréquences multiples de la fréquence de modulation sont converties vers les basses fréquences et le continu. Pour laser ayant un bruit blanc de fréquence au voisinage de la fréquence de modulation, la largeur de raie du laser asservi ultime ∆νLA s’exprime par [82] : (∆νP F )2 ∆νLL ∆νLA = (3.17) 4Ω2 où ∆νP F est la largeur du pic de la cavité PF, ∆νLL est la largeur de raie du laser libre et Ω est la fréquence de modulation. On remarque que la largeur de raie du laser est inversement proportionnel au carré de la fréquence de modulation : on a donc intérêt à choisir une fréquence de modulation la plus élevée possible. Avec nos paramètres expérimentaux, on obtient ∆νLA = 6.5 × 10−2 Hz ce qui correspond à un niveau de bruit blanc de fréquence de 2 × 10−2 Hz2 /Hz. 3.4 Asservissement du laser 3.4.1 Principe de l’asservissement On peut décrire l’asservissement du laser sur la cavité en réflexion de la façon suivante (figure 3.4) : la référence de fréquence angulaire, notée Ωref est la pulsation d’un mode de la cavité, ΩL est la fréquence angulaire du 61 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE + W re f (p ) + e (p ) K (p )F (p )C (p ) + W L (p ) W A (p ) - H (p )= 1 Fig. 3.4 – Principe d’une boucle d’asservissement. laser libre et ΩA , la fréquence angulaire du laser asservi. Le signal d’erreur ε traduit la différence qu’il existe entre ΩL et sa référence. Il est ensuite traité par l’intermédiaire de différents filtres dont les fonctions de transfert sont données par K(p), F (p) et C(p) : K(p) est la fonction de transfert du comparateur d’entrée qui inclut celle de la cavité Fabry-Perot, F (p) décrit le système électronique et C(p), est la fonction de transfert du contrôle de fréquence du laser. Le but de l’asservissement est d’annuler, en principe, ε. Pour ce faire, il ajoute un bruit opposé à celui venant de ΩL et un bruit égal à celui de Ωref . Par conséquent, il reproduit dans une certaine mesure le comportement de la référence. La boucle de retour est caractérisée par H(p). L’asservissement ne comportant qu’une seule boucle, on peut poser H(p) = 1. La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit K(p)F (p)C(p). En boucle fermée, le comportement de la diode laser en fréquence est décrit par ΩA (p) : ΩA (p) = 1 K(p)F (p)C(p) ΩL (p) + Ωref (p) 1 + K(p)F (p)C(p) 1 + K(p)F (p)C(p) (3.18) Nous allons maintenant décrire les différents éléments du montage expérimental qui interviennent pour l’asservissement du laser sur la cavité PF d’une grande finesse selon la technique de Pound-Drever-Hall. 3.4.2 La cavité Fabry-Perot Description de la cavité PF La cavité Fabry-Perot utilisée dans l’asservissement du laser est constituée de deux miroirs diélectriques concaves de rayon de courbure 50 cm qui sont 62 3.4. ASSERVISSEMENT DU LASER contactés optiquement par adhérence moléculaire sur un barreau de 5 cm de diamètre en ULE et évidé suivant son axe sur un diamètre de 4 mm. Le matériau ULE (ULE pour ”Ultra-Low Expansion”) est une céramique vitrifiée dont le coefficient d’expansion thermique en valeur relative est nul à température ambiante (entre 5◦ et 25◦ C) et vaut 10−9 K−1 en dehors de ce domaine de température. La longueur de la cavité Fabry-Perot est de 10 cm, son intervalle spectral libre (ISL) est 1,5 GHz et sa finesse est de 27 000 ± 500. La cavité est placée dans une enceinte à vide (voir photographie 3.5 et figure 3.6) : d’une part, le vide empêche les fluctuations de l’indice dans le milieu de propagation, d’autre part, il isole la cavité des perturbations acoustiques et thermiques pouvant entraı̂ner des fluctuations de fréquence. Par ailleurs, le vide évite toute dégradation du revêtement diélectrique des miroirs et du barreau en ULE, ce qui permet ainsi de conserver la finesse de la cavité. Un vide de 2×10−7 Pa est obtenu grâce à une pompe ionique de 25 L/s et l’étanchéité se fait grâce à des joints en Indium. Cette enceinte à vide est constituée de trois blindages thermiques concentriques en Dural. Dans le blindage intérieur se trouve le support de la cavité en Invar, des supports en Viton (caoutchouc absorbant en partie les vibrations mécaniques haute fréquence et compatible au vide) réalisent le contact entre les deux pièces. La cavité repose sur le support de la même façon grâce aux supports Viton. L’enceinte à vide a été entourée de fils de cuivre pour permettre son asservissement en température. De plus les hublots présentent un angle < 5◦ par rapport à l’axe de propagation du faisceau laser afin d’éviter tout effet d’interférence parasite. La fonction de transfert du résonateur PF La fonction de transfert du résonateur optique décrit la réponse de la cavité PF à une perturbation de la fréquence du laser, qui se traduit en terme de fluctuations de l’intensité détectée, à savoir l’intensité réflechie Ir . Un calcul de cette fonction de transfert est effectué dans l’annexe B. De façon générale, la cavité PF se comporte comme un discriminateur de fréquence dans le domaine basse fréquence et comme un comparateur de phase à haute fréquence. Sa réponse en réflexion est donnée par [83] : Hcavite (ω) = E02 Γr (ωL )Γr (ωL + ω) − Γr (ωL )Γr (ωL − ω) ω (3.19) Pour des fréquences laser proches de la résonance, c’est-à-dire pour ωL = ωP F N ± δ avec δ la différence de fréquence angulaire, on peut simplifier 63 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE Fig. 3.5 – Photographie de la cavité PF dans son enceinte, réalisée lors de son montage. Hcavite de la façon suivante : (1 − r2 )δτ 2 [(1 − r2 ) + r2 ωτ ] Hcavite (ω) = 2r [(1 − r2 )2 + r2 (1 − r2 )ωτ + r4 (δτ )2 ]2 − (r4 δωτ 2 )2 (3.20) ce qui nous permet de retrouver l’expression d’un filtre passe-bas. Les graphes 3.7(a) et (b) présentent la phase et le gain de Hcavite . Pour des fréquences νISL inférieures à la fréquence de coupure 2r 2 F ∼ 47 kHz, le gain est constant et au delà il décroit de 20 dB par décade. 2 3.4.3 E02 Le laser et le banc optique Le laser en cavité étendue Les diodes lasers ont été montées en cavité étendue (ECDL) selon la configuration Littrow. Le but des cavités étendues est de réduire le bruit de fréquence du laser. Pour du bruit blanc de fréquence, cela se traduit par une diminution de la largeur de raie du laser qui est inversement proportionnelle au carré de la longueur globale de la cavité. La largeur de raie de la diode 64 3.4. ASSERVISSEMENT DU LASER V u e d e fa c e e n c o u p e 1 2 5 S u p p o rt e n In v a r s u p p o r t V ito n V u e d e d e s s u s e n c o u p e 2 3 0 2 0 5 B lin d a g e s th e r m iq u e s H u b lo t Fig. 3.6 – Schéma de l’enceinte ultra-vide de la cavité PF, vues en coupe. 65 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE Fig. 3.7 – Phase en (a) et gain en (b) de la fonction de transfert de la cavité PF haute finesse. laser passe donc de quelques dizaines de MHz à quelques centaines de kHz en cavité étendue [84, 85] : l Flaser 2 ∆νECDL =( ) ∆νlaser L Fcavite (3.21) où ∆νECDL et ∆νlaser sont respectivement les largeurs de raie de la diode laser en cavité étendue et de la diode laser, l est la longueur optique de la cavité laser, L la longueur de la cavité étendue et, Flaser et Fcavite sont les finesses de la cavité laser et de la cavité étendue. Dans notre expérience, nous utilisons des diodes lasers dont le faisceau est circularisé. La longueur d’onde d’émission est de 690 nm et le courant de seuil est de 38 mA en cavité étendue. A une température de 25◦ C et un courant d’injection de 45 mA, la puissance de sortie est de 2 mW. Le faisceau est collimaté par une lentille de focale f=4.5 mm. La cavité externe est fermée par un réseau de diffraction blazé de 1800 traits/mm fixé sur une cale en céramique piézo-électrique. L’ordre -1 est renvoyé dans la zone active de la diode laser et l’ordre 0 constitue le faisceau de sortie (voir figure et photographie 3.8). Une lame demi-onde placée entre la lentille de collimation et le réseau permet de faire varier la puissance de l’ordre -1 renvoyé vers la cavité entre 10% et 20% de la puissance émise, ce qui nous 66 3.4. ASSERVISSEMENT DU LASER a permis de faire fonctionner la diode laser à 698 nm en la chauffant à une température de 60◦ C alors que sa longueur d’onde en fonctionnement naturel est 690 nm. La plage d’accordabilité de la diode laser en cavité étendue est approximativement 15 nm. La diode laser est stabilisée en température au mK près grâce à un module Peltier et un asservissement de type PID (Proportionnel-Intégrateur-Dérivateur). Le boitier en Dural du système est également asservi en température. La fonction de transfert d’une diode laser caractérise sa réponse à une modulation de courant. Il est indispensable de la mesurer afin de déterminer une stratégie pour l’asservissement du laser sur la cavité Fabry-Perot de grande finesse. Cette fonction des transfert est difficilement accessible par une mesure directe, seul son gain peut-être évalué facilement. Pour cela, nous avons mesuré le signal transmis par une cavité Fabry-Perot dont la largeur du pic de résonance est plus grande que la largeur de raie du laser (typiquement 1.3 MHz contre 300 kHz) lorsque le laser est modulé en fréquence grâce à son courant d’injection (voir la courbe 3.9 pour le gain de la fonction de transfert). Pour accéder à la réponse du laser sur différents intervalles de fréquences, on fait varier la fréquence de modulation du courant d’injection. La fonction de transfert de la diode laser peut alors être modélisée par : At − Ac Hlaser (p) = − Ac (3.22) 1 + τl p où At dépend des effets thermiques en basse fréquence et vaut 180 × 106 Hz/mA, Ac décrit les effets d’indice dûs aux porteurs de charges et vaut 6 × 106 Hz/mA et τl = 10−6 s est le temps de réponse du laser. On constate que cette fonction de transfert est typique d’un filtre passe-bas en fréquence dont la fréquence de coupure est de 150 kHz. Le montage optique Après un isolateur optique, permettant d’atténuer de 30 dB les retours parasites vers le laser, le faisceau est injecté dans une fibre monomode à maintien de polarisation afin de ”nettoyer” le mode spatial du laser, c’est-àdire que le faisceau de sortie est principalement constitué du mode TEM00 . Le modulateur électro-optique (MEO), constitué d’un cristal de niobate de lithium (LiNbO3 ) résonnant, est un modèle New Focus 4001M dont la fréquence de modulation est 60 MHz. Cette fréquence de modulation élevée a été choisie de manière à rendre négligeable le bruit d’intermodulation inversement proportionnel au carré de la fréquence de modulation. Une lame 67 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE C a le p ié z o - é le c tr iq u e D io d e la s e r O rd re -1 R é s e a u L e n tille d e c o llim a tio n O rd re 0 Fig. 3.8 – Diode laser en cavité étendue selon la configuration Littrow. 68 3.4. ASSERVISSEMENT DU LASER Fig. 3.9 – Réponse de la diode laser à une modulation du courant d’injection en fonction de la fréquence de modulation (gain de la fonction de transfert). demi-onde a été placée avant le MEO afin d’ajuster soigneusement la polarisation du faisceau et de réduire à 110 dBc la modulation d’amplitude parasite mesurée sur le signal radiofréquence. En effet, si la polarisation du faisceau n’est pas alignée proprement, le MEO impose une rotation de polarisation en même temps qu’une modulation de phase, ce qui peut se traduire par la suite par une modulation d’amplitude indésirable si le MEO est suivi d’élements optiques polarisants. Cette modulation d’amplitude parasite peut alors être convertie en décalage de fréquence par la cavité PF et de cette façon peut perturber l’asservissement du laser. Le calcul du mode du faisceau laser sur la cavité PF prévoit un col au centre de la cavité de 180 µm ce qui est réalisé grâce à une lentille. Après cette lentille d’adaptation de mode, une séparatrice, dont le coefficient de réflexion dépend de la polarisation (R= 90% pour une onde polarisée s et R=99% pour une onde polarisée p) est placée devant la cavité PF afin de discriminer le faisceau réflechi par la cavité PF du faisceau incident (voir figure et photographie du montage 3.10). On peut rencontrer dans d’autres dispositifs l’association d’une lame quart d’onde et d’un cube polarisant pour remplacer cette séparatrice. Avec ce montage, notre système est ainsi moins sensible aux effets d’étalons parasites que l’on pourrait avoir à cause de réflexions sur les faces d’un cube perpendiculaires au faisceau. La puis69 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE sance laser à l’entrée de la cavité PF est de 40 µW. Il s’agit de réaliser un compromis entre le bruit électronique qui dépend de la puissance du champ réfléchi et la puissance intra-cavité (∼ 1 W) qui peut endommager le revêtement des miroirs et dégrader la finesse. Le faisceau réflechi est détecté sur une photodiode rapide à avalanche Hamamatsu S6041 dont la bande passante est 1 GHz. L’intérêt d’utiliser une telle photodiode est l’amplification directe du photocourant qui permet de nous affranchir des effets d’antenne à la fréquence de modulation. Le télescope situé avant la photodiode est placé de manière à ce que le waist ne soit pas exactement sur la surface de détection de la photodiode. Celle-ci est de 0.03 mm2 . La puissance détectée est de 36 µW. L’efficacité quantique de la photodiode η est de 85% à 700 nm et son courant d’obscurité vaut typiquement 0.8 pA pour un gain de l’ordre de 100 et pour une tension de polarisation 150 V à une température de 25◦ C. La photodiode et le circuit électronique associé sont placés dans un boı̂tier spécialement conçu pour éviter tout effet d’étalon parasite possible avec la surface sensible de la photodiode et ce, afin de ne pas ajouter un ”offset” au signal d’erreur : l’angle entre l’axe de la photodiode et l’axe du boitier est de 5◦ . Les parois du boı̂tier sont suffisamment épaisses (6 mm pour les parois latérales, arrière et le couvercle et 12 mm pour la paroi frontale) et les diamètres des passages pour la connectique (⊘ = 2 mm) et la photodiode (⊘ = 5 mm) sont suffisamment étroits pour éviter des perturbations par des champs externes à la fréquence de modulation. Afin de renforcer cette précaution, un joint en indium assure l’étanchéité RF entre le couvercle du boitier et le boitier lui-même. Les câbles électroniques connectés ainsi que l’alimentation sont filtrés. La photodiode est associée à deux amplificateurs en cascade situés dans le boitier et de gains respectifs 30 dB et 31 dB. Le signal radiofréquence extrait est ensuite démodulé grâce à un mélangeur de type TUF1, ce qui procure le signal d’erreur. 3.4.4 Le montage électronique Description L’asservissement du laser sur le résonateur est réalisé grâce à deux étages de corrections. La première s’effectue sur le courant d’injection : un montage proportionnel-intégrateur assure la correction des dérives rapides en fréquence. Un interrupteur est associé à cet intégrateur, ce qui nous permet de verrouiller le laser soit uniquement avec le montage proportionnel soit avec le proportionnel et l’intégrateur. L’intégrateur nous permet de gagner environ 20 dB sur le niveau de bruit en fréquence du laser asservi à 10 kHz 70 3.4. ASSERVISSEMENT DU LASER A m p lific a te u r S e rv o T e n s io n d e c o n tro le A P D S C 1 D é p h a se u r IO S é p a ra tric e Q u a rtz 6 0 M H z L a se r E C D L l M E O L e n tille d e M o d e -m a tc h in g F ib re m o n o m o d e à m a in tie n d e p o la ris a tio n Fig. 3.10 – Schéma montage expérimental de Pound Drever Hall. APD désigne la photodiode à avalanche qui détecte l’intensité du signal réflechi par la cavité SC1. 71 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE Fig. 3.11 – Densité spectrale de bruit de fréquence du laser asservi soit avec le proportionnel uniquement (courbe rouge), soit avec le proportionnel et l’intégrateur (courbe noire). (figure 3.11). Cependant la plage d’accordabilité utilisable en fréquence par le courant d’injection est relativement faible à cause des sauts de mode du laser. Une correction lente effectuée grâce à la cale piézo-électrique (PZT) est donc nécessaire. Un deuxième intégrateur agit ainsi sur le PZT de la cavité étendue pour corriger les fluctuations lentes de fréquences. La fonction de transfert électronique Intéressons-nous maintenant à la fonction de transfert de l’électronique. Sur la branche correctrice haute fréquence, nous avons un amplificateur proportionnel et un amplificateur intégrateur (voir figure 3.12). La fonction de transfert Hcourant du circuit est donnée par : Hcourant (p) = Hprop (p)HI1 (p) ¶ µ 1 1 + R2 = Hprop (p) R1 Cp 72 (3.23) 3.4. ASSERVISSEMENT DU LASER P Z T v o ie le n te In té g ra te u r R 2 = 1 k C o m p e n s a te u r d e p h a s e S ig n a l d é te c té C = 1 .5 n F 2 2 0 2 0 0 p F G = x 1 0 R 1 4 7 0 = 1 0 k I la s e r v o ie r a p id e 5 0 0 O s c illa te u r lo c a l 5 0 In té g ra te u r Fig. 3.12 – Montage électronique de l’asservissement du laser. Un deuxième intégrateur, semblable à celui utilisé sur la voie rapide, filtre la voie lente pour les corrections imposées à la cale piézo-électrique PZT. Cette fonction de transfert présente deux valeurs de pulsations particulières, ω1 = R11C ∼ 10, 6 kHz dans le cas où la valeur du potentiomètre R1 = 10 kΩ et ω2 = R21C ∼ 106 kHz. Le module et la phase de Hcourant sont représentés pour R1 = 10 kΩ (respectivement par les figures (b) et (a) du graphe 3.13). La pente de la courbe 3.13(b) est de -20 dB par décade. Sur la branche correctrice basse fréquence, c’est-à-dire celle qui va agir sur la cale piézoélectrique du laser, nous avons un deuxième intégrateur similaire au précédent mais avec des valeurs différentes pour la capacité C, la résistance R2 et le potentiomètre R1 (voir montage 3.12 pour les notations) de sorte que la bande passante est de l’ordre du kiloHertz. L’allure de la fonction de transfert HP ZT sur cette branche de correction lente (phase et gain) est donnée par les graphes 3.13(c) et (d), semblables bien-sûr aux graphes 3.13(a) et (b). Les niveaux du signal à 60 MHz ont été mesurés à différents endroits du circuit d’asservissement afin de s’assurer que le mélangeur fonctionne de façon optimale (figure 3.14). La tension de polarisation de la photodiode à avalanche a été choisie de façon à minimiser les effets du bruit de courant. 3.4.5 Conclusion La fonction de transfert globale La fonction de transfert globale de l’asservissement en boucle ouverte est donnée, comme nous l’avons vu précédemment par le produit K(p)F (p)C(p). 73 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE Fig. 3.13 – Module en (b) et phase en (a) de la fonction de transfert du montage proportionnel-intégrateur utilisé dans l’asservissement du courant d’injection du laser. En (c) et (d), phase et gain de la fonction de transfert du filtre intégrateur sur la branche correctrice lente. 74 3.4. ASSERVISSEMENT DU LASER P h o to d io d e à a v a la n c h e -3 d B m 5 .4 d B m c r is ta l 6 0 M H z F iltr e D é p h a s e u r C o m p e n s a te u r d e p h a s e P -I C o u ra n t 4 .2 d B m 6 .5 d B m I P Z T M E O A tté n u a te u r 1 3 .2 d B m -1 5 .7 d B m Fig. 3.14 – Niveau de signal à 60 MHz dans le montage de démodulation. Les notations P et I désignent les filtres proportionnel et intégrateurs. Le compensateur de phase sert à compenser d’une part la phase de la fonction de transfert de la diode laser et d’autre part le déphasage introduit par la cavité. K(p) qui traduit le comportement du résonateur PF est donc donné par Hcavite , F (p) est la fonction de transfert de l’électronique et par conséquent est la somme Hcourant (p)+Hcourant (p)HP ZT (p). Enfin C(p) traduit la réponse de la diode laser à une correction en fréquence et son comportement est décrit par Hlaser . On doit également tenir compte du retard, c’est-à-dire le déphasage introduit par les temps de propagation sur le trajet optique et dans les câbles électroniques (d’où la nécéssité d’un montage relativement compact). Ces temps de propagation τr de l’ordre de 25 ns sont associés à des déphasages de l’ordre de 36◦ à une fréquence de 4 MHz. La fonction de transfert du retard est donnée par : Hretard (p) = e−pτr (3.24) Pour la fonction de transfert globale en boucle ouverte, il n’est cependant pas possible d’avoir accès à sa phase puisque la phase de Hlaser n’est pas connue. On ne peut donc que calculer le gain de l’asservissement. Celui-ci est représenté sur le graphe 3.15. Des essais expérimentaux ont été nécessaires pour compenser la réponse globale du système. Performances de l’asservissement L’asservissement du laser sur la cavité PF est très robuste. Le laser peut rester verrouillé à résonance pendant plus d’un mois. La bande passante de l’asservissement est de 2 MHz et s’obtient en mesurant le spectre du 75 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE Fig. 3.15 – Gain en boucle ouverte de la fonction de transfert globale de l’asservissement. signal d’erreur grâce à un analyseur de spectre. En effet, au delà de la fréquence de coupure, on observe une remontée de bruit tout à fait typique qui indique que l’on est proche d’une instabilité de la boucle (figure 3.16). Le niveau de bruit de ce pic n’est pas gênant pour le fonctionnement de notre asservissement. En effet, l’énergie contenue dans ce pic est donnée par σφ2 [86] qui vaut : Z σφ2 = ∞ Sφ (ω)dω (3.25) ωi avec Sφ la densité spectrale de bruit de phase du laser et ωi la fréquence angulaire correspondant au début du pic (∼ 2π×100 kHz). Dans notre cas, l’énergie contenue dans ce pic de bruit vaut 8 × 10−5 rad2 , ce qui correspond à des fluctuations de phases inférieures à la dizaine de mrad. 3.5 Spectre de bruit de fréquence du laser Une deuxième cavité PF (notée PF2 ) possédant des caractéristiques similaires à la première (notée PF1 ) a été montée. Le deuxième montage nous permet d’analyser le premier par comparaison et de mesurer le bruit en fréquence du laser asservi. On peut ainsi asservir le laser aussi aisément sur l’une que sur l’autre cavité, de sorte que l’optimisation du signal d’erreur devient très simple. Il suffit pour cela d’asservir le laser sur PF2 et d’observer le signal d’erreur issu du premier montage ε1 en ajustant la phase et le 76 3.5. SPECTRE DE BRUIT DE FRÉQUENCE DU LASER Fig. 3.16 – Mesure de la bande passante de l’asservissement. On observe la remontée de bruit à 2.5 MHz. gain. La procédure réciproque est aussi valable (asservissement sur PF1 et optimisation du signal d’erreur ε2 provenant de PF2 ). On peut également de cette façon mesurer le spectre du bruit de fréquence du laser. Nous verrons qu’une première version de l’expérience, dans laquelle les deux cavités reposaient sur un même banc optique, n’était pas optimale et qu’une deuxième version a été réalisée. Nous décrirons par la suite ces deux versions. 3.5.1 La deuxième cavité Fabry-Perot Le montage optique est le suivant : au niveau de la séparatrice située devant P F1 , une partie du faisceau incident est récupérée puis envoyée sur un modulateur acousto-optique (MAO) de 80 MHz en double passage. Grâce à ce montage, le laser peut être à la fois à résonance avec PF1 et avec PF2 . Comme dans le premier montage, le signal réflechi est détecté par une photodiode à avalanche et est traité selon la technique de Pound-DerverHall. Mesure de la finesse de la cavité Les finesses F1 = 27 000 et F2 = 24 500 des cavités respectives PF1 et PF2 ont été mesurées de la façon suivante : une fois le laser asservi, 77 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE S ig n a l d 'e r r e u r S e rv o 1 e A m p lific a te u r 1 1 T e n s io n d e c o n tr o le A P D 1 M ir o ir S C L e n tille d e M o d e m a tc h in g S C 2 1 D é p h a s e u r1 1 e r o rd re IO S é p a r a tr ic e A P D 2 l /4 L a s e r E C D L Q u a rtz 6 0 M H z M A O A m p lific a te u r 2 M E O F ib r e m o n o m o d e à m a in tie n d e p o la r is a tio n L e n tille d e M o d e m a tc h in g S ig n a l d 'e r r e u r e IO D é p h a s e u r2 Fig. 3.17 – Ce schéma représente le montage optique lorsque les deux cavités PF reposaient sur la même table optique, l’axe de l’une étant perpendiculaire à l’autre, afin de minimiser les correlations entre elles. sa largeur de raie est beaucoup plus étroite qu’une résonance du FabryPerot. Par conséquent, la mesure de la largeur du pic de transmission à mi-hauteur divisée par la largeur de l’intervalle spectral libre, nous donne l’inverse de F (voir figure 3.18). Pour mesurer F1 , le laser est asservi sur PF2 par l’intermédiaire du modulateur acousto-optique et pour mesurer F2 , l’asservissement s’effectue sur PF1 . 3.5.2 Mesure du spectre de bruit de fréquence Le laser est assevi sur PF1 par exemple, on récupère le signal d’erreur ε2 grâce à PF2 , il est ensuite analysé avec à un analyseur de spectre à transformée de Fourier rapide FFT (voir schéma 3.17). Ce signal donne une bonne estimation du bruit en fréquence du laser asservi. Soit SP Fi (ν) la densité spectrale de bruit en fréquence de la cavité ”i” et SL (ν) la densité spectrale de bruit en fréquence du laser. Dans le cas où toutes les sources de bruits (laser et cavités) sont parfaitement décorrélées, la densité spectrale de bruit du signal d’erreur Sε2 (ν) est donnée par : Sε2 (ν) = SL (ν) + SP F2 (ν) (3.26) Si en revanche, il existe des correlations entre les deux cavités, par exemple, la quantité SP F1 (ν) + SP F2 (ν) nous donne un ordre de grandeur du bruit du laser asservi. Dans la nouvelle version du montage, on a mesuré le bruit de 78 2 3.5. SPECTRE DE BRUIT DE FRÉQUENCE DU LASER Fig. 3.18 – Mesure de la finesse grâce au pic de transmission du PF. Les mesures ont été ajustées avec une fonction lorentzienne (en rouge), la largeur du pic à mi-hauteur est 55 kHz. La finesse obtenue est de 27300 sachant que l’intervalle spectral libre est de 1.5 GHz. fréquence du laser avec un montage indépendant. Les corrélations pouvant exister entre les deux systèmes ont été ainsi minimisées : les deux cavités PF reposent sur deux bancs optiques séparés, les fréquences de modulation sont différentes (60 MHz pour PF1 et 50 MHz pour PF2 ), les détecteurs et les modules électroniques sont branchés sur des alimentations distinctes. Une estimation du bruit en fréquence du laser en fonctionnement libre s’obtient en boucle fermée par l’intermédiaire du signal de contrôle. Nous remarquons ainsi d’après le graphe 3.19 (b) que la densité spectrale de bruit de fréquence SL (ν) atteint un palier en bruit blanc à 1×10−2 Hz2 /Hz pour des fréquences supérieures à 100 Hz. Au delà de quelques dizaines de kHz, le bruit remonte, limité par le gain de l’asservissement. Pour des fréquences inférieures à 100 Hz, le bruit en fréquence remonte également et est principalement dû aux vibrations mécaniques. En utilisant le spectre de bruit en fréquence du laser asservi 3.19(b), on a pu calculer la largeur de raie du laser ∆νL définie par [87] : Z ∞ 2 Sφ,L (ν)dν = (3.27) ∆νL π 2 79 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE Fig. 3.19 – Densité spectrale de bruit en fréquence du laser en fonctionnement libre (a) et asservi (b). où Sφ,L est la densité spectrale de bruit de phase du laser qui se déduit de la densité spectrale de bruit de fréquence Sf,L par : Sφ,L (ν) = Sf,L (ν) ν2 (3.28) La largeur de raie du laser vaut ainsi ∆νL = 30 Hz. Nous avons gagné près de quatre ordres de grandeur par rapport à la largeur de raie du laser en fonctionnement libre. Cependant notre dispositif peut encore être amélioré, en particulier en diminuant le bruit lié aux vibrations mécaniques et acoustiques. 3.5.3 Evaluation des vibrations Le montage expérimental a été réalisé dans une pièce, (à l’écart du banc optique principal) dont les parois ont été recouvertes de plaques de Barson (plaque lourde de plomb insérée entre deux couches de mousse). Pour diminuer de façon conséquente les vibrations mécaniques et acoustiques, le banc optique repose sur une plate-forme MinusK : il s’agit d’une plateforme d’isolation passive pouvant être modélisée par un oscillateur à raideur 80 3.5. SPECTRE DE BRUIT DE FRÉQUENCE DU LASER Fig. 3.20 – Mesures des vibrations avec un accéléromètre posé sur le banc optique. La charge n’est pas optimale. ’négative’. Cette raideur s’annule en principe lorsque le poids chargé sur la plate-forme est optimisé. Deux versions de l’expérience ont été réalisées. Dans la version initale, le banc optique, sur lequel ont été montées les deux cavités PF de haute finesse, reposait sur deux plate-formes MinusK. L’optimisation de ce système n’ayant pas été des plus concluantes, il a été décidé de séparer le système en deux parties, chacune incluant un banc optique avec une cavité PF reposant sur une seule plate-forme. Par ailleurs, l’avantage de cette séparation est la décorrélation des deux cavités. Nous avons de cette façon deux systèmes semblables plus indépendants. Mesures de vibrations dans le cas du premier montage : Dans cette première version du montage expérimental, le banc optique est monté sur deux plate-formes fixées au sol. Les mesures ont été effectuées avec un accéléromètre. Nous avons mesuré les accélérations verticales et horizontales qui sont représentées sur le graphe 3.20. Pour les mesures qui sont présentées, la charge supportée par les plate-formes n’a pu être optimisée : nous n’avons pas trouvé de stratégie convergente efficace permettant de régler simultanément les deux plate-formes MinusK, en ajustant à la fois la tension sur chaque plate-forme et la répartition du poids sur la table optique. La fonction de transfert mécanique : La fonction de transfert mécanique décrit la réponse de la cavité à une perturbation mécanique du banc optique. 81 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE Fig. 3.21 – Signal d’erreur issu de PF2 et accélérations horizontales sous l’effet d’une perturbation impulsionnelle appliquée perpendiculairement au plan de la table. La fréquence propre de la table est de 1.7 Hz au lieu des 0.5 Hz attendus si les plateformes avaient été optimisées. La sensibilité du système est de 2.36 MHz/g. Nous l’avons mesurée, dans le cadre de la première version du montage, selon l’axe vertical et les deux axes horizontaux déterminés par les axes de chacune des deux cavités. Le laser est asservi sur PF1 et nous mesurons le signal d’erreur issu de PF2 (selon la méthode décrite dans le paragraphe 3.5.1) et le signal lié à l’accéléromètre lorsque la table optique est perturbée par une impulsion. Typiquement nous donnons un coup bref sur la table qui va se mettre à osciller et ces oscillations amorties se retrouvent sur le signal issu de l’accéléromètre et le signal d’erreur (figure 3.21). La sensibilité de l’accéléromètre est de 8.3 mV/kHz. Nous calculons ensuite la transformée de Fourier des deux signaux et nous en effectuons le rapport ce qui nous donne en fin de compte une estimation de la fonction de transfert mécanique. La réponse de la table optique étant différente selon les trois axes x,y,z, nous avons déterminé une fonction de transfert pour chacun de ceux-ci (figure 3.22 (a),(b),(c)). Les pentes sont de l’ordre de −40 dB par décade et la fréquence de coupure est de 10 Hz. Mesures de vibrations dans la deuxième version du montage : Dans cette nouvelle version du montage expérimental, le banc optique repose sur une seule plate-forme d’isolation Minus K, ce qui a nettement 82 3.5. SPECTRE DE BRUIT DE FRÉQUENCE DU LASER Fig. 3.22 – Module de la fonction de transfert des vibrations mécaniques : en (a), ce sont les mesures des vibrations horizontales selon l’axe de PF2 , en (b), les vibrations horizontales selon l’axe de PF1 et en (c), les vibration verticales.. 83 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE Fig. 3.23 – Mesures des vibrations verticales et horizontales avec un accéléromètre posé sur le banc optique. Jusqu’à 30Hz, le bruit de l’accéléromètre domine. amélioré les performances du système dans le domaine de fréquence [1Hz60Hz]. De plus la charge a été également ajustée et répartie de façon à optimiser l’isolation du banc MinusK (charge de 200 kg supplémentaire grâce à des lingots de plomb). On constate en effet une réduction importante des vibrations (supérieure à 20 dB) entre 1 Hz et 20 Hz par rapport à la version précédente du montage. Le deuxième banc optique sur lequel est monté un deuxième laser ”ultrastable” se trouve en revanche dans la salle d’expérience principale dont les murs ne sont pas recouverts en Barson. Une boite en aluminium a donc été spécialement conçue pour envelopper le système et l’isoler des perturbations extérieures. Des accès spécifiques pour les câbles de branchement ont été prévus afin de limiter la propagation des vibrations extérieures par ces câbles. Les mesures d’accélération effectuées démontrent l’importance de cette enceinte isolante qui atténue les vibrations de 3 à 4 dB à 1 Hz (figure 3.24). Avec de telles précautions et améliorations prises pour réduire les effets des vibrations sur le spectre de bruit de fréquence du laser, on s’attend maintenant à ce que sa largeur de raie soit inférieure à 10 Hz. 3.6 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons rapporté la réalisation d’un laser de grande pureté spectrale. Ce laser est asservi sur un résonateur Fabry-Perot finesse 27 000 selon la méthode de Pound-Drever-Hall. Le niveau de bruit blanc est 84 3.6. CONCLUSION Fig. 3.24 – Mesures des vibrations verticales effectuées avec et sans la boite isolante, une fois le montage optique et les branchements électroniques réalisés. de 10−2 Hz2 /Hz dans le domaine de fréquence 100 Hz-20 kHz et la largeur de raie du laser est de 35 Hz. De nombreux moyens ont été mis en oeuvre pour réduire les bruits limitant les performances de notre système : choix des paramètres de modulation, isolation mécanique et acoustique, asservissement thermique etc... Cependant, les limitations à basses fréquences sont essentiellement dues aux vibrations mécaniques et acoustiques. Pour améliorer la stabilité à long terme du laser, on pourrait par exemple envisager de changer la géométrie du corps de la cavité afin de diminuer la sensbilité de celle-ci aux accélérations. Certains bruits, comme le bruit de détection, ou le bruit d’intermodulation sont inversement proportionnels à la finesse de la cavité et l’on pourrait diminuer leurs effets en choisissant un cavité de plus grande finesse. Malheureusement, les cavités de finesse 100 000 ou plus n’existent que pour des longueurs d’onde incidentes se situant dans l’infra-rouge. Pour contourner ce problème, nous pourrions asservir un laser infra-rouge sur une cavité de grande finesse (> 100 000), puis effectuer un battement avec un des modes d’un laser femtoseconde. Un laser à la bonne longueur d’onde (698 nm) serait ensuite asservi en phase sur le laser femtoseconde grâce à ce battement. Ajoutons que, par ailleurs, le laser nous a été utile par la suite pour mesurer des transitions atomiques de l’atome strontium comme nous le verrons dans le chapitre 5. De plus, avec un tel laser nous pouvons 85 CHAPITRE 3. RÉALISATION D’UNE DIODE LASER ULTRA-STABLE espérer, dans le cadre de la réalisation d’une horloge à atomes de strontium, une stabilité liée à l’effet Dick de quelques 10−16 à 1 s. 86 Chapitre 4 Vers une horloge optique à atomes froids de strontium : la source d’atomes froids 4.1 Introduction Les performances de l’horloge que nous envisageons de réaliser dépendent de celles de la source d’atomes froids de strontium. Nous devons en effet avoir un temps mort (i.e temps inclus dans le temps de cycle de l’horloge qui ne prend pas en compte l’interrogation des atomes) de l’ordre d’une di√ zaine de ms pour espérer une stabilité de 10−16 / τ et pour ce faire, il faut optimiser des paramètres comme par exemple le taux de chargement du piège magnéto-optique ou la température du nuage atomique. La transition 1 S0 -1 P1 à 461 nm (voir figure 4.1) est une transition cyclante de 32 MHz de large qui va nous permettre de refroidir efficacement les atomes par refroidissement Doppler. La température Doppler théorique calculée pour un tel processus est de 730 µK. Il s’est avéré que les températures des nuages atomiques d’alcalino-terreux (Mg, Ca, Sr) après refroidissement Doppler sont environ cinq fois plus élevées que cette température théorique [88–90] : les fluctuations spatiales d’intensité des faisceaux gaussiens utilisés pour le refroidissement seraient à l’origine de cet écart de température, introduisant un mécanisme de réchauffement au sein de la mélasse optique [91]. Le niveau fondamental du 88 Sr n’étant pas dégénéré, à l’instar d’autres alcalino-terreux tels que le Ca où le Mg utilisés dans d’autres étalons de fréquences optiques, il est impossible d’élaborer un refroidissement sub-Doppler comme le refroidissement Sisyphe. Certaines équipes travaillant avec l’atome de strontium comme celle de H. Katori au Japon ont résolu le problème en établissant une deuxième étape de refroidissement Doppler sur la transition d’intercom87 CHAPITRE 4. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES FROIDS DE STRONTIUM : LA SOURCE D’ATOMES FROIDS P (t = 5 n s ) 1 4 6 1 n m 1 G = 2 x 1 0 (P M O ) 8 4 6 1 s -1 3 n m 6 8 9 G 1 S P 2 ( m é ta s ta b le ) 1 (t = 2 1 m s) 0 ( m é ta s ta b le ) 6 8 9 = 4 .8 x 1 0 4 s -1 0 Fig. 4.1 – Niveaux de l’atome de strontium intervenant dans les deux étapes de refroidissement Doppler. Dans notre expérience, nous n’effectuerons que la première étape sur la transition 1 S0 -1 P1 . binaison 1 S0 -3 P1 qui permet d’atteindre des températures de l’ordre de 400 nK [71]. Notre objectif étant dans un premier temps de réaliser une source d’atomes relativement froids, c’est-à-dire d’une température de l’ordre du mK, il n’est pas envisagé de construire cette deuxième étape de refroidissement Doppler qui pourrait, par ailleurs s’avérer limitante pour la stabilité de notre horloge. Nous allons présenter dans ce chapitre les différents éléments qui contribuent à la réalisation de cette source d’atomes froids performante : une source laser à 461 nm, le ralentisseur Zeeman et le piège magnéto-optique (PMO). Le schema de l’expérience est donné dans la figure 4.2. 4.2 La source laser à 461 nm La configuration choisie pour le piège magnéto-optique consiste en trois faisceaux rétro-réflechis. Sachant que l’intensité de saturation de la transition 1 S0 -1 P1 est de 43 mW/cm2 , il est nécessaire de disposer d’une source laser à 461 nm de 100 mW au minimum afin d’avoir une efficacité de refroidissement et de piégeage optimale. Deux sources laser ont été élaborées. La première repose sur le principe d’une somme de fréquence dans un cristal de KTP entre des diodes lasers à 813 nm et un laser Nd :YAG à 1064 nm. Elle a été montée au tout début du projet strontium. Il n’existait alors pas de sources simples d’utilisation et peu coûteuses à 922 nm pour effectuer un doublage de fréquence (laser à colorant ou Laser Ti :Sa). Plus récemment il 88 4.2. LA SOURCE LASER À 461 NM l /2 l /2 d (P M O )/2 p = - 4 2 M H z r a le n tis s e u r Z e e m a n d (Z e e m a n ) /2 p = -5 0 2 .6 M H z fo u r 1 P M O je t p r in c ip a l d (s o n d e ) + 1 + 1 M A O M A O l /4 S o u rc e (s ) IR 2 4 8 .2 M H z 2 1 2 . 4 M H z -1 M A O C r is ta l M A O 0 1 0 6 .2 M H z -1 l /4 M A O d 0= 0 2 x 1 9 8 .2 M H z + 1 fo u r 2 p e tit je t Fig. 4.2 – Schéma général de l’expérience. δ désigne les désaccords en fréquence entre le laser et les atomes. Les ordres de diffraction des modulateurs acousto-optiques (MAO) sont indiqués par ±1. 89 CHAPITRE 4. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES FROIDS DE STRONTIUM : LA SOURCE D’ATOMES FROIDS a été possible d’acquérir un MOPA (Master Oscillator Power Amplifier ) à 922 nm, ce qui nous a permis de construire une deuxième source laser à 461 nm, plus maniable et plus puissante, dont le principe réside dans le doublage de fréquence dans un cristal de PPKTP. Quelques rappels d’optique non linéaire sont présentés dans l’annexe C. 4.2.1 La somme de fréquence Les ondes pompes intervenant dans la somme de fréquence sont issues d’un laser Nd :YAG à 1064 nm, d’une puissance de sortie de 900 mW et de diodes lasers à 813 nm. D’après l’équation C.7, la puissance de bleu (à 461 nm) obtenue est limitée par la puissance de la source à 813 nm. Afin de resoudre ce problème, deux diodes lasers injectées optiquement par un seul maı̂tre (diode en cavité étendue en configuration Littrow) sont sommées en puissance, ce qui nous permet d’obtenir 150 mW de puissance à 813 nm disponible pour la somme de fréquence (voir figure 4.3). Le cristal de KTP La somme de fréquence de type II (eoe) est effectuée dans un cristal de KTP, lequel est biaxe. Ce cristal présente comme avantages une très faible sensibilité aux variations de température (la tolérance en température vaut 122˚C.cm [92]) et un accord de phase quasi non critique : l’angle de walk-off est de ρ = 0.09˚. La figure 4.4 représente les angles du vecteur d’onde par rapport aux axes du cristal utilisés pour réaliser l’accord de phase. Grâce aux avantages que présente ce cristal, nous pouvons travailler à température ambiante sans asservissement en température, et ce, sans que l’efficacité de conversion en soit affectée. La somme de fréquence dans un cristal de KTP pour la génération d’une onde à 461 nm a été étudiée théoriquement par Jean-Jacques Zondy. La fonction d’ouverture h a été maximisée en tenant compte de paramètres comme la longueur du cristal (20 mm), la taille des faisceaux focalisés au centre du cristal (respectivement 27 µm et 23 µm pour le Nd :YAG et le 813 nm). Le facteur de conversion en simple passage est alors de Γ = 5.3 × 10−3 W/W2 ce qui donne une valeur de def f = 1.7 pm/V en bon accord avec la référence [93]. La cavité de surtension Placer le cristal dans une cavité de surtension permet d’augementer les puissances des faisceaux pompes qui intéragissent et par conséquent la puissance à 461 nm générée. Cette cavité est résonante à la fois à la longueur 90 4.2. LA SOURCE LASER À 461 NM Fig. 4.3 – Somme de puissance des deux diodes lasers. La cale piézoélectrique PZT module la longueur du trajet optique parcouru par le faisceau laser issu de l’esclave 2. Il interfère avec le faisceau issu de l’esclave 1 au niveau de la séparatrice du fait de la cohérence entre ces deux lasers imposée par le maı̂tre. Les franges d’interférences sont détectées par une photodiode. La détection synchrone nous permet de verrouiller le système sur un extrema d’une frange ce qui assure la somme en puissance des deux esclaves. Le contraste est de 98% . 91 CHAPITRE 4. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES FROIDS DE STRONTIUM : LA SOURCE D’ATOMES FROIDS z 9 0 ° q y f = 8 1 .3 ° k x Fig. 4.4 – L’accord de phase est obtenue pour les angles θ = 90˚et φ = 81.3˚ que fait le vecteur d’onde par rapport aux axes du cristal. La somme de fréquence est de type eoe. L’onde ordinaire o est celle issue de la source laser à 813 nm. d’onde 1064 nm et à 813 nm [94]. Les miroirs utilisés sont traités aux trois longueurs d’onde. Le choix de la géométrie de la cavité de surtension s’est porté sur une cavité en anneau afin d’éviter tout fluctuations de puissance de l’onde à 461 nm en sortie (voir figure 4.5). Une cavité linéaire avait été testée au préalable mais nous avions constaté des interférences entre l’onde bleue générée dans le cristal et l’onde bleue réflechie par le miroir de sortie, ce qui entraı̂nait des fluctuations de puissance de l’ordre de 20%. Nous avons remarqué que les valeurs des waists au centre du cristal pour les faisceaux Nd :YAG et 813 nm calculés pour optimiser la conversion en simple passage ne maximisent pas la puissance de bleu en sortie de la cavité de surtension à cause des effets thermiques. On obtient une puissance maximale pour des waists de 50 µm pour le 813 nm et de 57 µm pour le Nd :YAG au centre du cristal, ce qui revient à avoir des waists de 175 µm et 200 µm respectivement pour les mêmes longeurs d’onde entre les miroirs M1 et M2 . Le facteur de conversion mesuré pour cette configuration est en parfait accord avec la valeur théorique, à savoir Γ = 2.6×10−3 W/W2 . L’adaptation de modes des faisceaux incidents est réalisée grâce à un télescope pour chaque faisceau et la lentille LM (voir figure 4.6). L’adaptation des pertes (ou adaptation d’impédance) a également été prise compte par le choix des traitements des miroirs, sachant que l’absorption dans le cristal est très faible (< 1%). La puissance de bleu obtenue est de 115 mW. 92 4.2. LA SOURCE LASER À 461 NM Fig. 4.5 – Représentation et photographie de la cavité de surtension dans laquelle est placé le cristal. La longueur M3 −M4 vaut 130 mm et la longueur M3 − M2 − M1 − M4 vaut 360 mm. Ces longueurs ont été au préalable calculées pour des cols de faisceaux pompes qui optimisent la puissance de bleu en sortie. Le rayon de courbure des miroirs spériques M3 et M4 est de 10 cm. 93 CHAPITRE 4. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES FROIDS DE STRONTIUM : LA SOURCE D’ATOMES FROIDS té le s c o p e N d :Y A G 1 0 6 4 n m IO M l /2 S d io d e s 8 1 3 n m L M 1 2 4 6 1 n m M M 3 M 4 IO té le s c o p e Fig. 4.6 – Schéma du montage pour la réalisation de la somme de fréquence. Les télescopes et la lentille LM effectuent l’adaptation de mode des faisceaux incidents. Ceux-ci possèdent la bonne polarisation, e pour le Nd :YAG et o pour le 813 nm, grâce à leur superposition dans un cube polarisant et la présence des lames λ/2. Fig. 4.7 – Modes de la cavité en transmission (a) et en réflexion (b) pour les deux longueurs d’ondes 1064 nm et 813 nm, obtenus en modulant la longeur de la cavité. En (a), on observe une diminution de 40% du pic du 813 nm lorsque la somme de fréquence est réalisée du fait des pertes par conversion. Comme la puissance du Nd :YAG intra-cavité est plus élevée, ce creux est moins marqué. En (b), le couplage du 813nm est plus important lors de la somme de fréquence (70%) par adaptation d’impédance. 94 4.2. LA SOURCE LASER À 461 NM je t a to m iq u e P Z T , T ° P Z T N d :Y A G 1 0 6 4 n m P D 2 e s c la v e s 8 1 3 n m 4 6 1 n m P D 1 T (8 1 3 ) m a ître 8 1 3 n m I, P Z T d é te c tio n s y n c h r o n e P D 3 T (1 0 6 4 ) d é te c tio n s y n c h r o n e I 7 0 k H z 1 0 0 k H z d é te c tio n s y n c h r o n e Fig. 4.8 – Schéma de la stabilisation de fréquence en cascade de la source laser bleue, grâce à plusieurs détections synchrones. Les fréquences de modulation sont également indiquées sur le schéma. Paramètres Transmission du miroir de couplage Finesse Col des faisceaux Puissance de pompe Efficacité de couplage Puissance intra-cavité 813nm 14% Nd :YAG 7% 35 50 µm 150 mW 70% 1.5 W 75 57 µm 900 mW 35% 29 W Tab. 4.1 – Paramètres expérimentaux de la somme de fréquence. L’asservissement et les performances Afin de refroidir et de piéger les atomes, la fréquence de la source laser bleue doit être asservie. Pour ce faire, nous procédons de la façon suivante (voir figure 4.8) : la longueur de la cavité est asservie sur la fréquence du laser Nd :YAG grâce au signal de la photodiode P D1 et à une détection synchrone. Le maı̂tre est stabilisé en fréquence de la même façon sur la résonance de la cavité de surtension (signal détecté par P D2). Enfin la fréquence du laser Nd :YAG est asservie sur la transition 1 S0 -3 P1 des atomes de strontium en détectant la fluorescence émise à résonance au niveau d’un jet thermique (différent de celui utilisé pour le PMO). Les différents paramètres de cette somme de fréquence sont présentés dans le tableau 4.1. 95 CHAPITRE 4. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES FROIDS DE STRONTIUM : LA SOURCE D’ATOMES FROIDS Plusieurs problèmes sont soulevés par ce type de montage : tout d’abord, la puissance de 813 nm disponible limite le processus de conversion et donc la puissance de bleue obtenue. Bien que 115 mW aient été suffisants pour diposer d’une source d’atomes froids efficace, il serait intéressant que la puissance de bleue soit plus importante. On pourrait alors envisager de réaliser la déflexion du jet atomique qui permettrait d’augmenter l’efficacité du ralentisseur Zeeman. L’autre difficulté de cette source laser à 461 nm est le nombre d’asservissements qui la rendent peu souple d’utilisation. Nous avons donc construit une deuxième source laser à 461 nm palliant ces problèmes, dont la puissance disponible est de 234 mW. 4.2.2 Le doublage de fréquence Le cristal de PPKTP Un cristal de PPKTP (ou periodically poled KTP) est un cristal qui possède une inversion périodique de domaine de polarisation, ce qui permet de s’affranchir des effets de walk-off sans avoir à chauffer de façon contraignante le cristal, comme ce pourrait être le cas à la longueur d’onde de 922 nm, avec un cristal de KNbO3 [95, 96]. Le PPKTP présente en outre une non linéarité assez élevée, def f ∼ 9 pm/V. La période de notre cristal de 20 mm de long est de 5.5µm à une température de 30˚C [51]. Le coefficient d33 a été évalué à 15 pm/V ce qui conduit à un coefficient def f de 9.5 pm/V [97]. Pour que le processus de conversion ne soit pas limité par les effets thermiques, il a été choisi de ne pas optimiser le waist du faisceau à 922 nm au centre du cristal en simple passage mais de tenir compte de la cavité de surtension en anneau : le waist du faisceau à 922 nm retenu pour l’expérience est de 43 µm ce qui conduit à une efficacité η > 70%, soit Γ = 2.3 × 10−2 W−1 (voir figure 4.9). La transmission du miroir de couplage calculée pour satisfaire la condition d’adapation d’impédance avec ces paramètres est de 0.10%. Le montage expérimental Le cristal est placé dans une cavité de surtension en anneau semblable à celle utilisée pour la somme de fréquence. Il est monté sur un support en cuivre et controlé en température, grâce à un module Peltier, à mieux que 10 mK. La puissance de pompe couplée dans la cavité est de 310 mW. La transmission du miroir de couplage est proche de l’optimum pour satisfaire l’adaptation d’impédance soit 0.12%. Le rayon de courbure des miroirs M3 et M4 est de 100 mm. La distance entre ces deux miroirs est de 130 mm et 96 4.2. LA SOURCE LASER À 461 NM Fig. 4.9 – En (a), facteur d’efficacité η = P2ω /Pω en fonction du paramètre de focalisation Lc /zR , Lc étant la longueur de la cavité et zR , la longueur de Rayleigh. L’adaptation d’impédance de la cavité est ici réalisée, c’està-dire que le coefficient de transmission T1 du miroir de couplage est égal à T1,opt pour un impedance matching. L’optimum de focalisation est réalisé pour un col de 23.6µm avec une efficacité de conversion théorique de 76%. En (b), efficacité de conversion Γ en fonction du paramètre de focalisation. Les points expérimentaux sont indiqués par des carrés. 97 CHAPITRE 4. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES FROIDS DE STRONTIUM : LA SOURCE D’ATOMES FROIDS Fig. 4.10 – Puissance de bleu générée en fonction de la puissance incidente couplée dans la cavité. En insert est représentée le contraste en reflexion au maximum de puissance couplée. ISL désigne l’intervalle spectral libre. la longueur totale de la cavité est de 569 mm pour un waist au centre du cristal de 43 µm et un deuxième waist entre M1 et M2 de 163 µm. La finesse de la cavité sans conversion est de 40 et tombe à 30 à cause des pertes non linéaires dans le cas inverse. La puissance de bleu générée en fonction de la puissance incidente couplée dans la cavité est donnée par la figure 4.10. Le tableau 4.2 résument les caractéristiques de ce doublage de fréquence. 4.3 Le ralentisseur Zeeman Les atomes constituant le jet thermique ne peuvent être directement piégés dans le piège magnéto-optique (PMO), de plus nous ne pouvons pas effectuer de refroidissement en cellule. En effet, la pression de vapeur saturante de strontium étant très faible, il faudrait chauffer le strontium à 600˚C : à cette température le strontium est très corrosif, ce qui le rend très difficile à manipuler dans des conditions d’ultra-vide. Des pépites de strontium sont 98 4.3. LE RALENTISSEUR ZEEMAN Paramètres Transmission du miroir de couplage Finesse Col des faisceaux Puissance de pompe Puissance couplée dans la cavité Puissance intra-cavité Efficacité de conversion 922 nm 0.12% 30 43µm 450 mW 310 mW 3.2 W 75% Tab. 4.2 – Paramètres expérimentaux du doublage de fréquence. donc chauffées à 650˚C dans un four afin de former un jet thermique. La vitesse transverse des atomes est inférieure à 10 m.s−1 grâce à la sélection en vitesse assurée par des éjecteurs, constitués de 200 micro-tubes de 8 mm de long et de 200 µm de diamètre intérieur. La divergence du jet est de 12.5 mrad, demi-angle au sommet. A cette température, la vitesse longitudinale moyenne des atomes est de 543 m.s−1 . Pour pouvoir les piéger dans le PMO, il faudrait les décélerer jusqu’à une vitesse inférieure à 50 m.s−1 , qui est la vitesse de capture. Pour cela, nous allons utiliser un ralentisseur Zeeman dont le principe est expliqué dans le paragraphe suivant. Une modélisation préalable a été nécessaire afin de construire un ralentisseur performant et a été détaillée dans la référence [94]. 4.3.1 Principe du ralentisseur Pour ralentir les atomes, il est possible d’utiliser la pression de radiation − → grâce à un laser contra-propageant de vecteur d’onde k : − → Γ461 −→ s Fpr = −~ k 2 1 + s + 4 Γ∆2 2 (4.1) 461 où Γ461 = 2 × 108 s−1 est le taux d’émission spontanée pour la transition 1 S0 -1 P1 , s est le paramètre de saturation avec une intensité de saturation Isat = 43 mW.cm−2 et ∆ est le désaccord du laser par rapport à la résonance atomique. On suppose que le jet se propage selon la direction z : ∆ = ωL − ω0 − kv(z) (4.2) avec ωL la fréquence angulaire du laser et ω0 la fréquence angulaire atomique. Pour compenser le terme lié à l’effet Doppler du premier ordre afin de maintenir les atomes à résonance avec le laser et pouvoir continuer à les 99 CHAPITRE 4. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES FROIDS DE STRONTIUM : LA SOURCE D’ATOMES FROIDS décélerer, on peut utiliser un gradient de champ magnétique qui va ajouter un terme d’effet Zeeman à l’équation 4.2 : ∆ = ωL − ω0 − kv(z) − mq gµB B(z) ~ (4.3) où mq désigne le sous-niveau Zeeman de l’état 1 P1 , q vaut 0, +1 ou −1 selon les polarisations respectives π (rectiligne), σ + (circulaire droite) et σ − (circulaire gauche). g est le facteur de Landé qui est égal à 1 pour l’état 1 P1 du 88 Sr et µB est le magnéton de Bohr. En choisissant une polarisation circulaire gauche, on peut compenser le terme d’effet Doppler. Le champ magnétique calculé par simulation numérique dépend de δ = ωL − ω0 , du paramètre de saturation s, du taux d’émission spontanée Γ461 , de la décélération maximale des atomes dans le référentiel du laboratoire, de zmax , l’abscisse pour laquelle la vitesse d’entraı̂nement s’annule et d’un paramètre η compris entre 0 et 1, à déterminer. Les atomes sont alors ralentis de 500 m.s−1 à 50 m.s−1 après avoir absorbé en moyenne 45 000 photons. Dans notre expérience, nous avons choisi de travailler avec un laser convergent, ce qui a pour avantage de réduire l’expansion du jet, de multiplier par 3 le nombre d’atomes capturés dans le PMO par rapport à une configuration où le laser est collimaté, et de diminuer la longueur utile du ralentisseur Zeeman (30 cm) du fait du taux d’émission spontanée important de la transition. Il faut également prendre en compte le fait que le faisceau est gaussien et donc le paramètre de saturation dépend à la fois de z mais aussi de la position transverse de l’atome : s(z, r) = 2 2PL − 2r w2 (z) e πw2 (z)Isat (4.4) où PL est la puissance laser, r est la distance au centre du faisceau et w(z) est le rayon du laser à 1/e2 décrit par we + zzs (ws − we ), we et ws étant les rayons du faisceaux à 1/e2 respectivement à l’entrée et à la sortie du ralentisseur Zeeman, zs est l’abscisse de sortie du ralentisseur. La figure 4.11 présente les densités de probabilité de la composante vx (a), du module de la vitesse transverse vt (b) et de la vitesse longitudinale vz (c) à la sortie du four et à la sortie du ralentisseur obtenues dans le cas d’un laser focalisé. Avec une puissance PL = 30 mW, un paramètre η = 0.4, des rayons du faisceau laser we = 1 mm, ws = 8 mm, une longueur du ralentisseur Zeeman zs = 30 cm et un désaccord par rapport à la résonance δ = 560 MHz, on peut espérer capturer 3% des atomes du flux incident soit environ 6 × 1010 atomes à 600◦ C (voir figure 4.12). 100 4.3. LE RALENTISSEUR ZEEMAN Fig. 4.11 – Densités de probabilité des vitesses vx (a), vt (b) et vz (c) calculées à la sortie du four (600 ◦ C) et à la sortie du ralentisseur Zeeman. La puissance laser vaut 30 mW, η = 0.4, we = 1 mm, ws = 8mm, zs = 30 cm et δ = 560 MHz. 101 CHAPITRE 4. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES FROIDS DE STRONTIUM : LA SOURCE D’ATOMES FROIDS Fig. 4.12 – Le flux atomique est mesuré grâce à un laser sonde accordé à résonance de la transition 1 S0 -1 P1 et perpendiculaire au jet. Les mesures ont été effectuées sur deux jets : le premier dit ”jet principal” utilisé pour le PMO et le deuxième dit ”petit jet” utilisé pour asservir le laser à 461 nm. Les valeurs trouvées sont cent fois plus petites que celles auxquelles on devrait s’attendre en utilisant les constantes données par la référence [98] pour calculer la pression de vapeur saturante. Il semblerait que ces constantes soient erronées. Les mesures de la référence [99] confortent cette conclusion. 102 4.3. LE RALENTISSEUR ZEEMAN 3 0 c m b lin d a g e m a g n é tiq u e tu b e 1 6 C F r e fr o id is s e m e n t à e a u s u p p o r t e n c u iv r e s o lé n o ïd e s Fig. 4.13 – Montage du ralentisseur Zeeman. 4.3.2 Description générale Le ralentisseur Zeeman est composé d’un tube ultra-vide placé dans un support en cuivre sur lequel sont bobinés les solénoides (fil dont la résistivité est de 19.4 × 10−3 Ω/m). Ce support est refroidi par une circulation d’eau courante (voir figure 4.13) pour évacuer la puissance dissipée par effet Joule, puisque les deux bobines (formées chacune de 10 solénoı̈des) sont parcourues par un courant de 16 A. Le système repose dans une blindage magnétique, constitué de deux couches en fer pur intérieures et d’une couche en fer doux extérieure. Le blindage magnétique est indispensable pour deux raisons : tout d’abord, il permet d’isoler la zone de capture, située à 14 cm de la sortie du ralentisseur Zeeman, des perturbations magnétiques. Il permet également de réaliser une variation rapide du champ magnétique de 10 mT.cm−1 aux extrémités du ralentisseur, de sorte que les atomes ne sont plus résonants avec le laser à zs (voir figure 4.14). 4.3.3 Performances du ralentisseur Le flux d’atomes ralentis a été mesuré au niveau de la zone de capture grâce à un laser sonde placé à 45◦ de l’axe de propagation du jet, avec un rayon de 1.1 cm à 1/e2 et une puissance de 2.9 mW dans le cas de la courbe (a) de la figure 4.15 et 4.4 mW dans le cas de la courbe (b). La puissance du 103 CHAPITRE 4. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES FROIDS DE STRONTIUM : LA SOURCE D’ATOMES FROIDS Fig. 4.14 – Champ magnétique mesuré en fonction de z avec et sans blindage (cercles et triangles respectivement). Le champ théorique tenant compte du bobinage a été calculé pour une courant de 16 A. faisceau Zeeman est de 32 mW et le décalage à la résonance δ = 503 MHz. En fait, le flux n’est pas mesuré directement mais on peut en avoir une estimation par la mesure de la fluorescence. Un modèle tenant compte de la variation de vitesse de l’atome pendant l’interaction avec la sonde donne Nat /s = 2 × 1010 atomes/s avec une dispersion en vitesse de 20 m.s−1 . Quoiqu’il en soit, le taux de capture du PMO et son taux de chargement sont également une bonne estimation de ce flux : ils valent respectivement 4 × 1010 (T◦f our = 630◦ C) et 1.4 × 1010 atomes par seconde(T◦f our = 600◦ C). Toutes ces valeurs sont en bon accord avec la valeur du flux déterminée numériquement dans les paragraphes précédents. La valeur de la vitesse moyenne longitudinale à la sortie du ralentisseur est de 25 m.s−1 . Les paramètres expérimentaux diffèrent légèrement de ceux utilisés dans la simulation numérique, notamment en ce qui concerne les rayons du faisceau Zeeman qui sont limités par le diamètre des optiques, ou encore le décalage en fréquence δ qui a dû être abaissé à 503 MHz à cause de la différence aux extrêmités du ralentisseur entre le champ magnétique théorique et le champ mesuré 4.14. Tous ces paramètres ont été ajustés de façon à optimiser le flux d’atomes ralentis et le nombre d’atomes piégés dans le PMO (voir tableau 4.3). 104 4.3. LE RALENTISSEUR ZEEMAN Fig. 4.15 – Flux d’atomes ralentis sondés par un laser de puissance (a) :2.9 mW (T◦f our = 600◦ C) et (b) :4.4 mW (T◦f our = 630◦ C). Paramètres Simulation numérique Expérience Décalage en fréquence δ 560 MHz 503 MHz Rayon du faisceau à l’entrée 1 mm 1.8 mm du Zeeman we Rayon du faisceau à la sortie 8 mm 4.6 mm du Zeeman ws Courant dans les bobines 16 A 17 A −1 Vitesse de capture 50 m.s 30 m.s−1 Tab. 4.3 – Valeurs des différents paramètres caractérisant le ralentisseur Zeeman. 105 CHAPITRE 4. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES FROIDS DE STRONTIUM : LA SOURCE D’ATOMES FROIDS 4.4 4.4.1 Le piège magnéto-optique Description générale Le piège magnéto-optique (PMO) [100] est composé d’une part, de trois faisceaux lasers rétro-réflechis à 461 nm. La puissance totale de ces faisceaux est de 17 mW, ils sont collimatés avec un rayon à 1/e2 de 1 cm. Le décalage MO par rapport à la résonance est de δP2π = −42 MHz soit environ 1.3Γ461 . D’autre part, le PMO est constitué d’un gradient de champ magnétique de 1.7 mT.cm−1 .A−1 généré par des bobines en configuration anti-Helmholtz alimentées par un courant de 1.6 A. Ces bobines sont montées sur la chambre à vide qui s’inscrit dans un cube de 14 cm de côté (voir figure 4.16). Des hublots sont prévus pour les trois faisceaux du PMO, le faisceau du ralentisseur Zeeman et un faisceau sonde qui va servir à mesurer la fluorescence des atomes. La zone de détection de ce faisceau sonde est centrée sur le piège, c’est un disque de 1.8 cm de diamètre. L’efficacité de collection de la photodiode associée à ce système de détection est de 6.5 × 10−3 . Le vide au niveau du piège est 80 fois plus faible que dans la zone du four (10−5 Pa) grâce à un système de vide différentiel. 4.4.2 La dynamique du PMO Le nombre d’atomes piégés Np est décrit par l’équation suivante [101] : dNp = Φc − Γp Np (4.5) dt Γp désigne les pertes autres que les pertes par collisions1 et Φc est le flux d’atomes piégés. En régime stationnaire, Np suit une loi exponentielle décroissante dont le temps caractéristique est le temps de charge τc (voir figure 4.17) : 1 τc = (4.6) Γp Le temps de chargement τc est de l’ordre de 30 ms, et est essentiellement limité par le taux de pompage optique dans l’état 3 P2 (voir figure 4.18). En effet, les atomes de l’état 1 P1 peuvent se désexciter par émission spontanée 1 Le taux de pertes par collisions chaudes, c’est-à-dire les collisions entre un atome piégé et un atome du gaz résiduel est de l’ordre de 0.04 s−1 , ce qui peut-être négligé. En revanche, le taux de pertes par collisions froides peut être beaucoup plus important. Il dépend linéairement du nombre d’atomes piégés et vaut 2.8 s−1 pour 108 atomes piégés soit 28 s−1 pour 109 atomes, et dans ce dernier cas, il n’est plus négligeable. 106 4.4. LE PIÈGE MAGNÉTO-OPTIQUE Fig. 4.16 – Photographie de la zone de capture. On distingue les blindages du ralentisseur Zeeman. Les flèches indiquent la direction des trois faisceaux formant le PMO et le faisceau associé au ralentisseur Zeeman. La boule d’atomes froids, visible au centre du piège a été agrandie dans l’encart. Fig. 4.17 – Mesure de la fluorescence du PMO lorsque le faisceau du ralentisseur Zeeman est allumé au éteint. On peut déduire de cette mesure le temps de chargement (313.1 ms) ou de déchargement (30.4 ms) du PMO, ce qui revient à un taux de pertes Γp de 32 s−1 . 107 CHAPITRE 4. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES FROIDS DE STRONTIUM : LA SOURCE D’ATOMES FROIDS (t = 1 0 n s ) G D = 3 .8 5 x 1 0 1 3 s -1 D 2 G (t = 0 .3 m s ) 4 6 1 n m 1 n m 6 8 8 (t = 5 n s ) 1 S n m 7 0 7 n m 6 7 9 P 1 3 S G = 3 .3 x 1 0 3 s 2 = 0 .3 3 S G -1 G 1 = 0 .6 7 S G 3 G 4 6 1 = 2 x 1 0 8 s P M O + Z e e m a n 1 S -1 P 2 ( m é ta s ta b le ) 1 (t = 2 1 m s ) 0 ( m é ta s ta b le ) G n m 6 8 9 6 8 9 = 4 .8 x 1 0 4 s -1 0 Fig. 4.18 – Niveaux atomiques intervenant dans le piégeage des atomes. vers l’état 1 D2 et de là, vers les états 3 P1 pour 67% d’entre eux et 3 P2 pour les 33% qui restent. Le niveau 3 P1 étant couplé à l’état fondamental, les atomes de ce niveau peuvent réintégrer le processus de piègeage. En revanche, les atomes du niveau 3 P2 , qui est métastable, sont perdus pour le piège. On estime que le taux de pertes par pompage optique Γopt = 36 s−1 soit un temps τopt associé de 28 ms, en bon accord avec τc . Le nombre d’atomes piégés peut-être estimé de deux façons. Dans la première il s’agit tout simplement de mesurer la fluorescence induite par les faisceaux du PMO, mais cette méthode ne tient pas compte de l’absorption dans les faisceaux. Celle-ci n’est pas négligeable pour un nombre d’atomes piégés supérieur à 2 × 107 et par conséquent, Np est sous-estimé. La deuxième méthode consiste à mesurer la fluorescence induite par un laser = −50MHz et de puissance 4.5 mW. Le sonde, décalé à résonance de δsonde 2π nombre maximum d’atomes piégés est de 1.3 × 109 avec une température de four T◦f our = 630◦ C. Il est également possible de piéger des isotopes du 88 Sr, comme le 87 Sr (7% d’abondance naturelle) ou le 86 Sr (10% d’abondance naturelle) (voir figure 4.20). Il suffit pour cela de faire varier la fréquence rf du modulataur 108 4.5. CONCLUSION Fig. 4.19 – Charge et décharge du PMO. La fluorescence mesurée est induite par le PMo et renormalisée pour tenir compte de l’absorption dans les faisceaux (courbe (a)). La courbe (b), qui est la dérivée de la courbe (a), représente le taux de chargement du PMO. Le maximum correspond à 4 × 1010 atomes par seconde. acousto-optique en double passage placé avant le petit jet : le décalage en fréquence nécessaire pour passer d’un piège de 88 Sr à un piège de 87 Sr est par exemple de 41 MHz corrsepondant à la valeur du décalage isotopique donné par la référence [102] (-46.3 (2.0) MHz). 4.5 Conclusion En conclusion, nous disposons d’une source d’atomes froids performante, qualité nécessaire pour la réalisation d’un étalon de fréquence optique. Cependant cette source peut encore être optimisée, grâce notamment à la déflexion et au refroidissement transverse du jet principal. 109 CHAPITRE 4. VERS UNE HORLOGE OPTIQUE À ATOMES FROIDS DE STRONTIUM : LA SOURCE D’ATOMES FROIDS Fig. 4.20 – Courbe de chargement du PMO pour le 88 Sr, 87 Sr et le fluorescence maximale correspond à 8 × 107 atomes pour le 88 Sr. 110 86 Sr. La Chapitre 5 Mesure de la transition fortement interdite 1S0 →3 P0 du strontium 5.1 Introduction De façon générale, le spectroscopie haute résolution de transitions atomiques a de nombreuses applications : on peut citer par exemple la détermination de constantes fondamentales telles que la constante de Rydberg [103, 104], le rapport entre la masse de l’électron et celle du proton [105], ou encore la constante de structure fine α [7, 10]. Dans notre cas, il s’agit de déterminer avec une très grande précision la fréquence de la transition 1 S0 -3 P0 de l’atome de Sr, choisie comme transition d’horloge dans notre expérience. La connaissance de cette transition est en effet une première étape déterminante avant de réaliser un étalon de fréquence optique. Elle est faiblement permise par couplage hyperfin de l’état 3 P0 aux états 1 P1 et 3 P1 pour l’isotope 87 Sr (I=9/2). Sa largeur de raie est de 1 mHz [56, 106]. Une mesure indirecte a été dans un premier temps nécessaire afin de réduire l’intervalle de recherche en fréquence, conduisant à une bonne estimation de la fréquence de la transition avec une incertitude de 70 kHz. Nous avons pu enfin effectuer une mesure directe avec une incertitude de 15 kHz [15]. Ces mesures ont pu être réalisées grâce à un outil aussi performant que maniable qu’est le laser femtoseconde, lequel génère un peigne de fréquences optiques et permet donc la comparaison de fréquences sur un large intervalle (GHz à PHz). 111 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM L a s e r fe m to s e c o n d e fib r e s o p tiq u e s L a s e r u ltr a - s ta b le L a s e r s o n d e p o la r is e u r P D A A to m e s d e S r s y n th é tis e u r R F v e r r o u illa g e d e p h a s e Fig. 5.1 – Principe de mesure de fréquence de transitions atomiques. Un premier laser utilisé comme référence de fréquence est asservi sur la cavité PF de grande finesse grâce à la technique Pound-Drever. Un deuxième laser est verrouillé en phase sur le premier et sert à sonder les transitions atomiques. PDA désigne la photodiode à avalanche. 5.2 Dispositif expérimental Toutes ces mesures de spectroscopie ont été réalisées selon le même principe (voir figure 5.1) : un premier laser monté en cavité étendue, noté laser ”ultra-stable”, est asservi selon la technique de Pound Drever Hall sur une cavité de grande finesse (chapitre 3), sa fréquence est mesurée par le biais du laser femtoseconde. Un second laser, appelé laser ”sonde” asservi sur le laser ”ultra-stable”, est envoyé vers les atomes pour sonder les transitions atomiques. Pour cela, nous utilisons un asservissement à verrouillage de phase avec un décalage de fréquence accordable. Pour déterminer toutes les transitions atomiques, nous avons utilisé deux jeux de lasers {sonde, ultra-stable} dont les longueurs d’ondes peuvent varier entre 675 nm et 685 nm et entre 685 nm et 698 nm respectivement : un premier jeu nous a permis de mesurer les transitions atomiques à 689 nm(1 S0 -3 P1 ), 688 nm (3 P1 -3 S1 ) et 698 nm (1 S0 -3 P0 ) (voir figure 5.2). Le deuxième jeu a été monté pour mesurer la transition à 679 nm (3 P0 -3 S1 ). Ces transitions à 689 nm ; 688 nm et 679 nm étant beaucoup plus larges que la transition d’horloge, elles sont plus faciles à détecter. Les mesures de la transition 1 S0 -3 P1 ont été effectuées sur un jet atomique par absorption 112 5.2. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL (t = 1 0 n s ) G D 3 = 3 .8 5 x 1 0 1 s -1 D 2 G (t = 0 .3 m s ) S G = 3 .3 x 1 0 4 6 1 n m G = 2 x 1 0 (P M O ) 8 4 6 1 s -1 S 3 s G 6 8 9 = 4 .8 x 1 0 4 s 2 = 0 .3 3 S G -1 G 1 = 0 .6 7 S G 3 -1 P 2 ( m é ta s ta b le ) 1 (t = 2 1 m s) 0 ( m é ta s ta b le ) n m 6 8 9 n m 6 9 8 G 1 1 n m 6 8 8 (t = 5 n s ) 1 S n m 7 0 7 n m 6 7 9 P 1 3 6 9 8 = 6 .3 x 1 0 -3 s -1 0 Fig. 5.2 – Niveaux atomiques de l’atome de strontium impliqués dans les mesures de spectroscopie. saturée. Cela n’a pas pu être le cas pour les autres transitions, car les états 3 P ne sont pas peuplés. En revanche, la dynamique de notre piège magnétooptique nous a permis de mener à bien ces mesures. La fréquence de la transition 1 S0 -3 P0 est déduite de ces mesures par la relation : ν698 = ν689 − [ν679 − ν688 ] 5.2.1 (5.1) Le verrouillage en phase Pour sonder les atomes, nous avons besoin d’un laser dont on puisse balayer la fréquence sur l’intervalle spectral libre de la cavité (1.5 GHz) mais possédant les mêmes propriétés spectrales que le laser ultra-stable : ceci est réalisable grâce à un asservissement en phase du laser sonde sur le laser ultra-stable. Les deux faisceaux lasers sont superposés dans un cube polarisant et le battement entre les deux ondes est détecté sur une photodiode à avalanche (voir figure 5.3). Le signal, après amplification, est divisé par 4 afin d’augmenter la plage d’accrochage de l’asservissement, puis comparé grâce à un comparateur phase-fréquence à un signal de référence fref délivré par un synthétiseur radiofréquence. L’asservissement du laser sonde s’effectue en deux étapes : un premier filtre proportionnel-intégrateur agit pour les 113 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM L a s e r u ltr a s ta b le fso n d e - fu ltr a - s ta b le /4 L a s e r s o n d e A P D fso P Z T C o u ra n t D F I fso n d e - fu ltr a - s ta b le 4 P / I n d e - fu ltr a - s ta b le 4 - f re f C o m p a ra te u r p h a s e /fré q u e n c e f re f S y n th é tis e u r R F Fig. 5.3 – Principe de l’asservissement en phase. La bande passante de la photodiode à avalanche est de 1 GHz. P/I désigne le filtre proportionnelintégrateur. corrections rapides sur le courant d’injection de la diode laser, un deuxième intégrateur agit pour les corrections lentes sur la cale piézo-électrique du laser. La bande passante de l’asservissement est de 2 MHz. En boucle fermée, la fréquence du laser sonde s’écrit : fsonde = fultra−stable + 4fref (5.2) Il suffit alors de modifier fref pour ajuster l’écart entre les fréquences fsonde et fultra−stable . 5.2.2 Le laser femtoseconde Il s’agit d’un laser Ti : Sa pompé en continu par un laser Nd :YVO4 doublé à 532 nm. Le taux de répétition est de 840 MHz et la durée de l’impulsion est de 25 fs. Son mode de fonctionnement repose sur le principe du verrouillage de mode par effet Kerr : afin de favoriser le régime impulsionnel, il faut que le gain soit plus important lorsque les modes laser ont la bonne relation de phase (modes bloqués), on utilise pour ce faire l’autofocalisation par effet Kerr. L’intensité élevée des impulsions lasers modifie l’indice de réfraction du cristal de façon linéaire lors de la propagation du faisceau lumineux, ce qui crée l’effet d’une lentille convergente (voir figure 114 5.2. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL 5.4 (a)) : n(ω, I) = n0 (ω) + n2 (ω)I (5.3) Lorsque les 2N + 1 modes longitudinaux du laser ont la bonne relation de phase, le champ total E(t) dans la cavité laser peut s’écrire : E(t) = N X En cos[2π(fc + nνISL )t] (5.4) n=−N où fc est la fréquence centrale du mode longitudinal, En est l’amplitude du mode n et νISL est l’intervalle spectral libre de la cavité laser. Dans le domaine de Fourier, l’équation 5.4 se traduit par un peigne de fréquence (voir figure 5.4(b)). Le décalage ∆φ, indiqué sur la figure 5.4(b), est dû au fait que, pour chaque impulsion, l’enveloppe se déplace à la vitesse de groupe alors que la porteuse se déplace à la vitesse de phase. Cet effet se manifeste par un décalage à l’origine f0 dans le peigne de fréquence. La fréquence de la raie n, fn s’écrit donc : fn = f0 + nfr (5.5) où fr est la fréquence de répétition qui est asservie sur le maser à hydrogène du laboratoire (voir figure 5.5). Pour mesurer f0 , on met en oeuvre la méthode dite de self-referencing [107, 108] : on effectue un battement entre la raie n de fréquence fn doublée en fréquence dans un cristal de KTP avec la raie 2n de fréquence f2n (voir figure 5.4(b)). Une centaine de µW du laser ultra-stable est envoyée, par le biais d’une fibre optique, vers le laser femtoseconde. Le battement réalisé entre les deux lasers est détecté par une photodiode. La fréquence du battement fb est la différence entre la fréquence du laser ultra-stable et la fréquence du mode du peigne le plus proche : fb = fultra−stable − [f0 + nfr ] (5.6) La figure 5.6 représente un exemple de ces mesures de fréquence du laser ultra-stable. Une fois la dérive de la cavité de grande finesse SC retranchée (environ 40 Hz.s−1 sans l’asservissement en température), on remarque que la résolution des mesures est de 5 × 10−14 à 100 s soit 20 Hz. 115 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM (a ) C r is ta l d e T i:S a F r o n t d 'o n d e d u fa is c e a u in c id e n t a u to - fo c a lis a tio n n (r) (b ) E (t) D f v g t v p x 2 fr I(f) f 0 = 2 ( n f r+ f 0 ) - ( 2 n f r+ f 0 ) f 0 = f r.D f / 2 p f fn= n fr + f0 Fig. 5.4 – En (a), auto-focalisation par effet Kerr. En (b), peigne de fréquence du laser femtoseconde et mesure du décalage à l’origine f0 . 116 5.2. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL a s s e r v is s e m e n t d u ta u x d e r é p é titio n ( fr = 8 4 0 M H z ) M a s e r à H y d ro g è n e s y n c h r o n is a tio n C h a în e m ic r o - o n d e L a s e r U ltr a -s ta b le S y n th é tis e u r R F 9 .1 9 G H z V e r r o u illa g e d e p h a s e 1 1 x f r filtr e fib r e à c r is ta l p h o to n iq u e P Z T N d :Y V O 4 5 W , c o n tin u T i:S a la m e s s é p a r a tr ic e s m ir o ir à d is p e r s io n n é g a tiv e la m e d ic h r o ïq u e 2 (fn + f0) L A S E R F E M T O S E C O N D E fn + f0 K T P f2n= 2 fn + f0 filtr e in te r fé r e n tie l p o la r is e u r f0 M e s u re d e f0+ f fb b Fig. 5.5 – Principe du laser femtoseconde. La fibre à cristal photonique est utilisée pour élagir le spectre du peigne de fréquence sur plus d’une octave. 117 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM Fig. 5.6 – Mesure de la fréquence du laser ultra-stable. La résolution de la mesure est de 20 Hz à 100s. Les mesures brutes (c’est-à-dire avec la dérive de la cavité qui est de l’ordre de 40 Hz/s) sont représentées par les triangles et les mesures corrigées par les carrés. 118 5.3. MESURE INDIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 e l /2 D é te c tio n s y n c h r o n e B L a s e r E s c l a Pv Me O IO té le s c o p e o e il d e c h a t G B F je t a to m iq u e P Z T L a s e r S o n d e IO V e r r o u illa g e d e p h a s e s u r le la s e r u ltr a - s ta b le S y n th é tis e u r R F C o m p te u r Fig. 5.7 – Principe de détection de la transition à 689 nm et asservissement du laser sur les atomes. Le télescope est constituée de deux lentilles cylindriques. La focale de la lentille utilisée pour l’oeil de chat est de 15 cm. 5.3 5.3.1 Mesure indirecte de la transition 1S0-3P0 La mesure de la transition 1 S0 -3 P1 La transition 1 S0 -3 P1 à 689 nm est relativement simple à mesurer car elle fait intervenir l’état fondamental. Elle est détectée par fluorescence induite dans un jet atomique collimaté, de 4 mm de diamètre. Le flux atomique est d’environ 1012 atomes par seconde avec une vitesse moyenne de 500 m.s−1 . Les atomes sont sondés par un laser rétro-réfléchi perpendiculaire au jet atomique (voir figure 5.7). Pour minimiser les effets Doppler du premier ordre, l’alignement du faisceau rétro-réfléchi sur le faisceau incident est réalisé grâce à un dispostif oeil de chat {lentille + miroir} : un miroir plan est situé dans le plan focal de la lentille, c’est-à-dire à 15 cm de celleci. L’alignement entre les faisceaux incident et rétro-réfléchi est effectué à mieux que de 10 µrad en égalisant les fréquences centrales des deux profils Doppler en simple et double passages. L’effet Doppler du premier ordre résiduel correspondant à un tel montage est inférieur à 1 kHz. − → Un champ magnétique B parallèle à l’axe du jet est généré par deux bobines en configuration Helmholtz afin de lever la dégénerescence des sousniveaux Zeeman. On détecte en polarisation π, pour un champ de 1.5 mT, les transitions (m = 0 − m′ = 0) pour les bosons 88 Sr et 86 Sr (voir figure 5.8(a)), ces dernières n’étant pas sensibles à l’effet Zeeman du premier ordre. En revanche, à cette échelle, on ne distingue pas la résonance (F = 9/2 − F ′ = 9/2). Sur le graphe 5.8(b), les trois composantes Zeeman sont visibles. 119 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM Fig. 5.8 – Fluorescence des atomes du jet induite par un faisceau laser en polarisation π pour (a) et polarisation quelconque pour (b). Le faisceau laser est elliptique et a une puissance de 275 µW pour une taille de 1.3 × 5.5 mm à 1/e2 . Pour la courbe (a), on constate que le rapport des amplitudes des pics pour le 88 Sr et le 86 Sr est en bon accord avec le rapport des abondances naturelles (respectivement 83% et 10%). La courbe (b) représente les transitions vers les trois sous niveaux Zeeman du niveau 3 P1 du 88 Sr. 120 5.3. MESURE INDIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 Fig. 5.9 – Variance d’Allan en valeur relative de la mesure de la fréquence du laser à 689 nm asservi sur la fréquence atomique. Pour mesurer les fréquences atomiques, le laser est asservi sur le Lamb dip au centre du profil Doppler. L’asservissement est basé sur le principe de la détection synchrone. La fréquence de modulation générée par le générateur basse fréquence (désigné par GBF sur le schéma 5.7) est de 200 Hz. La fréquence du laser sonde est modulée par le synthétiseur dont la fréquence, dans cette configuration, n’est plus référencée par l’oscillateur à quartz interne. C’est pourquoi, nous avons besoin d’un compteur pour nous affranchir d’une erreur de fréquence de ce synthétiseur qui peut aller jusqu’à une dizaine de kHz. La stabilité du laser asservi sur la transition atomique du 88 Sr est donnée par la figure 5.9 : elle est de 2 × 10−12 en valeur relative à 1 s. La résolution des mesures de fréquence est limitée par l’effet Doppler du premier ordre induit par les distorsions de front d’onde. Modéliser un tel effet paraı̂t néanmoins difficile : il faudrait pour cela établir une carte en 3 dimensions du front d’onde du laser dans la région d’interaction, et l’on devrait prendre en compte les distributions spatiale et en vitesse du jet atomique. Une façon d’estimer cet effet expérimentalement est d’effectuer les mesures de fréquences avec différentes géométries du faisceau laser qui conduisent à différents fronts d’onde. Les résultats sont présentés pour le boson 88 Sr sur le graphe 5.10. A faible puissance laser, les mesures réalisées pour différentes géométries tendent vers la même valeur de fréquence à 20 kHz près. A plus grande puissance laser (PL > 1mW), on observe une dispersion de ces mesures sur près de 100 kHz. La fonction de sensibilité atomique 121 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM Fig. 5.10 – Mesures de fréquence de la transition 1 S0 -3 P1 pour le boson avec différentes puissances laser et différentes géométries du faisceau. FO indique qu’une fibre optique a été utilisée pour filtrer le mode spatialement. qui traduit la réponse atomique à une perturbation locale de l’environnement, peut expliquer ce résultat [109]. En effet, lorsque la puissance laser est élevée, la fonction de sensibilité présente de fortes variations sur une petite échelle : les atomes sont plus sensibles aux détails du front d’onde du laser ce qui n’est pas le cas à plus faible puissance laser. La fréquence de la transition 1 S0 -3 P1 retenue pour le boson 88 Sr est donc la moyenne des valeurs mesurées à faibles puissance laser avec une barre d’erreur de 20 kHz. Ces mesures sont en bon accord avec celles obtenues par G. Ferrari [110] et plus récemment celles obtenues par l’équipe de J. Ye [48]. Pour le 87 Sr, toutes les transitions dépendent de l’effet Zeeman du premier ordre, le décalage en fréquence de l’état |3 P1 ,F=9/2,mi induit par un tel effet est donné par m × 0.8 MHz/mT. Cependant, on constate sur le graphe 5.11 que les mesures de fréquence sont insensibles au champ magnétique. Cela est dû d’une part au fait que tous les sous-niveaux Zeeman de l’état fondamental sont peuplés de façon égale dans le jet thermique et contribuent tous au signal détecté. D’autre part, comme l’axe de propagation du laser est perpendiculaire à l’axe du champ magnétique, la polarisation du laser a des composantes σ + et σ − égales. Soulignons le fait que les mesures ont été faites à plus fortes puissances laser (14 mW contre une puissance inférieure à 1 mW pour le boson). Les fréquences des transitions pour le fermion 87 Sr, sont obtenues par comparaison avec le boson 88 Sr : à grande puissance laser, on alterne les mesures des transitions du 87 Sr et 88 Sr. Plus précisément, seule la transition 1 S0 -3 P1 (F=9/2, F’=9/2) a été mesurée et comme la structure hyperfine de l’état 3 P1 est bien connue [111], 122 5.3. MESURE INDIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 Fig. 5.11 – Mesures de fréquence de la transition 1 S0 -3 P1 (F=9/2, F’=9/2). Les valeurs moyennes des deux séries de mesures sont indiquées en pointillés. La puissance laser utilisée est de 14 mW. L’erreur statistique de chaque mesure est de 10 kHz. cette mesure particulière a permis de déterminer les deux autres composantes hyperfines. On a vérifié que les fréquences mesurées ne dépendent pas de la géométrie du faisceau dans une marge de 50 kHz. Le décalage isotopique de l’état 3 P1 a pu de cette façon être calculé avec une meilleure exactitude que celle des références [112, 113] : ∆87,88 [3 P1 ] = 62 150 (70) kHz (5.7) Le tableau 5.1 présente les valeurs des fréquences des transitions 1 S0 − 3 P1 . Les valeurs notées (a) sont les fréquences mesurées directement alors que les valeurs repérées par (b) ont été déduites de la structure hyperfine de l’ état 3 P1 . 5.3.2 La mesure de la transition 3 P1 -3 S1 La mesure de la fréquence de la transition 3 P1 -3 S1 s’effectue dans le piège magnéto-optique (PMO), dans lequel l’état 3 P1 est peuplé par pompage optique. Lors du refroidissement laser sur la transition cyclante 1 S0 -1 P1 , les atomes peuvent se désexciter vers l’état 1 D2 par émission spontanée. De cet état, ils peuvent à nouveau se désexciter vers les états 3 P1 et 3 P2 avec des taux de branchement respectifs de 67% et 33% [114]. Comme l’état 3 P1 est couplé à l’état fondamental, une partie des atomes réintègrent le 123 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM 1 S0 − 3 P1 88 J=0-J’=1 Sr F=9/2-F’=7/2 87 Sr F=9/2-F’=9/2 F=9/2-F’=11/2 434 434 434 434 Fréquence (kHz) 829 121 300 (20) 830 473 270 (50) 829 343 010 (50) 827 879 860 (50) (a) (b) (a) (b) Tab. 5.1 – Récapitulatif des mesures de fréquences des transitions à 689 nm. processus de piégeage. En revanche, les atomes dans l’état métastable 3 P2 sont perdus pour le piège magnéto-optique, ce qui limite la durée de vie du piège entre 30 ms et 50 ms. L’idée consiste pour effectuer la mesure de la fréquence de la transition 3 P1 -3 S1 , à introduire artificiellement des pertes dans le PMO : si un laser résonnant avec la transition 3 P1 -3 S1 interagit avec les atomes du PMO, ceux qui se trouvent dans l’état 3 P1 vont être pompés optiquement vers les niveaux 3 P2 et 3 P0 qui sont métastables (voir figure 5.12) : ils sont alors perdus pour le PMO et on observe une décroissance du nombre d’atomes dans le piège par une diminution de la fluorescence (voir figure 5.13 pour le 88 Sr). (t = 5 n s ) 1 1 n m 6 8 8 P 1 S 3 (t = 1 0 n s ) G D 3 = 3 .8 5 x 1 0 1 D s -1 2 4 6 1 n m (t = 0 .3 m s ) G = 2 x 1 0 (P M O ) 8 4 6 1 s S G = 3 .3 x 1 0 s 3 -1 3 n m 6 8 9 G 1 S -1 6 8 9 = 4 .8 x 1 0 4 s P 2 ( m é ta s ta b le ) 1 (t = 2 1 m s) 0 ( m é ta s ta b le ) -1 0 Fig. 5.12 – Niveaux atomiques intervenant dans la mesure de la fréquence de la transition 3 P1 -3 S1 . 124 5.3. MESURE INDIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 Fig. 5.13 – Fluorescence relative du PMO obtenue en balayant la fréquence du laser à 688 nm autour de la résonance. Le diamètre du faisceau est 1.8 mm et l’intensité laser est de 0.2 mW.cm−2 en (a) et de 51 mW.cm−2 en (b). Le niveau maximal de fluorescence correspond à 2 × 107 atomes. Le montage expérimental est présenté par la figure 5.14(a). Le faisceau à 688 nm est rétro-réflechi : les deux faiseaux contra-propageant sont alignés à mieux que 1 mrad. L’effet Doppler résiduel dû à une éventuelle asymétrie de la distribution de vitesse des atomes du PMO est inférieur au kHz. On mesure la fluorescence induite par le PMO lorsque le laser à 688 nm est balayé en fréquence autour de la résonance. La fréquence du laser est verrouillée sur la résonance atomique grâce à un asservissement numérique contrôlé par ordinateur : il consiste à sonder les deux flancs de la résonance à mi-hauteur et alternativement. La résolution de cette mesure est de 2 × 10−11 en valeur relative à 100 s (voir figure 5.14(b)). Le contraste et la largeur de la résonance ont été étudiés en fonction de l’intensité du laser à 688 nm. Un modèle théorique a pu être établi en fonction des équations de taux qui régissent la dynamique du PMO si l’on suppose que le faisceau sonde n’affecte pas le processus de capture. Cependant, on observe que pour une intensité laser donnée, la largeur de la résonance expérimentale est dix fois plus petite que celle à laquelle on pourrait s’attendre théoriquement. Parallèlement, le contraste est divisé par deux pour une valeur de l’intensité cent fois plus élevée que la valeur théorique. Ceci montre que l’intensité laser effective, c’est-à-dire vue par les atomes du PMO, est plus petite que sa valeur moyenne calculée sur la taille du piège. Une fraction non négligeable des atomes contribuant au signal (20%) 125 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM (a ) 6 8 8 n m P M O L a s e r E s c la v Pe M O IO 4 6 1 n m O r d in a te u r L a s e r S o n d e IO V e r r o u illa g e d e p h a s e s u r le la s e r u ltr a - s ta b le S y n th é tis e u r R F Fig. 5.14 – En (a), principe de la mesure de la transition. Le faisceau sonde est envoyé à 45◦ de l’axe vertical du PMO. (b)Variance d’Allan en valeur relative de la mesure de la transition pour le boson. 126 5.3. MESURE INDIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 sont donc pompés optiquement vers les niveaux 3 P2 et 3 P0 alors qu’ils interagissent avec les bords du faisceau laser, c’est-à-dire avant d’avoir atteint la région centrale du piège. Pour modéliser de façon précise un tel problème il faudrait prendre en compte les distributions spatiales et en vitesse des atomes pendant la phase de capture ce qui n’est pas chose aisée pour un piège chargé à partir d’un ralentisseur Zeeman. Ainsi l’effet Zeeman limite essentiellement la résolution de la mesure. Du fait du gradient de champ magnétique dans le piège (1.8 mT.cm−1 ), les atomes en phase de capture et les atomes piégés ne voient pas le même champ et par conséquent subissent un déplacement Zeeman1 différent. Le décalage en fréquence dû à l’effet Zeeman dépend de nombreux paramètres qui ne sont pas bien connus ou difficilement accessibles tels que les populations des différents sous niveaux Zeeman. Les barres d’erreur sont déduites des mesures expérimentales et sont de 500 kHz pour le 88 Sr et de 300 kHz pour le 87 Sr : en effet, les facteurs de Landé sont plus élevés pour le 88 Sr, qui est donc plus sensible à l’effet Zeeman, que pour le 87 Sr (voir le tableau 5.2). 1 3 S0 87 F gF Sr 9/2 −1.3 × 10−4 3 87 F gF 88 Sr 0 0 1 P0 87 Sr 9/2 − 6 × 10−5 Sr 7/2 9/2 11/2 -1/3 2/33 3/11 3 Sr 1 3/2 87 Sr 0 0 P1 88 P1 Sr 7/2 9/2 11/2 -2/9 4/99 2/11 88 87 88 Sr 1 1 S1 Sr 7/2 9/2 11/2 -4/9 8/99 4/11 88 Sr 1 2 Tab. 5.2 – Facteurs de Landé pour différents niveaux du strontium. L’effet Zeeman dépend de la polarisation du faisceau laser, désignée successivement par Lin 1 et Lin 2 pour les polarisations linéaires, l’une étant orthogonale à l’autre, et Circ 1 et Circ 2 pour les polarisations circulaires, orthogonales également l’une à l’autre. Des décalages en fréquence de quelques MHz ont été observés pour les transitions du 88 Sr dépendant ainsi de la polarisation. Quand on diminue le gradient de champ magnétique, ces décalages de fréquences diminuent également et tendent à se rapprocher d’une valeur commune (voir figure 5.15(a)). On remarque toutefois que l’extrapolation à 0 n’est possible que pour la polarisation Lin 1 alors que pour les autres polarisations, la résonance présente une trop forte asymétrie pour que cela soit possible (voir figure 5.15(b)). C’est donc pour Lin 1 que la sensibilité à l’ef1 L’effet Zeeman est de l’ordre de 14MHz.mT−1 . 127 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM fet Zeeman est minimale et vaut 300 kHz.mT−1 .cm pour le boson. Pour les valeurs finales des fréquences de la transition à 688 nm, nous avons retenu la valeur extrapolée à un champ nul en polarisation Lin 1. La dépendance en champ magnétique des fréquences des transitions pour le 87 Sr est beaucoup plus faible, soit inférieure ou égale à 150 kHz.mT−1 .cm pour la même polarisation Lin 1. L’effet du gradient de champ magnétique peut-être également observé en faisant varier l’intensité du laser sonde : à forte intensité une fraction non négligeable des atomes sont excités alors qu’ils sont excentrés par rapport au centre du piège (figure 5.16). Pour minimiser cet effet, la valeur de la fréquence finale est celle extrapolée à basse intesité laser soit 1mW.cm−2 . Le tableau 5.3 donne les différentes valeurs de fréquences de la transition à 688 nm mesurées. Le tableau 5.4 compare les valeurs de fréquence de l’écart hyperfin entre les niveaux |3 P1 ,F1 i et |3 P1 ,F2 i obtenues dans notre expérience via le niveau |3 S1 ,F’i par rapport aux valeurs de la référence [111]. Le décalage isotopique ∆87,88 [3 S1 ] par rapport à l’état fondamental ainsi que les constantes hyperfines A et B sont donnés par :  3  ∆87,88 [ S1 ] = 54.9 (3) MHz (5.8) A[3 S1 ] = −542.0 (1) MHz   3 B[ S1 ] = −0.1 (5) MHz 3 P1 − 3 S1 88 J= 9/2, J’=9/2 Sr F=7/2 - F’=7/2 F=7/2 - F’=9/2 F=9/2 - F’=7/2 87 Sr F=9/2 - F’=9/2 F=9/2 - F’=11/2 F=11/2 - F’=9/2 F=11/2 - F’=11/2 Fréquence (MHz) 435 731 697.2 (5) 435 733 271.1 (6) 435 730 832.3 (3) 435 734 401.75 (30) 435 731 962.7 (3) 435 728 981.6 (3) 435 733 425.8 (3) 435 730 444.9 (3) Tab. 5.3 – Récapitulatif des mesures de fréquences des différentes transitions à 688 nm pour le boson 88 Sr et le fermion 87 Sr. 5.3.3 La mesure de la transition 3 P0 -3 S1 La fréquence de la transition 3 P0 -3 S1 à 679 nm est un peu plus complexe à mesurer. En effet, le niveau 3 P0 n’est pas peuplé dans le PMO. Pour 128 5.3. MESURE INDIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 Fig. 5.15 – En (a), décalages de fréquence dus à l’effet Zeeman du premier ordre induit par le gradient de champ magnétique dans le PMO. Les mesures sont effectuées sur le boson 88 Sr avec différentes polarisations du laser sonde. L’intensité laser au centre du faisceau est de 0.7 mW.cm−2 . La résolution des mesures est de 20 kHz. En (b), formes de la raie de résonance pour différentes polarisations linéaires et circulaires du laser sonde. 129 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM Fig. 5.16 – Décalages de fréquence en fonction de l’intensité laser. Les mesures sont effectuées sur la transition F=9/2-F’=11/2 du strontium 87 Sr. F1 -F2 Expérience strontium via |3 S1 ,F’i kHz F=7/2 - F’=9/2 7/2 1 130 650 9/2 1 130 400 F=9/2 - F’=11/2 9/2 1 463 100 11/2 1 463 300 F=7/2 - F’=11/2 9/2 2 593 500 Référence [111] kHz (800) 1 130 260 (20) (600) (600) 1 463 150 (20) (600) (600) 2 593 410 (20) Tab. 5.4 – Comparaison des valeurs de fréquence de l’écart de structure hyperfine entre les états |3 P1 ,F1 i et |3 P1 ,F2 i obtenues dans notre expérience via le niveau |3 S1 ,F’i par rapport aux valeurs de la référence [111]. effectuer ces mesures, nous avons procédé en deux étapes. Dans un premier temps, un déplacement lumineux est induit sur la transition 3 P1 -3 S1 par le laser à 679 nm qui est proche de la résonance 3 P0 -3 S1 (voir figure 5.17(b)). Cette méthode nous a permis de déterminer la fréquence de la transition 3 P0 -3 S1 à mieux que 1 MHz. Dans un deuxième temps, nous avons utilisé le piégeage cohérent de population (CPT pour Coherent Population Trapping) [115, 116] dans le système Λ formé par les niveaux {3 P0 ,3 P1 ,3 S1 } pour une mesure directe de l’écart de structure fine entre les états 3 P0 -3 P1 avec une incertitude de 50 kHz. Cette seconde étape ne peut être réalisée qu’avec le fermion 87 Sr. 130 5.3. MESURE INDIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 S 3 1 D 2 (P M O ) 1 n m 6 8 8 n m 6 7 9 P 1 (a ) 1 2 3 1 P 4 6 1 n m 0 S 1 3 D 0 (b ) S D 6 7 9 G G 6 7 9 3 1 = 1 .1 x 1 0 7 s 6 8 8 = 3 .3 x 1 0 7 s 3 P D 6 7 9 = 1 .1 x 1 0 7 s 6 8 8 = 3 .3 x 1 0 7 s -1 -1 3 1 3 0 6 8 8 6 7 9 G G P 1 -1 -1 3 (c ) S P P 1 0 Fig. 5.17 – Niveaux atomiques intervenant dans la mesure de la transition 3 P0 -3 S1 . En (b), principe de la mesure de fréquence la transition pour le 88 Sr grâce au déplacement lumineux induit par le laser à 679 nm qui n’est pas à résonance. En (c) principe de la même mesure pour le fermion 87 Sr grâce au piégeage cohérent de population. 131 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM Le dispositif expérimental Le schéma 5.18 illustre le principe de la mesure de ces transitions : on utilise les deux jeux de lasers {laser ultra-stable ; laser sonde} à 688 nm et 679 nm. Les deux lasers ultra-stables à 688 nm et 679 nm sont asservis par la technique de Pound Drever Hall sur deux modes de la même cavité SC. Au niveau du PMO, le rayon des deux lasers sonde à 688 nm et à 679 nm est de w688 = 0.9 mm et de w679 = 1.3 mm respectivement. La fréquence des lasers ultra-stables est mesurée en alternance par le laser femtoseconde : il existe une relation qui nous permet de passer d’une fréquence à une autre, nous pouvons ainsi déduire la fréquence de l’un en connaissant l’autre avec une résolution meilleure que le kHz : ν688 (t) = ν679 (t) − νISL (t)[n679 − n688 ] (5.9) où νi est la fréquence du laser i, ni est le mode de la cavité sur lequel le laser i est asservi (i pour 679 nm et 688 nm) et νISL est l’intervalle spectral libre de la cavité. On a pu de cette façon en déduire la valeur moyenne de l’intervalle spectral libre de la cavite SC (voir chapitre 3) et en remplaçant νISL (t) par sa valeur moyenne dans l’équation 5.9, l’erreur maximale induite sur la valeur de la fréquence des lasers est de 500 Hz. Mesure de la fréquence de la transition 3 P0 -3 S1 Les mesures du déplacement lumineux sont représentées sur les figures 5.19 (a) et (b). Le laser à 679 nm induit un déplacement lumineux de l’état 3 S1 dépendant de sa fréquence : ce déplacement lumineux se déduit des mesures de la transition 3 P0 -3 S1 avec le laser à 688 nm. Ce dernier est asservi sur la résonance de la transition 3 P1 -3 S1 . On balaie la fréquence du laser sonde à 679 nm : lorsque celui-ci n’est pas résonnant avec la transition 3 P0 -3 S1 , il induit un déplacement lumineux qui se traduit par un décalage en énergie de l’état 3 S1 . On observe alors un décalage de fréquence de la transition 3 P1 -3 S1 (voir figure 5.19). La fréquence de la transition 3 P0 -3 S1 correspond au centre de symétrie de la courbe représentant le déplacement lumineux. Pour que le signal détecté soit aussi large que possible, la totalité de la puissance du laser à 679 nm disponible est utilisée, soit 2.4 mW en configuration d’onde stationnaire au niveau du PMO. L’intensité du laser à 688 nm est de l’ordre de 0.2 mW.cm−2 afin de minimiser le nombre d’atomes excités qui seraient loin du centre du piège. On constate que la valeur du déplacement lumineux mesurée expérimentalement est dix fois plus petite que sa valeur théorique déduite d’un modèle simple d’atome à deux niveaux en supposant que la largeur naturelle de la transition est Γ⋆ = Γ679 + Γ688 + 132 5.3. MESURE INDIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 L a s e r u ltr a - s ta b le 6 8 8 n m A s s e r v is s e m e n t d e P o u n d - D r e v e r - H a ll P D A L C E 6 8 8 n m C a v ité F a b ry -P é ro t M E O IO s é p a r a tr ic e (6 0 M H z ) 6 7 9 n m 6 8 8 n m P D A L C E 6 7 9 n m A s s e r v is s e m e n t d e P o u n d - D r e v e r - H a ll L a s e r u ltr a - s ta b le 6 7 9 n m 6 8 8 n m + 6 7 9 n m L a s e r s o n d e 6 8 8 n m 6 8 8 n m L a s e r F e m to s e c o n d e E s c la v e 6 8 8 n mP M O l /4 6 7 9 n m M A O S y n th é tis e u r R F P M O 6 8 8 n m + 6 7 9 n m 4 6 1 n m O r d in a te u r V e r r o u illa g e d e p h a s e L C E 6 7 9 n m S y n th é tis e u r R F L a s e r s o n d e 6 7 9 n m Fig. 5.18 – Principe de la mesure de la transition. Une centaine de µW des faisceaux lasers ultra-stables est envoyée vers le laser femtoseconde grâce à la même fibre optique : les faisceaux ont des polarisations croisées. Les lasers sonde à 688 nm et 679 nm sont verrouillés en phase respectivement sur les lasers ultra-stables à 688 nm et 679 nm. Le laser sonde à 688 nm injecte optiquement une diode laser esclave dont le faisceau est envoyé vers le PMO. 133 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM Γ707 = 2π × 15.9 MHz et la fréquence de Rabi est Ω/2π = 16.3 MHz. Pour le 88 Sr, l’incertitude statistique de la mesure de la fréquence est 400 kHz à laquelle on ajoute 500 kHz d’incertitude dû à l’effet Zeeman, ce qui nous donne une fréquence de : 88 Sr :ν3 P0 −3 S1 = 441 332 751.3 (0.7) MHz (5.10) Le déplacement lumineux a également été mesuré pour la transition (F = 9/2 − F ′ = 11/2) pour le 87 Sr mais la résolution atteint les 50 kHz avec la méthode de piègeage cohérent de population. Mesure de la fréquence de la transition 3 P0 -3 S1 pour le 87 Sr Les trois niveaux 3 P0 , 3 P1 et 3 S1 , couplés par les lasers à 679 nm et 688 nm, forment un système en configuration Λ (voir figure 5.17 (c)). Ce système peut-être étudié dans le cadre de l’atome habillé [55]. Lorsque la différence de fréquence entre les deux lasers à 688 nm et 679 nm concorde avec l’écart de structure fine 3 P0 -3 P1 , on démontre qu’il existe une superposition linéaire ΨN C des états 3 P0 et 3 P1 qui n’est pas couplée à 3 S1 . En effet, dans la base propre du système, les états propres orthogonaux notés ΨC , ΨN C s’écrivent comme une combinaison linéaire des états 3 P0 et 3 P1 . Lorsque les atomes se désexcitent de l’état 1 D2 , ils sont projetés soit sur ΨC soit sur ΨN C . Les atomes dans l’état ΨC sont essentiellement pompés vers l’état 3 P2 et sont définitivement perdus pour le PMO. Les atomes projetés sur l’état noir ΨN C peuvent se désexciter vers le niveau 1 S0 et réintégrer le cycle de refroidissement et ce, grâce à l’instabilité de l’état 3 P1 . La fluorescence du PMO est mesurée lorsque la fréquence du laser à 688 nm est balayée autour de la résonance 3 P1 , F=9/2-3 S1 , F=11/2 du 87 Sr et cette fluorescence est représentée sur la figure 5.20 : En (a), le laser à 688 nm seul est envoyé sur les atomes du PMO, on observe un diminution de la fluorescence comme cela a été expliqué dans les paragraphes précédents. En (b), le laser à 679 nm est également envoyé sur les atomes, simultanément avec le laser à 688 nm, et est exactement à résonance avec la transition 3 P0 , F=9/2-3 S1 , F=11/2 : on observe un pic de fluorescence correspondant à la résonance du piégeage cohérent de population exactement centré sur la courbe obtenue quand le laser à 688 nm seul interagit avec les atomes. Ce pic est dû aux atomes qui sont projetés sur l’état noir ΨN C et retrouvent le processus de piégeage via l’état fondamental. Quand le désaccord ∆679 augmente, le pic de fluorescence s’éloigne du minimum de la courbe obtenue en (a) et typiquement au delà de 20 MHz, la résonance du piégeage cohérent de population change de signe : on détecte alors majoritairement les atomes dans l’état ΨC qui sont pompés 134 5.3. MESURE INDIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 Fig. 5.19 – Mesure du déplacement lumineux sur la transition 3 P1 -3 S1 induit par le laser à 679 nm en fonction du décalage en fréquence de ce dernier par rapport à la résonance de la transition 3 P0 -3 S1 . Le zéro sur l’axe vertical correspond à la fréquence de la transition 3 P1 -3 S1 mesurée en l’absence de laser à 679 nm. L’intensité du laser à 679 nm est de 180 mW.cm−2 et celle du laser à 688 nm est de 0.2 mW.cm−2 . Les courbes en pointillés représentent le déplacement lumineux théorique calculé pour un atome à deux niveaux avec une transition de largeur naturelle Γ⋆ = 2π × 15.9 MHz et une fréquence de Rabi de Ω679 = 2π × 16.3 MHz. 135 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM optiquement vers l’état 3 P2 , ce qui accroı̂t les pertes dans le PMO (figures 5.20 (e) et (f)). Grâce à cette méthode on peut mesurer directement l’écart de structure fine 3 P0 , F=9/2-3 P1 , F’=9/2. Trois mesures ont été effectuées avec les différents niveaux hyperfins de l’état 3 S1 . Pour le boson 88 Sr et pour les autres états hyperfins du niveau 3 P1 du 87 Sr, les résonances du piégeage cohérent de population sont brouillées à cause de la grande sensibilité de ces états au champ magnétique (voir tableau 5.2). Au vu des facteurs de Landé des états |3 P1 , F = 9/2i et |3 P0 , F = 9/2i, on peut s’attendre à ce que l’effet Zeeman soit beaucoup plus faible que dans le cas de la mesure de la fréquence 3 P1 -3 S1 , ce qui a été vérifié expérimentalement : on attribue ainsi une incertitude de 50 kHz à la mesure de l’écart de structure fine en fréquence : νStructure Fine (F = 9/2 − F ′ = 9/2) = 5 601 338 670 (50) kHz (5.11) La figure 5.21 donne différentes valeurs moyennes des fréquences de l’écart de structure fine selon les états hyperfins intermédiaires du niveau 3 S1 , F = 7/2, F = 9/2 ou F = 11/2. Ces mesures sont réalisées grâce à trois asservissements numériques qui sont utilisés pour verrouiller les lasers sur les transitions atomiques : un asservissement A verrouille le laser à 688 nm sur la transition 3 P1 -3 S1 en alternant les mesures de fluorescence aux fréquences AI et AII (voir figure 5.21(a)). Le laser à 688 nm est également asservi sur le pic de fluorescence du piégeage cohérent de population grâce à un asservissement B aux fréquences B1 et B2 . Le dernier asservissement, C, contrôle la fréquence du laser à 679 nm de sorte que les fréquences délivrées par les asservissements A et B soient égales. La fréquence de l’écart de structure fine se déduit des valeurs moyennes des fréquences délivrées par les asservissements A et C avec une résolution de 10 kHz. Les deux lasers étant asservis à résonance sur les transitions atomiques, on peut s’affranchir de cette façon de l’effet du déplacement lumineux sur les mesures de fréquence. En revanche, l’effet Zeeman limite la résolution de la mesure et peut être minimisé à condition de n’exciter que les atomes se trouvant dans la région proche du centre du piège et avec la bonne polarisation Lin 1. L’incertitude sur la mesure attribuée à un tel effet est de 50 kHz. Le tableau 5.5 donnent toutes les mesures de fréquences de la transition 3 P0 -3 S1 pour le 88 Sr et le 87 Sr. Le décalage isotopique du niveau 3 P0 par rapport au niveau fondamental est déduit de ces mesures et vaut : ∆87,88 [3 P0 ] = 62.9 (1.3) MHz 136 (5.12) 5.3. MESURE INDIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 Fig. 5.20 – Fluorescence induite par les faisceaux du PMO. En (a) lorsque seul le laser à 688 nm interagit avec les atomes on retrouve la courbe déjà présentée par la figure 5.14. En (b), quand le laser à 679 nm est résonnant avec la transition atomique, on retrouve l’effet du piégeage coherent de population par un pic de fluorescence centré sur la courbe rapportée en (a). La largeur du pic de piégeage cohérent de population est de 3 MHz. Les autres courbes sont obtenues pour différents désaccords du laser à 679 nm. Les intensités lasers sont I688 = 1.3mW.cm−2 et I679 = 130mW.cm−2 pour les lasers à 688 nm et à 6798 nm respectivement. 137 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM Fig. 5.21 – En (a), bilan des mesures de fréquences de l’écart de structure fine via les différents états hyperfins du niveau 3 S1 . Deux séries de mesures, via l’état F = 11/2 ont été également rapportées. En (b), asservissement des lasers à 688 nm et 679 nm sur les transitions atomiques grâce aux mesures de fluorescence aux fréquences AI et AII , et B1 et B2 respectivement. 138 5.4. MESURE DIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 3 88 Sr 87 Sr P0 − 3 S1 J=0 -J’=1 F=9/2-F’=7/2 F=9/2-F’=9/2 F=9/2-F’=11/2 fréquence (MHz) 441 332 751.3 (7) 441 335 740.42 (35) 441 333 301.37 (35) 441 330 320.27 (35) (a) (b) (b) (b) Tab. 5.5 – Bilan des mesures de fréquences de la transition 3 P0 -3 S1 . (a) désigne la fréquence mesurée directement avec la méthode du déplacement lumineux et (b) désigne les fréquences des transitions déduites à partir des mesures de l’écart de structure fine et des fréquences de 3 P1 -3 S1 du 87 Sr. 5.3.4 Conclusion Dans les paragraphes précédents, nous avons mesuré toutes les fréquences de toutes les transitions 1 S0 -3 P1 à 689 nm, 3 P1 -3 S1 à 688 nm et 3 P0 -3 S1 à 679 nm, à la fois pour le boson 88 Sr et pour le fermion 87 Sr. A partir de ces valeurs, on trouve la fréquence de la transition 1 S0 -3 P0 pour le 87 Sr : νindirecte = 429 228 004 340 (70) kHz (5.13) L’incertitude de 70 kHz est déduite de la somme quadratique des incertitudes des mesures. 5.4 Mesure directe de la transition 1S0-3P0 Rappelons que la largeur de la transition est de 1 mHz et par conséquent elle peut être difficile à détecter avec des atomes dont la température est de 2 mK. La mesure directe de fréquence de la transition d’horloge consiste à introduire des pertes dans le PMO. Ces pertes sont dues à l’accumulation d’atomes dans l’état 3 P0 grâce au laser sonde à 698 nm. Cependant, la détection d’un faible nombre d’atomes dans cet état peut s’avérer complexe en raison de l’absence de transition cyclante à partir du 3 P0 . La transition 1 S0 -3 P0 est donc détectée grâce à la diminution de fluorescence du PMO à 461 nm induite par ces pertes. La puissance du laser à 698 nm est la plus élevée possible, soit 14 mW, afin d’exciter le plus grand nombre d’atomes. Le faisceau laser est envoyée quatre fois dans le PMO selon la configuration de deux ondes stationnaires formant entre elles un angle de 5◦ et un angle de 45◦ par rapport à l’axe vertical du PMO (voir figure 5.22). Le rayon des faisceaux est de 1.3 mm. En tenant compte de ces paramètres, on en déduit l’élargissement de la résonance par saturation de 1.8 kHz. L’élargissement 139 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM g 4 5 ° M 1 P M O 4 6 1 n m M O r d in a te u r 2 6 9 8 n m L a s e r E s c l a vP eM O M A O IO d ia p h r a g m e L a s e r S o n d e IO V e r r o u illa g e d e p h a s e s u r le la s e r u ltr a - s ta b le S y n th é tis e u r R F Fig. 5.22 – Montage expérimental pour mesurer la fréquence de la transition d’horloge. Le modulateur acousto-optique désigné par MAO est utilisé pour permettre de couper rapidement le faisceau sonde avec un temps de coupure inférieur à 1 µs. Doppler est, quant à lui, de 1.5 MHz au vu de la température des atomes dans le PMO. De cette façon, on s’attend à n’exciter qu’une fraction de 10−3 des atomes piégés lorsque le laser est à résonance. On peut contourner ce problème grâce à la dynamique du PMO qui peut conduire à une augmentation du taux de transfert des atomes vers l’état 3 P0 . Avec les paramètres donnés précédemment, la durée d’une impulsion laser π est de 0.5 ms soit cent fois plus petite que la durée de vie des atomes dans le piège. Il est donc possible de multiplier par un même facteur cent la fraction des atomes excités si l’on peut les accumuler dans l’état 3 P0 et ainsi obtenir des pertes de quelques %. Pour ce faire, il est nécessaire de maintenir le taux de transfert constant des atomes entre le niveau fondamental et l’état 3 P0 . Ce n’est a priori pas le cas car le laser crée un trou dans la distribution de vitesse des atomes dans l’état foncdamental (voir figure 5.23). De plus, les atomes doivent pouvoir s’échapper du processus de piégeage si nous voulons détecter une diminution de la fluorescence du PMO : si les atomes restent résonnants avec le laser, ils retombent dans le niveau fondamental par émission stimulée. La solution retenue pour bénéficier de ces deux conditions (taux de transfert constant et pertes dans le PMO) est d’utiliser l’effet Doppler induit par 140 5.4. MESURE DIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 v (3P 0) 6 9 8 n m v (1S 0) Fig. 5.23 – Lorsque les atomes sont maintenus à résonance avec le laser, ils retombent dans le niveau fondamental (flèche rouge en pointillé). Le taux de transfert des atomes vers le niveau 3 P0 n’est pas constant du fait du creux crée par le laser dans la distribution de vitesse. En revanche sous l’effet de la gravité, le laser explore toute la distribution de vitesse et amène en permanence des atomes à résonance ce qui assure un taux de transfert constant. l’accélération des atomes par la gravité. Pour cela, nous effectuons une interrogation séquentielle grâce à des modulateurs acousto-optiques qui vont nous permettre d’alterner les phases de capture et refroidissement avec les lasers à 461 nm et les phases d’interrogation avec le laser à 698 nm. Pendant ces phases d’interrogation, les atomes tombent librement. A cause de l’angle entre le faisceau laser et l’axe vertical de 45◦ , le décalage en fréquence induit par la gravité est de 10 kHz.ms−1 : les atomes dans l’état fondamental peuvent ainsi être amenés en permanence à résonance avec le laser ce qui assure un taux de transfert constant et les atomes dans l’état 3 P0 sont décalés hors résonance et donc perdus pour le PMO. Soulignons un autre intérêt de cette interrogation séquentielle : elle permet de nous affranchir des effets des déplacements lumineux sur l’état fondamental par les faisceaux du PMO pendant l’interrogation des atomes. Les pertes induites dans le piège ont été modélisées de façon simple. La probabilité de transition a été calculée pour un atome à deux niveaux sondé par deux faisceaux contra-propageants de 28 mW chacun. Les équations de Bloch optiques ont été résolues pour un décalage par rapport à la résonance → dépendant du temps ∆(t). La vitesse initiale de l’atome est notée − v0 . En − → tenant compte de l’accélération g , on a donc : 1 ∆(t) = ∆0 ± √ kgt 2 141 (5.14) CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM − →→ avec ∆0 = δ ± k .− v , δ étant le désaccord du laser dans le référentiel du − →→ − → 0 g t vaut laboratoire et k , le vecteur d’onde du laser. La quantité √12 k .− −1 2π × 10 kHz.ms et le signe ± dépend de la direction du faisceau laser qui interagit avec les atomes. Les interférences entre les deux faisceaux contrapropageants sont négligées dans la mesure où |δ| > 10Ω, Ω étant la fréquence angulaire de Rabi, puisque ces deux faisceaux sondent des classes de vitesse atomique différentes. Les probabilités de transitions ont été tracées pour différentes valeurs de ∆0 en considérant la direction de propagation du laser correspondant au signe moins (voir figure 5.24). Lorsque les atomes décalés vers le bleu (i.e pour ∆0 > 0) sont amenés à résonance sous l’effet de la gravité, la probabilité de transition augmente rapidement et se stabilise ensuite autour d’une valeur relativement élevée comme, par exemple, 0.56 pour ∆0 = 5Ω. Sont également représentées sur le graphe 5.24 en pointillés, les probabilités de transition que l’on obtiendrait si l’on ne tenait pas compte de la gravité. La figure 5.25 représente les pertes dans le PMO. La courbe donnent les pertes calculées en fonction du temps d’interaction entre le laser sonde et les atomes pour différentes accélérations. Lorsque la gravité n’est pas prise en compte, les pertes se stabilisent rapidement autour de 0. 16% du nombre d’atomes piégés. Dans le cas contraire, les pertes augmentent avec le temps d’interaction, de plus en plus d’atomes sont amenés à résonance grâce à l’effet de la gravité. La séquence temporelle consiste à refroidir et piéger les atomes pendant 3 ms, puis à sonder les atomes pendant 1 ms avec le laser à 698 nm. Elle a été optimisée pour réaliser un compromis entre l’efficacité de capture du piège, l’expansion ballistique du nuage atomique pendant les phases d’interrogation et l’efficacité du transfert des atomes vers l’état 3 P0 . D’après le modèle, et avec une durée de vie du PMO de 40 ms, le contraste attendu de la résonance est de 6%. La résonance mesurée expérimentalement est montrée sur le graphe 5.26. Le contraste est de 1%, soit six fois plus faible que celui calculé numériquement. Cela est peut-être dû au fait que l’angle entre les deux paires de faisceaux contra-propageants a été négligé ce qui pourrait conduire à une sur-estimation des pertes d’un facteur 2. De plus, nous n’avons pas tenu compte de l’expansion ballistique du nuage dans le modèle ce qui induit une dépendance temporelle de la fréquence de Rabi. 142 5.4. MESURE DIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 Fig. 5.24 – Probabilités de transition en fonction du temps d’interaction pour différentes valeurs de ∆0 à t=0. La fréquence de Rabi Ω/2π est prise égale à 920 Hz. 143 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM Fig. 5.25 – Pertes calculées dans le PMO en fonction du temps d’interaction pour différentes valeurs de l’accélérations subies par les atomes lorsque les faisceaux piège et Zeeman sont coupés. 144 5.4. MESURE DIRECTE DE LA TRANSITION 1 S0 -3 P0 Fig. 5.26 – (a) Profil de la transition 1 S0 -3 P0 observée dans le PMO. (b) Ecart-type d’Allan en valeure relative de la fréquence du laser asservi sur la transition d’horloge. 145 CHAPITRE 5. MESURE DE LA TRANSITION FORTEMENT INTERDITE 1 S0 →3 P0 DU STRONTIUM Pour mesurer la fréquence de la transition, le laser est asservi numériquement sur les atomes. La séquence temporelle est pilotée par ordinateur. La figure 5.26 (a) donne le profil √ de la transition élargie par effet Doppler (680 kHz de demi largeur à 1/ e). Le niveau maximal de fluorescence correspond à 3 × 106 atomes. Chaque point correspond à 100 ms de mesure. La résolution estimée sur le temps total de la mesure (soit 5500s) est de 3.7 × 10−11 en valeur relative ce qui correspond à 15 kHz (voir figure 5.26 (b)) : ν(1 S0 −3 P0 ) = 429 228 004 230 (15) kHz (5.15) Les effets systématiques sont, à ce niveau, négligeables. L’effet Doppler résiduel est inférieur au kHz grâce à l’interrogation des atomes selon une configuration des lasers en ondes stationnaires. L’effet Zeeman est également inférieur au kHz en dépit du gradient de champ magnétique dans le PMO : en effet, les facteurs de Landé du niveau fondamental et du niveau 3 P0 sont très petits (voir tableau 5.2). Le profil Doppler est cependant décalé de la résonance atomique d’une quantité égale à la fréquence de recul [117] soit de 4.7 kHz qui a été prise en compte dans la valeur donnée dans 5.15. Cette valeur est en bon accord avec celle obtenue par mesure indirecte de la fréquence de la transition. 5.5 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons exposé différentes mesures de fréquence des transitions 1 S0 -3 P1 à 689 nm, 3 P1 -3 S1 à 688 nm et 3 P0 -3 S1 à 679 nm, des isotopes l’atome de strontium 87 Sr et 88 Sr, qui nous ont conduit à l’estimation d’une valeur de la fréquence de la transition d’horloge avec une incertitude de 70 kHz. Grâce à ces mesures préliminaires, nous avons pu observer et mesurer directement la fréquence de la transition d’horloge avec une incertitude de 15 kHz. 146 Annexe A Compléments du chapitre 2 Nous présentons dans cette annexe l’effet Dick calculé dans le cas du laser de VIRGO et du laser limité par l’effet thermique de la cavité PF sur laquelle il est asservi, pour des interrogations de type Ramsey-Bordé, Ramsey et Rabi. Nous rappelons que les deux derniers types d’interrogations, les atomes interrogés sont piégés dans un piège dipolaire, de sorte que l’on puisse se placer dans le cas du régime de Lamb-Dicke. VIRGO est un interféromètre à laser qui est utilisé pour détecter des ondes gravitationnelles (voir les références [76,118] pour une étude détaillée de VIRGO). Le spectre de bruit de fréquence du laser est représenté sur la figure II.2.7(b). Pour les basses fréquences, c’est-à-dire, jusqu’à 500 Hz, le bruit obtenu correspond à l’effet Doppler entre les deux cavités PF qui ont été utilisées pour mesurer ce spectre (une méthode similaire employée dans notre expérience est décrite dans le chapitre 3). Au delà, le bruit correspond à des dérives lentes de la longueur de la cavité [76]. Le bruit de fréquence du laser utilisé pour VIRGO est proche du bruit thermique comme nous pouvons le constater avec les courbes (b) et (c) du graphe II.2.7. Le bruit thermique est le bruit ultime d’un laser asservi sur une cavité Fabry-Perot sous certaines conditions données au chapitre 3. La stabilité en fréquence du laser est en effet liée à la stabilité de la longueur optique de la cavité et des fluctuations thermiques résiduelles entrainent une fluctuation de cette longueur. Cette limite fondamentale a été estimée par K. Numata et al. [81] et est de l’ordre de Sf = 10−2 ×(1Hz/f ) Hz2 /Hz. 147 ANNEXE A. COMPLÉMENTS DU CHAPITRE 2 A.1 A.1.1 Interrogation de Ramsey-Bordé Effet Dick évalué en fonction de la fréquence de cycle et du rapport cyclique Comme dans le cas du laser de l’expérience Sr présenté dans le chapitre 2, l’effet Dick a été calculé ici en fonction des couples {d, fc } où fc est la fréquence de cycle de l’horloge et d est le rapport cyclique défini ici comme : d=2 2τp + T Tc (A.1) Les résultats sont présentés sur le graphe A.1. De la même façon que dans le cahpitre 2, on constate que la stabilité est meilleure pour des fréquences de cycle élevées et des rapports cycliques proches de 1. Pour le laser de VIRGO, la variance d’Allan associée à une fréquence de cycle de 60 Hz est plus élevée que celle associée à fc =30 Hz : dans le spectre de bruit du laser on observe un pic de bruit à cette fréquence dominant le niveau de bruit à 30 Hz. Pour ces deux derniers lasers, les écarts-types d’Allan liés à l’effet Dick sont du même ordre de grandeur que ceux décrivant le bruit de projection quantique σBP Q dont l’expression est donnée par : 2 √ σBP Q (τ ) = πQ N r 1 fc τ (A.2) où Q est la facteur de qualité atomique et N est le nombre d’atomes participant au signal. A.1.2 Effet Dick calculé en fonction du temps mort et de la fréquence de cycle fc Rappelons les hypothèses de calcul : la fréquence de cycle et la durée du temps mort sont fixées. Pour simplifier la discussion, nous avons pris comme durée d’une impulsion laser τp = T2m . Pour le laser VIRGO et le laser limité par le bruit thermique, les écarts-types d’Allan liés à l’effet Dick et les rapports S/B sont représentés sur le graphe A.1. D’après ces graphes, on constate que les valeurs des rapports S/B sont plus contraignantes pour l’expérience Sr, nécessitant par exemple nombre d’atomes participant au signal de l’ordre de 105 − 106 pour Tm < 10 ms. 148 A.1. INTERROGATION DE RAMSEY-BORDÉ Fig. A.1 – Variance d’Allan liée à l’effet Dick pour une interrogation de Ramsey-Bordé en fonction de d et fc pour le laser utilisé dans l’expérience VIRGO et un laser limité par le bruit thermique. 149 ANNEXE A. COMPLÉMENTS DU CHAPITRE 2 Fig. A.2 – Rapport S/B en (a) et variance d’Allan associée à l’effet Dick en (b) dans le cas d’une interrogation de Ramsey-Bordé pour le laser utilisé dans le projet VIRGO et pour le laser limité par le bruit thermique. 150 A.2. INTERROGATION DE RAMSEY A.2 A.2.1 Interrogation de Ramsey Effet Dick calculé en fonction du rapport cyclique d et de la fréquence de cycle fc Les résultats sont présentés dans les graphes A.3. Comme dans le cas d’une interrogation de Ramsey-Bordé, la stabilité liée à l’effet Dick pour de tels lasers est du même ordre de grandeur que la stabilité associée au bruit de projection quantique. A.2.2 Effet Dick calculé en fonction du temps mort et de la fréquence de cycle fc Les variances d’Allan et les rapports signal à bruit S/B sont représentés sur les graphes A.4 (b) et (a) respectivement. Pour le laser limité par le bruit thermique, les rapports S/B sont très élevés : S/B > 100 pour des temps morts inférieurs à 10 ms ce qui devient contraignant pour le nombre d’atomes à capturer dans le piège dipolaire (N > 104 atomes). On voit très clairement sur le graphe A.4(a) correspondant au laser limité par le bruit thermique qu’on peut gagner un facteur 5 sur la stabilité en passant d’une fréquence de cycle de 100 Hz à 10 Hz pour un même temps mort. A.3 Interrogation de Rabi Que la stabilité liée à l’effet Dick soit calculée en fonction du couple de paramètres {d, fc } (voir figure A.5) ou du couple {fc , Tm } (voir figure A.6), elle est plus petite d’au moins un ordre de grandeur dans le cas d’une interrogation de Rabi par rapport à une interrogation de Ramsey. La variance d’Allan varie très peu en fonction de d ou de Tm . Le seul paramètre intéressant sur lequel on peut jouer pour obtenir des stabilités intéressantes est la fréquence de cycle, en tenant compte, bien-sûr, du spectre de bruit en fréquence de l’OL d’interrogation. 151 ANNEXE A. COMPLÉMENTS DU CHAPITRE 2 Fig. A.3 – Variance d’Allan liée à l’effet Dick des lasers de l’expérience VIRGO et limité par le bruit thermique respectivement pour une interrogation Ramsey. 152 A.3. INTERROGATION DE RABI Fig. A.4 – Rapport S/B en (a) et variance d’Allan liée à l’effet Dick en (b), pour une interrogation de Ramsey, des lasers VIRGO et limité par le bruit thermique respectivement. 153 ANNEXE A. COMPLÉMENTS DU CHAPITRE 2 Fig. A.5 – Variance d’Allan liée à l’effet Dick pour une impulsion Rabi dans le cas du laser de VIRGO et du laser limité par le bruit thermique. 154 A.3. INTERROGATION DE RABI Fig. A.6 – Rapport S/B en (a) et variance d’Allan liée à l’effet Dick en (b) pour une impulsion Rabi dans le cas du laser de VIRGO et du laser limité par le bruit thermique. 155 ANNEXE A. COMPLÉMENTS DU CHAPITRE 2 156 Annexe B Compléments du chapitre 3 B.1 B.1.1 Rappels sur l’interféromètre Fabry-Perot Présentation Soit une cavité Fabry-Perot constituée de deux miroirs, séparés par la distance L. Une cavité Fabry-Perot (que nous appellerons PF par la suite) est caractérisée par deux paramètres principaux qui sont l’intervalle spectral libre et la finesse. L’intervalle spectral libre est défini par la relation : νISL = c 2L (B.1) pour un milieu d’indice 1. Son inverse 1/νISL traduit le temps mis par la lumière pour faire un aller-retour dans la cavité. La finesse, quant à elle, dépend uniquement des coefficients de réflection des miroirs constituant la cavité. Pour des miroirs possédant les mêmes coefficients de réflexion en intensité R, nous avons : √ R F =π (B.2) 1−R ou encore : √ r1 r2 F =π (B.3) 1 − r1 r2 pour des miroirs ayant des coefficients de réflexion en amplitude différents, r1 et r2 . En connaissant la finesse et l’intervalle spectral libre de la cavité, on peut déduire la largeur d’un pic de résonance du PF, δν : δν = νISL F 157 (B.4) ANNEXE B. COMPLÉMENTS DU CHAPITRE 3 R e v ê te m e n t ré flé c h is s a n t M iro ir E E E i r E E 1 2 E t 3 Fig. B.1 – Cavité Fabry-Perot et les champs incident, réfléchi et transmis par celle-ci. B.1.2 Calcul du champ transmis par la cavité et Fonction d’Airy Considérons une cavité PF présentée sur la figure B.1 : les coefficicents de réflexion en amplitude pour chacun des miroirs sont supposés égaux et valent r. De la même façon, les coefficients de transmission en amplitude sont notés t. Les pertes ne sont pas prises en compte dans notre étude. On utilise la convention suivante pour le calcul des champs électromagnétiques transmis et réfléchis par la cavité : si le faisceau lumineux se réfléchit sur la surface réfléchissante du miroir (i.e avec le revêtement), alors r est pris positif. Dans le cas contraire, r est négatif. On note le temps d’un aller retour de la lumière dans la cavité, τ . Soit une onde électromagnétique plane incidente Ei se propageant selon l’axe de révolution du PF. On a alors :   E1 (t) = tEi (t) + r2 E1 (t − τ )    τ   E2 (t) = E1 (t − 2 ) (B.5) E3 (t) = rE2 (t − τ2 )    Et (t) = tE2 (t)    E (t) = −rE (t) + trE (t − τ ) r i 1 Sous ces conditions, les champs transmis et réfléchi par la cavité peuvent se mettre sous la forme [83] :  P∞ 2n (2n+1) 2  τ) Et (t) = t n=0 r Ei (t − 2 (B.6)  P  ∞ Er (t) = r[−Ei (t) + t2 n=0 r2n Ei (t − (n + 1)τ )] 158 B.1. RAPPELS SUR L’INTERFÉROMÈTRE FABRY-PEROT ce qui est l’expression d’un produit de convolution entre le champ incident et une fonction caractérisant la transmission ou la réflexion : ( Et (t) = Γt (t) ∗ Ei (t) (B.7) Er (t) = Γr (t) ∗ Ei (t) avec Γt et Γr ayant pour expression :  P∞ 2 2n  Γt (t) = t n=0 (r δ(t − (2n+1) τ )) 2  P  2n Γr (t) = r[−δ(t) + t2 ∞ n=0 (r δ(t − (n + 1)τ ))] (B.8) avec δ la fonction de Dirac. En prenant la transformée de Fourier du produit de convolution, on en déduit les expressions des transformées de Fourier Γ̃t (̟) et Γ˜r (̟) qui sont :  t2 e  Γt (̟) = 1−r2 e−ı̟τ (B.9)  e e−ı̟τ −1 Γr (̟) = r[ 1−r2 e−ı̟τ ] En calculant l’intensité transmise par la cavité donnée par It = Et Et , on obtient la fonction d’Airy A(ωL τ ) représentée sur le graphe B.2 : It = I0 ( B.1.3 t2 2 1 t2 2 ) A(ω τ ) = I ( ) L 0 2 2 2 r 1−r 1 − r 1 + 4 (1−r2 )2 sin2 (ωL τ ) (B.10) Fonction de transfert du PF Fonction de transfert en réflexion : La fonction de transfert du PF pour le champ réflechi traduit la réponse de la cavité, soit l’intensité réfléchie mesurée, à une perturbation de la source lumineuse, à savoir la phase du champ laser incident. En reprenant les calculs de la thèse de Y. Bidel [83], on pose Ei (t) = E0 eı(ωL t+ϕ(t)) où E0 est supposé réél. L’intensité réfléchie par la cavité se met sous la forme : Z Z ′ ′′ ′ ′′ 2 Ir (t) = E0 Γr (t′ )Γr (t′′ )e−ıωL t e−ıωL t eı[ϕ(t−t )−ϕ(t−t )] dt′ dt′′ (B.11) On suppose que le temps de cohérence du laser est très grand devant τ , ce qui nous permet d’effectuer le développement limité au premier ordre de ′ ′′ eı[ϕ(t−t )−ϕ(t−t )] et sous ces conditions, Ir (t) se décompose suivant un terme 159 ANNEXE B. COMPLÉMENTS DU CHAPITRE 3 Fig. B.2 – Fonction d’Airy pour la cavité PF. 160 B.1. RAPPELS SUR L’INTERFÉROMÈTRE FABRY-PEROT Fig. B.3 – Phase en (a) et module en (b) de la réflectivité Γr (ω). 161 ANNEXE B. COMPLÉMENTS DU CHAPITRE 3 correspondant à l’intensité transmise pour une onde plane monochromatique et suivant un deuxième terme qui traduit les fluctuations d’intensité δIr (t) : Z ′ 2 e δIr (t) = ıE0 [Γr (ωL ) Γr (t′ )e−ıωL t ϕ(t − t′ )dt′ Z (B.12) ıωL t′ ′ ′ ′ e − Γr (ωL ) Γr (t )e ϕ(t − t )dt ] On prend la transformée de Fourier de l’expression B.12 et on exprime ϕ(̟) e 1 e en fonction de la fréquence instantanée Ω telle que ϕ(̟) e = −ı ̟ Ω(̟). On obtient alors : fr (̟) δI = Hcavite (̟) (B.13) e Ω(̟) où Hcavite est la fonction de transfert du PF : Hcavite (̟) = E02 Γer (ωL )Γer (ωL + ̟) − Γer (ωL )Γer (ωL − ̟) ̟ (B.14) Cette équation peut se simplifier en supposant que la fréquence du champ laser incident est proche de la résonance, soit pour ωL τ = 2πN ± δτ avec δ la différence de fréquence : Hcavite (̟) = 2r2 E02 (1 − r2 )δτ 2 [(1 − r2 ) + ır2 ̟τ ] [(1 − r2 )2 + ır2 (1 − r2 )̟τ + r4 (δτ )2 ]2 − (r4 δ̟τ 2 )2 (B.15) Fonction de transfert en transmission : On procède de la même façon que dans le cas de la réflexion. L’expression de la fonction de transfert en transmission pour une fréquence laser proche de la résonance est donnée par : Hcavite (̟) = 2(1−r2 )2 E02 r4 δ̟τ 2 [(1 − r2 )2 + ır2 (1 − r2 )̟τ + r4 (δτ )2 ]2 − (r4 δ̟τ 2 )2 (B.16) Conclusion : Le graphe B.4 montre le gain et la phase des fonctions de transfert de la cavité PF en transmission et réflexion. Le comportement du résonnateur en réflexion est celui d’un filtre passe-bas du second ordre avec un déphasage total de π/2, alors qu’en transmission c’est un filtre passe-bas du premier ordre avec un déphasage total de π. 162 B.1. RAPPELS SUR L’INTERFÉROMÈTRE FABRY-PEROT Fig. B.4 – Phases (a) et gains (b) des fonctions de transfert de la cavité PF en transmission et en réflexion. 163 ANNEXE B. COMPLÉMENTS DU CHAPITRE 3 Fig. B.5 – Différence en fréquence entre les deux modes T EM00 des deux cavités en fonction de la longueur d’onde du laser. L’erreur sur les mesures est de l’ordre de 100 MHz. Le laser est faiblement modulé par l’intérmédiaire de sa cale piézo-électrique, la calibration en fréquence d’un telle modulation s’effectue par l’intermédiaire des bandes latérales à 60 MHz. B.2 Comparaison des deux cavités Fabry-Perot Il a été intéressant pour notre expérience de mesurer l’écart en fréquence entre deux modes TEM00 de PF1 et PF2 en fonction de la longueur d’onde du laser (figure B.5). Ces mesures ont été utiles lorsque, par exemple, nous avons mesuré les fréquences de transitions atomiques du strontium (voir chapitre 5) et que nous avons été obligés d’accorder le laser aux longueurs d’onde correspondantes (respectivement 689 nm pour la transition 1 S0 -3 P1 , 688 nm pour la transition 3 P1 - 3 S1 et 698 nm pour la transition d’horloge 1 S0 -3 P0 ). 164 Annexe C Rappels d’optique non linéaire C.1 Introduction La réponse d’un milieu non linéaire1 à une excitation par un champ − → éléctrique E est décrite par la polarisation macroscopique du milieu qui peut se décomposer en un terme linéaire et un terme non linaire. Le terme non linéaire caractérise tous les processus à multi-ondes pouvant intervenir : n −−→ X −−→ PN L = P (i) (C.1) i=2 où −−→ −−−→ −−−→ P (i) = ε0 χ(i) (ωT ot , ω1 , . . . , ωi ) : E(ω1 ) . . . E(ωi ) (C.2) Pi avec ωT ot = k=1 ωk . Les processus non linéaires d’ordres 2 ne peuvent se manifester que si le milieu ne possède pas de symétrie d’inversion (pour les milieux centro-symétriques, les composantes du tenseur χ2 sont nulles). Par la suite, nous allons nous intéresser uniquement aux processus non linéaires d’ordre 2. C.2 Equations de propagation dans un milieu non linéaire L’équation de propagation dans un milieu diélectrique, homogène et non magnétique peut se mettre sous la forme, d’après les équations de Maxwell : − → → ∂2 − ∂ 2 −−→ ∇ ∧ ∇ E − µ0 (1 + χ(1) ) 2 E = −µ0 2 PN L ∂t ∂t 1 Toute cette partie s’appuie sur la référence [119] 165 (C.3) ANNEXE C. RAPPELS D’OPTIQUE NON LINÉAIRE On se place dans le cadre de l’approximation des enveloppes lentement variables. Les trois champs électriques qui intéragissent sont décrits par des ondes planes monochromatiques, se propageant suivant l’axe Oz, d’amplitudes Ai à la fréquence angulaire ωi et de même polarisation pour simplifier le problème. Le milieu est supposé transparent à ces fréquences. On obtient d’après l’équation C.3 une équation de propagation pour chacune de ces amplitudes : ∂Ai ıωi 2 = χ (ωk , δn ωn )Ak A∗n eı[(kk +δn kn −ki )z] ∂z 2ni c (C.4) avec δn = −1 pour (i = 1, k = 3, n = 2) et (i = 2, k = 3, n = 1) et vaut 1 pour le triplet (i = 3, k = 1, n = 2). On apelle désaccord de phase la − → − → − → − → quantité ∆ k donnée par k3 − k1 − k2 . On peut montrer que dans le cas où les relaxations du milieu sont négligées, les composantes χ(2) (ωk , δn ωn ) sont égales entre elles. Il est à noter que le tenseur χ(2) est rarement utilisé, on lui préfère de façon générale son homologue d plus aisé à manipuler :   Ex2      Ey2    d11 d12 d13 d14 d15 d16 Px,N L  Ez2   Py,N L  = ε0 d21 d22 d23 d24 d25 d26  ×  (C.5) 2Ey Ez    Pz,N L d31 d32 d33 d34 d35 d36 2Ex Ez  2Ex Ey C.3 Conditions d’accord de phase Pour maximiser l’efficacité de conversion, il faut qu’il y ait conservation de l’énergie (ω3 = ω1 + ω2 ) et accord de phase. Si l’accord de phase n’est pas réalisé, la conversion des ondes pompes est peu efficace et par conséquent, on peut négliger la dépletion de ces ondes pompes, c’est-à-dire que l’on peut supposer les intensités des ondes 1 et 2 comme constantes lors de leur propagation. Dans ce cas précis, la puissance de l’onde résultante 3 est donnée par : 2π 2 d2ef f P1 P2 L2 ∆kLc P3 (Lc ) = sin2c ( ) (C.6) 2 2 n1 n2 n3 λ3 πw0 2 où Lc est la longueur du cristal et w0 le col des faisceaux à supposer qu’il soit le même pour tous. On constate que la conversion est optimisée pour un accord de phase minimal. De plus, cette relation met en évidence une π du cristal : sur la première demi-période longueur de cohérence Λ = ∆k Λ, il y a transfert d’énergie des ondes 1 et 2 vers l’onde 3 alors que sur la deuxième demi-période, c’est l’inverse qui se produit (voir figure C.1(c)). 166 C.4. QUASI-ACCORD DE PHASE Cette longueur de cohérence est de l’ordre de 1 à 100 µm, elle détermine la longueur utile du cristal. D’une façon plus générale, la conversion peut se mettre sous la forme : P3 = ΓP1 P2 (C.7) où Γ est le facteur de conversion qui dépend des fréquences des trois ondes intervenant dans le processus, de la longueur du cristal, de def f , du coefficient d’absorption de l’onde 3 dans le cristal et d’une fonction d’ouverture h sans dimension qui caractérise le processus [120]. Concernant le processus de conversion, il peut s’agir d’une somme de fréquence ou d’une génération de seconde harmonique et dans ce cas ω1 = ω2 = ω = ω3 /2. Selon les polarisations des ondes incidentes, l’accord de phase est qualifié de type I pour des polarisations incidentes identiques ou de type II dans l’autre configuration. Si l’accord de phase est critique (voir figure C.2), on définit l’angle de double réfraction ρ (ou Walk-off en anglais) comme l’angle − → − → entre le vecteur de Poynting Π et le vecteur k de l’onde extraordinaire. Ce walk-off limite l’interaction entre les deux ondes pompes dans la mesure où leurs faisceaux ne se recouvrent plus complètement dans le cristal (voir figure C.3). C.4 Quasi-accord de phase Il n’est pas toujours évident d’obtenir un accord de phase dans un milieu biréfringent pour n’importe quelle fréquence des ondes pompes. L’autre problème que pose ce type d’accord de phase est bien-sûr le walk-off. Le quasi accord de phase permet de s’affranchir de ces deux inconvénients. Il a été proposé en 1962 par J. A. Armstrong [121] et son principe s’appuie sur la modulation spatiale de la polarisation macroscopique, par exemple en alternant sur une période de Lc le signe de def f . Ainsi, le désaccord de phase entre les deux ondes pompes 1 et 2 s’annule à chaque inversion de domaine de polarisation et l’on peut de cette façon augmenter la puissance de l’onde résultante 3. Les courbes (a) et (b) de la figure C.1 résument ces processus d’accord de phase et quasi-accord de phase. 167 ANNEXE C. RAPPELS D’OPTIQUE NON LINÉAIRE Fig. C.1 – Puissance de sortie de l’onde 3 en fonction de la longueur du cristal. La courbe (a) représente l’accord de phase (∆k = 0). En (b), il s’agit de la configuration quasi-accord de phase. La courbe (c) correspond à ∆k 6= 0. 168 C.4. QUASI-ACCORD DE PHASE z (a ) (b ) z k , P (w ) n '( 2 w , q ) k , P (w ), P (2 w ) P (2 w ) r n '( 2 w , q ) q n o(w ) x x n o(w ) Fig. C.2 – Exemple d’accord de phase critique (a) et non critique (b) dans un cristal uniaxe. n′ (2ω, θ) et n(ω) représentent respectivement les surfaces d’indice extraordinaire et ordinaire. r c r is ta l O n d e s p o m p e s Fig. C.3 – Recouvrement non optimal des ondes pompes dans le cristal à cause de l’angle de double réfraction ρ. 169 ANNEXE C. RAPPELS D’OPTIQUE NON LINÉAIRE 170 Bibliographie [1] 13e Conférence Générale des Poids et Mesures 1967-1968. Résolution ; cr, 103. Metrologia, 4 :43, 1967. [2] C. Vian and et al. Bnm-syrte fountains : recent results. IEEE Trans., en cours de publication. [3] T. Damour. String theory, cosmology and varying constants. Atrophys. Space Sci., 283 :445, 2003. [4] S. G. Karshenboim. Some possibilities for laboratory searches for variations of fundamental constants. Can. J. Phys., 78 :639, 2000. [5] volume Proc. of workshop on the scientific applications of clocks in space, JPL, Pasadena, 1996. [6] M. Fischer et al. New limits to the drift of fundamental constants for laboratory measurements. Phys. Rev. Lett., 92 :230802, 2004. [7] H. Marion and et al. Search for variations of fundamental constants using atomic fountain clocks. Phys. Rev. Lett., 90 :150801, 2003. [8] K. R. Vogel and et al. Direct comparison of two cold-atom-based optical frequency standards by using a femtosecond laser comb. Opt. Lett., 26 :102, 2001. [9] Th. Udem and et al. Absolute frequency measurements of the hg+ and ca optical clock transitions with a femtosecond laser. Phys. Rev. Lett., 86 :4996, 2001. [10] S. Bize and et al. Testing the stability of fundamental constants with the 199 hg+ single ion optical clock. Phys. Rev. Lett., 90 :150802, 2003. [11] P. Lemonde and et al. Cold atom clocks on earth and in space. [12] Y. Sortais and et al. Cold collision frequency shifts in a foutain. Phys. Rev. Lett., 85 :3117, 2000. 87 rb atomic [13] H. Katori. Spectroscopy of strontium atomes in the lamb-dicke confinement. 2001. [14] D. Allan. volume 54, page 221, 1966. 171 BIBLIOGRAPHIE [15] I. Courtillot and et al. Clock transition for a future optical frequency standard with trapped atoms. Phys. Rev. A, 2003. [16] U. Sterr and et al. The optical calcium frequency standards of ptb and nist. à paraı̂tre, arXiv :physics/0411094, 2004. [17] F. Ruschewitz and et al. Sub-kilohertz optical spectroscopy with a time domain atom interferometer. Phys. Rev. Lett., 80 :3173, 1998. [18] T. H. Yoon C. Y. Park. Efficicent magneto-optical trapping of yb atoms with a violet laser diode. Phys. Rev. A, 68 :055401, 2003. [19] T. Badr, S. Guérandel, M. D. Plimmer, P. Juncar, and M. E. Himbert. Improved frequency measurement and isotope shift of the 4d9 5s2 2 d5/2 –4d10 6p2 2 p3/2 transition in silver by laser heterodyne spectroscopy. Eur. Phys. Jour. D, 14 :39, 2001. [20] W. Itano and et al. Quantum projection noise : population fluctuations in two-level systems. Phys. Rev. A, 47 :3554, 1993. [21] G. Santarelli and et al. Quantum projection noise in an atomic fountain : a high stability cesium frequency standard. Phys. Rev. Lett., 82 :4619, 1999. [22] S. Bize. Tests fondamentaux à l’aide d’horloge à atomes froids de rubidium et de césium. Thèse de doctorat, Paris VI, 2001. [23] Y. Sortais. Construction d’une fontaine double à atomes froids de 87 Rb et 133 Cs ; étude des effets dépendant du nombre d’atomes dans une fontaine. Thèse de doctorat, Paris VI, 2001. [24] M. Abgrall. Evaluation des performances de la fontaine atomique PHARAO ; Participation à l’étude de l’horloge spatiale PHARAO. Thèse de doctorat, Paris VI, 2003. [25] S. Zhang. Déplacement de fréquence dpu au rayonnement du corps noir dans une fontaine atomique à césium et amélioration des perfromances de l’horloge. Thèse de doctorat, Paris VI, 2004. [26] H. Marion. Contrôle des collisions froides du 133 Cs, tests de la variation de la constante de structure fine à l’aide d’une fontaine atomique double rubidium-césium. Thèse de doctorat, Paris VI, 2005. [27] S. Bize and et al. C. R. Physique, 5 :829, 2004. [28] H. G. Dehmelt. Isolated atoms forever floating at rest in free space. Ad. At. Mol. Phys., 3 :53, 1967. [29] D. J. Wineland, W. M. Itano, and R. S. Van Dyck Jr. Adv. Atom. Mol. Phys., 19 :135, 1983. 172 BIBLIOGRAPHIE [30] D. J. Wineland, W. M. Itano, J. C. Bergquist, and R. G. Hulet. Laser cooling limits and single-ion spectroscopy. Phys. Rev. A, 36 :2220, 1987. [31] R. H. Dicke. The effect of collisions upon the doppler width of central lines. Phys. Rev, 89 :472, 1953. [32] D. Leibfried, R. Blatt, C. Monroe, and D. Wineland. Quantum dynamics of single trapped ions. Rev. Mod. Phys., 75 :281, 2003. [33] U. Tanaka and et al. The 199 hg+ single ion optical clock : progress. J. Phys. B : At. Mol. Opt. Phys., 36 :545, 2003. [34] H. G. Dehmelt. Bull. Amer. Phys. Soc., 20 :60, 1975. [35] W. Nagourney, J. Sandberg, and H. Dehmelt. Shelved optical electron amplifier : observation of quantum jumps. Phys. Rev. Lett., 56 :2797, 1986. [36] D. Engelke and C. Tamm. Dark times in the resonance fluorescence of trapped 171 yb ions caused by spontaneous quantum jumps to the 2 d3/2 (f=2) state. Europhys. Lett., 33 :347, 1996. [37] U. Sterr and et al. Atom interferometry based on separated light fields. In Atom interferometry. [38] S. A. Webster, P. Taylor, M. Roberts, G. P. Barwood, and P. Gill. Kilohertz resolution spectroscopy of the 2 s1/2 -1 f7/2 electric octupole transition in a single 171 yb+ ion. Phys. Rev. A, 65 :(05)052501, 2002. [39] R. J. Rafac and et al. Sub-dekahertz ultraviolet spectroscopy of 199 hg+ . Phys. Rev. Lett., 85 :2462, 2000. [40] J. C. Bergquist and et al. A mercury-ion optical clock. In P. Gill, editor, Proceedings of the 6th Symposium on frequency standards and metrology, page 99, Singapore, 2002. World Scientific. [41] H. S. Margolis and et al. Hertz-level measurement of the optical dark frequency in a single 88 sr+ ion. Science, 306 :1355, 2004. [42] A. A. Madej, J. E. Bernard, P. Dubé, L. Marmet, and R. S. Windeler. Absolute frequency of the 88 sr 5s2 s1/2 -4d2 d5/2 reference trnasition at 445 thz and evaluation of systematic shifts. Phys. Rev. A, To be published, 2004. [43] J. von Zanthier and et al. Absolute frequency measurement of the in+ clock transition with a mode-locked laser. Opt. Lett., 25 :1729, 2000. [44] C. Champenois and et al. Evaluation of the ultimate performances of a ca+ single-ion frequency standard. arXiv :physics, page 0312120, 2004. 173 BIBLIOGRAPHIE [45] S. A. Diddams and et al. Science, 293 :825, 2001. [46] B.C. Young and et al. Visible lasers with subhertz linewidths. Phys. Rev. Lett., 31 :97, 1999. [47] R. Holzwarth, M. Zimmermann, T. Udem, and T. W. Hänsch. Optical clockworks and the measurement of laser frequencies with a modelocked frequency comb. IEEE J. Quantum. Elec., 37 :1493, 2001. [48] T. H. Loftus, T. Ido, A. D. Ludlow, M. M. Boyd, and J. Ye. Narrow line cooling : finite photon recoil dynamic. Phys. Rev. Lett., 93 :0703003, 2004. [49] E. A. Curtis, C. W. Oates, and L. Hollberg. Quenched narrow line second and third stage laser cooling of 40 ca. J. Opt. Soc. Am. B, 20 :977, 2003. [50] E. A. Curtis, C. W. Oates, and L. Hollberg. Quenched narrow-line laser cooling of 40 ca to near the photon recoil limit. Phys. Rev. A, 64 :031403(R), 2001. [51] R. Le Targat, J. J. Zondy, and P. Lemonde. 75% efficiency blue generation from an intracavity ppktp frequency doubler. à paraı̂tre, arXiv :physics/0408031, 2004. [52] J. I. Kim, C. Y. Park, J. Y. Yeom, E. B. Kim, and T. H. Yoon. Frequency stabilized high power violet laser iode with an ytterbium hollow cathode lamp. Opt. Lett., 28 :245, 2003. [53] Ch. J. Bordé and et al. Optical ramsey fringes with traveling waves. Phys. Rev. A, 30 :1836, 1984. [54] G. Wilpers and et al. Improvement of the fractional uncertainty of a neutral atom calcium optical frequency standard to 2 × 10−14 . Appl. Phys. B, 76 :149, 2003. [55] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, and G. Grynberg. Processus d’interaction entre photons et atomes. [56] H. Katori, M. Takamoto, V. G. Pal’chikov, and V. D. Ovsiannikov. Ultrastable optical clock with neutral atoms in an engineered light shift trap. Phys. Rev. Lett, 91 :173005, 2003. [57] M. Takamoto and H. Katori. Spectroscopy of the 1 s0 -3 p0 clock transition of 87 sr in an optical lattice. Phys. Rev. Lett., 91 :223001, 2003. [58] G. J. Dick. Local oscillator induced instabilities. Proc Nineteenth Annual Precise Time and Time Interval (PTTI), page 133, 1987. [59] C. Audoin, G. Santarelli, A. Makdissi, and A. Clairon. Properties of an oscillator slaved to a periodically interrogated atomic resonator. IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect., Freq. Contr., 45 :877, 1998. 174 BIBLIOGRAPHIE [60] L. Lo Presti, D. Rovera, and A. De Marchi. A simple analysis of the dick effect in terms of phase noise spectral densities. IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect., Freq. Contr., 45 :899, 1998. [61] A. Clairon and et al. A cesium fountain frequency standard : preliminary results. IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect., Freq. Contr., 44 :128, 1995. [62] G. D. Rovera, G. Santarelli, and A. Clairon. Frequency synthesis chain for the atomic fountain primary frequency standard. IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect., Freq. Contr., 43 :354, 1996. [63] M. E. Tobar and et al. Cryogenically cooled sapphire-rutile dielectric resonators for ultrahigh-frequency stable oscillators for terrestrial and space applications. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 46 :1265, 2000. [64] G. Santarelli. Contribution à la réalisation d’une fontaine atomique. Thèse de doctorat, Paris XI, 1996. [65] C. A. Greenhall and G. J. Dick. Local oscillator limited frequency stability for passive aromic frequency standards using square wave frequency modulation. IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect., Freq. Contr., 47 :1593, 2000. [66] J. Vanier and C. Audoin. The quantum physics of atomic frequency standards. Adam Hilger, Bristol, 1989. [67] P. Lemonde. PHARAO : Etude d’une horloge spatiale utilisant des atomes refroidis par laser ; réalisation d’un prototype. Thèse de doctorat, Paris VI, 1998. [68] P. Storey and C. Cohen-Tannoudji. J. Phys. II, 4 :1999, 1994. [69] F. Pereira dos Santos. Communication privée. 2004. [70] C. Tamm, T. Schneider, and E. Peik. Comparison of two single-ion optical frequency standards at the sub-hertz level. [71] H. Katori, T. Ido, Y. Isoya, and M. Kuwata-Gonokami. Magnetooptical trapping and cooling of strontium atoms down to the photon recoil temperature. Phys. Rev. Lett., 82 :1116, 1999. [72] G. Dudle, A. Joyet, P. Berthoud, G. Milet, and P. Thomann. First results with a cold cesium continuous fontain resonator. IEEE Trans. IM, 50 :510, 2001. [73] R. W. P. Drever and et al. Laser phase and frequency stabilization using an optical resonator. Appl. Phys. B, 31 :97, 1983. [74] E. Black. An introduction to pound drever technique. Appl. Phys. B, 31 :97, 2001. 175 BIBLIOGRAPHIE [75] S. Seel, R. Storz, G. Ruoso, J. Mlyneck, and S. Schiller. Cryogenic optical resonators : a new tool for laser frequency stabilization at the 1 hz level. Phys. Rev. Lett., 31 :97, 1999. [76] F. Bondu. Etude du bruit thermique et stabilisation en fréquence du laser du détecteur interférométrique d’ondes gravitationnelles VIRGO. Thèse de doctorat, Paris XI, 1996. [77] J. C. Bergquist, W. M. Itano, and D. J. Wineland. Laser stabilization to a single ion. In NIST, editor, trapped ions and laser cooling, volume 4, page 359, Boulder, Colorado, 1996. 1380. [78] J.C. Bergquist. Communication privée. 2004. [79] H. B. Callen and T. A. Welton. Irreversibility and generalized noise. Phys. Rev., 83 :34, 1951. [80] P. R. Saulson. Thermal noise in mechanical experiments. Phys. Rev. D, 42 :2437, 1990. [81] K. Numata, A. Kemery, and J. Camp. Thermal noise limit in frequency stabilization of lasers with rigid cavities. Phys. Rev. Lett., 93 :250602, 2004. [82] M. Bahoura. Influence du bruit de phase d’une diode laser sur les performances ultimes de son asservissement en fréquence sur une résonance optique. Thèse de doctorat, Paris XI, 1998. [83] Y. Bidel. Piégeage et refroidissement laser du strontium. Etude de l’effet des interférences en diffusion multiple. Thèse de doctorat, Paris XI, 1996. [84] M. Ohtsu and S. Kotajima. Linewidth reduction of a semi-conductor laser by electrical feedback. IEEE. J. Quantum. Electro., 21 :1905, 1985. [85] B. Dahmani, L. Hollberg, and R. E. Drullinger. Frequency stabilization of semi-conductor laser by resonant optical feedback. Opt. Lett., 12 :876, 1987. [86] A. Blanchard. Phase locked loops. John Wiley and Sons, New York, 1976. [87] D. Halford. Infrared microwave frequency synthesis design, some relevant conceptual noise aspects, volume Frequency Standards Metrology Seminar. [88] C. W. Oates, F. Bondu, and L. Hollberg. All diode laser optical frequency standard based on laser trapped ca atoms. Eur.Phys. J. D, 7 :449, 1999. 176 BIBLIOGRAPHIE [89] F. Loo and et al. Investigations of a two-level atom in a magnetooptical trap. J. Opt. B : Quantum Semiclass. Opt, 6 :81, 2004. [90] X. Xu and et al. Dynamics in a two-level atom magneto-optical trap. Phys. Rev. A, 66 :011401, 2002. [91] T. Chanelière, J.-L. Meunier, R. kaiser, C. Miniatura, and D. Wilkowski. An extra-heating mechanism in doppler-cooling experiments. arXiv :physics, 0412119, 2004. [92] J.-C. Baumert and et al. Generation of blue cw coherent radiation by sum frequency mixing in ktiopo4 . Appl. Phys. Lett., 51 :2192, 1987. [93] B. Boulanger and et al. Absolute measurement of quadratic nonlinearities from phase-matched second-harmonic generation in single ktp crystal cut as a sphere. J. Opt. Soc. Am. B, 14 :1380, 1997. [94] I. Courtillot. Première observation de la transition fortement interdite 1 S0 −→3 P0 du strontium pour une horloge optique à atomes piégés. Thèse de doctorat, Paris VI, 2003. [95] B. Zysset, I. Baggio, and P. Günter. J. Opt. Soc. Am. B, 9 :380, 1992. [96] B. G. Klappauf, Y. Bidel, D. Wikowsky, T. Channelière, and R. Kaiser. Detailed study of efficient blue laser source by second harmonic generation in a semimonolithic cavity for the cooling of strontium atoms. Appl. Opt., 43 :2510, 2004. [97] M. Pelz and et al. Appl. Phys. B, 73 :663, 2001. [98] D. Lide. Handbook of chemistry and physics. CRC Press, 1995-1996. [99] K. R. Vogel. Laser cooling on a narrow atomic transition and measurement of the two-body cold collision loss rate in a strontium magnetooptical trap. Thesis, University of Colorado, 1999. [100] E. L. Raab, M. Prentiss, A. Cable, S. Chu, and D. E. Pritchard. Trapping of neutral sodium atoms with radiation pressure. Phys. Rev. Lett., 59 :2631, 1987. [101] L. Marcassa and et al. Collisionnal loss rate in a magneto-optical trap for sodium atoms : light intensity dependence. Phys. Rev. A, 47 :R4563, 1993. [102] E. Eliel, W. Hogervost, T. Olsson, and L. R. Pendrill. High resolution laser spectroscopy of low-lying p-states in sri and bai. Z. Phys. A, 311 :1, 1983. [103] T. Udem and et al. Phase-coherent measurement of the hydrogen 1s-2s transition frequency with an optical frequency interval divider chain. Phys. Rev. Lett., 79 :2646, 1997. 177 BIBLIOGRAPHIE [104] P. Cancio Pastor and et al. Absolute frequency measurements of the 23 s1 -23 p0,1,2 atomic helium transitions around 1083 nm. Phys. Rev. Lett., 92 :023001, 2004. [105] J.-P. Uzan. The fundamentla constants and their variation : observational and theoretical status. Rev. Mod. Phys., 75 :403, 2003. [106] S. G. Porsev and A. Derevianko. Hyperfine quenching of the metastable 3 p0,2 states in divalent atoms. Phys. Rev. A, 69 :042506, 2004. [107] D. J. Jones and et al. Carrier-envelope phase control of femtosecond mode-locked lasers and direct optical and direct optical frequency synthesis. Science, 288 :635, 2000. [108] A. Apolonski and et al. Controlling the phase evolution of few-cycle light pulses. Phys. Rev. Lett., 85 :740, 2000. [109] volume Proc. of Frequency Control Symposium, 1998. [110] G. Ferrari and et al. Precision frequency measurement of visible intercombination lines of strontium. Phys. Rev. Lett., 91 :243002, 2003. [111] G. zu Putlitz. Bestimmung des elektrischen kerquadrupolmomentes des ungeraden stabilen strontium-87-kerns. Z. Physik, 175 :543, 1963. [112] F. Buchinger, R. Corriveau, and E. B. Ramsey. Influence of the n=50 shell closure on mean square charge radii of strontium. Phys. Rev. C, 32 :2058, 1985. [113] A. A. Celikov, A. M. Akulshin, V. L. Velichanski, and A. S. Zibrov. Laser Physics, 5 :739, 1995. [114] C. W. Bauschlicher, S. R. Langhoff, and H. Patridge. J. Phys. B, 18 :1523, 1985. [115] R. G. Brewer and E. L. Hahn. Coherent two-photon processes : transient and steady-state cases. Phys. Rev. A, 11 :1641, 1975. [116] G. Orriols. Nonabsorption resonances by nonlinear coherent effects in a three-level system. Il Nuovo Cimento B, 53 :1, 1979. [117] W. Demtröder. Laser spectroscopy : basic concepts and instrumentation. [118] M. Barsuglia. Stabilisation en fréquence du laser et contrôle de cavités optiques à miroirs suspendus pour le détecteur interférométrique d’ondes gravitationnelles VIRGO. Thèse de doctorat, Paris XI, 1999. [119] G. D. Boyd and D. A. Kleinman. J. Appl. Phys., 39 :3596, 1968. [120] J. J. Zondy. Comparative theory of walkoff-limited type-ii versus typei second harmonic generation with gaussian beams. Opt. Commun., 81 :427, 1991. 178 BIBLIOGRAPHIE [121] J. A. Armstrong, N. Bloembergen, J. Ducuing, and P.S. Pershan. Interactions between light waves in a nonlinear dielectric. Phys. Rev, 127 :1918, 1962. 179