Contenido
ÁLGEBRA
LINEAL
Séptima edición
Stanley I. Grossman S.
José Job Flores Godoy
University of Montana
University College London
Universidad Iberoamericana
Ciudad de México
Revisión técnica:
Elsa Fabiola Vázquez
Valencia
Universidad Iberoamericana
Ciudad de México
Carmen Judith Vanegas
Universidad Simón Bolívar
Caracas, Venezuela
Eleazar Luna Barraza
Universidad Autónoma
de Sinaloa, México
M. Rosalba Espinoza
Sánchez
Universidad de Guadalajara
México
María del Pilar
Goñi Vélez
Universidad Autónoma
de Nuevo León, México
Adrián Infante
Universidad Simón Bolívar
Caracas, Venezuela
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK
SAN JUAN • SANTIAGO • SÂO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL
NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO
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ÁLGEBRA LINEAL
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Contenido
Prefacio...................................................................................................
XI
Agradecimientos ........................................................................................ XVIII
Examen diagnóstico................................................................................. XXI
Capítulo 1
Sistemas de ecuaciones lineales .....................
1
1.1
1.2
2
1.3
1.4
Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ..............................................
m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan
y gaussiana ..............................................................................................
Introducción a MATLAB ........................................................................
Sistemas homogéneos de ecuaciones ........................................................
8
30
38
Capítulo 2
Vectores y matrices..........................................
45
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Definiciones generales..............................................................................
Productos vectorial y matricial ................................................................
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ...............................................
Inversa de una matriz cuadrada ...............................................................
Transpuesta de una matriz .......................................................................
Matrices elementales y matrices inversas ..................................................
Factorizaciones LU de una matriz ...........................................................
Teoría de gráficas: una aplicación de matrices .........................................
46
62
94
102
127
134
146
164
Capítulo 3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Capítulo 4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Determinantes ................................................. 175
Definiciones .............................................................................................
Propiedades de los determinantes ............................................................
Determinantes e inversas .........................................................................
Regla de Cramer ......................................................................................
Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia ................
176
192
209
219
224
Vectores en R2 y R3 .......................................... 231
Vectores en el plano .................................................................................
El producto escalar y las proyecciones en R2 ............................................
Vectores en el espacio...............................................................................
El producto cruz de dos vectores .............................................................
Rectas y planos en el espacio ...................................................................
232
247
258
269
279
VIII
Contenido
Capítulo 5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Capítulo 6
6.1
6.2
6.3
Capítulo 7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Capítulo 8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
Espacios vectoriales ......................................... 295
Definición y propiedades básicas .............................................................
Subespacios vectoriales ............................................................................
Combinación lineal y espacio generado ...................................................
Independencia lineal ................................................................................
Bases y dimensión ....................................................................................
Cambio de bases ......................................................................................
Rango, nulidad, espacio renglón y espacio columna ................................
Fundamentos de la teoría de espacios vectoriales:
existencia de una base (opcional) .............................................................
296
308
315
331
349
362
384
409
Espacios vectoriales con producto interno .... 417
Bases ortonormales y proyecciones en Rn ................................................
Aproximaciones por mínimos cuadrados .................................................
Espacios con producto interno y proyecciones .........................................
418
443
464
Transformaciones lineales ............................... 479
Definición y ejemplos...............................................................................
Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo ................
Representación matricial de una transformación lineal............................
Isomorfismos ...........................................................................................
Isometrías ................................................................................................
480
493
501
526
534
Valores característicos, vectores
característicos y formas canónicas ................ 545
Valores característicos y vectores característicos ......................................
Un modelo de crecimiento de población (opcional) .................................
Matrices semejantes y diagonalización.....................................................
Matrices simétricas y diagonalización ortogonal .....................................
Formas cuadráticas y secciones cónicas ...................................................
Forma canónica de Jordan.......................................................................
Una aplicación importante: forma matricial
de ecuaciones diferenciales .......................................................................
Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton
y Gershgorin ............................................................................................
635
Apéndice A Inducción matemática .................................................................
647
Números complejos .....................................................................
655
8.8
Apéndice B
546
569
578
591
600
612
622
Apéndice C El error numérico en los cálculos y la complejidad
computacional .............................................................................
665
Apéndice D Eliminación gaussiana con pivoteo ..............................................
675
Uso de MATLAB ........................................................................
683
Apéndice E
Contenido
Respuestas a los problemas impares................................ 685
Capítulo 1 ........................................................................................................
685
Capítulo 2 ........................................................................................................
687
Capítulo 3 ........................................................................................................
698
Ejercicios de repaso capítulo 3..........................................................................
700
Capítulo 4 ........................................................................................................
701
Ejercicios de repaso capítulo 4..........................................................................
706
Capítulo 5 ........................................................................................................
707
Capítulo 6 ........................................................................................................
714
Ejercicios de repaso capítulo 6..........................................................................
717
Capítulo 7 ........................................................................................................
717
Capítulo 8 ........................................................................................................
722
Ejercicios de repaso capítulo 8..........................................................................
731
Apéndices ........................................................................................................
731
Índice onomástico ............................................................... 737
Índice analítico .................................................................... 738
IX
Prefacio
Anteriormente el estudio del álgebra lineal era parte de los planes de estudios de los alumnos
de matemáticas y física, principalmente, y también recurrían a ella aquellos que necesitaban
conocimientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como la estadística multivariable. Hoy en día, el álgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las
computadoras y al aumento general en las aplicaciones de las matemáticas en áreas que, por
tradición, no son técnicas.
Prerrequisitos
Al escribir este libro tuve en mente dos metas. Intenté volver accesibles un gran número de
temas de álgebra lineal para una gran variedad de estudiantes que necesitan únicamente conocimientos firmes del álgebra correspondientes a la enseñanza media superior. Como muchos
estudiantes habrán llevado un curso de cálculo de al menos un año, incluí también varios ejemplos y ejercicios que involucran algunos temas de esta materia. Éstos se indican con el símbolo
Cálculo
. La sección 8.7 es opcional y sí requiere el uso de herramientas de cálculo, pero salvo
este caso, el cálculo no es un prerrequisito para este texto.
Aplicaciones
Mi segunda meta fue convencer a los estudiantes de la importancia del álgebra lineal en sus
campos de estudio. De este modo el contexto de los ejemplos y ejercicios hace referencia a
diferentes disciplinas. Algunos de los ejemplos son cortos, como las aplicaciones de la multiplicación de matrices al proceso de contagio de una enfermedad (página 67). Otros son un poco
más grandes; entre éstos se pueden contar el modelo de insumo-producto de Leontief (páginas
18 a 19 y 111 a 113), la teoría de gráficas (sección 2.8), la aproximación por mínimos cuadrados
(sección 6.2) y un modelo de crecimiento poblacional (sección 8.2).
Además, se puede encontrar un número significativo de aplicaciones sugestivas en las secciones de MATLAB®.
Teoría
Para muchos estudiantes el curso de álgebra lineal constituye el primer curso real de matemáticas.
Aquí se solicita a los estudiantes no sólo que lleven a cabo cálculos matemáticos sino también
que desarrollen demostraciones. Intenté, en este libro, alcanzar un equilibrio entre la técnica y la
teoría. Todas las técnicas importantes se describen con minucioso detalle y se ofrecen ejemplos
que ilustran su utilización. Al mismo tiempo, se demuestran todos los teoremas que se pueden
probar utilizando los resultados dados aquí. Las demostraciones más difíciles se dan al final de
las secciones o en apartados especiales, pero siempre se dan. El resultado es un libro que propor-
XII
Prefacio
cionará a los estudiantes tanto las habilidades algebraicas para resolver los problemas que surjan
en sus áreas de estudio como una mayor apreciación de la belleza de las matemáticas.
Características
La séptima edición ofrece nuevas características y conserva la estructura ya probada y clásica
que tenía la edición anterior. Las nuevas características se enumeran en la página XIV.
Examen diagnóstico
El examen diagnóstico, nuevo en esta edición, busca identificar si el alumno posee las nociones
mínimas necesarias para un curso exitoso de álgebra lineal. Este examen se compone de 36
reactivos divididos en 7 problemas, cada uno de los cuales evalúa alguna habilidad matemática
especifíca. En la pregunta 1 se evalúa la habilidad de manipular operaciones aritméticas simples. En la pregunta 2 se estima el concepto de conjuntos, que son los elementos que tienen una
o varias propiedades en común. En la pregunta 3 se aprecia la manipulación de conjuntos con
sus operaciones de unión, intersección y complemento. En el problema 4 se revisan las habilidades básicas de álgebra. En el problema 5 se evalúa la habilidad de factorizar expresiones algebraicas simples. En la pregunta 6 se calcula la habilidad para resolver ecuaciones lineales simples. Finalmente, en la pregunta 7 se estima la habilidad para encontrar raíces de polinomios.
Ejemplos
Los estudiantes aprenden matemáticas mediante ejemplos completos y claros. La séptima edición contiene cerca de 350 ejemplos, cada uno de los cuales incluye todos los pasos algebraicos
necesarios para completar la solución. En muchos casos se proporcionaron secciones de ayuda
didáctica para facilitar el seguimiento de esos pasos. Adicionalmente, se otorgó un nombre a
los ejemplos con el objeto de que resulte más sencillo entender el concepto esencial que ilustra
cada uno.
Ejercicios
El texto contiene cerca de 2 750 ejercicios. Al igual que en todos los libros de matemáticas,
éstos constituyen la herramienta más importante del aprendizaje. Los problemas conservan
un orden de acuerdo con su grado de dificultad y existe un equilibrio entre la técnica y las demostraciones. Los problemas más complicados se encuentran marcados con un asterisco (*) y
unos cuantos excepcionalmente difíciles con dos (**). Éstos se complementan con ejercicios de
problemas impares, incluyendo aquellos que requieren demostraciones. De los 2 750 ejercicios,
alrededor de 300 son nuevos. Muchos son aportaciones de profesores destacados en la materia.
También hay varios problemas en las secciones “Manejo de calculadora” y “MATLAB”.
Teorema de resumen
Una característica importante es la aparición frecuente del teorema de resumen, que une temas
que en apariencia no tienen nada en común dentro del estudio de matrices y transformaciones
lineales. En la sección 1.1 (página 5) se presenta el teorema por vez primera. En las secciones
2.4 (p. 114), 2.6 (p. 138), 3.3 (p. 215), 5.4 (p. 337), 5.7 (p. 395), 7.4 (p. 529) y 8.1 (p. 557) se encuentran versiones cada vez más completas de dicho teorema.
Prefacio
Autoevaluación
Los problemas de autoevaluación están diseñados para valorar si el estudiante comprende las
ideas básicas de la sección, y es conveniente que los resuelva antes de que intente solucionar los
problemas más generales que les siguen. Casi todos ellos comienzan con preguntas de opción
múltiple o falso-verdadero que requieren pocos o ningún cálculo.
Manejo de calculadora
En la actualidad existe una gran variedad de calculadoras graficadoras disponibles, con las
que es posible realizar operaciones con matrices y vectores. Desde la edición anterior, el texto
incluye secciones de “manejo de calculadora” que tienen por objeto ayudar a los estudiantes
a usar sus calculadoras en este curso. Para esta edición se han actualizado estas secciones con
uno de los modelos de vanguardia.
Se presentan secciones donde se detalla el uso de la calculadora Hewlett-Packard HP
50g para la resolución de problemas. Se han incluido problemas cuyo objetivo es utilizar la
calculadora para encontrar las soluciones.
Sin embargo, debe hacerse hincapié en que no se requiere que los alumnos cuenten con una
calculadora graficadora para que el uso de este libro sea efectivo. Las secciones de manejo de
calculadora son una característica opcional que debe usarse a discreción del profesor.
Resúmenes de secciones
Al final de cada sección aparece un repaso detallado de los resultados importantes hallados
en ésta. Incluye referencias a las páginas de la sección en las que se encuentra la información
completa.
Geometría
Algunas ideas importantes en álgebra lineal se entienden mejor observando su interpretación
geométrica. Por esa razón se han resaltado las interpretaciones geométricas de conceptos importantes en varios lugares de esta edición. Éstas incluyen:
• La geometría de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (p. 20)
• La interpretación geométrica de un determinante de 2 3 2 (pp. 183, 272)
• La interpretación geométrica del triple producto escalar (p. 273)
• Cómo dibujar un plano (p. 282)
• La interpretación geométrica de la dependencia lineal en R3 (p. 334)
• La geometría de una transformación lineal de R2 en R2 (pp. 510-517)
• Las isometrías de R2 (p. 536)
Semblanzas históricas
Las matemáticas son más interesantes si se conoce algo sobre el desarrollo histórico del tema.
Para estimular este interés se incluyen varias notas históricas breves, dispersas en el libro. Además, hay siete semblanzas no tan breves y con más detalles, entre las que se cuentan las de:
• Carl Friedrich Gauss (p. 21)
• Sir William Rowan Hamilton (p. 54)
XIII
XIV
Prefacio
• Arthur Cayley y el álgebra de matrices (p. 76)
• Breve historia de los determinantes (p. 228)
• Josiah Willard Gibbs y los orígenes del análisis vectorial (p. 274)
• Historia de la inducción matemática (p. 651)
Características nuevas de la séptima edición
Gracias a la participación de profesores y revisores, la nueva edición se ha enriquecido con
diversos cambios, como son:
• Se ha renovado el diseño de las páginas con la finalidad de que la obra posea una estructura más organizada y amable para el lector.
• La mayoría de las notas y las observaciones se reubicaron al margen a fin de resaltar
su importancia y evitar distraer al lector en el discurso del tema.
• Algunos capítulos de la edición anterior fueron reorganizados con objeto de proporcionar flexibilidad a los profesores en cuanto a los temas que habrán de abordar.
• Se incluye un breve examen diagnóstico cuya finalidad es ayudar a los estudiantes a
identificar las habilidades mínimas necesarias para aprovechar de la mejor manera el
contenido de este libro.
• Las tutorías y problemas de MATLAB también se han actualizado, incluyendo ahora
mayores referencias e incluso muchos de los códigos necesarios.
• Gran cantidad de problemas nuevos, además de otros actualizados, que permitirán
ejercitar y aplicar las habilidades adquiridas. Por ende, la sección de respuestas al final
del libro ha cambiado por completo.
MATLAB ®
El texto cuenta con más de 230 problemas opcionales para MATLAB®, muchos de los cuales tienen varios incisos, que aparecen después de la mayoría de las secciones de problemas
(MATLAB® es una marca registrada de The Math Works, Inc.). MATLAB® es un paquete poderoso pero amigable, diseñado para manejar problemas de una amplia variedad que requieren
cálculos con matrices y conceptos de álgebra lineal. Se puede ver mayor información sobre este
programa en la sección de apéndices. Los problemas relacionados directamente con los ejemplos
y los problemas normales exhortan al estudiante a explotar el poder de cálculo de MATLAB®
y explorar los principios del álgebra lineal mediante el análisis y la obtención de conclusiones.
Además, se cuenta con varios incisos de “papel y lápiz” que permiten que el alumno ejercite su
juicio y demuestre su aprendizaje de los conceptos.
La sección 1.3 es la primera que contiene problemas de MATLAB®; antes de estos problemas se presenta una introducción y una tutoría breve. Los problemas de MATLAB® en cada
sección están diseñados para que el usuario conozca los comandos de MATLAB® a medida
que se van requiriendo para la resolución de problemas. Se cuenta con numerosas aplicaciones
y problemas proyecto que demuestran la relevancia del álgebra lineal en el mundo real; éstos
pueden servir como trabajos de grupo o proyectos cortos.
Muchos de los problemas de MATLAB® están diseñados para animar a los estudiantes
a describir teoremas de álgebra lineal. Por ejemplo, un estudiante que genere varias matrices
triangulares superiores y calcule sus inversas obtendrá la conclusión natural de que la inversa
de una matriz triangular superior es otra triangular superior. La demostración de este resul-
Prefacio
tado no es trivial, pero tendrá sentido si el estudiante “ve” que el resultado es aceptable. Prácticamente todos los conjuntos de problemas de MATLAB® contienen algunos que llevan a
resultados matemáticos.
Lo mismo que en el caso del manejo de calculadora, se resalta aquí el hecho de que el
material de MATLAB® es opcional. Se puede asignar o no según el profesor lo considere conveniente.
En lugar de colocar la sección de MATLAB a manera de suplemento, se decidió conservarlo dentro de los capítulos para que la integración fuera mayor y más efectiva. Además, se ha
cuidado que primero se enseñe a los estudiantes la manera de resolver los problemas “a mano”,
comprendiendo los conceptos, para después poder incorporar el uso de otras herramientas.
Álgebra lineal conserva el diseño de un libro para cubrirse en un semestre. Es de esperarse
que, al utilizarlo, el material de MATLAB se cubra en un laboratorio separado que complemente el trabajo del salón de clase.
Numeración
La numeración de este libro es estándar. Dentro de cada sección, los ejemplos, problemas, teoremas y ecuaciones se encuentran numerados consecutivamente a partir del número 1, y siempre se
incluye el capítulo y la sección. De esta forma, el ejemplo 4 en la sección 3.2 siempre se denomina
ejemplo 3.2.4. Además, con frecuencia se proporciona el número de la página para que resulte
sencillo encontrar referencias.
Organización
El enfoque que se ha utilizado en este libro es gradual. Los capítulos 1 al 3 contienen el material
computacional básico común para la mayor parte de los libros de álgebra lineal. El capítulo
1 presenta los sistemas de ecuaciones lineales. El capítulo 2 introduce los conceptos de matrices y vectores, y presenta la relación de éstos con los sistemas de ecuaciones, estudiados en el
capítulo 1. Esta presentación proporciona una mayor motivación para el estudiante y sigue el
orden de la mayoría de los temarios del curso. También se incluyó una sección (2.8) en la que
se aplican matrices a la teoría de gráficas. El capítulo 3 proporciona una introducción a los
determinantes e incluye un ensayo histórico sobre las contribuciones de Leibniz y Cauchy al
álgebra lineal (sección 3.5).
Dentro de este material básico, incluso hay secciones opcionales que representan un reto
un poco mayor para el estudiante. Por ejemplo, la sección 3.5 proporciona una demostración
completa de que det AB 5 detA detB. La demostración de este resultado, mediante el uso de
matrices elementales, casi nunca se incluye en libros introductorios.
El capítulo 4 analiza los vectores en el plano y el espacio. Muchos de los temas de este capítulo se cubren según el orden con el que se presentan en los libros de cálculo, de manera que es
posible que el estudiante ya se encuentre familiarizado con ellos. Sin embargo, como una gran
parte del álgebra lineal está relacionada con el estudio de espacios vectoriales abstractos, los
alumnos necesitan un acervo de ejemplos concretos que el estudio de los vectores en el plano
y el espacio proporciona de manera natural. El material más difícil de los capítulos 5, 6 y 7 se
ilustra con ejemplos que surgen del capítulo 4. La sección 4.4 incluye un ensayo histórico sobre
Gibbs y el origen del análisis vectorial.
El capítulo 5 contiene una introducción a los espacios vectoriales generales y es necesariamente más abstracto que los capítulos anteriores. No obstante, intentamos presentar el material
como una extensión natural de las propiedades de los vectores en el plano, que es en realidad la
forma en que surgió el tema. Se ha modificado el orden entre el estudio de cambios de base (sec-
XV
XVI
Prefacio
ción 5.6) y los conceptos de rango y nulidad de matrices (sección 5.7), por considerar que ésta
es una secuencia de conceptos más clara. En la sección opcional (5.8) se demuestra que todo
espacio vectorial tiene una base. Al hacerlo se analizan los conjuntos ordenados y el lema de
Zorn. Dicho material es más complicado que cualquier otro tema en el libro y se puede omitir.
Sin embargo, como el álgebra lineal a menudo se considera el primer curso en el que las demostraciones son tan importantes como los cálculos, en mi opinión el estudiante interesado debe
disponer de una demostración de este resultado fundamental. En el capítulo 6 se presenta la
relación existente entre los espacios vectoriales y los productos internos, y se incluye una sección
(6.2) de aplicaciones interesantes sobre la aproximación por mínimos cuadrados.
El capítulo 7 continúa el análisis que se inició en el capítulo 5 con una introducción a las
transformaciones lineales de un espacio vectorial a otro. Comienza con dos ejemplos que muestran la manera natural en la que pueden surgir las transformaciones. La sección 7.3 describe
de manera detallada la geometría de las transformaciones de R2 en R2, e incluye expansiones,
compresiones, reflexiones y cortes. La sección 7.5 ahora contiene un estudio más detallado de
las isometrías de R2.
El capítulo 8 describe la teoría de los valores y vectores característicos o valores y vectores
propios. Se introducen en la sección 8.1 y en la sección 8.2 se da una aplicación biológica minuciosa del crecimiento poblacional. Las secciones 8.3, 8.4 y 8.5 presentan la diagonalización de
una matriz, mientras que la sección 8.6 ilustra, para unos cuantos casos, cómo se puede reducir
una matriz a su forma canónica de Jordan. La sección 8.7 estudia las ecuaciones diferenciales
matriciales y es la única sección del libro que requiere conocimiento del primer curso de cálculo.
Esta sección proporciona un ejemplo de la utilidad de reducir una matriz a su forma canónica de
Jordan (que suele ser una matriz diagonal). En la sección 8.8 introduje dos de mis resultados favoritos acerca de la teoría de matrices: el teorema de Cayley-Hamilton y el teorema de los círculos
de Gershgorin. El teorema de los círculos de Gershgorin es un resultado muy rara vez estudiado
en los libros de álgebra lineal elemental, que proporciona una manera sencilla de estimar los valores propios de una matriz.
En el capítulo 8 tuve que tomar una decisión difícil: si analizar o no valores y vectores propios complejos. Decidí incluirlos porque me pareció lo más adecuado. Algunas de las matrices
“más agradables” tienen valores propios complejos. Si se define un valor propio como un número real, sólo en un principio se pueden simplificar las cosas, aunque esto sea un error. Todavía
más, en muchas aplicaciones que involucran valores propios (incluyendo algunas de la sección
8.7), los modelos más interesantes se relacionan con fenómenos periódicos y éstos requieren
valores propios complejos. Los números complejos no se evitan en este libro. Los estudiantes
que no los han estudiado antes pueden encontrar las pocas propiedades que necesitan en el
apéndice B.
El libro tiene cinco apéndices, el primero sobre inducción matemática y el segundo sobre
números complejos. Algunas de las demostraciones en este libro hacen uso de la inducción
matemática, por lo que el apéndice A proporciona una breve introducción a esta importante
técnica para los estudiantes que no la han utilizado.
El apéndice C analiza el concepto básico de la complejidad de los cálculos que, entre otras
cosas, ayudará a los estudiantes a entender las razones por las cuales quienes desarrollan software eligen algoritmos específicos. El apéndice D presenta un método razonablemente eficiente
para obtener la solución numérica de los sistemas de ecuaciones. Por último, el apéndice E
incluye algunos detalles técnicos sobre el uso de MATLAB® en este libro.
Una nota sobre la interdependencia de los capítulos: este libro está escrito en forma secuencial. Cada capítulo depende de los anteriores, con una excepción: el capítulo 8 se puede
cubrir sin necesidad de gran parte del material del capítulo 7. Las secciones marcadas como
“opcional” se pueden omitir sin pérdida de la continuidad.
Prefacio
Materiales de apoyo
Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseñanzaaprendizaje, así como facilitan su evaluación, los cuales se otorgan a profesores que adoptan
este texto para sus cursos. Para obtener más información y conocer la política de entrega de
estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill.
Agradecimientos
Estoy agradecido con muchas personas que me ayudaron cuando escribía este libro. Parte del
material apareció primero en Mathematics for the Biological Sciences (Nueva York, Macmillan,
1974) escrito por James E. Turner y por mí. Quiero agradecer al profesor Turner por el permiso
que me otorgó para hacer uso de este material.
Gran parte de este libro fue escrita mientras trabajaba como investigador asociado en la
University College London. Deseo agradecer al departamento de matemáticas de UCL por
proporcionarme servicios de oficina, sugerencias matemáticas y, en especial, su amistad durante mis visitas anuales.
El material de MATLAB® fue escrito por Cecelia Laurie, de la University of Alabama.
Gracias a la profesora Laurie por la manera sobresaliente en que utilizó la computadora para
mejorar el proceso de enseñanza. Éste es un mejor libro debido a sus esfuerzos.
También me gustaría extender mi agradecimiento a Cristina Palumbo, de The MathWorks,
Inc., por proporcionarnos la información más reciente sobre MATLAB®.
La efectividad de un libro de texto de matemáticas depende en cierto grado de la exactitud
de las respuestas. Ya en la edición anterior del libro se hicieron esfuerzos considerables para
tratar de evitar los errores al máximo. Las respuestas fueron verificadas por varios profesores,
entre los que cabe destacar la importantísima labor de Sudhir Goel, de Valdosta State College,
y David Ragozin, de la University of Washington, quien elaboró el Manual de Soluciones del
libro. Cecelia Laurie preparó las soluciones a los problemas de MATLAB®. En el caso de esta
nueva edición, las soluciones a los problemas nuevos están elaboradas por los profesores que
los aportaron. Dado que hay gran cantidad de problemas nuevos, la sección de respuestas al
final del libro se modificó casi por completo.
Agradezco a aquellas personas que hicieron comentarios a la edición anterior. Todos ellos
son muy valiosos. En esta edición fue posible incorporar muchos de ellos.
Mi agradecimiento a los siguientes usuarios experimentados de MATLAB® por la revisión
de los problemas de MATLAB®:
Thomas Cairns, University of Tulsa
Karen Donelly, Saint Joseph’s College
Roger Horn, University of Utah
Irving Katz, George Washington University
Gary Platt, University of Wisconsin-Whitewater
Stanley I. Grossman
Missoula, Montana
José Job Flores Godoy
Universidad Iberoamericana
XVII
XVIII
Prefacio
Agradecimientos
De manera especial agradecemos a los siguientes profesores sus contribuciones y revisiones de
la sexta edición de esta obra:
• Abelardo Ernesto Damy Solís, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus Guadalajara
• Dax André Pinseau Castillo, Universidad Católica de Honduras; Universidad Pedagógica
Nacional de Honduras
• Eduardo Soberanes Lugo, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Sinaloa
• Erik Leal Enríquez, Universidad Iberoamericana, Ciudad de México; Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco
• Irma Patricia Flores Allier, Instituto Politécnico Nacional
• Israel Portillo Arroyo, Instituto Tecnológico del Parral, Chihuahua
• Iván Castañeda Leyva, Universidad de Occidente, unidad Culiacán
• Kristiano Racanello, Fundación Universidad de las Américas, Puebla
• María Asunción Montes Pacheco, Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla
• María Eugenia Noriega Treviño, Universidad Autónoma de San Luis Potosí
• Martha Patricia Meléndez Aguilar, Instituto Tecnológico de Celaya
La división de Ingenierías, Matemáticas y Ciencias de McGraw-Hill agradece también a todos
los profesores que han contribuido con este importante proyecto:
• Adán Medina, Instituto Tecnológico de Culiacán
• Alfonso Bernal Amador, Instituto Tecnológico de Culiacán
• Alfredo Gómez Rodríguez, Universidad Nacional Autónoma de México,
Facultad de Ingeniería
• Andrés Basilio Ramírez y Villa, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional
Autónoma de México
• Arturo Astorga Ramos, Instituto Tecnológico de Mazatlán
• Arturo Fernando Quiroz, Tecnológico Regional de Querétaro
•
•
•
•
Arturo Muñoz Lozano, Universidad La Salle del Bajío
Arturo Valenzuela Valenzuela, Instituto Tecnológico de Culiacán
Aureliano Castro, Escuela de Ingeniería, Universidad Autónoma de Sinaloa
Beatriz Velazco, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Culiacán
• Benigno Valez, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Culiacán
• Bertha Alicia Madrid, Universidad Iberoamericana, campus Cuidad de México
Agradecimientos
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•
•
•
•
Carlos Camacho Sánchez, Instituto Tecnológico de Culiacán
Carlos Garzón, Universidad Javeriana, Cali, Colombia
Carlos Rodríguez Provenza, Universidad Politécnica de Querétaro
César Meza Mendoza, Instituto Tecnológico de Culiacán
Dinaky Glaros, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Culiacán
Edgar Hernández López, Universidad Iberoamericana, campus León
Edith Salazar Vázquez, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Toluca
Edmundo Barajas Ramírez, Universidad Iberoamericana, campus León
Eduardo Miranda Montoya, Iteso
Eréndira Gabriela Avilés Rabanales, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Toluca
Erik Norman Guevara Corona, Universidad Nacional Autónoma de México
Esperanza Méndez Ortiz, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de
México
Fernando López, Escuela de Ingenierías Químico-Biológicas, Universidad Autónoma de
Sinaloa
Gabriel Martínez, Instituto Tecnológico de Hermosillo
Gerardo Campos Carrillo, Instituto Tecnológico de Mazatlán
Gonzalo Veyro Santamaría, Universidad Iberoamericana, campus León
Guillermo Luisillo Ramírez, ESIME Culhuacán, Instituto Politécnico Nacional
Héctor Escobosa, Instituto Tecnológico de Culiacán
Hortensia Beltrán Ochoa, Instituto Tecnológico de Los Mochis
Irma Yolanda Paredes, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías,
Universidad de Guadalajara
Javier Núñez Verdugo, Universidad de Occidente, unidad Guamúchil
Jesús Gamboa Hinojosa, Instituto Tecnológico de Los Mochis
Jesús Manuel Canizalez, Universidad de Occidente, unidad Mazatlán
Jesús Vicente González Sosa, Universidad Nacional Autónoma de México
Jorge Alberto Castellón, Universidad Autónoma de Baja California
• Jorge Luis Herrera Arellano, Instituto Tecnológico de Tijuana
• José Alberto Gutiérrez Palacios, Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma
del Estado de México, campus Toluca
• José Antonio Castro Inzunza, Universidad de Occidente, unidad Culiacán
• José Carlos Ahumada, Instituto Tecnológico de Hermosillo
• José Carlos Aragón Hernández, Instituto Tecnológico de Culiacán
• José Espíndola Hernández, Tecnológico Regional de Querétaro
• José González Vázquez, Universidad Autónoma de Baja California
• José Guadalupe Octavio Cabrera Lazarini, Universidad Politécnica de Querétaro
• José Guadalupe Torres Morales, ESIME Culhuacán, Instituto Politécnico Nacional
• José Guillermo Cárdenas López, Instituto Tecnológico de Tijuana
• José Luis Gómez Sánchez, Universidad de Occidente, unidad Mazatlán
• José Luis Herrera, Tecnológico Regional de San Luis Potosí
• José Noé de la Rocha, Instituto Tecnológico de Culiacán
XIX
XX
Agradecimientos
• Juan Carlos Pedraza, Tecnológico Regional de Querétaro
• Juan Castañeda, Escuela de Ingenierías Químico-Biológicas, Universidad Autónoma
de Sinaloa
• Juan Leoncio Núñez Armenta, Instituto Tecnológico de Culiacán
• Juana Murillo Castro, Escuela de Ingeniería, UAS
• Leonel Monroy, Universidad del Valle, Cali, Colombia
• Linda Medina, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Ciudad de México
• Lorenza de Jesús, Instituto Tecnológico de Culiacán
• Lucía Ramos Montiel, Universidad Iberoamericana, campus León
• Lucio López Cavazos, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Querétaro
• Luis Felipe Flores, Instituto Tecnológico de Los Mochis
• Luis López Barrientos, EPCA
• Marco Antonio Blanco Olivares, Tecnológico Regional de San Luis Potosí
• Marco Antonio Rodríguez Rodríguez, Instituto Tecnológico de Los Mochis
• María Sara Valentina Sánchez Salinas, Universidad Nacional Autónoma de México
• Maritza Peña Becerril, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Toluca
• Martha Gutiérrez Munguía, Universidad Iberoamericana, campus León
• Martín Muñoz Chávez, UNIVA
• Michell Gómez, Universidad ICESI, Cali, Colombia
• Miguel Ángel Aguirre Pitol, Universidad Autónoma del Estado de México
• Nasario Mendoza Patiño, Tecnológico Regional de Querétaro
• Norma Olivia Bravo, Universidad Autónoma de Baja California
• Oscar Guerrero, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Culiacán
• Oscar René Valdez Casillas, Universidad Nacional Autónoma de México
• Oswaldo Verdugo Verdugo, Instituto Tecnológico de Culiacán
• Porfirio López, Universidad de Occidente, unidad Guamúchil
• Ramón Duarte, Escuela de Ingeniería, Universidad Autónoma de Sinaloa
• Raúl Soto López, Universidad de Occidente, Unidad Culiacán
• Ricardo Betancourt Riera, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Hermosillo
• Ricardo Martínez Gómez, Universidad Nacional Autónoma de México
• Roberto Guzmán González, Universidad Nacional Autónoma de México
• Roberto Robledo Pérez, Instituto Tecnológico de León
• Rosa María Rodríguez González, Universidad Iberoamericana, campus León
• Rosalba Rodríguez Chávez, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma
de México
• Salvador Rojo Lugo, Instituto Tecnológico de Culiacán
• Sithanatham Kanthimathinathan, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Querétaro
• Susana Pineda Cabello, ESIME Culhuacán, Instituto Politécnico Nacional
• Walter Magaña, Universidad de Sanbuenaventura, Cali, Colombia
Examen diagnóstico
Problema 1. Realice la siguientes operaciones.
a) 53 1 35 2 28
b) 8(7 2 16)
c) 25(6) 2 8
d)
3 © 2 7¹
e) ª 2 º
4 « 3 6»
f)
4 12 3
1 2
7 5 2
2
7
3 3
2
5 10
Problema 2. Enumere los elementos de los siguientes conjuntos.
a) B 5 {x|x es vocal de la palabra albaricoque}
b) Q 5 {x|x es un mes del año}
c) L 5 {x|x es par y divide a 10}
b
c) P 5 (x, y)|x es impar y divide a 21 y y 5
x
3
b
Problema 3. Considere los siguientes conjuntos.
U 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. 16, 17, 18}
A 5 {x H U|x es par menor que 10}
B 5 {x H U|x es divisor de 12}
C 5 {x H U|x , 6}
D 5 {x H U|5 , x , 16}
E 5 {x H U|x es un dígito}
Determine los siguientes conjuntos.
a) A x B
b) C y B
c) E x (D y B)
d) D 2 B
e) B 2 D
f ) A9
g) E9
h) (D y A)9
i) (B 2 D)9
Problema 4. Simplifique las siguientes expresiones.
a) 4x2 [2y 2 (5x 2 4y)]
b) (a 2 4b) (3a 1 2b)
XXII
Examen diagnóstico
c)
1
11
d)
1
x
a 1b
c
1
c
a 1b
Problema 5. Factorice las siguientes expresiones.
a) m2 2 9m 1 20
b) m2 2 4mn 2 21n2
c) 4x21 8xy 1 4y2
d) 3x2 1
1
7
x1
8
4
Problema 6. Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) 3x 1 6 5 24x 2 8
b)
5x 7 2 x
5 x
2 1
5 3x 2 1
6
4
3
12 3
c) y2 1 a2 5 (a 1 y)2 2 a(a 1 1)
d)
z 1a z 2a z 1b z 2b
1
2
5
a 2b a 1b a 1b a 2b
Problema 7. Encuentre las raíces de los siguientes polinomios.
a) 5x2 1 3x 2 2
b) x2 1 8x 2 240
c)
17 2
x 1 3x 1 5
10
d) 3x2 1 27
e) 4x2 2 20
Sistemas de ecuaciones lineales
Capítulo
1
En ingeniería civil, al diseñar y analizar estructuras se resuelven sistemas de ecuaciones que describen los esfuerzos que tendrá que soportar la
construcción.
Objetivos del capítulo
En este capítulo el estudiante. . .
• Recordará algunos conceptos asociados con rectas en el plano y un método de solución de ecuaciones algebraicas simultáneas con dos variables (sección 1.1).
• Se familiarizará con el programa Matlab, a fin de resolver
problemas relacionados con sistemas de ecuaciones (sección
1.3).
• Estudiará el método de la reducción gaussiana para resolver
sistemas de ecuaciones algebraicas, junto con términos que
se usarán a lo largo del texto (sección 1.2).
• Aprenderá los sistemas homogéneos y las características de
su solución (sección 1.4).
2
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Este libro trata del álgebra lineal. Al buscar la palabra “lineal” en el diccionario se encuentra, entre otras definiciones, la siguiente: lineal: (del lat. linealis). 1. adj. Perteneciente
o relativo a la línea.1 Sin embargo, en matemáticas la palabra “lineal” tiene un significado
mucho más amplio. Una gran parte de la teoría de álgebra lineal elemental es, de hecho,
una generalización de las propiedades de la línea recta. A manera de repaso se mencionan
algunas propiedades fundamentales sobre las líneas rectas:
y
y2
m
b
x1
x2
x
i) La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por
y1
m5
Figura 1.1
y2 2 y1
Δy
5
x2 2 x1
Δx
si x1 Z x2
viii) Si x2 2 x1 5 0 y y2 Z y1, entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es indefinida.2
Descripción de una recta.
viii) Cualquier recta (a excepción de aquella que tiene una pendiente indefinida) se puede
describir con su ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen y 5 mx 1 b, donde
m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (el valor de y en el punto en el
que la recta cruza el eje y).
iiiv) Dos rectas distintas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
iiiv) Si la ecuación de la recta se escribe en la forma ax 1 by 5 c, (b Z 0), entonces se puede
calcular fácilmente la pendiente m, como m 5 2a/b.
iivi) Si m1 es la pendiente de la recta L1, m2 es la pendiente de la recta L2, m1 Z 0 y L1 y L2
son perpendiculares, entonces m2 5 21/m1.
ivii) Las rectas paralelas al eje x tienen pendiente cero.
viii) Las rectas paralelas al eje y tienen pendiente indefinida.
En la siguiente sección se ilustrará la relación que existe entre resolver sistemas de ecuaciones y
encontrar los puntos de intersección entre pares de rectas.
1.1 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y:
a11x 1 a12 y 5 b1
a21x 1 a22 y 5 b2
N
Nota
De forma breve también suele
referirse al sistema (1.1.1) como un
sistema de 2 3 2.
(1.1.1)
donde a11, a12, a21, a22, b1 y b2 son números dados. Cada una de estas ecuaciones
corresponde a una línea recta. Cualquier par de números reales (x, y) que satisface el sistema (1.1.1) se denomina como solución. Las preguntas que surgen en
forma natural son: ¿tiene este sistema varias soluciones y, de ser así, cuántas? Se
responderán estas preguntas después de ver algunos ejemplos, en los cuales se
usarán propiedades importantes del álgebra elemental:
Propiedad A Si a 5 b y c 5 d, entonces a 1 c 5 b 1 d.
Propiedad B Si a 5 b y c es cualquier número real, entonces ca 5 cb.
La propiedad A establece que si se suman dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuación
correcta. La propiedad B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuación por una
1
2
Diccionario de la Lengua Española, vigesimasegunda edición, Real Academia Española. Madrid: Espasa Calpe, 2001.
Indefinida o infinita, como también se le denomina en otros libros.
1.1
Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
3
constante se obtiene una segunda ecuación válida. Los casos más interesantes de la propiedad
B se presentan cuando c Z 0, ya que aunque la ecuación 0 5 0 es correcta, no es muy útil.
EJEMPLO 1 .1 .1
Sistema con una solución única
Considere el sistema
3x 2 2y 5 4
5x 1 2y 5 12
(1.1.2)
Si se suman las dos ecuaciones se tiene, por la propiedad A, la siguiente ecuación: 8x 5 16 (es
decir, x 5 2). Entonces, si se despeja de la segunda ecuación, 2y 5 12 2 5x 5 12 2 10 5 2,
entonces y 5 1. Así, el par (2, 1) satisface el sistema (1.1.2) y la forma en que se encontró la
solución muestra que es el único par de números que lo hace. Es decir, el sistema (1.1.2) tiene
una solución única.
EJEMPLO 1 .1 .2
Solución única
Sistema con un número infinito de soluciones
Considere el sistema
x2 y5 7
2x 2 2y 5 14
(1.1.3)
Se puede ver que estas dos ecuaciones son equivalentes. Esto es, cualesquiera dos números, x
y y, que satisfacen la primera ecuación también satisfacen la segunda, y viceversa. Para comprobar esto se multiplica la primera ecuación por 2, esto está permitido por la propiedad B. Al
ser ambas ecuaciones equivalentes, lo único que podemos hacer es despejar una incógnita en
términos de cualquiera otra de las dos ecuaciones. Entonces x 2 y 5 7 o y 5 x 2 7. Así, el par
(x, x 2 7) es una solución al sistema (1.1.3) para cualquier número real x. Es decir, el sistema
(1.1.3) tiene un número infinito de soluciones. Para este ejemplo, los siguientes pares son soluciones: (7, 0), (0, 27), (8, 1), (1, 26), (3, 24) y (22, 29).
EJEMPLO 1 .1 .3
Número infinito
de soluciones
Sistema sin solución
Considere el sistema
x2 y5 7
2x 2 2y 5 13
(1.1.4)
Si se multiplica la primera ecuación por 2 (que de nuevo está permitido por la propiedad B) se
obtiene 2x 2 2y 5 14. Esto contradice la segunda ecuación. Por lo tanto, el sistema (1.1.4) no
tiene solución.
y
y
Solución única
a11x 1 a12 y 5 b1
a21x 1 a22 y 5 b2
a) Rectas no paralelas;
un punto de intersección
Número infinito de soluciones
Sin solución
x
0
y
x
0
a11x 1 a12 y 5 b1
a21x 1 a22 y 5 b2
b) Rectas paralelas; sin
puntos de intersección
Figura 1.2
Dos rectas se intersecan en un punto, en ninguno o (si coinciden) en un número infinito de puntos.
x
0
a11x 1 a12 y 5 b1
a21x 1 a22 y 5 b2
c) Rectas que coinciden; número infinito
de puntos de intersección
4
CAPÍTULO 1
Sistema
inconsistente
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema que no tiene solución se dice que es inconsistente.
Geométricamente es fácil explicar lo que sucede en los ejemplos anteriores. Primero, se
repite que ambas ecuaciones del sistema (1.1.1) son de líneas rectas. Una solución a (1.1.1) es
un punto (x, y) que se encuentra sobre las dos rectas. Si las dos rectas no son paralelas, entonces se intersecan en un solo punto. Si son paralelas, entonces nunca se intersecan (es decir, no
tienen puntos en común) o son la misma recta (esto es, tienen un número infinito de puntos
en común). En el ejemplo 1.1.1 las rectas tienen pendientes de 23 y 2 25 , respectivamente, por
lo que no son paralelas y tienen un solo punto en común (2, 1). En el ejemplo 1.1.2, las rectas
son paralelas (tienen pendiente 1) y coincidentes. En el ejemplo 1.1.3, las rectas son paralelas y
distintas. Estas relaciones se ilustran en la figura 1.2.
Ahora se procederá a resolver el sistema (1.1.1) formalmente. Se tiene
a11x 1 a12 y 5 b1
a21x 1 a22 y 5 b2
(1.1.1)
Se deben analizar los siguientes casos:
Caso I
Si a12 5 a22 5 0, el sistema sólo tiene una incógnita, que es x.
Caso II
Si a11 5 a21 5 0, el sistema sólo tiene una incógnita, que es y.
b
Caso III Si a12 5 0 y a11 Z 0, a21 Z 0 y a22 Z 0, entonces x 5 a 1 , y se puede usar la segunda
11
ecuación para despejar y.
b
Caso IV Si a22 5 0 y a11 Z 0, a12 Z 0 y a21 Z 0, entonces x 5 a 2 , y se puede usar la primera
21
ecuación para despejar y.
Caso V
b
Si a11 5 0 y a12 Z 0, a21 Z 0 y a22 Z 0, entonces y 5 a 1 , y se puede usar la segunda
12
ecuación para despejar x.
b
Caso VI Si a21 5 0 y a11 Z 0, a12 Z 0 y a22 Z 0, entonces y 5 a 2 , y se puede usar la primera
22
ecuación para despejar x.
El último caso necesita un desarrollo más detallado, de modo que consideremos que todos los
coeficientes a11, a12, a21 y a22 son diferentes a cero.
Si se multiplica la primera ecuación por a22 y la segunda por a12 se tiene
a11a22 x 1 a12a22 y 5 a22b1
a12a21 x 1 a12a22 y 5 a12b2
Sistemas
equivalentes
(1.1.5)
Antes de continuar observe que los sistemas (1.1.1) y (1.1.5) son equivalentes. Esto quiere decir
que cualquier solución del sistema (1.1.1) es una solución del sistema (1.1.5) y viceversa. Ello se
concluye directamente de la propiedad B, suponiendo que la constante c sea diferente de cero.
Después, si en (1.1.5) se resta la segunda ecuación de la primera, se obtiene
(a11a22 2 a12a21)x 5 a22b1 2 a12b2
(1.1.6)
Observe que si a11a22 2 a12a21 Z 0, entonces se puede dividir entre este término para obtener
x5
a22 b1 2 a12 b2
a11a22 2 a12 a21
Después se puede sustituir este valor de x en el sistema (1.1.1) para despejar y, y así se habrá
encontrado la solución única del sistema.
1.1
Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Se ha demostrado lo siguiente:
Si a11a22 2 a12a21 Z 0, entonces el
sistema (1.1.1) tiene una solución única.
¿Cómo se relaciona esta afirmación con lo que se analizó anteriormente? En el sistema
a
(1.1.1) se puede ver que la pendiente de la primera recta es 2 a11 y que la pendiente de la segun12
a21
da es 2 a . En los problemas 41, 42 y 43 se pide al lector que demuestre que a11a22 2 a12a21 5
22
0 si y sólo si las rectas son paralelas (es decir, tienen la misma pendiente). De esta manera se
sabe que si a11a22 2 a12a21 Z 0, las rectas no son paralelas y el sistema tiene una solución única.
Lo que se acaba de analizar puede formularse en un teorema. En secciones posteriores de
este capítulo y los siguientes se harán generalizaciones de este teorema, y se hará referencia a
él como el “teorema de resumen” conforme se avance en el tema. Una vez que se hayan demostrado todas sus partes, se podrá estudiar una relación asombrosa entre varios conceptos
importantes de álgebra lineal.
T
Teorema 1.1.1 Teorema de resumen (punto de vista 1)
El sistema
a11x 1 a12y 5 b1
a21x 1 a22y 5 b2
de dos ecuaciones con dos incógnitas x y y no tiene solución, tiene una solución única o
tiene un número infinito de soluciones. Esto es:
ii) Tiene una solución única si y sólo si a11a22 2 a12a21 Z 0.
ii) No tiene solución o tiene un número infinito de soluciones, si y sólo si
a11a22 2 a12a21 5 0.
Los sistemas de m ecuaciones con n incógnitas se estudian en la sección 1.2 y se verá que
siempre ocurre lo mismo con respecto a su solución, es decir, que no tienen solución, o que tienen una solución única o un número infinito de soluciones.
A
A U T O E V A L U A C I Ó N 1.1
II) De las siguientes afirmaciones con respecto a la solución de un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas, ¿cuál de ellas no es verdadera?
a) Es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones.
b) Su gráfica consiste en el (los) punto(s) de intersección de las gráficas de las
ecuaciones.
c) Su gráfica es la abscisa de las gráficas de las ecuaciones.
d) Si el sistema es inconsistente, no existe una solución.
II) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para un sistema inconsistente de dos
ecuaciones lineales?
a)
b)
c)
d)
No existe una solución.
La gráfica del sistema está sobre el eje y.
La gráfica de la solución es una recta.
La gráfica de la solución es el punto de intersección de dos líneas.
5
6
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
III) ¿Cuál de las aseveraciones que siguen es cierta para el siguiente sistema de ecuaciones?
3x 2 2 y 5 8
4x 1 y 5 7
a) El sistema es inconsistente.
b) La solución es (21, 2).
c) La solución se encuentra sobre la recta x 5 2.
d) Las ecuaciones son equivalentes.
IV) De las siguientes ecuaciones que se presentan, ¿cuál de ellas es una segunda ecuación para el sistema cuya primera ecuación es x 2 2y 5 25 si debe tener un número infinito de soluciones?
a) 6y 5 3x 1 15
b) 6x 2 3y 5 215
1
5
c) y 5 2 x 1
2
2
d)
3
15
x 5 3y 1
2
2
IV) ¿Cuál de las gráficas de los siguientes sistemas es un par de rectas paralelas?
a) 3x 2 2y 5 7
4y 5 6x 2 14
b) x 2 2y 5 7
3x 5 4 1 6y
c) 2x 1 3y 5 7
3x 2 2y 5 6
d) 5x 1 y 5 1
7y 5 3x
Respuestas a la autoevaluación
I) c)
II) a)
III) c)
IV) a)
V) b)
Problemas 1.1
En los problemas 1 a 18 encuentre las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas dados.
En cada caso calcule el valor de D 5 a11a22 2 a12a21.
1. x 1 y 5 3
x 1 2y 5 28
2. 22x 1 3y 5 3
22x 2 3y 5 23
3. 24x 1 5y 5 0
22x 2 y 5 3
4.
5. 27x 1 3y 5 0
25x 1 10y 5 0
6. 3x 2 7y 5 25
4x 2 3y 5 22
7. 27x 1 4y 5 1
27x 2 4y 5 23
8. 27x 1 4y 5 0
27x 2 4y 5 0
9. 213x 1 3y 5 7
25x 1 22y 5 9
10. 29x 2 3y 5 23
22x 1 4y 5 1
2 2x 5 1
4x 2 3y 5 0
11. 22x 1 3y 5 3
22x 2 3y 5 23
12.
x 1 2y 5 5
3x 1 4y 5 6
13. 22x 1 4y 5 23
22x 1 4y 5 8
14. 27x 1 2y 5 29
27x 1 2y 5 26
1.1
15. 25x 1 7y 5 3
25x 24x 5 28
16. ax 1 by 5 c
ax 2 by 5 c
17. ax 1 by 5 c
bx 1 ay 5 c
18. ax 2 by 5 c
bx 1 ay 5 d
Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
19. Encuentre las condiciones sobre a y b tales que el sistema en el problema 16 tenga una
solución única.
20. Encuentre las condiciones sobre a, b y c tales que el sistema en el problema 17 tenga un
número infinito de soluciones.
21. Encuentre las condiciones sobre a, b, c y d tales que el sistema en el problema 18 no tenga
solución.
En los problemas 22 a 28 encuentre el punto de intersección (si hay uno) de las dos rectas.
22. 2x 1 2y 5 1;
3x 2 5y 5 1
24. 24x 1 2y 5 21;
4x 2 2y 5 1
26. 22y 2 3x 5 7; 29y 1 5y 5 22
28.
3x 2 5 y 5 l;
23. 24x 1 2y 5 1;
4x 2 2y 5 1
25. 7x 2 3y 5 23;
29x 1 5y 5 22
27. px 1 y 5 0;
2x 2 5y 5 2l
5x 2 3 y 5 0
Sea L una recta y L' la recta perpendicular L que pasa a través de un punto P. La distancia de
la recta L al punto P se define como la distancia* entre P y el punto de intersección de L y L'
(ver figura 1.2).
y
d
m
P
1
2
m
L
x
L1
Figura 1.3
Distancia de la recta L al punto P.
En los problemas 29 a 34 encuentre la distancia entre la recta dada y el punto.
29. 2x 2 3y 5 4;
(27, 22)
31. 2x 2 4y 5 242;
33. 3x 1 7y 5 0;
(7, 221)
(22, 28)
30. 25x 1 6y 5 2;
32. 7x 1 5y 5 6;
34. 1lx 2 12y 5 5;
(1, 3)
(0, 0)
(0, 4)
35. Encuentre la distancia entre la recta 2x 2 y 5 6 y el punto de intersección de las rectas
3x 2 2y 5 1 y 6x 1 3y 5 32.
*
Recuerde que si (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos en el plano xy, entonces la distancia d entre ellos está dada por
d 5 ( x1 2 x 2 )2 1 ( y1 2 y 2 )2 .
7
8
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
36. Encuentre la distancia entre la recta paralela a 23x 1 4y 5 25 y que pasa por el punto
(21, 21), y el punto de intersección de las rectas 27x 1 2y 5 4 y 2x 2 8y 5 21.
*37. Pruebe que la distancia entre el punto (x1, y1) y la recta ax 1 by 5 c está dada por
d5
| ax1 1 by1 2 c|
a 2 1 b2
38. Suponga que a11a22 2 a12a21 5 0. Demuestre que las rectas dadas en el sistema de ecuaciones (1.1.1) son paralelas. Suponga que a11 Z 0 o a12 Z 0 y a21 Z 0 o a22 Z 0.
39. Si existe una solución única al sistema (1.1.1), muestre que a11a22 2 a12a21 Z 0.
40. Si a11a22 2 a12a21 Z 0 demuestre que el sistema (1.1.1) tiene una solución única.
41. En un zoológico hay aves (de dos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el zoológico contiene 60 cabezas y 200 patas, ¿cuántas aves y bestias viven en él?
42. Una tienda de helados vende sólo helados con soda y malteadas. Se pone 1 onza de jarabe
y 4 onzas de helado en un helado con soda, y 1 onza de jarabe y 3 onzas de helado en una
malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de jarabe en un día, ¿cuántos
helados con soda y cuántas malteadas vende? [Sugerencia: 1 cuarto 5 32 onzas, 1 galón
5 4 cuartos.]
43. La compañía Sunrise Porcelain fabrica tazas y platos de cerámica. Para cada taza o plato
un trabajador mide una cantidad fija de material y la pone en la máquina que los forma,
de donde pasa al vidriado y secado automático. En promedio, un trabajador necesita tres
minutos para iniciar el proceso de una taza y dos minutos para el de un plato. El material
para una taza cuesta ¢25 y el material para un plato cuesta ¢20. Si se asignan $44 diarios
para la producción de tazas y platos, ¿cuántos deben fabricarse de cada uno en un día
de trabajo de 8 horas, si un trabajador se encuentra trabajando cada minuto y se gastan
exactamente $44 en materiales?
44. Conteste la pregunta del problema 43 si los materiales para una taza y un plato cuestan
¢15 y ¢10, respectivamente, y se gastan $24 en 8 horas de trabajo.
45. Conteste la pregunta del problema 44 si se gastan $25 en 8 horas de trabajo.
1.2 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación
de Gauss-Jordan y gaussiana
En esta sección se describe un método para encontrar todas las soluciones (si es que existen)
de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Al hacerlo se verá que, igual que en el
caso de 2 3 2, estos sistemas o bien no tienen solución, tienen una solución única o tienen un
número infinito de soluciones. Antes de llegar al método general se verán algunos ejemplos sencillos. Como variables, se usarán x1, x2, x3, etc., en lugar de x, y, z, . . . porque la generalización
es más sencilla si se usa la notación con subíndices.
EJ EM PLO 1 .2 .1
Solución de un sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas: solución única
Resuelva el sistema
2x1 1 4x2 1 6x3 5 18
4x1 1 5x2 1 6x3 5 24
3x1 1 x2 2 2x3 5 4
(1.2.1)
1.2
m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
Solución En este caso se buscan tres números x1, x2, x3, tales que las tres ecuaciones
en (1.2.1) se satisfagan. El método de solución que se estudiará será el de simplificar las ecuaciones como se hizo en la sección 1.1, de manera que las soluciones se puedan identificar de
inmediato. Se comienza por dividir la primera ecuación entre 2. Esto da
x1 1 2x2 1 3x3 5 9
(1.2.2a)
4x1 1 5x2 1 6x3 5 24
(1.2.2b)
3x1 1 x2 2 2x3 5 4
(1.2.2c)
Como se vio en la sección 1.1, al sumar dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuación equivalente. Esta nueva ecuación puede sustituir a cualquiera de las dos ecuaciones del sistema que
se usaron para obtenerla. Primero se simplifica el sistema (1.2.2) multiplicando ambos lados
de la ecuación (1.2.2a) por 24 y sumando esta nueva ecuación a la ecuación (1.2.2b). Esto da
24x1 2 8x2 2 12x3 5 236
4x1 1 5x2 1 6x3 5 24
23x2 2 6x3 5 212
La ecuación 23x2 2 6x3 5 212 es la nueva ecuación (1.2.2b) y el sistema ahora es
x1 1 2x2 1 3x3 5 9
23x2 2 6x3 5 212
3x1 1 x2 2 2x3 5 4
Entonces, la ecuación (1.2.2a) se multiplica por 23 y se suma a la ecuación
(1.2.2c), lo que da por resultado:
x1 1 2x2 1 3x3 5 9
N
Nota
Como se puede ver por el desarrollo
anterior, se ha sustituido la ecuación
4x1 1 5x2 1 6x3 5 24 por la ecuación
23x2 2 6x3 5 212. En este ejemplo
y otros posteriores se sustituirán
ecuaciones con otras más sencillas
hasta obtener un sistema cuya solución
se pueda identificar de inmediato.
(1.2.3a)
23x2 2 6x3 5 212
(1.2.3b)
25x2 2 11x3 5 223
(1.2.3c)
Observe que en el sistema (1.2.3) se ha eliminado la variable x1 de las ecuaciones (1.2.3b) y
(1.2.3c). Después se divide la ecuación (1.2.3b) por 23:
x1 1 2x2 1 3x3 5 9
(1.2.4a)
x2 1 2x3 5 4
(1.2.4b)
25x2 2 11x3 5 223
(1.2.4c)
Se multiplica la ecuación (1.2.4b) por 22 y se suma a la ecuación (1.2.4a); después se multiplica
la ecuación (1.2.4b) por 5 y se suma a la ecuación (1.2.4c):
x1
2
x3 5 1
(1.2.5a)
x2 1 2x3 5 4
(1.2.5b)
x3 5 23
(1.2.5c)
x3 5 1
(1.2.6a)
x2 1 2x3 5 4
(1.2.6b)
x3 5 3
(1.2.6c)
Ahora se multiplica la ecuación (1.2.5c) por 21:
x1
2
9
10
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Por último, se suma la ecuación (1.2.6c) a la ecuación (1.2.6a) y después se multiplica la ecuación (1.2.6c) por 22 y se suma a la ecuación (1.2.6b) para obtener el siguiente sistema, el cual
es equivalente al sistema (1.2.1):
54
x1
x2
5 22
x3 5 3
Eliminación de
Gauss-Jordan
Ésta es la solución única para el sistema. Se escribe en la forma (4, 22, 3). El método que se usó
se conoce como eliminación de Gauss-Jordan.3
Antes de seguir con otro ejemplo es conveniente resumir lo que se hizo en éste:
iii) Se dividió la primera ecuación, entre una constante, para hacer el coeficiente de x1
igual a 1.
iii) Se “eliminaron” los términos en x1 de la segunda y tercera ecuaciones. Esto es, los
coeficientes de estos términos se hicieron cero al multiplicar la primera ecuación por
las constantes adecuadas y sumándola a la segunda y tercera ecuaciones, respectivamente, de manera que al sumar las ecuaciones una de las incógnitas se eliminaba.
iii) Se dividió la segunda ecuación entre una constante, para hacer el coeficiente de x2
igual a 1 y después se usó la segunda ecuación para “eliminar” los términos en x2 de la
primera y tercera ecuaciones, de manera parecida a como se hizo en el paso anterior.
iv) Se dividió la tercera ecuación entre una constante, para hacer el coeficiente de x3 igual
a 1 y después se usó esta tercera ecuación para “eliminar” los términos de x3 de la primera y segunda ecuaciones.
Matriz
Matriz de
coeficientes
Matriz de m 3 n
Matriz
aumentada
Cabe resaltar el hecho de que, en cada paso, se obtuvieron sistemas equivalentes. Es decir,
cada sistema tenía el mismo conjunto de soluciones que el precedente. Esto es una consecuencia de las propiedades A y B de la página 2.
Antes de resolver otros sistemas de ecuaciones es conveniente introducir una notación que
simplifica la escritura de cada paso del procedimiento mediante el concepto de matriz. Una
matriz es un arreglo rectangular de números y éstas se estudiarán con gran detalle al inicio
de la sección 2.1. Por ejemplo, los coeficientes de las variables x1, x2, x3 en el sistema (1.2.1) se
pueden escribir como los elementos de una matriz A, llamada matriz de coeficientes del sistema:
©
¹
ª
$5ª
ºº
ª« 2 º»
(1.2.7)
Una matriz con m renglones y n columnas se llama una matriz de m 3 n. El símbolo m 3 n se
lee “m por n”. El estudio de matrices constituye gran parte de los capítulos restantes de este
libro. Por la conveniencia de su notación para la resolución de sistemas de ecuaciones, las presentamos aquí.
Al usar la notación matricial, el sistema (1.2.1) se puede escribir como la matriz aumentada
©
_ ¹
ª
_ ºº
ª
ª« 2 _ º»
3
(1.2.8)
Recibe este nombre en honor del gran matemático alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y del ingeniero alemán
Wilhelm Jordan (1844-1899). Vea la semblanza bibliográfica de Gauss en la página 21. Jordan fue un experto en
investigación geodésica tomando en cuenta la curvatura de la Tierra. Su trabajo sobre la solución de sistemas de ecuaciones apareció en 1888 en su libro Handbuch der Vermessungskunde (Manual de geodesia).
1.2
m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
Ahora es posible introducir cierta terminología. Se ha visto que multiplicar (o dividir)
los dos lados de una ecuación por un número diferente de cero da por resultado una nueva
ecuación equivalente. Más aún, si se suma un múltiplo de una ecuación a otra del sistema se
obtiene otra ecuación equivalente. Por último, si se intercambian dos ecuaciones en un sistema
de ecuaciones se obtiene un sistema equivalente. Estas tres operaciones, cuando se aplican a
los renglones de la matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones, se denominan
operaciones elementales por renglones.
Operaciones elementales por renglones
11
Operaciones
elementales
por renglones
Las tres operaciones elementales por renglones aplicadas a la matriz aumentada que representa
un sistema de ecuaciones son:
Operaciones elementales por renglones
i) Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero.
ii) Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
iii) Intercambiar dos renglones.
El proceso de aplicar las operaciones elementales por renglones para simplificar una matriz
aumentada se llama reducción por renglones.
Notación
1. Ri → cRi quiere decir “reemplaza el i-ésimo renglón por ese mismo renglón multiplicado
por c”. [Para multiplicar el i-ésimo renglón por c se multiplica cada número en el i-ésimo
renglón por c.]
2. Rj → Rj 1 cRi significa sustituye el j-ésimo renglón por la suma del renglón j más el renglón i multiplicado por c.
}
3. Ri
Rj quiere decir “intercambiar los renglones i y j”.
4. A → B indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución.
Matrices aumentadas equivalentes
En el ejemplo 1.2.1 se vio que al usar las operaciones elementales por renglones i) y ii) varias
veces, se puede obtener un sistema cuyas soluciones estén dadas en forma explícita. Ahora se
repiten los pasos del ejemplo 1.2.1 usando la notación que se acaba de introducir:
⎛2 4
6
⎜
6
⎜4 5
⎜ 3 1 22
⎝
|
|
|
⎛1 2
3
18 ⎞
⎟ R1 → 12 R1 ⎜
24 ⎟ ⎯⎯⎯⎯
6
→⎜ 4 5
4⎟
⎜ 3 1 22
⎠
⎝
⎛1 2
3
⎜
2
⎯⎯⎯⎯
→⎜ 0 1
⎜ 0 5 2 11
⎝
R2 → 13 R2
|
|
|
|
|
|
2
3
9 ⎞ R2 → R2 2 4 R1 ⎛ 1
⎟ R3 → R3 2 3 R1 ⎜
24 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 2 3 2 6
⎜ 0 2 5 2 11
4 ⎟⎠
⎝
9 ⎞ R1 → R1 2 2 R2 ⎛ 1 0 2 1
⎟ R3 → R3 1 5 R2 ⎜
2
4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1
⎟
⎜
0
0
1
2
2 23⎠
⎝
|
|
|
1⎞
⎟
4⎟
2 3⎟⎠
|
|
|
9⎞
⎟
2 12 ⎟
2 23 ⎟⎠
Reducción
por renglones
12
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
⎛ 1 0 21
⎜
2
⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1
⎜0 0
1
⎝
⎞ R1 → R1 1 R3
⎛1 0 0
1
⎟ R2 → R2 2 2 R3 ⎜
4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 0
⎜0 0 1
3 ⎟⎠
⎝
|
R3 → 2R3
|
|
|
|
|
4⎞
⎟
22⎟
3 ⎟⎠
De nuevo se puede “ver” de inmediato que la solución es x1 5 4, x2 5 22, x3 5 3.
EJ EM PLO 1 .2 .2
Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
número infinito de soluciones
Resuelva el sistema
2x1 1 4x2 1 6x3 5 18
4x1 1 5x2 1 6x3 5 24
2x1 1 7x2 1 12x3 5 30
Solución Para resolver este sistema se procede como en el ejemplo 1.2.1, esto es, primero se escribe el sistema como una matriz aumentada:
©
_ ¹
ª
_ ºº
ª
ª« _ º»
Después se obtiene, sucesivamente,
⎛1 2
3
⎜
⎯⎯⎯⎯
→⎜ 4 5 6
⎜ 2 7 12
⎝
R1 → 12 R1
|
|
|
2
3
9 ⎞ R2 → R2 2 4 R1 ⎛ 1
⎟ R3 → R3 2 2 R1 ⎜
24 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 23 26
⎜0
3
6
30 ⎟⎠
⎝
⎛1 2 3
⎜
⎯⎯⎯⎯
→⎜ 0 1 2
⎜0 3 6
⎝
|
R2 → 13 R2
|
|
|
|
|
9⎞
⎟
212 ⎟
12 ⎟⎠
9 ⎞ R1 → R1 2 2 R2 ⎛ 1 0 21
⎟ R3 → R3 2 3 R2 ⎜
2
4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1
⎜0 0
0
12 ⎟⎠
⎝
|
|
|
⎞
1
⎟
4⎟
0 ⎟⎠
Esto es equivalente al sistema de ecuaciones
2
x1
x3 5 1
x2 1 2x3 5 4
Hasta aquí se puede llegar. Se tienen sólo dos ecuaciones para las tres incógnitas x1, x2 y x3, y
por lo tanto existe un número infinito de soluciones. Para comprobar esto se elige a x3 como
parámetro y se despejan a x1 y x2 en términos de x3. Entonces x2 5 4 2 2x3 y x1 5 1 1 x3. Ésta
será una solución para cualquier número x3. Se escribe esta solución en la forma (1 1 x3, 4 2
2x3, x3). Por ejemplo, si x3 5 0, se obtiene la solución (1, 4, 0). Para x3 5 10 se obtiene la solución (11, 216, 10), y por ello para cada valor de x3 habrá una solución distinta.
EJ EM PLO 1 .2 .3
Sistema inconsistente
Resuelva el sistema
2x2 1 3x3 5 4
2x1 2 6x2 1 7x3 5 15
x1 2 2x2 1 5x3 5 10
(1.2.9)
1.2
Solución
m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
La matriz aumentada para este sistema es
⎛0
2 3
⎜
⎜ 2 26 7
⎜ 1 22 5
⎝
|
|
|
4⎞
⎟
15 ⎟
10 ⎟
⎠
El elemento 1,1 de la matriz no se puede hacer 1 como antes porque al multiplicar 0 por cualquier número real el resultado es 0. En su lugar se puede usar la operación elemental por renglones iii) intercambiar dos renglones, para obtener un número distinto a cero en la posición 1,1. Se
puede intercambiar el renglón 1 con cualquiera de los otros dos; sin embargo, al intercambiar los
renglones 1 y 3 queda un 1 en esa posición. Al hacerlo se obtiene lo siguiente:
⎛0
2 3
⎜
⎜ 2 26 7
⎜ 1 22 5
⎝
|
|
|
⎛ 1 22 5
4⎞
⎟ R1 T R3 ⎜
15 ⎟ ⎯ ⎯⎯→ ⎜ 2 2 6 7
⎜0
10 ⎟
2 3
⎠
⎝
|
|
|
⎛ 1 22
5
10 ⎞
⎟ R2 → R2 2 2 R1 ⎜
15 ⎟ ⎯⎯
⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 2 2 2 3
⎜0
4⎟
2
3
⎠
⎝
|
|
|
10 ⎞
⎟
25⎟
4⎟
⎠
Es necesario detenerse aquí porque, como se ve, las últimas dos ecuaciones son
22x2 2 3x3 5 25
2x2 1 3x3 5
4
lo cual es imposible (si 22x2 2 3x3 5 25, entonces 2x2 1 3x3 5 5, no 4), por lo que no existe
alguna solución. Se puede proceder como en los últimos dos ejemplos para obtener una forma
más estándar:
⎛ 1 22 5
⎜
1 23
⎯⎯⎯⎯
→⎜0
⎜
⎜⎝ 0
2 3
R2 → 12 R2
|
|
|
10 ⎞ R1 → R1 1 2 R2 ⎛ 1 0 8
⎟ R3 → R3 2 2 R2 ⎜
5⎟
⎜ 0 1 23
2 ⎯⎯⎯⎯⎯→
⎟
⎜
⎜⎝ 0 0 0
4 ⎟⎠
|
|
|
15 ⎞
⎟
5⎟
2
⎟
2 1⎟⎠
Ahora la última ecuación es 0x1 1 0x2 1 0x3 5 21, lo cual también es imposible ya que 0 Z 21.
Así, el sistema (1.2.9) no tiene solución. En este caso se dice que el sistema es inconsistente.
D
Definición 1.2.1
Sistemas inconsistentes y consistentes
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente si no tiene solución. Se dice
que un sistema que tiene al menos una solución es consistente.
Se analizarán de nuevo estos tres ejemplos. En el ejemplo 1.2.1 se comenzó con la matriz de
coeficientes
©2 4
6¹
ª
º
6º
A1 5 ª 4 5
ª« 3 1 22 º»
En el proceso de reducción por renglones, A1 se “redujo” a la matriz
© 1 0 0¹
R1 5 ª 0 1 0 º
ª
º
« 0 0 1»
13
14
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
En el ejemplo 1.2.2 se comenzó con
© 2 4 6¹
ª
º
A2 5 ª 4 5 6 º
ª« 2 7 12 º»
y se terminó con
© 1 0 21 ¹
2º
R2 5 ª 0 1
ª
º
ª« 0 0
0 º»
En el ejemplo 1.2.3 se comenzó con
©0
2 3¹
ª
º
A3 5 ª 2 2 6 7 º
ª« 1 22 5 º»
y se terminó con
© 1 0 8¹
ª
º
R3 5 ª 0 1 23 º
ª« 0 0 0 º»
Las matrices R1, R2, R3 se denominan formas escalonadas reducidas por renglones de las matrices A1, A2 y A3, respectivamente. En general, se tiene la siguiente definición:
D
Definición 1.2.2
Forma escalonada reducida por renglones y pivote
Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por renglones si se cumplen las
siguientes condiciones:
iii) Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz.
iii) El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier
renglón cuyos elementos no todos son cero es 1.
N
Nota
La condición iii ) se puede reescribir
como “el pivote en cualquier renglón
está a la derecha del pivote del
renglón anterior”.
iii) Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón de abajo está más hacia la derecha que el primer 1 en el
renglón de arriba.
iv) Cualquier columna que contiene el primer 1 en un renglón tiene ceros en
el resto de sus elementos. El primer número diferente de cero en un renglón (si lo hay) se llama pivote para ese renglón.
EJ EM PLO 1 .2 .4
Cinco matrices en la forma escalonada reducida por renglones
Las siguientes matrices están en la forma escalonada reducida por renglones:
© 1 0 0¹
i) ª 0 1 0º
ª
º
ª« 0 0 1º»
© 1 0 0 0¹
ii) ª 0 1 0 0º
ª
º
ª« 0 0 0 1º»
© 1 0 0 5¹
iii) ª
« 0 0 1 2 º»
© 1 0¹
iv) ª
« 0 1º»
© 1 0 2 5¹
v) ª 0 1 3 6 º
ª
º
ª« 0 0 0 0 º»
1.2
m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
15
Las matrices i) y ii) tienen tres pivotes; las otras tres matrices tienen dos pivotes.
D
Definición 1.2.3
Forma escalonada por renglones
Una matriz está en la forma escalonada por renglones si se cumplen las condiciones i),
ii) y iii) de la definición 1.2.2.
EJEMPL O 1 .2 .5
Cinco matrices en la forma escalonada por renglones
Las siguientes matrices se encuentran en la forma escalonada por renglones:
© 1 2 3¹
i) ªª 0 1 5º
º
ª« 0 0 1º»
© 1
ii) ª 0
ª
ª« 0
© 1 0 2 5¹
iii) ª
« 0 0 1 2 º»
21
1
0
© 1 2¹
iv) ª
« 0 1 º»
6
2
0
4¹
28 º
º
1 º»
© 1 3 2 5¹
v) ª 0 1 3 6 º
ª
º
ª« 0 0 0 0 º»
En el siguiente ejemplo se muestra cómo dos matrices en forma escalonada por
renglones son equivalentes entre sí. Sean
⎛ 1 2 2 1 2 1⎞
⎛ 1 3 2 5⎞
R1 → R1 2 R2
⎜
⎟
A 5 0 1 3 6 ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1
3
6⎟ 5 B .
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 1⎠
⎜⎝ 0 0
0
0 ⎟⎠
Esto significa que cualquier matriz que sea equivalente por renglones a la matriz
A también lo es a la matriz B.
Como se vio en los ejemplos 1.2.1, 1.2.2 y 1.2.3, existe una fuerte relación
entre la forma escalonada reducida por renglones y la existencia de la solución
única para el sistema. En el ejemplo 1.2.1 dicha forma para la matriz de coeficientes (es decir, en las primeras tres columnas de la matriz aumentada) tenían un 1 en
cada renglón y existía una solución única. En los ejemplos 1.2.2 y 1.2.3 la forma
escalonada reducida por renglones de la matriz de coeficientes tenía un renglón
de ceros y el sistema no tenía solución o tenía un número infinito de soluciones.
Esto siempre es cierto en cualquier sistema de ecuaciones con el mismo número
de ecuaciones e incógnitas. Pero antes de estudiar el caso general se analizará la
utilidad de la forma escalonada por renglones de una matriz. Es posible resolver
el sistema en el ejemplo 1.2.1 reduciendo la matriz de coeficientes a esta forma.
EJEMPL O 1 .2 .6
N
Nota
Por lo general, la forma escalonada por
renglones de una matriz no es única. Es
decir, una matriz puede ser equivalente,
en sus renglones, a más de una matriz
en forma escalonada por renglones.
Observación 1
La diferencia entre estas dos formas
debe ser evidente a partir de los
ejemplos. En la forma escalonada por
renglones, todos los números abajo
del primer 1 en un renglón son cero.
En la forma escalonada reducida por
renglones, todos los números abajo y
arriba del primer 1 de un renglón son
cero. Así, la forma escalonada reducida
por renglones es más exclusiva. Esto
es, en toda matriz en forma escalonada
reducida por renglones se encuentra
también la forma escalonada por renglones, pero el inverso no es cierto.
Observación 2
Siempre se puede reducir una matriz
a la forma escalonada reducida por
renglones o a la forma escalonada
por renglones realizando operaciones
elementales por renglones. Esta
reducción se vio al obtener la forma
escalonada reducida por renglones en
los ejemplos 1.2.1, 1.2.2 y 1.2.3.
Solución de un sistema mediante eliminación gaussiana
Resuelva el sistema del ejemplo 1.2.1 reduciendo la matriz de coeficientes a la forma escalonada
por renglones.
Solución
Se comienza como antes:
⎛2 4
⎛1 2
6 | 18 ⎞
3 | 9⎞
⎜
⎟ R1 → 12 R1 ⎜
⎟
→ ⎜ 4 5 6 | 24 ⎟
6 | 24 ⎟ ⎯⎯⎯⎯
⎜4 5
⎜ 3 1 22 | 4 ⎟
⎜ 3 1 22 | 4 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
16
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
⎛1
⎛1 2
2
3 |
3 |
9⎞
9⎞
⎜
⎟ R2 → 13 R2 ⎜
⎟
⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 23 26 | 212 ⎟ ⎯⎯⎯⎯
→⎜ 0 1
2 |
4⎟
⎜ 0 25 211 | 223 ⎟
⎜ 0 5 211 | 223 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
R2 → R2 2 4 R1
R3 → R3 2 3 R1
Hasta aquí, este proceso es idéntico al anterior; pero ahora sólo se hace cero el número (25)
que está debajo del primer 1 en el segundo renglón:
⎛1 2
⎛
⎞
3 |
9⎞
1 2 3 | 9
⎜
⎟ R3 → 2 R3 ⎜
⎟
⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 2 |
→⎜ 0 1 2 | 4⎟
4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 0 21 | 23 ⎟
⎜ 0 0 1 | 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
R3 → R3 1 5 R2
Sustitución
hacia atrás
Eliminación
gaussiana
La matriz aumentada del sistema (y los coeficientes de la matriz) se encuentran ahora en
la forma escalonada por renglones y se puede ver de inmediato que x3 5 3. Después se usa la
sustitución hacia atrás para despejar primero x2 y después x1. La segunda ecuación queda x2 1
2x3 5 4. Entonces x2 1 2(3) 5 4 y x2 5 22. De igual manera, de la primera ecuación se obtiene
x1 1 2(22) 1 3(3) 5 9 o x1 5 4. Así, de nuevo se obtiene la solución (4, 22, 3). El método de
solución que se acaba de emplear se llama eliminación gaussiana.
Se cuenta con dos métodos para resolver los ejemplos de sistemas de ecuaciones:
ii) Eliminación de Gauss-Jordan
Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada reducida por
renglones usando el procedimiento descrito en la página 10.
ii) Eliminación gaussiana
Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones,
se despeja el valor de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás
para las demás incógnitas.
¿Cuál método es más útil? Depende; al resolver sistemas de ecuaciones en una computadora se
prefiere el método de eliminación gaussiana porque significa menos operaciones elementales
por renglones. De hecho, como se verá en el apéndice C, para resolver un sistema de n ecuacio3
nes con n incógnitas usando la eliminación de Gauss-Jordan se requieren aproximadamente n2
3
sumas y multiplicaciones, mientras que la eliminación gaussiana requiere sólo n3 sumas y multiplicaciones. La solución numérica de los sistemas de ecuaciones se estudiará en el apéndice D.
Por otro lado, a veces es esencial obtener la forma escalonada reducida por renglones de una
matriz (una de éstas se estudia en la sección 2.4). En estos casos la eliminación de Gauss-Jordan
es el método preferido.
Ahora estudiaremos la solución de un sistema general de m ecuaciones con n incógnitas. La
mayor parte de las soluciones de los sistemas se hará mediante la eliminación de Gauss-Jordan
debido a que en la sección 2.4 esto se necesitará. Debe tenerse en mente, sin embargo, que la
eliminación gaussiana suele ser un enfoque más conveniente.
El sistema general m 3 n (de m ecuaciones con n incógnitas) está dado por
a11x1 1 a12 x2 1 a13 x3 1 1 a1n xn 5 b1
a21x1 1 a22 x2 1 a23 x3 1 1 a2 n xn 5 b2
a31x1 1 a32 x2 1 a33 x3 1 1 a3 n xn 5 b3
am1x1 1 am 2 x2 1 am 3 x3 1 1 amn xn 5 bm
(1.2.10)
1.2
m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
En el sistema (1.2.10) todos los coeficientes aij y bi son números reales dados. El problema es
encontrar todos los conjuntos de n números, denotados por (x1, x2, x3, . . . xn ), que satisfacen
cada una de las m ecuaciones en (1.2.10). El número aij es el coeficiente de la variable xj en la
i-ésima ecuación.
Es posible resolver un sistema de m ecuaciones con n incógnitas haciendo uso de la eliminación de Gauss-Jordan o gaussiana. En seguida se proporciona un ejemplo en el que el número
de ecuaciones e incógnitas es diferente.
EJEMPL O 1 .2 .7
Solución de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas
Resuelva el sistema
x1 1 3x2 2 5x3 1 x4 5 4
2x1 1 5x2 2 2x3 1 4x4 5 6
Solución
Este sistema se escribe como una matriz aumentada y se reduce por ren-
glones:
⎛ 1 3 25 1
⎜
⎝ 2 5 22 4
R2 → 2 R2
|
|
3 25 1
4 ⎞ R2 → R2 22 R1 ⎛ 1
→⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
6⎠
0
2
1
8 2
⎝
⎛ 1 3 25
1
⎝ 0 1 28 22
⎯⎯⎯⎯→ ⎜
|
|
|
|
4⎞
⎟
22 ⎠
7
4 ⎞ R1 → R1 23 R2 ⎛ 1 0 19
→⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
2⎠
⎝ 0 1 28 22
|
|
22 ⎞
⎟
2⎠
Hasta aquí se puede llegar. La matriz de coeficiente se encuentra en forma escalonada y reducida por renglones. Es evidente que existe un número infinito de soluciones. Los valores de las
variables x3 y x4 se pueden escoger de manera arbitraria. Entonces x2 5 2 1 8x3 1 2x4 y x1 5
22 219x3 27x4. Por lo tanto, todas las soluciones se representan por (22 219x3 2 7x4, 2 1 8x3
1 2x4, x3, x4). Por ejemplo, si x3 5 1 y x4 5 2 se obtiene la solución (235, 14, 1, 2).
Al resolver muchos sistemas, es evidente que los cálculos se vuelven fastidiosos. Un buen
método práctico es usar una calculadora o computadora siempre que las fracciones se compliquen. Debe hacerse notar, sin embargo, que si los cálculos se llevan a cabo en una computadora o calculadora pueden introducirse errores de “redondeo”. Este problema se analiza en el
apéndice C.
EJEMPL O 1 .2 .8
Un problema de administración de recursos
Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que
alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio
de 1 unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de
la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del
C. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento
A, 1 unidad del alimento B y 5 unidades del C. Cada semana se proporcionan al lago 25 000
unidades del alimento A, 20 000 unidades del alimento B y 55 000 del C. Si suponemos que los
peces se comen todo el alimento, ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?
Solución Sean x1, x2 y x3 el número de peces de cada especie que hay en el ambiente
del lago. Si utilizamos la información del problema, se observa que x1 peces de la especie
1 consumen x1 unidades del alimento A, x2 peces de la especie 2 consumen 3x2 unidades
del alimento A y x3 peces de la especie 3 consumen 2x3 unidades del alimento A. Entonces,
17
18
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
x1 1 3x2 1 2x3 5 25 000 5 suministro total por semana de alimento A. Si se obtiene una ecuación similar para los otros dos alimentos se llega al siguiente sistema de ecuaciones:
x1 1 3x2 1 2x3 5 25 000
x1 1 4x2 1 x3 5 20 000
2x1 1 5x2 1 5x3 5 55 000
La matriz aumentada del sistema es
⎛
1 3 2
⎜
⎜1 4 1
⎜⎝ 2 5 5
|
|
|
25 000 ⎞
⎟
20 000 ⎟
55 000 ⎟⎠
Utilizando reducción de Gauss-Jordan
⎛1
3
2
⎜
0
1
2
1
⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜
⎜⎝ 0 21
1
R2 → R2 2 R1
R3 → R3 2 2 R1
N
Nota
El sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo, el problema de administración de
recursos tiene sólo un número finito de
soluciones porque x1, x2 y x3 deben ser
enteros positivos y existen nada más
3 001 enteros en el intervalo [5 000,
8 000]. (Por ejemplo, no puede haber
5 237.578 peces.)
|
|
|
25 000 ⎞ R1 → R1 2 3 R2 ⎛ 1 0
5
⎜
⎟ R3 → R3 1 R2
25 000 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 21
⎜⎝ 0 0
0
5 000 ⎟⎠
|
|
|
40 000 ⎞
⎟
25 000 ⎟
0 ⎟⎠
Por consiguiente, si x3 se elige arbitrariamente, se tiene un número infinito de soluciones dada por (40 000 2 5x3, x3 2 5 000, x3). Por supuesto, se debe tener x1 $ 0,
x2 $ 0 y x3 $ 0. Como x2 5 x3 2 5 000 $ 0, se tiene x3 $ 5 000. Esto significa que
0 # x1 # 40 000 2 5(5 000) 5 15 000. Por último, como 40 000 2 5x3 $ 0, se tiene
que x3 # 8 000. Esto significa que las poblaciones que pueden convivir en el lago
con todo el alimento consumido son
x1 5 40 000 2 5x3
x2 5 x3 2 5 000
5 000 # x3 # 8 000
Por ejemplo, si x3 5 6 000, entonces x1 5 10 000 y x2 5 1 000.
Análisis de insumo y producto (opcional)
Los siguientes dos ejemplos muestran la forma en la cual pueden surgir los sistemas de ecuaciones en el modelado económico.
EJ EM PLO 1 .2 .9
Modelo de
insumo-producto
de Leontief
El modelo de insumo-producto de Leontief
Un modelo que se usa con frecuencia en economía es el modelo de insumo-producto de Leontief.4
Suponga un sistema económico que tiene n industrias. Existen dos tipos de demandas en
cada industria: la primera, una demanda externa desde afuera del sistema. Por ejemplo, si
el sistema es un país, la demanda externa puede provenir de otro país. Segunda, la demanda que hace una industria a otra industria en el mismo sistema. Por ejemplo, en Estados
Unidos la industria automotriz demanda parte de la producción de la industria del acero.
4
Así llamado en honor del economista estadounidense Wassily W. Leontief, quien utilizó este modelo en su trabajo pionero “Quantitative Input and Output Relations in the Economic System of the United States” en Review of
Economic Statistics 18(1936). Leontief ganó el Premio Nobel de Economía en 1973 por su desarrollo del análisis de
insumo-producto.
1.2
m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
Suponga que ei representa la demanda externa ejercida sobre la i-ésima industria. Suponga
que aij representa la demanda interna que la j-ésima industria ejerce sobre la i-ésima industria.
De forma más concreta, aij representa el número de unidades de producción de la industria i
que se necesitan para producir una unidad de la industria j. Sea x1 la producción de la industria i. Ahora suponga que la producción de cada industria es igual a su demanda (es decir, no
hay sobreproducción). La demanda total es igual a la suma de demandas internas y externas.
Por ejemplo, para calcular la demanda interna de la industria 2 se observa que la industria 1
necesita a21 unidades de producción de la industria 2 para producir una unidad de su propia
producción. Si la producción de la industria 1 es x1, entonces a21x1 se trata de la cantidad total
que necesita la industria 1 de la industria 2. De esta forma, la demanda interna total sobre la
industria 2 es a21x1 1 a22x2 1 … 1 a2nxn.
Al igualar la demanda total a la producción de cada industria se llega al siguiente sistema
de ecuaciones:
a11x1 1 a12 x2 1 1 a1n xn 1 e1 5 x1
a21x1 1 a22 x2 1
1 a2 n xn 1 e2 5 x2
an1x1 1 an 2 x2 1
1 ann xn 1 en 5 xn
(1.2.11)
O bien, reescribiendo el sistema (1.2.11) en la forma del sistema (1.2.10) se obtiene
(1 2 a11 )x1 2
a12 x2 2
2
a1n xn 5 e1
2a21x1 1 (1 2 a22 )x2 2
2
a2 n x n 5 e2
2a n1x1 2
1 (1 2 a nn )xn 5 en
a n 2 x2 2
(1.2.12)
El sistema (1.2.12) de n ecuaciones con n incógnitas es de fundamental importancia en el análisis económico.
EJEMPLO 1 .2 .1 0
El modelo de Leontief aplicado a un sistema económico
con tres industrias
Suponga que las demandas externas en un sistema económico con tres industrias son 10, 25 y
20, respectivamente. Suponga que a11 5 0.2, a12 5 0.5, a13 5 0.15, a21 5 0.4, a22 5 0.1, a23 5 0.3,
a31 5 0.25, a32 5 0.5 y a33 5 0.15. Encuentre la producción de cada industria de manera que la
oferta sea exactamente igual a la demanda.
Solución
En este caso n 53, 1 2 a11 5 0.8, 1 2 a22 5 0.9 y 1 2 a33 5 0.85 y el sistema
(1.2.12) es
0.8x1 2 0.5x2 2 0.15x3 5 10
20.4x1 1 0.9x2 2 0.3x3 5 25
20.25x1 2 0.5x2 1 0.85x3 5 20
Si se resuelve el sistema por método de eliminación de Gauss-Jordan en una calculadora o
computadora, trabajando con cinco decimales en todos los pasos, se obtiene
⎛ 1 0 0 | 110.30442 ⎞
⎜ 0 1 0 | 118.74070⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0 0 1 | 125.81787⎟⎠
Se concluye que la producción necesaria para que la oferta sea (aproximadamente) igual a la
demanda es x1 5 110, x2 5 119 y x3 5 126.
19
20
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
La geometría de un sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas (opcional)
En la figura 1.2, de la página 3, se observó que se puede representar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante dos líneas rectas. Si las rectas tienen un solo punto de intersección, el sistema tiene una solución única; si coinciden, existe un número infinito de soluciones;
si son paralelas, no existe una solución y el sistema es inconsistente.
Algo similar ocurre cuando se tienen tres ecuaciones con tres incógnitas.
Como se verá en la sección 4.5, la gráfica de la ecuación ax 1 by 1 cz 5 d en el espacio de
tres dimensiones es un plano.
Considere el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
ax 2 by 2 cz 5 d
ex 2 fy 2 gz 5 h
Punto de intersección
(1.2.13)
jx 2 ky 2 lz 5 m
z
en donde a, b, c, d, e, f, g, h, j, k, l y m son constantes y al menos una de ellas en cada ecuación
es diferente de cero.
Cada ecuación en (1.2.13) es la ecuación de un plano. Cada solución (x, y, z) al sistema de
ecuaciones debe ser un punto en cada uno de los tres planos. Existen seis posibilidades:
0
y
x
1. Los tres planos se intersecan en un solo punto. Por lo que existe una solución única para el
sistema (vea la figura 1.4).
2. Los tres planos se intersecan en la misma recta, por lo que cada punto sobre la recta es una
solución y el sistema tiene un número infinito de soluciones (vea la figura 1.5).
Figura 1.4
Los tres planos se intersecan
en un solo punto.
3. Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es una solución y se tiene
un número infinito de soluciones.
z
4. Dos de los planos coinciden e intersecan a un tercer plano en la recta. Entonces cada punto
sobre la recta es una solución y existe un número infinito de soluciones (vea la figura 1.6).
5. Al menos dos de los planos son paralelos y distintos, por lo que ningún punto puede estar
en ambos y no hay solución. El sistema es inconsistente (vea la figura 1.7).
0
y
x
6. Dos de los planos coinciden en una recta L. El tercer plano es paralelo a L (y no contiene
a L), de manera que ningún punto del tercer plano se encuentra en los dos primeros. No
existe una solución y el sistema es inconsistente (vea la figura 1.8).
En todos los casos el sistema tiene una solución única, un número infinito de soluciones o es
inconsistente. Debido a la dificultad que representa dibujar planos con exactitud, no ahondaremos más en el tema. No obstante, es útil analizar cómo las ideas en el plano xy se pueden
extender a espacios más complejos.
Figura 1.5
Los tres planos se intersecan
en la misma recta.
z
z
z
0
x
0
y
0
y
y
x
Figura 1.6
Figura 1.7
Dos planos se intersecan en
una recta.
Los planos paralelos no tienen
puntos en común.
x
Figura 1.8
El plano 3 es paralelo a L, la recta de
intersección de los planos 1 y 2.
1.2
1.3 mdeecuaciones
con yn gaussiana
incógnitas
m ecuaciones con n incógnitas: eliminación
Gauss-Jordan
21
Semb l a n z a d e ...
Carl Friedrich Gauss
(Library of Congress)
Carl Friedrich Gauss, 1777-1855
Carl Friedrich Gauss es considerado el matemático más grande del
siglo XIX, además de uno de los tres matemáticos más importantes
de todos los tiempos (Arquímedes y Newton son los otros dos).
Gauss nació en Brunswick, Alemania, en 1777. Su padre, un
obrero amante del trabajo, era excepcionalmente obstinado y no
creía en la educación formal, e hizo todo lo que pudo para evitar
que Gauss fuera a una buena escuela. Por fortuna para Carl (y para
las matemáticas), su madre, a pesar de que tampoco contaba con
educación, apoyó a su hijo en sus estudios y se mostró orgullosa
de sus logros hasta el día de su muerte a la edad de 97 años.
Gauss era un niño prodigio. A los tres años encontró un error
en la libreta de cuentas de su padre. Hay una anécdota famosa de
Carl, cuando tenía apenas 10 años de edad y asistía a la escuela
local de Brunswick. El profesor solía asignar tareas para mantener ocupados a los alumnos y un día les pidió que sumaran los
números del 1 al 100. Casi al instante, Carl colocó su pizarra boca
abajo con la palabra “listo”. Después, el profesor descubrió que
Gauss era el único con la respuesta correcta, 5 050. Gauss había
observado que los números se podían arreglar en 50 pares que
sumaban cada uno 101 (1 1 100, 2 1 99, etc.) y 50 3 101 5 5 050.
Años más tarde, Gauss bromeaba diciendo que podía sumar más
rápido de lo que podía hablar.
A la edad de 15 años, el Duque de Brunswick se fijó en él y
lo convirtió en su protegido. El duque lo ayudó a ingresar en
el Brunswick College en 1795 y, tres años después, a entrar a la
Universidad de Göttingen. Indeciso entre las carreras de matemáticas y filosofía, Gauss eligió las matemáticas después de dos
descubrimientos asombrosos. Primero inventó el método de mínimos cuadrados una década antes de que Legendre publicara
sus resultados. Segundo, un mes antes de cumplir 19 años, resolvió un problema cuya solución se había buscado durante más de
dos mil años: Gauss demostró cómo construir, con tan sólo una
regla y un compás, un polígono regular cuyo número de lados no
es múltiplo de 2, 3 o 5.*
El 30 de marzo de 1796, fecha de este descubrimiento, comenzó un diario que contenía como primera nota las reglas de
construcción de un polígono regular de 17 lados. El diario, que
contiene los enunciados de 146 resultados en sólo 19 páginas,
es unos de los documentos más importantes en la historia de las
matemáticas.
Tras un corto periodo en Göttingen, Gauss fue a la Universidad de Helmstädt y, en 1798, a los 20 años, escribió su famosa
disertación doctoral. En ella dio la primera demostración matemática rigurosa del teorema fundamental del álgebra que indica
que todo polinomio de grado n tiene, contando multiplicidades,
exactamente n raíces. Muchos matemáticos, incluyendo a Euler,
Newton y Lagrange, habían intentado probar este resultado.
Gauss hizo un gran número de descubrimientos en física al
igual que en matemáticas. Por ejemplo, en 1801 utilizó un nuevo
procedimiento para calcular, a partir de unos cuantos datos, la
órbita del asteroide Ceres. En 1833 inventó el telégrafo electromagnético junto con su colega Wilhelm Weber (1804-1891). Aunque realizó trabajos brillantes en astronomía y electricidad, la
que resultó asombrosa fue la producción matemática de Gauss.
Hizo contribuciones fundamentales al álgebra y la geometría y
en 1811 descubrió un resultado que llevó a Cauchy a desarrollar
la teoría de la variable compleja. En este libro se le encuentra en
el método de eliminación de Gauss-Jordan. Los estudiantes de
análisis numérico aprenden la cuadratura gaussiana: una técnica
de integración numérica.
Gauss fue nombrado catedrático de matemáticas de Göttingen en 1807 e impartió clase hasta su muerte en 1855. Aún
después de su muerte, su espíritu matemático siguió acosando
a los matemáticos del siglo XIX. Con frecuencia, un importante
resultado nuevo ya había sido descubierto por Gauss y se podía
encontrar en sus notas inéditas.
En sus escritos matemáticos Gauss era un perfeccionista y
tal vez sea el último gran matemático que conocía prácticamente todo acerca de su área. Al afirmar que una catedral no
era una catedral hasta que se quitara el último de los andamios,
ponía todo su empeño para que cada uno de sus trabajos publicados fuera completo, conciso y elegante. Usaba un sello en el
que se veía un árbol con unas cuantas frutas y la leyenda pauca
sed matura (pocas pero maduras). Gauss creía también que las
matemáticas debían reflejar el mundo real. A su muerte, Gauss
fue honrado con una medalla conmemorativa que llevaba la
inscripción “George V, Rey de Hanover, al príncipe de los matemáticos”.
* De manera más general, Gauss probó que un polígono regular de n lados se puede construir con regla y compás si y
sólo si n es de la forma n 5 2kp2 ? p3 . . . pm donde k $ 0 y las pi son números primos de Fermat distintos. Los números
primos de Fermat son aquellos que toman la forma 22 11. Los primeros cinco números primos de Fermat son 3, 5,
17, 257 y 65 537.
n
22
R
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Resumen 1.2
• La matriz de coeficientes de un sistema lineal
a11 x1 1 a12 x2 1
a21 x1 1 a22 x2 1
1 a1n xn 5 b1
1 a2 n xn 5 b2
am1 x1 1 am 2 x2 1
1 amn xn 5 bn
es la matriz
(p. 10)
⎛ a11
⎜a
21
A5⎜
⎜
⎜
⎜⎝ a
m1
a1n ⎞
a2 n ⎟
⎟
⎟
⎟
amn ⎟⎠
a12
a22
am 2
• El sistema lineal anterior se puede escribir utilizando la matriz aumentada
⎛ a11
⎜a
⎜ 21
⎜
⎜
⎜⎝ a
m1
a12
a1n
a22
a2 n
am 2
amn
| b1 ⎞
| b2 ⎟
⎟
⎟
|
⎟
| bm ⎟⎠
También se puede escribir como Ax 5 b, donde
⎛ x1 ⎞
⎜x ⎟
2
x 5⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜⎝ x ⎟⎠
n
(p. 10)
(p. 87)
y
⎛ b1 ⎞
⎜b ⎟
2
b5⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜⎝ b ⎟⎠
m
• Una matriz está en la forma escalonada reducida por renglones si se cumplen las cuatro condiciones
dadas en la página 14.
(p. 14)
• Una matriz está en la forma escalonada por renglones si se cumplen las primeras tres condiciones
de la página 15.
(p. 15)
• Un pivote es el primer componente diferente de cero en el renglón de una matriz.
(p. 14)
• Las tres operaciones elementales por renglones son
(p. 11)
1. Multiplicar el renglón i de una matriz por c: Ri S cRi, donde c Z 0.
2. Multiplicar el renglón i por c y sumarlo al renglón j: Rj S Rj 1 cRi.
3. Permutar los renglones i y j: Ri H Rj.
• El proceso de aplicación de operaciones elementales con renglones a una matriz se denomina reducción por renglones.
(p. 11)
1.2 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
• La eliminación de Gauss-Jordan es el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante
la reducción por renglones de la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por renglones, usando el proceso descrito en la página 11.
(pp. 10, 16)
• La eliminación gaussiana es el proceso de resolver un sistema de ecuaciones al reducir por renglones la matriz aumentada a la forma escalonada por renglones y utilizando la sustitución
hacia atrás.
(p. 16)
• Un sistema lineal que tiene una o más soluciones se denomina consistente.
(p. 13)
• Un sistema lineal que no tiene solución se denomina inconsistente.
• Un sistema lineal que tiene soluciones cuenta con, ya sea, una solución única o un número infinito
de soluciones.
A
23
A U T O E V A L U A C I Ó N 1.2
III) ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene la matriz de coeficientes dada a la derecha?
⎛ 3 2 21⎞
⎜0 1
5⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 2 0
1⎟⎠
a) 3x 1 2y 5 21
y55
2x 5 1
b) 3x 1 2z 5 10
2x 1 y 5 0
2x 1 5y 1 z 5 5
c) 3x 5 2
2x 1 y 5 0
2x 1 5y 5 1
d) 3x 1 2y 2 z 5 23
y 1 5z 5 15
2x 1 z 5 3
III) ¿Cuál de las siguientes es una operación elemental por renglones?
a)
b)
c)
d)
Reemplazar un renglón con un múltiplo diferente de cero de ese renglón.
Sumar una constante diferente de cero a cada elemento en un renglón.
Intercambiar dos columnas.
Reemplazar un renglón con una suma de renglones y una constante diferente
de cero.
III) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre la matriz dada?
⎛1
⎜0
⎜
⎜0
⎜
⎝0
0 0 3⎞
1 1 2⎟
⎟
0 0 3⎟
⎟
0 0 0⎠
a) Está en la forma escalonada por renglón.
b) No está en la forma escalonada por renglón porque el cuarto número en el
renglón 1 no es 1.
(pp. 4, 13)
(p. 3)
24
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
c) No está en la forma escalonada por renglón porque el primer elemento diferente de cero en el renglón 1 es 3.
d) No está en la forma escalonada por renglón porque la última columna contiene
un cero.
IV) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el sistema dado?
x1 y1 z53
2x 1 2y 1 2z 5 6
3x 1 3y 1 3z 5 10
a) Tiene una solución única x 5 1, y 5 1, z 5 1.
b) Es inconsistente.
c) Tiene un número infinito de soluciones.
Respuestas a la autoevaluación
I) d)
II) a)
III) c)
IV) b)
MANEJO DE LA CALCULADORA 1.2
La calculadora HP50g puede resolver en forma numérica sistemas de m ecuaciones con
n incógnitas. Cuando el sistema tiene soluciones infinitas, la solución reportada es la
solución de norma mínima. Cuando el sistema es inconsistente, la solución reportada es
la solución de mínimos cuadrados.
Una posible secuencia de pasos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones se observa en el siguiente procedimiento (no es el único; en el capítulo 11 de la
Guía del usuario* de la HP50g Calculadora Gráfica se incluyen otros procedimientos).
Considere el sistema
2x 1 4y 1 6z 5 14
3x 2 2y 1 z 5 23
4x 1 2y 2 z 5 24
1. Existen diferentes formas de introducir una matriz aumentada; la más sencilla es la
siguiente:
[ [2, 4, 6, 14],
[3, 22, 1, 23],
[4, 2, 21, 24] ]
que se obtiene con la siguiente secuencia de comandos:
W¢W¢YYi
W¢Y4YY4i
W¢YY4Y46
*
En el resto del libro nos referiremos a esta guía sólo como Guía del usuario.
1.2
m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
Guardamos a la matriz en la variable AAUG con el siguiente comando
QQ77K=6$
2. Se encuentra la forma escalonada reducida por renglones de AAUG.
W¦
Seguido de la tecla 5 para seleccionar a sistemas lineales:
y luego la tecla 4
para encontrar la forma escalonada reducida por renglones (RREF), donde el resultado es
De lo anterior puede observarse que x1 5 21, x2 5 1 y x3 5 2.
25
26
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Problemas 1.2
En los problemas del 1 al 27 utilice el método de eliminación de Gauss-Jordan para encontrar,
si existen, todas las soluciones de los sistemas dados.
1.
9x1 1 9x2 2 7x3 5 6
27x1 1 x2 2 2
2.
x3 5 210
4x1 1
x2 2
2x1 2
x2 1 3x3 5 10
4. 22x1 1
x2 1 6x3 5 18
9x1 1 6x2 1 8x3 5 45
9x2 2 7x3 5 2
3.
2 x3 5 22
5x1
23x1 1 6x2 1 8x3 5 1
5.
6.
2x1 2 5x2 1 4x3 5 6
7. 22x1 2 6x2 2 3x3 5 9
x2 1 2x3 5 2
9. 21x1 1
x3 5 0
8.
11.
x2 2
x3 5 7
x2 1 5x3 5 4
2x1 1 2x2 2 3x3 5 0
10.
5 23
x1 1 2x2 2 2x3 2 x4 5 1
x1 1
4x1 2
x2 1 3x3 5 1
x2
3x1 1 6x2 2 6x3 5 9
2x1 1 16x2 2 14x3 5 23
x3 5 1
x1 2
x1 2
1 8x3 5 216
2x1 2 5x2 1 4x3 5 6
5x1 1 28x2 2 26x3 5 28
x2 2
x3 5 4
3x1 1 2x2 2 10x3 5 23
3x1 1 6x2 2 6x3 5 9
2x1 1
x1 2 2x2 1 3x3 5 11
12.
x1 1
x2 2
x3 5 7
4x1 2
x2 1 5x3 5 4
6x1 1
x2 1 3x3 5 18
x1 2 2x2 1 3x3 5 0
23x1 1 4x2 1 x3 2 2x4 5 4
4x1 1
x2 2
23x1 1 14x2 1 4x3 2 7x45 3
2x1 2
x2 1 3x3 5 0
x3 5 0
6x1 1 12x2 212x32 6x4 5 5
13.
15.
x1 1
x2 2
x3 5 0
4x1 2
x2 1 5x3 5 0
6x1 1
x2 1 3x3 5 0
x1 1 2x2 2 2x3 2 x4 5 1
23x1 1 4x2 1
14.
x1 1 2x2 2
x3 5 4
3x1 1 4x2 2 2x3 5 7
16.
x3 2 2x4 5 4
x1 1 2x2 2 4x3 5 4
22x1 2 4x2 1 8x3 5 29
23x1 1 14x2 2 4x3 2 7x4 5 3
6x1 1 12x2 2 12x3 2 6x4 5 5
17.
x1 1 2x2 2 4x3 5 4
18.
22x1 2 4x2 1 8x3 5 28
2x1 1 6x2 24x3 1 2x4 5 4
x1
2 x3 1
23x1 1 2x2 22x3
19.
x1 1 2x2 2 x3 1
x4 5 7
3x1 1 6x2 23x3 1 3x4 5 21
20.
x4 5 5
5 22
2x1 1 2x2 2 x3 1 3x4 5 4
23x1 1 6x2 23x3 1 9x4 5 12
1.2
21.
2x1 1
x2 2 x3 1
23x1
2 x3 1
23x1 1 5x2 1 8x3
3x1 1
x4 5 22
22. 22x1 1
x4 5 1
24.
2x3 2 2x4 5 28
x4 5 1
3x3 2
x4 5 0
5x1 1
5 21
x1 1 x2
x4 5 2
4x2 2 x3 2
x4 5 1
4x2 2 x3
53
x1 2 2x2 1 x3 1
23.
m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
5 23
x1 2 2x2 1 x3 1
3x1 1
x4 5 2
2x3 2 2x4 5 28
4x2 2 x3 2
5x1 1
3x3 2
x4 5 1
x4 5 23
x1 1 x2 5 4
26. 22x1 1 x2 5 0
2x1 2 3x2 5 7
x1 1 3x2 5 1
2x1 2 3x2 5 7
3x1 1 2x2 5 8
3x1 2 x2 5 23
3x1 22x2 5 11
25.
x1 1 x2 5 4
27.
En los problemas 28 a 39 determine si la matriz dada se encuentra en la forma escalonada por
renglones (pero no en la forma escalonada reducida por renglones), en la forma escalonada
reducida por renglones o en ninguna de las dos.
© 1 1 0¹
28. ª 0 1 0 º
ª
º
ª« 0 0 1º»
⎛1
⎜0
32. ⎜
⎜0
⎜⎝ 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0⎞
0⎟
⎟
1⎟
0 ⎟⎠
⎛ 1 5 2⎞
36. ⎜
⎝ 0 1 5 ⎟⎠
⎛3
5 2⎞
⎜
⎟
29. ⎜ 0 2 2 5 ⎟
⎜⎝ 0
0 3 ⎟⎠
©2 0
30. ª 1 1
ª
ª« 0 0
© 1 1 4 0¹
33. ª 0 0 1 3 º
ª
º
ª« 0 0 0 1º»
© 0 1 0 0¹
34. ª 1 0 0 0 º
ª
º
ª« 0 0 0 0 º»
© 1 0 1 2¹
35. ª
« 0 1 3 4 º»
© 1 0¹
37. ª 0 1º
ª
º
ª« 0 0 º»
© 1 0 0¹
38. ª 0 0 0 º
ª
º
ª« 0 0 1 º»
© 1 0 0 4¹
39. ª 0 1 0 5 º
ª
º
ª« 0 1 1 6 º»
0¹
0º
º
1º»
0¹
©2 0
ª
31. 0 1
0º
ª
º
ª« 0 0 21º»
En los problemas 40 a 48 utilice las operaciones elementales con renglones para reducir las
matrices dadas a la forma escalonada por renglones y a la forma escalonada reducida por
renglones.
© 1 1¹
40. ª
« 2 3º»
© 21 6¹
41. ª
« 4 2 º»
1¹
© 1 21
ª
º
3
2
4
42.
ª
º
ª« 5
6 22 º»
3¹
© 1 22
ª
43. 24
5 26 º
ª
º
ª« 21
1
1º»
© 2 24 8 ¹
5 8º
44. ª 3
ª
º
ª« 26
0 4º»
© 2
45. ª
« 3
© 2
47. ª 3
ª
ª« 4
⎛ 1
5
2⎞
48. ⎜
⎟
⎝ 2 3 2 14 2 1⎠
© 3
46. ª
« 5
26 23¹
10
5º»
27 ¹
5º
º
23º»
24 22 ¹
1
6º»
49. En el ejemplo 1.2.8 suponga que cada semana se suministran al lago 15 000 unidades del
primer alimento, 10 000 del segundo y 44 000 del tercero. Considerando que todo alimento
se consume, ¿qué población de las tres especies puede coexistir en el lago? ¿Existe una solución única?
27
28
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
50. En el modelo de insumo-producto de Leontief del ejemplo 1.2.9 suponga que se tienen tres
industrias. Más aún, suponga que e1 5 10, e2 5 15, e3 5 30, a11 5 1 , a12 5 1 , a13 5 1 ,
3
2
6
a21 5 1 , a22 5 1 , a23 5 1 , a31 5 1 , a32 5 1 , a33 5 1 . Encuentre la producción de cada
4
4
12
6
3
8
industria tal que la oferta sea igual a la demanda.
51. Una inversionista le afirma a su corredor de bolsa que todas sus acciones pertenecen a tres
compañías: Delta Airlines, Hilton Hotels y McDonald’s, y que hace dos días su valor bajó
$350 pero que ayer aumentó $600. El corredor recuerda que hace dos días el precio de las
acciones de Delta Airlines bajó $1 por cada una, mientras que las de Hilton Hotels bajaron
$1.50, pero que el precio de las acciones de McDonald’s subió $0.50. También recuerda que
ayer el precio de las acciones de Delta subió $1.50 por acción, el de las de Hilton Hotels
bajó otros $0.50 por acción y las de McDonald’s subieron $1. Demuestre que el corredor
no cuenta con la información suficiente para calcular el número de acciones que posee la
inversionista en cada compañía, pero que si ella dice tener 200 acciones de McDonald’s, el
corredor pueda calcular el número de acciones que posee en Delta y en Hilton.
52. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en Inglaterra, $20 diarios
en Francia y $20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Sus gastos adicionales
fueron de $10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gastó un total de
$340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estos
tres países. Calcule el número de días que pasó el viajero en cada país o muestre que los
registros son incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles una con
la otra.
53. Una embotelladora de refrescos desea cotizar la publicidad de sus productos en televisión,
radio y revista, se tienen tres propuestas del plan de medios de acuerdo con el presupuesto
asignado acerca de la cantidad de anuncios por medio en el transcurso de un mes. En el
primer presupuesto cada anuncio en televisión tiene un coste de $250 000, en radio $5 000
y en revista $30 000. En el segundo presupuesto $310 000, $4 000 y $15 000 y en el último
presupuesto $560 000, $10 000 y $35 000. Los totales por presupuesto son los siguientes:
$21 795 000, $31 767 000 y $61 225 000. Determine la cantidad de anuncios cotizados por
cada medio.
54. Un agente secreto sabe que 60 equipos aéreos, que consisten en aviones de combate y
bombarderos, se encuentran estacionados en cierto campo aéreo secreto. El agente quiere
determinar cuántos de los 60 equipos son aviones de combate y cuántos son bombarderos.
Existe, además, un tipo de cohete que llevan ambos aviones; el de combate lleva 6 de ellos y
el bombardero sólo 2. El agente averigua que se requieren 250 cohetes para armar a todos
los aviones del campo aéreo. Aún más, escucha que se tiene el doble de aviones de combate
que de bombarderos en la base (es decir, el número de aviones de combate menos dos veces el número de bombarderos es igual a cero). Calcule el número de aviones de combate
y bombarderos presentes en el campo aéreo o muestre que la información del agente es
incorrecta debido a su inconsistencia.
55. Considere el sistema
5x1 1 10x2 2 20x3 5 a
26x1 2 11x2 2 21x3 5 b
2x1 1 4x2 1 8x3 5 c
Encuentre las condiciones sobre a, b y c para que el sistema sea inconsistente.
1.2
m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
56. Considere el sistema
2x1 2
x2 1 3x3 5 a
3x1 1
x2 2 5x3 5 b
25x1 2 5x2 1 21x3 5 c
Muestre que es inconsistente si c Z 2a2 3b.
*57. Considere el sistema general de las tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
a11x1 1 a12x2 1 a13x3 5 b1
a21x1 1 a22x2 1 a23x3 5 b2
a31x1 1 a32x2 1 a33x3 5 b3
Encuentre las condiciones sobre los coeficientes aij para que el sistema tenga una solución
única.
En los problemas 58 a 62 utilice una calculadora para resolver cada sistema.
58.
2x2 2 x3 2 4x4
x1 2 x2 1 5x3 1 2x4
3x1 1 3x2 2 7x3 2 x4
2x1 2 2x2 1 3x3
59.
5.31x1 1 1.14x2 1 2.34x3 5 23.2
26.44x1 2 3.12x2 2 1.97x3 5 1.1
2.67x1 1 4.32x2 1 8.65x3 5 22.4
60.
23.42x1 2
214.77x1 2
277.21x1 1
91.82x1 1
61.
2.6x1 2 4.3x2 1 9.6x3 5 21.62
28.5x1 1 3.6x2 1 9.1x3 5 14.23
12.3x1 2 8.4x2 2 0.6x3 5 12.61
62.
6.1x1 2 2.4x2 1 23.3x3 2 16.4x4 2 8.9x5 5 121.7
214.2x1 2 31.6x2 2 5.8x3 1 9.6x4 1 23.1x5 5 2 87.7
10.5x1 1 46.1x2 2 19.6x3 2 8.8x4 2 41.2x5 5
10.8
37.3x1 2 14.2x2 1 62.0x3 1 14.7x4 2 9.6x5 5
61.3
0.8x1 1 17.7x2 2 47.5x3 2 50.2x4 1 29.8x5 5 2 27.8
16.89x2 1
38.29x2 1
71.26x2 2
81.43x2 1
52
5 24
54
5 27
57.31x3
92.36x3
16.55x3
33.94x3
1 82.6x4
2 4.36x4
1 43.09x4
1 57.22x4
5 2 158.36
5 21 123.02
5 3 248.71
5
235.25
En los problemas 63 a 68 encuentre todas las soluciones, si las hay, para cada sistema.
Redondee todas las respuestas a tres lugares decimales. [Sugerencia: Primero obtenga la
forma escalonada reducida por renglones de la matriz aumentada.]
63.
2.1x1 1 4.2x2 2 3.5x3 5 12.9
25.9x1 1 2.7x2 1 9.8x3 5 21.6
64. 213.6x1 1 71.8x2 1 46.3x3 5 219.5
41.3x1 2 75.0x2 2 82.9x3 5 46.4
41.8x1 1 65.4x2 2 26.9x3 5 34.3
29
30
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
65. 213.6x1 1 71.8x2 1 46.3x3 5 19.5
41.3x1 2 75.0x2 2 82.9x3 5 46.4
41.8x1 1 65.4x2 2 26.9x3 5 35.3
66. 25x1 2 2x2 1 11x3 2 16x4 1 12x5 5 105
26x1 1 8x2 2 14x3 2 9x4 1 26x5 5 2 62
27x1 2 18x2 2 12x3 1 21x4 2 2x5 5 53
67.
5x1 2 2x2
26x1 1 8x2
7x1 2 18x2
215x1 1 42x2
1
2
2
1
11x3
14x3
12x3
21x3
2
2
1
2
16x4
9x4
21x4
17x4
1
1
2
1
12x5
26x5
2x5
42x5
5 105
5 2 62
5 53
5 2 63
68.
5x1 2 2x2
26x1 1 8x2
7x1 2 18x2
215x1 1 42x2
1
2
2
1
11x3
14x3
12x3
21x3
2
2
1
2
16x4
9x4
21x4
17x4
1
1
2
1
12x5
26x5
2x5
42x5
5 105
5 2 62
5 53
5 63
1.3 Introducción a MATLAB
Ejemplos de comandos básicos de MATLAB
MATLAB distingue minúsculas y mayúsculas. Esto quiere decir que a y A representan variables
diferentes.
Introducción de matrices. Los elementos de un renglón se separan por espacios y/o comas, y las
columnas se separan por “;” :
A 5 [1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A 5 [1 2 3;
4 5 6;
7 8 9]
© 1 2 3¹
Produce la matriz A 5 ª 4 5 6 º
ª
º
« 7 8 9»
También produce la matriz A anterior
© 3¹
Produce la matriz B 5 ª 6 º
ª º
« 1»
B 5 [3;6;1]
Notación para formar las submatrices y las matrices aumentadas.
f 5 A(2,3)
f es el elemento en el segundo renglón, tercera columna de A.
d 5 A(3,:)
d es el tercer renglón de A.
d 5 A(:,3)
d es la tercera columna de A.
C 5 A([2 4]),:)
C es la matriz que consiste del segundo y cuarto renglones de A.
C 5 [A b]
Forma una matriz aumentada C 5 (A|b).
Ejecución de operaciones por renglones.
A(2,:) 5 3*A(2,:)
R2S3R2
A(2,:) 5 A(2,:)/4
1
R2S —R
4 2
A([2 3],:) 5 A([3 2],:)
Intercambia los renglones 2 y 3
A(3,:) 5 A(3,:) 1 3*A(2,:)
R3SR3 1 3R2
1.3
Introducción a MATLAB
Nota. Todos estos comandos cambian a la matriz A. Si se quiere conservar la matriz original y
llamar a C a la matriz cambiada,
C 5 A
C(2,:) 5 3*C(2,:)
C 5 rref(A)
C 5 forma escalonada reducida por renglones de A.
Generación de matrices aleatorias.
A 5 rand(2,3)
matriz 2 3 3 con elementos entre 0 y 1
A 5 2*rand(2,3)21
matriz 2 3 3 con elementos entre 21 y 1
A 5 4*(2*rand(2)21)
matriz 2 3 2 con elementos entre 24 y 4
A 5 round(10*rand(3))
matriz 3 3 3 con elementos enteros
entre 0 y 10
A 5 2*rand(3)211i*(2*rand(3)21)
matriz 3 3 3 con elementos complejos
a 1 bi, a y b entre 21 y 1
Otras características usuales
Help. Si se teclea help seguido de un comando MATLAB en la ventana de comandos de
MATLAB, aparecerá una descripción del comando en la ventana de comandos.
Doc. Si se teclea doc seguido de un comando de MATLAB en la ventana de comando de
MATLAB, aparecerá una descripción del comando en la ventana de ayuda.
EJEMPL O 1 .3 .1
help : o doc : dará una descripción de cómo se pueden usar “:” en MATLAB.
help rref o doc rref dará una descripción del comando rref.
Uso de las flechas. En la ventana de comandos de MATLAB, al usar la flecha hacia arriba se
desplegarán los comandos anteriores. Se pueden usar las flechas para localizar un comando y
modificarlo y al oprimir la tecla “enter” se ejecuta el comando modificado.
Comentarios. Si se inicia una línea con el símbolo %, MATLAB interpretará esto como una
línea de comentario.
EJEMPL O 1 .3 .2
% Éste es un comentario.
Supresión de pantalla. Uso de ;. Si se quiere realizar un comando de MATLAB y no se desea ver
los resultados desplegados, se finaliza el comando con un ; (punto y coma).
Para líneas largas. Para extender una línea se usa “...”.
a 5 [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
9 10]
Para desplegar dígitos adicionales. Por lo general MATLAB despliega sólo 4 dígitos después
del punto decimal. De esta forma, 43 aparece como 1.3333. El comando format long hace
que se desplieguen de 14 a 15 dígitos después del punto decimal. Así, si se da format long y
después 43 , en la pantalla aparecerá 1.33333333333333. Para regresar al despliegue normal de
4 dígitos después del punto decimal se da el comando format short.
31
32
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Tutoría de MATLAB
1. Dé las siguientes matrices de dos maneras diferentes.
© 2
2
3
ª
A 5 ª 26 21
2
ª 1
2 21
«
4
0
3
5¹
º
7º
4 º»
© 21 ¹
b 5ª 2 º
ª º
ª« 5 º»
2. Forme C como la matriz aumentada (A|b), es decir, C 5 (A|b) para las matrices A y b anteriores.
3. Forme D, una matriz aleatoria de 3 3 4 con elementos entre 22 y 2.
4. Forme B, una matriz aleatoria de 4 3 4 con elementos enteros entre 210 y 10.
5. Forme K, la matriz obtenida a partir de B intercambiando los renglones 1 y 4. No cambie
B (primero haga K 5 B. Después cambie K).
6. Realice la operación por renglones R3SR3 1 (2 21 )R1, sobre la matriz C.
7. Dé el comando B([2 4],[1 3]). Use una línea de comentario para describir la submatriz de B que se produce.
8. Forme U, la matriz que consiste sólo en la tercera y cuarta columnas de D.
9. (Ventana de comandos.) Use la flecha hacia arriba para localizar el comando que utilizó
para realizar la operación por renglones en 6. Modifique la línea para realizar la operación
con renglones R2SR2 1 3R1 y después ejecútela.
10. Forme T, una matriz aleatoria de 8 3 7 con elementos entre 0 y 1. Dé el comando doc
colon. A partir de la información dada en la descripción que aparece, determine el uso de
la notación “:” para formar, tan eficientemente como sea posible, la matriz S que consiste
en los renglones 3 al 8 de la matriz T.
11. Encuentre la forma escalonada reducida por renglones de C usando el comando rref.
Use este comando para escribir un sistema equivalente de ecuaciones.
EJERCICIOS
CON
MATLAB 1.3
1. Para cada uno de los sistemas contenidos en los problemas 1, 2, 5, 8 y 16 de esta sección, dé
la matriz aumentada y use el comando rref para encontrar la forma escalonada reducida
por renglones. Muestre que cada uno de estos sistemas tiene una solución única y que la
solución está contenida en la última columna de esta forma escalonada de la matriz aumentada. Use la notación “:” para asignar la variable x a la solución, es decir, a la última columna de esta forma escalonada por renglones de la matriz aumentada. [Sugerencia: Puede
emplear el comando end, utilice doc end para obtener información acerca del comando.]
2. Para cada uno de los sistemas contenidos en los problemas 4, 7, 13 y 18 de esta sección, dé
la matriz aumentada y use el comando rref para encontrar la forma escalonada reducida
por renglones. Concluya que ninguno de estos sistemas tiene solución.
3. Las matrices siguientes son matrices aumentadas de los sistemas de ecuaciones que tienen
un número infinito de soluciones.
a) Para cada una, dé la matriz y use el comando rref para encontrar la forma escalonada
reducida por renglones.
1.3
iii)
iii)
©3 5
1
ª
ª 4 2 28
ª 8 3 218
«
|
|
|
0¹
º
0º
0º
»
ii)
© 1 0 1 22 7 | 24 ¹
ª
º
5º
ª 1 4 21 22 2 |
ª 3 0 3 26 7 |
2 º»
«
iv)
© 9 27 3 3
ª
ª 9 27 10 1
ª1
3 5 9
«
©6
ª
ª8
ª4
ª
ª8
ª
ª« 3
4 7
|
|
|
Introducción a MATLAB
12 ¹
º
19 º
6º
»
5
15
|
5 9 10
10
|
5 7
7
21
|
3 7
6
22
|
7
2
9
212
|
2
9¹
º
8º
7 ºº
8º
º
22 º»
El resto de este problema necesita trabajo con papel y lápiz.
b) Para cada forma escalonada reducida por renglones, localice los pivotes dibujando un
círculo a su alrededor.
c) Para cada forma escalonada reducida, escriba el sistema de ecuaciones equivalente.
d) Resuelva cada uno de estos sistemas equivalentes eligiendo variables arbitrarias que
serán las variables correspondientes a las columnas que no tienen pivote en la forma
escalonada reducida por renglones (estas variables son las variables naturales que han
de escogerse de manera arbitraria).
4. Los siguientes sistemas representan la intersección de tres planos en el espacio de tres dimensiones. Use el comando rref como herramienta para resolver los sistemas. ¿Qué se
puede concluir sobre la categoría de los planos?
iii)
iii)
x1 1 2x2 1 3x3 5 21
ii)
2x1 2 x2 1 4x3 5 5
2 3x2 1 x3 5
4
x1 1 2x2 2 3x3 5 6
4x1 1 x2 2 2x3 5
0
4x1 1 3x2 2 2x3 5 9
2x1 2 x2 1 4x3 5 5
2x1 24x2 1 2x3 5 4
iv)
x1 1 2x2 2 3x3 5 6
3x1 26x2 1 3x3 5 6
4x1 1 3x2 2 2x3 5 17
2x1 12x2 2 x3 522
5. Utilice MATLAB para reducir las matrices aumentadas siguientes a la forma
escalonada reducida por renglones paso por paso realizando las operaciones
por renglones (vea los ejemplos de comandos para operaciones por renglones en la introducción a MATLAB en la página 30). Verifique sus resultados
usando el comando rref.
© 1 2 21
ª
iii) ª 2 4
2
ª 3 4 27
«
|
|
|
© 1 2
ª
ii) ª 3 4
ª 22 1
«
¹
2
º
8º
0 º»
© 1
2 22
0
1
ª
4 21
0 24
ª 2
iii) ª
2 2 12
2 3 2 6 12
ª
ª« 1
2 22 24
25
|
|
|
|
3
|
21
|
0
|
N
Nota
Si llamó A a la matriz original, haga
D 5 A al principio y verifique
rref (D).
2¹
º
23 º
4 º»
22 ¹
º
2 19 º
28º
º
2 34 º»
Vea en el problema 1 de la sección 2.1 de MATLAB del siguiente capítulo más opciones
sobre la realización de operaciones por renglones.
33
34
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
© 1
2 22
0¹
ª
º
4 21
0º
ª 2
6. a) Sea A 5 ª
2º
2 3 2 6 12
ª
º
ª« 1
2 2 2 2 4 º»
©
1¹
ª
º
24 º
b) 5 ª
ª 2 12 º
ª
º
ª« 2 5 º»
Muestre que el sistema con la matriz aumentada [A b] no tiene solución.
b) Sea b 5 2*A(:,1)1A(:,2)13*A(:,3)24*A(:,4). Recuerde que A(:,1) es la
primera columna de A. Así se están sumando múltiplos de columnas de A. Use rref
[A b] para resolver este sistema.
c) Utilice la flecha hacia arriba para regresar a la línea de b 5 2*A(:,1) 1 etc. y edítela
para obtener un nuevo conjunto de coeficientes. Una vez más, resuelva el sistema con la
matriz aumentada [A b] para esta nueva b. Repita dos nuevas elecciones de coeficientes.
d) ¿Sería posible poner coeficientes para los que no tengan una solución? La pregunta se
refiere a si la siguiente conjetura es cierta: un sistema[A b] tiene solución si b es una
suma de múltiplos de las columnas de A. ¿Por qué?
e) Pruebe esta conjetura para A formada por:
A 5 2*rand(5)21
A(:,3) 5 2*A(:,1)2A(:,2)
7. Suponga que se quieren resolver varios sistemas de ecuaciones en los que las matrices de
coeficientes (los coeficientes de las variables) son los mismos pero tienen lados derechos
diferentes. Formando una matriz aumentada más grande se podrán resolver varios lados
derechos. Suponga que A es la matriz de coeficientes y que b y c son dos lados derechos
diferentes; asigne Aug 5 [A b c] y encuentre rref(Aug).
a) Resuelva los dos sistemas siguientes.
x1 1 x2 1 x3 5 4
2x1 1 3x2 1 4x3 5 9
22x1
1 3x3 5 27
x1 1 x2 1 x3 5 4
2x1 1 3x2 1 4x3 5 16
22x1
1 3x3 5 11
b) Resuelva los tres sistemas siguientes.
2x1 1 3x2 2 4x3 5 1
x1 1 2x2 2 3x3 5 0
2x1 1 5x2 2 11x3 5 27
2x1 1 3x2 2 4x3 5 21
x1 1 2x2 2 3x3 5 21
2x1 1 5x2 211x3 5 26
2x1 1 3x2 2 4x3 5 1
x1 1 2x2 2 3x3 5 2
2x1 1 5x2 2 11x3 5 27
c) Sea A la matriz de coeficientes del inciso a). Elija cualesquiera tres lados derechos de su
preferencia. Resuelva.
d) Es necesario hacer una observación sobre las soluciones de sistemas cuadrados, es decir,
sistemas con tantas ecuaciones como variables. Conteste las siguientes preguntas basando sus conclusiones en los incisos a) a c). (Ponga especial atención a la forma de la parte
de los coeficientes de rref.)
i) ¿Es posible que un sistema cuadrado tenga una solución única con un lado derecho
y un número infinito de soluciones con otro lado derecho? ¿Por qué?
ii) ¿Es posible que un sistema cuadrado tenga una solución única con un lado derecho
y no tenga solución con otro?
iii) ¿Es posible que un sistema cuadrado tenga un número infinito de soluciones para un
lado derecho y no tenga solución para otro? ¿Por qué?
1.3
Introducción a MATLAB
8. Distribución de calor. Se tiene una placa rectangular cuyas orillas se mantienen a cierta
temperatura. Nos interesa encontrar la temperatura en los puntos interiores. Considere el
siguiente diagrama. Hay que encontrar aproximaciones para los puntos T1 a T9, o sea, la
temperatura de los puntos intermedios. Suponga que la temperatura en un punto interior
es el promedio de la temperatura de los cuatro puntos que lo rodean: arriba, a la derecha,
abajo y a la izquierda.
50°
50°
50°
100°
T1
100°
T2
100°
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
0°
0°
0°
50°
50°
50°
a) Con esta suposición, establezca un sistema de ecuaciones, considerando primero el punto T1, después el punto T2, etc. Reescriba el sistema de manera que todas las variables se
encuentren de un lado de la ecuación. Por ejemplo, para T1 se tiene
T1 5
(100 1 T2 1 T4 1 50)
4
que se puede reescribir como 4T1 2 T2 2 T4 5 150.
Encuentre la matriz de coeficientes y la matriz aumentada. Describa el patrón que
observe en la forma de la matriz de coeficientes. Dicha matriz se llama matriz de banda.
¿Puede ver de dónde viene el nombre?
b) Resuelva el sistema usando el comando rref. Observe que se obtiene una solución
única. Use la notación “:” para asignar la solución a la variable x.
c) Suponga que A es la matriz de coeficientes y b es el lado derecho del sistema anterior. Dé
el comando y 5 A\b. (La diagonal aquí se llama diagonal invertida. No es la diagonal
de división.) Compare y y x.
9. Modelo de insumo-producto de Leontief
a) Haga referencia al ejemplo 1.2.10. Resuelva el sistema dado usando el comando rref
y el comando “\”. Observe nuevamente que existe una solución única.
b) Suponga que se tienen tres industrias independientes. La demanda externa para el producto 1 es 300 000; para el producto 2, 200 000, y para el producto 3, 200 000. Suponga
que las demandas internas están dadas por
a11 5 .2, a12 5 .1, a13 5 .3, a21 5 .15, a22 5 .25,
a31 5 .1, a32 5 .05, a33 5 0
a23 5 .25,
i) ¿Qué le dice a32 5 0.5?; ¿qué le dice a33 5 0?
ii) Establezca la matriz aumentada para que el sistema de ecuaciones encuentre que x1
es la producción del artículo i para i 5 1, 2, 3. PRIMERO VUELVA A LEER EL
EJEMPLO 1.2.10.
iii) Resuelva el sistema usando MATLAB. Interprete la solución, es decir, ¿cuánto de
cada artículo debe producirse para tener una oferta igual a la demanda?
iv) Suponga que x1 se midió en $ (dólares de producción) y que está interesado en interpretar la solución en centavos. Serán necesarios más dígitos en la respuesta desplegada que los cuatro dígitos normales después del punto decimal. Suponga que ha
35
36
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
asignado la variable x a la solución. Dé el comando format long (vea la página
31) y después en la ventana de comandos escriba x seguido de “enter”. Esto
desplegará más dígitos (cuando termine esta parte, dé el comando format short
para regresar a la forma normal).
10. Flujo de tráfico
a) Considere el siguiente diagrama de una malla de calles de un sentido con vehículos
que entran y salen de las intersecciones. La intersección k se denota por [k]. Las flechas
a lo largo de las calles indican la dirección del flujo del tráfico. Sea xi el número de
vehículos/h que circulan por la calle i. Suponiendo que el tráfico que entra a una intersección también sale, establezca un sistema de ecuaciones que describa el diagrama del
flujo de tráfico. Por ejemplo, en la intersección [1], x1 1 x5 1 100 5 x3 1 300, esto es, el
tráfico que entra es igual al tráfico que sale, lo que da x1 2 x3 1 x5 5 200.
200
200
[2]
x1
300
x2
[1]
[3]
100
200
200
x3
100
x4
x5
[4]
100
b) Resuelva el sistema usando el comando rref. Habrá un número infinito de soluciones.
Escríbalas en términos de las variables que son las naturales para elegirse de manera
arbitraria.
c) Suponga que la calle de [1] a [3] necesita cerrarse; es decir, x3 5 0. ¿Puede cerrarse también la calle de [1] a [4] (x5 5 0) sin modificar los sentidos del tránsito? Si no se puede
cerrar ¿cuál es la cantidad más pequeña de vehículos que debe poder admitir esta calle
(de [1] a [4])?
11. Ajuste de polinomios a puntos. Si se tienen dos puntos en el plano con coordenadas x
distintas, existe una recta única y 5 c1x 1 c2 que pasa por ambos puntos. Si se tienen tres
puntos en el plano con coordenadas x distintas, existe una parábola única
y 5 c1x2 1 c2x 1 c3
que pasa por los tres puntos. Si se tienen n 1 1 puntos en el plano con coordenadas x distintas, entonces existe un polinomio de grado n único que pasa a través de los n 1 1 puntos:
y 5 c1xn 1 c2x(n11) 1 … 1 cn11
los coeficientes c1, . . . , cn11 se pueden encontrar resolviendo un sistema de ecuaciones
lineales.
EJ EM PLO 1 .3 .3
P1 5 (2, 5)
P2 5 (3, 10)
P3 5 (4, 23)
1.3
Introducción a MATLAB
Se quiere encontrar c1, c2 y c3, de manera que y 5 c1x2 1 c2x 1 c3 pase por los puntos P1, P2 y P3.
5 5c122 1 c22 1 c3
10 5c132 1 c23 1 c3
23 5c142 1 c24 1 c3
Así, se tiene
© 22
A 5 ªª 32
ª« 42
2 1¹
º
3 1º
4 1 º»
© 5¹
ª
º
b 5 ª 10 º .
ª« 2 3 º»
© 29¹
ª
º
Resolviendo el sistema se obtiene c 5 ª 50 º que indica que la parábola que pasa por cada
ª« 2 59 º»
uno de los puntos es y 52 9x2 1 50x 2 59. Se dice que la parábola se ajusta a los puntos.
a) Para P1 5 (1, 21), P2 5 (3, 3) y P3 5 (4, 22), establezca el sistema de ecuaciones para
encontrar los coeficientes de la parábola que se ajusta a los puntos. Sea A la matriz de
coeficientes y b el lado derecho. Resuelva el sistema. En un comentario escriba la ecuación de la parábola que se ajusta a los puntos, es decir, que pasa por los tres.
Dé x 5 [1;3;4] y V 5 vander(x). Compare V con A.
Utilizando doc vander describa el funcionamiento del comando vander.
b) Para P1 5 (0, 5), P2 5 (1, 22), P3 5 (3, 3) y P4 5 (4, 22), establezca el sistema de ecuaciones, dé la matriz aumentada y utilice MATLAB para resolver el sistema.
Escriba, en un comentario, la ecuación del polinomio cúbico que se ajusta a los
cuatro puntos.
Sea x el vector columna que contiene las coordenadas x de los puntos P1 a P4 . Dé
x y encuentre V 5 vander(x). Compare V con la matriz de coeficientes que encontró
al establecer el sistema.
c) Usando algunas características gráficas de MATLAB se pueden visualizar los resultados con los comandos siguientes. Siga estos comandos para los puntos en a) y de nuevo
para los cuatro puntos en b).
Dé x como el vector columna de las coordenadas x de los puntos.
Dé y como el vector columna de las coordenadas y de los puntos.
Dé los siguientes comandos:
V 5 vander (x)
c 5 V\y
s 5 min(x):.01:max(x);
yy 5 polyval(c,s);
plot(x,y‘*’,s,yy)
El primer comando crea la matriz de coeficientes deseada (doc vander).
El segundo resuelve el sistema obteniendo los coeficientes del polinomio (doc
mldivide).
El tercero crea un vector s que contiene múltiples elementos, cada uno entre el valor
mínimo y máximo de las coordenadas x, de manera que se pueda evaluar el polinomio
en muchos puntos para crear una buena gráfica (doc min, doc max, doc :).
El cuarto crea un vector yy que contiene las coordenadas y obtenidas evaluando el
polinomio en los elementos de s (doc polyval).
37
38
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
El quinto produce una gráfica de los puntos originales (con un símbolo “*”) y un
dibujo de la gráfica del polinomio (doc plot).
Debe observarse que la gráfica del polinomio pasa a través de los puntos originales
(etiquetados con “*”).
d) Genere x 5 rand(7,1) y y 5 rand(7,1) o genere un vector de coordenadas x y un
vector de coordenadas y de su preferencia. Asegúrese de cambiar (o elegir) las coordenadas x de manera que sean distintas. Siga los comandos del inciso c) para visualizar el
ajuste polinomial.
1.4 Sistemas homogéneos de ecuaciones
Sistemas lineales
homogéneos y
no homogéneos
Un sistema general de m 3 n ecuaciones lineales [sistema (1.2.10), página 16] se llama homogéneo si todas las constantes b1, b2, . . . bm, son cero; si alguna o algunas de las constantes b1, . . . ,
bm es o son diferentes de cero, decimos que el sistema lineal es no homogéneo. Es decir, el sistema
general homogéneo está dado por
a11 x1 1 a12 x2 1 … 1 a1n xn 5 0
a21 x1 1 a22 x2 1 … 1 a2 n xn 5 0
(1.4.1)
a m1 x1 1 a m 2 x2 1 … 1 a mn xn 5 0
Solución trivial o
solución cero
Soluciones no
triviales
Los sistemas homogéneos surgen de diferentes formas. Se estudiará un sistema homogéneo
en la sección 5.3. En dicha sección se resolverán algunos sistemas homogéneos, de nueva cuenta, mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan.
Como se vio en la sección 1.2, con respecto a las soluciones de los sistemas lineales no homogéneos existen tres posibilidades: que no tenga soluciones, que tenga una solución o que tenga
un número infinito de soluciones. Para el sistema general homogéneo la situación es más sencilla.
Para sistemas generales no homogéneos, x1 5 x2 5 p 5 xn 5 0 es siempre una solución
(llamada solución trivial o solución cero), por lo que sólo se tienen dos posibilidades: la solución trivial es la única solución o existe un número infinito de soluciones además de ésta. Las
soluciones distintas a la solución cero se llaman soluciones no triviales.
EJ EM PLO 1 .4 .1
Sistema homogéneo que tiene únicamente la solución trivial
Resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones
2x1 1 4x2 1 6x3 5 0
4x1 1 5x2 1 6x3 5 0
3x1 1 x2 2 2x3 5 0
Solución
Ésta es la versión homogénea del sistema del ejemplo 1.2.1 en la página 8. Al
reducir en forma sucesiva, se obtiene (después de dividir la primera ecuación entre 2)
3 | 0 ¹ R2 q R2 2 4 R1 © 1
2
3 | 0¹
2
3 | 0¹
©1 2
©1
R3 q R3 2 3 R1
R2 q 2 R2
ª4 5
º
ª
º
ª
6 | 0 q 0 23 26 | 0 q 0
1
2 | 0º
ªª
ºº
ªª
ºº
ªª
ºº
« 3 1 22 | 0 »
« 0 25 211 | 0 »
« 0 25 211 | 0 »
1
3
© 1 0 21 | 0 ¹
© 1 0 21 | 0 ¹ R1 q R1 1 R3
© 1 0 0 | 0¹
R3 q 2 R3
R2 q R2 2 2 R3
ª0 1
º
ª
º
2 | 0
2 | 0 q ª 0 1 0 | 0 º
qª0 1
q ª
º
ªª
ºº
ª 0 0 21 | 0 ºº
ª0 0
1 | 0 º»
«
»
«
« 0 0 1 | 0»
R1 q R 1 2 2 R2
R3 q R3 1 5 R2
1.4
Sistemas homogéneos de ecuaciones
Así, el sistema tiene una solución única (0, 0, 0). Esto es, la única solución al sistema es la trivial.
EJEMPL O 1 .4 .2
Un sistema homogéneo con un número infinito de soluciones
Resuelva el sistema homogéneo
x1 1 2x2 2 x3 5 0
3x1 2 3x2 1 2x3 5 0
2x1211x21 6x3 5 0
Solución
Al hacer uso de la eliminación de Gauss-Jordan se obtiene, sucesivamente,
2 21 | 0 ¹ R2 q R2 2 3 R1 © 1
2 21 | 0 ¹
© 1
R3 q R3 1 R1
ª 3 23
º
ª
2 | 0
5 | 0º
q ª 0 29
ªª
ºº
ºº
ª
6 | 0»
5 | 0 º»
« 21 211
« 0 29
2 21 | 0 ¹ R1 q R1 2 2 R2 © 1 0 2 91 | 0 ¹
©1
R3 q R3 1 9 R2
q ªª 0
1 2 59 | 0 ºº q ªª 0 1 2 5 | 0 ºº
9
ª
ª
º
« 0 29
«0 0
0 | 0»
5 | 0 ȼ
R2 q 219 R2
Ahora la matriz aumentada está en la forma escalonada reducida por renglones, y, como tenemos un reglón de ceros, esto nos indica que existe un número infinito de soluciones. Si elegimos
a x3 como parámetro, encontramos que toda solución es de la forma 91 x3 , 59 x3 , x3 . Si, por
ejemplo, x3 5 0, se obtiene la solución trivial. Si x3 5 1 se obtiene la solución
9p se obtiene la solución (p, 5p, 9p).
EJEMPLO 1 .4 .3
1, 5
9 9
. Si x 5
3
Un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones
tiene un número infinito de soluciones
Resuelva el siguiente sistema
x1 1 x2 2 x3 5 0
4x1 2 2x2 1 7x3 5 0
Solución
(1.4.2)
Al reducir por renglones, utilizando el método de Gauss-Jordan se obtiene
1 21 | 0 ¹ R2 q R2 2 4 R1 © 1
1 21 | 0 ¹
©1
q ª
ª« 4 22
º
7 | 0»
« 0 26 11 | 0 º»
5
| 0¹
© 1 1 21 | 0 ¹ R1q R1 2 R2 © 1 0
6
q ª 0 1 2 11
q
ª
º
11
| 0 º»
«
« 0 1 2 6 | 0»
6
R2 q 2 16 R2
En esta ocasión tenemos más incógnitas que ecuaciones, por lo que hay un número infinito de
soluciones. Si elegimos a x3 como parámetro, encontramos que toda solución es de la forma
25 x , 11 x , x
6 3 6 3 3
.
En términos generales, si hay más incógnitas que ecuaciones, el sistema homogéneo (1.4.1)
siempre tendrá un número infinito de soluciones. Para ver esto observe que si sólo tuviera la
solución trivial, la reducción por renglones conduciría al sistema
50
50
x1
x2
o
xn 5 0
39
40
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
y, posiblemente, algunas ecuaciones adicionales de la forma 0 5 0. Pero este sistema tiene al
menos tantas ecuaciones como incógnitas. Puesto que la reducción por renglones no cambia ni
el número de ecuaciones ni el número de incógnitas, se tiene una contradicción en la suposición
de que había más incógnitas que ecuaciones. Entonces se tiene el teorema 1.4.1.
T
Teorema 1.4.1 Sistemas homogéneos: condición para tener
un número infinito de soluciones
El sistema homogéneo (1.4.1) tiene un número infinito de soluciones si n > m.
R
Resumen 1.4
• Un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas es un sistema lineal de la forma
(p. 38)
a11 x1 1 a12 x2 1 … 1 a1n xn 5 0
a21 x1 1 a22 x2 1 … 1 a2 n xn 5 0
a m1 x1 1 a m 2 x2 1 … 1 a mn xn 5 0
• Un sistema lineal homogéneo siempre tiene la solución trivial (o solución cero)
(p. 38)
x1 5 x2 5 … 5 xn 5 0
• Las soluciones para un sistema lineal homogéneo diferentes de la trivial se denominan soluciones
no triviales.
(p. 38)
• El sistema lineal homogéneo anterior tiene un número infinito de soluciones si tiene más incógnitas que ecuaciones (n > m).
(p. 40)
A
A U T O E V A L U A C I Ó N 1.4
III) ¿Cuáles de los siguientes sistemas deben tener soluciones no triviales?
a) a11 x1 1 a12 x2 5 0
a21 x1 1 a22 x2 5 0
b) a11 x1 1 a12 x2 5 0
c) a11 x1 1 a12 x2 1 a13 x3 5 0
a21 x1 1 a22 x2 5 0
a21 x1 1 a22 x2 1 a23 x3 5 0
a31 x1 1 a32 x2 5 0
III) ¿Para qué valores de k tendrá soluciones no triviales el siguiente sistema?
x1 y1 z50
2x 1 3y 2 4z 5 0
3x 1 4y 1 kz 5 0
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 23
f) 0
1.4
Sistemas homogéneos de ecuaciones
Respuestas a la autoevaluación
I) c)
II) e)
Problemas 1.4
En los problemas 1 a 20 encuentre todas las soluciones a los sistemas homogéneos.
1.
x1 2 5x2 5 0
2x11 5x2 5 0
2. 2x1 2 x2 5 0
3x1 1 4x2 5 0
3. 3x1 2 5x2 5 0
5x1 1 4x2 5 0
2x1 1 5x2 5 0
4.
x1 2 3x2 5 0
22x1 1 6x2 5 0
x1 1 x2 2 x3 5 0
2x1 2 4x2 1 3x3 5 0
3x1 1 7x2 2 x3 5 0
6.
x1 1 x2 2 x3 5 0
2x1 2 4x2 1 3x3 5 0
2x1 2 7x2 2 6x3 5 0
7. 3x1 2 5x2 1 4x3 5 0
5x1 2 4x2 1 4x3 5 0
2x1 1 5x2 2 2x3 5 0
8.
2x1 1 3x2 2 x3 5 0
6x1 2 5x2 1 7x3 5 0
x1 2 3x2 1 2x3 5 0
3x1 1 6x2 2 3x3 5 0
10.
4x1 2 x2 5 0
7x1 1 3x2 5 0
28x1 1 6x2 5 0
12.
2x1 2 5x2 2 6x3 2 3x4 5 0
x1 1 3x2 2 5x3 1 4x4 5 0
5.
9.
11. 2x1 2 3x2 2 4x3 1 5x4 5 0
x1 1 7x2 2 5x3 1 3x4 5 0
13.
x1 2 2x2 1 x3 1 x4
3x1
1 2x3 2 2x4
4x2 2 x3 2 x4
5x11
3x3 2 x4
50
50
50
50
14. 22x1
1 7x4 5 0
x1 1 2x2 2 x3 1 4x4 5 0
3x1
2 x3 1 5x4 5 0
4x1 1 2x2 1 3x3
50
15.
2x1 2 x2 5 0
3x1 1 5x2 5 0
7x1 2 3x2 5 0
22x1 1 3x2 5 0
16.
x1 2 3x2 5 0
22x1 1 6x2 5 0
4x1 212x2 5 0
17. 22x1 1 6x2 5 0
x1 2 3x2 5 0
27x1 121x2 5 0
18.
x1 1 x2
4x1 2 x2
22x1 1 x2
3x1 1 2x2
19. 3x1 2 5x2 1 12x3 1 10x4 5 0
5x1 1 4x2 1 20x3 2 8x4 5 0
2x1 1 5x2 1 8x2 2 10x4 5 0
20. 24x1 1 10x2 2 6x3 5 0
26x1 2 9x2 2 9x3 5 0
2 x1 1 2x2 2 12x3 5 0
2 x1 2 6x2 2 12x3 5 0
2 x3 5 0
1 5x3 5 0
2 2x3 5 0
2 6x3 5 0
41
42
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
21. Muestre que el sistema homogéneo de ecuaciones
a11x1 1 a12x2 5 0
a21x1 1 a22x2 5 0
tiene un número infinito de soluciones si y sólo si a11a22 2 a12a21 5 0.
22. Considere el sistema
2x1 2 3x2 1 5x3 5 0
2x1 1 7x2 2 x3 5 0
4x1 2 11x2 1 kx3 5 0
¿Para qué valor de k tendrá soluciones no triviales?
*23. Considere el sistema homogéneo de 3 3 3
a11 x1 1 a12 x2 1 a13 x3 5 0
a21 x1 1 a22 x2 1 a23 x3 5 0
a31 x1 1 a32 x2 1 a33 x3 5 0
Encuentre condiciones sobre los coeficientes aij tales que la solución trivial sea la única
solución.
24. Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para qué valores de K el sistema tiene solución única; justifique su solución.
Kx 1
y1 z51
x 1 Ky 1
x1
z51
y 1 Kz 5 1
25. En el siguiente sistema de ecuaciones lineales
2x 2 y 2 Kz 5 0
x 2 y 2 2z 5 1
2 x 1 2z 5 K
determine para qué valores de K el sistema:
a) No tiene solución.
b) Tiene un número infinito de soluciones.
c) Tiene solución única.
Los sistemas homogéneos se pueden resolver con la calculadora HP50g al utilizar la
forma escalonada reducida por renglones de la matriz de coeficientes (RREF).
En los problemas 26 al 30 encuentre todas las soluciones para cada sistema.
26. 4.23x1 1 10.28x2 2 6.36x3 5 0
27. 213.6x1 1 71.8x2 1 46.3x3 5 0
3.28x1 2 5.39x2 1 4.25x3 5 0
41.3x1 2 75.0x2 2 82.9x3 5 0
41.8x1 1 65.4x2 2 26.9x3 5 0
28.
2.1x1 1 4.2x2 2 3.5x3 5 0
25.9x1 1 2.7x2 1 8.9x3 5 0
29.
5x1 2 2x2 1 11x3 2 16x4 1 12x5 5 0
26x1 1 8x2 2 14x3 2 9x4 1 26x5 5 0
7x1 2 18x2 2 12x3 1 21x4 2 2x5 5 0
2x1 1 11x2 2 9x3 1 13x4 2 20x5 5 0
1.4
30.
Sistemas homogéneos de ecuaciones
25x1 2 16x2 1 13x3 1 33x4 2 57x5 5 0
216x1 1 3x2 1
2 18x2
EJERCICIOS
1 12x5 5 0
x3
1 16x4 2 26x5 5 0
CON
MATLAB 1.4
1. a) Genere cuatro matrices aleatorias con más columnas (incógnitas) que renglones (ecuaciones).
b) Use el comando rref para encontrar la forma escalonada reducida por renglones de
cada una de las matrices aleatorias.
c) Para cada matriz aleatoria use la fórmula escalonada reducida por renglones para escribir la solución a los sistemas homogéneos asociados. Verifique el teorema 1.4.1, es decir,
que en este caso siempre hay un número infinito de soluciones.
(Para usar MATLAB para la generación de matrices aleatorias, remítase a la sección anterior a los problemas de MATLAB de la sección 1.2.)
2. ¿Cuál es su conclusión acerca de la solución de un sistema homogéneo cuya matriz de
coeficiente tiene más renglones (ecuaciones) que columnas (incógnitas)? Resuelva los sistemas homogéneos cuyas matrices de coeficientes se dan en seguida. ¿Los resultados conforman su conclusión?
i)
© 1
ª 21
ª
ª 0
ª 1
ª
ª« 0
0¹
2
3
4
5 21º
º
2 26
2º
1
1
3º
º
2
0
1º»
ii)
3¹
© 1 21
ª2
1
3º
ª
º
2 21º
ª0
ª« 4
4
4º»
3. Balanceo de reacciones químicas. Al balancear reacciones químicas tales como la de la
fotosíntesis
CO2 1 H2O
S
C6H12O6 1 O2
se buscan enteros positivos x1, x2, x3 y x4, que no tengan un divisor común diferente de 1,
de manera que en
x1(CO2) 1 x2(H2O)
S
x3(C6H12O6) 1 x4(O2)
el número de átomos de cada elemento químico involucrado es el mismo en cada lado
de la reacción. El número de átomos de un elemento químico lo indica un subíndice; por
ejemplo, en CO2 hay un átomo de C (carbono) y dos átomos de O (oxígeno). Esto nos lleva a un sistema homogéneo de ecuaciones. ¿Por qué se obtiene un sistema homogéneo de
ecuaciones como resultado del “balanceo”?
C:
O:
H:
x1
2x1 1
5 6x3
x2 5 6x3 1 2x4
2x2 5 12x3
x1
o
2 6x3
50
2x1 1 x2 2 6x3 22x4 5 0
2x2 2 12x3
50
Este sistema tiene más incógnitas que ecuaciones, por lo que se espera un número infinito
de soluciones. Para resolver el sistema se introduce la matriz aumentada, se usa el comando
rref y se escribe la solución en términos de las variables arbitrarias. Uno de los requerimientos será elegir las variables arbitrarias de manera que x1, x2, x3 y x4 sean enteros sin un
divisor común diferente de 1.
43
44
CAPÍTULO 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Para los sistemas que aquí se presentan habrá una variable arbitraria correspondiente
a la última columna de la rref (forma escalonada reducida por renglones) de la matriz
de coeficientes. La notación “:” se utiliza para encontrar la elección correcta de variables
arbitrarias para producir enteros y asignar la variable z a la última columna de la rref
de la matriz de coeficientes. Se da el comando xx 5 rats(z). Éste desplegará los números de la columna en forma de fracciones en lugar de decimales. También se puede dar el
comando format rat y después se despliega xx (asegúrese de dar el comando format
short para regresar a la forma normal).
a) Resuelva el sistema anterior para la reacción de fotosíntesis y encuentre los enteros x1 a
x4 sin común divisor diferente de 1 que la balancean.
b) Establezca el sistema de ecuaciones homogéneas que balancea la reacción entre:
Pb(N3)2 1 Cr(MnO4)2
S
Cr2O3 1 MnO2 1 Pb3O4 1 NO
Resuelva el sistema y encuentre los enteros x1 a x6 sin divisor común diferente de 1 que
balancea la reacción.
Vectores y matrices
Capítulo
2
En el estudio de sistemas complejos, un objeto de interés son las redes formadas por elementos conectados entre sí. La descripción de las
conexiones entre elementos suele representarse por una matriz conocida como matriz de interconexión.
Objetivos del capítulo
En este capítulo el estudiante. . .
• Se familiarizará con los vectores y matrices, así como con las
operaciones de suma y multiplicación por escalar (sección
2.1).
• Estudiará la definición y las propiedades de la multiplicación
entre matrices y vectores (sección 2.2).
• Conocerá la relación entre matrices y vectores con sistemas
de ecuaciones, así como el concepto de soluciones a sistemas de ecuaciones homogéneos y no homogéneos (sección
2.3).
• Aprenderá el concepto de inversa de una matriz y su relación
con la solución de sistemas de ecuaciones (sección 2.4).
• Entenderá la operación de transposición de una matriz, sus
propiedades y el caso de las matrices simétricas (sección 2.5).
• Profundizará en la forma matricial de las operaciones elementales por renglón que pueden aplicarse a matrices en
general (sección 2.6).
• Estudiará la factorización de matrices en términos de dos
matrices triangulares con características especiales (sección
2.7).
• Ejercitará la aplicación de los sistemas de ecuaciones, matrices y vectores, y analizará algunos conceptos asociados con
gráficas dirigidas (sección 2.8).
46
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
2.1 Definiciones generales
El estudio de vectores y matrices es la médula del álgebra lineal. El estudio de vectores comenzó esencialmente con el trabajo del gran matemático irlandés sir William Hamilton
(1805-1865).1 Su deseo de encontrar una forma de representar un cierto tipo de objetos en
el plano y el espacio lo llevó a descubrir lo que él llamó cuaterniones. Esta noción condujo al
desarrollo de lo que ahora se conoce como vectores. A lo largo de toda su vida y del resto del
siglo XIX hubo un debate considerable sobre la utilidad de los cuaterniones y de los vectores.
Al final del siglo el gran físico inglés lord Kelvin escribió que los cuaterniones, “aun cuando
son bellamente ingeniosos, han sido un mal peculiar para todos aquellos que los han manejado
de alguna manera y los vectores… nunca han sido de menor utilidad para ninguna criatura”.
Pero Kelvin estaba equivocado. En la actualidad casi todas las ramas de la física clásica y
moderna se representan mediante el lenguaje de vectores. Los vectores también se usan, cada
vez más, en las ciencias biológicas y sociales.2
En la página 2 se describió la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
como un par de números (x, y). En el ejemplo 1.2.1 en la página 8 se escribió la solución a un
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas como la terna de números (4, 22, 3). Tanto (x, y)
como (4, 22, 3) son vectores.
D
Definición 2.1.1
Vector renglón de n componentes
Un vector de n componentes se define como un conjunto ordenado de n números escritos
de la siguiente manera:
(x1, x2, . . . , xn)
D
(2.1.1)
Definición 2.1.2
Vector columna de n componentes
Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n números escritos de
la siguiente manera:
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
⎜ ⎟
⎜% ⎟
⎜x ⎟
⎝ n⎠
Componentes
de un vector
(2.1.2)
En (2.1.1) o (2.1.2), x1 se denomina la primera componente del vector, x2 es la segunda componente, y así sucesivamente. En términos generales, xk se denomina la k-ésima componente del
vector.
1
2
Vea la semblanza bibliográfica de Hamilton en la página 54.
Un análisis interesante sobre el desarrollo del análisis vectorial moderno se puede consultar en el libro de M. J.
Crowe, A History of Vector Analisis (Notre Dame: University of Notre Dame Press, 1967), o en el excelente libro de
Morris Kilne, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Nueva York: Oxford University Press, 1972,
capítulo 32).
2.1
Con objeto de simplificar, con frecuencia se hará referencia a un vector renglón de n componentes como un vector renglón o un vector de dimensión n. Del mismo modo, se usará el término
vector columna (o vector de dimensión n) para denotar a un vector columna de n componentes.
Cualquier vector cuyos elementos sean todos cero se denomina vector cero.
EJEMPL O 2 .1 .1
47
Definiciones generales
Vector cero
Cuatro vectores
Los siguientes son vectores:
i) (3, 6) es un vector renglón (o un vector de dimensión 2)
⎛ ⎞
ii) ⎜ 2⎟ es un vector columna (o un vector de dimensión 3)
⎜ ⎟
⎜⎝ ⎟⎠
iii) (2, 21, 0, 4) es un vector renglón (o un vector de dimensión 4)
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
iv) ⎜ ⎟ es un vector columna y un vector cero
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜⎝ ⎟⎠
!
Advertencia
La palabra ordenado contenida en la
definición de un vector es de fundamental importancia. Dos vectores con
las mismas componentes escritas en
diferente orden no son iguales. De esta
forma, por ejemplo, los vectores renglón (1, 2) y (2, 1) no son iguales.
A lo largo del libro se resaltarán los vectores con letras minúsculas negritas como u, v, a, b,
c, y así sucesivamente. Un vector cero se denota por 0. Más aún, como en términos generales
resultará obvio cuando se trate de un vector renglón o de un vector columna, se hará referencia
a ellos simplemente como “vectores”.
Los vectores surgen de diversas maneras. Suponga que el jefe de compras de una fábrica
debe ordenar cantidades diferentes de acero, aluminio, aceite y papel. Él puede mantener el
control de las unidades a ordenar con un solo vector donde a cada posición se le
asocia algún tipo de material, si pensamos en asociar en la primera posición la cantiObservación
dad de acero, en la segunda posición la cantidad de aluminio, en la tercera posición
Se puede observar aquí por qué el
la cantidad de aceite y en la cuarta posición la cantidad de papel. Entonces el vector
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ indica que ordenará 10 unidades de acero, 30 unidades de aluminio, etcétera.
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
orden en que se escriben las componentes de un vector es sumamente
importante. Es evidente que los
⎛ 30⎞ ⎛ 10 ⎞
⎜ 15⎟ ⎜ 30⎟
vectores ⎜ ⎟ y ⎜ ⎟ tienen signifi⎜ 60⎟ ⎜ 15⎟
⎜⎝ 10 ⎟⎠ ⎜⎝ 60⎟⎠
cados muy distintos para el comprador.
En seguida se describirán algunas propiedades de los vectores. Puesto que
sería repetitivo hacerlo primero para los vectores renglón y después para los vectores columna, se presentarán todas las definiciones en términos de vectores
columna. Los vectores renglón tienen definiciones similares.
Las componentes de todos los vectores en este texto son números reales o complejos.3 Se
denota al conjunto de todos los números reales por el símbolo R y al conjunto de números
complejos por el símbolo C.
3
Un número complejo es un número de la forma a + ib, en donde a y b son números reales e i 5 21. En el apéndice
B se da una descripción de los números complejos. No se habla de vectores complejos otra vez hasta el capítulo 5;
serán útiles en especial en el capítulo 7. Por lo tanto, a menos que se establezca de otra manera, por el momento se
supondrá que todos los vectores tienen componentes reales.
R
C
48
CAPÍTULO 2
D
Vectores y matrices
Definición 2.1.3
El símbolo Rn
Se usa el símbolo Rn para denotar al conjunto de todos los vectores de dimensión n
⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ a2 ⎟
⎜ ⎟,
⎜ %⎟
⎜a ⎟
⎝ n⎠
D
donde cada ai es un número real.
Definición 2.1.4
El símbolo Cn
De manera similar, se usa el símbolo Cn para denotar al conjunto de todos los
vectores de dimensión n
⎛ c1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ c2 ⎟ ,
⎜ ⎟
⎜% ⎟
⎜c ⎟
⎝ n⎠
donde cada ci es un número complejo (ver apéndice B
sobre números complejos).
En el capítulo 4 se analizarán los conjuntos R2 (vectores en el plano) y R3 (vectores en el espacio). En el capítulo 5 se examinarán conjuntos arbitrarios de vectores.
Observe que los vectores son tipos especiales de matrices.
D
Definición 2.1.5
Matriz
Una matriz A de m 3 n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m renglones y n columnas
⎛ a11
⎜
⎜ a21
⎜
A5 ⎜
⎜ ai1
⎜
⎜
⎜⎝ am1
Renglones y
columnas de
una matriz
Componente
o elemento
a12
a1 j
a22
a2 j
ai 2
aij
am 2
amj
a1n ⎞
⎟
a2 n ⎟
⎟
⎟
ain ⎟
⎟
⎟
amn ⎟⎠
(2.1.3)
El símbolo m 3 n se lee “m por n”. A menos que se establezca lo contrario, se supondrá siempre
que los números en una matriz o vector son reales. El vector renglón (ai1, ai2, … ain ) se llama ren⎛ a1 j ⎞
⎜
⎟
a2 j ⎟
glón i y el vector columna ⎜⎜
⎟ se llama columna j. La componente o elemento ij de A, denotado
⎜
⎟
⎜⎝ amj ⎟⎠
2.1
Definiciones generales
por aij, es el número que aparece en el renglón i y la columna j de A. En ocasiones se escribirá
la matriz A como A 5 (aij ). Por lo general, las matrices se denotarán con letras mayúsculas.
Si A es una matriz m 3 n con m 5 n, entonces A se llama matriz cuadrada. Una matriz
m 3 n con todos los elementos iguales a cero se denomina matriz cero de m 3 n.
Se dice que una matriz de m 3 n tiene tamaño m 3 n.
EJEMPLO 2 .1 .2
49
Matriz cuadrada
Matriz cero
Tamaño de
una matriz
Cinco matrices
En seguida se presentan cinco matrices de diferentes tamaños:
⎛ 1 3⎞
iii) ⎜
es una matriz de 2 3 2 (cuadrada).
⎝ 4 2 ⎟⎠
⎛ 21
3⎞
⎜
⎟
0 ⎟ es una matriz de 3 3 2.
iii) ⎜ 4
⎜ 1 22 ⎟
⎝
⎠
⎛ 21 4 1⎞
iii) ⎜
⎟ es una matriz de 2 3 3.
⎝ 3 0 2⎠
Nota histórica
El matemático inglés James Joseph
Sylvester (1814-1897) fue el
primero que utilizó el término
“matriz” en 1850, para distinguir
las matrices de los determinantes
(que se estudiarán en el capítulo
3). La idea era que el término
“matriz” tuviera el significado de
“madre de los determinantes”.
⎛1
6 22 ⎞
⎜
⎟
1
4 ⎟ es una matriz de 3 3 3 (cuadrada).
iv) ⎜ 3
⎜ 2 26
5 ⎟⎠
⎝
⎛ 0 0 0 0⎞
iv) ⎜
es la matriz cero de 2 3 4.
⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠
Notación con paréntesis cuadrados. En algunos libros las matrices se presentan dentro de paréntesis cuadrados en lugar de paréntesis redondos. Por ejemplo, las primeras dos matrices del
ejemplo 2.1.2 se pueden escribir como
⎡ 21
3⎤
⎢
⎥
0⎥
ii) A 5 ⎢ 4
⎢ 1 22 ⎥
⎢⎣
⎦⎥
⎡1 3⎤
iii) A 5 ⎢
⎥
⎣4 2⎦
En este texto se utilizarán exclusivamente paréntesis redondos.
A través del libro se hace referencia al renglón i, la columna j y la componente ij de una
matriz para diferentes valores de i y j. Estas ideas se ilustran en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 2 .1 .3
Localización de las componentes de una matriz
Para la matriz
⎛1
6 4⎞
⎜
⎟
A 5 ⎜ 2 23 5 ⎟
⎜⎝ 7
4 0 ⎟⎠
encuentre las componentes a12, a31 y a22.
Solución
La componente (a12) es el número que se encuentra en el primer renglón y la
segunda columna, que se han sombreado; la componente (a12) es 6:
50
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
2a. columna
1er. renglón
⎛1
6 4⎞
⎜ 2 23 5 ⎟
⎜
⎟
⎜7
4 0 ⎟⎠
⎝
En las siguientes matrices sombreadas se puede ver que la componente (a31) es 7 y la componente (a22) es 23:
1a. columna
3er. renglón
D
⎛1
6 4⎞
⎜ 2 23 5 ⎟
⎜
⎟
⎜7
4 0 ⎟⎠
⎝
2a. columna
2o. renglón
⎛1
6 4⎞
⎜ 2 23 5 ⎟
⎜
⎟
⎜7
4 0 ⎟⎠
⎝
Definición 2.1.6
Igualdad de matrices
Dos matrices A 5 (aij ) y B 5 (bij ) son iguales si
1) son del mismo tamaño y
2) las componentes correspondientes son iguales.
EJ EM PLO 2 .1 .4
Matrices iguales y matrices distintas
¿Son iguales las siguientes matrices?
⎛4
1 5⎞
iii) ⎜
⎟
⎝ 2 23 0 ⎠
⎛
⎞
iii) ⎜ 2 2 0 ⎟
⎝ 1 3⎠
⎛ 1 0⎞
iii) ⎜
⎝ 0 1 ⎟⎠
N
Nota
Los vectores son matrices de un renglón o de una columna.
Cada vector es un tipo especial de
matriz. Así, por ejemplo, el vector renglón de n componentes (a1, a2, . . . an )
es una matriz de 1 3 n, mientras que
el vector columna de n componentes
⎛ a1⎞
⎜ ⎟
⎜ a2⎟ es una matriz de n 3 1.
⎜ %⎟
⎜ ⎟
⎝ an ⎠
y
y
⎛11 3
1
2 1 3⎞
⎜
⎟
⎜⎝ 1 1 1 1 2 4 6 2 6 ⎟⎠
y
⎛ 0 22 ⎞
⎜1
3 ⎟⎠
⎝
⎛ 1 0 0⎞
⎜⎝ 0 1 0 ⎟⎠
Solución
iii) Sí; ambas matrices son de 2 3 3 y 1 1 3 5 4, 2 1 3 5 5, 1 1 1 5 2, 1
2 4 5 23 y 6 2 6 5 0.
iii) No; 22 Z 0, por lo que las matrices son distintas ya que, por ejemplo, las
componentes (1, 1) son diferentes. Esto es cierto aun cuando las dos matrices contienen los mismos números. Las componentes correspondientes
deben ser iguales. Esto significa que la componente (an ) en A debe ser
igual a la componente (bn ) en B, etcétera.
iii) No; la primera matriz es de 2 3 2 y la segunda es de 2 3 3, de manera que
no tienen el mismo tamaño.
2.1
51
Definiciones generales
Las matrices, al igual que los vectores, surgen en un gran número de situaciones prácticas. Por
⎛ 10 ⎞
⎜ 30 ⎟
ejemplo, en la página 47 se analizó la manera en que el vector ⎜ ⎟ puede representar las can⎜ 15 ⎟
⎜⎝ 60 ⎟⎠
tidades ordenadas de cuatro productos distintos utilizados por un fabricante. Suponga que se
tienen cinco plantas diferentes, entonces la matriz de 4 3 5 podría representar las órdenes de
los cuatro productos en cada una de las cinco plantas.
⎛ 10
⎜ 30
Q5⎜
⎜ 15
⎜⎝ 60
20
10
22
40
15
20
18
50
16
25
20
35
25 ⎞
22 ⎟
⎟
13 ⎟
45 ⎟⎠
Se puede apreciar, a manera de ejemplo, que la planta 4 ordena 25 unidades del segundo producto (q24) mientras que la planta 2 ordena 40 unidades del cuarto producto (q42).
Las matrices se pueden sumar y multiplicar por números reales.
D
Definición 2.1.7
!
Suma de matrices
Sean A 5 (aij) y B 5 (bij) dos matrices m 3 n. Entonces la suma de A y B es la
matriz m 3 n, A 1 B dada por
⎛ a11 1 b11 a12 1 b11
⎜
a 1 b21 a22 1 b22
A 1 B 5 aij 1 bij 5 ⎜ 21
⎜
⎜
⎜⎝ am1 1 bm1 am 2 1 bm 2
(
)
a1n 1 b1n ⎞
⎟
a2 n 1 b2 n ⎟
⎟
⎟
amn 1 bmn ⎟⎠
(2.1.4)
Es decir, A 1 B es la matriz m 3 n que se obtiene al sumar las componentes
correspondientes de A y B.
EJEMPLO 2 .1 .5
Advertencia
La suma de dos matrices se define
únicamente cuando las matrices son
del mismo tamaño. Así, por ejemplo,
no es posible sumar las matrices
⎛ 21
0⎞
⎛ 1 2 3⎞ ⎜
⎟
⎜ 4 5 6⎟ y ⎜ 2 25⎟ o las
⎝
⎠ ⎜
7⎟⎠
⎝ 4
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟
matrices (vectores) ⎜ ⎟ y 2 . Es
⎝ 2⎠ ⎜ 3⎟
⎝ ⎠
decir, son incompatibles bajo la suma.
Suma de dos matrices
© 2 4 26 7¹ © 0 1 6 22 ¹ © 2 5
0 5¹
ª 1 3
º
ª
º
ª
2 1 1 2 3 4
3 5
3 6
6 4º
ª
º ª
º ª
º
ª« 24 3 25 5º» ª« 22 1 4
4 º» ª« 26 4 21 9º»
Al manejar vectores se hace referencia a los números como escalares (que pueden ser reales o
complejos dependiendo de si los vectores en cuestión son reales o complejos).
D
Definición 2.1.8
Multiplicación de una matriz por un escalar
Si A 5 (aij) es una matriz de m 3 n y si a es un escalar, entonces la matriz m 3 n, aA,
está dada por
Escalares
52
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Nota histórica
El término “escalar” encuentra su origen con Hamilton. Su definición de cuaternión incluía lo que
él definió como una “parte real” y una “parte imaginaria”. En su artículo “On Quartenions, or on a
New System of Imagineries in Algebra”, en Philosophical Magazine, 3a. Serie, 25(1844):26-27, escribió: “La parte real algebraicamente puede tomar… todos los valores contenidos en la escala de la
progresión de números desde el infinito negativo al infinito positivo; la llamaremos, entonces, la parte escalar o simplemente el escalar del cuaternión…” En el mismo artículo Hamilton definió la parte
imaginaria de su cuaternión como la parte vectorial. Aunque éste no fue el primer uso que se dio a
la palabra “vector”, sí fue la primera vez que se usó en el contexto de las definiciones contenidas en
esta sección. Es importante mencionar que el artículo del que se tomó la cita anterior marca el inicio
del análisis vectorial moderno.
⎛ a a11 a a12
⎜
aa
a a22
a A 5 a aij 5 ⎜ 21
⎜
⎜
⎝ a a m1 a a m 2
( )
a a1n ⎞
⎟
a a2 n ⎟
⎟
⎟
a amn ⎠
(2.1.5)
Esto es aA 5 (aaij) es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por a. Si
aA 5 B 5 (bij), entonces bij 5 aaij para i 5 1, 2, . . . , m y j 5 1, 2, . . . , n.
EJ EM PLO 2 .1 .6
Múltiplos escalares de matrices
© 1 23 4 2 ¹
© 2 26 8 4 ¹
ª
º
1 4 6 . Entonces 2 A 5 ª 6
2 8 12 º ,
Sea A 5 ª 3
º
º
ª
ª« 22
ª«2 4
3 5 7 º»
6 10 14 º»
©21
1 2 43 2 23 ¹
3
ª
º
2 13 A 5 ª 21 2 13 2 43 22 º
ªª
5
7º
2
« 3 21 2 3 2 3 »
EJ EM PLO 2 .1 .7
© 4¹
ª 6º
Sea a 5 ª º
ª 1º
ª º
« 3»
y
Solución
y
© 0 0 0 0¹
0 A 5 ª 0 0 0 0º
ª
º
ª« 0 0 0 0º»
Suma de múltiplos escalares de dos vectores
© 22 ¹
ª 4º
b 5 ª º . Calcule 2a 2 3b.
ª 23 º
ª º
« 0»
© 22 ¹ © 8 ¹ © 6 ¹ © 14 ¹
© 4¹
ª 4 º ª 12 º ª 212 º ª 0º
ª 6º
º 5ª º
2a 2 3b 5 2 ª º 1 (23) ª º 5 ª º 1 ª
ª 1º
ª 23 º ª 2 º ª 9º ª 11º
ª º
ª º ª º ª
º ª º
« 0 » « 6 » « 0» « 6 »
« 3»
El teorema que se presenta a continuación proporciona las propiedades básicas sobre la suma
de matrices y la multiplicación por escalares. Se demuestra la parte iii) y se deja el resto de la
prueba como ejercicio para el lector (vea los problemas 41 a 43).
2.1
T
Definiciones generales
53
Teorema 2 .1.1
Sean A, B y C tres matrices de m 3 n y sean a y b dos escalares. Entonces:
iii) A 1 0 5 A
iii) 0A 5 0
iiii) A 1 B 5 B 1 A
(ley conmutativa para la suma de matrices)
iiv) (A 1 B) 1 C 5 A 1 (B 1 C)
iiv) a(A 1 B) 5 aA 1 aB
(ley asociativa para la suma de matrices)
(ley distributiva para la multiplicación por un escalar)
ivi) 1A 5 A
vii) (a 1 b)A 5 aA 1 bA
N
Demostración de iii)
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
Sea A 5 ⎜
⎜
⎜a
⎝ m1 am 2
a1n ⎞
⎟
a2 n ⎟
⎟
⎟
amn ⎟⎠
⎛ b11 b12
⎜
⎜ b21 b22
y B5⎜
⎜
⎜b
⎝ m1 bm 2
b1n ⎞
⎟
b2 n ⎟
⎟
⎟
bmn ⎟⎠
Por ende
⎛ a11 1 b11 a12 1 b12
⎜
⎜ a21 1 b21 a22 1 b22
A1B 5⎜
⎜
⎜ a 1b
am 2 1 bm 2
m1
⎝ m1
a 1 b 5 b 1 a para cualesquiera
dos números reales a y b
EJEMPLO 2 .1 .8
⎛ b11 1 a11 b12 1 a12
⎜
⎜ b21 1 a21 b22 1 a22
5⎜
⎜
⎜ b 1a
bm 2 1 am 2
m1
⎝ m1
a1n 1 b1n ⎞
⎟
a2 n 1 b2 n ⎟
⎟
⎟
amn 1 bmn ⎟⎠
b1n 1 a1n ⎞
⎟
b2 n 1 a2 n ⎟
⎟ 5B1A
⎟
bmn 1 amn ⎟⎠
Ilustración de la ley asociativa para la suma de matrices
Para ilustrar la ley asociativa se observa que
⎡⎛ 1
4 22 ⎞ ⎛ 2 22 3⎞ ⎤ ⎛ 3 21 2 ⎞
1
⎢⎜
⎥1
3
2
1
0⎟⎠ ⎜⎝ 1 21 5⎟⎠ ⎥⎦ ⎜⎝ 0
1 4 ⎟⎠
⎢⎣⎝
©3
1 3¹
2 1¹ © 3 21 2 ¹ © 6
5ª
1ª
5ª
º
º
« 4 22 5» « 0
1 4 » « 4 21 9º»
De igual manera
©1
4 22 ¹ ¬© 2 22 3¹ © 3 21 2 ¹ ¼
1
1
½
ª« 3 21
1 4 º» ¾
0º» ®ª« 1 21 5º» ª« 0
©1
4 22 ¹ © 5 23 5¹ © 6
1 3¹
1
5
5ª
« 3 21
0º» ª« 1
0 9º» ª« 4 21 9º»
Nota
El cero en el inciso i) del teorema es la
matriz cero de m 3 n. En el inciso ii) el
cero a la izquierda es un escalar mientras que el cero a la derecha es la matriz
cero de m 3 n.
54
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Semb l a n z a d e ...
Sir William Rowan
Hamilton
Sir William Rowan Hamilton, 1805-1865
Sir William Rowan Hamilton nació en Dublín en 1805, en donde
pasó la mayor parte de su vida, y fue sin duda el más grande matemático irlandés. El padre (un abogado) y la madre de Hamilton
murieron cuando era apenas un niño. Su tío, un lingüista, se hizo
cargo de su educación. A la edad de cinco años, Hamilton podía
leer inglés, hebreo, latín y griego. Cuando cumplió los 13 dominaba, además de los idiomas del continente europeo, sánscrito,
chino, persa, árabe, malasio, hindú, bengalí y varios otros. Hamilton disfrutaba escribir poesía, tanto en su infancia como en la
vida adulta, y entre sus amigos se contaban los grandes poetas
ingleses Samuel Taylor Coleridge y William Wordsworth. Sin embargo, la poesía de Hamilton se consideraba tan mala que resultó una bendición que desarrollara otros intereses, especialmente
aquellos relacionados con las matemáticas.
Aunque disfrutó las matemáticas desde niño, el interés de Hamilton creció de manera importante después de un encuentro
casual a la edad de 15 años con Zerah Colburn, el estadounidense
que calculó las descargas eléctricas de los rayos. Poco después,
Hamilton comenzó a leer los libros importantes de matemáticas
de su tiempo. En 1823, a los 18 años, descubrió un error en la Mécanique céleste de Simon Laplace y escribió un artículo impresionante sobre el tema. Un año más tarde entró al Trinity College en
Dublín.
La carrera universitaria de Hamilton fue sobresaliente. A los
21 años, siendo todavía estudiante de licenciatura, había impresionado a tal grado a sus maestros que fue nombrado Astrónomo Real de Irlanda y profesor de Astronomía en la universidad.
Poco después escribió lo que ahora se considera un trabajo clásico en óptica. Haciendo uso únicamente de la teoría matemática,
predijo la refracción cónica en cierto tipo de cristales. Más tarde
los físicos confirmaron esta teoría. En parte debido a este trabajo,
Hamilton fue armado caballero en 1835.
El primer artículo puramente matemático de Hamilton apareció en 1833. En él describió una manera algebraica de manipular
pares de números reales. Este trabajo sienta las reglas que se usan
hoy en día para sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos. No obstante, en un principio, Hamilton no pudo desarrollar
una multiplicación para ternas o n-eadas ordenadas de números
para n . 2. Durante 10 años estudió este problema, y se dice que
lo resolvió en un rato de inspiración mientras caminaba por el
Puente de Brougham en Dublín en 1843. La clave era descartar la
conocida propiedad conmutativa de la multiplicación. Los nuevos
objetos que creó se llamaron cuaterniones, que fueron los precursores de lo que ahora se conoce como vectores. En la actualidad,
una placa incrustada en el puente cuenta la historia.
Aquí, mientras caminaba
el 16 de octubre de 1843,
sir William Rowan Hamilton
descubrió, en un instante de
genialidad, la fórmula fundamental
para la multiplicación de cuaterniones
i 2 5 j 2 5 k 2 5 ijk 5 21
y la grabó en una piedra de este puente.
Durante el resto de su vida, Hamilton pasó la mayor parte del
tiempo desarrollando el álgebra de cuaterniones. Él suponía que
tendrían un significado revolucionario en la física matemática.
Su trabajo monumental sobre este tema, Treatise on Quaternions,
fue publicado en 1853. Más tarde trabajó en una extensión del
tema, Elements of quaternions. Aunque Hamilton murió en 1865
antes de terminar esta obra, su hijo publicó el trabajo en 1866.
Los estudiantes de matemáticas y física conocen a Hamilton
dentro de muchos otros contextos. En física matemática, por
ejemplo, se encuentra la función hamiltoniana que con frecuencia representa la energía total de un sistema, y las ecuaciones diferenciales de dinámica de Hamilton-Jacobi. En la teoría de matrices, el teorema de Hamilton-Cayley establece que toda matriz
satisface su propia ecuación característica. Esto se estudiará en
el capítulo 8.
A pesar del gran trabajo desarrollado, los últimos años de Hamilton fueron un tormento. Su esposa estaba semiinválida y él
fue atacado por el alcoholismo. Es gratificante, por lo tanto, señalar que durante esos últimos años la recién formada American
National Academy of Sciences eligió a sir William Rowan Hamilton como su primer miembro extranjero.
2.1
Definiciones generales
55
El ejemplo 2.1.8 ilustra la importancia de la ley asociativa de la suma de vectores, ya que si se
desea sumar tres matrices o más, únicamente se podrá hacerlo sumándolas de dos en dos. La
ley asociativa indica que esto se puede llevar a cabo de dos maneras diferentes obteniendo el
mismo resultado. Si no fuera así, sería más difícil definir la suma de tres o más matrices ya que
tendría que especificarse si se quiere definir la suma de A 1 B 1 C como (A 1 B) 1 C o como
A 1 (B 1 C).
R
Resumen 2.1
• Un vector renglón de n componentes es un conjunto ordenado de n números denominados escalares, escritos como (x1, x2, . . . , xn ).
(p. 46)
• Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n números escritos como
(p. 46)
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ xn ⎠
• Un vector cuyas componentes son todas cero se denomina vector cero.
• La suma de vectores y la multiplicación por escalares están definidas por
⎛ a1 1 b1 ⎞
⎜
⎟
a2 1 b2 ⎟
⎜
a1b5
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝ an 1 bn ⎟⎠
y
• Si A y B son matrices de m 3 n, entonces A 1 B y αA (α un escalar) son matrices de m 3 n
La componente ij de A 1 B es aij 1 bij
La componente ij de αA es αaij.
A U T O E V A L U A C I Ó N 2.1
III) ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es cierta para la matriz
⎛1
2 3⎞
⎜⎝ 7 21 0⎟⎠ ?
(p. 48)
a1n ⎞
⎟
a2 n ⎟
⎟
⎟
amn ⎠
• Una matriz cuyas componentes son todas cero se denomina matriz cero.
A
(pp. 51, 52)
⎛ a a1 ⎞
⎜
⎟
a a2 ⎟
⎜
aa 5
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ a an ⎠
• Una matriz de m 3 n es un arreglo rectangular de mn números arreglados en m renglones y
n columnas
⎛ a11 a12
⎜
a
a22
A 5 ⎜ 21
⎜
⎜
⎝ an1 an 2
(p. 47)
(p. 48)
(pp. 51, 52)
56
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
a) Es una matriz cuadrada.
⎛ 21 22 23⎞
b) Si se multiplica por el escalar 21, el producto es ⎜
.
1
0⎟⎠
⎝ 27
c) Es una matriz de 3 3 2.
⎛ 3 1 4 ⎞ ⎛ 222 1 1⎞
d) Es la suma de ⎜
y
.
⎝ 7 2 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 0⎟⎠
III) ¿Cuál de los incisos es 2A 2 4B si A 5 (2 0 0) y B 5 (3 1)?
a)
b)
c)
d)
(28 24)
(5 0 1)
(16 24 0)
Esta operación no se puede realizar.
III) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesaria cuando se encuentra la diferencia
(restas) de dos matrices?
a)
b)
c)
d)
Las matrices deben ser del mismo tamaño.
Las matrices deben ser cuadradas.
Las matrices deben ser ambas vectores renglón o vectores columna.
Una matriz debe ser un vector renglón y la otra un vector columna.
IV) ¿Cuáles serían los elementos de la segunda columna de la matriz B si
⎛ 0 0 0⎞
⎛ 3 24
0⎞
1 B 5⎜
?
⎟
⎜⎝ 2
8 21⎠
⎝ 0 0 0⎟⎠
a) 22, 28, 1
c) 2, 8, 21
b) 4, 28
d) 24, 8
IV) ¿Cuál de las siguientes opciones debe ser el segundo renglón de la matriz B si
3A 2 B 5 2C para
⎛ 1 21 1⎞
⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟
A5 0
0 3 y C 5 ⎜ 0 1 0⎟ ?
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 4
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
2 0⎟⎠
a) 23, 2, 6
c) 3, 22, 6
b) 0, 22, 9
d) 0, 2, 29
Respuestas a la autoevaluación
I) b)
II) d)
III) a)
IV) b)
V) b)
MANEJO DE LA CALCULADORA 2.1
La manera más sencilla de sumar dos matrices del mismo tamaño es introducir primero
cada matriz y dar a cada una un nombre (como A22 y B22).
W²6Y6
QQH7DC6
2.1
Definiciones generales
QQ76$
De manera similar podemos crear una segunda matriz con la secuencia de teclas
siguiente
W²6Y6
QQH7DC6
QQ86$
La función RANM produce una matriz de dimensión {n,m} con elementos aleatorios entre 29 y 9.
Después, se obtiene A22 1 B22 o A22 2 B22 con la siguiente secuencia de teclas
Q76Q86
Q76Q86
57
58
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Para obtener aB22, primero guardamos a
6QX7$
Hacemos la operación
Problemas 2.1
⎛ 1⎞
⎛ 24⎞
⎛ 5⎞
⎟
⎜
⎜ 7⎟
⎜
⎟
En los problemas 1 a 14 realice los cálculos indicados con a 5 ⎜
⎟ , b 5 ⎜ 22 ⎟ y c 5 ⎜ 29⎟ .
⎜⎝ 2 6 ⎟⎠
⎜⎝ 3 ⎟⎠
⎜⎝ 28 ⎟⎠
1. a 1 b
2. 3b
3. 5a
4. 22c
5. b 1 3c
6. 2a 2 5b
7. 23b 1 2c
8. 25a 1 3b
9. 0c
10. a 1 b 1 c
11. 2a 1 4b 2 3c
13. 3b 2 7c 1 2a
14. aa 2
12. 3a 2 2b 1 4c
1
b, con a y b escalares reales
b
2.1
Definiciones generales
En los problemas 15 a 26 realice los cálculos indicados con a 5 (2 23 0), b 5 (27 25 4) y
c 5 (6 1 8).
15. b 1 c
16. c 2 a
17. 4c
18. 22b
19. 7b 1 4c
20. 2a 2 c
21. 4b 2 7a
22. a 1 b 1 c
23. c 2 b 1 2a
24. 3a 2 2b 2 4c
25. 3a 2 2b 1 4c
26. aa 1 bb 1 gc
© 24
© 1
7¹
4¹
ª
º
º
ª
1º
En los problemas 27 a 43 realice las operaciones indicadas con A 5 ª 2 2 2 2 º , B 5 ª 0
ª 8 23º
ª« 0 2 8 º»
© 5 29 ¹
«
»
ª3
º
0 .
y C 5ª
º
ª« 6
1 º»
27. 3A
28. A 1 B
29. C 2 A
30. A 2 C
31. 2C 2 5A
32. 0B (0 es el cero escalar)
33. 27A 1 3B
34. 6B 2 7A 1 0C
35. A 1 B 1 C
36. C 2 A 2 B
37. B 2 A 2 2C
38. 2A 2 3B 1 4C
39. 7C 2 B 1 2A
40. Encuentre una matriz D tal que 2A 1 B 2 D es la matriz cero de 2 3 3.
41. Encuentre una matriz E tal que A 1 2B 2 3C 1 E es la matriz cero de 2 3 3.
42. Encuentre una matriz F tal que 2A 1 B 2 3F es la matriz de 2 3 3 con todos sus elementos
iguales a 1.
43. Encuentre una matriz G tal que A 1 B 1 G es la matriz de 2 3 3 con todos sus elementos
iguales a 1.
© 21 0 ¹
© 1 21¹
44. Dados A 5 ª
º y B 5 ª 2 3 º , resuelva la siguiente ecuación para X:
2
3
«
»
«
»
3(2A 1 B 1 X) 5 5(X 2 A 1 B)
© 2 0¹
© 5 0¹
© 1 0¹
, B5ª
y C 5ª
45. Dados A 5 ª
, encuentre una matriz X tal que AX 1
º
º
0 3»
« 0 6»
« 0 1 º»
XB 5 C. «
© 1 23
6¹
ª
º
1 26º ,
En los problemas 46 a 57 realice las operaciones indicadas con A 5 ª 4
ª7
9
2 º»
© 22
© 7
«
5 2 9¹
4
2¹
ª
º
ª
º
B 5 ª 3 24
1º y C 5 ª 2 5 2 2 2 2 º .
ª« 2 1 2 4 2 6 º»
ª« 1
5
7 º»
46. A 2 2B
47. 3A 2 C
48. 3B 2 2A
49. A 1 B 1 C
50. 2A 2 B 1 2C
51. 3A 1 2B 2 4C
52. C 2 A 2 B
53. 4C 2 2B 1 3A
54. Encuentre una matriz D tal que A 1 B 1 C 1 D es la matriz cero de 3 3 3.
55. Encuentre una matriz E tal que 3C 2 2B 1 8A 2 4E es la matriz cero de 3 3 3.
56. Encuentre una matriz F tal que A 1 B 1 C 1 F es la matriz de 3 3 3 con todos sus elementos iguales a 1.
59
60
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
57. Encuentre una matriz G tal que 2A 1 B 2 3C 1 G es la matriz de 3 3 3 con todos sus
elementos iguales a 1.
⎛1
0 0⎞
⎜
⎟
58. Encuentre una matriz H tal que 3A 2 2B 1 4H 5 ⎜ 0 2 2 0 ⎟ .
⎜⎝ 0
0 1 ⎟⎠
–
59. Sea A 5 (aij) una matriz de m 3 n y sea 0 la matriz cero de m 3 n. Utilice las definiciones
–
–
2.1.7 y 2.1.8 para demostrar que 0A 5 0 y que 0 1 A 5 A. De igual manera, muestre que
1A 5 A.
60. Si A 5 (aij), B 5 (bij) y C 5 (cij) son tres matrices de m 3 n, calcule (A 1 B) 1 C y A 1
(B 1 C) y muestre que son iguales.
2
61. Si a y b son escalares y A y B son matrices de m 3 n, calcule a(A 1 B) y aA 1 aB y muestre
que son iguales. Calcule además (a 1 b)A y aA 1 bA y muestre que son iguales.
1
3
4
Figura 2.1
62. Considere la “gráfica” que une los cuatro puntos de la figura 2.1. Construya una matriz de
4 3 4 que tenga la propiedad de que aij 5 0 si el punto i no está conectado (unido por una
línea) con el punto j y aij 5 1 si el punto i está conectado con el punto j.
63. Haga lo mismo que en el problema 62 (construyendo una matriz de 5 3 5) para la gráfica
de la figura 2.2.
2
64. En la fabricación de cierto producto se necesitan cuatro materias primas. El vector
3
1
5
Figura 2.2
4
⎛ d1 ⎞
⎜ ⎟
d2
d 5 ⎜⎜ ⎟⎟ representa una demanda dada de la fábrica para cada una de las cuatro materias
d
⎜ 3⎟
⎜⎝ d 4 ⎟⎠
primas para producir una unidad del producto. Si d es el vector demanda de la fábrica 1 y
e es el vector demanda de la fábrica 2, ¿qué representan los vectores d 1 e y 2d?
⎛ 2 2.67
⎛ 3.34 2 3.78
4.23
0.32 ⎞
6.42 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
En problemas 65 a 68, con A 5 ⎜ 4.06 2 1.98 2 2.32 ⎟ , B 5 ⎜ 0.83 2 0.94
1.65 ⎟
⎜⎝ 2 1.87 2 4.65 2 2.67 ⎟⎠
9.87
2.09 ⎟⎠
⎛ 7.23
8.39 2 6.05 ⎞ ⎜⎝ 7.45
⎜
⎟
y C 5 ⎜ 2 0.21
0.34
1.67 ⎟ realice las operaciones indicadas. Exprese su respuesta con
⎜ 4.47 2 8.32
1.24 ⎟⎠
⎝
dos dígitos decimales.
65. 5A 1 3B 2 2C
66. 18C 1 13B 2
67. 27A 1
68.
2 B 2 ln(2)C
EJERCICIOS
CON
3C
7 B 2 ln(4)A 2 2C
MATLAB 2.1
1. El presente problema proporciona la práctica necesaria para trabajar con la notación matricial al igual que con los procedimientos que se usarán en problemas futuros. En los problemas anteriores, al realizar la operación con renglones Rj S Rj 1 cRi se encontraba, por
mera observación, el multiplicador c, el cual se puede calcular con exactitud a partir de los
elementos de la matriz.
Ejemplo
©a b
A5ª 0 0
ª
ª« 0 0
c
f
i
d e¹
g hº
º
j k º»
2.1
61
Definiciones generales
Para crear un cero en la posición que ocupa i se necesita R3 S R3 1 (2i/f )R2. Observe que
f 5 A(2, 3) y que i 5 A(3, 3):
c 5 A(3,3)/A(2,3)
En términos generales, c 5 2(elemento que debe hacerse cero/pivote usado):
A(3,:) 5 A(3,:) 1 c*A(2,:)
a) Para la matriz que sigue realice las operaciones con renglones Rj S Rj 1 cRi para obtener la matriz en forma escalonada por renglón (no la forma escalonada reducida por
renglones), excepto que el elemento pivote no necesita ser 1. (No multiplique ni divida
un renglón por un número para crear unos.) Encuentre todos los multiplicadores usando la notación de matrices anterior. En esta matriz sus multiplicadores serán números
sencillos para que pueda verificar conforme el proceso avanza:
© 1
2 22
0
1¹
ª 2
4 21
0 24 º
º
A5ª
ª 23 26 12
2 212 º
º
ª
2 22 24 25 »
« 1
b) Oprima A 5 rand(4,5)
A(:,3) 5 2*A(:,1) 1 4*A(:,2)
Siga las instrucciones del inciso a). Asegúrese de calcular los multiplicadores usando la
notación matricial.
Vea el problema 2 de MATLAB en la sección 2.6, una situación en la que se quiere
realizar el tipo de reducción que se acaba de describir.
2. Características de MATLAB. Introducción eficiente de matrices dispersas
a) En el problema 62 se le pidió que estableciera matrices para gráficas en las que
aij 5
H
1
0
si el punto i está conectado con el punto j
de otra manera
Para la mayor parte de este tipo de gráficas la matriz consiste en muchos ceros y algunos
unos. En MATLAB se puede introducir una matriz con ceros en todos sus elementos y
después modificarla renglón por renglón.
Considere la siguiente gráfica:
2
a 5 zeros(5)
a(1,[2
4]) 5 [1
a(2,[1
3
(1 está conectado con 2 y 4)
1]
4]) 5 [1
1
1]
(1 está conectado con 1, 3 y 4)
3
1
5
y así sucesivamente
4
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Termine de introducir la matriz anterior y verifique el resultado con su respuesta al
problema 63.
b) Considere la siguiente gráfica dirigida:
[1]
ist
a
ar
a2
[3]
a5
7
rista
ist
3
arista
ar
a4
6
arista
[2]
[4]
Defina
ist
ar
ari
sta
1
62
arista 8 [5]
H
1 si la arista j va al nodo i
aij 5 21 si la arista j sale del nodo i
0 de otra manera
¿De qué tamaño será A? Introduzca A 5 zeros(n,m), donde n es el número de renglones y m es el número de columnas (doc zeros). Se modificará A columna por
columna viendo una arista a la vez. Por ejemplo,
A([1
2],1) 5 [–1;1]
A([4
5],8) 5 [1;–1]
la arista 1 sale del [1] y va al [2]
la arista 8 sale del [5] y va al [4]
Complete el proceso anterior para encontrar A.
3. a) Introduzca cualesquiera dos matrices A y B de distinto tamaño. Encuentre A 1 B; ¿qué
le dice MATLAB?
b) Introduzca cualesquiera dos matrices A y B del mismo tamaño. Suponga que s es un
escalar. De sus conocimientos algebraicos sobre las manipulaciones con números, ¿a
qué conclusión llegaría sobre las relaciones s*A, s*B y s*(A1B)? Utilice una línea
de comentario para escribir esta conclusión. Verifique su conclusión con tres elecciones
diferentes de s. Verifique su conclusión con otra elección de A y otra elección de B para
tres valores de s. (Si va a usar MATLAB para generar matrices aleatorias, consulte la
presentación anterior de Ejercicios con MATLAB 1.3.)
2.2 Productos vectorial y matricial
La definición de un producto de dos matrices presentada en esta sección fue motivada al estudiar un cierto tipo de cambio de coordenadas (vea página 76) y su relación con los sistemas de
ecuaciones.
EJ EM PLO 2 .2 .1
Producto de un vector de demanda y un vector de precios
Suponga que un fabricante produce cuatro artículos. Su demanda está dada por el vector de
demanda d 5 (30 20 40 10) (una matriz de 1 3 4). El precio por unidad que recibe el fabricante
2.2
Productos vectorial y matricial
63
⎛ $20⎞
⎜ $15⎟
⎟ (una matriz de 4 3 1). Si se cumple
por los artículos está dado por el vector de precios p 5 ⎜
⎜ $18⎟
la demanda, ¿cuánto dinero recibirá el fabricante?
⎜
⎟
⎝ $40⎠
Solución La demanda del primer artículo es 30, y el fabricante recibe $20 por cada
artículo vendido. Por consiguiente recibe (30)(20) 5 $600 de las ventas del primer artículo. Si
se sigue este razonamiento, se ve que la cantidad total de dinero que recibe es
(30)(20) 1 (20)(15) 1 (40)(18) 1 (10)(40) 5 600 1 300 1 720 1 400 5 $2 020
Este resultado se escribe como
(
⎛ 20⎞
⎜ 15 ⎟
30 20 40 10 ⎜ ⎟ 5 2 020
⎜ 18 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 40⎠
)
Es decir, se multiplicó un vector renglón de 4 componentes y un vector columna
de 4 componentes para obtener un escalar (un número real).
En términos generales se tiene la siguiente definición.
D
N
Nota
En el último ejemplo se multiplicó un
vector renglón por un vector columna y
se obtuvo un escalar.
Definición 2.2.1
Producto escalar
⎛ a1 ⎞
⎛ b1 ⎞
⎜ a2 ⎟
⎜ b2 ⎟
Sean a 5 ⎜ ⎟ y b 5 ⎜ ⎟ dos vectores. Entonces el producto escalar de a y b denotado
⎜%⎟
⎜%⎟
⎜⎝ a ⎟⎠
⎜⎝ b ⎟⎠
n
n
por a ? b, está dado por
a ? b 5 a1b1 1 a2b2 1 . . . 1 anbn
(2.2.1)
Debido a la notación en (2.2.1), el producto escalar se llama con frecuencia producto
punto o producto interno de los vectores. Observe que el producto escalar de dos vectores
de dimensión n es un escalar (es decir, es un número).
A menudo se tomará el producto escalar de un vector renglón y un vector columna. En este caso se tiene
Producto escalar representado como vector renglón por vector columna
!
Éste es un número real (un escalar)
vector columna n 3 1
Producto interno
Advertencia
Al tomar el producto escalar de a y b
es necesario que a y b tengan el mismo
número de componentes.
vector renglón 1 3 n
© b1¹
ª º
b
(a1, a2 . . . , an) ª 2º 5 a1b1 1 a2b2 1 . . . 1 anbn
ª %º
ª º
« bn»
Producto punto
(2.2.2)
64
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
EJ EM PLO 2 .2 .2
Producto escalar de dos vectores
⎛2 4⎞
⎛ 3⎞
⎜
⎟
Sea a 5 2 2 y b 5 ⎜2 2⎟ . Calcule a ? b.
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜⎝ 3⎟⎠
⎜⎝2 5⎟⎠
Solución
EJ EM PLO 2 .2 .3
a ? b 5 (24)(3) 1 (22)(22) 1 (3)(25) 5 212 1 4 2 15 5 223.
Producto escalar de dos vectores
⎛ 1⎞
⎜ 0⎟
Sea a 5 (2, 25, 4, 26) y b 5 ⎜ ⎟ . Calcule a ? b.
⎜2 7⎟
⎜⎝ 3⎟⎠
Solución
Aquí a ? b 5 (2)(1) 1 (25)(0) 1 (4)(27) 1 (26)(3) 5 2 1 0 228 2 18 5 244.
El teorema que se presenta a continuación se deduce directamente de la definición del producto escalar. Se demuestra la parte ii) y se deja el resto como ejercicio.
T
Teorema 2.2.1
Sean a, b y c tres vectores de dimensión n y sea a un escalar. Entonces
iii) a ? 0 5 0
iii) a ? b 5 b ? a
(ley conmutativa del producto escalar)
iii) a ? (b 1 c) 5 a ? b 1 a ? c
(ley distributiva del producto escalar)
iv) (aa) ? b 5 a(a ? b)
Prueba de ii)
⎛ a1 ⎞
⎛ b1 ⎞
⎜ a2 ⎟
⎜ b2 ⎟
Sean a 5 ⎜ ⎟ y b 5 ⎜ ⎟ .
⎜%⎟
⎜%⎟
⎜⎝ a ⎟⎠
⎜⎝ b ⎟⎠
n
n
Entonces
a ? b 5 a1b1 1 a2b2 1 . . . 1 anbn 5 b1a1 1 b2a2 1 . . . 1 bnan 5 b ? a
ab 5 ba para cualesquiera dos números a y b
Observe que no existe una ley asociativa para el producto escalar. La expresión (a ? b) ? c 5
a ? (b ? c) no tiene sentido porque ninguno de los dos lados de la ecuación está definido. Para
el lado izquierdo, esto se concluye a partir de que a ? b es un escalar y el producto escalar del
escalar a ? b y el vector c no está definido.
Ahora se define el producto de dos matrices.
2.2
D
Productos vectorial y matricial
65
Definición 2.2.2
Producto de dos matrices
Sea A 5 (aij ) una matriz m 3 n, y sea B 5 (bij ) una matriz n 3 p. Entonces el producto
de A y B es una matriz m 3 p, C 5 (cij), en donde
cij 5 (renglón i de A) ? (columna j de B)
(2.2.3)
Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglón i de A y la columna j de
B. Si esto se extiende, se obtiene
cij 5 ai1b1j 1 ai2b2j 1 … 1 ainbnj
(2.2.4)
Si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B, entonces se dice
que A y B son compatibles bajo la multiplicación.
!
Advertencia
Dos matrices se pueden multiplicar únicamente si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de
renglones de la segunda. De otro modo, los vectores que forman el renglón i en A y la columna j de B no tendrán el
mismo número de componentes y el producto punto en la ecuación (2.2.3) no estará definido. Dicho de otro modo,
las matrices A y B serán incompatibles bajo la multiplicación. Para ilustrar esto se consideran las siguientes matrices
de A y B:
columna j de B
renglón i de A
⎛ a11
⎜
⎜ a21
⎜
⎜
⎜ ai 1
⎜
⎜
⎝ aml
a12
a22
ai 2
am 2
a1n ⎞
⎟⎛
a2n ⎟ b11 b12
⎜
⎟ ⎜ b21 b22
⎟⎜
ain ⎟
⎜
⎟ ⎜ bn1 bn 2
⎟⎝
amn ⎠
b1j
b2 j
bnj
b1p ⎞
⎟
b2p ⎟
⎟
⎟
bnp ⎟⎠
Los vectores renglón y columna sombreados deben tener el mismo número de componentes.
EJEMPL O 2 .2 .4
Producto de dos matrices de 2 3 2
⎛ 1 3⎞
⎛ 3 22 ⎞
y B5⎜
Si A 5 ⎜
, calcule AB y BA.
⎟
6 ⎟⎠
⎝ 22 4 ⎠
⎝5
Solución A es una matriz de 2 3 2 y B es una matriz de 2 3 2, entonces C 5 AB 5
(2 3 2) 3 (2 3 2) también es una matriz de 2 3 2. Si C 5 (cij), ¿cuál es el valor de c11? Se sabe que
c11 5 (1er. renglón de A) ? (1a. columna de B)
Matrices
compatibles
66
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Reescribiendo las matrices se tiene
1a. columna de B
⎛ 1 3⎞ ⎛ 3 22 ⎞
⎜⎝ 22 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 5
6 ⎟⎠
1er. renglón de A
Así,
⎛ 3⎞
c11 5 (1 3 ) ⎜ ⎟ 5 3 1 15 5 18
⎝ 5⎠
De manera similar, para calcular c12 se tiene
2a. columna de B
⎛ 1 3⎞ ⎛ 3 22 ⎞
⎜⎝ 22 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 5
6 ⎟⎠
1er. renglón de A
y
⎛ 22 ⎞
c12 5 (1 3 ) ⎜ ⎟ 522 1 18 5 16
⎝ 6⎠
Siguiendo el procedimiento se encuentra que
⎛ 3⎞
c21 5 (22 4 ) ⎜ ⎟ 526 1 20 5 14
⎝ 5⎠
Observación
y
El ejemplo 2.2.4 ilustra un hecho
sumamente importante: en términos
generales, el producto de matrices no
es conmutativo. Es decir, AB Z BA. En
ocasiones ocurre que AB 5 BA, pero
se trata de una excepción, no de una
regla. Si AB 5 BA se dice que A y B
conmutan. De hecho, como lo ilustra
el siguiente ejemplo, puede ocurrir que
AB esté definida y BA no lo esté. Así,
debe tenerse cuidado en el orden de la
multiplicación de dos matrices.
⎛ 22 ⎞
c22 5 (22 4 ) ⎜ ⎟ 5 4 1 24 5 28
⎝ 6⎠
Entonces
⎛ 18 16 ⎞
C 5 AB 5 ⎜
⎝ 14 28⎟⎠
De manera similar, sin escribir los pasos intermedios, se ve que
EJ EM PLO 2 .2 .5
⎛ 3 22 ⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎛ 3 1 4
9 2 8⎞ ⎛ 7 1⎞
C9 5 BA 5 ⎜
5⎜
5
⎟
⎜
⎟
6 ⎠ ⎝ 22 4 ⎠ ⎝ 5 2 12 15 1 24 ⎟⎠ ⎜⎝ 27 39⎟⎠
⎝5
El producto de una matriz de 2 3 3 y una de 3 3 4 está definido
pero el producto de una matriz 3 3 4 y una de 2 3 3 no lo está
⎛ 2 0 23⎞
Sea A 5 ⎜
5⎟⎠
⎝4 1
Solución
⎛ 7 21 4
7⎞
⎜
y B5 2
5 0 24 ⎟ . Calcule AB.
⎜
⎟
⎜⎝ 23
1 2
3⎠⎟
Primero observe que A es una matriz de 2 3 3 y B es una matriz de 3 3 4.
Por lo que el número de columnas de A es igual al número de renglones de B. Por lo tanto, el
producto AB está definido y es una matriz de 2 3 4. Sea AB 5 C 5 (cij). Entonces
2.2
Productos vectorial y matricial
© 7¹
ª º
c11 5 (2 0 23) ª 2 º 5 23
ª« 23º»
© 21¹
c12 5 (2 0 23) ª 5 º 525
ª º
ª« 1º»
© 4¹
c13 5 (2 0 23) ª 0 º 5 2
ª º
« 2»
© 7¹
ª º
c14 5 (2 0 23) ª 24 º 5 5
ª« 3 º»
© 7¹
ª º
c21 5 (4 1 5) ª 2 º 5 15
ª« 23º»
© 21¹
c22 5 (4 1 5) ª 5 º 5 6
ª º
ª« 1º»
© 4¹
c23 5 (4 1 5) ª 0 º 526
ª º
« 2»
© 7¹
ª º
c24 5 (4 1 5) ª 24 º 5 39
ª« 3 º»
⎛ 23 25
2
5⎞
Así, AB 5 ⎜
. Esto completa el problema. Observe que el producto BA no está
6 26 39 ⎟⎠
⎝ 15
definido ya que el número de columnas de B (cuatro) no es igual al número de renglones de A
(dos).
EJEMPLO 2 .2 .6
Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa
En este ejemplo se muestra la forma en la cual se puede usar la multiplicación de matrices
para modelar la manera en que se extiende una enfermedad contagiosa. Suponga que cuatro
individuos han contraído esta enfermedad. Este grupo entra en contacto con seis personas de
un segundo grupo. Estos contactos, llamados contactos directos, se pueden representar por una
matriz de 4 3 6. En seguida se da un ejemplo de este tipo de matrices.
Matriz de contacto directo: primero y segundo grupos
⎛0
⎜1
A5⎜
⎜0
⎜
⎝1
1 0 0 1 0⎞
0 0 1 0 1⎟
⎟
0 0 1 1 0⎟
⎟
0 0 0 0 1⎠
En este caso se hace aij 5 1 si la i-ésima persona del primer grupo entra en contacto con la
j-ésima persona del segundo grupo. Por ejemplo, el 1 en la posición (2, 4) significa que la segunda persona del primer grupo (infectada) entró en contacto con la cuarta persona del segundo
grupo. Ahora suponga que un tercer grupo de cinco personas tiene varios contactos directos
con individuos del segundo grupo. Esto también se puede representar mediante una matriz.
Matriz de contacto directo: segundo y tercer grupos
⎛0
⎜0
⎜
⎜0
B5⎜
⎜1
⎜0
⎜
⎝0
0 1 0 1⎞
0 0 1 0⎟
⎟
1 0 0 0⎟
⎟
0 0 0 1⎟
0 0 1 0⎟
⎟
0 1 0 0⎠
67
68
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Observe que b64 5 0, lo que quiere decir que la sexta persona del segundo grupo no tiene contacto con la cuarta persona del tercer grupo.
Los contactos indirectos o de segundo orden entre individuos del primero y tercer grupos se
representan mediante la matriz de 4 3 5, C 5 AB. Para ver esto, observe que una persona del grupo 3 puede quedar contagiada por alguien del grupo 2, quien a su vez fue contagiada por alguien
del grupo 1. Por ejemplo, como a24 5 1 y b45 5 1 se ve que, indirectamente, la quinta persona del
grupo 3 tuvo contacto (a través de la cuarta persona del grupo 2) con la segunda persona
del grupo 1. El número total de contactos indirectos entre la segunda persona del grupo 1 y la
quinta persona del grupo 3 está dado por
c25 5 a21b15 1 a22b25 1 a23b35 1 a24b45 1 a25b55 1 a26b65
51?110?010?011?110?011?052
Ahora se calcula.
Matriz de contacto indirecto: primero y tercer grupos
⎛0
⎜1
C 5 AB 5 ⎜
⎜1
⎜
⎝0
0 0 2 0⎞
0 2 0 2⎟
⎟
0 0 1 1⎟
⎟
0 2 0 1⎠
Observe que únicamente la segunda persona del grupo 3 no tiene contactos indirectos con la
enfermedad. La quinta persona de este grupo tiene 2111154 contactos indirectos.
Se ha visto que las matrices, en general, no conmutan. El siguiente teorema muestra que la
ley asociativa sí se cumple.
T
Teorema 2.2.2 Ley asociativa de la multiplicación de matrices
Sea A 5 (aij ) una matriz de n 3 m, B 5 (bij ) una matriz de m 3 p y C 5 (cij ) una matriz
de p 3 q. Entonces la ley asociativa
A(BC) 5(AB)C
(2.2.5)
se cumple y ABC, definida por cualesquiera de los lados de la ecuación (2.2.5), es una
matriz de n 3 q.
La prueba de este teorema no es difícil, pero es laboriosa. Se desarrolla mejor usando la notación de sumatoria. Por esta razón se pospone hasta el final de esta sección.
De aquí en adelante se escribirá el producto de tres matrices simplemente como ABC. Se
puede hacer esto porque (AB)C 5 A(BC); entonces se obtiene la misma respuesta independientemente de cómo se lleve a cabo la multiplicación (siempre y cuando no se conmute ninguna
de las matrices).
La ley asociativa se puede extender a productos de más matrices. Por ejemplo, suponga que
AB, BC y CD están definidas. Entonces
ABCD 5 A(B(CD)) 5 ((AB)C)D 5 A(BC)D 5 (AB)(CD)
(2.2.6)
2.2
Productos vectorial y matricial
69
Existen dos leyes distributivas para la multiplicación de matrices.
T
Teorema 2.2.3 Leyes distributivas de la multiplicación de matrices
Si todas las sumas y todos los productos siguientes están definidos, entonces
A(B 1 C) 5 AB 1 AC
(2.2.7)
(A 1 B)C 5 AC 1 BC
(2.2.8)
y
Las demostraciones se presentan al final de la sección.
Multiplicación de matrices como una combinación lineal
de las columnas de A
Sea A una matriz de m 3 n y x un vector de n 3 1. Considere el producto
⎛ a11 a12
⎜
a
a22
A x 5 ⎜ 21
⎜
⎜
⎝ am1 am 2
a1n ⎞
⎟
a2 n ⎟
⎟
⎟
amn ⎠
⎛ x1 ⎞ ⎛ a11x1 1 a12 x2 1
⎜ ⎟ ⎜
⎜ x2 ⎟ 5 ⎜ a21x1 1 a22 x2 1
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎝ xn ⎠ ⎝ am1x1 1 am 2 x2 1
1 a1n xn ⎞
⎟
1 a2n xn ⎟
⎟
⎟
1 amn xn ⎠
o
⎛ a11 ⎞
⎛ a12 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
a
a
A x 5 x1 ⎜ 21 ⎟ 1 x2 ⎜ 22 ⎟ 1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ am1⎠
⎝ am 2 ⎠
⎛ a1n ⎞
⎜
⎟
a2 n ⎟
⎜
x
1 n
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ amn ⎠
⎛ a11 ⎞
⎜
⎟
a21 ⎟
⎜
Observe que c1 5
es la primera columna de A, c2 5
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ am1⎠
⎛ a12 ⎞
⎜
⎟
⎜ a22 ⎟ es la segunda
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ am 2 ⎠
columna de A y así sucesivamente. Entonces (2.2.9) se puede escribir como
Ax 5 x1c1 1 x2c2 1p1 xncn
(2.2.9)
N
Nota
El producto de la matriz A de m 3 n y
el vector columna x es una combinación
lineal de las columnas de A.
(2.2.10)
El lado derecho de la expresión (2.2.10) se llama combinación lineal de los vectores c1, c2, …,
cn. Las combinaciones lineales se estudiarán con detalle en la sección 5.3.
Suponga ahora que B es una matriz de n 3 p. Sean C 5 AB y c1 la primera columna de C.
Entonces
Combinación
lineal
70
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
⎛ c11 ⎞ ⎛ a11b11 1 a12 b 21 1
⎜
⎟ ⎜
a b
c
1 a22 b 21 1
c1 5 ⎜ 21 ⎟ 5 ⎜ 21 11
⎜
⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎜
⎝ c m1 ⎠ ⎝ am1b11 1 am 2 b 21 1
⎛ a11 ⎞
⎛ a12 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
a
a
5 b11 ⎜ 21 ⎟ 1 b21 ⎜ 22 ⎟ 1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ am1 ⎠
⎝ am 2 ⎠
1 a1n b n1 ⎞
⎟
1 a2 n b n1 ⎟
⎟
⎟
1 amn b n1 ⎠
⎛ a1n ⎞
⎜
⎟
a
1 bn1 ⎜ 2 n ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ amn ⎠
es igual a la combinación lineal de las columnas de A. Lo mismo se cumple para todas las columnas de C 5 AB, donde se ve que
Cada columna del producto AB es una combinación lineal
de las columnas de A.
EJ EM PLO 2 .2 .7
© 1 22 ¹
4º
Sean A 5 ª 2
ª
º
ª« 3
5 º»
Cómo escribir las columnas de AB como combinación lineal
de las columnas de A
© 1 21¹
y B 5ª
.
7 º»
«2
© 23 215 ¹
26º . Ahora bien,
Entonces AB 5 ª 10
ª
º
ª« 13
32 º»
© 23¹
© 1¹
© 22 ¹
ª 10 º 5 1 ª 2 º 1 2 ª 4º 5 una combinación lineal de las columnas de A
ª º
ª º
ª º
ª« 13º»
ª« 3º»
ª« 5 º»
y
© 215 ¹
© 1¹
© 22 ¹
ª 26º 521 ª 2 º 1 7 ª 4º 5 una combinación lineal de las columnas de A.
ª
º
ª º
ª º
ª« 32 º»
ª« 3º»
ª« 5 º»
Multiplicación de matrices por bloques
Submatriz
En ciertas situaciones es prudente manejar las matrices como bloques de matrices más pequeñas,
llamadas submatrices, y después multiplicar bloque por bloque en lugar de componente por
componente. La multiplicación en bloques es muy similar a la multiplicación normal de matrices.
EJ EM PLO 2 .2 .8
Multiplicación por bloques
© 1 21
ª 2
0
Considere el producto AB 5 ª
1
ª 1
ª« 22
3
4¹ © 1
4
º
ª
5
2 21
ºª
2 23 º ª 23
2
º
ª
1
5
0» « 0
2
4
3¹
0º
º
1º
2 º»
2.2
Productos vectorial y matricial
71
El lector debe verificar que este producto esté definido. Ahora se realiza una partición de estas
matrices mediante líneas punteadas.
© 1 21
ª
0
ª 2
AB 5 ª
1
ª 1
ª 22
3
«
4¹ © 1
4
ºª
4
5 º ª 2 21
2
2 23 ºº ªª 23
º
ª
1
5
0» « 0
2
3¹
º
0º © C
5ª
1 ºº « E
2 º»
D¹ © G
F º» ª« J
H¹
K º»
© 1 21¹
© 1¹
, K 5 ª º , y así suExisten otras maneras de formar la partición. En este caso C 5 ª
º
0»
«2
« 2»
cesivamente. Si suponemos que todos los productos y las sumas de matrices están definidos, se
puede multiplicar de manera normal para obtener
©C
AB 5 ª
«E
D¹ © G
F º» ª« J
H ¹ © CG 1 DJ CH 1 DK ¹
5ª
º
K º» ª« EG 1 FJ EH 1 FK º»
Ahora
4¹ © 21 5¹
© 1 21¹ © 1
5
,
CG 5 ª
º
ª
2
2
0
2
1º» ª« 2 8º»
«
»«
© 2 4¹ © 23 2 ¹ © 26 8¹
DJ 5 ª
5
« 4 5 º» ª« 0 1º» ª« 212 13º»
y
© 27 13¹
CG 1 DJ 5 ª
.
« 210 21º»
De manera similar
© 1 1¹ © 3¹ © 3¹
© 2 23 ¹ © 2 ¹ © 24¹
EH 5 ª
5 ª º , FK 5 ª
5
º
ª
º
0 º» ª« 1º» ª« 5º»
« 22 3» « 0 » « 26 »
«5
y
© 21¹
EH 1 FK 5 ª
« 21º»
4¹
© 23
© 13 ¹
El lector debe verificar que CH 1 DK 5 ª º y EG 1 FJ 5 ª
de manera que
« 211 21º»
« 20 »
© 27 13
© CG 1 DJ CH 1 DK ¹ ª 210 21
ª
AB 5 ª
º5
ª« EG 1 FJ EH 1 FK º» ª 23
4
ª
ª« 211 21
13 ¹ © 27 13 13 ¹
º
20 º ªª 210 21 20 ºº
5
21º ª 23
4 21º
º ª
º
21º» ª« 211 21 21º»
Ésta es la misma respuesta que se obtiene si se multiplica AB directamente.
Cuando se hace una partición de dos matrices y, al igual que en el ejemplo 2.2.8, todos los
productos de submatrices están definidos, se dice que la partición es conformante.
EJEMPLO 2 .2 .9
Dos matrices que son conmutativas
Suponga que las matrices A y B son cuadradas y que se hacen particiones conformantes de
⎛I
C 5⎜
⎝O
⎛I
A⎞
y D 5⎜
⎟
I⎠
⎝O
B⎞
. Muestre que C y D son conmutativas. Aquí O denota la matriz
I ⎟⎠
Partición
conformante
72
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
cero e I es una matriz cuadrada que tiene la propiedad de que AI 5 IA 5 A siempre que estos
productos estén definidos (vea la página 103).
Solución
IB 1 AI ⎞ ⎛ I B 1 A⎞
⎛ I A⎞ ⎛ I B ⎞ ⎛ I 2 1 A ? O
⎜
⎟ 5⎜
CD 5 ⎜
5
⎟
⎝ O I ⎟⎠ ⎜⎝ O I ⎟⎠ ⎜⎝ O ? I 1 I ? O O ? B 1 I 2 ⎟⎠ ⎝ O
I ⎠
en donde I 2 5 I ? I. Del mismo modo
IA 1 BI ⎞ ⎛ I A 1 B ⎞
⎛ I B ⎞ ⎛ I A⎞ ⎛ I 2 1 B ? O
⎜
⎟ 5⎜
CD 5 ⎜
5
⎟
⎝ O I ⎟⎠ ⎜⎝ O I ⎟⎠ ⎜⎝ O ? I 1 I ? O O ? A 1 I 2 ⎟⎠ ⎝ O
I ⎠
Como B 1 A 5 A 1 B, CD 5 DC, es decir, las matrices son conmutativas.
Para poder probar los teoremas 2.2.2 y 2.2.3 y para estudiar muchas otras partes del material de este libro es necesario utilizar la notación de sumatoria. Si el lector no está familiarizado
con ella, conforme avance en el libro obtendrá suficiente información al respecto. De otra manera puede ir directamente a las demostraciones de los teoremas 2.2.2 y 2.2.3.
Aplicación: cadena de Markov
Matriz
de transición
Una cadena de Markov es un proceso estocástico sin “memoria”, en el sentido de que el estado
futuro del proceso únicamente depende del estado actual en que se encuentre, sin importar
cómo es que llegó a él. Bajo las suficientes hipótesis se puede representar el comportamiento de
una cadena de Markov invariante con el tiempo o estacionaria, como una multiplicación de un
vector que representa el estado de interés por una matriz que representa la transición entre los
estados, esto es xk11 5 Pxk, donde xk representa el estado en el tiempo actual, xk11 es el estado
en el tiempo siguiente y P es la matriz de transición que tiene la propiedad de que la suma de
sus columnas es igual a 1.
Como ejemplo tenemos una empresa que realiza estudios de mercado y está estudiando los
patrones de compra para tres productos que son competidores entre sí. La empresa ha determinado el porcentaje de residentes de casas que cambiarían de un producto a otro después de
un mes (suponga que cada residente compra uno de los tres productos y que los porcentajes no
cambian de un mes a otro). Esta información se presenta en forma de matriz:
© 0.8
0.2
0.05 ¹
P 5 ª 0.05 0.75 0.05 º
ª
º
« 0.15 0.05 0.9 »
N
Nota
Código de MATLAB:
3 >
@
[D >H@
[E >HHH@
3 3A
3 3A
3[D 3 [D
3[E 3 [E
3[D 3 [D
3[E 3 [E
donde el elemento pij es el porcentaje que cambia del producto j al producto i. Por
ejemplo, p12 5 0.2 significa que 20% de los residentes que compran el producto 2
cambia al producto 1 después de un mes.
Observe que P nx representa cuántos residentes están utilizando cada producto después de n meses. Si consideramos dos condiciones iniciales tales que la suma
de los residentes sean 60 000, por ejemplo
© 60 000¹
xa 5 ª 0 º ,
ª
º
ª« 0 º»
y calculamos P 25xa, obtenemos
© 2 000¹
x b 5 ª 40 000º
ª
º
ª« 18 000º»
2.2
© 18 013.05 ¹
P x a 5 ª 9 998.6 º ,
ª
º
ª« 31 988.29 º»
25
Productos vectorial y matricial
73
© 18 043.62 ¹
P x b 5 ª 10 004.02 º
ª
º
ª« 31 952.36 º»
25
Si ahora repetimos el cálculo para P50xa, P50xb obtenemos
© 18 000.01 ¹
P 25 x a 5 ª 10 000.00 º ,
ª
º
ª« 31 999.99 º»
© 18 000.04 ¹
P 25 x b 5 ª 10 000.00 º
ª
º
ª« 31 999.96 º»
lo cual nos sugiere que para cualquier x tal que la suma de sus elementos sean 60 000
© 18 000¹
lím P n x 5 ª 10 000º
ª
º
nqh
ª« 32 000º»
La notación con a
Una suma4 se puede escribir de la siguiente manera, si N $ M.
N
aM 1 aM 1 1 1 aM 1 2 1
1 an 5
¨ ak
(2.2.11)
k5M
que se lee “suma de los términos ak cuando el valor de k va de M a N”. En este contexto, a se
llama signo de sumatoria y k se conoce como índice de la suma.
EJEMPLO 2 .2 .1 0
Interpretación de la notación de sumatoria
5
Desarrolle la suma
¨ bk .
k51
Solución
Comenzando con k 5 1 y terminando con k 5 5 se obtiene
5
¨ bk 5 b1 1 b2 1 b3 1 b4 1 b5
k5 1
EJEMPLO 2 .2 .1 1
Interpretación de la notación de sumatoria
6
Desarrolle la suma
¨ ck .
k53
Solución
Comenzando con k 5 3 y terminando con k 5 6 se obtiene
6
¨ ck 5 c3 1 c4 1 c5 1 c6
k5 3
4
El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) fue el primero en usar la letra griega a (sigma) para denotar una suma.
Signo de
sumatoria
Índice de la suma
74
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
EJ EM PLO 2 .2 .1 2
Interpretación de la notación de sumatoria
3
Calcule
¨
k2.
k52 2
Solución
N
En este caso ak 5 k2 y k va de 22 a 3.
3
¨
Nota
k52 2
El índice de la sumatoria puede tomar
valores enteros negativos o cero.
EJ EM PLO 2 .2 .1 3
k 2 5 (2 2)2 1 (2 1)2 1 (0)2 1 12 1 22 1 32
5 4 1 1 1 0 1 1 1 4 1 9 5 19
Cómo escribir una suma usando la notación de sumatoria
Escriba la suma S8 5 1 2 2 1 3 2 4 1 5 2 6 1 7 2 8 usando el signo de sumatoria.
Solución
Como 1 5 (21)2, 22 5 (21)3 ? 2, 3 5 (21)4 ? 3…, se tiene
8
S8 5 ¨ (2 1) k11k
k5 1
EJ EM PLO 2 .2 .1 4
Cómo escribir el producto escalar haciendo uso de la notación
de sumatoria
La ecuación (2.2.1) para el producto escalar se puede escribir de manera compacta usando la
notación de sumatoria:
Solución
a ? b 5 a1b1 1 a2 b2 1
n
1 an bn 5 ¨ ai bi
i 51
La fórmula (2.2.4) para la componente ij del producto AB se puede escribir
n
cij 5 ai1b1 j 1 ai 2 b2 j 1 $ 1 ain bnj 5 ∑ aik bkj
k5 1
La notación de sumatoria tiene propiedades útiles. Por ejemplo,
n
¨ cak 5 ca1 1 ca2 1 ca3 1
1 can
k5 1
n
5 c ( a1 1 a2 1 a3 1
1 an ) 5 c ¨ ak
k5 1
A continuación se resumen ésta y otras propiedades.
(2.2.12)
2.2
T
Productos vectorial y matricial
Teorema 2 .2 .4 Propiedades de la notación de sumatoria
Sean {an} y {bn} dos sucesiones reales y c un número real. Entonces
N
N
¨
cak 5 c
k5M
¨ ak
(2.2.13)
k5M
N
N
N
k5M
k5M
k5M
N
N
N
k5M
k5M
k5M
¨ ( ak 1 bk ) 5 ¨ ak 1 ¨ bk
(2.2.14)
¨ ( ak 2 bk ) 5 ¨ ak 2 ¨ bk
N
m
N
k5M
k5M
k5m11
¨ ak 5 ¨ ak 1 ¨
(2.2.15)
si M , m , N
ak
(2.2.16)
Las demostraciones de estas propiedades se dejan como ejercicios al lector (vea los problemas
107 a 109).
Ahora se usará la notación de sumatoria para probar la ley asociativa y la ley distributiva.
Demostración
Ley asociativa del teorema 2.2.2
Como A es de n 3 m y B es de m 3 p, AB es de n 3 p. Entonces (AB)C 5 (n 3 p) 3
(p 3 q) es una matriz de n 3 q. De manera similar, BC es de m 3 q y A(BC) es de n 3 q
de manera que (AB)C y A(BC) son ambas del mismo tamaño. Debe demostrarse que la
componente ij de (AB)C es igual a la componente ij de A(BC). Si se define D 5 (dij) 5
AB, entonces
de (2.2.12)
m
dij 5 ¨ aik bkj
k51
©
La componente ij de (AB)C 5 DC es
p
p
©
¹
m
m
p
¨ dil clj 5 ¨ ª« ¨ aik bkl º» clj 5 ¨ ¨ aik bkl clj
l51
l 5 1 k5 1
k5 1 l 5 1
Ahora se define E 5 (eij) 5 BC. Entonces
p
e kj 5 ¨ bkl clj
l 51
y la componente ij de A(BC) 5 AE es
m
m
p
¨ aik ekj 5 ¨ ¨ aik bkl clj
k5 1
k5 1 l 5 1
Así, la componente ij de (AB)C es igual a la componente ij de A(BC). Esto demuestra la
ley asociativa.
75
76
CAPÍTULO 2
76
1.3 mdeecuaciones
con yn gaussiana
incógnitas
Vectores 1.2
y matrices
m ecuaciones con n incógnitas: eliminación
Gauss-Jordan
Semb l a n z a d e ...
Arthur Cayley
(Library of Congress)
Arthur Cayley y el álgebra de matrices
Arthur Cayley (1821-1895), un matemático inglés, desarrolló en
1857 el álgebra de matrices, es decir, las reglas que ilustran la forma en la cual se suman y multiplican las matrices. Nació en Richmond, en Surrey (cerca de Londres) y fue educado en el Trinity
College, Cambridge, donde se graduó en 1842. Ese mismo año
obtuvo el primer lugar en la difícil prueba para obtener el premio
Smith. Durante varios años estudió y ejerció la carrera de leyes,
pero nunca dejó que su práctica en la abogacía interfiriera con
su trabajo en las matemáticas. Siendo estudiante de leyes viajó a
Dublín y asistió a las conferencias de Hamilton sobre cuaterniones. Cuando se estableció la cátedra Sadlerian en Cambridge en
1863, le ofrecieron el puesto a Cayley, quien lo aceptó, renunciando a un lucrativo futuro como abogado a cambio de la modesta
remuneración de la vida académica. Pero fue entonces que pudo
dedicar todo su tiempo a las matemáticas.
Cayley está clasificado como el tercer matemático más prolífico en la historia; lo sobrepasan sólo Euler y Cauchy. Comenzó
a publicar siendo todavía estudiante de la universidad en Cambridge. Durante sus años de abogado publicó entre 200 y 300
artículos y continuó su copioso trabajo a lo largo de toda su vida.
La colección masiva Collected Mathematical Papers de Cayley contiene 966 artículos y consta de 13 grandes volúmenes con un promedio de 600 páginas cada uno. Es casi imposible hallar un área
dentro de las matemáticas puras que Cayley no haya estudiado y
enriquecido.
Además de desarrollar la teoría de matrices, Cayley fue pionero en sus contribuciones a la geometría analítica, la teoría de determinantes, la geometría de n dimensiones, la teoría de curvas
y superficies, el estudio de formas binarias, la teoría de funciones
elípticas y el desarrollo de la teoría de invariantes.
El estilo matemático de Cayley refleja su formación legal ya
que sus artículos son severos, directos, metódicos y claros. Poseía una memoria fenomenal y parecía nunca olvidar nada que
hubiera visto o leído alguna vez. Tenía además un temperamento
singularmente sereno, calmado y amable. Se le llamaba “el matemático de los matemáticos”.
Cayley desarrolló un interés poco común por la lectura de novelas. Las leía mientras viajaba, mientras esperaba que una junta
comenzara y en cualquier momento que considerara oportuno.
Durante su vida leyó miles de novelas, no sólo en inglés, sino
también en griego, francés, alemán e italiano. Disfrutaba mucho
pintar, en especial con acuarela y mostraba un marcado talento como especialista de esta técnica. También era un estudiante
apasionado de la botánica y la naturaleza en general.
Cayley era, en el verdadero sentido de la tradición inglesa,
un alpinista amateur e hizo viajes frecuentes al continente para
realizar caminatas y escalar montañas. Cuenta la historia que decía que la razón por la que se unió al alpinismo fue que, aunque
sentía que el ascenso era arduo y cansado, la gloriosa sensación
de goce que lograba cuando conquistaba una cima era como el
que experimentaba cuando resolvía un problema difícil de matemáticas o cuando completaba una teoría matemática intrincada.
Las matrices surgieron con Cayley, relacionadas con las transformaciones lineales del tipo
x’ 5 ax 1 by
y’ 5 cx 1 dy
(2.2.17)
donde a, b, c, d son números reales, y donde puede pensarse que
son funciones que convierten al vector (x, y) en el vector (x’, y’).
Las transformaciones se estudiarán con detalle en el capítulo 7.
Aquí se observa que la transformación (2.2.17) está completamente determinada por los cuatro coeficientes a, b, c, d y por lo
tanto puede simbolizarse por el arreglo matricial cuadrado
© a b¹
ª c dº
«
»
al que se ha dado el nombre de matriz 2 3 2. Como dos transformaciones del tipo de (2.2.17) son idénticas si y sólo si tienen los
mismos coeficientes, Cayley definió que dos matrices
© a b¹
ª c dº
«
»
© e f¹
y ª
º
« g h»
eran iguales si y sólo si a 5 e, b 5 f, c 5 g y d 5 h.
Ahora suponga que la transformación (2.2.17) va seguida de
la transformación
x’’ 5 ex’ 1 fy’
y’’ 5 gx’ 1 hy’
(2.2.18)
Entonces
x’’ 5 e(ax 1 by) 1f(cx 1 dy) 5 (ea 1 fc)x 1 (eb 1 fd)y
y
y’’ 5 g(ax 1 by) 1h(cx 1 dy) 5 (ga 1 hc)x 1 (gb 1 hd)y
Esto llevó a Cayley a la siguiente definición para el producto de
dos matrices:
©e
ªg
«
f¹ © a b¹ © ea 1 fc eb 1 fd ¹
5ª
º
hº» ª« c dº» ª« ga 1 hc gb 1 hdº»
que es, por supuesto, un caso especial de la definición general del
producto de dos matrices que se dio en la página 65.
Es interesante recalcar cómo, en matemáticas, observaciones
muy sencillas pueden llevar a definiciones y teoremas importantes.
2.2
Productos vectorial y matricial
77
Demostración
Leyes distributivas del teorema 2.2.3
Se demuestra la primera ley distributiva [ecuación (2.2.7)]. La demostración de la segunda [ecuación (2.2.8)] es idéntica y, por lo mismo, se omite. Sea A una matriz de n 3 m y
sean B y C matrices de m 3 p. La componente kj de B 1 C es bkj 1 ckj y la componente
ij de A(B 1 C) es
de (2.2.12)
m
m
m
k "1
k "1
k "1
¨ aik (bkj 1 ckj ) 5 ¨ aik bkj 1 ¨ aik ckj 5 componente ij de AB más la componente ij de
R
AC, y esto demuestra la ecuación (2.2.7).
Resumen 2.2
• El producto escalar de dos vectores de n componentes es:
(pp. 63, 64)
⎛ b1 ⎞
⎜ b2 ⎟
a ? b 5 ( a1, a2 ,…, an ) ? ⎜ ⎟ 5 a1b1 1 a2 b2 1
⎜ ⎟
⎜b ⎟
⎝ n⎠
n
1 an bn 5 ∑ ai bi
i51
• Productos de dos matrices
Sea A una matriz de m 3 n y B una matriz de n 3 p. Entonces AB es una matriz de m 3 p y la
componente de ij de AB 5 (renglón i de A) · (columna j de B)
(p. 65)
n
1 ain bnj 5 ∑ aik bkj
5 ai1b1 j 1 ai 2 b2 j 1
k5 1
• En términos, los productos de matrices no son conmutativos; es decir, casi siempre ocurre que
AB Z BA.
(p. 66)
• Ley asociativa de la multiplicación de matrices
Si A es una matriz de n 3 m, B es de m 3 p y C es de p 3 q, entonces
(p. 68)
A(BC) 5 (AB)C
y tanto A(BC) como (AB)C son matrices de n 3 q.
• Leyes distributivas de la multiplicación de matrices
Si todos los productos están definidos, entonces
A(B 1 C) 5 AB 1 AC
(p. 69)
y
(A 1 B)C 5 AC 1 BC
78
CAPÍTULO 2
A
Vectores y matrices
A U T O E V A L U A C I Ó N 2.2
III) De las siguientes afirmaciones, ¿cuál es cierta para la multiplicación de las matrices A y B?
a)
b)
c)
d)
Se puede realizar sólo si A y B son matrices cuadradas.
Cada elemento cij es el producto de aij y bij.
AB 5 BA.
Se puede realizar sólo si el número de columnas de A es igual al número de
renglones de B.
III) ¿Cuál de los siguientes sería el tamaño de la matriz producto AB si se multiplica la
matriz A de 2 3 4 por la matriz B de 4 3 3?
a) 2 3 3
b) 3 3 2
d) Este producto no se puede calcular.
c) 4 3 4
III) Indique cuál de los siguientes enunciados es correcto para las matrices A y B si AB
es un vector columna.
a)
b)
c)
d)
B es un vector columna.
A es un vector renglón.
A y B son matrices cuadradas.
El número de renglones de A debe ser igual al número de columnas de B.
IV) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el producto AB es cierta si A es una
matriz de 4 3 5?
a)
b)
c)
d)
B debe tener cuatro renglones y el resultado tendrá cinco columnas.
B debe tener cinco columnas y el resultado será una matriz cuadrada.
B debe tener cuatro columnas y el resultado tendrá cinco renglones.
B debe tener cinco renglones y el resultado tendrá cuatro renglones.
Respuestas a la autoevaluación
I) d )
II) a)
III) a)
IV) d)
MANEJO DE LA CALCULADORA 2.2
La multiplicación de matrices de dimensiones compatibles es transparente al usuario,
únicamente hay que tener a las matrices en la pila y oprimir la tecla de la multiplicación,
⎛ 2 1 2 10
2⎞
⎛ 3 21 5⎞ ⎜
⎟
por ejemplo, si se quiere multiplicar las matrices ⎜
6
9 2 4 ⎟ la
⎟
⎜⎝ 2 2
4 9 ⎟⎠ ⎜
⎜ 27
5
3 ⎟⎠
⎝
secuencia de teclas a oprimir es la siguiente (observación: se considera que se está utilizando el modo RPN de la calculadora):
W¢W¢Y0YiW¢
0YY6
2.2
Productos vectorial y matricial
W¢W¢0Y0YiW
¢YY0iW¢0YY6
Utilice la función * para el cálculo de la potencia de la matriz, la sintaxis es la base, el
⎛ 21
4⎞
exponente y la función, por ejemplo, encuentre A5, si A 5 ⎜
⎟.
⎜⎝ 2 2 2 ⎟⎠
W¢W¢0YiW¢Y06
79
80
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
6
Por último * y da como resultado
Problemas 2.2
En los problemas 1 a 8 calcule el producto escalar de los dos vectores.
1. (1, 2, 21, 0); (3, 27, 4, 22)
© 4 ¹ © 1¹
ª
º
2. ª 2 3 º ; ª 6 º
ª º
ª« 2 º» « 6 »
© 5¹ © 3¹
3. ª º ; ª º
« 7» « 22 »
4. (7, 24); (21, 24)
5. (a, b); (c, d)
6. ( 2 2 2 2); ( 18
p2
©
7. ª p
«
3
© x ¹ © y¹
8. ª y º ; ª z º
ª º ª º
ª« z º» ª« x º»
¹
3º ; ( p2 2 9p p3 )
»
32 1)
9. Sea a un vector de dimensión n. Pruebe que a ? a $ 0.
10. Encuentre las condiciones sobre un vector a tales que a ? a 5 0.
© 2¹
© 26 ¹
© 4¹
ª º
ª º
ª º
En los problemas 11 a 19 realice las operaciones indicadas con a 5 ª 21º , b 5 ª 5 º y c 5 ª 8 º .
ª« 27 º»
ª« 3 º»
ª« 0 º»
11. (2a) ? (3b)
12. (a 1 b) ? c
13. a ? (b 1 c)
2.2
14. c ? (a 2 b)
15. (2b) ? (3c 2 5a)
17. (3b 2 4 a) ? (4c 1 2b 2 a)
18.
Productos vectorial y matricial
16. (a 2 c) ? (3b 2 4a)
1
b 2 4c
a ? (4c )
19.
a?c
a
a?a
En los problemas 20 a 36 realice los cálculos indicados.
¹
¹©
©
20. ª 3 22 º ª 25 6º
« 1 4» « 1 3»
© 2 3¹ © 4 1¹
21. ª
ª
º
« 21 2º» « 0 6»
¹
¹©
©
22. ª 25 6º ª 3 22 º
1
3
1
4
»
»«
«
¹
©
¹©
23. ª 1 21º ª 21 0º
« 1 1» « 2 3»
©
¹
© 7 1 4¹ ª 1 6 º
24. ª
0 4
º
« 2 23 5º» ª
« 22 3»
©
¹
¹ 3 21 1
©
25. ª 24 5 1º ª 5 6 4º
º
« 0 4 2» ª
« 0 1 2»
©
¹
26. 1 4 22 ©ª 0 1¹º
ª« 3 0 4º» « 2 3»
© 1 6¹
© 7 1 4¹
27. ªª 0 4ºº ª
« 2 23 5º»
« 22 3»
© 1 4 6¹ © 2 23 5¹
28. ªª 22 3 5ºº ªª 1 0 6ºº
« 1 0 4» « 2 3 1»
© 3 266 ¹
ª 2 4º
º
1 4 0 2 ª
0º
ª 1
ª« 22
3º»
© 2 23 5¹ © 1 4 6¹
31. ª 1 0 6º ª 22 3 5º
ª
ºª
º
« 2 3 1» « 1 0 4»
© 3 24 6 ¹ © 1¹
29. ª
2 5º» ª« 22 º»
«1
30.
© 3 22 1¹ © 1 0 0¹
32. ª 4 0 6º ª 0 1 0º
ª
ºª
º
« 5 1 9» « 0 0 1»
© 1¹
© 3 2 1 22¹ ª 4º
33. ª
ºª º
« 26 4 0 3» ª 0º
« 2»
© 1 0 0¹ © 3 22 1¹
35. ª 0 1 0º ª 4 0 6º
ª« 0 0 1º» ª 5 1 9º
«
»
© a b c ¹ © 1 0 0¹
36. ª d e f º ª 0 1 0º , donde a, b, c, d, e, f, g, h, j,
ª
ºª
º son números reales.
« g h j » « 0 0 1»
©
©
6 ¹ , encuentre un vector no nulo
37. Sea A 5 ª 2
b5ª
º
« 8 26 »
«
© 5 21 22 ¹ © 0 0 1¹
3
2 º ª 0 1 0º
34. ª 21
ª
ºª
º
ª« 1
1 25º» ª« 1 0 0º»
x ¹ tal que Ab 5 6b.
y º»
©
¹
¹
©
¹ ©
38. Encuentre una matriz A 5 ª a b º tal que A ª 2 3º 5 ª 1 0º .
« 1 2» « 0 1»
« c d»
© 5 0¹
39. Sea A 5 ª
. Determine el valor de a para el cual A es una raíz del polimonio f (x) 5
« 2 a º»
©
¹
x2 2 25. [Sugerencia: Al evaluar el polimonio con A, considere f (A) 5 A2 2 25 ª 1 0 º .]
« 0 1»
¹
©
©
¹
40. Encuentre B tal que AB 5 C. Si A 5 ª 5 0 3 4 º y C 5 ª 6 5 º .
« 3 5»
« 21 2 0 1 »
©2
2¹
41. Sea A 5 ª
yB5
« 8 22 º»
© 2 22 ¹
2
2
2
ª« 4 22 º» , pruebe que A 1 B 5 (A 1 B) .
©
¹
©
¹
42. Si A5 ª 1 1º y B 5 ª a b º , encuentre las condiciones para a, b, c y d tal que AB 5 BA.
« 0 1»
« c d»
81
82
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
43. Una matriz A de n 3 n tal que A2 5 In se llama involutiva. Pruebe que la siguiente matriz
es involutiva:
©0
1 21 ¹
ª
A 5 4 23
4º .
ª
º
4»
« 3 23
© an
© a 1¹
44. Demuestre que ª
5ª
º
« 0 a»
« 0
n
n a n21¹
1
º con n H Z .
an »
45. Sean a11, a12, a21 y a22 números reales dados tales que a11 a22 2 a12 a21 Z 0.
⎛ a11 a12 ⎞ ⎛ b11 b12 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
Encuentre los números b11, b12, b21 y b22 tales que ⎜
⎟⎜
⎟ 5⎜
⎟.
⎝ a21 a22 ⎠ ⎝ b21 b22 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
46. Dada la siguiente matriz pruebe que A2 5 A:
© 21
3
5¹
A5 ª 1 23 25 º .
º
ª
3
5»
« 21
©
¹
47. Verifique la ley asociativa para la multiplicación de las matrices A 5 ª 2 21 4º ,
1
0
6
«
»
© 1 6¹
© 1 0 1¹
B 5 ª 2 21 2º y C 5 ª 22 4º .
ª
º
ª
º
« 3 22 0»
« 0 5»
48. De la misma forma que en el ejemplo 2.2.6, suponga que un grupo de personas ha contraído
una enfermedad contagiosa. Estas personas tienen contacto con un segundo grupo que, a
© 1 0 1 0¹
su vez, tiene contacto con un tercer grupo. Si A 5 ª 0 1 1 0 º representa los contactos
ª
º
« 1 0 0 1»
©1
ª0
entre el grupo contagioso y los miembros del grupo 2, y si B 5 ª
ª1
ª
«0
0 1 0 0¹
0 0 1 0º
º representa
1 0 0 0º
º
0 1 0 1»
los contactos entre los grupos 2 y 3. a) ¿Cuántas personas hay en cada grupo? b) Encuentre
la matriz de contactos indirectos entre los grupos 1 y 3.
© 1 0 1 0 1¹
49. Conteste la pregunta del problema 48 para A 5 ª
y
« 0 1 1 0 1º»
© 1 0 0 1 1 0 1¹
ª 0 1 1 0 0 0 1º
ª
º
B 5 ª 0 1 1 0 0 1 0º .
ª 0 0 1 1 1 0 0º
ª 1 1 0 1 0 0 0º
«
»
50. (1 2 3); (4 2 2)
2.2
Productos vectorial y matricial
Se dice que dos vectores a y b son ortogonales si a ? b 5 0. En los problemas 51 a 56 determine
cuáles pares de vectores son ortogonales.5
© 2 ¹ © 3¹
51. ª º ; ª º
« 23 » « 2 »
54. (1, 0, 1, 0); (0, 1, 0, 1)
52. (7 2 5 4 11); (2 4 2 3 2)
© 1¹ © 2¹
53. ª 4 º ; ª 3º
ª º ª º
ª« 27 º» ª« 2 º»
© 1¹
55. ª 2 º ;
ª º
ª« 3º»
© a¹ © 0 ¹
ª 0º ª d º
ª º ª º
56. ª b º ; ª 0 º
ª º ª º
ª 0º ª e º
ª« c »º ª« 0 º»
© 1¹
ª 22 º
ª º
ª« 1º»
57. Determine el número α tal que (1,22, 3, 5) es ortogonal a (24, α, 6, 21).
⎛ 1⎞ ⎛
4⎞
⎟
⎜
⎟ ⎜
5⎟
2a ⎟ ⎜
⎜
58. Determine todos los números α y β tales que los vectores
son ortogonales.
y
⎜ 2 ⎟ ⎜ 22b ⎟
⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎟
3 ⎟⎠
⎝ 3 ⎠ ⎜⎝
59. Demuestre el teorema 2.2.1 usando la definición de producto escalar.
60. Un fabricante de joyería de diseño tiene órdenes por dos anillos, tres pares de aretes, cinco
prendedores y un collar. El fabricante estima que le llevará 1 hora de mano de obra hacer un
anillo, 1 21 horas hacer un par de aretes, 21 hora para un prendedor y 2 horas para un collar.
a) Exprese las órdenes del fabricante como un vector renglón.
b) Exprese los requerimientos en horas para los distintos tipos de joyas como un vector
columna.
c) Utilice el producto escalar para calcular el número total de horas que requerirá para
terminar las órdenes.
61. Un turista regresó de un viaje por América del Sur con divisa extranjera de las siguientes
denominaciones: 1 000 pesos argentinos, 20 reales de Brasil, 100 pesos colombianos, 5 000
pesos chilenos y 50 colones de Costa Rica. En dólares, un peso argentino valía $0.3174, los
reales brasileños $0.4962, los pesos colombianos $0.000471, los pesos chilenos $0.00191 y
los colones $0.001928.
a) Exprese la cantidad de cada tipo de moneda por medio de un vector renglón.
b) Exprese el valor de cada tipo de moneda en dólares por medio de un vector columna.
c) Utilice el producto escalar para calcular cuántos dólares valía el dinero extranjero del
turista.
62. Una compañía paga un salario a sus ejecutivos y les da un porcentaje de sus acciones como
un bono anual. El año pasado el presidente de la compañía recibió $80 000 y 50 acciones,
se pagó a cada uno de los vicepresidentes $45 000 y 20 acciones y el tesorero recibió $40 000
y 10 acciones.
a) Exprese los pagos a los ejecutivos en dinero y acciones como una matriz de 2 3 3.
b) Exprese el número de ejecutivos de cada nivel como un vector columna.
c) Utilice la multiplicación de matrices para calcular la cantidad total de dinero y el número total de acciones que pagó la compañía a los ejecutivos el año pasado.
5
Los vectores ortogonales se manejarán extensamente en los capítulos 3 y 4.
83
Vectores
ortogonales
84
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
63. La siguiente tabla contiene ventas, utilidades brutas por unidad y los impuestos por unidad
sobre las ventas de una compañía grande:
Producto
Mes
Artículo vendido
Artículo
Utilidad unitaria
(en cientos de dólares)
Impuestos unitarios
(en cientos de dólares)
20
I
3.5
1.5
1
9
II
2.75
2
5
3
12
III
1.5
0.6
8
2.5
20
I
II
III
Enero
4
2
Febrero
6
Marzo
Abril
Elabore una matriz que muestre las utilidades y los impuestos totales de cada mes.
64. Sea A una matriz cuadrada. Entonces A2 se define simplemente como AA. Calcule
2
⎛ 2 21 ⎞
.
⎜4
6 ⎟⎠
⎝
© 1 22 4 ¹
0 3º .
65. Calcule A si A 5 ª 2
º
ª
ª« 1
1 5 º»
© 21 2 ¹
66. Calcule A3 si A 5 ª
º.
« 3 4»
2
67. Calcule A2, A3, A4 y A5 donde
©0
ª0
A5ª
ª0
ª
«0
1
0
0
0
0¹
0º
º
1º
º
0»
0
1
0
0
68. Calcule A2, A3, A4 y A5 donde
©0
ª0
ª
A5ª0
ª
ª0
ª« 0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0¹
0º
º
0º
º
1º
0º»
69. Una matriz A de n 3 n tiene la propiedad de que AB es la matriz cero para cualquier matriz
B de n 3 n. Pruebe que A es la matriz cero.
Matriz de
probabilidades
70. Una matriz de probabilidades es una matriz cuadrada que tiene dos propiedades:
ii) Todos sus elementos son no negativos ($ 0).
ii) La suma de los elementos en cada renglón es 1.
Las siguientes matrices son matrices de probabilidades:
2.2
© 1
ª 3
P 5ª 1
ª 4
ª« 0
©
¹
ª
º
º y Q5ª
ª
º
ª
1 º»
«
1
3
1
2
1
3
1
4
0
1
6
1
8
1
5
1
6
3
8
3
5
2
3
5
8
1
5
Productos vectorial y matricial
¹
º
º
º
º
»
Muestre que el producto PQ es una matriz de probabilidad.
*71. Sea P una matriz de probabilidades. Pruebe que P2 es una matriz de probabilidades.
**72. Sean P y Q dos matrices de probabilidades del mismo tamaño. Pruebe que PQ es una
matriz de probabilidades.
73. Pruebe la fórmula (2.2.6) usando la ley asociativa [ecuación (2.2.5)].
*74. Se puede organizar un torneo de tenis de la siguiente manera. Cada uno de los n tenistas
juega contra todos los demás y se registran los resultados en una matriz R de n 3 n de la
siguiente forma:
¯ 1
²²
Rij 5 ° 0
²
²± 0
si el tenista i le gana al tenista j
si el tenista i pierde contra el tenista j
si i 5 j
Después se asigna al tenista i la calificación
n
Si 5 ∑ Rij 1
j 51
1 n
∑ ( Rij )2
2 j 51
ii) Para un torneo entre cuatro tenistas
©0
ª0
R5ª
ª1
ª
«1
1
0
0
0
0
1
0
1
0¹
1º
º
0º
º
0»
Clasifique a los tenistas según sus calificaciones.
ii) Interprete el significado de la calificación.
75. Sea O una matriz cero de m 3 n y sea A una matriz de n 3 p. Demuestre que OA 5 O1,
donde O1 es la matriz cero de m 3 p.
76. Verifique la ley distributiva [ecuación (2.2.7)] para las matrices
©1
2 4¹
A5ª
« 3 21 0 º»
© 2 7¹
B 5 ª 21 4 º
ª
º
ª« 6 0 º»
© 21 2 ¹
C 5 ª 3 7º .
ª
º
ª« 4 1 º»
En los problemas 77 a 81 multiplique las matrices usando los bloques indicados.
© 1 4 ¹
© 2
3 |
1
5 ¹ª
21
0 º
ª 0
º
1 | 24
2 ºª
º ª 22 22º
77. ª
ª 22 22 | 22 22º ª
º
2
3 º
ª
º
1 |
6
4 » ªª
« 3
5 º»
« 1
85
86
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
© 1 2¹
78. ª 3 4 º
« 5 6»
© 2 3 2 2 2 1¹
ª 2
5
3º»
«
© 1 0 | 21
1 ¹© 2
4 |
1 6 ¹
ª 2 1 | 23
4 ºª 3
0 | 22
5 º
ª
ºª
º
79. ª 22 22 | 22 22º ª 22 22 | 22 22º
ª
ºª
º
1 |
4 6 ºª 2
1 | 21
0 º
ª 22
ª« 0 2 |
3 5 º» ª« 22 24 |
1
3 º»
© 1
0 | 0
0 ¹© e
f | 0
0 ¹
ª
ª 0
º
1 | 0
0
g
h | 0
0 º
º
ª
ºª
80. ª 22 22 | 22 22º ª 22 22 | 22
2 22º
º
ºª
ª
0 | 1
0 º
0 | a
b ºª 0
ª 0
ª« 0
0 | 0
1 º»
0 | c
d º» ª« 0
© 21
4¹
1
© 1
0 |
2
3
1 ¹ª
0 4 23 º
ª 0
º
1 |
5 2
6 ºª
ª
º ª 22 22 22º
81. ª 22 22 | 22 22 22º ª
º
0º
ª
ºª 1 0
0 | 21
2
4 º
ª 0
ª 0 1
0º
ª« 0
º
0 |
2 1
3 º» ª
1»
« 0 0
© I O¹
© I O¹
y B 5ª
. Si se hace una partición conformante de A y B, demuestre
82. Sea A 5 ª
º
« D I º»
«C I »
que A y B conmutan. Considere que I es una matriz identidad y O es una matriz de ceros.
En los problemas 83 a 92 evalúe las sumas dadas.
4
83.
84.
k5 1
3
85.
88.
4
3
89.
¨ (2 1)k ( k 1 1)
k5 1
¨ k ( k 1 1)
k5 2
5
90.
q523
4
k 5 1 j 52
En los problemas 93 a 106 escriba cada suma haciendo uso de la notación de sumatoria.
93. 21 1 2 1 5 1 8 1 11
94. 1 2 3 1 9 2 27 1 81 2 243
95.
2 3 4 5 6 7
n
1 1 1 1 1 1$ 1
3 4 5 6 7 8
n 11
1
1
1
1
1
96. 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 5 1$ 1 n n
97. 1 1 x3 1 x6 1 x9 1 x12 1 x15 1 x18 1 x21
98. 1 2
x 2 x 4 x 6 x 8 x10
1 2 1 2
2! 4! 6! 8! 10!
q 12
¨ (21)q11 q 1 4
¨ ¨ k2 j 3
92.
i51 j51
7
86.
5
1
¨ 11 i
i5 2
¨ ¨ ij
¨1
k5 0
5
¨ 3k
k5 1
91.
¨i3
i 51
8
87.
6
3
¨ 2k
2.2
Productos vectorial y matricial
1
1
1
1
1
1
1
1
1
99. 21 1 2 2 1 3 2 4 1 5 2 6 1 7 2 8 1 9
a a
a
a
a
a
a
a
a
100. 1 ? 3 1 3 ? 5 1 5 ? 7 1 7 ? 9 1 9 ? 11 1 11 ? 13 1 13 ? 15 1 15 ? 17
101. 22 ? 4 1 32 ? 6 1 42 ? 8 1 52 ? 10 1 62 ? 12 1 72 ? 14
102. |a11| 1 |a12| 1 |a13| 1 |a21| 1 |a22| 1 |a23|
103. a11 1 a12 1 a21 1 a22 1 a31 1 a32
104. a21 1 a22 1 a23 1 a24 1 a31 1 a32 1 a33 1 a34 1 a41 1 a42 1 a43 1 a44
105. a31 b12 1 a32 b22 1 a33 b32 1 a34 b42 1 a35 b52
106. a21 b11 c15 1 a21 b12 c25 1 a21 b13 c35 1 a21 b14 c45
1 a22 b21c15 1 a22 b12 c25 1 a22 b23 c35 1 a22 b24 c45
1 a23 b31 c15 1 a23 b32 c25 1 a23 b33 c35 1 a23 b34 c45
107. Pruebe la fórmula (2.2.14) extendiendo los términos de
N
¨ ( ak 1 bk )
k5M
108. Pruebe la fórmula (2.2.15).
[Sugerencia: Utilice (2.2.13) para demostrar que
N
¨
k5M
N
(2ak ) 52 ¨ an . Luego use (2.2.14).]
k5M
109. Pruebe la fórmula (2.2.16).
En los problemas 110 a 114 utilice la calculadora para obtener cada producto.
© 1.23
4.69
5.21¹
ª
º
110. ª 2 1.08 2 3.96
8.57 º
ª 6.28 2 5.31 2 4.27 º
«
»
© 9.61 2 2.30 ¹
ª
º
0.69 º
ª 2 8.06
ª 2.67 2 5.23 º
«
»
© 63 2 81 2 69 ¹
ª
º
95 º © 2 72 59 2 93 36 ¹
ª 82 2 45
ª
70 52 º
9
92 º ª 2 16 92
111. ª 2 75
º
ª
º
87 49 º»
2 3 º ª« 84 31
92
ª 83
ª
º
93
60 »
« 27
© 2 0.071
0.068 ¹
© 23.2
56.3
19.6 2 31.4 ¹ ª
º
0.051 2 0.023 º
ª
º
112. ª 18.9 2 9.6
17.4
51.2 º ª
ª 2 0.011 2 0.082 º
ª 30.8 2 17.9 2 14.4
28.6 º» ª
º
«
ª« 0.053
0.065 º»
113. En el problema 70 se le pidió mostrar que el producto de dos matrices de probabilidad es
una matriz de probabilidades. Sea
© 0.33
ª 0.08
P 5ª
ª 0.27
ª 0.33
«
0.24
0.28
0.45
0.19
0.25
0.26
0.09
0.07
© 0.18
0.18 ¹
ª 0.28
0.38 º
º , Q5 ª
0.19 º
ª 0.14
ª 0.17
0.41º»
«
0.53
0.36
0.56
0.19
0.10
0.05
0.16
0.30
0.19 ¹
0.31º
º
0.14 º
0.34 º»
a) Muestre que P y Q son matrices de probabilidades.
b) Calcule PQ y muestre que es una matriz de probabilidades.
87
88
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
© 1 3¹
114. Sea A 5 ª
. Calcule A2, A5, A10, A50 y A100.
« 0 2 º»
[Sugerencia: Vea la explicación en la página 79.]
©a x
115. Sea A 5 ª 0 b
ª
ª« 0 0
y¹
º
z º . Con base en los cálculos del problema 114 deduzca la forma de las
c º»
componentes de la diagonal An. Aquí, x, y y z denotan números reales.
EJERCICIOS
CON
MATLAB 2.2
Información de MATLAB
Una matriz producto AB se forma mediante A*B.
Una potencia entera de una matriz, An, se encuentra con A^n, donde n tiene un valor asignado previamente.
Se repiten algunos comandos básicos para generar matrices aleatorias; para una matriz
aleatoria de n 3 m con elementos entre 2c y c, A5c*(2*rand(n,m)21); para una matriz
aleatoria de n 3 m con elementos enteros entre 2c y c, B5round(c*(2*rand(n,m)21)).
Para generar matrices con elementos complejos se generan A y B como se acaba de indicar
y se hace C5A1i*B. Si un problema pide que se generen matrices aleatorias con ciertos elementos, genere matrices tanto reales como complejas.
1. Introduzca cualesquiera dos matrices A de 3 3 4 y B de 4 3 2. Encuentre A*B y B*A. Comente acerca de los resultados.
2. Genere dos matrices aleatorias, A y B, con elementos entre 210 y 10. Encuentre AB y BA.
Repita el proceso para, cuando menos, siete pares de matrices A y B. ¿Cuántos pares satisfacen AB 5 BA? ¿Qué puede concluir sobre la posibilidad de que AB 5 BA?
3. Introduzca las matrices A, b, x y z siguientes.
©2
ª0
A5ª
ª7
ª7
«
9 2 23 0 ¹
4 2 12 4 º
º
21 1º
5
8 2 10 4 º»
© 34 ¹
ª 24 º
b 5ª º
ª 15 º
ª« 33º»
© 25 ¹
ª 10 º
º
x 5ª
ª 2º
ª
º
ª« 2 º»
© 22 ¹
ª 3º
º
z5ª
ª 1º
ª
º
ª« 0 º»
a) Muestre que Ax 5 b y Az 5 0.
b) Con base en sus conocimientos de la manipulación algebraica normal y usando los resultados del inciso a), ¿qué podría decir que sería igual A(x 1 sz), donde s es cualquier
escalar? Pruebe calculando A(x 1 sz) para al menos cinco escalares s diferentes.
4. a) Genere dos matrices aleatorias con elementos enteros A y B tales que el producto AB
esté definido. Modifique B de manera que tenga dos columnas iguales. (Por ejemplo,
B(:,2) 5 B(:,3).)
b) Encuentre AB y vea sus columnas. ¿Qué puede decir sobre las columnas de AB si B tiene
dos columnas iguales?
c) Pruebe su conclusión repitiendo las instrucciones anteriores para otros tres pares de
matrices A y B (no elija sólo matrices cuadradas).
d) (Lápiz y papel ) Pruebe su conclusión haciendo uso de la definición de multiplicación
de matrices.
2.2
Productos vectorial y matricial
5. Genere una matriz aleatoria A de 5 3 6 con elementos entre 210 y 10 y genere un vector
aleatorio x de 6 3 1 con elementos entre 210 y 10. Encuentre
A*x2(x(1)*A(:,)1 . . . 1x(m)*A(:,m)).
Repita el proceso para otros pares de A y x. ¿Qué relación tiene esto con la expresión
(2.2.10) de esta sección?
⎛x
© a b¹
6. a) Sea A 5 ª
. Suponga que B 5 ⎜ 1
º
« c d»
⎝ x3
x2 ⎞
.
x4 ⎟⎠
Establezca el sistema de ecuaciones, con incógnitas x1 a x4, que surge al hacer AB 5 BA.
Verifique que el sistema sea homogéneo con matriz de coeficientes
© 0
2c
ª 2b a 2 d
R5ª
ª c
0
ª
c
« 0
b
0¹
0
bº
º
d 2 a 2c º
º
2b
0»
© 1 21¹
b) Para A 5 ª
es necesario encontrar una matriz B tal que AB 5 BA.
« 5 24 º»
iii) Introduzca la matriz R anterior y obtenga x1, x2, x3 y x4 del sistema homogéneo con
matriz de coeficientes R. Explique por qué hay un número infinito de soluciones
con un valor arbitrario para una variable.
iii) Encuentre rat(rref(R)) y utilice esto para elegir un valor para la variable arbitraria de manera que xi sea un entero. Puede utilizar el comando format rat
en la ventana de comandos de MATLAB seguido de rref(R).
©x
iii) Introduzca la matriz B 5 ª 1
« x3
x2 ¹
que resulta y verifique que AB 5 BA.
x4 º»
iv) Repita iii) para otra elección de la variable arbitraria.
© 1 2¹
c) Repita el proceso anterior para A 5 ª
.
« 3 4 º»
d) Repita el proceso anterior para una matriz A de 2 3 2 de su elección.
7. Genere un par de matrices aleatorias, A y B de 2 3 2 con elementos entre 210 y 10. Encuentre C 5 (A 1 B)2 y D 5 A2 1 2AB 1 B2. Compare C y D (encuentre C 2D). Genere
dos pares más de matrices de 2 3 2 y repita lo anterior. Introduzca un par de matrices, A
y B, generadas con MATLAB en el problema 6b) de esta sección y encuentre C 2D como
antes. Introduzca el par de matrices, A y B, generadas con MATLAB en el problema 6c)
de esta sección y encuentre C 2D. Con esta evidencia, ¿cuál es su conclusión acerca de la
afirmación (A 1 B)2 5 A2 1 2AB 1 B2? Pruebe su conclusión.
8. a) Introduzca A5round(10*(2*rand(6,5)21)). Dé E5[1 0 0 0 0 0] y encuentre E*A. Sea E5[0 0 1 0 0 0] y encuentre E*A. Describa cómo se compone EA de
partes de A y la manera en que esto depende de la posición de los elementos iguales a
1 en la matriz E.
b) Sea E5[2 0 0 0 0 0]; encuentre E*A. Sea E5[0 0 2 0 0 0]; encuentre E*A.
Describa cómo se compone EA de partes de A y la manera en que esto depende de la
posición del elemento 2 en la matriz E.
89
90
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
c) iii) Sea E5[1 0 1 0 0 0] y encuentre E*A. Describa cómo se compone EA de partes de A y la manera en que la relación depende de la posición de los elementos 1 en
la matriz E.
iii) Sea E5[2 0 1 0 0 0] y encuentre E*A. Describa cómo se compone EA de partes de A y la manera en que la relación depende de la posición de los elementos
distintos de cero en la matriz E.
d) Asuma que A es una matriz de n 3 m y E es de 1 3 n, donde el k-ésimo elemento de E
es igual a algún número p. De a) y b) formule una conclusión sobre la relación entre A y
EA. Pruebe su conclusión generando una matriz aleatoria A (para alguna elección de n
y m), formando dos matrices E diferentes (para alguna elección de k y p), y encontrando
EA para cada E. Repita esto para otra matriz A.
e) Suponga que A es una matriz de n 3 m y E es de 1 3 n, donde el k-ésimo elemento de
E es igual a algún número p y el j-ésimo elemento de E es igual a algún número q. Del
inciso c) formule una conclusión sobre la relación entre A y EA. Pruebe su conclusión
generando una matriz aleatoria A, formando dos matrices diferentes E de la forma descrita y encontrando EA para cada E. Repita lo anterior para otra matriz A.
f ) Suponga que A es de n 3 m y F es de m 3 1, donde el k-ésimo elemento de F es igual
a algún número p y el j-ésimo elemento de F es igual a algún número q. Considere AF.
Realice un experimento como el anterior para determinar una conclusión sobre la relación entre AF y A.
9. Matriz triangular superior
a) Sean A y B cualesquiera dos matrices aleatorias de 3 3 3. Sea UA5triu(A) y UB5
triu(B). El comando triu (doc triu) forma matrices triangulares superiores.
Encuentre UA*UB. ¿Qué propiedad tiene el producto? Repita para otros tres pares de
matrices aleatorias de n 3 n, haciendo uso de diferentes valores de n.
b) (Lápiz y papel) A partir de sus observaciones escriba una conclusión acerca del producto de dos matrices triangulares superiores. Pruebe su conclusión usando la definición de multiplicación de matrices.
c) ¿Cuál sería su conclusión acerca del producto de dos matrices triangulares inferiores?
Pruebe su conclusión para al menos tres pares de matrices triangulares inferiores.
[Sugerencia: Use tril(A) y tril(B) para generar matrices triangulares inferiores a
partir de las matrices aleatorias A y B (doc tril).]
10. Matrices nilpotentes
Matriz
nilpotente
Se dice que una matriz A diferente de cero es nilpotente si existe un entero k tal que Ak 5 0.
El índice de nilpotencia se define como el entero más pequeño para el que Ak 5 0.
Índice de
nilpotencia
a) Genere una matriz aleatoria de 5 3 5. Sea B5triu(A,1), ¿qué forma tiene B? Compare B2, B3, etc.; demuestre que B es nilpotente y encuentre su índice de nilpotencia.
b) Repita las instrucciones del inciso a) para B5triu(A,2).
c) Genere una matriz aleatoria A de 7 3 7. Repita los incisos a) y b) usando esta A.
d) Con base en la experiencia adquirida en las partes a), b) y c) (y más investigación sobre
el comando B5triu(A,j), donde j es un entero), genere una matriz C de 6 3 6 que
sea nilpotente con un índice de nilpotencia igual a 3.
11. Matrices por bloques
© a b¹
©e
y B5ª
Si A 5 ª
º
« c d»
«g
© ae 1 bg
f¹
, entonces AB 5 ª
º
h»
« ce 1 dg
af 1 bh¹
.
cf 1 dh º»
Explique cuándo este patrón es cierto si a, b, . . . , h, son matrices en lugar de números.
2.2
Productos vectorial y matricial
Genere ocho matrices de 2 3 2, A, B, C, D, E, F, G y H. Encuentre AA5[A B; C D]
y BB [E F; G H]. Encuentre AA*BB y compárela con K5[A*E1B*G A*F1B*H;
C*E1D*G C*F1D*H] (es decir, encuentre AA*BB2K). Repita para otros dos conjuntos
de matrices, A, B, . . . , H.
12. Producto exterior
Genere una matriz aleatoria A de 3 3 4 y una matriz aleatoria B de 4 3 5. Calcule
(col 1 A)(row 1 B) 1 (col 2 A)(row 2 B) 1 . . . 1 (col 4 A)(row 4 B)
y etiquete esta expresión como D. Encuentre D 2 AB. Describa la relación entre D y AB.
Repita esto para una matriz aleatoria A de tamaño 5 3 5 y una matriz aleatoria B de tamaño 5 3 6 (en este caso la suma para calcular D implica la suma de cinco productos).
13. Matrices de contacto
Considere cuatro grupos de personas: el grupo 1 está compuesto de A1, A2 y A3, el grupo
2 está compuesto de 5 personas, de B1 a B5; el grupo 3 consta de 8 personas, de C1 a C8, y
el grupo 4 de 10 personas, D1 a D10.
a) Dada la siguiente información introduzca las tres matrices de contacto directo (vea en
el problema 2 de MATLAB de la sección 2.1 una manera eficiente de introducir estas
matrices).
Contactos:
(A1 con B1, B2)
(A2 con B2, B3)
(B1 con C1, C3, C5)
(A3 con B1, B4, B5)
(B2 con C3, C4, C7)
(B3 con C1, C5, C6, C8)
(B4 con C8)
(B5 con C5, C6, C7)
(C1 con D1, D2, D3)
(C2 con D3, D4, D6)
(C3 con D8, D9, D10)
(C4 con D4, D5, D7)
(C5 con D1, D4, D6, D8)
(C7 con D1, D5, D9)
(C8 con D1, D2, D4, D6, D7, D9, D10)
(C6 con D2, D4)
b) Encuentre la matriz de contacto indirecto para los contactos del grupo 1 con el grupo 4.
¿Cuáles elementos son cero? ¿Qué significa esto? Interprete el elemento (1, 5) y el (2, 4) de
esta matriz de contacto indirecto.
c) ¿Cuál de las personas del grupo 4 tiene más contactos indirectos con el grupo 1? ¿Qué
persona tiene menos contactos? ¿Qué persona del grupo 1 es la “más peligrosa” (por
contagiar la enfermedad) para las personas del grupo 4? ¿Por qué?
[Sugerencia: Existe una manera de usar la multiplicación de matrices para calcular las sumas de renglón y columna. Utilice los vectores d5ones(10,1) y e5ones(1,3). Aquí
el comando ones(n,m) produce una matriz de tamaño n 3 m, en donde todos los elementos son iguales a 1 (doc ones).]
14. Cadena de Markov
Una empresa que realiza estudios de mercado está estudiando los patrones de compra para
tres productos que son competidores entre sí. La empresa ha determinado el porcentaje de
residentes de casas que cambiarían de un producto a otro después de un mes (suponga que
cada residente compra uno de los tres productos y que los porcentajes no cambian de un
mes a otro). Esta información se presenta en forma de matriz:
pij 5 porcentaje que cambia del producto j al producto i
91
92
CAPÍTULO 2
Matriz de
transición
Vectores y matrices
⎛ 0.8
0.2
0.05 ⎞
P 5 ⎜ 0.05 0.75 0.05 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0.15 0.05 0.9 ⎠
P se llama matriz de transición.
Por ejemplo, P12 5 0.2 significa que 20% de los residentes que compran el producto 2 cambia al producto 1 después de un mes y P22 5 0.75 significa que 75% de los residentes que
compraban el producto 2 continúa comprándolo después de un mes. Suponga que existe
un total de 30 000 residentes.
a) (Lápiz y papel) Interprete los otros elementos de P.
b) Sea x una matriz de 3 3 1, donde xk5 el número de residentes que compran el producto
k. ¿Cuál es la interpretación de Px? ¿Y de P2x 5 P(Px)?
c) Suponga inicialmente que
⎛ 10 000⎞
x 5 ⎜ 10 000⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 10 000⎟⎠
Encuentre Pnx para n 5 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 y 50. Describa el comportamiento
de los vectores Pnx conforme n crece. ¿Qué interpretación se le puede dar a esto?
d) Suponga inicialmente que
© 0 ¹
x 5 ª 30 000º
ª
º
ª« 0 º»
Repita las instrucciones anteriores. Compare los resultados de c) y d).
e) Elija su propio vector inicial para x, en donde las componentes de x sumen 30 000. Repita las instrucciones y haga una comparación con los resultados anteriores.
f ) Calcule Pn y 30 000Pn para los valores de n dados antes. ¿Qué observa sobre las columnas de Pn? ¿Cuál es la relación de las columnas de 30 000 Pn y los resultados anteriores
de este problema?
g) Tomemos el caso de una agencia de renta de automóviles que tiene tres oficinas. Un auto
rentado en una oficina puede ser devuelto en cualquiera de ellas. Suponga que
⎛ 0.8
0.1
0.1 ⎞
⎜
P 5 0.05 0.75 0.1 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0.15 0.15 0.8 ⎠
es una matriz de transición tal que Pij 5 porcentaje de autos rentados en la oficina j y
devueltos en la oficina i después de un periodo. Suponga que se tiene un total de 1 000
automóviles. De acuerdo con sus observaciones en los incisos anteriores de este problema, encuentre la distribución a largo plazo de los autos, es decir, el número de autos
que habrá a la larga en cada oficina. ¿Cómo puede usar esta información una oficina de
renta de automóviles?
15. Matriz de población
Una población de peces está dividida en cinco grupos de edades distintas en donde el
grupo 1 representa a los pequeños y el grupo 5 a los de mayor edad. La matriz siguiente
representa las tasas de nacimiento y supervivencia:
2.2
Productos vectorial y matricial
⎛ 0
0
2
2
0⎞
⎜ 0.4 0.2
0
0
0⎟
⎜
⎟
S 5 ⎜ 0 0.5 0.2
0
0⎟
⎜ 0
0 0.5 0.2
0⎟
⎜ 0
0
0 0.4 0.1⎟⎠
⎝
s1j 5 número de peces que nacen por cada pez en el grupo j en un año
sij 5 número de peces en el grupo j que sobrevive y pasa al grupo i, donde i . 1
Por ejemplo, s13 5 2 dice que cada pez del grupo 3 tiene 2 crías en un año y s21 5 0.4
dice que 40% de los peces en el grupo 1 sobrevive al grupo 2 un año después.
a) (Lápiz y papel) Interprete los otros elementos de S.
b) (Lápiz y papel) Sea x la matriz de 5 3 1 tal que xk 5 número de peces en el grupo k.
Explique por qué S 2x representa el número de peces en cada grupo dos años más tarde.
c) Sea
© 5 000¹
ª 10 000 º
ª
º
x 5 ª 20 000 º
ª
º
ª 20 000 º
ª« 5 000º»
Encuentre floor(S^n*x) para n 5 10, 20, 30, 40 y 50 (el comando floor redondea
al menor entero más cercano (doc floor)). ¿Qué sucede con la población de peces a
través del tiempo? ¿Está creciendo o está pereciendo? Explique.
d) Los cambios en las tasas de nacimiento y supervivencia pueden afectar el crecimiento
de la población. Cambie s13 de 2 a 1 y repita los comandos del inciso c). Describa lo que
ocurre con la población. Cambie s13 otra vez a 2 y s32 a 0.3 y repita los comandos del
inciso c). Describa lo que parece estar sucediendo con la población.
e) (Lápiz y papel) Suponga que se tiene interés en criar esta población de peces. Sea h el
vector de 5 3 1, en donde hj 5 número de peces criados del grupo j al final del año. Argumente por qué u5S*x2h proporciona el número de peces que se tienen al final del
año después de la cosecha y luego por qué el número de peces al final de dos años después de la cosecha está dado por w5S*u2h.
f ) Cambie s13 otra vez a 2 y s32 otra vez a 5. Suponga que se decide criar sólo peces maduros, es decir, peces del grupo 5. Se examinarán las posibilidades de cosecha a través de
un periodo de 15 años. Sea h 5 [0;0;0;0;2000]. Para demostrar que ésta no es una
cosecha que se pueda seguir utilice los comandos
u5S*x2h
u5S*u2h
Repita el último comando (con la flecha hacia arriba) hasta que obtenga un número
negativo de peces después de una cosecha. ¿Durante cuántos años se puede recoger esta
cantidad?
g) Experimente con otras cosechas del grupo 5 para encontrar la cantidad máxima de
peces que se pueden obtener en un año dado con el fin de sostener este nivel de cosecha
durante 15 años (introduzca h5[0;0;0;0;n] para un número n y repita los comandos del inciso f ) según sea necesario para representar 15 años de cosecha). Escriba una
descripción de su experimento y de sus resultados.
93
Problema
proyecto
94
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
h) Siga con el experimento hasta ver si se puede encontrar un vector h que represente las
cosechas de los grupos 4 y 5 que permitirían que cada año se cosecharan más peces (y
que se sostuviera la cosecha durante 15 años). Escriba una descripción de su experimento y de sus resultados.
2.3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
En la sección 1.2 de la página 8 se estudiaron los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
1 a12 x2
1
1 a1n xn
5 b1
a21x1 1 a22 x2
1
1 a2 n x n
5 b2
a11x1
am1x1 1 am 2 x2 1
(2.3.1)
1 amn xn 5 bn
Sea A la matriz de coeficientes
© a11
ª
a
A 5 ª 21
ª
ª
« am1
a12
a22
am 2
a1n ¹
º
a2 n º
,
º
º
amn »
© x1 ¹
© b1 ¹
ª x2 º
ªb º
x el vector ª º y b el vector ª 2 º . Como A es una matriz de m 3 n y x es una matriz de
ª º
ª º
ªx º
ªb º
« n»
« n»
n 3 1 el producto matricial Ax es una matriz de m 3 1. No es difícil ver que el sistema (2.3.1)
se puede escribir como
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Ax 5 b
EJ EM PLO 2 .3 .1
(2.3.2)
Cómo escribir un sistema mediante su representación matricial
Considere el sistema
2x1 1 4x2 1 6x3 5 18
4x1 1 5x2 1 6x3 5 24
3x1 1 x2 2 2x3 5 4
(Vea el ejemplo 1.2.1 en la página 8.) Esto se puede escribir como Ax 5 b con
© x1 ¹
© 18 ¹
©2 4
6¹
ªx º
ª º.
º
A 5 ª4 5
x
5
6 ,
ª 2 º y b 5 ª 24 º .
ª
º
ª
º
ª« 4 º»
ª« 3 1 22 º»
« x3 »
(2.3.3)
2.3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
95
Es mucho más sencillo escribir el sistema (2.3.1) en la forma Ax 5 b. Además existen otras
ventajas. En la sección 2.4 se observará la rapidez con que se puede resolver un sistema cuadrado si se conoce una matriz llamada la inversa de A. Aun sin ella, como ya se vio en la sección
1.2, es mucho más sencillo escribir los cálculos usando una matriz aumentada.
© 0¹
ª 0º
Si b 5 ª º es el vector cero de m 3 1, entonces el sistema (2.3.1) es homogéneo (vea la sección
ª º
ª 0º
« »
Sistema
homogéneo
1.4) y se puede escribir como
Ax 5 0
(forma matricial de un sistema de ecuaciones homogéneo).
Si alguno de los elementos del vector b es diferente de cero, entonces decimos que el sistema es
no homogéneo.
Sistema
no homogéneo
Existe una relación fundamental entre los sistemas homogéneos y los no homogéneos. Sea
A una matriz m 3 n
© x1 ¹
© b1 ¹ m ceros © 0¹
N Nota
ª x2 º
ª b2 º
ª 0º
x 5ª º , b 5ª º y 0 5ª º
Todo vector x que sea solución de un
ª º
ª º
ª º
sistema no homogéneo se conoce como
ªx º
ªb º
ª 0º
« n»
« n»
« »
solución particular.
El sistema lineal no homogéneo general se puede escribir como
Ax 5 b
(2.3.4)
Con A y x dados en (2.3.4) y b Z 0, un sistema homogéneo asociado se define como
Ax 5 0
T
(2.3.5)
Teorema 2.3.1
Sean x1 y x2 soluciones al sistema no homogéneo (2.3.4). Entonces su diferencia x1 2 x2
es una solución al sistema homogéneo asociado (2.3.5).
por la ley distributiva (2.2.7)
en la página 69
Demostración
C
A(x1 2 x2) 5 Ax1 2 Ax2 5 b 2 b 5 0
Corolario
Sea x una solución particular al sistema no homogéneo (2.3.4) y sea y otra solución a
(2.3.4). Entonces existe una solución h al sistema homogéneo (2.3.5) tal que
y5x1h
(2.3.6)
Demostración
Si h está definida por h 5 y 2 x, entonces h es una solución de (2.3.5) por el teorema
1 y y 5 x 1 h.
Sistema
homogéneo
asociado
96
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
El teorema 2.3.1 y su corolario son muy útiles. Establecen que
Observación
Un resultado muy similar se cumple para las
soluciones de las ecuaciones diferenciales
lineales homogéneas (vea los problemas 30
y 31). Una de las bondades de las matemáticas es que temas en apariencia muy diferentes pueden tener una fuerte interrelación.
Con objeto de encontrar todas las soluciones al sistema no homogéneo (2.3.4), basta con encontrar una solución a (2.3.4), que llamaremos
solución particular (xp ), y todas las soluciones al sistema homogéneo
asociado (2.3.5), que llamaremos solución homogénea (xh).
EJ EM PLO 2 .3 .2
Cómo escribir un número infinito de soluciones como una solución
particular a un sistema no homogéneo más las soluciones
al sistema homogéneo
Encuentre todas las soluciones al sistema no homogéneo
x1 1 2x2 2 x3 5 2
2x1 1 3x2 1 5x3 5 5
2x1 2 3x2 1 8x3 5 21
usando el resultado anterior.
Solución
Primero, se encuentra una solución mediante la reducción por renglones:
© 1
2 21 | 2 ¹ R2 q R2 2 2 R1 © 1
2 21 | 2 ¹
ª
º R3 q R3 2
ª
º
1 R1
3
5 | 6 º q ª 0 21
7 | 2º
ª 2
ª 21 23
ª 0 21
8 | 0 º»
7 | 2 º»
«
«
©1
0 13 | 4 ¹
ª
º
q ª 0 21 7 | 2 º
ª0
0
0 | 0 º»
«
R1 q R1 2
1 2 R2
R3 q R3 2 R2
Las ecuaciones correspondientes a los primeros dos renglones del último sistema son
x1 5 4 2 13x3 y
x2 5 22 1 7x3
con lo que las soluciones son
x 5 (x1, x2, x3) 5 (4 2 13x3, 22 1 7x3, x3) 5 xp 1 xh
donde xp 5 (4, 22, 0) es una solución particular y xh 5 x3(213, 7, 1), donde x3 es un número
real, es una solución al sistema homogéneo asociado. Por ejemplo, x3 5 0 lleva a la solución
(4, 22, 0) mientras que x3 5 2 da la solución (222, 12, 2).
R
Resumen 2.3
• Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden escribir como Ax 5 b, donde
⎛ a11
⎜
A5⎜
⎜⎝ am1
a12
am 2
am ⎞
⎟
⎟
amn ⎟⎠
⎛ x1 ⎞
⎜ x2 ⎟
x5⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜x ⎟
⎝ n⎠
y
⎛ b1 ⎞
⎜ b2 ⎟
b5⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜b ⎟
⎝ m⎠
• Toda solución del sistema de ecuaciones Ax 5 b se puede escribir como x 5 xp + xh, donde xp
es alguna solución particular y xh es toda solución homogénea.
(p. 87)
2.3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
A
A U T O E V A L U A C I Ó N 2.3
©x
© x¹
2 z 5 2¹
ª
º
y 1 z 5 3 se escribe en la forma Ax 5 b, con x 5 ª y º y
III) Si el sistema
ª
º
ª º
ª« x 1 2 y
ª« z º»
5 4 º»
© 2¹
b5 ª 3º , entonces A 5 _______.
ª º
ª« 4 º»
© 1 1 2 1¹
º
ª
1º
a) ª 1 1
ª« 1 1
2 º»
© 1 21 0 ¹
ª
º
b) ª 0
1 1º
ª« 1
2 0 º»
© 1 0 2 1¹
ª
º
c) ª 0 1
1º
ª« 1 0
2 º»
© 1 0 2 1¹
ª
º
d) ª 0 1
1º
ª« 1 2
0 º»
Respuesta a la autoevaluación
I) d )
MANEJO DE LA CALCULADORA 2.3
Con la calculadora HP 50g se pueden resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma
simbólica con el comando LINSOLVE como se muestra a continuación. Encuentre la
solución del sistema de ecuaciones
22x 1 2y 2 2w 5 3
22x 2 3y 1 4w 5 25
23x 1 2y 1 5w 5 27
Necesitamos escribir el sistema de ecuaciones en un arreglo de la siguiente forma
W¢QN
QO
QMXiX»
QN
QO
QM
iX»
QN
QO
QM
6
W¢QNiX»QOiX»QM6
97
98
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
W¦
En el último renglón se pueden ver los resultados. La función LINSOLVE también resuelve sistemas inconsistentes y con un número infinito de soluciones.
Problemas 2.3
En los problemas 1 a 8 escriba el sistema dado en la forma Ax 5 b.
x1 2 x2 1 3x3 5 11
4x1 1 x2 2 x3 5 24
2x1 2 x2 1 3x3 5 10
2.
x1 1 3x2 2 3x3 5 6
7x1 2 x2 1 2x3 5 7
5x1 1 2x2 2 x3 5 8
3. 4x1 1 10x2 2 6x3 5 29
3x1 2 5x2 1 4x3 5 5
4.
4x1 2 x2 1 x3 2 x4 5 27
3x1 1 x2 2 5x3 1 6x4 5 8
2x1 2 x2 1 x3
59
9x1 1 7x2 2 3x3 5 8
2x1 2 4x2 1 4x3 5 2
26x1 1 5x2 1 x3 5 23
6.
1.
5.
2x1 1 3x2 2 x3 5 0
24x1 1 2x2 1 x3 5 0
7x1 1 3x2 2 9x3 5 0
2.3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
7.
x1
x2 1 x3
x1
1 x3
x3
1 x4 5
5
1 x4 5
2 x4 5
5
7
0
2
8.
x1 1 x3 5 3
4x2 1 4x4 5 2
5x1 1 2x2 5 21
3x2 1 9x3 5 4
En los problemas 9 a 20 escriba el sistema de ecuaciones representado por la matriz aumentada
correspondiente.
© 23 22
9. ª
ª« 2
5
©4
2
1
ª
12. ª 7
6 23
ª 0 22
0
«
©1
1 21 | 7 ¹
ª
º
5 | 4º
10. ª 4 2 1
ª6
1
3 | 20 º»
«
2 1¹
º
3º»
4¹
º
1 1º
0 º»
©2
3
1 | 0¹
ª
º
5 | 0º
15. ª 4 2 1
ª3
6 2 7 | 0 º»
«
© a
b 3a 4 b
ª
18. ª 2 3a 0 4 b 0
ª b
0 0
a
«
g¹
º
2g º
2g º»
© 0 1 | 2¹
11. ª
º
« 1 0 | 3»
© 2 3 1 | 2¹
ª
º
13. ª 0 4 1 | 3 º
ª 0 0 0 | 0º
«
»
©1
ª
ª0
14. ª
0
ª
ª« 0
2¹
º
1 0 0 |
3º
0 1 0 | 25º
º
0 0 1 |
6 º»
©0 0 9 |
2¹
ª
16. 0 3 7 | 21º
ª
º
ª« 2 4 6 |
3º»
© 6 2 1 | 2¹
ª
º
17. ª 2 2 3 1 | 4 º
ª 0 0 0 | 2º
«
»
© 1 0 9 | 2¹
19. ª 0 3 7 | 5º
ª
º
ª« 2 0 0 | 6 º»
© 7 2 | 1¹
ª
º
20. ª 3 1 | 2 º
ª 6 9 | 3º
«
»
0 0 0 |
21. Encuentre la matriz A y los vectores x y b tales que el sistema representado por la siguiente
matriz aumentada se escriba en la forma Ax 5 b y resuelva el sistema.
©2 0
0 | 3¹
ª
º
0 | 5º
ª0 4
ª 0 0 25 | 2º
«
»
En los problemas 22 a 29 encuentre todas las soluciones al sistema no homogéneo dado, encontrando primero una solución (si es posible) y después todas las soluciones al sistema homogéneo asociado.
22.
24.
x1 2 3x2 5 2
22x1 1 6x2 5 24
x1
2 x3 5 6
x1 2 2x2 1 3x3 5 4
x2 1 x3 5 3
23.
x1 2 x2 1 x3 5 6
3x1 2 3x2 1 3x3 5 18
25.
x1 2 x2 2 x3 5 2
2x1 1 x2 1 2x3 5 4
x1 2 4x2 2 5x3 5 2
26. 2 3x1 1 7x2 1 4x3 5 5
210x1 1 9x2 1 5x3 5 22
27. 3x1
2 x5 5 1
x1 2 2x3 2 4x4
50
x4 1 2x5 5 0
28. 2 3x1 2 5x2 2 18x3 1 13x4 5 42
27x1 2 10x2 2 23x3 1 13x4 5 32
2 4x1 2 8x2 2 28x3 1 20x4 5 64
210x1 1 7x2 1 31x3 2 24x4 5 282
29.
x1 2 x2 1 x3 2 x4 5 22
22x1 1 3x2 2 x3 1 2x4 5 5
4x1 2 2x2 1 2x3 2 3x4 5 6
99
100
CAPÍTULO 2
Cálculo †
Vectores y matrices
30. Considere la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden
y0(x) 1 a(x)y9(x) 1 b(x)y(x) 5 0
(2.3.7)
donde a(x) y b(x) son continuas y se supone que la función desconocida y tiene una segunda derivada. Muestre que si y1 y y2 son soluciones a (2.3.7), entonces c1y1 1 c2 y2 es una
solución para cualesquiera constantes c1 y c2.
Cálculo
31. Suponga que yp y yq son soluciones a la ecuación no homogénea
y0(x) 1 a(x)y9(x) 1 b(x)y(x) 5 f (x)
(2.3.8)
Demuestre que yp 2 yq es una solución a (2.3.7). Suponga aquí que f (x) no es la función
cero.
Cálculo
32. Si y(x) 5 c1cos(x) 1 c2sen(x) encuentre los valores de c1 y c2 tales que y(0) 5 1 y y9(0) 5 21.
EJERCICIOS
N
Nota
Para generar matrices aleatorias revise
la presentación anterior de los problemas de MATLAB 2.2.
CON
MATLAB 2.3
1. a) Genere una matriz aleatoria A de 3 3 3 con elementos entre 210 y 10 y genere un vector aleatorio b de 3 3 1 con elementos entre 210 y 10. Haciendo uso de MATLAB resuelva el sistema con la matriz aumentada [A b]
usando rref. Utilice la notación “:” para poner la solución en la variable
x. Encuentre Ax y compare con b (encuentre A*x2b). Encuentre y5x(1)
*A(:,1)1x(2)*A(:,21x(3)*A(:,3) y compare con b (encuentre
y2b). Repita esto para otros tres vectores b. ¿Cuál es su conclusión acerca
de la relación entre Ax, y y b?
b) Sea
©4
ª
2
A5ª
ª5
ª
ª« 9
5¹
º
1
5 2 1º
9 19
4º
º
5 23 2 4 º»
9 17
© 11 ¹
ª 9º
b5ª º
ª 16 º
ª« 40 º»
iii) Resuelva el sistema con la matriz aumentada[A b] usando rref. Si existe un
número infinito de soluciones, haga una elección para las variables arbitrarias y
encuentre e introduzca el vector solución x correspondiente.
iii) Encuentre A*x y y5x(1)*A(:,1)1x(2)*A(:,2)1x(3)*A(:,3)1 x(4)*A
(:,4) y compare Ax, y y b.
iii) Repita para otras dos variables arbitrarias.
iiv) ¿Cuál es su conclusión acerca de la relación entre Ax, y y b?
2. a) Suponga que los elementos de A y x son números reales. Haciendo uso de la definición
de multiplicación de matrices, argumente por qué Ax 5 0 significa que cada renglón de
A es perpendicular a x (recuerde que dos vectores reales son perpendiculares si su producto escalar es cero).
b) Con el resultado del inciso a) encuentre todos los vectores x perpendiculares a los dos
vectores:
(1, 2, 23, 0, 4)
†
El símbolo
Cálculo
y
(4, 25, 2, 0, 1)
indica que se necesita el cálculo para resolver el problema.
2.3
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
3. a) Recuerde el problema 3 de MATLAB 2.2 (vuelva a resolverlo). ¿Cómo se relaciona esto
con el corolario del teorema 2.3.1?
b) Considere las matrices A y b del problema 1b) de MATLAB en esta sección.
iii) Verifique que el sistema [A b] tiene un número infinito de soluciones.
iii) Sea x5A\b. Verifique, usando la multiplicación de matrices, que esto produce una
solución al sistema con la matriz aumentada [A b] (observe que al ejecutar la instrucción, se hace una advertencia). Si no existe una solución única, el comando “\”
(doc mldivide).
iii) Considerando rref(A), encuentre cuatro soluciones al sistema homogéneo [A 0].
Introduzca uno a la vez, llamándolo z y verifique mediante la multiplicación de matrices que x1z es una solución al sistema con la matriz aumentada [A b].
4. a) Observe rref(A) para la A dada a continuación y argumente por qué el sistema [A b]
tiene una solución independientemente del vector b de 4 3 1 que se elija.
©5
ª
4
A5ª
ª3
ª9
«
5
5
9
1
8
8
8
1
0¹
º
7º
9º
6 º»
b) Concluya que todo vector b es una combinación lineal de las columnas de A. Genere
tres vectores aleatorios b de 4 3 1 y, para cada b, encuentre los coeficientes necesarios
para escribir b como una combinación lineal de las columnas de A.
c) Observando rref(A) para la siguiente A, argumente las razones por las cuales existe
un vector b de 4 3 1 para el que el sistema[A b] no tiene solución. Realice un experimento para encontrar un vector b para el que no exista una solución.
©5
ª
4
A5ª
ª3
ª
ª« 9
25 0 ¹
º
5 26 7 º
9 215 9 º
º
1
7 6 º»
5
d) ¿Cómo se pueden generar vectores b que garanticen una solución? Tome una decisión
sobre el procedimiento y descríbalo con un comentario. Pruebe su procedimiento formando con él tres vectores b y después resolviendo los sistemas correspondientes (vea el
problema 6 de MATLAB en la sección 1.3).
e) Pruebe que su procedimiento es válido usando la teoría desarrollada en el texto.
5. En este problema descubrirá las relaciones entre la forma escalonada reducida por renglones de una matriz y la información sobre las combinaciones lineales de las columnas de A.
La parte de MATLAB del problema implica, únicamente, el cálculo de algunas formas escalonadas reducidas por renglones. La teoría se basa en los hechos de que Ax 5 0 significa
que x es una solución al sistema [A 0] y que
0 5 x1(col 1 de A) 1 . . . 1 xn(col n de A)
a) iii) Sea A la matriz del problema 4c) de MATLAB en esta sección. Encuentre rref(A).
(El resto de este inciso requiere de trabajo con papel y lápiz.)
iii) Encuentre las soluciones al sistema homogéneo escrito en términos de las elecciones
naturales de las variables arbitrarias.
101
102
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
iii) Establezca una variable arbitraria igual a 1 y las otras variables arbitrarias iguales
a 0 y encuentre las otras incógnitas para producir un vector solución x. Para esta x,
escriba lo que dice la afirmación
0 5 Ax 5 x1(col 1 de A) 1 . . . 1 xn(col n de A)
y despeje la columna de A que corresponde a la variable arbitraria que igualó a 1.
Verifique sus datos.
iv) Ahora establezca otra variable arbitraria igual a 1 y las otras variables arbitrarias
iguales a 0. Repita iii). Continúe de la misma manera para cada variable arbitraria.
iv) Revise rref(A) y vea si reconoce algunas relaciones entre lo que acaba de descubrir y los números en rref(A).
b) Sea A la matriz en el problema 1b) de MATLAB en esta sección. Repita las instrucciones anteriores.
c) Sea A una matriz aleatoria de 6 3 6. Modifique A de manera que
A(:,3) 5 2*A(:,2) 23*A(:,1)
A(:,5) 5 2A(:,1) 12*A(:,2) 23*A(:,4)
A(:,6) 5 A(:,2) 14*A(:,4)
Repita las instrucciones anteriores.
2.4 Inversa de una matriz cuadrada
En esta sección se definen dos tipos de matrices que son fundamentales en la teoría de matrices.
© 3 25 ¹
© 2 5¹
En primer lugar se presenta un ejemplo sencillo. Sea A 5 ª
º . Un cálculo
º y B 5 ªª
1 3»
2 º»
« 21
© 1 0¹ «
sencillo muestra que AB 5 BA 5 I2, donde I2 5 ª
º . La matriz I2 se llama matriz identidad
« 0 1»
de 2 3 2. La matriz B se llama matriz inversa de A y se denota por A21.
D
Definición 2.4.1
Matriz identidad
N
La matriz identidad In de n 3 n es una matriz de n 3 n cuyos elementos de la
diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás son 0. Esto es,
Nota
La diagonal de A 5 (aij ) consiste en las
componentes a11, a22, a33, etc. A menos
que se establezca de otra manera, se
hará referencia a la diagonal principal
simplemente como la diagonal.
EJ EM PLO 2 .4 .1
In 5 (bij )
donde
bij 5
H
1
0
si i 5 j
si i Z j
(2.4.1)
Dos matrices identidad
© 1 0 0¹
ª
º
I3 5 ª 0 1 0 º
ª« 0 0 1 º»
e
©1
ª
ª0
I5 5 ª 0
ª0
ª
«0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0¹
º
0º
0º
0º
º
1»
2.4
T
Inversa de una matriz cuadrada
N
Teorema 2 .4.1
Sea A una matriz cuadrada de n 3 n. Entonces
AIn 5 InA 5 A
103
Nota
In funciona para las matrices de n 3 n
de la misma manera que el número 1
funciona para los números reales
(1 ? a 5 a ? 1 5 a para todo número
real a).
Es decir, In conmuta con toda matriz de n 3 n y la deja sin cambio después de la multiplicación por la derecha o por la izquierda.
Demostración
Sea cij el elemento ij de AIn. Entonces
cij 5 ai1b1j 1 ai2b2j 1 … 1 aijbjj 1 … 1 ainbnj
Pero por (2.4.1), esta suma es igual a aij. Así AIn 5 A. De una manera similar se puede
demostrar que InA 5 A y esto demuestra el teorema.
Notación. De aquí en adelante se escribirá la matriz identidad únicamente como I, ya que si A
es de n 3 n los productos IA y AI están definidos sólo si I es también de n 3 n.
D
Observación 1
Definición 2.4.2
La inversa de una matriz
Sean A y B dos matrices de n 3 n. Suponga que
A partir de esta definición se deduce
inmediatamente que (A21)21 5 A si A
es invertible.
AB 5 BA 5 I
Observación 2
Entonces B se llama la inversa de A y se denota por A21. Entonces se tiene
AA
21
21
5 A A 5I
Si A tiene inversa, entonces se dice que A es invertible.
Esta definición no establece que toda
matriz cuadrada tiene inversa. De hecho, existen muchas matrices cuadradas
que no tienen inversa (ejemplo 2.4.3 de
la página 106).
Una matriz cuadrada que no es invertible se le denomina singular y una matriz invertible se
llama no singular.
En la definición 2.4.2 se sugiere que la inversa de una matriz es única. Y esta declaración es
cierta, como lo dice el siguiente teorema.
T
Teorema 2 .4.2
Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es única.
Demostración
Suponga que B y C son dos inversas de A. Se puede demostrar que B 5 C. Por definición se tiene AB 5 BA 5 I y AC 5 CA 5 I. Por la ley asociativa de la multiplicación de
matrices se tiene que B(AC) 5 (BA)C. Entonces
B 5 BI 5 B(AC ) 5 (BA)C 5 IC 5 C
Por lo tanto, B 5 C, y el teorema queda demostrado.
Matriz singular
Matriz no singular
104
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
A continuación se presenta otra propiedad importante sobre las inversas.
T
Teorema 2 .4.3
Sean A y B dos matrices invertibles de n 3 n. Entonces AB es invertible y
(AB)21 5 B21A21
Demostración
Para probar este resultado es necesaria la definición 2.4.2. Es decir, B21A21 5 (AB)21 si
y sólo si B21A21 (AB) 5 (AB)(B21A21) 5 I. Se trata, únicamente, de una consecuencia
ya que
(B21A21)(AB) 5 B21(A21A)B 5 B21IB 5 B21B 5 I
ecuación (2.2.6), página 68
y
(AB)(B21A21) 5 A(BB21)A21 5 AIA21 5 AA21 5 I
N
Considere el sistema de n ecuaciones con n incógnitas
Nota
Del teorema 2.4.3 se concluye que
( ABC )21 5 C 21 B 21 A21. Vea el problema 2.4.23.
Ax 5 b
y suponga que A es invertible. Entonces
A21Ax 5 A21b
se multiplicó el término de la izquierda por A21
Ix 5 A21b
A21 A 5 I
x 5 A21b
Ix 5 x
Ésta es una solución al sistema porque
Ax 5 A(A21b) 5 (AA21)b 5 I b 5 b
Si y es un vector tal que Ay 5 b, entonces los cálculos anteriores demuestran que y 5 A21b. Es
decir, y 5 x. Se ha demostrado lo siguiente:
T
Teorema 2.4.4 Solución de sistemas de ecuaciones lineales
en términos de su matriz inversa
Si A es invertible, el sistema Ax 5 b
tiene una solución única x 5 A21b
(2.4.2)
Ésta es una de las razones por la que se estudian las matrices inversas.
Ya que se ha definido la inversa de una matriz, surgen dos preguntas básicas.
Pregunta 1. ¿Qué matrices tienen inversa?
Pregunta 2. Si una matriz tiene inversa ¿cómo se puede calcular?
En la presente sección se contestan ambas preguntas. Se comenzará por analizar lo que
ocurre en el caso 2 3 2.
2.4
EJEMPLO 2 .4 .2
Inversa de una matriz cuadrada
Cálculo de la inversa de una matriz de 2 3 2
© 2 23 ¹
21
Sea A 5 ª
º . Calcule A si existe.
ª« 24
º
5»
© x y¹
Suponga que A21 existe. Se escribe A21 5 ª
º y se usa el hecho de que
z
w
«
»
5 I. Entonces
Solución
AA21
© 2 23 ¹ © x y ¹ © 2 x 2 3 z
2 y 2 3w ¹ © 1 0 ¹
5ª
AA21 5 ª
ºª
º 5ª
º
º
ª« 24
5 º» « z w » ª« 24 x 1 5 z 24 y 1 5w º» « 0 1 »
Las dos últimas matrices pueden ser iguales únicamente si cada una de sus componentes correspondientes son iguales. Esto significa que
23 z
2x
2y
24 x
51
(2.4.3)
2 3w 5 0
(2.4.4)
50
(2.4.5)
1 5w 5 1
(2.4.6)
15 z
24 y
Éste es un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Observe que hay dos ecuaciones
que involucran únicamente a x y a z [las ecuaciones (2.4.3) y (2.4.5)] y dos que incluyen sólo a
y y w [las ecuaciones (2.4.4) y (2.4.6)]. Se escriben estos dos sistemas en la forma aumentada:
© 2 23 | 1 ¹
ª
º
ª« 24
5 | 0 º»
(2.4.7)
© 2 23 | 0 ¹
ª
º
ª« 24
5 | 1 º»
(2.4.8)
De la sección 1.2 se sabe que si el sistema (2.4.7) (con las variables x y z) tiene una solución
única, la eliminación de Gauss-Jordan en (2.4.7) dará como resultado
© 1 0 | x¹
ª
º
« 0 1 | z»
en donde (x, z) es el único par de números que satisface 2x 23z 5 1 y 24x 1 5z 5 0. De igual
manera, la reducción por renglones de (2.4.8) dará como resultado
© 1 0 | y¹
ª
º
« 0 1 | w»
donde (y, w) es el único par de números que satisface 2y 2 3w 5 0 y 24y 1 5w 5 1.
Como las matrices de coeficientes en (2.4.7) y (2.4.8) son iguales se puede realizar la reducción por renglones sobre las dos matrices aumentadas al mismo tiempo, considerando la nueva
matriz aumentada.
© 2 23 | 1 0 ¹
ª
º
ª« 24
5 | 0 1 º»
(2.4.9)
105
106
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Si A es invertible, entonces el sistema definido por (2.4.3), (2.4.4), (2.4.5) y (2.4.6) tiene una
solución única y, por lo que acaba de decirse, la reducción de renglones da
© 1 0 | x y¹
ª
º
« 0 1 | z w»
Ahora se llevan a cabo los cálculos, observando que la matriz de la izquierda en (2.4.9) es A y
la matriz de la derecha es I:
© 2 23 | 1 0 ¹ R1 q 12 R1 © 1 2 3 | 1 0 ¹
2
2
qª
º
ª
º
ª« 24
5 | 0 1 º»
ª« 24
5 | 0 1 º»
3
| 21 0 ¹
R2 q R2 2
1 4 R2 © 1 2
2
q ª
º
ª« 0 21 | 2 1 º»
1
© 1 23 |
0¹
R2 q 2R2
2
2
q ª
º
ª« 0
1 | 22 21º»
© 1 0 | 25 23¹
R1 q R1 1 32 R2
2
2º
qª
ª« 0 1 | 22 21º»
© x y ¹ © 25 23 ¹
2 º . Se calcula
Así, x 52 52 , y 52 23 , z 522, w 521 y ª
º 5ª 2
« z w » « 22 21»
© 2 23¹ © 2 5 2 3 ¹ © 1 0 ¹
2º 5
ª
ºª 2
ª« 24
5 º» « 22 21» ª« 0 1 º»
y
© 2 5 2 3 ¹ © 2 23¹ © 1 0 ¹
2º ª
º5
ª 2
5 º» ª« 0 1 º»
« 22 21» ª« 24
© 25 23 ¹
2º .
Entonces A es invertible y A21 ª 2
« 22 21»
EJ EM PLO 2 .4 .3
Una matriz de 2 3 2 que no es invertible
© 1
2¹
Sea A 5 ª
º . Determine si A es invertible y si es así, calcule su inversa.
« 22 24 »
Solución
© x y¹
Si A21 5 ª
º existe, entonces
« z w»
© 1
y 1 2w ¹ © 1 0 ¹
2¹ © x y ¹ © x 1 2z
AA21 5 ª
ºª
º 5 ªª 22 x 2 4 z 22 y 2 4w ºº 5 ª 0 1 º
»
« 22 24 » « z w » «
» «
Esto conduce al sistema
51
1 2w 5 0
y
22 x
24 z
50
22 y
2 4w 5 1
x
12 z
(2.4.10)
2.4
Inversa de una matriz cuadrada
107
Si se aplica la misma lógica que en el ejemplo 2.4.1 se puede escribir este sistema en la forma de
matriz aumentada (A | I) y reducir por renglones:
© 1
2 | 1 0 ¹ R2 q R2 2
1 2 R1 © 1 2 | 1 0 ¹
º q ª
ª
º
ª« 22 24 | 0 1 º»
« 0 0 | 2 1»
Hasta aquí se puede llegar. El último renglón se lee 0 5 2 o 0 5 1, dependiendo de cuál de los
dos sistemas de ecuaciones (en x y z o en y y w) se esté resolviendo. Entonces el sistema (2.4.10)
es inconsistente y A no es invertible.
Los últimos dos ejemplos ilustran un procedimiento que siempre funciona cuando se quiere encontrar la inversa de una matriz.
Procedimiento para encontrar la inversa
de una matriz cuadrada A
Paso 1. Se escribe la matriz aumentada (A|I ).
Paso 2. Se utiliza la reducción por renglones para poner la matriz A a su
forma escalonada reducida por renglones.
Paso 3. Se decide si A es invertible.
a) Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz
identidad I, entonces A21 es la matriz que se tiene a la derecha
de la barra vertical.
b) Si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda
de la barra vertical, entonces A no es invertible.
© a11
Sea A 5 ª
« a21
Observación
a) y b) se pueden expresar de otra
manera:
Una matriz A de n 3 n es invertible
si y sólo si su forma escalonada reducida por renglones es la matriz identidad;
es decir, si su forma escalonada reducida por renglones tiene n pivotes.
a12 ¹
º . Entonces se define
a22 »
Determinante de A 5 a11a22 2 a12a21
(2.4.11)
Determinante de
una matriz 2 3 2
El determinante de A se denota por det A.
T
N
Teorema 2 .4.5
La fórmula (2.4.12) se puede obtener
directamente aplicando el procedimiento para calcular una inversa (ver el
problema 2.4.57).
Sea A 5 una matriz de 2 3 2. Entonces
iii) A es invertible si y sólo si det A Z 0.
iii) Si det A Z 0, entonces
A21 5
1 © a22
ª
det A ª« 2a21
Nota
2a12 ¹
º
a11 º»
(2.4.12)
108
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Demostración
1 © a22
ª
det A ª« 2a21
Primero, suponga que det A Z 0 y sea B 5
BA 5
1 © a22
ª
det A ª« 2a21
5
2a12 ¹ © a11
ºª
a11 º» « a21
a12 ¹
º
a22 »
2a12 ¹
º . Entonces
a11 º»
© a22 a11 2 a12 a21
¹ © 1 0¹
0
1
5I
ª
º5
0
2a21a12 1 a11a22 º» ª« 0 1 º»
a11a22 2 a12 a21 ª«
De manera similar, AB 5 I, lo que muestra que A es invertible y que B 5 A21. Todavía
debe demostrarse que si A es invertible, entonces det A Z 0. Para esto, se considera el
sistema
a11x1 1 a12x2 5 b1
(2.4.13)
a21x1 1 a22x2 5 b2
Se lleva a cabo de esta forma porque del teorema de resumen (teorema 1.1.1, página
5) se sabe que si este sistema tiene una solución única, entonces a11a22 2 a12a21 Z 0. El
sistema se puede escribir en la forma
Ax 5 b
(2.4.14)
© x1 ¹
© b1 ¹
con x 5 ª º y b 5 ª º . Entonces, como A es invertible, se ve de (2.4.2) que el sistema
« x2 »
« b2 »
(2.4.14) tiene una solución única dada por
x 5 A21b
Pero por el teorema 1.1.1, el hecho de que el sistema (2.4.13) tenga una solución única
implica que a11a22 2 a12a21 5 det A Z 0. Esto completa la prueba.
EJ EM PLO 2 .4 .4
Cálculo de la inversa de una matriz de 2 3 2
© 2 24¹
21
Sea A 5 ª
º . Calcule A si existe.
1
3
«
»
Se encuentra que det A 5 (2)(3) 2 (24)(1) 5 10; por lo tanto, A21 existe. De
la ecuación (2.4.12) se tiene
Solución
A21 5
© 3
1 © 3 4¹
10
5
ª
º ª
10 « 2 1 2 » ª« 2 1
10
4¹
10 º
2º
10 »
Verificación
A21A 5
1 © 3 4¹ © 2 24¹
1 © 10 0 ¹ © 1 0 ¹
5 ª
5
ª
º ª1
º
3» 10 ª 0 10 ºº ª« 0 1 º»
10 « 2 1 2 » «
«
»
y
3
© 2 2 4 ¹ © 10
ª
AA21 5 ª
3º» ª 2 1
«1
« 10
4¹
10 º
2º
10 »
© 1 0¹
5ª
« 0 1 º»
2.4
EJEMPLO 2 .4 .5
Inversa de una matriz cuadrada
109
Una matriz de 2 3 2 que no es invertible
© 1
2¹
21
Sea A 5 ª
º . Calcule A si existe.
2
2
2
4
«
»
Solución Se encuentra que det A 5 (1)(24) 2 (2)(22) 5 24 1 4 5 0, de manera que
A21 no existe, como se observó en el ejemplo 2.4.3.
El procedimiento descrito para encontrar la inversa (si existe) de una matriz de 2 3 2 funciona para matrices de n 3 n donde n . 2. Se ilustra con varios ejemplos.
EJEMPLO 2 .4 .6
Cálculo de la inversa de una matriz de 3 3 3
©2 4
6¹
ª
º
Sea A 5 ª 4 5
6 º (vea el ejemplo 1.2.1 en la página 8). Calcule A21 si existe.
ª« 3 1 2 2 º»
Solución
Primero se pone A seguido de I en la forma de matriz aumentada
©2 4
6 | 1 0 0¹
ª
º
6 | 0 1 0º
ª4 5
ª 3 1 22 | 0 0 1º
«
»
y después se lleva a cabo la reducción por renglones.
©1 2
3 | 21 0 0 ¹ R2 q R2 2 4 R1 © 1
2
3 | 2 21 0 0 ¹
ª
º R3 q R3 2 3 R1 ª
º
6 | 0 1 0 º q ª 0 2 3 2 6 | 2 2 1 0 º
qª 4 5
ª 3 1 22 | 0 0 1º
ª
º
3
«
»
« 0 2 5 2 11 | 2 2 0 1 »
R1 q 12 R1
3
1
©1
2
3 |
0 0 ¹ R1 q R1 2 2R2 © 1 0 2 1 | 2 56
0¹
2
2
º
ª
ª
º
R3 q R3 2
1 5 R2
R2 q 2 R2
2
3
1
2 |
2 |
2 13 0 º
2 13 0 º
qª 0
qª 0 1
3
2
º
ª
ª
º
11
ª« 0 2 5 2 11 | 2 32
ª« 0 0 2 1 |
0 1 º»
2 53 1 º»
6
1
3
7
2
© 1 0 0 | 28
© 1 0 21 | 2 5
2 1¹
0 ¹ R1 q R1 1 R3
3
3
6
3
ª
º
ª
º
R
q
R
2
2
R
13
2
2
3
2
2º
2 |
0 º
2 11
2 13
qª 0 1 0 |
qª 0 1
3
3
3
ª
º
ª
º
5
5
ª« 0 0
ª« 0 0 1 | 2 11
1 | 2 11
2 1º»
2 1º»
6
3
6
3
R3 q 2R3
Como A se redujo a I se tiene
7
© 28
© 2 16
2 1¹
14
3
ª 3
º 1ª
13
11
A21 5 ª 3 2 3
2 º 5 ª 26 2 22
ª 11
º 6ª
5
10
ª« 2 6
º»
2
1
« 2 11
3
26¹
º
12 º
2 6 º»
se factoriza
1
para que los
6
cálculos sean más sencillos.
Verificación
© 2 16
14
1ª
21
A A 5 ª 26 2 22
6ª
10
« 2 11
26¹ © 2 4
6¹
© 6 0 0¹
ºª
º 1ª
12 º ª 4 5
6º 5 0 6 0 º 5 I .
º
6ª
« 0 0 6»
2 6 º» ª« 3 1 2 2 º»
También se puede verificar que AA21 5 I.
!
Advertencia
Cuando se calcula A21 es fácil cometer
errores numéricos. Por ello es importante verificar los cálculos viendo que
A21 A 5 I.
110
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
EJ EM PLO 2 .4 .7
Una matriz de 3 3 3 que no es invertible
© 1 2 3 4¹
Sea A 5 ª 2 2 5 7 º . Calcule A21 si existe.
ª
º
« 0 2 1 1»
Solución
De acuerdo con el procedimiento anterior se obtiene, sucesivamente,
© 1 23
© 1 23 4 | 1 0 0 ¹
4 |
1 0 0¹
º
ª
º R2 q R2 2 2R1 ª
1 21 | 22 1 0 º
qª0
ª 2 2 5 7 | 0 1 0 º
ª 0 21
ª 0 21 1 | 0 0 1º
1 |
0 0 1 º»
«
»
«
©1 0
1 | 25 3 0¹
ª
º
q ª 0 1 2 1 | 2 2 1 0 º
ª0 0
0 | 2 2 1 1 º»
«
R1 q R1 1 2R2
R3 q R3 2
1 R2
Hasta aquí se puede llegar. La matriz A no puede reducirse a la matriz identidad, por lo que se
puede concluir que A no es invertible.
Observación
Hay otra forma de ver el resultado del último ejemplo. Sea b cualquier vector de 3 3 1 y considere el sistema Ax 5 b.
Si se trata de resolver esto por el método de eliminación gaussiana, se terminaría con una ecuación que se lee
0 5 c Z 0 como en el ejemplo 2.4.7, o 0 5 0. Es decir, el sistema no tiene solución o bien, tiene un número infinito
de soluciones. La posibilidad que se elimina es que el sistema tenga solución única. Pero si A21 existiera, entonces
habría una solución única dada por x 5 A21b. La conclusión que se obtiene es
Si la reducción por renglones de A produce un renglón de ceros, entonces A no es invertible.
D
Definición 2.4.3
Matrices equivalentes por renglones
Suponga que la matriz A se puede transformar en la matriz B mediante operaciones con
renglones. Entonces se dice que A y B son equivalentes por renglones.
El razonamiento anterior se puede usar para probar el siguiente teorema (vea el problema 2.4.58).
T
Teorema 2 .4.6
Sea A una matriz de n 3 n.
iii) A es invertible si y sólo si A es equivalente por renglones a la matriz identidad In;
esto es, si la forma escalonada reducida por renglones de A es In.
ii) A es invertible si y sólo si el sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada
vector de dimensión n b.
iii) Si A es invertible, entonces la solución única de Ax 5 b está dada por x 5 A21b.
iv) A es invertible si y sólo si su forma escalonada reducida por renglones tiene n
pivotes.
2.4
EJEMPL O 2 .4 .8
Inversa de una matriz cuadrada
111
Uso de la inversa de una matriz para resolver un sistema
de ecuaciones
Resuelva el sistema
2x1 1 4x2 1 3x3 5
6
x2 2 x3 5 24
3x1 1 5x2 1 7x3 5
Solución
7
Este sistema se puede escribir como Ax 5 b, donde
©2 4
© 6¹
3¹
ª
º
A 5 0 1 21 y b 5 ª 24 º .
ª
º
ª º
ª« 3 5
ª« 7º»
7º»
A
21
7¹
© 4 213
3 23
ª
5
2º
5 21
3
3º
ª
2
2º
ª« 21
3
3»
Así, la solución única está dada por
7 ¹ © 6¹
© 4 213
© x1 ¹
© 25¹
3 23
21
ª
º
ª
5
2 º ª 24 º 5 ª 28 º
x 5 x2 5 A b 5 21
3
3º ª
ª º
ª
º ª º
2
2 º ª 7º
ª« x º»
ª« 21
» ª« 24 º»
3
3
3» «
EJEMPLO 2 .4 .9
(2.4.15)
La tecnología y las matrices de Leontief: modelo de la economía
estadounidense en 1958
En el modelo de insumo-producto de Leontief, descrito en el ejemplo 1.2.9 de la página 18, se
obtuvo el sistema
1
1
a1n xn
1 e1 5 x1
a21x1 1 a22 x2 1
a11x1 1 a12 x2
1
a2 n x n
1 e2 5 x2
an1x1 1 an 2 x2 1
1
an n x n
1 en 5 xn
que se puede escribir como
Ax 1 e 5 x 5 Ix
o
(I 2 A) x 5 e
(2.4.16)
La matriz A de demandas internas se llama matriz de tecnología, y la matriz I 2 A se llama matriz de Leontief. Si la matriz de Leontief es invertible, entonces los sistemas (2.4.15) y (2.4.16)
tienen soluciones únicas.
Leontief utilizó su modelo para analizar la economía de Estados Unidos en 1958.7 Dividió
la economía en 81 sectores y los agrupó en seis familias de sectores relacionados. Con objeto
de simplificar se tratará cada familia de sectores como un solo sector, de manera que se pueda
ver la economía estadounidense como una economía con seis industrias. Estas industrias se
enumeran en la tabla 2.1.
7
Scientific American (abril de 1965): 26-27.
Matriz de
tecnología
Matriz de
Leontief
112
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Tabla 2.1 Clasificación de la economía por vectores
Sector
Ejemplos
No metales terminados (NMT)
Muebles, alimentos procesados
Metales terminados (MT)
Electrodomésticos, vehículos automotores
Metales básicos (MB)
Herramientas (producción intermitente), minería
No metales básicos (NMB)
Agricultura, imprenta
Energía (E)
Petróleo, carbón
Servicio (S)
Diversiones, bienes raíces
La tabla de insumo-producto (tabla 2.2) presenta las demandas internas durante 1958 sobre
la base de las cifras de Leontief. Las unidades en la tabla están expresadas en millones de dólares. Así, por ejemplo, el número 0.173 en la posición 6,5 significa que para producir energía
equivalente a $1 millón, es necesario proporcionar $0.173 millones 5 $173 000 en servicios. De
forma similar, 0.037 en la posición 4,2 significa que con el fin de producir artículos metálicos
terminados, es necesario gastar $0.037 millones 5 $37 000 en productos no metálicos básicos.
Tabla 2.2 Demandas internas en 1958 en la economía de Estados Unidos
NMT
MT
MB
NMB
E
S
NMT
0.170
0.004
0
0.029
0
0.008
MT
0.003
0.295
0.018
0.002
0.004
0.016
MB
0.025
0.173
0.460
0.007
0.011
0.007
NMB
0.348
0.037
0.021
0.403
0.011
0.048
E
0.007
0.001
0.029
0.025
0.358
0.025
S
0.120
0.074
0.104
0.123
0.173
0.234
Por último, las demandas externas estimadas por Leontief sobre la economía de Estados Unidos en 1958 (en millones de dólares) se presentan en la tabla 2.3.
Con el fin de manejar la economía de Estados Unidos en 1958 para satisfacer todas las
demandas externas, ¿cuántas unidades deben producirse en cada uno de los seis sectores?
Tabla 2.3 Demandas externas sobre la economía
de Estados Unidos en 1958
(en millones de dólares)
NMT
99 640
MT
75 548
MB
14 444
NMB
33 501
E
23 527
S
263 985
2.4
Solución
Inversa de una matriz cuadrada
La matriz tecnológica está dada por
© 0.170
ª 0.003
ª
ª 0.025
A5ª
ª 0.348
ª 0.007
ª
« 0.120
0.008¹
0.016 º
º
0.007º
º
0.048º
0.001 0.039 0.025 0.358 0.025º
º
0.074 0.104 0.123 0.173 0.234 »
0.004
0
0.295 0.018
0.173 0.460
0.037 0.0021
0.029
0
0.002 0.004
0.007 0.011
0.403 0.011
© 99 640¹
ª 75 548 º
ª
º
ª 14 444 º
y e5ª
º
ª 33 501º
ª 23 527 º
ª
º
« 2633 985 »
Para obtener la matriz de Leontief, se resta
©1
ª0
ª
ª0
I 2 A5ª
ª0
ª0
ª
«0
0 0 0 0 0¹ © 0.170
1 0 0 0 0º ª 0.003
º ª
0 1 0 0 0º ª 0.025
º 2ª
0 0 1 0 0º ª 0.348
0 0 0 1 0º ª 0.007
º ª
0 0 0 0 1» « 0.120
0.004
0
0.029
0
0.008¹
0.295 0.018 0.002 0.004 0.016 º
º
0.173 0.460 0.007 0.011 0.007º
º
0.037 0.021 0.403 0.011 0.048º
0.001 0.039 0.0025 0.358 0.025º
º
0.074 0.104 0.123 0.173 0.234 »
El cálculo de la inversa de una matriz de 6 3 6 es una actividad laboriosa. Los siguientes resultados (redondeados a tres cifras decimales) se obtuvieron usando MATLAB:
(I 2 A)21
© 1.234
ª 0.017
ª
ª 0.078
~ª
ª 0.752
ª 0.061
ª
« 0.340
0.014 0.007 0.064 0.006 0.017¹
1.436 0.056 0.014 0.019 0.0032 º
º
0.467 1.878 0.036 0.044 0.031º
º
0.133 0.101 1.741 0.065 0.123º
0.045 0.130 0.083 1.578 0.059º
º
0.236 0.307 0.315 0.376 1.349 »
©
¹
Por lo tanto el vector de la salida “ideal” está dado por
© 131 033.21 ¹
ª 120 458.90 º
ª
º
ª
º
80
680
.
56
x 5 (I 2 A)21 e ~ ª
º
ª 178 732.04 º
ª 66 929.26 º
ª
º
« 431 562.04 »
Esto significa que se requería aproximadamente de 131 033 unidades (equivalentes a $131 033
millones) de productos no metálicos terminados, 120 459 unidades de productos metálicos terminados, 80 681 unidades de productos metálicos básicos, 178 732 unidades de productos no
metálicos básicos, 66 929 unidades de energía y 431 562 unidades de servicios, para manejar la
economía de Estados Unidos y cumplir con las demandas externas en 1958.
En la sección 1.1 se encontró la primera forma del teorema de resumen (teorema 1.1.1, página 5). Ahora se puede mejorar. El siguiente teorema establece que varias afirmaciones sobre
la inversa, la unicidad de las soluciones, la equivalencia por renglones y los determinantes son
equivalentes. En este momento, se puede probar la equivalencia de los incisos i), ii), iii), iv)
y v). La prueba concluirá después de desarrollar cierta teoría básica sobre determinantes (vea
el teorema 3.3.4 en la página 214).
113
114
CAPÍTULO 2
T
Vectores y matrices
Teorema 2 .4.7 Teorema de resumen (punto de vista 2)
Sea A una matriz de n 3 n, por lo que las seis afirmaciones siguientes son equivalentes.
Es decir, cada una de ellas implica a las otras cinco (de manera que si se cumple una,
todas se cumplen, y si una es falsa, todas son falsas).
iii) A es invertible.
iii) La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0).
iii) El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada vector de dimensión n b.
iv) A es equivalente por renglones a la matriz identidad In, de n 3 n; es decir, la forma
escalonada reducida por renglones de A es In.
iv) La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
vi) det A Z 0 (hasta ahora sólo se ha definido det A si A es una matriz de 2 3 2).
Demostración
Ya se ha visto que las afirmaciones i), iii), iv) y vi) son equivalentes [teorema 2.4.6]. Se
demostrará que ii) y iv) son equivalentes. Además se demostrará que ii) y v) son equivalentes. Suponga que ii) se cumple. Entonces la forma escalonada reducida por renglones
de A tiene n pivotes; de otra manera al menos una columna de esta forma no tendría
pivote y entonces el sistema Ax 5 0 tendría un número infinito de soluciones porque se
podría dar un valor arbitrario a la variable correspondiente a esa columna (los coeficientes en la columna son cero). Pero si la forma escalonada reducida por renglones de
A tiene n pivotes, entonces se trata de In.
Inversamente, suponga que iv) se cumple; esto es, suponga que A es equivalente por
renglones a In. Entonces por el teorema 2.4.6, inciso i), A es invertible y, por el teorema
2.4.6, inciso iii), la solución única de Ax 5 0 es x 5 A21 0 5 0. Así, ii) y iv) son equivalentes. En el teorema 1.1.1 se demostró que i) y vi) son equivalentes en el caso de 2 3 2.
Se probará la equivalencia de i) y vi) en la sección 3.3. Para mostrar que v) implica ii), si
la forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes, es decir, tiene la forma:
⎛ 1 r12
⎜
⎜0 1
R 5⎜0 0
⎜
⎜
⎜⎝ 0 0
r13
r23
1
0
r1n ⎞
⎟
r2 n ⎟
r3 n ⎟
⎟
⎟
1 ⎟⎠
(2.4.17)
Es decir, R es una matriz con unos en la diagonal y ceros debajo de ella, entonces la única solución de Ax 5 0 es la solución trivial, lo que significa que utilizando operaciones
elementales por renglones se puede llevar a la matriz A a su forma escalonada. Para
tener solución única en un sistema de ecuaciones homogéneo se deben tener todos los
pivotes, lo que muestra que ii) implica v).
Para verificar que B 5 A21 se debe comprobar que AB 5 BA 5 I. Resulta que sólo se tiene
que hacer la mitad de este trabajo.
2.4
T
Inversa de una matriz cuadrada
115
Teorema 2 .4.8
Sean A y B matrices de n 3 n. Entonces A es invertible y B 5 A21 ya sea si i) BA 5 I o
si ii) AB 5 I.
Demostración
iii) Se supone que BA 5 I. Considere el sistema homogéneo Ax 5 0. Si se multiplican
por la izquierda ambos lados de esta ecuación por B, se obtiene
BAx 5 B0
(2.4.18)
Pero BA 5 I y B0 5 0, de manera que (2.4.18) se convierte en Ix 5 0 o x 5 0. Esto
muestra que x 5 0 es la única solución a Ax 5 0 y por el teorema 2.4.7, incisos i) y
ii), esto quiere decir que A es invertible. Todavía debe demostrarse que B 5 A21. Sea
A21 5 C. Entonces, AC 5 I. Así
BAC 5 B(AC) 5 BI 5 B y
BAC 5 (BA)C 5 IC 5 C
Por lo tanto, B 5 C, y el inciso i) queda demostrado.
iii) Sea AB 5 I. Entonces del inciso i), A 5 B21. De la definición 2.4.2 esto significa que
AB 5 BA 5 I, lo que prueba que A es invertible y que B 5 A21. Esto completa la
demostración.
R
Resumen 2.4
• La matriz identidad n 3 n, In, es la matriz de n 3 n con unos en la diagonal principal y ceros en otra
parte. In se denota generalmente por I.
(p. 102)
• Si A es una matriz cuadrada, entonces AI 5 IA 5 A.
(p. 103)
• La matriz A de n 3 n es invertible si existe una matriz A2I de n 3 n tal que
(p. 103)
AA21 5 A21A 5 1
En este caso la matriz A21 se llama la inversa de A.
• Si A es invertible, su inversa es única.
(p. 103)
• Si A y B son matrices invertibles de n 3 n, entonces AB es invertible y
(p. 104)
(AB)21 5 B21 A21
• Para determinar si una matriz A de n 3 n es invertible:
iii) Se escribe la matriz cuadrada aumentada (A|I).
iii) Se reduce A por renglones a la forma escalonada reducida por renglones.
(p. 108)
116
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
iii) a) Si la forma escalonada reducida por renglones de A es I, entonces A21 será la matriz a la
derecha de la raya vertical punteada.
b) Si la forma escalonada reducida por renglones de A contiene un renglón de ceros, entonces A no es invertible.
⎛ a11
• La matriz de 2 3 2, A 5 ⎜
⎝ a21
2 a12a21 Z 0.
a12 ⎞
⎟ es invertible si y sólo si el determinante de A, det A 5 a11a22
a22 ⎠
(p. 107)
En cuyo caso
A21 5
1 ⎛ a22
⎜
det A ⎜⎝ 2a21
2a12 ⎞
⎟
a11⎟⎠
• Dos matrices A y B son equivalentes por renglón si A se puede transformar en B reduciendo por
renglones.
(p. 110)
• Sea A una matriz de n 3 n. Si AB 5 I o BA 5 I, entonces A es invertible y B 5 A21.
(p. 115)
A
A U T O E V A L U A C I Ó N 2.4
III) Indique cuál de las siguientes afirmaciones es correcta.
a) Toda matriz cuadrada tiene inversa.
b) Una matriz cuadrada tiene inversa si su reducción por renglones lleva a un
renglón de ceros.
c) Una matriz cuadrada es invertible si tiene inversa.
d) Una matriz cuadrada B es la inversa de A si AI 5 B.
III) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre un sistema de ecuaciones en
forma de matriz?
a)
b)
c)
d)
Es de la forma A21x 5 b.
Si tiene una solución única, la solución será x 5 A21b.
Tiene solución si A no es invertible.
Tiene una solución única.
III) ¿Cuál de las siguientes matrices es invertible?
© 1
3¹
a) ª
« 23 29º»
© 6 21¹
b) ª
1º
« 1 26 »
© 2 23¹
c) ª
« 1 21º»
© 1 0¹
d) ª
« 2 0º»
IV) Considere una matriz invertible A y señale cuál de las siguientes afirmaciones es
cierta.
a) El producto de A por I es A21.
b) A es una matriz de 2 3 3.
2.4
Inversa de una matriz cuadrada
c) A 5 A21.
d) A es una matriz cuadrada.
IV) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el sistema?
4x 2 5y 5 3
6x 1 7y 5 4
© 4 25¹
no es invertible.
a) No tiene solución porque ª
« 6 27º»
b) Tiene solución 21, 2 12 .
© 4 25¹ © x ¹ © 3¹
5
.
c) Si tuviera una solución se encontraría resolviendo ª
« 6 27º» ª« y º» ª« 4 º»
© 4 25¹ © 3¹
d) Su solución es ª
.
« 6 27º» ª« 4»º»
Respuestas a la autoevaluación
I) c)
II) b)
III) c)
IV) d)
V) c)
MANEJO DE LA CALCULADORA 2.4
Para obtener la inversa de una matriz se procede de la forma siguiente. Una vez que se
tiene a la matriz en la pila, se oprime la tecla 2. Si la matriz no es invertible aparecerán símbolos de infinito en alguna(s) posición(es) de la matriz resultante.
⎛ 1
0 3⎞
⎜
⎟
6 1 ⎟ calcularemos su inversa con la siguiente secuencia
Para la matriz A 5 ⎜ 23
⎜ 5 24 2 ⎟
⎝
⎠
de teclas:
W¢W¢YYiW¢0Yi
W¢Y0Y6
2
117
118
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Problemas 2.4
En los problemas 1 a 22 determine si la matriz dada es invertible. De ser así, calcule la inversa.
© 3 22 ¹
1. ª
« 5 24 º»
© 4 27 ¹
2. ª
º
ª« 28 14 º»
© 1 0¹
3. ª
« 0 1º»
© 1 1¹
4. ª
« 3 3º»
© 8 22 ¹
5. ª
º
« 16 24 »
© a
b¹
6. ª
º
« 2a 2b »
© 1 1 1¹
7. ª 0 2 3º
ª
º
ª« 5 5 1º»
© 0 1
3¹
ª
º
8. ª 3 4 22 º
ª 21 5
8 º»
«
© 0 0 1¹
11. ª 0 1 1º
ª
º
« 1 1 1»
© 2 24 48 ¹
ª
º
12. ª 0 23 12 º
ª« 0
0 2 º»
©3 2
1¹
ª
2º
9. 0 2
ª
º
ª« 0 0 211º»
© 1 1 1¹
10. ª 0 1 1º
ª
º
ª« 0 0 1º»
©1
3 5¹
ª
º
4 8º
13. ª 2
ª« 1 21 1º»
© 1 2 3¹
16. ª 1 1 2 º
ª
º
ª« 0 1 2 º»
© a
b
g ¹
ª
º
d
e
z º
15. ª
ª 3a 2 2 d 3b 2 2 e 3 d 2 2z º
«
»
© 1 22 23¹
14. ª 0
3
4º
ª
º
ª« 0
0
5 º»
©1
1
1
ª1
2 21
17. ª
ª 1 21
2
ª
3
3
«1
© 1 23
0 22 ¹
ª 3 212 22 26 º
º
20. ª
ª 22
10
2
5º
º
ª
6
1
3»
« 21
1¹
2º
º
1º
º
2»
© 1
ª 21
18. ª
ª 2
ª
« 21
©3
ª2
21. ª
ª0
ª« 0
4
3
0
0
0
0
2
3
0
2
1
0
1 21
0
5
0¹
0º
º
3º
4 º»
3¹
4º
º
3º
º
7»
©1
2
0
ª
2
3 23
19. ªª
0 23 22
ª
ª« 0
0
4
©0
ª0
22. ª
ª2
ª« 3
0
0
3
4
3
2
0
0
0¹
º
0º
4º
º
4 º»
4¹
3º
º
0º
0 º»
23. Muestre que si A, B y C son matrices invertibles, entonces ABC es invertible y (ABC)21
5 C 21B21A21.
24. Si A1, A2, . . . , Am son matrices invertibles de n 3 n, muestre que A1 ? A2, . . . , Am es invertible y calcule su inversa.
© 3
4¹
25. Muestre que la matriz ª
es su propia inversa.
« 22 23º»
© a11
26. Muestre que la matriz ª
« a21
5 1 2 a211.
a12 ¹
es su propia inversa si A 5 6 I o si a11 5 2a22 y a21a12
a22 º»
27. Encuentre el vector de producción x en el modelo de insumo-producto de Leontief si
©
© 40 ¹
ª
n 5 3, e 5 ª 10 º y A 5 ª
ª º
« 10 »
ª
«
1
5
2
5
1
5
1
5
2
5
1
10
0¹
3
5
2
5
º
º.
º
»
2.4
Inversa de una matriz cuadrada
119
*28. Asuma que A es de n 3 m y B es de m 3 n, de manera que AB es de n 3 n. Demuestre que
AB no es invertible si n > m. [Sugerencia: Muestre que existe un vector x diferente de cero
tal que ABx 5 0 y luego aplique el teorema 2.4.7.]
*29. Utilice los métodos de esta sección para encontrar las inversas de las siguientes matrices
con elementos complejos:
©i
2¹
a) ª
« 1 2i º»
© 1
i
0 ¹
ª
c) 2i
0
1 º
ª
º
ª« 0 1 1 i 1 2 i º»
©12 i
0 ¹
b) ª
« 0 1 1 i º»
© sen u
cos u 0¹
ª
2
cos
sen u 0º es invertible y enu
30. Demuestre que para todo número real θ la matriz ª
º
ª« 0
cuentre su inversa.
0
1º»
© 2 0 0¹
31. Calcule la inversa de A 5 ªª 0 3 0 ºº .
ª« 0 0 4 º»
32. Una matriz cuadrada A 5 (aij) se llama diagonal si todos sus elementos fuera de la diagonal principal son cero. Esto es, aij 5 0 si i Z j (la matriz del problema 2.4.31 es diagonal).
Demuestre que una matriz diagonal es invertible si y sólo si cada uno de los elementos de
la diagonal es diferente de cero.
Matriz
diagonal
33. Sea
© a11
ª 0
A5ª
ª
ª
« 0
0
a22
0
0¹
0º
º
º
º
ann »
Una matriz diagonal tal que sus componentes en la diagonal principal son todas diferentes de cero. Calcule A21.
©3
1 22 ¹
ª
º
34. Calcule la inversa de A 5 ª 0 22
1º .
ª0
0
4 º»
«
©4
0 0¹
ª
º
0 0 º no es invertible.
35. Demuestre que la matriz A 5 ª 3
ª« 2 21 3 º»
*36. Una matriz cuadrada se llama triangular superior (inferior) si todos sus elementos abajo
(arriba) de la diagonal principal son cero (la matriz en el problema 2.4.34 es triangular superior y la matriz en el problema 2.4.35 es triangular inferior). Demuestre que una matriz
triangular superior o triangular inferior es invertible si y sólo si cada uno de los elementos
de la diagonal es diferente de cero.
37. Demuestre que la inversa de una matriz triangular superior invertible es triangular superior. [Sugerencia: Primero demuestre el resultado para una matriz de 3 3 3.]
Matriz triangular
superior
Matriz triangular
inferior
120
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
En los problemas 38 a 41 se da una matriz. En cada caso demuestre que la matriz no es invertible encontrando un vector x diferente de cero tal que Ax 5 0.
© 2 21¹
38. ª
2 º»
« 24
© 3
5¹
39. ª
º
« 26 210 »
© 7 221
9¹
ª
º
3º
40. ª 9 227
ª 28
24 28 º»
«
© 1 21
3¹
ª
4 22 º
41. ª 0
º
ª« 2 26
8 º»
42. Sean A, B, F y M matrices invertibles de m 3 n. Si M 5 I 1 F(λI 2 AF)21B
y AF 5 A 1 BF.
Demuestre que M21 5 B21 (λI 2 AF) (λI 2 A)21B.
43. Sean A, B, C, D, F y N matrices invertibles de m 3 n. Si N 5 D 1 CF(λI 2 AF)21B,
M21 5 B21 (λI 2 AF) (λI 2 A)21B, CF 5 C 1 DF y AF 5 A 1 BF.
Demuestre que NM21 5 D 1 C(λI 2 A)21B.
44. Una fábrica de muebles de calidad tiene dos divisiones: un taller de máquinas herramienta donde se fabrican las partes de los muebles, y una división de ensamble y terminado
en la que se unen las partes para obtener el producto final. Suponga que se tienen 12
empleados en el taller y 20 en la división y que cada empleado trabaja 8 horas. Suponga
también que se producen únicamente dos artículos: sillas y mesas. Una silla requiere 384
17
240
horas de maquinado y 480
17 horas de ensamble y terminado. Una mesa requiere 17 horas
de maquinado y 640
horas de ensamble y terminado. Suponiendo que se tiene una deman17
da ilimitada de estos productos y que el fabricante desea mantener ocupados a todos sus
empleados, ¿cuántas sillas y cuántas mesas puede producir esta fábrica al día?
45. La alacena de ingredientes mágicos de una hechicera contiene 10 onzas de tréboles de
cuatro hojas molidos y 14 onzas de raíz de mandrágora en polvo. La alacena se resurte
en forma automática siempre y cuando ella termine con todo lo que tiene. Una poción
2
1
de amor requiere 13
onzas de tréboles y 2 13 onzas de mandrágora. Una receta de un co5
nocido tratamiento para el resfriado común requiere 5 13 onzas de tréboles y 10 10
onzas
13
de mandrágora. ¿Qué cantidad de la poción de amor y del remedio para resfriado debe
combinar la hechicera para usar toda la reserva en su alacena?
46. Un granjero nutre a su ganado con una mezcla de dos tipos de alimento. Una unidad estándar del alimento A proporciona a un novillo 10% del requerimiento diario de proteína
y 15% del de carbohidratos. Si el granjero quiere alimentar a su ganado con 100% de los
requerimientos mínimos diarios de proteínas y carbohidratos, ¿cuántas unidades de cada
tipo de alimento debe recibir un novillo al día?
47. Una versión muy simplificada de una tabla de insumo-producto para la economía de
Israel en 1958 divide dicha economía en tres sectores —agricultura, manufactura y energía— con los siguientes resultados.8
Agricultura
Manufactura
Energía
Agricultura
0.293
0
0
Manufactura
0.014
0.207
0.017
Energía
0.044
0.010
0.216
a) ¿Cuántas unidades de producción agrícola se requieren para obtener una unidad de
producto agrícola?
8
Wassily Leontief, Input-output Economics (Nueva York: Oxford University Press, 1966), 54-57.
2.4
Inversa de una matriz cuadrada
b) ¿Cuántas unidades de producción agrícola se requieren para obtener 200 000 unidades
de productos de esta naturaleza?
c) ¿Cuántas unidades de producción agrícola se requieren para obtener 50 000 unidades de
energía?
d) ¿Cuántas unidades de energía se requieren para obtener 50 000 unidades de productos
agrícolas?
48. Si se continúa con el problema 47, las exportaciones (en miles de libras israelíes) en 1958
fueron las siguientes:
Agricultura
13 213
Manufactura
17 597
Energía
1 786
a) Calcule la matriz tecnológica y la de Leontief.
b) Determine el valor en libras israelíes de los productos agrícolas, la energía y los artículos
manufacturados necesarios para hacer funcionar este modelo y exportar el valor establecido de cada producto.
En los problemas 49 a 56 calcule la forma escalonada por renglones de la matriz dada y utilícela
para determinar en forma directa si es invertible.
49. La matriz del problema 4.
50. La matriz del problema 1.
51. La matriz del problema 5.
52. La matriz del problema 10.
53. La matriz del problema 13.
54. La matriz del problema 16.
55. La matriz del problema 18.
56. La matriz del problema 19.
⎛ a11
57. Sea A 5 ⎜
⎝ a21
a12 ⎞
⎟ y suponga que a11a22 2 a12a21 Z 0. Derive la fórmula (2.4.12) mediante
a22 ⎠
⎛ a11 a12 | 1 0 ⎞
reducción por renglones de la matriz aumentada ⎜
⎟.
⎝ a21 a22 | 0 1 ⎠
58. Demuestre los incisos i), ii) y iv) del teorema 2.4.6.
⎛I
59. Calcule la inversa de ⎜
⎝O
A⎞
donde A es una matriz cuadrada. [Sugerencia: Revise la mulI ⎟⎠
tiplicación de matrices por bloques en la página 70.]9
⎛ A11
60. Considere que A11 y A22 son invertibles y encuentre la inversa de ⎜
⎝ A21
61. Si A y B son matrices invertibles, resuelva para X:
0 ⎞
⎟.
A22 ⎠
a) BXA 5 B
b) A21X 5 A
9
David Carlson presentó este problema y el siguiente en su artículo “Teaching Linear Álgebra: Must the Fog Always
Roll in?” En The Collage Mathematics Journal, 24(1), enero de 1993, 29-40.
121
122
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
De los problemas 62 al 65 utilice la calculadora para calcular la inversa de la matriz dada.
© 1.4 4.3 2.7 ¹
ª
º
62. ª 24.5 3.3 5.1º
ª« 2.5 1.4 0.3 º»
© 20.03
0.21
ª 20.27
0.79
64. ª
ª 0.33
0.02
ª
« 0.44 20.68
© 20 37 11 ¹
63. ªª 26 49 10 ºº
ª« 57 98 36 º»
© 1.58
0.21
2.58 20.43 20.54 ¹
ª
º
0.30 º
ª 20.80 21.16 20.66 21.79
65. ª 0.69 21.14
0.18
0.84 20.60 º
ª
º
0.10 20.08 20.88
0.48 º
ª 0.83
ª
º
0.72 21.93
0.10
0.73 »
« 20.24
0.46 20.33 ¹
0.16
0.22 º
º
0
20.88 º
º
0.37
0.79»
66. Demuestre que la inversa de
©3
ª0
ª
ª0
ª
«0
5
8
0
0
17
4¹
13 22 º
º
5 24 º
º
0 27 »
tiene ceros debajo de la diagonal.
67. Haga lo mismo para la matriz
© 23.1 242.1 263.7 219.4 23.8¹
ª 0 214.5
36.2 215.9 61.3º
ª
º
ª 0
0
237.2
64.8 23.5º
ª
º
0
0
91.2 13.8 º
ª 0
ª« 0
0
0
0
46.9º»
68. Las matrices en los problemas 66 y 67 se llaman triangulares superiores. Haciendo uso de
los resultados de dichos problemas, obtenga una conclusión sobre la inversa de una matriz
triangular superior.
EJERCICIOS
CON
MATLAB 2.4
Información de MATLAB. El comando de MATLAB eye(n) forma la matriz identidad de
n 3 n (doc eye). El comando de MATLAB size(A) reporta el número de renglones y
columnas de la matriz A (doc size).
©1
2 3¹
1. a) Para A 5 ª 2
5 4 º , forme R5[A eye(size(A))].
ª
º
ª« 1 21 10 º»
iii) Encuentre la forma escalonada reducida por renglones de R. Utilice la notación
“:” para asignar el nombre de la variable S a la matriz que consiste en las tres últimas columnas de la forma escalonada reducida por renglones de R.
2.4
Inversa de una matriz cuadrada
iii) Encuentre SA y AS. Describa la relación entre $ y 6.
iii) Compare S con inv(A) (doc inv).
b) Repita las instrucciones anteriores para A52*rand(5)21. (Utilice R5[A eye
(size(A))] y haga S igual a las cinco últimas columnas de la forma escalonada
reducida por renglones.)
2. Considere las matrices
iii)
© 2 7 5¹
1ª
0 9 8º
º
13 ªª
« 7 4 0º»
©1
ª5
iii) ª
ª7
ª
«0
4 22 1 ¹
1
9 7º
º
4 10 4 º
º
7 27 7 »
©1
2
3
4
5¹
ª 0 21
2 21
2º
º
21 ª
ª1
iv)
0
0
2 211 º
56 ª
º
1 21
1
1º
ª1
ª« 0
0
0
0
4 º»
© 2 24 5¹
ii) ª 0
0 8º
ª
º
ª« 7 214 0º»
©1
ª5
iv) ª
ª7
ª
«0
4 6 1¹
1 9 7º
º
4 8 4º
º
7 5 7»
©1
7
5¹
2 21
ª 0 21
2 23
2º
ª
º
vi) ª 1
0
3
1 21 º
ª
º
1
1
4
1º
ª1
ª« 0
0
0
0
4 º»
Para cada matriz A:
a) Use el comando rref para probar si es invertible y encuentre inv(A).
b) Si A no es invertible, ponga atención en los mensajes de MATLAB cuando dé inv(A).
c) Si A es invertible, verifique que inv(A) da la inversa. Seleccione un vector aleatorio b
para el lado derecho, muestre que el sistema [A b] tiene una solución única usando
el comando rref, asigne la solución a la variable x y compare x con y5inv(A)*b
(encuentre x2y). Repita esto para otro vector b.
3. a) Sea A5 round(10*(2*rand(5)21)). Sea B5A pero modifique uno de los renglones de B a B(3,:)53*B(1,:)15*B(2,:). Muestre que B no es invertible.
b) Sea B5A y cambie el renglón que quiera por una combinación lineal de otros renglones
de B. Muestre que B no es invertible.
c) (Lápiz y papel) Considerando el proceso de reducción a la forma escalonada reducida
por renglones, demuestre que una matriz B no es invertible si un renglón es una combinación lineal de otros renglones.
4. Sea A5round(10*(2*rand(7)21)).
Sea B 5 A pero B(:,3) 5 2*B(:,1) 2 B(:,2).
Sea C 5 A pero C(:,4) 5 C(:,1) 1 C(:,2)2C(:,3) y C(:,6)5 3*C(:,2).
Sea D 5 A pero D(:,2) 5 3*D(:,1), D(:,4) 5 2*D(:,1)2D(:,2)14*D(:,3),
D(:,5) 5 D(:,2)2 5*D(:,3).
a) Encuentre rref de B, C y D. ¿Qué puede concluir acerca de la invertibilidad de una
matriz en la que algunas columnas son combinaciones lineales de otras columnas?
b) Pruebe su conclusión con otra matriz aleatoria generada E y modificada cambiando
algunas columnas a una combinación lineal de otras.
123
124
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
c) Para B, C, D y E, busque patrones en los números de rref que reflejen los coeficientes
de las combinaciones lineales. Describa dichos patrones.
d) ¿De qué forma se relaciona este problema con el problema 5 de MATLAB 2.3?
5. Tipos especiales de matrices
a) Genere cinco matrices aleatorias triangulares superiores con elementos enteros entre
210 y 10. Utilice el comando triu. Para dos de las matrices generadas cambie un
elemento de la diagonal a 0 (por ejemplo, si la matriz se llama A, modifíquela con el
comando A(2,2)50).
iii) Pruebe si cada una es invertible. Describa una conclusión que relacione los términos de la diagonal de la matriz triangular superior con la propiedad de ser o no
invertible. Pruebe su conclusión con tres o más matrices triangulares superiores.
iii) Para cada matriz invertible encontrada en i) encuentre la inversa utilizando el comando inv. ¿Cuál es su conclusión acerca de la forma de la inversa de una matriz triangular superior? ¿Cómo son los elementos de la diagonal de la inversa en
relación con los elementos de la diagonal de la matriz original? ¿De qué forma se
relaciona esta observación con i)?
iii) (Lápiz y papel) Suponga que A es una matriz triangular superior de 3 3 3
©a b
ª0 d
ª
ª« 0 0
c¹
eº.
º
f º»
Describa los pasos necesarios para reducir la matriz aumentada [A I ] (I es la matriz identidad) a la forma escalonada reducida por renglones y utilice la descripción
para verificar las conclusiones sobre las inversas de matrices triangulares superiores
a las que llegó en i) y ii).
b) Pruebe si las siguientes matrices y otras con el mismo patrón general son o no invertibles. Describa sus resultados:
© 1 2 3¹
ª 4 5 6º
ª
º
ª« 7 8 9º»
© 1 2 3 4¹
ª 5 6 7 8º
ª
º
ª 9 10 11 122 º
ª
º
« 13 14 15 16 »
c) En el problema 11 de MATLAB 1.3 se aseguró que el sistema obtenido al ajustar un
polinomio de grado n a n 1 1 puntos con coordenadas distintas llevara a una solución
única. ¿Qué indica este hecho acerca de la matriz de coeficientes? Pruebe su conclusión:
primero dé un vector x con coordenadas distintas y encuentre V 5 vander(x); después pruebe V. Repita el mismo procedimiento para otros tres vectores x.
6. Considere las siguientes matrices.
©1
2
3
4
5¹
ª 0 21
2 21
2º
ª
º
A1 5 ª 1
0
0
2 21 º
ª
º
1 21
1
1º
ª1
ª« 0
0
0
0
4 º»
©1
2 21
7
5¹
ª 0 21
2 23
2º
ª
º
A2 5 ª 1
0
3
1 21 º
ª
º
1
1
4
1º
ª1
ª« 0
0
0
0
4 º»
2.4
⎛3
⎜4
⎜
A3 5 ⎜ 2
⎜
⎜5
⎜⎝ 0
9 5 5
1⎞
9 5 3
2⎟
⎟
1 3 1
3⎟
⎟
9 10 9
4⎟
0 0 0 25 ⎟⎠
⎛ 2 24
⎜0
0
⎜
A5 5 ⎜ 7 214
⎜
⎜ 7 214
⎜⎝ 9 218
4
5
8
0
1
Inversa de una matriz cuadrada
⎛ 1
2 23
4
5⎞
⎜ 22 25
8 28 29 ⎟
⎜
⎟
A4 5 ⎜ 1
2 22
7
9⎟
⎜
⎟
1
0
6 12 ⎟
⎜ 1
4 26
8 11⎟⎠
⎝⎜ 2
5 21⎞
1 29 ⎟
⎟
7 22 ⎟
⎟
4 11⎟
7 14 ⎟⎠
a) Haciendo uso de comando rref, pruebe si las matrices A1 a A5 son o no invertibles.
Pruebe la invertibilidad de A1*A2, A1*A3, A1*A4, A1*A5, A2*A3, A2*A4, A2*A5,
A3*A4, A3*A5 y A4*A5. Obtenga una conclusión sobre la relación entre la invertibilidad de dos matrices y la invertibilidad de su producto. Explique la forma en la cual la
evidencia soporta su conclusión.
b) Para cada par de matrices A y B del problema anterior tales que AB es invertible, encuentre
inv(A*B)2inv(A)*inv(B)
e
inv(A*B)2inv(B)*inv(A
Obtenga una fórmula para (AB)21 en términos de A21 y B21. Explique.
7. Perturbaciones: matrices cercanas a una matriz no invertible
Introduzca la matriz
⎛ 1 2 3⎞
A 5 ⎜ 4 5 6⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 7 8 9⎟⎠
Verifique que A no es invertible. En lo que sigue A se cambia a una matriz invertible C que
es cercana a A, modificando uno de los elementos de A:
⎛1 2
3
⎜
C5 4 5
6
⎜
⎜⎝ 7 8 9 1
⎞
⎟
⎟
f ⎟⎠
donde f es un número pequeño.
Antes de continuar, dé el comando format short e. Este comando hará que los
números aparezcan en notación científica. En MATLAB, por ejemplo, 1.e25 representa
1025.
a) Introduzca
f51.e25; C5A; C(3,3)5A(3,3)1f;
Verifique que C es invertible y encuentre inv(C).
b) Repita para f51.e27 y f51.e210.
c) Comente acerca del tamaño de los elementos de inv(C) (realizando una comparación
con el tamaño de los elementos de C ) conforme f se hace pequeño, es decir, conforme C
se acerca más a no ser invertible.
125
126
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
d) Se investigará la exactitud de las soluciones a los sistemas en los que la matriz de coeficientes es cercana a ser invertible. Observe que si
⎛1 2
3
C 5⎜4 5
6
⎜
⎜⎝ 7 8 9 1
⎞
⎟
⎟
f ⎟⎠
y
⎛ 6
b 5 ⎜ 15
⎜
⎜⎝ 24 1
⎞
⎟
⎟
f ⎟⎠
⎛ 1⎞
entonces Cx5b, donde x 5 ⎜ 1⎟ ; es decir, x es la solución exacta. Introduzca x5[1;1;1].
⎜ ⎟
⎜⎝ 1⎟⎠
Para cada f utilizada en a) y b), forme C y b y resuelva el sistema Cy5b haciendo uso de
inv(C) (dando el nombre de y a la solución). Encuentre z5x2y. ¿Qué tan cercana es
la solución calculada y a la solución exacta x? ¿Cómo cambia la exactitud conforme f se
hace más pequeña, es decir, conforme C se acerca a no ser invertible?
8. Este problema se refiere al modelo de insumo-producto de Leontief. Resuelva los problemas usando (I 2A)21, donde A es la matriz tecnológica que describe las demandas
internas. Interprete sus resultados. [Sugerencia de MATLAB: La matriz I de n 3 n se puede
generar con eye(n).]
a) El problema 45 de esta sección.
b) El problema 9b) de la sección de MATLAB 1.3.
Utilice format long si desea más dígitos en las respuestas.
9. Criptografía
Uno de los procedimientos que se utilizan para encriptar un mensaje secreto es hacer uso
de una determinada matriz cuadrada cuyos elementos son enteros y cuya matriz inversa
también contiene elementos enteros. Se recibe un mensaje, se asigna un número a cada letra
(por ejemplo A 5 1, B 5 2, etc., y espacio 5 27), se arreglan los números en una matriz de
izquierda a derecha en cada renglón, donde el número de elementos en el renglón es igual
al tamaño de la matriz de código, se multiplica esta matriz por la matriz de código por la
derecha, se transcribe el mensaje a una cadena de números (que se lee de izquierda a derecha a lo largo de cada renglón) y se manda el mensaje.
El destinatario del mensaje conoce la matriz de código. Él o ella reacomodan el mensaje encriptado en una matriz de izquierda a derecha en cada renglón, en donde el número
de elementos en un renglón coincide con el tamaño de la matriz de código, multiplica por
la derecha por el inverso de la matriz de código y puede leer el mensaje decodificado (de
izquierda a derecha en cada renglón).
a) (Lápiz y papel ) Si se arregla el mensaje en una matriz realizando una lectura de izquierda a derecha de manera que el número de elementos en un renglón coincida con el
tamaño de la matriz de código, ¿por qué debe multiplicarse por la derecha? ¿Por qué al
multiplicar por la inversa se decodifica el mensaje (es decir, se deshace el encriptado)?
b) Usted ha recibido el siguiente mensaje que fue encriptado usando la matriz dada A.
Decodifíquelo (suponga que A 5 1, B 5 2, y así sucesivamente, y espacio 5 27).
⎛ 1
2 23
4
5⎞
⎜ 22 25
8 28 29 ⎟
⎜
⎟
A5⎜ 1
2 22
7
9⎟
⎜
⎟
1
0
6 12 ⎟
⎜ 1
⎜⎝ 2
4 26
8 11⎟⎠
2.5
Transpuesta de una matriz
Mensaje. 47, 49, 219, 257, 487, 10, 29, 63, 137, 236, 79, 142, 2184, 372, 536, 59, 70, 240, 332, 588
[Sugerencia: El primer renglón de la matriz que necesita construir es 47
Ahora continúe con el segundo reglón.]
49
219
257
487.
2.5 Transpuesta de una matriz
En correspondencia a toda matriz existe otra que, como se verá en el capítulo 3, tiene propiedades muy similares a las de la matriz original.
D
Definición 2.5.1
Transpuesta
Sea A 5 (aij ) una matriz de m 3 n. Entonces la transpuesta de A, que se escribe A^, es
la matriz de n 3 m que se obtiene al intercambiar los renglones por las columnas de A.
De manera breve, se puede escribir A^ 5 (aji ). En otras palabras
⎛ a11
⎜
a21
Si A 5 ⎜
⎜
⎜
⎝ am1
a12
a22
am 2
a1n ⎞
⎟
a2 n ⎟
, entonces A^ 5
⎟
⎟
amn ⎠
⎛ a11
⎜
⎜ a12
⎜
⎜
⎝ a1n
a21
a22
a2 n
am1 ⎞
⎟
am 2 ⎟
⎟
⎟
anm ⎠
(2.5.1)
Simplemente se coloca el renglón i de A como la columna i de A^ y la columna j de A
como el renglón j de A^.
EJEMPLO 2 .5 .1
Obtención de las transpuestas de tres matrices
Encuentre las transpuestas de las matrices
⎛ 2 3⎞
A5⎜
⎝ 1 4 ⎟⎠
Solución
⎛ 2 3 1⎞
B5⎜
⎝ 21 4 6 ⎟⎠
Al intercambiar los renglones y las columnas de cada matriz se obtiene
⎛ 2 1⎞
A 5⎜
⎝ 3 4 ⎟⎠
^
⎛1
2 26 ⎞
⎜ 2 23
4⎟
⎟
C 5⎜
⎜0
1
2⎟
⎜
⎟
5⎠
⎝ 2 21
⎛ 2 21 ⎞
4⎟
B 5 ⎜⎜ 3
⎟
⎜⎝ 1
6 ⎟⎠
^
⎛ 1
2 0
2⎞
⎜
C 5 ⎜ 2 23 1 21 ⎟⎟
⎜⎝ 26
4 2
5⎟⎠
^
Observe, por ejemplo, que 4 es la componente en el renglón 2 y la columna 3 de C mientras que
4 es la componente en el renglón 3 y la columnas 2 de C ^. Esto significa que el elemento 2,3 de
C es el elemento 3,2 de C ^.
127
128
CAPÍTULO 2
T
Vectores y matrices
Teorema 2.5.1
Suponga que A 5 (aij) es una matriz de n 3 m y B(bij) es una matriz de m 3 p. Entonces
iii) (A^)^ 5 A.
^
(2.5.2)
^
^
iii) (AB) 5 B A .
(2.5.3)
^
^
^
iii) Si A y B son de n 3 m, entonces (A 1 B) 5 A 1 B .
^
^ 21
iiv) Si A es invertible, entonces A es invertible y (A )
(2.5.4)
21 ^
5 (A ) .
(2.5.5)
Demostración
iii) Esto sigue directamente de la definición de la transpuesta.
iii) Primero, se observa que AB es una matriz de n 3 p, de manera que (AB)^ es de p 3 n.
También B^ es de p 3 m y A^ es de m 3 n, de manera que B^A^ es de p 3 n. De esta forma, ambas matrices en la ecuación (2.5.3) tienen el mismo tamaño. Ahora, el elemento ij
m
de AB es
∑ aik bkj , y éste es el elemento ji de (AB)^. Sean C 5 B^ y D 5 A^. Entonces
k5 1
el elemento ij, cij, de C es bji y el elemento ij, dij, de D es aji. Así, el elemento ji de CD 5
elemento ji de B^A^ 5
m
m
m
k5 1
k5 1
k5 1
∑ c jk d ki 5 ∑ bkj aik 5 ∑ aik bkj 5 elemento ji de (AB)^. Lo
dicho completa la demostración de la parte ii).
iii) Esta parte se deja como ejercicio (vea el problema 2.5.17).
iiv) Sea A215 B. Entonces AB 5 BA 5 I de manera que, del inciso ii), (AB)^ 5 B^A^
5 I ^ 5 I y (BA)^ 5 A^B^ 5 I. Por lo tanto, A^ es invertible y B^ es el inverso de
A^, es decir, (A^)21 5 B^ 5 (A21)^.
La transpuesta juega un papel de suma importancia en la teoría de matrices. En capítulos
posteriores se verá que A y A^ tienen muchas propiedades en común. Como las columnas de
A^ son renglones de A se podrán establecer hechos sobre la transpuesta para concluir que casi
todo lo que es cierto para los renglones de una matriz se cumple para sus columnas.
La siguiente definición es fundamental en la teoría de matrices.
D
Definición 2.5.2
Matriz simétrica
La matriz (cuadrada) A de n 3 n se denomina simétrica si A^ 5 A. Es decir, las columnas de A son también los renglones de A.
EJ EM PLO 2 .5 .2
Cuatro matrices simétricas
Las siguientes cuatro matrices son simétricas:
I
© 1 2¹
A5ª
« 2 3º»
© 1 24 2 ¹
B 5 ª 24
7 5º
ª
º
ª« 2
5 0 º»
© 21
ª 2
C 5ª
ª 4
ª
« 6
6¹
5º
º
3 8
0º
º
5 0 24 »
2 4
7 3
En los capítulos 6 y 8 se verá la importancia de las matrices simétricas reales.
2.5
Transpuesta de una matriz
129
Otra forma de escribir el producto escalar
© a1 ¹
© b1 ¹
ªa º
ªb º
Sean a 5 ª 2 º y b 5 ª 2 º dos vectores columna con n componentes. Entonces, de la ecuación
ª º
ª º
ª º
ª º
« an »
« bn »
(2.2.1) en la página 63,
a ? b 5 a1b2 1 a2b2 1 . . . 1 anbn
Ahora bien, a es una matriz de n 3 1 de manera que a^ es una matriz de 1 3 n y
a^ 5 (a1, a2 . . . an)
Entonces a^b es una matriz de 1 3 1 (o escalar), y por la definición de la multiplicación de
matriz
© b1 ¹
ªb º
a^b 5 (a1a2 . . . an) ª 2 º 5 a1b2 1 a2b2 1 . . . 1 anbn
ª º
ª º
« bn »
De ese modo, si a y b son vectores columna de n componentes, entonces
a ? b 5 a^b
(2.5.6)
La fórmula (2.5.6) será de utilidad más adelante en este libro.
R
Resumen 2.5
• Si A 5 (aij), entonces la transpuesta de A, denotada por A^, está dada por A^ 5 (aij).
(p. 127)
Esto es, A^ se obtiene intercambiando los renglones y las columnas de A.
• Propiedades de la transpuesta
Si todas las sumas y productos están definidos y A es invertible, entonces
(A^)^ 5 A
(AB)^ 5 B^A^
(p. 128)
(A 1 B)^ 5 A^ 1 B^.
si A es invertible, entonces (A21)^ 5 (A21)^
• Una matriz cuadrada A es simétrica si A^ 5 A.
(p. 128)
• El producto interno ente dos vectores columna a y b se puede escribir como
a ? b 5 a^b
donde a^ es un vector renglón, y ahora la operación a^b es una multiplicación
entre matrices.
130
CAPÍTULO 2
A
Vectores y matrices
A U T O E V A L U A C I Ó N 2.5
III) Si una matriz A es de 3 3 4, entonces A^ es una matriz de _______.
a) 4 3 3
b) 3 3 4
c) 3 3 3
d) 4 3 4
III) Falso-verdadero: A^ está definida sólo si A es una matriz cuadrada.
III) Falso-verdadero: Si A es una matriz de n 3 n, entonces la diagonal principal de A^
es la misma que la diagonal principal de A.
IV) Falso-verdadero: [(A^)^]^ 5 A^
© 1 2 3¹
IV) La transpuesta de ª
es _______.
« 21 0 0º»
© 21 1¹
a) ª 2 0º
ª
º
ª« 3 0º»
© 1 21¹
b) ª 2
0º
ª
º
ª« 3
0º»
⎛ 1 0⎞
c) ⎜ 21 3⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 2 0⎟⎠
© 21 22 23¹
d) ª
0
0º»
« 1
Respuestas a la autoevaluación
I) a)
II) F )
III) V)
IV) V)
V) b)
MANEJO DE LA CALCULADORA 2.5
Para obtener A^ una vez que se tiene a la matriz en la pila se oprime la siguiente secuencia de teclas. [Observación: Se considera que se está trabajando en modo RPN y con la
bandera (flag) 117 en la posición SOFT.]
W+206+)#20,
⎛ 23 5⎞
Por ejemplo, obtendremos la matriz transpuesta de A 5 ⎜
⎟
⎝ 6 7⎠
W¢W¢4YiW¢Y6
2.5
Transpuesta de una matriz
W+206+)#20,
Problemas 2.5
En los problemas 1 a 16 encuentre la transpuesta de la matriz dada.
© 4 8¹
1. ª
« 7 5 º»
© 21 4 ¹
2. ª
« 6 5º»
© 3 0¹
3. ª
« 1 2»º»
©3
5¹
4. ª
« 2 21º»
© 2 3¹
5. ª 21 2 º
ª
º
ª« 1 4 º»
© 2 21 0¹
6. ª
5 6 º»
«1
© 1 2 3¹
7. ª 0 4 5 º
ª
º
« 0 0 6»
© 1 2 3¹
8. ª 21 0 4 º
ª
º
ª« 1 5 5º»
©1
2
3¹
ª
9. 2
4 25º
ª
º
ª« 3 25
7º»
©a b
13. ªª d e
ª« g h
c¹
fº
º
j ȼ
© 1 22 23¹
10. ª 22
2
7º
ª
º
ª 23
5
4 º»
«
© 0 0 0¹
14. ª
« 0 0 0º»
© 1 0 1 0¹
11. ª
« 0 1 0 1º»
15. (1
22
25)
⎛ 2 21⎞
⎜2
4⎟
⎟
12. ⎜
⎜1
6⎟
⎜
⎟
5⎠
⎝1
© 3 0 0¹
16. ª 0 2 0 º
ª
º
« 0 0 1»
17. Sean A y B matrices de n 3 m. Demuestre, usando la definición 2.5.1, que (A 1 B)^ 5
A ^ 1 B ^.
18. Una matriz A de n 3 n es normal si A A^ 5 A^A. Pruebe que la siguiente matriz es normal.
© 3 21¹
ª
º
3»
«1
©2
a
ª
19. Encuentre los números a y b tales que ª 5 26
ª« b
2
3¹
2 º es simétrica.
º
4 º»
20. Si A y B son matrices simétricas de n 3 n, demuestre que A 1 B es simétrica.
21. Si A y B son matrices simétricas de n 3 n, demuestre que (AB)^ 5 BA.
131
132
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
22. Demuestre que para cualquier matriz A la matriz producto AA^ está definida y es una matriz simétrica.
23. Demuestre que toda matriz diagonal es simétrica (vea el problema 2.4.32, página 119).
24. Demuestre que la transpuesta de toda matriz diagonal superior es triangular inferior (vea
el problema 2.4.36, página 119).
Matriz
antisimétrica
25. Una matriz cuadrada se denomina antisimétrica si A^ 5 2A (es decir aij 5 2aji ). ¿Cuáles
de las siguientes matrices son antisimétricas?
a)
© 1 26 ¹
ª« 6
0º»
© 0 26 ¹
b) ª
0º»
«6
© 2 22 22 ¹
2 22 º
c) ª 2
ª
º
ª« 2
2
2 º»
© 0
1 21¹
ª
0
2º
d) ª 21
º
ª« 1 22
0 º»
26. Sean A y B dos matrices antisimétricas de n 3 n. Demuestre que A 1 B es antisimétrica.
27. Si A es una matriz real antisimétrica, demuestre que toda componente en la diagonal
principal de A es cero.
28. Si A y B son matrices antisimétricas de n 3 n, demuestre que (AB)^ 5 BA de manera que
AB es simétrica si y sólo si A y B conmutan.
29. Sea A una matriz de n 3 n. Demuestre que la matriz 21 (A 1 A^) es simétrica.
30. Sea A una matriz de n 3 n. Demuestre que la matriz 21 (A 2 A^) es antisimétrica.
*31. Demuestre que cualquier matriz cuadrada se puede escribir de una forma única como la
suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.
© a11
*32. Sea A 5 ª
« a21
a12 ¹
º una matriz con elementos reales no negativos que tiene las propiedaa22 »
© a11 ¹ © a11 ¹
2
2
2
2
1 a12
5 1 y a12
1 a22
5 1 y ii) ª º ? ª º 5 0. Demuestre que A es
des siguientes: i) a11
« a12 » « a22 »
invertible y que A21 5 A^.
De los problemas 33 a 38 calcule (A^)21 y (A21)^ y demuestre que son iguales.
© 1 2¹
33. A5 ª
« 3 4 º»
© 2 0¹
34. ª
« 6 3 º»
© 2 1¹
35. A5 ª
« 3 2 º»
©3 2
1¹
ª
2º
36. A5 0 2
ª
º
ª« 0 0 21º»
© 1 1 1¹
37. A5 ª 0 2 3º
ª
º
ª« 5 5 1º»
© 9 0 12 ¹
ª
º
38. ª 0 2
0º
ª« 24 0 25 º»
De los problemas 39 a 41 utilice la calculadora para encontrar la operación indicada, con
© 0.53
© 2.76
0.86 20.43¹
0.72 20.20¹
© 1.40 21.20 0.48 ¹
ª
º
ª
º
A 5 ª 1.83
0.31
0.34 º , B 5 ª 1.34 20.06 20.12 º y C 5 ª 1.41
0.71 1.03 º .
ª
º
ª 22.25 21.30
º
ª 23.03
º
ª
º»
3.57
0.67
1.63
0.72
1.71
1.48
«
»
«
«
»
2.5
Transpuesta de una matriz
133
39. A^ 2 A.
40. (B^ 1 C)^.
41. B^B.
EJERCICIOS
CON
MATLAB 2.5
Información de MATLAB. En la mayoría de las aplicaciones, para encontrar la transpuesta de
A, A^, se da A'. Aquí ' es el apóstrofo. Si A tiene elementos complejos, A' ocasionará la transpuesta conjugada compleja; si desea encontrar la transpuesta de A (sin conjugación compleja),
utilice A.'
Para generar matrices aleatorias, consulte los problemas que aparecen en la sección Ejercicios con MATLAB 2.2.
1. Genere cuatro pares, A y B, de matrices aleatorias tales que AB esté definido. Elija algunas
matrices cuadradas y otras no cuadradas. Encuentre (AB)^2A^B^ y (AB)^2B^A^. Concluya una fórmula para (AB)^ en términos de las transpuestas de A y B.
2. Consulte el problema 2 de MATLAB 2.4. Para cada matriz presentada, verifique si A^ es
o no invertible y relacione este dato con la invertibilidad de A. Cuando tenga sentido para
la matriz, compare inv(A') con inv(A)'.
3. Genere cuatro matrices cuadradas aleatorias de diferentes tamaños.
a) Para cada matriz A, encuentre B5A'1 A. Describa los patrones observados en la forma
de estas matrices B.
b) Para cada matriz A, sea C5A'2 A. Describa los patrones observados en estas matrices C.
c) Genere cuatro matrices aleatorias de diferentes tamaños, algunas cuadradas y otras no
cuadradas. Para cada matriz F generada, encuentre G5F*F'. Describa los patrones
observados en la forma de estas matrices G.
d) (Lápiz y papel) Pruebe sus observaciones en los incisos a), b) y c) usando las propiedades de la transpuesta.
4. a) (Lápiz y papel) Si A es una matriz con elementos reales, explique las razones por las
cuales al resolver el sistema A^x 5 0 se obtienen todos los vectores reales x tales que x
es perpendicular a todas las columnas de A.
b) Para cada matriz A dada encuentre todos los vectores reales x tales que x es perpendicular a todas las columnas de A.
© 2
ª 0
ª
i) A 5 ª 1
ª
ª 21
ª« 1
0
2
1
1
1
1¹
1º
º
1º
º
1º
1º»
©2
ª0
ª
ii) A 5 ª 7
ª
ª7
ª« 9
4
5
8
0
1
5¹
7º
º
0º
º
4º
1 º»
5. Matrices ortogonales
Sea A52*rand(4)21 y sea Q5orth(A) (doc orth). Q es un ejemplo de matriz
ortogonal. Las matrices ortogonales tienen propiedades especiales que se explorarán en
este problema.
a) Genere un par de vectores aleatorios de 4 3 1, x y y. Calcule el producto escalar de x y
y, llámelo s. Calcule el producto escalar de Qx y Qy; llámelo r. Encuentre s 2 r y utilice
PROBLEMA PROYECTO
134
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
b)
c)
d)
e)
format short e para el despliegue en pantalla. Repita para otros tres pares de x y y.
¿Cuál es su conclusión al comparar el producto escalar de x y y con el producto escalar
de Qx y Qy?
Pruebe su conclusión del inciso a). Genere tres matrices ortogonales Q de diferentes
tamaños (usando el comando orth) y al menos dos pares de vectores x y y por cada
Q. Genere cuando menos una matriz compleja Q. Para cada Q y par x y y, compare el
producto escalar de Qx y Qy. Escriba una descripción de su proceso y sus respectivos
resultados.
Para cada Q generada demuestre que la longitud de cada columna de Q es igual a 1 y
que cualesquiera dos columnas diferentes de Q son perpendiculares entre sí (la longitud
de un vector está dada por la raíz cuadrada del producto escalar de un vector consigo
mismo: longitud 5sqrt(x’*x) puede utilizar el comando norm en MATLAB (doc
norm). Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a cero.
Para cada Q explore la relación entre Q,Q’ e inv(Q). Formule una conclusión sobre
esta relación. Describa su investigación y su proceso de pensamiento. Genere otras dos
matrices aleatorias ortogonales de tamaños más grandes y pruebe su conclusión.
(Lápiz y papel) Utilice la conclusión resultante del inciso d) (y otras propiedades conocidas) para probar la conclusión del inciso b).
Utilice la conclusión del inciso b) para probar la observación del inciso c). [Sugerencia: Dada la columna de Q seleccione un vector adecuado x tal que Qx sea igual a
la columna dada.]
2.6 Matrices elementales y matrices inversas
Considere que A es una matriz de m 3 n. Entonces, como se muestra a continuación, se pueden
realizar operaciones elementales con renglones en A multiplicando A por la izquierda por una
matriz adecuada. Recordando de la sección 1.2, las operaciones elementales con renglones son:
D
iii) Multiplicar el renglón i por un número c diferente de cero
Ri S cRi
iii) Sumar un múltiplo del renglón i al renglón j
Rj S Rj 1 cRi
iii) Permutar (intercambiar) los renglones i y j
Ri NRj
Definición 2.6.1
Matriz elemental
Matriz
elemental
Una matriz (cuadrada) E de n 3 n se denomina una matriz elemental si se puede obtener
a partir de la matriz identidad, In, de n 3 n mediante una sola operación elemental con
renglones.
Notación. Una matriz elemental se denota por E, o por cRi, Rj 1 cRi, o por Pij de acuerdo con la
forma en que se obtuvo de I. En este caso, Pij (la matriz de permutación) es la matriz obtenida
a partir del intercambio de los renglones de i y j de I.
EJ EM PLO 2 .6 .1
Tres matrices elementales
Obtenga tres matrices elementales de 3 3 3.
2.6
Matrices elementales y matrices inversas
© 1 0 0¹
© 1 0 0¹
R2 q 5 R2
q ª 0 5 0 º 5 5R2
iii) ª 0 1 0 º
ª
º
ª
º
« 0 0 1»
« 0 0 1»
Matriz obtenida
multiplicando el segundo
renglón de I por 5
© 1 0 0¹
© 1 0 0¹
R3 q R3 2 3 R1 ª
º
ª
º
qª 0 1 0 º 5 R3 2 3R1
iii) 0 1 0
ª
º
ª« 2 3 0 1 º»
« 0 0 1»
Matriz obtenida multiplicando
el primer renglón de I por 23 y
sumándolo al tercer renglón
© 1 0 0¹
© 1 0 0¹
R2 T R3
º
ª
q ª 0 0 1 º 5 P23
iii) 0 1 0
ª
º
ª
º
« 0 0 1»
« 0 1 0»
Matriz obtenida
permutando el segundo y
tercer renglones de I
La prueba del siguiente teorema se deja como ejercicio (vea los problemas 2.6.79 a 2.6.81).
T
Teorema 2 .6.1
Para realizar una operación elemental por renglón en una matriz A se multiplica A por
la izquierda por la matriz elemental adecuada.
EJEMPLO 2 .6 .2
Operaciones elementales mediante la multiplicación
por matrices elementales
⎛1 3
2
1⎞
⎜
3 25⎟ . Realice las siguientes operaciones elementales con los renglones de
Sea A 5 4 2
⎟
⎜
⎜⎝ 3 1 22
4 ⎟⎠
A multiplicando A por la izquierda por una matriz elemental adecuada.
iii) Multiplique el segundo renglón por 5.
iii) Multiplique el primer renglón por 23 y súmelo al tercer renglón.
iii) Permute el segundo y tercer renglones.
Solución Como A es una matriz de 3 3 4, cada matriz elemental E debe ser de 3 3 3,
ya que E debe ser cuadrada y multiplica a A por la izquierda. Se usan aquí los resultados del
ejemplo 2.6.1.
iii)
⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 3
2
1⎞ ⎛ 1 3
2
1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
(5R2)A 5 0 5 0 4 2
3 25 5 20 10 15 225⎟
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 3 1 22
4 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 1 22
4 ⎟⎠
⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 3
2
1⎞ ⎛ 1
3
2
1⎞
iii) (R3 2 3R1)A 5 ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ 4 2
3 25⎟ 5 ⎜ 4
2
3 25⎟
⎟
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎜⎝ 23 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 3 1 22
4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 28 28
1⎟⎠
iii)
⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 3
2
1⎞ ⎛ 1 3
2
1⎞
⎟
⎜
(P23)A 5 ⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 4 2
3 25 5 3 1 22
4⎟
⎟
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎜⎝ 0 1 0⎟⎠ ⎜⎝ 3 1 22
4 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 2
3 25⎟⎠
135
136
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Considere los siguientes tres productos, con c Z 0.
© 1 0 0¹ © 1 0 0¹ © 1 0 0¹
ª 0 c 0º ª 0 1 0º 5 ª 0 1 0º
º ª
c
ª
ºª
º
« 0 0 1 » ª« 0 0 1 º» « 0 0 1 »
(2.6.1)
⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞
⎜ 0 1 0⎟ ⎜ 0 1 0⎟ 5 ⎜ 0 1 0⎟
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜⎝ c 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 2c 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
(2.6.2)
⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞
⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 0 0 1⎟ 5 ⎜ 0 1 0⎟
⎟
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎜⎝ 0 1 0⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 0⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
(2.6.3)
Las ecuaciones (2.6.1), (2.6.2) y (2.6.3) indican que toda matriz elemental es invertible y
que su inversa es del mismo tipo (tabla 2.4). Estos datos se deducen a partir del teorema 2.6.1.
Es obvio que si se realizan las operaciones Rj S Rj 1 cRi seguida de Rj S Rj 2 cRi sobre la
matriz A, la matriz A no cambia. También Ri S cRi seguida de Ri S F Ri, y la permuta de los
mismos dos renglones dos veces deja la matriz A sin cambio. Se tiene
(cRi )21 5
1
Ri
c
(2.6.4)
(Rj 1 cRi )21 5 Rj 2 cRi
(2.6.5)
(Pij )21 5 Pij
(2.6.6)
La ecuación (2.6.6) indica que
Toda matriz de permutación elemental es su propia inversa.
Resumiendo los resultados:
Tabla 2.4 Matrices elementales y sus inversas
Matriz
elemental
tipo E
Multiplicación
Suma
Permutación
Efecto de
multiplicar A
por la izquierda
por E
Representación
simbólica de
las operaciones
elementales
Al multiplicar
por la izquierda,
E21 hace lo
siguiente
Multiplica el
renglón i de A por
cZ0
cRi
Multiplica el
renglón i de A
por
Multiplica el
renglón i de A
por c y lo suma al
renglón j
Permuta los
renglones i y j
de A
Representación
simbólica de
la operación
inversa
F
Ri
F
Rj 1 cRi
Multiplica el
renglón i de A por
2c y lo suma al
renglón j
Rj 2 cRi
Pij
Permuta los
renglones i y j
de A
Pij
2.6
T
Matrices elementales y matrices inversas
N
Teorema 2 .6.2
Toda matriz elemental es invertible. El inverso de una matriz elemental es una
matriz del mismo tipo.
T
Nota
El inverso de una matriz elemental se
puede encontrar por inspección. No es
necesario realizar cálculos.
Teorema 2.6.3
Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si es el producto de matrices elementales.
Demostración
Sea A 5 E1,E2, . . . , Em donde cada Ei es una matriz elemental. Por el teorema 2.6.2,
cada Ei es invertible. Más aún, por el teorema 2.4.3, página 104, A es invertible10 y
A21 5 E 21E 21 . . . E 21E 21
m
m 21
2
1
En forma inversa, suponga que A es invertible. De acuerdo con el teorema 2.4.6 (teorema
de resumen), A es equivalente por renglones a la matriz identidad, lo que significa que A
se puede reducir a I mediante un número finito de operaciones elementales. Para el teorema 2.6.1 cada operación de este tipo se logra multiplicando A por la izquierda por una
matriz elemental y, por consiguiente, existen matrices elementales E1, E2, . . . , Em tales que
Em,Em21, . . . , E2E1A 5 I
Así, del teorema 2.4.7 en la página 114,
Em,Em21, . . . , E2E1 5 A21
y como cada Ei, es invertible por el teorema 2.6.2,
A 5 (A21)21 5 (EmEm21 . . . E2E1)21 5 E121E221 . . . Em2121Em21
(2.6.7)
Como la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental, se ha escrito A como
el producto de matrices elementales y esto completa la prueba.
EJEMPL O 2 .6 .3
Cómo escribir una matriz invertible como el producto
de matrices elementales
©2 4
6¹
ª
º
6 º es invertible y escríbala como un producto de maDemuestre que la matriz A 5 ª 4 5
ª« 3 1 2 2 º»
trices elementales.
Solución Ya se ha trabajado con esta matriz, en el ejemplo 1.2.1 en la página 8. Para
resolver el problema se reduce A a I y se registran las operaciones elementales con renglones.
En el ejemplo 2.4.6 en la página 109 se redujo A a I haciendo uso de las siguientes operaciones:
1
2
R1
R1 2 2R2
R2 2 2R3
10
R2 2 4R1
R3 1 5R2
R3 2 3R1
2 13 R2
2R3
R11R3
137
Aquí se usó la generalización del teorema 2.4.3 para más de dos matrices. Vea, por ejemplo, el problema 2.4.23 en
la página 118.
138
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
A21 se obtuvo comenzando con I y aplicando estas nueve operaciones elementales. De este
modo, A21 es el producto de nueve matrices elementales:
©1 0
0¹ © 1 0 1¹ © 1 0
0 ¹ © 1 0 0 ¹ © 1 22 0 ¹
ª
º
ª
º
A21 5 ª 0 1 2 2 º ª 0 1 0 º ª 0 1
0º ª 0 1 0º ª 0
1 0º
ª
º
ª
ºª
º
ª« 0 0
1 º» « 0 0 1 » ª« 0 0 2 1º» « 0 5 1 » ª 0
º»
0
1
«
R1 1 R 3
R2 2 2 R 3
2 R3
R3 1 5 R 2
R2 2 2 R 2
©1
0 0 ¹ © 1 0 0 ¹ © 1 0 0 ¹ © 21 0 0 ¹
º
ª
ºª
ºª
ºª
3 ª 0 2 13 0 º ª 0 1 0 º ª 2 4 1 0 º ª 0 1 0 º
ª
º
ª0
0 1 º» ª« 2 3 0 1 º» ª« 0 0 1 º» « 0 0 1 »
«
R3 2 3 R1
213 R2
212 R1
R2 2 4 R 1
Por lo que A 5 (A21)21 5 producto de las inversas de las nueve matrices en orden opuesto:
©2 4
6¹ © 2 0 0 ¹ © 1 0 0 ¹ © 1 0 0 ¹ © 1
0 0¹ © 1 2 0¹
ª
º ª
ª
º
º
ª
º
ª
º
6 º 5 0 1 0 4 1 0 0 1 0 ª 0 23 0 º ª 0 1 0 º
ª4 5
ª
ºª
ºª
º
ª
º
ª« 3 1 2 2 º» « 0 0 1 » « 0 0 1 » « 3 0 1 » ª« 0
0 1 º» « 0 0 1 »
2 R1
R2 1 4 R1
R3 1 3 R1
2 3 R2
R1 1 2 R2
©1
0 0 ¹ © 1 0 0 ¹ © 1 0 21¹ © 1 0 0 ¹
ª
ºª
º
3ª0
1 0º ª 0 1 0º ª 0 1
0º ª 0 1 2º
ª
ºª
º
ª« 0 2 5 1 º» ª« 0 0 21 º» ª 0 0
« 0 0 1»
º
1
«
»
R3 2 5 R2
2 R3
R1 2 R3
R2 1 2 R3
Se puede hacer uso del teorema 2.6.3 para extender el teorema de resumen, cuya última versión
se presentó en la página 114.
T
Teorema 2 .6.4 Teorema de resumen (punto de vista 3)
Sea A una matriz de n 3 n. Entonces las siguientes siete afirmaciones son equivalentes.
Es decir, cada una implica a las otras seis (de manera que si una afirmación es cierta,
todas son ciertas, y si una es falsa, todas son falsas).
iii) A es invertible.
iii) La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0).
iii) El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada vector de dimensión n b.
iiv) A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n 3 n, In; es decir, la forma
escalonada reducida por renglones de A es In.
iiv) A se puede escribir como el producto de matrices elementales.
ivi) La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
vii) det A Z 0 (por ahora, det A está definido sólo si A es una matriz de 2 3 2).
Existe un resultado adicional que será útil en la sección 3.5. En primera instancia se necesita
una definición (dada antes en el problema 2.4.35, página 119).
2.6
D
Matrices elementales y matrices inversas
139
Definición 2.6.2
Matriz triangular superior y matriz triangular inferior
Una matriz cuadrada se denomina triangular superior (inferior) si todas sus componentes abajo (arriba) de la diagonal principal son cero.
EJEMPL O 2 .6 .4
Dos matrices triangulares superiores y dos matrices
triangulares inferiores
Las matrices U y V son triangulares superiores mientras que las matrices L y M
son triangulares inferiores:
© 2 23 5 ¹
U 5ª0
1 6º
ª
º
ª« 0
0 2 º»
© 0 0¹
L 5ª
« 5 1 º»
T
N
aij está debajo de la diagonal principal
si i . j.
©1
5¹
V 5ª
º
« 0 22 »
© 2
ª
25
M 5ª
ª 6
ª
ª« 3
0 0 0¹
º
4 0 0º
1 2 0º
º
0 1 5 º»
Teorema 2.6.5
Sea A una matriz cuadrada. Entonces A se puede escribir como un producto de matrices
elementales y una matriz triangular superior U. En el producto, las matrices elementales
se encuentran a la izquierda y la matriz triangular superior a la derecha.
Demostración
La eliminación gaussiana para resolver el sistema Ax 5 b da como resultado una matriz
triangular superior. Para que esto sea evidente, observe que la eliminación gaussiana
terminará cuando la matriz esté en la forma escalonada por renglones y la forma escalonada por renglones de una matriz cuadrada sea triangular superior. Se denota mediante
U a la forma escalonada por renglones de A. Entonces A se reduce a U a través de una
serie de operaciones elementales por renglón, cada una de las cuales se puede obtener
multiplicando por una matriz elemental. Así,
U 5 EmEm21 . . . E2E1A
y
A 5 E121E221 . . . Em2121Em21U
Como la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental se ha escrito A como
el producto de matrices elementales y U.
EJEMPL O 2 .6 .5
Escriba la matriz
Cómo escribir una matriz como el producto de matrices
elementales y una matriz triangular superior
© 3 6 9¹
A 5 ª 2 5 1º
ª
º
ª« 1 1 8 º»
como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior.
Nota
140
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Solución
Se reduce A por renglones para obtener la forma escalonada por renglones:
© 3 6 9¹
© 1 2 3¹
1
1 q 3 R1
ª 2 5 1º R
q ª 2 5 1º
ª
º
ª
º
ª« 1 1 8 º»
ª« 1 1 8º»
©1
©1 2
2
3¹
3¹
1R2 ª
R3 q R3 2
ª
º
q 0
1 25
q 0 1 25º 5 U
ª
º
ª
º
ª« 0 21
ª« 0 0
5º»
0º»
R2 q R2 2 2 R1
R3 q R3 2 R1
Después, al trabajar hacia atrás, se ve que
©1 2
3¹ © 1 0 0¹ © 1 0 0¹
U 5 ª 0 1 25º 5 ª 0 1 0º ª 0 1 0º
ª
º ª
ºª
º
ª« 0 0
0º» ª« 0 1 1º» ª« 21 0 1º»
R3 2
1R2
R3 q R3 2 R1
© 1 0 0¹ © 13 0 0¹ © 3 6 9¹
3ª 22 1 0º ª 0 1 0º ª 2 5 1º
ª
ºª
ºª
º
ª« 0 0 1º» ª« 1 0 1º» ª« 1 1 8 º»
R2 q R2 2 2 R1
R1 q 13 R1
A
y tomando las inversas de las cuatro matrices elementales se obtiene
© 3 6 9¹ © 3 0 0¹ © 1 0 0¹
A 5 ª 2 5 1 º 5 ª 0 1 0º ª 2 1 0º
ª
º ª
ºª
º
ª« 1 1 8 º» ª« 0 0 1º» ª« 0 0 1º»
R1 q 3R1
R2 q R2 2
1 2 R1
© 1 0 0¹ © 1
0 0¹ © 1 2
3¹
ª
º
ª
º
ª
3 0 1 0 0
1 0 0 1 25º
ª
ºª
ºª
º
ª« 1 0 1º» ª« 0 21 1º» ª« 0 0
0º»
R3 q R3 2
1R1
R
R3 q R3 2 R2
U
Resumen 2.6
• Una matriz elemental es una matriz cuadrada que se obtiene llevando a cabo exactamente una
operación con renglones sobre la matriz identidad. Los tres tipos de matrices elementales son:
cRi
se multiplica el renglón i de I por c: c Z 0.
Rj 1 cRi
se multiplica el renglón i de I por c y se suma al renglón j: c Z 0.
Pij
se permutan los renglones i y j.
(p. 134)
• Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si es el producto de matrices elementales.
(p. 137)
• Cualquier matriz cuadrada se puede escribir como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior.
(p. 139)
2.6
A
Matrices elementales y matrices inversas
A U T O E V A L U A C I Ó N 2.6
De las afirmaciones siguientes indique si son falsas o verdaderas:
III) El producto de dos matrices elementales es una matriz elemental.
II) El inverso de una matriz elemental es una matriz elemental.
III) Toda matriz se puede escribir como el producto de matrices elementales.
IV) Toda matriz cuadrada se puede escribir como el producto de matrices elementales.
IV) Toda matriz invertible se puede escribir como el producto de matrices elementales.
VI) Toda matriz cuadrada se puede escribir como el producto de matrices elementales
y una matriz triangular superior.
Elija la opción que represente la respuesta correcta.
© 1 0 0¹
VII) La inversa de ª 0 1 0 º es ___________.
º
ª
« 0 3 1»
©1
0 0¹
ª
º
1 0º
a) ª 0
ª« 0 23 1 º»
© 1 0 0¹
b) ª 0 1 0 º
ª
º
ª« 0 13 1 º»
© 1 23 0 ¹
c) ª 0
1 0º
ª
º
ª« 0
0 1 º»
© 1 0 0¹
d) ª 0 1 0 º
ª
º
« 0 3 1»
© 1 0 0¹
ª4
º
c) ª 0 1 0 º
ª« 0 0 1 º»
© 1 0 0¹
d) ª 0 1 0 º
ª
º
« 0 0 4»
© 1 0 0¹
VIII) La inversa de ª 0 1 0 º es ___________.
ª
º
« 0 0 4»
©1 0
0¹
ª
º
0º
a) ª 0 1
ª« 0 0 24 º»
© 1 0 0¹
b) ª 0 1 0 º
ª
º
ª« 0 0 14 º»
© 0 1 0¹
IX) La inversa de ª 1 0 0 º es ___________.
ª
º
« 0 0 1»
©0 1
0¹
ª
º
a) ª 1 0
0º
ª« 0 0 21º»
© 0 21
0¹
ª
º
b) ª 21
0
0º
ª 0
0 21º»
«
© 1 0 0¹
c) ª 0 0 1 º
ª
º
« 0 1 0»
© 0 1 0¹
d) ª 1 0 0 º
ª
º
« 0 0 1»
Respuestas a la autoevaluación
I) F
II) V
III) F
VII) a)
VIII) b)
IX) d)
IV) F
V) V
VI) V
141
142
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Problemas 2.6
De los problemas 1 a 17 determine cuáles matrices son matrices elementales.
© 2 0¹
1. ª
º
« 0 1»
©
¹
2. ª 1 0 º
« 0 1»
©
¹
3. ª 1 0 º
« 1 1»
©
¹
4. ª 1 3º
« 0 1»
© 0 1¹
5. ª
« 1 1º»
© 1 0¹
6. ª
« 0 2 º»
© 0 3¹
7. ª
« 2 0 º»
©
¹
8. ª 24 0 º
« 4 3»
© 0 1 0¹
9. ª 1 0 0 º
ª
º
« 0 0 1»
©1
0 0¹
ª
º
1 0º
11. ª 0
ª« 0 22 1 º»
© 0 0 1¹
10. ª 0 1 0 º
ª
º
« 0 0 1»
©1
0 2¹
ª
º
13. ª 0
1 0º
ª« 0 22 1 º»
©1
ª0
14. ª
ª0
ª« 0
0
1
0
1
0
0
1
0
0¹
0º
º
0º
1 º»
© 1 21
ª0
1
16. ª
ª0
0
ª
ª« 0
0
©0
ª1
17. ª
ª0
ª« 0
0
0
0
1
0
0
1
0
1¹
0º
º
0º
0 º»
0 0¹
0 0º
º
1 0º
º
0 1 º»
© 1 3 4¹
12. ª 0 1 2 º
ª
º
« 0 0 1»
©1
ª
15. ª 1
ª0
ª« 0
0
1
0
0
0
0
1
1
0¹
0º
º
0º
1 º»
De los problemas 18 a 31 escriba la matriz elemental de 3 3 3 que lleva a cabo las operaciones
con renglones dadas sobre una matriz A de 3 3 5 mediante multiplicaciones por la izquierda.
18. R1 q 1 R1
2
19. R2 S 4R2
20. R2 S R2 1 2R1
21. R3 S R3 2 8R2
22. R1 S R1 2 3R2
23. R1 S R1 2 7R3
24. R1 N R3
25. R2 N R3
26. R1 N R2
27. R2 S R2 1 R3
28. R3 S 2R3
29. R1 S R1 2 4R2
30. R2 q pR2
31. R1 q R1 1 2R2
De los problemas 32 a 46 encuentre la matriz elemental E tal que EA 5 B.
© 2 3¹
©2
3¹
32. A 5 ª
, B 5ª
º
« 21 4 »
« 2 28º»
© 2 3¹
© 2
3¹
33. A5 ª
, B 5ª
º
« 21 4 »
« 25 22 º»
© 1 2¹
© 1 2¹
34. A " ª
, B"ª
º
« 3 4»
« 4 6 º»
© 1 23 ¹
© 2 28 ¹
35. A 5 ª
, B5ª
º
« 2 28 »
« 1 23 º»
© 2 3¹
© 21 4 ¹
36. A 5 ª
, B 5ª
º
« 21 4 »
« 2 3º»
© 3 23 0 ¹
© 1 3 4¹
37. A 5 ª
º
º , B 5 ªª 21
3 2 º»
« 21 3 2 »
«
© 1 2¹
© 5 6¹
38. A 5ª 3 4 º , B 5 ª 3 4 º
ª
º
ª
º
ª« 5 6 º»
ª« 1 2 º»
©1
© 1 2¹
2¹
39. A5 ª 3 4 º , B 5 ª 0 22 º
ª
º
ª
º
ª« 5
ª« 5 6 º»
6 º»
© 0 5¹
© 23 21¹
ª
º
2º
40. A " ª 1 2 º , B " ªª 1
º
ª« 3 4 º»
ª« 3
4 º»
© 22
© 22 5 4 ¹
5
4¹
, B5 ª
41. A 5 ª
º
º
ª« 6 210 25 º»
« 0 5 7»
2.6
© 1 2¹
© 25 26 ¹
ª
º
42. A 5 3 4 , B 5 ª 3
4º
ª
º
ª
º
ª« 5 6 º»
ª« 5
6 º»
Matrices elementales y matrices inversas
©1
©1
2
5 2¹
2
5
2¹
ª
º
ª
43. A 5 0 21
3 4 , B 5 0 21
3
4º
ª
º
ª
º
ª« 5
ª« 0 210 227 23º»
0 22 7 º»
©1
©1
2
5 2¹
0 11 10¹
ª
º
ª
44. A 5 0 21
3 4 , B 5 0 21
3 4º
ª
º
ª
º
ª« 5
0 22 7 º»
0 22 7 º»
ǻ 5
©
© a b¹
a
b ¹
ª
º
ª
º
g
d º
g dº
ª
ª
46. A 5
,B5
ª 24g 1 e 24d 1 z º
ª e zº
ª
º
ª
º
i
k
«i k»
«
»
© a 2 3g b 2 3d ¹
© a b¹
45. A 5 ª
º
º , B5 ª
d »
« g d»
« g
De los problemas 47 a 63 encuentre la inversa de la matriz elemental dada.
© 1 0¹
47. ª
« 0 1º»
© 1 3¹
48. ª
« 0 1º»
© 1 0¹
49. ª
º
« 23 1 »
© 4 0¹
50. ª
« 0 1 º»
© 0 1 0¹
51. ª 1 0 0º
ª
º
ª« 0 0 1º»
© 1 0 25 ¹
52. ª 0 1
0º
ª
º
ª« 0 0
1 º»
© 1 22 0¹
53. ª 0
1 0º
ª
º
ª« 0
0 1º»
© 1 0 0¹
54. ª 0 1 3 º
ª
º
« 0 0 1»
© 1 0 0¹
ª
º
55. ª 27 1 0 º
ª« 0 0 1 º»
© 1 0 0¹
56. ª 0 1 0º
ª
º
ª« 22 0 1º»
©22
ª 9
57. ª 0
ª
ª« 0
©1
ª0
58. ª
ª0
ª
«0
0 1 0¹
1 0 0º
º
0 1 0º
º
0 0 1»
©1
ª0
59. ª
ª0
ª
«0
0
1
0
0
0
0
1
0
5¹
0º
º
0º
º
1»
©1
0
ª0
1
60. ª
ª 0 23
ª
0
«0
©1
ª0
61. ª
ª0
ª« 0
0
0
1
0
0¹
0º
º
0º
1 º»
©0
ª0
62. ª
ª0
ª« 1
0
1
0
0
0
0
1
0
1¹
0º
º
0º
0 º»
© 1
ª
0
63. ªª
26
ª
ª« 0
0
1
0
0
0 0¹
º
1 0º
º
0 1 º»
0
0
1
0
0¹
0º
º
0º
º
1»
0 0 0¹
º
1 0 0º
0 1 0º
º
0 0 1 º»
De los problemas 64 a 73 demuestre que cada matriz es invertible y escríbala como un producto
de matrices elementales.
© 2 1¹
64. ª
« 3 2 »º
© 22 8 ¹
65. ª
º
« 5 12 »
© 1 1 1¹
66. ª 0 2 3º
ª
º
ª« 5 5 1º»
©3 2
1¹
ª
º
2º
67. ª 0 2
ª« 0 0 21º»
© 0 21
0¹
ª
º
1 21º
68. ª 0
ª1
0
1 º»
«
© 13
3 0¹
ª 4
º
69. ª 1
1 0º
ª
º
« 2 23 1 »
143
144
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
© ¹
70. ªª ºº
ª« º»
©2
ª
ª0
71. ª
0
ª
ª« 0
0 0¹
º
3
0 0º
0 24 0 º
º
0
0 5 º»
0
©2
ª0
72. ª
ª0
ª« 0
1
2
0
0
0
1
2
0
0¹
0º
º
1º
2 º»
© 1
ª
ª 5
73. ª
24
ª
ª« 3
22 ¹
º
1 0 210 º
2 1
8º
º
6 0 25 º»
0 0
© a b¹
74. Sea A 5 ª
donde ac Z 0. Escriba A como un producto de tres matrices elementales
« 0 c º»
y concluya que A es invertible.
©a b c¹
75. Sea A 5 ª 0 d e º donde adf Z 0. Escriba A como un producto de seis matrices elemenª
º
ª« 0 0 f º»
tales y concluya que A es invertible.
*76. Sea A una matriz triangular superior de n 3 n. Pruebe que si toda componente en la
diagonal de A es diferente de cero, entonces A es invertible. [Sugerencia: Remítase a los
problemas 74 y 75.]
*77. Demuestre que si A es una matriz triangular superior de n 3 n con componentes diferentes de cero en la diagonal, entonces A21 es triangular superior.
*78. Utilice el teorema 2.5.1, inciso iv), página 128, y el resultado del problema 2.6.77 para
demostrar que si A es una matriz triangular inferior con componentes diferentes de cero
en la diagonal, entonces A es invertible y A21 es triangular inferior.
79. Demuestre que si Pij es la matriz de n 3 n obtenida permutando los renglones i y j de In,
entonces PijA es la matriz obtenida al permutar los renglones i y j de A.
80. Sea Aij la matriz con c en la posición ji, unos en la diagonal y ceros en otro lado. Demuestre que AijA es la matriz obtenida al multiplicar el renglón i de A por c y sumarlo
al renglón de j.
81. Sea Mi la matriz con c en la posición ii, unos en las otras posiciones de la diagonal, y
ceros en otro lado. Demuestre que MiA es la matriz obtenida al multiplicar el renglón
i de A por c.
De los problemas 82 a 91 escriba cada matriz cuadrada como un producto de matrices elementales y de una matriz triangular superior.
© 27 28 ¹
82. ª
º
ª« 256 73 º»
© 2 23¹
83. A 5 ª
º
ª« 24
6 º»
©
¹
84. $ 5 ª
« 2º»
© 0 0¹
85. A 5 ª
« 1 0 º»
© 9
3
9¹
ª
º
86. ª 29 213 25 º
ª« 18
6 23 º»
© 1 23 3 ¹
87. A 5 ª 0 23 1 º
ª
º
ª« 1
0 2 º»
© 1 0 0¹
ª
º
88. A 5 ª 2 3 0 º
ª« 21 4 0 º»
© 5 27 25 ¹
ª
º
89. ª 0
4 210 º
ª 210 30 238 º
»
«
© 25
9 25 ¹
ª
º
7º
90. ª 5 212
ª 210
3 21º»
«
© 2¹
ºº
91. $ 5 ªª
ª«
º»
2.6
EJERCICIOS
CON
Matrices elementales y matrices inversas
MATLAB 2.6
1. El presente problema explora la forma de las matrices elementales. Observe que cada matriz elemental se puede obtener a partir de la matriz identidad con una modificación. Por
ejemplo,
© 1 0 0¹
F 5 ª 0 c 0º
ª
º
« 0 0 1»
es la identidad con F(2, 2) 5 c
En MATLAB, F 5 eye(3); F(2,2) 5 c
© 1 0 0¹
F 5 ª 0 1 0º
ª
º
« 0 c 1»
es la identidad de F(3, 2) 5 c
En MATLAB, F 5 eye(3); F(3,2) 5 c
© 1 0 0¹
F 5 ª 0 0 1º
ª
º
« 0 1 0»
es la identidad con renglones 2 y 3 intercambiados
En MATLAB, F 5 eye(3); F([2, 3],:) 5 F([3, 2],:)
a) Dé A5 round(10*(2*rand(4)21)). De la manera recién descrita, introduzca las
matrices F que representan las siguientes operaciones con renglones. Encuentre F*A
para probar que F lleva a cabo las operaciones realizadas.
i) R3 S 4R3
ii) R1 S R1 2 3R2
iii) Intercambio de R1 y R4
b) Encuentre inv(F) para cada F de a). Para cada F, explique las razones por las cuales
inv(F) es una matriz elemental y describa qué operaciones representa con renglones.
¿Por qué es esta operación la “inversa” de la operación original con renglones?
2. Es necesario reducir una matriz dada a la forma escalonada reducida por renglones multiplicándola por matrices elementales, guardando el producto en el orden en el que se usa.
Por cuestión de exactitud deberán calcularse los multiplicadores usando la notación matricial (vea en MATLAB 2.1, problema 1, el cálculo de los multiplicadores y observe en el
problema 1 de esta sección cómo se forman las matrices elementales).
© 7 2 3¹
ª
º
a) Sea A 5 ª 21 0 4 º .
ª« 2 1 1 º»
introduzca esta matriz y guárdela en A. Dé B 5 A. Esto coloca una copia de A en B. Se
puede reducir B de manera que contenga rref(A) y quede en A la matriz original.
c 5 2B(2,1)/B(1,1)
F1 5 eye(3); F1(2,1) 5 c
B 5 F1*B
F 5 F1
c 5 2B(3,1)/B(1,1)
forme F2 con c en la posición correcta
B 5 F2*B
F 5 F2*F
145
146
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Continúe de esta manera hasta que B se encuentre en la forma escalonada reducida por
renglones. Si cualquier elemento pivote es cero, será necesario realizar un intercambio
de renglones multiplicando por la matriz elemental adecuada.
b) Encuentre F*A y A*F donde F es el producto de las matrices elementales usadas y A es la
matriz original. ¿Qué le dice esto sobre la relación entre F y A? (justifique su respuesta).
c) Encuentre D 5 F121* F221* . . . *Fm21, donde F1 es la primera matriz elemental usada
y Fm es la última. ¿Cuál es la relación entre D y A? (justifique su respuesta).
© 0 2 3¹
d ) Repita de los incisos a) a c) para A 5 ª 1 1 4 º .
ª
º
« 2 4 1»
© 1 2 3¹
3. a) Sea A 5 ª 1 1 7 º .
ª
º
« 2 4 5»
Realice las operaciones por renglones haciendo uso de la multiplicación por matrices
elementales que se describió en el problema 1 de esta sección, guardando los productos
de las matrices elementales pero realizando únicamente operaciones con renglones de
la forma Rj S Rj 1 cRi hasta que A se reduzca a la forma triangular superior (no cree
unos en las posiciones pivote). Dé a cada matriz elemental un nombre de variable y despliegue todas las que use y sus inversas. Llame U a la forma triangular superior, que es
el resultado final, y F al producto de todas las matrices elementales utilizadas.
b) Encuentre L 5 F121 * F221 * … Fm21, donde F1 es la primera matriz elemental usada y
Fm la última. ¿Qué puede deducir acerca de la forma de L, los de las matrices elementales y los de las inversas de éstas? (analice los elementos y sus posiciones).
c) Verifique que LU 5 A (asegúrese de que A sea la matriz original. Recuerde que U es el
resultado final de la reducción). Pruebe que esto sea cierto.
© 6 2 7 3¹
ª
º
ª 8 10 1 4 º .
d) Repita de los incisos a) a c) para A 5 ª
10 7 6 8 º
ª
º
ª« 4 8 9 5 º»
2.7 Factorizaciones LU de una matriz
En esta sección se muestra la forma en la cual se escribe una matriz cuadrada como un producto de una matriz triangular inferior (con diagonal principal de unos) por una matriz triangular
superior. Esta factorización resulta útil para resolver sistemas lineales con una computadora y
se puede utilizar para probar resultados importantes sobre matrices.
En la sección 1.2 se estudió la eliminación gaussiana. En ese proceso se puede reducir una
matriz a la forma escalonada por renglones. Recuerde que la forma escalonada por renglones
de una matriz cuadrada es una matriz triangular superior con unos y ceros en la diagonal principal. A manera de ejemplo, la forma escalonada por renglones de una matriz de 3 3 3 se ve
como sigue:
© 1 x x¹
ª 0 1 xº
ª
º
ª« 0 0 1 º»
© 1 x x¹
o ª 0 1 xº
ª
º
ª« 0 0 0 º»
© 1 x x¹
o ª 0 0 1º
ª
º
ª« 0 0 0 º»
© 1 x x¹
o ª 0 0 0º
ª
º
ª« 0 0 0 º»
o
2.7
© 0 1 x¹
ª 0 0 1º
ª
º
ª« 0 0 0 º»
© 0 0 1¹
o ª 0 0 0º
ª
º
ª« 0 0 0º»
Factorizaciones LU de una matriz
© 0 0 0¹
o ª 0 0 0º
ª
º
ª« 0 0 0º»
Para los propósitos de esta sección se pretende reducir por renglones una matriz a la forma
triangular superior donde los números diferentes de cero en la diagonal principal no son necesariamente unos. Esto se logra no insistiendo en que cada pivote sea igual a 1.
EJEMPLO 2 .7 .1
Encuentre una factorización LU de una matriz A
© 2
3
2
4¹
ª 4 10 24
0º
º a una matriz triangular superior y
Reduzca por renglones la matriz A 5 ª
ª 23 22 25 22 º
ª
º
4
4 27 »
« 22
después escriba A como un producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular
superior.
Solución Se procede como antes; sólo que esta vez no se dividen los elementos de la
diagonal (pivotes) por sí mismos:
©2
© 2
3
2
4 ¹ R2 q R2 2 23 R1 © 2 3
2
4¹
R3 q R3 2 85 R2
R3 q R3 1 2 R1
ª
º
ª 4 10 24
º
7
0 R4 q R4 1 R1
0 4 28 28 R4 q R4 2 4 R2 ª 0
º
ª
º
qª
qª
ª 0 25 22
ª0
ª 23 22 25 22 º
4º
ª
º
ª
ª
º
4
4 27 »
6 233»
«0 7
«0
« 22
©2
ª0
R4 q R4 2 203 R3
qª
ª0
ª
«0
4¹
4 28 28 º
º
0
3
9º
º
0 20 11»
3
2
4¹
28 º
º 5U
9º
º
0 249»
3
2
4 28
0
3
0
Usando las matrices elementales como en el ejemplo 2.6.5, página 139, se puede escribir
©1
ª0
U 5ª
ª0
ª
«0
0
0
0
1
1
0
0 2 20
3
0¹ © 1
0
º
ª
0 0
1
ºª
0º ª 0
0
ºª
1» « 0 2 74
0 0¹ © 1
0
º
ª
0 0 0
1
ºª
1 0º ª 0 2 85
ºª
0 1» « 0
0
0 0¹
0 0º
º
1 0º
º
0 1»
©1
ª0
3ª
ª0
ª
«0
o
©1
ª2
A5ª
ª0
ª
«0
0 0 0¹ © 1
1 0 0º ª 0
ºª
0 1 0º ª 2 23
ºª
0 0 1» « 0
0 0 0¹ © 1
1 0 0º ª 0
ºª
0 1 0º ª 0
ºª
0 0 1» « 21
0 0 0¹
1 0 0º
º
0 1 0º
º
0 0 1»
0
1
0
0
0
0
1
0
0¹ © 1
0º ª 0
ºª
0º ª 23
ºª
1» « 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0¹ © 1
0º ª 22
ºª
0º ª 0
ºª
1» « 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0¹
0º
ºA
0º
º
1»
147
148
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
© 1 0 0 0¹ © 1 0 0 0¹ © 1
ª 0 1 0 0º ª 0 1 0 0º ª 0
ºª
ºª
3ª
ª 0 85 1 0º ª 0 0 1 0º ª 0
ºª
ª
ºª
7
« 0 0 0 1» « 0 4 0 1» « 0
0
1
0
0
0
0
20
3
1
0¹
0º
ºU
0º
º
1»
Se ha escrito A como un producto de seis matrices elementales y una matriz triangular superior.
Sea L el producto de las matrices elementales. Debe verificar que
© 1 0
ª 2 1
L 5ª 3 5
ª22 8
ª
7
« 21 4
Factorización LU
0
0
1
20
3
0¹
0º
º , que se trata de una matriz triangular inferior con unos en la diagonal
0º
º principal.
1»
Después se puede escribir A 5 LU, donde L es triangular inferior y U es triangular superior. Los elementos de la diagonal de L son todos iguales a 1 y los elementos de la diagonal de
U son los pivotes. Esta factorización se llama factorización LU de A.
El procedimiento utilizado en el ejemplo 2.7.1 se puede llevar a cabo mientras no se requieran permutaciones para poder reducir A a la forma triangular. Esto no siempre es factible. Por
ejemplo, el primer paso en la reducción por renglones de
©0
2 3¹
ª 2 24 7º
ª
º
ª« 1 22 5º»
es permutar (intercambiar) los renglones 1 y 2 o los renglones 1 y 3.
Suponga que por el momento dicha permutación no es necesaria. Entonces, al igual que en
el ejemplo 2.7.1, se puede escribir A 5 E1,E2,… En U, donde U es una matriz triangular superior y cada matriz elemental es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal. Esto se
deduce del hecho de que E es de la forma Rj 1 cRi (no hay permutaciones ni multiplicaciones
de renglones por constantes). Más aún, los números que se hacen cero en la reducción por renglones están siempre abajo de la diagonal de manera que en Rj 1 cRi siempre se cumple que
j . i. De este modo, las c aparecen abajo de la diagonal. La prueba del siguiente teorema no es
complicada (vea los problemas 2.7.40 y 2.7.41).
T
Teorema 2 .7.1 Propiedades de multiplicación de matrices triangulares
El producto de las matrices triangulares inferiores con unos en la diagonal es una matriz
triangular inferior con unos en la diagonal. Más aún, el producto de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior.
T
Teorema 2 .7.2 Teorema de la factorización LU
Sea A una matriz cuadrada (n 3 n) y suponga que A se puede reducir por renglones a
una matriz triangular U sin hacer alguna permutación entre sus renglones. Entonces
existe una matriz triangular inferior L invertible con unos en la diagonal tal que A 5
LU. Si, además, U tiene n pivotes (es decir, A es invertible), entonces esta factorización
es única.
2.7
Factorizaciones LU de una matriz
Demostración
U y L se obtienen como en el ejemplo 2.7.1. Sólo es necesario probar la unicidad en el caso
de que A sea invertible. Como U tiene n pivotes, su forma escalonada por renglones también tiene n pivotes (para verificar esto divida cada renglón de U por el pivote en ese renglón). Entonces, de acuerdo con el teorema de resumen en la página 138, U es invertible.
Para demostrar que L es invertible, considere la ecuación Lx 5 0.
⎛ 1
⎜a
⎜ 21
⎜
⎜a
⎝ n1
0 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
0 ⎟ ⎜⎜ x2 ⎟⎟ ⎜ 0 ⎟
⎟
5⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 ⎟⎠ ⎜⎝ xn ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
0
1
an2
Se deduce que x1 5 0, a21x1 1 x2 5 0, etc., lo que demuestra que x1 5 x2 … 5 xn 5 0 y
L es invertible por el teorema de resumen. Para demostrar la unicidad, suponga que
A 5 LlU1 5 L2U2. Entonces
U1U221 5 (L121L1)(U1U221) 5 L121(LlU1)U221 5 L121(L2U2)U221
5 (L121L2)(U2U221) 5 L121L2
Por el resultado del problema 2.4.36 en la página 119, U221 es triangular superior y L121
es triangular inferior. Todavía más, según el teorema 2.7.1, L121L2 es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal mientras que U1U221 es triangular superior. La
única forma en que una matriz triangular superior y una inferior pueden ser iguales es si
ambas son diagonales. Como L121L2 tiene unos en la diagonal se ve que
U1U221 5 L121L2 5 I
de lo que se deduce que U1 5 U2 y L1 5 L2.
Uso de la factorización LU para resolver un sistema de ecuaciones
Suponga que se quiere resolver el sistema Ax 5 b, donde A es invertible. Si A satisface la hipótesis del teorema 2.7.2 se puede escribir
LUx 5 b
Como L es invertible, existe un vector único y tal que Ly 5 b. Como U también es invertible,
existe un vector único x tal que Ux 5 y. Entonces Ax 5 L(Ux) 5 Ly 5 b y nuestro sistema
está resuelto. Observe que Ly 5 b se puede resolver directamente mediante la sustitución hacia
adelante, mientras que el sistema Ux = y se puede resolver por sustitución hacia atrás. Esto se
ilustra en el siguiente ejemplo.
EJEMPL O 2 .7 .2
Uso de la factorización LU para resolver un sistema
Resuelva el sistema Ax 5 b, donde
© 2
3
2
4¹
ª 4 10 24
0º
º
A5ª
ª 23 22 25 22 º
ª
º
4
4 27 »
« 22
y
© 4¹
ª 28 º
b5ª º
ª 24 º
ª º
« 21»
149
150
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Solución
Del ejemplo 2.7.1 se puede escribir A 5 LU, donde
© 1 0
ª 2 1
L 5ª 3 5
ª22 8
ª
7
« 21 4
0
0
1
20
3
0¹
0º
º
0º
º
1»
©2
ª0
y U 5ª
ª0
ª
«0
3
2
4¹
4 28 28 º
º
0
3
9º
º
0
0 249»»
El sistema Ly 5 b conduce a las ecuaciones
5 4
2y1 1 y2
5 28
2 23 y1 1 58 y2 1 y3
524
2y1 1 74 y2 1 20
3 y3 1 y4 521
y1
o
y1 5 4
y2 5 2 8 2 2y1 5216
y3 5 2 4 1 23 y1 1 58 y2 5 12
y4 5 2 1 1 y1 2 74 y2 2 20
3 y3 5 249
Se acaba de realizar la sustitución hacia delante. Ahora, de Ux 5 y se obtiene
2x1 1 3x2 1 2x3 1 4x4 5 4
4x2 2 8x3 2 8x4 5216
3x3 1 9x4 5 12
1 49x4 5249
o
x4 5 1
3x3 5 12 2 9x4 5 3, de manera que x3 5 1
4x2 5 216 1 8x3 1 8x4 5 0, de manera que x2 5 0
2x1 5
4 2 3x2 2 2x3 2 4x4 5 22, por lo que x1 5 21
La solución es
© 2¹
ª º
[ 5ª º
ª º
ª º
« »
La factorización PA 5 LU
Suponga que con el propósito de reducir A a una matriz triangular se requiere alguna permutación. Una matriz de permutación elemental es una matriz elemental asociada con la operación de intercambio con renglones Ri N Rj . Suponga que, de momento, se sabe por anticipado
cuáles permutaciones deben realizarse. Cada permutación se lleva a cabo multiplicando A por
la izquierda por una matriz de permutación elemental denotada por Pi. Suponga que en la
reducción por renglones se realizan n permutaciones. Sea
P 5 Pn Pn21 … P2P1
Matriz de
permutación
el producto de las matrices de permutaciones elementales se llama matriz de permutación. De
forma alternativa, una matriz de permutación es una matriz n 3 n cuyos renglones son los renglones de In, pero no necesariamente en el mismo orden.
2.7
Factorizaciones LU de una matriz
Ahora, hacer las n permutaciones de antemano es equivalente a multiplicar A por la izquierda por P. Es decir,
PA es una matriz que debe ser reducida por renglones a una matriz triangular superior
sin realizar permutaciones adicionales.
EJEMPLO 2 .7 .3
Una factorización PA 5 LU
Para reducir A por renglones a la forma triangular superior, primero se intercambian los renglones 1 y 3 y después se continúa como se muestra a continuación.
©0
2 3¹
A 5 ª 2 24 7º
ª
º
ª« 1 22 5º»
Al realizar esta reducción por renglones se hicieron dos permutaciones. Primero se intercambiaron los renglones 1 y 3 y después los renglones 2 y 3.
©0
© 1 22 5¹
© 1 22
© 1 22
2 3¹
5¹
5¹
R2 T R3
R2 q R2 2 2 R1 ª
1 T R3
ª 2 24 7º R
q ª 2 24 7º
q 0
0 23º q ª 0
2
3º
ª
º
ª
º
ª
º
ª
º
ª« 1 22 5º»
ª« 0
ª« 0
ª« 0
2 3º»
2
3º»
0 23º»
y
© 0 0 1¹
P1 5 ª 0 1 0º
ª
º
ª« 1 0 0º»
y
© 1 0 0¹
P2 5 ª 0 0 1º
ª
º
ª« 0 1 0º»
Esta matriz se puede reducir a una forma triangular superior sin permutaciones. Se tiene
© 1 0 0¹ © 0 0 1¹ © 0 0 1¹
P 5 P2 P1 5 ª 0 0 1º ª 0 1 0º 5 ª 1 0 0º
ª
ºª
º ª
º
ª« 0 1 0º» ª« 1 0 0º» ª« 0 1 0º»
Así, como en el ejemplo 2.7.1,
© 0 0 1¹ © 0
2 3¹ © 1 22
5¹
PA 5 ª 1 0 0º ª 2 24 7º 5 ª 0
2
3º .
ª
ºª
º ª
º
ª« 0 1 0º» ª« 1 22 5º» ª« 2 24 27º»
Al generalizar el resultado del ejemplo 2.7.3 se obtiene el siguiente teorema.
T
Teorema 2.7.3 Factorización LUP
Sea A una matriz invertible de n 3 n. Entonces existe una matriz de permutación P tal
que
PA 5 LU
donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y U es triangular superior. Para cada P (puede haber más de una), las matrices L y U son únicas.
151
152
N
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
[Observación: Si se elige una P diferente se obtienen matrices distintas.] Si consideramos el ejemplo 2.7.3, sea
Nota
A la factorización LUP también se le
conoce como factorización LU con
pivoteo parcial.
© 0 1 0¹
P 5 ª 1 0 0º (que corresponde a la permutación de los dos primeros rengloª
º
«ª 0 0 1º» nes en el primer paso).
Se debe verificar que
© 1 0 0¹ © 2 24 7¹
PA 5 L1U1 5 ª 0 1 0º ª 0
2 3º
º
ª
ºª
1
ª«
0 1º» ª« 0
0 23 º»
2
Solución de un sistema usando la factorización PA 5 LU
Considere el sistema Ax 5 b y suponga que PA 5 LU. Entonces
PAx 5 Pb
LUx 5 Pb
y se puede resolver este sistema de la misma manera que en el ejemplo 2.7.2.
Solución de un sistema usando la factorización PA 5 LU
EJ EM PLO 2 .7 .4
Resuelva el sistema
2x2 1 3x3 5 7
2x1 2 4x2 1 7x3 5 9
x1 2 2x2 1 5x3 5 26
Solución
Se puede escribir este sistema como Ax 5 b, donde
©0
2 3¹
A 5 ª 2 24 7º
ª
º
ª« 1 22 5º»
y
© 7¹
b 5 ª 9º
ª º
ª« 26 º»
Entonces, del ejemplo 2.7.3
© 0 0 1¹ © 7¹ © 26 ¹
LUx 5 PAx 5 Pb 5 ª 1 0 0º ª 9º 5 ª 7º
ª
ºª º ª º
ª« 0 1 0»º ª« 26 º» ª« 9º»
© 26 ¹
Se busca una y tal que Ly 5 ª 7º . Es decir
ª º
ª« 9º»
© 1 0 0¹ © y1 ¹ © 26 ¹
ª 0 1 0º ª y º 5 ª 7 º
ª
º ª 2º ª º
ª« 2 0 1º» ª« y º» ª« 9º»
3
© 26 ¹
Entonces y1 5 26, y2 5 7 y 2y1 1 y3 5 9, por lo que y3 5 21 y y 5 ª 7º
ª º
ª« 21º»
2.7
Factorizaciones LU de una matriz
© 26 ¹
Continuando, se busca una x tal que Ux 5 ª 7º ; es decir,
ª º
ª« 21º»
© 1 22
5¹ © x1 ¹ © 26 ¹
ª0
2
3º ª x2 º 5 ª 7º
ª
ºª º ª º
ª« 0
0 23º» ª« x3 º» ª« 21º»
por lo que
x1 2 2x2 1 5x3 5 26
2x2 1 3x3 5 9
2 3x3 5 21
Por último,
x3 5 27
2x2 13(27) 5 7, de manera que x2 5 14
x1 22(14)15(27) 5 26, por lo que x1 5 57
La solución es
© 57 ¹
x 5 ª 14 º
ª º
ª« 27 º»
En este momento podemos renunciar al teorema del resumen, incluyendo la factorización LUP
de la matriz.
T
Teorema 2 .7.4 Teorema de resumen (punto de vista 4)
Sea A una matriz de n × n. Entonces las siguientes ocho afirmaciones son equivalentes.
Es decir, cada una implica a las otras seis (de manera que si una afirmación es cierta,
todas son ciertas, y si una es falsa, todas son falsas).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
A es invertible.
La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0).
El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada vector de dimensión n b.
A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n 3 n, In; es decir, la forma
escalonada reducida por renglones de A es In.
A se puede escribir como el producto de matrices elementales.
La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
det A Z 0 (por ahora, det A está definido sólo si A es una matriz de 2 3 2).
Existen una matriz de permutación P, una matriz triangular inferior L con unos en la
diagonal principal y una matriz triangular superior invertible U, tales que PA 5 LU.
Una forma sencilla para encontrar la factorización LU de una matriz
Suponga que A es una matriz cuadrada que se puede reducir a una matriz triangular superior
sin llevar a cabo permutaciones. Por ende existe un camino más sencillo para encontrar la factorización LU de A sin hacer uso de la reducción por renglones. Este método se ilustrará en el
siguiente ejemplo.
153
154
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
EJ EM PLO 2 .7 .5
Un camino más sencillo para obtener la factorización LU
Encuentre la factorización LU de
© 2
3
2
4¹
ª 4 10 24
0º
º
A5ª
ª 23 22 25 22 º
ª
º
4
4 27 »
« 22
Solución El presente problema se resolvió en el ejemplo 2.7.1. Ahora se hará uso de
un método más sencillo. Si A 5 LU, se sabe que A se puede factorizar como:
© 2
3
2
4¹ © 1
ª 4 10 24
0º ª a
º 5ª
A5ª
ª 23 22 25 22 º ª b
ª
º ª
4
4 27 » « d
« 22
0
1
c
e
0
0
1
f
0¹ © 2
0º ª 0
ºª
0º ª 0
ºª
1» « 0
3
u
0
0
2 4¹
v wº
º 5 LU
x yº
º
0 z»
Observe que el primer renglón de U es el mismo que el primer renglón de A porque al reducir A
a la forma triangular, no hace falta modificar los elementos del primer renglón.
Se pueden obtener todos los coeficientes faltantes con tan sólo multiplicar las matrices. La
componente 2, 1 de A es 4. De este modo, el producto escalar del segundo renglón de L y la
primera columna de U es igual a 4:
4 5 2a o a 5 2
Así,
© 2
3
2
4¹ © 1
ª 4 10 24
0 º ªª 2
ª
º5
3
ª 23 22 25 22 º ª b 2 2
ª
º ª
4
4 27 » « d 2 1
« 22
0
1
c 85
e
7
4
0
0
1
f
20
3
0¹ © 2
0º ª 0
ºª
0º ª 0
ºª
1» « 0
3
u4
0
0
2
v 28
x3
0
4 ¹
w 28 º
º
y9 º
º
z 2 49»
Después se tiene:
componente 2, 2:
Observación
Resulta sencillo, en una computadora,
poner en práctica la técnica ilustrada en
el ejemplo 2.7.5.
!
Advertencia
La técnica que se ilustra en el ejemplo
2.7.5 funciona únicamente si A se
puede reducir a una matriz triangular
sin realizar permutaciones. Si las permutaciones son necesarias, primero se
debe multiplicar A por la izquierda por
una matriz de permutación adecuada;
después se puede aplicar este proceso
para obtener la factorización PA 5 LU.
10 5 6 1 u ⇒ u 5 4
De aquí en adelante se pueden insertar los valores que se encuentran en L y U:
componente 2, 3:
componente 2, 4:
24 5 4 1 v ⇒ v 528
0 5 8 1 w ⇒ w 528
componente 3, 1:
23 5 2b ⇒ b 52 23
componente 3, 2:
222 52 29 1 4 c ⇒ c 5 85
componente 3, 3:
25 523 2 5 1 x ⇒ x 5 3
componente 3, 4:
22 526 2 5 1 y ⇒ y 5 9
componente 4, 1:
22 5 2 d ⇒ d 521
componente 4, 2:
4 523 1 4 e ⇒ e 5 74
componente 4, 3:
4 522 2 14 1 3 f ⇒ f 5 203
componente 4, 4:
27 524 2 14 1 60 1 z ⇒ z 5249
2.7
Factorizaciones LU de una matriz
155
La factorización es el resultado que se obtuvo en el ejemplo 2.7.1 con un esfuerzo considerablemente menor.
Factorización LU para matrices singulares
Si A es una matriz cuadrada singular (no invertible), la forma escalonada por renglones de
A tendrá al menos un renglón de ceros, al igual que la forma triangular de A. Es posible que
todavía se pueda escribir A 5 LU o PA 5 LU, pero en este caso U no será invertible y L y U
pueden no ser únicas.
EJEMPLO 2 .7 .6
Cuando A no es invertible, la factorización LU puede no ser única
Haciendo uso de la técnica de los ejemplos 2.7.1 o 2.7.5 se obtiene la factorización
⎛ 1
2
3⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 2 3⎞
⎜
A 5 21 22 23⎟ 5 ⎜ 21 1 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ 5 LU
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜⎝ 2
4
6 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
⎛ 1 0 0⎞
Sin embargo, si se hace L1 5 ⎜ 21 1 0⎟ , entonces A 5 L1U para cualquier número real x.
⎜
⎟
⎜⎝ 2 x 1⎟⎠
En este caso, A tiene una factorización LU pero no es única. Debe verificarse que A no es
invertible.
Por otro lado,
⎛1
2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1
2
3⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
B 5 2 21 4 5 2 1 0 0 25 22 ⎟ 5 L9U 9
⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟
⎜⎝ 3
1 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 1 1⎟⎠ ⎜⎝ 0
0
0⎟⎠
y esta factorización es única, aunque B no sea invertible. El lector debe verificar
estos datos.
N
Nota
Para una matriz cuadrada no invertible,
su factorización LU puede ser o no
única.
Factorización LU para matrices no cuadradas
En ocasiones es posible encontrar factorizaciones LU para matrices que no son cuadradas.
T
Teorema 2.7.5 Factorización LU para matrices no cuadradas
Sea A una matriz de m 3 n. Suponga que A se puede reducir a su forma escalonada
por renglones sin realizar permutaciones. Entonces existen una matriz L triangular
inferior de m 3 m con unos en la diagonal y una matriz U de m 3 n con uij 5 0 si i . j
tales que A 5 LU.
Observación: La condición Uij 5 0 si i > j significa que U es triangular superior en el sentido
de que todos los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son 0. Por
ejemplo, una matriz U de 3 3 5 que satisface esta condición tiene la forma
156
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
© d1
ª
U 5ª 0
ª0
«
u12
u13
u14
d2
u23
u24
0
d3
u34
u15 ¹
º
u25 º
u35 º»
(2.7.1)
mientras que una matriz U de 5 3 3 que satisface esta condición tiene la forma
© d1
ª
ª0
U 5ª 0
ª
ª0
ª« 0
u12
d2
0
0
0
u13 ¹
º
u23 º
d3 º
º
0º
0 º»
(2.7.2)
La prueba de este teorema no se presenta aquí; en su lugar se muestran dos ejemplos.
EJ EM PLO 2 .7 .7
Factorización LU de una matriz 4 3 3
Encuentre la factorización LU de
© 1
2
3¹
ª 21 24
5º
º
A5ª
ª 6 23
2º
ª
º
1 212 »
« 4
Solución
Procediendo como en el ejemplo 2.7.5 se establece
© 1
2
3¹ © 1
ª 21 24
5º ª a
ª
º 5ª
ª 6 23
2º ª b
ª
º ª
1 212 » « d
« 4
0
1
0
0
c
e
1
f
0¹ © 1
0º ª 0
ºª
0º ª 0
ºª
1» « 0
3¹
vº
º 5 LU
0 wº
º
0 0»
2
u
Debe verificar que esto lleva de inmediato a
© 1
ª 21
L 5ª
ª 6
ª
« 4
EJ EM PLO 2 .7 .8
0
1
15
2
7
2
0
0
1
13
19
0¹
0º
º
0º
º
1»
©1
2
3¹
ª 0 22
8º
º
y U 5ª
ª0
0 276 º
ª
º
0
0»
«0
Factorización LU de una matriz 3 3 4
Encuentre la factorización LU de
© 3 21
4 2¹
ª
A5 1
2 23 5º
ª
º
ª« 2
4
1 5º»
Solución
Se escribe
© 3 21
4 2 ¹ © 1 0 0¹ © 3 21 4 2 ¹
ª1
2 23 5º 5 ª a 1 0º ª 0
u v wº
ª
º ª
ºª
º
ª« 2
4
1 5º» ª« b c 1º» ª« 0
0 x y º»
2.7
157
Factorizaciones LU de una matriz
Al despejar las variables como en el ejemplo 2.7.5 se obtiene
© 3 21
4
2¹
4 2 ¹ © 1 0 0¹ © 3 21
1
13
13º
7
ª
ª1
º
ª
º
1
0
0
2 23 5 5 3
23
3º
3
ª
º ª
ºª
ª« 2
0
7 25 º»
4
1 5º» ª« 23 2 1º» ª« 0
N
Nota
Como en el caso de una matriz cuadrada singular, si una matriz no cuadrada
tiene una factorización LU, puede ser o
no única.
Una observación sobre las computadoras y la factorización LU
Los sistemas de software HP 50g, MATLAB y otros, pueden llevar a cabo la factorización PA
5 LU de una matriz cuadrada. Sin embargo, la matriz L que se obtiene a veces no es una matriz
triangular inferior con unos en la diagonal pero puede ser una permutación de dicha matriz.
De otro modo, el sistema puede dar una matriz triangular inferior L y una U con unos en la
diagonal. La razón de esto es que estos sistemas usan una factorización LU para calcular las
inversas y los determinantes y para resolver sistemas de ecuaciones. Ciertos reordenamientos
o permutaciones minimizarán los errores de redondeo acumulados. Se profundiza sobre estos
errores y procedimientos en los apéndices C y D.
Mientras tanto, debe tenerse en cuenta que los resultados que se obtienen en la calculadora
o computadora con frecuencia serán diferentes de los obtenidos a mano. En particular, si A se
puede reducir a una matriz triangular sin permutaciones, entonces cuando PA 5 LU, P 5 I. No
obstante, muchas veces se obtendrá una P diferente en la calculadora. Por ejemplo, si
© 2
3
2
4¹
ª 4 10 24
0º
º
A5ª
ª 23 22 25 22 º
ª
º
4
4 27 »
« 22
igual que en los ejemplos 2.7.1 y 2.7.5, entonces MATLAB da la factorización A 5 LU, donde
40
© 12 2 29 2 83
ª 1
0
0
L 5ª 3
11
1
ª2 4
18
ª 1
1
0
«2 2
R
1¹
0º
º
0º
º
0»
© 4 10
4
0¹
ª0 9
2 27 º
y U 5ª
83
41 º
ª0 0 2 9
18 º
º
ª
0 294
«0 0
83 »
N
Nota
Una permutación de renglones de L
lleva a una matriz triangular inferior
con unos en la diagonal.
Resumen 2.7
• Factorización LU
Suponga que la matriz invertible A se puede reducir por renglones a una matriz triangular superior sin realizar permutaciones. Entonces existen matrices únicas L y U tales que L es triangular
inferior con unos en la diagonal, U es una matriz superior invertible y A 5 LU.
(p. 148)
• Matriz de permutación
E 5 Pij es una matriz de permutación elemental. Un producto de matrices permutación elementales se denomina matriz de permutación.
(p. 150)
• Factorización PA 5 LU
Sea cualquier matriz m 3 n. Entonces existe una matriz permutación P tal que PA 5 LU, donde
L y U son como en la factorización LU. En términos generales, P, A y U no son únicas.
(p. 150)
158
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
• Teorema de resumen
Sea A una matriz de n 3 n, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(pp. 137, 147)
iii i) A es invertible.
ii ii) La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0).
i iii) El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada vector de dimensión n b.
iiiv) A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n 3 n, In.
iiiv) A se puede escribir como un producto de matrices elementales.
iivi) det A Z 0 (por ahora, det A está definido sólo si A es una matriz de 2 3 2).
ivii) La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
viii) Existen una matriz permutación P, una matriz triangular inferior L con unos en la diagonal,
y una matriz triangular superior invertible U, tales que PA 5 LU.
A
A U T O E V A L U A C I Ó N 2.7
De las aseveraciones siguientes, indique cuál es verdadera y cuál es falsa:
III) Para toda matriz cuadrada A existen matrices invertibles L y U tales que A 5 LU,
donde L es triangular inferior con unos en la diagonal y U es triangular superior.
III) Para toda matriz invertible A, existen L y U como en el problema 2.7.1.
III) Para toda matriz invertible A existe una matriz de permutación P tal que PA 5
LU, donde L y U son como en el problema 2.7.1.
IV) El producto de matrices de permutación es una matriz de permutación.
Respuestas a la autoevaluación
I) F )
II) F )
III) V)
IV) V)
MANEJO DE LA CALCULADORA 2.7
La factorización PA 5 LU se puede obtener en la calculadora, por ejemplo:
W¢W¢4YYi
W¢YY4i
W¢YY6
QQBK6
2.7
Factorizaciones LU de una matriz
Observe que primero se da el argumento que va a utilizar la función LU, la solución
aparece en la pila como L en el renglón 3, U en el renglón 2, P en el renglón 1.
Problemas 2.7
De los problemas 1 a 14 encuentre la matriz triangular inferior L con unos en la diagonal y una
matriz triangular superior U tal que A 5 LU.
© 7 28 ¹
1. ª
º
ª« 256 73 º»
© 1 2¹
2. ª
« 3 4 º»
© 1 2¹
3. ª
« 0 3º»
©1
4 6¹
ª
5. ª 2 21 3ºº
ª« 3
2 5º»
© 2
3
1¹
ª
6. 21
2 23º
ª
º
ª« 5 21 22 º»
©3
9 22 ¹
ª
8º
8. ª 6 23
º
6
5º»
ǻ 4
© 1 1 23¹
9. ª 1 2
4º
ª
º
ª« 23 4
3º»
© 27
4
3
10 ¹
ª
º
35 215 222 253º
ª
11.
ª 0
5 215 21º
ª
º
ª« 228 224 108
48 º»
© 26 23
9 23¹
ª 236 211
50 217 º
12. ª
º
ª 254 297 126 246 º
ª« 48
3 255
3º»
© 10 10 6 ¹
4. ª 60 70 28 º
ª
º
« 100 170 2 »
© 5 27 25 ¹
ª
º
7. ª 20
24 230 º
ª 220 224
22 º»
«
©1
2 21
ª 0 21
5
10. ª
ª2
3
1
ª
6
« 1 21
© 2
3 21
ª 4
7
2
13. ª
ª 22
5 22
ª
5
« 0 24
4¹
8º
º
4º
º
4»
6¹
1º
º
0º
º
2»
© 4
6 25 ¹
9 29
ª 228 270
62 235 41º
ª
º
14. ª 232 2121
57
9 81º
ª 32
51 235
20 28 º
ª 8
39
49 2145 45 º»
«
De los problemas 15 a 26 resuelva el sistema dado usando la factorización LU. Esto es, resuelva
Ax 5 LUx 5 b.
© 23
6¹
15. A 5 ª
,
« 6 214 º»
© 9¹
b 5ª º
« 10 »
© 1 2¹
© 21 ¹
; b5ª º
16. A 5 ª
º
« 0 3»
« 4»
159
160
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
© 4¹
© 1 0¹
17. A " ª
, b"ª º
« 21»
« 2 3º»
© 2 26 ¹
© 3¹
18. A 5 ª
, b 5ª º
º
« 220 57 »
« 5»
©1
© 21 ¹
4 6¹
ª
º
19. A 5 2 21 3 ; b 5 ª 7 º
ª
º
ª º
ª« 3
ª« 2 º»
2 5º»
© 3 24
4¹
ª
20. A 5 18 219
17 º ,
ª
º
36 239 »
« 227
© 6
© 27 ¹
9¹
7
ª
º
ª 26 º
b
A
5
5
,
21.
12
15
26
ª
º
ª º
« 21»
« 236 248 2101»
© 2 1 7¹
© 6¹
ª
º
22. A 5 4 3 5 ; b 5 ª 1º
ª
º
ª º
ª« 2 1 6 º»
ª« 1º»
©3
© 3¹
9 22 ¹
ª
º
23. A 5 6 23
8 ; b 5 ª 10 º
ª
º
ª º
ª« 4
ª« 4 º»
6
5º»
© 24
© 0¹
9 25
2¹
ª 16 226 18 24 º
ª 26 º
24. A 5 ª
º , b 5ª º
42
0
14 º
ª 8
ª 0º
ª« 0 100 24 260 º»
ª« 3º»
©1
2 21
ª 0 21
5
25. A 5 ª
ª2
3
1
ª
6
« 1 21
© 4 210 28 28 ¹
© 6¹
ª 24 252 253 243º
ª 2º
º , b5ª º
26. A 5 ª
ª 20 218 263 228 º
ª 27 º
ª« 25 º»
ª« 32 2128 234 291º»
© 3¹
4¹
º
ª 211 º
8
º ; b5ª
º
ª 4º
4º
º
ª
º
4»
« 25 »
© 0¹
b 5 ª 0º
ª º
« 7»
De los problemas 27 a 39, a) encuentre una matriz de permutación P y matrices triangulares
inferior y superior L y U tales que PA 5 LU; b) utilice el resultado del inciso a) para resolver
el sistema Ax 5 b.
©0
© 8¹
4¹
, b5ª
27. A 5 ª
º
« 3 21»
« 210 º»
© 5
© 0¹
4 6¹
28. A 5 ª 210 28 3º , b 5 ª 27 º
ª
º
ª º
4 2»
« 15
« 10 »
© 0 2¹
© 3¹
; b5ª º
29. A 5 ª
º
« 1 4»
« 25 »
©0
© 21 ¹
2 4¹
ª
º
30. A5 1 21 2 ; b 5 ª 2 º
ª
º
ª º
ª« 0
ª« 4 º»
3 2 º»
© 0 21
31. A " ªª 0
ª« 5
© 1¹
2¹
4 23º , b " ª 0º
º
ª º
ª« 22 º»
1
2 º»
©0
2 24 ¹
33. A 5 ª 0
3 21º ,
ª
º
3»
« 3 26
© 0 5 21¹
35. A 5 ª 2 3
5º ;
ª
º
ª« 4 6 27 º»
© 29 ¹
b 5 ª 4º
ª
º
« 210 »
© 10 ¹
b 5 ª 23º
ª º
ª« 5º»
© 0
© 4¹
5 28 ¹
ª
º
32. A 5 1 22
4 , b 5 ª 0º
ª
º
ª º
3
5»
« 21»
« 24
© 0 2 4¹
© 21 ¹
ª
º
34. A 5 0 3 7 ; b 5 ª 0 º
ª
º
ª º
ª« 4 1 5º»
ª« 2 º»
©0
2
3
ª0
4 21
36. A 5 ª
ª2
0
3
ª
5
« 1 24
© 3¹
1¹
ª 21 º
5º
º ; b5ª º
ª 2º
1º
º
ª º
6»
« 4»
2.7
Factorizaciones LU de una matriz
© 0
© 1¹
2 23
4¹
ª 0
º
ª 0º
0 25 21
º, b"ª º
38. A " ª
ª 5 21 22
ª 22 º
0º
ª
º
ª º
2
2
0
4
6
«
»
« 0»
© 8 10 29
© 29 ¹
0¹
ª 48 72 242 217 º
ª 0º
37. A 5 ª
º , b 5ª º
ª 40 54 241 28 º
ª 28 º
ª« 0 0 210
º
ª« 7 º»
7»
© 0 22
© 6¹
3
1¹
ª 0
º
ª 1º
4 23
2
º ; b5ª º
39. A 5 ª
ª 1
ª 0º
2 23
2º
ª
º
ª º
5 210 »
« 22 24
« 5»
40. Suponga que L y M son triangulares inferiores con unos en la diagonal. Demuestre que LM
es triangular inferior con unos en la diagonal. [Sugerencia: Si B 5 LM, demuestre que
n
bii 5 ∑ lik mki 5 1 y
k5 1
n
bij 5 ∑ lik mkj 5 0
si j . i.]
k5 1
41. Demuestre que el producto de dos matrices triangulares superiores es triangular superior.
© 21
2
1¹
ª
1 24 22 º tiene más de una factorización LU.
42. Demuestre que
ª
º
ª« 4 28 24 º»
© 3 23
2 5¹
ª2
1 26 0º
º
43. Realice el mismo procedimiento con la matriz ª
ª 5 22 24 5º
ª
º
8 5»
« 1 24
De los problemas 44 a 52 encuentre una factorización LU para cada matriz singular:
© 7 27 ¹
44. ª
7 º»
« 27
© 21 2 3¹
45. ª 2 1 7º
ª
º
ª« 1 3 10 º»
© 21
1 4 6¹
ª 2 21 0 2 º
º
46. ª
ª 0
3 1 5º
ª
º
3 5 13 »
« 1
© 29 22 29 ¹
47. ª 9
2
7º
ª
º
« 90 20 107 »
© 2 21
ª3
2
48. ª
ª1
3
ª
5
«4
© 2 21
ª 4 22
49. ª
ª 22
1
ª
« 6 23
© 3 22 21
2¹
ª 4
3 21 22 º
º
50. ª
ª 26 213
1 10 º
ª
º
2 20 »
« 2 224
© 0 29 22 ¹
51. ª 0 222 25 º
ª
º
« 0 244 29 »
1
7¹
1
6º
º
0 21 º
º
1
5»
0
2¹
0
4 ºº
0 22 º
º
0
6»
© 0 27 27 26 ¹
ª0
28 35
22 º
52. ª
º
ª 0 214 21 222 º
ª« 0
35 14
28 º»
De los problemas 53 a 60 encuentre una factorización LU para cada matriz no cuadrada.
© 22 27 22 2 ¹
53. ª
« 28 235 217 7 º»
© 2 1¹
54. ªª 21 4 ºº
ª« 6 0 º»
© 7 1 3 4¹
55. ª
« 22 5 6 8 º»
161
162
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
© 29
3
5 24
6¹
ª
56. 63 223 225 20 244 º
ª
º
« 45 213 234 30 237 »
© 5
1
ª 22
4
ª
6
57. ª 1
ª
2
ª 22
ª« 5 23
3¹
2º
º
1º
º
0º
1 º»
© 3
4
4 210 ¹
ª 26 24 21
22 º
ª
º
59. ª 23 244 277 212 º
ª 18 24 231 269 º
ª 212
4
37 116 º»
«
© 1
3¹
ª 2
15 º
ª
º
60. ª 21
24 º
ª 21 221º
ª 3
72 º»
«
© 21
ª 1
ª
58. ª 22
ª
ª 1
ª« 4
2
6
3
0
1
1¹
5º
º
7º
º
2º
5º»
De los problemas 61 a 66 encuentre la factorización PA 5 LU en la calculadora.
© 2 21
5
9¹
ª 4 12 16 28 º
º
62. A 5 ª
ª 13
2
5
3º
ª
º
5 28
4»
« 16
©0
2 5¹
ª
1 7º
61. A 5 3
ª
º
ª« 2 21 9º»
© 0 27 4
ª 5
3 9
63. A 5 ª
ª 2 21 0
ª
« 16 25 11
© 0.21
ª 0.91
65. A 5 ª
ª 0.46
ª
« 0.83
© 23
10
4 28
26 ¹
ª 14
5
9 218
13 º
ª
º
64. A 5 ª 71 246
59
65 222 º
ª
º
47 281
23 250 º
ª 355
ª« 14
29
31
26
92 º»
1¹
2º
º
4º
º
8»
0.32 20.34
0.37¹
0.23
0.16 20.20 º
º
0.08
0.33 20.59 º
º
0.71 20.68
0.77»
EJERCICIOS
CON
©1
ª1
ª
66. A 5 ª 0
ª
ª0
ª« 0
2 0 0 0¹
2 3 0 0º
º
5 6 1 0º
º
0 2 3 2º
0 0 5 6 º»
MATLAB 2.7
1. Si se siguen los pasos descritos en el problema 3 de MATLAB 2.6, encuentre la descomposición LU para A; es decir, encuentre L y U y verifique que LU 5 A. Aquí U no es
triangular superior sino que se encuentra en la forma escalonada reducida por renglones
(excepto que los pivotes no necesariamente son iguales a 1):
© 8 2 24 6 ¹
A 5 ª 10 1 28 9º
ª
º
ª« 4 7 10 3º»
2. El uso de la descomposición LU para resolver sistemas (con soluciones únicas) es más eficiente que los métodos presentados anteriormente.
Información de MATLAB. El comando x5A\b resuelve el sistema [A b] encontrando la
factorizacion LU de la matriz A y haciendo sustituciones hacia delante y hacia atrás. Se
2.7
Factorizaciones LU de una matriz
puede comparar la eficiencia del algoritmo utilizado para resolver un problema, si medimos el tiempo que requirió para llegar al resultado. En MATLAB, con los comandos tic,
toc (doc tic, doc toc), se puede medir el tiempo transcurrido desde que se inició
un comando hasta su fin. Con el objetivo de poder comparar la eficiencia de los diferentes
algoritmos introduzca los siguientes comandos de MATLAB en la ventana de comando
a) Elija A5rand(50) y b5rand(50,1). Introduzca
tic;A\b;toc
tic;A\b;t_lu5toc
Es necesario llevar a cabo este proceso ya que la primera vez que se llama a un algoritmo
la computadora tiene que cargar en memoria el programa adecuado. Con el segundo
comando, únicamente se mide el tiempo de ejecución del programa sin incluir el tiempo
de carga en memoria del algoritmo.
Repita ahora con
rref([A,b]);
tic;rref([A,b]);t_rref5toc
b) Repita para otros tres pares A y b (utilice tamaños diferentes y mayores que 50).
c) Comente la comparación de los dos intervalos de tiempo t_lu y t_rref.
3. MATLAB puede encontrar una descomposición LU, pero puede no ser lo que usted espera. Casi siempre existe una matriz de permutación P implícita.
a) Sea A52*rand(3)21. Introduzca [L,U,P]5lu(A) (doc lu) y verifique que LU
5 PA. Repita para dos o más matrices cuadradas aleatorias de diferentes tamaños.
b) La razón por la que casi siempre existe una P es que para minimizar los errores de redondeo, se intercambian los renglones con el objeto de que el elemento mayor (en valor
absoluto) de una columna (entre los renglones que no se han usado) esté en la posición
pivote.
Sea A5round(10*(2*rand(4)21)). Para esta A, encuentre L, U y P usando
el comando lu. Sea C5P*A.
iii) Reduzca a la forma triangular utilizando operaciones con renglones de la forma
Rj S Rj 1 c*Ri (calcule sus multiplicadores haciendo uso de la notación matricial
y realizando las operaciones con renglones mediante la multiplicación por matrices
elementales) (vea el problema 3 de MATLAB 2.6).
iii) Demuestre que puede proceder la reducción y que en cada etapa el pivote es el
elemento más grande (en valor absoluto) de los elementos de la columna que está
abajo de la posición pivote. Verifique que el resultado final es la matriz U producida
por el comando lu.
iii) Describa la relación entre los multiplicadores y sus posiciones (en la matriz elemental que realiza la operación con el renglón) y los elementos de L y sus posiciones en L.
4. Introduzca una matriz aleatoria A de 3 3 3. Encuentre L, U y P utilizando el comando lu
como en el problema 3 de MATLAB en esta sección. Interprete la información almacenada en L al igual que en el problema 3 de MATLAB 2.6 (o como se observó en el problema
2.7.3 de esta sección), realice las operaciones con renglones indicadas para PA y muestre
que el resultado final es U (debe estar seguro de referirse a un elemento de L usando la
notación matricial y no el número desplegado).
163
164
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
2.8 Teoría de gráficas: una aplicación
de matrices
En los últimos años se ha dedicado mucha atención a un área relativamente nueva de la investigación matemática denominada teoría de gráficas. Las gráficas, que se definirán en breve, son
útiles en el estudio de la forma en la cual se interrelacionan las componentes de las redes que
surgen en el comercio, las ciencias sociales, la medicina y otras áreas más. Por ejemplo, las gráficas resultan de utilidad en el estudio de las relaciones familiares en una tribu, la propagación de
una enfermedad contagiosa o una red de vuelos comerciales que comunican a un número dado
de ciudades importantes. La teoría de gráficas es un tema de gran amplitud. En esta sección se
presentarán únicamente algunas definiciones y se mostrará la cercanía de la relación entre la
teoría de gráficas y la teoría de matrices.
A continuación se ilustrará de qué manera surge una gráfica en la práctica.
EJ EM PLO 2 .8 .1
Representación de un sistema de comunicación
mediante una gráfica
Suponga que se está analizando un sistema de comunicaciones unido por líneas telefónicas.
En este sistema hay cinco estaciones. En la siguiente tabla se indican las líneas disponibles
en dirección “a”, y provenientes “de” las estaciones:
Estación
1
2
4
✓
✓
✓
3
✓
4
5
5
✓
1
2
3
✓
✓
✓
Por ejemplo, la marca del cuadro (1, 2) indica que hay una línea de la estación 1 a la estación 2.
La información en la tabla se puede representar por una gráfica dirigida como la que se ilustra
en la figura 2.3.
2
3
1
5
4
Figura 2.3
La gráfica muestra las líneas de una
estación en dirección a las otras.
Gráfica dirigida
Vértices
Aristas
En general, una gráfica dirigida es una colección de n puntos denominados vértices, denotados por V1, V2, . . . Vn, junto con un número finito de aristas que unen distintos pares de
vértices. Cualquier gráfica dirigida se puede representar mediante una matriz de n 3 n en donde
el número de la posición ij es el número de aristas que unen el vértice i con el vértice j.
2.8
EJEMPLO 2 .8 .2
Teoría de gráficas: una aplicación de matrices
Representación matricial de una gráfica dirigida
La representación matricial de la gráfica en la figura 2.3 es
©0
ª1
ª
A5ª0
ª
ª0
ª« 1
EJEMPLO 2 .8 .3
0 0¹
0 1º
º
1 0º
º
0 0º
0 0 1 0º»
1
0
0
1
0
0
0
1
(2.8.1)
Representación matricial de dos gráficas dirigidas
Encuentre las representaciones matriciales de las gráficas dirigidas en la figura 2.4.
2
4
2
1
6
3
4
3
1
a)
5
b)
Figura 2.4
Dos gráficas dirigidas.
Solución
EJEMPLO 2 .8 .4
©0
ª0
a) A 5 ª
ª0
ª
«0
©0
ª0
ª
ª1
b) A 5 ª
ª0
ª0
ª
«1
1 0 1¹
0 0 1º
º
1 0 1º
º
1 0 0»
0 0 1 0 1¹
0 0 0 1 1º
º
1 0 0 1 1º
º
1 1 0 1 0º
1 0 0 0 0º
º
1 0 0 1 0»
Obtención de una gráfica a partir de su representación matricial
Esboce la gráfica representada por la matriz
©0
ª1
ª
A5ª0
ª
ª1
ª« 0
Solución
1 1 0 1¹
0 0 1 0º
º
1 0 0 0º
º
0 1 0 1º
1 1 1 0º»
Como A es una matriz de 5 3 5, la gráfica tiene cinco vértices. Vea la
figura 2.5.
2
3
1
4
5
Figura 2.5
La gráfica dirigida representada por A.
165
166
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Observación
En los ejemplos presentados se tienen gráficas dirigidas que satisfacen las siguientes dos condiciones:
ii) Ningún vértice está conectado consigo mismo.
ii) A lo más una arista lleva de un vértice a otro.
Matriz de
incidencia
La matriz que representa una gráfica dirigida que satisface estas condiciones se denomina matriz de incidencia. Sin embargo, en términos generales es posible tener ya sea un 1 en la diagonal
principal de una representación matricial (indicando una arista de un vértice hacia sí mismo)
o un entero mayor que 1 en la matriz (indicando más de una trayectoria de un vértice a otro).
Para evitar situaciones más complicadas (pero manejables), se ha supuesto, y se seguirá suponiendo, que i) y ii) se satisfacen.
EJ EM PLO 2 .8 .5
Una gráfica dirigida que describe el dominio de un grupo
Las gráficas dirigidas se utilizan con frecuencia en sociología para estudiar las interacciones
grupales. En muchas situaciones de esta naturaleza, algunos individuos dominan a otros. El
dominio puede ser de índole física, intelectual o emocional. Para ser más específicos, se supone
que en una situación que incluye a seis personas, un sociólogo ha podido determinar quién domina a quién (esto se pudo lograr mediante pruebas psicológicas, cuestionarios o simplemente
por observación). La gráfica dirigida en la figura 2.6 indica los hallazgos del sociólogo.
P4
P1
P2
P3
P6
P5
Figura 2.6
La gráfica muestra quién domina a quién en el grupo.
La representación matricial de esta gráfica es
V2
V3
V1
V4
V5
Figura 2.7
Existen trayectorias de V1 a
V5 aun cuando no hay una
arista de V1 a V5. Una de
estas trayectorias es
V1 S V2 S V5.
©0
ª0
ª
ª0
A5ª
ª1
ª0
ª
«0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0¹
0 1 1 0º
º
0 0 0 1º
º
1 0 0 0º
1 0 0 0º
º
0 0 0 0»
No tendría mucho sentido introducir la representación matricial de una gráfica
si lo único viable fuera escribirlas. Existen varios hechos no tan visibles que se pueden preguntar sobre las gráficas. Para ilustrar lo anterior considere la gráfica en la
figura 2.7.
Observe que aunque no hay una arista de V1 a V5 es posible mandar un mensaje
entre estos dos vértices. De hecho, hay cuando menos dos maneras de hacerlo:
V1 S V2 S V5
(2.8.2)
V1 S V4 S V2 S V5
(2.8.3)
y
2.8
Teoría de gráficas: una aplicación de matrices
La ruta de un vértice hacia otro se denomina trayectoria o cadena. La trayectoria de V1 a V5
en (2.8.2) se llama 2-cadena porque atraviesa por dos aristas. La trayectoria (2.8.3) se llama
3-cadena. En general una trayectoria que atraviesa por n aristas (y por lo tanto pasa por n 1 1
vértices) se llama n-cadena. Ahora, regresando a la gráfica, se puede observar que es posible ir
de V1 a V5 a lo largo de la 5-cadena
V1 S V4 S V3 S V4 S V2 S V5
(2.8.4)
Sin embargo, no resultaría muy interesante hacerlo, ya que con una parte de la trayectoria no
se obtiene nada. Una trayectoria en la que un vértice se encuentra más de una vez se denomina
redundante. La 5-cadena (2.8.4) es redundante porque el vértice 4 se encuentra dos veces.
Es de gran interés poder determinar la trayectoria más corta (si es que existe) que une a dos
vértices en una gráfica dirigida. Existe un teorema que muestra cómo esto se puede lograr, pero
primero se hará una observación importante. Como se ha visto, la representación matricial de
la gráfica en la figura 2.3 está dada por
⎛0
⎜1
⎜
A5⎜ 0
⎜0
⎜1
⎝
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0⎞
1⎟
⎟
0⎟
0⎟
0 ⎟⎠
0⎞ ⎛ 0
1⎟ ⎜ 1
⎟⎜
0⎟ ⎜ 0
0⎟ ⎜ 0
0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0⎞ ⎛ 1
1⎟ ⎜ 1
⎟ ⎜
0⎟ 5 ⎜ 0
0⎟ ⎜ 1
0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0
Se calcula
⎛0
⎜1
⎜
2
A 5⎜0
⎜0
⎜1
⎝
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
2
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1⎞
0⎟
⎟
0⎟
1⎟
0 ⎟⎠
Observe con más cuidado las componentes de A2. Por ejemplo, el 1 en la posición (2, 4) es
el producto escalar del segundo renglón y la cuarta columna de A:
⎛ 0⎞
⎜ 0⎟
⎜ ⎟
(1 0 0 0 1) ⎜ 1 ⎟ 5 1
⎜ 0⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
El último 1 del segundo renglón representa la arista
V2 S V5
El último 1 en la cuarta columna representa la arista
V5 S V4
Al multiplicar, estos unos representan la 2-cadena
V2 S V5 S V4
167
Trayectoria
Cadena
168
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
De igual manera, el 2 en la posición (5, 2) de A2 es el producto escalar del quinto renglón y la
segunda columna de A:
⎛ 1⎞
⎜ 0⎟
⎜ ⎟
(1 0 0 1 0 ) ⎜ 0 ⎟ 5 2
⎜ 1⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
Siguiendo el razonamiento anterior se puede apreciar que esto indica el par de 2-cadenas:
V5 S V1 S V2
y
V5 S V4 S V2
Si se generalizan estos hechos se pueden probar los siguientes resultados:
T
Teorema 2 .8.1
Si A es la matriz de incidencia de una gráfica dirigida, la componente ij de A2 da el número de 2-cadenas de un vértice i a un vértice j.
Haciendo uso de este teorema se puede demostrar que el número de 3-cadenas que unen el
vértice i con el vértice j es la componente ij de A3. En el ejemplo 2.8.2
⎛1
⎜1
⎜
3
A 5⎜1
⎜1
⎜2
⎝
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0⎞
1⎟
⎟
1⎟
0⎟
2 ⎟⎠
Por ejemplo, las dos 3-cadenas del vértice 4 al vértice 2 son
V4 S V3 S V4 S V2
y
V4 S V2 S V1 S V2
Ambas cadenas son redundantes. Las dos 3-cadenas del vértice 5 al vértice 1 son
V5 S V4 S V2 S V1
y
V5 S V1 S V2 S V1
El siguiente teorema responde la pregunta que se hizo acerca de encontrar la trayectoria más
corta entre dos vértices.
2.8
T
Teoría de gráficas: una aplicación de matrices
169
Teorema 2 .8.2
Sea A una matriz de incidencia de una gráfica dirigida. Sea aij(n) la componente ij de An.
iii) Si aij(n) 5 k, entonces existen exactamente k n-cadenas del vértice i al vértice j.
iii) Más aún, si aij(m) 5 0 para toda m < n y aij(n) Z 0, entonces la cadena más corta del
vértice i al vértice j es una n-cadena.
EJEMPLO 2 .8 .6
Cálculo de cadenas mediante las potencias
de la matriz de incidencia
En el ejemplo 2.8.2 se tiene
⎛0
⎜1
⎜
A5⎜ 0
⎜0
⎜1
⎝
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
⎛1
⎜3
⎜
4
A 5⎜1
⎜2
⎜2
⎝
0⎞
1⎟
⎟
0⎟ ,
0⎟
0 ⎟⎠
0
0
1
0
1
2
1
2
2
3
1
0
1
1
1
0
2
1
1
2
⎛1
⎜1
⎜
2
A 5⎜0
⎜1
⎜0
⎝
1⎞
2⎟
⎟
0⎟
2⎟
0 ⎟⎠
y
0
1
1
0
2
0
0
1
0
1
1⎞
0⎟
⎟
0⎟ ,
1⎟
0 ⎟⎠
0
1
0
1
0
⎛3
⎜3
⎜
5
A 5⎜2
⎜4
⎜3
⎝
1
5
2
3
4
0
2
1
1
2
⎛1
⎜1
⎜
3
A 5⎜1
⎜1
⎜2
⎝
2
2
1
3
1
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0⎞
1⎟
⎟
1⎟
0⎟
2 ⎟⎠
2⎞
1⎟
⎟
2⎟
2⎟
3 ⎟⎠
N
También se tienen 5-cadenas (todas
redundantes) que unen el vértice 2
consigo mismo.
(1)
(2)
(3)
( 4)
Como a13
5 a13
5 a13
5 0 y a13
5 1, se observa que la ruta más corta del vértice 1 al vértice 3 es una 4-cadena que está dada por
V1 S V2 S V5 S V4 S V3
EJEMPLO 2 .8 .7
N
Dominio indirecto de un grupo
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0⎞
0⎟
⎟
1⎟
,
0⎟
0 ⎟⎟
0 ⎟⎠
⎛0
⎜1
⎜
0
A2 5 ⎜
⎜0
⎜0
⎜
⎜⎝ 0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0⎞
0⎟
⎟
0⎟
1⎟
1 ⎟⎟
0 ⎟⎠
⎛0
⎜0
⎜
0
A3 5 ⎜
⎜0
⎜0
⎜
⎜⎝ 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Nota
En el mundo real las situaciones son
mucho más complejas. Puede haber
cientos de estaciones en una red de
comunicaciones o cientos de individuos
en un estudio sociológico dominantepasivo. En estos casos, las matrices son
esenciales para manejar la gran cantidad de datos que deben estudiarse.
En el ejemplo de sociología (ejemplo 2.8.5), una cadena (que no es una arista)
representa control indirecto de una persona sobre otra. Es decir, si Pedro domina a Pablo, quien domina a María, se puede ver que Pedro ejerce algún control
(aunque sea indirecto) sobre María. Para determinar quién tiene control directo
o indirecto sobre quién, sólo es necesario calcular las potencias de la matriz de
incidencia A. Se tiene
⎛0
⎜0
⎜
0
A5⎜
⎜1
⎜0
⎜
⎜⎝ 0
Nota
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0⎞
2⎟
⎟
0⎟
0⎟
0 ⎟⎟
0 ⎟⎠
Como se vio en la gráfica de la figura 2.6, página 166, estas matrices muestran que la persona P2 tiene control directo o indirecto sobre todas las demás. Él o ella tiene control directo
sobre P4 y P5, control de segundo orden sobre P1 y P3, y control de tercer orden sobre P6.
170
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Problemas 2.8
De los problemas 1 a 4 encuentre la representación matricial de la gráfica dirigida dada.
1.
2.
1
2
4
3
1
4
5
6
2
3
5
3.
4.
3
2
4
5
1
3
2
4
1
5
6
6
De los problemas 5 a 8 dibuje las gráficas que representan las matrices dadas.
⎛0
⎜1
5. ⎜
⎜1
⎜
⎝1
1 0 1⎞
0 0 0⎟
⎟
1 0 1⎟
⎟
0 1 0⎠
©0
ª0
ª
1
6. ª
ª0
ª0
ª
ª« 0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1¹
0º
º
0º
0º
1 ºº
0 º»
⎛0
⎜1
⎜
8. ⎜ 0
⎜
⎜0
⎜⎝ 0
0 1 1 0⎞
1 1 1 1⎟
⎟
1 0 1 0⎟
⎟
1 0 0 1⎟
0 0 1 0⎟⎠
©0
ª1
ª
1
9. ª
ª0
ª0
ª
ª« 1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0¹
0º
º
1º
0º
1 ºº
0 º»
⎛0
⎜0
⎜
7. ⎜ 1
⎜
⎜1
⎜⎝ 0
1 0 1 0⎞
0 1 1 1⎟
⎟
1 0 0 0⎟
⎟
0 0 0 0⎟
1 1 1 0⎟⎠
10. Aplique el mismo procedimiento para la gráfica del problema 3.
11. Pruebe que la ruta más corta que une dos vértices en una gráfica
dirigida no es redundante.
P2
P6
P3
P3
P5
P1
12. Si A es la matriz de incidencia de una gráfica dirigida, muestre
que A 1 A2 representa el número total de 1- y 2-cadenas entre
los vértices.
13. Describa la dominación directa e indirecta dada por la gráfica
de la figura 2.8.
Figura 2.8
Ejercicios de repaso
Ejercicios de repaso
E
De los ejercicios 1 a 8 calcule la forma escalonada por renglones y la inversa (si existe) de la
matriz dada.
©1 7 ¹
1. ª
« 3 20 º»
© 2 3¹
2. ª
« 21 4 º»
© 21
2¹
3. ª
« 2 24 º»
©1
2 24 ¹
ª
º
4. ª 3 21
2º
ª 4 26 12 º
«
»
©1 2
0¹
ª
5. 2 1 21º
ª
º
ª« 3 1
1º»
© 21 2
0¹
ª
6.
4 1 23 º
ª
º
ª« 2 5 23 º»
© 0 22
2¹
ª
º
7. ª 7
0 21º
ª3
0
6 º»
«
© 2 0 4¹
8. ª 21 3 1 º
ª
º
ª« 0 1 2 º»
De los ejercicios 9 a 13, primero escriba el sistema en la forma Ax 5 b, después calcule A21 y,
por último, use la multiplicación de matrices para obtener el vector solución.
9.
11.
x1 2 3x2 5 4
2x1 1 5x2 5 7
10.
x1 1 2x2
53
2x1 1 x2 2 x3 5 21
3x1 1 x2 1 x3 5 7
12.
x1 1 7x2 5 3
3x1 2 20x2 5 8
2x1
1 4x3 5 7
2x1 1 3x2 1 x3 5 24
x2 1 2x3 5 5
© 1 23
0 22 ¹
ª 3 212 22 26 º
º
13. Sea E " ª
ª 22
10
2
5º
ª
º
6
1
3»
« 21
a) Determine si la matriz E dada es invertible; si lo es, calcule su inversa utilizando la
adjunta.
b) Determine E 21 1 Adj E 5
c) Determine E ^ 1 E 21 1 Adj E 5
d) Determine (E 21 1 E ^) 1 E ^ 1 E 21 1 Adj E 5
De los ejercicios 14 a 22 calcule la transpuesta de la matriz dada y determine si la matriz es
simétrica o antisimétrica.11
© 3 22 25 ¹
14. ª
2 º»
« 1 24
© 0
3 1 2i
ª
17. ª 23 2 2i
0
ª 24 1 3i 21 2 i
«
11
4 2 3i ¹
º
1 1 i º , i 5 21
0 º»
© 4 6¹
15. ª
« 6 4 º»
© 2 21¹
16. ª
3º»
« 211
© 0
5 6¹
ª
18. 25
0 4º
ª
º
ª« 26 24 0 º»
© 0
1 22 ¹
ª
19. 21
0
3º
ª
º
ª« 2 23
0º»
Del problema 2.5.22 de la página 132 se tiene que A es antisimétrica si A^ 5 2A.
171
172
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
© 0
1 21
1¹
ª 21
1 22 º
0
º
21. ª
ª 1
1
0
1º
ª
º
0»
« 1 22 21
© 1 21
4
6¹
ª 21
2
5
7º
º
20. ª
ª 4
5
3 28 º
ª
º
7 28
9»
« 6
©2
0¹
22. Sea F " ª
calcule (F ^ 1 F 21) 21
« 0 22 º»
De los ejercicios 23 a 27 encuentre una matriz elemental de 3 3 3 que llevaría a cabo las operaciones con renglones dadas.
23. R1 N R3
24. R1 S R1 1 2R2
26. R3 S 8R3
27. R2 S R2 1 1–5 R3
25. R3 S R3 2 5R1
De los ejercicios 28 a 31 encuentre la inversa de la matriz elemental.
© 1 3¹
28. ª
« 0 1º»
© 0 1 0¹
29. ªª 1 0 0ºº
ª« 0 0 1º»
©1 0
0¹
ª
0º
30. ª 0 1
º
ª« 0 0 2 1 º»
3
© 1 0 0¹
31. ªª 0 1 0ºº
ª« 2 0 1º»
De los ejercicios 32 y 33 escriba la matriz como el producto de matrices elementales.
© 3 21¹
32. ª
º
ª« 21
1º»
©1 0
3¹
ª
33. 2 1 25 º
ª
º
ª« 3 2
4 º»
De los ejercicios 34 y 35 escriba cada matriz como el producto de matrices elementales y una
matriz triangular superior.
© 2 21 ¹
34. ª
2 º»
« 24
© 7
9 25 ¹
ª
º
1º
3
35. ª 9
ª 28 28 10 º
«
»
De los ejercicios 36 y 37 encuentre la factorización LU de A y utilícela para resolver Ax 5 b.
© 1 22 5¹
© 21 ¹
ª
º
36. A 5 2 25 7 ; b 5 ª 2 º
ª
º
ª º
ª« 4 23 8º»
ª« 5º»
© 22 ¹
© 5 3 210 ¹
ª
º
37. A 5 ª 35 14 275 º ; b 5 ª 226 º
ª
º
ª« 20 82
ª« 102 º»
0 º»
De los ejercicios 38 y 39 encuentre una matriz permutación P y las matrices L y U tales que PA
5 LU y utilícelas para resolver el sistema Ax 5 b.
© 0 21
© 3¹
4¹
ª
º
5
8 ; b 5 ª 22 º
38. A 5 3
ª
º
ª º
ª« 1
ª« 21º»
3 22 º»
39.
©0 3
© 22 ¹
2¹
ª
º
4 ; b 5 ª 8º
A5 1 2
ª
º
ª º
ª« 2 6 25 º»
ª« 10 º»
Ejercicios de repaso
De los ejercicios 40 y 41 encuentre la matriz que representa cada gráfica.
2
40.
41.
2
1
3
4
3
1
4
©0
ª1
ª
42. Dibuje la gráfica representada por la siguiente matriz: ª 0
ª1
ª1
«
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1¹
0º
º
1º .
1º
0 º»
173
174
CAPÍTULO 2
Vectores y matrices
Capítulo
Determinantes
3
r1(t) 5 a11 x(t) 1 a12 y(t) 1 a13 z(t)
x(n)
Modulador
y(n)
Modulador
z(n)
Modulador
x(t)
y(t)
z(t)
MIMO
Receptor
x(n)
y(n)
z(n)
r3(t) 5 a31 x(t) 1 a32 y(t) 1 a33 z(t)
En el estudio de sistemas de comunicaciones inalámbricos con múltiples entradas y múltiples salidas, información diversa es
transmitida de forma simultánea por cada una de las antenas de transmisión. Los determinantes juegan un papel
importante en las estrategias de codificación de la información transmitida y recibida. [Fuente:
http://rfdesign.com/military_defense_,electronics/0408DE-MIMO-wireless-revolution-FigureOl.jpg.]
Objetivos del capítulo
En este capítulo el estudiante. . .
• Estudiará la definición inductiva de los determinantes y el
caso particular para matrices triangulares y su interpretación
como área de un paralelogramo (sección 3.1).
• Aprenderá las propiedades fundamentales de los determinantes relacionadas con la multiplicación entre matrices y
factorizaciones LUP, así como las propiedades para simplificar su evaluación sin tener que hacer uso de la definición
inductiva (sección 3.2).
• Relacionará la determinante de una matriz con la existencia
de su inversa (sección 3.3).
• Se familiarizará con el uso de las determinantes para encontrar fórmulas cerradas para la solución de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas (sección 3.4).
• Aprenderá las definiciones de los teoremas relacionados con
las propiedades de los determinantes (sección 3.2).
176
CAPÍTULO 3
Determinantes
3.1 Definiciones
⎛a
Sea A 5 ⎜ 11
⎝ a21
a12 ⎞
una matriz de 2 3 2. En la sección 2.4 en la página 107 se definió el detera22 ⎟⎠
minante de A como
det A 5 a11a22 – a12a21
(3.1.1)
Con frecuencia se denotará det A por
| A| o
a11
a21
a12
a22
(3.1.2)
Se demostró que A es invertible si y sólo si det A Z 0. Como se verá más adelante, este importante teorema es válido para las matrices de n 3 n.
No hay que confundir esta notación con
En este capítulo se desarrollarán algunas propiedades básicas de los determilas barras de valor absoluto. |A| denota
nantes y se verá cómo se pueden utilizar para calcular la inversa de una matriz y
det A si A es una matriz cuadrada. |x|
resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas.
denota el valor absoluto de x si x es un
El determinante de una matriz de n 3 n se definirá de manera inductiva. En
número real o complejo.
otras palabras, se usará lo que se sabe sobre un determinante de 2 3 2 para definir
un determinante de 3 3 3, que a su vez se usará para definir un determinante de 4 3 4, y así
sucesivamente. Se comienza por definir un determinante de 3 3 3.†
Observación
D
Definición 3.1.1
Determinante de 3 3 3
⎛ a11
⎜
Sea A 5 ⎜ a21
⎜ a31
⎝
N
a12
a22
a32
a13 ⎞
⎟
a23 ⎟ . Entonces
a33 ⎟⎠
Nota
Observe el signo menos antes del
segundo término del lado derecho de
(3.1.3).
det A 5 | A | 5 a11
EJ EM PLO 3 .1 .1
a22
a23
a32
a33
2 a12
a21
a23
a31
a33
1 a13
a21
a31
a22
a32
(3.1.3)
Cálculo de un determinante de 3 3 3
⎛ 4
7 22⎞
⎜
⎟
Sea A 5 ⎜ 3 2 5
1 ⎟ . Calcule |A|.
⎜ 28
6
9 ⎟⎠
⎝
†
Existen varias maneras de definir un determinante y ésta es una de ellas. Es importante darse cuenta de que “det” es
una función que asigna un número a una matriz cuadrada.
3.1
Definiciones
Solución
4
7 22
3 25
| A|5
28
6
1 54
9
3 25
25 1
3 1
27
1 (2 2)
6 9
28
6
28 9
5 4((2 5)(9) 2 (6)(1)) 2 7((3)(9) 2 (2 8)(1)) 1 (2 2)((3)(6) 2 (2 8)(2 5))
5 4(2 51) 2 7(35) 2 2(2 22)
52 405
EJEMPLO 3 .1 .2
Cálculo de un determinante de 3 3 3
.
Calcule
Solución
5 ⋅ 1 2 1 2 5
Hay otro método con el que se pueden calcular determinantes de 3 3 3. De la ecuación (3.1.3)
se tiene
a11
a12
a13
a21
a22
a31
a32
a23 5 a11 ( a22 a33 2 a23 a32 ) 2 a12 ( a21a33 2 a23 a31 ) 1 a13 ( a21a32 2 a22 a31 )
a33
es decir
| A | 5 a11a22 a33 1 a12 a23 a31 1 a13 a21a32 2 a13 a22 a31 2 a12 a21a33 2 a11a32 a33
(3.1.4)
Se escribe A y se le adjuntan sus primeras dos columnas:
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
2 2
2
a11 a12
a21
a31
1
a22
a32
1
1
A continuación se calculan los seis productos, poniendo signo menos antes de los productos
con flechas hacia arriba, y se suman todos. Esto da la suma de la ecuación (3.1.4).
EJEMPLO 3 .1 .3
Calcule
Cálculo de un determinante de 3 3 3 usando el nuevo método
usando el nuevo método.
177
178
CAPÍTULO 3
Determinantes
Solución
Si se escribe
y se multiplica como lo indican las flechas
se obtiene
!
Advertencia
Este método no funciona para determinantes de n 3 n si n . 3. Si intenta algo similar para determinantes de 4 3 4
o de orden mayor, obtendrá una respuesta equivocada.
Antes de definir los determinantes de n 3 n debe observarse que la ecuación (3.1.3) está for⎛ a22 a23 ⎞
mada por tres determinantes de 2 3 2, si definimos las siguientes matrices: M11 5 ⎜
⎟
⎝ a32 a33 ⎠
(es la matriz formada al eliminar el primer renglón y la primera columna de la matriz A);
⎛ a21 a23 ⎞
M12 5 ⎜
⎟ (es la matriz formada al eliminar el primer renglón y la segunda columna
⎝ a31 a33 ⎠
⎛ a21 a22 ⎞
de la matriz A), y M13 5 ⎜
⎟ (es la matriz formada al eliminar el primer renglón y la
⎝ a31 a32 ⎠
tercera columna de la matriz A). Si ahora definimos a A11 5 det M11, A12 5 2det M12 y A13 5
det M13, podemos escribir la ecuación (3.1.3) como
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
det A 5 | A | 5 a11A11 1 a12 A12 1 a13 A13
(3.1.5)
Utilizando las observaciones del párrafo anterior podemos definir ahora el caso general de
estas matrices, resultado de eliminar algún renglón o columna de una matriz.
D
Definición 3.1.2
Menor
Sea A una matriz de n 3 n y sea Mij la matriz de (n 21) 3 (n 21) que se obtiene de A
eliminando el renglón i y la columna j. Mij se llama el menor ij de A.
Menor ij de A
EJ EM PLO 3 .1 .4
Cálculo de dos menores de una matriz de 3 3 3
. Encuentre M13 y M32.
Sea
Solución
Eliminando el primer renglón y la tercera columna de A se obtiene
⎛ 0 1⎞
. De manera similar, si se elimina el tercer renglón y la segunda columna se obtiene
M13 5 ⎜
⎝ 6 3⎟⎠
⎛ 2 4⎞
M 32 5 ⎜
.
⎝ 0 5⎟⎠
3.1
EJEMPL O 3 .1 .5
Sea
Definiciones
179
Cálculo de dos menores de una matriz de 4 3 4
. Encuentre M32 y M24.
Solución
Al quitar el tercer renglón y la segunda columna de A se encuentra que
⎛ 1 5 6⎞
M 32 5 ⎜ 2 0 3⎟ . De igual manera,
⎜
⎟
⎜⎝ 4 2 7⎟⎠
D
Definición 3.1.3
Cofactor
Sea A una matriz de n 3 n. El cofactor ij de A, denotado por Aij, está dado por
Aij 5 (21)i1j)Mij)
Cofactor ij de A
(3.1.6)
Esto es, el cofactor ij de A se obtiene tomando el determinante del menor ij y multiplicándolo por (21)i1j. Observe que
¯² 1
(21)i1 j 5 °
²± 21
EJEMPL O 3 .1 .6
si i 1 j es par
si i 1 j es impar
Cálculo de dos cofactores de una matriz de 4 3 4
En el ejemplo 3.1.5 se tiene
1 5 6
A32 5 (21)312 M 32 52 2 0 3 528
4 2 7
A24 5 (21)
214
Observación
La definición 3.1.3 tiene sentido a partir de la definición de un determinante
de n 3 n con la suposición de que ya
se sabe lo que es un determinante de
(n 2 1) 3 (n 2 1).
1 23 5
1
5 9 52192
4
0 2
Con las definiciones anteriores de cofactores estamos en posibilidad de considerar el caso genaral de matrices de n 3 n. Considere
© a11
ª
a
A 5 ª 21
ª
ª
« an1
a12
a22
an 2
a1n ¹
º
a2 n º
º
º
ann »
(3.1.7)
180
CAPÍTULO 3
D
Determinantes
Definición 3.1.4
Determinante n 3 n
Observación
En la ecuación (3.1.8) se define el
determinante mediante la expansión
por cofactores en el primer renglón de
A. En la siguiente sección se verá (teorema 3.2.5) que se obtiene la misma
respuesta si se expande por cofactores
en cualquier renglón o columna.
Sea A una matriz de n 3 n como en (3.1.7). Entonces el determinante de A,
denotado por det A o |A|, está dado por
det A 5 A 5 a11A11 1 a12 A12 1 a13 A13 1 $ 1 a1n A1n
n
5 ¨ a1k A1k
(3.1.8)
k5 1
La expresión en el lado derecho de (3.1.8) se llama expansión por cofactores.
Expansión
por cofactores
EJ EM PLO 3 .1 .7
Cálculo del determinante de una matriz de 4 3 4
Calcule det A, de donde
1
Solución
3 5 2
0 21 3 4
5 a11A11 1 a12 A12 1 a13 A13 1 a14 A14
2
1 9 6
3
2 4 8
Es obvio que el cálculo del determinante de una matriz de n 3 n puede ser laborioso. Para
calcular un determinante de 4 3 4 deben calcularse cuatro determinantes de 3 3 3. Para calcular
un determinante de 5 3 5 deben calcularse cinco determinantes de 4 3 4, lo que equivale a
calcular veinte determinantes de 3 3 3. Por fortuna existen técnicas que simplifican estos cálculos. Algunos de estos métodos se presentan en la siguiente sección. Sin embargo, existen algunas
matrices para las cuales es muy sencillo calcular los determinantes. Se comienza por repetir la
definición dada en la página 139.
D
Definición 3.1.5
Matriz triangular
Matriz triangular
superior
Matriz triangular
inferior
Matriz diagonal
Una matriz cuadrada se denomina triangular superior si todas sus componentes abajo
de la diagonal son cero. Es una matriz triangular inferior si todas sus componentes arriba de la diagonal son cero. Una matriz se denomina diagonal si todos los elementos que
no se encuentran sobre la diagonal son cero; es decir, A 5 (aij) es triangular superior si
aij 5 0 para i . j, triangular inferior si aij 5 0 para i , j y diagonal si aij 5 0 para i Z j.
Observe que una matriz diagonal es tanto triangular superior como triangular inferior.
3.1
EJEMPLO 3 .1 .8
Seis matrices triangulares
⎛ 22
⎛2 1
7⎞
⎜ 0
Las matrices A 5 ⎜ 0 2 25 ⎟ y B 5 ⎜
⎜
⎟
⎜ 0
⎜⎝ 0 0
1⎟⎠
⎜
⎝ 0
1⎞
4⎟
⎟ son triangulares superiores;
0 1
3⎟
⎟
0 0 22 ⎠
3 0
0 2
son triangulares inferiores; I (la matriz identidad) y
son diagonales. Observe que la matriz E es también triangular superior y
triangular inferior.
EJEMPL O 3 .1 .9
El determinante de una matriz triangular inferior
© a11
ª
a21
La matriz A 5 ª
ª a31
ª
ª« a41
Solución
0
0
0
a22
a32
a33
a42
a43
¹
º
º es triangular inferior. Calcule det A.
º
º
a44 º»
0
0
0
det A 5 a11A11 1 0 A12 1 0 A13 1 0 A14 5 a11A11
5 a11
a22
a32
a33
0
0
a42
a43
a44
5 a11a22
0
a33
0
a43
a44
5 a11a22 a33 a44
El ejemplo 3.1.9 se puede generalizar para probar el siguiente teorema.
T
Teorema 3.1.1
Sea A 5 (aij) una matriz de n 3 n triangular superior o inferior. Entonces
det A 5 a11a22a33 … ann
(3.1.9)
Esto es: el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus componentes
en la diagonal.
Demostración
La parte triangular inferior del teorema se deduce del ejemplo 3.1.9. Se demostrará la
parte triangular superior por inducción matemática comenzando con n 5 2. Si A es una
Definiciones
181
182
CAPÍTULO 3
Determinantes
© a11 a12 ¹
matriz triangular superior de 2 3 2, entonces A 5 ª
º y det A 5 a11a22 – a12 ? 0
« 0 a22 »
5 a11a22, de manera que el teorema se cumple para n 5 2. Se supondrá que se cumple
para k 5 n 21 y se demostrará para k 5 n. El determinante de una matriz triangular
superior de n 3 n es
a11
a11
a13
a1n
0
a22
a23
a2 n
0
0
a33
a3 n 5 a11
0
0
0
1 a13
ann
0 a22
a2 n
0
0
a3 n
0
0
ann
a22
a23
a2 n
0 a23
a2 n
0
a33
a3 n
0 a33
a3 n
0
0
ann
0
ann
1 (2 1)1 1 n a1n
1
2 a12
0 a22
a2,n21
0
0
a3,n21
0
0
0
0
Cada uno de estos determinantes es el determinante de una matriz triangular superior
de (n 21) 3 (n 21) que, de acuerdo con la hipótesis de inducción, es igual al producto
de las componentes en la diagonal. Todas las matrices, excepto la primera, tienen una
columna de ceros, por lo que por lo menos una de sus componentes diagonales es cero.
De este modo, todos los determinantes, excepto el primero, son cero. Por último,
det A 5 a11
a22
a23
a2 n
0
a33
a3 n
0
0
ann
5 a11 ( a22 a33
ann )
lo que prueba que el teorema se cumple para matrices de n 3 n.
EJ EM PLO 3 .1 .1 0
Determinantes de seis matrices triangulares
Los determinantes de las seis matrices triangulares en el ejemplo 3.1.8 son |A| 5 2 ? 2 ? 1 5 4;
|B| 5 (22)(0)(1)(22) 5 0; |C| 5 5 ? 3 ? 4 5 60; |D| 5 0; |I| 5 1; |E| 5 (2)(27)(24) 5 56.
El siguiente teorema será de gran utilidad.
T
Teorema 3.1.2
Sea T una matriz triangular superior. Entonces T es invertible si y sólo si det T Z 0.
Demostración
Sea
© a11
ª
ª 0
T 5ª 0
ª
ª
ª 0
«
a12
a13
a22
a23
0
a33
0
0
a1n ¹
º
a2 n º
a3 n º
º
º
ann º»
3.1
Definiciones
183
Del teorema 3.1.1,
det T 5 a11a22 . . . ann
Así, det T Z 0 si y sólo si todos sus elementos en la diagonal son diferentes de cero.
Si det T Z 0, entonces T se puede reducir por renglones a I de la siguiente manera.
Para i 5 1, 2, . . . , n, se divide el renglón i de T por aii Z 0 para obtener
© 1 a12
e
ª
ª0 1
ª
ª
«0 0
a1en ¹
º
a2e n º
º
º
1»
Ésta es la forma escalonada por renglones de T, que tiene n pivotes, y por el teorema de
resumen (2.6.4) de la página 138, T es invertible.
Suponga que det T 5 0. Entonces al menos una de las componentes de la diagonal
es cero. Sea aii la primera de estas componentes. Entonces T se puede escribir como
© a11
ª
ª 0
ª
ª
ª 0
T 5ª
ª 0
ª 0
ª
ª
ª 0
«
a12
a1,i21
a1i
a1,i11
a22
a2,i21
a2i
a2,i11
0
ai21,i21
ai21,i
ai21,i11
0
0
0
ai ,i11
0
0
0
ai11,i11
0
0
0
0
a1n ¹
º
a2 n º
º
º
ai21,n º
ain ºº
ai11,n º
º
º
ann º»
Cuando T se reduce a su forma escalonada por renglones, no se tiene pivote en la columna i (explique por qué). Entonces la forma escalonada por renglones de T tiene menos
de n pivotes, y por el teorema de resumen se puede concluir que T no es invertible.
Interpretación geométrica del determinante de 2 3 2
Sea
En la figura 3.1 se graficaron los puntos (a, c) y (b, d) en el plano xy y se dibuja-
ron los segmentos de recta de (0, 0) a cada uno de estos puntos. Se supone que estas dos rectas
no son colineales. Esto equivale a suponer que (b, d) no es un múltiplo de (a, c).
El área generada por A se define como el área del paralelogramo con tres vértices en
(0, 0), (a, c) y (b, d).
y C(a 1 b, c 1 d)
B(b, d)
c
Q
a
A(a, c)
d
b
0
x
Figura 3.1
Q está en el segmento de línea BC y también en la recta perpendicular
–– ––
a BC que pasa por el origen. El área del paralelogramo es 0Q 3 0A .
Área generada
por A
184
CAPÍTULO 3
Determinantes
T
Teorema 3.1.3
El área generada por A 5 |det A|.†
Demostración
Se supone que a y c son diferentes de cero. La prueba para a 5 0 o c 5 0 se dejará como
ejercicio (vea el problema 21 de esta sección).
El área del paralelogramo 5 base 3 altura. La base del paralelogramo en la figura
3.1 tiene longitud 0 A 5 a 2 1 c 2 . La altura del paralelogramo es 0Q , de donde 0Q es
el segmento perpendicular a BC. De la figura se ve que las coordenadas de C, el cuarto
vértice del paralelogramo, son x 5 a 1 b y y 5 c 1 d. Así,
Pendiente de BC =
Δy ( c + d ) − d c
=
=
Δx ( a + b ) − b a
Entonces la ecuación de la recta que pasa por B y C es
y2d c
5
x 2b a
o
y5
c
bc
x1d 2
a
a
Propiedad iv), página 2
Pendiente de 0Q 52
1
a
52
pendiente de BC
c
La ecuación de la recta que pasa por (0, 0) y Q es
( y 2 0)
a
52
( x 2 0)
c
o
a
y 52 x
c
Q es la intersección de BC y 0Q, por lo que satisface ambas ecuaciones. En el punto de
intersección se tiene
c
bc
a
x 1 d 2 52 x
a
a
c
bc
© c a¹
ª« 1 º» x 5 2 d
a c
a
bc 2 ad
a2 1 c2
x5
a
ac
ac ( bc 2 ad ) c ( bc 2 ad )
c ( ad 2 bc )
c det A
5 2
52 2
52 2
x5
a(a 2 1 c 2 )
a 1 c2
a 1 c2
a 1 c2
y
c det A a det A
a
a
5
y 52 x 52 ?2 2
c
c
a 1 c2 a2 1 c2
© 2c det A a det A¹
Entonces Q tiene coordenadas ª 2
,
º
« a 1 c2 a2 1 c2 »
†
Aquí |det A| denota el valor absoluto del determinante de A.
3.1
Definiciones
185
y
0Q 5 distancia de (0, 0) a Q 5
5
c 2 (det A)2 a 2 (det A)2
1 2
( a 2 1 c 2 )2
( a 1 c 2 )2
det A
( c 2 1 a 2 )(det A)2
(det A)2
5
5
2
2 2
2
2
a 1c
(a 1 c )
a2 1 c2
Finalmente,
área del paralelogramo 5 0 A 3 0Q 5 a 2 1 c 2 3
det A
a2 1 c2
5 det A
Se podrá dar una demostración mucho más sencilla de este teorema cuando se analice el producto cruz de dos vectores en la sección 4.4.
R
Resumen 3.1
⎛a
• El determinante de una matriz de 2 3 2, A 5 ⎜ 11
⎝ a21
a12 ⎞
está dado por
a22 ⎟⎠
(p. 176)
Determinante de A 5 det A 5 |A| 5 a11a22 – a12a21
• Determinante de 3 3 3
⎛ a11
⎜
det ⎜ a21
⎜ a31
⎝
a12
a22
a32
a13 ⎞
a22
⎟
a23 ⎟ 5 a11
a32
a33 ⎟⎠
a23
a33
2 a12
a21
a23
a31
a33
1 a13
a21
a22
a31
a32
(p. 176)
• El menor ij de la matriz A de n 3 n, denotado por Mij, es la matriz de (n 2 1) 3 (n 2 1) obtenida
al eliminar el renglón i y la columna j de A.
(p. 178)
• El cofactor ij de A, denotado por Aij, está dado por
Aij 5 (2i)i1j det Mij
(p. 179)
• Determinante de n 3 n
Sea A una matriz de n 3 n. Entonces
(p. 180)
n
det A 5 a11A11 5 a12 A12 1 $ 1 a1n A1n 5 ∑ a1k A1k
k5 1
La suma anterior se denomina la expansión de det A por cofactores en el primer renglón.
• Si A es una matriz de n 3 n, triangular superior, triangular inferior o diagonal, cuyas componentes en la diagonal son a11, a22, . . . , ann, entonces
det A 5 a11a22 . . . ann
(p. 180)
(p. 181)
186
CAPÍTULO 3
A
Determinantes
A U T O E V A L U A C I Ó N 3.1
III) ¿Cuál de los siguientes es el cofactor de 3 en
a) 8
b) 28
c) 3
d) 6
e) 210
f) 0
?
III) ¿Cuál de las siguientes es 0 para toda a y b?
a)
b)
c)
d) Los determinantes no se pueden establecer porque no se parecen los valores de
a y b.
, entonces det A 5 ____________.
III) Si
a) 0
b) 12
c) 212
d) 6
e) 26
IV) ¿Cuáles de las siguientes matrices no son invertibles?
⎛ 2 4 7⎞
a) ⎜⎜ 0 3 0⎟⎟
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
⎛ 2 4 7⎞
b) ⎜⎜ 0 0 3⎟⎟
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
c)
d)
Respuestas a la autoevaluación
I) a)
II) b)
III) c)
IV) b), c)
MANEJO DE LA CALCULADORA 3.1
Se puede calcular el determinante de una matriz de una forma sencilla, como se muestra
a continuación. Una vez que se tiene una matriz en la pila, se da el comando DET, segui⎛ 21
3
5⎞
⎜
⎟
do de la tecla Enter. Por ejemplo, sea A 5 ⎜ 4 2 2
8 ⎟ ; calcule det A.
⎜ 3 22 27⎟
⎝
⎠
W¢W¢4i
W¢4ii
W¢446Q:;J
6
3.1
Definiciones
Problemas 3.1
En los problemas 1 al 16 calcule el determinante.
1.
7
9
25
9
3
1
28 28
10
2.
5.
10 10 28
1 0 3
0 1 4
2 1 0
4. 27
10
3.
6 210 4
7 5
7. 10
6.
3
22 210 7
9.
10.
0
15.
0 0
0
0
0
7 0
0
0
29
1 0
0
0
26
0 0 22 27
9 29 0 25
0
11.
0
6
8 25
0
0
0 23
13. 25
0
25 4 21
0
0
12.
0
0
26
8.
9 5
0 210 0
0
0
2 0 3 1
0 1 4 2
0 0 1 5
1 2 3 0
0
0 25 26
0
0 28
0
0
2
0 27
0
2
1
28
14.
0
0 28
16.
0 22
6
9
0 210
0
27
1
0
0
9
23
25
0
7
22
0 210
0 24
5
5
3 27
17. Demuestre que si A y B son matrices diagonales de n 3 n, entonces det AB 5 det A det B.
*18. Demuestre que si A y B son matrices triangulares inferiores, entonces AB 5 det A det B.
19. Demuestre que, en general, no se cumple que det (A 1 B) 5 det A 1 det B.
20. Muestre que si A es triangular, entonces det A Z 0 si y sólo si todos los elementos en la
diagonal de A son diferentes de cero.
187
188
CAPÍTULO 3
Determinantes
21. Pruebe el teorema 3.1.3 cuando A tiene coordenadas (0, c) o (a, 0).
**22. Más sobre la interpretación geométrica del determinante: sean u1 y u2 dos vectores y
sean v1 5 Au1 y v2 5 Au2. Demuestre que (área generada por v1 y v2) 5 (área generada
por u1 y u2) |det A|.
En los problemas 23 al 28 utilice una calculadora para encontrar el determinante de cada
matriz.
7 21
2
9 22
26 26 24
23. 24 26
10
⎛ 2
⎞
⎜
⎟⎟
24. ⎜
⎜ 2
⎟
⎜
⎟
⎝
2⎠
2
9 21 25
21 27 21 28
2
26 26 27 25
4
⎛ 2 2
⎜ 2
2
⎜
2
25. ⎜
⎜
⎜
⎜⎝ 2 2
25.565
8.577 20.823
0
0
0
27. 24.066
0
20.227
0
23.624 6.020
21.516
⎛
⎜
⎜
26. ⎜
⎜
⎜
⎜⎝
2⎞
⎟⎟
2⎟
⎟
⎟
2 ⎟⎠
0
9.261
0
0.936
3.582
0
22.089
0
25.254 25.368
0
0
0
1.534
0
0
0.432
2.197
0
0
0
0
28. 2.353
0
0
3.639
0
0
0
7.188 7.730 4.253
6.109
0
⎞
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
0.009 28.571 4.448
EJERCICIOS
CON
MATLAB 3.1
Información de MATLAB
El comando det(A) encuentra el determinante de A (doc det). Al igual que antes se puede
utilizar MATLAB para generar matrices aleatorias de n 3 n. Por ejemplo,
A52*rand(n)21
(con elementos entre 21 y 1)
A52*rand(n)211i*(2*rand(n)21) (con elementos reales e imaginarios entre 21 y 1)
A5round(10*(2*rand(n)21))
(con elementos enteros entre 210 y 10)
1. En este problema deberá investigar la relación entre det(A) y la invertibilidad de A.
a) Para cada matriz, determine si A es o no invertible (utilizando rref) y encontrando
det(A). ¿De qué forma puede usar det(A) para determinar si A es o no invertible?
3.1
ii)
ii)
Definiciones
iii)
⎛ 8 23 5 29
5⎞
⎜ 5
3 8
3
0⎟
⎜
⎟
iv) ⎜ 25
5 0
8 25 ⎟
⎜
⎟
⎜ 29 10 1 25 25 ⎟
⎜⎝ 5 23 2 21 23 ⎟⎠
v)
b) Los incisos i) y ii) que se muestran a continuación prueban su conclusión del inciso a)
con varias matrices aleatorias (elija por lo menos cuatro matrices en i) de distintos tamaños y al menos cuatro matrices en ii). Incluya cuando menos una matriz con elementos
complejos para cada inciso.
ii) Sea A una matriz aleatoria de n 3 n. Encuentre det(A). Utilice los conocimientos anteriores para determinar si A es o no es invertible. ¿De qué forma apoya su conclusión
esta evidencia?
ii) Sea B una matriz aleatoria de n 3 n, pero para alguna j arbitraria, sea B(:, j)
igual a una combinación lineal de algunas columnas de B (de su elección). Por ejemplo, B(:,3)5B(:,1)12*B(:,2). Determine si B es o no invertible y encuentre
det(B). ¿De qué forma apoya su conclusión esta evidencia?
2. Para seis matrices aleatorias A con elementos reales (para valores diferentes de n), compare
det(A) con det(A') donde A' denota (en MATLAB) la transpuesta de A. Incluya por
lo menos dos matrices no invertibles (vea la descripción en el problema 1 b) ii) de MATLAB en esta sección). ¿Qué le indica su comparación? Repita el mismo procedimiento para
matrices con elementos complejos.
3. Construya seis pares de matrices aleatorias, A y B, de n 3 n (use valores de n). Para cada
par, sea C 5 A 1 B. Compare det(C) y det(A) 1 det(B). Obtenga una conclusión sobre la
afirmación
det(A 1 B) 5 det(A) 1 det(B)
4. a) Haciendo uso de los pares de matrices (A y B) dados, formule una conclusión respecto
a det(A*B) en términos de los determinantes de A y B.
⎛ 2 7 5⎞
⎜ 0 9 8⎟
A
5
i)
⎜
⎟
⎜⎝ 7 4 0⎟⎠
⎛ 2 7 5⎞
⎜ 0 9 8⎟
A
5
ii)
⎜
⎟
⎜⎝ 7 4 0⎟⎠
iii)
iiv)
⎛1
⎜9
B5⎜
⎜4
⎜
⎝1
9 4 5⎞
1 3 3⎟
⎟
2 1 5⎟
⎟
1 8 8⎠
189
190
CAPÍTULO 3
Determinantes
b) Pruebe también su conclusión generando matrices aleatorias de n 3 n (genere cuando
menos seis pares con diferentes valores de n. Incluya un par en el que una de las matrices
sea no invertible. Incluya matrices con elementos complejos).
5. a) Para las siguientes matrices, formule una conclusión respecto a det(A) y det(inv(A)).
⎛ 2 2⎞
i) ⎜
⎝ 1 2 ⎟⎠
⎛ 2 21⎞
ii) ⎜
⎝ 1 22 ⎟⎠
iii)
iv)
b) Pruebe su conclusión con varias (cuando menos seis) matrices aleatorias invertibles de
n 3 n para diferentes valores de n. Incluya matrices con elementos complejos.
c) (Lápiz y papel) Pruebe su conclusión utilizando la definición de la inversa (es decir, considere AA21) y la propiedad descubierta en el problema 4 de MATLAB de esta sección.
6. Sea A52*rand(6)21.
a) Elija i, j y c y sea B la matriz obtenida al realizar la operación con renglones Rj → cRi 1
Rj sobre A. Compare det(A) y det(B). Repita para cuando menos otros cuatro valores de
i, j y c. ¿A qué conclusión llega sobre la relación entre el determinante de A y el determinante de la matriz obtenida a partir de A realizando el tipo de operación con renglones
dada?
b) Siga las instrucciones del inciso a) pero para la operación con renglones Ri → cRi .
c) Siga las instrucciones del inciso a) pero para la operación con renglones que intercambia Ri y Rj.
d) Para cada operación con renglones realizada en a), b) y c) encuentre la matriz elemental
F tal que FA sea la matriz obtenida al realizar la operación sobre los renglones de A. Encuentre det(F). Explique los resultados obtenidos en los incisos a), b) y c) utilizando su
observación sobre det(F) y su conclusión del problema 4 de MATLAB en esta sección.
7. Es sabido que si A es una matriz triangular superior, entonces det(A) es el producto de los
elementos de la diagonal. Considere la siguiente matriz M, donde A, B y D son matrices
aleatorias de n 3 n y 0 representa a la matriz que consiste sólo de ceros:
⎛ A B⎞
M 5⎜
⎝ 0 D ⎟⎠
¿Puede obtener una relación entre det(M) y los determinantes de A, B y D?
a) Introduzca matrices aleatorias de n 3 n, A, B y D. Sea C5zeros(n). A partir de la
matriz bloque, M 5 [A, B; C, D]. Pruebe su conclusión (si todavía no ha formulado una
conclusión, encuentre los determinantes de M, A, B y D y busque patrones). Repita para
otros n, A, B y D.
b) Repita el proceso anterior para
⎛ A B C⎞
M 5 ⎜ 0 D E⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0 0 F ⎟⎠
donde A, B, C, D, E y F son matrices aleatorias de n 3 n y 0 representa a la matriz de
n 3 n cuyos elementos son todos cero (es decir zeros(n)).
M
8. (Este problema usa el archivo con extensión m, ornt.m) Una aplicación geométrica de los
determinantes de 2 3 2 hace referencia a la orientación. Si se viaja por las aristas de un
paralelogramo, se va en el sentido (orientación) de las manecillas del reloj o en sentido
contrario. La multiplicación por una matriz de 2 3 2 puede afectar dicha orientación.
3.1
Definiciones
Dados dos vectores u y v, suponga que se traza el paralelogramo formado al comenzar
en (0, 0), recorrer hasta el final de u, después hasta el final de u 1 v, luego hasta el final de
v y después de regreso a (0, 0); se lleva a cabo esto mismo para el paralelogramo formado
por Au y Av, donde A es una matriz de 2 3 2 (el cual se recorre primero a lo largo de Au).
¿Cuándo se invertirá la orientación (en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario) del paralelogramo formado por Au y Av respecto a la orientación del paralelogramo formado por u y v?
La siguiente función de MATLAB, de nombre ornt. m, se puede utilizar para investigar esta pregunta. Una vez que haya escrito la función en el archivo de nombre ornt.m, dé
doc ornt para obtener una descripción de lo que hace este archivo.
function ornt(u,v,A)
% ORNT grafica paralelogramos formados por u,v y Au, Av con
%
la orientacion descrita en la pantalla.
%
%
u: vector de 231
%
v: vector de 231
%
A: Matriz 232
% paralelogramo del origen2.u2.u1v2.v2.origen
PP5[[0;0],u,u1v,v,[0;0]];
PP15PP(:,1:4);
% datos originales
subplot(121)
pplot(PP,PP1)
axis square
title('Orientacion Inicial')
xlabel('De 1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 1')
% datos despues de la multiplicacion por A
subplot(122)
pplot(A*PP,A*PP1)
axis square
title(['Despues de la mult por A5[',...
num2str(A(1,:)),';',num2str(A(2,:)),']'])
xlabel('De 1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 1')
% funcion auxiliar unicamente visible dentro de ornt
function pplot(PP,PP1)
plot(PP(1,:),PP(2,:),'b',PP1(1,:),PP1(2,:),'*');
text(PP1(1,:)',PP1(2,:)',num2str((1:4)'));
grid
%Fin de función ORNT
Para cada uno de los siguientes problemas, introduzca u, v y A (aquí u y v son vectores de
2 3 1 y A es una matriz de 2 3 2). Encuentre det A. Dé ornt(u, v, A). En una pantalla
de gráficas aparecerán los paralelogramos formados por u y v y por Au y Av con la orientación
descrita en la misma. ¿Se modificó la orientación? Después de resolver el siguiente problema,
formule una conclusión respecto a la forma en la cual se puede utilizar det(A) para determinar
si cambiará o no la orientación. Pruebe su conclusión con más ejemplos (cambie A y/o u y v).
Para cada A utilice u5[1;0] y v5[0;1], y después u5[22;1] y v5[1;3].
⎛ 1 1⎞
a) ⎜
⎝ 1 2 ⎟⎠
⎛ 2 3⎞
b) ⎜
⎝ 2 2 ⎟⎠
c)
⎛ 1 2⎞
d) ⎜
⎝ 1 4 ⎟⎠
Nota importante. Cuando termine con este problema, asegúrese de dar el comando clf (doc
clf) para limpiar la ventana de gráficas antes de comenzar otro problema.
191
192
CAPÍTULO 3
Determinantes
3.2 Propiedades de los determinantes
Existen algunos problemas en matemáticas que, en estricta teoría, son sencillos pero que en la
práctica son imposibles. Piense por ejemplo en el caso de un determinante de una matriz de
50 3 50. Se puede calcular expandiendo por cofactores. Esto implica 50 determinantes de 49 3
49, que a su vez implican 50 ? 49 determinantes de 48 3 48, que implican a su vez… 50 ? 49 ? 48
? 47… ? 3 determinantes de 2 3 2. Ahora bien, 50 ? 49. . . ? 3 5 50!/2 ≈ 1.5 3 1064 determinantes
de 2 3 2. Suponga que se cuenta con una computadora que puede calcular un millón 5 106 determinantes de 2 3 2 por segundo. Tomaría alrededor de 1.5 3 1058 segundos ≈ 4.8 3 1050 años
terminar el cálculo (el universo tiene alrededor de 15 000 millones de años 5 1.5 3 1010 años
según la versión teórica más reciente). Es obvio que, si bien el cálculo de un determinante de
50 3 50, siguiendo la definición, es teóricamente directo, en la práctica es imposible.
Por otra parte, la matriz de 50 3 50 no es tan rara. Piense en 50 tiendas en las que se ofrecen
50 productos diferentes. De hecho, las matrices de n 3 n con n . 100 surgen con frecuencia en
la práctica. Por fortuna, existen cuando menos dos maneras de reducir de forma significativa la
cantidad de trabajo necesaria para calcular un determinante.
El primer resultado que se necesita es quizá el teorema más importante sobre determinantes. Este teorema establece que el determinante de un producto es igual al producto de los
determinantes.
T
Teorema 3.2.1
Sean A y B dos matrices de n 3 n. Entonces
det AB 5 det A det B
(3.2.1)
Es decir, el determinante del producto es el producto de los determinantes.
Demostración
Observación
Note que el producto de la izquierda es
un producto de matrices mientras que
el de la derecha es de escalares.
Si se utilizan matrices elementales, la prueba está dada en la sección 3.5. En el
problema 49 de esta sección se pide que verifique este resultado para el caso 2
3 2.
EJ EM PLO 3 .2 .1
Ilustración de la propiedad det AB 5 det A det B
Verifique el teorema 3.2.1 para
Solución
Det A 5 16 y det B 5 28. Se puede calcular
y det AB 5 2 128 5 (16)(28) 5 det A det B.
3.2
!
Propiedades de los determinantes
Advertencia
El determinante de la suma no siempre es igual a la suma de los determinantes. Es decir, para la mayoría de los pares
de matrices, A y B,
det ( A 1 B ) Z det A 1 det B
© 1 2¹
© 4 2¹
© 3 0¹
. Entonces A 1 B 5 ª
Por ejemplo, sean A 5 ª
y B 5ª
º
º:
º
« 3 4»
« 1 6»
« 22 2»
det A 5 22
det B 5 6 y
det ( A 1 B ) 5 22 Z det A 1 det B 5 22 1 6 5 4
Utilizando la factorización LU de una matriz cuadrada A de n 3 n se tiene A 5 LU (vea la
página 148). Entonces, por el teorema 3.2.1,
det A 5 det LU 5 det L det U
Pero L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal, así
det L 5 producto de los elementos en la diagonal 5 1
De manera similar, como U es triangular superior,
det U 5 producto de los elementos en la diagonal
Entonces se tiene el siguiente teorema:
T
Teorema 3.2.2
Si una matriz cuadrada A tiene la factorización LU, A 5 LU donde L tiene unos en la
diagonal, entonces
det A 5 det U 5 producto de los elementos de la diagonal de U
EJEMPL O 3 .2 .2
Uso de la factorización LU para calcular el determinante
de una matriz de 4 3 4
Calcule det A, donde
.
Solución Del ejemplo 2.7.1 en la página 147, A 5 LU, donde
por lo que det A 5 det U 5 (2)(4)(3)(249) 5 21 176.
Si A no se puede reducir a la forma triangular sin hacer permutaciones, por el teorema
2.7.3 en la página 151, existe una matriz permutación P tal que
PA 5 LU
Es sencillo probar que si P es una matriz permutación, entonces det P 5 61 (vea el problema
53 de esta sección). Entonces
193
194
CAPÍTULO 3
Determinantes
det PA 5 det LU
det P det A 5 det L det U 5 det U
6 det A 5 det U
det A 5 6 det U
T
det L 5 1
Teorema 3.2.3
Si PA 5 LU, donde P es una matriz permutación y L y U son como antes, entonces
det A 5
EJ EM PLO 3 .2 .3
Uso de la factorización PA 5 LU para calcular el determinante
de una matriz de 3 3 3
Encuentre det A, donde
Solución
det U
5 ± det U
det P
.
Del ejemplo 2.7.3 en la página 151, se encontró que PA 5 LU, donde
26
5 26.
Ahora bien, det P 5 1 y det U 5 (1)(2)(23), de manera que det A 5
1
Se establecerá un importante teorema sobre determinantes.
T
Teorema 3.2.4 det A^ 5 det A
Demostración
Suponga que A 5 LU. Entonces A^ 5 (LU)^ 5 U ^L^ por el teorema 2.5.1 ii) en la
página 128. Se calcula
det A 5 det L det U 5 det U
det A^ 5 det U ^ det L^ 5 det U ^ 5 det U 5 det A
det L 5 1
El último paso se basa en que la transpuesta de una matriz triangular superior es triangular inferior y viceversa, y en el hecho de que obtener la transpuesta no cambia las
componentes de la diagonal de una matriz.
Si A no se puede escribir como LU, entonces existe una matriz permutación P tal
que PA 5 LU. Por lo que se acaba de probar,
det PA 5 det (PA)^ 5 det (A^P^)
y por el teorema 3.2.1,
det P det A 5 det PA 5 det (A^P^) 5 det A^ det P^
No es complicado probar (vea el problema 54 de esta sección) que si P es una matriz
permutación, entonces det P 5 det P^. Como det P 5 det P^ 5 ± 1, se concluye que
det A 5 det A^.
3.2
EJEMPLO 3 .2 .4
Propiedades de los determinantes
Una matriz y su transpuesta tienen
el mismo determinante
^
Sea
Observación
y es fácil verificar que
|A| 5 |A^| 5 16.
En primera instancia se describen estas propiedades estableciendo un teorema del que se deducen diversos resultados importantes. La demostración de este
teorema es difícil y se pospone a la siguiente sección.
T
Dado que los renglones de una matriz
son las columnas de su transpuesta, se
deduce que todo lo que se pueda decir
sobre los renglones de los determinantes comprenden una segunda forma de
simplificar los cálculos de los determinantes. Los resultados se prueban para
los renglones. Por lo que se acaba de
decir, los teoremas se cumplen también
para las columnas.
Teorema 3.2.5 Teorema básico
© a11
ª
a
Sea A 5 ª 21
ª
ª
« an1
a1n ¹
º
a2 n º
una matriz de n 3 n. Entonces
º
º
ann »
a12
a22
an 2
n
det A 5 ai1Ai1 1 ai 2 Ai 2 1
1 ain Ain 5 ¨ aik Aik
(3.2.2)
k5 1
para i 5 1, 2, … , n. Es decir, se puede calcular det A expandiendo por cofactores en cualquier renglón de A. Más aún,
n
det A 5 a1 j A1 j 1 a2 j A2 j 1
1 anj Anj 5 ¨ akj Akj
(3.2.3)
k5 1
© a1 j ¹
ª º
ª a2 j º
como la columna j de A es ª º , la ecuación (3.2.3) indica que se puede calcular det A
ª º
ª« anj º»
expandiendo por cofactores en cualquier columna de A.
EJEMPLO 3 .2 .5
Obtención del determinante expandiendo en el segundo
renglón o la tercera columna
⎛ 4
7 22⎞
⎜
⎟
En el ejemplo 3.1.1 de la página 176 se vio que para A 5 ⎜ 3 2 5
1 ⎟ , det A 5 2405. Ex⎜ 28
pandiendo en el segundo renglón se obtiene
6
9 ⎟⎠
⎝
det A 5 (3)A21 1 (25)A22 1 (1)A23
5 (3)(2 1)2 11
4 22
7 22
4 7
1 (2 5)(2 1)2 1 2
1 (1)(2 1)2 13
6
9
9
28
28 6
5 (3)(2 75) 1 (2 5)(20) 1 (1)(80) 52 405
195
196
CAPÍTULO 3
Determinantes
Del mismo modo, si se expande en la tercera columna se obtiene
det A 5 (22)A13 1 (1)A23 1 (9)A33
5 (2 2)(2 1)1 13
3 25
28
6
1 (1)(2 1)2 1 3
4 7
28 6
1 (9)(2 1)3 13
4
7
3 25
5 (2 2)(2 22) 1 (1)(2 80) 1 (9)(2 41) 52 405
El lector debe verificar que se obtiene el mismo resultado con la expansión por cofactores en el
tercer renglón o la primera o segunda columna.
Ahora se presentan y se demuestran algunas propiedades adicionales de los determinantes.
En cada paso se supone que A es una matriz de n 3 n. Se observará que estas propiedades se
pueden utilizar para reducir mucho el trabajo necesario para evaluar un determinante.
P
Propiedad 3.2 .1
Si cualquier renglón o columna de A es un vector cero, entonces det A 5 0.
Demostración
Suponga que el renglón i de A contiene sólo ceros. Esto es aij 5 0 para j 5 1, 2, . . . , n.
Entonces, det A 5 ai1Ai1 1 ai2Ai2 1 . . . 1 ainAin 5 0 1 0 1 . . . 1 0 5 0. La misma prueba
funciona si la columna j es el vector cero.
EJ EM PLO 3 .2 .6
Si A tiene un renglón o columna de ceros, entonces det A 5 0
Es fácil verificar que
P
Propiedad 3.2 .2
Si el renglón i o columna j de A se multiplica por un escalar c, entonces det A se multiplica por c. Es decir, si se denota por B esta nueva matriz, entonces
a11
a21
a12
a22
B 5 ca ca
i1
i2
an1
an 2
a1n
a2 n
a11
a21
a12
a22
a1n
a2 n
cain 5 c ai1
ai 2
ain 5 c A
ann
an 2
ann
an1
(3.2.4)
Demostración
Para probar (3.2.4) se expande el renglón i de A para obtener
det B 5 cai1Ai1 1 cai2Ai2 1 . . . 1 cainAin 5 c(ai1Ai1 1 ai2Ai2 1 . . . 1 ainAin ) 5 c det A
En el caso de las columnas se puede hacer una prueba similar.
3.2
EJEMPLO 3 .2 .7
Ilustración de la propiedad 3.2.2
Al utilizar la propiedad 3.2.2 se puede
probar (vea el problema 3.2.37) que
para cualquier escalar a y cualquier
matriz A de n 3 n, det aA 5 a n det A.
y det B 5 64 5 4 det A. Si se multiplica la tercera columna por
por 4 se tiene
23 se obtiene
y det C 5 248 523 det A.
Propiedad 3.2 .3
Sea
© a11
ª
ª a21
A5ª
ª
ª« an1
© a11
ª
ª a21
y C 5ª
ª
ª« an1
a12
a1 j
a22
a2 j
an 2
anj
© a11
a1n ¹
º
ª
a2 n º
ª a21
B
5
,
º
ª
º
ª
ann º»
ª« an1
a12
a1 j
1
a1 j
a22
a2 j
1
a2 j
an 2
anj
1
anj
a12
a1 j
a22
a2 j
an 2
anj
a1n ¹
º
a2 n º
º
º
ann º»
a1n ¹
º
a2 n º
º
º
ann º»
Entonces
det C 5 det A 1 det B
(3.2.5)
En otros términos, suponga que A, B y C son idénticas excepto por la columna j y que
la columna j de C es la suma de las j-ésimas columnas de A y B. Entonces, det C 5 det A
1 det B. La misma afirmación es cierta para renglones.
Demostración
Se expande det C respecto a la columna j para obtener
det C 5 (a1j 1 a1j ) A1j 1 (a2j 1 a2j ) A2j 1 . . . 1 (anj 1 anj) Anj
5 (a1j A1j 1 a2j A2j 1 . . . 1 anj Anj)
1 (a1j A1j 1 a2j A2j 1 . . . 1 anj Anj) 5 det A 1 det B
EJEMPLO 3 .2 .8
Sea
197
Observación
. Entonces det A 5 16. Si se multiplica el segundo renglón
Sea
P
Propiedades de los determinantes
Ilustración de la propiedad 3.2.3
y
Entonces det A 5 16, det B 5 108 y det C 5 124 5 det A 1 det B.
.
CAPÍTULO 3
P
Determinantes
Propiedad 3.2 .4
El intercambio de cualesquiera dos renglones (o columnas) distintos de A tiene el efecto
de multiplicar det A por 21.
Demostración
Se prueba la afirmación para los renglones y se supone primero que se intercambian
dos renglones adyacentes. Es decir, se supone que se intercambian los renglones i y el
(i 1 1). Sea
© a11
ª
ª a21
ª
ª
A 5 ª ai1
ª a i 1 1,1
ª
ª
ª a
« n1
© a11
a1n ¹
ª
º
a2 n º
ª a21
ª
º
ª
º
ain º y B 5 ª ai1 1,1
ª a
ai11,n º
ª i1
º
ª
º
ª a
ann º»
« n1
a12
a22
ai 2
ai11,2
an 2
a1n ¹
º
a2 n º
º
º
ai11,n º
ain º
º
º
ann º»
a12
a22
ai11,2
ai 2
an 2
Después, expandiendo det A respecto al renglón i y B respecto al renglón (i 1 1) se
obtiene
det A 5 ai1Ai1 1 ai2Ai2 1 $ 1 ainAin
(3.2.6)
$
det B 5 ai1Bi11,1 1 ai2Bi11,2 1
1 ainBi11,n
Aquí, Aij 5 (21)i1j |Mij|, donde Mij se obtiene eliminando el renglón i y la columna A.
Observe ahora que si se elimina el renglón (i 1 1) y la columna j de B se obtiene el mismo Mij. Entonces
Bi11,j 5 (21)i111j |Mij| 5 2(21)i1j |Mij| 5 2Aij
de manera que, de la ecuación (3.2.6), det B 5 2det A.
Ahora, suponga que i , j y que deben intercambiarse los renglones i y j. Esto se
puede llevar a cabo intercambiando renglones varias veces. Se harán j 2 i intercambiados para mover el renglón j al renglón i. Entonces el renglón i estará en el renglón
(i 1 1) y pasará por otros j 2 i 2 1 intercambios para mover el renglón i al renglón j.
Para ilustrar esto, se intercambian los renglones 2 y 6:†
→
1
2
3
4
6
5
7
→
1
2
3
6
4
5
7
→
1
2
6
3
4
5
7
→
1
6
2
3
4
5
7
→
1
6
3
2
4
5
7
→
1
6
3
4
2
5
7
→
1
6
3
4
5
2
7
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
1
2
3
4
5
6
7
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
198
6 2 2 5 4 intercambia para
mover el 6 a la posición 2
6 2 2 2 1 5 3 intercambia para
mover el 2 a la posición 6
Por último, el número total de intercambios de renglones adyacentes es (j 2 i) 1 (j 2 i
2 1) 5 2j 22i 21, que es impar. Entonces, det A se multiplica por 21 un número impar
de veces, que es lo que se quería demostrar.
†
Observe que todos los números se refieren a renglones.
3.2
EJEMPL O 3 .2 .9
Sea
Propiedades de los determinantes
Ilustración de la propiedad 3.2.4
. Al intercambiar los renglones 1 y 3 se obtiene
cambiar las columnas 1 y 2 de A se obtiene
. Al inter-
. Por lo que, haciendo los cálculos
directos, se encuentra que det A 5 16 y det B 5 det C 5 216.
P
Propiedad 3.2 .5
Si A tiene dos renglones o columnas iguales, entonces det A 5 0.
Demostración
Suponga que los renglones i y j de A son iguales. Al intercambiar dichos renglones se
obtiene una matriz B que tiene la propiedad de que det B 5 2det A (de la propiedad
3.2.4). Pero como renglón i 5 renglón j, al intercambiarlos se obtiene la misma matriz.
Así, A 5 B y det A 5 det B 5 2det A. Por lo tanto, 2 det A 5 0, lo que puede ocurrir
sólo si det A 5 0.
EJEMPLO 3 .2 .1 0
Ilustración de la propiedad 3.2.5
[dos renglones iguales]
Mediante el cálculo directo se puede verificar que para
y
P
[dos columnas iguales], det A 5 det B 5 0.
Propiedad 3.2 .6
Si un renglón (columna) de A es un múltiplo escalar de otro renglón (columna), entonces det A 5 0.
Demostración
Sea (aj1, aj2, . . . , ajn ) 5 c(ai1, ai2, . . . , ain ). Entonces por la propiedad 3.2.2,
det A 5 c
renglón j
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
ai1
ai 2
ain
ai1
ai 2
ain
an1
an 2
ann
50
(de la propiedad 3.2.5)
199
200
CAPÍTULO 3
Determinantes
EJ EM PLO 3 .2 .1 1
Ilustración de la propiedad 3.2.6
ya que el tercer renglón es igual a 22 veces el primero.
EJ EM PLO 3 .2 .1 2
Otra ilustración de la propiedad 3.2.6
porque la cuarta columna es igual a tres veces la segunda.
P
Propiedad 3.2 .7
Si se suma un múltiplo escalar de un renglón (columna) de A a otro renglón (columna)
de A, entonces el determinante no cambia.
Demostración
Sea B la matriz obtenida sumando c veces el renglón i de A al renglón j de A. Entonces
det B 5
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
ai1
ai 2
ain
aj 1 1 cai1
aj 2 1 ca i 2
ajn 1 cain
an1
an 2
ann
© a11
ª
a
(por la propiedad 3.2.3) ª 21
ª
ª
ai1
5ª
ª
ª
ª aj 1
ª
ª
ª« an1
a12
a22
ai 2
aj 2
an 2
a1n ¹ © a11
º ª
a2 n º ª a21
º ª
º ª
ain º ª ai1
1
º ª
º ª
ajn º ª caj 1
º ª
º ª
ann º» ª« an1
a12
a22
ai 2
caj 2
an 2
a1n ¹
º
a2 n º
º
º
ain º
º
º
cajn º
º
º
ann º»
5 det A 1 0 5 det A (el cero viene de la propiedad 3.2.6)
3.2
EJEMPLO 3 .2 .1 3
Sea
Propiedades de los determinantes
Ilustración de la propiedad 3.2.7
. Entonces det A 5 16. Si se multiplica el tercer renglón por 4 y se suma al
segundo renglón, se obtiene una nueva matriz B dada por
y det B 5 16 5 det A.
Las propiedades que se acaban de presentar simplifican la evaluación de determinantes de
alto orden. Se “reduce por renglones” el determinante, usando la propiedad 3.2.7, hasta que
tenga una forma en la que se pueda evaluar con facilidad. La meta más común será utilizando
la propiedad 3.2.7 de manera repetida hasta que 1) el nuevo determinante tenga un renglón
(columna) de ceros o un renglón (columna) que sea múltiplo de otro —en cuyo caso el determinante es cero—, o 2) que la nueva matriz sea triangular, con lo que su determinante será el
producto de sus elementos en la diagonal.
EJEMPLO 3 .2 .1 4
Utilice las propiedades de los determinantes para calcular
un determinante de 4 3 4
Calcule
Solución (Vea el ejemplo 3.1.7, página 180.)
Ya existe un cero en la primera columna, por lo que lo más sencillo es reducir otros elementos
de la primera columna a cero. Se puede continuar la reducción buscando una matriz triangular.
Se multiplica el primer renglón por 22 y se suma al tercer renglón; se multiplica el primer
renglón por 23 y se suma al cuarto.
|A|
Se multiplica el segundo renglón por 25 y 27 y se suma el tercer y cuarto renglones, respectivamente.
201
202
CAPÍTULO 3
Determinantes
Se factoriza 216 del tercer renglón (utilizando la propiedad 3.2.2).
9
8
Se multiplica el tercer renglón por 32 y se suma al cuarto.
9
8
Ahora se tiene una matriz triangular superior y |A| 5 216(1)(21)(1)(10) 5 (216)(210) 5 160.
EJ EM PLO 3 .2 .1 5
Uso de las propiedades para calcular un
determinante de 4 3 4
© 22
1
ª
3
2
1
Calcule | A |, si A 5 ªª
22
7
ª
ª« 3 27
0 4¹
º
5 2º
3 1º
º
2 5 º»
Solución
Existen varias formas de proceder en este caso y no es evidente cuál de ellas
será la más rápida para llegar a la respuesta. Sin embargo, como ya existe un cero en el primer
renglón, se comienza la reducción en ese renglón.
Se multiplica la segunda columna por 2 y por 24 y se suma a la primera y cuarta columnas,
respectivamente
|A|
Se intercambian las primeras dos columnas.
3.2 Propiedades de los determinantes
Se multiplica la segunda columna por 25 y por 26 y se suma a la tercera y cuarta columnas,
respectivamente.
Como la cuarta columna es ahora un múltiplo de la tercera (columna 4 5
ve que | A | 5 0.
EJEMPLO 3 .2 .1 6
3 columna 3) se
Uso de las propiedades para calcular un
determinante de 5 3 5
© 1 22
3
ª
0 21
ª 2
ª
Calcule | A |, si A 5 4
7
3
ª
1 22
ª 3
ª
3
« 25 21
Solución
99
57
25
25
29
22
7
7¹
º
6º
4º
º
3º
º
29 »
Sumando primero el renglón 2 y después el renglón 4 al renglón 5, se obtiene
(por la propiedad 3.2.1)
Este ejemplo ilustra el hecho de que un poco de observación antes de comenzar los cálculos
puede simplificar las cosas considerablemente.
Existe una propiedad adicional sobre determinantes que resultará de gran utilidad.
T
Teorema 3.2.6
Demostración
Sea A una matriz de n 3 n. Entonces
ai1Aj1 1 ai2Aj2, 1 . . . 1 ain Ajn 5 0
si i Z j
Nota. Del teorema 3.2.5, la suma en la ecuación (3.2.7) es igual a det A si i 5 j.
(3.2.7)
203
204
CAPÍTULO 3
Determinantes
Demostración
Sea
renglón j
⎛ a11
⎜
⎜ a21
⎜
⎜
a
B 5 ⎜ i1
⎜
⎜
⎜ ai1
⎜
⎜
⎝ an1
a1n ⎞
⎟
a2 n ⎟
⎟
⎟
ain ⎟
⎟
⎟
ain ⎟
⎟
⎟
a nn ⎠
a12
a22
ai 2
ai 2
an2
Entonces, como dos renglones de B son iguales, det B 5 0. Pero B 5 A excepto por el renglón j. De esta forma se calcula det B expandiendo en el renglón j de B, se obtiene la suma
en (3.2.7) y el teorema queda demostrado. Observe que al hacer la expansión respecto
al renglón j, este renglón se elimina al calcular los cofactores de B. Así, Bjk 5 Ajk para
k 5 1, 2, … , n.
R
Resumen 3.2
• Si A 5 LU es una factorización LU de A, entonces det A 5 det U
(p. 193)
• Si PA 5 LU es una factorización LU de PA, entonces det A 5 det U/det P 5 ±det U
(p. 194)
• Teorema básico
Si A es una matriz de n 3 n, entonces
n
det A 5 ai1Ai1 1 ai 2 Ai 2 1
1 ain Ain 5 ¨ aik Aik
k5 1
y
(p. 195)
n
det A 5 a1 j A1 j 1 a2 j A2 j 1
1 anj Anj 5 ¨ akj Akj
k5 1
para i 5 1, 2, … , n y j 5 1, 2, … , n. Es decir, el determinante de A se puede obtener expandiendo
en cualquier renglón o columna de A.
• Si cualquier renglón o columna de A es el vector cero, entonces det A 5 0.
(p. 196)
• Si cualquier renglón (columna) de A se multiplica por un escalar, entonces det A se multiplica
por c.
(p. 196)
• Si A y B son dos matrices de n 3 n que son iguales excepto por la columna j (renglón i) y C es la
matriz que es idéntica a A y B excepto que la columna j (renglón i) de C es la suma de la columna
j de A y la columna j de B (renglón i de A y renglón i de B), entonces det C 5 det A 1 det B.
(p. 197)
• El intercambio de cualesquiera dos columnas o renglones distintos de A tiene el efecto de multiplicar det A por 21.
(p. 198)
• Si cualquier renglón (columna) de A se multiplica por un escalar y se suma a cualquier otro
renglón (columna) de A, entonces det A no cambia.
(p. 200)
• Si un renglón (columna) de A es un múltiplo de otro renglón (columna) de A, entonces det A 5 0.
(p. 199)
• det A 5 det A^.
(p. 194)
3.2
A
Propiedades de los determinantes
A U T O E V A L U A C I Ó N 3.2
I) ¿Cuáles de los siguientes determinantes son 0?
a)
b)
c)
d)
II) ¿Cuáles de los siguientes determinantes son 0?
a)
1
21
2
3 4
2 23 4
3 21
3
1
b)
5 2
5 2
c)
d)
III) El determinante de
a)
4
es ________.
c) 210
b) 10
d) 8
e) 6
Respuestas a la autoevaluación
I) b)
II) c)
III) a)
Problemas 3.2
De los problemas 1 al 27 evalúe el determinante usando los métodos de esta sección.
0
3
1.
2.
4.
1 3 21
5.
3 0
0
22 4
1
7.
8.
4 21
0 3 21
3 1
4
21 4
0
3.
7 28
9
9
3
1 27
6. 28 10
10
25 10
10
0 22
9.
6
28
9
10
3
6 210
205
206
CAPÍTULO 3
Determinantes
7
0
0 5
11. 1
0 0
0 22 4
10.
13.
0 2
5
1 0 21
14.
3
5 27
12. 9
4 22
4
210 7
4
3
15.
0 21
5
0
0 0
2 3
5
25
0
0
4 21 27
210 0
0
0
6 21
0 0
0 28 25
16.
17.
18.
0 27
20.
21.
0 26
0 25 25
10
1
19.
7
0
22.
23 0 24
0 9
25 0
7 5
28 0
27 1
0 0
b 0
0 0
0 d
0 0
0
0
c
0
0
2
5 26 8
0
1 27 6
0
0
0 4
0
2
1 5
4 21
5 3
5
25. 22 0 210 3 27
0 0 210 0
4
0
0
0
0
e
26.
0
2
0 23
1
0
0 27
0
4
0 213
6
228
210 24
a
0
23. 0
0
0
0
0 21
29
1 0
26
0 0
0
22 27
24. 225 21 0 222
0
0
0
1
0
0
0
0
0 0
1
7
0 0
0 28
0
5
0
0
0 22
0 21
0 21
0
27. 0
0 23
0
0
0
5
0
2
0
3
0
0
0
1
De los problemas 28 al 36 calcule el determinante suponiendo que
a11
a12
a13
a21
a22
a31
a32
a23 5 8
a33
a31
a32
a33
28. a21
a11
a22
a23
29. a11
a12
a13
a21
a11
31.
a31
a12
a13
2 a21 2 a22
2 a23
a31
a33
a32
32.
a33
a11
a13
a12
a12
a13
a23
a22
a22
a23
30. a21
a31
a33
a32
a32
2 3a11
2 3a12
2 3a13
2 a21
2 a22
2 a23
5a31
5a32
5a33
33.
4a11
2 2a
3a12
4a21
2 2 a23
3a22
4a31
2 2 a33
3a32
3.2
2 a13
a12
a11 2a12
a12
a13
34. a21 2 a23
a31 2 a33
a22
35. a21 2a22
a31 2a32
a22
a23
a32
a33
a11
a32
2 a11 2 3a21 2 a12 2 3a22
36.
Propiedades de los determinantes
207
2 a13 2 3a23
a31
a32
a33
a21
a22
a23
37. Usando la propiedad 3.2.2, demuestre que si a es un escalar y A es una matriz cuadrada
de tamaño n 3 n, entonces det (aA) 5 an det (A).
*38. Demuestre que
1 1 x1
x2
x3
xn
x1
1 1 x2
x3
xn
x1
x2
1 1 x3
xn
x1
x2
x3
1 1 xn
5 1 1 x1 1 x2 1
1 xn
*39. Demuestre que
l
21
0
0
0
0
0
l
21
0
0
0
0
0
l
0
0
0
5 l n 1 an21l n21 1 an22 l n22 1y1 a1l1 1 a0
0
0
0
l
21
0
0
0
0
0
l
21
a0
a1
a2
an23
an22
l 1 an21
40. Sea A una matriz de n 3 n. Demuestre que si la suma de todos los elementos de cada
columna de A es cero, entonces |A| 5 0.
*41. Una matriz A es antisimétrica si A^ 5 2A. Si A es una matriz antisimétrica de n 3 n,
demuestre que det A^ 5 (21)n det A.
Matriz
antisimétrica
42. Usando el resultado del problema 41, demuestre que si A es una matriz antisimétrica de
n 3 n y n es impar, entonces det A 5 0.
43. Una matriz A se llama ortogonal si A es invertible y A21 5 A^, es decir, A^A 5 A A^ 5 I.
Demuestre que si A es ortogonal, entonces det A 5 61.
**44. Sea D el triángulo del plano con vértices en (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3). Demuestre que el
área del triángulo está dada por
1 x1
1
Área de D 56 1 x2
2
1 x3
y1
y2
y3
¿Bajo qué circunstancias este determinante será igual a cero?
Matriz
ortogonal
208
CAPÍTULO 3
Determinantes
**45. Tres rectas que no son paralelas por pares determinan un triángulo en el plano. Suponga
que las rectas están dadas por
a11x 1 a12y 1 a13 5 0
a21x 1 a22y 1 a23 5 0
a31x 1 a32y 1 a33 5 0
Demuestre que el área determinada por las rectas es
A11
61
A21
2 A13 A23 A33
A31
A12
A13
A22
A23
A32
A33
46. El determinante de Vandermonde† de 3 3 3 está dado por
Determinante
de Vandermonde
1
D3 5 a1
1
a2
1
a3
a12
a22
a32
Demuestre que D3 5 (a2 2 a1) (a3 2 a1) (a3 2 a2).
47. D4 5
1
a1
1
a2
1
a3
1
a4
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
es el determinante de Vandermonde de 4 3 4. Demuestre que
D4 5 (a2 2 a1) (a3 2 a1) (a4 2 a1)(a3 2 a2) (a4 2 a2) (a4 2 a3).
**48. a) Defina el determinante de Vandermonde de n 3 n, Dn.
n2 1
b) Demuestre que Dn 5 (aj 2 ai), donde representa la palabra “producto”. Obseri51
j .i
ve que el producto en el problema 47 se puede escribir D4 5
© a11
49. Sea A 5 ª
« a21
© b11 b12 ¹
a12 ¹
º y B5ª
º.
a22 »
« b21 b22 »
3
(aj 2 ai).
i51
j .i
a) Escriba el producto AB.
b) Calcule det A, det B y det AB.
c) Demuestre que det AB 5 (det A)(det B).
50. La matriz A de n 3 n se llama nilpotente si Ak 5 0, la matriz cero, para algún entero k $ 1.
Demuestre que las siguientes matrices son nilpotentes al encontrar la k más pequeña
tal que Ak 5 0.
⎛ 0 1 3⎞
⎛ 0 2⎞
⎜ 0 0 4⎟
a) ⎜
b)
⎜
⎟
⎝ 0 0 ⎟⎠
⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠
Matriz
nilpotente
51. Demuestre que si A es nilpotente, entonces det A 5 0.
†
A.T. Vandermonde (1735-1796) fue un matemático francés.
3.3
Determinantes e inversas
52. La matriz A se llama idempotente si A2 5 A. ¿Cuáles son los valores posibles para det A
si A es idempotente?
53. Sea P una matriz permutación. Demuestre que det P 5 61. [Sugerencia: Por la definición en la página 151, P 5 Pn Pn11 … P2P1, donde cada Pi es una matriz permutación
elemental. Utilice la propiedad (3.2.4) para demostrar que det Pi 5 21 y después calcule
det P usando el teorema 3.2.1.]
54. Sea P una matriz permutación. Demuestre que P^ también es una matriz permutación y
que det P 5 det P^. [Sugerencia: Si Pi es una matriz permutación elemental, demuestre
que P^i 5 Pi .]
EJERCICIOS
CON
MATLAB 3.2
1. a) Sea A5round(10*(2*rand(n)21)) para n 5 2. Encuentre det(A). Ahora encuentre det(2*A). Repita para n 5 3 y n 5 4.
b) (Papel y lápiz) Concluya una fórmula para det(2A) en términos de n y det(A). Concluya
una fórmula para det(kA) para k general.
c) Use MATLAB para probar su fórmula para det (3A).
d) (Papel y lápiz) Pruebe la fórmula utilizando las propiedades aprendidas en esta sección.
2. Para las siguientes matrices, primero encuentre det (A). Después reduzca A a la forma
triangular superior U, utilizando operaciones con renglones de la forma Rj → Rj 1 cRi, o
intercambiando Ri y Rj. Encuentre det (U) y verifique que det (A) 5 (21)k det (U), donde
k es el número de intercambios de renglones realizado en el proceso de reducción.
a)
⎛ 0 1 2⎞
b) A 5 ⎜ 3 4 5⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 1 2 3⎟⎠
c) Para esta matriz, antes de cada operación con renglones, intercambie los renglones de
manera que el elemento en la posición pivote sea el de mayor valor absoluto de los elementos posibles a usar como ese pivote:
d) Elija una matriz aleatoria A de n 3 n y redúzcala a la forma triangular superior encontrando la descomposición LU de A mediante el comando [L,U,P]5lu(A). Use
P para determinar el número de intercambios de renglones realizados y verifique que
det (A) 5 (21)k det (U), donde k es el número de intercambios de renglones. Describa el
papel de det(P). Repita para otras dos matrices A.
3.3 Determinantes e inversas
En esta sección se analiza la forma en que se pueden calcular las inversas de las matrices haciendo uso de los determinantes. Más aún, se completa la tarea iniciada en el capítulo 2, de probar
el importante teorema de resumen (vea los teoremas 2.4.7 en la página 114 y 2.6.4 en la página
138), que muestra la equivalencia de varias propiedades de las matrices. Se comienza con un
resultado sencillo.
209
Matriz
idempotente
210
CAPÍTULO 3
T
Determinantes
Teorema 3.3.1
Si A es invertible, entonces det A Z 0 y
det A21 5
1
det A
(3.3.1)
Demostración
Suponga que A es invertible. Por el teorema del resumen (punto de vista 4) de la sección 2.7, página 153, si A es invertible es equivalente a decir que existe una descomposición LUP de A tal que det A 5 6det U (teorema 3.2.3, página 194) con U es triangular
superior e invertible, lo que implica que U tiene n pivotes, por lo que det U Z 0; por lo
tanto, det A Z 0. Del teorema 3.2.1, página 192,
1 5 det I 5 det AA21 5 det A det A21
(3.3.2)
lo que implica que
det A21 5
1
det A
Antes de utilizar determinantes para calcular las inversas es necesario definir la adjunta de una
matriz A 5 (aij ). Sea B 5 (Aij ) la matriz de cofactores de A (recuerde que un cofactor, definido
en la página 179, es un número). Entonces
⎛ A11
⎜
A
B 5 ⎜ 21
⎜
⎜
⎝ An1
D
A1n ⎞
⎟
A2 n ⎟
⎟
⎟
Ann ⎠
A12
A22
An 2
(3.3.3)
Definición 3.3.1
La adjunta
Sea A una matriz de n 3 n y sea B, dada por (3.3.3), la matriz de sus cofactores. Entonces, la adjunta de A, escrito adj A, es la transpuesta de la matriz B de n 3 n; es decir,
⎛ A11
⎜
A
adj A 5 B^ 5 ⎜ 12
⎜
⎜
⎝ A1n
A21
A22
A2 n
An1 ⎞
⎟
An 2 ⎟
⎟
⎟
Ann ⎠
(3.3.4)
Observación
En algunos libros se usa el término adjugada de A en lugar de adjunta, ya que adjunta tiene un segundo significado
en matemáticas. En este libro se usará la palabra adjunta.
3.3
EJEMPLO 3 .3 .1
Sea
Determinantes e inversas
211
Cálculo de la adjunta de una matriz de 3 3 3
. Calcule adj A.
Solución
Se tiene A11 5
A12 5 2
A13 5 23, A21 5 213,
A22 5 5, A23 5 2, A31 5 27, A32 5 2 y A33 5 2.
y adj A 5 B^ 5
EJEMPLO 3 .3 .2
Sea
Cálculo de la adjunta de una matriz de 4 3 4
. Calcule adj A.
Solución Esto es más laborioso ya que se tienen que calcular dieciséis determinantes
de 3 3 3. Por ejemplo, se tiene
A12 5 2
A24 5
A43 5 2
Al comparar estos cálculos se encuentra que
y
adj A 5 B^ 5
EJEMPLO 3 .3 .3
⎛ a11
Sea A 5 ⎜
⎝ a21
La adjunta de una matriz de 2 3 2
⎛ a11
a12 ⎞
⎟ . Entonces adj A 5 ⎜
a22 ⎠
⎝ a12
a21 ⎞ ⎛ a22
⎟5⎜
a22 ⎠ ⎜⎝ 2a21
!
2a12 ⎞
⎟.
a11⎟⎠
Advertencia
Al calcular la adjunta de una matriz, no
olvide transponer la matriz de
cofactores.
212
CAPÍTULO 3
T
Determinantes
Teorema 3.3.2
Sea A una matriz de n 3 n. Entonces
⎛ det A
0
0
⎜ 0
det A
0
⎜
( A)( adj A) = ⎜ 0
0
det A
⎜
"
"
⎜ "
⎜⎝ 0
0
0
…
…
…
…
0 ⎞
0 ⎟
⎟
0 ⎟ = (det A) I
⎟
" ⎟
det A⎟⎠
(3.3.5)
An1 ⎞
⎟
An 2 ⎟
⎟
⎟
Ann ⎠
(3.3.6)
Demostración
Sea C 5 (cij) 5 (A)(adj A). Entonces
⎛ a11
⎜
a
C 5 ⎜ 21
⎜
⎜
⎝ an1
a1n ⎞
⎟
a2 n ⎟
⎟
⎟
ann ⎠
a12
a22
an 2
⎛ A11
⎜
⎜ A12
⎜
⎜
⎝ A1n
A21
A22
A2 n
Se tiene
cij 5 (renglón i de A) ? (columna j de adj A)
5 ( ai1Ai 2
⎛ Aj 1 ⎞
⎜
⎟
⎜ Aj 2 ⎟
ain ) ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝ Ajn ⎟⎠
Así
cij 5 ai1Aj1 1 ai2Ai2 1 . . . 1 ainAjn
(3.3.7)
Ahora, si i 5 j, la suma en (3.3.7) es igual a ai1Ai1 1 ai2Ai2 1 . . . 1 ainAin que es la expansión de det A sobre el renglón i de A. Por otro lado, si i Z j, entonces del teorema 3.2.6
en la página 203, la suma en (3.3.7) es igual a cero. Por lo tanto,
⎧⎪ det A
cij 5 ⎨
⎪⎩ 0
si i 5 j
si i Z j
Esto prueba el teorema.
Ahora se puede establecer el resultado principal.
T
Teorema 3.3.3
Sea A una matriz de n 3 n. Entonces A es invertible si y sólo si det A Z 0. Si det A Z 0,
entonces
A21 5
1
adj A
det A
(3.3.8)
3.3
Determinantes e inversas
213
Demostración
La primera parte de este teorema es el teorema 3.5.2. Si det A Z 0, entonces
© 1 ¹
(adj A) es la inversa de A multiplicándola por A y
se demuestra que ª
« det Aº»
obteniendo la matriz identidad:
teorema 3.3.2
⎛ 1
⎞
1
1
( A) ⎜
adj A⎟ 5
[ A( adj A)] 5
(det A) I 5 I
det A
⎝ det A
⎠ det A
Pero por el teorema 2.4.8, de la página 115, si AB 5 I, entonces B 5 A21. Así,
© 1 ¹
21
ª«
º adj A 5 A
det A»
EJEMPLO 3 .3 .4
⎛2 4
Sea A = ⎜ 0 1
⎜
⎜⎝ 3 5
Uso del determinante y la adjunta para calcular la inversa
3⎞
−1⎟ . Determine si A es invertible y, de ser así, calcule A21.
⎟
7⎟⎠
Solución
Como det A 5 3 Z 0 se ve que A es invertible. Del ejemplo 3.3.1,
¹
©
4 2 13 2 7 º
3
3
© 12 213 27 ¹ ª
º
ª
1
5
2º
5
2 º 5 ªª 21
A21 5 ª 23
3
3 ºº
º ª
3ª
2
2» ª
« 23
2
5º
ª 21
º
3
3»
«
Así
Verificación
A21
EJEMPLO 3 .3 .5
Cálculo de la inversa de una matriz de 4 3 4 usando
el determinante y la adjunta
Sea
Determine si A es invertible y, si lo es, calcule A21.
.
N
Nota
Observe que el teorema 2.4.5, en la
página 107, para matrices de 2 3 2 es
un caso especial de este teorema.
214
CAPÍTULO 3
Determinantes
Solución Haciendo uso de las propiedades de los determinantes, se calcula det A 5
21 Z 0 y por lo tanto A21 existe. Por el ejemplo 3.3.2 se tiene
⎛ 0 −1
0 −2 ⎞ ⎛ 0
⎜
1
2 −2 ⎟ ⎜ 1
1 ⎜ −1
⎟ =⎜
A21 5
−1 ⎜ 0 −1 −3
3⎟ ⎜ 0
⎜
⎟ ⎜
2 ⎠ ⎝ −2
⎝ 2 −2 −3
Así
2⎞
2⎟
⎟
3 −3 ⎟
⎟
3 −2 ⎠
1
0
−1 −2
1
2
Nota 1. Como ya se habrá observado, si n . 3, por lo general es más fácil calcular A21 con la
reducción por renglones que utilizando adj A; aun para el caso de 4 3 4 es necesario calcular
17 determinantes (16 para la adjunta de A más det A). Sin embargo, el teorema 3.3.3 es de suma
importancia ya que, antes de hacer la reducción por renglones, el cálculo de det A (si se puede
hacer fácilmente) dice si A21 existe o no existe.
Nota 2. En muchas aplicaciones de la teoría de matrices, las matrices están dadas en forma
simbólica (es decir, en términos de variables) en lugar de numérica. Por ejemplo, se puede tener
⎛ x y⎞
en lugar de
. Así, la mejor forma de proceder será considerando muchas
A5⎜
⎝ z w ⎟⎠
veces el cálculo de los determinantes. Esto es particularmente cierto en algunas aplicaciones de
ingeniería, como la teoría de control.
En la sección 2.6 se presentó el teorema de resumen (teoremas 1.1.1, 2.4.7, 2.6.4 y 2.7.4).
Éste es el teorema que une muchos conceptos desarrollados en los primeros capítulos de este
libro.
T
Teorema 3.3.4 Teorema de resumen (punto de vista 5)
Sea A una matriz de n 3 n. Las siguientes siete afirmaciones son equivalentes. Es decir,
cada una implica a las otras seis (de manera que si una es cierta, todas lo son).
i) A es invertible.
ii) La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0).
iii) El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada vector de dimensión n b.
iv) A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n 3 n, In.
v) A es el producto de matrices elementales.
vi) La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
vii) det A Z 0.
En el teorema 2.4.7 se demostró la equivalencia de los incisos i), ii), iii), iv) y vi). En el
teorema 2.6.3 se demostró la equivalencia de los incisos i) y v). El teorema 3.3.1 (o teorema 3.5.2) demuestra la equivalencia de i) y vii).
3.3
R
Determinantes e inversas
215
Resumen 3.3
• La matriz A de n 3 n es invertible si y sólo si det A Z 0.
(p. 212)
• det AB 5 det A det B.
(p. 192)
• Si A es invertible, entonces det A Z 0 y
det A21 5
1
det A
(p. 210)
• Sea A una matriz de n 3 n. La adjunta o adjugada de A, denotada por adj A, es la matriz de
n 3 n cuya componente ij es Aji, el cofactor ji de A.
(p. 210)
• Si det A Z 0, entonces A es invertible y
(p. 212)
A21 5
1
adj A
det A
• Teorema de resumen
Sea A una matriz de n 3 n. Entonces las siguientes siete afirmaciones son equivalentes:
iiii) A es invertible.
iiii) La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0).
iiii) El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada vector de dimensión n b.
iiv) A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n 3 n, In.
iiv) A es el producto de matrices elementales.
ivi) La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
vii) det A Z 0.
A
A U T O E V A L U A C I Ó N 3.3
I) El determinante de
dada por
es 2149. La componente 2, 3 de A21 está
a) 2
1
49
b)
1
49
c) 2
1
49
d)
1
49
(p. 215)
216
CAPÍTULO 3
Determinantes
⎛ 3 7 2⎞
5 8 ⎟ es 468. La componente 3, 1 de A21 es
II) El determinante de ⎜⎜ −1
⎟
⎜⎝ 6 −4 4 ⎟⎠
a) 2
26
468
b)
26
468
c)
46
468
d)
46
468
Respuestas a la autoevaluación
I) d )
II) a)
Problemas 3.3
De los problemas 1 al 16 utilice los métodos de esta sección para determinar si la matriz dada
es invertible. De ser así, calcule la inversa.
© 7 28 ¹
1. ª
9 º»
«9
© 3 25 ¹
4. ª
º
ª« 28
1 º»
8.
11.
14.
© 23
9¹
3. ª
« 7 221º»
2.
⎛ 0 1⎞
5. ⎜
⎝ 1 0⎟⎠
⎛ 1 1 1⎞
6. ⎜⎜ 0 2 3⎟⎟
⎜⎝ 5 5 1⎟⎠
⎛ 1 1 1⎞
9. ⎜ 0 1 1⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
© 10 10
6¹
ª
º
7. ª 10 10 28 º
ª« 27 0 22 º»
© 9
3 9¹
ª
º
10. ª 6 210 4 º
ª« 10
7 5 º»
© 1 0 1¹
12. ª 0 1 2 º
ª
º
ª« 2 1 4 º»
© 5
0
ª
2
10
2
2
ª
13. ª
0 25
ª
ª« 0 210
0¹
º
7
0º
4 21º
º
0
0 º»
15.
©2 0
1
7¹
ª
º
0 0 28 25 º
16. ª
ª 0 0 27
0º
ª
º
ª« 0 10
0 25 º»
0
17. Utilice determinantes para demostrar que una matriz A de n 3 n es invertible si y sólo si
A^ es invertible.
⎛ 1 1⎞
1
18. Para A 5 ⎜
verifique que det A21 5
.
⎟
det A
⎝ 2 5⎠
⎛1
19. Para A = ⎜⎜ 4
⎜⎝ 2
−1
3⎞
1
1
6 ⎟ verifique que det A21 5
.
⎟
det
A
⎟
0 −2 ⎠
3.3
Determinantes e inversas
© a 1 1 23 ¹
20. ¿Para cuáles valores de a la matriz ª
º es no invertible?
ª« 5
1 2 a º»
21. ¿Para qué valores de a la matriz
no tiene inversa?
22. Suponga que la matriz A de n 3 n es no invertible. Demuestre que (A)(adj A) es la matriz
cero.
⎛ cos θ
23. Sea u un número real. Demuestre que ⎜
⎝ 2sen θ
sen θ ⎞
es invertible y encuentre su inversa.
cos θ ⎟⎠
© cos u sen u 0 ¹
ª
º
24. Sea u un número real. Demuestre que ª 2sen u cos u 0 º es invertible y encuentre su inversa.
ª 0
0
1 º»
«
© 2 15
e 3t
25. Sea t un número real. Demuestre que ª
ª 25 2 25
ª« e 4t e3t
EJERCICIOS
CON
0 ¹
º es invertible y encuentre su inversa.
15
2 4t ºº
e »
MATLAB 3.3
1. Genere una matriz aleatoria de n 3 m con A52*rand(n,m)21 para algunos valores de
n y m tales que m . n. Encuentre el determinante de A^A. ¿Cuál es su conclusión acerca de
A^A? Pruebe su conclusión para otras tres matrices A. ¿Es válida su conclusión si m , n?
2. La siguiente secuencia de instrucciones de MATLAB calcula la matriz adjunta de una
matriz aleatoria A de orden n
% Orden de la matriz de interes
n=4;
% Define matriz de interes
A = rand(n);
% Inicializa matriz que al final sera la matriz adjunta de A
C = zeros(size(A));
% Ciclo para obtener la matriz de cofactores
for i=1:n
vec_renglon=1:n;
vec_renglon(i)=[]; % excluir el renglon i
for j=1:n
vec_columna=1:n;
vec_columna(j)=[]; % excluir la columna j
C(i,j)= det(A(vec_renglon,vec_columna))*(–1)^(i+j);
end
end
% Matriz Adjunta, es la transpuesta de la matriz de
% cofactores
C=C9;
Escriba estas instrucciones en el archivo tipo m adjunta.m
217
218
CAPÍTULO 3
Determinantes
a) Modifique el orden de la matriz A dado en la segunda línea a 50. En la pantalla de comando escriba la siguiente secuencia de instrucciones
tic;adjunta;toc
tic;adjunta;t_adjunta=toc
En la variable t_adjunta se guarda el tiempo que se utilizó para ejecutar el programa
adjunta.m
b) Calcule la adjunta como
tic;D = det(A)*inv(A);toc
tic; D = det(A)*inv(A);t_det_inv=toc.
En la variable t_det_inv se guarda el tiempo que se utilizó para ejecutar los comandos que producen la matriz adjunta de A.
c) Compare adj(A), calculada en el inciso a), con D, calculada en el inciso b). ¿Por qué
esperaría eso? [Sugerencia: Encuentre la máxima variación entre los elementos de C y
D, los comandos abs, max le pueden ser útiles.]
d) Compare los tiempos de ejecución. ¿Qué descubrió al comparar estos tiempos?
3. Se ha demostrado que A no es invertible si det(A) 5 0. Una suposición natural es que si A
es cercana a ser no invertible, entonces det(A) estará cerca de 0.
Considere la siguiente matriz C. Verifique que C es no invertible. Dé A = C; A(3,3)
= C(3,3) + 1.e-10. Verifique que A es invertible y observe que A es cercana a la matriz
no invertible C. Encuentre det(A). ¿Qué puede concluir sobre la “suposición natural”
que se mencionó?
PROBLEMA PROYECTO
4. a) Introduzca una matriz A triangular superior de 5 3 5 con elementos enteros de manera
que el determinante de A sea 1. Elija valores de c (entero), i y j y realice varias operaciones con renglones de la forma Rj : Rj 1 cRj de manera que la matriz esté completa, es
decir, que tenga el menor número de ceros posible. Llame A a la nueva matriz.
b) Verifique que det(A) es todavía igual a 1. ¿Por qué es esto de esperarse? Encuentre
inv(A) y verifique que tiene elementos enteros. ¿Por qué es esto de esperarse?
c) Consulte el problema 9 de MATLAB 2.4 sobre encriptar y decodificar los mensajes.
Este problema le pide que encripte un mensaje para su profesor haciendo uso de la matriz A creada anteriormente.
i) Cree un mensaje para su profesor. Utilizando números en lugar de letras, tal y como
se describió en el problema 9 de MATLAB 2.4, escriba el mensaje en forma matricial para que pueda multiplicarlo por la derecha por A para codificar el mensaje
(puede ser que necesite colocar espacios adicionales al final del mensaje).
ii) Utilice A para encriptar el mensaje.
iii) Entregue el mensaje encriptado a su profesor (como una cadena de números) y la
matriz A.
3.4
Regla de Cramer
3.4 Regla de Cramer
En la presente sección se examina un viejo método para resolver sistemas con el mismo número
de incógnitas y ecuaciones. Considere el sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.
a11x1 1 a12 x2
1
1 a1n xn
5 b1
a21x1 1 a22 x2 1
1 a2 n xn 5 b2
an1x1 1 an 2 x2 1
1 ann xn 5 bn
(3.4.1)
que puede escribirse en la forma
Ax 5 b
(3.4.2)
Si det A Z 0, el sistema (3.4.2) tiene una solución única dada por x 5 A21b. Se puede desarrollar un método para encontrar dicha solución sin reducción por renglones y sin calcular A21.
Sea D 5 det A. Se definen n nuevas matrices:
© b1
ª
b2
A1 5 ª
ª
ª
« bn
a12
a22
an 2
a1n ¹
º
a2 n º
,
º
º
ann »
© a11 b1
ª
a21 b2
A2 5 ª
ª
ª
« an1 bn
a1n ¹
º
a2 n º
,… ,
º
º
ann »
© a11
ª
a21
An 5 ª
ª
ª
« an1
a12
a22
an 2
b1 ¹
º
b2 º
º
º
bn »
Es decir, Ai es la matriz obtenida al reemplazar la columna i de A por b. Por último, sea D1 5
det A1, D2 5 det A2, . . . , Dn 5 det An .
T
Teorema 3.4.1 Regla de Cramer
Sea A una matriz de n 3 n y suponga que det A Z 0. Entonces la solución única al sistema Ax 5 b está dada por
x1 5
D1
D
D
D
, x2 5 2 , … , xi 5 i , … , xn 5 n
D
D
D
D
(3.4.3)
Demostración
La solución a Ax 5 b es x 5 A21b. Pero
A21
© A11
ª
1
1 ª A12
b 5 (abj A) b 5
D
Dª
ª
« A1n
A21
A22
A2 n
An1 ¹
º
An 2 º
º
º
Ann »
© b1 ¹
ª º
ª b2 º
ª º
ª º
« bn »
(3.4.4)
Ahora bien, (adj A)b es un vector de dimensión n cuya componente j es
© b1 ¹
ª º
b2
( A1 j A2 j … Anj ), ª º 5 b1A1 j 1 b2 A2 j 1
ª º
ª º
« bn »
1 bn Anj
(3.4.5)
219
220
CAPÍTULO 3
Determinantes
Considere la matriz
© a11
ª
a21
Aj 5 ª
ª
ª
« an1
a12
b1
a22
b2
an 2
bn
a1n ¹
º
a2 n º
º
º
ann »
(3.4.6)
columna j
Si se expande el determinante de Aj respecto a su columna j, se obtiene
Nota histórica
La regla de Cramer recibe su
nombre en honor del matemático
suizo Gabriel Cramer (17041752). Cramer publicó la regla en
1750 en su libro Introduction to
the Analysis of Lines of Algebraic
Curves. De hecho, existe evidencia que sugiere que Colin
Maclaurin (1698-1746) conocía
la regla desde 1729; Maclaurin
fue quizá el matemático británico
más sobresaliente en los años
que siguieron a la muerte de
Newton. La regla de Cramer es
uno de los resultados más conocidos en la historia de las matemáticas. Durante casi 200 años fue
fundamental en la enseñanza del
álgebra y de la teoría de las ecuaciones. Debido al gran número
de cálculos requeridos, se utiliza
muy poco en la actualidad. Sin
embargo, el resultado fue muy
determinante en su tiempo.
Dj 5 b1 (cofactor de b1) 1 b2 (cofactor de b2) 1 . . . 1 bn (cofactor de bn) (3.4.7)
Pero para encontrar el cofactor de bi, por ejemplo, se elimina el renglón i y la
columna j de Aj (ya que bi está en la columna j de Aj ). Pero la columna j de Aj
es b, y si se elimina se tendrá simplemente el menor ij, Mij, de A. Entonces
cofactor de bi en Aj 5 Aij
De manera que (3.4.7) se convierte en
Dj 5 b1A1j 1 b2A2j 1 . . . 1 bn Anj
(3.4.8)
Por esta razón se trata de lo mismo que el lado derecho de (3.4.5). Por lo tanto,
la componente i de (adj A)b es Di y se tiene
⎛ D1 ⎞
© x1 ¹
© D1 ¹ ⎜ D ⎟
ª º
ª º ⎜ ⎟
x2 º
1
1 ª D2 º ⎜ D2 ⎟
ª
21
x5
5 A b 5 (adj A) b 5
5
ª º
D
Dª º ⎜ D ⎟
ª º
ª º ⎜ ⎟
« xn »
« Dn » ⎜ D n ⎟
⎜⎝ D ⎟⎠
y la prueba queda completa.
EJ EM PLO 3 .4 .1
Solución de un sistema de 3 3 3 utilizando la regla de Cramer
Resuelva el sistema usando la regla de Cramer:
2x1 1 4x2 1 6x3 5 18
4x1 1 5x2 1 6x3 5 24
(3.4.9)
3x1 1 4x2 2 2x3 5 48
Solución El presente ejemplo ya se resolvió en el ejemplo 1.2.1 de la página 8 haciendo uso de la reducción por renglones. También se pudo resolver calculando A21 (ejemplo
2.4.6, página 109) y después encontrando A21b. Ahora se resolverá usando la regla de Cramer.
Primero, se tiene
56Z0
3.4
Regla de Cramer
221
18 4
6
de manera que el sistema (3.4.9) tiene una solución única. Después D1 5 24 5
6 = 24,
4 1 −2
D2 5
x2 5
D3 5
D2
12
52 52 2
D
6
EJEMPLO 3 .4 .2
y
x3 5
Por lo tanto, x1 5
D1 24
5
5 4,
D
6
D3 18
5 5 3.
D
6
Solución de un sistema de 4 3 4 usando la regla de Cramer
Demuestre que el sistema
x1 1 3x2 1 5x3 1 2x4 5 2
x1 12x2 1 3x3 1 4x4 5 0
(3.4.10)
2x1 1 3x2 1 9x3 1 6x4 5 23
3x1 1 2x2 1 4x3 1 8x4 5 21
tiene una solución única y encuéntrela utilizando la regla de Cramer.
Solución
En el ejemplo 3.2.14 de la página 201 se vio que
5 160 Z 0
por lo que el sistema tiene una solución única. Para encontrarla se calcula D1 5 2464; D2 5
280; D3 5 256; D4 5 112. Así, x1 5
D1
D
5
2464
, x2
160
5
D2
D
5
280
, x3
160
5
D3
D
5
256
160
y x4
D4
D
5
112
.
160
Estas soluciones se pueden verificar por sustitución directa en el sistema 3.4.10.
R
Resumen 3.4
• Regla de Cramer
Sea A una matriz de n 3 n con det A Z 0. Entonces la solución única al sistema Ax 5 b está dada
por
x1 5
D1
D2
Dn
, x2 5
, # , xn 5
det A
det A
det A
donde Dj es el determinante de la matriz obtenida al reemplazar la columna j de A por el vector
columna b.
(p. 219)
222
CAPÍTULO 3
Determinantes
A
A U T O E V A L U A C I Ó N 3.4
IIII) Considere el sistema
2x 1 3y 1 4z 5 7
3x 1 8y 2 z 5 2
25x 2 12y 1 6z 5 11
, entonces y 5 ________.
Si
1
a)
D
7 23
4
2
8 21
11 212
6
c)
1
b)
D
2 23
7
3
8
2
25 212 11
d)
Respuesta a la autoevaluación
I) c)
Problemas 3.4
De los problemas 1 al 9 resuelva el sistema dado usando la regla de Cramer.
1. 7x1 2 8x2 5 3
9x1 1 9x2 5 28
3. 2x1 1 3x2 1 3x3 5 6
3x1 2 2x2 2 3x3 5 5
2. 3x1 2 3x2 5 0
4x1 1 2x2 5 5
4. 25x1 1 8x2 1 10x3 5 28
22x1 2 7x2
3 x3 5 22
8x1 1 2x2 1 5x3 5 11
10x1 1 10x2 1 6x3 5 9
5. 2x1 1 2x2 1 3x3 5 7
6. 22x1 1 5x2 2 3x3 5 21
7.
2x1 1 2x2 1 3x3 5 0
24x1 1 5x2 1 3x3 5 3
2x1 1 2x2 1 3x3 5 1
22x1 1 2x2 1 3x3 5 0
6x1 2 10x2 1 4x3 5 22
10x1 1 7x2 1 5x3 5 3
3x1 1 9x2 1 5x3 5 27
8. 2x1 1 3x2 1 3x3 1 3x4 5 6
2x1 1 3x2 2 3x3 2 3x4 5 4
2x1 1 3x2 1 3x3 1 6x4 5 3
2x1 1 3x2 1 3x3 2 3x4 5 5
9. 2x1 1 3x2 1 3x3 2 3x4 5 7
2x1 1 2x2 1 3x3 2 3x4 5 2
4x1 1 3x2 1 3x3 1 6x4 5 23
2x1 1 3x2 1 3x3 2 5x4 5 2
3.4
Regla de Cramer
*10. Considere el triángulo en la figura 3.2
b
a
C
A
B
b cos A
a cos B
c
Figura 3.2
a) Demuestre, utilizando la trigonometría elemental, que
c cos A 1 a cos B 1 a cos C 5 b
b cos A 1 a cos B 1 a cos C 5 c
c cos A 1 c cos B 1 b cos C 5 a
b) Si se piensa que el sistema del inciso a) es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, cos A, cos B y cos C, demuestre que el determinante del sistema es diferente
de cero.
c) Utilice la regla de Cramer para despejar cos C.
d) Utilice el inciso c) para probar la ley de cosenos: c2 5 a2 1 b2 – 2ab cos C.
EJERCICIOS
CON
MATLAB 3.4
1. Las siguientes instrucciones resuelven el sistema Ax5b utilizando la regla de Cramer
% Orden del sistema a resolver
n=50;
% Generar matriz A y vector b;
A=rand(n);
b=rand(n,1);
% Inicializacion del vector de resultados
x=zeros(n,1);
% Calculo del determinante de A
detA=det(A);
% Ciclo para encontrar vector x utilizando
% regla de Cramer
for i=1:n
C=A;
C(:,i)=b;
x(i)=det(C)/detA;
end
Guarde las instrucciones en un archivo tipo m con nombre cramer.m
a) Ejecute las siguientes instrucciones desde la línea de comando de MATLAB
tic;cramer;toc
tic;cramer;t_cramer=toc
En la variable t_cramer se guarda el tiempo de ejecución de este programa.
b) Resuelva el sistema usando z=A\b. Dé los siguientes comandos
tic;z=A\b;toc
tic;z=A\b;t_lu=toc
223
224
CAPÍTULO 3
Determinantes
En la variable t_lu se guarda el tiempo de ejecución.
c) Compare x y z calculando x–z y despliegue el resultado utilizando format short e.
Compare los tiempos de ejecución. ¿Cuáles fueron sus hallazgos con estas comparaciones?
d) Repita para una matriz aleatoria de 70 3 70. ¿Qué otras afirmaciones puede hacer sobre
los tiempos de ejecución?
3.5 Demostración de tres teoremas importantes
y algo de historia
Antes se citaron tres teoremas que resultan de fundamental importancia en la teoría de matrices determinantes. Las demostraciones de estos teoremas son más complicadas que las demostraciones que ya se analizaron. Trabaje despacio en estas demostraciones; la recompensa será
un mejor entendimiento de algunas ideas importantes acerca del álgebra lineal.
T
Teorema 3.5.1 Teorema básico
Sea A 5 (aij) una matriz de n 3 n. Entonces
det A 5 a11A11 1 a12A12 1 . . . 1 a1nA1n
5 ai1Ai1 1 ai2Ai2 1 . . . 1 ainAin
(3.5.1)
5 a1jA1j 1 a2jA2j 1 . . . 1 anjAnj
(3.5.2)
para i 5 1, 2, … , n y j 5 1, 2, … , n.
Nota. La primera igualdad es la definición 3.1.4 del determinante mediante la expansión por cofactores del primer renglón; la segunda igualdad dice que la expansión por
cofactores de cualquier otro renglón lleva al determinante; la tercera igualdad dice que
la expansión por cofactores de cualquier columna da el determinante. De acuerdo con
la observación de la página 199 se necesita, únicamente, probar el teorema para los
renglones [ecuación (3.5.1)].
Demostración
⎛a
a12 ⎞
Se probará la igualdad (3.5.1) por inducción matemática. Para la matriz A 5 ⎜ 11
⎟
⎝ a21 a22 ⎠
de 2 3 2, primero se expande por cofactores el primer renglón: det A 5 a11A11 1 a12A12
5 a11(a22) 1 a12(–a21) 5 a11a22 – a12a21. De este modo, expandiendo en el segundo renglón
se obtiene a21A21 1 a22A22 5 a21(2a12) 1 a22(a11) 5 a11a22 – a12a21. Entonces se obtiene
el mismo resultado expandiendo en cualquier renglón de una matriz de 2 3 2, y esto
prueba la igualdad (3.5.1) en el caso 2 3 2.
Ahora se supone que la igualdad (3.5.1) se cumple para todas las matrices de
(n 2 1) 3 (n 2 1). Debe demostrarse que se cumple para las matrices de n 3 n. El procedimiento será expandir por cofactores los renglones 1 e i, y demostrar que las expansiones son idénticas. La expansión en el primer renglón da el siguiente término general
a1kA1k 5 (21)11ka1k|M1k|
(3.5.3)
3.5
Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia
Observe que éste es el único lugar en la expansión de |A| en el cual aparece el término a1k
ya que otro término general sería a1mA1m 5 (21)11ma1m|M1m|, con k Z m y M1m se obtiene
eliminando el primer renglón y la m-ésima columna de A (y a1k está en el primer renglón
de A). Como M1k es una matriz de (n 2 1) 3 (n 2 1), por la hipótesis de inducción se
puede calcular |M1k| expandiendo en el renglón i de A [que es el renglón (i 2 1) de M1k].
Un término general de esta expansión es
ail (cofactor de ail en M1k) (k Z l )
(3.5.4)
Por las razones descritas, éste es el único término en la expansión de |M1k| en el i-ésimo
renglón de A que contiene el término ail. Sustituyendo (3.5.4) en la ecuación (3.5.3) se
encuentra que
(21)11ka1kail (cofactor de ail en M1k) (k Z l)
(3.5.5)
es la única ocurrencia del término a1kail en la expansión por cofactores de det A en el
primer renglón.
Ahora, si se expande por cofactores en el renglón i de A (donde i Z 1), el término
general es
(21)11lail|Mil|
(3.5.6)
y el término general en la expansión de |Mil| en el primer renglón de Mil es
a1k (cofactor de a1k en Mil) (k Z l )
(3.5.7)
Si se inserta (3.5.7) en el término (3.5.6) se encuentra que la única ocurrencia del término aila1k en la expansión del renglón i de det A es
(21)i1la1kail (cofactor de a1k en Mil) (k Z l)
(3.5.8)
Si se puede demostrar que las expansiones (3.5.5) y (3.5.8) son la misma, entonces (3.5.1)
quedará demostrada, ya que el término en (3.5.5) es la única ocurrencia de a1kail en la
expansión del primer renglón, el término en (3.5.8) es la única ocurrencia de a1kail en
la expansión del i-ésimo renglón, y k, i y l, son arbitrarios. Lo que demostrará que las
sumas de términos en las expansiones en los renglones 1 e i son iguales.
Ahora, sea M1i,kl la matriz de (n 2 2) 3 (n 2 2) obtenida al eliminar los renglones
1 e i y las columnas k y l de A (esto se llama menor de segundo orden de A). Primero se
supone que k , l. Después
⎛ a21
⎜
⎜
M1k 5 ⎜ ai1
⎜
⎜
⎜ an1
⎝
⎛ a11
⎜
⎜
⎜ ai21,1
Mil 5 ⎜
⎜ ai11,1
⎜
⎜
⎜⎝ an1
a2,k21
a2,k11
a2 l
a1,k21
ai ,k11
ail
a n , k2 1
a n , k1 1
anl
a2 n ⎞
⎟
⎟
ain ⎟
⎟
⎟
ann ⎟⎠
a1k
a1,l 21
a1,l 11
ai21, k
ai21,l 21
ai21,l 11
ai11, k
ai11,l 21
ai11,l 11
ank
a n ,l 2 1
a n ,l 1 1
(3.5.9)
a1n ⎞
⎟
⎟
ai21,n ⎟
⎟
ai11,n ⎟
⎟
⎟
ann ⎟⎠
(3.5.10)
225
226
CAPÍTULO 3
Determinantes
De (3.5.9) y (3.5.10) se aprecia que
Cofactor de ail en M1k 5 (21)(i21)1(l21)|M1i,kl|
(3.5.11)
Cofactor de a1k en Mil 5 (21)11k|M1i,kl|
(3.5.12)
Entonces (3.5.5) se convierte en
(21)11k a1k ail (21)(i21)1(l21)|M1i,kl| 5 (21)i1k1l21a1k ail|M1i,kl|
(3.5.13)
y (3.5.8) se convierte en
(21)i1la1k ail (21)11k|M1i,kl| 5 (21)i1k1l11a1k ail|M1i,kl|
(3.5.14)
Pero (21)i1k1l21 5 (21)i1k1l11, de modo que los lados derechos de las ecuaciones
(3.5.13) y (3.5.14) son iguales. Así, las expresiones (3.5.5) y (3.5.8) son iguales y (3.5.1)
queda demostrado en el caso k , l; después por un razonamiento similar se encuentra
que si k . l,
Cofactor de ail en M1k 5 (21)(i21)1l|M1i,kl|
Cofactor de a1k en Mil 5 (21)11(k21)|M1i,kl|
de manera que (3.5.5) se convierte en
(21)11k a1k ail (21)(i21)1l|M1i,kl| 5 (21)i1k1la1k ail|M1i,kl|
y (3.5.8) se convierte en
(21)i1la1k ail (21)11k21|M1i,kl| 5 (21)i1k1la1k ail|M1i,kl|
y esto completa la prueba de la ecuación (3.5.1).
Ahora se quiere probar que para cualesquiera dos matrices de n 3 n, A y B, det AB 5 det A
det B. La prueba es más compleja e incluye varios pasos. Se usarán diversos hechos sobre las
matrices elementales probados en la sección 2.6.
Primero se calculan los determinantes de las matrices elementales.
L
Lema 3.5.1
Sea E una matriz elemental:
iii) Si E es una matriz que representa la operación elemental Ri N Rj, entonces det
E 5 21.
(3.5.15)
iii) Si E es una matriz que representa la operación elemental Rj : Rj 1 cRi entonces det
E 5 1.
(3.5.16)
iii) Si E es la matriz que representa la operación elemental Ri : cRi, entonces det E 5 c.
(3.5.17)
Demostración
iii) det I 5 1. E se obtiene de I intercambiando los renglones i y j de I. Por la propiedad
3.2.4 de la página 198, det E 5 (21) det I 5 21.
iii) E se obtiene de I multiplicando el renglón i de I por c y sumándolo al renglón j.
Entonces por la propiedad 3.2.7 de la página 200, det E 5 det I 5 1.
3.5
Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia
iii) E se obtiene de I multiplicando el renglón i de I por c. Así, por la propiedad 3.2.2
en la página 196, det E 5 c det I 5 c.
L
Lema 3.5.2
Sea B una matriz de n 3 n y sea E una matriz elemental. Entonces
det EB 5 det E det B
(3.5.18)
La prueba de este lema se deduce del lema 3.5.1 y los resultados presentados en la sección 3.2
que relacionan las operaciones elementales con renglones en los determinantes. Los pasos de la
prueba se indican en los problemas 1 al 3 de la sección que nos ocupa.
El siguiente teorema es un resultado fundamental en la teoría de matrices.
T
Teorema 3.5.2
Sea A una matriz de n 3 n. Entonces A es invertible si y sólo si det A Z 0.
Demostración
Del teorema 2.6.5 en la página 139, se sabe que existen matrices elementales E1, E2, . . . ,
Em y una matriz triangular superior T tal que
A 5 E1E2, . . . , EmT
(3.5.19)
Usando el lema 3.5.2 m veces, se ve que
det A 5 det E1 det (E2E3 . . . EmT)
5 det E1 det E2 det (E3 . . . EmT)
(
5 det E1 det E2 . . . det Em21 det (EmT)
o sea
det A 5 det E1 det E2 . . . det Em21 det Em det T
(3.5.20)
Por el lema 3.5.1, det Ei Z 0 para i 5 1, 2, … , m. Se concluye que det A Z 0 si y sólo si
det T Z 0.
Ahora suponga que A es invertible. Al usar (3.5.19) y el hecho de que toda matriz
elemental es invertible Em21 . . . El21A es el producto de matrices invertibles. Así, T es
invertible y por el teorema 3.1.2 en la página 183, det T Z 0. Por lo tanto, det A Z 0.
Si det A Z 0 entonces (3.5.20), det T Z 0, por lo que T es invertible (por el teorema
3.1.2). Entonces el lado derecho de (3.5.20) es el producto de matrices invertibles, y A es
invertible. Esto completa la demostración.
Al fin, ahora se puede demostrar el resultado principal. Usando estos resultados establecidos,
la prueba es directa.
227
228
CAPÍTULO 3
1.3
con
incógnitas
Determinantes
1.2 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación
deecuaciones
Gauss-Jordan
1.3 m
m
ecuaciones
conynngaussiana
incógnitas
228
228
Semb l a n z a d e ...
Breve historia de los determinantes
Los determinantes aparecieron en la literatura matemática más
de un siglo antes que las matrices. El término matriz fue utilizado
por primera vez por James Joseph Sylvester, cuya intención era
que su significado fuera “madre de los determinantes”.
Algunos grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX participaron en el desarrollo de las propiedades de los determinantes.
La mayoría de los historiadores cree que la teoría de los determinantes encuentra su origen en el matemático alemán Gottfried
Willhelm Leibniz (1646-1716), quien junto con Newton, fue coinventor del cálculo. Leibniz utilizó los determinantes en 1693
en referencia a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas.
Sin embargo, algunos piensan que un matemático japonés, Seki
Kowa, hizo lo mismo casi 10 años antes.
Quien contribuyó de manera más importante en la teoría de
los determinantes fue el matemático francés Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy redactó una memoria de 84 páginas, en
1812, que contenía la primera prueba del teorema det AB 5 det
A det B. En 1840 definió la ecuación característica de la matriz A
como la ecuación polinomial det (A 2 λI) 5 0. Dicha ecuación se
estudiará con detalle en el capítulo 8.
Cauchy escribió en forma extensa, tanto sobre matemáticas
puras como sobre matemáticas aplicadas. Sólo Euler contribuyó
en mayor medida. Cauchy participó en muchas áreas que incluyen
teoría de funciones reales y complejas, teoría de la probabilidad,
la geometría, la teoría de propagación de ondas y series infinitas.
Se otorga a Cauchy el crédito de establecer un nuevo estándar de rigor en las publicaciones matemáticas. Después de
Cauchy, se tornó más difícil publicar un artículo basado en la intuición; se pedía adhesión estricta a las demostraciones formales.
T
Gottfried Wilhelm Leibniz
Augustin-Louis Cauchy
(Colección de David Eugene
Smith, Rare Book and Manuscript
Library, Columbia University)
(Colección de David Eugene
Smith, Rare Book and Manuscript
Library, Columbia University)
El vasto volumen de las publicaciones de Cauchy era una
inspiración. Cuando la Academia Francesa de las Ciencias inició
sus publicaciones periódicas Comptes Rendu en 1835, Cauchy les
envió su trabajo para que lo publicaran. Pronto la cuenta de impresión de sólo el trabajo de Cauchy creció tanto que la Academia puso un límite de cuatro páginas por artículo publicado. Esta
regla todavía está en vigor.
Vale la pena mencionar aquí algunos matemáticos. La expansión de un determinante por cofactores fue utilizada por
primera vez por un matemático francés, Pierre-Simon Laplace
(1749-1827). Laplace es más conocido por la transformada de Laplace que se estudia en cursos de matemáticas aplicadas.
Una aportación importante a la teoría de determinantes
(después de Cauchy) fue la del matemático alemán Carl Gustav
Jacobi (1804-1851). Fue con él que la palabra “determinante” ganó
su aceptación final. Jacobi usó primero un determinante aplicado
a las funciones para establecer la teoría de funciones de diversas
variables. Más tarde, Sylvester bautizó a este determinante el jacobiano. Los estudiantes actuales estudian los jacobianos en los
cursos de cálculo de distintas variables.
Por último, ninguna historia de determinantes estaría completa sin el libro An Elementary Theory of Determinants, escrito en
1867 por Charles Dogdson (1832-1898). En dicho libro Dogdson
da las condiciones bajo las cuales los sistemas de ecuaciones tienen soluciones no triviales. Estas condiciones están escritas en
términos de los determinantes de los menores de las matrices de
coeficientes. Charles Dogdson es más conocido por su seudónimo de escritor, Lewis Carroll. Con ese nombre publicó su famoso
libro Alicia en el país de las maravillas.
Teorema 3.5.3
Sean A y B matrices de n 3 n. Entonces
det AB 5 det A det B
(3.5.21)
Demostración
Caso 1: det A 5 det B 5 0. Entonces por el teorema 3.5.2, B no es invertible, así por
el teorema 2.4.7, existe un vector de dimensión n x Z 0 tal que Bx 5 0. Entonces (AB)
x 5 A(Bx) 5 A0 5 0. Por lo tanto, de nuevo por el teorema 2.4.7, AB no es invertible.
Por el teorema 3.5.2,
0 5 det AB 5 0 ? 0 5 det A det B
Ejercicios de repaso
Caso 2: det A 5 0 y det B Z 0. A no es invertible, por lo que existe un vector de dimensión n y Z 0 tal que Ay 5 0. Como det B Z 0, B es invertible y existe un vector único x
Z 0 tal que Bx 5 y. Entonces ABx 5 A(Bx) 5 Ay 5 0. Así, AB no es invertible, esto es
det AB 5 0 5 0 det B 5 det A det B
Caso 3: det A Z 0. A no es invertible y se puede escribir como un producto de matrices
elementales:
A 5 E1,E2, . . . , Em
Entonces
AB 5 E1,E2, . . . , EmB
Usando el resultado del lema 3.5.2 repetidas veces, se ve que
det AB 5 det (E1E2 . . . EmB)
5 det E1 det E2 . . . det Em det B
5 det (E1E2 . . . Em) det B
5 det A det B
Problemas 3.5
1. Sea E la representación Ri M Rj y sea B una matriz de n 3 n. Demuestre que det EB 5
det E det B. [Sugerencia: Describa la matriz EB y después utilice la ecuación (3.5.15) y la
propiedad 3.5.4.]
2. Sea E la representación Rj : Rj 1 cRi y sea B una matriz de n 3 n. Demuestre que det EB
5 det E det B. [Sugerencia: Describa la matriz EB y después utilice la ecuación (3.5.16) y
la propiedad 3.5.7.]
3. Sea E la representación Rj : cRi y sea B una matriz de n 3 n. Demuestre que det EB 5
det E det B. [Sugerencia: Describa la matriz EB y después utilice la ecuación (3.5.7) y la
propiedad 3.5.2.]
E
Ejercicios de repaso
En los ejercicios 1 al 12 calcule el determinante.
1.
7 28
9
9
3
2.
3.
5.
6.
1 27
4. 28 10
10
25 10
10
229
230
CAPÍTULO 3
Determinantes
0 22
6
7.
9
28
7
10.
10
3
8.
6 210
0
0
0
9 22
0
0
5 27 210 24
4
3 25
0
21
0 0
1 21 1
0
3 4
9.
11.
12.
De los ejercicios 13 al 19 utilice determinantes para calcular la inversa (si existe).
© 9 21¹
13. ª
º
« 210 22 »
©4
0 1¹
ª
14. 0 22 0º
ª
º
ª« 3
0 1º»
© 6 21 25 28 ¹
ª
º
3
0
0º
ª 6
16. ª
4
3 10 º
27
ª
º
ª« 0
5 0
0 º»
© 1 1 1¹
17. ª 1 0 1º
º
ª
« 0 1 1»
18.
© 0
1
0
ª 0
0
1
19. ª
ª 0
0
0
ª
2
2
2
3
2
1
«
15.
0¹
0º
º
1º
º
0»
En los ejercicios 20 al 24 resuelva el sistema utilizando la regla de Cramer.
20. 2x1 2 3x2 5 3
21. 29x1 2 5x2 2 3x3 5 1
3x1 1 2x2 5 5
23x1 1 2x2 1 7x3 5 9
26x1 2 3x2 1 2x3 5 24
22.
x1 1 x2 5 8
23. 2x1 1 3x2 2 5x3 5 5
2x3 2 x2 5 3
2x1 1 2x2 1 3x3 5 0
2x1 2 2x2 5 21
24. 22x1 1 3x2 2 5x3 1 3x4 5 7
22x1 1 2x2 1 2x3 2 3x4 5 21
24x1 2 3x2 2 5x3 1 3x4 5 0
22x1 1 3x2 1 4x3 1 3x4 5 2
4x1 2 3x2 1 5x3 5 21
2
Capítulo
3
Vectores en R y R
4
F1
F1
F 1 5 F2
F2
F2
F
v
v 5 const
v
v 5 ma
F12 F21
F12 5 2F21
Los vectores en dos y tres dimensiones se emplean en todos los ámbitos de la física para representar diversos fenómenos en disciplinas como
mecánica, electricidad y magnetismo, óptica y mecánica de fluidos, sólo por mencionar algunas.
Objetivos del capítulo
En este capítulo el estudiante. . .
• Conocerá las propiedades principales de los vectores en dos
dimensiones (sección 4.1).
• Aprenderá, utilizando el producto escalar entre vectores, a
definir el concepto de ortogonalidad y la operación de
proyección (sección 4.2).
• Identificará las principales propiedades de los vectores en
tres dimensiones (sección 4.3).
• Estudiará una nueva operación binaria junto con sus propiedades, un producto entre vectores que da como resultado
un vector (sección 4.4).
• Se familiarizará con las descripciones y propiedades de las
rectas y los planos en el espacio haciendo uso de las
herramientas definidas en las secciones anteriores
(sección 4.5).
232
CAPÍTULO 4
Vectores en R2 y R3
En la sección 2.1 se definieron los vectores columna y vectores renglón como conjuntos ordenados de n números reales o escalares. En el siguiente capítulo se definirán otros tipos de
conjuntos de vectores, denominados espacios vectoriales.
En principio, el estudio de los espacios vectoriales arbitrarios es un tema abstracto. Por
esta razón es útil poder contar con un grupo de vectores que se pueden visualizar fácilmente
para usarlos como ejemplos.
En el presente capítulo se discutirán las propiedades básicas de los vectores en el plano
xy y en el espacio real de tres dimensiones. Los estudiantes que conocen el cálculo de varias
variables ya están familiarizados con este material, en cuyo caso se podrá cubrir rápidamente,
a manera de repaso. Para los que no, el estudio de este capítulo proporcionará ejemplos que
harán mucho más comprensible el material de los capítulos 5, 6 y 7.
4.1
Segmento de
recta dirigido
Vectores en el plano
Como se definió en la sección 2.1, R2 es el conjunto de vectores (x1, x2) con xl y x2 números
reales. Como cualquier punto en el plano se puede escribir en la forma (x, y), es evidente que
se puede pensar que cualquier punto en el plano es un vector en R2, y viceversa. De este modo,
los términos “el plano” y “R2” con frecuencia son intercambiables. Sin embargo, para muchas
aplicaciones físicas (incluyendo las nociones de fuerza, velocidad, aceleración y momento) es
importante pensar en un vector no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud”
y “dirección”. Ahora se verá cómo se lleva a cabo esto.
Sean P y Q dos puntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigido de P a Q, denotado
S
por PQ, es el segmento de recta que va de P a Q (vea la figura 4.1a). Observe que los segmentos
S
S
de recta dirigidos PQ y QP son diferentes puesto que tienen direcciones opuestas (figura 4.1b).
y
P
0
y
Q
Q
P
x
0
S
a) PQ
x
S
b) QP
Figura 4.1
S
S
Los segmentos de recta dirigidos PQ y QP apuntan hacia direcciones opuestas.
y
0
x
Figura 4.2
Un conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalentes.
Punto inicial
Punto terminal
S
El punto P en el segmento de recta dirigido PQ se denomina punto inicial del segmento y el
punto Q se denomina punto terminal. Las dos propiedades más importantes de un segmento
4.1
de recta dirigido son su magnitud (longitud) y su dirección. Si dos segmentos de
S
S
recta dirigidos PQ y RS tienen la misma magnitud y dirección, se dice que son
equivalentes sin importar en dónde se localizan respecto al origen. Los segmentos
de recta dirigidos de la figura 4.2 son todos equivalentes.
D
Vectores en el plano
233
Observación
Los segmentos de recta dirigidos en la
figura 4.2 son todos representaciones
del mismo vector.
Segmentos de
recta dirigidos
equivalentes
Definición 4.1.1
Definición geométrica de un vector
El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de
recta dirigido dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se
denomina representación del vector.
De la definición 4.1.1 se observa que un vector dado v se puede representar de
S
múltiples formas. Observe la figura 4.3: sea PQ una representación de v; entonS
ces, sin cambiar magnitud ni dirección, se puede mover PQ en forma paralela de
manera que su punto inicial se traslada al origen. Después se obtiene el segmento
S
de recta dirigido 0R, que es otra representación del vector v. Ahora suponga que
la R tiene las coordenadas cartesianas (a, b). Entonces se puede describir el segS
S
mento de recta dirigido 0R por las coordenadas (a, b). Es decir, 0R es el segmento
de recta dirigido con punto inicial (0, 0) y punto terminal (a, b). Puesto que una
representación de un vector es tan buena como cualquier otra, se puede escribir
el vector v como (a, b).
y
S
Se puede mover PQ para obtener un
segmento de recta dirigido equivalente
con su punto inicial en el origen.
S S
Observe que 0 R y PQ son paralelos
y tienen la misma longitud.
D
Representación
del vector
Nota
La forma de la definición geométrica
de un vector presenta la noción de una
clase de equivalencias, la cual es útil
para dividir conjuntos en subconjuntos
ajenos. Además, es suficiente elegir un
elemento de cada subconjunto para representar a todos los otros elementos.
Observación
Con la definición 4.1.2 es posible pensar
en un punto en el plano xy con coordenadas (a, b) como un vector que comienza en el origen y termina en (a, b).
Q
Figura 4.3
N
Vector
P
R
0
Observación
x
El vector cero tiene magnitud cero. Por
lo tanto, puesto que los puntos inicial y
terminal coinciden, se dice que el vector
cero no tiene dirección.
Definición 4.1.2
Definición algebraica de un vector
Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a, b). Los
números a y b se denominan elementos o componentes del vector v. El vector
cero es el vector (0, 0).
Puesto que en realidad un vector es un conjunto de segmentos de recta equivalentes, se define la magnitud o longitud de un vector como la longitud de cualquiera de sus representaciones y su dirección como la dirección de cualquiera de sus
S
representaciones. Haciendo uso de la representación 0R y escribiendo el vector
v 5 (a, b) se define a
v 5 magnitud de v 5 a 2 1 b 2
(4.1.1)
Observación
Se hace hincapié en que las definiciones 4.1.1 y 4.1.2 describen, precisamente, los mismos objetos. Cada punto
de vista (geométrico o algebraico) tiene
sus ventajas. La definición 4.1.2 es la
definición de un vector de dimensión 2
que se ha estado utilizando.
Magnitud o
longitud de un
vector
234
CAPÍTULO 4
Vectores en R2 y R3
Esto se deduce del teorema de Pitágoras (vea la figura 4.4). Se ha usado la notación |v| para
denotar a la magnitud de v. Observe que |v| es un escalar.
R(a, b)
y
a2 + b2
b
Figura 4.4
La magnitud de un vector con coordenada
x igual a a y coordenada y igual a b es
u
a2 1b2 .
EJ EM PLO 4 .1 .1
x
a
0
Cálculo de la magnitud de seis vectores
Calcule las magnitudes de los vectores i) v 5 (2, 2); ii) v 5 (2, 2 3); iii) v 5 (22 3, 2);
iv) v 5 (23, 23); v) v 5 (6, 26); vi) v 5 (0, 3).
Solución
N
i) v 5 2 2 1 2 2 5 8 5 2 2
iii) v 5 2 2 1 (2 3)2 5 4
Nota
tan u es periódica con periodo p.
Entonces, si a Z 0, siempre existen dos números en [0, 2p), tab
les que tan u 5 . Por ejemplo,
a
p
5p
tan 5 tan 51. Para determinar u
4
4
de manera única es necesario determinar el cuadrante de v, como se apreciará en el siguiente ejemplo.
iii) v 5 (22 3)2 1 2 2 5 4
iv) v 5 (23)2 1 (23)2 5 18 5 3 2
iv) v 5 62 1 (26)2 5 72 5 6 2
vi) v 5 0 2 1 32 5 9 5 3
Se define la dirección del vector v 5 (a, b) como el ángulo u, medido en radianes,
que forma el vector con el lado positivo del eje x. Por convención, se escoge u tal
que 0 # u , 2p. De la figura 4.4 se deduce que si a Z 0, entonces
Dirección de
un vector
tan u 5
EJ EM PLO 4 .1 .2
b
a
(4.1.2)
Cálculo de las direcciones de seis vectores
Calcule las direcciones de los vectores en el ejemplo 4.1.1.
Solución
Estos seis vectores están dibujados en la figura 4.5.
a) v se encuentra en el primer cuadrante y como tan u 5
b) u 5 tan21
2 3
2
5 tan21 3 5
p
3
que u 5 p 2
5
5p
.
6
2
2 3
d) v está en el tercer cuadrante, y como tan21 1 5
5p
.
4
5 1, u 5
p
.
4
(ya que v está en el primer cuadrante).
c) v está en el segundo cuadrante y como tan21
© p¹
ª« º»
6
2
2
5 tan21
p
,
4
1
3
5
p
,
6
y de la figura 4.5c
se encuentra que u 5 p 1
© p¹
ǻ 4 ȼ
5
4.1
Vectores en el plano
y
2, 2 3
y
y
22 3 , 2
(2, 2)
p
3
p
4
x
0
p
6
p
6
x
0
a)
x
0
b)
c)
y
y
p
4
0
y
0
x
x
(0, 3)
p
4
p
2
(23, 23)
(6, 26)
d)
x
0
f)
e)
Figura 4.5
Direcciones de seis vectores.
p
4
e) Como v está en el cuarto cuadrante y tan21 (21) 5 2 , se obtiene u 5 2p 2 ©ª«
f ) No se puede usar la ecuación (4.1.2) porque
p
ra 4.5 f ) se ve que u 5 .
b
a
p¹
º
4»
5
7p
.
4
no está definido. No obstante, en la figu-
2
En general, si b . 0
Dirección de (0, b ) 5
p
2
y
dirección de (0, 2b ) 5
3p
2
b.0
En la sección 2.1 se definió la suma de vectores y la multiplicación por un escalar. ¿Qué significan en términos geométricos estos conceptos? Se comienza con la multiplicación por un
escalar. Si v 5 (a, b), entonces av 5 (aa, ab). Se encuentra que
av 5 a 2 a 2 1 a 2 b 2 5 a
a 2 1 b2 5 a v
(4.1.3)
es decir,
Magnitud de av
Multiplicar un vector por un escalar diferente de cero tiene el efecto de multiplicar la
longitud del vector por el valor absoluto de ese escalar.
Más aún, si a . 0, entonces av está en el mismo cuadrante que v y, por lo tanto, la dirección de
© ab ¹
© b¹
av es la misma que la dirección de v ya que tan2l ª« º» 5 tan21 «ª »º . Si a , 0, entonces av tiene
aa
a
dirección opuesta a la de v. En otras palabras,
Dirección de av
Dirección de av 5 dirección de v, si a . 0
Dirección de av 5 (dirección de v) 1 p si a , 0
(4.1.4)
235
236
CAPÍTULO 4
Vectores en R2 y R3
y
y
y
0
(2, 2)
2
2 2
(1, 1)
x
0
2 2
(1, 1)
x
0
a) El vector original v
x
(22, 22)
c) 22v
b) 2v
Figura 4.6
El vector 2v tiene la misma dirección que v y el doble de su magnitud. El vector 22v tiene
dirección opuesta a v y el doble de su magnitud.
(a1 1 a2, b1 1 b2)
u
(a2, b2)
u1v
yv
v
u
0
(a1, b1)
x
Figura 4.7
La regla del paralelogramo para sumar vectores.
EJ EM PLO 4 .1 .3
Multiplicación de un vector por un escalar
Sea v 5 (1, 1). Entonces |v| 5 1 1 1 5 2 y |2 v| 5 |(2, 2)| 5 2 2 1 2 2 5 8 5 2 2 5 2|v| . Todavía
más, |22 v| 5 (22)2 1 (22)2 5 2 2 5 2|v| . Así, la dirección de 2v es
5p
4
p
,
4
mientras que la direc-
ción de 22v es
(vea la figura 4.6).
Ahora suponga que se suman dos vectores: u 5 (a1, b1) y v 5 (a2, b2) como en la figura
4.7. De la figura se puede apreciar que el vector u 1 v 5 (a1 1 a2, b1 1 b2) se puede obtener
trasladando la representación del vector v de manera que su punto inicial coincida con el punto
terminal (a1, b1) del vector u. Por lo tanto, se puede obtener el vector u 1 v dibujando un paralelogramo con un vértice en el origen y lados u y v. Entonces u 1 v es el vector que va del origen
a lo largo de la diagonal del paralelogramo.
Nota. Al igual que un segmento de recta es la distancia más corta entre dos puntos, se deduce
de inmediato, de la figura 4.7, que
Desigualdad del triángulo
|u 1 v| # |u| 1 |v|
Desigualdad
del triángulo
(4.1.5)
Por razones que resultan obvias en la figura 4.7, la desigualdad (4.1.5) se denomina desigualdad
del triángulo.
También se puede utilizar la figura 4.7 para obtener una representación geométrica del vector u 2 v. Como u 5 u 2 v 1 v, el vector u 2 v es el vector que se debe sumar a v para obtener
u. Este hecho se ilustra en la figura 4.8a. Un hecho similar se ilustra en la figura 4.8b.
4.1 Vectores en el plano
Existen dos vectores especiales en R2 que nos permiten representar a cualquier otro vector
en el plano de una forma conveniente. Se denota el vector (1, 0) por el símbolo i y el vector (0, 1)
por el símbolo j (vea la figura 4.9). Si v 5 (a, b) es cualquier vector en el plano, entonces como
(a, b) 5 a(1, 0) 1 b(0, 1), se puede escribir
u2v
2 3
2
p
3
2
2
v
p
3
Figura
y
(0, 1)
u
j
v
2 3
2
a)
0
b)
p
4
p
6
p
4
v 5 (a, b) 5 ai 1 bj
4
6
Nota histórica
(4.1.6)
y vertical. Los vectores i y j tienen dos propiedades:
p
es múltiplo del otro. (En la terminología del capítulo 5,
6 de ellos
iii) Ninguno
6
5p
son linealmente
5p independientes.)
iii) Cualquier
v se puede escribir en términos de i y j como en la ecua2 vector
† 5p
ción (4.1.6).
2 3
4
Hamilton utilizó por primera vez
los símbolos i y j. Definió su cuaternión como una cantidad de la
forma a 1 bi 1 cj 1 dk, donde
a es la “parte escalar” y bi 1 cj
1 dk es la “parte vectorial”. En
la sección 4.3 se escribirán los
vectores en el espacio en la forma bi 1 cj 1 dk.
1
2
Bajo estas dos condiciones
se dice que i y j forman una base en R2. En el capítulo 5 se estudiarán
3
2 3
las bases en espacios vectoriales arbitrarios.
7p
1
Ahora se definirá
un
tipo de vector que es muy útil en ciertas aplicaciones.
4
3
D
p
2
7p
4
a
2
b
Definición
4.1.3
p
Vector unitario
ab
Un
b
aa
vector unitario
a es un
b
ab
a
aa
. 43
EJEMPLO 4 . 1
2
El vector u 5
vector con longitud 1.
b vector
5 1 1 1 5 2 y |2 v| 5 |(2, 2)| 5 2 2 1 2 2 5 8 5 2 2 5 2|v|
|v|unitario
Un
a
3
2 j
1
i
2
1
1
2
3 1
2 2
p
3
1
2
v
|v|
p
3
x
(1, 0)
Los vectores i y j.
p
p se dice que v está expresado en sus componentes horizontal
Con esta representación
6
6
5p
i
Figura 4.9
4.8
p
2
Los vectores
u 2 v y v 2 u tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas.
4
2
p
4
Vectores i y j
v2u
u
237
|22 v| 5 (22)2 1 (22)2 5 2 2 5 2|v|
es un vector unitario ya que
u 5 (1@2) i 1 ( 3@ 2) j
2
3
2
2
3
1 3
1
1 51
|u| 5 1 5
2
2
4 4
|u| 5 a 2 1 b 2 5 1
u 5 cos21 (1@2 ) 5 p@3 .
v que v se puede escribir como una combinación lineal de i y j. Se estudiará el concepto
2 se dice
En la ecuación (4.1.6)
13 en| vla| sección|v5.5.
de combinación lineal
| 5 4 1 9 5 13,
†
3 2
j
13 13
3
j
13
u 5 v@|v| 5 (2@ 13 ) i 2 (3@ 3 j )
v12 1 v22
Base
238
Capítulo 4
2
Vectores en R y R
2 3
2
p
3
2
2
p
4
2 3
2
3
p
3 2 3
2
2
2 p
p 3
2 3
2
y
2 3
2
2
2
4 2 x 1 yp 5 1
p2
3
p
4
2
p 4
2
u 5 ai 1 bj
2
2
(a, b)
bj
0
p
3
1
p
4
u
ai
x
2 3
2
p
p
2 43
3
2
p
p5 |(2, 2)| 5 2 2 1 2 2 5 8 5 2
p
5
1
5
v
v
|
|
1
1
2
y
|2
|
2
4
2 3 p6
4
2
3
p
5 2|v|
|22 v| 5 (22)2 12(22)2p5
2 2p
p
6
p
6
2
p
6
5p 6
6
4
p
u 5 (1@2) i 1 ( 33@ 2) j 25p
Figura
4 5p 4.10 p
p
p
6
2
6
6
2
2
6
El punto terminal de un vector unitario que tiene su 2punto inicial
se 4
5p
2 3 en el45origen
1
1
3
p
2 35p sobre 5elpcírculo unitario (círculo
encuentra
51
|u| 5centrado
p 1).1 p
en1el origen
radio
6
con5
p
2
2
4 46
4
1 4
6
4
5p
4
2
3 2
5p
p 2
2
2
p
Sea u 5 ai 1 bj 4un vector
unitario.
Entonces
que
a 1 b2 5 1 y u
a
b
5
1
5
|
u
|
1, depmanera
2
3
2 3
p
6
7
4
6
2
se puede representar por
en el círculo unitario
(vea la4 figura1 4.10). Si u es la dirección
4 1un punto
2
5p
u 5 cos21 (1@2 ) 5pp@3 . p
2 3
de u, es claro que a 5
unitario u se puede
3
3 uyb
p cos
2 5
3 sen u. De este modo, cualquier 6vector
6
1
escribir en la forma 2 7p
|v| 5 4 1 9 5 613, 7p
1
p
5
3
5p
p
4
b 4
3
4
6
7p
6 ) i 2 p
(3@ 3 j )
u 5 v@|v| 5 (2@ 13
a p
7p
2
4
5p
p
5
2
devun
vector
unitario
ab2 Representación
2
2
4
2
3
4
p
b
1 1 v2
6
(4.1.7)
b
aa
p
1
2
2
u
5
(cos
u)i
1
(sen
u)j
p
5
a
a
2
3
b
2 3
b
4
ab
ab
a
b
p
7
a
2
1aa
aa
a
4
3
ab 3
2
3
donde u es la dirección
u.
de
b
ab
p
2b
aa
7p
1
a
a
aa
2
4
b
3
1
3
b
3
b
E J E M P L O 4 . 1 a. 5 Cómo
p u)i 1 (sen u)j
2
escribir
7 p (cos
un vector unitario como
2
a
a
2 2
4
3 1
3
ab
b
2 12 3
1
p
2 u 5
forma
en la
El vector unitario
de (4.1.7)
i 1 j del ejemplo 4.1.4 se puede escribir
a
a
a
2
2
2
2
1
p
con u 5 cos21 5 . 1
a1b 3 b
b
3 1
2
3
a2a 2 a
a
2 el 2problema
2
v
También se
tiene
(vea
4.1.26).
1
3
b
3
ab p
2
1
3
2 |v | p
a
2
a
a
3
121 1 25 2 y |2 v| 5 |(2, 2)| 5 2 2 1 2 235 8 5 2 2 5 2|v|
5
|
|
v
2
p
v 3
v
b
1
p diferente de cero. Entonces
13
Sea
v un vector
3
u 5 es un
| v2|
2
| v|2
| 2 v| 53 (22)2 1 (22)2 5 2 2 5 2|v |a
v
3
unitario
que
tiene
la
misma
dirección
que
v.
j
vector
1
3
1
3
2
v
2
|v|
13
2 2 13
2
@
5 (1@|2)
1
(
3
2)
i
j
u13
2
v|
2
2
1 3 3 p
3 2 2
1
13
j 1 3
1 3
2 13 2j 3
2
13
13
5
1
5
1
5
|
|
1
u
E J E M P L O 4 . 1 . 6 Cómo encontrar
un
vector
unitario
con
la
misma dirección
2
3
4 4
2
j
v
3p
3 dado diferente de cero 1
13 que un vector
j
v|
|
2 3
2
213 2
6 p
p 4
p
6
5p 6
p
4
|u| 5 a 1 b 5 1
Encuentre un vector unitario que tiene la misma dirección que
p v 5 v2i 2 3j.
|v|
u 5 cos21 (1@2 ) 5 p@3 .
3
Solución
Aquí |v| 5 4 1 9 5 13, por lo que u 5
v
|v|
5
2
i
13
2
2
13
3
j
13
que se busca.
u 5 v@|v| 5 (2@ 13 ) i 2 (3@ 3 j )
2 3 j
Se concluye esta sección con un resumen de las propiedades
de
los vectores.
v12 1 v22
13
3
j
13
13
es el vector
2 5 2|v|
4.1
Vectores en el plano
239
Tabla 4.1
Definición
intuitiva
Objeto
Vector v
Un objeto que tiene
magnitud y dirección
|v|
Magnitud (o longitud) de v
av
av
v
Expresión en términos de componentes si
u 5 u1i 1 u2j, v 5 v1i 1 v2j, y
u 5 (u1, u2), v 5 (v1, v2)
v1i 1 v2j
o (v1, v2)
v12 1 v22
av1i 1 av2j
o (av1, av2)
2v
2v1i 2 v2j
o (2v1, 2v2)
v
(u1 1 v1)i 1 (u2 1 v2)j o
(u1 1 v1, u2 1 v2)
(u1 2 v1)i 1 (u2 2 v2)j o
(u1 2 v1, u2 2 v2)
(en este dibujo a 5 2)
2v
v
u1v
u1v
o 2(v1, v2)
u
u2v
u2v
v
u
R
Resumen 4.1
S
• El segmento de recta dirigido que se extiende de P a Q en R2 denotado por PQ es el segmento de
recta que va de P a Q.
(p. 232)
• Dos segmentos de recta dirigidos en R2 son equivalentes si tienen la misma magnitud (longitud) y
dirección.
(p. 233)
• Definición geométrica de un vector
Un vector en R2 es el conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos en R2 equivalentes a un
segmento de recta dirigido dado. Una representación de un vector tiene su punto inicial en el oriS
gen y se denota por 0R.
(p. 233)
• Definición algebraica de un vector
Un vector v en el plano xy (R2) es un par ordenado de números reales (a, b). Los números a y b se
llaman componentes del vector v. El vector cero es el vector (0, 0).
(p. 233)
• Las definiciones geométrica y algebraica de un vector en R2 se relacionan de la siguiente manera:
S
si v 5 (a, b), entonces una representación de v es 0R , donde R 5 (a, b).
(p. 233)
• Si v 5 (a, b), entonces la magnitud de v, denotada por |v|, está dada por |v| 5
a 2 1 b2 .
• Si v es un vector en R2, entonces la dirección de v es el ángulo en [0, 2p] que forma cualquier